ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης «Ρύθμιση Ισχύος Εκπομπής Ασυρμάτων Τοπικών Δικτύων για Βελτιστοποίηση της Κοινωνικής Δικαιοσύνης» Ευάγγελος Γ. Δούρος Επιβλέπων: Γεώργιος Κ. Πολύζος, Καθηγητής ΟΠΑ ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΝΙΟΣ 28

2 Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης Ρύθμιση Ισχύος Εκπομπής Ασυρμάτων Τοπικών Δικτύων για Βελτιστοποίηση της Κοινωνικής Δικαιοσύνης Θεματική Περιοχή: Ασύρματες Επικοινωνίες και Κινητό Υπολογίζειν Λέξεις Κλειδιά: Ασύρματα Σημεία Πρόσβασης, (Μη) Απαρέγκλιτη Εφαρμογή Αλγορίθμων, Διαχείριση Παρεμβολών, Μη Αδειοδοτημένο Φάσμα. Ευάγγελος Γ. Δούρος Α.Μ.: ΕΥ619 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Γεώργιος Κ. Πολύζος, Καθηγητής ΟΠΑ Ευάγγελος Γ. Δούρος 2

3 Περίληψη Η ανάπτυξη των ασυρμάτων δικτύων είναι περισσότερο εμφανής από ποτέ, ιδιαίτερα στα Ασύρματα Τοπικά Δίκτυα (WLANs), τα οποία αναπτύσσονται «οργανικά», εξυπηρετώντας πλήθος χρηστών και χρησιμοποιώντας μη-αδειοδοτημένο (unlicensed) φάσμα. Η αποτελεσματική χρήση του φάσματος (spectrum sharing) είναι ζήτημα κεφαλαιώδους σημασίας, δεδομένου ότι πρόκειται για πεπερασμένο πόρο. Η εύρεση όμως μη επικαλυπτόμενων καναλιών δεν είναι εύκολη (μάλλον ανέφικτη τις περισσότερες φορές), λόγω των πολλών Σημείων Ασύρματης Πρόσβασης (Access Points APs) το ένα κοντά στο άλλο, αλλά και της «οργανικής» τους ανάπτυξης. Η διαχείριση των παρεμβολών (interference management) είναι λοιπόν κρίσιμο ζήτημα. Προς την κατεύθυνση αυτή, έχουν προταθεί μια σειρά από λύσεις που ανήκουν στην ευρύτερη ερευνητική περιοχή της ρύθμισης ισχύος για τον περιορισμό των παρεμβολών. Η γενική μοντελοποίηση των σεναρίων που μελετώνται περιλαμβάνει ένα σύνολο APs τα οποία μεταδίδουν στο ίδιο κανάλι συχνοτήτων, καθένα από τα οποία πρέπει να αποφασίσει την τιμή της ισχύος εκπομπής του. Ακολουθούμε προσεγγίσεις που επικεντρώνονται στα APs. Με άλλα λόγια, ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε και να εντοπίσουμε τις συνθήκες που πρέπει να συντρέχουν ώστε τα έσοδα των APs να αντιστοιχούν σε όσο το δυνατόν πιο δίκαιες (fair) καταστάσεις, στις οποίες τα ποσοστά των απωλειών από τα μέγιστα έσοδα των APs θα είναι όσο το δυνατόν περισσότερο ομοιόμορφα (αναλογικά) κατανεμημένα. Αρχής γενόμενης με την υπόθεση της «αγαστής συνεργασίας» μεταξύ των ιδιοκτητών των APs, επινοούμε μια σειρά από αλγορίθμους που έχουν ως στόχο τη βελτιστοποίηση της κοινωνικής δικαιοσύνης. Η αποτίμηση των επιδόσεών τους, επιτυγχάνεται μέσω προσομοιώσεων που τους συγκρίνουν με την «εγωιστική» επιλογή δηλ. την εκπομπή όλων των APs στη μέγιστη δυνατή ισχύ. Παράλληλα, εξετάζουμε σενάρια μη απαρέγκλιτης εφαρμογής των αλγορίθμων, καθώς επίσης και σχήματα που επιτρέπουν τη δυνατότητα διαπραγμάτευσης ανάμεσα στα APs, συγκρίνοντας τις επιδόσεις των παραλλαγών αυτών με τους αρχικούς αλγορίθμους. Ως επιμύθιο, αποδεικνύεται σαφώς ότι εφόσον τα APs συνεργαστούν, μειώνοντας ταυτόχρονα και από κοινού την ισχύ εκπομπής τους, θα επωφεληθούν με μια σημαντική αύξηση των εσόδων τους. Ευάγγελος Γ. Δούρος 3

4 Ευχαριστίες Προσπαθώντας να διαφοροποιηθώ από τις φράσεις-κλισέ που είναι «σήμα κατατεθέν» αυτής της ενότητας, δε (!) θα ευχαριστήσω τον επιβλέποντά μου, καθηγητή Γεώργιο Πολύζο, «για την υπομονή του, τη δυνατότητα που μου έδωσε να ασχοληθώ με αυτό το θέμα, την καθοδήγησή του και τις εύστοχες επισημάνσεις του». Όχι φυσικά γιατί δεν ισχύουν, αλλά επειδή τα ευκόλως εννοούμενα μπορούν να παραλείπονται. Θέλω όμως να τον ευχαριστήσω για δύο λόγους: Αφενός για την εμπιστοσύνη με την οποία με περιβάλλει, αφετέρου επειδή η πίστη του στις δυνατότητές μου λειτουργεί ως καταλύτης για την επίτευξη των στόχων μου. Οι Παντελής Φραγκούδης και Κωνσταντίνος Κατσαρός, υποψήφιοι διδάκτορες του τμήματος Πληροφορικής, παρακολούθησαν εκ του σύνεγγυς- αρκετά τμήματα αυτής της εργασίας. Δεν μπορώ παρά να τους ευχαριστήσω για το χρόνο τους και την προσοχή τους. Τέλος, αναγκαία συνθήκη για την ολοκλήρωση και αυτού του κύκλου της πανεπιστημιακής μου εκπαίδευσης, ήταν η στήριξη της οικογένειάς μου: Των γονιών μου, Γιώργου και Αγγελικής, καθώς και του αδερφού μου, Ηλία Ευχαριστώ! Ευάγγελος Γ. Δούρος 4

5 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή σελ.8 2. Σχετικές Εργασίες σελ Περί Ασυρμάτων Επικοινωνιών και Δικτύων σελ Διάφορες Εργασίες σελ Ρύθμιση Ισχύος Εκπομπής Ασυρμάτων Τοπικών Δικτύων για τη Βελτιστοποίηση της Κοινωνικής Δικαιοσύνης σε ένα Πλήρως Συνεργατικό Περιβάλλον σελ Προϋποθέσεις Σεναρίων σελ Υπολογισμός Εσόδων APs σελ Αλγόριθμος Εύρεσης 1 ου Τοπικού Μεγίστου (FirstMax) σελ Παράδειγμα Εφαρμογής Αλγορίθμου FirstMax σελ Αλγόριθμος Εύρεσης του «Καλύτερου Μεγίστου» (BestMax) σελ Σύγκριση Εσόδων Αλγορίθμων FirstMax και BestMax σελ Αλγόριθμος Εύρεσης του «πιο Δίκαιου Μεγίστου» (FairMax) σελ Αλγόριθμος Εύρεσης του «Αυστηρά πιο Δίκαιου Μεγίστου» (StrictFairMax) σελ Περιγραφή Μεθοδολογίας Προσομοιώσεων για την Αποτίμηση της Επίδοσης των Αλγορίθμων σελ Δύο APs: Σύγκριση Επιδόσεων BestMax, FairMax, StrictFairMax σελ Δύο APs: Μέση % Βελτίωση Επιδόσεων FirstMax vs Pmax, BestMax vs Pmax σελ Δύο APs: Στατιστική Κατανομή Επιδόσεων FirstMax vs Pmax, BestMax vs Pmax σελ Τρία APs: Σύγκριση Επιδόσεων BestMax-FairMax σελ Τρία APs: Μέση % Βελτίωση Επιδόσεων FirstMax vs Pmax, BestMax vs Pmax σελ Τρία APs: Στατιστική Κατανομή Επιδόσεων FirstMax vs Pmax, BestMax vs Pmax σελ Επιμύθιο σελ Ρύθμιση Ισχύος Εκπομπής Ασυρμάτων Τοπικών Δικτύων για τη Βελτιστοποίηση της Κοινωνικής Ευημερίας σελ Διαφοροποιήσεις Αλγορίθμων FirstMax και BestMax σελ Αποτίμηση Επίδοσης Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας Ευάγγελος Γ. Δούρος 5

6 στα 2 ΑPs σελ Αποτίμηση Επίδοσης Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας στα 3 ΑPs σελ Επιμύθιο σελ Κλιμακούμενα Σενάρια Μη Απαρέγκλιτης Εφαρμογής Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης σελ Διαφοροποιήσεις Σεναρίων σελ Ανοικτά Ερωτήματα σελ Αποτίμηση Επίδοσης Κλιμακούμενων Σεναρίων Μη Απαρέγκλιτης Εφαρμογής προς τα Κάτω Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας στα 2 ΑPs σελ Αποτίμηση Επίδοσης Κλιμακούμενων Σεναρίων Μη Απαρέγκλιτης Εφαρμογής προς τα Κάτω Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας στα 3 ΑPs σελ Μη Απαρέγκλιτη Εφαρμογή προς τα Πάνω Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας σελ Αποτίμηση Επίδοσης Κλιμακούμενων Σεναρίων Μη Απαρέγκλιτης Εφαρμογής προς τα Πάνω Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας στα 2 ΑPs σελ Αποτίμηση Επίδοσης Κλιμακούμενων Σεναρίων Μη Απαρέγκλιτης Εφαρμογής προς τα Πάνω Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Ευημερίας στα 3 ΑPs σελ Απαρέγκλιτη και Μη Απαρέγκλιτη Εφαρμογή Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης: Θεωρητικές Διαπιστώσεις σελ Απαρέγκλιτη και Μη Απαρέγκλιτη Εφαρμογή Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης: Πειραματική Σύγκριση στα 2 APs σελ Απαρέγκλιτη και Μη Απαρέγκλιτη Εφαρμογή Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης: Πειραματική Σύγκριση στα 3 APs σελ Επιμύθιο σελ Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης με Μη Ταυτόχρονη Μείωση της Ισχύος Εκπομπής Έναντι Αμοιβής σελ Διαφοροποιήσεις σελ.84 Ευάγγελος Γ. Δούρος 6

