HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

Transcript

1 HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος Μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων υτομάτων. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

2 1 ο Γενική εισγωγή κι λίγ ιστορικά πρόσωπ. Η μελέτη μις επιστημονικής/μθημτικής (κι όχι μόνον) περιοχής, οηθά στην κτνόηση της ιστορίς της, ισχύει όμως κι το ντίστροφο: η ιστορί μις περιοχής φωτίζει κι την ίδι. Η ιστορί της θεωρίς του υπολογισμού όμως δεν έχει γρφεί κόμ. Η σχετική διεθνής ιλιογρφί σε υτό το θέμ είνι κόμ ποσπσμτική, ίσως κόμ κι ρηχή. Δεν έχουμε λοιπόν ν προσφέρουμε μι κλή σύνοψη του τί συνέη κι φτάσμε ν έχουμε μι θεωρί (κι μι τεχνολογί, πι) του υπολογισμού. Αντ υτού θ πριθμήσουμε μι σειρά επεισοδίων σχετικά με υτή την εξέλιξη, μέσω μις σειράς πό εξέχουσες προσωπικότητες. Ο νγνώστης έχει, πι, την δυντότητ ν τις νζητήσει στο διδίκτυο (λ. wikipedia.org), κι ν ρεί πλήθος πό πληροφορίες, σχετικά με την ιστορική περιπέτει του «υπολογισμού». Αριστοτέλης, ο Στγειρίτης Στωικοί Ευκλείδης, ο Αλεξνδρινός Μεσιωνική φιλοσοφί George Boole Gottlob Frege π.χ., Έλληνς, Αρχί Μκεδονί κι Αθήν. Μετξύ νρίθμητων συνεισφορών του, ο Αριστοτέλης έγρψε κι έν εγχειρίδιο γι την λογική. Εκινείτο στο επίπεδο του «προτσικού λογισμού», κι όπως ο ίδιος έλεγε «περί της συμπερσμτικής λογικής δεν εγνώριζε κμμί προηγούμενη πηγή» (ν κι κάποιοι είχν, προηγουμένως, σχολήθεί με τους κνόνες όχι της σκέψης λλά της γλώσσς, κι είχν μιλήσει γι το «συντκτικό» της). Η «Αριστοτελική Λογική» έμελε ν πρμείνει σε εκείνο το ρχικό επίπεδο γι πάνω πό 2000 χρόνι. circa 300 π.χ. 200 μ.χ., Έλληνες (κι όχι μόνο). Η σχολή των Στωικών είχε την δική της εκδοχή γι την «λογική», η οποί έδινε θεμελιώδη έμφση στη σχέση «συνεπάγετι» ( p q ν κι τότε δεν χρησιμοποιούσν υτόν τον συμολισμό). Η εκδοχή τους νόμιζν ότι διέφερε πό εκείνη του Αριστοτέλη, υτό όμως συνέινε μόνον επιφνεικά. Εποχή Πτολεμίου ( π.χ), Έλληνς, Αλεξάνδρει Αιγύπτου. Έφορος της ιλιοθήκης της Αλεξνδρείς, κι κτά γενική ομολογί ο κρισιμότερος μθημτικός όλων των εποχών. Με τ «Στοιχεί» του (circa 300 π.χ.), όχι μόνο θεμελίωσε την γεωμετρί, λλά κι την ίδι την μθημτική μέθοδο: σφείς ορισμοί κι κριείς ποδείξεις. Τ «Στοιχεί» 1 περιλμάνουν κι τον περίφημο «λγόριθμο του Ευκλείδη» (γι την εύρεση του μέγιστου κοινού διιρέτη), ένν πό τους πρώτους ρητά διτυπωμένους λγορίθμους (μζί με την πόδειξη ότι είνι σωστός!) ν κι ούτε εκείνη την εποχή τον έλεπν ως λγόριθμο, ούτε κι ποτέ (προ 20 ου ιών) τον ονόμζν έτσι... Αν κι επί σειρά ιώνων (sic) οι φιλόσοφοι κι οι μθημτικοί διπίστωνν προλήμτ κι ελλείψεις στ διθέσιμ «εργλεί» της λογικής, δεν επέτυχν κμμί ουσιώδη συνεισφορά , Βρεττνός. Το 1847 με το ιλίο του The laws of thought επνέφερε το θέμ της λογικής, κριέστερ του προτσικού λογισμού, έδειξε την ενότητ των πόψεων του Αριστοτέλη κι των Στωικών, κι έδειξε τις δυντότητες λγερικού χειρισμού της λογικής. Η λογική δεν ήτν πι μόνον όργνο των μθημτικών, λλά κι ντικείμενο των μθημτικών , Γερμνός. Φυσιογνωμί κλειδί. Το 1879 με το ιλίο του «Εννοιογρφί» (!) επεξέτεινε ρητά κι συνειδητά επί τέλους την προτσική λογική, περιγράφοντς τον κτηγορημτικό λογισμό, εισάγοντς τους λογικούς ποσοδείκτες ( κι ), κι δείχνοντς το πώς οι ποδείξεις μπορούν ν γίνουν μέσω συμολικών κτ ουσίν χειρισμών. Ο κτηγορημτικός λογισμός είνι σχεδόν ποκλειστικά το 1 Εκτιμάτι ότι πό όλ τ ιλί της ιστορίς, μόνον η Βίλος έχει γνωρίσει περισσότερες εκδόσεις πό ότι τ «Στοιχεί» του Ευκλείδη! ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

3 Giuseppe Peano Bertrand Russel David Hilbert Kurt Gödel Alan Turing σύστημ λογικής που χρησιμοποιούμε τώρ στ μθημτικά. Το 1893 (Ι τόμος) κι 1903 (ΙΙ τόμος) με το ιλίο του Βσικοί νόμοι της ριθμητικής προσπάθησε ν θεμελιώσει τους φυσικούς ριθμούς επί της λογικής. Μι κρίσιμη λογική δυνμί στον ΙΙ τόμο, άνψε την φωτιά της νζήτησης επρκώς ευστθών θεμελίων γι τ μθημτικά, κι οδήγησε στην συστημτική νάλυση της μεθόδου των «ποδείξεων» κι στη συνέχει των «υπολογισμών» , Ιτλί. Το 1889 δημοσίευσε έν συλλεκτικό έργο (με εργσίες πό το 1860) επί της «ξιωμτικής θεμελίωσης» των φυσικών ριθμών, γι ν δείξει ότι λίγες ρχικές πρδοχές ρκούν γι ν εξχθεί ποδεικτικά όλη η θεωρί των ριθμών. Τ σχετικά ξιώμτ κλούντι κόμ «ξιώμτ του Peano» , Βρεττνός. Το 1900 επεσήμνε το (περίφημο έκτοτε) «πράδοξο του Russel» 2, μι κίρι ντίφση στο υπό δημοσίευση έργο του Frege (τί τύχη...). Ο ίδιος εργάστηκε επί μκρά σειρά ετών στην «ξιωμτική θεμελίωση» των μθημτικών, εμπεδώνοντς ότι ο λογισμός του Frege ήτν όντως, με σωστή χρήση, το κτάλληλο εργλείο , Γερμνός. Εμλημτική φυσιογνωμί των μθημτικών του 20 ου ιών. Όχι μόνον έκνε πολλά κι θειά μθημτικά, λλά έκνε τ ίδι τ μθημτικά του 20 ου ιών, προσδιορίζοντς τόσο τ μείζον προλήμτά τους, λλά κι τις μεθόδους τους: ο Hilbert άθυνε κι στερέωσε την χρήση της ευκλείδις ξιωμτικής μεθόδου. Το σημείο κλειδί όσον φορά στην ιστορί του υπολογισμού είνι ότι τις 10ετίες υποστήριζε θερμά την «πεπερσμένη» (finitary) εκδοχή των μθημτικών εργλείων ότι δηλδή με πεπερσμένες κι δικριτές λογικές μεθόδους μπορούμε κι θ είμστε σε θέση ν κρίνουμε την λήθει ή το ψεύδος κάθε δυντής μθημτικής πρότσης. Ως προς υτό, διψεύστηκε πό ένν μθητή του, τον K. Gödel , Αυστρικός. Εργάστηκε στη λογική κι έδωσε τ θεωρήμτ της «πληρότητς» (του κτηγορημτικού λογισμού a la Frege), κι της «μη πληρότητς» (της ριθμητικής, διδ. διτριή, 1931). Το 2 ο θεωρείτι το πιο «shocking» θεώρημ του 20 ου ιών, ν όχι όλων των μθημτικών μέχρι τώρ. (Εξ άλλου τ μθημτικά του 20 ου ιών είνι το 95% όλων των μθημτικών μέχρι τώρ...). Το θεώρημ υτό λέει ότι η ριθμοθεωρί περιέχει προτάσεις που είνι μεν ληθινές, λλά δεν μπορούμε ν τις ποδείξουμε (με κνέν «εύλογο» σύστημ ξιωμάτων). Έδειξε λοιπόν με υτό τον τρόπο ότι η ξιωμτική ποδεικτική μέθοδος έχει κάποιου είδους όρι, κι επομένως έθετε το ζωτικό κι «επείγον» ζήτημ, του ποιά είνι υτά , Βρεττνός. Ο «πτέρς» της θεωρίς υπολογισμού. Μετά το θεώρημ μη πληρότητς του Gödel ένοιωσε το εξής ερώτημ: «ΟΚ οι ποδείξεις έχουν όρι, λλά μήπως άλλοι συμολικοί χειρισμοί είνι σε θέση ν τ κτφέρουν κλύτερ;» Γι την πάντησή του έπρεπε ν εξετάσει τον ισχυρότερο κτά το δυντόν τύπο μηχνής ικνής γι συμολικούς χειρισμούς την λεγόμενη πλέον μηχνή Turing (1936). Ο Turing εξήγησε γιτί υτός ο τύπος μηχνής που εισηγήθηκε είνι ο ισχυρότερος στον οποίο μπορούμε ν ελπίζουμε, λλά ότι κόμ κι υτός δεν είνι σε θέση ν επιλύσει όλ τ προλήμτ που θ θέλμε ν λύσουμε 2 Το «πράδοξο του Russel»: ν έν σύνολο θεωρείτι «ομλό» ν δεν περιέχει τον ευτό του, τότε το σύνολο των ομλών συνόλων τί είνι: ομλό ή νώμλο; Δεν μπορεί ν είνι τίποτε πό τ δύο... ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

4 John von Neuman Noam Chomsky η 2 η πράξη «λγοριθμικά». Κτά την διάρκει του πολέμου εργάστηκε σε έν είδος υπολογιστή, εξειδικευμένου στην επίλυση κρυπτνλυτικών προλημάτων. Δεν ήτν κριώς ένς υπολογιστής όπως τον θέλουμε τώρ, λλά ήτν ρκετός γι ν δείξει ότι ο υπολογισμός ήτν μετξύ άλλων κι έν όπλο , Ούγγρος (κι τελικά πολίτης των ΗΠΑ). Ένς εξιρετικά ευφυής μθημτικός, ο οποίος δεν άφησε κλάδο στον οποίο ν μην προσφέρει κτά κίριο τρόπο: νάλυση, άλερ, κντική φυσική, θεωρί πιγνίων, θεωρί υπολογισμού, κά. Αμέσως μετά τον 2 ο πγκόσμιο πόλεμο, το 1945, ενεπλάκη στην ομάδ των ΗΠΑ γι την κτσκευή του πρώτου «γνήσιου» υπολογιστή. Εκεί πρότεινε την υπολογιστική ρχιτεκτονική που φέρει το όνομά του, δηλδή, της συσκευής με μί μνήμη, τόσο γι το «πρόγρμμ» όσο κι γι τ «δεδομέν». Εν πολλοίς, υτή την ρχιτεκτονική χρησιμοποιούμε κόμ κι εν ζωή, Αμερικνός. Προσωπικότητ όχι των μθημτικών λλά κι της διεθνούς σκηνής. Ο Chomsky έγρψε πολλά γι τις «τυπικές γλώσσες» την 10ετί Η μορφή υτού του μθήμτος οφείλετι σε δικές του συνεισφορές, (λ.χ. στη χρκτηριστική εργσί Three models for the description of a language, 1956). Στη δεκετί του 1960 τ ηνί της θεωρίς υπολογισμού νέλε ένς κλάδος υτής, η «θεωρί πολυπλοκότητς», η οποί δεν ενδιφέρετι μόνον γι το ποιά προλήμτ λύνοντι υπολογιστικά, λλά κυρίως γι το πόσο «γρήγορ» ή «οικονομικά» υτό επιτυγχάνετι. Η ιστορί (του «υπολογισμού) λοιπόν, όπως την διηγούντι τ επιτεύγμτ των πρπάνω προσώπων είνι σε λίγες πργράφους η εξής: Ήδη πό την ρχιότητ, (Αριστοτέλης, Ευκλείδης, Στωικοί, κά), είχε επισημνθεί ότι υπάρχουν λογικοί κνόνες, κι ότι άσει υτών μπορεί κι πρέπει ν σκούντι τ μθημτικά. Είχε ήδη επισημνθεί η πρκτική κι όχι μόνον, ξί των κτσκευστικών μεθόδων, τις οποίες ο ρχίος κόσμος σεότν πολύ κι διρκώς επεδίωκε. Πρά τύτ, η κτάστση στο χώρο της λογικής κι των κτσκευστικών μθημτικών πρέμεινε στάσιμη όσο φορά την κτνόηση των σχετικών εννοιών γι εξιρετικά μκρύ χρονικό διάστημ, (μεσιωνική περίοδος κι όχι μόνον). Κτά τον 19 ο ιών η μελέτη της λογικής επνήλθε με μθημτικά πι εργλεί, κι έγιν νέ κίρι, ιστορικού επιπέδου ήμτ. Η ξιωμτική κι ποδεικτική μέθοδος του Ευκλείδη επνισχυροποιήθηκε (Boole, Frege, Peano), κι έγινε ποδεκτό ότι η πόδειξη όχι μόνον είνι μι «μηχνική» διδικσί, λλά κλύτερ που είνι τέτοι, διότι μόνον έτσι εξσφλίζετι το λάθητο κι η ειότητ γι την ορθότητ της συλλογιστικής διδικσίς (κι άρ κι των όποιων συμπερσμάτων). Επιφνείς μθημτικοί, (όπως οι Russel κι Hilbert), κτθέτουν όλη τους την εμπιστοσύνη στις «πεπερσμένες» ξιωμτικές κι ποδεικτικές μεθόδους, κι κηρύσσουν ως πρόγρμμ των μθημτικών την εύρεση μις μεθόδου (διάζε: λγόρίθμου), γι την διάγνωση της λήθεις ή όχι, οποιουσδήποτε μθημτικού ισχυρισμού. Διπιστώθηκε γρήγορ, όμως, ότι η ορθή χρήση των λογικο ποδεικτικών εργλείων όχι μόνον δεν είνι προφνής (Russel), λλά ότι κόμ κι υτά υπόκειντι σε σορούς περιορισμούς (Gödel). Τέλος, προκειμένου ν διπιστωθεί με τον πιο σφή κι τελεσίδικο τρόπο τί είδους κτσκευστικές διδικσίες έχουμε στη διάθεσή μς, κι τί είδους χειρισμούς είμστε σε θέση ν κάνουμε «μηχνικά», ο Turing κτλήγει στις ομώνυμες μηχνές. Ακολουθούν κι άλλοι, την ίδι εποχή (Kleene, Church, Markov, Neuman), οι οποίοι διευκρινίζουν το θέμ των «μηχνών», της «υπολογισιμότητς», των «προγρμμάτων» κττ., κι νοίγουν εφεξής το πεδίο της κτσκευής υπολογιστικών συσκευών. Κι υτές δεν άργησν ν φνούν λλά υτό είνι άλλη ιστορί. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

5 ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

6 2 ο Τρί κεντρικά πρδείγμτ τρόπων υπολογισμού. Θ ρχίσουμε υτή την εισγωγική ξενάγηση στη θεωρί του υπολογισμού, με μι επίσκεψη στις πρώτες σχετικές θεμελικές έννοιες. Θ χρησιμοποιήσουμε μερικά πλά κι σύντομ πρδείγμτ, κι συγκεκριμμέν τρείς συνηθισμένους τύπους υπολογισμού τον πρώτο μάλιστ τον μθίνουμε σε πολύ μικρή ηλικί... Κάθε έλος δείχνει στην εκάστοτε επόμενη φάση του υπολογισμού. Ι. «Συμολικοί χειρισμοί»: η δεκδική πρόσθεση. Ας θυμηθούμε πως γίνετι μί πρόσθεση με τον κλσσικό τρόπο εκείνο κτά τον οποίο πρθέτουμε τ ψηφί των δύο προσθετέων το έν κάτω πό το άλλο. Πάνω πό τον 1 ο προσθετέο σημειώνουμε τ «κρτούμεν»: (* *) (κρτούμεν) OΚ (* *) Γι τους σκοπούς μς ποτελεί θεμελιώδη πρτήρηση ότι ο πρπάνω υπολογισμός (η άθροιση δύο ριθμών) κι όσοι θ δούμε πρκάτω, γίνοντι άσει κάποιων οδηγιών οι οποίες μς είνι γνωστές εκ των προτέρων, κι τις οποίες κολουθούμε κτά ήμ. Συνντούμε πλήθος τρόπων διτύπωσης υτών των οδηγιών. Εδώ θ νφερθούμε στις οδηγίες της πρόσθεσης στη δυδική μορφή της ντί της δεκδικής (γι συντομί), κι θ προσθέσουμε το 510 = 1012 με το 310 = 0112 με άση τους κνόνες που θ γράψουμε στη συνέχει. Ως δεδομέν γράφουμε τ ψηφί των προσθετέων ενλλάξ (το γράφετι ), κι τ σύμολ = στην ρχή κι Ν κι το τέλος. Οι κνόνες άθροισης έχουν ως εξής: (* *) 00Ν Ν0 00C N0 (Ν = όχι κρτούμενο, 01Ν Ν1 01C C0 C = έχω κρτούμενο) 10Ν Ν1 10C C0 11Ν C0 11C C1 =Ν = =C =1 (* *) Ακολουθώντς υτούς τους κνόνες έχουμε τ εξής ήμτ γι τη πρόσθεση = : = N = C 0 = 1 0 C ος κνόνς στη 2 η στήλη = C = = 8 10 (τ κτφέρμε...) Σχήμ: Μι όψη της δυδικής πρόσθεσης. Αυτό που θέλουμε ν κρτήσουμε πό το πρπάνω σύντομο πράδειγμ, είνι ότι σε υτόν τον τύπο «υπολογισμού» χειριζόμστε σύμολ, τ οποί άσει οδηγιών πλώς είτε διάζουμε, είτε γράφουμε είτε σήνουμε. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

7 ΙΙ. «Συνρτησικοί χειρισμοί»: ο υπολογισμός ενός πργοντικού. Η σειρά των στδίων του υπολογισμού του Ν! (συνάρτηση «πργοντικό») γι Ν λ.χ. ίσο με 4 έχει ως εξής: (* *) 4! (3! 4) ((2! 3) 4) (((1! 2) 3) 4) (((1 2) 3) 4) ((2 3) 4) (6 4) 24 OΚ (* *) Ποιές είνι οι σχετικές «οδηγίες»; Διότι δεν επρκεί ν γράψουμε ως οδηγίες γι τον υπολογισμό του Ν! την σχέση: Ν! = Ν 1 Ν. Τί είδους «οδηγί» θ ήσν τ ποσιωπητικά... ; Ακόμ κι εάν εδώ σημίνει κάτι συγκεκριμμένο σε εμάς, υτά τ ποσιωπητικά θ σημίνουν γι εμάς κάτι διφορετικό σε άλλο πλίσιο, κι δεν θ σημίνουν τελικά τίποτε γι μι μηχνή. Γνωρίζουμε όμως τον νδρομικό ορισμό της συνάρτησης του πργοντικού: συμολίζουμε με Φ(ν) την συνάρτηση του πργοντικού, (με όρισμ το ν), κι γράφουμε: (* *) εάν ν=1 τότε Φ(ν) = 1 Φ(ν) = εάν ν>1 τότε Φ(ν) = Φ(ν-1) ν (* *) Η εκτέλεση υτών των οδηγιών γίνετι τότε: (* *) Φ(4) = Φ(4 1) 4 (ν>1) = Φ(3) 4 = Φ(3 1) 3 4 (ν>1) = Φ(2) 3 4 = Φ(2 1) (ν>1) = Φ(1) = (ν=1) = 24 ΟΚ (* *) Αυτό που θέλουμε ν κρτήσουμε πό το πρπάνω πράδειγμ είνι ότι σε υτόν τον «υπολογισμό» χειριζόμστε συνρτήσεις, τις οποίες άσει οδηγιών είτε εφρμόζουμε μέσως (ν είνι πολύ πλές, όπως λ.χ. η φίρεση του 1), είτε τις συνθέτουμε, είτε τις νάγουμε σε υπολογισμό άλλων συνρτήσεων (κόμ κι νδρομικά), κοκ. ΙΙΙ. «(Υψηλές) γλώσσες προγρμμτισμού»: η διχοτομική νζήτηση. Το τελευτίο πράδειγμά μς είνι ένς «λγόριθμος» που είνι πντχού πρών στην λγοριθμική: η διχοτομική νζήτηση. Έχουμε στη διάθεσή μς ένν πίνκ Τ με Ν στοιχεί (λ.χ. ριθμούς), τ οποί είνι τξινομημέν κτ ύξουσ σειρά. Θ θέλμε γι οποιδήποτε στοιχείο σ ν είμστε σε θέση ν διπιστώνουμε «γρήγορ» εάν υτό συμπεριλμάνετι στον πίνκά Τ ή όχι, (κι γενικότερ εάν συμπεριλμάνετι στις θέσεις πό L έως κι R). Το τέχνσμ της διχοτομικής νζήτησης είνι ν «κόψουμε» τον πίνκ σε δύο τμήμτ: στις θέσεις πό L έως Μ (με τ «μικρότερ» στοιχεί), κι στις θέσεις πό Μ έως R (με τ «μεγλύτερ» στοιχεί) γι κάποιο Μ νάμεσ στ L κι R. Στη συνέχει διπιστώνουμε, χάρι στη τξινόμηση, σε ποιό πό τ δύο τμήμτ είνι (ή θ έπρεπε ν είνι...) το νζητούμενο στοιχείο σ, κι επνλμάνουμε την νζήτηση με τον ίδιο τρόπο, περιοριζόμενοι σε υτό το τμήμ. Δίνουμε έν πράδειγμ με Ν = 11 στοιχεί, L = 1, R = Ν, κι σ = 55. Σε κάθε φάση του «υπολογισμού» ορίζουμε το μεσίο στοιχείο Μ = (L+R) δι 2, κι εάν το στοιχείο σ κριθεί... ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

