KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid."

Transcript

1 KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks 4 Vektorit võib tähistada ka väiketähega, näiteks a 5 Paralleelseid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks a 6 Samasihilised vektorid on kas samasuunalised ( a b ) või vastassuunalised ( a b ) 7 Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on a) kollineaarsed b) samasuunalised c) võrdse pikkusega ) Vektori, mille alguspunkt on (x ;y ; z ) ja lõpp-punkt (x ;y ; z ), koordinaadid leitakse valemiga x x ; y y z z ning pikkus ; x x y y z z (so ka kahe punkti vaheline kaugus d) ) Punkti koordinaadid ruumis z (ehk aplikaattelg) z (x ; y ; z ) y y (ehk ordinaattelg) x ) Vektorite a x ; y ; ) ja b x ; y ; ) liitmine või lahutamine ( z a b x x ; y y ; z ) ( z x (ehk abstsisstelg) ( z 4) Vektori korrutamine arvuga k a k x ; k y ; k ), kus k 0 ( z

2 Kui k > 0, siis Kui k < 0, siis k a on vektoriga a samasuunaline; k a on vektoriga a vastassuunaline 5) Kaks vektorit a ( x; y; z ) ja b ( x; y; z ) on kollineaarsed x y z a b x y z Näide Kontrollime, kas vektorid 6;, 8 Leiame vastavate koordinaatide suhted tulemuseks a ja b 4; ; on kollineaarsed 4 Kõik need suhted annavad 6 8 ja kuna suhted on võrdsed, siis on tegemist kollineaarsete vektoritega 6) Kahe vektori a x ; y ; ) ja b x ; y ; ) skalaarkorrutis a b a b cos, kus ( z ( z on nurk nende vektorite vahel või koordinaatides a b x x y y z z Nurk vektorite vahel cos a b a b Kahe vektori ristseisu tunnus a b a b x x y y z z 0 b on risti Leiame skalaarkorrutise (-) + + (-8) (-0,5) = 0, st vektorid on teineteisega risti 7) Vektorite liitmiseks geomeetriliselt kasutatakse a) kolmnurga reeglit; Näide Kontrollime, kas vektorid a ;, 8 ja ;; 0,5 a b a b b) või rööpküliku reeglit a a b b 8) Vektorite lahutamine geomeetriliselt a a b Näide Leiame jooniselt OC O O C O C CO O D O b C

3 JOONE VÕRRNDID SIRGE VÕRRNDEID TSNDIL y Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x- telje positiivse suuna ja sirge vahel Sirge tõusuks nimetatakse tõusunurga y y tangensit k tan x x a) Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y y kx x Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti (-;) ja tõus k = -5 Saame võrrandi y 5( x ) b) Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge algordinaat b = ja tõus k = 4 Saame võrrandi y 4x x x y y c) Kahe punktiga määratud sirge võrrand x x y y Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkte (-;) ja (-4;-) x y x y Saame võrrandi 4 x y d) Sirge võrrand telglõikudes a b Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge lõikab x-telge punktis (-4;0) ja y-telge punktis x y (0;) Saame võrrandi 4 e) x-teljega paralleelse sirge võrrand y a Näide Kirjutame x-teljega paralleelse sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti K(;-) Saame võrrandi y f) y-teljega paralleelse sirge võrrand x b Näide Kirjutame y-teljega paralleelse sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti R(-;) Saame võrrandi x g) Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand x x y y s x s y Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti (-5;4) ja sirge sihivektor on s = (;-) Saame võrrandi x 5 y 4 h) Sirge üldvõrrand x y C 0 Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui kordajad on = -4, =, C = - Saame võrrandi 4x y 0 (Ruumis saame analoogilised võrrandid lisades kolmanda koordinaadi z Näiteks saame üldvõrrandi x y Cz D 0 y y α (x ;y ) (x ;y ) x x x

4 Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem x y C 0 x y C 0 Saadud lahend ( x, y) on kahe sirge lõikepunktiks Sirgete vastastikused asendid tasandil: a) Sirged on paralleelsed, kui ; C C b) Sirged ühtivad, kui ; C C c) Sirged lõikuvad, kui Sirged on risti, kui nende tõusude korrutis k k Tõusude abil saame leida ka nurga sirgete vahel tan k k k k, kus on teravnurk antud sirgete vahel RINGJOONE VÕRRND avaldub kujul x a y b r, kus ringjoone keskpunkt on O(a; b) ja raadius r Kui ringjoone keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, siis saame võrrandi kujul x y r PROOLI VÕRRND leiad materjalid ruutfunktsiooni graafiku teema alt NÄITEÜLESNDED ) Leia vektori koordinaadid, kui tema otspunktid on (-;) ja (-5;) Leidke selle vektori pikkus Lahendus Kasutame valemeid x x ; y y z z x x y y z z ; ning Saame 5 ; 4;0 ja ( üh) ) valda rööpküliku CD diagonaalide a C ja b D kaudu vektorid, C, CD ja D Lahendus O C a O D b O O a b a b D O C 4

5 O D b, OC C a, C O OC b a a b CD b a D C a b Vastus Saime tulemuseks a b, C a b, CD b a, D a b ) Põhjenda, kas nelinurk K(-,), (;4), R(6;) ja U(-;-4) on trapets Lahendus Nelinurk on trapets, kui tal on üks paar paralleelseid vastaskülgi Kontrollime, kas KU R Kollineaarsuse tingimusest peavad vektorite koordinaadid olema võrdelised 5 KU ; 5 ja R 5; Kuna, siis vektorid kollineaarsed ei ole Kontrollime 5 4 nüüd kas K RU? K 4; ja RU 7, 6ning 7 6 Vastus Kuna nelinurgal puuduvad paralleelsed vastasküljed, siis nelinurk trapets ei ole 4) Tõesta, et vektor n = (;) on risti sirgega x + y = 4 Lahendus nname sirge võrrandile punkti ja sihivektoriga esitatud kuju x x y y, s x s y kus s x ja s y on sirge sihivektori koordinaadid ning x ja x sirgel vabalt võetud punkti koordinaadid Teisendame sirge x + y = 4 võrrandit y x valdame y = -x + 4 : Seega sirge sihivektor on s ; Kontrollime vektorite ristseisu Selleks leiame vektorite n ja s skalaarkorrutise ns ; ; 0 Kuna skalaarkorrutis on null, siis vektor n on risti ka antud sirgega x +y = 4 Vastus Vektor n risti sirgega x +y = 4 5) Lõik otspunktidega (;4) ja (-4;6) on ringjoone diameetriks Leia a) ringjoone võrrand; b) sellele ringjoonele punktis joonestatud puutuja võrrand Lahendus Ringjoone võrrand avaldub valemiga x a y b r Ringjoone keskpunktiks on lõigu keskpunkt Lõigu keskpunkti koordinaatideks on otspunktide aritmeetilised keskmised rvutame ringjoone keskpunkti koordinaadid 5

6 4 4 6 K ; K(-;5) Ringi raadiuseks võtame näiteks lõigu K Leiame punktide (; 4) ja K(-;5) vahelise kauguse K kasutades valemit d x x y y z z Saame raadiuseks r = K = ( üh) Ringjoone võrrand avaldub seega x y 5 0 Koostame nüüd raadiuse võrrandi kasutades kahe punkti vahelise sirge võrrandit x x y y x x y y Raadiuse otspunktid on (;4) ja K(-;5), koostame raadiuseks oleva sirge võrrandi x y 5 - x - = y 5 y = - x + 4 : y = x 4 Puutuja ja raadius on puutepunktis risti, st vastavate sirgete tõusude korrutis k Kuna vaadeldava sirge tõus on k k Leiame nüüd puutuja võrrandi kasutades tõusu ja punktiga määratud sirge võrrandit y y kx x Saame y 7 ( x ) y x 9 7 y x Vastus ) Ringjoone võrrand on x y ) Puutuja võrrand on y = x 5 0 k 6) Leida sirgete vastastikune asend Lõikumise korral leia lõikepunkt a) x y = 0 ja x + y 4 = 0 Lahendus Kontrollime sirgete paralleelsust Selleks leiame kordajate suhted Seega sirged ei ole paralleelsed ning järelikult nad lõikuvad Leiame lõikepunkti koordinaadid Selleks lahendame võrrandisüsteemi x y x y 4 Kasutame lahendamiseks näiteks asendusvõtet Teisest võrrandist x 4 y sendades esimesesse võrrandisse saame 4 y y 8 4y y 5y 5 y Leiame muutuja x 4 Lõikepunktiks on ; Kontrollige saadud lahendit iseseisvalt Vastus ntud sirged lõikuvad ja sirgete lõikepunkt on ; b) x - y + 4 = 0 ja x - 6y + 5 = 0 Lahendus Kontrollime sirgete paralleelsust Selleks leiame kordajate suhted 4 Seega antud sirged on paralleelsed 6 5 Vastus Sirged on paralleelsed 6

