12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο γραμμικός προγραμματισμός περιγράφει ένα μοντέλο που αφορά τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης κάτω από κάποιους γραμμικούς περιορισμούς. Από την οικονομική σκοπιά, ο γραμμικός προγραμματισμός είναι μια τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (καθώς και με άλλα προβλήματα με ανάλογη ή παραπλήσια διαμόρφωση). Θεωρείται σαν μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα και στις μέρες μας αποτελεί ένα μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών βιομηχανικών εταιρειών. Ο όρος «προγραμματισμός» δεν έχει την έννοια του «προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών» αλλά αυτήν του «σχεδιασμού». Ο γραμμικός προγραμματισμός ασχολείται με τη σχεδίαση των δραστηριοτήτων του συστήματος που περιγράφει για να προκύψει το άριστο αποτέλεσμα, το αποτέλεσμα δηλαδή εκείνο, που μεταξύ όλων των δυνατών εναλλακτικών λύσεων πραγματώνει τον προκαθορισμένο σκοπό κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Ο γραμμικός προγραμματισμός παρουσιάζει, επίσης, ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη θεωρητική πληροφορική. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μοντελοποίηση και την επίλυση πολλών συνδυαστικών προβλημάτων τα οποία εκ πρώτης όψεως δεν σχετίζονται με το γραμμικό προγραμματισμό. Έτσι, ο ελλειψοειδής αλγόριθμος (ο πρώτος αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου για το γραμμικό προγραμματισμό) ή οι πιο πρόσφατες μέθοδοι των εσωτερικών σημείων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αποδοτική επίλυση πολλών συνδυαστικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός βέλτιστων ροών σε ένα δίκτυο, η εύρεση ενός μέγιστου ταιριάσματος (maximal matching) σε ένα γράφο, ή ενός χρωματισμού σε ένα τέλειο γράφημα. Η αρχική μαθηματική διατύπωση του προβλήματος καθώς και μια συστηματική διαδικασία λύσης του, η μέθοδος Simplex, οφείλεται στον G. B. Dantzig στα Νωρίτερα διάφορα προβλήματα τύπου γραμμικού προγραμματισμού είχαν διαμορφωθεί και επιλυθεί. Τα σημαντικότερα από αυτά αφορούν το πρόβλημα μεταφοράς (Hitchcock 1941, Koopmans 1949) και το πρόβλημα της δίαιτας (Stigler 1945). Ο Dantzig ήταν όμως ο άνθρωπος που κατασκεύασε το γενικό πλαίσιο και ταυτόχρονα ανακάλυψε μέθοδο επίλυσης του. Πολλά από τα προβλήματα που έχουμε να αντιμετωπίσουμε ανάγονται σε γραμμικά προβλήματα. Κλασικά παραδείγματα αποτελούν τα προβλήματα προγραμματισμού των πληρωμάτων σε μια αεροπορική εταιρία, ο υπολογισμός του συνδυασμού πρώτων υλών σε notes/data/linear/main.htm 1/70

2 ένα εργοστάσιο που μεγιστοποιεί το κέρδος του τελικού προϊόντος, ή ο υπολογισμός των ροών αυτοκινήτων σε ένα οδικό δίκτυο, ή του φόρτου πληροφοριών σε ένα δίκτυο επικοινωνίας. 1.1 ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια πολύ σημαντική κλάση προβλημάτων, τόσο από αλγοριθμική, όσο και από συνδυαστική σκοπιά. Από αλγοριθμική σκοπιά, ο αλγόριθμος Simplex προτάθηκε στη δεκαετία του 1940 (λίγο μετά τον πόλεμο) και, παρά το ότι λειτουργεί πολύ αποδοτικά στην πράξη, είναι γνωστό ότι έχει εκθετικό χρόνο εκτέλεσης στη χειρότερη περίπτωση. Από την άλλη πλευρά, είναι ήδη γνωστό από τις αρχές της δεκαετίας του 1970, όταν οι κλάσεις ορίστηκαν, παρατηρήθηκε ότι ο γραμμικός προγραμματισμός ανήκει στην, παρά το γεγονός ότι κανένας πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμος δεν ήταν γνωστός μέχρι τότε. Ο πρώτος πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμος, ο Ελλειψοειδής, ανακαλύφθηκε στα τέλη της δεκαετίας του Ο αλγόριθμος του Καρμακαρ που ανακαλύφτηκε στη δεκαετία του 1980, οδήγησε στη συστηματική μελέτη των μεθόδων εσωτερικών σημείων για το γραμμικό προγραμματισμό. Από συνδυαστικής άποψης, τα συστήματα γραμμικών ανισοτήτων μελετήθηκαν από τους Farkas και Minkovsky από τα τέλη του 19ου αιώνα. Ο γραμμικός προγραμματισμός, και ιδιαίτερα η δυϊκότητα, αποτελούν πολύ ισχυρά αποδεικτικά εργαλεία. Η δύναμη τους αξιοποιήθηκε ιδιαίτερα στους προσεγγιστικούς αλγορίθμους που μελετήθηκαν εκτενώς στη δεκαετία του 1990 και συνεχίζουν να μελετώνται εντατικά και σήμερα. Επίσης στους αλγορίθμους δικτυακών ροών ο γραμμικός προγραμματισμός παίζει πολύ σημαντικό ρόλο, τόσο αλγοριθμικά όσο και από συνδυαστικής απόψεως. 1.2 ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (Π.Γ.Π.) Όπως θα δούμε στη συνέχεια, αν κάποιος καταφέρει να προσαρμόσει το πρόβλημα του στο πρότυπο του γραμμικού προγραμματισμού, έχει στη διάθεση του ένα σύνολο εργαλείων, όχι μόνο για να βρει την καλύτερη λύση στο ερώτημα που τον απασχολεί, αλλά και για να προχωρήσει σε μια ανάλυση υποθέσεων για τις διάφορες παραμέτρους του προβλήματος. Εν τούτοις, κι αυτό είναι κάτι που δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάμε καθώς βυθιζόμαστε στις λεπτομέρειες της όποιας λύσης, το κύριο μέρος κάθε εφαρμογής της Επιχειρησιακής Έρευνας είναι η μοντελοποίηση. Η λύση, ανεξάρτητα από το πόσο λεπτομερής ή εξεζητημένη είναι, έχει απλά έναν υποστηρικτικό ρόλο. Το γραμμικό μοντέλο πρότυπο, σχηματίζεται από τα εξής τρία βασικά συστατικά: τις μεταβλητές (αγνώστους) του προβλήματος, notes/data/linear/main.htm 2/70

3 έναν αντικειμενικό στόχο που θα πρέπει να επιτευχθεί, και τους περιορισμούς που θα πρέπει να ενσωματώσουμε στις μεταβλητές ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες του προβλήματος. Οι μεταβλητές είναι τα δομικά στοιχεία του προβλήματος που μπορεί να επηρεάσει ο αναλυτής. Για το λόγο αυτό συχνά αναφέρονται και ως μεταβλητές ελέγχου ή μεταβλητές απόφασης. Ας πάρουμε για παράδειγμα μια βιομηχανία γάλακτος που προετοιμάζει την ημερήσια γραμμή παραγωγής της. Πολλές είναι οι μεταβλητές που υπάρχουν σ' ένα τέτοιο πρόβλημα. Μεταξύ τους, εύκολα μπορούμε να αναφέρουμε την ποσότητα των διαφορών τύπου γάλακτος, τυριού και γιαουρτιού που θα παρασκευαστούν: = η ποσότητα (lit) πλήρους γάλακτος που θα παρασκευαστεί, = η ποσότητα (lit) άπαχου γάλακτος που θα παρασκευαστεί, = η ποσότητα (Kg) τυριού φέτας που θα παρασκευαστεί, = (χρησιμοποιούμε συνήθως το γράμμα για να παραστήσουμε μια μεταβλητή και με έναν δείκτη επιτυγχάνουμε τη μεταξύ τους διάκριση). Το πρόβλημα αφορά βέβαια τον εντοπισμό τιμής για την κάθε μεταβλητή απόφασης ώστε να... Χρειαζόμαστε δηλαδή έναν αντικειμενικό στόχο. Ο στόχος αυτός μπορεί να αφορά τη μεγιστοποίηση του κέρδους, της καλύτερης αξιοποίησης του εργατικού δυναμικού, ή την ελαχιστοποίηση του κόστους, της υπερωριακής απασχόλησης, κτλ. Ψάχνουμε να βρούμε εκείνες τις τιμές των μεταβλητών ελέγχου οι οποίες θα βελτιστοποιήσουν το κριτήριο απόδοσης που ορίζουμε σ' αυτό το στάδιο της μοντελοποίησης. Στο παράδειγμα της γαλακτοβιομηχανίας που αναφέρθηκε πιο πάνω, θα μπορούσαμε να ορίσουμε σαν στόχο την ημερήσια μεγιστοποίηση των κερδών κι επομένως να αναζητήσουμε έναν τρόπο έκφρασης του συνολικού κέρδους σαν συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης (προϊόντων που παρασκευάζονται) εκτιμώντας τη συνεισφορά του καθενός χωριστά. Ο αντικειμενικός στόχος που θα οριστεί θα πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τους συνθήκες λειτουργίας του συστήματος που μελετάμε. Περιορισμοί, όπως η ανεπάρκεια των πόρων του συστήματος (π.χ. πρώτων υλών, εργατικού δυναμικού), η απορροφητικότητα της αγοράς, οι συμφωνίες με προμηθευτές και αγοραστές, οι χρόνοι παράδοσης των παραγόμενων προϊόντων, κτλ. δημιουργούν αυτές τις συνθήκες. Αν η προαναφερόμενη βιομηχανία γάλακτος ήταν σε θέση να εξασφαλίσει απεριόριστη πρώτη ύλη και παραγωγική δυναμικότητα καθώς επίσης και μονοπωλιακή παρουσία στην αγορά θα εκτόξευε τα κέρδη της στο άπειρο. Τα πράγματα βέβαια είναι εντελώς διαφορετικά. Στο στάδιο αυτό της μοντελοποίησης, καλούμαστε να εντοπίσουμε και να καταγράψουμε σαν συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης τους παράγοντες οι οποίοι επιβάλλουν όρια στις τιμές τους και συνεπώς και στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Στο πρότυπο του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού τόσο ο αντικειμενικός στόχος, όσο και οι περιορισμοί εκφράζονται σαν γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης. notes/data/linear/main.htm 3/70

4 Παράδειγμα 1.1 Ας δούμε όμως ένα παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού, το κλασικό πλέον πρόβλημα της ΔΙΑΙΤΑΣ. Ας υποθέσουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός των θερμίδων που μπορούμε να λαμβάνουμε καθημερινά είναι ορισμένος. Επίσης, σε καθημερινή βάση απαιτείται να προσλαμβάνουμε μια ελάχιστη ποσότητα πρωτεϊνών και ασβεστίου, ενώ παράλληλα επιθυμούμε να δαπανούμε το ελάχιστο δυνατό ποσό κάθε μέρα. Ο πίνακας του σχήματος 1.1 απεικονίζει τις παρεχόμενες πρωτεΐνες και ασβέστιο (σε miligrams ανά μερίδα) που εξασφαλίζει συγκεκριμένη ποσότητα (δηλαδή, η τυπική δοσολογία) κάθε είδους τροφής που έχουμε στη διάθεση μας, καθώς επίσης και τις θερμίδες που περιέχουν. Είδος τροφής Δοσολ. θερμ.(kcal) Πρωτ.(gr) Ασβ.(mg) Τιμή(ευρώ) (1) Δημητριακά 28 γρ (2) Κοτόπουλο 100 γρ (3) Αβγά (4) Γάλα 237κ.ε (5) Γλυκό 170 γρ (6) Χοιρινό 260 γρ Απαιτήσεις Σχήμα 1.1: Ο πίνακας με τα στοιχεία του παραδείγματος για το πρόβλημα της Δίαιτας. Η τελευταία γραμμή του πίνακα απεικονίζει τις καθημερινές μας απαιτήσεις σε θερμίδες, πρωτεΐνες και ασβέστιο. Ας υποθέσουμε ότι από το ί στό είδος τροφής χρησιμοποιούμε δόσεις (δηλαδή, τόσες φορές επί τη δοσολογία που ορίζει ο πίνακας). Τότε εύκολα εκφράζει κανείς τους περιορισμούς που περιγράφει η τελευταία γραμμή του πίνακα ως εξής: θυμηθείτε όμως ότι επιθυμούμε να πληρώνουμε το ελάχιστο δυνατό ποσό ημερησίως, συνεπώς ο στόχος μας είναι ο εξής: Φυσικά, δεν είναι δυνατόν να καταναλώνουμε αρνητικές ποσότητες τροφών. Συνολικά, το πρόβλημα της Δίαιτας μπορεί να περιγραφεί φορμαλιστικά όπως φαίνεται στο σχήμα 1.2. Χρησιμοποιώντας μια οποιαδήποτε εφαρμογή για επίλυση γραμμικών προβλημάτων (πχ, LINDO ) μπορεί κάποιος εύκολα να διαπιστώσει ότι η βέλτιστη λύση του προβλήματος αυτού είναι,,,. notes/data/linear/main.htm 4/70

5 Σχήμα 1.2: Το γραμμικό πρόγραμμα που αναπαριστά το πρόβλημα της Δίαιτας. Παράδειγμα 1.2 Ας δούμε όμως και ένα δεύτερο παράδειγμα, που σχετίζεται με τη θεωρία γραφημάτων. Έστω ότι μας δίνεται ένας διμερής γράφος (δηλαδή, δυο πεπερασμένα σύνολα κορυφών και ένα σύνολο ακμών. Σχήμα 1.3: Παράδειγμα ενός διμερή γράφου. Για παράδειγμα, στο σχήμα 1.3 δίνεται ένας διμερής γράφος. Ένα ταίριασμα σε ένα γράφο είναι ένα υποσύνολο των ακμών του τέτοιο ώστε να μην υπάρχει ζευγάρι ακμών στο που να μοιράζονται κάποια κορυφή. Στο παράδειγμα μας το σύνολο ακμών είναι ένα ταίριασμα. Ένα μέγιστο ταίριασμα είναι εκείνο το ταίριασμα που περιλαμβάνει το μεγαλύτερο αριθμό ακμών στο γράφημα. Στο παράδειγμα μας, το ταίριασμα που προαναφέραμε δεν είναι μέγιστο αφού το ταίριασμα έχει μεγαλύτερο πληθαριθμό. Ένα κλασικό ερώτημα είναι πώς μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα μέγιστο ταίριασμα ενός διμερή γράφου. Κατ' αρχήν θεωρούμε ότι κάθε λύση που παράγουμε (δηλαδή, οποιοδήποτε ταίρια σμα) αναπαριστάται από ένα σύνολο ενδεικτικών μεταβλητών, μια για κάθε ακμή του γράφου:. Από αυτό εύκολα συνάγει κανείς ότι θα πρέπει οι μεταβλητές που χρησιμοποιούμε να παίρνουν μη αρνητικές τιμές. Ποιοι είναι όμως οι σωστοί περιορισμοί που μας εξασφαλίζουν ότι ένα υποσύνολο ακμών που επιλέγουμε είναι ταίριασμα του γράφου; Παρατηρείστε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι ότι οποιαδήποτε κορυφή είναι το άκρο το πολύ μιας ακμής του. Άρα λοιπόν χρειαζόμαστε ένα περιορισμό για κάθε κορυφή που να φράζει με το 1 τον αριθμό των ακμών που την αγγίζουν. Στο παράδειγμα μας, για την κορυφή ο αντίστοιχος περιορισμός είναι ο εξής: notes/data/linear/main.htm 5/70

6 , ενώ για την κορυφή είναι. Όλοι αυτοί οι περιορισμοί είναι γραμμικοί ως προς τις μεταβλητές που χρησιμοποιούμε για να αποτυπώσουμε τη λύση που παράγουμε. Σχήμα 1.4: Το (ακέραιο) γραμμικό πρόγραμμα που αναπαριστά το πρόβλημα του ταιριάσματος για το παράδειγμα μας. Στόχος μας τέλος είναι η επιλογή εκείνου του συνόλου που θα είναι ταίριασμα (αυτό ε ξασφαλίζεται από τους περιορισμούς) και θα έχει το μέγιστο δυνατό αριθμό ακμών. Δηλαδή, θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση η οποία είναι επίσης γραμμική ως προς τις μεταβλητές του προβλήματος. Στο σχήμα 1.4 φαίνεται το γραμμικό πρόβλημα που περιγράφει το παράδειγμα μας. Το συγκεκριμένο γραμμικό πρόβλημα έχει την ιδιαιτερότητα ότι οι τιμές των μεταβλητών του θα πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί (για την ακρίβεια, 0 ή 1). Τέτοιου είδους γραμμικά προβλήματα ονομάζονται ακέραια γραμμικά προβλήματα. Εμείς δε μπορούμε να επιλύσουμε αποδοτικά (δηλαδή, σε πολυωνυμικό χρόνο) ένα ακέραιο γραμμικό πρόβλημα, μπορούμε όμως να επιλύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα, το οποίο φαίνεται στο σχήμα 1.5. Έστω ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε σε πολυωνυμικό χρόνο τη βέλτιστη λύση για το γραμμικό πρόβλημα που αντιστοιχεί στο πρόβλημα του ταιριάσματος σε διμερή γράφο. Γενικά τίποτε δε μας εγγυάται ότι η βέλτιστη λύση ενός γραμμικού προβλήματος θα έχει ακέραιες τιμές στις μεταβλητές απόφασης που χρησιμοποιούμε. Στην περίπτωση του μέγιστου ταιριάσματος σε διμερή γραφήματα γνωρίζουμε όμως ότι υπάρχει πάντοτε μια βέλτιστη λύση που αναθέτει τιμές 0 ή 1 στις ενδεικτικές μεταβλητές που χρησιμοποιούμε για τις ακμές του γράφου. Συνεπώς, θα μπορούσαμε ενδεχομένως να εξασφαλίσουμε την εύρεση της βέλτιστης ακέραιας λύσης χωρίς επιπλέον κόπο. Φυσικά θα πρέπει με κάποιο τρόπο να εξασφαλίσει κανείς ότι η επιστρεφόμενη βέλτιστη λύση είναι και ακέραια, ή να κατασκευάσει (αν είναι δυνατόν) μια βέλτιστη ακέραια λύση με την ίδια τιμή της συνάρτησης στόχου. notes/data/linear/main.htm 6/70

7 Σχήμα 1.5: Το χαλαρωμένο γραμμικό πρόγραμμα που αναπαριστά το πρόβλημα του ταιριάσματος για το παράδειγμα μας. Παράδειγμα 1.3 Το πρόβλημα μεταφοράς είναι ένα από τα πρώτα είδη προβλημάτων που αναλύθηκαν με την χρήση του γραμμικού προγραμματισμού. Το γενικό πρόβλημα εμφανίστηκε όταν τα διαθέσιμα αγαθά αποθηκευμένα σε διάφορες πηγές έπρεπε να διανεμηθούν σε ποικίλους προορισμούς. Το πρόβλημα είναι να βρούμε τον βέλτιστο τρόπο μεταφοράς έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς. Συγκεκριμένα, διαθέτουμε ποσότητες ενός ομοιόμορφου προϊόντος σε έναν αριθμό αποθηκών και θέλουμε να μεταφέρουμε καθορισμένες ποσότητες του προϊόντος σε έναν αριθμό από διαφορετικούς προορισμούς. Το κόστος για την μεταφορά μιας μονάδας ποσότητας από οποιαδήποτε αποθήκη σε οποιοδήποτε κατάστημα είναι γνωστό, ενώ η μεταφορά από κάθε αποθήκη σε κάθε κατάστημα είναι δυνατή. Θέλουμε να υπολογίσουμε το ελάχιστο κόστος μεταφοράς από τις αποθήκες στα καταστήματα λιανικής πώλησης. Τρία παραρτήματα ενός εργοστασίου, τα Α, Β, Γ, που παράγουν το ίδιο προϊόν, βρίσκονται σε τρεις διαφορετικές περιοχές της χώρας, που απέχουν πολύ μεταξύ τους. Οι αγοραστές του προϊόντος βρίσκονται σε πέντε διαφορετικές πόλεις. Τα παραρτήματα παράγουν ποσότητες αντίστοιχα 150, 350 και 280 μονάδων του προϊόντος, ενώ οι αγοραστές έχουν παραγγείλει αντίστοιχα 100, 130, 160, 210, και 150 μονάδες. Το κόστος μεταφοράς του προϊόντος από τα παραρτήματα Α, Β, Γ δίνεται στον πίνακα: Παράρτημα Αγοραστές Α notes/data/linear/main.htm 7/70

8 Β Γ Θέλουμε να υπολογίσουμε τις απαραίτητες ποσότητες (μεταβλητών αποφάσεως) που θα πρέπει να μεταφερθούν από το παράρτημα i στον αγοραστή j ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος μεταφοράς. Άγνωστες είναι οι ποσότητες, όπου i είναι τα Α, Β, Γ και j τα 1, 2, 3, 4, 5. Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος ( κόστος μεταφοράς), της οποίας αναζητάμε το ελάχιστο, γράφεται Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να φορτώσουμε περισσότερα προϊόντα από ένα παράρτημα από όσα παράγονται στο παράρτημα αυτό. Συνεπώς έχουμε τους περιορισμούς: (παραγωγή παραρτήματος Α) (παραγωγή παραρτήματος Β) (παραγωγή παραρτήματος Γ) Επίσης κάθε αγοραστής πρέπει να εφοδιαστεί με τον επιθυμητό αριθμό μονάδων. Συνεπώς έχουμε τους περιορισμούς: (ζήτηση αγοραστή 1) (ζήτηση αγοραστή 2) (ζήτηση αγοραστή 3) (ζήτηση αγοραστή 4) (ζήτηση αγοραστή 5) Επίσης, με και 1.3 ΟΡΙΣΜΟΙ Ένα γραμμικό πρόβλημα είναι το πρόβλημα της μεγιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης ωφέλειας (ή ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης κόστους), η οποία εξαρτάται από ένα σύνολο μεταβλητών απόφασης, με την προϋπόθεση ότι τηρούνται κάποιοι περιορισμοί ως προς τις τιμές των μεταβλητών αυτών, οι οποίοι εκφράζονται μέσα από ένα σύνολο γραμμικών ισοτήτων και/ή ανισοτήτων. Ο πιο διαδεδομένος τρόπος αναπαράστασης (καλείται γενική μορφή general form) ενός γραμμικού προβλήματος φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 8/70

9 Σχήμα 1.6 Ορισμός 1.1 Μια πραγματική συνάρτηση μεταβλητών Είναι γραμμική αν και μόνον αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών αριθμών ισχύει: Ορισμός 1.2 Ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) όταν 1. Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. 2. Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο περιορισμών. Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή ανίσωση. 3. Κάθε μεταβλητή είναι μη αρνητική ή δεν έχει περιορισμό στο πρόσημο Ορισμός 1.3 Κάθε συνδυασμός τιμών των μεταβλητών απόφασης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται λύση του προβλήματος. Ορισμός 1.4 Το υποσύνολο του που σχηματίζεται από τα σημεία λύσεις που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται εφικτή περιοχή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, τα δε σημεία εφικτές λύσεις. Μια λύση, που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς, ονομάζεται μη εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του προβλήματος γραμμικού notes/data/linear/main.htm 9/70

10 προγραμματισμού. Ορισμός 1.5 Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε εφικτή λύση, η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση: Όμοια σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε:.. Ορισμός 1.6 Ένας περιορισμός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός αν και μόνον αν η άριστη λύση τον καθιστά ισότητα. Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός. Το γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Να βρεθούν οι τιμές των μεταβλητών συνάρτηση που μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν την Οι μεταβλητές πρέπει να ικανοποιούν τους περιορισμούς και όπου τα,, είναι γνωστές σταθερές. Η συνάρτηση: ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση (objective function). Αυτή η συνάρτηση είναι γραμμική ως προς τις μεταβλητές. Επίσης, κάθε περιορισμός είναι μια γραμμική συνάρτηση ως προς τις μεταβλητές. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης γενικά αναφέρονται σαν αντικειμενικοί συντελεστές. Σε προβλήματα μεγιστοποίησης χαρακτηρίζονται σαν συντελεστές κέρδους ενώ σε προβλήματα ελαχιστοποίησης σαν συντελεστές κόστους. Η συνθήκη αναφέρεται και ως συνθήκη της μη αρνητικότητας. Λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα ονομάζεται κάθε σύνολο notes/data/linear/main.htm 10/70

11 το οποίο ικανοποιεί τους περιορισμούς του προβλήματος. Εφικτή ή δυνατή λύση είναι κάθε λύση που ικανοποιεί τους περιορισμούς μη αρνητικότητας. Βέλτιστη λύση είναι κάθε εφικτή λύση η οποία βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Συνήθως σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού υπάρχουν άπειρες λύσεις και επιδιώκουμε την εύρεση της βέλτιστης δυνατής λύσης. Αν όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις ή ανισώσεις της ίδιας φοράς, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί με την χρήση πινάκων ως εξής: όπου:,,, και Με παριστάνουμε το διανυσματικό χώρο των πινάκων. Η σπουδαιότητα της διατύπωσης αυτής έγκειται στο ότι μπορεί με τον παραπάνω τρόπο να διατυπωθεί με σαφήνεια μια μεγάλη ποικιλία οικονομικών, επιστημονικών, βιομηχανικών, επιχειρηματικών και κοινωνικών προβλημάτων. 1.4 ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Έχοντας εξετάσει κάποιες περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να εφαρμοστεί ο γραμμικός προγραμματισμός και τη γενική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντικό να εξετάσουμε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του σ ένα οποιοδήποτε πρόβλημα βελτιστοποιήσεως. Αυτές είναι που περιορίζουν γενικά το φάσμα των δυνατοτήτων εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να διατυπωθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι οι εξής: α) Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα) β) Διαιρετότητα και γ) Βεβαιότητα (Προσδιοριστικότητα). notes/data/linear/main.htm 11/70

12 Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα) Όλες οι συναρτήσεις του προβλήματος, αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές ως προς τις άγνωστες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να ισχύουν οι ιδιότητες της αναλογικότητας και της προσθετικότητας, δηλαδή εάν είναι μια συνάρτηση μεταβλητών και είναι σταθερές, πρέπει να ισχύει: Σε πολλές περιπτώσεις στις οποίες δεν ισχύει απόλυτα η προϋπόθεση της γραμμικότητας μπορεί να γίνει μια αρκετά καλή προσέγγιση με γραμμικές συναρτήσεις. Διαιρετότητα Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού υποθέτει ότι κάθε δραστηριότητα (δηλ μεταβλητή) είναι συνεχής και επομένως άπειρα διαιρετή. Αυτό συνεπάγεται ότι όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλες οι χρήσεις πόρων επιτρέπεται να πάρουν κλασματικές τιμές ή ακέραιες τιμές. Όταν η υπόθεση της διαιρετότητας δεν ισχύει υπάρχουν δύο ενδεχόμενα : α) Να αγνοηθεί η υπόθεση αυτή, να λυθεί το πρόβλημα με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού, και οι τιμές των μεταβλητών να στρογγυλευθούν στην κοντινότερη ακέραια μονάδα. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται κυρίως όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μεγάλες. β) Όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μικρές (π.χ. 0 ή 1) όπως σε πολλά προβλήματα επενδύσεων τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν τεχνικές του ακέραιου προγραμματισμού. Βεβαιότητα (Προσδιοριστικότητα) Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού. προϋποθέτει ότι όλοι οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστές με απόλυτη βεβαιότητα. Στην περίπτωση που μερικοί ή όλοι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης ή των περιορισμών είναι τυχαίες μεταβλητές το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα στοχαστικού προγραμματισμού. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που έχουν 2 ή 3 μεταβλητές απόφασης, μπορούν να λυθούν και γραφικά. Προβλήματα με δυο μεταβλητές υλοποιούνται στο επίπεδο (δυο διαστάσεις), ενώ προβλήματα με τρεις μεταβλητές υλοποιούνται στον χώρο notes/data/linear/main.htm 12/70

13 (τρεις διαστάσεις). Για να φτάσουμε στην λύση του προβλήματος γραφικά, πρέπει να εκτελέσουμε τα παρακάτω βήματα: 1) σχεδιασμός όλων των περιορισμών γραφικά 2) εύρεση εφικτής περιοχής 3) εύρεση άριστης ή βέλτιστης λύσης Το τελευταίο βήμα υλοποιείται με δυο τρόπους προσέγγισης της επίλυσης. Ο πρώτος τρόπος είναι η προσέγγιση της απαρίθμησης και ελέγχου όλων των ακραίων σημείων (κορυφών) της εφικτής περιοχής. Εντοπίζουμε τις συντεταγμένες όλων των κορυφών της εφικτής περιοχής και επιλέγουμε εκείνη που μεγιστοποιεί (ή ελαχιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση. Ο δεύτερος τρόπος είναι η προσέγγιση της χάραξης των καμπύλων ίσου κέρδους (ή κόστους) της αντικειμενικής συνάρτησης. Βρίσκουμε το σημείο όπου η ισοκερδής εφάπτεται της εφικτής περιοχής πριν την εγκαταλείψει. 2.1 ΟΡΙΣΜΟΙ Περιοριστική ευθεία είναι η ευθεία που αντιστοιχεί σε κάποιο περιορισμό του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Κορυφή ή ακραίο σημείο είναι το σημείο που τέμνονται δυο περιοριστικές ευθείες. Εφικτή περιοχή είναι η κυρτή περιοχή των εφικτών λύσεων που σχηματίζεται από τις περιοριστικές ευθείες. Εφικτή λύση (ακραίου σημείου) είναι μια κορυφή της εφικτής περιοχής. Γειτονικές εφικτές λύσεις (ακραίου σημείου) είναι αυτές που συνδέονται με μια ακμή (σύνορο) της εφικτής περιοχής. Βασική λύση (λύση ακραίου σημείου) είναι μια λύση που αντιστοιχεί σε κορυφή. Βασική εφικτή λύση είναι μια βασική λύση που αντιστοιχεί σε κορυφή της εφικτής περιοχής. Άριστη (βέλτιστη) λύση είναι η βασική εφικτή λύση ακραίου σημείου (κορυφή της εφικτής περιοχής) που μας δίνει τη βέλτιστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση. Δύναται να είναι ακριβώς μια, αλλά υπάρχουν και περιπτώσεις με άπειρες άριστες λύσεις, καμία άριστη λύση, ή η αντικειμενική συνάρτηση να τείνει στο άπειρο. notes/data/linear/main.htm 13/70

14 2.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Παράδειγμα 2.1 Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολυγωνική περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: με περιορισμούς και Βήμα 1 ο Γεωμετρική ερμηνεία των περιορισμών του προβλήματος Α. Εντοπισμός σημείων για τις ευθείες των περιορισμών του π.γ.π. (1) Η είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα της (2) Η είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα της (3) Για την εξίσωση ευθεία πρέπει να υπολογίσουμε δύο σημεία που την επαληθεύουν. Για, παίρνουμε, ενώ για, παίρνουμε. Άρα τα σημεία και αρκούν για να σχεδιάσουμε την ευθεία, καθώς από δύο σημεία περνάει μια και μόνο μια ευθεία, όπως προκύπτει από την αναλυτική γεωμετρία. (4) Για την εξίσωση ευθεία πρέπει να υπολογίσουμε δύο σημεία που την επαληθεύουν. Για, παίρνουμε, ενώ για, παίρνουμε. Άρα τα σημεία και αρκούν για να σχεδιάσουμε την ευθεία. Β. Εισαγωγή συστήματος ορθογωνίων συντεταγμένων και σχεδιασμός των περιορισμών (ευθειών). Μια ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα και η αντίστοιχη γραμμική ανίσωση ορίζει ένα από αυτά τα δυο ημιεπίπεδα. Ένας απλός τρόπος να βρούμε ποιο είναι το ημιεπίπεδο που ορίζει η ανίσωση είναι να επιλέξουμε ένα τυχαίο σημείο (όχι σημείο της ευθείας) το notes/data/linear/main.htm 14/70

15 οποίο, αν επαληθεύει την ανίσωση τότε το ημιεπίπεδο που ορίζει η ανίσωση είναι αυτό στο οποίο βρίσκεται το σημείο, διαφορετικά το ημιεπίπεδο που ορίζει η ανίσωση είναι αυτό στο οποίο δεν βρίσκεται το σημείο. Παρατηρούμε ότι οι περιορισμοί του πρόσημου των μεταβλητών και, ικανοποιούνται μόνο στο πρώτο τεταρτημόριο, και συνεπώς τα ζεύγη τιμών των που αποτελούν δυνατές λύσεις για το πρόβλημα αυτό, θα βρίσκονται σε αυτό το τεταρτημόριο. Στο σχήμα 2.1, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων και, δηλαδή την περιοχή που ορίζουν. Σχήμα 2.1 Στο σχήμα 2.2, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων, και την ευθεία. Σχήμα 2.2 Η ανίσωση επαληθεύεται από το σημείο, επομένως στο σχήμα 2.3, μπορούμε να notes/data/linear/main.htm 15/70

16 δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων, και. Σχήμα 2.3 Στο σχήμα 2.4, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων,, και την ευθεία. Σχήμα 2.4 Η ανίσωση επαληθεύεται από το σημείο, επομένως στο σχήμα 2.5, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων,, και. notes/data/linear/main.htm 16/70

17 Σχήμα 2.5 Στο σχήμα 2.6, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων,,, και την ευθεία. Σχήμα 2.6 Η ανίσωση επαληθεύεται από το σημείο, επομένως στο σχήμα 2.7, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων,,, και. notes/data/linear/main.htm 17/70

18 Σχήμα 2.7 Στο σχήμα 2.8, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων,,,, και την ευθεία. Σχήμα 2.8 Η ανίσωση επαληθεύεται από το σημείο, επομένως στο σχήμα 2.9, μπορούμε να δούμε τη γεωμετρική ερμηνεία των ανισοτήτων,,,, και, δηλαδή, την εφικτή περιοχή του προβλήματος. notes/data/linear/main.htm 18/70

19 Σχήμα 2.9 Παρατηρούμε λοιπόν, ότι, η ανίσωση ικανοποιείται σε όλα τα σημεία του τεταρτημορίου που βρίσκονται πάνω στην ευθεία και αριστερά από αυτή, ενώ η ανίσωση σε όλα τα σημεία πάνω στην ευθεία και κάτω από αυτή. Για τις ανισότητες και, παρατηρούμε ότι το ζεύγος τιμών, τις ικανοποιεί. Κάθε σημείο κάτω και μόνο κάτω από τις ευθείες και, συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των ευθειών, ικανοποιεί και τις ανισότητες και. Στο σχήμα 2.9, μπορούμε να δούμε τα ζεύγη τιμών που ικανοποιούν ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς του προβλήματος (γραμμοσκιασμένη περιοχή ΟΑΒΓΔΕ). Βήμα 2 ο Υπολογισμός της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης z Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα η βέλτιστη ή βέλτιστες λύσεις ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (αν υπάρχει), βρίσκεται σε κάποιο (ή κάποια) από τα ακραία σημεία κορυφές της κλειστής κυρτής περιοχής εφικτών λύσεων του προβλήματος. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που ορίζουν την εφικτή περιοχή. Σημείο Ο: Σημείο Α: Σημείο Β: Για το σημείο Β έχουμε ότι είναι το σημείο τομής των ευθειών και οπότε λύνοντας το σύστημα το ζεύγος λύσεων είναι. Σημείο Γ: Το σημείο Γ είναι η τομή των ευθειών και, οπότε λύνοντας το notes/data/linear/main.htm 19/70

20 σύστημα το ζεύγος λύσεων είναι. Σημείο Δ: Όμοια για το σημείο Δ έχουμε ότι είναι το σημείο τομής των ευθειών και, οπότε λύνοντας το σύστημα το ζεύγος λύσεων είναι. Σημείο Ε: Για κάθε ακραίο σημείο κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων ΟΑΒΓΔΕ, υπολογίζουμε την τιμή της z. Έχουμε: Σημείο και Σημείο και Σημείο και Σημείο και Σημείο και Σημείο και Δεδομένου ότι θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση, από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σημείο της αντικειμενικής συνάρτησης. είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος με τιμή Εναλλακτικά μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο, ο οποίος διαφοροποιείται στο βήμα εύρεσης της άριστης λύσης. Σχεδιάζουμε στην εφικτή περιοχή την ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης (ευθείες σταθερού κέρδους για μεγιστοποίηση κόστους για ελαχιστοποίηση) και προσπαθούμε να βρούμε το σημείο όπου η ισοκερδής εφάπτεται της εφικτής περιοχής πριν την εγκαταλείψει. Αρχικά σχεδιάζουμε στην εφικτή περιοχή την ευθεία σταθερού κέρδους, δηλαδή, θεωρούμε ότι (σχήμα 2.10). notes/data/linear/main.htm 20/70

21 Σχήμα 2.10 Παρατηρούμε ότι η ευθεία σταθερού κέρδους διαπερνά την εφικτή περιοχή, άρα πρέπει να αυξήσουμε το κέρδος, δηλαδή, η ευθεία να μετατοπιστεί παράλληλα προς τα πάνω. Σχεδιάζουμε την ευθεία σταθερού κέρδους (σχήμα 2.11). Σχήμα 2.11 Παρατηρούμε ότι η ευθεία σταθερού κέρδους διαπερνά και αυτή την εφικτή περιοχή, άρα πρέπει να αυξήσουμε εκ νέου το κέρδος, δηλαδή, η ευθεία να μετατοπιστεί παράλληλα προς τα πάνω. Σχεδιάζουμε την ευθεία σταθερού κέρδους (σχήμα 2.12). notes/data/linear/main.htm 21/70

22 Σχήμα 2.12 Παρατηρούμε ότι η ευθεία σταθερού κέρδους εφάπτεται στο σημείο Γ. Άρα η βέλτιστη λύση είναι το σημείο Γ με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης όσο και ο σταθερός όρος της αντίστοιχης ευθείας σταθερού κέρδους, δηλαδή,. Οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι, επειδή, το σημείο Γ είναι η τομή των ευθειών και, οπότε λύνοντας το σύστημα το ζεύγος λύσεων είναι. Η διαφορά των δυο μεθόδων είναι στον υπολογισμό της άριστης (βέλτιστης) λύσης. Στην πρώτη μέθοδο υπολογίζουμε οι συντεταγμένες όλων των σημείων της εφικτής περιοχής και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε κάθε σημείο και επιλέγουμε την άριστη (βέλτιστη), ενώ, στην δεύτερη μέθοδο σχεδιάζουμε τις ευθείες σταθερού κέρδους (ή κόστους) και με παράλληλη μετατόπιση βρίσκουμε το σημείο που εφάπτεται η ευθεία πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ο σταθερός όρος της ευθείας και πρέπει να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου. Το μειονέκτημα της δεύτερης μεθόδου είναι ότι πρέπει να μαντέψουμε τον σταθερό όρο και μπορεί να χρειαστούμε πολλές δοκιμές, ενώ, το πλεονέκτημα της είναι ότι δεν υπολογίζουμε τις συντεταγμένες όλων των σημείων. Τα επόμενα παραδείγματα και οι ασκήσεις έχουν λυθεί με την πρώτη μέθοδο. Παράδειγμα 2.2 Πρόβλημα ελαχιστοποίησης Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικό προγραμματισμού: notes/data/linear/main.htm 22/70

23 με περιορισμούς και Ξεκινάμε με την συνθήκη μη αρνητικότητας των μεταβλητών η οποία μας περιορίζει γραφικά τις λύσεις στο πρώτο τεταρτημόριο, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.13 Σχήμα 2.13 Σχεδιάζουμε την ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και. Η ευθεία φαίνεται στο σχήμα 2.14 Σχήμα notes/data/linear/main.htm 23/70

24 Το σημείο δεν επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η νέα εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 2.15 Σχήμα 2.15 Σχεδιάζουμε την δεύτερη ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και. Η ευθεία φαίνεται στο σχήμα 2.16 Σχήμα 2.16 Το σημείο δεν επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 24/70

25 Σχήμα 2.17 Η ανοικτή πολυγωνική περιοχή που σχηματίζεται είναι μη φραγμένη. Τα σημεία έχουν συντεταγμένες,, και. Η τιμή που έχει η αντικειμενική συνάρτηση σε κάθε σημείο είναι:. Δεδομένου ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση, από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σημείο είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Το γεγονός ότι η εφικτή περιοχή είναι μη φραγμένη δεν επηρεάζει την άριστη λύση γιατί το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίησης και θέλουμε την μικρότερη δυνατή λύση. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εάν στην εφικτή περιοχή σχεδιάσουμε την ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης (ευθείες σταθερού κόστους, και ), η οποία ελαχιστοποιείται καθώς μετατοπίζεται παράλληλα προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.18, και παρατηρούμε ότι εφάπτεται στο σημείο Β. Άρα η βέλτιστη λύση είναι το σημείο με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης όσο και ο σταθερός όρος της αντίστοιχης ευθείας σταθερού κέρδους, δηλαδή,. notes/data/linear/main.htm 25/70

26 Σχήμα ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Παράδειγμα 2.3 Πρόβλημα με άπειρες λύσεις. Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικό προγραμματισμού: με περιορισμούς και Παρατηρούμε ότι το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι το ίδιο με το παράδειγμα 2.1 με την διαφορά ότι η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος είναι διαφορετική. Εφόσον οι περιορισμοί με το παράδειγμα 2.1 είναι ίδιοι, τότε ίδια θα είναι και η εφικτή περιοχή του προβλήματος, η οποία φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 26/70

27 Σχήμα 2.19 Τα σημεία που ορίζουν την εφικτή περιοχή έχουν συντεταγμένες. Σημείο Ο: Σημείο Α: Σημείο Β: Σημείο Γ: Σημείο Δ: Σημείο Ε: Για κάθε ακραίο σημείο κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων ΟΑΒΓΔΕ, υπολογίζουμε την τιμή της. Έχουμε: Σημείο και Σημείο και Σημείο και Σημείο και Σημείο και Σημείο και Δεδομένου ότι θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση, από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σημείο, αλλά και το σημείο είναι οι βέλτιστες λύσεις του προβλήματος με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση οι βέλτιστες λύσεις είναι άπειρες και βρίσκονται όλες πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εάν στην εφικτή περιοχή σχεδιάσουμε την ευθεία της notes/data/linear/main.htm 27/70

28 αντικειμενικής συνάρτησης (ευθείες σταθερού κέρδους, και ), η οποία μεγιστοποιείται καθώς μετατοπίζεται παράλληλα προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.20, και παρατηρούμε ότι εφάπτεται, όχι σε ένα σημείο, αλλά σε ένα ευθύγραμμο τμήμα το ΒΓ. Σε αυτή την περίπτωση οι βέλτιστες λύσεις είναι άπειρες και βρίσκονται όλες πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης όσο και ο σταθερός όρος της αντίστοιχης ευθείας σταθερού κέρδους, δηλαδή,. Σχήμα 2.20 Παράδειγμα 2.4 Πρόβλημα με μη φραγμένη εφικτή περιοχή με την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να απειρίζεται. Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικό προγραμματισμού: με περιορισμούς και Ξεκινάμε με την συνθήκη μη αρνητικότητας των μεταβλητών η οποία μας περιορίζει γραφικά τις λύσεις στο πρώτο τεταρτημόριο, όπως φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 28/70

29 Σχήμα 2.21 Σχεδιάζουμε την ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και. Η ευθεία φαίνεται στο σχήμα 2.22 Σχήμα 2.22 Το σημείο δεν επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η νέα εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 29/70

30 Σχήμα 2.23 Σχεδιάζουμε την δεύτερη ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και. Η ευθεία φαίνεται στο σχήμα 2.24 Σχήμα 2.24 Το σημείο δεν επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η νέα εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 30/70

31 Σχήμα 2.25 Σχεδιάζουμε την τρίτη ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και.η ευθεία φαίνεται στο σχήμα 2.26 Σχήμα 2.26 Το σημείο επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 31/70

32 Σχήμα 2.27 Η ανοικτή πολυγωνική περιοχή που σχηματίζεται είναι μη φραγμένη. Τα σημεία έχουν συντεταγμένες, και. Η τιμή που έχει η αντικειμενική συνάρτηση σε κάθε σημείο είναι:. Άριστη λύση έχουμε στο σημείο Γ, αλλά το σημείο Γ είναι σημείο της ευθείας που περιορίζει, αλλά, δεν φράζει την εφικτή περιοχή. Επομένως οποιοδήποτε (μεγαλύτερο) σημείο αυτής της ευθείας θα δίνει καλύτερη άριστη λύση. Για παράδειγμα το σημείο δίνει τιμή, το σημείο δίνει τιμή. Όσο κινούμαστε πάνω στην ευθεία και προς τα δεξιά, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αυξάνεται και βέβαια, επειδή η ευθεία εκτείνεται απεριόριστα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης απειρίζεται. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εάν στην εφικτή περιοχή σχεδιάσουμε την ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης (ευθείες σταθερού κέρδους, και ), η οποία μεγιστοποιείται καθώς μετατοπίζεται παράλληλα προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.28, και παρατηρούμε ότι μπορεί να μετατοπιστεί απεριόριστα αυξάνοντας κάθε φορά τον σταθερό όρο της ευθείας σταθερού κέρδους, πράγμα το οποίο μας υποδεικνύει ότι το πρόβλημα έχει μη φραγμένη εφικτή περιοχή με την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να απειρίζεται. notes/data/linear/main.htm 32/70

33 Σχήμα 2.28 Παράδειγμα 2.5 Πρόβλημα χωρίς λύση Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικό προγραμματισμού: με περιορισμούς και Ξεκινάμε με την συνθήκη μη αρνητικότητας των μεταβλητών η οποία μας περιορίζει γραφικά τις λύσεις στο πρώτο τεταρτημόριο, όπως φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 33/70

34 Σχήμα 2.29 Σχεδιάζουμε την ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και. Η ευθεία φαίνεται στο σχήμα 2.30 Σχήμα 2.30 Το σημείο δεν επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η νέα εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 2.31 Σχήμα 2.31 Σχεδιάζουμε την δεύτερη ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και. Η ευθεία φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 34/70

35 Σχήμα 2.32 Το σημείο δεν επαληθεύει τον περιορισμό, άρα η νέα εφικτή περιοχή είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 2.33 Σχήμα 2.33 Σχεδιάζουμε την τρίτη ευθεία η οποία έχει σημεία τομής με τους άξονες τα και.η ευθεία φαίνεται στο σχήμα notes/data/linear/main.htm 35/70

36 Σχήμα 2.34 Το σημείο επαληθεύει τον περιορισμό, άρα παρατηρούμε στο σχήμα 2.35 Σχήμα 2.35 ότι η εφικτή περιοχή είναι το κενό σύνολο, επειδή δεν υπάρχουν κοινά σημεία μεταξύ των δυο περιοχών. Επομένως αφού η εφικτή περιοχή είναι κενό σύνολο δεν υπάρχουν βασικές εφικτές λύσεις και βεβαία ούτε άριστη λύση., δηλαδή, το πρόβλημα δεν έχει λύση. 2.4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Η ανάλυση ευαισθησίας είναι μία μέθοδος η οποία εφαρμόζεται για να προσδιορίσει την ευαισθησία της λύσης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού στις μεταβολές των παραμέτρων του. Συγκεκριμένα η γραφική λύση μας δίνει πληροφορίες που αφορούν notes/data/linear/main.htm 36/70

37 1) την άριστη λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού 2) το διαχωρισμό των περιορισμών σε δεσμευτικούς ή χαλαρούς 3) τις δυϊκές τιμές 4) το εύρος αριστότητας των αντικειμενικών συντελεστών, δηλαδή, την αλλαγή που μπορούμε να κάνουμε σε ένα αντικειμενικό συντελεστή χωρίς να αλλάξει η άριστη λύση 5) το εύρος εφικτότητας των δεξιών μελών των περιορισμών, δηλαδή, την αλλαγή που μπορούμε να κάνουμε σε ένα δεξιό μέλος περιορισμού χωρίς να αλλάξει η εφικτή περιοχή ή χωρίς να αλλάξει η δυϊκή τιμή του περιορισμού. Παράδειγμα 2.6 Να βρεθούν ποιοι περιορισμοί είναι χαλαροί και ποιοι δεσμευτικοί, οι δυϊκές τιμές, το εύρος αριστότητας για κάθε αντικειμενικό συντελεστή και το εύρος εφικτότητας για κάθε δεξιό μέλος περιορισμού (σταθερού όρου) στο παρακάτω πρόβλημα γραμμικό προγραμματισμού: με περιορισμούς και Όπως είδαμε στο παράδειγμα 2.1 το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει την εξής γραφική λύση (σχήμα 2.36) Σχημα notes/data/linear/main.htm 37/70

38 Η άριστη (βέλτιστη) λύση είναι αντικειμενικής συνάρτησης., δηλαδή το σημείο Γ, με τιμή της Οι περιορισμοί (3) και (4) οι οποίοι αντιστοιχούν στις ευθείες ΒΓ και ΓΔ είναι δεσμευτικοί γιατί συμμετέχουν στην λύση, ενώ οι περιορισμοί (1) και (2) οι οποίοι αντιστοιχούν στις ευθείες ΔΕ και ΑΒ είναι χαλαροί. Οι δυϊκές τιμές των δεσμευτικών περιορισμών μπορούν να υπολογιστούν από των τύπο. Ο τρίτος περιορισμός που αντιστοιχεί στην ευθεία ΒΓ είναι δεσμευτικός και μπορεί να αυξηθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, ενώ μπορεί να μειωθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, άρα η δυϊκή τιμή του θα είναι. Ο τέταρτος περιορισμός που αντιστοιχεί στην ευθεία ΓΔ είναι δεσμευτικός και μπορεί να αυξηθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, ενώ μπορεί να μειωθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, άρα η δυϊκή τιμή του θα είναι. Για να βρούμε το εύρος αριστότητας ενός αντικειμενικού συντελεστή περιστρέφουμε την αντικειμενική ευθεία μέχρι να ταυτιστεί με κάποια άλλη ευθεία. Περιστρέφουμε την αντικειμενική ευθεία με κατεύθυνση την φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού και ταυτίζεται με την ευθεία ΓΔ, ενώ στην αντίθετη φορά περιστροφής ταυτίζεται με την ευθεία ΒΓ. Επομένως ο συντελεστής διεύθυνσης της αντικειμενικής ευθείας θα παίρνει τιμές μεταξύ των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών ΒΓ και ΓΔ. Θα ισχύει με και, άρα Για σταθερό έχουμε, άρα Για σταθερό έχουμε, άρα Για να βρούμε το εύρος εφικτότητας ενός δεξιού μέλους δεσμευτικού περιορισμού notes/data/linear/main.htm 38/70

39 μετατοπίζουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στον περιορισμό και προς τις δυο κατευθύνσεις τόσο ώστε να μην αλλάζει η εφικτή περιοχή ή να μην αλλάζει η δυϊκή τιμή του περιορισμού ή το σημείο που αποτελεί την λύση να μην αλλάζει ευθεία. Για να βρούμε το εύρος εφικτότητας ενός δεξιού μέλους χαλαρού περιορισμού μετατοπίζουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στον περιορισμό το σημείο που αποτελεί την λύση προς την μια κατεύθυνση και απεριόριστα προς την αντιθετη. Ο πρώτος περιορισμός που αντιστοιχεί στην ευθεία ΔΕ είναι χαλαρός, άρα το μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα, ενώ μπορεί να μειωθεί μέχρι να φτάσει το σημείο Γ, δηλαδή,. Ο δεύτερος περιορισμός που αντιστοιχεί στην ευθεία ΑΒ είναι χαλαρός, άρα το μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα, ενώ μπορεί να μειωθεί μέχρι να φτάσει το σημείο Γ, δηλαδή,. Ο τρίτος περιορισμός που αντιστοιχεί στην ευθεία ΒΓ είναι δεσμευτικός, άρα το μπορεί να αυξηθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, ενώ μπορεί να μειωθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, δηλαδή,. Ο τέταρτος περιορισμός που αντιστοιχεί στην ευθεία ΓΔ είναι δεσμευτικός, άρα το μπορεί να αυξηθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, ενώ μπορεί να μειωθεί μέχρι να φτάσει το σημείο, δηλαδή,. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΥΠΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 3.1 ΤΥΠΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Αν και η γεωμετρική ερμηνεία των προβλημάτων είναι αρκετά σημαντική δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλα τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού και αυτό γιατί στην πράξη τα περισσότερα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού έχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές. Η κύρια μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι η μέθοδος Simplex, ένας αλγόριθμος αριστοποίησης ο οποίος χαρακτηρίζεται από ένα αριθμό επαναλαμβανόμενων βημάτων τα οποία μπορούν να κωδικοποιηθούν στον Η/Υ. Πριν παρουσιάσουμε την μέθοδο αυτή (κεφάλαιο 4) θα διατυπώσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς. notes/data/linear/main.htm 39/70

40 Το γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Να βρεθούν οι τιμές των μεταβλητών συνάρτηση που μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν την Οι μεταβλητές πρέπει να ικανοποιούν τους περιορισμούς και όπου τα,, είναι γνωστές σταθερές. Ορισμός 3.1 Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι σε τυπική μορφή αν 1) είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης 2) όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς τους σταθερούς ορούς (δεξιά μέλη περιορισμών) 3) όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Άρα η τυπική μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι η εξής: κάτω από τους περιορισμούς και,. Ισοδύναμα με μορφή πινάκων το πρόβλημα γράφεται ως εξής: όπου:,,, notes/data/linear/main.htm 40/70

41 και Με παριστάνουμε το διανυσματικό χώρο των πινάκων. Υποθέτουμε ότι και ότι οι γραμμές του πίνακα Α είναι ανεξάρτητες. 3.2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΕ ΤΥΠΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να αναχθεί στην τυπική μορφή με την χρήση στοιχειωδών μετασχηματισμών όπως οι παρακάτω: Περιθώριες μεταβλητές Περιορισμοί που εκφράζονται με ανισώσεις μπορούν να μετατραπούν σε εξισώσεις με την εισαγωγή νέων μη αρνητικών μεταβλητών οι οποίες μπορούν να μετατρέψουν τις ανισώσεις σε εξισώσεις. Οι μεταβλητές αυτές ονομάζονται περιθώριες. Υπάρχουν δύο είδη περιθώριων μεταβλητών οι χαλαρές και οι πλεονασματικές. Χαλαρή μεταβλητή Σε ένα περιορισμό της μορφής θεωρούμε μια νέα μεταβλητή, η οποία προστίθεται στο πρώτο μέλος της ανισότητας ώστε να έχουμε την ισότητα: με. Πιο απλά, προσθέτουμε μια νέα μη αρνητική μεταβλητή στο πρώτο μέλος έτσι ώστε τα δυο μέλη να γίνουν ίσα. Θα ονομάζουμε την μια περιθώρια χαλαρή μεταβλητή. Για παράδειγμα ένας περιορισμός της μορφής θα γραφεί στην μορφή όπου η είναι μια χαλαρή μεταβλητή. Πλεονασματική μεταβλητή Σε ένα περιορισμό της μορφής θεωρούμε μια νέα μεταβλητή, η οποία αφαιρείται από το πρώτο μέλος της ανισότητας ώστε να έχουμε την ισότητα: Πιο απλά, αφαιρούμε μια νέα μη αρνητική μεταβλητή στο πρώτο μέλος έτσι ώστε τα δυο μέλη να γίνουν ίσα. Θα ονομάζουμε την μια περιθώρια πλεονασματική μεταβλητή. Για παράδειγμα, ο περιορισμός της μορφής θα γραφεί στην μορφή όπου η είναι μια πλεονασματική μεταβλητή. Μετασχηματισμός προβλήματος ελαχιστοποίησης notes/data/linear/main.htm 41/70

42 Όταν ζητάμε να προσδιορίσουμε το ελάχιστο της αντικειμενικής συνάρτησης συνάρτηση. τότε θέτουμε και μεγιστοποιούμε την Άρα, δηλαδή, Για παράδειγμα η θα γίνει. Μεταβλητές χωρίς περιορισμό στο πρόσημο Αυτές οι μεταβλητές δεν υπόκεινται στον περιορισμό. Στην περίπτωση αυτή θέτουμε όπου. Αν η μεταβλητή είναι μη θετική, θέτουμε, όπου. Για παράδειγμα εάν έχω τον περιορισμό με και αγνώστου πρόσημου, τότε θέτω και ο περιορισμός γίνεται Αρνητικοί σταθεροί όροι σε περιορισμούς Εάν σε κάποιο περιορισμό ο σταθερός όρος είναι αρνητικός τότε πολλαπλασιάζοντας με ( 1) γίνεται θετικός. Δηλαδή ο περιορισμός θα γίνει Παράδειγμα 3.1 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού κάτω από τους περιορισμούς και, Να γραφεί στην τυπική του μορφή. Το πρόβλημα είναι μεγιστοποίησης, επομένως δεν χρειάζεται μετατροπή στην αντικειμενική συνάρτηση. Τον πρώτο περιορισμό θα τον πολλαπλασιάσουμε με για να γίνει θετικός ο σταθερός notes/data/linear/main.htm 42/70

43 όρος και θα προσθέσουμε στο πρώτο μέλος μια περιθώρια μεταβλητή για να γίνει ισότητα. Στον δεύτερο περιορισμό θα προσθέσουμε στο πρώτο μέλος μια περιθώρια μεταβλητή για να γίνει ισότητα. Στον τρίτο περιορισμό δεν χρειάζεται να γίνει κάποια αλλαγή. Στον τέταρτο περιορισμό θα αφαιρέσουμε στο πρώτο μέλος μια περιθώρια μεταβλητή για να γίνει ισότητα. Θα αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές αφού με τις και. Άρα το πρόβλημα θα γίνει: κάτω από τους περιορισμούς και Παράδειγμα 3.2 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού κάτω από τους περιορισμούς και, Να γραφεί στην τυπική του μορφή. Το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίησης, επομένως πρέπει να το μετατρέψουμε σε πρόβλημα μεγιστοποίησης. Στον πρώτο περιορισμό θα προσθέσουμε στο πρώτο μέλος μια περιθώρια μεταβλητή για να γίνει ισότητα. Τον δεύτερο περιορισμό θα τον πολλαπλασιάσουμε με για να γίνει θετικός ο σταθερός όρος. Στον τρίτο περιορισμό θα αφαιρέσουμε στο πρώτο μέλος μια περιθώρια μεταβλητή για να γίνει ισότητα. notes/data/linear/main.htm 43/70

44 Θα αντικαταστήσουμε την μεταβλητή αφού με την και. Θα αντικαταστήσουμε την μεταβλητή, η οποία δεν υπόκειται σε κάποιο περιορισμό, με τις και έτσι ώστε. Άρα το πρόβλημα θα γίνει: κάτω από τους περιορισμούς και 3.3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Όπως είδαμε το πρόβλημα μπορεί να γραφεί με την βοήθεια πινάκων ως εξής: όπου:,,, και Με παριστάνουμε το διανυσματικό χώρο των πινάκων. Στην τυπική μορφή του προβλήματος το σύστημα έχει μεταβλητές και γραμμικές εξισώσεις με. Βασική λύση είναι μία λύση που προκύπτει αν θέσουμε μεταβλητές ίσες με το μηδέν και λύσουμε ως προς τις υπόλοιπες μεταβλητές υπό τον όρο το γραμμικό σύστημα που προκύπτει να περιλαμβάνει από τις στήλες (διανύσματα) του πίνακα Α έτσι ώστε τα διανύσματα αυτά να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Δηλαδή ο πίνακας Α να περιέχει έναν υποπίνακα διάστασης για τον οποίο ισχύει ότι η ορίζουσα του είναι διάφορη του μηδενός. Η τετραγωνικός πίνακας, που προκύπτει από τον Α και έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες καλείται βάση του συστήματος ενώ οι notes/data/linear/main.htm 44/70

45 μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες της βάσεως καλούνται βασικές μεταβλητές. Οι υπόλοιπες μεταβλητές που δεν περιλαμβάνονται στη βάση καλούνται μη βασικές μεταβλητές. Αν συμβολίσουμε τον υποπίνακα των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του Α με Β, επειδή, η βασική λύση μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση, όπου είναι το διάνυσμα των βασικών μεταβλητών. Ο πίνακας Β ονομάζεται και βασικός πίνακας. Θεώρημα 3.1 Ο αριθμός των βασικών λύσεων ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι πεπερασμένος και το πολύ. Βασική εφικτή λύση είναι μία βασική λύση όπου όλες οι βασικές μεταβλητές είναι μη αρνητικές. Μη εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση είναι μία βασική εφικτή λύση με ακριβώς θετικά. Επομένως, μία εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση έχει λιγότερα από θετικά, δηλαδή, εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση είναι αυτή που έχει μια τουλάχιστον από τις βασικές λύσεις ίση με μηδέν. Θεώρημα 3.2 Αν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει ένα μη κενό σύνολο εφικτών λύσεων, τότε το σύνολο αυτό περιέχει τουλάχιστον μια βασική λύση. Θεώρημα 3.3 Η εφικτή περιοχή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι κυρτό σύνολο. Θεώρημα 3.4 Αν μια βασική εφικτή λύση, τότε κορυφή της και αντίστροφα αν είναι κορυφή της, τότε η είναι μια βασική εφικτή λύση. Ορισμός 3.2 Άριστη λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι κάθε εφικτή λύση που μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Θεώρημα 3.5 Έστω το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, με εφικτή περιοχή το σύνολο. Αν το είναι φραγμένο σύνολο, τότε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει άριστη λύση. notes/data/linear/main.htm 45/70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Μάρτιος 2014 Δρ. Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 69 2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να λαμβάνει υπόψη το δυναμικό περιβάλλον των συνεχών αλλαγών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται με πολύ αναλυτικό τρόπο η μεθοδολογία Γραφικής Επίλυσης ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ2 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Π.Γ.Π

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ2 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Π.Γ.Π ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ2 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Π.Γ.Π ΒασικέςΈννοιεςΠ.Γ.Π (1) Ας θεωρήσουμε μια υποθετική οικονομία που παράγει ( 1,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1 Γραφική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα