; y ) vektori lõpppunkt, siis

Transcript

1 III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: Vektoite lahutamine: Tehted vektoitega : Vekto on suunaga lõik. *X ja Y loetakse vektoi v ( X ; Y ) koodinaatideks, kui v Xi + Yj, kus i v (;0 ) ja j (0; ) on ühikvektoid vastavalt x- ja y-teljel. Kui A x ; y ) on vektoi alguspunkt ja B x ; y ) vektoi lõpppunkt, siis ( ( AB ( x x; y y) Vektoi koodinaatide leidmiseks tuleb lõpp-punkti koodinaatidest lahutada alguspunkti vastavad koodinaadid. Vektoi pikkus v X + Y Vektoi pikkus on uutjuu vektoi koodinaatide uutude summast. Näide. Vektoi AB otspunktide koodinaadid on A(;-) ja L(4;) (vaata joonist). Leiame vektoi koodinaadid ja avutame vektoi pikkuse. AB ( 4 ; ( )) (;3) ja pikkus AB , 6 Vastus: AB (;3) ja AB 3, 6 Samal joonisel on veel teinegi vekto v, mille koodinaadid on samuti ja 3 (veendu selles, kui lahutad lõpp-punkti (;3) koodinaatidest alguspunkti (0;0) vastavad koodinaadid). Ühesuguste koodinaatidega vektoeid nimetatakse võdseteks vektoiteks. Pane tähele! Vektoi koodinaadid langevad kokku vektoi lõpp-punkti koodinaatidega, kui vektoi alguspunkt on koodinaatide alguspunktis (0;0). Mäkus: vektoi koodinaate saab leida ka nii (vaata ülemist joonist): et jõuda vektoi alguspunktist vektoi lõpp-punkti tuleb vektoi alguspunktist liikuda ühikut paemale (vektoi esimene koodinaat) ja seejäel 3 ühikut ülesse (vektoi teine koodinaat). Koodinaadi mäk tuleneb koodinaattelgede suunast. Ülesanne. On antud vektoi alguspunkt A ja lõpp-punkt B. Leida vektoi AB koodinaadid ja pikkus. ) A(;4) ja B(5;8) 6) A(;5) ja B(;7) ) A(;4) ja B(-5;8) 7) A(-;0) ja B(0;7) 3) A(;4) ja B(-5;-8) 8) A(0;0) ja B(4;-7) 4) A(-;4) ja B(5;8) 9) A(4;-3) ja B(0;0) 5) A(;-4) ja B(5;-8) 0) A(-;5) ja B(0;-7)

2 Vastused: ) AB (3;4) ja AB 5 3) AB (-7;-) ja AB 93 3, 9 5) AB (3;-4) ja AB 5 7) AB (;7) ja AB 53 7, 8 9) AB (-4;3) ja AB 5. Ülesanne. Leida vektoi AB (3;5) alguspunkti A koodinaadid, kui vektoi lõpp-punkti B koodinaadid on ) (;9) ) (-;7) 3) (0;-6) 4) (5;0) 5) (-;-) Vastused: ) A(-;4) 3) A(-3;-) Ülesanne 3. Leida vektoi AB (3;5) lõpp-punkti B koodinaadid, kui vektoi alguspunkti A koodinaadid on ) (;9) ) (-;7) 3) (0;-6) 4) (5;0) 5) (-;-) Vastused: ) B(4;4) 3) B(3;-) Mäkus: ülesandes antud koodinaate on tavis kas vastavalt liita või lahutada. Ülesandes tuleb lõpp-punkti koodinaatidest lahutada vektoi koodinaadid. Kontolli alati, kas vektoi koodinaadid tulevad tagasi lõpp-punkti koodinaatidest lahutades vastavalt alguspunkti koodinaadid. Ülesanne 4. Missuguse paameeti p koal on vektoid võdsed? ) a ( ; p) ja b ( ;9) ) k ( ;4 p) ja l ( p; 4) 3) u ( 8; p+ ) ja v (8;) Vastused: ) p 9 3) p Ülesanne 5. Leidke joonisel kujutatud vektoite koodinaadid ja pikkused. Vastused: ) AB (3;) ja AB 3, ) CD (0;) ja CD 3) EF (-3;-) ja EF 3, 4) GH (4;3) ja GH 5 Vektoi koutamine avuga k v ( kx ; ky ) Vektoi koutamisel avuga tuleb vektoi koodinaadid koutada selle avuga. Koutamine mingi avuga muudab vektoi pikkuse selle avu absoluutväätuse kodseks. Koutamine negatiivse avuga muudab vektoi suuna vastupidiseks. Kui AB v, siis vastandvekto BA v ( X ; Y ) Vektoi ja selle vastandvektoi koodinaadid on teineteise vastandavud. Samasihilisi vektoeid nimetatakse kollineaaseteks (vt. joonist). Kui u ( X ; Y ) ja v ( X ; Y ), siis X Y Kollineaasete vektoite tunnus: v IIu v ku k X Y Kollineaasete vektoite vastavate koodinaatide suhted on võdsed.

3 3 Ülesanne 6. Vekto v (;4 ). ) 5 v ) -5 v 3) 0,5 v 4) 0 v Vastused: ) 5 v (5;0) ja pikkus Ülesanne 7. Leida vastandvekto. 45 0, 6 3) (0,5;) ja 4,5, ) v (-;9) ) s (;) 3) AB (-3;-) 4) 0 Vastused: ) - v (;-9) 3) BA (3;) Ülesanne 8. Leida ül.5 jooniselt ) võdsed vektoid ) vastandvektoid 3) kollineaased vektoid Vastused: ) ST OP ) AB EF 3) ST // OP, AB // EF, CD // IJ, GR // KL Ülesanne 9. Kas vektoid on kollineaased? k Põhjenda! ) a (;6) ja b (6;)) ) u (-;0) ja v (;-5) 3) s (-4;0) ja t (;0) 4) n (;-3) ja m (4;) Vastused: ) ei, sest 3) ja, sest võdust 6 0 loetakse tõeseks. Ülesanne 0. Missuguse paameeti p koal on antud vektoid kollineaased? ) a (;6) ja b (6;p) ) u (p;-) ja v (-0;-5) 3) s (p;-4) ja t (-9;p) 4) n (-8;p) ja m (;3) Vastused: ) p 8 3) p ± 6 Leida jägmised vektoid ja nende pikkused Kui u ( X ; Y ) ja v ( X ; Y ), siis vektoite summa (vahe) u± v X ± X ; Y ± vektoite skalaakoutis uv u v cosϕ, u v X X + Y Y, kus ϕ on nuk vektoite vahel. uv XX + YY nuk vektoite vahel cos ϕ u v Ristuvate vektoite tunnus u X + Y X + Y v uv 0. Ristuvate vektoite skalaakoutis on null. Näide. ( Y ) Kui u (;0) ja v ( ; ) (vt joonist), siis ) vektoite pikkused u + 0 ja v + ( )

4 4 ) vektoite u (;0) ja v ( ; ) summa vekto u+ v ( ;0) + (; ) (+ ;0 + ( )) (3; ) 3) vektoite u (;0) ja v ( ; ) vahe vekto u v ( ;0) (; ) ( ;0 ( )) (;) 4),5 kodne u (;0) vekto,5u,5(;0) (,5* ;,5* 0) (3;0) -3 kodne v ( ; ) vekto 3v 3(; ) ( 3*; 3* ( )) ( 3;3) 5) vektoid v ( ; ) ja 3v ( 3;3) on kollineaased, sest 3 3 6) vekto,5u 3v,5(;0) 3(; ) (3;0) (3; 3) (0;3) 7) vektoite u (;0) ja v ( ; ) skalaakoutis u v *+ 0 * ( ) + 0 8) vektoite u jav 0 vaheline nuk cos ϕ siit ϕ 45 * 9) vektoid,5u ja,5u 3v on istuvad, sest,5u (,5u 3v ) (3;0)(0;3)3*0+0*30 Ülesanne. Leida vektoite summa ja vahe. ) a (;6) ja b (6;) 3) s (-4;0) ja t (;0) ) u (-;0) ja v (;-5) 4) n (;-3) ja m (4;) Vastused: ) a+ b (8;8) ja a b (-4;4) 3) s+ t (-;0) ja s t (-6;0) Ülesanne. Leida vektoite u ja v skalaakoutis. ) u, v 6 ja φ 60 o π 3) u 4, v 5 ja φ 3 ) u, v 3 ja φ 50 o 4) u 0, v 7 ja φ 90 o Vastused: ) u v *6*cos60 o 6 3) u v -0 Ülesanne 3. Leida skalaakoutis ja vektoite vaheline nuk. ) a (;6) ja b (6;) 3) s (-4;0) ja t (;0) ) u (-;0) ja v (;-5) 4) n (;-3) ja m (4;) Vastus: ) a b 4 ja φ 53 o 8` 3) s t -8 ja φ 80 o Ülesanne 4. Millise p väätuse koal on vektoid isti? ) a (;6) ja b (6;p) 3) s (p;-4) ja t (-9;p) ) u (p;-) ja v (-0;-5) 4) n (-8;p) ja m (;3) Vastused: ) *6 + 6*p 0 p - 3) p 0 Näide 3. Kolmnuga tipud on A(;), B(-;0) ja C(3;-). Avutame selle kolmnuga ümbemõõdu, suuima nuga ja pindala. Leiame esmalt kolmnuga külgedega määatud vektoite koodinaadid ja seejäel vektoite pikkused, mis ongi kolmnuga külgede pikkusteks. AB ( ; ) AC (; 3) BC (4; ) AB AC BC ( ) ( ) 3 3,6 7 4, 8,8

