η σχέση διαθέτει και το ζεύγος β, γ και το ζεύγος γ, β. Αυτές δ ζ

Transcript

1 (Μονομερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ «γρφήμτ» 1. ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ, (ΜΟΝΟΜΕΡΕΙΣ ή ΕΝΔΟΕΝΕΙΣ): το σκεπτικό. Μι ειδική μορφή των διμερών σχέσεων στο Β είνι τ δύο μέρη ν ισούντι: Β =. Οι σχέσεις υτές ορίζοντι εντός ενός συνόλου νφοράς, κι γι υτό προσδιορίζοντι ως ενδο γενείς ή μονο μερείς. Ως «είδος» των σχέσεων, προυσιάζει περισσότερες ιδιότητες, κι μάλιστ πολύ ενδιφέρουσες. Τ δύο (ή τρί ν θέλετε) κυριώτερ είδη σχέσεων στ μθημτικά είνι υτού του τύπου: οι σχέσεις ισοδυνμίς κι οι σχέσεις διάτξης. Η μεθολογί μς γι την μελέτη τους θ είνι η ίδι: πό τ μορφικά χρκτηριστικά τους θ επισημάνουμε μορφικές ιδιότητες κι πό τον συνδυσμό υτών των ιδιοτήτων θ προσδιορίσουμε διάφορ (υπο) είδη τους. 2. ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: σχεδίση κι μορφικά χρκτηριστικά. Στις μονομερείς διμελείς σχέσεις έν (διτετγμένο) ζεύγος της σχέσης συνεχίζουμε ν το σχεδιάζουμε με έν έλος πό έν στοιχείο προς έν άλλο, μόνο που τώρ δεν χρειάζετι ν σχεδιάσουμε δύο σύνολ νφοράς, φού έχουμε μόνον έν. Στο σχήμ πρπλεύρως έχουμε μι σχέση S με 6 στοιχεί (ή κόμους), κι 7 ζεύγη συσχέτισης (ή κμές) επί του συνόλου S : A = {,, γ, δ, ε, ζ }. Έχουμε τρί μορφικά χρκτηριστικά άξι προσοχής: Τ ζεύγη δ, δ κι ε, ε συσχετίζουν έν στοιχείο (το δ ή το γ ε ) με τον ευτό του. υτές οι συσχετίσεις ονομάζοντι ε νκλστικές (πό την νλογί των ντ νκλάσεων σε έν κθρέφτη). Τ στοιχεί κι γ, σχετίζοντι κτά συμμετρικό τρόπο: η σχέση διθέτει κι το ζεύγος, γ κι το ζεύγος γ,. υτές δ ζ οι κμές είνι κι ονομάζοντι συμμετρικές. Η κμή γ, ζ προκύπτει πό την σύνθεση δύο συνεχόμενων (ή διδοχικών) κμών, των γ, ε κι ε, ζ. υτές οι κμές ονομάζοντι μεττικές. Πρόμοι, μεττική είνι κι η κμή γ,. 3. ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ οι θεμελικές ιδιότητες: νκλστικότητ, συμμετρικότητ, μεττικότητ. Προφνώς σε μι «τυχί» διμελή σχέση κάποιες κμές θ είνι λ.χ. συμμετρικές ή μεττικές, κι κάποιες όχι. υτό που μς ενδιφέρει είνι οι «κρίες» κτστάσεις: το τί συμινει ότν π.χ. όλες οι κμές είνι συμμετρικές, ή ότν κμμί δεν είνι συμμετρική. Η εξέτση των κρίων μορφών πράγει τις εξής ιδιότητες των διμελών σχέσεων: Ιδιότητες S A A: Τυπική μορφή: Ερμηνεί: νκλστική, S όλες οι νκλστικές κμές υπάρχουν στην S. μη νκλστική, S κμμί νκλστική κμή δεν υπάρχει στη S. συμμετρική μη συμμετρική,, S, S,, S, S ν υπάρχει μί κμή στην S, τότε πάντοτε υπάρχει κι η συμμετρική της. ν υπάρχει μί κμή στην S, τότε ουδέποτε υπάρχει κι η συμμετρική της. ντισυμμετρική,,,, S ( = ) τ μόν συμμετρικά ζεύγη είνι νκλστικά. μεττική,, ( μ, μ, μ, S), S όλες οι μεττικές κμές περιέχοντι στην S. μη μεττική ( ή μετάτη ),, ( μ, μ, μ, S), S κμμί μεττική κμή δεν περιέχετι στη S. ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε μη συμμετρική σχέση είνι κτ νάγκην μη νκλστική, διότι δεν μπορούν ν υπάρχουν νκλστικά ζεύγη x, x, φού σε υτά το συμμετρικό τους συμπίπτει με τον ευτό τους, κι έτσι το x, x S θ μς οδηγούσε στην ντίφση x, x S. ι υτό δικρίνουμε την χλρότερη περίπτωση της ντισυμμετρίς, όπου τ μόν συμμετρικά ζεύγη που επιτρέποντι είνι τ «τετριμμέν», δηλδή τ νκλστικά x, x. 4. ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ η μορφολογί: 3 κύριες «μεττικές» περιπτώσεις. Μι (ενδογενής) διμελής σχέση είνι δυντόν ν διθέτει ένν οποιοδήποτε συνδυσμό ιδιοτήτων όπως υτές που νφέρμε στ προηγούμεν. Κάποιοι συνδυσμοί εξ υτών εμφνίζοντι συχνά κι προυσιάζουν ειδικό Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 1 / 5

2 ενδιφέρουν: πράγουν έν είδος σχέσεως. Θ περιοριστούμε εδώ σε μεττικές σχέσεις, κι πό ρκετά ενδιφέροντ είδη, θ δικρίνουμε τρί θεμελικά. Δίνουμε ένν σχετικό πίνκ, κι τον εξηγούμε μέσως μετά: Μορφολογί: 3 θεμελικά είδη (μεττικών) διμελών σχέσεων ισοδυνμίες κι διτάξεις, (γνήσιες κι μή). μεττική συμμετρική ντισυμμετρική μησυμμετρική νκλστική μηνκλστική ΜΟΡΦΗ ΣΧΕΣΕΩΣ σχέση ισοδυνμίς (μερική) διάτξη, μη γνήσι (μερική) διάτξη, γνήσι ΕΞΗΗΣΕΙΣ: ΜΕΤΒΤΙΚΟΤΗΤ: Σε όλες τις περιπτώσεις υποθέτουμε την μεττική ιδιότητ. Η ιδιότητ υτή δεν είνι φυσικά νγκί, λλά έχει την πρώτη προτεριότητ εκ μέρους μς διότι, πρκτικά, οι σχέσεις λμάνουν όλη τους την σημσί στην «επνάληψή» τους, δηλδή στη σύνθεση με άλλες κι, φυσικά με τον ευτό τους. Π.χ. ότν συνδέουμε οδικά μί πόλη με μί άλλη, υτό δεν γίνετι γι ν δινύουμε υτή την μί οδό κι μόνον, λλά γι ν χρησιμοποιούμε την μί οδό μετά την άλλη, δινύοντς έτσι έν «οδικό δίκτυο». Ότν γνωρίζουμε έν φίλο, τότε μέσω υτού το συχνότερο γνωρίζουμε κι τους φίλους του φίλου μς, κοκ., κινούμενοι έτσι σε έν πλέγμ κοινωνικών σχέσεων. Ότν άζουμε έν ιλίο στη λίτσ μς, κι στη συνέχει την πίρνουμε στην εκδρομή μς, τότε έχουμε πάρει μζι μς κι το συγκεκριμμένο ιλίο (προφνώς!). ι τον «ίδιο» μεττικό λόγο, ότν εισέλθουμε σε έν δωμάτιο έχουμε τυτοχρόνως εισέλθει κι στο σχετικό κτίριο, κι στο άρος μίς φόρτωσης θ πρέπει το άρος των δοχείων ν προσθέσουμε κι το άρος του περιεχομένου τους. Κι, ως τελευτίο πράδειγμ, εάν μι πράξη μς θ έχει συνέπειες, πρέπει ν συνυπολογίσουμε κι τις συνέπειες των συνεπειών, κοκ. Όλ τ προηγούμεν δεν εκφράζουν πρά την μεττικότητ διφόρων σχέσεων. κόμ κι ότν μι σχέση δεν είνι μεττική κτά γράμμ, συχνά δεν χάνει το «νόημά της» εάν προσθέσουμε όσες μεττικές κμές χρειάζοντι γι ν γίνει. Π.χ. δύο πόλεις «συνδέοντι εροπορικά» εάν υπάρχει έν δρομολόγιο πό την 1 η στην 2 η. υτή η 2 η πόλη είνι συχνόττ δυντόν ν συνδέετι εροπορικά με μι 3 η χωρίς ν υπάρχει κτ ευθείν δρομολόγιο πό την 1 η στη 3 η. υτό όμως δεν μς εμποδίζει ν λέμε ότι είνι δυντόν ν «μετείς εροπορικά» πό την 1 η στην 3 η, διότι τ ουσιώδη σημεί υτού του τρόπου μετφοράς (λ.χ. «πτήση» κι «τχύτητ») διτηρούντι. ΣΥΜΜΕΤΡΙ: Η συμμετρικότητ λμάνει τις δύο κρίες μορφές, (συμμετρική κι μη συμμετρική), κι την (ήδη σχολισμένη) χλρότερη μορφή της ντισυμμετρικότητς. ΝΚΛΣΤΙΚΟΤΗΤ: Ο συνδυσμός «μεττική + συμμετρική» ουσιστικά επιάλλει ως τρίτη επιλογή την νκλστική ιδιότητ: μι μεττική + συμμετρική + μη νκλστική σχέση δεν θ περιείχε κνέν ζεύγος (!) διότι ν υπήρχε έν ζεύγος, θ υπήρχε κι το, (λόγω συμμετρίς) κι θ λμάνμε το, (λόγω μεττικότητς), το οποίο όμως ποκλείετι (λόγω μη νκλστικότητς). Επίσης η μη συμμετρική ιδιότητ έχει ως άμεση συνέπει την μη νκλστικότητ, φού ν γι κάποι υπάρχει το ζεύγος, υπάρχει κι το συμμετρικό του (το ίδιο το, ), πράγμ που ποκλείετι, άρ το, δεν υπάρχει γι κνέν στοιχείο. Τέλος, γι πρόμοιους λόγους η ντι συμμετρική ιδιότητ ρμόζει ν εξετστεί μζί με την νκλστική, (συχνά κτά σύμση), φού ν υπάρχει έστω έν συμμετρικό ζεύγος, κι, υτό θ πρέπει (μεττικά) ν είνι νκλστικό. ΟΡΟΛΟΙ: Η συμμετρικότητ μς οδηγεί ν πούμε τον πρώτο συνδυσμό ιδιοτήτων σχέση ισοδυνμίς. Η συμμετρί μς οδηγεί ν ονομάσουμε το 2 ο κι 3 ο είδος σχέση διάτξης. Κι στις διτάξεις, η νκλστικότητ ή μη, διφοροποιεί, το 2 ο είδος σε «μη γνήσιες», κι, το 3 ο είδος σε «γνήσιες» διτάξεις. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 2 / 5

3 5. ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: πρδείγμτ. Δείτε τ πρκάτω πρδείγμτ σχέσεων κι εξετάστε πό τον κνόν των σχέσεων ποιές ιδιότητες έχουν κι επομένως σε μι είδη εντάσσοντι (εφόσον συμίνει κάτι τέτοιο). Ορισμένες εξ υτών τις νλύουμε περισσότερο στις επόμενες πργράφους. Το «Κ/Σ» συντομογρφεί το «κτά σύμση. Κνόνς σχέσης νκλστική Συμμετρική Μεττική ΕΙΔΟΣ ΕΙΔΟΣ Κθημερινά (επί προσώπων): 1 «φίλος του» ΝΙ (Κ/Σ) ΝΙ 2 «πρόγονος του» ΜΗ ΝΚ ΜΗ ΣΥΜΜ ΝΙ ΔΙΤ (Ν) 3 «δελφός του» ΝΙ (Κ/Σ) ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ 4 «συνδέετι οδικά με» ΝΙ (Κ/Σ) ΝΙ ΝΙ (Κ/Σ) ΙΣΟΔ 5 «το πολύ νεότερος του» ΝΙ ΝΤΙ ΣΥΜΜ ΝΙ ΔΙΤ (Μ) 6 «οι κι έχουν το ίδιο ύψος» ΝΙ ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ 7 «εργζόμενος συνάδελφος του» ΝΙ ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ 8 «σε τουρνουά η ομάδ νίκησε την» ΜΗ ΝΚ ΜΗ ΣΥΜΜ Μθημτικά (επί ριθμών ή σχημάτων): 9 «σχήμ τέμνει σχήμ» ΝΙ ΝΙ 10 «ριθμός διιρεί τον» ΝΙ ΝΤΙ ΣΥΜΜ ΝΙ ΔΙΤ (Μ) 11 «κι έχουν το ίδιο υπόλοιπο δι 7» ΝΙ ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ 12 «το σχήμ νσυνρμολογείτι στο» ΝΙ ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ 13 «τρίγωνο όμοιο με τρίγωνο» ΝΙ ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ 14 «ζάρι κερδίζει ζάρι» ΜΗ ΝΚ ΜΗ ΣΥΜΜ ΟΧΙ 15 «σχήμ χωράει εντός του σχήμτος» ΜΗ ΝΚ ΜΗ ΣΥΜΜ ΝΙ ΔΙΤ (Ν) 16 «διάστημ όλο πριν διάστημ» ΜΗ ΝΚ ΜΗ ΣΥΜΜ ΝΙ ΔΙΤ (Ν) 17 «πολύγωνο ίσου εμδού με» ΝΙ ΝΙ ΝΙ ΙΣΟΔ ΤΟ ΠΡΔΕΙΜ #12: Έστω ότι έχουμε δύο επίπεδ πολύγων κι Β. ν το κόψουμε το με ευθείες γρμμές σε μικρότερ πολύγων, ίσως είνι δυντόν ν το «νσυνρμολογήσουμε» κι ν σχημτίσουμε το πολύγωνο Β. Σε υτή τη περίπτωση θ λέμε ότι το πολύγωνο είνι «ισοκοπτικό» του Β. Π.χ. στο πρπάνω σχήμ φίνετι ότι κάθε πλό πολύγωνο διμερίζετι σε τρίγων, κι ότι κάθε τρίγωνο είνι ισοκοπτικό με έν πλάγιο πρλληλόγρμμο, (με την μισή άση κι το ίδιο ύψος). Στο πρπάνω σχήμ φίνετι το πώς κάθε πλάγιο πρλληλόγρμμο, είνι ισοκοπτικό με έν ορθογώνιο πρλληλόγρμμο, με την ίδι άση κι το ίδιο ύψος. Χρειάζετι περισσότερη προσπάθει γι ν δείξουμε ότι έν ορθογώνιο είνι ισοκοπτικό με έν τετράγωνο, κι ότι δύο τετράγων είνι (πό κοινού) ισοκοπτικά με έν τετράγωνο. (ι υτά χρειζόμστε το Πυθγόρειο θεώρημ.) Όλ υτά θ μς έδινν ότι κάθε πολύγωνο είνι, τελικά, ισοκοπτικό με έν τετράγωνο (!) ν ήμστν έιοι γι τις ιδιότητες υτής της σχέσης... Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 3 / 5

4 Β Β Είνι εύκολο ν ειώσει κάποιος ότι η ισοκοπτική σχέση είνι νκλστική (διότι δεν χρειάζετι κμμί κοπή), κι συμμετρική (διότι ρκεί, με τις ίδιες κοπές, ν ντιστρέψουμε την ρμολόγηση). λλά τί κθιστά την σχέση υτή μεττική; Διότι ν το πολύγωνο κόετι κι δίδει το Β, κι το Β κόετι κι δίδει το, πώς θ μπορούσε ν κοπεί το ώστε ν δώσει το ; υτό φίνετι στο πρπάνω σχήμ. Το ενδιάμεσο πολύγωνο Β κόετι κτά δύο τρόπους: κτ υτόν που προέρχετι πό το κι κτ υτόν που πράγει το. ρκεί ν υπερθέσουμε τις δύο κοπές (μζί με όποι σύνορ των διφόρων τμημάτων), κι ν τις μετφέρουμε στο, ώστε ν λάουμε μι κοπή στο ικνή ν πργάγει το. Η σχέση «ισοκοπτικότητς» λοιπόν είνι κι μεττική, είνι δηλδή συνολικά σχέση ισοδυνμίς. (Κι άρ νί κάθε επίπεδο πολύγωνο είνι ισοκοπτικό με κάποιο τετράγωνο! Μέ κριώς έν; oops! ) ΤΟ ΠΡΔΕΙΜ #14: Εχουμε δύο ζάρι με ριθμούς στις 6 όψεις τους ή πλούστερ στις τρείς όψεις, (κι με τους ίδιους ριθμούς στις ντίθετες όψεις). Δύο πίκτες ρίχνουν το ζάρι τους κι κερδίζει όποιος φέρει τον μεγλύτερο ριθμό. Κθώς υπάρχουν 3 3 = 9 νεξάρτητ συμάντ, έν πό τ δύο ζάρι θ κερδίζει περισσότερες πό τις μισές φορές, (τουλάχιστον στις 5 πό τις 9) κι άρ μκροπρόθεσμ ο πίκτης που το έχει θ είνι ο κερδισμένος. υτή η σχέση «ζάρι κερδίζει ζάρι» είνι προφνώς μη νκλστική, (κνέν ζάρι δεν κερδίζει έν ντίτυπό του), κι μη συμμετρική (σε δύο διφορετικά ζάρι κι, δεν είνι δυντόν ν το ν κερδίζει το, κι το ν κερδίζει το ). Φίνετι φυσικό η σχέση υτή ν είνι κι μεττική κι πράγμτι σε κάποιες περιπτώσεις ζριών είνι. Εν γένει όμως υτή η σχέση δεν είνι μεττική! Δείτε το πρκάτω πράδειγμ με 3 «διολικά» ζάρι: Β Β 5 Β Β Β Β Β 6 Β Β Β 8 Β 9 f Β Β f f!! Οι πρπάνω πίνκες μς λένε ότι το ζάρι κερδίζει το Β (σε 5 ενδεχόμενες ρίψεις πό τις 9), το ζάρι Β κερδίζει το, κι ενώ θ περιμένμε το ζάρι ν κερδίζει, μεττικά, το προκύπτει ότι η σχέση προυσιάζει μι «κυκλικότητ», κι ότι είνι το ζάρι υτό που κερδίζει το! Η σχέση δεν είνι μεττική, κι, εδώ, μι διάτξη «κερδίζει» δεν υφίσττι. 6. (ΜΟΝΟΜΕΡΕΙΣ) ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: το μεττικό πλήρωμ κι άλλ. Όπως σχολιάσμε στ προηγούμεν, κόμ κι ότν μι σχέση δεν είνι μεττική κτά γράμμ, ίσως ν μην χάνει το νόημά της, εάν προσθέσουμε όσες μεττικές κμές χρειάζοντι ώστε ν κτστεί μεττική. Θ εξετάσουμε υτή την «μεττική πλήρωση» μις σχέσης, σε ειδική ενότητ, ργότερ. Στις επόμενες ενότητες θ εξετάσουμε, επίσης, με περισσότερες λεπτομέρειες τις 1+2 κύριες σχέσεις: πώς προκύπτουν, τί ιδιίτερ δομικά χρκτηριστικά έχουν, ποιες πράξεις ξεχωρίζουν σε υτές κι με τί ιδιότητες, κι τί περιτέρω ξιόλογ υπο είδη περιέχουν. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 4 / 5

5 7. (ΠΕΡΙ «ΙΣΟΚΟΠΤΙΚΩΝ» Ι ΟΣΟΥΣ ΕΝΔΙΦΕΡΟΝΤΙ) Συμπληρώνουμε εδώ γι όσους κι όσες έχουν περιέργει, τ περί «ισοκοπτικότητς» πολυγώνων. τ τ x y z = τ 2 x 2 + y 2 = z 2 Στ πρπάνω σχήμτ (1 ο έως 5 ο ) δείχνουμε το πώς έν ορθογώνιο είνι ισοκοπτικό με έν τετράγωνο: Στρέφουμε την μεγλύτερη, κι έστω (χ..γ.) ριστερή κι κάθετη, πλευρά ώστε ν γίνει οριζόντι κι επί υτής σχημτίζουμε έν ημικύκλιο έξω πό το ορθογώνιο (όπως στο 1 ο σχήμ), ώστε προεκτείνοντς την πένντι πλευρά της έως ότου τμήσει το ημικύκλιο ν λάουμε ορθογώνιο τρίγωνο, (κίτρινη σκίση/σημεί). Το ήμισυ του ορθογωνίου (σκισμένο τρίγωνο) είνι ισοκοπτικό με το τρίγωνο που έχει πλευρά την κι κορυφή την κορυφή του ορθογωνίου τριγώνου, (μπλέ χρώμ στο 2 ο σχήμ), διότι έχουν ίσες άσεις κι ίσ ύψη, κι άρ είνι ισοκοπτικά με το ίδιο ορθογώνιο πρλληλόγρμμο (λ. κι προηγούμεν, σελ. 3). Με την μί πλευρά του κίτρινου ορθογωνίου τριγώνου, κτσκευάζουμε τετράγωνο, όπως στο 3 ο σχήμ. πό υτό το τετράγωνο το ήμισυ (σκισμένο) είνι ισοκοπτικό με το ντίστοιχο τρίγωνο (μπλέ χρώμ), γι τον ίδιο λόγο: έχουν ίσες άσεις (την πλευρά τ του τετργώνου), κι ίσ ύψη (την πλευρά τ επίσης). Τ δύο μπλέ τρίγων είνι όμως ίσ, διότι το έν φέρετι επί του άλλου δι μίς στροφής 90 ο (4 ο σχήμ). Άρ τ ημίσε του ορθογωνίου κι του τετργώνου είνι ισοκοπτικά κτά κάποι κοπή Κ (5 ο σχήμ). Είνι επομένως κι ολόκληρ ισοκοπτικά: κόπτουμε κτά τις διγωνίους κι επνλμάνουμε την κοπή Κ δύο φορές: = τ 2. Στο 6 ο σχήμ φίνετι επίσης κι το γιτί δύο τετράγων είνι πό κοινού ισοκοπτικά με έν τετράγωνο: πλά τοποθετούμε τ δύο τετράγων με πλευρές x κι y, κθέτως μετξύ τους, με κοινή κορυφή, επνλμάνουμε ντίστροφ την ίδι διδικσί δύο φορές, κι πράγουμε πό τ δύο τετράγων δύο ορθογώνι, τ οποί έχουν κοινή πλευρά κι σχημτίζουν το τετράγωνο της υποτείνουσς z του τριγώνου με πλευρές x, y, z: x 2 + y 2 = z 2. Η τελευτί πόδειξη δεν είνι πρά η πόδειξη του Πυθγόρειου θεωρήμτος κι μάλιστ η πιο διάσημη πό εκτοντάδες κι πάνω (!) ποδείξεις που έχουν δοθεί: ντίγρφ του σχεδίου της έχουν ρεθεί, νά τους ιώνες, στ λτινικά, ινδικά, κινέζικ, ρικά (λ. εικόν στ ριστερά, πό Περσί), κά. Το όλο συμπέρσμ είνι ότι κάθε πολύγωνο είνι ισοκοπτικό με μι συλλογή τριγώνων, κάθε τρίγωνο πό υτά είνι ισοκοπτικό με έν τετράγωνο, κι ότι η συλλογή των τετργώνων που προκύπτει ισοκόπτετι (νά δύο) γι ν σχημτίσει τελικά έν τετράγωνο. Μεττικά, λοιπόν, κάθε επίπεδο πολύγωνο p είνι ισοκοπτικό με έν τετράγωνο, με πλευρά έστω τ. Το εμδόν τ 2 υτού του τετργώνου ορίζετι, (δικίως πι...), ως το εμδόν του πολυγώνου, Ε( p) = τ 2, κι υτή ήτν, περίπου κι σε δρές γρμμές, η «θεωρί» των ρχίων ελληνικών μθημτικών περί του εμδού των επιπέδων σχημάτων ν κι η έννοι «σχέση ισοδυνμίς» δεν χρησιμοποιήθηκε (ρητά, τουλάχιστον). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 5 / 5