v r r Tingimused/definitsioonid Vektori(te) vektorites koordinaatides v v = mittekollineaarsete vektorite korral

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "v r r Tingimused/definitsioonid Vektori(te) vektorites koordinaatides v v = mittekollineaarsete vektorite korral"

Κωνσταντίνος Αντωνόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 VII kuu VEKTOR RUUMIS Veko on uunaga lõik Vekoi koodinaadid i j k ), ku i ), j ) ja k ) on ühikekoid aaal -, - ja -eljel Vekoi koodinaadi näiaad ekoi lõpppunki koodinaae, kui eko on akendaud koodinaaide algupunki Kokkuõe ekoiega ehaae ehee: pikku ) u ) w ) Tingimued/definiioonid Vekoie) ekoie koodinaaide umma ja ahe ± u u ± ± ± ± ) kouamine auga k k k k k ) kollineaau amaihiliu) kalaakoui //u ku k u u co ϕ u iei u u aheline nuk komplanaau amaihiliu) co ϕ u u miekollineaaee ekoie koal coϕ w p qu Näide On anud ekoid a ) ja b ) a) Leiame jägmie ekoie koodinaadid: ) umma eko w a b -) -) --)) -) ) ahe eko a b -) - -) -----)) --9) ) eko a,b -) -,-)-) - -,) -,) b) Konollime, ka ekoid a ja b on kollineaaed: Vau:ei ole kollineaaed c) Leiame ekoie a ja b kalaakouie: a * b -) *-) -* * *-)) d) Konollime, ka ekoid a ja b on iuad: Vau: kuna ekoie a ja b kalaakoui -) ei õdu nulliga, ii ekoid ei ole ii e) Leiame ekoie a ja b pikkued: Ele Vu

2 Ele Vu, ) a ja, 9 ) b f) Leiame ekoie a ja b ahelie nuga:,89 9 * * * co b a b a ϕ ja φ ` g) Konollime, ka ekoid a, b ja c --) on komplanaaed: 8-8 Vau: kuna deeminan õdub -ga, ii ekoid a, b ja c on komplanaaed Veendu, e ekoid a ja c on kollineaaed SIRGE VÕRRAND RUUMIS Punkiga A : ) ja ihiekoiga ) määaud ige õand: Kahe punkiga A : ) ja B : ) määaud ige õand:, ku ige ihieko ) Nuk kahe ige ahel: * * co ϕ Näide Kooame ige õandi ja kijeldame ige aendi koodinaaeljeiku, kui ) ige läbib punki A-) ja on ekoi -) ihi: E ige ihiekoi kolma koodinaa on, ii ihieko on -aandi ihi ja ii -eljega ja ka ige on ii paalleelne -aandiga ja ii -eljega Vau: ige õand on ja ige on ii -eljega ) ige läbib punki A) ja on paalleelne -eljega: E ige peab olema paalleelne -eljega, ii obib ema ihiekoik -elje ühikeko j ) ja ige õand on ii Vau: -eljega paalleelne ige õand on ) ige läbib kahe punki A-) ja B--): 8 ) )

3 Ele Vu E ige hiekoi -8) koodinaaide ainul eimene koodinaa on - eine, ii ihieko on -elje ihiline ja ii -aandiga ja ka ige on ii - eljega paalleelne ja ii -aandiga Vau: ige õand on 8 ja ige on paalleelne -eljega SIRGETE VASTASTIKUSED ASENDID RUUMIS Sige : ) ), A, ku ige : ) ), B, ku Tingimued Aend ekoie koodinaaide Ühiad iged: // AB ja AB // // Paalleeled iged: // ja ei ole kollineaaed AB -ga ähemal ük õdue ei kehi: Lõikuad iged: { } L I ei ole kollin -ga AB, ja on komplanaaed ähemal ük õdue ei kehi: De Kiiiged: _ AB, ja ei ole komplanaaed De Kahe ige iei : * Näide Teeme kindlak, kuida aub ige : jägneae igee uhe: ) : 7 8 Kijuame igee õandie põhjal älja igee ihiekoid -) ja 8--) ning punkid A-) ja B-7) Konollime emal, ka ihiekoid ja on kollineaaed: 8

4 Ele Vu Kuna kõik kolm uhe on omaahel õded ääuega -,), ii ihiekoid on kollineaaed Edai uleb älja elgiada, ka iged on paalleeled õi ühiad Sellek auame ekoi AB koodinaadid AB --7-) -77) ja konollime AB kollineaau ihiekoiega 7 7 Viimae jäeldub, e AB ei ole kollineaane ja eega ka -ga Vau: iged ja on paalleeled ) : Sige ihieko on --) ja punk B-) Sigee ihiekoid ja ei ole kollineaaed, e Edai elgiame, ka iged on lõikuad õi on nad kiiiged Sellek auame ekoi AB koodinaadid AB -) ja konollime ekoie, ja AB komplanaau: See deeminan on õdne -ga aua ie ja eendu elle) ning eeõu on nimeaud ekoid komplanaaed ja iged lõikuad Leiame eel igee : ja : lõikepunki L koodinaadid Sellek lahendame õandiüeemi Emal leiame lõikepunki kak eime koodinaai ja lahendame jägmie õandiüeemi Kauade liimiõe aame õandi -, mille ja eimee õandi -*, Kolmanda koodinaadi aame käe näiek õandi kahe iimae uhe, aendade -i -ga: Seega lõikepunkik ouu eimee ige punk A L-) Konollime, ka ee punk L-) kuulub ka igele : Näeme, e kõik õdued kehiad ja punk L aeeb õepoole igel Leiame eel igee ahelie nuga Sellek auame nuga nende igee ihiekoie

5 -) ja --) ahel kauade ekoie kalaakouie definiiooni: * * * ) * ) coϕ coϕ,8 * ) * ) ) * mille φ 7 ` E igee aheli nuka on defineeiud eanugana, ii igee aheline nuk α 8-7 ` ` NB! Analoogel aab leida nuka ka kiiigee ahel Vau: iged ja lõikuad ja lõikepunk on L-) ning nuk igee ahel on ` Ele Vu TASANDI VÕRRAND Taandi üldõand: ABCD, ku aandi nomaaleko n A B C) Nomaalekoi n A B C) ja punkiga A : ) määaud aandi õand: A ) B ) C ) Kolme punkiga A : ), B : ) ja C ) määaud aandi õand:, mi on kolme ekoi AP, AB, AC komplanaaue ingimu Näide Leiame aandi õandi, kui ) aand läbib punki A-) ja nomaaleko n ) - ) ) - - ), mille aame üldõandi - 8 Vau: - 8 ) aand läbib koodinaaide algupunki O) ja nomaaleko on n ) - ) - ) - - ), mille üldõand on - Vau: - Ka panid ähele, e kui aandi õandi puudub abaliige, ii aand läbib - punki ) aand läbib punki A-) ja on paalleelne -eljega E aand on paalleelne -eljega, ii obiad elle aandi nomaalekoik kõik ekoid, mi on ii -eljega Sellied ekoid on kõik -aandi ihi Seega ellieid aandeid on lõpmaa palju Kui alida ük -eljega iu eko näiek n ), ii aandi õand on - ) ) - - ), mille - Vau: ük aandie on - Ka panid ähele, e kui aandi õandi undmaue, ja, puudub ük näie ), ii aand on paalleelne aaa näie -) eljega ja ama ka ii ühega koodinaaaandie näie -aandiga) ) aand läbib punki A-) ja on ii -eljega E aand peab olema ii -eljega, ii obib aandi nomaalekoik -elje ühikeko k ) ja aandi õand on - ) ) - ) ja - Vau: - Ka panid ähele, e kui aandi õandi on undmaue, ja, ainul ük näie ), ii aand on ii aaa näie -) eljega ja ama ka paalleelne ühega koodinaaaandie näie -aandiga) ) aand on -koodinaaaand

6 Sellie aandi nomaalekoik obib -elje ühikeko j ) ja aandi punkik koodinaaide algupunk O) Taandi õand on Vau: Ka panid ähele, e koodinaaaandie õandid on, ja ja kõik punkid, ku ük koodinaaide on, paiknead koodinaaaandiel Kokkuõe aand on paalleelne nende koodinaaelgedega, mille ähi ük muuujae, ja ) aandi õandi puudub KAHE TASANDI VASTASTIKUSED ASENDID α : A B C D, α : A B C D, ku n A B C ) ku n A B C ) A B C D Kahe aandi paalleelu: A B C D A B C D Kahe aandi ühimine:, A B C D ku kolm eime uhe ähendaad nomaalekoie kollineaau n // n Taandid lõikuad, kui nomaalekoid on miekollineaaed A B C ähemal ük õdue ei kehi: A B C Kahe aandi iei: n n n * n A A BB CC n * n Nuk kahe aandi ahel: coϕ n * n Nuk ige ja aandi ahel: in ϕ n * n * Sige : A ),,, ) SIRGE JA TASANDI VASTASTIKUSED ASENDID, ku aand α: ABCD, ku n A B C) Tingimued Aend ekoie koodinaaide Sige aeeb aandil: α AB n Punk A kuulub aandile α: A α ABC A B C D Ele Vu

7 n AB ei ole ii n ABC Sige on paalleelne aandiga: // α Punk A ei kuulu aandile α: A α A B C D ei ole ii n -ga ABC Sige lõikub aandiga: I α { L} Sige ja aandi iei α: // n A B C Näide Teeme kindlak, kuida aub ige :, ku ige ihieko -) ja ige punk A-), aandi α uhe, kui ) α: Taandi õandi kijuame älja aandi nomaalekoi n ) Konollime, ka ige ihieko ja aandi nomaalekoid iuad Sellek auame nende ekoie kalaakouie * n -* * * - Kuna kalaakoui ei õdu -ga, ii ekoid ei iu ja ige lõikub aandiga Vau: ige lõikub aandiga Leiame ige lõikepunki aandiga: Eimee õandi aaldame -i ja ka -i -i kaudu ja Teeme aendued eie õandie: ) - ), mille, ja ii -*, -, ning *, Vau: lõkepunk L-,, ) n Leiame ige ja aandi ahelie nuga: ellek leiame ekoie ja ahelie nuga äiendunuga: * n in ϕ inϕ,7 * n * * mille φ ` Vau: φ ` ) α: - Taandi nomaaleko n ) on ii ige ihiekoiga -) e ekoie kalaakoui õdub -ga Edai uleb konollida, ka ige punk A-) kuulub aandile õi mie: ***-)- -, eega ei kuulu Jäelikul ige aandil olla ei aa ja eeõu on a paalleelne aandiga Vau: ige on paalleelne aandiga Ele Vu

8 VII kuu NÄIDISTÖÖ n: Veko, ige ja aand uumi Auada ) ekoie a ja b kalaakoui ja ouada, ka ekoid on ii ) ekoi a, b koodinaadid, kui a ) ja b ) Ka ekoid a, b ja on komplanaaed? Mik? Vau: ), on ii kahe eimee kaudu ) -,) onkomplanaaed, e iimane eko aaldub Kooada õand igele, mi läbib punki A- 7) ja on paalleelne igega 7 Vau: Kooada aandi õand, mi läbib punki A 8 -) ja mille nomaaleko n - ) Kuida paikneb ee aand koodinaaeljeiku uhe? Vau: - -, paalleelne -eljega ja ama ii -koodinaaaandiga Määaa igee ja aaikune aend : : 8 Vau: // Auada ige ja aandi α ) aheline nuk ϕ ) lõikepunki L koodinaadid, kui : α : - 8 Vau: ) ϕ ` ) L-) RE üleanne Ele Vu

Σχετικά έγγραφα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on