5 5 Ümbemõõt P ,5 Kolmnuga suuim nuk asub kolmnuga k pikima külje vastas, seega leiame nuga A vektoite AB ja AC vahel: AC * AB * + ( ) * ( 3) cosα 0,96, AC * AB 8 * 3 8*3 millest α 78 4`. Leiame nüüd kolmnuga pindala: o S AB * AC *sinα * 8 * 3 *sin 78 4` 5 Vaata joonist. Vastus: P 0,8, S 5 ja α 78 4`. III kusus NÄIDISTÖÖ n. :vekto tasandil (mittekohustuslik). Koapäases kuusnugas ABCDEF A Avalda jägmised vektoid a ja b kaudu: ) DC ) DE 3) OB 4) CF 5) OA 6) 7) FA + AB 8) AB + DE 9) AB + OC+ CB+ BA 0) FO + OB+ BD CD. Kijuta vektoi a i + 4 j koodinaadid 3. Leia joonisel kujutatud vektoite AB,CD... koodinaadid ja avuta vektoite pikkused. 4. Leia x ja y nii, et vektoid a ( x 5;8) ja b ( ; y 3 ) oleksid võdsed. 5. Antud on punktid A(3;5), B(-4;), B C(0;-) ja D(8;3). Leia ) vektoite AB, DC ja a BC koodinaadid ) vektoi s 3 AB DC koodinaadid 3) millised vektoid on kollineaased 4) vektoi BC vastandvekto BA a ja BC b. Kuusnuga keskpunkt on O. 6. Vektoi KL ( ;6) alguspunkt on K(-;4). Leia lõpp-punkti L koodinaadid. ) CE SIRGE VÕRRANDID Põhikoolis õppisime, et lineaafunktsiooni y kx + b gaafikuks on sige. Valemit y kx + b nimetatakse ka sige võandiks. Selles võandis on k sige tõus ja b algodinaat. Sige algodinaadiks nimetatakse sige ja y-telje lõikepunkti odinaadi (y-koodinaadi) väätust. Tõusuga k ja algodinaadiga b määatud sige võand: y kx + b, k tanα,kus α - tõusunuk. Sige tõusunuga tangensit nimetatakse sige tõusuks. Ülesanne. Koostada sige võand, kui on antud sige tõus k ja algodinaat b. ) k ja b -3 3) k 0 ja b ) k - ja b 4) k ja b 0 Vastused: ) y x - 3 3) y (vt. joonist)

6 6 Ülesanne. Koostada sige võand, kui on antud sige tõusunuk α ja algodinaat b. ) b ja α 35 o 3) b ja α 0 o ) b -4 ja α 60 o 4) b ja α 4 π Vastused: ) k tan35 o - ja y - x + 3) y Tõusuga k ja punktiga A(x ;y ) määatud sige võand : y - y k(x - x ) Ülesanne 3. Leida sige võand, kui on antud selle sige üks punkt A ja tõus k. ) A(-3;) ja k 0,5 3) A(0;0) ja k ) A(;-4) ja k 4 4) A(0;4) ja k 0 Vastused: ) y0,5x +,5 (vt. joonist) 3) y x Ülesanne 4. Leida sige võand punkti A ja tõusunuga α kaudu. ) A(;-3) ja α 45º ) A(3;0) ja α π/3 3) A(-;-) ja α 60 º 4) A(0;) ja α 0,5 π Vastused: ) k tan45, y x - 4 3) y 3 3 Kahe punktiga A(x ;y ) ja B(x ;y ) määatud sige võand: x x x x y y y y v *Punkti A(x ;y ) ja sihivektoiga s ( X ; Y ) määatud sige võand: x X x y y Y Sige üldvõand: ABC0 Näide. Koostame võandi sigele, mis läbib punkte A(;-7) ja B(;3) ja anname võandi üldkujul. x y ( 7) x 7 Teise valemi jägi Viimane on sige kanooniline võand, 3 ( 7) 0 kusjuues sige *sihivekto on s v AB ( ;0 ). Teisendame võandi nüüd üldkujule: x 7 0( x ) ( 7) 0 y Vastus: sige üldvõand on 0x + y -4 0 Ülesanne 5. Koostada sige võand, mis läbib punkte A ja B. ) A(-;-) ja B(;) 3) A(-3;) ja B(;)

7 7 ) A(6;) ja B(-;5) 4) A(-3;) ja B(5;-7) Vastused: ) 3 3 y 3) 4 0 (vt. joonist) Jäta meelde! Võandit y b nimetatakse x-teljega paalleelse sige võandiks. Võandit x a nimetatakse y-teljega paalleelse sige võandiks. Vastastikune asend t I t Lõikuvad { } Kahe sige t ja t vastastikused asendid tasandil. t : y k x + b Tunnus t : A B C 0 t : y k x + b t : A B C 0 L y k b A B C 0 k y k b k A B C 0 on üks lahend on üks lahend A A *Tunnus B B C C Ristuvad t t y k b y k b on üks lahend k k ja k k - A B C 0 A B C 0 on üks lahend A A * B B Paalleelsed t //t y k b y k b lahendid puuduvad Ühtivad t t y k b y k b lõpmata palju lahendeid k k ja b b k k ja b b A B C 0 A B C 0 lahendid puuduvad A B C 0 A B C 0 on lõpmata palju lahendeid A A A A B B B B C C C C Nuk sigete vahel: tanα k k + k k

8 ss *Nuk sigete vahel: cosϕ s ( B ; A ) s ( B; A ) s * s, Näide. Uuime sigete y 7 ja y x + vastastikust asendit ja võimaluse koal leiame lõikepunkti koodinaadid ning sigetevahelise nuga. y 7 Alustame lõikepunkti leidmisega. Selleks lahendame võandisüsteemi. y Kui asendame teisest võandist esimesse tundmatu y, saame x + (x + ) 7, millest 3x 6 ja x. Asendame avu teise võandisse, saame y + 3. Sellega oleme leidnud sigete ainsa lõikepunkti L(;3). Siit vastus esimesele küsimusele: siged lõikuvad. Leiame sigetevahelise nuga. Esimese sige tõusu nägemiseks teisendame selle kujule y kx + b, saame y -x + 7, millest k -. Teise sige tõus k. 3 o tanα 3 α 7 34`. + ( )* Sigete joonestamiseks leiame mõlema sige jaoks kahe punkti koodinaadid tabelites: y 7 y x + x 0 3,5 y 7 0 x 0 y Ülesanne 6. Leida sigete lõikepunktid. Teha joonis. ) y x 4 ja y x + 5 ) 3x + y ja x + y ) 3x + y ja y x 3 4) 3x + y 9 ja 5x 4y 5 5) 3x 7 y ja 5x 4y -7 6) x + y 5 ja x y 8 JOONE VÕRRAND Joone võandiks nimetatakse võandina esitatavat seost selle joone mistahes punkti koodinaatide vahel. Põhikoolis tutvusime kahe funktsiooniga, mille gaafikud olid kõvejooned: Hüpebooliks nimetatakse pöödvõdelise sõltuvuse y x a gaafikut. Paabooliks nimetatakse uutfunktsiooni y ax +bc gaafikut (vt.joonist). Ülesanne 7. Leida paabooli ja sige lõikepunktid. ) y x ja y 6 x ) y x 8 ja y x 3) y x x 3 ja y x 3 4) y -x ja 3y + x 8 5) x 3y -3 ja x + 6y 7

9 9 6) x + x 7y + 50 ja 6x 7y + 5 7) 5x + y ja 3x y 8) x y + 6 ja x y + 9) x + 3 y ja x 3y 0) 5y 8x ja 5y 5x ) x x y -4 ja 0,5x + y 5 Vastused: ) (-3;9) ja (;4) (vt. joonist) ) (-;-4) ja (3;) 3) (0;-3) ja (4;5) 4) (;) ja (,5;-5) 5) (3;4) ja (-3,5;4,75) 6) (-5;-5) ja (9;7) 7) (-;-4) ja (,4;,) 8) (-4;-0) ja (6;0) 9) (5;3) ja (;) 0) (0,4;0,8) (vt. joonist) ) (;4) ja (-0,5;5,5). Ülesanne 8. Leida hüpebooli ja sige lõikepunktid. ) xy ja y 0,5x ) xy 35 ja x + y 3) xy 65 ja x y 8 4) xy ja x + y 0 5) xy ja x + y 0 6) xy 6 ja x y 5 7) xy -30 ja x + y Vastused: ) (;0,5) ja (-;-0,5) (vt. joonist) ) (7;5) ja (5;7) 3) (3;5) ja (-5;-3) 4) (;6) ja (3;4) (vt. joonist). *Ülesanne 9. Leida paaboolide lõikepunktid. ) y x - 4 ja y -x + 5 ) y 3x + 5 ja y -x x + 8 *Ülesanne 0. Leida hüpebooli ja paabooli lõikepunktid. ) y x ja y x ) y x ja xy 8 3) Vastus: ) (;) (vt. joonist) ) (;4) Pane tähele! Mitu lõikepunkti maksimaalselt saab olla ) sigel ja paaboolil, ) sigel ja hüpeboolil, 3) hüpeboolil ja paaboolil, 4) kahel hüpeboolil. 5) kahel paaboolil? RINGJOONE VÕRRAND Ringjooneks, mille keskpunkt on K ja aadius, nimetatakse kõigi selliste punktide hulka, mis asetseb punktist K kaugusel. Keskpunktiga K(a;b) ja aadiusega määatud ingjoone võand: Võandit x + ( a) ( y b) x + ( a) ( y b) nimetatakse ingjoone kanooniliseks võandiks.

10 0 Näide 3: Koostame ingjoone võandi, mille keskpunkt on koodinaatide alguspunktis ja aadius on 5. Keskpunkt on O(0;0) ja aadius 5. Asetades andmed ingjoone võandisse saame: (x - 0) + (y - 0) 5. Siit x + y 5. Vastus: keskpunktiga koodinaatide alguspunktis ingjoone võand on x + y 5 Jäta meelde! Keskpunktiga koodinaatide alguspunktis ingjoone võand: x + y. Näide 4. Leiame ingjoone (x-) + (3) 6 keskpunkti koodinaadid ja avutame ingjoone pikkuse ja vastava ingi pindala. Ringjoone keskpunkt on K(;-3) ja aadius 6 4. Ringjoone pikkus c π C π*5 0π 3,4 ja pindala S π, S π*5 5π 78,5. Vastus: K(;-3), c 3,4, S 78,5. Näide 5. Leiame ingjoone (x - ) + y ja sige y x - lõikepunktid. ( x ) + y Selleks lahendame võandisüsteemi y x Asendades ingjoone võandis y-i (x-)-ga saame ( x ) + ( x ), millest lõikepunktide esimeste koodinaatidena tuleb kätte x ja x ja sige võandi jägi vastavalt y - 0 ja y -. Vastus: lõikepunktid on M(;0) ja N(;) (vt. joonist). Ülesanne. Koostada ingjoone võand, kui ingjoone keskpunkt K ja aadius on antud. ) K(;4) ja 3 3) K(0;-4) ja ) K(-;0) ja 5 4) K(0;0) ja 0 Ülesanne. Leida ingjoone keskpunkt, aadius, ingjoone pikkus ja ingi pindala. ) x + y *6) x +y + 4x 6y - 0 ) x + y *7) x + y x + 4y ) (x ) + y 49 *8) x + y x - 5y ) () + (y - 3) 0,36 *9) x + y 4x ) 3x + 3y 675 *0) x + y + 6x - 0y 35 6) x + (5) 44 *3) x + y + 5y - 0 7) (x 6) + (y -), *4) x + y + 6x 0 Vastused: ) K(0;0),, c π, S π 3) K(;0), 7, c 4π, S 49π. Ülesanne 3. Leida ingjoone ja sige lõikepunktid. ) x + y 3 ja x + y 5 ) x + y 9 ja x y 3 3) x + y 0 ja x + y 4) x + y 5 ja y x 5) x + y ja y 3x 6) x + y 3 ja x + y -

11 Vastused: ) ) 3) 4) (;) ja (-;-) (vt. joonist) 5) (0;-) ja (0,6;0,8) 6) (;-3) ja (-3;). *Ülesanne 4. Leida ingjoone ja hüpebooli lõikepunktid. ) x + y 08 ja xy 96 ) x + y 0 ja xy 3 3) x + y 0 ja xy -3 4) x + y 5 ja xy Vastused: ) (;8), (-;-8), (8;) ja (-8;-) 3) (;3), (-;3), (3;-) ja (-3;) (vt. joonist). *Ülesanne 5.Leida ingjoone ja paabooli lõikepunktid ) x + y 5 ja y x - 5 ) x + y 36 ja y 8x + 3 3) x + y 9 ja y + 7x Vastused: ) (0;-5), (3;4) ja (-3;4) (vt. joonist) 3) Ülesanne 6. Leida joonte lõikepunktid. ) y - x ja 3y + x 3 ) 3x - y ja x + y 0 3) x - y ja x y - 4) * x + y 7 + xy ja xy 6 5) * x - y +8 xy ja xy -5 6) * x + y (x + y) 3 ja x + y 45 Vastused: ) (-;5) ja (-,5;4,75) (vt. joonist) 4) (;-) ja (-;) 3) (0;) ja ; 3 3 *Ülesanne 7. On antud ingjoonte võandid x + y + 6x + y ja x + y 4x 0 Leida ) nende ingjoonte keskpunktide vaheline kaugus, ) neid keskpunkte läbiv sigjoone võand, 3) nende ingjoonte lõikepunktid. Vt. joonist! Pane tähele! Mitu lõikepunkti maksimaalselt saab olla ) ingjoonel ja sigel, ) ingjoonel ja hüpeboolil, 3) ingjoonel ja paaboolil, 4) kahel ingjoonel? Näide 6. Leiame ingjoone (x ) + (y + ) 5 puutuja võandi punktis (;0). Kuna puutepunkt (;0) on ka puutuja punkt, siis puutuja võandiks on ühe punkti ja tõusuga antud sige võand y - y k(x - x ). Põhikoolis õpitust teame, et puutuja on isti puutepunkti tõmmatud aadiusega. Seega on puutujaga ja aadiusega määatud siged isti. Leiame esmalt aadiusega määatud sige võandi läbi kahe punkti ( keskpunkt K ja puutepunkt P): x y 0 x y 0 y 4 y x 4 0

12 Raadiusega määatud sige tõus k. Sigete istumise tunnusest k k - saame puutuja tõusuks k k 0, 5. Puutuja võand: y 0 0,5( x ) y 0,5 (vt. joonist) Vastus: puutuja võand on y - 0,5x + Ülesanne 8. Leida ingjoonele puutuja võand puutepunktis P. Teha joonis. ) (x - ) +() 5, puutepunkt P(-;-3) ) (x + ) +(y - ) 5, puutepunkt P(-3;-) 3) x + y 0, puutepunkt P(;3) 4) x + y 5, puutepunkt P(;-) Vastused: ) y - 0,5x,5 (vt. joonist) III kusus NÄIDISTÖÖ n. : Vekto tasandil. Joone võand. Koostada sige võand, kui sige läbib punkti A(-;-4) ja ) sige tõus on -3 ) tõusunuk on 30º 3) teist punkti B(-3;-9) Ül Avutada vektoite u (;-6) ja v (-7;) ) pikkused ) skalaakoutis 3) vaheline nuk 4) vektoi s u 0,5v koodinaadid Kas vektoid u ja v on kollineaased? Põhjendada! 3. On antud kolmnuk tippudega A(3;7), B(5;) ja C(-;3). ) Leida kolnuga ümbemõõt ) Leida tipu B juues oleva kolmnuga nuga suuus 3) Avutada kolmnuga pindala Ül.8,8,363,366,367 4) Koostada sige võand, millel asub kolmnuga külg BC Ül.365 *5) Leida kolmnuga küljele BC joonestatud kõgus 4. Koostada ingjoone võand, kui keskpunkt K(5;-3) ja aadius,4. Leida antud ingjoonele punktis (6;-) puutuja võand. Teha joonis. 5. Ringjoone võand on ( x + 7) + y 49 ) Leida ingjoone keskpunkti koodinaadid ja aadius *Ül ) Avutada ingjoone pikkus ning ingi pindala 3) Leida ingjoone ja sige y -x lõikepunktid Ül RE ülesanne Vastused:. ) y -3x-7 ) y 0,6x - 3,4 3) ) 40 ; 50 ) -0 3) ` 6 o ` 34 4) (7,5;-,5) ; ei 3. ) 7, ) 58 o 44 3) 4 4) 5 6 x 5 + 3,, y -x ) K(-7;0) ja 7 ) 4 π, 49π 3) (0;0) ja (-7;7) 4. ( ) ( ) 96 Ülesannete numbid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.006