ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΩ ΜΙΚΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝ/ΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος, Καθηγητής ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9, ΖΩΓΡΑΦΟΣ, ΑΘΗΝΑ yria@mail.ntua.gr ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΩ ΜΙΚΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κ.Ι.ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ 4

2 Κεφάλαιο Εισαγωγή στά Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές Ερωτήσεις που σχετίζονται µε την εισαγωγή ενός νέου - επιπρόσθετου θέµατος µε θέµα τον Αυτόµατο Έλεγχο : Ποιό είναι το αντικείµενο αυτού του θέµατος? Σε τι διαφέρει από αυτά που αναφέρονται στον κλασσικό έλεγχο και στον µοντέρνο έλεγχο? Τι παραπάνω προσφέρει? Γιά να απαντηθούν αυτές οι ερωτήσεις ας θεωρήσουµε πρώτα την κλασσική δοµή ενός πολυµεταβλητού συστήµατος ελέγχου (σχ. -) : Σχ. - Κλασσική οµή Συστήµατος Αυτοµάτου Ελέγχου και ας θεωρήσουµε και την υλοποίησή του µε στοιχεία σύγχρονης ψηφιακής τεχνολογίας (σχ.-) Σχ. - Υλοποίηση Συστήµατος Αυτοµάτου Ελέγχου µε χρήση ψηφιακής τεχνολογίας ύο βασικοί παράγοντες επιδρούν στον σχεδιασµό της ψηφιακής εγκατάστασης : η περίοδος δειγµατοληψίας και επεξεργασίας των µετρήσεων (σχ. -3), και επίπεδο δειγµατοληψίας (κβαντοποίησης - quantization lvl) q που ορίζονται εύκολα µε την βοήθεια των σχηµάτων της επόµενης σελίδας.

3 Εάν τόσον η περίοδος όσο και το επίπεδο δειγµατοληψίας είναι πολύ µικρά ( <<, q <<) τότε είναι σχετικά δυνατή η υλοποίηση των συνεχών ελεγκτών σε άµεση ψηφιακή µορφή (θα αναλυθεί σε µελλοντικό κεφάλαιο). Με την σηµερινή τεχνολογία είναι δυνατή η επίτευξη επιπέδων δειγµατοληψίας που αντιστοιχούν σε 3 ή και 64 bits. Αντίστοιχα, για την περίοδο δειγµατοληψίας, ασφαλές όριο θεωρείται η επίτευξη συχνοτήτων δειγµατοληψίας που ξεπερνούν το πεντηκονταπλάσιο (5) της µέγιστης συχνότητας του συστήµατος. Πρέπει να τονισθεί ότι γιά λόγους που θα αναλυθούν µελλοντικά η επίτευψη πολυ µικρών δεν είναι πάντοτε το ζητούµενο. Σχ. -3 : (α) Κβαντισµός σήµατος µε επίπεδο (b) Σήµα από δειγµατοληψία µε περίοδο Τ κβαντισµού q Πλεονεκτήµατα των Ψηφιακών Ελεγκτών Ευκολία στην αλλαγή των χαρακτηριστικών τους (µε SW, αντί µε HW) Η επεξεργασία των δεδοµένων είναι απλή (σε SW, αντί σε HW) Υπεροχή σε σχέση µε τους αναλογικούς όσον αφορά τα ευαισθησία αξιοπιστία εσωτερικό θόρυβο στασιµότητα επίδρασης Φθηνότερη τιµή Μικρότερος όγκος Μειονεκτήµατα των Ψηφιακών Ελεγκτών Το βασικό µειονέκτηµα είναι τα σφάλµατα που υπεισέρχονται λόγω : δειγµατοληψίας ψηφιακής υλοποίησης, που εµφανίζεται ως : κβαντισµός, δηλαδή η κατά βήµατα παράσταση των σηµάτων µε ελάχιστο βήµα το επίπεδο κβαντισµού q.

4 πεπερασµένη παράσταση των συντελεστών των ελεγκτών, και σφαλµάτων λόγω υπερχειλίσεων κατά τις ψηφιακές πράξεις Όπως προαναφέρθηκε, αυτοί οι παράγοντες σφαλµάτων τείνουν να εξαλειφθούν µε την συνεχή εξέλιξη του HW. Εφαρµογές του Ψηφιακού Ελέγχου Σερβοµηχανισµοί θέσης και ταχύτητας Έλεγχος Τάσης, Θερµοκρασίας, πίεσης, Στάθµης και Παροχής σε βιοµηχανικές εγκαταστάσεις Ηλεκτρικές συσκευές (κινητήρες, γεννήτριες κλπ) Βιοµηχανικές διεργασίες (χάρτου, τσιµέντου, υφαντουργίας, τροφίµων, κλπ) Αντιδραστήρες (χηµικοί, πυρηνικοί) Ροµπότ (βραχίονες, έντροχα, υποθαλάσσια, ιπτάµενα) ιάστηµα Υπολογιστές (εκτυπωτές, δίσκοι κλπ) Ανάµικτα & Πεπλεγµένα Συστήµατα µεταφορών θαλάσσης (πλοία, υποβρύχια) αέρος (αεροπλάνα, ελικόπτερα) ξηράς (αυτοκίνητα, τραίνα) κυκλοφορίας (οχηµάτων, αεροπλάνων, πλοίων) συστηµατων παραγωγής (Computr Intgratd Manufacturing - CIM) αυτοµατισµού γραφείου αυτοµατισµού κτηρίων Βιοτεχνολογία - Βιοϊατρική Αγροτική Παραγωγή Χρηµατιστήριο - Επενδύσεις Οπλικά συστήµατα Σε µία υλοποίηση ενός ελεγκτή τύπου P, όπου ο νόµος ελέγχου δίδεται από την σχέση = u K r y, ο συντελεστής K παρίσταται σε ψηφιακή (κβαντισµένη) µορφή και είναι, κατά συνέπεια, προσέγγιση του πραγµατικού. Με την ίδια λογική, ο πολλαπλασιασµός και αφαίρεση που απαιτούνται στον παραπάνω ελεγκτή γίνονται σε πεπερασµένου µήκους λεξης Αριθµητική και Λογική Μονάδα και κατά συνέπεια υπάρχει σφάλµα λόγω υπερχείλισης.

5 Κεφάλαιο ιαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Η θεώρηση του σχ. - κάνει επιτακτική την ανάγκη γιά διερεύνηση των τρόπων µε τους οποίους τα σήµατα επεξεργάζονται, µετατρέπονται και µεταφέρονται µέσα στο ψηφιακό σύστηµα ελέγχου.. Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Convrsion) Ένας µετατροπέας A/D (A/D convrtr) είναι µία συσκευή που µετατρέπει ένα αναλογικό σήµα (δηλ. µία συνάρτηση συνεχούς χρόνου και µε συνεχές πεδίο τιµών) σε ψηφιακό (συνάρτηση διακριτού χρόνου και µε διακριτό πεδίο τιµών), δηλαδή σε µία χρονοσειρά από byts. Αυτή η συσκευή είναι απαραίτητη σαν ενδιάµεσος φορέας (intrfac) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος και ενός ψηφιακού συστήµατος που οδηγείται από το αναλογικό. Σχ. - Μετατροπέας A/D και τµήµατά του. Η συσκευή δειγµατοληψίας & παρακρατησης σήµατος ( Sampl & Hold - S/H) είναι το τµήµα του A/D που χρησιµοποιείται γιά να πραγµατοποιήσει µία ταχεία δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος και µετά να παρακρατήσει την τιµή του δείγµατος µέχρις ότου της ζητηθεί να επαναλάβει καινούργια δειγµατοληψία. Αυτό γίνεται γιατί ο κβαντιστής, που ακολουθεί, απαιτεί κάποιο χρόνο γιά να µετατρέψει τα αναλογικά σήµατα εισόδου σε ψηφιακά και άν το σήµα εισόδου του άλλαζε κατά την διάρκεια αυτού του χρόνου θα έδινε εσφαλµένα αποτελέσµατα. Το σχ. - δείχνει έναν S/H. Όταν το transistor τύπου FE ενεργοποιείται, ο πυκνωτής C ταχέως φορτίζεται ή αποφορτίζεται στο επίπεδο του αναλογικού σήµατος εισόδου. Όταν το FE απενεργοποιηθεί ο πυκνωτής κρατάει το φορτίο του µέχρις ότου το FE επανενεργοποιηθεί. Σχ. - Τυπικός ειγµατολήπτης Η µετατροπή αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό συνίσταται στην χρήση δυαδικών αριθµητικών τιµών γιά την παράσταση των διαφόρων επιπέδων τάσης του αναλογικού σήµατος. Στο σχ. -3-a φαίνεται πως από ένα σήµα λαµβάνονται δείγµατα κατά κανονικά

6 διαστήµατα, ενώ στο σχ. -3-b δείχνεται πώς τοποθετούνται οι αντιστοιχούσες δυαδικές τιµές. Σχ. -3 Αρχή λειτουργίας του µετατροπέα A/D Ένας κβαντιστής (quantizr) είναι το τµήµα του A/D που λαµβάνει ως είσοδο το σήµα (διακριτού χρόνου) δειγµατοληψίας από τον S/H και το κωδικοποιεί σε διακριτό πεδίο τιµών. Ένας από τους κλασσικους κβαντιστές είναι αυτός του τύπου διαδοχικής προσέγγισης (succssiv approximation) που φαίνεται στο σχ. -4. Η διαδικασία µετατροπής ξεκινάει µε την εντολή εκκινήσεως που καθαρίζει τα προηγούµενα δεδοµένα. Το MSB της εισόδου γίνεται. Αν η τιµή της εξόδου είναι µικρότερη από το αναλογικό σήµα εισόδου, διαδοχικά αυξάνονται τα bit εισόδου µέχρις ότου η έξοδος του ξεπεράσει το αναλογικό σήµα εισόδου. Προφανώς ο αριθµός bit του A/D είναι ίδιος µε αυτόν του χρησιµοποιύµενου D/A. Σχ. -4 Κβαντιστής ιαδοχικής Προσέγγισης

7 .. Χαρακτηριαστικά του µετατροπέα A/D Εύρος Εισόδου ( υ min,υ max ): είναι το εύρος µεταξύ της ελάχιστης και της µέγιστης επιτρεπόµενης τάσης εισόδου. ιακριτότητα ή επίπεδο κβαντισµού ( q): η µέγιστη διαφορά στο σήµα εισόδου που είναι δυνατόν να µην προκαλέσει διαφορά στην έξοδο. Αυτή δίδεται από την σχέση ( N ) q = υ max υ min όπου Ν είναι ο αριθµός των bits που χρησιµοποιείται γιά τηην παράσταση του ψηφιακού σήµατος. : ο χρόνος που χρειάζεται γιά να πραγµατοποιηθεί µία µετατροπή Χρόνος Μετατροπής d A/D. Είναι ένα κάτω φράγµα γιά τον χρόνο δειγµατοληψίας του όλου συστήµατος ελέγχου... Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Το επίπεδο κβαντισµού είναι πολύ µικρό όταν ο αριθµός των bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος πράγµα που ισχύει στην σύγχρονη τεχνολογία όπου (Ν = 3, 64, 8). Επίσης λόγω της σύγχρονης τεχνολογίας ηλεκτρονικών ο χρόνος µετατροπής είναι πολύ µικρός. Με αυτές τις συνθήκες ο µετατροπέας A/D µπορεί να παρασταθεί ως Σχ. -5 Ιδανικός A/D Η συσχέτιση των σηµάτων εισόδου και εξόδου δίνει s δ f t = f t F s = L f t = f = = Είναι προφανής η σηµασία της περιόδου δειγµατοληψίας στην παράσταση του σήµατος από δειγµατολήψία. Ισχύει το παρακάτω σηµαντικό θεώρηµα. Θεώρηµα ειγµατοληψίας : (Nyquist - Shannon) Εάν ένα αναλογικό σήµα δεν εµπεριέχει καµία συχνότητα υψηλότερη της ω (rad/sc), τότε µπορεί να χαρακτηρισθεί εντελώς από τις c τιµές του σήµατος που µετρώνται σε στιγµές που ισαπέχουν κατά s = π ωc.

8 Στήν πράξη οι περίοδοι δειγµατοληψίας επιλέγονται πολύ µικρότερες ~ 5. Η παραπάνω µορφή της F ( s) δεν είναι ανάλογη των γνωστών µας πολυωνυµικών. Μπορούµε όµως µε την σύµµορφη απεικόνιση s s z= s= ln z να έχουµε ln F s= z = f z = F z = Αυτός είναι ο µετασχηµατισµός-ζ του f ( t) που ορίζεται 3 ως = Ζ = = F z f t F s L f t s= ln z s= ln z Σχ. -6 Συνεχές σύστηµα οδηγούµενο από σήµατα από δειγµατολήψία Στην διάταξη του σχήµατος -6 είναι προφανές ότι = Y s G s R s ενώ στην παρούσα φάση αναπόδεικτα δίδεται ότι Y( z) = G( z) R( z) Άν θεωρήσουµε τα συστήµατα που απεικονίζονται στα σχ. -7, 8 Σχ. -7 Συνεχή συστήµατα διασυνδεµένα µέσω δειγµατολήψίας Στο πρώτο, έχουµε ενώ στο δεύτερο = = Y z = G z G z R z Y z G z D z D z G z R z 3 Περισσότερη ανάλυση µαζί µε µαθηµατικές ιδιότητες παρέχεται στο παράρτηµα Α.

9 = = Y z Z G s G s R z GG z R z Σχ. -8 Συνεχή συστήµατα διασυνδεµένα άµεσα, άνευ δειγµατολήψίας Είναι προφανές ότι G G z G z G z. Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/Α Convrsion) Ένας µετατροπέας D/A (D/A convrtr) είναι µία συσκευή που µετατρέπει ένα ψηφιακό σήµα (συνάρτηση διακριτού χρόνου και διακριτού πεδίου τιµών) σε αναλογικό (δηλ. συνάρτηση συνεχούς χρόνους µε συνεχες πεδίο τιµών). Αυτή η συσκευή είναι απαραίτητη σαν ενδιάµεσος φορέας (intrfac) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος και ενός ψηφιακού συστήµατος που οδηγεί το αναλογικό (σχ. -9,). Σχ. -9 Μετατροπέας D/A και υποσυστήµατα Ένας αποκωδικοποιητής (dcodr) είναι το τµήµα του D/A που χρησιµοποιείται γιά να µετατρέψει τις ψηφιακές τιµές σε µία τιµή ρεύµατος ή τάσης. Ένας παρακρατητής µηδενικής τάξης (zro ordr hold - ZOH) είναι το τµήµα του D/A που χρησιµοποιείται γιά την προσέγγιση του σήµατος µεταξύ των στιγµών ανανέωσης της τιµής κρατώντας ουσιαστικά σταθερή την τελευταία τιµή. Είναι στην πραγµατικότητα ένα αναλογικό φίλτρο... Ηλεκτρονική Υλοποίηση Το κύκλωµα του σχ. - δείχνει την υλοποίηση ενός D/A µε είσοδο 3-bit. Οι διακόπτες υλοποιούν την είσοδο. Οπότε γιά την έξοδο ισχύει Er R E = E = Rf I f 6R E r I f = I = 6R f

10 Σχ. - Αρχή λειτουργίας του µετατροπέα D/A Σχ. - Ηλεκτρονική υλοποίηση του µετατροπέα D/A Γενικά, γιά ένα ψηφιακό σήµα (π.χ ) ισχύει I b b bn Er = n R

11 .. Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας D/A Όταν ο αριθµός των bits που χρησιµοποιείται γιά την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος πράγµα που ισχύει στην σύγχρονη τεχνολογία όπου (Ν = 3, 64, 8) τότε µπορεί να αγνοηθεί ο dcodr οπότε αρκει να δούµε την επίδραση του ΖΟΗ, το οποίο υλοποιεί την συνάρτηση όπου u s /, ) u t = u t t + = u us t us t είναι η συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας. Από αυτήν είναι προφανές ότι οι µετασχηµατισµοί Laplac και Ζ του ΖΟΗ είναι Άν θεωρήσουµε λοιπόν το σύστηµα s Gh ( s) = G o h z = o s Σχ. - Συνεχές σύστηµα οδηγούµενο από σήµατα από δειγµατολήψία και παρακράτηση τότε είναι προφανές ότι = R( z) = = H z Y z Z G s Gh o s R z G z R z s s G s G s G s G( z) = Z G( s) Z Z ( z ) Z s = = s s s

12 Κεφάλαιο 3 Συστήµατα ιακριτού Χρόνου - Μεταβλητές Κατάστασης 3. Εισαγωγή Η εισαγωγή των µετατροπέων A/D και D/A εισήγαγε την µαθηµατική µεθοδολογία γιά την επεξεργασία των σηµάτων ενός ψηφιακού ΣΑΕ. Τα συνεχή συστήµατα που αποτελούν τις εγκαταστάσεις οδηγούνται από τις κατά τµήµατα συνεχείς εξόδους των ΖΟΗ και τα σήµατα εξόδους τους µετρώνται και διέρχονται από τους δειγµατολήπτες. Είναι αναγκαία η θεώρηση του όλου συστήµατος και η εννοιαία µαθηµατική περιγραφή του γιά να επιτευχθεί η ανάλυση και ο σχεδιασµού του ψηφιακού ΣΑΕ. Στην παρακάτω ανάλυση θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε γραµµικά συστήµατα, µιάς και η µαθηµατική περιγραφή και ανάλυση των µη γραµµικών διακριτών συστηµάτων είναι θέµα της τρέχουσας έρευνας. 3. Εξισώσεις Κατάστασης γιά Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Η παρούσα αναφορά γίνεται τόσο γιά λόγους επανάληψης όσο και γιά να δείξει τον συσχετισµό µεταξύ των νόµων που διέπουν τα συνεχή και τα συστήµατα δειγµατοληπτικών δεδοµένων. α) γραµµικά χρονικά µεταβλητά : xɺ = A t x+ B t u σύστηµα : y= D t x+ E t u πίνακας µεταβατικής κατάστασης : Φ( t, t ) = t A t ( τ) dτ t εξίσωση µεταβατικής κατάστασης : (, ) (, ) β) γραµµικά χρονικά αµετάβλητα : x t = Φ t t x t + Φ t τ B τ u τ dτ σύστηµα : x ɺ= A x + B u y= D x+ E u πίνακας µεταβατικής κατάστασης : Φ(, ) Φ t t t = t t = ( ) A t t t εξίσωση µεταβατικής κατάστασης : x t = Φ t t x t + Φ t τ B u τ dτ Εξίσωση µεταφοράς : = ( ) + + ( ) t Y s D s I A B E U s D s I A x t πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς : χαρακτηριστική εξίσωση : s I A = G s = D s I A B+ E 3. Εξισώσεις Κατάστασης γιά Ψηφιακά Συστήµατα

13 Θεωρούµε την περίπτωση γραµµικών ψηφιακών συστηµάτων µε την παράσταση µεταβλητών κατάστασης και µε την περιγραφή τύπου εξισώσεων διαφορών χωρίς αρχικά να συσχετισθεί αυτή η περιγραφή µε το φυσικό σύστηµα το οποίο αντιπροσωπεύουν σε κάθε στιγµή δειγµατολήψίας. Η εξαγωγή αυτής της περιγραφής θα γίνει στην παράγραφο 3.3. α) γραµµικά χρονικά µεταβλητά : σύστηµα 4 : ( + ) = + = + x A x B u y D x E u [ ] x N = Φ N, x + Φ N, + B u εξίσωση µεταβατικής κατάστασης : β) χρονικά αµετάβλητα : Φ σύστηµα : N = ( N, ) = A( N ) A( N ) A( + ) A( ) ( + ) = + = + x A x B u y D x E u N N εξίσωση µεταβατικής κατάστασης : x( N) = A x + A B u( ) εξίσωση µεταφοράς : Y z = D z I A B+ E U( z) + D ( z I A) z x Η τελευταία ισότητα προέρχεται από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Ζ (όρα παράρτηµα Α) x + = A x + B u Z x + = A Z x + B Z u N = = + z X z x A X z B U z = + y = D x + E u Y z = D X z + E U z X( z) ( z I A) z x B U( z) 3.3 Εξισώσεις Κατάστασης γιά Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H Θεωρούµε την περίπτωση γραµµικού συστήµατος το οποίο οδηγείται µέσω ΖΟΗ, δηλαδή από σήµατα κατά τµήµατα συνεχή. Ενα τέτοιο σύστηµα φαίνεται στο σχ. 3-. Οι εξισώσεις µεταβατικής κατάστασης της παραγράφου 3. µπορούν να χρησιµοποιηθούν γιά να εξάγουµε τις εξισώσεις διαφορών που συσχετίζουν την είσοδο και την κατάσταση σε µία χρονική στιγµή, που αντιστοιχεί σε στιγµή δειγµατοληψίας, µε την κατάσταση που αντιστοιχεί στην επόµενη στιγµή δειγµατοληψίας. 4 Οι πίνακες A( ) και Η σχέση τους δίδεται στην παράγραφο 3.3 B δεν είναι οι ίδιοι µε τους πίνακες A και B του φυσικού συστήµατος.

14 Σχ. 3- Γραµµικό σύστηµα οδηγούµενο από είσοδο µέσω ΖΟΗ α) γραµµικά χρονικά µεταβλητά : σύστηµα : Φ ( + ) = Φ ( + ), + Θ ( + ), = + x x u y D x E u +, = εξίσωση µεταβατικής κατάστασης : ( + ) A ( τ) dτ + Θ +, = Φ +, τ B τ dτ N Φ Φ Θ = ( ) x N = N, x + N, N N, N u N ( ) ( ) Φ N, = Φ N, N Φ N, N Φ +, β) γραµµικά χρονικά αµετάβλητα : x + = Φ x + Θ u y( ) = D x( ) + E u( ) σύστηµα : A Φ = εξίσωση µεταβατικής κατάστασης Θ = Φ τ B dτ x N = Φ N x + Φ N Θ u : = Φ ( ) = Φ ( ) N πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς : G z = D z I Φ Θ + E Y z = G z U z + D z I Φ z x σχέση εισόδου εξόδου : χαρακτηριστική εξίσωση : z I ( ) = Φ

15 Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση 4. Εισαγωγή Η ανάλυση των προηγουµένων κεφαλαίων οδήγησε στην µαθηµατική περιγραφή των δυναµικών συστηµάτων µε δειγµατοληπτικά δεδοµένα. Άµεσα τίθεται το ζήτηµα του σχεδιασµού συστηµάτων ελέγχου γι αυτά. Περαιτέρω, τίθεται το ερώτηµα του άν είναι δυνατή η άµεση εφαρµογή των µεθόδων σχεδιασµού του συνεχούς πεδίου ή χρειάζονται εντελώς καινούργια εργαλεία. Ευτυχώς η απάντηση είναι θετική και γιά τις δύο περιπτώσεις. Έτσι άµεσα πρέπει να εξετασθεί πώς οι συνεχείς ελεγκτές υλοποιούνται στο ψηφιακό πεδίο και ποιοί είναι οι περιορισµοί που καθιστούν αναγκαίο, σε κάποιες περιπτώσεις, τον άµεσο σχεδιασµό στο ψηφιακό επίπεδο. Προφανώς, πρέπει να εξετάσουµε δύο τρόπους προσέγγισης στο σχεδιασµό συστηµάτων ελέγχου µε µικροϋπολογιστές :. Σχεδιασµός που βασιζεται σε µεθόδους του συνεχούς πεδίου. Κατ' ευθείαν σχεδιασµός στο διακριτό πεδίο Θα αναφερθούµε αρχικά στην πρώτη µεθοδολογία. 4. Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό ύο βασικοί λόγοι συνηγορούν στην χρήση αυτής της µεθοδολογίας : Οι ήδη γνωστές τεχνικές µπορούν να εφαρµοσθούν γιά τον σχεδιασµό ενός συνεχούς ελεγκτή, και µετά να προβούµε σε διακριτοποίηση. Η επιλογή της περιόδου δειγµατοληψίας µπορεί να γίνει µετά από τον σχεδιασµό του ελεγκτή. Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν και ορισµένα προβλήµατα µε αυτή την µεθοδολογία : Αυτός ο τρόπος είναι προσεγγιστικός και για να βελτιωθεί η προσέγγιση πρέπει να ληφθούν υπ' όψι : η διαδικασία δειγµατοληψίας, η διαδικασία παρακράτησης σήµατος και υπολογιστικές καθυστερήσεις Γενικά, θα πρέπει η περίοδος δειγµατοληψίας να είναι πολυ µικρή ( s << ) γιά να προσοµοιάσει ο διακριτός ελεγκτής τον συνεχή, ο οποίος σχεδιάσθηκε ως κατάλληλος γιά το φυσικό σύστηµα Τέλος µέσω παραδειγµάτων θα δειχθεί ότι : a) ακόµα και πολύ µικρό χρόνοι δειγµατοληψίας µπορούν να προκαλέσουν ανεπιθύµητες συµπεριφορές στο σύστηµα, και b) δεν λαµβάνονται υπ'όψιν βασικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας δειγµατοληψίας όπως : εµφάνιση µηδενιστών µη-υπολειπόµενης φάσης, συµπεριφορά dad-bat κλπ

16 4. Χαρακτηριστικά Απόδoσης Κατά τον σχεδιασµό συνεχών συστηµάτων ελέγχου µία σειρά από κριτήρια λαµβάνονται υπ' όψιν γιά την απόδοση των συστηµάτων κλειστού βρόχου. Αυτά συνήθως αναφέρονται σε συστήµατα δευτέρας τάξεως, δηλαδή σε συστήµατα µε χαρακτηριστική εξίσωση : s + ζ ω s+ ω = n n αλλά µπορούν να επεκταθούν και σε αυτά ανώτερης τάξης, θεωρώντας τα αντίστοιχα ζεύγη συζυγών πόλων s i. Τα συνήθη χαρακτηριστικά είναι :. Ακρίβεια παρακολούθησης σήµατος αναφοράς σε µόνιµη κατάσταση. Χαρακτηριστικά µεταβατικής απόκρισης όπως : ευστάθεια : R { s } < χρόνος ανύψωσης : t.8 ω ω.8 t υπερακόντιση : i r n n r χρόνος αποκατάστασης : t R{ s} ζ % M p % M p = ζ = = ζ ω ζ ω t s i n n τα οποία παρατίθενται ταυτόχρονα µε τις αναγκαίες συνθήκες. 3. Απόρριψη διαταραχών σε µόνιµη κατάσταση, και µεταβατική απόκριση 4. Απαιτούµενη είσοδος µέγιστο µέγεθος εισόδου ενέργεια 5. Ευαισθησία σε διαταραχές παραµέτρων s 4.3 ιακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών c Έστω ότι γιά µία εγκατάσταση Gp ένας ελεγκτής 5 c G ( s ). Σκοπός είναι η εύρεση του διακριτού ισοδύναµου ελεγκτή c s έχει σχεδιασθεί µε τεχνικές του πεδίου συχνότητας G z. Υπάρχουν διάφορες µεθοδολογίες προσέγγισης αυτού του προβλήµατος και εµείς θα επιλέξουµε µία από τις αρτιότερες, την µεθοδολογία αντιστοιχίας πόλων - µηδενιστών (matchd pol zro, MPZ). Άν c 5 ο δείκτης "c" χρησιµοποιείται γιά να δείξει την αναφορά στο συνεχές σύστηµα.

17 τότε G s = K m c i= c s n = ( + ) i= n m i = c z n G z K z ( s+ t ) i ( s+ s ) i m ti s ( z ) si s ( z ) Γιά να υπάρχει παρόµοια συµπεριφορά των ελεγκτών στις χαµηλές συχνότητες, δηλαδή για να ισχύει ω s= jω z ~ + jω s, το κέρδος K z προσδιορίζεται έτσι ώστε c Παράδειγµα : Έστω ένας ελεγκτής G ( s) και i= = lim lim G s G z c s c z c c = a s + a. εδοµένου ότι n= και m=, = ( + ) G z K z z c z a s c Gc = K z = Gc = as K z παίρνουµε την τελική µορφή του ελεγκτή = a ( s ) z+ s = Gc z z εδοµένου ότι, εξ ορισµού, ένας ελεγκτής αποδίδει το σήµα εισόδου U( z ) τροφοδοτούµενος από το σήµα σφάλµατος E( z ), έχουµε s U z z+ + z = Gc z = = s E z z µ z K z as όπουλ=, µ=. Εποµένως s s λ µ λ ( ) U z z = E z + z = µ + λ + U z z U z E z z E z Χρησιµοποιώντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ (ιδιότητα 3, Παράρτηµα Α) λαµβάνουµε την αναδροµική ακολουθία υπολογισµού της επενεργούσας εισόδου

18 = µ ( ) + λ + ( ) u u Όπως παρατηρούµε από τον πίνακα 5-3, ο υπολογισµός της εισόδου u( ) χρειάζεται, κάθε φορά που έχει ληφθεί µία µέτρηση y( ), 3 προσθέσεις και πολλαπλασιασµούς. Αυτές οι πράξεις χρειάζονται κάποιο χρόνο γιά να εκτελεστούν και έτσι συνεισφέρουν στην όλη χρονική καθυστέρηση που επηρεάζει απο πρακτικής σκοπιάς το διάστηµα δειγµατοληψίας. Βήµα Προσθέσεις Πολλαπλασιασµοί ( ) = r( ) y( ) Σηµείωση 6 ( ) ( ) + Σηµείωση 7 3 λ ( ) + ( ) 4 µ u( ) 5 µ u( ) + λ ( ) + ( ) Σύνολο 3 Πίνακας 5-3 Σέ ένα εναλλακτικό σχήµα, όσο ο ελεγκτής (µυ) περιµένει την επόµενη µέτρηση y( ) µπορεί να εκτελέσει όσες πράξεις δεν στηρίζονται σε αυτή την µέτρηση. ηλαδή, στο παρόν παράδειγµα µπορεί να υπολογισθεί κατά την διάρκεια αναµονής ο όρος υ ( ) = µ u( ) + λ ( ) που ΕΝ επηρεάζεται από την επόµενη µέτρηση y( ) και µετά να γίνουν οι πράξεις συντελώντας έτσι σε χαµηλώτερη υστέρηση λόγω υπολογισµών που σχετίζονται µε τον έλεγχο (Πίνακας 5-4). Βήµα Προσθέσεις Πολλαπλασιασµοί ( ) = r( ) y( ) λ ( ) 3 υ( ) + λ ( ) Σύνολο Πίνακας υπολογιστικά, η αφαίρεση ισοδυναµεί µε πρόσθεση 7 το ( ) υπάρχει από την προηγούµενη φορά

19 4.4 Ψηφιακή Υλοποίηση του Συνεχούς Ελεγκτή PID Θεωρούµε έναν PID ελεγκτή της µορφής c Gc ( s) = + + D s is D + s N Παρατηρούµε ότι σε αυτή την µορφή, το σήµα προτού διαφορισθεί µε τον όρο "D" διέρχεται N = 3 γιά να αποτραπεί µέσω ενός φίλτρου αποκοπής υψηλών συχνοτήτων περαιτέρω ενίσχυση του θορύβου. Χρησιµοποιώντας την µεθοδολογία ΜΡΖ, γιά κάθε παράγοντα του παραπάνω αθροίσµατος, εξάγεται ένας διακριτός PID ελεγκτής της µορφής ( z+ ) N z Gc ( z) = + + ( z ) Ns i D z γιά τον οποίο απαιτείται ο καθορισµός των συντελεστών,. Αυτό γίνεται µέσω της ισοδυναµίας των συµπεριφορών του συνεχούς και διακριτού στις χαµηλές συχνότητες όταν δηλαδή ω, s= jω, z ~ + jω s οπότε = c Gc ( s) ~ = i s i jω ( z+ ) Gc ( z) ~ i ( z ) i jω s Γιά το δεν προκύπτει κανένας περιορισµός οπότε λαµβάνεται =. Η τελική µορφή της ψηφιακής υλοποίησης είναι s z+ z U z Gc ( z) = + + N = Ns i z E z D z Ανάλογη ανάπτυξη µε αυτή της παραγράφου 4.3 µπορεί να δώσει την µορφή εξίσωσης διαφορών γιά τον υπολογισµό της επενέργησης u( ) και να συναχθούν αποτελέσµατα γιά το υπολογιστικό κόστος που αναλογεί. Η εκτίµηση της ακρίβειας προσέγγισης και κατά συνέπεια της απόδωσης της ψηφιακής υλοποίησης µέσω ΜΡΖ θα µπορούσε να γίνει µέσω πειραµατικών µετρήσεων. Εναλλακτικά µπορεί κάποιος να προχωρήσει σε µία πλήρη ανάλυση στο διακριτό πεδίο. Μετά µέσω προσοµοιώσεως του όλου συστήµατος µπορεί να φανεί η αναµενόµενη απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. s

20 Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια - Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα 5. Εισαγωγή Η παρουσίαση µεθόδων σχεδίασης συστηµάτων ελέγχου µε µυ µε βάσει το διακριτό µοντέλο απαιτεί τον ορισµό και χρήση τών όρων ευστάθεια, ελεγξιµότητα και παρατηρησιµότητα. Οι αναγκαίες συνθήκες γι αυτές τις ιδιότητες καθώς και η σηµασία τους στο πρόβληµα της σχεδίασης και απόδωσης των συστηµάτων ελέγχου µε µυ παρουσίαζεται εκτενώς. Στο δεύτερο κεφάλαιο του µαθηµατικού παραρτήµατος δίδονται οι κατάλληλες µαθηµατικές γνώσεις για την απρόσκωπτη κατανόηση των µαθηµατικών χειρισµών. 5. Ευστάθεια Η εξίσώσεις κατάστασης x = A + x + B u είναι απλοποιηµένη µορφή της µη γραµµικής, χρονικά εξαρτηµένης µορφής x+ = f x, u, της οποίας την λύση γιά µιά αρχική κατάσταση { } u= u, u,, u παριστάνουµε ώς Μία κατάσταση x γιά την οποία ισχύει = ϕ x x u, x = f x,, x, και µία σειρά σηµάτων εισόδου ονοµάζεται κατάσταση ισορροπίας. Στην γραµµική περίπτωση αυτή η σχέση γράφεται x = A x A I x = Προφανώς, αν ο πίνακας A δεν έχει ιδιοτιµή λ= τότε η κατάσταση x = είναι η µοναδική κατάσταση ισορροπίας γι αυτό το σύστηµα. Στην αντίθετη περίπτωση, το σύστηµα έχει πολλές καταστάσεις ισορροπίας που είναι τα ιδιοδυανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ =. Ευστάθεια κατά Lyapunov Μία κατάσταση ισορροπίας x ενός συστήµατος x+ = f ( x,, ), είναι ευσταθής αν για κάθε σφαιρική περιοχή Nε( x ) γύρω από την x µε ακτίνα ε > είναι δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική περιοχή Nδ ( x ) γύρω από την x µε ακτίνα δ( ε, ) >, έτσι ώστε αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση εντός αυτής ( x x ) δ τότε η πορεία του ελευθέρου συστήµατος δεν πρόκειται να εξέλθει της Nε ( x ), δηλαδή

21 x x < ε όπου x u u (Σχ. 5-). ( ) = ϕ x, µε u { } = u =, i=,,, i. Σχ. 5- "Οπτικοποίηση" συνθηκών ευστάθειας κατά Lyapunov. Ασυµπτωτική Ευστάθεια Μία κατάσταση ισορροπίας x ενός συστήµατος x+ = f ( x,, ), είναι ευσταθής αν για κάθε σφαιρική περιοχή Nε ( x ) γύρω από την x µε ακτίνα ε > είναι δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική περιοχή Nδ ( x ) γύρω από την x µε ακτίνα δ( ε, ) >, έτσι ώστε αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση εντός αυτής ( x x ) δ ϕ( ) x x, u τότε η πορεία ( i,,,, ) = του ελευθέρου συστήµατος u = { u = i= } δεν πρόκειται να εξέλθει της N ε ( x ), δηλαδή u : x x < ε, και θα ανήκει τελικά εντός της Nδ ( x ), δηλαδή x ( ) x < δ + ( ε, δ, ) u ηλαδή όταν η κατάσταση ισορροπίας x είναι ασυµπτωτικά ευσταθής τότε : είναι ευσταθής κατά Lyapunov και lim x = x Η σχηµατική παράσταση του ορισµού φαίνεται στο σχήµα 5-. Ασυµπτωτική Ευστάθεια γιά Γραµµικά Χρονικά Αµετάβλητα (Γ.Χ.Α.) Συστήµατα Σε αυτή την περίπτωση x = και εποµένως lim x = x =. Όµως

22 x = A x + x = A x Σχ. 5- "Οπτικοποίηση" συνθηκών ασυµπτωτικής ευστάθειας. οπότε lim A =. Όµως (όρα παράρτηµα) οπότε προκύπτει λi [ ] A ig A = λi ig A [ ] λi < λi ig A η αναγκαία και ικανή συνθήκη γιά ασυµπτωτική ευστάθεια ΓΧΑ συστηµάτων, δηλαδή ότι όλες οι ιδιοτιµές να ευρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Κριτήρια Ευστάθειας Ο ευκολώτερος τρόπος ελέγχου της ευστάθειας ενός ΓΧΑ ψηφιακού συστήµατος βασίζεται στην χρήση του κριτηρίου Routh-Hurwitz. Όµως αυτό το κριτήριο εξετάζει την ύπαρξη ριζών ενός πολυωνύµου στο δεξί µιγαδικό ηµιεπίπεδο, ενώ εµείς ενδιαφερόµαστε για ύπαρξη τυχουσών ριζών εκτός του µοναδιαίου κύκλου. Προφανώς µε την χρήση ενός σύµµορφου µετασχηµατισµού µπορούµε να µεταβούµε από το ένα στο άλλο ηµιεπίπεδο. Αυτός είναι ο σύµµορφος µετασχηµατισµός Mobius w+ z= w που µετασχηµατίζει το εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο. Ετσι άν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του ψηφιακού συστήµατος είναι n n f z = a z + a z + + a z+ a = τότε το ισοδύναµο χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι n n

23 w+ F w f w w n = ( ) και σε αυτό µπορεί να εφαρµοσθεί το κριτήριο Routh-Hurwitz. Παράδειγµα : Γιά το πολυώνυµο f z = z + z+ λαµβάνουµε το ισοδύναµο πολυώνυµο w+ F w = f w = 3w + w Οπότε ο πίνακας Routh-Hurwitz είναι w w w ε 3 που δείχνει την ύπαρξη δύο () φανταστικών πόλων στο επίπεδο-w που αντιστοιχούν σε δύο πόλους επί του µοναδιαίου κύκλου. 5. Ελεγξιµότητα Η ελεγξιµότητα είναι αναγκαία συνθήκη γιά µιά σειρά προβληµάτων που σχετίζονται µε τον αυτόµατο έλεγχο π.χ τοποθέτηση πόλων, βέλτιστος έλεγχος κ.λ.π. Άς θεωρήσουµε το Γ.Χ.Α. σύστηµα x = A + x + B u Έστω A. Το σύστηµα είναι ελέξιµο άν είναι δυνατόν να ευρεθεί µία σειρά εισόδων ελέγχου { u, u,, } u l µία τελική κατάσταση που οδηγεί το σύστηµα από οιαδήποτε αρχική κατάσταση x σε Η λύση του Γ.Χ.Α. συστήµατος είναι f n x R µέσω ενός πεπερασµένου αριθµού l βηµάτων. f l j x x A x l l l l A B u j A x l j= B AB A B ul = = + = + u u f l x A x = C U l l όπου ο πίνακας ελεγξιµότητας και U l =. Αναγκαία συνθήκη υπαρξεως ακολουθίας εισόδων (υπάρξεως ul u u λύσεων γιά το U ) είναι l

24 ran ran C n l = = l B AB A B Προφανώς αύξηση το βηµάτωνlδεν µειώνει την τάξη του πίνακα ελεγξιµότητας αλλά το πιθανώτερο είναι να την αυξήσει. Όταν όµως γίνει l n τότε βάσει του θεωρήµατος Caly - Hamilton (Παράρτηµα) ο πίνακας A l µπορεί να γραφτεί σαν γραµµικός συνδυασµός των j A, j=,,, n. Εποµένως, η αναγκαία και ικανή συνθήκη ελεγξιµότητας Γ.Χ.Α. ψηφιακών συστηµάτων γράφεται ran ( n) ran C = = n n B AB A B 5.3 Παρατηρησιµότητα Είναι η δυαδική (dual) ιδιότητα της ελεγξιµότητας. Καθορίζει, το κατα πόσο είναι δυνατόν να καθορισθεί η αρχική κατάσταση x ενός συστήµατος µε βάση την παρακολούθηση της ακολουθίας σηµάτων εισόδου - εξόδου. Το Γ.Χ.Α. σύστηµα x = A x + B + u y = C x είναι παρατηρήσιµο άν υπάρχει ένας πεπερασµένος αριθµός l βηµάτων που επιτρέπει, µε u, u,, και εξόδου βάση τις παρατηρήσεις των ακολουθιών εισόδου { u l } {,,, }, τον προδιορισµό της αρχικής κατάστασης x. y y y l Η λύση του Γ.Χ.Α. συστήµατος είναι y = C x j j j= l CA l j j= y = C A x + C A B u j j x = A x+ A B u j j= = y C A B u = C A x =,,, l x = Ol x = E C CA l όπου O = και l E = l C A C A C l. Με l παρόµοιο σκεπτικό µε αυτό που παρουσιάσθηκε γιά την ελεγξιµότητα µπορεί κανείς να συµπεράνει ότι αναγκαία και ικανή συνθήκη γιά παρατηρησιµότητα Γ.Χ.Α. ψηφιακών

25 συστηµάτων είναι να ισχύει για τον πίνακα παρατηρησιµότητας n On = C A C A C ran( O n) = ran n C = CA n CA Παρατήρηση : Αν γιά το ΓΧΑ ψηφιακό σύστηµα ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς x = A x + B + u y = C x = ( ) + Y z D z I A B E U z προκύπτει µε απαλοιφές πόλων και µηδενιστών, τότε το σύστηµα θα είναι είτε µη ελέξιµο, είτε µη παρατηρήσιµο είτε και τα δύο. 5.4 Επίδραση της ειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Μέσω ενός παραδείγµατος θα δειχθεί τις επιπτώσεις της δειγµατοληψίας στην ελεγξιµότητα και παρατηρησιµότητα ενός συστήµατος. Παράδειγµα : Θεωρούµε ένα ΓΧΑ σύστηµα = + u xɺ x x ω x ɺ y= x x οι τάξεις των πινάκων ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας είναι αντιστοιχα C = = ran C = B AB O = = ran( O) = C CA Εποµένως το συνεχές σύστηµα είναι τόσο ελέξιµο όσο και παρατηρήσιµο. Όταν µέσω δειγµατοληψίας (περίοδος ) λάβουµε την διακριτή µορφή

26 x = x + + u cosω sinω ( cosω) ω ω ω sinω cosω sin ω ω y = x του συστήµατος τότε οι πίνακες ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας είναι αντιστοιχα C O = ( cosω) ( cosω cos ω) ω ω sinω ( sinω sin ω) ω ω = cosω sinω ω οι οποίοι δείχνουν ότι γιά ω = κ π κ =,, το σύστηµα δεν είναι ούτε ελέγξιµο, ούτε παρατηρήσιµο.

27 Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας 6. Τόπος Ριζών - Bod - Nyquist Στα συνεχή συστήµατα ελέγχου οι µεθοδολογίες σχεδιασµού που στηρίζονται στο πεδίο της συχνότητας είναι : ο τόπος των ριζών και τα διαγράµµατα Bod και Nyquist. Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη αλλαγή στην µεθοδολογία εφαρµογής του µιας και αυτός απλά εξετάζει τον γεωµετρικό τόπο των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου. Η µόνη διαφορά στην περίπτωση των ψηφιακών συστηµάτων ελέγχου είναι ότι το ενδιαφέρον µας θα εστιασθεί στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου αντί για το αριστερό ηµιεπίπεδο. Όσον αφορά την χάραξη διαγραµµάτων Bod, είναι αναγκαία η χρήση του σύµµορφου µετασχηµατισµού - w w z + w= z= z+ w (6.) που µετασχηµατίζει το εσωτερικό, την περιφέρεια και το εξωτερικό του µοναδιαίου κύκλου από το επίπεδο - Ζ, στο αριστερό ηµιεπίπεδο, στον φανταστικό άξονα και στο δεξί ηµιεπίπεδο στο πεδίο W, αντίστοιχα. Εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς p G w = G z + (6.) p w z= w µπορεί να αντιµετωπισθεί µε τα ίδια ακριβώς εργαλεία του συνεχούς πεδίου, και τα διαγράµµατα Bod και Nyquist και τα αντίστοιχα κριτήρια ευστάθειας του διακριτού G w. Πρέπει να τονιστεί ότι το επίπεδο συστήµατος p G z βάσει του ψευδοσυνεχούς - W δεν είναι το ίδιο µε το επίπεδο - S της συνεχούς διεργασίας που αντιστοιχεί στην φυσική διεργασία. Όταν, βάσει των εργαλείων του συνεχούς πεδίου, σχεδιασθεί ο κατευθυντής G ( w ) µπορούµε να πάρουµε τον ισοδύναµο κατευθυντή στο πεδίο - Ζ z c c w = z + p G z = G w (6.3) για να υλοποιηθεί σε µορφή εξίσωσης διαφορών, µε την µεθοδολογία που αναπτύχθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Παρατηρούµε ότι s w= tanh z w= z + s z= οπότε όταν διατρέχουµε τον φανταστικό άξονα, όταν δηλαδή s = jω τότε c (6.4) ω w jυ = j tan (6.5)

28 δηλαδή και το W είναι φανταστικό, και µάλιστα limυ = ω (6.6) κάνοντας προφανή την χρήση του όρου στην έκφραση του µετασχηµατισµού-w. Όταν δηλαδή << τότε η συνάρτηση µεταφοράς του επιπέδου - W προσεγγίζει αυτήν του S. 6. Ψηφιακός PID έλεγχος Μπορούµε να οδηγηθούµε στην έκφραση του ψηφιακού PID αφού παραστήσουµε τις επιµέρους συνιστώσες. ηλαδή : P : D : I : P-D : P-I-D : = = u t = K t G s = K u K p Gc z K p p c p ɺ u t = K p D t Gc s = K p D s z z u K G z K K z = p D c = p D = p D K p t u( t) = d Gc( s) K t p τ τ = i i s K p K p K p z u = u + Gc( z) = = i z i D z Gc z = K p + z z D z Gc z = K p + + i ( z ) z 6.3 Εξουθενωτικός Έλεγχος (Dadbat Control) Έστω η συνάρτηση µεταφοράς µίας εγκατάστασης Αν επιλέξουµε G G p c ( z) ( z) τότε η συνάρτηση κλειστού βρόχου είναι =.453 ( z ) i( ) z+.94 ( z.95)( z.89) ( z.95)( z.89) ( z+ )( z ) = ηλαδή σε µία µοναδιαία συνάρτηση εισόδου p Y z Gc z G z = G( z) = = R z + G z G z z z r( t) = u( t) R( s) = R( z) s = z c p

29 η απόκριση είναι Y z z z y t z = = + + = δ = ηλαδή επιτυγχάνεται η επιθυµητή τιµή (µονάδα) µέσα σε µόνο µία περίοδο! Αυτός είναι ο επονοµαζόµενος έλεγχος εξουθένωσης. Επιτυγχάνουµε δηλαδή ελάχιστη µέγιστη υπερακόντιση και γρήγορο χρόνο ανύψωσης σε είσοδο βαθµίδας. Παρόλα αυτά, µιας και υπεισέρχονται απαλοιφές πόλων & µηδενιστών, είναι µία µέθοδος αµφιβόλου πρακτικής αξίας. Στην γενική περίπτωση, τα κριτήρια σχεδίασης για έλεγχο εξουθένωσης είναι : µηδενικό σφάλµα µόνιµης κατάστασης κατά τις στιγµές δειγµατοληψίας, ελάχιστος χρόνος άφιξης στην µόνιµη κατάσταση, και φυσικά υλοποιήσιµος κατευθυντής ενώ, από τη συνάρτηση κλειστού βρόχου, το σφάλµα είναι : E z = R z Y z = R z G z = R z + c p G z G z (6.7) Για συνάρτηση εισόδου της τάξεως N t η συνάρτηση µεταφοράς είναι R z = A z ( z ) N (6.8) δηλαδή συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας A( z), N A( z) = z, N =. Γενικά το στο z=. = =, ενώ για συνάρτηση ράµπας A z είναι ένα πολυώνυµο του z, χωρίς µηδενιστές Αντικαθιστώντας την (6.8) στην (6.7) και εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής για να εξυπηρετηθεί το πρώτο από τα κριτήρια σχεδίασης G( z) A z lim = lim z E z = lim z = ( z ) z z N (6.9) Επειδή το A( z ) ΕΝ έχει µηδενιστές στο z=, τότε αναγκαία συνθήκη για την ανωτέρω είναι N N N z z F z G( z) = ( z ) F( z) G( z) = (6.) N z όπου το F( z ) είναι πολυώνυµο του Αντικαθιστώντας την (6.) στην (6.9) λαµβάνουµε το οποίο είναι ένα πολυώνυµο του πεπερασµένο αριθµό βηµάτων. Γενικά z, και εποµένως έχει πόλους µόνο στο z=. E( z) = A( z) F( z) (6.) z και εποµένως το ( t ) οδηγείται στο σε

30 n n Gp z gnz gn+ z n G z m z m+ z ( n) ( n+ ) Gc z = d nz + d n+ z + (6.) = + + = + + και για να έχει φυσική υπόσταση ο κατευθυντής, n (6.3) Η συναρτήσεις κλειστού βρόχου για έλεγχο εξουθένωσης και για διάφορα είδη συναρτήσεων εισόδου είναι G z είσοδος βαθµίδας : είσοδος ράµπας : = z G z = z z G z = 3 z 3 z + z 3 είσοδος παραβολική :

31 Κεφάλαιο 7 Σχεδίαση στο Χώρο Κατάστασης 7. Εισαγωγή Η σχεδίαση στο χώρο κατάστασης είναι αναγκαία για την περίπτωση συστηµάτων πολλών εισόδων και καταστάσεων. Όπως θα γίνει φανερό από την παρουσίαση που ακολουθεί, το αποτέλεσµα θα είναι ελεγκτής υλοποιήσιµος στην µορφή εξισώσεων διαφορών. 7. Έλεγχος µε Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης Για ένα σύστηµα αν εφαρµοσθεί ένας νόµος ελέγχου της µορφής τότε u x = A x + B u A R B R (7.) n n n +, = K x (7.) G z = z z + z (7.3) και η χαρακτηριστική εξίσωση είναι ( z I A+ B K( = (7.4) του οποίου οι ρίζες θα πρέπει να είναι εντός του µοναδιαίου κύκλου σύµφωνα µε τα αναλυθέντα στο κεφάλαιο 5. Αν θέλουµε να τοποθετήσουµε τους πόλους του συστήµατος κλειστού βρόχου στις θέσεις β, β,, β n τότε η επιθυµητή χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται n n ( z β )( z β ) ( z β ) = z + α z + + α z+ α = α ( z) (7.5) n n n c και προφανώς ζητούµε την εύρεση ενός K τέτοιου ώστε n n ( ( z I A+ B K = z + α z + + α z+ α (7.6) n Περίπτωση : Μία Είσοδος, Πολλές Καταστάσεις (Singl Input, Multipl Stats - SIMS) Το ζητούµενο K δίδεται από την σχέση του Acrmann [ ] α K = C A, B c A (7.7) C A, B = B AB A B είναι ο πίνακας ελεγξιµότητας. l όπου Περίπτωση : Πολλές Είσοδοι, Πολλές Καταστάσεις (Multipl Inputs, Multipl Stats-MIMS) Βάσει του MIMS συστήµατος n n n m +, n x = A x + B u A R B R (7.8) µπορούµε να θεωρήσουµε το σύστηµα µίας εισόδου x = A x + B u A R B R (7.9) n n n +,

32 m όπου B = B w, w R. Αν το ζεύγος A, B είναι ελέγξιµο τότε βάσει του τύπου του Acrmann, της προηγουµένης παραγράφου, µπορούµε να βρούµε K έτσι ώστε Αν επιλέξουµε z I A+ B K = z + α z + + α z+ α (7.) K n n n = w K (7.) τότε, λόγω του ότι B K = B w K = B K, και ένεκα της (7.) βλέπουµε ότι το K από την (7.) πράγµατι τοποθετεί τους πόλους στην επιθυµητή θέση. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το w δεν είναι µοναδικό, µιας και η µοναδική συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί είναι η ελεγξιµότητα του ζεύγους( A, Bw ). Έτσι, µπορούν να χρησιµοποιηθούν και άλλοι περιορισµοί στο w, έτσι ώστε να εξυπηρετηθούν άλλες ανάγκες σχεδιασµού (π.χ. σχετικό µέγεθος των συνιστωσών του διανύσµατος ελέγχου). Παράδειγµα : Αν επιζητούµε την τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος x = x + + u στις θέσεις β =., β =., τότε άν θεωρήσουµε n (, ) C(, ) B = = C A B = A B = w + w w w w w w w w w w Οπότε για w w = = εξασφαλίζεται η ελεγξιµότητα του ζεύγους ( A, Bw ) C A, B = C A, B = και ( ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι α c ( z) ( z.)( z.) z.3z. α ( A) = = + c = οπότε χρησιµοποιώντας τον τύπο του Acrmann και κατά συνέπεια K = = K = =

33 7. Έλεγχος µε Ανάδραση Εξόδου H ανάδραση µεταβλητών κατάστασης απαιτεί γνώση της κατάστασης, πράγµα που λόγω της φυσικής δοµής των συστηµάτων, που φαίνεται στα παρακάτω σχήµα και εξισώσεις x = A x + B + u y = C x (7.) δεν είναι πάντοτε δυνατό µιας και οι µετρήσεις γίνονται σε γραµµικούς (στην καλλίτερη περίπτωση...) συνδυασµούς της κατάστασης, δηλαδή στην έξοδο y. Πώς όµως µπορεί να ανατροφοδοτηθεί η κατάσταση, αν είναι µετρήσιµη µόνο η έξοδος y? Πρέπει λοιπόν να βρούµε µία µεθοδολογία εύρεσης µίας εκτίµησης ɵxτης κατάστασης x, η οποία βέβαια δεν θα είναι ακριβής αλλά θα περιέχει ένα σφάλµα που πρέπει να είναι το ελάχιστο δυνατό. xɶ = x xˆ (7.3) Σχεδίαση Παρατηρητών Κατάστασης (Stat Obsrvrs) Αν γνωρίζουµε την αρχική κατάσταση x ενός συστήµατος και την αλληλουχία εισόδων του u, =,, τότε εύκολα µπορεί να βρεθεί xˆ = ˆ A x + + B u (7.4) οπότε µε χρήση της (7.3) και της πρώτης από τις (7.), x ɶ = + A x ɶ (7.5) Αυτή, εφόσον η αρχική κατάσταση είναι γνωστή δηλ. ~ x x xɵ = =, θα δίνει πάντοτε µηδενικό σφάλµα. Όµως λόγω των αναµφισβήτητα πάντοτε υπαρκτών απρόβλεπτων παραγόντων όσον αφορά την γνώση του µοντέλου ( A, B), των σηµάτων εισόδου u και της αρχικής κατάστασης, αυτό δεν ισχύει και µάλιστα είναι δυνατό ότι η απόκλιση θα είναι ολοένα αυξανόµενη. Χρειάζεται λοιπόν να γίνει χρήση των µετρήσεων στον µηχανισµό εκτίµησης της κατάστασης. Άv προτείνουµε ένα «µηχανισµό» εκτίµησης της µορφής xˆ ˆ ˆ + = A x + B u + Lp y C x (7.6) που εµπεριέχει ένα συνδυασµό της εξέλιξης της εκτίµησης µε βάση τις εξισώσεις κατάστασης (εξ. 7.4) και µια «αυτοδιόρθωση» µε βάση τις µετρήσεις, τότε µε αφαίρεση της (7.) έχουµε που σηµαίνει ότι αν ο πίνακας ( A Lp C) x ɶ = A L + p C x ɶ (7.7) είναι ευσταθής 8, τότε το σφάλµα ~ x θα τείνει ασυµπτωτικά στο µηδέν. Αυτός δε ο πίνακας γίνεται ευσταθής µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που χρησιµοποιήσαµε για να κάνουµε τον αντίστοιχο πίνακα κλειστού βρόχου ευσταθή κατά την ανάδραση µεταβλητών κατάστασης, στην Είναι µάλιστα δυνατό να γίνει αυτός ο πίνακας ευσταθής, µε κατάλληλη επιλογή του L p, ακόµα και στη περίπτωση ύπαρξης παραµετρικών αβεβαιοτήτων των πινάκων A, C.

34 Αν θέλουµε δηλαδή ο πίνακας ( A Lp C) β, β,, β n, δηλαδή να έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο να έχει ιδιοτιµές σε ορισµένες θέσεις α z = z β z β z β = z I A+ L C O n p τότε το κέρδος L p δίνεται από την σχέση του Acrmann l όπου [ ] L = α A O A, C (7.8) p O O A, C = C A C A C είναι ο πίνακας παρατηρησιµότητας. Σχεδίαση Ρυθµιστή : Έλεγχος µε Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης και Παρατηρητή Αν τροφοδοτηθεί το σύστηµα µέσω ελέγχου των µεταβλητών κατάστασης που προέκυψαν από τον παρατηρητή κατάστασης τότε το συνολικό σύστηµα, που φαίνεται στο σχήµα 7., είναι Σχήµα 7. : Έλεγχος µε Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης και Παρατηρητή ( ɶ ) x = A x + B u = A x B K xˆ = A x B K x + x + = =Φ xɶ + A LpC xɶ xɶ x B K A B K x x + Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι Φ = που µπορεί να γραφεί (7.9) p o c α z I A+ L C z I A+ B K = α z z = (7.) ηλαδή οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι αυτοί του ρυθµιστή και αυτοί του παρατηρητή. Επιλογή Πόλων Για τον ρυθµιστή οι πόλοι θα πρέπει να είναι τέτοιοι που να κρατούν το επίπεδο των εισόδων µέσα στα φυσικά όρια τους. Για τον παρατηρητή πρέπει να είναι τέτοιοι που να µην αυξάνουν υπέρµετρα την ευαισθησία του συστήµατος στον θόρυβο. Γενικά, οι πόλοι του παρατηρητή πρέπει να είναι σαφώς ταχύτεροι από αυτούς του ρυθµιστή έτσι ώστε η συµπεριφορά του όλου συστήµατος να καθορίζεται από τον ρυθµιστή. ηλαδή ενδείκνυται η επιλογή των πόλων του παρατηρητή να είναι τέτοια που να έχουν καλή απόσβεση και να είναι 6 φορές ταχύτεροι από τον ρυθµιστή. Αν όµως η ύπαρξη θορύβου στις µετρήσεις κάνει αυτή την επιλογή αδύνατη, µπορούµε να ρίξουµε τη σχετική ταχύτητα των πόλων στην διπλάσια, έχοντας υπόψη ότι η συµπεριφορά του όλου συστήµατος θα επηρεάζεται άµεσα και από τον παρατηρητή.

35 Εναλλακτικά, και στην περίπτωση που η στατιστική του θορύβου είναι γνωστή, η χρήση του παρατηρητή µπορεί να υποκατασταθεί µε µία διάταξη που κατάλληλα απορρίπτει τους θορύβους και λέγεται εκτιµητής κατάστασης. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Ο Μετασχηµατισµός Ζ Α. Ορισµός - Υπολογισµός F( z) = Ζ f ( t) = F ( s) L f ( t) = = L f ( ) δ( t ) = s= ln z s= ln z = s= ln z s = f ( ) L δ( t ) = f ( ) = f ( ) z = s= ln z = s= ln z = Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του µετασχηµατισµού Ζ µίας συνάρτησης δοσµένης σε µορφή Laplac F s N s = D s µε πόλους είναι ο ακόλουθος : α) Όταν οι πόλοι είναι απλοί F z ( ξn) ( ξ ) N dd = D ( ξ ) = ξ ξn n n= D n z d β) Ενώ όταν οι πόλοι έχουν πολλαπλότητα mn ο καθένας Παραδείγµατα : F z K α) Z u ( t ) =? s ni m n i mn i m d n ( s ) K ni = mn i n= i= ( mn i)! ds =! ( i ) mn ( ξ ) i d s n F s ds i s= ξn s= s ξn ( ξ) = n ξ ξ s= ln z

36 β) Z[ t] sin ω =? F z = N( s) z L us( t) D ( ξ) = = = s D( s) ξ = z sinω F( z) = j j N( s) j ω ω z z = ω z z cosω + L[ sinωt] = = ξ, =± jω s + ω D( s) D ( ξ) = ξ D ( ξ,) =± jω Στον Πίνακα της επόµενης σελίδας φαίνονται ορισµένοι συνήθεις µετασχηµατισµοί Ζ γνωστών συναρτήσεων. Α. Ο Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Άν είναι γνωστός ο µετασχηµατισµός Ζ, F( z ), µίας συνάρτησης να ευρεθούν οι τιµές f ( ) της αντιστρόφου µετασχηµατισµού, δηλαδή f t, τότε είναι δυνατόν f t κατα τις στιγµές δειγµατοληψίας µέσω του ( ) = f Z F z Ο πιό συνήθης τρόπος µετασχηµατισµού είναι η αποσύνθεση της F( z) σε απλά κλάσµατα και παράγοντες που είναι σε µία από τις µορφές που ευρίσκονται στον πίνακα µετασχηµατισµών της προηγούµενης σελίδας. Παράδειγµα : f ( ) ( ) z ( z )( z ) = Z =? F z A B z z = + F( z) = f ( ) = z z z z z Πρέπει να τονισθεί ότι µπορούν να αναπαραχθούν µόνο οι τιµές της f ( t ) κατά τις στιγµές δειγµατοληψίας και όχι ενδιαµέσως. Α.3 Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Ζ.. 3. ± = ± = a F( z) n ( ) = Z f t f t F z F z Z a f t Z f t n z F z n n Z f ( t+ n) = z F( z) f ( ) z =

37 ± a a 4. Z f t = F z 5. f lim f lim F z if lim F z xists = = z z = ( ) ( ) 6. lim f lim z F z if lim z F z xists z z (, ) F( z, a) f t a Z = a a F z F z Z f n f n n= = ( ) Α.4 Πίνακας Μετασχηµατισµών - Ζ f ( ) = F z = = st F( s) f ( t) dt f ( ) z δ ( σ ) s δ ( ) σ s σ+ z 3 β ( σ ) s z 4 β ( ) s z z 5 σ σ s σ+ z s ( z ) 6 s z ( z ) 7! z( z+ ) 3 s 3 ( z ) ! 3 z( z + 4z+ ) 4 s 4 6( z ) 9 m m m m ( ) z m! s + lim m a a m! a z a s ln a z z a a s+ a a 3 s+ a ( s+ a) 3 z σ z a z z ( z ) z z + ( z ) ( z ) 3

38 m m 4 m! ( + ) m s a + a 5 s( s+ a) 6 a a s ( s a ) ω 7 sinω s +ω s 8 cosω s + ω ω 9 sinhω s ω s coshω s ω coshω coshω b 3 a 4 ( c a) + ( b c) 5 ( + a ) b b 6 b b + a( a b) 7 ( a b) b 8 sinω a 9 cosω + ω s( s ) ω ω s( s ) +ω b a ( s+ a)( s+ b) ( b a)( s+ c) ( s+ a)( s+ b) a s( s+ a) a s+ b s( s+ a) + ( a b) s+ b ( s+ a) ω ( s+ a) +ω s+ a ( s+ a) + ω m m z m a m! a z z( ) ( z )( z ) z ( ) z ( z ) a( z )( z ) z sinω z z cosω + z( z cos ω ) cos + z z ω z sinhω cosh + z z ω z( z cosh ω ) cosh + z z ω z z ω z z( z cosh ω ) z cosh + z z( z cos ω ) z z z + cosω z z b z z ( c a) z ( b c) z b z z z z az z z ( z ) bz bz a( a b) z z z ( z ) z z ( a b) z b z z ( z ) z sinω z z cosω + z z z z cosω cosω +

39 B. Νόρµες και Ιδιοτιµές Πινάκων Η ευκλείδια νόρµα ενός διανύσµατος [ ] και είναι ένα µέτρο έκφρασης του µεγέθους του. n n ορίζεται ως x= x x x R x n = xi i= Η νόρµα ενός πίνακα n n A R ορίζεται ως A = min n x R A x x και παριστά την ελάχιστη αυξοµείωση που θα προκαλέσει ο πολλαπλασιασµός οιοδήποτε n στοιχείου του R µε τον A. Αν ig[ A] λ (αν δηλαδή το λ i είναι ιδιοτιµή του A) τότε i A Άν η f ( ) είναι πολυωνυµική συνάρτηση τότε Οπότε Επίσης ισχύει ότι i i [ ] λ λ ig A = { ( λi), λi [ ]} ig f A f ig A = ig A { λi, λi ig[ A] } n n f λ = λ I A = = a λ + a λ + + aλ+ a Εποµένως (Θεώρηµα Caly-Hamilton) n n n n n n f ( A) = = a A + a A + + a A+ a I A = a A + + a A+ a I n n n an