ΒΙΟΜΙΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΙΑ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΠΛΕΟΝΑΖΟΝΤΕΣ ΒΑΘΜΟΥΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

Transcript

1 ΒΙΟΜΙΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΙΑ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΠΛΕΟΝΑΖΟΝΤΕΣ ΒΑΘΜΟΥΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Παναγιώτης Αρτεμιάδης, Παντελής Κατσιάρης 1, Μηνάς Λιαροκάπης 1, Κωνσταντίνος Κυριακόπουλος 1 1 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Dept. of Mechanical Engineering, M.I.T. Τα ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας έχουν λάβει κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών, αυξημένη προσοχή δεδομένου ότι παρέχουν λύσεις σε μια σειρά προβλημάτων που απασχολούν την επιστημονική κοινότητα. Στο παρόν άρθρο, μια βιομιμητική προσέγγιση προτείνεται για την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος. Αρχικά θα διερευνήσουμε και θα μοντελοποιήσουμε τα κινηματικά χαρακτηριστικά του ανθρώπινου άνω άκρου εκτελώντας κινήσεις στον τρισδιάστατο χώρο. Στην συνέχεια οι εξαρτήσεις μεταξύ των γωνιών των ανθρώπινων αρθρώσεων, θα περιγραφούν χρησιμοποιώντας ένα Μπεϋζιανό δίκτυο, ενώ μια αντικειμενική συνάρτηση, που δημιουργείται χρησιμοποιώντας το συγκεκριμένο μοντέλο, θα χρησιμοποιηθεί σε έναν αλγόριθμο αντίστροφης κινηματικής, κλειστού βρόγχου. Χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο αλγόριθμο, το τελικό σημείο δράσης του βραχίονα, θα μπορέσει να τοποθετηθεί στο τρισδιάστατο χώρο, χρησιμοποιώντας ανθρωπομορφικές διαμορφώσεις των αρθρώσεων. Λέξεις κλειδιά: ΝευροΡομποτική, Ανθρωπομορφικότητα, Προγραμματισμός Κίνησης. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι διαφορετικές διαμορφώσεις που μπορεί να λάβει ένα ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας (β.ε.), παίζουν σημαντικό ρόλο σε μια σειρά ρομποτικών εφαρμογών. Σε περίπλοκες βιομηχανικές διαδικασίες, ο έλεγχος θέσης ενός ρομποτικού βραχίονα πρέπει να είναι ακριβής, σταθερός και γρήγορος, ενώ για μη βιομηχανικές διαδικασίες, (π.χ. οικιακά ρομπότ, ρομποτική χειρουργική), η επιδεξιότητα και ο ευφυής έλεγχος θέσης, αποτελούν απαραίτητες προϋποθέσεις για την αποφυγή εμποδίων [7], τον καθορισμό των μηχανικών ορίων των αρθρώσεων [6], αλλά και την εύρεση μοναδικών διαμορφώσεων [11]. Στην περίπτωση των ρομπότ με πλεονάζοντες β.ε., όπου η διαμόρφωση των αρθρώσεων στον χώρο δεν καθορίζεται μοναδικά, μια σειρά κινηματικών και δυναμικών κριτηρίων έχει εισαχθεί στο [10] για να επιτευχθεί μοναδική λύση. Καθώς, λοιπόν, την τελευταία δεκαετία τα ρομπότ «πλησιάζουν» όλο και περισσότερο τον άνθρωπο, η εισαγωγή της ανθρωπομορφικής κίνηση στα ρομποτικά συστήματα κρίνεται επιτακτική. Η διερεύνηση της κίνησης του ανθρώπινου βραχίονα, για την εξαγωγή νόμων βιομιμητικού σχεδιασμού τροχιάς και αντίστροφης κινηματικής του ρομπότ, έχουν μελετηθεί στο παρελθόν στο [9]. Προσεγγίσεις μίμησης των ανθρώπινων κινήσεων για καθημερινές ασχολίες, έχουν προταθεί στο [3]. Οι προαναφερθείσες μελέτες δεν μπορούν να δημιουργήσουν νέες ανθρωπομορφικές κινήσεις, χαρακτηριστικό απαραίτητο για τον κινηματικό έλεγχο ανθρωπομορφικών ρομποτικών βραχιόνων, των οποίων οι πιθανές διαμορφώσεις, δεν μπορούν να περιοριστούν στις καταγραφείσες από τον άνθρωπο. Μέθοδοι βασισμένες σε συναρτήσεις κόστους [4], έχουν προταθεί στο παρελθόν αλλά είναι αρκετά περίπλοκες και εμπλέκουν εκτός από τα κινηματικά και τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Η πιθανοθεωρητική προσέγγιση βασισμένη στην μέθοδο των Hidden Markov Models [5], που χρησιμοποιήθηκε για την μίμηση των ανθρώπινων κινήσεων, δεν έχει την απαραίτητη ικανότητα γενίκευσης.

2 Στη συγκεκριμένη εργασία λοιπόν, προτείνεται μια βιομιμητική προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος της αντίστροφης κινηματικής. Πιο συγκεκριμένα, ένα μπεϋζιανό δίκτυο, χρησιμοποιείται για την πιθανοθεωρητική περιγραφή του συντονισμού, μεταξύ των ανθρώπινων αρθρώσεων. Στην συνέχεια, μια αντικειμενική συνάρτηση καθορίζεται, χρησιμοποιώντας τις εξαρτήσεις μεταξύ των αρθρώσεων, που προκύπτουν από το πιθανοθεωρητικό μοντέλο. Η συγκεκριμένη συνάρτηση εισάγεται σε έναν αλγόριθμο αντίστροφης κινηματικής, κλειστού βρόγχου με σκοπό τον έλεγχο ενός ρομποτικού βραχίονα πλεοναζόντων β.ε.. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο υπολογιστικός χρόνος της αντίστροφης κινηματικής του αλγόριθμου είναι αμελητέος, καθώς και ότι οι προκύπτουσες διαμορφώσεις είναι ανθρωπομορφικές. Σημαντική τέλος είναι η ιδιότητα της μεθόδου που την καθιστά ικανή να παράγει νέες ανθρωπομορφικές κινήσεις, που δεν έχουν καταγραφεί κατά την φάση εκπαίδευσης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ Επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον μας στον ανθρώπινο βραχίονα και μη λαμβάνοντας υπόψη μας την κίνηση των δακτύλων, τα κινηματικά χαρακτηριστικά του μπορούν να μοντελοποιηθούν με 5 βαθμούς ελευθερίας, που περιγράφουν τις κύριες αρθρώσεις του ώμου και του αγκώνα. (ο καρπός παραλείπεται χάριν ευκολίας). Σκοπός της ανάλυσης μας είναι να χρησιμοποιηθεί η μεθοδολογία που εισαγάγουμε για τον έλεγχο ενός ανθρωπομορφικού ρομποτικού βραχίονα. Κατά την φάση εκπαίδευσης, καταγράφηκαν δεδομένα κίνησης από τον άνθρωπο, για τυχαίες κινήσεις του άνω άκρου στον τρισδιάστατο χώρο. Στην συνέχεια τα συγκεκριμένα δεδομένα μας οδήγησαν στην δημιουργία ενός μοντέλου που περιγράφει τις εξαρτήσεις μεταξύ των διαφορετικών αρθρώσεων, το οποίο με την σειρά του χρησιμοποιήθηκε στην προτεινόμενη προσέγγιση της αντίστροφης κινηματικής του ρομπότ. Προκειμένου να καταγράψουμε την κίνηση του ανθρώπινου βραχίονα και να εξάγουμε τις γωνίες των αρθρώσεων, χρησιμοποιήθηκε ένα μαγνητικό σύστημα καταγραφής θέσης, αισθητήρων. Για τον υπολογισμό των γωνιών, ο ένας αισθητήρας τοποθετήθηκε στον αγκώνα, του κάθε ατόμου που συμμετείχε στο πείραμα, ενώ ο δεύτερος αισθητήρας τοποθετήθηκε στον καρπό. Το σύστημα αναφορά τοποθετήθηκε με την σειρά του σε μια σταθερή κατασκευή πάνω από τον δεξί ώμο κάθε χρήστη. Η κινηματική ανάλυση συνοψίζεται στην ακόλουθη παράγραφο: Έστω ότι τα διανύσματα Τ 1 = [x 1 y 1 z 1 ] T και Τ = [x y z ] T περιγράφουν την θέση των αισθητήρων σε σχέση με το σύστημα αναφοράς. Οι μετρήσεις των Τ 1, Τ, καταγράφηκαν από το μαγνητικό σύστημα μέτρησης θέσης με συχνότητα 30 Ηz. Λύνοντας την αντίστροφη κινηματική, οι γωνίες των ανθρώπινων αρθρώσεων δίνονται από τους παρακάτω τύπους: q = arctan ( ± y, x ) = arctan ( ± +, 1 ) ( ) = arctan ( ± B, B ) ( 3) = arctan ( ± +, ) ( 4) q x y z q q B B B L Κ Κ q5 = arctan ( M, Λ ) + arctan (1 ±, ) ( 5) Μ +Λ Μ +Λ Όπου: ( )

3 Στις παραπάνω εξισώσεις οι γωνίες του ανθρώπινου άνω άκρου συμβολίζονται με: q1, q, q3, q4, q 5. Επίσης πρέπει να σημειωθεί ότι το μήκος L 1, υπολογίστηκε από την απόσταση μεταξύ του πρώτου αισθητήρα και του συστήματος αναφοράς, ενώ το μήκος L, υπολογίστηκε από την απόσταση μεταξύ των αισθητήρων. Η αναλυτική επίλυση των εξισώσεων έχει παρουσιασθεί από τους συγγραφείς στο []. 3 ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Βασιζόμενοι στις γωνίες του ανθρώπου, που έχουν εξαχθεί από τις εξισώσεις τις αντίστροφης κινηματικής, θα κατασκευάσουμε ένα κατευθυνόμενο γραφικό μοντέλο (μοντέλο δένδρου) με τον περιορισμό ότι θέλουμε κάθε κόμβος να έχει μόνο έναν γονέα. Αυτό το μοντέλο θα περιγράφει τις αλληλεξαρτήσεις των αρθρώσεων του ανθρώπινου άνω άκρου. Για να κατασκευάσουμε το βέλτιστο δένδρο, για ένα σύνολο μεταβλητών χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο Chow Liu. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος κατασκευάζει το μέγιστο γεννητικό δένδρο, του ολοκληρωμένου γράφου αμοιβαίας πληροφορίας, στο οποίο κάθε κόμβος αντιστοιχεί σε μια μεταβλητή του μοντέλου και κάθε βάρος κάθε κατευθυνόμενης ακμής f i f αντιστοιχεί, στην αμοιβαία πληροφορία I(f i,f ) που δίνεται από τον τύπο: p( fi, f ) I( f, ) (, ) log ( )( ) ( 6 ) i f = p fi f fi, f p f i f Πληροφορίες σχετικά με τον αλγόριθμο κατασκευής του μέγιστου γεννητικού δένδρου, μπορούν να βρεθούν στο [1]. Οι μεταβλητές {q 1, q, q 3, q 4, q 5 } αντιστοιχούν στις γωνίες των αρθρώσεων των 5 μοντελοποιημένων βαθμών ελευθερίας. Η προκύπτουσα δομή του δένδρου φαίνεται στην εικόνα ενώ για να υπολογίσουμε την από κοινού πιθανότητα των 5 μεταβλητών που αντιπροσωπεύουν τις γωνίες των αρθρώσεων χρησιμοποιούμε τον παρακάτω τύπο: (,,,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q q q q q = p q q p q q p q q p q q p q Όπου κάθε πιθανότητα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: p( qi q) = ( i, ) p( q ) p q q Σχήμα 1: Ο κατευθυνόμενος γράφος (δένδρο) που παρουσιάζει τις εξαρτήσεις των αρθρώσεων. Η τιμή της αμοιβαίας εξάρτησης των μεταβλητών φαίνεται σε κάθε κλάδο του γράφου.

4 4.1 ΥΛΙΚΟ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Η προτεινόμενη μέθοδος, αξιολογήθηκε μέσα από την διαδικασία ελέγχου ενός ρομποτικού βραχίονα πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας, πιο συγκεκριμένα ενός ανθρωπομορφικού ρομποτικού βραχίονα 7 βαθμών ελευθερίας (PA 10 Mitsubishi Heavy Industries). Ο ελεγκτής του ρομπότ επικοινωνούσε με το pc κάνοντας χρήση του πρωτοκόλλου ARCNET, με την συχνότητα επικοινωνίας να είναι 500 Hz. Περισσότερες πληροφορίες για την μοντελοποίηση του ρομποτικού βραχίονα μπορεί κάποιος να αναζητήσει στο [9]. Για την καταγραφή της κίνησης, χρησιμοποιήθηκε ένα μαγνητικό σύστημα καταγραφής θέσης (Isotrak II, Polhemus Inc.), το οποίο ήταν συνδεδεμένο με ένα pc μέσω σειριακής (RS 3) και με την συχνότητα καταγραφής του να είναι 30 Ηz. Η διάρκεια της πειραματικής διαδικασίας ήταν 5 λεπτά, στα οποία ζητήθηκε από τον χρήστη να εκτελέσει τυχαίες κινήσεις στον χώρο, αλλά και να εκτελέσει καθημερινές εργασίες, όπως αρπαγή αντικειμένων και γράψιμο σε κατακόρυφο πίνακα. 4. ΒΙΟΜΙΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΝΟΣ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΠΛΕΟΝΑΖΟΝΤΩΝ Β.Ε. Όπως προαναφέραμε σκοπός μας είναι η διατύπωση μίας αντικειμενικής συνάρτησης η οποία θα οδηγήσει το ρομπότ σε ανθρωπομορφικές διαμορφώσεις. Οι πιθανότητες που περιγράφηκαν νωρίτερα μοντελοποιούνται με χρήση Μείγματος Γκαουσιανών Μοντέλων, τα οποία έχουν το πλεονέκτημα ότι αποτελούν συνεχείς συναρτήσεις. Έτσι ορίζουμε την συνάρτηση G(q) η οποία περιγράφει την πιθανότητα οι αρθρώσεις του ρομπότ να λάβουν ανθρωπομορφική διαμόρφωση. Εισάγουμε, επομένως, την παραπάνω συνάρτηση στον αλγόριθμο της αντίστροφης διαφορικής κινηματικής η τελική μορφή της οποίας περιγράφεται από την εξίσωση: ( ( ) ( )) ( ) q& = J ( q ) Ke+ I J q J q q&, R R R R a όπου: q& a ένα διάνυσμα ταχυτήτων του χώρου των αρθρώσεων που μπορεί να επιλεγεί από τον χρήστη, K ένας θετικά ορισμένος πίνακας κερδών, J η ιακωβιανή ορίζουσα, J ο ψευδοαντίστροφος πίνακας της Ιακωβιανής, e το σφάλμα θέσης. Ο δεύτερος όρος της εξίσωσης προβάλει τις ταχύτητες των αρθρώσεων στον μηδενοχώρο της Ιακωβιανής ορίζουσας, με αποτέλεσμα να προκαλεί μία εσωτερική κίνηση των αρθρώσεων η οποία δεν επηρεάζει την θέση και τον προσανατολισμό του ΤΣΔ. ( ) G q Στην περίπτωση μας επιλέχθηκε q& a = ka. q Η συνάρτηση G(q) ελαχιστοποιείται όταν η διαμόρφωση είναι ανθρωπομορφική και μεγιστοποιείται όταν η διαμόρφωση είναι μη ανθρωπομορφική. Με άλλα λόγια ο β όρος της εξίσωσης επιβάλει τις επιθυμητές γωνίες των αρθρώσεων, ενώ ο α όρος είναι υπεύθυνος για τον μηδενισμό του σφάλματος θέσης. Σε αυτό το σημείο πρέπει αν αναφερθεί ότι επειδή ο ρομποτικός βραχίονας και ο ανθρωπινός βραχίονας έχουν διαφορετικά μήκη συνδέσμων, οι καταγεγραμμένες τροχιές επεξεργάστηκαν κατάλληλα, ώστε να υπάρχει αντιστοιχία ανάμεσα σε αυτές του χρήστη και στο χώρο δράσης του ρομπότ. 4.3 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Προκειμένου να καταστεί εφικτή η αξιολόγηση της μεθόδου, εκτελέσθηκε το ακόλουθο πείραμα σε πραγματικό χρόνο. Έχοντας καταγράψει και μοντελοποιήσει τις κινήσεις του ανθρώπινου άκρου ζητήθηκε από τον χρήστη να κινήσει το χέρι του στον τρισδιάστατο χώρο. Παράλληλα, με εφαρμογή της μεθόδου αντίστροφης κινηματικής, ο ρομποτικός βραχίονας κλήθηκε να αναπαράγει την κίνηση αυτή στον καρτεσιανό χώρο, πληρώντας ως βασικό χαρακτηριστικό την διατήρηση ανθρωπομορφικής διαμόρφωσης και όχι την πιστή αναπαραγωγή της τροχιάς στον χώρο των αρθρώσεων. Τα αποτελέσματα του εν λόγω πειράματος παρουσιάζονται γραφικά στα σχήματα που ακολουθούν.

5 Σχήμα : Εικόνες από το βίντεο που απεικονίζει τον ρομποτικό βραχίονα να εκτελεί τυχαίες κινήσεις στον τρισδιάστατο χώρο, κάνοντας χρήση της προτεινόμενης βιομιμητικής μεθόδου ( η σειρά εικόνων). Είναι εμφανής η ομοιότητα με την κίνηση που εκτελείται από τον χρήστη. Σχήμα 3: Οι γωνίες των αρθρώσεων του ρομπότ που προέκυψαν με από την προτεινόμενη μεθοδολογία και σύγκριση με τα προφίλ γωνιών του χρήστη και με τα προφίλ που προέκυψαν από τον αλγόριθμο της αντιστροφής διαφορικής κινηματικής χωρίς τον β όρο. Με μπλε χρώμα αποτυπώνεται η τροχιά που εκτέλεσε ο άνθρωπος, με κόκκινο χρώμα αποτυπώνεται η τροχιά που προέκυψε από την προταθείσα μεθοδολογία, ενώ με πράσινο χρώμα αποτυπώνεται η τροχιά που προέκυψε από ένα αλγόριθμο παραδοσιακής αντίστροφης κινηματικής.

6 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία επιχειρήθηκε μια βιο-μιμητική προσέγγιση του προβλήματος της αντίστροφης κινηματικής, για ρομποτικούς βραχίονες πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας. Η προτεινόμενη μέθοδος, εκτός του ότι είναι ικανή να παράγει βιο-μιμητικές κινήσεις του ρομποτικού βραχίονα, έχει την δυνατότητα μέσω του γραφικού μοντέλου να παράγει και ανθρωπομορφικές κινήσεις που δεν έχουν παρατηρηθεί στα δεδομένα εκπαίδευσης. Επεκτείνοντας τον συλλογισμό μας, η συγκεκριμένη μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε μη ανθρωπομορφικούς ρομποτικούς βραχίονες, αρκεί να επιτευχθεί η κατάλληλη αντιστοίχηση μεταξύ των γωνιών ανθρώπου και ρομπότ. Η προτεινόμενη μέθοδος μπορεί να είναι χρήσιμη σε ένα ευρύ φάσμα ρομποτικών βραχιόνων που διασυνδέονται η αλληλεπιδρούν με τον άνθρωπο και λειτουργούν σε περιβάλλοντα με ανθρώπινα εμπόδια. Ειδικά στα ανθρωποειδή ρομπότ, η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί άμεσα προκειμένου να οδηγήσει σε ανθρωπόμορφες κινήσεις των βραχιόνων, ενώ μπορεί να επεκταθεί εύκολα και σε διαμορφώσεις βραχιόνων, περιγράφοντας τις κοινές εξαρτήσεις των γωνιών, στο ρομποτικό σύστημα των βραχιόνων. Τέλος, η μελλοντική έρευνα θα αφιερωθεί στην προσθήκη ικανοτήτων δύναμης αλλά και στην επέκταση της μεθόδου, ώστε να μπορέσει να χρησιμοποιηθεί σε ένα σύστημα ρομποτικού βραχίονα-χεριού. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Hirotugu Akaike (1974), A new look at the statistical model identification, IEEE Transactions on Automatic Control, 6, P. K. Artemiadis, Pantelis T. Katsiaris, Kostas J. Kyriakopoulos, A biomimetic approach to inverse kinematics for a redundant robot arm, Autonomous Robots, vol. 9(3-4), pp , V. Caggiano, A. De Santis, B. Siciliano & A. Chianese (006), A biomimetic approach to mobility distribution for a human-like redundant arm, Proc. of the IEEE/RAS-EMBS International Conference on Biomedical Robotics and Biomechatronics, H. Cruse, E.Wischmeyer, M. Bruser, P. Brockfeld & A. Dress (1990), On the cost functions for the control of the human arm movement, Biological Cybernetics, 6, T. Inamura, I. Toshima, H. Tanie & Y. Nakamura (004), Embodied symbol emergence based on mimesis theory, International Journal of Robotics Research, 4, A. Ligeois (1977), Automatic Supervisory Control of the Configuration and Behavior of Multibody Mechanism, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics, A. A. Macieewski & C. A. Klein (1985), Obstacle Avoidance for Kinematically Redundant Manipulators in Dynamically Varying Environments, The International Journal of Robotics Research, 4, N. A. Mpompos, P. K. Artemiadis, A. S. Oikonomopoulos & K. J. Kyriakopoulos, Modeling, full identification and control of the Mitsubishi PA-10 robot arm, Proc. of IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, (007). 9. Y. Nakamura & H. Hanafusa (1986), Inverse Kinematics Solution with Singularity Robustness for Robot Manipulator Control, ASME Journal of Mechanisms, Transmissions, Automation, Design, 108, V. Potkonak, M. Popovic, M. Lazarevic & J. Sinanovic (1998), Redundancy problem in writing: From human to anthropomorphic robot arm, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics, part B, 8, L. Sciavicco & B. Siciliano (1996), Modeling and control of robot manipulators. McGraw-Hill.