Ελαστοπλαστική Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα Υπολογισμού της Φέρουσας Ικανότητας Κατασκευών

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ελαστοπλαστική Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα Υπολογισμού της Φέρουσας Ικανότητας Κατασκεύων Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Ελαστοπλαστική Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα Υπολογισμού της Φέρουσας Ικανότητας Κατασκευών Ακραία εντατικά μεγέθη στοιχείου δοκού στο επίπεδο (P) Κριτήριο διαρροής τάσεων υλικού σημείου: f=f(σ,σ,σ,σ,σ,σ, σ y )=0 σ σ + = σ y τ y τ τ y y = σ / ( Tresca ) y = σ / ( Von Mses ) y

2 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Κριτήριο διαρροής χωρίς την επιρροή αξονικών και διατμητικών δράσεων σ σ + = σ τ y y Κριτήριο διαρροής διατομής: f=f(f,f,m,σσ y )=0 f=f(m,σ y )=0 f=m /M p -=0 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Κριτήριο διαρροής χωρίς την επιρροή αξονικών και διατμητικών δράσεων Μητρώα στιβαρότητας τροποποιημένων στοιχείων P 4

3 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Μητρώo στιβαρότητας (P) [ k] EA / L 0 0 EA / L 0 0 EI / L 6 EI / L 0 EI / L 6 EI / L 4 EI / L 0 6 EI / L EI / L = EA / L 0 0 EI / L 6 EI / L 4 EI / L 5 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Μητρώo στιβαρότητας (P )-Άρθρωση στο άκρο Pe Kee Kec Δe P = K K Δ cc ce cc c {P cc = [K ce ]{Δ e + [K cc ]{Δ c {Δ = [K ]- e ee ({P e - [K ec]{ ]{Δ c ) {P cc - [K ce ][K ee ] - {P e = ( [K cc ] - [K ce ][K ee ] - [K ec ] ){Δ c {P c = [K c ]{Δ c 6

4 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Μητρώo στιβαρότητας (P )-Άρθρωση στο άκρο Pe Kee Kec Δe = P cc Kce K cc Δc {P c = [K c ]{Δ c EA / L 0 0 EA / L 0 0 EI / L 0 0 EI / L EI / L ' k = EA / L 0 0 EI / L EI / L EI / L 7 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Μητρώo στιβαρότητας (P )-Άρθρωση στο άκρο Pe Kee Kec Δe P = K K Δ cc ce cc c {P c = [K c ]{Δ c EA / L 0 0 EA / L 0 0 EI / L EI / L 0 EI / L 0 ' EI / L 0 EI / L 0 k = EA / L 0 0 EI / L 0 0 8

5 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Μητρώo στιβαρότητας (P )-Άρθρωση στa άκρa jk j,k Στοιχείο P EA/ L 0 0 EA/ L k ep = EA / L Pe Kee Kec Δe P = K K Δ cc ce cc c {P c = [K c ]{Δ c 9 Αλγοριθμική διατύπωση της μεθόδου Βήμα-προς-Βήμα Αρχικό Βήμα =0 Μόρφωση του αρχικού ελαστικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα [Κ 0 ]. Αρχικό Βήμα = (λ=) {Q+{P 0 =[K 0 ]{δu { δd δd δd = { δα = k 0 { δd T Α = {δ δa δa Μp = δλ (δμ ) T Δ λ = nδλ { A =Δλ{ δ A { U = Δλ { δ U λ = Δλ 0

6 Αλγοριθμική διατύπωση της μεθόδου Βήμα-προς-Βήμα Βήμα { δ D [ δ D δ D = ] (δλ =) {Q=[K ]{δu { δ Α = k { δd {δ Α = T [ δa δa ] T Μp = (M ) + δλ (δμ ) Δλ = nδλ { U = {U + Δλ { δ U {A λ = {A = λ + Δλ + Δλ { δ A Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Γενικευμένα κριτήρια διαρροής Κριτήριο διαρροής εντατικών μεγεθών διατομής στοιχείου P: f=f(f,f,m,σσ y )=0 Αμελώντας την επιρροή των τεμνουσών δυνάμεων: f=f(ff(f,m,σ y )=0 Κριτήριο διαρροής ορθογωνικής διατομής f M F = + Mp = 0 Np N P = Aσ y

7 Γενικευμένα κριτήρια διαρροής - Καμπύλες αλληλεπίδρασης Μ -F Κριτήριο διαρροής εντατικών μεγεθών διατομής: f=f(f,m,σ y )=0 Γενικευμένα κριτήρια διαρροής Ελαστοπλαστικής Μέθοδου Βήμα-προς-Βήμα Κριτήριο διαρροής εντατικών μεγεθών διατομής: f=f(f,f,m,σ y )=0 Αμελώντας την επιρροή των αξονικών δυνάμεων: f=f(f,m,σ y )=0 Κριτήριο διαρροής ορθογωνικής διατομής f M F = + Mp 4 Q p Q P = Aτ y = 0 τy = σy / ( Tresca ) τ y = σ y / ( Von Mses ) Μ = Μ ' p σ σ + = σ τ y y 4

8 Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Επαυξητικά διαγράμματα {A-{D {D A {Α+d{Α {Α d{a K Κ ep K K d{d d{d { dd = { dd + { dd { da = [ k ]{ dd {D d{d {D+d{D D Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Επαυξητικά εντατικά μεγέθη στοιχείου dσ = E dε { dd = { dd + { dd { da = [ k ]{ dd = { da df df dm df df dm T T = θ θ { dd du du d du du d 6

9 Ελαστοπλαστική Μέθοδος Φέρουσας Ικανότητας Βήμα-προς-Βήμα Ελαστοπλαστικό λαστικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου (P) με γενικευμένο κριτήριο διαρροής f=f(f,f,m,σ y )=0 Νόμος Πλαστικής Ροής Prandl-Reuss συνθήκη καθετότητας Συνηρτημένη πλαστικότητα (assocated astcty) { dd = { dd + { dd { dd = dμ { Φ j =, dμ: συντελεστής αναλογίας 7 Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Το κάθετο διάνυσμα {Φ στην επιφάνεια διαρροής f=f(f f(f,f,m,σσ y )=0 Πλαστικοποίηση άκρων j { dd = dμ { Φ j =, dd { Φ 0 dμ = dd 0 { dμ Φ { dd = [ Φ ]{ dμ ι f / F 0 f / F 0 f / Μ 0 Φ = 0 f / F 0 f / F 0 f / Μ Πλαστικοποίηση άκρου [ ] [ ] Τ Φ = f / F f / F f / Μ Πλαστικοποίηση άκρου j [ Φ ] = [ f / F f / F f / Μ ] Τ Μ 8

10 Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Το κάθετο διάνυσμα {Φ στην επιφάνεια διαρροής f=f(f,f,m,σσ y )=0 dd { Φ 0 dμ = dd 0 { dμ Φ du dμ f / F du dμ f / F dθ dμ f / M = du dμ f / F du dμ f / F dθ dμ f / M 9 Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής { da = [ k ]{ dd { dd = { dd + { dd { dd = [ Φ ]{ dμ ι ( ) ( Φ ) { da = [ k ] { dd { dd = [k ] { dd [ Φ ]{ dμ Το διαφορικό της επιφάνειας διαρροής f=f(f,f,m,σ y )=0 df df f F df f F df f M dm = + + = f f f df F F M dm df = 0 Συνθήκη πλαστικοποίησης του άκρου j (,) της ράβδου { Φ T { da = 0 Συνθήκη πλαστικοποίησης των δύο άκρων της ράβδου T [ Φ ] { da = 0 0

11 Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Υπολογισμός του συντελεστή αναλογίας μ { Φ T { da = 0 { da = [ k ]{ dd { dd = { dd + { dd { dd = [ Φ ]{ dμ ( ) [ Φ ] Τ [ k ] { dd [ Φ ]{ dμ = 0 ( ) Τ Τ Φ Φ Φ { dμ = [ Φ ] [ k ][ Φ ] [ Φ ] [ k ]{ dd Ελαστοπλαστικό μητρώο στιβαρότητας με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Υπολογισμός του ελαστοπλαστικού λ μητρώου [Κ ep ] ( ) ( ) { da = [ k ] { dd { dd = [k ] { dd [ Φ ]{ d μ ( ) Τ Τ { d μ = [ Φ ] [ k ][ Φ ] [ Φ ] [ k ]{ dd ( Φ Φ Φ Φ ) { da = [ k ] [ k ][ Φ ]([ Φ ] Τ [ k ][ Φ ]) [ Φ ] Τ [ k ] { dd ep { da = [ k ]{ dd Τ Τ [ k ep] = [ k ] [ k ][ Φ ]([ Φ ] [ k ][ Φ ]) [ Φ ] [ k ]

12 H Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα με γενικευμένο κριτήριο διαρροής f=f(ff(f,m,σ y )=0 H Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα με γενικευμένο κριτήριο διαρροής f=f(f,m,σ y )=0 f=f(f,m,σ y )=0 Εντατικό σημείο Α(-): F,Μ του άκρου j(,) του στοιχείου στο τέλος του βήματος - F = ( F ) A A = ( ) M M Βήμα Εντατικό σημείο B: F = ( F ) + ( δf ( δλ = )) B B = ( ) + ( δ ( δλ = )) M M M 4

13 H Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα με γενικευμένο κριτήριο διαρροής Βήμα Εντατικό σημείο C: Σημείο τομής της (ΑΒ) με την καμπύλη διαρροής F = ( F ) + δλ ( δf ) C M = ( M ) + δλ ( δ M ) C Υπολογισμός του φορτικού συντελεστή δλ δλ =(F C =F A )/(F B -F A )= =(M C A B A C -M A )/(M B -M A ) λ =n δλ των άκρων, όλων των ράβδων 5 H Μέθοδος Βήμα-προς-Βήμα με πολυγραμμικό κριτήριο διαρροής λ =n [(Α Β )/(Α C ),(Α Β )/(Α C )]

14 ιγραμμικό κριτήριο διαρροής Τμήμα F F <0.5Np Ν p Γ Τμήμα F >0.5Np 05N Ν p C f M = = 0 Mp 0 0 Μp Μp Φ = [ ] f F Np M.8 Mp = + = 0 / Np 0.8Μp [ Φ ] = / νp 0.8Μp Τ Τ Δ (Μ p,0,5ν 05Ν p ) Μ p Μ p M ιγραμμικό κριτήριο διαρροής F Ν p Γ Μ p =(Μ ) + δλ (δμ ) Ν p =(F ) + δλ (δf ) (F ) +(δf ) δλ (δf ) Ν p (Μ C ) +(δμ ) (F ) Α Δ (Μ p,0,5ν p ) δλ (δμ ) Μ Ε Δ B Mn (AC/AB, C /C ) Μ p (Μ ) δλ (δμ ) Μ Μ Μ δλ (δμ ) =Μ p Μ p Μ p M

15 Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Δεδομένα προγράμματος Η/Υ: Υποστηλώματα: E=.E8 kn/² (ort(,)(*)) Α=0.098 ² (ort(,)) Ι=5768E-7 4 (ort(,)) Mp=78 kn πλήθος κόμβων : np(*)=8 πλήθος στοιχείων : ne=7 πλήθος δεσμευμένων κόμβων : nb= πλήθος βαθμών ελευθερίας ανά κόμβο : ndf= πλήθος ομάδων στοιχείων με διαφορετικές ιδιότητες : nat= Ζυγώματα: E=.E8 kn/² (ort(,)) Α=0.06 ² (ort(,)) Ι=08E-7 4 (ort(,)) Mp=54 kn 9 Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Βήμα Το INPUT FILE έχει τα εξής δεδομένα : Eντατικά μεγέθη που προκύπτουν: Ράβδος Κόμβος δμ Δλ=nδλ=Mp/δΜ=78/6.0=.97 / (κόμβος μ ς8 ράβδου 7) Άρα λ=δλ=.97 kn 0

16 Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Βήμα Tο INPUT FILE έχει τα εξής δεδομένα : Eντατικά μεγέθη που προκύπτουν : Ράβδος Κόμβος δμ Δλ=nδλ=(Mp Μ)/δΜ=( )/( 4.75)=.56 (κόμβος 7 ράβδου 6) Άρα λ=λ+δλ= =45.5 λ+δλ kn Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Βήμα Tο INPUT FILE έχει τα εξής δεδομένα : Εντατικά μεγέθη που προκύπτουν : Ράβδος Κόμβος δμ Δλ=nδλ=(Mp M)/δΜ=( )/( 5.9)=0.88 (κόμβος 4 ράβδου ) Άρα λ=λ+δλ= =66.4 λ+δλ kn

17 Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Βήμα 4 Tο INPUT FILE έχει τα εξής δεδομένα : Eντατικά μεγέθη που προκύπτουν: Ράβδος Κόμβος δμ Δλ4=nδλ4=(Mp M)/δΜ4=( )/( 7.49)=6.79 M)/δΜ4 ( )/( 7 49) 6 79 (κόμβος ό β 6 ράβδου 6) Άρα λ4=λ+δλ4= =7.0 kn Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Βήμα 5 Tο INPUT FILE έχει τα εξής δεδομένα Eντατικά μεγέθη που προκύπτουν : Ράβδος Κόμβος δμ Δλ5=nδλ5=(Mp M4)/δΜ5=( )/(.48)=6.6 (κόμβος 5 ράβδου 4) Άρα λ5=λ4+δλ5= =79.6 kn 4

18 Παράδειγμα Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης με τη Μέθοδο Βήμα-προς-Βήμα Βήμα 6 Tο INPUT FILE έχει τα εξής δεδομένα : Εντατικά μεγέθη που προκύπτουν: Ράβδος Κόμβος δμ Δλ6=nδλ6=(Mp M5)/δΜ6=( )/(8.00)=.55 (κόμβος 4 ράβδου 5) Άρα λ6=λ5+δλ6= =8.9 kn 5