Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Transcript

1 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee suhtes nurg ll (näiteks veme vgunit järel) Arvutme töö, mille teeb jõud F r Lhutme selle jõu kheks komponendiks Olgu rööbstee sihiline komponent P r j rööbstee sihig risti olev komponent Q r Komponent Q r, mis on liikumise sihig risti, tööd vguni edsinihutmiseks ei tee, sest vgun ei s liikud rööbstee suunle ristiolevs suuns Vguni veojõuks jääb seeg komponent P r Selle vektori pikkus P r = F r cos Et jõu P r tööd sb rvutd vlemist A = P r s, siis A = F r s cos Avldis F r s cos on kolme sklri korrutis j järelikult ise sklr Mtemtiks nimettkse sellist vldist vektorite F r j s sklrkorrutiseks Vektorite r sklrkorrutist tähisttkse F s r r r Kirjpneku F s cos semel ksuttkse tihti k kirjutmisviisi F s cos Vektorite u j v sklrkorrutiseks nimettkse nende vektorite pikkuste j vektorite vhelise nurg koosinuse korrutist u v = u v cos Pöördume tgsi vguni näite juurde Et F r cos kujutb endst vektori F projektsiooni vektori s r sihil, siis võib öeld, et khe vektori sklrkorrutis on ühe vektori pikkuse korrutis teise vektori projektsioonig esimese vektori sihil Kui = 0, siis cos = j u v = u v Kui = 80, siis cos = j u v = u v Kui = 90, siis cos = 0 j u v = 0 Smsuunliste vektorite sklrkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutiseg Vstssuunliste vektorite sklrkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vstndrvug Ristuvte vektorite sklrkorrutis on null Sb näidt k vstupidist, so kui u v = 0, siis u v Q F P s Vektori u sklrkorrutist iseendg nimettkse selle vektori sklrruuduks j tähisttkse (u ) või u u u = u u cos 0 = u u = u Vektori sklrruut on võrdne vektori pikkuse ruudug Näide Leid vektorite j b sklrkorrutis, kui = 3, b = 8 j nurk nende vektorite vhel on 60 b = b cos = 3 8 cos 60 = Näide Leid vektorite j b sklrkorrutis, kui nende vektorite pikkused on vstvlt 5 j j nende vektorite vheline nurk on 50 b 3 = b cos = 5 cos 50 = 5 = 30 3 Näide 3 Khe vektori sklrkorrutis on,5 j nende vektorite pikkused on 0 j 0,5 Leid vektorite vheline nurk u r r v,5 cos = r r = = 0,5 j = 60 u v 0 0,5 Vektorite sklrkorrutise rvutmine vektorite koordintide bil nurk khe vektori vhel Teoreem Kui u = (; b) j v = (c; d), siis u v = c + bd Khe vektori sklrkorrutis on võrdne nende vektorite vstvte koordintide korrutiste summg Teeme joonise, pnnes need vektorid u j v lähtum koordintide lguspunktist Tekib kolmnurk OPQ, mille tipu O juures olev nurk on olgu Koosinusteoreemist sme: PQ = u + v u v cos Q(c; d) P(; b) Siit 0 u v cos = u + v PQ Võrduse preml poolel ksutme khe punkti vhelise kuguse vlemit j vektori pikkuse vlemit, sme sendd

2 u = + b, 36 Kujund ABDEF on korrpärne kuusnurk, milles AB = u j AF = v Avld v = c + d, järgmised vektorid vektorite u j v kudu ) BF ) F 3) B PQ = (c ) + (d b) 4) AB + FE 5) A D 6) ED EF Seeg 7) EF + D 8) FA B 9) A + AF EF u v cos = + b + c + d (c ) (d b) 58 Joonisel ntud kolmnurgs AB AB = j ehk lihtsustdes A = b Avld vektorite j b kudu b u v cos = c + bd järgmised vektorid, kui punkt O on medinide lõikepunkt Et viimse võrduse vsk pool kujutb endst vektorite u j v sklrkorrutist, D F O siis u v = c + bd ) B ; AO ; DO ; BO ; EO ; O ; FO ; Näide Olgu m = (5; ) j n = (3; ) Leime m n m n = ( ) = 3 Võrdusest u v = u v cos sb vldd cos : b) D ; AE ; FB 09 Lei sklrkorrutis b = b cosϕ, kui ) = 3, b = 5; ϕ = 30 3) = 8, b = 6, ϕ = π 3 v u cos = u v 5) =, b = 7, ϕ = π 6 7) = 3,, b = 0,05, ϕ = 90 9) = 35, b = 7, ϕ = 50 ) = (0; 6), b = ( 5; 0) Sõnstme tulemuse: Khe vektori vhelise nurg koosinus võrdub nende 3) = (4; 0), b = (3; 3) 5) = 7, b = vektorite sklrkorrutise j pikkuste korrutise suhteg 53 Lei vektorite j b vheline nurk, kui Näide Leime vektorite = (; ) j b = (; 3) vhelise nurg: r r ) b = 0 j = 4, b = 5; b) b = 0 j = 3, b = 9; b + ( ) 3 5 cosϕ = r r = = = c) b = 0 j = 7, b = 3; d) b = 3 j = 4, b = 5 b + ( ) Lei nurk vektorite vhel, kui ϕ = = 35 ) = (3; ) j b = (4; ); b) = (; 5) j b = (; 3); 036 ABDE on viisnurk Lei vektor c) = ( ; ) j b = ( 3; 4); d) = (0; 3) j b = (4; ); ) AB AE ) A AD 3) A B e) = (4; ) j b = ( ; 4) f) = (4; 4) j b = (5; 5) 4) AB + BE AD 5) E AD + AE 6) BE + D B Vstuseid: 7) DB + AE + A DE E AB 8) D BD AE A EA 036 ) EB 3) AB 5) D 7) AE 09 )7,5 3; 3) 4; 5) 7 3; 7) 0; 34 Vektoritele = AB j b = AD on ehittud rööpkülik ABD Avld vektorite 9) 35005; ) 0; 3) ; 5) A = + b ; BD = b ; j b kudu vektorid A, BD, MA, MB, MD j M, kus M on rööpküliku MA = 0,5 0,5b ; MB = 0,5 0,5b ; M = 0,5 + 0,5b ; MD = 0,5b 0,5 digonlide lõikepunkt 35 AB = 0,5 0,5b ; B = 0,5 + 0,5b ; D = 0,5b 0,5 ; DA = - 0,5 0,5b 35 Avld rööpküliku ABD digonlide A = j BD = b kudu vektorid AB, 36 ) v u ; ) u ; 3) u v ; 4) u + v ; 5) u + v ; 6) v ; 7) u v ; B, D j DA 8) u v ; 9) 3u + 3v 53 ) 0 ; b) 37,8 ; c) 90 ; d) ) 45 ; c) 6,6 ; e) 30,6 A E B

3 Sirge tõus Olgu meil teljestikus sirge, mis lõikub nii - kui k -teljeg Sirge tõusunurk olgu Olgu sellel sirgel kks punkti A( ; ) j B( ; ) Konstrueerime täisnurkse kolmnurg AB nii, et A oleks prlleelne -teljeg j B -teljeg Siis = BA (tõusv sirge korrl) j = 80 BA (lngev sirge korrl) Seeg, tõusv sirge korrl tn = j lngev sirge korrl tn = tn(80 B A) = tn BA = Seeg, mõleml juhul tn = = Sirge tõusuks nimettkse selle sirge tõusunurg tngensit Kui tähistd tõusu täheg k, siis k = tn = Sirge võrrnd punkti j tõusug Olgu sirge määrtud punktig A( ; ) j tõusug k Vlime sirgel vblt punkti P(; ) Asenddes need väärtused sirge tõusu vlemisse, sme k =, kust = k( ), A mis ongi punkti j tõusug määrtud sirge võrrnd B B 0 k =tn A A( ; ) P(; ) Sirge võrrnd tõusu j lgordindig Algordint see on sirge j -telje lõikepunkti -koordint Olgu sirge tõus k j lgordint b, st sirge lõikb -telge punktis (0; b) Asenddes selle punkti koordindid punkti j sirge tõusug määrtud sirge võrrndisse, sme b = k( 0), ehk = k + b, mis ongi tõusu j lgordindig määrtud sirge võrrnd Khe punktig määrtud sirge võrrnd Olgu sirgjoon s määrtud om khe punktig P ( ; ) j P ( ; ) Koostme sirge võrrndi Selleks võtme sirgel suvlise punkti P(; ) Leime lõikude PP j PP tõusud Lõigu P P tõus on P Lõigu P P tõus on Et mõlemd lõigud setsevd ühel j sml sirgel, siis pevd mõlemd tõusud olem võrdsed Seeg = Vhetdes võrde siseliikmed, sme: = Sdud võrrnd on khe punktig määrtud sirge võrrnd Näide Sirge on määrtud punktideg A(; 3) j B(5; ) Leime selle sirge võrrndi 3 3 = = 4 4( 3) = 5( ) Viies kõik liikmed ühele poole, sme = 0 Muutes punktide järjekord, sksime = = 5 4 4( + ) = 5( 5) = 0 0 P P

4 Olgu sirge määrtud punktideg, milles see sirge lõikb koordinttelgi A(; 0) B(0; b) Sel juhul sme sirge võrrndiks 0 j b 0 = 0 Lihtsustdes sme B(0; b) + = b b A(; 0) Arve j b nimettkse selle sirge telglõikudeks j sdud võrrndit sirge võrrndiks telgnäidt, et -teljeg prlleelse sirge võrrnd on = j -teljeg 0 lõikudes Telglõikude bil on mugv konstrueerid sirget Lihtne on prlleelse sirge võrrnd on = b Sirge võrrnd punkti j sihivektorig Sirge sihivektoriks nimettkse ig vektorit, mille lngeb kokku sirge sihig siht Näiteks, kui meil on sirge = 3, siis selle sirge sihivektoriks on vektor s = (; ), g k vektorid s = (; 4), 3 s = ( 3; 6), s = ( ; ) j 99s = (99; 98) Sirge sihivektori sb lti setd nii, et t lguspunkt j lõpp-punkt on mõlemd sellel sirgel, mille sihivektorig on meil tegu K võib öeld, et kui sirgel on mingid kks erinevt punkti, siis vektor, mis neid punkte ühendb, on sirgele sihivektoriks Olgu meil sirge s, mis on määrtud khe punktig P ( ; ) j P ( ; ) Sirge võrrnd on siis = Kui pnn kirj vektori P P koordindid P P = ( ; ), siis näeme, et selle vektori koordindid on sirgjoone võrrndis olems Nimelt on -koordint esimese murru nimetjs j -koordint teise murru nimetjs Et vektor P P pikneb sirge s sihil, siis võib ted luged k selle sirge üheks sihivektoriks Tähistdes vektorit P P = s j selle vektori koordinte s j s, sme võrduse = s s 0 3 = 3 s = (; ) See võrdus ongi punkti j sihivektorig määrtud sirge võrrnd Näide Olgu sirgel ntud punkt A(4; ) j sihivektor ( ; ) Leime selle sirge võrrndi Sirge võrrnd on 4 = + ehk ( 4) = ( + ), kust = + Mis sb g juhul, kui sirge sihivektori üks koordint on null? Nullig jgd ei s Vtme üht konkreetset näidet Olgu meil punkt A(; 3) j sihivektor s = ( 0; ) Siis sme sirge võrrndi 0 = 3 Ksutdes võrde põhiomdust, sme ( ) = 0( 3), millest 4 = 0 = Sime -teljeg prlleelse sirge võrrndi Juhul kui sirge sihivektori -koordint oleks null, siis sksime loomulikult - teljeg prlleelse sirge võrrndi Sirge üldvõrrnd Sirge üldvõrrndiks nimettkse linervõrrndit A + B + = 0, kus A, B j on konstndid j kus A j B ei võrdu smegselt nullideg ) Kui A 0, B 0 j 0, siis sb selle võrrndi teisendd tõusu j lgordi- Selleks vldme võrrndist () muutuj : ndig ntud sirge võrrndiks A = B B Tähistdes A B = k j B = b, smegi võrrndile kuju = k + b ) Kui A = 0, siis on võrrndil () kuju B + = 0, millest = B Asenddes B = b, sme = b Sirge on prlleelne -teljeg 3) Kui B = 0, siis on võrrndil () kuju A + = 0, millest = A Asenddes A =, sme = Sirge on prlleelne -teljeg = = 3 4