7 6.2 Ανοιχτά Ερωτήματα σελ Αποτίμηση Επίδοσης Σεναρίων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης με Μη Ταυτόχρονη Μείωση της Ισχύος Εκπομπής Έναντι Αμοιβής στα 2 APs σελ Αποτίμηση Επίδοσης Σεναρίων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης με Μη Ταυτόχρονη Μείωση της Ισχύος Εκπομπής Έναντι Αμοιβής στα 3 APs σελ Σύγκριση Σεναρίων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης με και χωρίς Αμοιβή στα 2 APs σελ Σύγκριση Σεναρίων Βελτιστοποίησης της Κοινωνικής Δικαιοσύνης με και χωρίς Αμοιβή στα 3 APs σελ Επιμύθιο σελ Συμπεράσματα Μελλοντικές Επεκτάσεις σελ Τελικά Συμπεράσματα σελ Μελλοντικές Επεκτάσεις σελ.14 Βιβλιογραφία σελ.17 Ευάγγελος Γ. Δούρος 7

8 1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό, θα δώσουμε επιγραμματικά το περίγραμμα της εργασίας, παρουσιάζοντας τους θεμελιώδεις στόχους των επόμενων κεφαλαίων. Το κεφάλαιο 2 αποτελεί το συνδετικό κρίκο της εργασίας με τις σχετικές εργασίες που έχουν δημοσιευθεί στην επιστημονική κοινότητα, καθώς επίσης και παρέχει το αναγκαίο υπόβαθρο στον αναγνώστη της εργασίας, αποτυπώνοντας θεμελιώδη χαρακτηριστικά για τη μοντελοποίηση του προβλήματός μας. Τα κεφάλαια 3 έως 6 αποτελούν το κύριο μέρος της εργασίας. Η διάρθρωσή τους περιστρέφεται γύρω από έξι ερωτήματα, τα οποία θα μπορούσαν να κατανεμηθούν σε τρεις ομάδες ερωτημάτων, με το δεύτερο ερώτημα κάθε ομάδας να αποτελεί λογική συνέχεια του πρώτου. Στο κεφάλαιο 3, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε απάντηση στο ερώτημα: «Αν μια παρέα κατοικεί στην ίδια γειτονιά και κάθε μέλος της παρέας έχει στη διάθεσή του από ένα Σημείο Ασύρματης Πρόσβασης (Access Point -AP), να χρησιμοποιεί ρύθμιση ισχύος εκπομπής (power control) για την αναλογικότερη κατανομή των εσόδων της;». Στο κεφάλαιο 4, το παραπλήσιο ερώτημα διαμορφώνεται ως εξής: «Αν έχω στη διάθεσή μου μια σειρά από APs, τοποθετημένα στην ίδια γειτονιά, να χρησιμοποιώ ρύθμιση ισχύος εκπομπής για μια βέλτιστη κατανομή των εσόδων μου;». Το κεφάλαιο 5 δομείται πάνω στα εξής ερωτήματα: α) Αν οι ιδιοκτήτες των APs δεν επιθυμούν να εφαρμόζουν απαρέγκλιτα τη ρύθμιση ισχύος εκπομπής, ποιο σενάριο τους συμφέρει να υιοθετήσουν; Με άλλα λόγια, τους συμφέρει: ι) να «κλέβουν» με μικρή πιθανότητα-ένα μικρό ποσοστό, ιι) με μεσαία πιθανότητα-ένα μεσαίο ποσοστό ή ιιι) με μεγάλη πιθανότητα-ένα μεγάλο ποσοστό; β) Επιλέγοντας την πιο προσοδοφόρα μη απαρέγκλιτη εφαρμογή των αλγορίθμων και συγκρίνοντάς τη με την απαρέγκλιτη εφαρμογή Ποια από τις δύο είναι επωφελέστερη; Δηλ. «να κλέβεις ή να μην κλέβεις»; Ευάγγελος Γ. Δούρος 8

9 Το κεφάλαιο 6, αναζητά απαντήσεις στις εξής ερωτήσεις: α) Αν οι ιδιοκτήτες των APs έχουν στη διάθεσή τους ένα «πουγκί», το οποίο μπορούν να χρησιμοποιήσουν για να εφαρμόζουν κατά το δοκούν τη ρύθμιση ισχύος εκπομπής, ποιο σενάριο τους συμφέρει να υιοθετήσουν; Με άλλα λόγια, συμφέρει: ι) να προσφέρουν με μικρή πιθανότητα-ένα μικρό ποσοστό από το πουγκί τους, ιι) να προσφέρουν με μεσαία πιθανότητα-ένα μεσαίο ποσοστό ή ιιι) να προσφέρουν με μεγάλη πιθανότητα-ένα μεγάλο ποσοστό; β) Επιλέγοντας την πιο προσοδοφόρα εφαρμογή των αλγορίθμων, όπως αυτή προκύψει από ερώτημα α) και συγκρίνοντάς τη με την κλασσική εφαρμογή Ποια από τις δύο είναι επωφελέστερη; Δηλ. είναι προτιμότερο να έχεις ένα πουγκί και να μη μειώνουν όλοι πάνταταυτόχρονα και από κοινού την ισχύ εκπομπής τους ή όχι; Τέλος, στο κεφάλαιο 7, συνοψίζονται τα συμπεράσματα της εργασίας, τα οποία είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τις απαντήσεις στα ερωτήματα των προηγούμενων παραγράφων. Συνάμα, σκιαγραφούνται μελλοντικές επεκτάσεις αυτής της εργασίας. Ευάγγελος Γ. Δούρος 9

10 2. Σχετικές Εργασίες Στο κεφάλαιο αυτό θα προχωρήσουμε σε μια τοποθέτηση στον ευρύτερο χώρο του αντικειμένου της εργασίας και θα δώσουμε μικρές περιλήψεις συναφών εργασιών. 2.1 Περί Ασυρμάτων Επικοινωνιών και Δικτύων Η ανάπτυξη των ασυρμάτων επικοινωνιών και δικτύων είναι περισσότερο εμφανής από ποτέ. Χαρακτηριστικός εκπρόσωπος της εξέλιξης αυτής είναι δίχως άλλο η εγκαθίδρυση μιας πλειάδας ασυρμάτων τοπικών δικτύων (WLANs), τα οποία εμφανίζονται σε διάφορες γεωγραφικές περιοχές (όπως αίθουσες κτιρίων, αεροδρόμια, ξενοδοχεία), εξυπηρετώντας ένα πλήθος χρηστών. Βεβαίως, η διαρκώς αυξανόμενη ζήτηση ασυρμάτων υπηρεσιών, υπαγορεύει την ανάγκη αποδοτικής χρήσης του φάσματος. Επομένως, είναι σαφές ότι ο διαμοιρασμός του φάσματος (spectrum sharing) είναι ζήτημα κεφαλαιώδους σημασίας, δεδομένου του πεπερασμένου μεγέθους αυτού του πόρου. Για το λόγο αυτό, υπάρχουν σε κάθε χώραανεξάρτητες αρχές (π.χ. FCC για τις Η.Π.Α, ΕΕΕΤ για την Ελλάδα), οι οποίες είναι επιφορτισμένες με την ευθύνη της κατανομής του φάσματος στη γεωγραφική τους περιοχή. Το φάσμα υποδιαιρείται σε σταθερού μεγέθους περιοχές συχνοτήτων (bands). Οι περιοχές αυτές χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τις αδειοδοτημένες (licensed) και μη-αδειοδοτημένες (unlicensed) περιοχές φάσματος. Κυρίαρχο χαρακτηριστικό της πρώτης κατηγορίας είναι τα αποκλειστικά δικαιώματα χρήσης της περιοχής συχνοτήτων στους κατόχους της άδειας αυτής. Από την άλλη μεριά, η πρόσβαση στο unlicensed κομμάτι του φάσματος είναι ελεύθερη σε όποιον το επιθυμεί αν και υφίστανται κάποιοι περιορισμοί χρήσης, όπως η υιοθέτηση τεχνικών διάχυσης φάσματος (spread spectrum) γεγονός που δικαιολογεί την ευημερία των ασυρμάτων τεχνολογιών, όπως η δημοφιλής οικογένεια πρωτοκόλλων IEEE Τα ασύρματα τοπικά δίκτυα είναι συνώνυμα με το πρωτόκολλο 82.11/ WiFi ([6],[7]). Τα πλέον χρησιμοποιούμενα πρότυπα είναι τα b/g, τα οποία λειτουργούν ανάμεσα στα 2.4 GHz και 2.5 GHz. Η περιοχή αυτή συχνοτήτων χωρίζεται σε 14 κανάλια και χρησιμοποιείται η τεχνική spread spectrum για την αποδοτικότερη χρήση του διαθέσιμου φάσματος. Το κανάλι 1 αντιστοιχεί στα GHz, ενώ το τελευταίο κανάλι (κανάλι 14) έχει ανατεθεί στα GHz. Επισημαίνεται ότι υπάρχει ένα κενό της τάξης των 5 MHz ανάμεσα σε κάθε κανάλι, για λόγους ασφαλείας. Η μετάδοση ενός σήματος σε ένα δίκτυο που έχει υιοθετήσει το πρότυπο b/g, αντιστοιχεί σε ένα εύρος συχνοτήτων της τάξεως των 3 MHz. Ως εκ τούτου, είναι προφανές ότι ένα σήμα στα δίκτυα αυτά επικαλύπτει αρκετά γειτονικά κανάλια. Ευάγγελος Γ. Δούρος 1

11 Απόρροια της προηγούμενης ανάλυσης είναι ότι τα κανάλια που ανατίθενται σε σημεία πρόσβασης (APs) ασυρμάτων τοπικών δικτύων που ανήκουν στην ίδια γεωγραφική περιοχή πρέπει να μην είναι γειτονικά. Σε διαφορετική περίπτωση, θα παρατηρείται το φαινόμενο των παρεμβολών (interference), γεγονός που θα οδηγεί σε μείωση των επιδόσεων όλων των δικτύων που χρησιμοποιούν επικαλυπτόμενα κανάλια για τη μετάδοση των δεδομένων τους. Βεβαίως, η εύρεση μη επικαλυπτόμενων καναλιών για ασύρματα τοπικά δίκτυα δεν είναι πάντοτε εφικτή (για την ακρίβεια, είναι μάλλον ανέφικτη τις περισσότερες φορές). Υπολογίζοντας αφενός το συνολικό διαθέσιμο εύρος συχνοτήτων, αφετέρου το εύρος συχνοτήτων που αντιστοιχεί σε κάθε κανάλι και λαμβάνοντας υπ όψιν το μέσο εύρος διάδοσης σήματος, είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι δύο κανάλια είναι μη-επικαλυπτόμενα αν και μόνο αν διαχωρίζονται από τουλάχιστον 4 κανάλια [8]. Αν θέλαμε να εξετάσουμε τι συμβαίνει στην περίπτωση που είχαμε στη διάθεσή μας 3 APs και επιθυμούσαμε να τους αναθέσουμε μηεπικαλυπτόμενα κανάλια για τη μετάδοσή τους, θα διαπιστώναμε ότι υπάρχει μία μόνο τριπλέτα (κανάλι 1, κανάλι 6, κανάλι 11), η οποία ικανοποιεί την απαίτησή μας. Είναι προφανές ότι αν είχαμε στη διάθεσή μας περισσότερα των 3 APs, τότε θα ήταν εξ ορισμού αδύνατον να προχωρήσουμε σε ανάθεση μη-επικαλυπτόμενων καναλιών με βάση το πρότυπο Από την παραπάνω ανάλυση, συνάγεται εύκολα το συμπέρασμα ότι η διαχείριση των παρεμβολών (interference management) είναι ζήτημα κεφαλαιώδους σημασίας, πολλώ δε μάλλον όταν δεν μπορεί να εξαλειφθεί «εξ ορισμού». Προς την κατεύθυνση αυτή, έχουν προταθεί μια σειρά από λύσεις που ανήκουν στην ευρύτερη ερευνητική περιοχή της ρύθμισης ισχύος για τον περιορισμό των παρεμβολών ([1],[2]). Η γενική μοντελοποίηση των σεναρίων που μελετώνται περιλαμβάνει ένα σύνολο APs τα οποία μεταδίδουν στο ίδιο κανάλι συχνοτήτων, καθένα από τα οποία πρέπει να αποφασίσει την τιμή της ισχύος εκπομπής του. Είναι προφανές ότι η αναμενόμενη επιλογή θα είναι να εκπέμπει με τη μέγιστη δυνατή ισχύ εκπομπής. Αυτό οδηγεί στο όφελος ότι θα καλύπτει τη μέγιστη δυνατή γεωγραφική περιοχή (εφόσον η ακτίνα κάλυψης είναι ανάλογη της ισχύος εκπομπής), ως εκ τούτου θα εξυπηρετήσει τους περισσότερους δυνατούς χρήστες που μπορεί να καλύψει. Από την άλλη μεριά, υιοθετώντας αυτή την επιλογή, αφενός αυξάνονται σημαντικά τα λειτουργικά έξοδά του AP, αφετέρου αυξάνονται οι παρεμβολές που προκαλεί στα υπόλοιπα APs (αλλά και οι παρεμβολές που δέχεται, δεδομένου ότι αντίστοιχη επιλογή θα πραγματοποιήσουν και τα υπόλοιπα APs). Κινούμενοι στο πλαίσιο της περιοχής αυτής, προτείνουμε μηχανισμούς (στα κεφάλαια 3 και 4) οι οποίοι προϋποθέτουν την ταυτόχρονη και από κοινού μείωση της ισχύος εκπομπής όλων των Ευάγγελος Γ. Δούρος 11

12 APs που βρίσκονται στην ίδια γεωγραφική περιοχή και οδηγούν σε αναλογικές κατανομές των εσόδων (ή των απωλειών από τα μέγιστα δυνατά έσοδα) για τους ιδιοκτήτες των APs. Επιτυγχάνεται επομένως μια βελτιστοποίηση της κοινωνικής δικαιοσύνης (social fairness). Οι αλγόριθμοι αυτοί, αποτιμώνται μέσω διεξοδικών προσομοιώσεων. Συνάμα, «χαλαρώνοντας» σταδιακά (στα κεφάλαια 5 και 6) κάποιες από τις αρχικές προϋποθέσεις για τη λειτουργία τους, συγκρίνουμε τη συμπεριφορά αυτών με τις αποδοτικότερες παραλλαγές τους. 2.2 Διάφορες Εργασίες Στην ενότητα αυτή, θα παρουσιάσουμε κάποιες ενδιαφέρουσες εργασίες που σχετίζονται με την εφαρμογή power control για τον περιορισμό των παρεμβολών σε ασύρματα τοπικά δίκτυα. Ανάμεσα σε άλλους, οι Akella et al. [13] έχουν παρατηρήσει τα σοβαρά προβλήματα παρεμβολών που παρουσιάζουν τα σημερινά WLANs και έχουν προτείνει μηχανισμούς που βασίζονται σε ρύθμιση ισχύος εκπομπής και προσαρμογή του ρυθμού μετάδοσης (transmission rate) για το χειρισμό τους. Στο [1] παρουσιάζονται μέθοδοι βελτιστοποίησης για την αντιμετώπιση του φαινομένου των παρεμβολών μέσω power control. Ειδικότερα, χρησιμοποιείται ο Gibbs sampler για την προσέγγιση μιας βέλτιστης καθολικής λύσης (globally optimal solution) μέσω επίτευξης τοπικών βελτιστοποιήσεων (local optimizations). Υπάρχουν αρκετές εργασίες που συνδυάζουν το power control με τη χρήση θεωρίας παιγνίων (Game Theory). Στο [2] χρησιμοποιείται συνεργατική θεωρία παιγνίων (cooperative game theory) για να αντιμετωπιστεί από κοινού το πρόβλημα της επιλογής καναλιού και power control σε cognitive radio networks [5]. Οι παίκτες (players) είναι cognitive radios και οι συναρτήσεις χρησιμότητας (utility functions) ορίζονται συναρτήσει των παρεμβολών που υφίστανται από τα υπόλοιπα APs που εκπέμπουν στο ίδιο κανάλι. Στο [4] οι παίκτες μπορούν να μεταδίδουν ταυτόχρονα σε πέραν του ενός κανάλια και οι συναρτήσεις χρησιμότητάς τους εξαρτώνται από το λόγο σήμα- προς- θόρυβο (SNR) που αντιλαμβάνονται. Στο [14] προτείνεται ο iterative waterfilling algorithm (IWFA), δηλ. μια κατανεμημένη προσέγγιση με χρήση θεωρίας παιγνίων για το πρόβλημα ισχύος εκπομπής (αρχικά σε DSL συστήματα). Πέρα από τη συνεργατική θεωρία παιγνίων, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η μη-συνεργατική θεωρία παιγνίων (noncooperative game theory) έχει εφαρμοστεί σε ασύρματα τοπικά δίκτυα. Στο [3] αναπτύσσονται Ευάγγελος Γ. Δούρος 12

13 διάφορες στρατηγικές (πλήρης συνεργασία, tit-for-tat) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ένα παίγνιο 2-παικτών για να επιτευχθεί η μεγιστοποίηση των συναρτήσεων χρησιμότητάς τους. Επίσης, έχουν υπάρξει εργασίες σχετικές με την εφαρμογή της τεχνικής cell breathing (συρρίκνωση του μεγέθους ενός κελιού όταν παρουσιάζεται αυξημένος φόρτος σε αυτό) [1] στα ασύρματα τοπικά δίκτυα -η τεχνική αυτή έχει εφαρμοστεί επανειλημμένως σε κυψελωτά δίκτυα (cellular networks). Στόχος είναι ο συνδυασμός του cell breathing με το power control για την ανάπτυξη αλγορίθμων εξισορρόπησης φόρτου (load balancing) σε περιπτώσεις που προκύπτει σποραδική συμφόρηση (congestion) χρηστών σε ένα ασύρματο δίκτυο [9]. Τέλος, ειδικά για την περίπτωση των πυκνών WLANs, έχουν γίνει προσπάθειες για τη βελτιστοποίηση των επιδόσεών τους, μέσω διαφόρων μηχανισμών που σχετίζονται με το επίπεδο MAC (Media Access Control), αλλά και τα ζητήματα της ανάθεσης AP και καναλιού [15]. Ευάγγελος Γ. Δούρος 13

