Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ"

Transcript

1 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα µοντέλα που ακολουθούν αυτό το πρότυπο είναι ε θέη να υπολογίουν τις µέες υγκεντρώεις ρύπων που εκπέµπονται από υνεχείς ανυψωµένες πηγές µε ικανοποιητική ακρίβεια, ιδιαίτερα για ρυθµιτικές εφαρµογές. Αν και η εφαρµοιµότητα αυτών των µοντέλων περιορίζεται ε υνθήκες ταιµότητας και οµοιογένειας η απλότητα, η ευκολία τη χρήη και οι χαµηλές απαιτήεις ε τοιχεία ειαγωγής είχαν αν αποτέλεµα να γίνουν ιδιαίτερα δηµοφιλή και χρήιµα, ιδιαίτερα την επιτηµονική κοινότητα που αχολείται µε µελέτες περιβαλλοντικών επιπτώεων. 5.1 Κανονική κατανοµή Ο τύπος της κανονικής κατανοµής δηµοιεύτηκε πρώτη φορά από τον Abraam De Moivre to 1733 αλλά πολλοί άλλοι µαθηµατικοί υνέβαλλαν επίης την περιγραφή της κατανοµής, µεταξύ άλλων, ο Frierdrich Gauss ( ). Σε αναγνώριη της υµβολής του, η κατανοµή ονοµάζεται πολλές φορές, κατανοµή Gauss. Η κανονική κατανοµή αποτελεί το περιότερο χρηιµοποιούµενο πρότυπο κατανοµής λόγω του ότι περιγράφει µε επιτυχία πολλά φαινόµενα τα οποία εξαρτώνται από τυχαίες υνεχείς µεταβλητές. Η µαθηµατική περιγραφή της κανονικής κατανοµής δίνεται από τη χέη Ν = e π (x-m ) - y (5.1) όπου είναι η τυπική απόκλιη, Μ είναι η µέη τιµή και Ν είναι ο υνολικός αριθµός των παρατηρήεων (όταν η υχνότητα δίνεται επί της εκατό τότε Ν = 100%). 64

2 Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/ Όταν γίνει γραφική παράταη µε το (x-μ) τη τετµηµένη και το y τη τεταγµένη, η υνάρτηη εµφανίζεται µε χήµα καµπάνας (χήµα 5.1). Οι κυριότερες ιδιότητες της κανονικής κατανοµής είναι οι παρακάτω: α. Η κανονική κατανοµή είναι υµµετρική και µία ηµαντική της ιδιότητα είναι ότι η µέη τιµή (mean value), η επικρατούα τιµή (mode) και η διάµεος (median) υµπίπτουν. β. 68% των παρατηρήεων βρίκονται το διάτηµα µεταξύ Μ - και Μ + ενώ 95% των παρατηρήεων βρίκονται το διάτηµα Μ - και Μ +. γ. Η κανονική κατανοµή ορίζεται πλήρως από τις παραµέτρους Μ και. Με άλλα λόγια, διαφορετικοί υνδυαµοί των Μ και καθορίζουν διαφορετικές κανονικές κατανοµές. ιαφορετικές τιµές του Μ µετακινούν την καµπύλη της κατανοµής κατά µήκος του άξονα των x. ιαφορετικές τιµές του προδιορίζουν ε ποιο βαθµό η καµπύλη γίνεται επίπεδη ή αιχµηρή. δ. Το άθροιµα (ή η διαφορά) δύο ανεξάρτητων κανονικών κατανοµών είναι επίης κανονική κατανοµή. Στις Περιβαλλοντικές επιτήµες η κανονική κατανοµή έχει εφαρµογή ε πολλές περιπτώεις. Η κατανοµή π.χ. των φαλµάτων των µετρήεων είναι υχνά κανονική κατανοµή γιατί οι διάφοροι παράγοντες που προκαλούν τα φάλµατα είναι ανεξάρτητοι µεταξύ τους και εµφανίζονται τυχαία. Κατά την επανειληµµένη ζύγιη ενός δείγµατος π.χ. βρίκονται, λόγω τυχαίων φαλµάτων, διαφορετικές τιµές οι οποίες ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Όπως θα αναφερθεί τα επόµενα 65

3 κεφάλαια, η κανονική κατανοµή χρηιµοποιείται την περιγραφή της εγκάριας και της κατακόρυφης κατανοµής των υγκεντρώεων ε ένα θύανο. 5. Προϋποθέεις για την εφαρµογή των µοντέλων Θυάνου του Gauss Είναι υνηθιµένη πρακτική να χρηιµοποιούνται για τον υπολογιµό της διαποράς µοντέλα τα οποία βαίζονται την παραδοχή του θυάνου του Gauss. Πριν την εφαρµογή κάποιου τέτοιου µοντέλου και προκειµένου να διαφαλιτεί όο το δυνατόν η αξιοπιτία των αποτελεµάτων του µοντέλου θα πρέπει να εξετάουµε το κατά πόο την υπό µελέτη περίπτωη πληρούνται οι υποθέεις πάνω τις οποίες βαίζεται το µοντέλο του θυάνου του Gauss. Μία βαική καταγραφή περιλαµβάνει τα παρακάτω: Η εκποµπή είναι υνεχής ή τουλάχιτον η εκποµπή γίνεται για χρονική περίοδο η οποία είναι µεγαλύτερη του χρόνου διαδροµής από την πηγή ως το ηµείο το οποίο εξετάζουµε τις υγκεντρώεις. Αν βέβαια η εφαρµογή του µοντέλου θυάνου του Gauss γίνεται ε ωριαία βάη τότε η εκποµπή θα πρέπει να διαρκεί τουλάχιτον µία ώρα. Οι ρύποι είναι χετικά αδρανείς και την περίπτωη των αερολυµάτων η διάµετρός τους είναι µικρότερη περίπου από τα 0 µm, άρα παραµένουν αιωρούµενα την ατµόφαιρα για τις χρονικές κλίµακες που µελετάµε. Πρέπει πάντως να τονιτεί ότι ε πολλά µοντέλα χρηιµοποιούνται τεχνικές οι οποίες επιτρέπουν την παράκαµψη αυτού του περιοριµού. Στην ατµόφαιρα επικρατούν υνθήκες ταιµότητας, δηλ. οι µετεωρολογικές υνθήκες δεν αλλάζουν για το χρονικό διάτηµα που χρειάζεται για να µεταφερθούν οι ρύποι από την πηγή ως τους αποδέκτες. Στις περιότερες περιπτώεις αυτή η υνθήκη ικανοποιείται χετικά εύκολα. Π.χ. τις περιπτώεις που µελετάµε την διαπορά ε τοπική κλίµακα (x<=10 km) και ο άνεµος είναι 5 ms -1 τότε ο χρόνος που χρειάζεται για να µεταφερθούν οι ρύποι από την πηγή ως το άκρο της υπό µελέτη περιοχής είναι µικρότερος των περίπου 35 λεπτών. Όπως αναφέρθηκε και ε προηγούµενη περίπτωη, αν η εφαρµογή του µοντέλου θυάνου του Gauss γίνεται ε ωριαία βάη τότε θα πρέπει να πληρούται το αυτηρότερο των δύο κριτηρίων (ε αυτή την περίπτωη θα πρέπει οι υνθήκες ταιµότητας να επικρατούν τουλάχιτον για 60 λεπτά). Η ταχύτητα και η διεύθυνη του ανέµου δεν παρουιάζουν µεγάλες µεταβολές µε το ύψος, τουλάχιτον το τρώµα που καλύπτει ο θύανος. 66

4 Σχήµα 5. : (α) Η τιγµιαία υµπεριφορά θυάνων καπνού ε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Η τιγµιαία κατανοµή της υγκέντρωης του κούρου θυάνου φαίνεται τα δεξιά του χήµατος. (β) Η µέη υµπεριφορά πολλών θυάνων (χρονική µέη τιµή). Η µέη υγκέντρωη που εµφανίζεται τα δεξιά του χήµατος ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Σχήµα 5.3 : Η κατανοµή της µέης τιµής 1 ώρας και 1 λεπτού, αντίτοιχα, της υγκέντρωης ενός αέριου ρύπου κατά την διεύθυνη του πνέοντος ανέµου. Στην αριτερή πλευρά φαίνεται η µορφή του θυάνου ενώ την δεξιά µεριά εµφανίζονται οι εγκάριες κατανοµές των υγκεντρώεων. 67

5 Η βαική προϋπόθεη για την εφαρµογή του µοντέλου του θυάνου του Gauss είναι ότι οι κατανοµές της µέης υγκέντρωης τόο την εγκάρια όο και την κατακόρυφη διεύθυνη είναι περίπου κανονικές (ανεξάρτητες η µία της άλλης). Σε επόµενο κεφάλαιο θα απαριθµήουµε οριµένες περιπτώεις όπου γνωρίζουµε από την εµπειρία µας ότι η εφαρµογή του µοντέλου του θυάνου του Gauss είναι λιγότερο ενδεδειγµένη. Είναι ηµαντικό εδώ να διευκρινίουµε την διαφορά ανάµεα την κατανοµή των τιγµιαίων και των µέων υγκεντρώεων. Η διαφορά αυτή παρουιάζεται το χήµα 5. το οποίο δείχνει ένα τιγµιότυπο της υγκέντρωης καθώς και την µέη υγκέντρωη ενός ορατού αέριου ρύπου (π.χ. καπνού). Όπως φαίνεται ' αυτό το χήµα η τιγµιαία υγκέντρωη του ρύπου δεν ακολουθεί την κανονική κατανοµή ενώ το τιγµιότυπο του θυάνου παρουιάζει κάποιους χαρακτηριτικούς µαιάνδρους. Από την άλλη µεριά η κατανοµή της µέης υγκέντρωης την κατακόρυφη διεύθυνη είναι περίπου κανονική ενώ και ο θύανος είναι υµµετρικά κατανεµηµένος γύρω από τον κεντρικό άξονα (το κέντρο µάζας των ρύπων). Στο χήµα 5.3 εµφανίζεται η κατανοµή της µέης τιµής 1 ώρας και 1 λεπτού, αντίτοιχα, της υγκέντρωης ενός αέριου ρύπου την εγκάρια διεύθυνη. Από το χήµα αυτό είναι φανερό ότι ούτε η µέη τιµή του 1 λεπτού ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Το ερώτηµα που προκύπτει είναι πόο µεγάλη πρέπει να είναι η περίοδος την οποία υπολογίζουµε την µέη τιµή. Στην πράξη, το µοντέλο του θυάνου του Gauss χρηιµοποιείται υνήθως για τον υπολογιµό των µέων ωριαίων τιµών υγκεντρώεων. Υπάρχουν όµως ενδείξεις ότι η κατανοµή του Gauss εµφανίζεται και ε µέες τιµές που αφορούν µικρότερα χρονικά διατήµατα, υνήθως της τάξης των λίγων έως δεκαπέντε λεπτών. 5.3 Οι εξιώεις του Gauss Η καταγωγή του µοντέλου του θυάνου του Gauss βρίκεται την επιτηµονική εργαία των Sutton (193), Pasquill (1961) και Gifford(1961). Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουµε χρήη ενός ορθογώνιου υτήµατος υντεταγµένων του οποίου η αρχή είναι το έδαφος, ο άξονας x είναι προς την µέη διεύθυνη του ανέµου, ο άξονας y κάθετα προς την διεύθυνη του ανέµου το οριζόντιο επίπεδο (εγκάρια διεύθυνη) και ο άξονας κατακόρυφα (χήµα 3.6). Στην περίπτωη ηµειακής πηγής ε επίπεδη περιοχή κατά την οποία οι ρύποι ακολουθούν πιτά τις κινήεις της ατµόφαιρας χωρίς να αποτίθενται την επιφάνεια της γης ή να υπόκεινται ε χηµικούς µεταχηµατιµούς ιχύει η παρακάτω εξίωη: χ( x, y, ) Q exp ( H ) exp = πu y y y (5.) 68

6 όπου την παραπάνω εξίωη χρηιµοποιήθηκαν τα παρακάτω ύµβολα: χ(x,y,) υγκέντρωη του αέριου ρύπου το ηµείο (x,y,), υνήθως µg m-3 Q ρυθµός εκποµπής του υπό µελέτη ρύπου, υνήθως µg s -1 u y H ταχύτητα του ανέµου, ms-1 τυπική απόκλιη της εγκάριας κατανοµής της υγκέντρωης (υνάρτηη της απόταης x από την πηγή και της επικρατούας ευτάθειας), m τυπική απόκλιη της κατακόρυφης κατανοµής της υγκέντρωης (υνάρτηη της απόταης x από την πηγή και της επικρατούας ευτάθειας), m ύψος του κεντρικού άξονα του θυάνου, m. Το Η περιλαµβάνει τόο το φυικό ύψος εκποµπής όο και την ενδεχόµενη ανύψωη του θυάνου. Σχήµα 5.4 : Η κατανοµή των υγκεντρώεων ε ένα θύανο του Gauss. Στο χήµα φαίνονται ακόµα οι υντεταγµένες κάποιων χαρακτηριτικών ηµείων. 69

7 Το ύψος του κεντρικού άξονας του θυάνου, Η c, ορίζεται από το κέντρο µάζας των ρύπων, θα µπορούε δηλ. να θεωρηθεί αν το µέο ύψος του θυάνου. Αν υποθέουµε ότι γνωρίζουµε ε διάφορα ύψη n τις αντίτοιχες µέες υγκεντρώεις χ n, τότε το ύψος του κεντρικού άξονα ορίζεται από την εξίωη: H c N χ n n= 1 = N n= 1 χ n n (5.3) όπου Ν είναι ο υνολικός αριθµός των υψών όπου η υγκέντρωη είναι γνωτή. Σε πολλές περιπτώεις, και ιδιαίτερα όταν εργαζόµατε µε µέες τιµές 1 ώρας, τα όρια του θυάνου είναι δυδιάκριτα γιατί οι υγκεντρώεις προεγγίζουν βαθµιαία το µηδέν (θεωρητικά, την κανονική κατανοµή οι υγκεντρώεις τείνουν αυµπτωτικά προς το µηδέν). Προκειµένου λοιπόν να µετρηθεί η εγκάρια και η κατακόρυφη διαπορά του θυάνου χρηιµοποιείται η τυπική απόκλιη της θέης των ρύπων, y και. Σε αναλογία µε το προηγούµενο παράδειγµα, η τυπική απόκλιη την κατακόρυφη διεύθυνη ορίζεται από την εξίωη: N χ n ( n H c ) n= 1 = N (5.4) χ n= 1 n όπου είναι το τετράγωνο της τυπικής απόκλιης. Μια παρόµοια εξίωη µε την προηγούµενη µπορεί να οριθεί για την εγκάρια τυπική απόκλιη, y. Με την βοήθεια των τυπικών αποκλίεων µπορούν να οριθούν τα όρια του θυάνου. Για πρακτικούς κοπούς αυτά υνήθως ορίζονται αν τα ηµεία όπου η υγκέντρωη πέφτει το 10% της αντίτοιχης του κεντρικού άξονα. Σε αυτή την περίπτωη η κατακόρυφη διαπορά του θυάνου (η διαφορά του ύψους ανάµεα το ανώτερο και το κατώτερο όριο) δίνεται από την χέη: δ = 4.3 (5.5) Αντίτοιχα ορίζονται τα πλευρικά όρια και το πλάτος του θυάνου (χήµα 5.5). 70

8 Σχήµα 5.5 : Οριµός των εννοιών όρια του θυάνου και πλάτος του θυάνου Σχήµα 5.6 : Εγκάρια τοµή διαµέου ενός θυάνου του Gauss µε y =0m και =0m. Η υγκέντρωη εκφράζεται ε χετικές µονάδες, όπου 1 είναι η υγκέντρωη τον κεντρικό άξονα του θυάνου. 71

9 Από την εξίωη (5.) µπορούµε να βγάλουµε κάποια υµπεράµατα: α. Οι υγκεντρώεις ε κάποιο ηµείο είναι ευθέως ανάλογες του ρυθµού εκποµπής Q. Αν οι υπόλοιπες υνθήκες παραµένουν ταθερές, οι αλλαγές τις εκποµπές θα µεταβάλλουν γραµµικά τις υγκεντρώεις των ρύπων. β. Οι υγκεντρώεις µειώνονται όο αυξάνεται η ταχύτητα του ανέµου. Σ' αυτή την περίπτωη δεν µπορούµε να µιλάµε για γραµµική χέη γιατί όπως θα αναπτύξουµε το επόµενο κεφάλαιο τα y και µεταβάλλονται επίης µε την ταχύτητα του ανέµου ενώ ακόµη ο άνεµος υπειέρχεται την εξίωη υπολογιµού του ενεργού ύψους εκποµπής. Σχήµα 5.7 : Το αποτύπωµα του θυάνου ε υνθήκες χαµηλών και µέτριων ανέµων, αντίτοιχα. Οι διακεκοµµένες γραµµές δείχνουν τα όρια εµπιτούνης λόγω των ταλαντεύεων της διεύθυνης του ανέµου. Περιλαµβάνουν την περιοχή µέα την οποία ο θύανος θα παραµείνει µε πιθανότητα 95%. 7

10 γ. Οι υγκεντρώεις µειώνονται όο αυξάνονται οι δύο τυπικές αποκλίεις, y και. Όπως θα παρουιάουµε το επόµενο κεφάλαιο τα y και αυξάνονται µε την απόταη από την πηγή και µειώνονται όο αυξάνεται η ευτάθεια της ατµόφαιρας. Στο χήµα 5.8 εµφανίζεται η επίδραη της ατµοφαιρικής ευτάθειας τις υγκεντρώεις που προέρχονται από µια ανυψωµένη πηγή. Παρά το γεγονός ότι η διαπορά είναι µεγαλύτερη ε υνθήκες ατάθειας ε ύγκριη µε ευταθείς υνθήκες, οι πρώτες δίνουν υψηλότερες υγκεντρώεις κοντά την πηγή. Η εξήγηη αυτής της παράδοξης υµπεριφοράς βρίκειται την υµπεριφορά του θυάνου ο οποίος ε υνθήκες ατάθειας φθάνει νωρίτερα το έδαφος. Σχήµα 5.8 : Επίδραη της ατµοφαιρικής ευτάθειας τις υγκεντρώεις από µια ανυψωµένη πηγή. a. Ουδέτερη τρωµάτωη b. Ευταθείς υνθήκες c. Αταθείς υνθήκες. Όπως προκύπτει από προεκτική εξέταη της εξίωης (5.) το µοντέλο του θυάνου του Gauss δεν µπορεί να χρηιµοποιηθεί ε περίπτωη που η ταχύτητα του ανέµου είναι ίη µε µηδέν. Στην πραγµατικότητα όµως ακόµα και την περίπτωη που τα ανεµόµετρα δείχνουν ταχύτητα του ανέµου ίη µε το µηδέν αυτό δεν ηµαίνει ότι ο άνεµος έχει ταµατήει εντελώς (αυτό είναι πολύ πάνια κατάταη) αλλά απλούτατα ότι ο άνεµος είναι µικρότερος από το κατώφλι του 73

11 ανεµόµετρου και δεν µπορεί να µετρηθεί. Γι' αυτό τον λόγο η άπνοια ορίζεται αν η ατµοφαιρική κατάταη κατά την οποία ο άνεµος είναι µικρότερος ή ίος του 0.5 ms-1. Είναι λοιπόν πολύ ηµαντικό την περίπτωη που πραγµατοποιούνται µετρήεις του ανέµου για την µελέτη της διαποράς ε µία περιοχή να χρηιµοποιούνται ανεµόµετρα τα οποία έχουν µικρό κατώφλι και µπορούν να µετρήουν ικανοποιητικά χαµηλές ταχύτητες ανέµου. Από την εξίωη (5.) µπορούµε να υπολογίουµε τις εξιώεις για κάποιες ενδιαφέρουες ειδικές περιπτώεις. Συχνά π.χ. µας ενδιαφέρει να υπολογίουµε τις µέγιτες υγκεντρώεις το έδαφος. Όπως αναφέρθηκε προηγούµενα αυτές οι υγκεντρώεις αναµένονται κατά µήκος της προβολής του κεντρικού άξονα του θυάνου το έδαφος, δηλ. για y=0 (κεντρικός άξονας) και =0 (έδαφος). Η εξίωη που προκύπτει είναι η παρακάτω: exp χ Q H ( x,0,0) = πu y (5.6) Οι απολύτως µέγιτες υγκεντρώεις αναµένονται κατά µήκος του κεντρικού άξονα του θυάνου (y=0) το ενεργό ύψος εκποµπής (=H) δηλ. : Q χ( x,0, H ) = (5.7) πu y Οι υγκεντρώεις το έδαφος (=0) δίνονται από την χέη : χ( x, y,0) Q exp exp = πu y y y H (5.8) 5.4 Προδιοριµός των y και 5.4.α Από µετρήεις των διακυµάνεων του ανέµου. Σε πολλές περιπτώεις υπάρχουν διαθέιµες µετρήεις των γρήγορων διακυµάνεων του ανέµου. Οι µετρήεις αυτές γίνονται υνήθως ε ύψος 10 µέτρων και για αυτό τον κοπό χρηιµοποιούνται ανεµόµετρα και/ή ανεµοδείκτες µε µικρή χρονική ταθερά (π.χ. ανεµόµετρα µε προπέλες, u,v,w ύτηµα ανεµόµετρου, ηχητικό ανεµόµετρο κτλ.). Οι παράµετροι που µπορούν να χρηιµοποιηθούν ' αυτές 74

12 τις περιπτώεις για τον προδιοριµό των y και είναι οι τυπικές αποκλίεις της οριζόντιας και της κατακόρυφης διεύθυνης του ανέµου, φ και e αντίτοιχα. Οι τυπικές αποκλίεις της κατανοµής των υγκεντρώεων των ρύπων ε κάποια απόταη x δίνονται ε αυτή την περίπτωη από τις χέεις: y = x φ f y (5.9) = x e f (5.10) όπου τα y και δίνονται ε µέτρα, τα φ και e ε ακτίνια. Οι παράµετροι fy και f δίνονται από τις χέεις fy = 1 / [1+0.9(x/1000u)0.5] (5.11) f = 1 / [1+0.9(x/500u)0.5] (υνθήκες ατάθειας) (5.1) f = 1 / [1+0.9(x/50u) 0.5 ] (υνθήκες ευτάθειας) (5.13) 5.4.β Κλάεις ευτάθειας κατά Pasquill Η απλούτερη, αν και όχι ιδιαίτερα ακριβής, µέθοδος για τον προδιοριµό των υνθηκών ευτάθειας της ατµόφαιρας είναι µε την χρήη των κλάεων ευτάθειας κατά Pasquill. Όπως φανερώνει το όνοµα η µέθοδος αυτή παρουιάτηκε πρώτα από τον Pasquill (1961) αν και έχει αργότερα υποτεί κάποιες τροποποιήεις από άλλους ερευνητές και γι' αυτό υναντάται την βιβλιογραφία µε ύνθετα ονόµατα όπως Pasquill-Gifford και Pasquill-Turner. Ο πίνακας I περιέχει έξι κλάεις ευτάθειας για πέντε κλάεις ανέµων επιφανείας, τρεις κλάεις ακτινοβολίας κατά την διάρκεια της ηµέρας και δύο κλάεις νέφωης κατά την διάρκεια της νύχτας. Όπως προκύπτει απ' αυτό τον πίνακα, οι κλάεις ευτάθειας παρέχουν µόνο µία ποιοτική εκτίµηη της ατµοφαιρικής ευτάθειας και δεν µπορούν να χρηιµοποιηθούν για την λεπτοµερή περιγραφή των υνθηκών ευτάθειας. Έτι οι πολύ αταθείς υνθήκες υµβολίζονται µε Α, και περνώντας από την µέτρια και ελαφρά ατάθεια (Β και C αντίτοιχα) καταλήγουµε την κλάη D η οποία αντιπροωπεύει την ουδέτερη τρωµάτωη (η οποία επικρατεί ε υνθήκες πυκνής νέφωης ή/και ιχυρών ανέµων). Οι ευταθείς υνθήκες αντιπροωπεύονται από δύο µόνο κλάεις ευτάθειας (E και F για ελαφρά και µέτρια ευτάθεια, αντίτοιχα). Ένα άλλο ηµαντικό µειονέκτηµα είναι ότι η ακρίβειά των κλάεων ευτάθειας εξαρτάται ε µεγάλο βαθµό από τις ιδιαίτερες υνθήκες της υπό µελέτη περιοχής και µπορεί ε πολλές περιπτώεις να οδηγήουν ε λάθος εκτιµήεις. Παρά τα µειονεκτήµατα που προαναφέρθηκαν, οι κλάεις ευτάθειας κατά Pasquill (υµπεριλαµβανοµένων των αναθεωρηµένων εκδόεων που προαναφέρθηκαν) αποτελούν και ήµερα τη δηµοφιλέτερη µέθοδο προδιοριµού των υνθηκών ατµοφαιρικής ευτάθειας, τουλάχιτον τα µοντέλα που χρηιµοποιούνται για ρυθµιτικούς κοπούς. Ο κυριότερος λόγος είναι η απλότητά και ευχρητία τους, οι περιοριµένες ανάγκες ε τοιχεία ειαγωγής αλλά και η υωρευµένη εµπειρία τη χρήη τους. 75

13 ΠΙΝΑΚΑΣ I Κλάεις ευτάθειας ε χέη µε τις καιρικές υνθήκες. A: ΠΟΛΥ ΑΣΤΑΘΕΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ D: ΟΥ ΕΤΕΡΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ * B: ΜΕΤΡΙΑ ΑΣΤΑΘΕΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Ε: ΕΛΑΦΡΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ C: ΕΛΑΦΡΑ ΑΣΤΑΘΕΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ F: ΜΕΤΡΙΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΕΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ m/s ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ** ΕΝΤΟΝΗ ΜΕΣΗ ΛΙΓΗ ΝΥΧΤΑ *** ΛΕΠΤΗ ΝΕΦΩΣΗ Η >4/8 ΧΑΜΗΛΗ 3/8 ΝΕΦΩΣΗ < >6 A A-B**** B A-B B C B B-C C C C-D D C D D - - * Ιχύει υπό υνθήκες πυκνής νέφωης τόο κατά την διάρκεια της ηµέρας όο και της νύχτας. ** Έντονη ηλιακή ακτινοβολία αντιτοιχεί ε τυπικές µεηµεριάτικες υνθήκες κατά την διάρκεια της θερµής περιόδου του έτους. Λίγη ηλιακή ακτινοβολία αντιτοιχεί ε παρόµοιες υνθήκες το µέο του χειµώνα. *** Νύχτα χαρακτηρίζεται, γενικά η περίοδος 1 ώρα πριν την δύη µέχρι 1 ώρα µετά την ανατολή. **** Στις περιπτώεις που εµφανίζεται A-B, B-C και C-D πρέπει να χρηιµοποιείται η µέη τιµή των δύο κλάεων. E D D D F E D D ΠΙΝΑΚΑΣ Ιβ Κλάεις ειερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας. Ύψος ηλίου Ηλιακή ακτινοβολία (Wm - ) Κλάη ακτινοβολία ηλιακής >60 o >700 Έντονη 35 o - 60 o Μέη 15 o - 35 o Λίγη 76

14 Υπολογιµός του ύψους του ηλίου Το ύψος του ηλίου ε ένα τόπο µεταβάλλεται (i) µε την εποχή και (ii) µε τη χρονική τιγµή της ηµέρας. (i) Εποχιακή µεταβολή Οι Ιουλιανές ηµέρες απλά απαριθµούν τις ηµέρες και τα κλάµατα ηµέρας τα οποία έχουν παρέλθει από την έναρξη του έτους. Έτι π.χ. η Ιουλιανή ηµεροµηνία της 11 Φεβρουαρίου είναι d=4 (31 ηµέρες τον Ιανουάριο + 11 ηµέρες τον Φεβρουάριο). Το όνοµα δεν έχει καµιά χέη µε το Ιουλιανό ηµερολόγιο το οποίο είναι κάτι διαφορετικό. Ο αριθµός των ηµερών ανά έτος είναι d y =365 ενώ για δίεκτα έτη d y =366. Σε µη-δίεκτα έτη το θερiνό ηλιοτάιο είναι d r =173 Η απόκλιη του ήλιου δίνεται από την εξίωη: δ s = Φ r d d cos d y r όπου C = π ακτίνια = 360 ο. Η κλίη του άξονα της γης ως προς το τροχιακό επίπεδο της γύρω από τον ήλιο είναι Φ r =3.45 ο =0.409 ακτίνια. (ii) Ηµερήια µεταβολή Όπως η γη γυρίζει γύρω από τον άξονά της µεταβάλλεται η θέη του ήλιου πάνω από τον τοπικό ορίζοντα. Η θέη του ήλιου τον ουρανό ενός τόπου περιγράφεται υνήθως µε δύο γωνίες: το ύψος του ήλιου και το αζιµούθιο του ήλιου. Το ύψος του ήλιου (Ψ) είναι η γωνία που χηµατίζεται ανάµεα την κατεύθυνη του ήλιου και τον τοπικό ορίζοντα. Η γωνία Ψ εξαρτάται µεταξύ άλλων από το γεωγραφικό πλάτος φ και το µήκος της περιοχής λ e : C t UTC sin( Ψ ) = sin( φ) sin( δs) cos( φ) cos( δ s) cos λe td όπου t UTC είναι ο Συντονιµένος Παγκόµιος Χρόνος (UTC), και t d είναι η διάρκεια της ηµέρας (=4 ώρες). Το γεωγραφικό πλάτος είναι θετικό βόρεια του ιηµερινού και το γεωγραφικό µήκος είναι θετικό δυτικά του µεηµβρινού του Greenwich. Οι εξιώεις Briggs Τις προηγούµενες τέερις δεκαετίες προτάθηκαν διάφορες εξιώεις για τον υπολογιµό των y και. Μεταξύ άλλων, οι εξιώεις που προτάθηκαν από τον Briggs θεωρούνται ότι παρέχουν ικανοποιητική ακρίβεια, ιδιαίτερα όταν δεν υπάρχουν διαθέιµα λεπτοµερειακά δεδοµένα. Οι εξιώεις του Briggs εµφανίζονται τον Πίνακα ΙΙ. Στα χήµατα 5.9 και 5.10 παρουιάζονται γραφικές παρατάεις οι οποίες επιτρέπουν την εκτίµηη των y και αν υνάρτηη της απόταης από την πηγή και της κλάης ευτάθειας. 77

15 Πίνακας ΙΙ Οι εξιώεις που πρότεινε ο Briggs (1973) για τον υπολογιµό των y και ε αποτάεις 10 <x<10 4 m. Κλάη ευτάθειας κατά Pasquill A y (x) [m] ΥΠΑΙΘΡΟΣ 0. x ( x) -1/ (x) [m] 0.0 x B 0.16 x ( x) -1/ 0.1 x C 0.11 x ( x) -1/ 0.08 x ( x) -1/ D 0.08 x ( x) -1/ 0.06 x ( x) -1/ E 0.06 x ( x) -1/ 0.03 x ( x ) -1 F A-B 0.04 x ( x) -1/ ΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ 0.3 x ( x) -1/ x ( x) x ( x) 1/ C 0. x ( x) -1/ 0.1 x D 0.16 x ( x) -1/ 0.14 x ( x) -1/ E-F 0.11 x ( x) -1/ 0.08 x ( x) -1/ 78

16 Σχήµα 5.9 : Υπολογιµός του y αν υνάρτηη της απόταης και της κλάης ευτάθειας για την ύπαιθρο και για ατικές περιοχές, αντίτοιχα 79

17 Σχήµα 5.10 : Υπολογιµός του αν υνάρτηη της απόταης και της κλάης ευτάθειας για την ύπαιθρο και ατικές περιοχές, αντίτοιχα 80

18 5.5 Ανάκλαη των ρύπων το έδαφος και την βάη της υπερυψωµένης ανατροφής Η παρουία του εδάφους περιπλέκει κάπως τους υπολογιµούς γιατί περιορίζει την κατακόρυφη εξάπλωη του θυάνου. Μία βαική προϋπόθεη για την ανάπτυξη του µοντέλου του θυάνου του Gauss είναι ότι η απόθεη την επιφάνεια της γης είναι αµελητέα, άρα θα πρέπει τα ωµατίδια της ρύπανης να µπορούν κατά κάποιο τρόπο να επιτρέψουν πάλι την ατµόφαιρα. Για αυτό τον κοπό χρηιµοποιούµε µία µαθηµατική µέθοδο που ονοµάζεται καθρεπτιµός. Στην περίπτωή µας αυτό ηµαίνει ότι τοποθετούµε µία εικονική πηγή (virtual source) ε ύψος -Η και υποθέτουµε ότι η διαπορά από την εικονική πηγή γίνεται κατά ταυτόηµο τρόπο όπως από την πραγµατική πηγή. Το τελικό αποτέλεµα προκύπτει από το άθροιµα των δύο πηγών (χήµα 5.11). Το κοµµάτι του εικονικού θυάνου που περνάει την επιφάνεια του εδάφους είναι ακριβώς το ίδιο µε το κοµµάτι του θυάνου από την πραγµατική πηγή το οποίο χάνεται κάτω από το έδαφος και έτι ικανοποιείται η υνθήκη της υνέχειας. Αξίζει να ηµειωθεί ότι την πραγµατικότητα ένας µέρος των ρύπων που έρχεται ε επαφή µε την επιφάνεια κατακρατείται από αυτή. Η ξηρή εναπόθεη είναι χετικά αργή διαδικαία η οποία χρειάζεται µεγάλα χρονικά διατήµατα για να δράει οπότε η ηµαία της ε τοπική κλίµακα είναι µικρή. Παρ όλα αυτά όπως θα αναλυθεί ε επόµενο κεφάλαιο, έχουν αναπτυχθεί κάποιες τεχνικές οι οποίες επιτρέπουν την τροποποίηη του βαικού µοντέλου του θυάνου του Gauss ώτε να λαµβάνει υπόψη τη ξηρή εναπόθεη. Σχήµα 5.11 : Η ανάκλαη των ρύπων το έδαφος 81

19 8 Λαµβάνοντας υπόψη και την ανάκλαη των ρύπων το έδαφος η εξίωη (5.) παίρνει την παρακάτω µορφή: + + = ) ( exp ) ( exp exp ),, ( y y H H y u Q y x π χ (5.14) Το ύψος ανάµειξης είναι το ύψος από την επιφάνεια της γης µέχρι το οποίο µεταφέρονται οι ρύποι από τους τυρβώδεις τροβίλους. Σε πολλές περιπτώεις κατά την διάρκεια της ηµέρας πάνω από το ύψος ανάµειξης υπάρχει µία υπερυψωµένη ανατροφή µε αποτέλεµα οι ρύποι να παγιδεύονται ανάµεα την επιφάνεια του εδάφους και το ευταθές τρώµα που υπάρχει ψηλά. Σ' αυτή την περίπτωη µπορούν να υµβούν πολλαπλές ανακλάεις του θυάνου τόο το έδαφος όο και την βάη της υπερυψωµένης ανατροφής. Η παρακάτω εξίωη βρέθηκε ότι περιγράφει ικανοποιητικά αυτή την κατάταη : Σ = = 1 ) ( exp ) ( exp ) ( exp ) ( exp ) ( exp ) ( exp ),0, ( i i i i j N y N H N H N H N H H H u Q x π χ (5.15) όπου i είναι το ύψος ανάµειξης και οι τιµές J=3 ή 4 είναι αρκετές για να περιγράψουν όλες τις ανακλάεις που έχουν πρακτικό ενδιαφέρον. Καπνιµός (fumigation) εµφανίζεται όταν η εξάπλωη του θυάνου προς τα πάνω εµποδίζεται από µία ανατροφή της οποίας η βάη βρίκεται ε χετικά

20 χαµηλό ύψος ενώ κάτω από αυτήν η ανάµειξη των ρύπων είναι έντονη. Λόγω της έντονης ανάµειξης η κατακόρυφη κατανοµή των ρύπων είναι περίπου οµοιόµορφη. Σ' αυτή την περίπτωη η υγκέντρωη το έδαφος υπολογίζεται από την χέη : Q ( x, y,0) = (5.16) 1/ (π ) u y i χ 5.6 Προδιοριµός των µεγίτων υγκεντρώεων το έδαφος και της απόταης όπου εµφανίζονται. Στο χήµα 5.1 εµφανίζονται χηµατικά οι υγκεντρώεις επιφανείας από µια υπερυψωµένη πηγή. Στην άµεη γειτονία της καµινάδας οι υγκεντρώεις είναι µηδενικές αλλά ε κάποια απόταη από αυτήν αρχίζουν οι υγκεντρώεις να αυξάνονται µέχρι ενός ηµείου όπου εµφανίζεται ένα µέγιτο. Κατόπιν, αρχίζει η βαθµιαία µείωη των υγκεντρώεων. Σχήµα 5.1 : Το πεδίο των υγκεντρώεων επιφανείας το οποίο προκύπτει από εκποµπές µίας καµινάδας 83

21 Οι κανονιµοί για την ποιότητα αέρα υνήθως αφορούν τις µέγιτες υγκεντρώεις το έδαφος και γι' αυτό είναι ηµαντικό να µπορούµε να χρηιµοποιήουµε το µοντέλο του θυάνου του Gauss για να προδιορίουµε τόο αυτά τα επίπεδα όο και την απόταη από την πηγή όπου αναµένονται. Αν λοιπόν παραγωγίουµε την εξίωη (5.) ως προς x και βάλουµε το αποτέλεµα ίο µε µηδέν τότε µπορούµε να υπολογίουµε την απόταη την οποία αναµένονται οι µέγιτες υγκεντρώεις. Παρ' όλα αυτά οι παράµετροι διαποράς y και είναι χετικά πολύπλοκες υναρτήεις του x και δεν είναι δυνατόν να βρεθεί µία γενική λύη το πρόβληµα. Στην περίπτωη κατά την οποία το y τότε η µέγιτη 1/ υγκέντρωη εµφανίζεται την απόταη την οποία ιχύει = (H / ). Η εµπειρία δείχνει ότι η κρίιµη απόταη είναι περίπου ίη µε µερικές δεκάδες φορές το ύψος της καµινάδας. Σε γενικές γραµµές όµως ο µόνος τρόπος για να βρεθεί η µέγιτη υγκέντρωη όπως και η απόταη την οποία εµφανίζεται είναι να εφαρµοτεί η εξίωη (5.) για διάφορες αποτάεις, εκποµπές και ατµοφαιρικές υνθήκες. Ένας τρόπος να αποφευχθεί αυτή η επίπονη διαδικαία είναι µε την χρήη του νοµογράµµατος που εµφανίζεται το χήµα Ο οριζόντιος άξονας είναι λογαριθµικός και δείχνει την απόταη την οποία εµφανίζεται η µέγιτη υγκέντρωη ενώ ο κάθετος άξονας είναι επίης λογαριθµικός και δείχνει την µέγιτη υγκέντρωη κανονικοποιηµένη µε τον ρυθµό εκποµπής και την ταχύτητα του ανέµου. Η χρήη του νοµογράµµατος φαίνεται το παρακάτω παράδειγµα: Έτω ότι έχουµε µία εκποµπή Q= 0 gs-1 η οποία από µία καµινάδα ενεργού ύψους 100 µέτρων ενώ την ατµόφαιρα έχουµε u=5 ms-1 και κλάη ευτάθειας D. Ξεκινώντας από την καµπύλη της ευτάθειας D βρίκουµε το ηµείο (έτω Α) το οποίο τέµνει την καµπύλη για ενεργό ύψος H=100 m. Από το ηµείο αυτό χαράουµε την κάθετο τον οριζόντιο άξονα τον οποίο τέµνει το ηµείο x=3 km, η οποία είναι η απόταη την οποία εµφανίζεται η µέγιτη υγκέντρωη. Από το προηγούµενο ηµείο Α µπορούµε να χαράξουµε και µία κάθετο τον κάθετο άξονα τον οποίο τέµνει το ηµείο : ( xu / Q) max = x 8 µ m 6 max = 10 Q / u= 8 (0 / 5) = 3 g / 3 84

22 Σχήµα 5.13 Νοµόγραµµα για τον προδιοριµό της απόταης την οποία εµφανίζεται η µέγιτη υγκέντρωη εδάφους. Στην κορυφή των καµπυλών εµφανίζονται οι κλάεις ευτάθειας ενώ οι αριθµοί τα δεξιά δείχνουν το ενεργό ύψος της εκποµπής. 85

23 5.7 Περιπτώεις όπου το µοντέλο του θυάνου του Gauss είναι λιγότερο κατάλληλο 5.7.α Συνθήκες µεγάλης ατάθειας. Σύµφωνα µε την εξίωη του µοντέλου του θυάνου του Gauss ο κεντρικός άξονας του θυάνου, κατά µήκος του οποίου εµφανίζονται οι µέγιτες υγκεντρώεις, βρίκεται το ύψος H (ενεργό ύψος εκποµπής). Αυτή η παραδοχή είναι ε καλή υµφωνία µε µετρήεις που πραγµατοποιήθηκαν ε υνθήκες ευτάθειας ή ουδέτερης τρωµάτωης αλλά ε υνθήκες µεγάλης ατάθειας παρουιάζονται µεγάλες αποκλίεις. Αυτό εµφανίζεται το χήµα 5.14 που δείχνει τα αποτελέµατα µιας εργατηριακής προοµοίωης. Το πιο εντυπωιακό τοιχείο που εµφανίζεται το χήµα 5.14 είναι η κάθοδος του κεντρικού άξονα του θυάνου, ο οποίος ξεκινά από ύψος Η=0.6 i και φθάνει το έδαφος ε απόταη x = 0.6 i u/w * από το ηµείο εκποµπής. Χρηιµοποιώντας κάποιες τυπικές τιµές για τις άλλες παραµέτρους, i = 1000m, u=5 ms -1, w * =1 ms -1, βρίκουµε ότι ο κεντρικός άξονας του θυάνου ο οποίος ξεκινά από ύψος Η = 0.6 i = 60 m φθάνει το έδαφος ε απόταη περίπου 3 km από την πηγή. Μετά από κάποια απόταη ο κεντρικός άξονας του θυάνου αρχίζει πάλι να ανυψώνεται µέχρι που καταλήγει το ανώτερο µιό του οριακού τρώµατος. Σχήµα 5.14 Εργατηριακή προοµοίωη της διαποράς από ανυψωµένη πηγή (S) ε υνθήκες µεγάλης ατάθειας. Στον οριζόντιο άξονα δείχνεται η αδιάτατη απόταη (w* είναι η κλίµακα ταχύτητας το αναµεµιγµένο τρώµα (mixed layer) της ατµόφαιρας), τον κατακόρυφο άξονα το αδιάτατο ύψος ενώ οι ιοπλυθείς δείχνουν ε αδιάτατη µορφή την ολοκληρωµένη ως προς την εγκάρια διεύθυνη υγκέντρωη. 86

24 Σχήµα ιαπορά καπνού από καµινάδα ε υνθήκες µεγάλης ατάθειας. ιακρίνονται οι βρόχοι που χηµατίζει ο καπνός. Στο χήµα 5.16 φαίνεται η αντίτοιχη κατάταη αλλά για την περίπτωη που η εκποµπή γίνεται κοντά το έδαφος. Εδώ έχουµε ανύψωη του άξονα του θυάνου ύτερα απόταη x=0.6 i u/w * η οποία χρηιµοποιώντας τις παραπάνω τυπικές τιµές αντιτοιχεί ε.5 km. Την αιτία για αυτή την περίεργη υµπεριφορά του θυάνου θα πρέπει να την αναζητήουµε την δοµή της τύρβης ε υνθήκες µεγάλης ατάθειας η οποία ενεργειακά κυριαρχείται από µεγάλους τροβίλους οι οποίοι εξαπλώνονται ε ολόκληρο το οριακό τρώµα της ατµόφαιρας. Οι τρόβιλοι αυτοί έχουν αν αποτέλεµα να υπάρχει το οριακό τρώµα της ατµόφαιρας µια εναλλαγή ανοδικών και καθοδικών ροών αέρα, τόο χρονικά όο και γεωγραφικά. Οι ρύποι που καταλήγουν την ατµόφαιρα ε παρόµοιες υνθήκες γρήγορα µεταφέρονται τη κορυφή του οριακού τρώµατος ή το έδαφος. Οι ανοδικές αναταρακτικές κινήεις έχουν µεγαλύτερες ταχύτητες από τις αντίτοιχες καθοδικές. Για λόγους υνέχειας θα πρέπει να καταλαµβάνουν µικρότερες επιφάνειες. Αυτό ηµαίνει ότι οι ρύποι που εκλύονται από µια ανυψωµένη πηγή έχουν µεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθούν ε µία καθοδική ροή αέρα απ' ότι ε µία ανοδική πράγµα το οποίο έχει αν υνέπεια ότι κατά αρχήν ο κεντρικός άξονας του θυάνου κατέρχεται. Όταν ο θύανος είναι κοντά το έδαφος, παραµένει εκεί για ένα διάτηµα που αντιτοιχεί τον χρόνο που επικρατούν καθοδικές κινήεις ενώ αρχίζει να ανυψώνεται όταν βρεθεί ε ανοδική ροή αέρα. 87

25 Σχήµα 5.16 Εργατηριακή προοµοίωη της διαποράς από πηγή κοντά το έδαφος ε υνθήκες µεγάλης ατάθειας. Τα υπόλοιπα τοιχεία είναι ίδια όπως το χήµα β Εκποµπές ρύπων κοντά το έδαφος Κοντά το έδαφος παρουιάζονται κάποιες επιπλοκές την εφαρµογή του µοντέλου του θυάνου του Gauss: η ταχύτητα του ανέµου µεταβάλλεται χεδόν λογαριθµικά µε το ύψος και είναι δύκολο να εκλέξουµε µία τιµή του ανέµου που να είναι αντιπροωπευτική για ολόκληρο το κατακόρυφο τρώµα το οποίο καταλαµβάνει ο θύανος. η παρουία του εδάφους έχει αν υνέπεια ότι η κατακόρυφη δοµή της τύρβης δεν είναι οµοιογενής. ιάφορες µετρήεις ε θυάνους από επιφανειακές πηγές έχουν επιβεβαιώει ότι η εγκάρια κατανοµή είναι κανονική ενώ η κατακόρυφη κατανοµή αποκλίνει από αυτό το πρότυπο. Για τους παραπάνω λόγους το µοντέλο του θυάνου του Gauss δεν ενδείκνυται για υπολογιµούς την περίπτωη που έχουµε εκποµπή κοντά το έδαφος. 5.8 Γραµµικές, εµβαδικές και πηγές όγκου. Μέχρι εδώ περιοριτήκαµε τον υπολογιµό της διαποράς από ηµειακές πηγές, πρόβληµα το οποίο είναι εννοιολογικά ευκολότερο. Σε γενικές γραµµές είναι δυνατόν να ολοκληρώουµε την εξίωη Gauss ως προς το χώρο και να παράγουµε τις αντίτοιχες εξιώεις για γραµµικές, εµβαδικές και πηγές όγκου. Συνήθως αυτές 88

26 οι ολοκληρώεις δεν οδηγούν ε αναλυτικές λύεις και είναι απαραίτητο να χρηιµοποιήουµε αριθµητικές µεθόδους για την ολοκλήρωη της εξίωης. Στο εµπόριο υπάρχουν πολλά µοντέλα που µπορούν να υπολογίουν την διαπορά από µη ηµειακές πηγές (π.χ. Benson, 1979, EPA, 1986). Οι περιότεροι δρόµοι µε πυκνή κυκλοφορία µπορούν να θεωρηθούν αν γραµµικές πηγές. Η αριθµητική επίλυη του προβλήµατος µπορεί να επιτευχθεί µέα από την ολοκλήρωη της εξίωης (5.) ως προς το y. Στην ειδική περίπτωη που έχουµε µία άπειρη γραµµική πηγή κάθετη τη διεύθυνη του ανέµου οι υγκεντρώεις δίνονται από την χέη: q exp 1/ (π ) u χ H ( x, y,0) = (5.17) όπου το q είναι η ένταη της πηγής ανά µονάδα µήκους, π.χ. gs -1 m -1. Λόγω του γεγονότος ότι οι εκποµπή των ρύπων λαµβάνει χώρα κοντά το έδαφος (ενεργό ύψος m) υπάρχει κάποιο πρόβληµα την επιλογή του ανέµου ο οποίος θα χρηιµοποιηθεί την χέη (5.17). Σε αυτές τις περιπτώεις υνήθως επιλέγουµε την ταχύτητα του ανέµου η οποία έχει µετρηθεί ε ύψος περίπου µέτρων πάνω από το έδαφος για τον υπολογιµό της διαποράς τις πρώτες λίγες εκατοντάδες µέτρα από την πηγή. Εναλλακτικά, µπορούµε ε πολλές περιπτώεις να χρηιµοποιήουµε την έννοια της εικονικής πηγής για να προοµοιώουµε την διαπορά από γραµµικές, εµβαδικές και πηγές όγκου. Αυτό παρουιάζεται το χήµα 5.17 όπου έχουµε τοποθετήει µία εικονική ηµειακή πηγή ε απόταη -r προκειµένου να προοµοιώουµε την διαπορά από µία πηγή όγκου. 89

27 Σχήµα Χρήη εικονικής ηµειακής πηγής για την προοµοίωη της διαποράς από µία πηγή όγκου. 90

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Θυσάνου του Gauss. Κανονική Κατανοµή Εξισώσεις Gauss Προσδιορισµός Συντελεστών ιασποράς Ανάκλαση Ρύπων Μέγιστες Συγκεντρώσεις

Μοντέλα Θυσάνου του Gauss. Κανονική Κατανοµή Εξισώσεις Gauss Προσδιορισµός Συντελεστών ιασποράς Ανάκλαση Ρύπων Μέγιστες Συγκεντρώσεις Μοντέλα Θυσάνου του Gau Κανονική Κατανοµή Εξισώσεις Gau Προσδιορισµός Συντελεστών ιασποράς Ανάκλαση Ρύπων Μέγιστες Συγκεντρώσεις Παραδείγµατα Εφαρµογής Εξισώσεων Gau Μεταβολή του Ανέµου µε το Ύψος Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Κουγιουµτζής ηµήτρης Γενικό Τµήµα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ Θερινό Εξάµηνο 004 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ...4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...8. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων...8..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΙΑΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ Σπύρος Ανδρονόπουλος Εργατήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ιντιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροταίας ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος» sandron@ipta.demokritos.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 43 / ΕΚΠ 66 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Χρονικά Πιθανοτικά Μοντέλα Temporal Probabilistic Models Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιτών Πολυτεχνείο Κρήτης ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας Σχεδιαµός, Μεθοδολογία και Λογιµικό Παρακολούθηης Συγκλίεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαιίας Κ. ΛΑΚΑΚΗΣ Λέκτορας Α.Π.Θ Σ. Π. ΧΑΛΙΜΟΥΡ ΑΣ Υπ. ιδάκτωρ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪ ΗΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα