2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας ( )

Transcript

1 1.1 σκήσεις σχοικού βιβίου σείδας Οµάδας 1. Να βρείτε το συντεεστή διεύθυνσης : i) Tης ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σηµεία ( 1, 4) και (1, 6) ii) Tης ευθείας, η οποία τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ( 1, 0) και (0, ) iii) Tης ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στη Γ. i) = ( 1) = = 1 ii) Γ = ( ) = iii) ε Γ ε Γ = 1 ε = 1 ε = 1. Να βρείτε τη γωνία, που σχηµατίζουν µε τον άξονα x x οι ευθείες που διέρχονται από τα σηµεία : i) ( 1, 4) και (1, 6) ii) ( 1, ) και (0, 4) iii) (1, ) και (1, 1) iv) (, ) και (, ) Έστω ω η ζητούµενη γωνία i) εφω = = 6 4 = 1 ( 1) = 1 ω = 45ο ii) εφω = = 4 0 ( 1) = 1 1 = 1 ω = 45ο iii) x = xb x x ω = 90 ο iv) εφω = = ( ) = 0 ω = 0 ο

2 . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο (1, 1) και i) είναι παράηη προς το διάνυσµα δ = (, ) ii) είναι παράηη προς το διάνυσµα δ = (0, 1) iii) σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία ω = π. 4 Έστω ε η ζητούµενη ευθεία i) ε δ ε = δ = ε : y y 0 = (x x 0 ) y ( 1) = (x 1) y + 1 = x + y = x + 1 y = x 1 ii) Επειδή x δ = 0, είναι δ y y (το δ δεν έχει συντεεστή διεύθυνσης), άρα και ε y y και αφού διέρχεται από το σηµείο (1, 1), θα έχει εξίσωση x = 1 iii) ω = π 4 ε = εφ π = 1 4 ε : y 0 y = (x 0 x ) y ( 1) = 1 (x 1) y + 1 = x 1 y = x

3 4. Θεωρούµε τρίγωνο Γ µε κορυφές ( 1, 0), (, ) και Γ(, 4). Να βρείτε : i) Τις εξισώσεις των υψών του ii) Τις εξισώσεις των µεσοκαθέτων των πευρών του. υ η Γ i) BΓ = y x Γ Γ y x = 4 = = 1 6 Γ. BΓ = 1 = : y y = (x y 0 = (x + 1) y = x + x ) Οµοίως βρίσκουµε τις εξισώσεις των άων δύο υψών. ii) µέσο του Γ x = 1 M ( x + x ) και y = 1 Γ ( y + y ) Γ x = 1 M ( +) και y = 1 (4 + ) x = 0 και y M = εσοκάθετος η η = η : y y = (x x ) y = (x 0) y = x + M Οµοίως βρίσκουµε τις εξισώσεις των άων δύο µεσοκαθέτων.

4 4 5. Να δείξετε ότι το τετράπευρο Γ µε κορυφές (, 1), (5, 5), Γ(1, ) και ( 1, 1) είναι ρόµβος. Ποιες είναι οι εξισώσεις των διαγωνίων του; ( ) = ( x x ) + ( y y ) = (5 ) + (5 1 ) = = 0 () = 0 και οµοίως (Γ) = (Γ ) = ( ) = 0 Άρα το Γ είναι ρόµβος. Γ : y y = y y Γ (x x ) y 1= 1 (x ) x x 1 Γ y 1= 1 (x ) Οµοίως βρίσκουµε : y = x y 1= x + y = x Να δείξετε ότι τα σηµεία (1, 1), (, 0) και Γ( 1, ) είναι συνευθειακά. = y y = = 1 x x 1 BΓ = y y Γ = 0 = 1. x x 1 Άρα Γ = BΓ Γ και επειδή έχουν κοινό σηµείο το, η Γ θα είναι ευθεία. 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σηµεία (συνθ, ηµθ) και (ηµθ, συνθ), αν π < θ < π και θ 4 π. Για ποια τιµή του θ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; : y y = y y (x x ) y ηµθ = συνθ ηµθ (x συνθ) x x ηµθ συνθ y ηµθ = 1 (x συνθ) y = x + συνθ + ηµθ Η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων συνθ + ηµθ = 0 ηµθ = συνθ ηµθ συνθ = 1 εφθ = 1 θ = 4 π

5 5 8. ίνονται τα σηµεία (, ), ( 4, 5) και Γ(, 4). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από την κορυφή και το κέντρο βάρους G του τριγώνου Γ. το µέσο της πευράς Γ : x = 1 M ( x + x ) και y = 1 Γ ( y + y ) Γ x = 1 M ( 4) και y = 1 ( 4 + 5) x = 1 και y M = 1 Η ευθεία G συµπίπτει µε την ευθεία : y y = y x y x (x x ) y = y = y = x y = x (x ) (x )

6 6 Oµάδας 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, που διέρχονται από το σηµείο ( 1, ) και σχηµατίζουν µε τους άξονες ισοσκεές τρίγωνο. Έστω ΛΚ ζητούµενη ευθεία. y Λ Ο K x φού διέρχεται από το, θα έχει εξίσωση y = (x + 1) y = x + + (1) Περιορισµός : Για να ορίζεται τρίγωνο ΟΚΛ, θα πρέπει η ευθεία να τέµνει τους άξονες και µάιστα σε διαφορετικά σηµεία Κ, Λ, άρα θα πρέπει 0 και Συντεταγµένες του Κ : Για y = 0, η (1) 0 = K x K + x K = x = +. K Συντεταγµένες του Λ : Για x Λ = 0, η (1) y Λ = (0 + 1) y Λ = + Τρίγωνο ΟΚΛ ισοσκεές (ΟΚ) = (ΟΛ) x Κ = y Λ + = = 1 = + = 1 = 1 ή = 1 Άρα ζητούµενη ευθεία (1) είναι y = 1x ή y = 1x 1 + y = x + ή y = x + 1

7 7. Να βρείτε τις εξισώσεις των πευρών και τις συντεταγµένες των κορυφών και Γ του τριγώνου Γ, του οποίου τα δύο ύψη έχουν εξισώσεις y = 1 x + y = x + αντιστοίχως και η κορυφή έχει συντεταγµένες (1, 4) Ε Γ και ιαπιστώνουµε ότι η κορυφή δεν επαηθεύει καµία από τις εξισώσεις των υψών. Έστω, οιπόν : y = 1 x + ΓΕ : y = x + Γ Γ = 1 Γ = Γ : y 4 = (x 1) y = x y = x + 6 ΓΕ ΓΕ = 1 = 1 : y 4 = 1(x 1) y = x y = x + Για τις συντεταγµένες του, ύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των, y= x+ y= 1 x+ y= x+ x+ = 1 x+ y= x+ x+ 6= x+ y= x+ x= y= 0 x= Για τις συντεταγµένες του Γ, ύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των Γ, ΓΕ y= x+ 6 x+ = x+ 6 x = 4 y= x+ y= x+ y = και

8 8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο (, 1) και τέµνει τις ευθείες y = x + 1 και y = x + 1 στα σηµεία και αντιστοίχως, έτσι ώστε το να είναι µέσο του. ε 1 : y = x +1 Έστω ( x, y ) και ( x, y ) 1 1 ε 1 y = x + 1 (1) 1 1 ε y = x + 1 () M µέσο του = 1 ( x + x ) και 1 = 1 1 ( y + y ) 1 x + x = 4 () και y + y = (4) 1 1 ε : y = - x + 1 Η (4), όγω των (1), () γίνεται x + 1 x + 1 = x = x 1 1 Η () γίνεται x 1 = 4 x = = x 1 Άρα η ζητούµενη ευθεία έχει εξίσωση x =

9 9 4. ίνονται τα σηµεία P(κ, κ 1 ) και Q(, 1 ), µε κ, 0 και κ. i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας PQ. ii) ν η ευθεία PQ τέµνει τους άξονες x x και y y στα σηµεία και αντιστοίχως, να δείξετε ότι P = BQ i) 1 1 κ PQ = κ κ = κ κ = 1 κ PQ : y κ 1 = 1 (x κ) κ y = 1 x + 1 κ + κ 1 y = 1 x + κ+ κ κ ii) Για y = 0 η (1) 0 = 1 κ x + κ+ κ Για x = 0 η (1) y = κ+ κ. P = BQ (P ) = (BQ ) (1). x = κ +. Άρα (κ +, 0) Άρα (0, κ+ κ ) (κ (κ + )) + ( κ 1 0 ) = ( κ = κ + 1 κ = + ( ) κ + 1 κ = + 1 που ισχύει κ + ( κ κ ) ) + ( 1 κ+ ) κ 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που τέµνει τους άξονες στα σηµεία (α, 0) y και (0, β), µε α, β 0, είναι x + = 1. α β β 0 = 0 α = β α β : y 0 = (x α) αy = βx + αβ α βx + αy = αβ x y + = 1 α β

10 10 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράηη στην ευθεία y = x 11 και τέµνει τους άξονες x x και y y στα σηµεία και, ώστε το άθροισµα της τετµηµένης του και της τεταγµένης του να είναι ίσο µε 15. (1) η ζητούµενη ευθεία. Έστω y = x + β Για y = 0 η (1) 0 = x + β 0 = x + β x = β Άρα β, 0 Για x = 0 η (1) y = β. Άρα (0, β) β + β = 15 β + β = 0 5β = 0 β = 6 Άρα η ζητούµενη ευθεία είναι y = x + 6.