14 3. Ρύθμιση Ισχύος Εκπομπής Ασυρμάτων Τοπικών Δικτύων για τη Βελτιστοποίηση της Κοινωνικής Δικαιοσύνης σε ένα Πλήρως Συνεργατικό Περιβάλλον Στο κεφάλαιο αυτό, θα παρουσιάσουμε τις προϋποθέσεις και τα δεδομένα που αντιστοιχούν στη μοντελοποίηση του προβλήματος της αναλογικής κατανομής των εσόδων των APs, όταν αυτά ανήκουν σε διαφορετικούς ιδιοκτήτες, οι οποίοι εφαρμόζουν απαρέγκλιτα μια σειρά από αλγορίθμους. Αφού περιγράψουμε διεξοδικά τις τεχνικές που προτείνουμε, θα σχολιάσουμε τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει από τις προσομοιώσεις που διεξήχθησαν για την αποτίμηση της επίδοσης των προτεινόμενων σχημάτων. Τέλος, επισημαίνουμε ότι διαδοχικές βελτιώσεις αυτού του κεφαλαίου, αποτέλεσαν τον κύριο κορμό των ερευνητικών μας δημοσιεύσεων [16] και [17]. 3.1 Προϋποθέσεις Σεναρίων Ας υποθέσουμε ότι σε κάποια περιοχή υπάρχουν Μ APs, τα οποία εξυπηρετούν τους Ν χρήστες που βρίσκονται εντός των γεωγραφικών ορίων της. Τα APs χρησιμοποιούν το ίδιο κανάλι (ή γειτονικά κανάλια), όπως αυτά είναι διαθέσιμα από το πρότυπο b/g, γεγονός που συνεπάγεται ότι υπάρχουν χρήστες οι οποίοι υφίστανται παρεμβολές, εφόσον βρίσκονται στις επικαλυπτόμενες περιοχές κάλυψης των APs. Υποθέτουμε επίσης ότι καθένα από τα APs εκπέμπει αρχικά με τη μέγιστη δυνατή ισχύ, έστω P max,, γεγονός που σημαίνει ότι καλύπτει τη μέγιστη δυνατή περιοχή (εφόσον η ακτίνα κάλυψης είναι η μέγιστη). Από το χαρακτηριστικό αυτό, συνεπάγεται ότι εξυπηρετεί τους πλέον απομακρυσμένους χρήστες που δύναται να καλύψει. Επιπλέον, θεωρούμε ότι οι τιμές που μπορεί να λάβει η ισχύς εκπομπής κάθε AP είναι διακριτές (discrete values). Η υπόθεση αυτή είναι συμβατή με το γεγονός ότι τα APs πολλών εταιριών επιτρέπουν μόνο διακριτές στάθμες ισχύος εκπομπής [11]. Τέλος, θεωρούμε ότι κάθε AP ανήκει σε διαφορετικό ιδιοκτήτη. Οι προσεγγίσεις που ακολουθούμε είναι ap-κεντρικές. Με άλλα λόγια, ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε και να εντοπίσουμε τις συνθήκες που πρέπει να συντρέχουν ώστε τα έσοδα των APs να αντιστοιχούν σε όσο το δυνατόν πιο δίκαιες (fair) καταστάσεις, στις οποίες τα ποσοστά των απωλειών από τα μέγιστα έσοδα των APs θα είναι όσο το δυνατόν περισσότερο ομοιόμορφα (αναλογικά) κατανεμημένα. Για να συμβεί κάτι τέτοιο, είναι προφανές ότι τα APs θα πρέπει να Ευάγγελος Γ. Δούρος 14

15 προχωρήσουν σε μια μορφή «αγαστής συνεργασίας», όπου ο όρος αυτός αντιστοιχεί στην οικοδόμηση πλήρους εμπιστοσύνης μεταξύ όλων των APs, όπως αυτή εκφράζεται μέσω της απαρέγκλιτης εφαρμογής των αλγορίθμων, οι οποίοι σκιαγραφούνται στις επόμενες παραγράφους. 3.2 Υπολογισμός Εσόδων APs Έστω λοιπόν ότι καθένας από τους Ν χρήστες έχει συνδεθεί σε κάποιο από τα M ΑPs, τα οποία εκπέμπουν στη μέγιστη ισχύ (ισοδύναμα, χρησιμοποιούν τη μέγιστη δυνατή ακτίνα κάλυψης). Την ίδια χρονική στιγμή, όλα τα APs μειώνουν την ισχύ εκπομπής τους κατά μια σταθερή ποσότητα (ή ένα σταθερό ποσοστό), εφαρμόζοντας ρύθμιση ισχύος. Θεωρούμε ότι τα APs είναι πλήρως συγχρονισμένα, ως εκ τούτου η προηγούμενη απαίτηση είναι εφικτή (αρκεί απλώς η ανταλλαγή ενός μηνύματος σηματοδοσίας στο δίκτυο). Στη νέα κατάσταση, είναι πιθανό να μεταβληθούν οι καταστάσεις για τους χρήστες ως εξής: ι) Ο χρήστης να μην ανήκει πλέον στην περιοχή κάλυψης του AP με το οποίο ήταν συνδεδεμένος. Ως εκ τούτου, πρέπει να συνδεθεί με κάποιο από τα υπόλοιπα APs, εφόσον ανήκει στην περιοχή κάλυψης έστω ενός εξ αυτών. Σε διαφορετική περίπτωση, ο χρήστης δε θα μπορεί να εξυπηρετηθεί από τα υπάρχοντα APs. ii) O χρήστης να ανήκε σε περιοχή όπου δέχονταν παρεμβολές από ένα ή περισσότερα APs και με την ταυτόχρονη μείωση των ακτινών κάλυψης όλων των APs να δέχεται πλέον παρεμβολές από λιγότερα (και στην ιδανική περίπτωση από κανένα) από αυτά. Στη νέα κατάσταση και μετά από αυτές τις πιθανές μεταβολές στους χρήστες, τα APs πρέπει να υπολογίσουν τα έσοδά τους και να τα συγκρίνουν με αυτά της αρχικής κατάστασης. Για να συμβεί αυτό, θα πρέπει να αθροίσουν τα έσοδα που αντιστοιχούν σε κάθε χρήστη που εξυπηρετούν. Ορίζουμε ότι η συνάρτηση εσόδων C i,,k για έναν χρήστη i που είναι συνδεδεμένος με το AP k, είναι ανάλογη της ποσότητας u i,,k (d) που ορίζεται από την (3.1): u i,k c, ι δε δέχεται παρεμβολές d i,k (d) = c c, ι δέχεται παρεμβολές di,k j k d i,j (3.1) όπου c μια σταθερά, ενώ η ποσότητα d i,j εκφράζει την ευκλείδεια απόσταση ανάμεσα σε έναν χρήστη i και σε ένα AP j με το οποίο μπορεί δυνητικά να συνδεθεί (είτε είναι συνδεδεμένος με Ευάγγελος Γ. Δούρος 15

16 το AP, είτε δέχεται παρεμβολές από αυτό) και ορίζεται συναρτήσει των συντεταγμένων (x i,y i ) του χρήστη και του AP (x j,y j ) με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.2). d, i περιοχή κάλυψης j = (x x ) (y y ), i περιοχή κάλυψης j i,j 2 2 i j + i j (3.2) Αφορμή για τον ορισμό των εξισώσεων (3.1) και (3.2) υπήρξε η συσχέτιση των εσόδων των APs με το συνολικό λόγο σήματος- προς- παρεμβολές και θόρυβο (SINR) όλων των χρηστών που εξυπηρετούν και η αντιστρόφως ανάλογη εξάρτηση του μεγέθους αυτού με την απόσταση, όπως αυτή ορίζεται από τη (3.2). Ο στόχος επομένως για κάθε AP k, είναι ο υπολογισμός της ποσότητας C k η οποία ορίζεται με τη βοήθεια της (3.3) ως: C k N k = Ci,k i= 1 (3.3) όπου το όριο N k αντιστοιχεί στο πλήθος των χρηστών που έχουν συνδεθεί στο AP k. 3.3 Αλγόριθμος Εύρεσης 1 ου Τοπικού Μεγίστου (FirstMax) Ακολουθεί η περιγραφή του αλγορίθμου: Άπαξ και κάθε AP υπολογίσει τα συνολικά του έσοδα, όπως ορίζονται από την ποσότητα (3.3), αρκεί να τα συγκρίνει με την αντίστοιχη συνάρτηση εσόδων στο προηγούμενο βήμα του αλγορίθμου. Αν τα έσοδά του είναι περισσότερα ή ίσα από αυτά που αντιστοιχούσαν στην προηγούμενη κατάσταση, τότε το AP ήταν ωφελημένο από τη μείωση της ισχύος του (είναι ωφελημένο ακόμη και στην ισότητα γιατί μειώνοντας την ισχύ εκπομπής, έχει μειώσει και τα λειτουργικά του έξοδα). Αν τα έσοδα για καθένα από τα M APs είναι μεγαλύτερα ή ίσα σε σχέση με αυτά της προηγούμενης κατάστασης, τότε ο αλγόριθμος συνεχίζεται μειώνοντας ξανά την ισχύ κατά την ίδια ποσότητα (ή ποσοστό). Την πρώτη φορά που για ένα τουλάχιστον από τα APs θα μειωθούν τα έσοδά του, η διαδικασία θα τερματιστεί («Πρώτη Μη Αποδεκτή Κατάσταση») και θα επανέλθουν στην τελευταία αποδεκτή κατάσταση (δηλ. στην προηγούμενη κατάσταση) από όλα τα APs. Είναι προφανές ότι ο αλγόριθμος FirstMax αντιστοιχεί στην εύρεση του πρώτου σημείου που τα έσοδα ενός AP παρουσιάζουν τοπικό μέγιστο. Αυτό συμβαίνει γιατί στην επόμενη τιμή της ισχύος εκπομπής, τα έσοδά του είναι μειωμένα σε σχέση με πριν. Ευάγγελος Γ. Δούρος 16

17 3.4 Παράδειγμα Εφαρμογής Αλγορίθμου FirstMax Μια εποπτική περιγραφή της αρχικής και τελικής κατάστασης του αλγορίθμου δίνεται με τη βοήθεια των εικόνων 3.1 και 3.2. Πρόκειται για μια τοπολογία στην οποία βρίσκονται 2 APs, το AP 1 στο σημείο με συντεταγμένες (15, 15) και το AP 2 στο σημείο με συντεταγμένες (25, 15). Τα 2 APs εκπέμπουν στη μέγιστη ισχύ, με περιοχή κάλυψης όπως αυτή ορίζεται από τη μέγιστη ακτίνα εκπομπής R=15m. Απεικονίζονται τα συνολικά έσοδα κάθε AP, οι θέσεις των χρηστών, το AP στο οποίο έχουν συνδεθεί, το πλήθος των χρηστών που εξυπηρετεί κάθε AP, όπως επίσης και ο αριθμός των χρηστών που υφίστανται παρεμβολές (βρίσκονται στην κοινή περιοχή κάλυψης των δύο APs) o αριθμός μέσα σε παρένθεση. Στην εικόνα 3.2 παρουσιάζονται τα βέλτιστα αποτελέσματα, όπως αυτά έχουν προκύψει από την εφαρμογή του αλγορίθμου FirstMax. Παρατηρούμε ότι το AP 2 έχει βελτιώσει τα έσοδά του, απόρροια της μείωσης των χρηστών (από 5 σε 2) που δέχονται παρεμβολές από το AP 1. Παρατηρούμε επίσης ότι το AP 1 έχει βελτιώσει τα έσοδά του, απόρροια της μείωσης των χρηστών (από 1 σε ) που δέχονται παρεμβολές από το AP 2. Μπορούμε τέλος, παρατηρώντας την εικόνα 3.2, να προχωρήσουμε στην εποπτική διαπίστωση ότι περαιτέρω μείωση της ισχύος εκπομπής (ακτίνας κάλυψης) θα οδηγούσε σε μείωση των εσόδων για το AP 2, εφόσον δε θα μπορούσε να εξυπηρετήσει τον άνω δεξιότερο χρήστη της τοπολογίας, ο οποίος φαίνεται να βρίσκεται στα όρια της περιοχής κάλυψής του AP 2 (γεγονός που επιβεβαιώνει εποπτικά γιατί ο αλγόριθμος οδηγήθηκε σε τερματισμό σε αυτό το σημείο). Εικόνα 3.1: Αρχική Κατάσταση Κατανομής Εσόδων και Χρηστών στα APs Εικόνα 3.2: Τελική Κατάσταση Κατανομής Εσόδων και Χρηστών στα APs Ευάγγελος Γ. Δούρος 17

18 Βεβαίως, υπάρχουν περιπτώσεις όπου υπάρχει πλήρης εξάλειψη του φαινομένου της παρεμβολής για όλους τους χρήστες που βρίσκονται στην τοπολογία (εικόνες 3.3 και 3.4), κάνοντας ακόμη πιο εμφανή τα οφέλη από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Στην τοπολογία αυτή, καίτοι στην αρχική κατάσταση (εικόνα 3.3) όλοι οι χρήστες δέχονται παρεμβολές, έχοντας ως αποτέλεσμα μειωμένα έσοδα και για τα 2 APs, εφαρμόζοντας τον προτεινόμενο μηχανισμό επιτυγχάνεται η συρρίκνωση των ακτινών των APs σε τέτοιο βαθμό, ώστε αφενός να μην υπάρχει ούτε ένας χρήστης που να υφίσταται παρεμβολές, αφετέρου τα συνολικά έσοδα των APs να έχουν πολλαπλασιαστεί (εικόνα 3.4)! Εικόνα 3.3: Αρχική Κατάσταση Κατανομής Εσόδων Εσόδων και Χρηστών στα APs Εικόνα 3.4: Τελική Κατάσταση Κατανομής Εσόδων και Χρηστών στα APs 3.5 Αλγόριθμος Εύρεσης του «Καλύτερου Μεγίστου» (BestMax) Ο αλγόριθμος BestMax προσπαθεί να εντοπίσει μια καλύτερη κατανομή εσόδων για τα APs. Για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο, χρειάζεται να τροποποιηθεί η συνθήκη διακοπής του αλγορίθμου ως εξής: Αντί να ολοκληρώνεται ο αλγόριθμος την πρώτη φορά που τα έσοδα ενός AP μειωθούν, να συνεχίζεται μέχρι το σημείο που τα έσοδα όλων των APs αποκλείεται να αυξηθούν περαιτέρω. Η κατάσταση αυτή, αντιστοιχεί σε εκείνη την τιμή ισχύος εκπομπής για όλα τα APs για την οποία κανένας από τους χρήστες που έχουν συνδεθεί σε αυτά δεν υφίσταται παρεμβολές από κάποιο AP. Από την κατάσταση αυτή και μετά, περαιτέρω μείωση της ισχύος εκπομπής δεν είναι δυνατό να οδηγήσει σε αύξηση των εσόδων των APs, αφενός γιατί αποκλείεται να μπορέσουν να αποκτήσουν κάποιον επιπλέον χρήστη (γιατί δεν ανήκει στην περιοχή κάλυψής τους αν άνηκε, θα του προκαλούσαν παρεμβολές), αφετέρου επειδή δεν υπάρχει η δυνατότητα να αυξήσουν τα έσοδά τους από τους υπάρχοντες χρήστες που έχουν συνδεθεί με αυτά (εφόσον Ευάγγελος Γ. Δούρος 18

19 κανένας από αυτούς δε δέχεται παρεμβολές από κάποιο AP που θα μπορούσαν να εξαλειφθούν με πιθανή μείωση της ισχύος εκπομπής). Στη συνέχεια, ακολουθείται η εξής διαδικασία: Α) Από το σύνολο των δυνατών καταστάσεων ταυτόχρονης ισχύος εκπομπής όλων των APs, κάθε AP υπολογίζει εκείνη την κατάσταση που μεγιστοποιεί τα έσοδά του, ανεξαρτήτως των εσόδων που αντιστοιχούν στα υπόλοιπα APs. B) Εντοπίζεται εκείνη η τιμή ισχύος εκπομπής, για την οποία το άθροισμα των ποσοστιαίων απωλειών που έχουν τα APs από τις μέγιστες τιμές των εσόδων τους είναι το ελάχιστο. Με άλλα λόγια, ο αλγόριθμος προσπαθεί να κατανείμει τις ποσοστιαίες απώλειες των εσόδων των APs από τις μέγιστες δυνατές τιμές τους, ώστε αυτές να είναι αθροιστικά οι ελάχιστες δυνατές. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στην περίπτωση κατά την οποία τα ολικά μέγιστα όλων των APs της τοπολογίας αντιστοιχούν στην ίδια τιμή της ισχύος εκπομπής, τότε οι αθροιστικές ποσοστιαίες απώλειες είναι %. Σε αυτή την περίπτωση, η εφικτή λύση που προκύπτει από τον αλγόριθμο συμπίπτει με τη θεωρητικά βέλτιστη λύση που αντιστοιχεί στην εξιδανικευμένη κατάσταση όπου τα έσοδα των APs μεγιστοποιούνται στην ίδια τιμή της ισχύος εκπομπής (που αποτελεί το κριτήριο για την εύρεση της λύσης του αλγόρίθμου). Εφιστούμε την προσοχή στο γεγονός ότι ο αλγόριθμος BestMax δεν ελαχιστοποιεί τις αθροιστικές απώλειες που έχουν τα APs, αλλά τις αθροιστικά ποσοστιαίες απώλειες. Ο λόγος είναι ότι, όπως είχαμε αναφέρει στο εδάφιο 3.1, θεωρούμε ότι κάθε AP ανήκει σε διαφορετικό ιδιοκτήτη. Ως εκ τούτου, ο βασικός μας στόχος δεν είναι η βελτίωση της κοινωνικής ευημερίας (social welfare) αλλά η βελτίωση της κοινωνικής δικαιοσύνης (social fairness), δηλ. οι απώλειες να κατανεμηθούν πρωτίστως δίκαια σε όλα τα APs και δευτερευόντως η αθροιστική μεγιστοποίηση των εσόδων των APs. Η αθροιστική μεγιστοποίηση των εσόδων των APs θα μας ενδιέφερε πρωτίστως (και αποκλειστικώς) στην περίπτωση κατά την οποία όλα τα APs ανήκαν στον ίδιο ιδιοκτήτη. Ως εκ τούτου, εκεί ο στόχος μας δεν πρέπει να είναι η όσο το δυνατόν περισσότερο ομοιόμορφη (αναλογική) κατανομή των εσόδων κάθε AP, αλλά η μεγιστοποίηση των συνολικών εσόδων του ιδιοκτήτη. Η μελέτη αλγορίθμων για την περίπτωση που όλα τα APs ανήκουν σε έναν ιδιοκτήτη παρατίθεται στο επόμενο κεφάλαιο της εργασίας. Ας δούμε τη διαφορά όσων περιγράφονται παραπάνω με τη βοήθεια ενός παραδείγματος: Έστω ότι τα μέγιστα έσοδα του AP 1 είναι 1$, ενώ του AP 2 5$. Φυσικά, αντί για $, μπορεί να Ευάγγελος Γ. Δούρος 19

20 χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε μονάδα χρηματικής μέτρησης (η πρόκριση χρήσης υπαρκτής νομισματικής μονάδας, έναντι του όρου «χρηματική μονάδα» έγινε -μόνο και μόνο- για λόγους παρουσίασης). Επιπλέον, για μια ισχύ εκπομπής Α τα έσοδα των 2 APs κατανέμονται ως εξής: (AP 1, AP 2 )=(99$, 3$), ενώ για μια ισχύ εκπομπής Β (AP 1, AP 2 )=(7$, 49$). Είναι προφανές ότι τα συνολικά έσοδα στη θέση Α είναι μεγαλύτερα από αυτά της θέσης Β. Όμως, η θέση Α απέχει 1% + 4%= 41% από τα μέγιστα έσοδα των APs, ενώ η Β απέχει 3% + 2% = 32%. Συνεπώς, σύμφωνα με τον αλγόριθμο BestMax, θα επιλεγεί η κατάσταση Β (και ορθώς γιατί είναι μια πιο δίκαιη λύση από την Α). 3.6 Σύγκριση Εσόδων Αλγορίθμων FirstMax και BestMax Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε εποπτικά τα έσοδα που αντιστοιχούν στα APs μετά την εφαρμογή των αλγορίθμων FirstMax και BestMax. Με τη βοήθεια των ακόλουθων διαγραμμάτων, θα προσπαθήσουμε να δικαιολογήσουμε τις επιδόσεις τους. Οι εικόνες 3.5 και 3.6 αντιστοιχούν σε γραφικές παραστάσεις των εσόδων 2 APs (με τα επιμέρους χαρακτηριστικά των APs, καθώς και των ακολουθούμενων συμβολισμών να είναι αντίστοιχα με όσα ορίστηκαν στο εδάφιο 3.4). Έχουν σημειωθεί οι τιμές της ισχύος εκπομπής τις οποίες επιλέγουν οι αλγόριθμοι FirstMax και BestMax. Παρατηρώντας την εικόνα 3.5, διαπιστώνουμε ότι ο αλγόριθμος FirstMax σταμάτησε σε αρκετά αρχικό σημείο (απόρροια της εύρεσης του 1 ου τοπικού μεγίστου για τα έσοδα του AP 1 ). Το γεγονός αυτό, οδήγησε σε αρκετά χαμηλά έσοδα για τα 2 APs (περί τα 2$). Όπως είναι προφανές από το διάγραμμα, υπάρχουν μια πλειάδα καλύτερων σημείων (δηλ. τιμών της ισχύος εκπομπής) στις οποίες τα έσοδα των 2 APs είναι σημαντικά υψηλότερα. Από την άλλη μεριά, η εφαρμογή του αλγορίθμου BestMax οδηγεί σε μια λύση που αντιστοιχεί στη μεγιστοποίηση των εσόδων και των 2 APs, εφόσον τυγχάνει να συμπίπτει η τιμή της ισχύος εκπομπής για την οποία μεγιστοποιούνται τα έσοδά τους. Φυσικά, αυτή η περίπτωση δεν είναι πάντα ο κανόνας, οπότε ο BestMax θα έβρισκε - απλώς- τη λύση που ελαχιστοποιεί (αλλά όχι μηδενίζει) τις αθροιστικές ποσοστιαίες απώλειες από τα μέγιστα έσοδα των 2 APs. Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση της εικόνας 3.6, όπου το σημείο που επιλέγει ο αλγόριθμος FirstMax (~55$ για το AP 1, ~28$ για το AP 2 ) που αντιστοιχεί και στο ολικό μέγιστο για το AP 1, έχει αθροιστικά μεγαλύτερες ποσοστιαίες απώλειες από το σημείο που καταλήγει ο αλγόριθμος BestMax (~45$ για το AP 1, ~5$ για το AP 2 ) που αντιστοιχεί και στο ολικό μέγιστο για το AP 2 και οδηγεί και σε αθροιστικά μεγαλύτερα έσοδα σε σχέση με τον FirstMax. Ευάγγελος Γ. Δούρος 2

21 Income for each AP INCOME AP1 INCOME AP2 FIRSTMAX:INCOME AP1 FIRSTMAX:INCOME AP2 BESTMAX:INCOME AP1 BESTMAX:INCOME AP2 Income for each AP INCOME AP1 INCOME AP2 FIRSTMAX: INCOME AP1 FIRSTMAX: INCOME AP2 BESTMAX: INCOME AP1 BESTMAX: INCOME AP Power for each AP Power for each AP Εικόνα 3.5: Σύγκριση Εσόδων APs μετά την εφαρμογή FirstMax και BestMax στην ίδια τοπολογία Εικόνα 3.6: Σύγκριση Εσόδων APs μετά την εφαρμογή FirstMax και BestMax στην ίδια τοπολογία Ας προσπαθήσουμε τώρα, με τη βοήθεια των εικόνων , να ερμηνεύσουμε τις διαφορετικές τιμές στα έσοδα στις οποίες καταλήγουν οι αλγόριθμοι FirstMax και BestMax. Στην εικόνα 3.7 παρουσιάζονται τα αρχικά έσοδα των APs, όπως αυτά προκύπτουν μετά την εκπομπή όλων με τη μέγιστη δυνατή ισχύ. Στην εικόνα 3.8, αποτυπώνονται οι θέσεις των χρηστών και τα έσοδα των APs, μετά την εφαρμογή του αλγορίθμου FirstMax. Συγκρίνοντας τις συνοδευτικές ετικέτες στις δύο εικόνες, διαπιστώνουμε ότι συμπίπτουν σχεδόν πλήρως. Η μόνη διαφορά έγκειται στην ακτίνα κάλυψης των APs που είναι πλέον 146m. (έναντι 15m. που ήταν στην αρχική κατάσταση). Αυτό σημαίνει ότι ο αλγόριθμος FirstMax δεν οδήγησε σε καλύτερα αποτελέσματα από την εκπομπή όλων στο Pmax (απλώς προσέφερε μερική μείωση των λειτουργικών εξόδων, απόρροια της μείωσης της ισχύος εκπομπής για κάθε AP). Ο λόγος για τον οποίο στο σημείο αυτό αντιστοιχεί τοπικό μέγιστο (ως εκ τούτου οδηγεί στη διακοπή του αλγορίθμου) είναι γιατί ο κάτω αριστερά χρήστης του AP 1 έχει φτάσει στα όρια της περιοχής κάλυψης και στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου δε θα μπορεί να εξυπηρετηθεί από το AP 1, χωρίς να προκύψει κάποια βελτίωση των εσόδων του μέσω απόκτησης κάποιου καινούργιου χρήστη ή εξάλειψη των παρεμβολών για κάποιον από τους ήδη συνδεδεμένους χρήστες. Ως εκ τούτου, σίγουρα θα μειωθούν τα έσοδά του. Ευάγγελος Γ. Δούρος 21

22 Εικόνα 3.7: Εφαρμογή Pmax Εικόνα 3.8: Εφαρμογή FirstMax Εικόνα 3.9: Εφαρμογή BestMax Εικόνα 3.1: Παράλληλη Εφαρμογή FirstMax-BestMax Στην εικόνα 3.9, αποτυπώνονται οι θέσεις των χρηστών και τα έσοδα των APs μετά την εφαρμογή του αλγορίθμου BestMax. Παρατηρούμε ότι τα έσοδα για το AP 1 έχουν αυξηθεί από 17$ σε 91$ ενώ του AP 2 από 53$ σε 13$. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι οι χρήστες που εξυπηρετούνται από τα 2 APs έχουν πλέον μειωθεί σημαντικά (από 1 που ήταν στις προηγούμενες καταστάσεις, έχουν μείνει μόνο 5). Το ερώτημα που γεννιέται είναι αν και πώς δικαιολογείται το «οξύμωρο σχήμα» η μείωση των χρηστών να συνεπάγεται σημαντική αύξηση των εσόδων και των 2 APs. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, πρέπει να τοποθετήσουμε τις εικόνες 3.8 και 3.9, στο ίδιο διάγραμμα (εικόνα 3.1). Στο διάγραμμα αυτό, οι δύο μεγάλοι κύκλοι (ο μπλε και ο κόκκινος) αντιστοιχούν στα AP 1 και AP 2 αντίστοιχα μετά την εφαρμογή του αλγορίθμου FirstMax. Με τα ίδια χρώματα συμβολίζονται και οι χρήστες που έχουν συνδεθεί σε αυτά. Με τον ίδιο τρόπο, αλλά με τα χρώματα ροζ και μαύρο, συμβολίζονται τα APs και οι χρήστες που έχουν συνδεθεί στα AP 1 και AP 2 μετά την εφαρμογή του αλγορίθμου BestMax. Ευάγγελος Γ. Δούρος 22

23 Σε ό,τι αφορά το AP 1, παρατηρούμε ότι ο αλγόριθμος BestMax έχει διαφοροποιηθεί σε σχέση με τον αλγόριθμο FirstMax κατά ένα χρήστη. Ο νέος χρήστης στον BestMax βρίσκεται πολύ κοντά στο κέντρο του AP 1 και επιπλέον δε δέχεται παρεμβολές από το AP 2 (μαύρος κύκλος). Ως εκ τούτου, και βάσει των εξισώσεων (3.1) και (3.2) -που ορίστηκαν στο εδάφιο 3.2- διαπιστώνουμε ότι αποφέρει σημαντικά περισσότερα έσοδα από το χρήστη που βρίσκονταν στα όρια της περιοχής κάλυψής του, μετά την εφαρμογή του FirstMax (μπλε κύκλος, κάτω αριστερά χρήστης). Σε ό,τι αφορά το AP 2, παρατηρούμε ότι ο αλγόριθμος BestMax έχει διαφοροποιηθεί σε σχέση με τον αλγόριθμο FirstMax κατά πέντε χρήστες. Πρόκειται για τους χρήστες που συμβολίζονταν με κόκκινο x και στον αλγόριθμο BestMax δεν αποτυπώνονται με μαύρο o. Παρατηρούμε όμως ότι οι χρήστες αυτοί βρίσκονταν αρκετά μακριά από το κέντρο του AP 2, ως εκ τούτου δεν πρόσφεραν σημαντικά έσοδα σε αυτό. Το όφελος που έχει το AP 2 κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου BestMax είναι ότι οι δύο δεξιότεροι χρήστες του, δε δέχονται πλέον παρεμβολές από το AP 1 (ροζ κύκλος). Ως εκ τούτου, το γεγονός ότι μπορεί πλέον να εξυπηρετεί δύο χρήστες που βρίσκονται κοντά σε αυτό χωρίς να δέχονται παρεμβολές, είναι οικονομικά επικερδέστερο από το να εξυπηρετεί 5 επιπλέον χρήστες που βρίσκονται μακριά από αυτό χωρίς να δέχονται παρεμβολές ενώ ταυτόχρονα οι 2 πλέον κοντινοί του χρήστες να δέχονται παρεμβολές (περίπτωση εφαρμογής του FirstMax). Από όλα τα παραπάνω, καθίσταται σαφές ότι ο στόχος για τα APs είναι να εξυπηρετούν καλύτερα (δηλ. να δέχονται λιγότερες ή καθόλου παρεμβολές) τους χρήστες που βρίσκονται πιο κοντά σε αυτά, παρά να εξυπηρετούν περισσότερους χρήστες αλλά να δέχονται παρεμβολές εκείνοι που μπορούν να τους αποφέρουν μεγαλύτερα έσοδα. Επιπλέον, είναι προφανές ότι τα APs (και πιο συγκεκριμένα, οι ιδιοκτήτες τους) δεν πρέπει να «φοβηθούν» από πρόσκαιρη μείωση των εσόδων τους, όσο μειώνεται η ισχύς εκπομπής τους. Αποδεικνύεται ότι η παροδική αυτή μείωση λειτουργεί προς όφελός τους, εφόσον μπορούν να αυξήσουν σημαντικά τα έσοδά τους εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο BestΜax. 3.7 Αλγόριθμος Εύρεσης του «πιο Δίκαιου Μεγίστου» (FairMax) Ας υποθέσουμε ότι σε κάποια εφαρμογή του αλγορίθμου BestMax προέκυψε ότι η κατάσταση με τις μικρότερες ποσοστιαίες απώλειες για τα 2 APs (που είναι τα μοναδικά της τοπολογίας) είναι αυτή που οδηγεί σε 5% απώλειες από τα μέγιστα έσοδα για το AP 1 και 25% απώλειες από τα Ευάγγελος Γ. Δούρος 23

24 μέγιστα έσοδα για το AP 2. Το ερώτημα που γεννιέται είναι αν υπάρχει κάποια άλλη κατάσταση που, θυσιάζοντας την απαίτησή μας τα APs να έχουν αθροιστικά τις μικρότερες δυνατές ποσοστιαίες απώλειες, να οδηγούσε σε μια πιο δίκαιη (εξισορροπημένη) κατανομή των ποσοστιαίων απωλειών για τα APs. O αλγόριθμος FairMax προτείνει τα ακόλουθα βήματα για τον εντοπισμό μιας πιο δίκαιης λύσης: Α) Εντόπισε μια πιο δίκαιη λύση, υπό την προϋπόθεση ότι αυτή οδηγεί σε αθροιστικές ποσοστιαίες απώλειες μέχρι 5% περισσότερο από αυτές του BestMax. Β) Το AP που έχει τις μεγαλύτερες απώλειες με την εφαρμογή του BestMax, θα έχει υποχρεωτικά μικρότερες απώλειες από πριν, μετά την εφαρμογή του FairMax. Γ) Δεδομένων των Α) και Β), εύρεση εκείνης της τιμής ισχύος εκπομπής για την οποία η διαφορά των ποσοστιαίων απωλειών των APs είναι η ελάχιστη. Σχολιάζοντας τις προϋποθέσεις του αλγορίθμου, οφείλουμε να επισημάνουμε τα εξής: Η προϋπόθεση Α έχει υιοθετηθεί για να υπάρχει ένα σημαντικό κριτήριο αποδοτικότητας του αλγορίθμου. Δεν επιθυμούμε απλώς μια δίκαιη λύση, η οποία μπορεί να οδηγεί σε εξαιρετικά σημαντικές απώλειες για τα APs σε σύγκριση με τον αλγόριθμο BestMax (επειδή σε αυτή την περίπτωση, δε θα ήταν συμφέρουσα για τους ιδιοκτήτες των APs). Η προϋπόθεση Β σχετίζεται με την εξής παρατήρηση: Αν για το παράδειγμα της πρώτης παραγράφου της ενότητας υπάρχει μια τιμή της ισχύος εκπομπής για την οποία το AP 1 έχει απώλειες της τάξης του 22% και το AP 2 απώλειες της τάξης του 3%, τότε αυτή είναι πολύ πιο δίκαιη λύση από αυτή που προκύπτει από την εφαρμογή του BestMax, καθόσον η διαφορά των απωλειών τους είναι μόλις 8%, ενώ πριν ήταν 2%. Ωστόσο, ο ιδιοκτήτης του AP 2 δεν έχει κανένα λόγο να προτιμήσει αυτή τη λύση, σε σχέση με αυτήν του BestMax, εφόσον ο ίδιος (που ήταν ο πιο αδικημένος από τον προηγούμενο αλγόριθμο) θα έχει ακόμη μεγαλύτερες απώλειες σε σχέση με τα μέγιστα έσοδά του. 3.8 Αλγόριθμος Εύρεσης του «Αυστηρά πιο Δίκαιου Μεγίστου» (StrictFairMax) Ο αλγόριθμος StrictFairMax αποτελεί μια μικρή παραλλαγή του αλγορίθμου FairMax. Η διαφοροποίηση έγκειται στην προϋπόθεση Β του FairMax, η οποία αναδιατυπώνεται ως εξής: Ευάγγελος Γ. Δούρος 24

25 Β) Όλα τα APs θα έχουν μικρότερες απώλειες από το AP που έχει τις μεγαλύτερες απώλειες μετά την εφαρμογή του BestMax. Είναι σαφές ότι η παραλλαγή αυτή σχετίζεται με την περίπτωση όπου οι ιδιοκτήτες των APs είναι λιγότερο συνεργάσιμοι (αλτρουιστές) σε σχέση με πριν και θέλουν να εξασφαλίσουν ότι οι απώλειες των εσόδων τους δε θα είναι μεγαλύτερες από τις μέγιστες απώλειες που είχε κάποιος ιδιοκτήτης μετά την εφαρμογή του BestMax. Για να γίνουν αντιληπτά τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορεί να οδηγήσουν οι BestMax, FairMax και StrictFairMax, ας θυμηθούμε το παράδειγμα της προηγούμενης ενότητας: Μετά την εφαρμογή του BestMax, οι απώλειες από τα μέγιστα έσοδα για τα AP 1 και AP 2 κατανέμονται ως εξής: (5%, 25%). Η εφαρμογή του FairMax μπορεί να οδηγήσει στη λύση (26%, 17%), η οποία είναι αποδεκτή γιατί: ι) 26%+17%=43%<45% [προϋπόθεση Α] ιι) 17%<25% [προϋπόθεση Β] ιιι) 26%-17%=9%<25-5%=2% [προϋπόθεση Γ] Η εφαρμογή του StrictFairMax μπορεί να οδηγήσει στη λύση (1%, 23%), η οποία είναι αποδεκτή γιατί: ι) 1%+23%=33%<45% [προϋπόθεση Α] ιι) 1%<25% και 23%<25% [προϋπόθεση Β] ιιι) 23%-1%=13%<25-5%=2% [προϋπόθεση Γ] Επισημαίνουμε ότι ο αλγόριθμος FairMax μπορεί να οδηγήσει σε μια πιο δίκαιη λύση από τον StrictFairMax (μικρότερη διαφορά απωλειών), με το τίμημα ότι ένας ιδιοκτήτης μπορεί να έχει μεγαλύτερες απώλειες εσόδων από τις μέγιστες απώλειες που είχε κάποιος ιδιοκτήτης μετά την εφαρμογή του BestMax. Αξίζει τέλος να τονιστεί ότι στην περίπτωση κατά την οποία η λύση του αλγορίθμου BestMax συμπίπτει με αυτήν του FairMax -δηλ. δεν υπάρχει μια πιο δίκαιη λύση, βάσει των προϋποθέσεων Α) και Β), τότε σίγουρα θα συμπίπτει και η λύση του StrictFairMax. Αυτό ισχύει επειδή ο StrictFairMax είναι μια «αυστηρότερη» παραλλαγή του FairMax, με την έννοια του ότι το σύνολο τιμών των αποδεκτών λύσεών του είναι υποσύνολο των λύσεων του FairMax. Ως εκ Ευάγγελος Γ. Δούρος 25

26 τούτου, δεν μπορεί να πετύχει δικαιότερη λύση από αυτήν που θα εντοπίσει ο αλγόριθμος FairMax. 3.9 Περιγραφή Μεθοδολογίας Προσομοιώσεων για την Αποτίμηση της Επίδοσης των Αλγορίθμων Πραγματοποιήθηκαν προσομοιώσεις για 2 και 3 APs, τα οποία τοποθετήθηκαν όπως φαίνεται στην εικόνα Η τοπολογία των 2 APs χρησιμοποίησε τα AP 1 και AP 2, τα οποία έχουν ίδιες τεταγμένες και χρησιμοποιούν την ίδια ακτίνα κάλυψης. Επίσης, χρησιμοποιήθηκε τοπολογία 3 APs, οι συντεταγμένες των οποίων σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο στη γεωγραφική περιοχή που καλύπτουν. Οι χρήστες (στα πλαίσια της προσομοίωσης ήταν 1 ή 3 ή 5 ή 1) τοποθετούνταν στο χώρο, ακολουθώντας ομοιόμορφη κατανομή. Η κινητικότητα των χρηστών θεωρείται περιορισμένη κατά τη διάρκεια εκτέλεσης των προσομοιώσεων, ακολουθώντας το πρότυπο quasi-static, σύμφωνα με το οποίο οι χρήστες κινούνται ελεύθερα, αλλά ως επί το πλείστον τείνουν να παραμένουν σε μια περιοχή για μεγάλα χρονικά διαστήματα [11]. Η υπόθεση αυτή είναι συμβατή με προηγούμενες μελέτες σχετικές με την κινητικότητα των χρηστών σε ασύρματα δίκτυα [12]. Επίσης, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν αφίξεις ή εθελοντικές αποχωρήσεις χρηστών κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης των πειραμάτων. Με άλλα λόγια, όλοι οι χρήστες εμφανίζονται την ίδια χρονική στιγμή στην τοπολογία (στιγμή έναρξης του αλγορίθμου), ενώ εξυπηρετούνται από κάποιο AP το μέγιστο δυνατό διάστημα που είναι εφικτό. Τα προγραμματιστικά περιβάλλοντα που χρησιμοποιήθηκαν ήταν η γλώσσα C και το Matlab. Για καθέναν από τους δυνατούς συνδυασμούς πλήθους APs (2 ή 3) και πλήθους χρηστών (1, 3, 5, 1) που υλοποιήθηκαν, διεξήχθησαν 1 προσομοιώσεις. Τέλος, η σταθερά c που ορίστηκε στην εξίσωση (3.1) είχε την τιμή 1 (για λόγους κανονικοποίησης των αποτελεσμάτων). Εικόνα 3.11: Τοπολογία Προσομοιώσεων Ευάγγελος Γ. Δούρος 26

