ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων. Στη υνέχεια και πριν δώουµε πολύ επιγραµµατικά τις βαικές χέεις που α- ναφέρονται ένα πεδίο που αναπτύεται ένα αγώγιµο µέο και οφείλεται την ύπαρξη κινούµενων φορτίων, ειάγουµε την έννοια του ηλεκτρικού ρεύµατος και της πυκνότητας ρεύµατος. Η πυκνότητα ρεύµατος J, αν N είναι ο αριθµός των φορτίων (ωµατιδίων) ανά µονάδα όγκου, q η τιµή του φορτίου κάθε ωµατιδίου και υ η κοινή ταχύτητα των N ω- µατιδίων, ορίζεται από τη χέη J = Nq υ (5.) Αν έχουµε υνεχή κατανοµή φορτίων, µε χωρική πυκνότητα ρ, η (5,) γράφεται ως J = ρυ (5.) Το ηλεκτρικό ρεύµα δια µιας επιφάνειας S, που εκφράζει το υνολικό φορτίο που διέρχεται από την επιφάνεια αυτή τη µονάδα του χρόνου, δίνεται από τη χέη 4

2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ dq = = d dt J S (5.3) S 5. Εξίωη της υνέχειας Σύµφωνα µε την αρχή της διατήρηης του φορτίου, αν Q είναι το υνολικό φορτίο µέα έναν όγκο V, οποιαδήποτε χρονική µεταβολή του φορτίου Q είναι ίη µε τη ροή του ηλεκτρικού ρεύµατος δια της επιφάνειας S που περικλείει τον όγκο V, ιχύει δηλαδή η ρdv = d t V J S (5.4) S Με εφαρµογή του θεωρήµατος του Gauss (ή του Green) το δεύτερο µέλος της (5.4), έχουµε ρ dv + dv = V t J (5.5) V Από την (5.5), που ιχύει για οποιονδήποτε όγκο V, προκύπτει η ρ J + =, (5.6) t που είναι γνωτή ως εξίωη της υνέχειας. Στις µόνιµες κατατάεις όπου όλα τα µεγέθη είναι χρονικά αµετάβλητα, η (5.6) καταλήγει την J =, (5.7α) που αποτέλει τη διαφορική διατύπωη του νόµου του Kirchhoff. Από την (5.7α) µε ολοκλήρωη τον όγκο V και εφαρµογή του θεωρήµατος του Gauss, προκύπτει η d S =, (5.7β) J S που αποτελεί την ολοκληρωτική διατύπωη του νόµου του Kirchhoff και εκφράζει ότι το ρεύµα που ειέρχεται τον όγκο V από την επιφάνεια S είναι ίο µε το ρεύµα που εξέρχεται από την S. 4

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Νόµος του Ohm Aν είναι η ειδική αγωγιµότητα ενός µέου, η χέη J = E, (5.8) αποτελεί τη ηµειακή διατύπωη του νόµου του Ohm. Η άλλη διατύπωη του ίδιου νόµου, βαίζεται την έννοια της αντίταης (ή αγωγι- µότητας) µεταξύ δύο ηλεκτροδίων ένα µέο µε αγωγιµότητα. Σύµφωνα µε τη διατύπωη αυτή, αν από ένα ηλεκτρόδιο εξέρχεται ένα ρεύµα που υλλέγεται από ένα άλλο η- λεκτρόδιο, τότε η αντίταη R µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων δίνεται από τη χέη (νόµος του Ohm) R = U /, (5.9) όπου U είναι η τάη (διαφορά δυναµικού) µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων. Με την ειαγωγή της ειδικής αντίταης ρ = / και της αγωγιµότητας G = / R, οι χέεις (5.8) και (5.9) γράφονται, αντίτοιχα, και µε τη µορφή J = E / ρ, (5.) και G = / U (5.) 5.4 Ηλεκτροτατική ιορροπία Έτω ένα οµογενές µέο µε ειδική αγωγιµότητα και διηλεκτρική ταθερά ε, το οποίο είναι διανεµηµένο ένα φορτίο µε χωρική πυκνότητα ρ. Η εξίωη της υνέχειας (5.6), επειδή ιχύει η D = ρ, (5.) δηλαδή, η ε E = ρ, (5.3) και ο νόµος του Ohm (5.8), γράφεται διαδοχικά ή ρ J = (5.4) t 43

4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ή ρ E = t (5.5) ρ = ε ρ t (5.6) Αν ρ (,, xyz) είναι η χωρική πυκνότητα κατά τη χρονική τιγµή t =, από την ο- λοκλήρωη της (5.6), έχουµε ρ t dρ ρ dt = t = ln ρ ln ρ = ln ρ = ρ e ε ρ ε ρ ρ όπου T = ε/, είναι η χρονική ταθερά χαλάρωης του µέου. t/ T, (5.7) 5.5 Ωµική αντίταη αγωγού τυχαίας διατοµής Σύµφωνα µε την (5.9), η αντίταη R ενός αγωγού τυχαίας διατοµής, µπορεί να γραφεί µε τη µορφή E dl E dl U () l () l R = = = J ds E ds, (5.8) S όπου U η διαφορά δυναµικού τα άκρα του αγωγού, το υνολικό ρεύµα δια του αγωγού, S οποιαδήποτε διατοµή του αγωγού και () l οποιοδήποτε δρόµος εντός του αγωγού που ενώνει τα δύο άκρα του. Η χωρητικότητα της διάταξης, αν ε είναι η διηλεκτρική ταθερά του υλικού του α- γωγού, ύµφωνα µε την (3.3), δίνεται από τη χέη S Q ε E ds S C = = U E d () l l (5.9) Από τις (5.8) και (5.9) προκύπτει η πολύ βαική χέη ε RC =, (5.) από την οποία υπολογίζεται η αντίταη όταν είναι γνωτή η χωρητικότητα και αντίτροφα. 44

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Σύµφωνα µε την (5.8), η αντίταη ενός αγωγού µήκους l και ταθερής διατοµής S δίνεται από τη γνωτή χέη 5.6 Πυκνωτές µε απώλειες l l R = = ρ (5.) S S Στη υνέχεια, και µε βάη τα προηγούµενα υµπεράµατα, χεδιάζουµε τα ιοδύνα- µα ( RC, ) κυκλώµατα µε τοιχεία, για µερικά απλά υτήµατα πυκνωτών που το διηλεκτρικό τους υλικό έχει ειδική αγωγιµότητα. (i) ε, R RC ε = C R (ii) ε, ε, C R C RC RC ε = ε = (iii) ε, ε, R R C C RC RC ε = ε = Σχήµα 5- Ως παράδειγµα, ας ζητήουµε να χεδιάουµε το ιοδύναµο ( RC, ) κύκλωµα για τη διάταξη του χήµατος 5-, που έχει βάθος ίο µε τη µονάδα και όπου ε ε3 = ε = ε = ε = ε. 8 =

6 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ l L 3 () ε () ε, L L A (3) ε 3 (4) ε 4 (5) ε, 5 B L (6) ε 6 (7) ε, 7 3 (8) ε 8 l l l 3 Σχήµα 5- Με βάη τα ιοδύναµα κυκλώµατα του χήµατος 5-, χεδιάζουµε το παρακάτω ζητούµενο ιοδύναµο κύκλωµα (χήµα 5-3), C R C R 5 A B C 3 C 4 R 7 C 5 C 6 C 8 C 7 Σχήµα 5-3 όπου C L L L3 = ε = ε, C = ε l + l, l + l3 R =, L 3 3 l l

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 C L L L l3 = ε = ε, C 5 = ε5, R5 l = L, L L C 6 = ε6 = ε, l l 3 3 l l C L 7 = ε7, R7 l 3 L 3 = l, L L C 8 = ε8 = ε l l Εξίωη Laplace και οριακές υνθήκες Από τις χέεις (.3), (5.7α) και (5.8) προκύπτει και για το µόνιµο πεδίο ροής η εξίωη Laplace φ = (5.) Αν φ είναι κάποια υνάρτηη που ικανοποιεί την εξίωη Laplace (5.) (ή την ι- οδύναµη ( φ) = ) και τις οριακές υνθήκες του θεωρούµενου προβλήµατος, τότε, η φ αποτελεί τη µία και µοναδική λύη του προβλήµατος. Ας θεωρήουµε, τη υνέχεια, δύο οµογενή, γραµµικά και ιότροπα µέα και, που διαχωρίζονται από µια επιφάνεια ee (χήµα 5-4). e (), ε J t J J n J n e e e E n E E t E n Et E e (α) Σχήµα 5-4 (β) Στην περίπτωη αυτή, εκτός από τις γνωτές οριακές υνθήκες E = E (5.3) t t και ιχύει και η D D = ρ, (5.4) n n s J = J, (5.5) n n 47

8 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ που εκφράζει τη υνέχεια της κάθετης υνιτώας της πυκνότητας του ρεύµατος πάνω τη διαχωριτική επιφάνεια. Από τις (5.3), (5.4) και το νόµο του Ohm, χέη (5.8), προκύπτει η υνθήκη για τις εφαπτοµενικές υνιτώες της πυκνότητας του ρεύµατος J J = (5.6) t t Επίης, οι (5.4) και (5.5) που µπορεί να γραφούν και ως ε E εe = ρ (5.7) n n s En En =, (5.8) οδηγούν τις εκφράεις E = E (5.9) n n και ρ s ε ε = E n (5.3) Οι (5.9) και (5.3) δίνουν, αντίτοιχα, την κάθετη υνιτώα E n της ένταης E και την πυκνότητα επιφανειακών φορτίων ρ s, αν υνάρτηη της κάθετης υνιτώας E n της ένταης E. Ας διακρίνουµε, τη υνέχεια, τις εξής δύο ειδικές περιπτώεις: (α) Το µέο είναι µονωτικό ( = ), ενώ το µέο αγώγιµο ( ). Στην περίπτωη αυτή, λόγω των (5.9) και (5.3), έχουµε και E n = (και άρα E Et s n Η εικόνα των δυναµικών γραµµών φαίνεται το χήµα 5-5. = ) (5.3) ρ = εe (5.3) 48

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 e E () () ε, = ε, E Σχήµα 5-5 (β) Το µέο είναι υπεραγώγιµο, ιχύει δηλαδή η >> (5.33) Στην περίπτωη αυτή, από την (5.6), επειδή η J t πρέπει να είναι πεπεραµένη, προκύπτει, ότι J t (και άρα J Jn = ) (5.34) ηλαδή, οι γραµµές ροής (ρευµατικές γραµµές) το µέο είναι κάθετες την επιφάνεια διαχωριµού (χήµα 5-6). Αφού, όµως, τα διανύµατα J και E είναι υγγραµικά, και οι δυναµικές γραµµές του διανύµατος E το µέο είναι, επίης, κάθετες τη διαχωριτική επιφάνεια (ιοδυναµική επιφάνεια). Ιχύει, υνεπώς, η E = E (και άρα E = E n ) (5.35) t t e J, ε () J n () Σχήµα

10 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Τέλος, από την (5.9), επειδή και η E n πρέπει να είναι πεπεραµένη, προκύπτει ότι δηλαδή, ο όγκος είναι ιοδυναµικός. En (και άρα E En = ), (5.36) 5.8 Γειωτές 5.8. Σφαιρικός γειωτής Έτω ότι µέα το έδαφος που θεωρείται ένα οµογενές, ιότροπο, άπειρης έκταης µέο µε ειδική αγωγιµότητα, τοποθετείται µια αγώγιµη φαίρα µε αγωγιµότητα πολύ µεγαλύτερη από τη ( ). Αν υποτεθεί ότι φαίρα διαχέει το έδαφος ένα υνολικό ρεύµα (χήµα 5-7), το ρεύµα αυτό, λόγω φαιρικής υµµετρίας, διανέµεται ο- µοιόµορφα τις διάφορες ακτινικές διευθύνεις έχοντας την ίδια τιµή πυκνότητας ρεύµατος πάνω τις οµόκεντρες φαιρικές επιφάνειες. dr a r P J Σχήµα 5-7 Σε µια ακτινική απόταη r, η πυκνότητα του ρεύµατος J και η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E, λόγω της υπάρχουας φαιρικής υµµετρίας, έχουν, αντίτοιχα, τις εκφράεις J = r (5.37) 4πr 5

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 και E = J = r, (5.38) 4πr όπου r είναι το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Η τάη U OP µεταξύ τυχόντος ηµείου O της επιφάνειας (ή του εωτρικού) της φαίρας και τυχόντος ηµείου P του χώρου είναι U OP P Η (5.39), λόγω της (5.38), καταλήγει την a r = φ φ = Edr (5.39) U OP = 4π a r (5.4) Όταν το ηµείο P αποµακρυνθεί το άπειρο έχουµε την τάη διάβαης V από το ηλεκτρόδιο µέχρι το άπειρο U = O, V = 4πa (5.4) Το δυναµικό του ηµείου P, ως προς την επιφάνεια της άπειρης φαίρας, που είναι ιοδυναµική επιφάνεια του πεδίου δυναµικού φ =, είναι φ = P 4πr (5.4) Αντίτοιχα, το δυναµικό της επιφάνειας της φαίρας είναι φ = O 4πa, (5.43) δηλαδή η τάη διάβαης V είναι ίη εξ οριµού µε το δυναµικό του φαιρικού ηλεκτροδίου. Ο λόγος V R 4πa ονοµάζεται αντίταη διάβαης από το ηλεκτρόδιο µέχρι το άπειρο, και παριτάνει την = = (5.44) αντίταη που παρουιάζει ο χώρος τη διάβαη του ρεύµατος από την επιφάνεια της φαίρας µέχρι την επιφάνεια της άπειρης φαίρας. 5

12 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Αν θεωρήουµε ένα φαιρικό τρώµα ακτίνας r και πάχους dr, η αντίταή του dr τη διέλευη του ρεύµατος, ύµφωνα µε την (5.) είναι dr dr = (5.45) 4πr Η ολοκλήρωη της (5.45) δηλαδή η άθροιη όλων των εν ειρά υνδεδεµένων α- πειροτών φαιρικών τρωµάτων από r = a µέχρι r µας δίνει και πάλι τη υνολική αντίταη διάβαης R dr = = 4πr 4πa a (5.46) Η αντίταη διάβαης R, όταν το µέο το οποίο διαχέεται το ρεύµα είναι το έ- δαφος, ονοµάζεται και αντίταη γείωης του φαιρικού ηλεκτροδίου (γειωτή) Ηµιφαιρικός γειωτής Στην περίπτωη του επιφανειακού ηµιφαιρικού γειωτή (χήµα 5-8), επειδή η επιφάνεια του εδάφους µπορεί να θεωρηθεί ως µια τοµή κατά ωλήνα του πεδίου του χήµατος 5-7, αν θεωρήουµε την εικόνα του ηµιφαιρίου, αναγόµατε την περίπτωη ενός φαιρικού γειωτή που διαχέει διπλάιο ρεύµα. = a r Σχήµα 5-8 5

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 U ΟP V A B U AB U a = r OP V U OA U OB a r/ a A B Σχήµα 5-9 Έτι, ύµφωνα µε τα υµπεράµατα της προηγούµενης παραγράφου, έχουµε J = r, (5.47) πr E = r, (5.48) πr V R =, (5.49) πa = πa, (5.5) a UOP = V π = a r r Στο χήµα 5-9, φαίνεται η µεταβολή της U υναρτήει του λόγου r/ a. OP (5.5) Από την περιτροφή του διαγράµµατος του χήµατος 5-9 περί τον κατακόρυφο άξονα υµµετρίας, χηµατίζεται µια επιφάνεια που ονοµάζεται χωνί τάης. Το διάγραµµα του χήµατος, διευκολύνει τον υπολογιµό της τάης U AB µεταξύ δύο τυχόντων ηµείων A και B του εδάφους. Αν τα ηµεία A και B βρίκονται την επιφάνεια του εδάφους και η 53

14 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ απόταή τους είναι ίη µε το µέο βήµα ενός ανθρώπου, η τάη U AB ονοµάζεται βηµατική τάη Γραµµική πηγή πεπεραµένου µήκους ελλειψοειδής γειωτής Έτω γραµµική πηγή AB µήκους l, που διαχέει οµοιόµορφα ρεύµα ένταης ένα µέο µε αγωγιµότητα (χήµα 5-). Το δυναµικό φ P, το τυχόν ηµείο P( xy, ) του µέου, που προκύπτει από την υπέρθεη (ολοκλήρωη) των δυναµικών των τοιχείων dζ του αγωγού, έχει την έκφραη φ P ( x + l) + ( x + l) + y = ln 8 πl ( x l) + ( x l) + y (5.5) y P(x,y,z) r A ζ dζ B x l l Σχήµα 5- Από την (5.5) προκύπτει ότι οι ιοδυναµικές επιφάνειες είναι υνετιακά ελλειψοειδή εκ περιτροφής περί την AB µε ετίες τα άκρα A και B. Οι δυναµικές και οι ρευµατικές γραµµές του πεδίου είναι υπερβολές οµοετιακές µε τις ιοδυναµικές επιφάνειες. 54

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 y A B x l l a a Σχήµα 5- Το πεδίο του ελλειψοειδούς γειωτή (χήµα 5-) είναι το ίδιο µε το πεδίο της γραµµικής πηγής και ιχύουν οι ίδιες ακριβώς χέεις. Αν a είναι το µήκος του µεγάλου ηµιάξονα ενός αγώγιµου ελλειψοειδούς, το ως προς το άπειρο δυναµικό της επιφάνειάς του, λόγω της (5.) (x = a, y = ), γράφεται επίης και ως φ O = V = ln οπότε η αντίταη γείωης R δίνεται από την a + l 8πl a l, (5.53) R a + l = ln 8πl a l (5.54) 55

16 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ = l a A B x (α) y = l a x y (β) Σχήµα 5- Με τοµή κατά ωλήνα προκύπτει το πεδίο της γραµµικής πηγής (ή του επιφανειακού ηµι-ελλειψοειδούς γειωτή) το ηµιχώριο (χήµατα 5-(α) και 5-(β)). Στην περίπτωη αυτή, θεωρώντας το κατοπτρικό ηµιχώριο, αν είναι το διαχεόµενο από την πηγή ρεύµα, τα δυναµικά φ P, φ O και η αντίταη R προκύπτουν από τις (5.5), (5.53) και (5.54), αντίτοιχα, για διπλάιο ρεύµα, δίνονται δηλαδή από τις χέεις φ P x + l + ( x + l) + y = ln 4 πl ( x l) ( x l) y φ O + +, (5.55) ln a + = l 4πl a l, (5.56) 56

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 R a + l = ln (5.57) 4πl a l Από την (5.55) και τις (.3) και (5.8) υπολογίζεται εύκολα η ηλεκτρική ένταη E και η πυκνότητα του ρεύµατος J Λεπτός κυλινδρικός γειωτής Έτω τώρα ένας λεπτός κυλινδρικός (ωληνωτός) γειωτής µήκους l και διαµέτρου d (χήµα 5-3), που διαχέει το έδαφος ρεύµα. Αν A και B είναι τα κέντρα των δύο βάεων του γειωτή, το πεδίο µπορεί να υπολογιτεί προεγγιτικά αν γίνει η παραδοχή ότι το ρεύµα διαχέεται το χώρο από ένα λεπτό ελλειψοειδές εκ περιτροφής περί την AB που έχει ετίες τα A και B και προεγγίζει γεωµετρικά το γειωτή. Θεωρούµε, δηλαδή, ότι η ένταη διαχέεται το χώρο από τη γραµµική πηγή AB. Για ηµεία, όχι πολύ κοντινά το ωλήνα και ιδιαίτερα τα άκρα του η προέγγιη είναι αρκετά ικανοποιητική. y A Μ B d x l l Σχήµα 5-3 Το δυναµικό το ηµείο M, ( d /), ύµφωνα µε την (5.5) δίνεται από την φ M = π l + l + d ln + + /4 8 l l l d /4 (5.58) Το δυναµικό αυτό, που είναι το δυναµικό του γειωτή, λαµβάνεται ως η τάη διάβαεως V µέχρι το άπειρο. Η αντίταη διάβαης (ή γείωης) R δίνεται, υνεπώς, από τη χέη 57

18 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ R V l + l + d /4 ln πl l + l + d = = 8 /4 (5.59) Επειδή, υνήθως, l >> d, η (5.59) µπορεί να γραφεί και µε την απλούτερη µορφή R 4l ln (5.6) 4πl d M = l y B d x Σχήµα 5-4 Στην περίπτωη του επιφανειακού ωληνωτού γειωτή του χήµατος 5-4, αν θεωρήουµε το κατοπτρικό τµήµα του γειωτή ως προς τον άξονα y, προκύπτουν (εφόον φυικά l d ) οι τύποι της γραµµικής πηγής αλλά πολλαπλαιαµένοι επί αφού η ίδια ένταη, τώρα, διαχέεται το ηµιχώριο. Έτι έχουµε φ P x + l + ( x + ) + y = ln 4 πl x l + ( x l) + y, (5.6) και V R 4l = ln (5.6) πl d 4l = ln (5.63) πl d 58

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Τα δυναµικά των ηµείων της επιφάνειας του εδάφους ( x = ), αν το ρεύµα αντικαταταθεί από την (5.6) την (5.6), θα δίνονται από την φ P V + + = ln ln( 4ld) + + ( yl) ( yl) (5.64) 5.9 Νόµος του Joule Σύµφωνα µε το νόµο του Joule η ιχύς P που καταναλίκεται ε µια ωµική αντίταη R που διαρρέεται από ρεύµα δίνεται από τη χέη P = R (5.65) Η ηµειακή µορφή του ίδιου νόµου είναι η p = J E = J J = E E, (5.66) όπου p = dp/ dv, είναι η ιχύς των ανά µονάδα όγκου του αγωγού θερµικών απωλειών (ειδική ιχύς απωλειών Joule). Τέλος, αναφέρουµε την αρχή των ελαχίτων απωλειών, ύµφωνα µε την οποία η πυκνότητα του ρεύµατος J διανέµεται το αγώγιµο µέο κατά τέτοιο τρόπο (ακολουθεί δηλαδή το νόµο του Ohm J = E ) ώτε να παράγεται το ελάχιτο ποό θερµότητας. 59

20 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Παραδείγµατα 5. Ο κυκλικός αγωγός ενός µονοπολικού καλωδίου έχει διάµετρο a και περιβάλλεται από ένα κοίλο µεταλλικό κυλινδρικό περίβληµα εωτερικής διαµέτρου b. Η διαφορά δυνα- µικού ανάµεα τον αγωγό και το περίβληµα είναι U. Στον µεταξύ του περιβλήµατος και του αγωγού χώρο πρόκειται να τοποθετηθούν δύο µονωτικά τρώµατα Ι και ΙΙ µε ειδικές ηλεκτρικές αγωγιµότητες και = 3, αντίτοιχα. Ζητούνται: (α) Αν τα δύο µονωτικά τρώµατα έχουν το ίδιο πάχος t = t = ( b a)/, ποιό µονωτικό πρέπει να τοποθετηθεί εωτερικά και ποιό εξωτερικά ώτε να έχουµε καλύτερη µόνωη (λιγότερες απώλειες); Επίης, την περίπτωη που τα µονωτικά τρώµατα τοποθετηθούν µε την αντίθετη ειρά, ποιος είναι ο λόγος των νέων απωλειών ε χέη µε τις προηγούµενες; (β) Ποιά πρέπει να είναι τα πάχη των δύο τρωµάτων, ώτε οι απώλειες να είναι ίδιες ανεξάρτητα από τη ειρά τοποθέτηης; Ποιο είναι τότε το ρεύµα απωλειών; () () a A 3 O A A t b t U Σχήµα 5-5 6

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 (α) Έτω ότι τοποθετούµε εωτερικά το µονωτικό τρώµα () µε ειδική αγωγιµότητα και εξωτερικά το () µε ειδική αγωγιµότητα = 3. Αν είναι το ανά µονάδα µήκους του καλωδίου οµοιόµορφα διαχεόµενο ρεύµα και J η µε ακτινική διεύθυνη πυκνότητα της ένταης του ρεύµατος ε απόταη r από τον άξονα, ιχύει προφανώς η J = r, () πr όπου r είναι το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Από τη χέη J = E που υνδέει την ηλεκτρική πεδιακή ένταη και την πυκνότητα της ένταης του ρεύµατος και την () έχουµε E = r (), πr και E = r, (3), πr όπου E, και E, οι ηλεκτρικές πεδιακές εντάεις τα τρώµατα () και (), αντίτοιχα. Με ολοκλήρωη κατά µήκος του δρόµου AAA 3, έχουµε για τη διαφορά δυναµικού U, αν λάβουµε υπόψη τις () και (3) A3 A A3 E r,, A A A a+ t b a + t U = d = E dr + E dr dr dr b = + = ln + ln π a r a+ t r π a a + t Από την (4) προκύπτει το ανά µονάδα µήκους ρεύµα απωλειών υναρτήει της τάης U (4) = πu a + t b ln + ln a a + t (5) Κατ αναλογία προς τα παραπάνω, είναι φανερό ότι την περίπτωη όπου το µονωτικό () τοποθετείται εωτερικά και το () εξωτερικά, το ρεύµα απωλειών, ύµφωνα µε την (5), δίνεται από τη χέη 6

22 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ πu = a + t b ln + ln a a + t Οι (5) και (6) για = 3, και t = ( b a)/, δίνουν (6) και π U π U = = b + a b ln ln b a b + a 3 b a ln + + a b + a /3 π U π U = = b + a b ln ln b a b + 3 a b a ln + + a b + a /3 Από τις (7) και (8), επειδή, όπως εύκολα µπορεί να διαπιτωθεί, ιχύει η ανιότητα (7) (8) υµπεραίνουµε ότι /3 /3 b a b b a b + + > a b + a a b + a, (9) <, () δηλαδή η µόνωη είναι καλύτερη κατά την τοποθέτηη εωτερικά του µονωτικό () και εξωτερικά του (). Επίης, από τις (7) και (8), προκύπτει ο ζητούµενος λόγος /3 b a b ln + P a b a U + κ = = = = () /3 P U b a b ln + a b + a όπου P και P οι απώλειες τα µονωτικά () και (), αντίτοιχα. (β) Για τον υπολογιµό του πάχους t, επειδή πρέπει να ιχύει η =, εξιώνοντας τα δεύτερα µέλη των (5) και (6), έχουµε a + t b a + t b ln + ln = ln + ln a a + t a a + t ή ή / / / / a t b a t b ln + + ln a = a t a + a + t 6

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 a + t a + t = a a t + a a + t / / / / b b ή / / a + t b = a a + t / / ή a t b a a t + = () + οπότε και Από τη δεκτή λύη της () προκύπτει ότι t = ab a, (3) t = b a t = b ab (4) Στην περίπτωη αυτή, η διαχωριτική επιφάνεια των δύο τρωµάτων έχει ακτίνα r δ, που όπως φαίνεται από τις (3) και (4) είναι rδ = a + t = ab, (5) δηλαδή είναι ίη µε το γεωµετρικό µέο των a και b, και φυικά δεν εξαρτάται από τις τιµές των αγωγιµοτήτων και. Το ρεύµα απωλειών την περίπτωη αυτή, όπως φαίνεται από τις (5) και (6), µε αντικατάταη του πάχους t από την (3), είναι 3 πu 4πU = = b b b ln + ln ln a a a Από την (6), για = 3, έχουµε + (6) Γενικά, αν = λ, έχουµε 3πU b ln a 3 = (7) 3 4πλU = b ( λ + )ln a (8) 63

24 r ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. ίνεται κοίλη αγώγιµη φαίρα εωτερικής διαµέτρου r την κοιλότητα της οποίας βρίκεται άλλη υγκεντρική φαίρα εξωτερικής διαµέτρου x. Ανάµεα τις δύο φαίρες παρεµβάλλεται οµογενές υλικό ειδικής αγωγιµότητας. Η µέγιτη επιτρεπόµενη τιµή της πυκνότητας ρεύµατος το µεταξύ των φαιρών υλικό είναι J. Αν από την εωτερική προς την εξωτερική φαίρα επιβληθεί ταθερή τάη U, ζητούνται: (α) Ποια είναι η περιοχή τιµών της x ώτε η µέγιτη παρατηρούµενη πυκνότητα ρεύ- µατος J max να είναι µικρότερη της επιτρεπόµενης J ; (β) Η υνθήκη µεταξύ των U, J, r και ώτε η πιο πάνω περιοχή της x ν αντιτοιχεί ε µια µόνον τιµή. (γ) Πότε το πρόβληµα δεν έχει λύη, δηλαδή, πότε δεν υπάρχει τιµή της x για την οποία ιχύει Jmax J ; (δ) Για την αριθµητική µέη τιµή της περιοχής των τιµών της ακτίνας x την ερώτηη (α), να υπολογιτεί η αντίταη διάβαης µεταξύ των δύο φαιρών, η ένταη του ρεύµατος και η µέγιτη πυκνότητα ροής J max που παρουιάζεται. x r dr U Σχήµα 5-6 Ας υπολογίουµε, αρχικά, την αντίταη διάβαης R δ µεταξύ των δύο φαιρών. Αν είναι η ένταη του ρεύµατος που ρέει από τον εωτερικό προς τον εξωτερικό οπλιµό, 64

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 τότε, η πυκνότητα J () r του ρεύµατος και η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E () r ε µια ακτινική απόταη r, δίνονται, αντίτοιχα, από τις J() r = r, () 4πr E() r = r () 4πr όπου r είναι το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Η διαφορά δυναµικού U µεταξύ των δύο φαιρών, λόγω της (), δίνεται από την r r U = d = dr E r = x x 4πr 4π x r (3) Από την (3), υπολογίζεται η αντίταη διάβαης R δ R δ U = = 4π x r (4) Η ίδια χέη µπορεί να προκύψει και µε τον εξής υλλογιµό: Αν θεωρήουµε ότι η ζητούµενη αντίταη αποτελείται από τις εν ειρά υνδεδεµένες αντιτάεις υγκεντρικών φαιρικών φλοιών απειροτού πάχους, επειδή η αντίταη dr δ ενός τέτοιου φλοιού ακτίνας r και πάχους dr είναι dr dr δ 4πr, (5) από την ολοκλήρωη της (5) παίρνουµε και πάλι R δ = = r dr 4π x r 4π x r (6) (α) Από τις () και (4) έχουµε U Jr () = (7) 4πRδ r Όπως βλέπουµε από την (7) η πυκνότητα Jr () της ένταης του ρεύµατος λαµβάνει τη µέγιτη τιµή όταν η ακτίνα r λάβει την ελάχιτη τιµή, όταν δηλαδή έχουµε r Πρέπει, υνεπώς, να ιχύει η ανιότητα = x. 65

26 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ J U = < J (8) max 4πRδ x Με αντικατάταη της R δ από την (7) την (8) προκύπτει U r ( r x) x < J (9) ή x Ur rx + < () J Για να ιχύει η (), πρέπει η τιµή της ακτίνας x να βρίκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου του πρώτου µέλους, να ιχύει δηλαδή η U r U r x r r 4 x x r r 4 = + > > = J J () Ώτε, λοιπόν, για να έχουµε Jmax < J, πρέπει η ακτίνα x της εωτερικής φαίρας να βρίκεται το διάτηµα που καθορίζει η διπλή ανιότητα (). (β) Στην περίπτωη του ερωτήµατος (β) πρέπει, προφανώς, το τριώνυµo να έχει µια διπλή ρίζα, να ιχύει δηλαδή η ή r Ur 4 =, J Jr = U () 4 (γ) Για να µη έχει το πρόβληµα λύη πρέπει το x να βρίκεται εκτός του διατήµατος των ριζών, δηλαδή πρέπει ή Ur x > r + r 4, (3) J Ur x < r r 4 J (4) (δ) Η αριθµητική µέη τιµή x m των x και x είναι: 66

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 x + x r x Έτι, από την (6), για x = xm = r /, υπολογίζεται η αντίταη διάβαης Rδ = 4π = x r 4πr m = = (5) m Το ολικό ρεύµα και η µέγιτη πυκνότητα J max, λόγω των (6) και (8) δίνονται από (6) U = = 4πrU (7) R δ και J U 4U = = (8) r max 4πRδ xm 5.3 Ηµιφαιρικός επιφανειακός γειωτής ακτίνας r διαχέει το έδαφος ρεύµα. Η ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα του εδάφους είναι και η µέγιτη επιτρεπόµενη πυκνότητα ρεύ- µατος αυτό J. Ζητούνται: (α) Η αντίταη διάβαης για κανονική λειτουργία. (β) Η αντίταη διάβαης όταν η διάπαη προχωρήει µέχρι ακτίνα x. (γ) Προδιορίτε το είδος της διαδικαίας που χαρακτηρίζει την εξέλιξη της διάπαης. r = x Σχήµα

28 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ (α) Για κανονική λειτουργία η αντίταη διάβαης, ύµφωνα µε την (5.5), είναι R = πr () (β) Όταν η διάπαη προχωρήει µέχρι την ακτινική απόταη x, το τµήµα του ε- δάφους το οποίο έλαβε χώρα η διάπαη, υµπεριφέρεται αν υπεραγώγιµο υλικό και εποµένως αποκτά το δυναµικό U του γειωτή. Για να περιοριτεί η διάπαη µέχρι τα η- µεία της φαιρικής επιφάνειας ακτίνας x, πρέπει η πυκνότητα ρεύµατος τα ηµεία αυτά, να είναι ίη µε τη µέγιτη επιτρεπόµενη πυκνότητα J. Πρέπει δηλαδή ή Jx ( ) = J () = J (3) πx Από την (3) υπολογίζεται η απόταη x x = (4) πj o και, εποµένως, η αντίτοιχη αντίταη διάβαης είναι R J πx π = = (5) (γ) Το δυναµικό U του γειωτή ως προς το άπειρο για διάπαη του εδάφους µέχρι την ακτίνα x, είναι J U = Edr = dr = dr = (6) x x x πr πx Η (6), αν λάβουµε υπόψη την (3), γράφεται Από την (7), επειδή du dx J U = x (7) J = >, (8) 68

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 παρατηρούµε ότι για αύξηη του x (( dx > ) ), απαιτείται αύξηη του δυναµικού U ( du > ), δηλαδή για να επεκταθεί κι άλλο η διάπαη χρειάζεται να αυξηθεί η τιµή της επιβαλλόµενης τάης U (ευταθής διαδικαία). 5.4 Επίπεδη µεταλλική πλάκα ταθερού πάχους t και ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας, έχει διατοµή που περιορίζεται από τα ηµικύκλια ABC και ABC και τα ευθύγραµµα τµήµατα AA και CC. Ζητείται ο υπολογιµός της αντίταης της πλάκας, όταν επιβληθεί ταθερή διαφορά δυναµικού V : (α) Μεταξύ των τµηµάτων AA και CC. (β) Μεταξύ των τµηµάτων ABC και ABC. B B b a P ρ O ϕ A A C C Σχήµα 5-8 (α) Ας θεωρήουµε το ύτηµα των κυλινδρικών (πολικών) υντεταγµένων του χή- µατος. Αν φ = είναι το δυναµικό του τµήµατος CC και φ = V είναι το δυναµικό του τµήµατος AA, έχοντας υπόψη και το αντίτοιχο ηλεκτροτατικό πρόβληµα (παράδειγµα κεφαλαίου 4.3) παρατηρούµε ότι η υνάρτηη ικανοποιεί την εξίωη Laplace V φϕ ( ) = ϕ () π 69

30 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ φ φ φ φ V φ = ρ + + = = ϕ = ρ ρ ρ ρ ϕ z ρ ϕ ρ ϕ π () και τις οριακές υνθήκες και φ () = (3) φπ ( ) = V (4) Άρα, η υνάρτηη δυναµικού φ δίνεται από την (). Η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E και η πυκνότητα ρεύµατος J, λόγω της (), δίνονται, αντίτοιχα, από τις φ V E = φ = ϕ = ϕ (5) ρ ϕ ρ π V J = E = ϕ (6) ρπ Το ρεύµα, που διέρχεται από µια τυχούα διατοµή ϕ = const., υπολογίζεται από την (6) και έχει τιµή CC b t d t b = d = V J S ρ = V ln S π ρ π (7) a Από την (7), προκύπτει η ζητούµενη αντίταη µεταξύ των ηλεκτροδίων AA και a V π R = = (8) t ln( b/ a) (β) Στη δεύτερη περίπτωη η υνάρτηη δυναµικού δίνεται αό την που ικανοποιεί την εξίωη Laplace φ = C + ρ, (9) C ln φ φ ρ ρ ( C C ln ρ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = + = () Οι ταθερές C και C που υπολογίζονται από τις αρχικές υνθήκες φ () a = και φ () b = V, έχουν τις τιµές lna C = V () ln( b/ a) 7

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 και C = V () ln( b/ a) Η (9) µετά την αντικατάταη των () και () γράφεται V ρ φρ ( ) = ln (3) b ln a a Η πυκνότητα της ένταης του ρεύµατος είναι φ J( ρ) = φ = ρ, (4) ρ όπου ρ το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Από την αντικατάταη της (3) την (4) έχουµε V J( ρ ) = ρ (5) ln( b/ a) ABC Σηµείωη: Η ολοκλήρωη της (5) πάνω ένα ηµικύκλιο ρ = const., δίνει το υνολικό ρεύµα π π V πtv = t J( ρρ ) dϕ= t ρdϕ= (6) θ= ln( b/ a) ρ ln( b/ a) ϕ= Τέλος, από την (6) προκύπτει η αντίταη R µεταξύ των ηλεκτροδίων ABC και V ln( b/ a) R = = π t (7) Μια ενδιαφέρουα µέθοδος υπολογιµού πάνω και κάτω φραγµάτων της αντίταης µεταξύ δύο ηλεκτροδίων είναι η µέθοδος Rayleigh-Maxwell. Η µέθοδος αυτή βαίζεται το γεγονός ότι η αντίταη ενός µέου µε απώλειες αυξάνεται ή µειώνεται, όταν αντίτοιχα αυξηθεί ή µειωθεί η ειδική αντίταη ενός τµήµατος του µέου, χωρίς να γίνει κα- µιά άλλη µεταβολή το µέο. Έτι, αν θεωρήουµε µια ειρά από επιφάνειες από τις οποίες η πρώτη υµπίπτει µε το πρώτο ηλεκτρόδιο και η τελευταία µε το δεύτερο ηλεκτρόδιο, ενώ οι ενδιάµεες δεν τέ- 7

32 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ µνονται µεταξύ τους και υποτεθεί, ότι κάθε µια τέτοια επιφάνεια αντικαθίταται από ένα τρώµα απειροτού πάχους και άπειρης αγωγιµότητας, η αντίταη R την περίπτωη αυτή είναι µικρότερη από την αρχική αντίταη R του µέου. Μόνο την περίπτωη ό- που οι επιφάνειες είναι όλες ιοδυναµικές, η αντίταη του υτήµατος είναι ίη µε την αρχική αντίταη R του µέου. Ανάλογα, αν εκλέξουµε µια ειρά από ωλήνες µε τοιχώµατα απειροτού πάχους, που έχουν αρχή το πρώτο ηλεκτρόδιο και πέρας το δεύτερο ηλεκτρόδιο, χωρίς να τέµνονται µεταξύ τους, και θεωρήουµε ότι τα τοιχώµατα αντικαθίτανται από ένα τέλειο µονωτικό µέο, έτι ώτε το ρεύµα να ρέει µόνο µέα από αυτούς τους ωλήνες, τότε, η αντίταη R + του υτήµατος είναι µεγαλύτερη από την αρχική αντίταη R του µέου. Μόνο την περίπτωη όπου οι ωλήνες υµπίπτουν µε τους πραγµατικούς ρευµατικούς ωλήνες του πεδίου, η αντίταη του υτήµατος είναι ίη µε την αρχική αντίταη του µέου. Τα ζεύγη R και R + ορίζουν κάτω και πάνω φράγµατα, αντίτοιχα, της πραγµατικής αντίταης R µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων, ιχύει δηλαδή η + R R R (8) J A a A O C ρ ρ C ρ dρ Σχήµα 5-7

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ας ζητήουµε τώρα να εφαρµόουµε τη µέθοδο Rayleigh-Maxwell το πρόβληµα που µόλις εξετάαµε. Για τον προδιοριµό ενός πάνω φράγµατος R +, θεωρούµε υπεραγώγιµα επίπεδα µηδενικού πάχους που διέρχονται από το κέντρο O. Έτι, η αντίταη dr µεταξύ των τµηµάτων DD και EE, υπολογίζεται από την εν παραλλήλω ύνδεη των αντιτάεων dr µεταξύ των τοιχείων δδ και ε ε. Αλλά d dr = ρϕ tdρ (9) και tdρ dg=, () ρϕ d όπου dg είναι η αγωγιµότητα µεταξύ των τµηµάτων δδ και εε. Από την () παίρνουµε t d t b = dg ρ = ln dr dϕ ρ dϕ a b a () ή dr = dϕ () tln( b/ a) Ολοκλήρωη της () δίνει π π R + = dϕ tln( b/ a) = (3) tln( b/ a) Για τον προδιοριµό ενός κάτω φράγµατος R, θεωρούµε ρευµατικούς ωλήνες που τα µηδενικού πάχους τέλεια µονωτικά τοιχώµατά τους, υµπίπτουν µε τις επιφάνειες οµοαξονικών κυλίνδρων (µε άξονα διά του O ). Έτι, η αντίταη dr του διαγραµµιµένου ωλήνα του χήµατος είναι dr = πρ tdρ (4) Η αντίτοιχη αγωγιµότητα είναι td dg = = ρ dr π ρ (5) 73

34 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Η ολοκλήρωη της (5) δίνει ένα πάνω φράγµα της αγωγιµότητας µεταξύ των τµηµάτων AA και CC b t dρ t b G + = ln π ρ = π a a (6) Από την (6), υπολογίζεται το κάτω φράγµα R R π = = (7) + G tln( b/ a) Αν χηµατίουµε τη διπλή ανιότητα (8), για τις (3) και (7), έχουµε π π R (8) tln( b/ a) tln( b/ a) Από την (8) προκύπτει και πάλι η ακριβής τιµή της χέης (8). Ας ηµειώουµε ότι η (8) οδήγηε την ακριβή τιµή της αντίταης, επειδή από τη γεωµετρία του προβλή- µατος κατά ύµπτωη εκλέξαµε τις πραγµατικές ιοδυναµικές επιφάνειες και τους πραγµατικούς ωλήνες ροής. ιαφορετικά, όπως θα δούµε την επόµενη άκηη, θα παίρναµε ένα ζεύγος τιµών που θα έφραζαν την ακριβή τιµή της αντίταης. Αν ακολουθήουµε την ίδια πορεία και για το δεύτερο κέλος της άκηης, εναλλάοντας µόνο το ρόλο των ρευµατικών γραµµών και των ιοδυναµικών επιφανειών, φθάνουµε και πάλι το αποτέλεµα της χέης (7). Η επαλήθευη της χέης αυτής α- φήνεται ως άκηη τον αναγνώτη. 5.5 Να υπολογιτούν πάνω και κάτω φράγµατα της αντίταης µεταξύ των δύο βάεων ενός κολούρου κώνου, που είναι γεµάτος µε υλικό ειδικής αγωγιµότητας. ίνονται οι α- κτίνες των βάεων a και b (a < b ) και η απόταή τους h. Θα επιχειρήουµε να προδιορίουµε πάνω και κάτω φράγµατα της αντίταης R, µε τη µέθοδο Rayleigh-Maxwell. Για τον προδιοριµό ενός κάτω φράγµατος R, θεωρούµε µια ειρά από υπεραγώγιµα επίπεδα φύλλα, παράλληλα προς τις βάεις του κώνου. 74

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η αντίταη dr µεταξύ των δύο φύλλων του χήµατος που απέχουν από την κορυφή O απόταη z, είναι dz dr = () πr Το κάτω φράγµα R, προκύπτει από την εν ειρά ύνδεη των dr, δηλαδή από την ολοκλήρωη της () από z = h έως z = h + h. Ολοκληρώνοντας την () έχουµε O θ h a z r(z) dz h b z Σχήµα 5- R Η () αν λάβουµε υπόψη τις χέεις r z θ = tan, a h tan θ z= h + h dz = () π r z= h = και b = ( h + h)tanθ, (3) 75

36 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ γράφεται ή R h + h dz = = π tan θ h z π tan θ h h + h h =, π ( h tan θ )( h + h)tanθ h R = (4) πab O l () θ θ θ h dr dϕ a r l() θ rdrdϕ l () θ 3 d R h dl J b Σχήµα 5- Για τον προδιοριµό ενός πάνω ορίου R + της αντίταης R, θεωρούµε ότι όλες οι ρευµατικές γραµµές, διέρχονται από την κορυφή O. Έτι, αν την πάνω βάη θεωρήου- 76

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 µε ένα δακτύλιο ακτίνας r και πάχους dr, και ενώουµε τα ηµεία του τοιχείου rdrdϕ του δακτυλίου µε την κορυφή O, χηµατίζεται ο διαγραµµιµένος ρευµατικός ωλήνας του χήµατος που το διπλά διαγραµµιµένο τοιχείο του έχει αντίταη 3 dr = dl l sin θdθdϕ (5) Η αντίταη του ρευµατικού ωλήνα, υπολογίζεται από την ολοκλήρωη της (5) και είναι ή dr l ( θ) dl = = sin θθϕ dd l ( θ) l sin θθϕ dd l( θ) l( θ) cosθ cosθ b a b a = =, sin θdd θ ϕ h h h + dϕtan θdθ ah bh ( b a) dr= (6) hab tan θdθdϕ Η αντίτοιχη αγωγιµότητα είναι dg hab = = tan θdθdϕ (7) dr ( b a) Από την διπλή ολοκλήρωη της (7) παράλληλη ύνδεη αντιτάεων προκύπτει ένα κάτω φράγµα G για την αγωγιµότητα µεταξύ των δύο βάεων του κολούρου κώνου G hab π θ πhab = tan θdθdϕ = ln (8) ( b a) ϕ= θ= ( b a) cosθ Το αντίτοιχο πάνω φράγµα R + της αντίταης είναι R + ( b a) = = (9) G π hab ln cos θ ή, επειδή cos θ = h ( b a) + h, () 77

38 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ + a b h πr π R + R R π R e% = R 6 6, 6, 6,,,,,, 3 4 6,,,, 6 3, 3,4 3,,68 5, 5,5 5,,5,,,6,6 6,,9,54,66 3,333 3,399 3,366,98 6,667 6,699 6,683,5 6,5,5,5,,5,5,5, 5, 5, 5,, 6,75,79,77,66,5,75,6,98,75,768,758,5 6,5,64,55 9,44,833,898,866 3,75,666,699,683,983 R + ( b a) = π hab ( b a) h ln + h () Τελικά, από τις (4) και () προκύπτει ότι η αντίταη R βρίκεται το διάτηµα 78

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 h ( b a) R πab π hab b a ln + h Στον παραπάνω πίνακα φαίνονται οι τιµές των φραγµάτων R, R +, της µέης τιµής + R = ( R + R )/ και της εκατοτιαίας απόκλιης (των φραγµάτων από τη µέη τιµή), για διάφορες τιµές των ακτίνων a, b και του ύψους h. Εύκολα παρατηρούµε ότι τα φάλµατα που προκύπτουν για τις περιπτώεις όπου οι ακτίνες a και b δεν διαφέρουν ηµαντικά µεταξύ τους, είναι πολύ µικρά, ενώ την ειδική περίπτωη του κυλίνδρου (όπου a = b) τα δύο φράγµατα ταυτίζονται µε την ακριβή τιµή της αντίταης. () 5.6 Ο χώρος µεταξύ δύο µεταλλικών ελλειψοειδών εκ περιτροφής µε ηµιάξονες a = 4 (cm), b =, 65 (cm), a = 5 (cm), b = 4 (cm), έχει πληρωθεί µε υλικό ειδικής αγωγιµότη- τας =, 5 (Ω - cm - ). Ζητείται: (α) Να ελεγχθεί αν τα ελλειψοειδή είναι οµοετιακά ή όχι. (β) Να υπολογιτεί η αντίταη διάβαης µεταξύ των δύο ελλειψοειδών και η ένταη του ρεύµατος όταν η τάη µεταξύ των ελλειψοειδών είναι V. (γ) Να καθοριτεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E και η πυκνότητα του ρεύµατος J τα ηµεία Α, Β, Γ και. y Γ O A B x V Σχήµα

40 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ και (α) Η ετιακή απόταη τις δύο περιπτώεις δίνεται από τις χέεις: l = a b = 6(cm) () l = a b = 6(cm) () Άρα, τα δύο ελλειψοειδή είναι οµοετιακά µε ετιακή απόταη l = l = l = 6(cm) (3) (β) Το δυναµικό το τυχόν ηµείο P του πεδίου, ύµφωνα µε την (5.5), δίνεται από τη χέη φ P ( x + l) + ( x + l) + y = ln 8 πl ( x l) + ( x l) + y (4) Ειδικά για τα ηµεία A(4(cm),) και B(5(cm), ) από την (4) έχουµε φ Α (4+ 3) = ln = ln 7 8πl (4 3) 8πl (5) και φ Β (5+ 3) = ln = ln 4 8πl (5 3) 8π (6) Η διαφορά δυναµικού U ΑΒ = φα φβ µεταξύ των δύο ελλειψοειδών, λόγω των (5) και (6), δίνεται από την 7 U = ΑΒ ln 8πl 4 (7) Έτι, η ζητούµενη αντίταη διάβαης είναι U ΑΒ 7 RΑΒ = = ln =,97 (Ω) (8) 8πl 4 και το ρεύµα, για U ΑΒ = (V), UΑΒ 8πlUΑΒ = = = 33,68 (A) (9) R 7 ΑΒ ln 4 8

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 (γ) Τα ηµεία Α και Β βρίκονται πάνω τον άξονα x. Όπως φαίνεται από την (4), το δυναµικό ενός τυχόντος ηµείου P( x, ) του άξονα, δίνεται από τη χέη φ P ( x + l) = ln 8 πl ( x l) () Από τη χέη όµως E = φ, και την (), προκύπτει E φp P = E x Px = = x x 4 π( x l ) x () Αντίτοιχα, για την πυκνότητα του ρεύµατος J = E και την () έχουµε J P τον άξονα x, από τη χέη JP = x () 4 π( x l ) Ειδικά, για τα ηµεία A(4(cm), ), B(5(cm), ), από τις () και () προκύπτει E Α = 53, 53 (V/m), J Α = 388, 8 (A/m ), (3α) E Β = 67, 4 (V/m) και J Β = 675, (A/m ) (3β) Τα ηµεία Γ και, είναι ηµεία του άξονα y. Το δυναµικό ενός τυχόντος ηµείου P(, y ) του άξονα αυτού, ύµφωνα µε την (4), δίνεται από τη χέη φ P l + l + y = ln 8πl l + l + y (4) Η πεδιακή ένταη EP = EPyy και η πυκνότητα ρεύµατος J P είναι, υνεπώς, φp EP = y = y (5) y 4π y y + l και Γ (,, 65(cm)) και (, 4(cm)) από τις (5) και (6) προκύπτει Ειδικά για τα ηµεία JP = y (6) 4π y y + l E Γ =, 67 (V/m), J Γ = 56,67 (A/m ), (7α) E Β = 536, 3 (V/m), και J Β = 34, 8 (A/m ) (7β) 8

42 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5.7 Ένας γειωτής αποτελείται από ένα ύτηµα τριών κυλινδρικών ηλεκτροδίων µήκους l που είναι τοποθετηµένα κατακόρυφα µέα το έδαφος έτι, ώτε το ένα άκρο τους να βρίκεται την επιφάνεια του. Τα τρία ηλεκτρόδια είναι τοποθετηµένα ε διάταξη ιοπλεύρου τριγώνου πλευράς a. Ζητείται να βρεθεί η αντίταη διάβαης της διάταξης και η απόταη a για την οποία επιτυγχάνεται ελάχιτη τιµή της αντίταης. ίνεται ότι η διάµετρος των η- λεκτροδίων είναι πολύ µικρή ε χέη µε το µήκος τους, ενώ θεωρούνται επίης δοµένα: το µήκος των ηλεκτροδίων l, η διάµετρός τους d και η ειδική αγωγιµότητα του εδάφους. A B P Γ 3 l έδαφος () () (3) d r a P r3 d a r a d Σχήµα 5-4 8

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αν είναι το υνολικό ρεύµα που διαχέει ο γειωτής το έδαφος και,, 3 τα ρεύµατα που διαχέονται από τα τρία ηλεκτρόδια, λόγω υµµετρίας, ιχύει, προφανώς, η = = 3 = /3 () Το δυναµικό φ, ε κάθε ηµείο του χώρου προκύπτει από την υπέρθεη των δυναµικών των πεδίων που δηµιουργούν τα τρία ηλεκτρόδια ξεχωριτά. Έτι, ένα τυχόν ηµείο P της επιφάνειας του εδάφους που απέχει από τα τρία η- λεκτρόδια αποτάεις r, r και r 3, αντίτοιχα, ύµφωνα µε την (5.6) (για x = ), το δυναµικό δίνεται από τη χέη φ P l + l + r l + l + r = ln + ln 4πl l + l + r 4πl l + l + r l + l + r 3 + ln 4πl l + l + r , () ή, λόγω της () και επειδή είναι l = l = l 3 = l l l r l l r l l r φp = ln ln ln + + πl (3) l + l + r l + l + r l + l + r3 Για τα ηµεία Α της επιφάνειας του εδάφους που ανήκουν την εξωτερική επιφάνεια του ωληνωτού ηλεκτροδίου (), αν λάβουµε υπόψη την (5.7) και ότι d a, r = d/, r = r3 = a d/ a, από την (3) προκύπτει φ Α 4 ln l ln l l a ln l l a = πl + + d l l a l l a ή φ Α 4 ln l ln l l a + + = 6πl + d l l a + + (4) Είναι προφανές, ότι η ίδια χέη ιχύει και για τα δυναµικά φ Β και φ Γ των ηλεκτροδίων () και (3), αντίτοιχα, αφού φα = φβ = φγ = V, (5) 83

44 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ όπου V το δυναµικό, του τριγωνικού γειωτή. Από τις (4) και (5), έχουµε V 4 ln l ln l l a + + = + 6πl d l l a + + (6) και είναι Η ζητούµενη αντίταη διάβαης R δ του τριγωνικού γειωτή προκύπτει από την (6) R δ V 4 ln l ln l l a + + = = 6πl + d l l a + + (7) Η (7), επειδή η αντίταη διάβαης (γείωης) R κάθε ηλεκτροδίου, ύµφωνα µε την (5.63) δίνεται από τη χέη γράφεται R 4l = ln, (8) πl d R δ R l + l + a ln 3 6πl l + l + a = + (9) Είναι προφανές ότι η R δ γίνεται ελάχιτη όταν η απόταη a γίνει µέγιτη. Έτι, για a, έχουµε ή R δ,min = Rδ = + a R ln 3 6πl R 3 R δ,min = () Παρατηρούµε από την () ότι όταν οι µεταξύ των ηλεκτροδίων αποτάεις είναι πολύ µεγάλες, η υνολική αντίταη διάβαης της διάταξης είναι ίη µε το /3 της αντίταης διάβαης του κάθε ηλεκτροδίου, δηλαδή, έχουµε περίπτωη παράλληλης ύνδεης τριών ίων αντιτάεων. 84

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ηλεκτρικό ρεύµα ένταης προάγεται υγκεντρωµένο ένα ηµείο P που απέχει απόταη h από τη διαχωριτική επίπεδη επιφάνεια δύο µέων µε διηλεκτρικές ταθερές ε, ε και ειδικές ηλεκτρικές αγωγιµότητες και. Το ηµείο P βρίκεται το µέο µε διηλεκτρική ταθερά ε και ειδική αγωγιµότητα. Ζητείται ο υπολογιµός της πυκνότητας επιφανειακών φορτίων που αναπτύονται τη διαχωριτική επιφάνεια λόγω της ροής του ηλεκτρικού ρεύµατος. z z z P(,,h) () P(,,h) () r A(x,y,z) h h h r, ε r, ε, ε (+) O O O, ε x, ε x, ε x h Β(x,y,z) ( Πραγµατικό πεδίο Πεδίο το χώρο (Ι) Πεδίο το χώρο (ΙΙ) Σχήµα 5-5 Θεωρούµε ότι η διαχωριτική επιφάνεια υµπίπτει µε το επίπεδο z =, ενός καρτειανού υτήµατος υντεταγµένων και ότι η ηµειακή πηγή εντάεως είναι τοποθετη- µένη το ηµείο P( x =, y =, z = h). Όπως και το αντίτοιχο ηλεκτροτατικό πρόβληµα, έτι κι εδώ ζητούµε να προδιορίουµε δύο υναρτήεις δυναµικού φ και φ για τα µέα (Ι) και (ΙΙ) αντίτοιχα, έτι, ώτε να ικανοποιούν την εξίωη Laplace και τις ακόλουθες οριακές υνθήκες τη διαχωριτική επιφάνεια z = : (α) Συνέχεια της εφαπτοµενικής υνιτώας της ηλεκτρικής πεδιακής ένταης (ή, υνέχεια της τιµής του δυναµικού), και P (,,-h) (α) (β) (γ) (β) Συνέχεια της κάθετης υνιτώας της πυκνότητας του ηλεκτρικού ρεύµατος. () 85

46 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Προς το κοπό αυτό, θεωρούµε ότι το πεδίο το χώρο () είναι ιοδύναµο µε το πεδίο που δηµιουργούν δύο ηµειακές πηγές ρεύµατος και τοποθετηµένες τα ηµεία P(,, h ) και P (,, h), αντίτοιχα, αφού όµως το µέο () αντικαταταθεί από το µέο () (χήµα 5-5(β)). Ανάλογα, για το πεδίο το χώρο () θεωρούµε µια ηµειακή πηγή ρεύµατος τοποθετηµένη το ηµείο P(,, h ) αφού όµως το µέο () αντικαταταθεί από το µέο (ΙΙ) (χήµα 5-5(γ)). Οι υναρτήεις δυναµικού φ και φ έχουν τις εκφράεις φ = + 4π r r = + x + y + z h x + y + z + h / / 4 π ( ) ( ( ) φ = = 4 r 4 x + y + ( z h) και / π π (για z > ) () (για z < ) () Ο προδιοριµός των ρευµάτων και, γίνεται από τις (), () και τις δύο οριακές υνθήκες (α) και (β). Προς το κοπό αυτό, από την ιότητα των εφαπτοµενικών υνιτωών της ένταης E, ε µια τυχούα διεύθυνη x, πάνω το επίπεδο z =, επειδή E = φ, έχουµε φ φ = x x z= z= (3) ή, λόγω των () και (), x x x + = 4 π ( x y h ) ( x y h ) π ( x + y + h ) 3/ 3/ 3/ Επίης, από την ιότητα των καθέτων υνιτωών της πυκνότητας ρεύµατος, το ε- πίπεδο z =, επειδή J = E = φ, έχουµε ( Jn ) ( Jn ) z= z= ή = z z= z z= και, λόγω των (), (), (4) = (5) φ φ, (6) 86

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 h h h + = 4 π ( x y h ) ( x y h ) π ( x + y + h ) 3/ 3/ 3/ Από τις (4) και (7) προκύπτει το ύτηµα των εξιώεων (7) + = (8) και = +, (9) η επίλυη του οποίου δίνει = () + και = () + Με αντικατάταη των (), () τις () και () προκύπτουν οι εκφράεις της υνάρτηης δυναµικού τα δύο τµήµατα του πεδίου. Η ζητούµενη πυκνότητα επιφανειακών φορτίων ρ s πάνω το επίπεδο z =, υπολογίζεται από την ρs = D D = ε E εe, () n n n n όπου D n, E n και D n, E n οι κάθετες υνιτώες της διηλεκτρικής µετατόπιης και της ηλεκτρικής πεδιακής ένταης (το επίπεδο z = ) τα µέα () και (), αντίτοιχα. s Από την () και τις () και () έχουµε φ φ ρ = ε ε z z= z z= ε h ε h ε h = + 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 3/ 3/ 3/ π x + y + h π x + y + h π x + y + h, ή ρ s h ε ε ε = + 4 π( x + y + h ). (3) 3/ Η (3), λόγω των () και (), γράφεται ρ s h( ε ε) = 4 π ( )( ) 3/ + x + y + h (4) 87

48 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Από την (4) παρατηρούµε ότι την περίπτωη όπου µεταξύ των διηλεκτρικών ταθερών ε, ε και των ειδικών αγωγιµοτήτων και ιχύει η χέη =, (5) ε ε η πυκνότητα των επιφανειακών φορτίων τη διαχωριτική επιφάνεια z =, είναι παντού µηδεν. 5.9 Σε βάθος β από την επιφάνεια του εδάφους βρίκονται δύο οριζόντιοι ευθύγραµµοι παράλληλοι αγωγοί µεγάλου µήκους και αµελητέας διατοµής. Από τον ένα (τον δεξιά το επίπεδο χεδίαης) προάγεται το έδαφος υνεχές ρεύµα ένταης ανά µονάδα µήκους που απάγεται από το δεύτερο αγωγό. Αν α είναι η µεταξύ των δύο αγωγών οριζόντια απόταη και η ειδική αγωγιµότητα του εδάφους ζητούνται: (α) Να βρεθούν τα ως προς το άπειρο, δυναµικά των ηµείων του εδάφους και ειδικότερα τα δυναµικά των ηµείων της επιφάνειας του. (β) Να προδιοριτούν τα ηµεία της επιφάνειας του εδάφους, όπου η τιµή του δυναµικού είναι µηδέν, µέγιτη και ελάχιτη. Επίης, να υπολογιτούν οι ακραίες αυτές τιµές του δυναµικού. (γ) Να προδιοριτεί η διεύθυνη και η φορά της ηλεκτρικής ροής πάνω την επιφάνεια του εδάφους. (δ) Να βρεθεί η µέγιτη τάη µεία της επιφάνειας του εδάφους. V max που είναι δυνατό να µετρηθεί ανάµεα ε δυο η- (ε) Περιγράψτε πώς, αν δεν είναι γνωτή η θέη των αγωγών µέα το έδαφος, είναι δυνατή η εύρεη ηµείων µε διαφορά δυναµικού V max µόνο µε µέτρηη των τάεων ανάµεα ε ηµεία της επιφάνειας του εδάφους. Επίης, να εξηγηθεί πώς είναι δυνατό, όταν δίνονται τα και, να προδιοριτεί η θέη των αγωγών µέα το έδαφος (δηλαδή οι αποτάεις α και β ) µε µετρήεις πάνω την επιφάνεια του εδάφους; 88

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 O = β z έδαφος x A α α B (α) P(x,y,z) h () () h h Σχήµα 5-6(α)-(δ) () P(x,y,z) (+) (β) (γ) (δ) h () (α) Θεωρούµε ότι οι δύο αγωγοί είναι παράλληλοι προς τον άξονα z ενός καρτειανού υτήµατος υντεταγµένων που η αρχή του O βρίκεται πάνω την επιφάνεια του εδάφους (επίπεδο y = ) και ε ίη απόταη από τους δύο αγωγούς (χήµα 5-6(α)). Έτω, επίης, ότι A και B είναι τα ίχνη των δύο αγωγών το επίπεδο z =. Τα µεγέθη του πεδίου ε κάθε ηµείο του χώρου, προκύπτουν από την υπέρθεη των µεγεθών του πεδίου του κάθε αγωγού ξεχωριτά. Χρειάζεται εποµένως προηγούµενα, να επιλύουµε το πεδιακό πρόβληµα ενός αγωγού παράλληλου προς την επίπεδη διαχωριτική επιφάνεια δύο µέων µε ειδικές αγωγιµότητες και (χήµα 5-6(β)) που διαχέει οµοιόµορφα ένα ρεύµα ανά µονάδα µήκους. 89

50 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Το πρόβληµα επιλύεται µε τη µέθοδο των εικόνων, µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ε- πιλύθηκε το πρόβληµα 5.8. Έτι, το πεδίο τα ηµεία του µέου (), προκύπτει από την υπέρθεη των δύο γραµµικών πηγών ρεύµατος και (χήµα 5-6(γ)), ενώ το µέο () από τη γραµµική πηγή (χήµα 5-6(δ)), όπου = () + και = () + Στην περίπτωη όπου το µέο () είναι το έδαφος ( = ) και το µέο () ο περιβάλλων χώρος ( = ) οι () και () δίνουν = (3) και = (4) Το πεδίο, λοιπόν, τα ηµεία P του εδάφους, υπολογίζεται εύκολα από το ιοδύναµο ύτηµα του χήµατος 5-6(ε), που περιλαµβάνει και τις κατοπτρικές πηγές, τα υµµετρικά ηµεία A και B των A και B, ως προς την επιφάνεια του εδάφους. Έτι, αν r A, r B, r Α και r Β είναι οι αποτάεις του ηµείου P από τις τέερις πηγές, και r είναι οι αποτάεις ενός ηµείου αναφοράς των δυναµικών απείρως αποµακρυµένου ( r r r r r >> r, r, r, r ) από τις πηγές, τότε, τα δυναµικά το A, A, B, B, A B A B ηµείο P που οφείλονται αυτές είναι, αντίτοιχα β β A A r r A O r r r r A α α y B B r Β r Β P r x Σχήµα 5-6(ε) 9

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 φ P,A dr = = = r r EA() r dr ln, (5) ra π r A r π ra r και φ P,A φ φ P,B P,B r = ln, (6) π r A r = ln (7) π r B r = ln, (8) π r όπου η ηµαία του υµβόλου φ P,A είναι: το δυναµικό το ηµείο P που οφείλεται τη γραµµική πηγή που διέρχεται από το ηµείο A. Ανάλογη είναι και η ηµαία των άλλων υµβόλων φ P,A, φ P,B και φ P,B. Από την υπέρθεη των (5), (6), (7) και (8) προκύπτει το δυναµικό φ P το τυχόν η- µείο P του εδάφους φ φ φ φ φ B A A P = P,A + P,A + P,B + ln P,B = (9) π rr B B ή, αν εκφράουµε τις r A, r B, r A και r B ε καρτειανές υντεταγµένες ( x α) ( y β) )(( x α) ( y β) φp(,, xyz) = ln. () 4 π ( x α) + ( y β) )(( x α) + ( y + β) Ειδικά, για τα ηµεία της επιφάνειας του εδάφους όπου ra = r A, rb = r B και y =, από τις (9) και () προκύπτει ra ( x + α) + β φ() x = ln = ln () π rb π ( x α) + β (β) Από την () υµπεραίνουµε ότι για τα ηµεία µηδενικού δυναµικού της επιφάνειας του εδάφους (εκτός των ηµείων του απείρου: x =± ) ιχύει η δηλαδή µηδενικό δυναµικό έχουν όλα τα ηµεία του άξονα z. rr x = x =, () 9

52 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Τα ηµεία µέγιτου και ελάχιτου δυναµικού προκύπτουν από το µηδενιµό της πρώτης παραγώγου dφ / dx και το πρόηµο της δεύτερης παραγώγου d φ / dx. Έτι, από την () εύκολα παρατηρούµε ότι για έχουµε ενώ για x x α β = = + +, (3) d φ d φ = και <, (4) dx dx x x α β = = +, (5) έχουµε d φ d φ = και > (6) dx dx ηλαδή, η (3) καθορίζει τα ηµεία µέγιτου δυναµικού και η (6) τα ηµεία ελάχιτου δυναµικού. Εξ άλλου, όπως εύκολα φαίνεται, η φ () x είναι περιττή υνάρτηη ως προς x ( φ() x = φ( x) ), και υνεπώς, αφού για για x = α + β έχουµε θέη ελάχιτου και αντίτροφα. x = α + β έχουµε θέη µέγιτου φ( x) φ max x = α + β Ο x = α + β x φ min Σχήµα 5-6 (τ) 9

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Από την αντικατάταη των (3) και (5) την () προκύπτει η µέγιτη τιµή και η ελάχιτη τιµή φ min του δυναµικού φ ( ) ( ) α+ α + β + β α+ α + β = φ = ln = ln π α + β α + β π β max min φ max Στο χήµα 5-6(τ) παρίταται γραφικά η µεταβολή του δυναµικού φ () x πάνω την επιφάνεια του εδάφους, υναρτήει της απόταης x. (γ) Είναι φανερό ότι την επιφάνεια του εδάφους, επειδή η κάθετη αυτήν υνιτώα J n της πυκνότητας του ρεύµατος είναι ίη µε µηδέν (τον αέρα = και Jn = Jn), η πυκνότητα του ρεύµατος J έχει τη διεύθυνη του άξονα x. Προκειµένου να προδιορίουµε τη φορά της J (ή της E ) από την () και την µηδενική υνιτώα της ένταης E είναι η δηλαδή, για E z, έχουµε (7) E = φ, επειδή η µοναδική µη E φ α x ( α + β ) = E x x = = x x π ( x + α) + β ( x α) + β x, (8) η ηλεκτρική ροή έχει τη φορά του θετικού ηµιάξονα x, ενώ για η ηλεκτρική ροή έχει τη φορά του αρνητικού ηµιάξονα x. x > α + β, (9) x < α + β, () (δ) Η µέγιτη τάη V max που µπορεί να µετρηθεί θα είναι, προφανώς, η τάη µεταξύ των ηµείων µέγιτου δυναµικού φ max και των ηµείων ελάχιτου δυναµικού φ min. Έτι, από την (7) προκύπτει α+ α + β Vmax = φmax φmin = φmax = ln. () π β ε) Για την απάντηη το τελευταίο ερώτηµα, θεωρούµε ότι τερεώνουµε τον αρνητικό ακροδέκτη του οργάνου του χήµατος 5-6(ζ) ένα τυχόν ηµείο K της επιφάνειας του εδάφους και µετρούµε τη διαφορά δυναµικού V PK µεταξύ του K και ενός άλλου τυχόντος ηµείου P της επιφάνειας. Στη υνέχεια, µετακινούµε το θετικό ακροδέκτη του 93

54 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ οργάνου, τα ηµεία της περιφέρειας που γράφεται µε κέντρο το K και ακτίνα την KP. Μόλις το όργανο ηµειώει ένδειξη V PK ίη µε την προηγούµενη ένδειξη V PK, ηµειώνουµε το ηµείο P, οπότε γνωρίζουµε ότι οι αγωγοί είναι παράλληλοι προς την PP, ενώ η κάθετη από το K την PP µας δίνει τη διεύθυνη του άξονα x. Στη υνέχεια, αρχίζουµε και µετακινούµε το θετικό ακροδέκτη πάνω την KK, αρχικά δεξιά του K και µετά αριτερά του K. Οι τιµές που καταγράφει το όργανο αυξάνουν (ή µειώνονται) µονότονα όο ο θετικός ακροδέκτης µετακινείται προς τα δεξιά µέχρις ενός ηµείου P οπότε αρχίζουν να φθίνουν (ή να αυξάνουν) µονότονα. Το ηµείο αυτό µας καθορίζει τη θέη µέγιτου (ή ελάχιτου) δυναµικού. Παρόµοια, από τη µετακίνηη του θετικού ακροδέκτη προς τα αριτερά εντοπίζουµε και το ηµείο ελάχιτου (ή µέγιτου) δυναµικού P. Η διαφορά δυναµικού µεταξύ των δύο ηµείων P και P µας δίνει τη µέγιτη τάη V max. Είναι φανερό, ότι την περίπτωη που το ηµείο K, είναι αριτερά του P ή δεξιά του P, η µετακίνηη του θετικού ακροδέκτη γίνεται υνεχώς προς την ίδια κατεύθυνη. V η µεταξύ τους µέγιτη διαφορά δυναµικού, οι αποτάεις a και β, που καθορίz P V P O K P K y P θέη ελαχίτου l = α + β l = α + β θέη µεγίτου α α (Άγνωτες θέεις αγωγών) Σχήµα 5-6 (ζ) Αν l είναι η απόταη των ηµείων P και P που εντοπίτηκαν προηγούµενα και 94

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ζουν επακριβώς τη θέη των αγωγών (αφού η αρχή O βρίκεται το µέο της PP ), υπολογίζονται, λόγω των (3) και (), από το ύτηµα των εξιώεων και α + β = l () ln π α+ α + β β = V (3) 5. Σ ένα οµοιόµορφο πεδίο ροής J εκτεινόµενο ένα απέραντο οµογενές και ιότροπο µέο ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας, ειάγεται φαίρα ακτίνας R και ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας. Να αποδειχτεί ότι η πυκνότητα J του ηλεκτρικού ρεύµατος µέα τη φαίρα δίνεται από την 3 J = J, + και να βρεθεί ο λόγος της θερµότητας που παράγεται τον όγκο της φαίρας προς τη θερµότητα που θα παράγονταν τον ίδιο όγκο, αν ολόκληρος ο χώρος είχε ειδική αγωγιµότητα. z P( r, θϕ, ) θ R J J Σχήµα

56 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Όπως και το αντίτοιχο ηλεκτροτατικό πρόβληµα, έτι κι εδώ, ζητούµε να προδιορίουµε δύο υναρτήεις δυναµικού φ, φ που δίνουν τα δυναµικά µέα κι έξω από τη φαίρα αντίτοιχα, της µορφής B φ = Ar + cos θ + C r B φ = Ar + cos θ + C r (για r (για r R ), () R ), () όπου οι ταθερές A, A, B, B, C και C υπολογίζονται από τις εξής οριακές υνθήκες: (α) Ιότητα των εφαπτοµενικών υνιτωών της ηλεκτρικής πεδιακής ένταης πάνω την επιφάνεια της φαίρας ( r = R) : Πρέπει δηλαδή να ικανοποιείται η φ φ = r θ r θ r= R r= R (3) ή, λόγω των () και (), η B B AR + AR R = + R (4) (β) Ιότητα των καθέτων υνιτωών της πυκνότητας ρεύµατος για r = R. Η υνθήκη αυτή δίνει φ φ = r r= R r r= R, (5) B B A 3 A = 3 R R (6) (γ) Η υνάρτηη φ πρέπει να λαµβάνει πεπεραµένες τιµές για οποιαδήποτε τιµή των r και θ. Πρέπει, εποµένως, να ιχύει η B = (7) (δ) Η πυκνότητα του ρεύµατος τα ηµεία του χώρου που απέχουν πάρα πολύ από το κέντρο της φαίρας, πρέπει να εξακολουθεί να είναι J. Έτι, για r, είναι και φ = Arcos θ + C = Az + C (8) 96

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 J ϕ J = J = z = E = = A z z z (9) ή J = A () (ε) Συνέχεια του δυναµικού πάνω τη διαχωριτική επιφάνεια: φ( R) = φ( R). Για την ικανοποίηη της υνθήκης αυτής, οι () και () δίνουν B B AR cos θ C AR + + = + cos θ + C R R () Από την () προκύπτει και πάλι η (4) και η C = C () Μετά τον υπολογιµό των ταθερών A, A, B, B, C, C από τις (4), (6), (7), () και () και την αντικατάταή τους τις () και () έχουµε και 3J φ = r cos θ + C + (3) φ J 3 = R r cosθ C r (4) Από την (3) που γράφεται και ως 3J φ = z + C +, (5) υπολογίζεται η ένταη E και η πυκνότητα του ρεύµατος J το εωτερικό της φαίρας: ϕ 3J E = z = z (6) z + και J 3 = E = J (7) + Από τις (6) και (7) παρατηρούµε ότι το πεδίο το εωτερικό της φαίρας είναι ο- µοιόµορφο και παράλληλο προς την αρχική διεύθυνη του εξωτερικού πεδίου. ύο ειδικές περιπτώεις που αξίζει να εξετατούν είναι οι ακόλουθες: (α) Όταν έχουµε υπεραγώγιµη φαίρα, όταν δηλαδή είναι 97

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ

ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ XΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΙΑ ΟΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΗ ΑΓΩΓΙΜΑ ΜΕΣΑ ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ.3 ΧΙ.4 Φαική ταθερά ιάοης κύµατος β Μονοιάτατη εξίωη Helmholt για τις υνιτώες των ιανυµάτων H και ( H ) επιπέου κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 - ΖΩΓΡΑΦΟΥ, 157 73 ΑΘΗΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ ΤΕΛΕΙΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του λόγου e/m του ηλεκτρονίου

Μέτρηση του λόγου e/m του ηλεκτρονίου Άκηη 4 Μέτρηη του λόγου e/m του ηλεκτρονίου 4.. Σκοπός Στην Άκηη αυτή µελετάται η κίνηη δέµης ηλεκτρονίων µέα ε κάθετο οµογενές µαγνητικό πεδίο και προδιορίζεται ο λόγος e/m (φορτίο προς µάζα) του ηλεκτρονίου.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Guss 22.36.Μία αγώγιμη σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα βρίσκεται στο εσωτερικό μίας κοίλης ομόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Ονοματεπώνυμο. Τμήμα

ΘΕΜΑ 1. Ονοματεπώνυμο. Τμήμα Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-007) Ηλεκτρομαγνητισμός Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1 Α. Μια μονωτική ράβδος μήκους l φέρει ομογενώς κατανεμημένο θετικό φορτίο Q και είναι διατεταγμένη κατά μήκος του

Διαβάστε περισσότερα

1. Ρεύμα επιπρόσθετα

1. Ρεύμα επιπρόσθετα 1. Ρεύμα Ρεύμα είναι οποιαδήποτε κίνηση φορτίων μεταξύ δύο περιοχών. Για να διατηρηθεί σταθερή ροή φορτίου σε αγωγό πρέπει να ασκείται μια σταθερή δύναμη στα κινούμενα φορτία. r F r qe Η δύναμη αυτή δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Ημερομηνία Παράδοσης: 9/6/9 1. Ένας ομογενώς φορτισμένος μονωτικός κυκλικός δίσκος ακτίνας με συνολικό φορτίο τοποθετείται στο επίπεδο xy. Να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο P που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύµα ampere

ηλεκτρικό ρεύµα ampere Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010 ΦΥΕ4, 9--Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 8/6/ Άσκηση A) Μια ράβδος μήκους είναι ομοιόμορφα φορτισμένη θετικά με συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται κατά μήκος του θετικού άξονα x από το σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΘΕΜΑ 1ο ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Η αντίσταση ενός µεταλλικού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ροή ηλεκτρικών φορτίων. Θεωρούμε ότι έχουμε για συγκέντρωση φορτίου που κινείται και διέρχεται κάθετα από

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Νόµος των Wiedemann-Franz

Νόµος των Wiedemann-Franz Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όπως θα παρατηρήσετε, τα θέματα αφορούν σε θεωρία που έχει διδαχθεί στις παραδόσεις και σε ασκήσεις που είτε προέρχονται από τα λυμένα παραδείγματα του βιβλίου, είτε έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ-ΙΟΥΝΙΟΣ 2011

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ-ΙΟΥΝΙΟΣ 2011 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ-ΙΟΥΝΙΟΣ 2011 Κυκλώνουμε τις σωστές απαντήσεις στο παρών φυλλάδιο το άλλο φυλλάδιο είναι πρόχειρο. Κάθε σωστή απάντηση μετρά 0.5 μονάδες ενώ κάθε λάθος -0.1 μονάδες. Δίδεται k=1/(4πε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Ενιαίου Λυκείου ευτέρα 26 Γενάρη 2015 Στατικός Ηλεκτρισµός/Συνεχές Ρεύµα. Συνοπτικές Λύσεις. Θέµα Α.

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Ενιαίου Λυκείου ευτέρα 26 Γενάρη 2015 Στατικός Ηλεκτρισµός/Συνεχές Ρεύµα. Συνοπτικές Λύσεις. Θέµα Α. Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Ενιαίου Λυκείου ευτέρα 26 Γενάρη 2015 Στατικός Ηλεκτρισµός/Συνεχές Ρεύµα Συνοπτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενα ϕορτίο q 1 = 4µC και ένα ϕορτίο q 2 = 8µC απέχουν µεταξύ τους απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Χωρητικότητα Εικόνα: Όλες οι παραπάνω συσκευές είναι πυκνωτές, οι οποίοι αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο και ενέργεια. Ο πυκνωτής είναι ένα είδος κυκλώματος που μπορούμε να συνδυάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ Ανδρέας Ζούπας 2 Αυγούστου 212 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-1

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύμα ampere

ηλεκτρικό ρεύμα ampere Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ο ρυθμός με τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από μια περιοχή του χώρου. Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος στο σύστημα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα