ΜΜ803 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Transcript

1 ΜΜ83 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εαρινό εξάµηνο 8 Λύσεις εργασίας # Λύση άσκησης : Για την πρώτη συνάρτηση ισχύει ότι sin( ωt+ θ) sinωtcosθ + cosωtsinθ άρα L[sin( ωt+ θ)] L[sin ωtcosθ + cosωtsin θ] cos θ L[sin ωt] + sin θl[cos ωt] ω s cosθ + sinθ s + ω s + ω ωcosθ + ssinθ s + ω Για την δεύτερη έχουµε από τον πίνακα, at s+ a Le [ cos ωt] ( s+ a) + ω Le.4t [ cos ] t s +.4 ( s +.4) + Λύση άσκησης : Ο κώδικας θα µπορούσε να είναι κάπως έτσι: clear all; num [ 5 3 6]; den [ 6 6]; [r, p, k] residue(num, den) [num, den] residue(r, p, k); printsys(num, den, 's'); Η έξοδος της εντολής [r, p, k] residue(num, den) είναι r p

2 k Το διάνυσµα r δίνει τα υπόλοιπα, δηλαδή τους αριθµητές των µερικών κλασµάτων, το διάνυσµα p δίνει τους πόλους, και το διάνυσµα k δίνει τους ευθείς όρους. Το αποτέλεσµα είναι Gs () s+ 3 s+ s+ Προσέξτε ότι για να εµφανιστούν τα διανύσµατα r, p, και k στην επιφάνεια εργασίας του MATLAB, πρέπει η εντολή residue να µην τελειώνει µε ;. Στη συνέχεια µε την εντολή [num, den] residue(r, p, k);, παίρνουµε πάλι τον αριθµητή και παρανοµαστή του αρχικού κλάσµατος. Η εντολή printsys(num, den, 's');, τυπώνει στην επιφάνεια εργασίας του MATLAB, το αρχικό σύστηµα στην συνηθισµένη κλασµατική µορφή. Λύση άσκησης 3: Γενικά ισχύει ότι, Lx [ ] sx( s) x() άρα η διαφορική µας εξίσωση γίνεται Lx sx s sx x [ ] ( ) () () + + [ sxs ( ) sx() x()] 7[ sxs ( ) x()] 3 Xs ( ) Αντικαθιστώντας τις δοσµένες αρχικές συνθήκες στην τελευταία εξίσωση έχουµε, [ () 3] 7[ () 3] 3 () sxs s+ sxs + Xs ( ) 6 7 ( ) 3 ( ) sxs s+ sxs + Xs ( ) 7 ( ) 3 ( ) 6 s X s + sx s + X s s ( 7 3) ( ) 6 s + s+ X s s+ 6s+ 3s+.5 s s + s+ s + s και τελικά βρίσκοντας τις ρίζες του παρανοµαστή έχουµε, 3s +.5 s ( s+.5)( s + 3) Στη συνέχεια αναπτύσσουµε την Χ(s) σε µερικά κλάσµατα και παίρνουµε, s s+.5 s+ 3 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της X(s) δίνει,

3 xt () L [ ] s L L L s.5 s 3 s s+ 3 xt () 3.6e.6e.5 t 3t Λύση άσκησης 4: Για να βρούµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, πρέπει να αναπτύξουµε τις συναρτήσεις σε µερικά κλάσµατα. A. Επειδή ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του παρανοµαστή, πρέπει να διαιρέσουµε τα πολυώνυµα. Το αποτέλεσµα είναι, s + 3 Fs () s+ + ( s+ )( s + ) Χρησιµοποιώντας τη ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε, a a Fs () s+ + + s+ s+ s+ 3 s+ 3 a ( s+ ) ( s )( s ) s s a s s+ 3 s+ 3 ( s+ ) ( s )( s ) s s Οι παραπάνω υπολογισµοί γίνονται εύκολα και µε την χρήση της εντολής residue του MATLAB. Στη συνέχεια βρίσκουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, ξέροντας ότι ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης µοναδιαίας κρούσης δ(t) είναι, και ότι ο µετασχηµατισµός Laplace της dδ(t)/dt είναι s. s d f t t t e dt δ δ e () () () t + + t B. Εδώ έχουµε διπλό πόλο και ισχύει ότι, a b b Fs () + + s+ s+ ( s+ ) 5s+ 5s+ 5+ a ( s+ ) 3 ( )( ) ( ) b s+ s+ s s + s 5s+ 5s+ + ( s+ ) ( s )( s ) s s s

4 d 5s+ d 5s+ b ( s ) ( )( ) ds + s s ds s s s 5( s+ ) (5s+ ) 5s+ 5 5s 3 3 b 3 ( s ) ( s ) ( s ) + s + + s s Στη συνέχεια βρίσκουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, F s f t e te e s+ ( s+ ) s+ t t t () + () C. Εδώ έχουµε πάλι διπλό πόλο και µιγαδικούς πόλους, άρα Fs () a a b s+ ωj s ωj s s b a ( s j) j + ω 3 3 s ( s ω j)( s ωj) + ( ωj) ( ωj ωj) ω j ω s ω j a ( s ω j) j 3 s ( s ωj)( s ωj) ( ωj) ( ωj ωj) ω j ω s ω j b s s s j s j j j j ( ω )( ω ) + ω ( ω ) ω ω s d d s b s ds s ( s + ωj)( s ωj) ds s + ω ( s + ω ) s s Στη συνέχεια βρίσκουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, s 3 3 j(/ ω ) j(/ ω ) ( s+ ωj) ( s ωj) Fs () j 3 s+ ωj s ωj ω s ω s ω ( s+ ωj)( s ωj) ωj ω Fs () + j 3 ω s ω s + ω ω s ω s + ω f() t t sinωt ω ω D. Επειδή ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του παρανοµαστή, πρέπει να διαιρέσουµε τα πολυώνυµα. Το αποτέλεσµα είναι, s + 5 Fs () s + s+ + ss ( + ) Χρησιµοποιώντας τη ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε, a a Fs () s + s + + s + s +

5 a s ss s s a s+ 5 s+ 5 5 ( + ) + s s s+ 5 s+ 5 ( s+ ) ss ( ) s 3 + s Στη συνέχεια βρίσκουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, ξέροντας ότι ο µετασχηµατισµός Laplace της d δ(t)/dt είναι s. d d f () t δ() t + δ() t + δ() t + 5 3e t dt dt Λύση άσκησης 5: Εισάγουµε µια νέα µεταβλητή, την µετατόπιση ενός σηµείου y, ανάµεσα στο ελατήριο k και στον αποσβεστήρα b (βλέπε σχήµα). Για τα στοιχεία σε σειρά, ισχύει ότι η δύναµη που ασκείται σε κάθε στοιχείο είναι η ίδια. y x k b M F k (α) Το σύστηµα περιγράφεται από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. mx F k x b( x y ) bx ( y ) ky (β) Τα αρνητικά πρόσηµα στην πρώτη διαφορική εξίσωση δείχνουν ότι οι αντίστοιχες δυνάµεις αντιτίθενται στην δύναµη F. Στην δεύτερη διαφορική εξίσωση οι δυνάµεις λόγω του ελατηρίου k και του αποσβεστήρα b, έχουν το ίδιο πρόσηµο. (γ) Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace, των δύο διαφορικών εξισώσεων, θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, έχουµε: mx s s F s k X s bx s s by s s () () () () + () bsx () s bx () s s by() s s ky () s Y () s k + bs Απαλείφοντας το Υ(s) από τις παραπάνω εξισώσεις έχουµε: mx () s s F () s k X () s bx () s s + bs k bs + bsx () s Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουµε την συνάρτηση µεταφοράς µεταξύ εξόδου Χ(s) και F(s).

6 bs s ms + k + bs+ F() s k + bs s k + bs 3 Fs () mbs+ ( mk+ sb) s + ( kb + kbs ) + kk