7 7) Leia nurk sirgete y = x + ja y = x 7 vahel k k Lahendus Leiame nurga valemist tan k k Esimese sirge tõus k ja teise sirge tõus k Leiame tan Vastus Nurk sirgete vahel on 8 8 8) Riigieksam 00(5p) Tasandil on antud 4 sirget Esimene neist on antud võrrandiga y = x - 6 Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(; 6) Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q( 9; ) Neljas on paralleelne x-teljega ja läbib punkti R(-; 6) Kolmas sirge lõikab kahte esimest sirget punktis ja teist punktis Neljas sirge lõikab kahte esimest sirget punktis D ja teist punktis C Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid Leidke nelinurga CD tippude koordinaadid rvutage nelinurga CD külgede täpsed pikkused ja pindala Lahendus a) Leiame teise sirge võrrandi Kuna sirged on paralleelsed, siis nende tõusud on võrdsed (k = k = ) ja koostame punkti ning tõusuga sirge võrrandi y 6 ( x ) y x 4 b) Kolmas sirge on eelmistega risti, st sirgete tõusude korrutis on k k k Seega kolmanda sirge tõus on 0,5 Koostame võrrandi y 0,5( x 9) y 0,5x,5 c) Neljas sirge on x-teljega paralleelne ja läbib punkti R(-; 6), st võrrand avaldub kujul y = a Saame võrrandiks y 6 y x 4 y x C d) Leiame nelinurga CD tippude koordinaadid Lahendame võrrandisüsteemid ) y x 6 y x 4 Sellel võrrandisüsteemil lahendid puuduvad (sirged on paralleelsed) D y y 6 y 0,5x,5 7

8 C CD y x 6 ) y 0,5x,5 x 6 0,5x,5 x y 4 (; 4) y 0,5x,5 ) y x 4 0,5x,5 x 4 x y ( ; ) y x 6 4) y 6 x 6 6 x 6 D(6;6) y 6 5) y x 4 6 x 4 x C(;6) e) rvutame nelinurga CD külgede täpsed pikkused ja pindala ( üh) ( üh) ( üh) ( üh) D f) Nelinurk CD on täisnurkne trapets ja selle pindala avaldub a b S h 5 4, ( üh ) Vastus: Trapetsi CD külgede pikkused on 5 üh, 4 5 üh, 5 üh ja 5 5 üh ning pindala 45 üh 9) Riigieksam00(5p) Nelinurga KLMN tipud on K(;;7), L(;;7), M(9;;) ja N(4;0;4) ) Veenduge, et see nelinurk on trapets Teha kindlaks, millised lõigud on selle trapetsi alusteks ) Selgitage, kas trapets on võrdhaarne ) Leidke trapetsi kesklõigu otspunktid 4) Leidke trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus Lahendus valdame nelinurga KLMN külgede vektorid 5; ;, KN ; ; LK ( ; ;0), LM (6; ; 6), MN 6 6 Vektorid MN ja LK on kollineaarsed, kuna L M K K 8 N

9 Vektor MN ei ole kollineaarnevektoriga LK, 5 kuna 0 Seega nelinurk KLMN on trapets, mille alusteks on LM ja KN Haarad on KL ja NM rvutame haarade pikkused valemiga x y z a a a a, kus a a ; a ; a ) ( x y z Saame KL = ( üh), MN = ( üh) Seega KL MN ja trapets ei ole võrdhaarne Trapetsi kesklõiguks on haarade keskpunkte ühendav lõik Seega kesklõigu otspunktid on ; ; (;;7) ja ; ; (6,5;0,5;,5 ) rvutame haarade LK ja MN pikenduste vahelise nurga koosinuse Nurk vektorite LK ja LK vahel on sama, mis trapetsi haarade pikenduste vahel (kuna tegemist on kaasnurkadega paralleelsete sirgete LK ja MN korral) Seega saame LK MN 5; ;, LK (-;-;0) LK LK cos, LK LK 5; ; ; ;0 0 6 cos Vastus Trapetsi alused on LK ja KN, trapets ei ole võrdhaarne Kesklõigu otspunktite koordinaadid on (;;7) ja ( 6,5; 0,5;,5) Trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus on 70 cos 5 0) Riigieksam 00 (0p) Kolmnurga tipud on (0;), (4;4) ja C(4;-) ) Joonestage antud kolmnurk koordinaattasandile ja arvutage selle pindala ) Koostage sirge võrrand ) Kui suur on tõus sirgel, millel paikneb tipust C joonestatud kolmnurga kõrgus? Lahendus 5 4 y D E C x -4-5 Võtame kolmnurga aluseks C = 5 üh ja kõrguseks E = 4 üh 9

10 Kolmnurga pindala arvutame valemiga ah 5 4 S 0 ( üh ) Koostame sirge võrrandi ntud on punktid (0;) ja (4;4) Koostame sirge võrrandi kahe punkti abil x x y y x0 y 4 x y 4 x x y y ; 4 valdame y ja saame sirge võrrandiks y 0,5x Kuna kolmnurga alus ja kõrgus on risti, siis CD k k 0,5 k k Vastus Kolmnurga pindala on 0 pindalaühikut ja võrrand on y = 0,5x + Sirge tõus, millel paikneb tipust C joonestatud kõrgus on - ) Parabool y ax bx c läbib punkte (-;0), (6;0) ja (0;-) Leia parabooli võrrand ja haripunkti koordinaadid Lahendus Kuna antud punktid on graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, siis teame, et parabool lõikab y-telge punktis (0;-) ja seega on ruutfunktsiooni vabaliige c = - Lõikepunktid x- teljega (-;0) ja (6;0) annavad funktsiooni nullkohad x ja x 6 Parabooli võrrandit võime otsida ka kujul y a( x x )( x x ) kus x ja x on ruutfunktsiooni nullkohad sendame nullkohad parabooli võrrandisse punktis(0;-) a 0 0 6, millest leiame a -a = - ja a = Seega parabooli võrrand on x x 6 y ehk y = x - 4x - b Haripunkti abstsissi leiame kas valemi järgi x h või nullkohtade aritmeetilise a 6 keskmisena xh ja ordinaadi saame, kui asetame abstsissi väärtuse parabooli võrrandisse y h = = -6 Haripunkt on H(;-6) Vastus Parabooli võrrand on y = x - 4x - ja haripunkt on H(; -6) ) Kolmnurga tipud on (-;;-), (-;-;-) ja C(-5;5;-) Leia tipu juures olev sisenurk ja küljega C paralleelse kesklõigu pikkus Lahendus Leiame nurga skalaarkorutise abil kasutades valemit Leiame tipust vektorid ( ; ; ) ( ;,) ja C 5 ;5 ; ;4;0 Leiame nende vektorite pikkused üh ja C ( üh) cos a b a b Leiame vektorite skalaarkorrutise C ja tipu juures 5 oleva sisenurga cos arccos 09 8 Kolmnurga kesklõik võrdub 5 poolega temaga paralleelsest küljest, seega kesklõik on 0,5C,5 ( üh) 0

11 Vastus Tipu juures olev sisenurk on 09 8 ja küljega C paralleelne kesklõik on pikkusega,5 ühikut ) Rööpküliku CD kolm tippu on (-4;;), (-;-;) ja C(-;;-) Leia neljas tipp ja nurk pikema diagonaali ning lühema külje vahel Lahendus Leiame rööpküliku neljanda tippu D(x;y;z) D(x;y;z) C(-;,-) D x 4; y ; z Kuna D C, siis saame x 4 x y y D( ;; ) z z Leiame külgede ja C pikkused (; ; ) 4 4 ( üh) (-4;,) (-;-;) C (;; ) C ( üh) Leiame diagonaalide pikkused D ( ;4; ) D 6 4 ( üh) C ;0; 4 C ( üh) Seega C on pikem diagonaal ja on lühem külg Leiame nende vahele jääva nurga valemist cos C C Vastus Tipu D koordinaadid on D(-; ; -) ja = 48º ) Riigieksam 997(0p) ntud on tasandi neli punkti (-6;-), (-4;-4), C(-;-6) ja D(-;-) Tõestage, et nelinurk CD on romb ja arvutage selle pindala Lahendus Nelinurk on romb, kui tema diagonaalid on risti ja küljed on võrdsed D Kontrollime vektorite ristseisu sklalaarkorrutise abil 5 ( 5) 0, st diagonaalid on teineteisega risti Teiseks leiame külgede pikkused Leiame rombi diagonaalideks olevad vektorid C 5; 5 ja ;

12 C CD üh üh üh üh D Leiame nüüd rombi pindala diagonaalide kaudu C D S Vastus Nelinurk on romb pindalaga 5 üh² 00 5 üh 5) Riigieksam 000 (0p) Täisnurkse kolmnurga kaks tippu on punktides (;-;) ja (-4;-4;) Täisnurga tipp C asetseb y- teljel Leida punkti C koordinaadid Lahendus Kuna tipp C asub y- teljel, siis saame tema koordinaadid tähistada C 0; y;0 Leiame selle tipu koordinaadid kasutades Pythagorase teoreemi Vastavalt ülesande tekstile on kaatetiteks küljed C ja C ning hüpotenuusiks Seega C C Leiame C C C C 5, ; ; y ; 4; y 4; 6 9 ( üh) y y 4y 6 ( üh) y 4 y 8y ( üh) sendame saadud tulemused Pythagorase teoreemi 9 y 4y 6 y 8y y y 0 0 : y 6y 5 0 Lahendades ruutvõrrandi Viete i teoreemi abil saame lahenditeks y = -5 ja y = - Oleme saanud kaks võimalikku tipu C asukohta (0;-5;0) või (0;-;0) Vastus Täisnurga tipp asub punktis C (0;-5;0) või C (0;-;0) HRJUTUSÜLESNDED ) Koosta võrrand sirgele, mis läbib punkti (8;0) ja on paralleelne sirgega y = -x Millises punktis läbib see sirget y = 0? V: y = -x + 8, (8;0) ) Silindri telje otspunktid on O (0;-;-) ja O (0;4;), vektor telje otspunktist O sama põhja ümberringjoone punkti P on koordinaatidega O P = (0;;-) Leia nurk silindri telje ja y-telje vahel rvuta silindri ristlõike pindala, täispindala ja ruumala V: 45º, S = 64, V = 48

13 ) On antud punkt (;-) ja sirge a: 4x-7y + = 0 Koosta võrrand sirgetele b ja c, mis läbivad punkti, kusjuures sirge b on paralleelne ja sirge c risti sirgega a Tee joonis V: 4x 7y 5 = 0 ja 7x + 4y 0 = 0 4) Riigieksam 998 Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = - x ja sirgega y = 0 Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk Leia kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus V: 0,5 üh 5) Riigieksam 998 Paja telglõige on piiratud joontega y=x ja y= Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk Leia paja kaugus koonuse tipust V: 0,5 üh 6) Riigieksam 999 ntud on sirged x+7y-6=0 ja 5x-5y+=0 a) Leia nende sirgete lõikepunkt b) Leia nende sirgete vahelise nürinurga poolitaja võrrand V: ; ja y = -x +, ) Joone y = -x - x + 8 graafiku teises veerandis asuval osal on antud punktid (x ;y ) abstsissiga x = - ja (x ;y ) ordinaadiga y = 5Leia a) punktide ja koordinaadid b) vektorite O ja O skalaarkorrutis; c) vektorite O ja O vahelise nurga suurus täpsusega V: (-;9), (-;5); 48; 4º7 8) Riigieksam 000 Täisnurkse kolmnurga kaks tippu on punktides (;-;) ja (-4;-4;) Täisnurga tipp C asetseb y- teljel leia punkti C koordinaadid V: (0;-5;0) või (0;-;0) 9) Riigieksam 00 (5 p) Tasandil on antud 4 sirget Esimene neist on antud võrrandiga y = 0,5x + Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(; ) Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q( ; ) Neljas on paralleelne y-teljega ja läbib punkti R(6; ) Kolmas sirge lõikab esimest sirget punktis ja teist punktis Neljas sirge lõikab esimest sirget punktis D ja teist punktis C a) Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid b) Leidke nelinurga CD tippude koordinaadid c) rvutage nelinurga CD külgede täpsed pikkused, pindala V: y 0,5x ; y x 7; x 6; ( 4;), ( ; ), C(6;), D(6;6); 5 ü,4 5 ü,5 5 ü,5 ü; S 45ü 0) Riigieksam 004 (5 p) ntud on sirged y = x, y = 4x ja y = x + 6 d) rvutage nende sirgete lõikepunktide koordinaadid e) Joonestage antud sirged ühes ja samas teljestikus f) Leidke antud sirgete lõikepunkte läbiva parabooli y = ax + bx + c võrrand g) rvutage eelmises punktis saadud parabooli haripunkti koordinaadid V: (0;0), (;), C( ;8), y x x, H(; ) ) Riigieksam 005 (5 p) Kolmnurk C on määratud tipuga (;) ja vektoritega = (;) ning C =( 5;0) a) rvutage tippude ja C koordinaadid ning joonestage kolmnurk C b) rvutage külje C pikkus c) Koostage punkte ja C läbiva sirge võrrand ning leidke selle sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaadid d) Koostage kolmnurga C ümberringjoone võrrand V: (4;4), C( ;4), ü, y x,(;0); x,5 y,5 6, 5

14 ) Riigieksam 006 (5 p) Võrdhaarse kolmnurga haarad asetsevad sirgetel x + y = 0 ja x + y = 0 luse keskpunkt on K( 0,6; 5,4) Tehke joonis ja leidke a) kolmnurga haarade lõikepunkti koordinaadid; b) võrrand sirgele, millel asetseb kolmnurga alus; c) kolmnurga kõrguse täpne pikkus V: L(,4;,4), y x 6; ü ) Riigieksam 007 (5 p) Võrdhaarse trapetsi CD alused on paralleelsed y-teljega ja x- telg on trapetsi sümmeetriateljeks ntud on tipp (,5; -5,5) ning vektor D (,;,4) Tehke joonis ja leidke ) trapetsi pindala; ) trapetsi alusnurk; ) selle sirge võrrand sirgele, millel paikneb haar D; 4) haarade pikenduste lõikepunkt 4 V: 5 7,5ü; arctan 5 8 ;x 4y 6,5 0: L8 ; 0 6 4) Riigieksam 008 (0 p) Punktist ( ; ) on joonestatud vektor = (6; ) Läbi punkti D( ; 5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega Punktide,, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu juures Tehke joonis Kirjutage sirgete DC ja C võrrandid rvutage punkti C koordinaadid 4 rvutage trapetsi kõrgus V: y x 4; y x 6; C(6; ); h 0 ü 5) Riigieksam 009 (5 p) Ristküliku CD üheks tipuks on punkt (4; ), tipp asub x- teljel ja küljega paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0 a) rvutage ristküliku CD tippude, C ja D koordinaadid ning joonestage ristkülik CDkoordinaattasandile b) Koostage sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal C c) rvutage ristküliku CD ümbermõõdu täpne väärtus d) Koostage ristküliku CD ümberringjoone võrrand V: (;0), C( ;4), D(0;7); x 7y 5 0;4 ü, x 0,5 y,5, 5 6) Riigieksam 00 (5 p) Funktsiooni f ( x) x 4x graafik lõikab y-telge punktis ja x-telge punktides D ( x ;0) ning C ( x ;0), kus x x Sirge s läbib punkte ja D ning sirge t läbib punkte ja C Sirge u on paralleelne sirgega y x Sirged s ja u lõikuvad punktis ning sirged t ja u lõikuvad punktis C a) Koosta sirgete s, t, ja u võrrandid ning arvuta punkti koordinaadid; b) Joonista funktsiooni f (x) graafik ja sirged s, t ja u; c) Näita, et C on täisnurkne ja arvuta C 5 V: y x, y x, y x ; (,5;,5);arcsin ) Riigieksam 0 (5 p) Joonte f(x) = x 5 ja g(x) = x + lõikepunkt on rombi CD tipp Diagonaali vektor on C 4; 4 Tipp asub y-teljel a) rvuta rombi tippude koordinaadid ja koosta sirge võrrand, millel asub diagonaal D b) rvuta rombi pindala c) Joonesta funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud ja romb CD 4

15 V: ( ;), (0; ), C(; ), D(;);8 üh s 8) Riigieksam 0 (5 p) Sirge s on määratud punktiga (0;0) ja sihivektoriga ; Sirge t läbib punkti (4;) ja on risti sirgega s a) Koosta sirgete s ja t võrrandid b) Märgi koordinaatteljestikku punktid ja ning joonesta sirged s ja t c) Sirgel s asub punkt C nii, et kolmnurga C pindala on 5 Leia arvutamise teel punkti C koordinaadid, kui punkt C asub koordinaatteljestiku IV veerandis d) Koosta ringjoone, mille diameeter on, võrrand V: s : y x; t : y 0,5x; C(; 6);( x ) ( y ) 5 9) Riigieksam 0 (5 p) Sirge t läbib punkti (;-7) ja on paralleelne sirgega s: x-y =6 Sirge u läbib punkti, on paralleelne x-teljega ja lõikub sirgega s punktis D Sirge f läbib punkti K(7;-7), on risti sirgega s ning lõikub sirgetega t ja s vastavalt punktides ja C a) Leidke sirgete t, u ja f võrrandid b) Märkige koordinaatteljestikku kõik ülesande tekstis nimetatud punktid ja sirged c) rvutage tekkinud nelinurga CD tippude C ja D koordinaadid d) Leidke ringjoone võrrand, mille keskpunkt asub lõigu CD keskpunktis ja millele sirge t on puutujaks V: y 0,5x 8; y 7; y x 7; D( 8; 7), C(4; ); x y 4 0 0) Riigieksam 04 (5 p) Ruumis on antud vektorid a = ( ; 5; 4) ja b = (; 5; ) rvutage vektori c a b koordinaadid ning nurk vektorite a ja b vahel V:54 8' ) Riigieksam 05 (5 p) Joonestage koordinaatteljestikku sirged y x ja x = 6 Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega rvutage viirutatud kujundi pindala V:5 ü ) Riigieksam 04 (0p) V: (;0), (0;4), C(0;4); y x 4; y 4; x 5 y 4 5 ) Riigieksam 05 (0p) V:9 48'; y x 4x 9 5

16 4) Riigieksam 05 (0p) V: x y 0; C 0 ü; y x 8 5) Riigieksam 05 (0p) V: y x ; y x 5 6) Riigieksam 06 (0p) Võrdhaarse kolmnurga C üks tipp on punktis (4; ), teine tipp C asub sirgel y = 7 ja kolmnurga aluse määrab vektor (4;8) rvutage punkti koordinaadid Koostage sirge võrrand Ringjoone diameeter on kolmnurga C alus Koostage selle ringjoone võrrand 4 rvutage punkti C koordinaadid V: (8;5), y=x-, (x-6) +(y-) =0, C(-6;7) 6

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Õpitulemused I kursus-arvuhulgad. Avaldised. Võrrand, võrratus. 1) eristab ratsionaal-, irratsionaal- ja reaalarve; 2) eristab võrdust, samasust, võrrandit ja võrratust;

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM

MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Lea Lepmann Tiit Lepmann MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Ülesanded, lahendused, kommentaarid ja soovitused Kõigi käesolevas kogumikus kasutatud riigi- ja katseeksamite ülesannete autoriõigused

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused

Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad 1. ülesanne Füüsika lõppvoor. 30. märts 2003. a. Keskkooli ülesannete lahendused Läheme kiirusega v/2 liikuvasse süsteemi. Seal on olukord sümmeetriline,

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Deformatsioon ja olekuvõrrandid Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava 1. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused Lai matemaatika koosneb 14 kursusest: 10 klass: 1. Avaldised ja arvuhulgad 2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid

Διαβάστε περισσότερα

Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika. EST meetod

Ehitusmehaanika. EST meetod Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Ainevaldkond Matemaatika

Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkond Matemaatika 1 Matemaatikapädevus Matemaatika õpetamise eesmärk gümnaasiumis on matemaatikapädevuse kujundamine, see tähendab suutlikkust tunda matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemsust;

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused

1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused Vabariigi Valitsuse 06.01.2011. a määruse nr 2 Gümnaasiumi riiklik õppekava lisa 3 1. Ainevaldkond Matemaatika 1.1. Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

AINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED

AINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED Matemaatika Gümnaasium 10.-12. klass Kursusi: 14 (lisaks kordamine) Tunde kursuses: 35 Rakendumine: 1. september 2016 Koostamise alus: Gümnaasiumi riiklik õppekava, lisa 3; Koeru Keskkooli õppekava AINE

Διαβάστε περισσότερα

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 58. füüsikaolümpiaad

Eesti koolinoorte 58. füüsikaolümpiaad Eesti koolinoorte 58. füüsikaolümpiaad 29. jaanuar 2011. a. Piirkondlik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused Eessõna Allpool on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik (mõnel juhul ka enam. Kõik alternatiivsed

Διαβάστε περισσότερα

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline). Prism Prisms nimese ulu, mille s u on vsvl rlleelsee j võrdsee ülgedeg ulnurgd, ning ülejäänud ud on rööüliud, millel on ummgi ulnurgg üine ülg. Prlleelseid ulnuri nimese rism õjdes j nende ulnurde ülgi

Διαβάστε περισσότερα

3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL

3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL ugevusanalüüsi alused. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL 1. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL.1. Varda arvutusskeem väändel Väände puhul on tihtipeale koormusteks detaili otseselt väänavad pöördemomendid või jõupaarid (Joon..1):

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

VFR navigatsioon I (Mõisted ja elemendid I)

VFR navigatsioon I (Mõisted ja elemendid I) VFR navigatsioon I (Mõisted ja elemendid I) 1. Suunad ja nende tähistamine. 2. Maakera ja sellega seonduv. 3. Maa magnetism. 4. Kursid (suunanurkade tüübid). 5. Navigatsiooniline kiiruste kolmnurk Min

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus. Kinemaatika

Sissejuhatus. Kinemaatika Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

O15. Prisma aine dispersiooni määramine goniomeetri abil.

O15. Prisma aine dispersiooni määramine goniomeetri abil. O. Prisma aine dispersiooni määramine goniomeetri abil. 1.VALGUSE DISPERSIOON 1.1. Teoreetilised alused Prisma abil saame lahutada uuritava valguse spektriks ning määrata murdumisnäitaja n sõltuvuse lainepikkusest.

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere DÜNAAMIKA Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinn 2003/2004/2005 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II ÜHIKANALÜÜS II Füüsikalise Suuruse Dimensioon Füüsikalise suuruse dimensioon on avaldis astmes üksikliikme kujul, mis koosneb erinevates astmetes põhisuuruste sümbolite

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused klass 217/218. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused 11. 12. klass 1. a) Vee temperatuur ei muutu. (1) b) A gaasiline, B tahke, C vedel Kõik õiged (2), üks õige (1) c) ja d) Joone õige asukoht

Διαβάστε περισσότερα

Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele

Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele - 1 - Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele Õppeprotsessi kirjelduses on klasside kaupa lahti kirjutatud õppesisu ja taotletavad õpitulemused. Märgitud on ka muutused võrreldes 2002.a. Lisatud on soovitusi

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA Tehniline Mehaanika I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STTIK 1.1. Põhimõisted Staatika on jäikade kehade tasakaaluõpetus. Ta uurib tingimus,

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα