ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ"

Transcript

1 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν.. Η περίφηµη γωνία ω Έστω ευθεία ε που τέµνει τον άξονα x x σε σηµείο Α. Στρέφουµε την ηµιευθεία Αx κατά θετική φορά µέχρι να πέσει πάνω στην ε. Η γωνία ω που διαγράφεται λέγεται γωνία που σχηµατίζει η ε µε τον άξονα x x. y O Α ε ω x Όταν ε // x x δεχόµαστε ότι ω = 0. Σε κάθε περίπτωση είναι 0 ο ω < 180 ο. Συντελεστής διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας ε λ = εφω µε τον περιορισµό ε ω 90 ο 4. Παραλληλία ευθείας ε µε διάνυσµα δ ε //δ λ ε = λδ 5. Ο λ, από δύο σηµεία της ε y y1 λ ε = x x 1 Αν x 1 = x, µε τον περιορισµό x1 x η ε δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης 6. Παραλληλία ευθειών λ = λ ε 1 ε ε1 ε

2 7. Καθετότητα ευθειών λ λ = 1 ε 1 ε ε1 ε 8. Εξίσωση ευθείας ε που διέρχεται από σηµείο Α(x ο, y ο ) Όταν έχει λ, τότε ε : y y ο = λ(x x o ) Όταν δεν έχει λ (κατακόρυφη), τότε ε : x = x o 9. Ειδικές περιπτώσεις ευθείας ε Η ε τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Α(0, β) και έχει λ, τότε ε : y = λx + β Η ε διέρχεται από το Ο(0, 0) και έχει λ, τότε ε : y = λx Η διχοτόµος δ 1 ης ης γωνίας των αξόνων δ : y = x Η διχοτόµος δ ης 4 ης γωνίας των αξόνων δ : y = x Η ε διέρχεται από το Μ(0, y ο ) και είναι // x x, τότε ε : y = y ο Η ε διέρχεται από το Μ(x o, 0) και είναι // y y, τότε ε : x = x ο 10. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας : Αx + y + Γ = 0 µε Α 0 ή 0 Θεώρηµα. Ευθύ : Αντίστροφο : Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής Αx + y + Γ = 0 µε Α 0 ή 0 Κάθε εξίσωση της µορφής Αx + y + Γ = 0 µε Α 0 ή 0 παριστάνει ευθεία. Παρατήρηση : Αν 0 τότε η ευθεία Αx + y + Γ = 0 έχει λ = Α 11. Ιδιότητα Η ευθεία Αx + y + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = (, Α) και κάθετη στο διάνυσµα η = (Α, ) 1. Εφαρµογή Η γωνία δύο ευθειών είναι ίση ή παραπληρωµατική της γωνίας παραλλήλων της διανυσµάτων.

3 1. Απόσταση σηµείου από ευθεία d( Μ o, ε) = Α x +β y +Γ o o Α Απόσταση παραλλήλων ευθειών 1 d ( ε 1, ε ) = β β 1 1+λ ε : y = λx + β 1 και ε : y = λx + β 15. Εµβαδόν τριγώνου : (ΑΓ) = 1 det(α,αγ ) ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Η γωνία ω που σχηµατίζει ευθεία ε µε τον άξονα x x. ω οξεία, λ > 0 ω αµβλεία, λ < 0 y O Α ε ω x ε O y Α ω x ω ορθή, δεν έχει λ ω µηδενική, λ = 0 y ε y ε O Α x O x

4 4. Σηµείωση Η οποιαδήποτε εξίσωση της µορφής y = αx + β παριστάνει ευθεία, όχι κατακόρυφη. Και αντίστροφα, η οποιαδήποτε όχι κατακόρυφη ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. Η οποιαδήποτε εξίσωση της µορφής x = x o παριστάνει κατακόρυφη ευθεία. Και αντίστροφα, η οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία έχει εξίσωση της µορφής x = x o. Η ευθεία σαν γεωµετρικός τόπος σηµείων Κάθε µη κατακόρυφη ευθεία ε είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(x, y) που έχουν την ιδιότητα y = αx + β Άµεση συνέπεια : Μ(x, y) ε y = αx + β Κάθε κατακόρυφη ευθεία ε είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(x, y) που έχουν την ιδιότητα x = x o και y R ελεύθερο. 4. Η σηµασία των λ, β στην ευθεία y = λx + β α) Ισχύει λ = εφω, άρα ο συντελεστής λ του x εκφράζει το πόσο πλάγια ή οριζόντια είναι η ευθεία. β) Για x = 0 είναι y = β, άρα ο β εκφράζει την τεταγµένη του σηµείου τοµής της ευθείας µε τον άξονα y y. 5. Εξίσωση ευθυγράµµου τµήµατος y = αx + β µε x [x 1, x ] 6. Εξίσωση ηµιευθείας y = αx + β µε x [x 1, + ) ή x (, x 1 ] 7. Μέθοδος Για να χαράξουµε τη γραφική παράσταση ευθείας y = αx + β, βρίσκουµε τις συντεταγµένες δύο σηµείων της, δίνοντας δύο τιµές στο x.

5 5 8. Μέθοδος Για να βρούµε την εξίσωση ευθείας, θεωρούµε ότι η ζητούµενη είναι της µορφής y = αx + β ή x = x o και υπολογίζουµε τα α, β, xoαπό τα δεδοµένα του προβλήµατος 9. Μέθοδος Για να βρούµε το σηµείο τοµής δύο ευθειών, λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους. 10. Μέθοδος Η οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από σηµείο Α( x o, y o ) έχει εξίσωση y y o = λ(x x o ) ή x = x o 11. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α,, Γ είναι συνευθειακά ρίσκουµε την ευθεία των δύο και την επαληθεύουµε από το τρίτο. Αποδεικνύουµε ότι λ Α = λ ΑΓ 1. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία είναι κορυφές τριγώνου, αποδεικνύουµε ότι δεν είναι συνευθειακά. 1. Μέθοδος Τη γωνία δύο ευθειών την ανάγουµε σε γωνία παραλλήλων τους διανυσµάτων. 14. Γενική οδηγία Η λύση κάθε προβλήµατος της Αναλυτικής Γεωµετρίας ακολουθεί τον τρόπο κατασκευής του σχήµατος σύµφωνα µε την εκφώνηση. 15. Γενική οδηγία Στα προβλήµατα γεωµετρικού τόπου που υπάρχει παράµετρος, κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου.

6 6 16. Προσοχή Για να βρω την απόσταση ενός σηµείου από µία ευθεία, η εξίσωση της ευθείας πρέπει να είναι στην µορφή Αx + y + Γ = Μέθοδος Για να βρω την απόσταση δύο παράλληλων ευθειών, βρίσκω ένα σηµείο της µιας και υπολογίζω την απόστασή του από την άλλη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : x + y 1 = 0. Έστω (η) η ζητούµενη ευθεία. (η) // (ε) λ η = λ ε = Ευθεία παράλληλη σε δοσµένη Άρα η ζητούµενη ευθεία θα έχει εξίσωση y = x + β (1) Σχόλιο 7 Α η 4 = ( ) + β 1 = 4 + β β = 8 Η (1) γίνεται y = x + 8. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : x 1 = 0. Επειδή (ε)// y y, η ζητούµενη ευθεία θα είναι // y y. Ευθεία παράλληλη σε δοσµένη Και αφού διέρχεται από το Α(, 4) θα έχει εξίσωση x =

7 7. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : x + y 1 = 0. Έστω (η) η ζητούµενη ευθεία. (η) (ε) λ η λ ε = 1 λ η ( ) = 1 λ η = Αφού η ζητούµενη ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α, θα έχει εξίσωση y 4 = Ευθεία κάθετη σε δοσµένη (x + ) y 8 = x + 6 x + y 14 = 0 Σχόλιο 9 4. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : y 1 = 0. Επειδή (ε)// x x, η ζητούµενη ευθεία θα είναι x x Ευθεία κάθετη σε δοσµένη Και αφού διέρχεται από το Α(, 4) θα έχει εξίσωση x =

8 8 5. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που να διέρχεται από το σηµείο Α(, ) και να σχηµατίζει µε τον άξονα y y γωνία 0 ο. Γωνία ευθείας µε τον άξονα y y Από το Α φέρονται δύο ευθείες που να σχηµατίζουν µε τον άξονα y y γωνία 0 ο, οι ΑΚΓ και ΑΛ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΓ, η γωνία του Γ θα είναι 60 ο, άρα η κλίση της ευθείας ΑΚΓ θα είναι εφ10 ο = εφ60 ο =. Εποµένως η ΑΚΓ θα έχει εξίσωση y = (x ) y = x + + Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΛ, η γωνία του θα είναι 60 ο, άρα η κλίση της ευθείας ΑΛ θα είναι εφ60 ο =. Εποµένως η ΑΛ θα έχει εξίσωση y = (x ) y = x y Κ 0 0 Ο 0 0 Λ 60 0 ε A(, ) Γ 10 0 ε 1 5 x 6. Να βρείτε το συµµετρικό του σηµείου Α( 1, ) ως προς κέντρο συµµετρίας το σηµείο Κ(, 1). Συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο Έστω Α (α, β) το συµµετρικό του Α Κ µέσο του τµήµατος ΑΑ = α 1 β+ και 1 = 4 = α 1 και = β + α = 5 και β = 1 y 4 Α(-1, ) Ο - Κ(, 1) 5 Α (α, β) x

9 9 7. Να βρείτε το συµµετρικό του σηµείου Α(, 4) ως προς άξονα συµµετρίας την ευθεία x y + = 0. Έστω ε ο άξονα συµµετρίας. Φέρνουµε ΑΚ ε λακ Συµµετρικό σηµείου ως προς άξονα λ ε = 1 4 y Α(, 4) Κ ε Σχόλιο 1 λακ 1 = 1 Α (α, β) λ ΑΚ = Εξίσωση της ευθείας ΑΚ : y 4 = (x ) y = x y = x + 8 Το Κ ορίζεται ως τοµή των ευθειών ε και ΑΚ, οπότε λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους για να βρούµε τις συντεταγµένες του Κ. Έτσι βρίσκουµε Κ( 14 5, 1 5 ). Ο Σχόλιο 8 Πάνω στην ευθεία ΑΚ θεωρούµε τµήµα ΚΑ = ΑΚ και έστω Α (α, β) Κ µέσο του τµήµατος ΑΑ 14 5 = α+ και 1 5 = β+ 4 8 = 5α + 10 και 4 = 5β x α = 18 5 και β = 4 5

10 10 8. ίνονται τα σηµεία Α( 1, 1), ( 1, ), Γ(, 4) i) Να δείξτε ότι είναι κορυφές τριγώνου. ii) Του τριγώνου αυτού να βρείτε την εξίσωση του ύψους υ α και την εξίσωση της διαµέσου µ β. Σχόλιο 11 i) Αρκεί να δείξουµε ότι τα Α,, Γ δεν είναι συνευθειακά. ρίσκουµε την εξίσωση της ευθείας Α: λ Α = y y 1 Α = = 1 x x 1 1 Α Άρα (Α): y 1= 1(x 1) y = x + Εξετάζουµε αν το Γ ανήκει σ αυτή την ευθεία : 4 = +, που είναι άτοπο. Άρα το Γ δεν ανήκει στην ευθεία Α, οπότε τα σηµεία δεν είναι συνευθειακά. ii) Έστω Α = υ α και Μ = µ β λ Γ = y y 4 7 Γ = = xγ x + 1 Α Γ λ Α = 7 A(1, 1) Μ Ευθεία Α : y 1 = (x 1) 7 4 y = x Μ µέσο του τµήµατος ΑΓ λ Μ = y x Μ Μ y x = = x x Μ Μ B(-1, ) Γ(, -4) xα + xγ yα + yγ = και yμ = = και yμ = Άρα Μ(, ) = 9 5 Ευθεία Μ : y = 9 (x + 1) y = x + 5 5

11 11 9. Σε τρίγωνο ΑΓ, δίνονται η κορυφή Α( 4, ) και οι ευθείες (ε) : y = x 1 +, 1 (η) : y= x + πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο διάµεσοι του. Να βρείτε: 5 5 i) Τις κορυφές και Γ ii ) Τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου i) Επειδή οι συντεταγµένες του Α δεν επαληθεύουν καµία από τις δοσµένες εξισώσεις, οι ευθείες (ε), (η) δε διέρχονται από το Α. Α(-4, ) Έστω ότι η διάµεσος Ε βρίσκεται στην ευθεία (ε) : y = x και η διάµεσος Γ στην ευθεία (η) : y= x xγ Ε µέσο του ΑΓ x Ε = και y Ε = + y Γ (1) Ε ε y Ε = (1 ) + y x 1 Γ E + = 4+ xγ + 1 ( + y Γ ) = ( 4 + x Γ ) y Γ = 1 + x Γ + 4 x Γ + y Γ = 1 () 1 Γ η y Γ = xγ + 5 y Γ = x Γ x Γ + 5 y Γ = 1 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε Γ(4, 0) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε (, 4) ii) y yα λ Α = = 4 1 = xb xa + 4, άρα Α : y = 1 (x + 4) y = 1 x Οµοίως βρίσκουµε ΑΓ : y = x + 1, Γ : y = x Ε Γ

12 1 10. ύο πλευρές ενός παραλληλόγραµµου βρίσκονται στις ευθείες µε εξισώσεις y = x 1 και y = x + 1, και το σηµείο Α(6, 6) είναι µία κορυφή του. 4 4 Να βρείτε τις άλλες κορυφές του παραλληλόγραµµου Οι συντεταγµένες του Α δεν επαληθεύουν καµία από τις δοσµένες εξισώσεις. Έστω λοιπόν ότι Γ: y = x + 1 και 4 4 Γ: y = x 1 Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε ότι Γ( 1, 1). Αφού Α Γ, θα είναι λ Α = λ Γ = 4. A(6, 6) y = 1 4 x + 4 y = x - 1 Γ B Και επειδή η Α διέρχεται από το Α(6, 6), θα είναι Α : y 6 = (x 6) 4 Αφού Γ Α, θα είναι λ Α = λ Γ =. y = 4 x + Και επειδή η Α διέρχεται από το Α, θα είναι Α : y 6 = (x 6) y = x 6 Λύνοντας το σύστηµα των Α : y = 4 x + βρίσκουµε ότι (, ) και Γ : y = x 1 Και το σύστηµα των Α : y = x 6 και Γ : y = x βρίσκουµε ότι (5, 4).

13 1 11. Σε ένα παραλληλόγραµµο ΑΓ κέντρο του είναι το σηµείο Κ(, 1) και δύο πλευρές του έχουν εξισώσεις y = x + 1, y = x + 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών και τις εξισώσεις των διαγωνίων του Επειδή οι δοσµένες ευθείες δεν είναι παράλληλες θα είναι δύο διαδοχικές πλευρές του παραλληλογράµµου. Έστω ότι Α : y = x +1 και Α : y = x + 4 Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων αυτών βρίσκουµε Α( 1, ) Κ µέσο του τµήµατος ΑΓ Σχόλιο 1 Α Κ(, 1) xa + xγ ya + yγ xκ = και yκ = = 1 + x Γ και 1 = + y Γ 4 = 1 + x Γ και = + y Γ x Γ = και y Γ = 0. Άρα Γ(, 0) Γ Α λ Γ = λ Α =, οπότε Γ: y 0 = (x ) y = x + 6 και Γ Α λ Γ = λ Α = 1, οπότε Γ: y 0 = x y = x λ ΑΓ = 0 = 1, άρα 1 ΑΓ: y 0 = (x ) y = x + Tο σύστηµα των εξισώσεων Α : y = x +1 και Γ : y = x + 6 ( 5, 8 ) Γ λ = λ Κ = = 5, άρα : y 8 = 5(x 5 ) y = 5x + 11

14 14 1. Μία πλευρά ενός ρόµβου βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση 5x + 7y = 1, µία κορυφή του έχει συντεταγµένες (, ) και µία διαγώνιος του βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση y = x +1. Να βρείτε τις συντεταγµένες των υπολοίπων κορυφών του. Έστω Α(, ). Επειδή οι συντεταγµένες της κορυφής Α (, ) επαληθεύουν την εξίσωση 5x + 7y = 1, η ευθεία αυτή θα περνάει από το Α. Έστω ότι Α : 5x + 7y = 1 Αφού οι συντεταγµένες του Α δεν επαληθεύουν την εξίσωση y = x +1, η εξίσωση αυτή θα είναι η εξίσωση της ευθείας της διαγωνίου. Λύνοντας το σύστηµα των Α: 5x + 7y = 1 A(, -) Κ Γ 5x+7ψ=1 ψ=x+1 : y = x +1 βρίσκουµε x B =, y B = Είναι λ = 1 και ΑΓ, άρα λ ΑΓ =, οπότε ΑΓ: y + = (x ) y = x + 7 Λύνοντας το σύστηµα των ΑΓ: y = x + 7 : y = x +1 βρίσκουµε x κ =, y κ = 1 xα + xγ yα + yγ Κ µέσο της διαγωνίου ΑΓ xκ = και yκ = = + x Γ + yγ και 1 = 4 = + x Γ και = + y Γ x Γ = 1 και y Γ = 4 Κ µέσο της διαγωνίου, οµοίως βρίσκουµε 46 (, 19) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(λ + 1, λ ), λ R. Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του γ. τόπου x = λ + 1 και y = λ Σχόλιο 14 x = λ + 1 και λ = y + x = (y + ) + 1 x = y x y 7 = 0 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία x y 7 = 0.

15 Αν το σηµείο Α(α +1, β ) κινείται στην ευθεία γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(α, β +1). Α ε α (β ) =1 α β 4 = 1 α + β = 4 (1) ε : x + y = 1, να βρείτε τo Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του γ. τόπου x = α και y = β + 1 (1) ( ) x + + (y 1) = 4 x + y = 0 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία x + y = 0. α = x + και β = y 1 () Σχόλιο Σ ένα τρίγωνο ΟΑ έχουµε Ο(0, 0), Α(, 0), (1, ). Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ Μ ΜΟ = 5 Λύση Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του τόπου. Τότε ΜΑ = ( x, y), ΜΑ Μ ΜΟ = 5 ΜΑ Μ ΜΟ = 5 Μ = (1 x, y), ΜΟ = ( x, y) [( x) + ( y) ] [(1 x) + ( y) ] [( x) + ( y) ] = 5 (9 6x + x + y ) (1 x + x + 4 4y + y ) ( x + y ) = x + x + y 1 + x x 4 + 4y y x y = 5 5x ψ = 4 ευθεία του γ. τόπου.

16 Οι συντεταγµένες δύο πλοίων Π 1 και Π για κάθε χρονική στιγµή t είναι Π 1 (t 1, t + ) και Π (t, t 1) i) Να βρεθούν οι εξισώσεις των γραµµών πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. ii) Να εξετάσετε αν µπορεί τα πλοία να συγκρουστούν. iii) Να βρεθεί η απόσταση των πλοίων όταν t =. Σχόλιο 14 i) Π 1 (x, y) µια τυχαία θέση του Π 1 x = t 1 και y = t + t = x + 1 και y = x y = x + Η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση ευθείας πάνω στην οποία κινείται το Π 1 Οµοίως βρίσκουµε ότι το Π κινείται στην ευθεία µε εξίσωση y = x 1 ii) Οι δύο ευθείες προφανώς είναι παράλληλες, άρα τα πλοία δε θα συγκρουστούν. iii) Όταν t =, είναι Π 1 ( 1, + ) και Π (, 1) Π 1 (, 5) και Π (9, 8) Οπότε Π1Π = (9 ) + (8 5) = 58

17 Το εκέµβριο το καλοριφέρ µίας κατοικίας λειτούργησε 4 ώρες την ηµέρα και το κόστος έφτασε τα 15 ενώ τον Ιανουάριο που λειτούργησε 5 ώρες την ηµέρα το κόστος έφτασε 145. Αν η συνάρτηση που εκφράζει το µηνιαίο κόστος σε ευρώ είναι y = αx + β, όπου x είναι οι ώρες λειτουργίας, να βρεθούν i) Οι τιµές των α και β ii) To προβλεπόµενο κόστος για τον Φεβρουάριο αν το καλοριφέρ λειτουργήσει 4,5 ώρες την ηµέρα ( 8 ηµέρες). i) Το εκέµβριο το καλοριφέρ λειτούργησε συνολικά και τον Ιανουάριο 4 1 = 14 ώρες 5 1 = 155 ώρες Οπότε από την y = αx + β θα έχουµε 15 = 14α + β και 145 = 155α + β ii) Η συνάρτηση κόστους γίνεται β = 15 14α και 145 = 155α α β = 15 14α και 0 = 1α β = 15 14α και β = α = και 1 y = 0 x Tο καλοριφέρ θα λειτουργήσει 8 4,5 = 16 ώρες Tο κόστος θα είναι y = = 16, περίπου 1 16 και 0 α = 1 0 α = β = = 45 1

18 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία να διέρχεται από το σηµείο Μ(0, 1) και τέµνοντας τις ευθείες ε 1 : y = 1 x ισχύει Α = 1 Όταν η ζητούµενη ευθεία ε έχει λ. και ε : y = 1 x Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι y 1= λ(x 0) y = λx + 1 (1) +1 στα σηµεία Α και, να Το σηµείο τοµής Α των ε, ε 1 είναι η λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους y = 1 x και y = λx Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε A, 1 λ 1 λ Το σηµείο τοµής των ε, ε είναι η λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους y = 1 x +1 και y = λx + 1 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε Πρέπει και αρκεί Α = λ, 1 λ 1 λ λ + = 1 1 λ 1 λ 1 λ 1 λ λ + = 1 1 λ 1 λ 4 + 4λ ( 1 λ) ( 1 λ) 4 + 4λ = (1 λ ) = λ = 1 4λ + 4λ λ = 4 Οπότε η ζητούµενη ευθεία (1) είναι η y = 4 x +1 Όταν η ζητούµενη ευθεία ε δεν έχει λ. Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι x = 0 Η x = 0 τέµνει την y = 1 x στο Ο(0, 0) και την y = 1 x +1 στο Κ( 0, 1) Επειδή ΟΚ = 1, η ευθεία x = 0 είναι µία άλλη λύση του προβλήµατος

19 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο Μ(1, 4) και τέµνει τις ευθείες ε 1 : y = x + 4 και ε : y = x + στα σηµεία Α και έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του τµήµατος Α. Όταν η ζητούµενη ευθεία ε έχει λ. Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι y 4 = λ(x 1) y = λx λ + 4 Λύνοντας το σύστηµα των ε 1, ε βρίσκουµε ότι λ 4 + λ A, λ + 1 λ + 1 Λύνοντας το σύστηµα των ε, ε βρίσκουµε ότι λ 1 5λ 8, λ λ (είναι λ 1, αφού η ε πρέπει να τέµνει τις ε 1, ε ) Μ µέσο του Α x M = x x Α + και y M = y y Α + λ λ 1 4+ λ 5λ λ + 1 λ = 1 και λ + 1 λ = 4 λ( λ ) + ( λ 1)( λ+ 1) (4+ λ)( λ ) + (5λ 8)( λ+ 1) = και = 8 ( λ + 1)( λ ) ( λ + 1)( λ ) λ λ + λ 1 = ( λ λ ) και 4λ 8 + λ 6λ + 5λ + 5λ 8λ 8 = = 8( λ λ ) λ λ 1 = λ λ 4 και 0 = και που είναι άτοπο Όταν η ζητούµενη ευθεία ε δεν έχει λ. Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι x = 1 Η x = 1 τέµνει την y = x + 4 στο σηµείο Α(1, ) και την y = x + στο B(1, 5) Επειδή το Μ( 1, 4) είναι µέσο του Α, η ευθεία x = 1 είναι η ζητούµενη. τρόπος M µέσο του Α x M = x x Α + και y M = y y Α + 1 = x x Α + και 4 = y y Α + x Α + x = και y Α + y = 8 x Α + x = και x Α x + = 8 x Α + x = και x Α + x = 1 x Α = 1 και x B = 1 Οπότε y Α = και y = 5, δηλαδή Α(1, ) και (1, 5), άρα η ευθεία Α έχει εξίσωση x = 1.

20 0 0. Έστω η ευθεία ε : y = 5 x + 5. Αν Α και είναι δύο σηµεία της ε έτσι ώστε η τετµηµένη του να είναι κατά µεγαλύτερη από την τετµηµένη του Α, να βρείτε πόσο µεγαλύτερη είναι η τεταγµένη του από την τεταγµένη του Α. Ποια σχέση συνδέει τις διαφορές αυτές µε το λ ε ; Από υπόθεση είναι x B x A = y B y A = Προφανώς 5 x B 5 = x B = B A + 5 ( 5 x A + 5 ) x 5 A 5 (x x ) = 5 = 5 y x B y x Α A = 5 = λ ε

21 1 1. Έστω η εξίσωση (1+µ)x + ( + µ)y µ = 0, µ R (1) Να δείξετε ότι i) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε µ R ii) Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σηµείο του οποίου να βρείτε τις συντεταγµένες. iii) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. iν) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία διέρχεται από το σηµείο (, 1). ν) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y = x + 4. νi) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία είναι κάθετη στην ευθεία y = x + νii) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία που είναι α) //x x β) // y y i) Η (1) είναι της µορφής Αx + y + Γ = 0. Θα αποδείξουµε ότι είναι Α 0 ή 0 (µε την απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι είναι 1+µ = 0 και + µ = 0 µ = 1 και µ = 1 µ = και µ=1 που είναι άτοπο. Άρα η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε µ R ii) ρίσκουµε δύο συγκεκριµένες ευθείες από τις (1), δίνοντας δύο τιµές στο µ. Για µ = 1 έχουµε την ευθεία y =1 και για µ =1 έχουµε την x =. Προφανώς οι ευθείες αυτές τέµνονται στο σηµείο Α(, 1). Ελέγχουµε αν οι συντεταγµένες του Α επαληθεύουν την (1) για κάθε µ R. Για x = και για y = 1 η (1) γίνεται 0µ = 0 που ισχύει για κάθε µ. Άρα όλες οι ευθείες της (1) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Α(, 1). iii). O (1) (1+µ)0 + ( + µ) µ = 0 5 µ = Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y ( ) = x 4 7 y = 0 1 y = x iν) B (1) (1+µ) + ( + µ)( 1) µ = 0 + 6µ + µ µ = 0

22 9 11µ = 9 µ = Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y ( ) = x + 5y + 1 = 0. ν) (1) // y = x + 4 λ (1 ) = 1 1 µ + µ 1 µ = µ µ = µ =. Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y ( ) = 0 8x 8y 16 = 0 x + y = 0 νi) 1 (1) y = x+ λ (1 ). = 1 λ =. 1 µ + µ = 1 6µ = µ 4µ = 4 µ = 1 Οπότε η (1) γίνεται (1+( 1))x + ( +( 1)) y ( 1) = 0 νii) x 4y = 0 x + ψ + 1 = 0. α) (1) // x x 1+µ = 0 µ= Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y ( ) = y = 0 y = 1 β) (1) // y y + µ = 0 µ = 1. Οπότε η (1) γίνεται (1+.1)x + ( +. 1)y = 0 4x + 1 = 0 x =

23 . Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ 1)x + (λ + 1)y λ = 0, λ R (1) περιγράφει την φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας φάρος Φ. i) Nα βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ. ii) Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ(, ), Λ( 1, 5) και Μ(1, ). Nα βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ, Μ. iii) Nα βρείτε ποιο από τα πλοία Κ, Λ βρίσκεται πλησιέστερα στην ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ i) Για λ = 1, η (1) γίνεται y = (ευθεία ε 1 ) Για λ = 1, η (1) γίνεται x = 1 (ευθεία ε ) Σηµείο τοµής των ευθειών ε 1, ε είναι το Φ( 1, ) Ελέγχουµε αν οι ευθείες (1) διέρχονται από το Φ : ii) Φ (1) (λ 1)( 1) + (λ + 1) λ = 0 λ λ + λ = 0 0λ = 0, που αληθεύει για κάθε λ R, άρα όλες οι ευθείες (1) διέρχονται από το σηµείο Φ( 1, ) Αφού Φ( 1, ) και Κ(, ) η ευθεία ΦΚ έχει εξίσωση y = iii) Φ( 1, ) και Λ( 1, 5) η ευθεία ΦΛ έχει εξίσωση x = 1 Φ( 1, ) και Μ(1, ) η ευθεία ΦΜ έχει εξίσωση y = 1 x + 5 x y + 5 = 0 d(κ, ΦΜ) = =, d(λ, ΦΜ) = Αφού = d(κ, ΦΜ) < d(λ, ΦΜ), πλησιέστερα βρίσκεται το πλοίο Κ

24 4. Να δείξτε ότι η εξίσωση x y x + y = 0 µε x, y R παριστάνει δύο ευθείες. x y x + y = 0 x x (y y +) = 0 (1) = 1 + 4(y y +) = 1 + 4y 1y +8 = 4y 1y + 9 = (y ) 0 (1) x = 1 ± ( y ) x = 1 + ( y ) 1 ( y ) ή x = x = 1 + y ή x = 1 y + x y + = 0 ή x + y 4 = 0 x y + 1 = 0 ή x + y = 0 4. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε 1 : x + y 15 = 0 και ε : x y+ = 0 Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ε 1 είναι το δ = (, Α) = (, ) και ένα παράλληλο στην ε είναι το ν = (, ) Σχόλιο 1 δ ν ( ) ( ) συν( δ, ν ) = = δ ν + + = ο = = άρα (δ, ν ) = Oπότε µία από τις γωνίες των δύο ευθειών είναι 10 ο, συνεπώς η οξεία γωνία τους θα είναι 60 ο.

25 5 5. Έστω οι ευθείες ε 1 : λx (λ + 1)y = 1 και ε : x y = λ. i) Για τις διάφορες τιµές του λ R, να βρείτε την σχετική θέση των ευθειών. ii) Στην περίπτωση που οι ευθείες τέµνονται, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του σηµείου τοµής τους i) D = λ λ 1 1 = λ + λ + 1 = λ + 1 D x = 1 λ 1 λ = λ λ = λ(1 λ) D y = λ 1 1 λ = λ + λ 1 = (1 λ) Όταν D 0 λ λ 1 το σύστηµα έχει µία µόνο λύση την x D λ(1 λ) D 1 λ x = = = λ D (1 ) ψ λ y = = = λ 1 y 1 λ Που σηµαίνει ότι οι ευθείες τέµνονται στο σηµείο Ρ (λ, λ 1) Όταν D = 0 λ = 1 τότε το σύστηµα γίνεται x ψ =1 Που σηµαίνει ότι οι ευθείες ταυτίζονται ii) Το σηµείο τοµής όπως είδαµε είναι το Ρ(λ, λ 1) µε λ 1 Αν Ρ(x, ψ) είναι µία τυχαία θέση του Ρ, τότε x = λ και y = λ 1 Κάνοντας απαλοιφή του λ έχουµε y = x 1 ηλαδή το Ρ κινείται στην ευθεία µε εξίσωση y = x 1 Σχόλιο 5 εξαιρούµενου του σηµείου της (1, 0) (αφού λ 1)

26 6 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο Γ(, 5) και τα σηµεία Α( 7, ) και (11, 15) ισαπέχουν από αυτή. Α) Όταν η ζητούµενη ευθεία έχει λ. Τότε θα είναι της µορφής ε : y 5 = λ(x ) y 5 = λx λ λx y λ + 5 = 0 (1) Πρέπει d(α, ε) = d(, ε) 7λ λ λ + 15 λ + 5 = λ + 1 λ λ + = 8λ λ + = 8λ + 0 ή 10λ + = 8λ 0 18λ = 18 ή λ = λ = 1 ή λ = 11 Για λ= 1 η (1) γίνεται 1x y = 0 x y + = 0 Για λ = 11 η (1) γίνεται 11x y = 0 B) 11x y 8 = 0 Όταν η ζητούµενη ευθεία δεν έχει λ, οπότε ε : x = Είναι d(α, ε) = = ( 15) και d(, ε) = = d(α, ε) d(, ε), άρα η ευθεία x = δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος.

27 7 7. Έστω οι ευθείες ε 1 : x y + 4 = 0 και ε : 4x + κy + 6 = 0 i) Να βρείτε το κ ώστε να είναι παράλληλες ii) Για την τιµή του κ που βρήκατε να υπολογίσετε την απόσταση των δύο ευθειών iii) Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης αυτών i) ε 1 : x y + 4 = 0 y = x + 4 άρα ε : 4x + κy + 6 = 0 y = 4 x 6 κ κ ε 1 ε λ ε 1 = λ ε λ ε 1 = µε λ ε = 4 κ = κ = Τότε η (ε ) γίνεται 4x y + 6 = 0 x y + = 0 4 (αναγκαστικά είναι κ 0) κ ii) Ένα σηµείο της ε 1 είναι το Α(0, 4) οπότε Σχόλιο d(ε 1, ε ) = d(α, ε ) = = iii) Α τρόπος Επειδή η µεσοπαράλληλη περνάει από το µέσο οποιουδήποτε τµήµατος που έχει τα άκρα του στις δύο παράλληλες και έχει το ίδιο λ µε αυτές, σκεφτόµαστε ως εξής Ένα σηµείο της ε 1 είναι όπως είδαµε το Α(0, 4) ένα σηµείο της ε είναι το (0, ). Tο µέσο Μ του τµήµατος Α έχει συντεταγµένες Μ(0, 7 ). Άρα η ζητούµενη µεσοπαράλληλη είναι η ευθεία που διέρχεται από το Μ και έχει λ =, δηλαδή y 7 = x y = x + 7 τρόπος. Έστω λοιπόν Γ(α, β) τυχαίο σηµείο της µεσοπαράλληλης d(γ, ε 1 ) = d(γ, ε ) α β+ 4 α β + = α β+4 = α β+ α β+ 4 = α β + ή α β+ 4 = -(α β + ) 4 = ή α β + 4= α + β αδύνατη ή 4α β+ 7 = 0.

28 8 8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 1, ) και σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν Ε = 4 τ.µ. Η ζητούµενη ευθεία αφού θέλουµε να τέµνει τους άξονες δεν µπορεί να είναι ούτε κάθετη ούτε οριζόντια Έστω λοιπόν ότι ε : y = λ(x + 1) y = λx + λ + η ζητούµενη ευθεία. Για x = 0 έχουµε y = λ +, άρα η ε τέµνει τον y y στο σηµείο ( 0, λ + ) Για y = 0 έχουµε x = Γ ( λ +, 0 λ ) λ + λ, άρα η ε τέµνει τον x x στο σηµείο Αφού το τρίγωνο ΟΓ είναι ορθογώνιο στο Ο το εµβαδόν του είναι ίσο µε Ε= 1 Ο ΟΓ 4 = 1 λ + λ + λ 4 = 1 λ + λ λ + 4λ + 4 = 8 λ λ + λ λ + = Για να λύσουµε την εξίσωση αυτή διακρίνουµε περιπτώσεις Αν λ > 0, η εξίσωση γίνεται λ 4λ + 4 = 0 λ = Τότε ε : y = x + 4 Αν λ < 0, η εξίσωση γίνεται λ + 1λ + 4 = 0 λ= 6± 4 Τότε ε : y = ( 6+ 4 )x 4+ 4 ή y = ( 6 4 )x 4 4

29 9 9. Ένα χωριό Χ έχει συντεταγµένες Χ(, 6). Ένα αυτοκίνητο κινείται σ έναν δρόµο και η θέση του καθορίζεται από το σηµείο Α(λ 1, + λ), λ R. Να βρείτε i) Tην εξίσωση της γραµµής στην οποία κινείται το αυτοκίνητο. ii) Nα εξετάσετε αν το αυτοκίνητο θα περάσει από το χωριό iii) Ποια είναι η ποιο µικρή απόσταση της πορείας του αυτοκινήτου από το χωριό i) Aν Α(x, y) τυχαία θέση του αυτοκίνητου, τότε x = λ 1 και y = + λ λ = x + 1 και y = + x + 1 x + y = 0 Εποµένως το αυτοκίνητο κινείται στην ευθεία ε : x + y = 0 ii) Επειδή οι συντεταγµένες του χωριού Χ(, 6) δεν επαληθεύουν την εξίσωση (ε), το αυτοκίνητο δεν θα περάσει από το χωριό. iii) H ποιο µικρή απόσταση της πορείας του αυτοκινήτου από το χωριό ισούται µε την 6+ 1 απόσταση του σηµείου Χ(, 6) από την ευθεία (ε). d(χ, ε) = = 1+ 1

30 0 0. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + y + xy x y + = 0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ii) Να βρείτε το εµβαδόν του τραπεζίου που σχηµατίζουν οι ευθείες αυτές µε τους άξονες i) Η εξίσωση γράφεται y + (x )y + x x + = 0 = (x ) 4(x x + ) = 4x 1x x + 1x 8 = 1. Άρα (x ) ± 1 y = ii) Η ε 1 : y = x +1 τέµνει τους άξονες στα σηµεία Α(1, 0) και (0, 1) Η ε : y = x + τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ(, 0) και (0, ) Το εµβαδόν του τραπεζίου Α Γ είναι (Α Γ) = (Ο Γ) (ΟΑ) = = 1 O OΓ 1 OΑ O = (x ) + 1 (x ) 1 y = ή y = x x + 1 y = ή y = y = x + ή y = x +1 ευθείες προφανώς παράλληλες O y A Γ y = -x +1 x y = -x + = = τετρ. µονάδες.

31 1 1. Το εµβαδόν ενός παραλληλόγραµµου είναι Ε = 1. ύο από τις κορυφές του είναι οι Α( 1, ), (, 4) και το κέντρο του είναι σηµείο του άξονα x x. i) Να αποδείξετε ότι οι κορυφές Α και είναι διαδοχικές κορυφές του παραλληλογράµµου ii) Να βρείτε τις συντεταγµένες των δύο άλλων κορυφών i) 4+ 7 Το µέσο του Α έχει τεταγµένη = 0 άρα δε βρίσκεται στον x x. Αν οι κορυφές Α και ήταν απέναντι, τότε το µέσο του Α θα ήταν το κέντρο του παραλληλόγραµµου, όµως το µέσο του Α δεν είναι σηµείο του x x. Συνεπώς οι κορυφές Α και δεν είναι απέναντι ii) Έστω Κ(α, 0) το κέντρο του παραλληλόγραµµου. Γνωρίζουµε ότι τα τέσσερα τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το παραλληλόγραµµο από τις διαγώνιές του είναι ισοδύναµα, συνεπώς (ΚΑ) = KA =( 1 α, ), KB = ( α, 4) det( KA 1 α, KB ) = = 4 4α α = α α 4 Εποµένως (ΚΑ) = 1 α = α = 6 Για α = 4 είναι Κ( 4, 0) α = 6 ή α = 6 α = 4 ή α = 8 Κ µέσο του ΑΓ 4 = x x Α + Γ και 0 = y y Α + 1+ xγ 4 = και 0 = + y 8 = 1 + x Γ και 0 = + y Γ x Γ = 7 και y Γ = Οµοίως βρίσκουµε ( 6, 4) Για α = 8 και µε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε Γ(17, ) και (18, 4) A Γ Γ Κ Γ B

32 . Ένα τετράγωνο έχει κέντρο Κ( 1, 0) και µία πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση x + y 5 = 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες είναι οι άλλες πλευρές του τετραγώνου. Έστω ΑΓ το τετράγωνο d(κ, Α) = Αφού Γ Α θα είναι Γ: x + y + κ = = Α x+ψ-5=0 d Κ(-1, 0) d d(κ, Γ) = κ = κ = κ = 6 ή 1 + κ = 6 κ = 7 ή κ = 5 Για κ = 5 προκύπτει η ευθεία Α Για κ = 7 προκύπτει η ευθεία Γ : x + ψ + 7 = 0 Αφού Γ και Α Α, και λ Α = 1, θα είναι λ Γ = λ Α = Οπότε οι εξισώσεις των Γ, Α θα έχουν την µορφή y = x + µ x y + µ = 0 Γ d(κ, Γ) = d(κ, Α ) = 6 ( 1) 1 0+µ 6 = µ = 6 µ = 6 ή µ = 6 µ = 9 ή µ = Οπότε Γ : x y + 9 = 0 και Α : x y = 0 ή Γ : x y = 0 και Α : x y + 9 = 0

33 . ίνονται οι ευθείες ε 1 : 4x y + = 0, ε : 7x + 4y + = 0. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων που ισαπέχουν από αυτές. Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου τότε d(μ, ε 1 ) = d(μ, ε ) 4x y = 7x + 4y x y+ 7x + 4y+ = x y+ = 7x + 4y+ 5(4x y + ) =7x + 4y + ή 5(4x y + ) = ( 7x + 4y + ) η 1 : 1x 9y + 7 = 0 ή η : 7x + 9y + 1 = 0 Οι ευθείες η 1, η είναι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος. Παρατήρηση. Από την Ευκλείδεια Γεωµετρία, ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι οι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ε 1, ε, άρα οι ευθείες η 1, η είναι οι εξισώσεις των διχοτόµων.

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (4-6-000) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο : Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο ( x, ) K 0 y 0 και ακτίνα ρ. Μονάδες Α.. Πότε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας . Ασκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 69 7 A Oµάδας. Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγµατική τιµή του µ η εξίσωση (µ ) + µ + µ παριστάνει ευθεία γραµµή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράηη προς τον άξονα, πότε προς

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

1.. Απόσταση σημείου από ευθεία. Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση:

1.. Απόσταση σημείου από ευθεία. Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: .. Απόσταση σημείου από ευθεία Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: Ax+Βψ+Γ=0 με A 0 ή Β 0 και το σημείο Μ (xo, ψο), τότε η απόσταση d του Μ από την ευθεία (ε) δίνεται από τον τύπο: d = d(m,ε) = Αx o +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ. 2. Αν α=β τότε α=β. Σ Λ. 3.

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ. 2. Αν α=β τότε α=β. Σ Λ. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α=β τότε α=β. 3. Αν ΑΜ+ΒΜ = 0 Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα