2. Ηλεκηποζηαηικά πεδία (Electrostatic Fields)

Transcript

1 . Ηλεκηποζηαηικά πεδία (Electrosttic Fields) Έλα ειεθηξνζηαηηθό πεδίν παξάγεηαη από κηα ζηαηηθή δηαλνκή θνξηίνπ. Έλα ηππηθό παξάδεηγκα ελόο ηέηνηνπ πεδίνπ ην βξίζθνπκε ζε έλα ζσιήλα θαζνδηθώλ αθηηλώλ (cthode ry tube) π.ρ. κέζα ζηηο ηειενξάζεηο. Η ειεθηξνζηαηηθή είλαη έλα ζπλαξπαζηηθό ζέκα όπνπ έρεη αλαπηπρζεί ζε δηάθνξνπο ηνκείο. Η ειεθηξηθή κεηαθνξά ελέξγεηαο θαη νη κεραλέο αθηηλώλ Υ (X-ry mchines) απαηηνύλ γηα παξάδεηγκα ηε γλώζε ειεθηξνζηαηηθήο γηα ηελ θαηαλόεζε θαη ζρεδηαζκό ηνπ θαηάιιεινπ εμνπιηζκνύ. Οη ζπζθεπέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζε ειεθηξνληθά ζπζηήκαηα επίζεο βαζίδνληαη ζηελ ειεθηξνζηαηηθή. Τπάξρνπλ δύν ζεκειηώδεηο λόκνη ζηελ ειεθηξνζηαηηθή θαη απηνύο ζα κειεηήζνπκε πξώηα:. Νόκνο ηνπ Coulomb (Coulomb s lw). Νόκνο ηνπ Guss (Guss s Lw).

2 Νόμορ ηος Coulomb (Coulomb s lw) Ο λόκνο ηνπ Coulomb ιέεη όηη ε δύλακε κεηαμύ δύν ζεκεηαθώλ θνξηίσλ (point chrges) δίλεηαη από ηελ ζρέζε F kq Q όπνπ είλαη νη απόζηαζε (κνλάδα κέηξεζεο ηα κέηξα (m)) κεηαμύ ησλ δύν ζημειακών θοπηίων (Point chrges) Q, Q. ημειακά θοπηία (point chrges): θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε έλα ζώκα πνπ νη δηαζηάζεηο ηνπ είλαη πνιύ κηθξόηεξεο από άιιεο δηαζηάζεηο Μνλάδα κέηξεζεο θνξηίνπ: Coulomb (C)) ειεθηξνληθό θνξηίν e =-.609 x 0-9 C, k=/4πε ν είλαη ε ζηαζεξά αλαινγίαο, F είλαη ε δύλακε (κνλάδα κέηξεζεο Newton (N)), ε ν είλαη ε δηειεθηξηθή ζηαζεξά (permittivity) θαη ηζνύηαη κε 8.854x0 - (Frds/m). F Q Q 4 0 ημείωζη:. Όκνηα θνξηία απσζνύληαη ελώ αληίζεηα έιθνληαη.. Η απόζηαζε κεηαμύ ησλ δύν θνξηίσλ πξέπεη λα είλαη κεγάιε ζε ζρέζε κε ηηο δηαζηάζεηο ησλ θνξηίσλ. 3. Q θαη Q πξέπεη λα είλαη ζε ζηάζε. 4. Αλ ππάξρνπλ πην πνιιά από δύν θνξηία (point chrges) κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ αξρή ηεο επαιιειίαο (superposition) γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ δύλακε ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ζώκα.

3 Ένηαζη πεδίος (field intensity) Έζησ όηη έλα ζεκεηαθό θνξηίν Q δεκηνπξγεί έλα ειεθηξηθό πεδίν (ιόγσ ηνπ όηη ην θνξηίν απηό δεκηνπξγεί ην ειεθηξηθό πεδίν ην θνξηίν απηό νλνκάδεηαη θνξηίν πξνέιεπζεο (source chrge)). Η έληαζε ηνπ πεδίνπ πνπ πξνθαιεί ην θνξηίν πξνέιεπζεο κπνξεί λα κεηξεζεί αλ ηνπνζεηήζνπκε αθόκα έλα θνξηίν κέζα ζην πεδίν. Σν θνξηίν απηό νλνκάδεηαη θνξηίν δνθηκαζίαο (test chrge) Q. Όηαλ απηό ην θνξηίν ηνπνζεηεζεί κέζα ζην πεδίν ζα εμαζθεζεί κηα δύλακε F πάλσ ζε απηό. Source Chrge Q Test Chrge (Q ) Q F Έληαζε πεδίνπ νξίδεηαη ε δύλακε γηα θάζε κνλάδα θνξηίνπ όηαλ απηό ην θνξηίν ηνπνζεηεζεί ζε ειεθηξηθό πεδίν E Η έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ Ε (ην νπνίν είλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο) είλαη ζηελ ίδηα θαηεύζπλζε κε ηελ δύλακε F θαη κεηξηέηαη ζε Newtons/coulombs ή olts/metres. Αλ αληηθαηαζηήζνπκε ζηελ πην πάλσ εμίζσζε ηε δύλακε κε ην λόκν ηνπ Coulomb ηόηε έρνπκε: F Q E F Q Q 4 Q Q 0 E Q 4 0 3

4 Παπάδειγμα. Γύν θνξηία (point chrges) mc θαη - mc βξίζθνληαη ζηα ζεκεία (3,,-) θαη (-,-,4) αληίζηνηρα. Τπνινγίζηε ηελ ειεθηξηθή δύλακε (electric force) ζε έλα θνξηίν 0 nc πνπ βξίζθεηαη ζην ζεκείν (0,3,) θαη ηελ έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ (electric field intensity) ζε απηό ην ζεκείν. (sd 4. p8) 4

5 Ηλεκηπικό πεδίο λόγω ζςνεσούρ διανομήρ θοπηίος (Electric field due to continuous chrge distributions) Μέρξη ηώξα είρακε κόλν αλαθέξεη ηηο δπλάκεηο πνπ δεκηνπξγνύληαη ιόγσ ζεκεηαθώλ θνξηίσλ (point chrges). Δίλαη επίζεο πηζαλόλ λα ππάξρεη ζπλερήο δηαλνκή θνξηίνπ (continuous chrge distribution) πάλσ ζε κία γξακκή, ζε κία επηθάλεηα, ή όγθν. Επικαμπύλιο Φοπηίο (Line chrge) Αο ππνζέζνπκε όηη ππάξρεη νκνηόκνξθε πςκνόηηηα θοπηίος π L (uniform chrge density) πνπ επεθηείλεηαη από ην Α ζην Β πάλσ ζην άμνλα Z όπσο θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Αο πάξνπκε ηελ πεξίπησζε όπνπ ην ζεκείν Β είλαη (0,0, ) θαη ην ζεκείν Α (0,0, ) έηζη ώζηε α =π/, α =-π/, ηόηε ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ Ε γίλεηαη: L E ρ 5

6 Φοπηίο επιθάνειαρ (surfce chrge) Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε έλα άπεηξν θνκκάηη ραξηί κε θνξηίν ζην επίπεδν ΥY κε νκνηόκνξθε πςκνόηηηα θοπηίος π S (uniform chrge density). Αθνύ ην θνξηίν είλαη ζην πεδίν XY ηόηε ην Ε έρεη κόλν ζπληεηαγκέλε. Γεληθά γηα κηα άπεηξε επηθάλεηα κε θνξηίν ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ Ε είλαη: S E n όπνπ ην n είλαη έλα κνλαδηαίν δηάλπζκα θάζεην ζην ραξηί θνξηίνπ. Φοπηίο όγκος (olume chrge) Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε θνξηίν κε δηαλνκή όγθνπ (volume chrge distribution) κε νκνηόκνξθε πςκνόηηηα θοπηίος π ν όπσο θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Η έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ είλαη: Q 4 E όπνπ Q

7 Παπάδειγμα. Έλα θπθιηθόο δαθηύιηνο (circulr ring) έρεη αθηίλα, έρεη νκνηόκνξθν θνξηίν ξ L θαη είλαη ηνπνζεηεκέλνο ζην επίπεδν XY. (α) Να δείμεηε όηη h L E( 0, 0,h) 3 / [ h ] (β) Πνηεο ηηκέο ηνπ h δίλνπλ ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ Ε? (γ) Αλ ην νιηθό θνξηίν ζην δαθηύιην είλαη Q, λα ππνινγίζεηε ην Ε όηαλ 0. (sd4.4 p9) de de de ξ h x α y (α) dl d θαη ( ) h ρ h θαη ή ρ h 3 h L E 4 o 0 ρ h h 3 d Λόγσ ζπκκεηξίαο ε ζπλεηζθνξά ηεο ζπληζηώζαο ρ είλαη 0 αθνύ γηα θάζε δηαθνξηθό ζεκείν dl ππάξρεη ην αληίζηνηρν ζηελ απέλαληη πιεπξά πνπ 7

8 8 αιιεινεμνπδεηεξώλνπλ (έρνπλ ηελ ίδηα ηηκή αιιά αληίζεην πξόζεκν). Έηζη έρνπκε ζπληζηώζα κόλν ζηελ θαηεύζπλζε h h d h h o L o L E (β) 0 dh d E γηα κέγηζην E h h h h h h dh d o L E h h h h ή h (γ) Δπεηδή ην θνξηίν έρεη νκνηόκνξθε θαηαλνκή ε ππθλόηεηα θνξηίνπ είλαη 3 4 E h Qh Q o L Όηαλ α 0 4 E h Q o ή πην γεληθά o r Q E 4 πνπ είλαη ην ίδην όπσο ην ζεκεηαθό θνξηίν όπσο ζα αλακέλακε.

9 Πςκνόηηηα ηλεκηπικήρ ποήρ (electric flux density) Η ππθλόηεηα ειεθηξηθήο ξνήο είλαη έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν ην νπνίν είλαη αλεμάξηεην από ην πιηθό θαη νξίδεηαη σο: D 0Ε Δπίζεο νξίδνπκε ηελ ειεθηξηθή ξνή (electric flux) Φ: D d S Νόμορ ηος Guss (Guss s Lw) Ο λόκνο ηνπ Guss είλαη από ηνπο πην ζεκαληηθνύο λόκνπο ηεο ειεθηξνκαγλεηηθήο. Οξίδεη όηη ε νιηθή ειεθηξηθή ξνή (electric flux) Φ κέζα ζε κία θιεηζηή επηθάλεηα S είλαη ίζε κε ην νιηθό θνξηίν πνπ βξίζθεηαη κέζα ζε απηή ηελ επηθάλεηα (κε όγθν ): ή θαιύηεξα Q ό Q DdS S dv v Από ηνλ πην πάλσ ηύπν θαηαιήγνπκε ζηελ ππώηη εξίζωζη ηος Mxwell πνπ είλαη: v.d 9

10 Εθαπμογέρ ηος νόμος ηος Guss (Applictions of Guss s Lw) Όηαλ ππάξρεη ζπκκεηξία ζηε δηαλνκή ηνπ θνξηίνπ κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε κία καζεκαηηθή θιεηζηή επηθάλεηα, πνπ νλνκάδεηαη Γθανπζηαλή επηθάλεηα (Gussin surfce). H επηθάλεηα πνπ δηαιέγνπκε πξέπεη λα είλαη είηε θάζεηε ζην D, όπνπ D.dS = DdS, είηε εθαπηόκελε, όπνπ D.dS = 0. Απηέο ηηο βαζηθέο ηδέεο ζα ηηο ρξεζηκνπνηήζνπκε ζηηο πην θάησ πεξηπηώζεηο. ημειακό Φοπηίο (point chrge) Όηαλ έρνπκε έλα ζεκεηαθό θνξηίν (point chrge) ηνπνζεηεκέλν ζην ζεκείν αλαθνξάο γηα λα βξνύκε ην D ζε έλα ζεκείν Ρ, είλαη εύθνιν λα ρξεζηκνπνηήζνπκε κία ζθαηξηθή επηθάλεηα πνπ λα πεξηέρεη ην Ρ θαη από εθεί κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην D πνπ ζα είλαη: Q D ds D ds S. D4r Q 4r D r Άπειπο επικαμπύλιο θοπηίο (infinite line chrge) Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε κία άπεηξε γξακκή από νκνηόκνξθν θνξηίν ξ L C/m πάλσ ζηνλ άμνλα. Γηα λα βξνύκε ην D ζε έλα ζεκείν Ρ ζα δηαιέμνπκε κηα θπιηλδξηθή επηθάλεηα λα πεξηέρεη ην Ρ. Από εθεί κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην D πνπ ζα είλαη D.dS D ds l Q Dl L L D α ρ 0

11 Φοπηίο επιθάνειαρ ζε άπειπο επίπεδο (infinite sheet of chrge) Aο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε έλα άπεηξν θνκκάηη κε νκνηόκνξθν θνξηίν ξ s C/m πάλσ ζην πεδίν =0. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην D ζην ζεκείν Ρ ζα δηαιέμνπκε έλα ηεηξάγσλν θνπηί λα πεξηέρεη ην Ρ. Από εθεί κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην D πνπ ζα είλαη D s θαίπα ομοιόμοπθα θοπηιζμένη (uniformly chrged sphere) Aο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε κία ζθαίξα κε αθηίλα α, κε νκνηόκνξθν θνξηίν ξ λ C/m 3. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην D, θαηαζθεπάδνπκε γθανπζηαλέο επηθάλεηεο γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο r θαη r. Αθνύ έρνπκε ζθαίξα είλαη εκθαλέο όηη ε γθανπζηαλή επηθάλεηα ζα είλαη ζθαίξα. Γηα ηε πξώηε πεξίπησζε r D 3 r r 0, Γηα ηε δεύηεξε πεξίπησζε D 3r 3 r r

12 Παπάδειγμα.3 Γίλεηαη ην D = ξcos θ C/m, λα ππνινγίζεηε ηελ ππθλόηεηα θνξηίνπ (chrge density) ξ λ ζην ζεκείν (, π/4, 3) θαη ην νιηθό θνξηίν πνπ βξίζθεηαη θιεηζκέλν ζε έλα θύιηλδξν αθηίλαο m κε m. (sd 4.9 p45) Μέζνδνο : D v D Q vdv cos στο,,3 4 cos ddd.cos v C m 3 d 0 cos d 0 4 d 4. C 3 3 Μέζνδνο : Υξεζηκνπνηώληαο ην ζεώξεκα ηνπ Guss Q D ds DdS DdS DdS t b s t b s Αθού ηο D δεν έχει ζυνιζηώζα ζηο ρ Για t, ds dd ) ( 0 s 3 t cos dd d cos d Για, ds dd ) b ( 3 b cos dd d cos d Q 0 C

13 Ηλεκηπικό δςναμικό (Electric potentil) Αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε λα κεηαθηλήζνπκε έλα ζεκεηαθό θνξηίν (point chrge) από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β ζε έλα ειεθηξηθό πεδίν Ε. Σν έξγν πνπ γίλεηαη (ή ε δπλακηθή ελέξγεηα πνπ ρξεηάδεηαη) ζηε κεηαθνξά ηνπ θνξηίνπ ζε κηα απόζηαζε dl είλαη w Q B A E. dl Σν αξλεηηθό πξόζεκν θαηαδεηθλύεη όηη ην έξγν γίλεηαη από θάπνηα εμσηεξηθή πεγή. Γηαηξώληαο ηώξα ην έξγν δηα ην θνξηίν Q καο δίλεη ηελ δπλακηθή ελέξγεηα (potentil energy) γηα θάζε κνλάδα θνξηίνπ. Απηή ε πνζόηεηα, πνπ γξάθεηαη AB, ιέγεηαη δηαθνξά δπλακηθνύ (potentil difference). AB w Q B A E. dl εκείσζε:. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην AB, ην Α είλαη ην αξρηθό ζεκείν θαη Β ην ηειηθό.. Αλ ην AB είλαη αξλεηηθό ζεκαίλεη όηη ράλεηαη δπλακηθή ελέξγεηα ζηε κεηαθνξά ηνπ Q από ην Α ζην Β. Αλ ην AB είλαη ζεηηθό ηόηε ππάξρεη θέξδνο ελέξγεηαο. 3. Σν AB είλαη αλεμάξηεην ηεο πνξείαο πνπ ζα θάλεη ην θνξηίν. 4. Σν AB κεηξηέηαη ζε Joules/Coulomb ή αιιηώο volts (). 3

14 Παπάδειγμα.4 Γύν ζεκεηαθά θνξηία (point chrges) -4 κc θαη 5 κc βξίζθνληαη ζηα ζεκεία (, -, 3) θαη (0, 4, -) αληίζηνηρα. Να ππνινγίζεηε ην δπλακηθό ζην ζεκείν (, 0, ) ζεσξώληαο κεδέλ δπλακηθό (potentil) ζην άπεηξν. (sd 4. p5) 4

15 σέζη μεηαξύ Ε και Εξίζωζη ηος Mxwell (eltionship between E nd Mxwell s eqution) Ξέξνπκε όηη ην επηθακπύιην νινθιήξσκα (line integrl) ηνπ Ε ζε θιεηζηή πνξεία είλαη πάληα ίζν κε κεδέλ. Απηό ζεκαίλεη όηη δελ γίλεηαη θαλέλα έξγν γηα ηε κεηαθνξά ηνπ θνξηίνπ ζε κηα θιεηζηή πνξεία ζε έλα ειεθηξνζηαηηθό πεδίν. E. d l 0 E. d l ( E). ds 0 Εξίζωζη ηος Mxwell (Mxwell s eqution) E 0 Δπίζεο από ηα πην πάλσ κπνξεί λα απνδεηρζεί όηη E 5

16 Παπάδειγμα.5 0 Γίλεηαη = sin cos r (α) Να βξείηε ην D ζην ζεκείν (, π/, 0) (β) Τπνινγίζηε ην έξγν πνπ έγηλε (work done) γηα ηε κεηαθνξά ελόο θνξηίνπ 0 κc από ην ζεκείν Α(, 30 ν, 0 ν ) ζην ζεκείν Β(4, 90 ν, 60 ν ) (sd 4.4 p57) 6

17 Ηλεκηπικό δίπολο (electric dipole) Σν ειεθηξηθό δίπνιν δεκηνπξγείηαη όηαλ δύν ζεκεηαθά θνξηία (point chrges) ηνπ ίδηνπ κέηξνπ αιιά αληίζεηνπ πξόζεκνπ ρσξίδνληαη από πνιύ κηθξή απόζηαζε. Αλ ιάβνπκε ππόςε ην ειεθηξηθό δίπνιν ζην πην θάησ ζρήκα, ην δπλακηθό ζην ζεκείν Ρ (r, ζ, θ) είλαη Q 4 r r όπνπ r θαη r είλαη νη απνζηάζεηο από Ρ ζην Q + θαη από Ρ ζην Q - αληίζηνηρα. Αλ ην r d, r - r =d cosζ, r r =r θαη ε εμίζσζε γίλεηαη Q d cos 4 r Αθνύ dcosζ= d. r όπνπ d =d νξίδνπκε ζαλ διπολική ποπή (dipole moment) ην Ρ= Qd 7

18 Ηλεκηπικέρ γπαμμέρ ποήρ και ιζοδςναμικέρ επιθάνειερ (Electric flux lines nd Equipotentil surfces) Η ειεθηξηθή γξακκή είλαη κία θαληαζηηθή γξακκή ηεο νπνίαο θαηεύζπλζε ζε θάζε ζεκείν είλαη ε θαηεύζπλζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζε εθείλν ην ζεκείν. Οη ειεθηξηθέο γξακκέο ξνήο παξνπζηάδνπλ ηηο εμήο ηδηόηεηεο:. Οη γξακκέο πάληα μεθηλνύλ από ηα ζεηηθά θνξηία θαη θαηαιήγνπλ ζηα αξλεηηθά. Γελ κπνξνύλ λα ηέκλνληαη δύν ειεθηξηθέο γξακκέο ξνήο 3. Η ππθλόηεηα ηεο ειεθηξηθήο ξνήο (electric flux density) D είλαη εθαπηόκελε ζηηο ειεθηξηθέο γξακκέο ξνήο ζε θάζε ζεκείν. Κάζε επηθάλεηα όπνπ ην δπλακηθό είλαη παληνύ ην ίδην νλνκάδεηαη ηζνδπλακηθή επηθάλεηα (equipotentil surfce). H δηαζηαύξσζε κηαο ηζνδπλακηθήο επηθάλεηαο θαη ελόο επηπέδνπ έρεη σο απνηέιεζκα κηα γξακκή πνπ νλνκάδεηαη ηζνδπλακηθή γξακκή (equipotentil line). ημείωζη: Γελ γίλεηαη θαλέλα έξγν όηαλ κεηαθέξνπκε έλα θνξηίν από έλα ζεκείν ζηελ ηζνδπλακηθή γξακκή ζε έλα άιιν ζεκείν ζηελ ίδηα γξακκή. Μπνξνύκε επίζεο λα πνύκε όηη νη γξακκέο ξνήο είλαη πάληνηε θάζεηεο ζηηο ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο. 8

19 9

20 Πςκνόηηηα ενέπγειαρ ζε ηλεκηποζηαηικά πεδία (Energy density in electrosttic fields) Αλ ππάξρνπλ n ζεκεηαθά θνξηία (point chrges) ηόηε ε ελέξγεηα πνπ ππάξρεη ζε απηά ηα θνξηία (ή ε ελέξγεηα πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα ηα βάινπκε ζηε ζέζε ηνπο) είλαη W E n k Q k k ζε Joules όπνπ Q θ ηα θνξηία θαη k ην δπλακηθό γηα θάζε θνξηίν. Δπίζεο W E D. Edv E dv ζε Joules Οξίδνπκε σο πςκνόηηηα ενέπγειαρ w e θαη w e dw dv e D E 0 D 0 W e w dv e 0

21 Ηλεκηπικά πεδία ζε ςλικά (Εlectric fields in mteril spce) ε απηό ην κέξνο ζα κειεηήζνπκε ηε ζεσξία ησλ ειεθηξηθώλ θαηλνκέλσλ ζε πιηθά. Θα δνύκε όηη νη ηύπνη πνπ έρνπκε από ηα πξνεγνύκελα κέξε κπνξνύλ αθόκα λα ρξεζηκνπνηεζνύλ, όκσο κεξηθνί από απηνύο κπνξεί λα ζέινπλ θάπνηεο αιιαγέο. Όπσο αθξηβώο ηα ειεθηξηθά πεδία κπνξνύλ λα ππάξρνπλ ζηνλ ειεύζεξν ρώξν (free spce), κπνξνύλ επίζεο λα ππάξρνπλ ζε πιηθά κέζα (mteril medi). Σα πιηθά είλαη επξέσο ηαμηλνκεκέλα κε βάζε ηηο ειεθηξηθέο ηδηόηεηέο ηνπο σο αγωγοί θαη μη αγωγοί. Οη κε αγσγνί ζπλήζσο νλνκάδνληαη μονωηέρ ή διηλεκηπικά πιηθά. Ιδιόηηηερ ηων ςλικών Σα πιηθά κπνξνύλ λα ηαμηλνκεζνύλ κε βάζε ηελ αγσγηκόηεηά ηνπο (conductivity) ζ (Μνλάδα Siemens/metre), σο αγωγοί και μονωηέρ ή σο μέηαλλα και διηλεκηπικά ςλικά. Έλα πιηθό πνπ ε αγσγηκόηεηά ηνπ είλαη θάπνπ κεηαμύ ησλ κεηάιισλ θαη ησλ κνλσηώλ, νλνκάδεηαη ημιαγωγόρ (semiconductor). Οη ηηκέο ηεο αγσγηκόηεηαο ησλ πην θνηλώλ πιηθώλ είλαη ζην πην θάησ πίλαθα: Τιηθό Αγσγηκόηεηα Δίδνο πιηθνύ (siemens/m) Υαιθόο 5.8x0 7 Αγσγόο Αινπκίλην 3.5x0 7 Aγσγόο Ππξίηην 4.4x0-4 Ηκηαγσγόο Γεξκάλην. Ηκηαγσγόο Γπαιί 0 - Μνλσηήο Η αγσγηκόηεηα ησλ κεηάιισλ απμάλεηαη γεληθά κε ηε κείσζε ζηε ζεξκνθξαζία. ηηο ζεξκνθξαζίεο θνληά ζε απόιπην κεδέλ (T=0 o Κ) θάπνηνη αγσγνί απνθηνύλ άπεηξε αγσγηκόηεηα θαη νλνκάδνληαη ςπεπαγωγοί. Ο κόιπβδνο θαη ην αινπκίλην είλαη κεξηθά παξαδείγκαηα από απηά ηα πιηθά. ε απηό ην κέξνο ζα αζρνιεζνύκε κόλν κε κέηαιια θαη κνλσηέο.

22 Ρεύμα Μεηαθοπάρ (Convection current) Σν ειεθηξηθό ξεύκα ζπλήζσο είλαη απνηέιεζκα ηεο θίλεζεο ειεθηξηθώλ θνξηίσλ. Σν ξεύκα κεηαθνξάο (convection current) ην βιέπνπκε όηαλ ην ξεύκα πεξλά κέζα από έλα κνλσηηθό πιηθό όπσο πγξό ή αέξην θαη δελ ρξεηάδεηαη αγσγόο γηα ηελ κεηαθνξά ηνπ γηαπηό θαη δελ ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Ohm. Έλα παξάδεηγκα είλαη κία αθηίλα από ειεθηξόληα ζε ζσιήλα θελνύ (vcuum tube). Σν ξεύκα κεηαθνξάο κέζα από έλα ζπγθεθξηκέλν εκβαδόλ νξίδεηαη σο ην ειεθηξηθό θνξηίν πνπ πεξλά κέζα από απηό ην εκβαδόλ αλά κνλάδα ρξόλνπ I dq dt Μνλάδα κέηξεζεο ηνπ ξεύκαηνο είλαη ην Ampere (A). Η ππθλόηεηα ηνπ ξεύκαηνο κεηαθνξάο νξίδεηαη σο J u θαη κεηξηέηαη ζε (A/m ), όπνπ ξ λ είλαη ε ππθλόηεηα ηνπ θνξηίνπ θαη u ε ηαρύηεηα πνπ θηλείηαη ην θνξηίν. Σν ξεύκα κεηαθνξάο I δίλεηαη από ηελ ζρέζε

23 I S J ds Ρεύμα Αγωγιμόηηηαρ (Conduction current) Όηαλ έλα ειεθηξηθό πεδίν εθαξκόδεηαη ζε έλαλ αγσγό, ην ξεύκα αγσγηκόηεηαο εκθαλίδεηαη ιόγσ ηεο θίλεζεο ησλ ειεθηξνλίσλ. Καζώο θηλνύληαη ηα ειεθηξόληα, κία αληίζεηε δύλακε αληηηίζεηαη ζηελ θίλεζε ηνπο. Απηή ε δύλακε νλνκάδεηαη αληίζηαζε (esistnce). Γηα έλαλ αγσγό J E όπνπ ζ είλαη ε αγσγηκόηεηα ηνπ πιηθνύ θαη J είλαη ε ππθλόηεηα ηνπ ξεύκαηνο αγσγηκόηεηαο. Δπίζεο ε αληίζηαζε έρεη ηελ πην θάησ κνξθή: I c S l όπνπ είλαη ε ηάζε, Ι ην ξεύκα, ξ c =/ζ θαη νλνκάδεηαη εηδηθή αληίζηαζε (resistivity), l είλαη ην κήθνο ηνπ αγσγνύ θαη S ην εκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο απ όπνπ πεξλά ην ξεύκα.. Η ηζρύο ζε Wtt νξίδεηαη σο 3

24 P E Jdv Παπάδειγμα.6 Έλα ζύξκα κε δηάκεηξν mm θαη αγσγηκόηεηα 5x0 7 S/m έρεη 0 9 ειεύζεξα ειεθηξόληα/m 3 όηαλ ππάξρεη ειεθηξηθό πεδίν έληαζεο 0 m/m. Να ππνινγίζεηε: (α) Σελ ππθλόηεηα θνξηίνπ ησλ ειεύζεξσλ ειεθηξνλίσλ (β) Σελ ππθλόηεηα ξεύκαηνο (γ) Σν ξεύκα κέζα ζην ζύξκα (δ) Σελ ηαρύηεηα ησλ ειεθηξνλίσλ. Σν ειεθηξηθό θνξηίν είλαη e =-.6x0-9 C. (sd 5.3 p9) 4

25 Διηλεκηπική ζηαθεπά και δύναμη (Dielectric constnt nd strength) Ξέξνπκε όηη D = ε E όπνπ ε=ε ν ε r. Σν ε νλνκάδεηαη επιηπεπηόηηηα (permittivity) ησλ δηειεθηξηθώλ θαη ην ε ν είλαη ε επιηπεπηόηηηα (permittivity) ζηον αέπα (free spce), ελώ ε r νξίδεηαη σο η ζσεηική επιηπεπηόηηηα (reltive permittivity). Οη θαηά πξνζέγγηζε ηηκέο γηα ηηο δηειεθηξηθέο ζηαζεξέο δίλνληαη πην θάησ (γηα ηε ζηαηηθή ή ρακειή ζπρλόηεηα 000H- γηα ηηο πςειόηεξεο ζπρλόηεηεο νη ηηκέο αιιάδνπλ). Σν ε r είλαη πάληα πην κεγάιν από ή ίζν κε. Γηα ηνλ αέξα (free spce) θαη κε δηειεθηξηθά πιηθά, όπσο κέηαιια, ην εr =. Υλικό σεηική Διηλεκηπική ηαθεπά (ε r ) Νεξό (Θάιαζζαο) 80 Νάηινλ 8 Υαξηί 7 Γπαιί 5-0 Πνξζειάλε 6 Λάζηηρν 3. Ξύιν Αέξαο Οπιακέρ ζςνθήκερ (Boundry conditions) Δάλ ην πεδίν ππάξρεη ζε κηα πεξηνρή πνπ απνηειείηαη από δύν δηαθνξεηηθά κέζα, νη ζπλζήθεο πνπ πξέπεη λα ηθαλνπνηεί ζηε δηεπαθή (interfce) πνπ δηαρσξίδνπλ ηα δύν κέζα νλνκάδνληαη νξηαθέο ζπλζήθεο (boundry conditions). Απηέο νη ζπλζήθεο βνεζνύλ ζην λα κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην πεδίν ζηε κηα πιεπξά αλ γλσξίδνπκε ην πεδίν ζηελ άιιε. Θα κειεηήζνπκε ηξεηο πεξηπηώζεηο: (α) δηειεθηξηθό ε r κε δηειεθηξηθό ε r (β) αγσγό θαη δηειεθηξηθό (γ) αγσγό θαη ειεύζεξνο ρώξνο. 5

26 Οπιακέρ ζςνθήκερ ζε Διηλεκηπικό-Διηλεκηπικό (Dielectric- dielectric boundry conditions) Aο ζεσξήζνπκε όηη ππάξρεη ην ειεθηξηθό πεδίν Ε ζε κηα πεξηνρή πνπ έρεη δύν δηαθνξεηηθά δηειεθηξηθά πιηθά πνπ ραξαθηεξίδνληαη από ε =ε ν ε r θαη ε =ε ν ε r όπσο θαίλνληαη ζην πην θάησ ζρήκα. Γηα ηε πην πάλσ πεξίπησζε ηζρύνπλ ηα εμήο: E t E t θαη D n D n s όπνπ ξ s είλαη ε ππθλόηεηα θνξηίνπ ζηελ δηεπαθή. Δάλ ην ξ s είλαη 0 ηόηε D n D n όπσο θαίλνληαη ζην πην θάησ ζρήκα. Αθόκα αθνύ ε =ε ν ε r θαη ε =ε ν ε r ηόηε tn tn r r 6

27 Απόδειξη 7

28 Οπιακέρ ζςνθήκερ ζε αγωγόρ-διηλεκηπικό (Conductor-Dielectric Boundry conditions) Απηή είλαη ε πεξίπησζε πνπ θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Ο αγσγόο ζεσξείηαη όηη είλαη ηέιεηνο. Γηα απηή ηελ πεξίπησζε ηζρύνπλ ηα εμήο: 0, Ε 0 αθνύ δελ κπνξεί λα ππάξμεη ειεθηξηθό πεδίν κέζα ζηνλ αγσγό. Δπίζεο D t r Et 0 θαη Dn ren s Μηα πνιύ ζεκαληηθή εθαξκνγή ηνπ όηη Ε=0 κέζα ζηνλ αγσγό είλαη ε ειεθηξνζηαηηθή θάιπςε (electrosttic shielding). ημείωζη: 8

29 Οπιακέρ ςνθήκερ Αγωγόρ-Ελεύθεπορ σώπορ (Conductor-Free spce) Απηή είλαη κηα ηδηαίηεξε πεξίπησζε ηνπ αγσγνύ-δηειεθηξηθνύ όπνπ ην ε r = όπσο θαίλεηαη θαη ζην πην θάησ ζρήκα. Γηα απηή ηε πεξίπησζε ηζρύνπλ ηα εμήο: D t Et 0, Dn E n s 9

30 Παπάδειγμα.7 Γύν εθηελή νκνγελή ηζνηξνπηθά δηειεθηξηθά πιηθά ζπλαληηνύληαη ζην επίπεδν =0. Γηα > 0, ε r =4 θαη γηα 0, ε r =3. Τπάξρεη έλα νκνγελέο ειεθηξηθό πεδίν Ε=5 x y + 3 K/m γηα > 0. Να ππνινγίζεηε (α) Ε γηα 0 (β) Σηο γσλίεο πνπ ηα Ε θαη Ε θάλνπλ κε ηελ δηεπαθή (interfce). (γ) Σελ ππθλόηεηα ελέξγεηαο (ζε J/m 3 ) θαη ζηα δύν δηειεθηξηθά πιηθά (δ) Σελ ελέξγεηα κέζα ζε έλα θύβν πιεπξάο m κε θέληξν ην ζεκείν (3, 4, -5). (sd 5.9 p) (α) Θεσξνύκε όηη ην είλαη θάζεην ζηελ επηθάλεηα ηνπ επηπέδνπ. E E E 3 En 3 n n E n E E E n E n E D Et E En 5 x y Et Et 5 x y E n E t n Dn r E n r E n r En En 3 4 r 4 3 θαη E Et En 5 x y 4 k m 30

31 (β) Δάλ ην α θαη α είλαη νη γσλίεο πνπ θάλνπλ ην Ε θαη Ε κε ηελ δηεπαθή θαη ζ θαη ζ νη γσλίεο πνπ θάλνπλ κε ηελ θάζεηε ζηε δηεπαθή ηόηε 90, 90 Αθνύ E 3 θαη E n t Et 9 tn E 3 n E n 4 θαη E t Et 9 Et 9 tn E 4 n (γ) Οη ππθλόηεηεο ελέξγεηαο δίδνληαη από w w E E μj m x E E 4 μj m x (δ) ην θέληξν ηνπ θύβνπ (3, 4, -5) 5 0 πνπ ζεκαίλεη νηη ν θύβνο είλαη ζην πιηθό ηεο πεξηνρήο x 4, 3 y 5, 6 4 W E w E dv w E x y3 6 dxdyd w E μj 4776 mj 3

32 Ηλεκηποζηαηικά πποβλήμαηα οπιακών ζςνθηκών (Electrosttic Boundry lue problems) ε απηό ην θεθάιαην ζα αζρνιεζνύκε κε πξαθηηθά ειεθηξνζηαηηθά πξνβιήκαηα όπνπ νη ειεθηξνζηαηηθνί όξνη (θνξηίν, δπλακηθό) είλαη γλσζηνί κόλν ζε θάπνηα όξηα (boundries) θαη εκείο επηζπκνύκε λα βξνύκε ην Ε θαη ην ζε όιε ηε πεξηνρή. Έηζη είδνπο πξνβιήκαηα ζπλήζσο ιύλνληαη ρξεζηκνπνηώληαο ηηο εμηζώζεηο ηνπ Πνπαζόλ (Poisson s Eqution) θαη ηνπ Λαπιάο (Lplce s Eqution) ή κε ηε κέζνδν ησλ εηδώισλ (method of imges) θαη ζπλήζσο αλαθέξνληαη σο πξνβιήκαηα νξηαθώλ ζπλζεθώλ (boundry vlue problems) Εξιζώζειρ ηος Ποςαζόν και ηος Λαπλάρ (Poisson s nd Lplce s Equtions) Οη εμηζώζεηο ηνπ Πνπαζόλ θαη ηνπ Λαπιάο εύθνια κπνξνύλ λα εμαρζνύλ (derived) από ην λόκν ηνπ Γθάνπο (Guss s lw) θαη. D. E v E Υξεζηκνπνηώληαο ηηο πην πάλσ εμηζώζεηο.( ) v όπνπ ηζρύεη γηα έλα κε νκνγελέο κέζν. Γηα έλα νκνγελέο κέζν v όπνπ νλνκάδεηαη εμίζσζε ηνπ Πνπαζόλ (Poisson s eqution). Μία εηδηθή πεξίπησζε ηεο πξνεγνύκελεο εμίζσζεο είλαη όηαλ ξ λ =0 (πεξηνρή ρσξίο θνξηίν). Η πξνεγνύκελε εμίζσζε ηόηε γίλεηαη 3

33 0 όπνπ νλνκάδεηαη εμίζσζε ηνπ Λαπιάο (Lplce s eqution). Η εμίζσζε ηνπ Λαπιάο (Lplce s eqution) ζε θαξηεζηαλέο, θπιηλδξηθέο θαη ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο είλαη ε αθόινπζε: x y 0 θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο 0 θπιηλδξηθέο ζπληεηαγκέλεο r sin 0 r r r r sin r sin ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο. Γηα ηελ εμίζσζε ηνπ Πνπαζόλ (Poisson s eqution) απιά αληηθαζηζηνύκε ην 0 ζηε δεμηά κεξηά ηεο θάζε εμίζσζεο κε ξ λ /ε. Η εμίζσζε ηνπ Λαπιάο είλαη πνιύ ζεκαληηθή ζηε ιύζε πξνβιεκάησλ κε αγσγνύο πνπ έρνπλ δηαθνξά δπλακηθνύ (different potentil). Παξαδείγκαηα απηώλ ησλ πξνβιεκάησλ είλαη νη ππθλσηέο. ημείωζη: Αλ ε ιύζε ηεο εμίζσζεο ηνπ Λαπιάο ηθαλνπνηεί δεδνκέλν ζύλνιν νξηαθώλ ζπλζεθώλ (boundry conditions), ηόηε απηή είλαη ε κνλαδηθή δπλαηή ιύζε (Θεώξεκα ηεο κνλαδηθόηεηαο). Σα ηξία ζεκεία πην θάησ πεξηγξάθνπλ κνλαδηθά έλα πξόβιεκα νξηαθώλ ζπλζεθώλ (boundry- vlue problem) είλαη:. Η θαηάιιειε δηαθνξηθή εμίζσζε. Η ζσζηή πεξηνρή ιύζεο 3. Οη θαζνξηζκέλεο ζπλζήθεο νξίσλ (boundry conditions). 33

34 Γενική διαδικαζία για λύζη εξίζωζηρ Ποςαζόν ή Λαπλάρ (Generl procedure for solving Poisson s/lplce s equtions). Λύλνπκε ηελ εμίζσζε ηνπ Λαπιάο ή ηνπ Πνπαζόλ ρξεζηκνπνηώληαο νινθιήξσκα απεπζείαο αλ ην είλαη ζπλάξηεζε κίαο κεηαβιεηήο, είηε νινθιήξσκα κε δηαρσξηζκό κεηαβιεηώλ αλ ην είλαη ζπλάξηεζε κε πην πνιιέο από κία κεηαβιεηέο.. Υξεζηκνπνηνύκε ηηο ζπλζήθεο ησλ νξίσλ (boundry conditions) γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ κνλαδηθή ιύζε ηνπ. 3. Έρνληαο ππνινγίζεη ην βξίζθνπκε ην Ε ρξεζηκνπνηώληαο E θαη ην D από ην D=εE. 4. Αλ ζέινπκε κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην θνξηίν Q ρξεζηκνπνηώληαο ην Q ds όπνπ ην ξ s =D n θαη D n είλαη ε s θάζεηε ζπληζηώζα ηνπ D ζηνλ αγσγό. Αλ ρξεηαζηεί ε ρσξεηηθόηεηα (cpcitnce) κεηαμύ δύν αγσγώλ κπνξεί λα βξεζεί κε ηελ εμίζσζε C=Q/. 34

35 Παπάδειγμα.8 ε πιηθά κεηαθνξάο ξεύκαηνο πςειήο ηάζεο ελεξγεηαθνύ εμνπιηζκνύ πξέπεη λα ρακειώζνπκε ηελ ζεξκνθξαζία γηα λα απνβάινπκε ηελ ζεξκόηεηα πνπ εκθαλίδεηαη ιόγσ ησλ Χκηθώλ απσιεηώλ (Ohmic losses). Σα κέζα άληιεζεο ηεο ζεξκόηεηαο είλαη βαζηζκέλα ζηε δύλακε ε νπνία κεηαδίδεηαη ζην πγξό (γηα ςύμε) κέζσ θνξηίσλ ζε ειεθηξηθά πεδία. Η ειεθηξνϋδξνδπλακηθή αληιία (electrohydrodynmic pump) θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Η πεξηνρή κεηαμύ ησλ ειεθηξνδίσλ πεξηέρεη νκνγελέο θνξηίν ξ ν όπνπ δεκηνπξγείηαη ζην αξηζηεξό ειεθηξόδην θαη θαηαιήγεη ζην δεμί ειεθηξόδην. Να ππνινγίζεηε ηελ πίεζε ηεο αληιίαο αλ ξ ν =5 mc/m 3 o = k. (sd 6. p7) 35

36 36

37 37 Παπάδειγμα.9 Να βξείηε ηηο δηαρσξηζκέλεο δηαθνξηθέο εμηζώζεηο (seprted differentil equtions) γηα ηε δηαλνκή ηνπ δπλακηθνύ (potentil distribution) (ξ,θ,) ζε κηα πεξηνρή ρσξίο θνξηίν. (sd 6.7 p47) Υσξίο θνξηίν 0 Α Αο νξίζνπκε ) ( ) ( ) (,, Z Β Όπνπ, θαη Z είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ, θαη αληίζηνηρα. Αληηθαζηζηνύκε ηελ Β ζηελ Α θαη παίξλνπκε 0 Z Z Z Γηαηξνύκε δηα Z Z Z Σν δεμί κέξνο είλαη ζπλάξηεζε κόλν ηνπ θαη ην αξηζηεξό κόλν ηνπ θαη. Γηα λα ηζνύληαη ηα δπν κέξε πξέπεη λα ηζνύληαη κε κηα ζηαζεξά Z Z Z Z ή 0 Z Z θαη 0 ή 0 θαη 0 Απηέο είλαη νη δηαρσξηζκέλεο εμηζώζεηο: Λύζεηο ηεο κνξθήο: c c Z cosh sinh ) ( cos sin ) ( 4 c 3 c Η ιύζε ηεο είλαη πην δύζθνιεο κνξθήο (Bessel s Eqution)

38 Ανηίζηαζη και σωπηηικόηηηα (esistnce nd cpcitnce) ε πξνεγνύκελν κέξνο νξίζακε ηελ αληίζηαζε ελόο αγσγνύ κε νκνηόκνξθε δηαηνκή (cross section). Αλ ε δηαηνκή (cross section) δελ είλαη νκνηόκνξθε ηόηε κπνξνύκε λα βξνύκε ηελ αληίζηαζε από ηελ πην θάησ εμίζσζε: I E. dl E. ds Σν πξόβιεκα ηνπ λα βξνύκε ηελ αληίζηαζε ελόο αγσγνύ κε κε νκνηόκνξθε δηαηνκή (cross section) κπνξνύκε λα ην αληηκεησπίζνπκε σο πξόβιεκα νξηαθώλ ζπλζεθώλ (boundry-vlue problem). Υξεζηκνπνηώληαο ηε πην πάλσ εμίζσζε, ε αληίζηαζε ελόο αγσγνύ κπνξεί λα βξεζεί κε ηα πην θάησ βήκαηα:. Γηαιέμηε ην απαξαίηεην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Τπνζέζεηε όηη ην o είλαη ε δηαθνξά δπλακηθνύ κεηαμύ ησλ ηεξκαηηθώλ αγσγώλ (conductor terminls) 3. Λύζεηε ηελ εμίζσζε ηνπ Λαπιάο 0 γηα λα βξείηε ην. Μεηά ππνινγίζηε ην Ε από 4. Σέινο ππνινγίζηε ην από = o /I E θαη ην Ι από I E. ds 38

39 Γηα λα έρνπκε έλα ππθλσηή πξέπεη λα έρνπκε δύν ή πεξηζζόηεξνπο αγσγνύο κε ίζν αιιά αληίζεην θνξηίν. Απηό πξνϋπνζέηεη όηη όιεο νη γξακκέο ξνήο (flux lines) πνπ θεύγνπλ από ηνλ έλα αγσγό θαηαιήγνπλ ζηελ επηθάλεηα ηνπ άιινπ. Οη αγσγνί ζπλήζσο νλνκάδνληαη κεηαιιηθέο πιάθεο ηνπ ππθλσηή (metl pltes). Αλ δνύκε ην πην θάησ ζρήκα θαη μέξνπκε όηη νη δύν αγσγνί έρνπλ δηαθνξά δπλακηθνύ όπνπ = - = σο C Q E. d l ηόηε νξίδνπκε ηε ρσξεηηθόηεηα C E. ds E. dl Υξεζηκνπνηώληαο ηε πην πάλσ εμίζσζε, ην C νπνηνλδήπνηε δύν αγσγώλ κπνξεί λα βξεζεί κε έλα από ηνπο πην θάησ ηξόπνπο:. Θεσξώληαο όηη μέξνπκε ην Q θαη ππνινγίδνληαο ην ζε ζπλάξηεζε ηνπ Q (ρξεζηκνπνηώληαο ην λόκν ηνπ Guss). Θεσξώληαο όηη μέξνπκε ην θαη ππνινγίδνληαο ην Q ζε ζπλάξηεζε ηνπ (ιύλνληαο ηελ εμίζσζε ηνπ Λαπιάο). 39

40 Δκείο ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε πξώηε κέζνδν ε νπνία πεξηιακβάλεη ηα αθόινπζα βήκαηα:. Γηαιέγνπκε ην θαηάιιειν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Οη δπν κεηαιιηθέο πιάθεο ζα έρνπλ θνξηία +Q θαη Q 3. Τπνινγίδνπκε ην Ε ρξεζηκνπνηώληαο ην λόκν ηνπ Κνπιόκπ ή ην λόκν ηνπ Γθάνπο θαη κεηά βξίζθνπκε ην από =- E. dl 4. Σέινο ππνινγίδνπκε ην C από C=Q/ Πςκνωηήρ με παπάλληλερ μεηαλλικέρ πλάκερ (Prllel plte cpcitor) Αο ζεσξήζνπκε όηη έρνπκε ην ππθλσηή ηνπ πην πάλσ ζρήκαηνο. Κάζε πιάθα έρεη εκβαδόλ S θαη ρσξίδνληαη από απόζηαζε d. Θεσξνύκε όηη νη πιάθεο έρνπλ θνξηία +Q θαη Q. Σόηε ε ρσξεηηθόηεηα C είλαη C Q S d 40

41 Δπίζεο ε ελέξγεηα πνπ απνζεθεύεηαη ζε έλα ππθλσηή είλαη W Q C Q E C Ομοαξονικόρ πςκνωηήρ (coxil cpcitor) Όπσο θαίλεηαη ζην πην πάλσ ζρήκα ππάξρεη έλαο νκναμνληθόο ππθλσηήο κε ηνπο δύν νκναμνληθνύο αγσγνύο λα έρνπλ κήθνο L, κε εζσηεξηθή αθηίλα α θαη εμσηεξηθή b. Η πεξηνρή κεηαμύ ησλ δύν αγσγώλ είλαη γεκάηε κε έλα δηειεθηξηθό (dielectric) πιηθό κε επηηξεπηόηεηα (permittivity) ε. Αλ ππνζέζνπκε όηη νη δύν αγσγνί έρνπλ θνξηία +Q θαη Q, κε ηελ εθαξκνγή ηνπ λόκνπ ηνπ Γθάνπο κπνξνύκε λα πνύκε όηη Q Ε. ds E L Q E ρ. L Δπίζεο E.dl Q L ln b 4

42 Υξεζηκνπνηώληαο ηηο πην πάλσ εμηζώζεηο θαη ην όηη C=Q/ έρνπκε C Q L b ln θαιπικόρ πςκνωηήρ (sphericl cpcitor) Αύηε είλαη κηα πεξίπησζε δπν νκόθεληξσλ αγσγώλ όπσο θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Η εζσηεξηθή ζθαίξα έρεη αθηίλα α θαη ε εμσηεξηθή b δηαρσξηζκέλεο από δηειεθηξηθό πιηθό επηηξεπηόηεηαο ε. Τπνζέηνπκε όηη ππάξρνπλ θνξηία +Q θαη Q. Mε ηελ εθαξκνγή ηνπ λόκνπ ηνπ Γθάνπο κπνξνύκε λα πνύκε όηη Q Q E r θαη 4r 4 b Από ηηο πην πάλσ εμηζώζεηο θαη ην όηη C=Q/ κπνξνύκε λα πνύκε όηη C Q 4 b 4

43 Παπάδειγμα.0 Έλα νκναμνληθό θαιώδην πεξηέρεη έλα κνλσηηθό πιηθό αγσγηκόηεηαο ζ. Αλ ε αθηίλα ηνπ θεληξηθνύ ζύξκαηνο είλαη α θαη ηνπ επηθαιππηηθνύ b, λα απνδείμεηε όηη ε αγσγηκόηεηα G (G=/) (conductnce G) ηνπ θαισδίνπ αλά κνλάδα κήθνπο (per unit length) είλαη G b (sd 6.9 p60) ln 43