8 μικρότερο πό το Τ[Μ], επνερχόμστε στο τμήμ T[L=M+1... R]. μεγλύτερο πό το Τ[Μ], επνερχόμστε στο τμήμ T[L... R=M 1]. λλιώς, είνι ίσο με το Τ[Μ] τότε ΟΚ, το έχουμε εντοπίσει. L M R OK σ T[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] Περιέχετι 1? 11 Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ΨΕΥΔΕΣ Σχήμ: η εκτέλεση μις «διχοτομικής νζήτησης» («κίτρινο» = οι μετολές τιμών, «γκρί» = η περιοχή νζήτησης Τ[L...R], «πράσινο»: το Τ[Μ]) Τις όποιες (κι σφώς πιο περίπλοκες) οδηγίες της πρπάνω διχοτομικής νζήτησης, θ τις γράφμε σε μι «ψευδογλώσσ», ή κλύτερ σε μι γλώσσ «υψηλού επιπέδου» όπως πρκάτω. Η εκτέλεση θ γινότν με τον τρόπο που διδσκόμστε στ μθήμτ προγρμμτισμού: Αλγόριθμος: «Διχοτομική νζήτηση». Συνάρτηση Περιέχετι(Τ: πίνκς, L,R: φυσικός, σ: στοιχείο): ΑΛΗΘΕΣ/ΨΕΥΔΕΣ // Τ πίνκς στοιχείων, τξινομημέν κτ ύξουσ σειρά. { ΟΚ ΨΕΥΔΕΣ Εφόσον (L R) κι όχι ΟΚ { M (L+R) δι 2 // λ.χ. ((3+6) δι 2)=4 Περίπτωση { σ < Τ[Μ]: { R M-1 } σ = Τ[Μ]: { ΟΚ ΑΛΗΘΕΣ } σ > Τ[Μ]: { L M+1 } } } Περιέχετι ΟΚ } Αυτό που θέλουμε ν κρτήσουμε πό το πράδειγμ της διχοτομικής νζήτησης, είνι ότι στους «υπολογισμούς» υτού του είδους χειριζόμστε έν περιάλλον «μετλητών», τις οποίες άσει οδηγιών 3 είτε νκλούμε προς χρήση, είτε ενημερώνουμε με νέες τιμές. Θ χρειστούμε μι μκρά πορεί γι ν προσδιορίσουμε κι ν «νλύσουμε» μθημτικά τ πρπάνω είδη οδηγιών κι υπολογισμού. Φίνετι όμως, ότι ο συμολικός/γρμμτικός τρόπος είνι ο πλέον θεμελικός, διότι σε κάθε περίπτωση οι χειρισμοί μς δεν γίνοντι «στον έρ»: είτε με τον έν είτε με τον άλλον τρόπο, κάτι θ «γράψουμε». Με υτόν τον τρόπο υπολογισμού θ ρχίσουμε την ξενάγηση, ήδη πό την επόμενη ενότητ. 3 Οι οποίες δεν είνι κι τόσο πλές θ πρέπει ν πρδεχθούμε... ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

9 3 ο Ο «συμολικός» τρόπος υπολογισμού σύντξη κι σημσί. Ανφερόμενοι στη προηγούμενες ενότητ οι εξής ορολογί κι έννοιες θ είνι τ πρώτ θεμέλι της θεωρίς μς: Αλφάητο ( Σ ) Λέξη ( λ ) Υπολογισμός ( υ ) Έν υθίρετο πεπερσμένο σύνολο συμόλων Σ = { σ1, σ2,..., σν }. Συνήθως το λφάητο Σ περιέχει τουλάχιστον δύο σύμολ, Σ 2, λλά μπορεί κι ν έχει μόνον έν. Χρησιμοποιούμε το λφάητο γι την πράστση των οποιωνδήποτε πληροφοριών, ή την περιγρφή των οποιωνδήποτε ντικειμένων, σκοπεύουμε ν χειριστούμε υπολογιστικά. Τ συνηθισμέν γράμμτ, τ ριθμητικά ψηφί κι μερικά σημεί στίξης είνι υπερρκετά γι μι φυσική πράστση οποισήποτε πληροφορίς. Θεωρητικά (κι πολύ πρκτικά, π.χ. στ ολοκληρωμέν κυκλώμτ) έν δυδικό λφάητο δύο συμόλων, «0» κι «1», είνι επρκές. Ως λέξη θ θεωρούμε μι πεπερσμένη κολουθί λ, συμόλων εκ του λφήτου που έχουμε επιλέξει: λ = ν, κ Σ, κ = 1,..., ν. Το ν είνι το μήκος της λέξης κι θ το συμολίζουμε λ. Επιτρέπουμε την τιμή ν = 0, στην οποί περίπτωση θεωρούμε ότι η λέξη μς είνι κενή κι θ την συμολίζουμε με το σύμολο. Το σύνολο όλων των (πεπερσμένων, πάντοτε) λέξεων εξ ενός λφήτου Σ θ το συμολίζουμε με Σ *. Τί «είνι» οι λέξεις; Ότν υπολογίζουμε, υπάρχουν πράγμτ που «θυμόμστε», «σημειώσεις» που κρτάμε (λ.χ. στη μνήμη μις συσκευής). Αυτά θ τ πριστάνουμε συμολικά με μί λέξη. Επιλεγμέν σύμολ που χρησιμοποιούντι ως σημεί «στίξης» είνι δυντόν ν ενώνουν συμτικά πολλές λέξεις σε μί. Το πρόν κείμενο π.χ. μπορεί ν θεωρηθεί ως μί λέξη με σημεί στίξης το «διάστημ», την «τελεί», τις «πύλες», τις «πρενθέσεις», κά. Με μι λέξη πριστάνουμε τ δεδομέν που έχουμε, την διθέσιμη σε μς πληροφορί, δηλδή την περιγρφή των ντικειμένων που χειριζόμστε. Το ότι υτή είνι μι πλή μονοδιάσττη σειρά συμόλων, ενώ μπορούμε ν σκεφτούμε λ.χ. κόμ κι μι δισδιάσττη «πληροφορί», δεν μς οδηγεί σε πώλει γενικότητς, διότι υτή η σειρά δεν ντιστοιχεί πρά στη χρονική σειρά με τ οποί ούτως ή άλλως θ τ εξετάσουμε. Ό,τι εμείς, ή μι υπολογιστική συσκευή, εξετάζει «σε έν ήμ» της, υτό το θεωρούμε ως έν σύμολο, κι η σειρά της εξέτσης ντιστοιχεί στη λέξη που θεωρούμε ως τ δεδομέν μς. (Το πρκτικό ντίστοιχο μις λέξης είνι τ γνωστά «ρχεί» των υπολογιστών μς μι σειρά δηλδή πό «χρκτήρες».) Υπολογισμός υ, είνι (κτ ρχάς) μι κολουθί λέξεων υ0, υ1, υ2,..., υν,... δηλδή μι πεικόνιση του Ν (οι φυσικοί) στο Σ*. Δικρίνουμε τ εξής επί μέρους: κάθε λέξη της κολουθίς υκ, κλείτι έν στάδιο ή φάση υπολογισμού. κάθε ζεύγος διδοχικών στδίων (υκ, υκ+1 ) κλείτι έν ήμ υπολογισμού. κρτάμε κτ ρχάς το ενδεχόμενο η κολουθί/υπολογισμός ν είνι άπειρος, λλά στις πρκτικές περιπτώσεις μς ενδιφέρει, φυσικά, υτός ν περτούτι. Προς τούτο πρέπει ν υπάρχει τελικό στάδιο υτελικο ώστε γι κ > τελικό ν ισχύει κάποι συνθήκη η οποί (κτά σύμση) ν σημίνει ότι ο υπολογισμός μς έχει περτωθεί: λ.χ. υκ =. Το πρώτο τέτοιο ν είνι το μήκος του υπολογισμού. Εάν ο υπολογισμός υ περτούτι θ γράφουμε με «υ» (ή: υπολογισμός «συγκλίνει») λλοιώς θ γράφουμε «υ» (ή: ο υπολογισμός «ποκλίνει») ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

10 Πρόγρμμ ( π ) Τ προγράμμτ ορίζουν τ επιτρεπτά ήμτ ενός υπολογισμού, προσδιορίζουν δηλδή το πότε δύο στάδι υπολογισμού φ κι φ μπορούν ν θεωρηθούν διδοχικά, φ = υκ κι φ = υκ+1. Κάθε πρόγρμμ ντιστοιχεί σε μι σχέση λέξεων, που θ ποκλούμε ήμτ(π). Είνι κίριο χρκτηριστικό ενός υπολογισμού ότι τ στάδι του δεν διδέχοντι το έν το άλλο κτά τυχίο ή υθίρετο τρόπο άλλως θ υπολογίζμε τη λύση των προλημάτων μς σε έν (έστω μκρύ & υθίρετο) κτ ευθείν ήμ πό τ δεδομέν στ επιθυμητά ποτελέσμτ... Τ ήμτ ενός υπολογισμού δεν μς ενδιφέρει ν προκύπτουν υθίρετ, υθόρμητ ή κτόπιν έμπνευσης το κάθε επόμενο στάδιο υπολογισμού πρέπει σχετίζετι με το προηγούμενο σύμφων με κάποιες προκθορισμένες οδηγίες, υτές που ποκλούμε πρό γρμμ. Όλ τ ενδεχόμεν στάδι κι ήμτ υπολογισμού είνι όμως πείρου πλήθους κι γιʹ υτό δεν μπορούμε ν περιγράψουμε έν πρόγρμμ π πρθέτοντς όλ τ ζεύγη (υκ, υκ+1 ) υτής της σχέσης: υπό υτή την προοπτική η σχέση π ποτελεί πειρομέγεθες ντικείμενο. Μπορούμε (;) όμως ν την «συνοψίσουμε» σε μι συμολική περιγρφή: τ προγράμμτ δηλδή είνι λέξεις π Σ*, που περιγράφουν σχέσεις, τ ήμτ(π). Π.χ. στ προηγούμεν γράψμε «01C C0» εννοώντς ότι: «οποιοδήποτε υκ = 0 1 C, (, Σ*), μπορεί ν γίνει υκ+1 = C 0», Προφνώς, εάν χρειζόμστε ένν ολόκληρο υπολογισμό γι ν οδηγηθούμε στο επόμενο ήμ, τότε υποπίπτουμε σε φύλο κύκλο: χρησιμοποιούμε υπολογισμούς γι ν ορίσουμε τ ήμτ των υπολογισμών κι ο ορισμός μς είνι δώρον άδωρον. Κάθε ήμ υπολογισμού (υκ, υκ+1 ) κτά το πρόγρμμ π, δηλδή η «εφρμογή» του π επί ενός τρέχοντος στδίου υκ, θ πρέπει ν είνι κάποιο τετριμμένο κθήκον, ευνόητο, χωρίς νάγκη περιτέρω νάλυσης σε πλούστερ, κι εκτελέσιμο μηχνικά χωρίς χρήση «διίσθησης» ή «έμπνευσης» (όπως λ.χ. η προηγούμενη γρμμτική ντικτάστση του 01Ν με Ν1). Έτσι γράφουμε μεν μι λέξη (που είνι πεπερσμένο ντικείμενο) λλά εννoούμε μι ολόκληρη συνάρτηση (που είνι άπειρο ντικείμενο). Σημείωση: Είνι πράγμτι προκλητικό ν τυτίσει κάποιος τους λεγόμενους λγορίθμους με όλ τ προγράμμτ τότε όμως πώς θ συμιάσουμε το σφές εμπειρικό γεγονός, που ντιλμάνοντι μέσως όλοι όσοι προγρμμτίζουν, ότι έχουμε την δυντότητ ν προγρμμτίσουμε σε εντελώς διφορετικές «γλώσσες προγρμμτισμού» τον ίδιο, κτά κάποι έννοι, λγόριθμο; Αυτό σημίνει ότι η έννοι «λγόριθμος» είνι κάτι πιο γενικό ή φηρημένο πό ότι η έννοι «πρόγρμμ», εδώ όμως δεν θ θίξουμε υτό το θέμ: θ εξετάσουμε διάφορους γενικούς τρόπους υπολογισμού κι προγρμμτισμού, τυτίζοντς (εδώ χωρίς λάη) την έννοι «λγόριθμος» με την έννοι «πρόγρμμ». Συντκτικοί κι σημσιολογικοί κνόνες. Συντκτικοί κνόνες: Υπάρχουν πείρου πλήθους προλήμτ την λύση των οποίων θ θέλμε ν υπολογίζουμε, κι προφνώς χρειζόμστε προς τούτο άπειρο πλήθος προγρμμάτων που θ θέλμε ν γράψουμε δεν μπορούμε δηλδή ν έχουμε ένν πλήρη εξντλητικό κτάλογο όλων των «προγρμμάτων». Αντί γιʹ υτό έχουμε έν σύστημ κνόνων με άσει το οποίο μπορούμε ν συντάξουμε όλ τa δυντά προγράμμτ (ή: οδηγίες, ή εντολές, κττ) που επιτρέπει ο τρόπος προγρμμτισμού που έχουμε προτιμήσει. Οι κνόνες υτοί λέγοντι συντκτικοί ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

11 κνόνες. Προφνώς η εφρμογή τους θ πρέπει ν είνι πλή κι άμεσ κτνοητή. Κάθε πρόγρμμ λοιπόν, π, συντετγμένο σύμφων με τους κνόνες μς, υποδηλώνει έν τρόπο ν κάνουμε ήμτ στον υπολογισμό μς υποδηλώνει δηλδή μι σχέση μετάσης πό στάδιο υπολογισμού σε επόμενο στάδιο υπολογισμού: ήμτ(π) = {(φ, φ ): φ, φ διδοχικά στάδι ή φάσεις υπολογισμού } Ο υστηρός κι κριής ορισμός του πώς υπολογίζουμε γι κάθε πρόγρμμ π, το «νόημά» του, τον τρόπο δηλδή της επίδρσής του στο εκάστοτε στάδιο υκ, ποτελεί τους σημσιολογικούς κνόνες του προγρμμτικού τρόπου που έχουμε προτιμήσει, κι δίδοντι πό τον ορισμό, με οποιονδήποτε εξυπηρετικό τρόπο, της σχέσης ήμτ(π). Π.χ., στο 1 ο πράδειγμ της προηγούμενης ενότητς, τ «προγράμμτ» ήσν σύνολ πό οδηγίες της μορφής λ λ, δηλδή ζεύγη λέξεων (λ, λ ), κι το νόημ ενός ζεύγους ήτν: «εάν το στάδιο υκ περιέχει τη λέξη λ τότε ως επόμενο στάδιο υκ+1 επιτρέπετι υτό που προκύπτει εάν ντικτστήσουμε τη λ με τη λ» ΣΥΝΤΑΞΗ ΣΗΜΑΣΙΑ: «λ λ» «λ τ λ τ»,, τ Σ * ήμτ(π) = 1 λ λ λ λ 1 λ 1 λ 1 1 λ 0 1 λ λ λ κοκ (Βλ. στο 1 ο πράδειγμ της προηγούμενης ενότητς, στο σχετικό σχήμ, την διγρφή του 01C, κι την ντικτάστσή του πό το C0). Στο σημείο υτό φίνετι κθρά πόσο «πλός» είνι ο γρμμτικός τρόπος υπολογισμού. Γι ν γράψουμε σε υτόν έν πρόγρμμ ( = η σύντξη) ρκεί: ν διλέξουμε έν λφάητο συμόλων Σ, ν διλέξουμε έν πεπερσμένο σύνολο π πό ζεύγη (λ, λ ) λέξεων του Σ*, κι τέλος έχουμε έν «συντκτικώς ορθό» πρόγρμμ π. Κι γι ν ερμηνεύσουμε έν πρόγρμμ π ( = η σημσί) ρκεί: ν εξετάζουμε το εκάστοτε στάδιο υπολογισμού υκ εάν περιέχει την (υπο)λέξη λ, ν την ντικθιστούμε με τη λέξη λ πράγοντς το νέο στάδιο υκ+1, κι τέλος έχουμε εκτελέσει έν επιτρεπτό ήμ του υπολογισμού υ ως προς π. Γι ν εκτιμήσετε υτή την πλότητ ρκεί ν νκλέσετε τυχόν μθήμτ που έχετε πρκολουθήσει γι μι γλώσσ προγρμμτισμού «υψηλού επιπέδου», όπως λ.χ. η C, κι ν προσέξετε το πόσο δύσκολη είνι η εξήγηση του ποιά προγράμμτ C είνι σωστά γρμμέν ( = η σύντξη της C), κι ποιά όχι. Ή κόμ χειρότερ, το πόσο δύσκολη είνι η εξήγηση του τί ποτέλεσμ θ έχει κάθε (;) εντολή της C, σε ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

12 κάθε (;) περιάλλον μετλητών ( = η σημσί της C) 4. Η κτκλείδ είνι μι πρωτόλει περιγρφή του τί κάνει έν «πρόγρμμ»: δίδει μι σχέση «πράγει(π, δ, υ)», τριών πρμέτρων: του προγρμμτος π. των δεδομένων δ, κι, του υπολογισμού υ. πράγει(π, δ, υ) = «Το πρόγρμμ π, με δεδομέν δ, πράγει τον υπολογισμό υ» (το υ0 περιέχει τ δ) κ 0 ((υκ, υκ+1) ήμτ(π)) Συνοψίζουμε, στον επόμενο πίνκ, τον συμολισμό κι την ορολογί/έννοιες που χρησιμοποιήσμε: Ν οι φυσικοί ριθμοί. Σ το (πεπερσμένο) λφάητο που χρησιμοποιούμε. Σ* όλες οι (πεπερσμένες) λέξεις του λφήτου Σ. σ,, σύμολ του λφήτου. λ μι λέξη πό το χρησιμοποιούμενο λφάητο: λ Σ*. λ[κ] το κ οστό σύμολο της λέξης λ. λ το μήκος της λέξης λ. η κενή λέξη (με μηδενικό πλήθος συμόλων). σ (κ) μι λέξη ποτελούμενη πό κ Ν σύμολ «σ» στη σειρά. π έν πρόγρμμ: μι λέξη του π Σ*, συχνά έν σύνολο «οδηγιών». ήμτ(π) η σημσί ενός προγράμμτος ήμ προς ήμ: μι σχέση Σ* Σ*. υ ο υπολογισμός: μι κολουθί λέξεων: Ν Σ*. υκ, υ[κ] το κ οστό στάδιο του υπολογισμού υ. υ, υ ο υπολογισμός συγκλίνει (περτούτι) ή ποκλίνει. 4 Αξίζει ν ελέγξει κάποιος εάν μι τέτοι εξήγηση έχει ποτέ δοθεί πλήρως, κι εάν χωράει σε λιγότερες πό ρκετές εκτοντάδες σελίδες. Επίσης, το πόσο «φυσκή» κι ευνόητη είτε είνι, είτε θ μπορούσε ν γίνει... ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

13 4 ο Οι μηχνές Turing. Ανφερόμενοι στην προηγούμενη ενότητ, η πλή συντκτική μορφή των εντολών λ λ είνι επιφνεική. Η νάλυση των δυντοτήτων τους πρμένει εξιρετικά περίπλοκη (φού λ.χ. η προς ντικτάστση λέξη λ μπορεί ν εμφνίζετι «εδώ κι εκεί» με νεξέλεγκτπο τρόπο). Η οδός που κολούθησε η θεωρί υπολογισμού είνι ν περιορίσει υτή την μορφή, κι ν μελετήσει κόμ πλούστερες μορφές. Τέσσερεις μορφές έπιξν τελικά ρόλο, με τον εξής τρόπο: Επιλέγουμε έν λφάητο τερμτικών συμόλων Σ, τ οποί είνι κι το κυρίως ντικείμενο των γρμμτικών χειρισμών μς. Θ τ γράφουμε ως πεζά σύμολ, λ.χ.,, γ, σ. Επιλέγουμε έν λφάητο πργωγικών συμόλων ΣΚ, με τ οποί «θυμόμστε» τί είδους εργσί επιτελούμε κι πού. Θ τ γράφουμε ως κεφλί σύμολ, λ.χ. Κ, Λ, Ι, Τ. Εξετάζουμε προγράμμτ φτιγμέν πό τ εξής είδη εντολών, λ λ : λ λ Κ Κ λ Κ Έν πργωγικό σύμολο Κ είτε, κτργείτι, τερμτίζοντς την πργωγή. ντικθίσττι πό μι λέξη λ κι έν νέο πργωγικό σύμολο Κ. Ίσως η πλούστερη ενδιφέρουσ δυντή περίπτωση. Αυτή θ μελετήσουμε στο Α μέρος υτών των σημειώσεων. Κ Κ λ Κ1 Κ2 Έν πργωγικό σύμολο Κ είτε, κτργείτι, τερμτίζοντς την πργωγή. ντικθίστι πό μι λέξη λ kai δύο νέ πργωγικά σύμολ Κ1, Κ2. Μι ειδική περίπτωση πρκτικώς εξιρετικά χρήσιμη, όπως θ φνεί στο Β μέρος υτών των σημειώσεων. Κ Κ λ Κ1 Κ2 Το ίδιο, περίπου, όπως κι πριν, λλά τώρ το τί κι πώς θ συμεί εξρτάτι όχι πό το Κ κι μόνον, λλά κι πό τ «συμφρζόμεν» κι. Εδώ δεν θ εξετάσουμε υτή την περίπτωση. Turing (λ. πρκάτω).) Η 4 η περίπτωση ήτν κι η... ρχική, υτή στην οποί «πήδηξε» κτ ευθείν, (πό διίσθηση;) ο ίδιος Turing το Κθώς κλύπτει όλες τις άλλες, θ την προυσιάσουμε στη συνέχει, ν κι γι την νάλυσή της θ επνέλθουμε στο Γ μέρος υτών των σημειώσεων. Η γρμμτική μορφή των μηχνών Turing. Γι ν φτιάξουμε μι μηχνή Turing Τ, ρκούν τ εξής ήμτ: Επιλέγουμε έν λφάητο τερμτικών συμόλων Σ, τ οποί είνι κι το κυρίως ντικείμενο των γρμμτικών χειρισμών μς. Επιλέγουμε έν λφάητο πργωγικών (ή μη τερμτικών συμόλων) συμόλων ΣΚ, με τ οποί κτά κάποι έννοι θυμόμστε τί είδους «εργσί» έχουμε ν επιτελέσουμε κι «πού». Επιλέγουμε ως πρόγρμμ της μηχνής έν σύνολο οδηγιών. Ως οδηγί θεωρούμε οποιδήποτε οποιοδήποτε ζεύγος λέξεων (λ, λ ) της πρκάτω ειδικής μορφής, (όπου τ σ, σ, τ, είνι τερμτκά σύμολ, κι το Κ πργωγικό σύμολο): λ λ τ Κ σ τ σ Κ τ Κ σ τ Κ σ τ Κ σ Κ τ σ ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

14 (Αγνοείστε τ «κενά διστήμτ»: έχουν τεθεί πλώς γι ν διευκολύνουν την νάγνωση.) Μι μτιά στον τύπο υτών των οδηγιών ποκλύπτει τις προθέσεις μς: μετάλλουμε μόνο έν τερμτικό σύμολο σε κάθε ήμ, πό σ σε σ, κι συγκεκριμμέν το σύμολο που το πργωγικό σύμολο Κ «λέπει» στ δεξιά του. μετάλλουμε το σύμολο κτάστση Κ σε έν νέο Κ. μετκινούμε το σύμολο κτάστση Κ/Κ κτά 0, ±1 θέσεις. Συντκτικοί κνόνες: Θ γράφουμε μί οδηγί μηχνής Turing ως μί «5άδ» στοιχείο του (ΣΚ Σ) (ΣΚ Σ { 1, +1, 0}), κι συγκεκριμμέν ως δύο τμήμτ, έν «ριστερό» κι έν «δεξιό»: ( Κ, σ ) ( Κ, σ, δ ) όπου δ = 1, 0,+1 Ως πρόγρμμ Turing π, θεωρούμε έν σύνολο τέτοιων οδηγιών, δηλδή: π (ΣΚ Σ) (ΣΚ Σ { 1, +1, 0}) όπου τυτόχρον δικρίνοντι προς ειδική χρήση τρείς κτστάσεις: μι ρχική, Ιπ ΣΚ, κι... δύο τελικές, Υπ κι Νπ, (ντίστοιχες μις «θετικής» (Yes) κι μις «ρνητικής» (No) κτάληξης του προγράμμτος π. Γι τεχνικούς λόγους που θ φνούν ργότερ, θ πιτούμε (συντκτικός κνόνς!) προς ποφυγή συγχύσεως τ εξής: το ρχικό σύμολο Ιπ ν είνι πράγμτι «ρχικό», δηλδή ν μην εμφνίζετι στο δεξιό τμήμ ( Κ,, ) κμμιάς οδηγίς του π, κι.. τ δύο τελικά σύμολ Υπ κι Νπ, ν είνι πράγμτι «τελικά», δηλδή ν μην εμφνίζοντι στο ριστερό ( Κ, ) τμήμ κμμίς οδηγίς του π. Αυτά θ είνι τ συντκτικά συσττικά στοιχεί του προγρμμτικού συμολισμού που θ εξετάσουμε γι λίγο στη συνέχει κι εκτενέστερ στο Γ μέρος υτών των σημειώσεων. Σημσιολογικοί κνόνες: Γι ν ορίσουμε τί κάνει έν πρόγρμμ π «πρέπει & ρκεί» ν εξηγήσουμε ποιά ήμτ υπολογισμού ήμτ(π), είνι επιτρεπτά (ή κι επιλλόμεν) πό το πρόγρμμ π. Η σχέση των ημάτων( ) ορίζετι επί δύο λέξεων φ κι φ ως εξής: Τ ήμτ(π) του υπολογισμού είνι όλ τ ζεύγη λέξεων (φ, φ ) που ορίζοντι ως εξής: Εάν φ = τ Κ σ, (όπου, οποιεσδήποτε λέξεις), κι η ( Κ, σ ) ( Κ, σ, δ) είνι οδηγί του π, τότε στο επόμενο στάδιο φ το σ τρέπετι σε σ, το Κ σε Κ, κι το Κ μετκινείτι κτά δ θέσεις: γι δ = 1: φ = Κ τ σ, γι δ = 0: φ = τ Κ σ, γι δ = +1: φ = τ σ Κ, λλιώς (ν λ.χ. το κτάστση Κ είνι τελικό σύμολο: Κ { Yπ, Nπ }, τότε φ =. Γι έν πρόγρμμ Τuring π, είνι λοιπόν δυντόν, σύμφων με τ όσ έχουμε εξηγήσει ν έχουμε υπολογισμούς υ = υ0, υ1,..., υκ, υκ+1,... ρχίζοντς πό μι λέξη δεδομένο λ, σύμφων με την εξής σημσιολογί: Αρχικό στάδιο υ0: Γι κ = 0, υκ = Ιπ λ, όπου Ι το ρχική πργωγικό σύμολο του προγράμμτος π. Βήμ υπολογισμού: Γι κάθε δύο διδοχικά στάδι (υκ, υκ+1) πρέπει (υκ, υκ+1) ήμτ(π). Τέλος υπολογισμού: Ότν κι μόνον υκ+1 =. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

15 Η μηχνική μορφή των «μηχνών Turing». Δώσμε τον πρπάνω ορισμό κυρίως γι ν κτστεί σφές ότι ο τρόπος υτός υπολογισμού είνι «συμολικός» ή «γρμμτικο συντκτικός». Είνι όμως πιο πρσττικό ν δούμε τ πρπάνω προγράμμτ ως προγράμμτ μις μηχνής η οποί ποκλείτι μηχνή Turing. Σύντξη... Σε μιά μηχνή Turing δικρίνουμε τ ίδι συντκτικά στοιχεί, με τον ίδιο ρόλο, όπως πρίν, μόνον που εδώ ποκλούμε τ πργωγικά σύμολ (κι) κτστάσεις.... κι σημσί: Γι την νοημτοδότηση των προγρμμάτων κτά «μηχνικό» τρόπο, θεωρούμε τ εξής: την τινί της μηχνής, t[0] t[1] t[2]... t[h]..., δηλ. μι κολουθί πό θέσεις ή κυψέλες, στις οποίες είνι κτχωρισμέν κάποι τερμτικά σύμολ, τ οποί πό έν σημείο κι μετά είνι ίσ με «_» (συμτικά, το σύμολο του «διστήμτος» ή της κενής θέσης). την κεφλή της μηχνής, δηλδή ένν φυσικό ριθμό h Ν, ο οποίος δηλώνει σε ποιά θέση της τινίς ευρίσκετι η κεφλή, κι τέλος την εκάστοτε κτάστση q ΣΚ. Θ ποκλούμε μι τριάδ t, h, q ως την (κτσττική) περιγρφή του υτόμτου. Θ σχεδιάζουμε έν υτόμτο όπως πρκάτω, σχεδιάζοντς την «τινί» σν μι σειρά πό κυψέλες που περιέχουν το ντίστοιχο σύμολο κι είνι ριθμημένες πό ριστερά προς τ δεξιά, κι την «κεφλή» σν μι κυψέλη που δείχνει με έν έλος τη θέση της κι η οποί περιέχει την «κτάστση» του υτόμτου. h = 5 t : σ 0 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ σ λ _ q - διπλή κτεύθυνση - νάγνωση / εγγρφή Σχήμ: Η «τινί» t, μις μηχνής Turing. Oρίζουμε ένν υπολογισμό της μηχνής Turing ως μί κολουθί κτσττικών περιγρφών στην οποί η κάθε επόμενη περιγρφή φ προκύπτει πό την προηγούμενη φ, σύμφων με μί κάποι οδηγί του προγράμμτος π. Συγκεκριμμέν: Η σχέση ήμτ(π) του υπολογισμού είνι όλ τ ζεύγη λέξεων (φ, φ ) που ορίζοντι ως εξής: Mι οδηγί ( Κ, σ ) ( Κ, σ, δ) είνι εφρμόσιμη επί της φ = t, h, q, εάν: η κεφλή «λέπει» το σύμολο μ, εάν δηλδή: t[h] = σ, κι, η κτάστση του υτομάτου είνι η Κ: q = K, κι εάν είνι εφρμόσιμη, τότε η κτσττική περιγρφή φ, είνι η εξής: φ = t, h, q, όπου t = t, q = K κι h = h+ μ. (δηλδή: το περιεχόμενο της τινίς δεν μετάλλετι, η νέ κτάστση είνι η Κ, κι η κεφλή μετκινείτι τόσες θέσεις όσ είνι τ σύμολ της λέξης μ που «νέγνωσε».) Γι μι μηχνή Τuring, σύμφων με τ όσ έχουμε εξηγήσει, έχουμε υπολογισμούς υ = υ0, υ1,..., υκ,... ρχίζοντς πό μι λέξη δεδομένο λ, σύμφων με την εξής σημσιολογί: Αρχικό στάδιο υ0: Κάθε λέξη λ = σ1 σ2 σ3.. σν Σ* μπορεί ν «φορτωθεί» στην τινί του υτόμτου ορίζοντς ως tλ[κ] = σκ, γι κ = 1,..., λ, (κι κενές τις υπόλοιπες θέσεις). Η μηχνή ρχίζει με την ρχική κτσττική περιγρφή: t = tλ, h = 1, q = Ιπ ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

16 Βήμ υπολογισμού: Γι κάθε δύο διδοχικές περιγρφές (υκ, υκ+1) πρέπει (υκ, υκ+1) ήμτ(π). Τέλος υπολογισμού: Ότν κι μόνον η κτάστση q είνι τελική: q { Yπ, Nπ }. Η ντιστοιχί μι μηχνής Turing με τις γρμμτικές a la Turing είνι προφνής. Η «μηχνή» είνι πλώς ένς λίγο πιο πρσττικός τρόπος προυσίσης της γρμμτικής. Τί μπορούμε ν υπολογίσουμε με τέτοιες μηχνές; Ο Turing ισχυρίστηκε το 1936, (κι πολλοί άλλοι τ επιείωσν στη συνέχει), ότι υτές οι μηχνές ρκούν γι ν υπολογίσουμε οτιδήποτε θ μπορούσμε ν υπολογίσουμε με οποιοδήποτε άλλο τρόπο. Αλλά ο δρόμοςμέχρι εκεί είνι μκρύς. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

17 5 ο Ομλές γρμμτικές κι Πεπερσμέν υτόμτ. Θ ρχίσουμε την νάλυση των θεμελικών ιδιοτήτων υτών των τρόπων υπολογισμού, πό την 1 η κι πλούστερη περίπτωση τις «ομλές γλώσσες». Μι «ομλή γλώσσ» μπορεί ν θεωρηθεί πό 4 (τουλάχιστον) διφορετικές οπτικές γωνίες. 1 ο : Ομλές γρμμτικές η πργωγική μορφή. Ορίζουμε ως ομλή γρμμτική 5 μί 4άδ, G = Σ, ΣΚ, Ι, Δ όπου: Σ Το «λφάητο»: έν πεπερσμένο σύνολο συμόλων, τ τερμτικά σύμολ. (Θ τ γράφουμε συνήθως με πεζά γράμμτ, λ.χ.,, γ.) ΣΚ Τ πργωγικά σύμολ ή κτστάσεις, έν πεπερσμένο σύνολο συμόλων. (Θ τ γράφουμε συνήθως με κεφλί γράμμτ, λ.χ. Κ, Λ, Μ.) Ι Έν επιλεγμένο ρχικό πργωγικό σύμολο Ι ΣΚ. Δ Έν σύνολο κνόνων. Στην πργωγική μορφή μις ομλής γρμμτικής οι κνόνες έχουν την εξής μορφή: είτε Κ. είτε Κ λ Κ. όπου τ Κ, Κ είνι πργωγικά σύμολ, κι το λ είνι μι λέξη πό τερμτικά σύμολ: λ Σ*. Μι ομλή γρμμτική προσφέρει κνόνες «επνγρφής» μις λέξης υκ υκ+1: γι έν στάδιο υκ (Σ ΣΚ)*, κι κτά τ όσ έχουμε νφέρει στις προηγούμενες ενότητες ισχύει το εξής: «εάν υκ = μ Κ τότε ως επόμενο στάδιο μπορούμε ν λάουμε τη λέξη υκ+1 = μ λ Κ» Το ζεύγος «υκ υκ+1» θ το νφέρουμε ως ήμ πργωγής μις λέξης. Ένς «υπολογισμός» είνι λοιπόν εδώ μι κολουθί ημάτων: υ0 υ1 υ2... υν 1 υν στην οποί κθε ζεύγος διδοχικών στδίων είνι έν ήμ πργωγής ως προς κάποιον πό τους κνόνες της γρμμτικής μς. Ειδικότερ μς ενδιφέρουν οι εξής υπολογισμοί, που θ ποκλούμε πργωγές: το πρώτο στάδιο υ0, είνι η λέξη Ι (το ρχικό πργωγικό σύμολο), κι το τελευτίο στάδιο, υν, ποτελείτι μόνο πό τερμτικά σύμολ λ Σ*. Θ συμολίζουμε μι πργωγή της λέξης λ πό την γρμμτική G με Ι G λ, (ή πλώς Ι λ). Το σύνολο των λέξεων λ Σ* γι τις οποίες υπάρχει μί τουλάχιστον πργωγή, Ι λ, θ το ονομάζουμε η γλώσσ L(G) που ορίζετι πό την γρμμτική G. (Προσέξτε ότι έχουμε ένν ιδιόμορφο υπολογισμό φού, ουσιστικά δεν έχουμε δεδομέν... ο υπολογισμός είνι «δικλδωτικός» φού είνι δυντόν ν έχουμε ενλλκτικές επιλογές ν λ.χ. Κ μ1 Κ1 λλά κι Κ μ2 Κ2. ) 2 ο : Αυτόμτ κι ομλές γρμμτικές: έν πρσττικό διάγρμμ. Στ όσ θ κολουθήσουν θ μς φνεί πολύ χρήσιμη μι πρσττική περιγρφή των οδηγιών μις ομλής γρμμτικής (στη πργωγική της μορφή). Αυτή θ είνι το διάγρμμ μετάσεων, που ορίζετι κι ποτελείτι πό τ εξής: 5 «regular grammar»: συνηθίζετι κι ο όρος «κνονική γρμμτική», ν κι η λέξη «κνονικός» μετφράζει συνήθως την σημντική μθημτική έννοι του όρου normal, ενώ ο σχετικός γγλικός όρος εδώ είνι regular. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

18 έν πεπερσμένο σύνολο κόμων, κθένς των οποίων φέρει ως επιγρφή έν σύμολο «κτάστσης» επιλεγμένο πό έν σύνολο κτστάσεων ΣΚ. Θ σχεδιάζουμε έν κόμο σν έν «μικρό» κύκλο που περιάλλει το σύμολο που περιέχει. έν πεπερσμένο σύνολο κτευθυντών κμών που φέρουν ως επιγρφή λέξεις μ Σ* εξ ενός λφήτου τερμτικών συμόλων Σ. Θ σχεδιάζουμε τις κμές ως έλη, με την επιγρφή τοποθετημένη πλησίον του μέσου της κμής. έν επιλεγμένο φετηρικό κόμο με επιγρφή Ι ΣΚ. Θ δικρίνουμε τον φετηρικό κόμο σχεδιάζοντς έν έλος που κτλήγει σε υτόν χωρίς ν εκκινεί πό κνένν άλλο κόμο. έν επιλεγμένο σύνολο τερμτικών κόμων Τ ΣΚ. Θ σχεδιάζουμε τους τερμτικούς κόμους με κύκλους των οποίων η περιφέρει έχει σχεδιστεί με «διπλή» γρμμή. Θ ποκλούμε στις κτστάσεις Τ ως ποδεκτικές κτστάσεις, κι στις οι υπόλοιπες ΣΚ Τ ως πορριπτικές. Σπεύδουμε εδώ ν σχολιάσουμε την περίπου προφνή ντιστοιχί υτών των διγρμμάτων με τις ομλές γρμμτικές (πργωγική μορφή).: Γι κάθε ομλή γρμμτική G = Σ, ΣΚ, Ι, Δ, σχεδιάζουμε το ντίστοιχο διάγρμμ D ως εξής: οι κόμοι είνι όσοι τ πργωγικά σύμολ ΣΚ, κι επιγράφοντι με υτά. φετηρικός κόμος ορίζετι υτό που επιγράφετι με το ρχικό σύμολο Ι. γι κάθε κνόν Κ, ο κόμος Κ χρκτηρίζετι ως τερμτικός, κι συλλέγετι στο σύνολο Τ. γι κάθε κνόν Κ λ Κ, προσθέτουμε μι κμή μετάσης πό τον κόμο Κ στον κόμο Κ, κι θέτουμε ως επιγρφή της κμής υτής τη λέξη λ. Συμμετρικά, γι κάθε διάγρμμ μετάσεων D, ορίζετι μι ομλή γρμμτική: G = Σ, ΣΚ, Ι, Δ στη πργωγική της μορφή: το λφάητο Σ περιέχει όσ σύμολ εμφνίζοντι στις επιγρφές των κμών του D. τ πργωγικά σύμολ είνι οι επιγρφές των κόμων. ρχικό σύμολο η επιγρφή Ι του φετηρικού κόμου γι κάθε τερμτικό κόμο, προσθέτουμε τον κνόν Κ, στους κνόνες Δ. γι κάθε κμή (Κ, Κ ) με επιγρφή λ, προσθέτουμε τον κνόν Κ λ Κ στους κνόνες Δ. Κ 2 Κ 1 Κ 4 γ γ Κ 3 γ Κ 5 Σχήμ: Έν διάγρμμ μετάσεων D. Μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε έν (οποιοδήποτε διάγρμμ μετάσεων D) γι ν ορίσουμε μι γλώσσ ως εξής: Θ ονομάζουμε περίπτο στο διάγρμμ μετάσεων κάθε κολουθί διδοχικών κμών w = e1, e2,..., ek, ek+1,..., en δηλδή κμών κθεμί των οποίων κτλήγει στον κόμο πό τον οποίο εκκινεί η επόμενη. Ένς περίπτος θ είνι «ποδεκτικός» εάν () η φετηρί του είνι ο φετηρικός κόμος, κι () κτλήγει σε τερμτικό κόμο. Εάν δινύοντς έν περίπτο w πρθέτουμε τις επιγρφές των κμών του τότε σχημτίζουμε μι λέξη λ(w). Η γλώσσ που ορίζει το διάγρμμ D είνι το σύνολο των λέξεων που πράγοντι πό όλους κι μόνον τους ποδεκτικούς περιπάτους: ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

19 L(D) = {λ(w): w ποδεκτικός περίπτος στο D} Κ 2 Κ 1 γ γ Κ 4 Κ 3 γ Κ 5 γ Σχήμ: Ένς (ποδεκτικός) περίπτος στο διάγρμμ μετάσεων D που πράγει τη λέξη: γ γ γ γ. Είνι σχεδόν άμεσ προφνές ότι εάν η γρμμτική G ντιστοιχεί στο διάγρμμ μετάσεων D, τότε οι ντίστοιχες γλώσσες που πράγοντι είνι οι ίδιες: L(G) = L(D). Τι είνι μι «γλώσσ»; Μι γλώσσ δεν είνι πρά έν σύνολο λέξεων υποσύνολο όλων των δυντών λέξεων ενός λφήτου Σ. Κάθε τέτοι λέξη δεν είνι πρά ο τρόπος που έχουμε διλέξει γι ν πρστήσουμε ή περιγράψουμε έν ντικείμενο που μς ενδιφέρει. Αυτό που δικρίνει τις λέξεις μις συγκεκριμμένης γλώσσς πό τις υπόλοιπες είνι ότι τ ντικείμεν που περιγράφουν έχουν μι «κοινή ιδιότητ» ενώ εκείν των υπολοίπων δεν την έχουν. Επομένως μι μηχνή που ποδέχετι μιά γλώσσ μς επιτρέπει ν νγνωρίζουμε τ μέλη ενός συνόλου λέξεων, ν «υπολογίζουμε» δηλδή εάν έν εκ των ντικειμένων που έχουμε περιγράψει, έχει ή δεν έχει μι «ιδιότητ». 3 ο : Η «νλυτική μορφή» μις ομλής γρμμτικής. Με την πργωγική μορφή μις ομλής γρμμτικής G μπορούμε ν ορίζουμε μι γλώσσ L(G). Αλλά τί ν κάνουμε ένν ορισμό εάν δεν μπορούμε ν τον εφρμόσουμε, εάν δηλδή δεδομένης μις λέξης λ Σ* δεν είμστε σε θέση ν εξκριώσουμε εάν υτή η λέξη εμπίπτει ή όχι, σε υτόν τον (γρμμτικό) ορισμό; Χρειζόμστε λοιπόν κι κάποιου είδους κνόνες γι ν νλύουμε μι λέξη λ ως προς μι γρμμτική G, προς διπίστωση του εάν λ L(G). Η νάλυση μις λέξης ως προς την γρμμτική G επιδιώκει την νκάλυψη μις πργωγής Ι λ. Το πώς μπορεί ν γίνει υτό δεν είνι προφνές εκ πρώτης όψεως (ούτε εκ δευτέρς...). Αυτό όμως που είνι φνερό εξ ρχής είνι ότι εάν (με κάποιο τρόπο) μς δινότν η σειρά των πργωγικών κνόνων που εφρμόστηκν γι την πργωγή, τότε θ έπρεπε ν είμστε σε θέση, τουλάχιστον, ν επιειώνουμε ότι υτή η σειρά κνόνων «τιριάζει» με την υπό νάλυση λέξη. Π.χ. εάν ο 1 ος κνόνς που εφρμόστηκε ήτν Ι Κ θ πρέπει ν είμστε σε θέση ν επιειώνουμε ότι το δύο πρώτ σύμολ της λ είνι τ κι. Εμείς, ως άνθρωποι, θ το κάνμε υτό τοποθετώντς τ κι κάτω πό την ρχή της λέξης λ (είτε γρπτά είνι νοητά), κι συγκρίνοντς υτά έν προς έν, (ιδίως εάν ήσν πολλά κι όχι μόνον 2) με τ ντίστοιχ της λ. Οι γρμμτικοί κνόνες όμως δεν έχουν υτή την «δισδιάσττη» μορφή, λλά μπορούμε ν έχουμε το ισοδύνμο ποτέλεσμ, εάν τ τοποθετούσμε ριστερ της λ, με ντίστροφη σειρά σχημτίζοντς την λέξη Κ λ. Εάν η λ άρχιζε με, εάν είχε δηλδή την μορφή λ, τότε θ είχμε την λέξη ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

20 Κ λ, κι η διπίστωση ότι η λ ρχίζει με λμάνει πι γρμμτική μορφή, φού εμφνίζετι η (υπο)λέξη που μρτυρεί κτά προφνή τρόπο ότι «ρήκμε ότι ζητούσμε». Γι την νλυτική μορφή, λοιπόν, μις ομλής γρμμτικής G θ χειριζόμστε λέξεις την μορφή ρ λ (ώστε ν συμολίζουν υποτιθέμενες πργωγές). Το ριστερό τμήμ ρ (Σ ΣΚ)* θ είνι ο κνόνς προς επιείωση ότι είνι εφρμόσιμος. Το δεξιό τμήμ λ Σ* θ είνι η λέξη προς νάλυση (ή ότι υπόλοιπο έχει μείνει πό υτήν). Αν το ριστερό τμήμ γράφετι ως ρ = ρ σ, κι το δεξιό ως λ = σ λ, γι κάποιο σύμολο σ, τότε το σύμολο σ πράγμτι «επιειώνετι», το «διάζουμε» πό τ δεδομέν, κι «προχωρούμε» στο επόμενο. Αυτό είνι εκφράσιμο με τον πλό γρμμτικό κνόν: σ σ (γι κάθε σ Σ). Αν λοιπόν πρέπει ν επιειώσουμε την λέξη φ = Κ λ, κι υπάρχει στην G κάποιος κνόνς Κ σ Κ, ρκεί ν επιειώσουμε την λέξη φ = Κ σ λ. Οι προηγούμενες πρτηρήσεις εξηγούν το γιτί η πρκάτω «νλυτική» μορφή G μις ομλής γρμμτικής G είνι σε θέση ν επιειώνει σωστά ότι μι λέξη λ πράγετι πό G: Σ Τερμτικά σύμολ: τ ίδιο με της G, συν έν διχωριστικό σύμολο. Σ Κ Πργωγικά σύμολ: τ ίδι με εκείν της G. Ι Το ίδιο το ρχικό σύμολο της G. Δ Οι (νέοι) κνόνες: γι κάθε κνόν Κ της G, προσθέτουμε στο Δ τον κνόν: Κ γι κάθε κνόν Κ λ Κ της G, όπου λ = σ1 σ2... σν, (σκ Σ, κ = 1,..., ν). προσθέτουμε στο Δ τον κνόν: Κ Κ σν... σ2 σ1 γι κάθε τερμτικό σύμολο σ Σ, προσθέτουμε στο Δ τον κνόν «επιείωσης»: σ σ Με υτή την μορφή, ημάτων, μι «συντκτική (ή γρμμτική ή λεκτική) νάλυση» είνι μι κολουθί υ0 υ1 υ2... υν όπου: το πρώτο στάδιο υ0, είνι η λέξη Ι λ, δηλδή το ρχικό σύμολο κι η προς νάλυση λέξη λ. κθε ζεύγος διδοχικών στδίων είνι έν ήμ νάλυσης ως προς κάποιον πό τους κνόνες της γρμμτικής G μς, κι, το τελικό στάδιο υν, γράφετι ως, δηλδή, κι στο δεξιό τμήμ η λέξη λ έχει νγνωστεί πλήρως, κι στο ριστερό τμήμ δεν έχει μείνει κμμί νγνωριστική «εκκρεμότητ». 4 ο : Μι «μηχνή» γι μι ομλή γρμμτική. Κι η νλυτική μορφή των ομλών γρμμτικών επιδέχετι μι πιο πρσττική, κι κυρίως μι πιο «μηχνική» περιγρφή, η οποί κτά κάποι έννοι είνι σε θέση ν φέρει σε πέρς τους πρπάνω υπολογισμούς. Θ ονομάζουμε (πεπερσμένο) υτόμτο μι 5άδ, Α = Σ, ΣΚ, Ι, T, Δ όπου : το Σ είνι έν οποιοδήποτε λφάητο. το ΣΚ είνι κάποιο λφάητο, με σύμολ που θ τ ποκλούμε κτστάσεις, το Ι ΣΚ είνι μι δικεκριμμένη κτάστση που θ ποκλούμε ρχική, το Τ ΣΚ, έν (υπο)σύνολο δικεκριμμένων κτστάσεων, οι ποδεκτικές ή τελικές, κι οι κνόνες Δ είνι έν σύνολο οδηγιών 3άδων της μορφής: Κ, λ, Κ, όπου: τ Κ κι Κ είνι κτστάσεις, Κ, Κ ΣΚ, κι, το λ είνι μι λέξη πό τερμτικά σύμολ, λ Σ*. Σε κάθε υτόμτο επισυνάπτουμε την «μηχνική» του όψη, κι συγκεκριμμμέν τ εξής: μι μετλητή κτάστση q, q ΣΚ. μι μετλητή h, (ένν φυσικό ριθμό h N), ως την θέση μις «κεφλής». μι πεικόνιση, t : N Σ { _ }, ως μι «τινί» πό κυψέλες με έν τερμτικό σύμολο σε κάθε κυψέλη. (Θ σημειώνουμε μι «κενή» κυψέλη με το σύμολο «κάτω πύλ» _.) ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

21 h = 5 σ 0 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ σ λ q - μις κτεύθυνσης - μόνον νάγνωση Σχήμ: Η εικόν ενός (πεπερσμένου) υτομάτου ως «μηχνής». Ο σκοπός μς είνι η η τινί ν φέρει επ υτής την υπό νάλυση λέξη λ, η κεφλή h ν πίζει τον ρόλο του συμόλου προσδιορίζοντς την υπόλοιπη προς νάλυση λέξη, κι η κτάστση Κ ν νπριστά τον προς εφρμογή νλυτικό κνόν. Oρίζουμε λοιπόν κτά το γενικό πλίσιο που δώσμε στην εισγωγή Η σχέση ήμτ(π) της νάλυσης είνι όλ τ ζεύγη λέξεων (φ, φ ) που ορίζοντι ως εξής: Mι οδηγί Κ, λ, Κ είνι εφρμόσιμη επί της περιγρφής φ = t, h, q, εάν: η κεφλή κι γι λ σύμολ προς τ δεξιά «λέπει» την λέξη λ. η κτάστση του υτομάτου είνι η Κ: q = K, κι εάν είνι εφρμόσιμη, τότε η κτσττική περιγρφή φ, είνι η εξής: φ = t, h, q, όπου t = t, q = K κι h = h+ λ. (δηλδή: το περιεχόμενο της τινίς δεν μετάλλετι, η νέ κτάστση είνι η Κ, κι η κεφλή μετκινείτι τόσες θέσεις όσ είνι τ σύμολ της λέξης λ που έχει πι «διάσει».) Γι έν τέτοιο υτόμτο, σύμφων με όσ έχουμε εξηγήσει, έχουμε υπολογισμούς υ = υ0, υ1,..., υκ,... ρχίζοντς πό μι λέξη δεδομένο λ, σύμφων με την εξής σημσιολογί: Αρχικό στάδιο υ0: Κάθε λέξη λ = σ1 σ2 σ3.. σν Σ* μπορεί ν «φορτωθεί» στην τινί του υτόμτου ορίζοντς ως tλ[κ] = σκ, γι κ = 1,..., λ, (κι κενές τις υπόλοιπες θέσεις). Η μηχνή ρχίζει με την ρχική κτσττική περιγρφή: t = tλ, h = 1, q = Ιπ Βήμ υπολογισμού: Γι κάθε δύο διδοχικές περιγρφές (υκ, υκ+1) πρέπει (υκ, υκ+1) ήμτ(π). Τέλος υπολογισμού: Ότν κι μόνον η κεφλή έχει διάσει όλη την τινί: h = λ +1. h = 5 h' = 8 t = γ δ σ δ δ δ οδηγί-μετάση: (Κ, δ, Κ') q = K q = K' Σχήμ: Η οδηγί Κ, δ, Κ είνι εφρμόσιμη. Η εφρμογή της θ προκλούσε τις μετολές που εικονίζοντι στο σχήμ. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

22 Το ποτέλεσμ του υπολογισμού δίδετι πό την τελική κτάστση q, της μηχνής. Εάν υτή είνι ποδεκτική, δηλ. q Τ, τότε λέμε ότι το υτόμτο ποδέχθηκε την είσοδό του, (την λέξη δεδομένο λ), λλοιώς θ λέμε ότι την πέρριψε. Κάθε υτόμτο ποδέχετι, λοιπόν, μι γλώσσ L(Α) Σ* η οποί ποτελείτι όλες κι μόνον τις λέξεις του λφήτου Σ, τις οποίες υτό ποδέχετι. Είνι φνερό πό τ προηγούμεν ότι μι «ομλή γλώσσ» έχει τέσσερεις (τουλάχιστον) ισοδύνμους τρόπους ν πρστθεί: ως μι πργωγική γρμμτική ή διάγρμμ μετάσεων, κι ως μι «νλυτική» γρμμτική ή πεπερσμένο υτόμτο. Λεπτομερέστερη «πόδειξη» περιττεύει: υτή πλώς θ επνλάμνε πληκτικά τους πρπάνω ορισμούς. Πράδειγμ: έν υτόμτο που νγνωρίζει ποιοι δυδικοί ριθμοί διιρούντι δι 3. Έστω Σ2 = {0,1} το δυδικό λφάητο. Το Σ2* μπορεί ν ερμηνευθεί ως όλοι οι δυδικοί ριθμοί. Εξ υτών κάποιοι είνι πολλπλάσι του 3. Έστω: L 3 = { λ: λ Σ2*, λ ερμηνευμένη ως δυδικός ριθμός είνι πολλπλάσιο του 3 } Είνι η L 3 ομλή γλώσσ; Γίνετι ποδεκτή πό κάποιο πεπερσμένο υτόμτο; Ας υποθέσουμε ότι λ = b1 b2 bν bν+ 1, ότι έχουμε διάσει το ρχικό τμήμ της λ[1..ν] έως κι το ν οστό ψηφίο κι ότι «θυμόμστε» (ποιός; πώς;) το υπόλοιπο rν της διίρεσης δι 3 του ριθμού λ[1..ν], (δηλδή λ[1..ν] = ( 3kν + rν)). Εάν διάσουμε κι λάουμε υπόψι μς κι το επόμενο δυδικό ψηφίο bν+ 1, ποιό θ είνι το νέο υπόλοιπο, υτό δηλδή του ριθμού λ[1..ν+1]; Προσέξτε ότι γι τους ριθμούς λ[1..ν] κι λ[1..ν+ 1] (δηλδή τ ρχικά τμήμτ της λέξης λ πό 1 έως ν σύμολο, κι πό 1 έως (ν+1), ερμηνευμέν ως δυδικούς) ισχύει : κι ότι επομένως: λ[1..ν+ 1] = 2 λ[1..ν] + bν + 1 = 2 ( 3kν + rν) + bν + 1 λ[1..ν+ 1] mod 3 = rν + 1 = (2 rν + bν + 1) mod 3 Το επόμενο υπόλοιπο, δηλδή, είνι κάτι που μπορεί ν υπολογιστεί, πό το προηγούμενο υπόλοιπο, κι, το επόμενο σύμολο ψηφίο που διάζουμε. Αρκεί επομένως ν θυμόμστε με την κτάστση του υτομάτου μς το εκάστοτε προηγούμενο υπόλοιπο rν! Ο πρκάτω πίνκς δίνει όλους τους 3 2 συνδυσμούς, rν+1 = (2 rν + bν+1) mod 3 : bν+1 = 0 bν+1 = 1 rν = 0 rν+1 = 0 rν+1 = 1 rν = 1 rν+1 = 2 rν+1 = 0 rν = 2 rν+1 = 1 rν+1 = 2 κι κολουθεί το υτόμτο εκπεφρσμένο ως διάγρμμ μετάσεων: '0' '1' '2' 1 0 Σχήμ: Το διάγρμμ μετάσεων, γι τις δυδικές πρστάσεις των πολλπλσίων του 3. ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,

23 6 ο Πεπερσμέν υτόμτ: το «θεώρημ ισοδυνμίς» ιτιοκρτικών κι μή. Αιτιοκρτικές συσκευές: η υλοποιήσιμη εκδοχή μις υπολογιστικής συσκευής. Η πργωγή κι της νάλυσης μις λέξης ως προς μι ομλή γρμμτική μοιάζουν συμμετρικές διδικσίες λλά υτό είνι οπτική πάτη. Κτά την πργωγή μις λέξη έχουμε μι ελευθερί επιλογής κνόνων: λ.χ. σε κάποι φάσητης πργωγής ίσως ν υπάρχουν δύο (τουλάχιστον) εφρμόσιμοι κνόνες: Κ λ1 Κ1, κι Κ λ2 Κ2. Ίσως μάλιστ ν υπάρχουν κι δύο κνόνες της μορφής Κ λ Κ1, κι Κ λ Κ2, (δηλδή λ1 = λ2). Ίσως μάλιστ ν υπάρχει κι κνόνς της μορφής: κι Κ Κ, (δηλδή λ = ). Αυτό είνι επιθυμητό, διότι υξάνει την εκφρστικότητ των κνόνων μς. Κτά την πργωγή μις λέξης «πρέπει» λοιπόν ν έχουμε πολλπλές επιλογές, λλά κτά την νάλυση μις λέξης, υτό κριώς πρέπει ν μην έχουμε. Έν υτόμτο, εάν εγνώριζε τον εκάστοτε εφρμοστέο κνόν, θ μπορούσε ν επιειώσει με «γρμμτικό τρόπο», ότι υτός πράγμτι είνι εφρμόσιμος θ μπορούσε όμως κι ν εντοπίσει ποιός (νλυτικός) κνόνς είνι ο εφρμοστέος; Εάν νλύοντς την λέξη λ, το υτόμτο ρεθεί προ διλήμμτος της μορφής: ν εφρμόσουμε τον Κ σ1 Κ1, ή τον Κ σ2 Κ2, τότε ρκεί ν εξετάσει το 1 ο σύμολο, έστω σ, της λέξης λ, ν ελέγξει εάν σ = σ1 ή σ = σ2, ή ότι άλλο, κι ν πράξει ντιστοίχως. Εάν όμως ερχότν η στιγμή ν ντιμετωπίσει πολλπλές επιλογές (όπως Κ σ Κ λλά κι Κ σ Κ ) τότε θ περιέπιπτε σε μηχνί σχεδόν κυριολεκτικά: πως θ ποφάσιζε σε μι τέτοι περίπτωση μι μηχνή ; Ας προσέξουμε εδώ, ότι κόμ κι η φινομενικά θώ οδηγί Κ Κ είνι ενδεχομένως μι συγκλυμμένη πολλπλή επιλογή κθώς εάν, Κ Κ, Κ σ Κ1 κι Κ σ Κ2 τότε ισοδύνμ Κ σ Κ1 κι Κ σ Κ2. Στη 1 η περίπτωση «δεν ξέρουμε πού ν πάμε», κι στη 2 η περίπτωση «δεν γνωρίζουμε που ρισκόμστε»... Κ σ σ???? Κ "σε ποιά κτάστση ν πάω ; " "σε ποιά κτάστση είμι ; " Σχήμ: Διλήμμτ στην «μηχνική» εκτέλεση οδηγιών. Αυτή η ευελιξί είνι πλεονέκτημ πό πλευράς (μθημτικού) ορισμού, διότι διευκολύνει τον ορισμό ενός συνόλου πό λέξεις μέσω μις πιο εκφρστικής τεχνικής (το είδμε υτό σε προηγούμενο πράδειγμ). Αποτελεί όμως μειονέκτημ πό πλευράς «μηχνικού» υπολογισμού διότι μς φέρνει ενώπιον του διλήμμτος: «ότν λέπω το σύμολο σ, κι έχω τις οδηγίες Κ σ Κ, λλά κι Κ σ Κ, πώς συνεχίζω; στη κτάστση Κ ή στην Κ ;» Αυτή η διελκυστίνδ ορισμού υπολογισμού (εκφρστικότεροι ή συνοπτικότεροι ορισμοί πιτούν δυσκολότερους υπολογισμούς γι την διπίστωσή τους) είνι σ?? Κ'?? σ ΗΥ280 «Θεωρί υπολογισμού», Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος, Πν. Κρήτης, Τμήμ Επ. Υπολογιστών,