27 3.1 Δύο APs: Σύγκριση Επιδόσεων BestMax, FairMax, StrictFairMax Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη των επιδόσεων των αλγορίθμων, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των σχημάτων BestMax, FairMax και StrictFairMax όταν εφαρμόζονται στο ίδιο πείραμα για τα διάφορα πλήθη χρηστών που μελετήσαμε. Μέσω της εικόνας 3.12, θέλουμε να εξετάσουμε την πιθανότητα τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή των αλγορίθμων να είναι διαφορετικά. Η μπλε στήλη αντιστοιχεί στην πιθανότητα ένας τουλάχιστον από τους αλγορίθμους FairMax και StrictFairMax να διαφέρει από τον BestMax. Διαπιστώνουμε ότι η πιθανότητα αυτή είναι εξαιρετικά μικρή και κυμαίνεται από ~5% όταν είναι 1 χρήστες στην τοπολογία έως ~15% όταν είναι 1 χρήστες στην τοπολογία. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι σε ένα ποσοστό από ~85% έως ~95% οι λύσεις των τριών αλγορίθμων συμπίπτουν! Επίσης, οι τρεις επόμενες στήλες (γαλάζια, κίτρινη, καφέ) εξετάζουν τις πιθανές τιμές που θα έχει ο αλγόριθμος StrictFairMax, δεδομένου ότι ο FairMax διαφέρει από τον BestMax. Υπενθυμίζεται ότι, όπως αναλύθηκε στην ενότητα 3.8, αν οι δύο παραπάνω αλγόριθμοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, τότε σίγουρα και ο StrictFairMax θα συμπίπτει με αυτούς. Η καφέ στήλη, δηλ. η πιθανότητα όλοι οι αλγόριθμοι να καταλήγουν σε διαφορετικό αποτέλεσμα για το ίδιο σενάριο προσομοίωσης είναι της τάξεως του.1%. Οπότε, ο αλγόριθμος StrictFairMax συμπίπτει πρακτικά πάντα με έναν από τους FairMax και BestMax. Από την παραπάνω ανάλυση, γίνεται σαφές ότι η σύγκριση των επιδόσεων του BestΜax σε σχέση με την εκπομπή όλων των APs στη μέγιστη δυνατή ισχύ, είναι απολύτως αρκετή για να περιγράψει και τις επιδόσεις των σχημάτων FairMax και StrictFairMax. Συνεπώς, στα επόμενα εδάφια (αλλά και κεφάλαια), δε θα παρατίθενται διαγράμματα που αφορούν τους αλγορίθμους αυτούς, καθόσον οι επιδόσεις τους είναι πρακτικά όμοιες με αυτές του BestMax % Prob. ALG1<>ALG2 ALG1<>ALG3 % Prob. ALG1<>ALG2 && ALG1=ALG3 % Prob. ALG1<>ALG2 && ALG2=ALG3 % Prob. ALG1<>ALG2 && ALG2<>ALG # Users Εικόνα 3.12: % Διαφοροποίηση Αποτελεσμάτων BestMax FairMax- StrictFairMax Ευάγγελος Γ. Δούρος 27

28 3.11 Δύο APs: Μέση % Βελτίωση Επιδόσεων FirstMax vs Pmax, BestMax vs Pmax Με τη βοήθεια της εικόνας 3.13, θα συγκρίνουμε τις μέσες ποσοστιαίες βελτιώσεις που προκαλούνται αν εφαρμόσουμε τους αλγορίθμους FirstMax και BestMax αντί της εκπομπής όλων των APs στη μέγιστη δυνατή ισχύ. Διαπιστώνουμε ότι ο αλγόριθμος BestMax οδηγεί σε σημαντικά μεγαλύτερα έσοδα από τον Pmax, εφόσον τα έσοδα κάθε AP αυξάνονται κατά μέσο όρο από 25% έως 6% (ανάλογα με το πλήθος χρηστών που υπάρχουν στην τοπολογία)! Από την άλλη μεριά, η μέση ποσοστιαία αύξηση ανά AP μετά την εφαρμογή του FirstMax είναι πολύ μικρότερη (1% με 7%) και επιπλέον είναι αξιόλογη μόνο στην περίπτωση που το πλήθος των χρηστών της τοπολογίας είναι 1. Συνεπώς, από την εικόνα αυτή, είναι σαφής η συντριπτική υπεροχή του αλγορίθμου BestMax έναντι του FirstMax, επιβεβαιώνοντας τις παρατηρήσεις στις οποίες είχαμε προχωρήσει στις προηγούμενες ενότητες για τα οφέλη που προκύπτουν από την υιοθέτησή του. 6 5 % Average Improvement # Users Εικόνα 3.13: Μέση % Βελτίωση των FirstMax-BestMax 3.12 Δύο APs: Στατιστική Κατανομή Επιδόσεων FirstMax vs Pmax, BestMax vs Pmax Ενδιαφερόμαστε να εξετάσουμε πώς κατανέμεται η μέση ποσοστιαία αύξηση των εσόδων για καθένα από τα APs στα διάφορα πειράματα που πραγματοποιήθηκαν. Με άλλα λόγια, εκτιμούμε ότι είναι μείζονος σημασίας η επιπλέον γνώση της πιθανότητας ένα μεμονωμένο σενάριο να αντιστοιχεί σε ένα ποσοστό κέρδους. Για την απόκτηση της πληροφορίας αυτής, δεν Ευάγγελος Γ. Δούρος 28

29 αρκεί η χρησιμοποίηση της μέσης τιμής, αλλά χρειάζεται να μελετήσουμε την αθροιστική συνάρτηση κατανομής της ποσοστιαίας αύξησης των εσόδων. Ο λόγος για τον οποίο εισάγουμε τη μετρική αυτή, είναι επειδή η αποκλειστική χρήση της μέσης τιμής ως στατιστικού μεγέθους της σύγκρισης της αξιοπιστίας αλγορίθμων δεν είναι πάντοτε ασφαλής, εφόσον μπορεί να τυγχάνει οι τιμές των αποτελεσμάτων να έχουν μεγάλη διασπορά. Αυτό σημαίνει ότι ένας αλγόριθμος μπορεί να προκαλεί κατά μέσο όρο μεγάλες βελτιώσεις, οι οποίες να οφείλονται σε ένα μικρό ποσοστό των πειραμάτων του, ενώ η πλειονότητα αυτών να αντιστοιχεί σε πολύ μικρά ή μηδενικά (ακόμη-ακόμη και αρνητικά) οφέλη. Ορίζουμε πέντε κατηγορίες καταστάσεων που μας ενδιαφέρουν: Καταρχήν, εξετάζουμε την πιθανότητα οι αλγόριθμοι FirstMax ή BestMax να οδηγούν σε αποτέλεσμα στο οποίο τα έσοδα ενός εκ των δύο APs να μειωθούν σε σχέση με τα έσοδά του από την εκπομπή όλων με τη μέγιστη δυνατή ισχύ. Επισημαίνουμε ότι αυτό είναι το χειρότερο δυνατό σενάριο που μπορεί να συμβεί. Η πιθανότητα τα έσοδα και των 2 APs να είναι μικρότερα από αυτά της αρχικής κατάστασης, μετά την εφαρμογή των FirstMax ή BestΜax, είναι εξ ορισμού. Το αμέσως χειρότερο σενάριο είναι η εφαρμογή των αλγορίθμων FirstMax ή BestΜax να οδηγήσει στα ίδια ακριβώς έσοδα για τα 2 APs με αυτά της αρχικής τους κατάστασης. Από εκεί και πέρα, εξετάζουμε την πιθανότητα τα έσοδα και των 2 APs να αυξηθούν λίγο (μέχρι 25%) μετά την εφαρμογή των αλγορίθμων, να αυξηθούν πολύ (τουλάχιστον 5%) και να αυξηθούν πάρα πολύ (τουλάχιστον 1%, δηλ. τουλάχιστον να διπλασιαστούν). Επισημαίνουμε ότι μας ενδιαφέρουν οι καταστάσεις που έχουν ταυτόχρονα μικρά ή μεγάλα ή πολύ μεγάλα κέρδη και για τα 2 APs της τοπολογίας, καθόσον έχουμε υποθέσει ότι αυτά ανήκουν σε διαφορετικούς ιδιοκτήτες. Ως εκ τούτου, έχει μεγαλύτερη σημασία να εξετάσουμε πότε τα οφέλη τους από την εφαρμογή των αλγορίθμων είναι παράλληλα μικρά ή μεγάλα ή πολύ μεγάλα και όχι τα μεμονωμένα κέρδη που μπορεί να έχει ο ένας από τους δύο ιδιοκτήτες, ανεξαρτήτως των επιδόσεων του άλλου. Βάσει της άνω διατυπωμένης θεώρησης, παρουσιάζουμε τις πιθανότητες εμφάνισης καθεμιάς από τις παραπάνω καταστάσεις για τα διαφορετικά πλήθη χρηστών της τοπολογίας με τη βοήθεια των εικόνων 3.14 έως Ευάγγελος Γ. Δούρος 29