5 A 4) Kui = 0, siis on võrrndil () kuju A + B = 0, millest = Sirge = 5 sihivektor s r = (-4; 3) on otsitv sirge normlvektoriks B Seeg on otsitv sirge võrrndil kuju = 0 Asenddes A B = k, sme = k Sirge läbib koordintide lgu spunkti Vbliikme leidmiseks sendme viimses võrrndis -i j -i punkti P koordintideg, sme 5) Kui A = 0 j = 0, siis on võrrndil () kuju B = 0, millest = 0 Sme -telje võrrndi = 0 = - Seeg sime võrrndiks (-) = 0 6) Kui B = 0 j = 0, siis on võrrndil () kuju A = 0, millest = 0 Korrutdes selle võrrndi mõlemid pooli (-)-g, sme võrrndiks Sme -telje võrrndi = 0 Teisendme punkti j sihivektorig ntud sirge võrrndi üldkujule: Nurk khe sirge vhel = s s = s s s s + ( s s ) = 0 s s On ntud kks sirget s j s Sirgete tõuon s s Tähistdes s = A, s = -B, j s - s =, smegi võrrndi A + B + = 0 sunurgd olgu j β, sirgete tõusud g ϕ sirgete vheline nurk Ülltoodud tähistuste põhjl võime öeld et tn = k j tn β = k Kui need sirged üldvõrrndi A + B + = 0 korrl on sirge üheks sihivektoriks s r lõikuvd, siis β = (-B; A) ϕ = β Ksutdes khe nurg vhe tn- Sirge sihivektoriks on ig vektor, mille siht lngeb kokku sirge sihig gensi vlemit, sme: Lisks sihivektorile võib sirget iseloomustd normlvektorig Normlvektor n r on risti sihivektorig s r tn tnβ tnϕ = tn( β) = + tn tnβ Sirge A + B + = 0 sihivektoriks k + k k r r on s = (-B; A), g normlvektoriks on n = (A; B) Seeg Khe sirge lõikumisel tekib kks pri võrdseid nurki Kui ühe nurg suurus on Sirge üldvõrrndis A + B + = 0 olevd kordjd A j B on sirge ühe normlvektori koordindid ϕ, siis tem kõrvunurg suurus on 80 ϕ On kokku lepitud luged khe sirge vheliseks nurgks neist khest nurgst sed, mis on tervnurk Et tn ϕ = tn(80 ϕ), siis tervnurg tngensi sme, kui võtme murrust n = (A; B) k k bsoluutväärtuse Sme vlemi s = (-B; A) A+B+= 0 r r Et ristuvte vektorite sklrkorrutis on null, siis s n = 0 (Kontrolli!) Näide Leime sirgeg 3+4= 5 ristuv j punkti P(; 3) läbiv sirge võrrndi Sirge = 5 sihivektor on s r = (-4; 3) Otsitv sirge sihivektor t r on risti vektorig s r Seeg sobib otsitv sirge sihivektoriks näiteks vektor t r = (3; 4) Koostme nüüd ühe punkti j sihivektorig määrtud sirge võrrndi: - 3 = - 3 4, mid lihtsustdes sme = 0 Selle tulemuseni oleksime võinud jõud k teisiti kk tn ϕ = k k kk Erijuhul, kui ϕ = 0, siis tnϕ = 0 j järelikult k k = 0 Selt k = k Seeg Prlleelsete sirgete tõusud on võrdsed k = k Erijuhul, kui sirged on risti, siis ϕ = 90 j tn ϕ ei ole määrtv Siis on tn ϕ vldises nimetj null See tähendb, et + k k = 0 ehk k k = Leitud vlemit ei s rkendd, kui üks sirgetest, näiteks sirge s, on risti -teljeg Siis leime otsitv nurg vlemist ϕ = 90

6 Ristuvte sirgete tõusude korrutis võrdub -g k k = Näide 0 Koostd sirge võrrnd, tedes, et sirge läbib punkti (; 3) j on risti sirgeg = Lhendus Antud sirge tõus on 3, seeg on otsitv sirge tõus 4 Järelikult on otsitv võrrnd ( 3) = 3 4 ( ), mid lihtsustdes sme = 0 Veel näiteülesndeid:

7 83 Lei nurk sirgete vhel, kui sirgete võrrndid on ) = + 3 j = 3) = 0 j + 5 = 0 5) = 0 j = 0 7) = 3 j = 3 + 9) = 0 j = 0 0) = + j = 3 98 Lei khe sirge lõikepunkt Kui sirged ei lõiku, siis tee kindlks, ks sirged on prlleelsed või ühtivd ) + 3 = 0 j = 0 ) 3 = 0 j + 4 = 0 3) = 3 j 3 = 0 4) = 5 j 4 0 = 0 5) + = 5 j + = 3 6) = 0 j = 0 Vstuseid: 83 ) 8 6 ; 3) 45 ; 5) 5 7 ; 7) 7 34 ; 9) ) (3; ); ) (; ); 3) ühtivd; 4) ühtivd; 5) prlleelsed; 6) prlleelsed