Ολοκληρωτικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Transcript

1 Ολοκληρωτικός Λογιμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες ημειώεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιτήμιο Κρήτης

2 η εβδομάδα. Θεωρούμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τον 2 και μια πραγματική υνάρτηη [, b] [c, d] f : οριμένη το και θέλουμε να ορίουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f το. Αυτό θα γίνει με τρόπο ανάλογο του τρόπου οριμού του απλού ολοκληρώματος πραγματικής υνάρτηης οριμένης ε διάτημα του, παίρνοντας, δηλαδή, αθροίματα iemnn και το όριό τους. Θα θεωρήουμε διαμερίεις του ορθογωνίου ε μικρότερα ορθογώνια, μέω αυτών των διαμερίεων θα θεωρήουμε τα αντίτοιχα αθροίματα iemnn της f και μέω αυτών των αθροιμάτων iemnn, περνώντας το όριο, θα προκύψει το διπλό ολοκλήρωμα της f το. Ξεκινάμε με μια διαμέριη x < x <... < x n < x n b του διατήματος [, b] τον x-άξονα και με μια διαμέριη c y < y <... < y m < y m d του διατήματος [c, d] τον y-άξονα. Όταν χεδιάουμε τις κατακόρυφες ευθείες που τέμνουν τον x-άξονα τα ημεία της πρώτης διαμέριης και τις οριζόντιες ευθείες που τέμνουν τον y-άξονα τα ημεία της δεύτερης διαμέριης, χηματίζεται μια διαμέριη του ορθογωνίου ε mn μικρότερα ορθογώνια i, j [x i, x i ] [y j, y j ], i n, j m. Όο λεπτότερη είναι η διαμέριη του [, b], δηλαδή όο μικρότερο είναι το mx i n (x i x i mx i n x i, και όο λεπτότερη είναι η διαμέριη του [c, d], δηλαδή όο μικρότερο είναι το mx (y j y j mx y j, j m j m τόο λεπτότερη λέμε ότι είναι η διαμέριη του ορθογωνίου τα ορθογώνια i, j. Κατόπιν, δεδομένης της διαμέριης που θεωρήαμε παραπάνω, θεωρούμε μέα ε κάθε ορθογώνιο i, j ένα τυχαίο ημείο ξ i, j και χηματίζουμε το διπλό άθροιμα n,m i, j f (ξ i, j (x i x i (y j y j n,m i, j f (ξ i, j x i y j n,m i, j f (ξ i, j εμβ( i, j. ( το άθροιμα αυτό ο δείκτης i τρέχει από έως n και ο δείκτης j τρέχει από έως m. Το άθροιμα αυτό ονομάζεται άθροιμα iemnn της f που ορίζεται από την υγκεκριμένη διαμέριη του

3 ορθογωνίου ε υποορθογώνια i, j και από την υγκεκριμένη επιλογή ενδιάμεων ημείων ξ i, j τα i, j. Και τώρα έχουμε τον εξής βαικό οριμό. Αν όο λεπτότερη είναι η διαμέριη του τα υποορθογώνια i, j τόο πιο κοντά έρχεται το άθροιμα iemnn ε κάποιον υγκεκριμένο αριθμό, τότε λέμε ότι η f είναι (iemnn ολοκληρώιμη το και ο αριθμός τον οποίο πληιάζει το άθροιμα iemnn ονομάζεται (iemnn ολοκλήρωμα της f το και υμβολίζεται f (x, y dxdy ή f. Αν, λοιπόν, η f είναι ολοκληρώιμη το ορθογώνιο, τότε έχουμε n,m f (ξ i, j x i y j f (x, y dxdy i, j όταν mx i n x i και mx j m y j (όπου, ημαίνει περίπου ίο. Ή, με άλλα λόγια, n,m f (ξ i, j x i y j f (x, y dxdy i, j όταν mx i n x i και mx j m y j. Αν η f είναι μη-αρνητική, δηλαδή αν ιχύει f (x, y για κάθε (x, y, τότε ο όρος f (ξ i, j x i y j f (ξ i, j εμβ( i, j ιούται με τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου το οποίο έχει βάη το ορθογώνιο i, j το xy-επίπεδο και ύψος f (ξ i, j, δηλαδή του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου το οποίο εκτείνεται κατακόρυφα πάνω από το xy-επίπεδο από το ορθογώνιο i, j μέχρι το ημείο (ξ i, j, f (ξ i, j του γραφήματος της f. Άρα, αυτήν περίπτωη, το άθροιμα iemnn ( ιούται με τον όγκο της ένωης όλων αυτών των ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων. Όταν η υνάρτηη f είναι ολοκληρώιμη το και η διαμέριη είναι πολύ λεπτή τότε, αφ ενός το άθροιμα iemnn προεγγίζει το διπλό ολοκλήρωμα της f το αφ ετέρου η ένωη των ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων προεγγίζει το τερεό που βρίκεται πάνω από το ορθογώνιο και κάτω από την επιφάνεια/γράφημα της f και, επομένως, ο όγκος της ένωης των ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων προεγγίζει τον όγκο του τερεού που βρίκεται ανάμεα το και το γράφημα της f. υμπεραίνουμε ότι: Αν η f είναι μη-αρνητική και ολοκληρώιμη το, τότε το διπλό ολοκλήρωμα της f το ιούται με τον όγκο του τερεού που βρίκεται ανάμεα το και το γράφημα της f. Είδαμε μερικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος υνάρτηης ε ορθογώνιο. Όταν οι υναρτήεις f, g είναι ολοκληρώιμες το ορθογώνιο τότε και η f +g είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει ( f (x, y + g(x, y dxdy f (x, y dxdy + g(x, y dxdy. (2 Η απόδειξη πάει περίπου ως εξής. Θεωρούμε, όπως την αρχή, μια διαμέριη του ε ορθογώνια i, j, χηματίζουμε το άθροιμα iemnn της f + g και κάνουμε πράξεις αυτό ώτε να προκύψουν τα αντίτοιχα αθροίματα iemnn των f και g ξεχωριτά: n,m n,m ( f (ξ i, j + g(ξ i, j x i y j ( f (ξ i, j x i y j + g(ξ i, j x i y j i, j i, j n,m i, j 2 f (ξ i, j x i y j + f (x, y dxdy + n,m i, j g(ξ i, j x i y j g(x, y dxdy

4 όταν mx i n x i και mx j m y j. Η τελευταία προεγγιτική ιότητα ιχύει διότι οι f, g είναι ολοκληρώιμες το. Άρα το άθροιμα iemnn της f + g προεγγίζει τον αριθμό f (x, y dxdy + g(x, y dxdy και, επομένως, η f + g είναι ολοκληρώιμη το και το ολοκλήρωμά της το είναι ίο με αυτόν τον αριθμό, δηλαδή ιχύει η χέη (2. Μια άλλη ιδιότητα είναι η εξής. Όταν η f είναι ολοκληρώιμη το και λ είναι αριθμός, τότε και η λ f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει λ f (x, y dxdy λ f (x, y dxdy. (3 Η απόδειξη είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Θεωρούμε μια διαμέριη του ε ορθογώνια i, j, χηματίζουμε το άθροιμα iemnn της λ f και κάνουμε πράξεις αυτό ώτε να προκύψει το αντίτοιχο άθροιμα iemnn της f : n,m i, j λ f (ξ i, j x i y j λ n,m i, j f (ξ i, j x i y j λ f (x, y dxdy όταν mx i n x i και mx j m y j. Η τελευταία προεγγιτική ιότητα ιχύει διότι η f είναι ολοκληρώιμη το. Άρα το άθροιμα iemnn της λ f προεγγίζει τον αριθμό λ f (x, y dxdy και, επομένως, η λ f είναι ολοκληρώιμη το και το ολοκλήρωμά της το είναι ίο με αυτόν τον αριθμό, δηλαδή ιχύει η χέη (3. Άλλη ιδιότητα. Αν οι f, g είναι ολοκληρώιμες το και ιχύει f (x, y g(x, y για κάθε (x, y, τότε f (x, y dxdy g(x, y dxdy. (4 Για την απόδειξη θεωρούμε μια διαμέριη του ε ορθογώνια i, j, χηματίζουμε τα αθροίματα iemnn των f, g και τα υγκρίνουμε: n,m i, j f (ξ i, j x i y j n,m i, j g(ξ i, j x i y j, διότι ιχύει f (ξ i, j g(ξ i, j για κάθε i, j. Επειδή n,m i, j f (ξ i, j x i y j f (x, y dxdy και n,m i, j g(ξ i, j x i y j g(x, y dxdy όταν mx i n x i και mx j m y j, από την ανιοτική χέη ανάμεα τα αθροίματα iemnn περνάμε την ανιοτική χέη (4 ανάμεα τα ολοκληρώματα. Άλλη ιδιότητα. Αν η f είναι ολοκληρώιμη το τότε και η f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει f (x, y dxdy f (x, y dxdy. (5 Δεν θα αποδείξουμε ότι η f είναι ολοκληρώιμη το, διότι η απόδειξη είναι αρκετά περίπλοκη. Αλλά, υποθέτοντας ότι και η f είναι ολοκληρώιμη, θα δούμε ότι η ανιότητα (5 είναι απλή εφαρμογή της (4. Πράγματι, επειδή ιχύει f (x, y f (x, y f (x, y για κάθε (x, y, υνεπάγεται f (x, y dxdy f (x, y dxdy f (x, y dxdy και άρα έχουμε την (5. Εννοείται ότι το ύμβολο f (x, y dxdy έχει νόημα μόνο όταν η f είναι ολοκληρώιμη το ορθογώνιο. Γι αυτό, όταν χρηιμοποιούμε αυτό το ύμβολο, πρέπει πρώτα να έχουμε αποδείξει ότι η f είναι ολοκληρώιμη το. υνήθως μια τέτοια απόδειξη είναι αρκετά περίπλοκη και 3

5 γι αυτό διατυπώνουμε τώρα δύο θεωρήματα που μας εξαφαλίζουν την ολοκληρωιμότητα δύο κατηγοριών υναρτήεων τις οποίες υναντάμε πολύ υχνά την πράξη. Το πρώτο θεώρημα είναι: Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι υνεχής το ορθογώνιο τότε είναι ολοκληρώιμη το. Το δεύτερο θεώρημα είναι γενίκευη του πρώτου. Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι υνεχής το ορθογώνιο εκτός από κάποια ημεία αυνέχειας τα οποία βρίκονται πάνω ε κάποιες πεπεραμένου πλήθους καμπύλες μέα το οι οποίες είναι γραφικές παρατάεις υνεχών υναρτήεων y ϕ(x ή x ψ(y, τότε η f είναι ολοκληρώιμη το. Για παράδειγμα, η υνάρτηη f (x, y x 2 y + x είναι υνεχής ολόκληρο το 2 και άρα είναι ολοκληρώιμη ε οποιοδήποτε ορθογώνιο. Δεύτερο παράδειγμα είναι η υνάρτηη f που ορίζεται το ορθογώνιο [, 3] [, 4] με τύπο x 2 + xy, (x, y, x + y f (x, y xy 2, (x, y, x + y < Η f είναι υνεχής το εκτός από τα ημεία του που βρίκονται πάνω την ευθεία με εξίωη x + y. Αυτά τα ημεία αυνέχειας της f βρίκονται όλα πάνω ε ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο είναι γραφική παράταη της υνάρτηης y ϕ(x x για x [, ] (αλλά υγχρόνως και γραφική παράταη της υνάρτηης x ψ(y y για y [, ]. Άρα η f είναι ολοκληρώιμη το. Αφού οι υναρτήεις f τα δύο αυτά παραδείγματα είναι ολοκληρώιμες προκύπτει το ερώτημα: πώς υπολογίζουμε τα ολοκληρώματά τους; Για τον υπολογιμό ολοκληρωμάτων πάνια βαιζόματε τον οριμό του ολοκληρώματος (ως όριο αθροιμάτων iemnn. Είναι πολύ πιο πρακτικό να εφαρμόουμε το επόμενο θεώρημα του Fubini το οποίο έχει δύο μορφές. Η πρώτη μορφή: Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι ολοκληρώιμη το ορθογώνιο [, b] [c, d] και για κάθε x [, b] η f (x, y είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του y το διάτημα [c, d] και η d f (x, y dy c είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του x το διάτημα [, b], τότε Και η δεύτερη μορφή: f (x, y dxdy ( d c f (x, y dy dx. (6 Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι ολοκληρώιμη το ορθογώνιο [, b] [c, d] και για κάθε y [c, d] η f (x, y είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του x το διάτημα [, b] και η f (x, y dx είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του y το διάτημα [c, d], τότε f (x, y dxdy d c ( f (x, y dx dy. (7 υνήθως ιχύουν ταυτόχρονα οι προϋποθέεις και για τις δύο υμμετρικές μορφές του θεωρήματος του Fubini και τότε έχουμε την διπλή ιότητα f (x, y dxdy ( d c d ( f (x, y dy dx f (x, y dx dy. c Έτι ο υπολογιμός διπλού ολοκληρώματος ανάγεται τον υπολογιμό διαδοχικά δύο απλών ολοκληρωμάτων μίας μεταβλητής. Πριν δούμε την απόδειξη του θεωρήματος του Fubini, ας το εφαρμόουμε για τον υπολογιμό των ολοκληρωμάτων των υναρτήεων τα δύο παραπάνω παραδείγματα. το πρώτο παράδειγμα η f είναι υνεχής το ορθογώνιο [, 3] [, 4] και άρα ολοκληρώιμη το. Επίης, για κάθε 4

6 x [, 3] η f (x, y x 2 y + x είναι υνεχής ως υνάρτηη του y το [, 4] (με ταθερό x και άρα ολοκληρώιμη το [, 4]. Για κάθε x [, 3] υπολογίζουμε 4 (x 2 y + x dy (x 2 y 2 /2 + xy 4 (8x2 + 4x (x 2 /2 + x 5x 2 /2 + 3x. Τώρα, επειδή η 4 (x2 y+x dy 5x 2 /2+3x είναι υνεχής και άρα ολοκληρώιμη ως υνάρτηη του x το [, 3], από τον τύπο (6 έχουμε (x 2 y + x dxdy 3 ( 4 (x 2 y + x dy dx 3 (5x 2 /2 + 3x dx (5x 3 /2 + 3x 2 /2 3 35/2 + 27/2 8. Ομοίως, για κάθε y [, 4] η f (x, y x 2 y + x είναι υνεχής ως υνάρτηη του x το [, 3] (με ταθερό y και άρα ολοκληρώιμη το [, 3]. Για κάθε y [, 4] υπολογίζουμε 3 (x 2 y + x dx (x 3 y/3 + x 2 /2 3 9y + 9/2. Επειδή η 3 (x2 y + x dx 9y + 9/2 είναι υνεχής και άρα ολοκληρώιμη ως υνάρτηη του y το [, 4], από τον τύπο (7 έχουμε (x 2 y + x dxdy 4 ( 3 (x 2 y + x dx dy 4 (9y 2 /2 + 9y/ (9y + 9/2 dy Και με τους δύο τύπους βρήκαμε το ίδιο αποτέλεμα: απολύτως φυιολογικό και αναμενόμενο διότι το ολοκλήρωμα πρέπει να έχει μόνο μία τιμή. Ας δούμε το δεύτερο παράδειγμα με την υνάρτηη f το ορθογώνιο [, 3] [, 4] με τύπο x 2 + xy, (x, y, x + y f (x, y xy 2, (x, y, x + y < Είδαμε ήδη ότι η f είναι ολοκληρώιμη το. Ας πάρουμε ένα x [, 3]. Αν x [, 3], τότε ιχύει f (x, y x 2 + xy για κάθε y [, 4] (διότι x + y, οπότε η f (x, y x 2 + xy είναι υνεχής ως υνάρτηη του y το [, 4] (με ταθερό x και άρα ολοκληρώιμη το [, 4]. Μάλιτα, 4 f (x, y dy 4 (x 2 + xy dy (x 2 y + xy 2 /2 4 4x2 + 8x, όταν x [, 3]. Τώρα έτω x [,. Τότε f (x, y xy 2 για y [, x (διότι x + y < και f (x, y x 2 + xy για y [ x, 4] (διότι x + y. Δηλαδή η f είναι τμηματικά υνεχής ως υνάρτηη του y το [, 4] και άρα ολοκληρώιμη το [, 4]. Υπολογίζουμε 4 x 4 f (x, y dy xy 2 dy + (x 2 + xy dy (xy 3 /3 x + (x 2 y + xy 2 /2 4 x x 53x/6 + x 2 + 5x 3 /2 x 4 /3, όταν x [,. Άρα η υνάρτηη 4 f (x, y dy έχει διπλό τύπο ως υνάρτηη του x το [, 3]: είναι ίη με 53x/6+ x 2 + 5x 3 /2 x 4 /3 το [, και ίη με 4x 2 + 8x το [, 3]. Άρα είναι τμηματικά υνεχής (και 5

7 μάλιτα υνεχής! και άρα ολοκληρώιμη το [, 3] και από τον τύπο (6 έχουμε f (x, y dxdy 3 ( 4 ( 4 f (x, y dy dx f (x, y dy dx + 3 ( 4 (53x/6 + x 2 + 5x 3 /2 x 4 /3 dx + f (x, y dy dx 3 (4x 2 + 8x dx (53x 2 /2 + x 3 /3 + 5x 4 /8 x 5 /5 + (4x3 /3 + 4x 2 3 /4. Το ίδιο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιτεί (και θα βρεθεί το ίδιο αριθμητικό αποτέλεμα και με τον τύπο f (x, y dxdy 4 ( 3 f (x, y dx dy, αλλά ας το κάνει ο αναγνώτης. Ας δούμε τώρα μια κάπως πρόχειρη απόδειξη του θεωρήματος του Fubini την πρώτη μορφή του, την ιότητα (6. Η (7 αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο. Θεωρούμε μια πολύ λεπτή διαμέριη του ορθογωνίου ε ορθογώνια i, j η οποία προκύπτει από μια πολύ λεπτή διαμέριη x < x <... < x n < x n b του διατήματος [, b] τον x-άξονα και από μια πολύ λεπτή διαμέριη c y < y <... < y m < y m d του διατήματος [c, d] τον y-άξονα. Επίης, θεωρούμε ενδιάμεα ημεία η i [x i, x i ] για i n και ενδιάμεα ημεία ζ j [y j, y j ] για j m. Τότε το ημείο ξ i, j (η i, ζ j ανήκει το ορθογώνιο i, j και χηματίζουμε το αντίτοιχο άθροιμα iemnn n,m i, j f (ξ i, j x i y j n,m i, j f (η i, ζ j x i y j n ( m f (η i, ζ j x i y j i j n ( m f (η i, ζ j y j x i. Επειδή η διαμέριη c y < y <... < y m < y m d είναι πολύ λεπτή, έχουμε ότι i j m f (η i, ζ j y j j d c f (η i, y dy. (Εδώ έχουμε ταθερή τιμή x η i για το x και ολοκλήρωμα το διάτημα [c, d] της f (η i, y ως υνάρτηης του y. Από τις δύο τελευταίες ιότητες έχουμε ότι n,m i, j f (ξ i, j x i y j n ( d i c f (η i, y dy x i. Αν ορίουμε υνάρτηη με τύπο g(x d f (x, y dy για x [, b], τότε η τελευταία προεγγιτική ιότητα γράφεται c n,m n f (ξ i, j x i y j g(η i x i i, j και, επειδή έχουμε υποθέει ότι η g είναι ολοκληρώιμη το [, b] και η διαμέριη x < x <... < x n < x n b είναι πολύ λεπτή, υνεπάγεται n,m i, j f (ξ i, j x i y j n g(η i x i i i g(x dx ( d c f (x, y dy dx. 6

8 Από την άλλη μεριά, επειδή η διαμέριη του τα ορθογώνια i, j είναι πολύ λεπτή και η f είναι ολοκληρώιμη το, έχουμε ότι n,m i, j f (ξ i, j x i y j f (x, y dxdy. Από τις δύο τελευταίες προεγγιτικές ιότητες βλέπουμε ότι το άθροιμα iemnn της f το προεγγίζει το f (x, y dxdy αλλά και το ( b d f (x, y dy dx και άρα αυτά τα δύο πρέπει να c είναι ία. Έτι αποδείξαμε τον τύπο (6. Μέχρι τιγμής έχουμε ορίει την έννοια του διπλού ολοκληρώματος πραγματικής υνάρτηης οριμένης ε ορθογώνιο, έχουμε δει μερικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος ε ορθογώνιο καθώς και τον τύπο του Fubini που χρηιμεύει για τον υπολογιμό διπλού ολοκληρώματος ε ορθογώνιο. Τώρα θα δούμε πώς ορίζεται η έννοια του διπλού ολοκληρώματος πραγματικής υνάρτηης ε γενικότερο χωρίο του 2. Έτω ένα χωρίο του 2 και πραγματική υνάρτηη f : οριμένη το. Θεωρούμε ένα οποιοδήποτε ορθογώνιο αρκετά μεγάλο ώτε να περιέχει το χωρίο και ορίζουμε την επέκταη της f η οποία είναι ταυτοτικά ίη με μέα το και έξω από το, δηλαδή την υνάρτηη f : με τύπο f f (x, y, (x, y (x, y, (x, y \ Θα λέμε ότι η f είναι ολοκληρώιμη το όταν η f είναι ολοκληρώιμη το και αυτήν την περίπτωη ορίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f το με τον τύπο f (x, y dxdy : f (x, y dxdy. (8 Θα υγκεκριμενοποιήουμε αυτόν τον οριμό ε δύο χαρακτηριτικές και απλές περιπτώεις χωρίων. Θεωρούμε κατ αρχάς χωρία πρώτου τύπου, τα οποία περιγράφονται ως εξής. Παίρνουμε δύο πραγματικές υναρτήεις y ϕ (x και y ϕ 2 (x οριμένες και υνεχείς το ίδιο διάτημα [, b] και υποθέτουμε ότι ιχύει ϕ (x ϕ 2 (x για x [, b]. Δηλαδή το γράφημα της ϕ βρίκεται κάτω από το γράφημα της ϕ 2 το xy-επίπεδο και το χωρίο το οποίο βρίκεται ανάμεα τις δυο αυτές (υνεχείς καμπύλες λέμε ότι είναι χωρίο πρώτου τύπου: {(x, y x b, ϕ (x y ϕ 2 (x}. Το χωρίο πρώτου τύπου μπορούμε να το περιγράψουμε γεωμετρικά ως εξής. Θεωρούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη ευθεία η οποία τέμνει τον x-άξονα το μεταβλητό ημείο x. Όταν x < η κατακόρυφη ευθεία δεν τέμνει το. Ομοίως, όταν x > b η κατακόρυφη ευθεία δεν τέμνει το. Όταν x b η κατακόρυφη ευθεία τέμνει το ε ένα κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα της το οποίο έχει ως κάτω άκρο το ημείο (x, ϕ (x, ως άνω άκρο το ημείο (x, ϕ 2 (x και, επομένως, τα ημεία του είναι ακριβώς όλα τα (x, y με ϕ (x y ϕ 2 (x. Όλα μαζί τα κάτω ημεία των μεταβλητών κατακόρυφων ευθυγράμμων τμημάτων που τέμνουν το, δηλαδή τα (x, ϕ (x για x [, b], χηματίζουν την καμπύλη που αποτελεί την κάτω πλευρά του. Ενώ όλα μαζί τα πάνω ημεία των μεταβλητών κατακόρυφων ευθυγράμμων τμημάτων που τέμνουν το, δηλαδή τα (x, ϕ 2 (x για x [, b], χηματίζουν την καμπύλη που αποτελεί την πάνω πλευρά του. Καθώς το x αυξάνεται το [, b], το αντίτοιχο κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα αρώνει το χωρίο από αριτερά προς δεξιά. 7

9 Υποθέτουμε ότι αυτό το χωρίο είναι οριμένη μια πραγματική υνάρτηη f : και θα βρούμε έναν χρήιμο τύπο για τον υπολογιμό του ολοκληρώματός της. Παίρνουμε ένα ορθογώνιο [, b ] [c, d ] το οποίο περιέχει το χωρίο. Για να ιχύει αυτό πρέπει να είναι, b b, το c να μην είναι μεγαλύτερο από την ελάχιτη τιμή της ϕ το [, b] και το d να μην είναι μικρότερο από την μέγιτη τιμή της ϕ 2 το [, b]. Ορίζουμε την επέκταη f της f όπως πριν. Βάει του οριμού έχουμε τον τύπο (8 και, ύμφωνα με τον τύπο (6 του Fubini, f (x, y dxdy ( d c f (x, y dy dx. (9 Αν x [,, τότε για κάθε y [c, d ] το ημείο (x, y είναι το αλλά έξω από το και άρα f (x, y. Επομένως, d c f (x, y dy d c dy αν x [,. ( Ομοίως, αν x (b, b ], τότε για κάθε y [c, d ] το ημείο (x, y είναι το αλλά έξω από το και άρα f (x, y. Επομένως, d c f (x, y dy d c dy αν x (b, b ]. ( Κατόπιν, αν x [, b], τότε οι τιμές της f (x, y ως υνάρτηης του y το διάτημα [c, d ] (με ταθερό το x είναι τριών ειδών. Αν y [c, ϕ (x, τότε το ημείο (x, y είναι εκτός του, οπότε f (x, y. Αν y (ϕ 2 (x, d ], τότε πάλι το ημείο (x, y είναι εκτός του, οπότε f (x, y. Τέλος, αν y [ϕ x (x, ϕ 2 (x], τότε το ημείο (x, y είναι εντός του και άρα f (x, y f (x, y. Επομένως, d c f (x, y dy ϕ (x c f (x, y dy + ϕ (x c dy + ϕ2 (x ϕ (x f (x, y dy ϕ2 (x ϕ (x ϕ2 (x ϕ (x f (x, y dy + αν x [, b]. d f (x, y dy + d ϕ 2 (x dy ϕ 2 (x f (x, y dy (2 Από τις ιότητες (9-(2 έχουμε ότι Καταλήγουμε τον τύπο f (x, y dxdy ( d c b + b ( d f (x, y dy dx + c b f (x, y dy dx ( ϕ2 (x dx + ϕ (x ( ϕ2 (x f (x, y dy dx. ϕ (x f (x, y dxdy ( ϕ2 (x ϕ (x ( d c f (x, y dy dx f (x, y dy dx + dx b f (x, y dy dx (3 όταν το χωρίο είναι πρώτου τύπου: {(x, y x b, ϕ (x y ϕ 2 (x}. 8

10 Επιτρέφοντας την γεωμετρική περιγραφή του, μπορούμε να πούμε ότι για να υπολογίουμε το f (x, y dxdy ύμφωνα με τον τύπο (3, θεωρούμε το κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα που είναι η τομή του με την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το x [, b] και ότι ολοκληρώνουμε τις τιμές της f τα ημεία (x, y αυτού του ευθυγράμμου τμήματος, όπου το x είναι ταθερό και η μεταβλητή ολοκλήρωης είναι το y από y ϕ (x μέχρι y ϕ 2 (x (η μικρότερη τιμή του y και η μεγαλύτερη τιμή του y, αντιτοίχως, το υγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα. Έτι, για κάθε x [, b] βρίκουμε το αντίτοιχο ολοκλήρωμα ϕ 2 (x f (x, y dy το αντίτοιχο ϕ (x ευθύγραμμο τμήμα. Κατόπιν, καθώς το x αυξάνεται το [, b] και το αντίτοιχο ευθύγραμμο τμήμα αρώνει το από αριτερά προς δεξιά, ολοκληρώνουμε τις τιμές των ολοκληρωμάτων που βρήκαμε για x από μέχρι b και βρίκουμε το f (x, y dxdy. Ας δούμε το εξής παράδειγμα. Θεωρούμε το τριγωνικό χωρίο με κορυφές τα ημεία (,, (, και (,. Το είναι χωρίο πρώτου τύπου: η κάτω πλευρά του είναι η γραφική παράταη της υνάρτηης y ϕ (x το x-διάτημα [, ] και η πάνω πλευρά του είναι η γραφική παράταη της υνάρτηης y ϕ 2 (x x το ίδιο x-διάτημα [, ]. Το γράφεται Άρα (x 2 + y dxdy {(x, y x, y x}. ( x (x 2 + y dy dx (x 2 y + y 2 /2 x dx (x 3 + x 2 /2 dx (x 4 /4 + x 3 /6 5/2. Τώρα θα γνωρίουμε τα χωρία δεύτερου τύπου, τα οποία περιγράφονται ως εξής. Παίρνουμε δύο πραγματικές υναρτήεις x ψ (y και x ψ 2 (y οριμένες και υνεχείς το ίδιο διάτημα [c, d] και υποθέτουμε ότι ιχύει ψ (y ψ 2 (y για y [c, d]. Δηλαδή το γράφημα της ψ βρίκεται αριτερά του γραφήματος της ψ 2 το xy-επίπεδο και το χωρίο το οποίο βρίκεται ανάμεα τις δυο αυτές (υνεχείς καμπύλες λέμε ότι είναι χωρίο δεύτερου τύπου: {(x, y c y d, ψ (y x ψ 2 (y}. Υποθέτουμε και ότι το χωρίο είναι οριμένη μια πραγματική υνάρτηη f :. Αν ακολουθήουμε παρόμοια βήματα με αυτά για τα χωρία πρώτου τύπου χρηιμοποιώντας τον τύπο (7 του Fubini (αντί του (6 θα καταλήξουμε τον εξής τύπο υπολογιμού του διπλού ολοκληρώματος της f το : d ( ψ2 (y f (x, y dxdy f (x, y dx dy. (4 c Το χωρίο δεύτερου τύπου μπορούμε, όπως και ένα χωρίο πρώτου τύπου, να το περιγράψουμε γεωμετρικά ως εξής. Θεωρούμε μια μεταβλητή οριζόντια ευθεία η οποία τέμνει τον y-άξονα το μεταβλητό ημείο y. Όταν y < c η οριζόντια ευθεία δεν τέμνει το. Ομοίως, όταν y > d η οριζόντια ευθεία δεν τέμνει το. Όταν c y d η οριζόντια ευθεία τέμνει το ε ένα οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα της το οποίο έχει ως αριτερό άκρο το ημείο (ψ (y, y, ως δεξιό άκρο το ημείο (ψ 2 (y, y και, επομένως, τα ημεία του είναι ακριβώς όλα τα (x, y με ψ (y x ψ 2 (y. Όλα μαζί τα αριτερά ημεία των μεταβλητών οριζόντιων ευθυγράμμων τμημάτων που τέμνουν το, δηλαδή τα (ψ (y, y για y [c, d], χηματίζουν την καμπύλη που αποτελεί την αριτερή πλευρά του. Ενώ όλα μαζί τα δεξιά ημεία των μεταβλητών οριζόντιων ευθυγράμμων τμημάτων που τέμνουν το, δηλαδή τα (ψ 2 (y, y για y [c, d], χηματίζουν την καμπύλη που αποτελεί την δεξιά πλευρά του. Καθώς το y αυξάνεται το [c, d], το αντίτοιχο οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα αρώνει το χωρίο από κάτω προς πάνω. 9 ψ (y

11 Με ανάλογη κάπως γεωμετρική γλώα μπορούμε να πούμε ότι για να υπολογίουμε το f (x, y dxdy ύμφωνα με τον τύπο (4, θεωρούμε το οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα που είναι η τομή του με την οριζόντια ευθεία που περνάει από το y [c, d] και ότι ολοκληρώνουμε τις τιμές της f τα ημεία (x, y αυτού του ευθυγράμμου τμήματος, όπου το y είναι ταθερό και η μεταβλητή ολοκλήρωης είναι το x από x ψ (y μέχρι x ψ 2 (y (η μικρότερη τιμή του x και η μεγαλύτερη τιμή του x, αντιτοίχως, το υγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα. Έτι, για κάθε y [c, d] βρίκουμε το αντίτοιχο ολοκλήρωμα ψ 2 (y f (x, y dx το αντίτοιχο ευθύγραμμο ψ (y τμήμα. Κατόπιν, καθώς το y αυξάνεται το [c, d] και το αντίτοιχο ευθύγραμμο τμήμα αρώνει το από κάτω προς πάνω, ολοκληρώνουμε τις τιμές των ολοκληρωμάτων που βρήκαμε για y από c μέχρι d και βρίκουμε το f (x, y dxdy. Το τριγωνικό χωρίο με κορυφές τα ημεία (,, (, και (, που είδαμε το αμέως προηγούμενο παράδειγμα είναι και χωρίο δεύτερου τύπου: η αριτερή πλευρά του είναι η γραφική παράταη της υνάρτηης x ψ (y y το y-διάτημα [, ] και η δεξιά πλευρά του είναι η γραφική παράταη της υνάρτηης x ψ 2 (y το ίδιο y-διάτημα [, ]. Το γράφεται Άρα (x 2 + y dxdy {(x, y y, y x }. ( (x 2 + y dx dy y (x 3 /3 + xy y dy (/3 + y y 3 /3 y 2 dy (y/3 + y 2 /2 y 4 /2 y 3 /3 5/2.

12 2η εβδομάδα. Οι ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος υνάρτηης ε ορθογώνιο ιχύουν και για το διπλό ολοκλήρωμα ε γενικότερο χωρίο. Όταν οι υναρτήεις f, g είναι ολοκληρώιμες το χωρίο τότε και η f + g είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει ( f (x, y + g(x, y dxdy f (x, y dxdy + g(x, y dxdy. (5 Η απόδειξη βαίζεται την ίδια ιδιότητα για ορθογώνιο. Θεωρούμε ορθογώνιο το οποίο περιέχει το χωρίο και τις υναρτήεις f και g οι οποίες είναι ίες με τις f και g αντιτοίχως το και ίες με το \. Τότε έχουμε ότι το ιχύει f + g f + g και ότι το \ ιχύει f + g +. Άρα η υνάρτηη f + g είναι ίη με την ( f + g το ορθογώνιο. Επομένως, από τον οριμό των ολοκληρωμάτων το έχουμε ότι ( f (x, y+g(x, y dxdy ( f + g(x, y dxdy ( f + g (x, y dxdy ( f + g (x, y dxdy ( f (x, y + g (x, y dxdy f (x, y dxdy + g (x, y dxdy f (x, y dxdy + g(x, y dxdy και αποδείχθηκε η (5. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύονται και οι επόμενες τρεις ιδιότητες. Όταν η f είναι ολοκληρώιμη το χωρίο και λ είναι αριθμός, τότε και η λ f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει λ f (x, y dxdy λ f (x, y dxdy. (6 Αν οι f, g είναι ολοκληρώιμες το χωρίο και ιχύει f (x, y g(x, y για κάθε (x, y, τότε f (x, y dxdy g(x, y dxdy. (7 Αν η f είναι ολοκληρώιμη το χωρίο τότε και η f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει f (x, y dxdy f (x, y dxdy. (8 Όπως είχαμε πει την περίπτωη ορθογωνίου, εννοείται ότι και για γενικότερο χωρίο το ύμβολο f (x, y dxdy έχει νόημα μόνο όταν η f είναι ολοκληρώιμη το. Γι αυτό, όταν χρηιμοποιούμε αυτό το ύμβολο, πρέπει πρώτα να έχουμε αποδείξει ότι η f είναι ολοκληρώιμη το. Ένα θεώρημα το οποίο εξαφαλίζει την ολοκληρωιμότητα υνάρτηης ε χωρίο είναι το εξής:

13 Αν το ύνορο του χωρίου αποτελείται απο πεπεραμένου πλήθους καμπύλες οι οποίες είναι γραφικές παρατάεις υνεχών υναρτήεων y ϕ(x ή x ψ(y και η πραγματική υνάρτηη f είναι υνεχής το χωρίο εκτός από κάποια ημεία αυνέχειας τα οποία βρίκονται πάνω ε πεπεραμένου πλήθους καμπύλες μέα το οι οποίες είναι γραφικές παρατάεις υνεχών υναρτήεων y ϕ(x ή x ψ(y, τότε η f είναι ολοκληρώιμη το. Μία ακόμη ιδιότητα είναι η εξής: Αν το χωρίο γράφεται ως... k, όπου τα χωρία,..., k ανά δύο δεν έχουν κοινά εωτερικά ημεία, και αν η f είναι ολοκληρώιμη τα χωρία,,..., k, τότε f (x, y dxdy f (x, y dxdy + + f (x, y dxdy. (9 k Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να υπολογίζουμε ολοκλήρωμα ε χωρίο το οποίο δεν είναι πρώτου ούτε δεύτερου τύπου, αρκεί να μπορούμε να χωρίουμε το ε μικρότερα χωρία,..., k καθένα από τα οποία είναι πρώτου ή δεύτερου τύπου: υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα τα μικρότερα χωρία χρηιμοποιώντας τους τύπους (3 και (4, ανάλογα με την περίπτωη, και εφαρμόζουμε τον τύπο (9. Για παράδειγμα, με < < b, ο δακτύλιος {(x, y 2 x 2 +y 2 b 2 } ο οποίος βρίκεται ανάμεα τους κύκλους κέντρου (, και ακτίνων και b, δεν είναι πρώτου ούτε δεύτερου τύπου χωρίο. Όμως, 2, όπου είναι το τμήμα του που βρίκεται το άνω xy-ημιεπίπεδο και 2 είναι το τμήμα του που βρίκεται το κάτω xy-ημιεπίπεδο: {(x, y 2 x 2 + y 2 b 2, y } και 2 {(x, y 2 x 2 + y 2 b 2, y }. Τα χωρία, 2 είναι και τα δύο πρώτου τύπου. Όπως την περίπτωη ορθογωνίου έτι και για γενικότερο χωρίο, το γεωμετρικό περιεχόμενο της έννοιας του ολοκληρώματος μη-αρνητικής υνάρτηης περιγράφεται ως εξής: Αν η f είναι μη-αρνητική και ολοκληρώιμη το χωρίο, τότε το διπλό ολοκλήρωμα της f το ιούται με τον όγκο του τερεού που βρίκεται ανάμεα το και το γράφημα της f. Ας δούμε ένα χρήιμο πόριμα αυτής της ιδιότητας. Αν η f είναι ταθερή και ίη με το χωρίο, τότε το τερεό που βρίκεται ανάμεα το και το γράφημα της f είναι ένα κατακόρυφο κυλινδρικό τερεό με βάη το χωρίο και ύψος ίο με και άρα ο όγκος αυτού του τερεού είναι ίος με το εμβαδόν του. Επομένως, έχουμε την ιότητα dxdy A(, (2 όπου με A( υμβολίζουμε το εμβαδόν του. Είδαμε τον οριμό της μέης τιμής (ολοκληρώιμης υνάρτηης ε χωρίο : είναι ο αριθμός f (x, y dxdy. A( Είδαμε ότι η μέη τιμή της f το χωρίο είναι ο αριθμός k με την εξής ιδιότητα: αν θεωρήουμε υνάρτηη g ταθερή ίη με k το, τότε οι f, g έχουν την ίδια μέη τιμή το. Κατόπιν έχουμε μερικά απλά πορίματα των (6, (7 και (2. Αν η f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει f (x, y M για κάθε (x, y, τότε f (x, y dxdy M A(. Αν η f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει f (x, y m για κάθε (x, y, τότε f (x, y dxdy m A(. 2

14 Γνωρίζουμε ότι, αν το χωρίο είναι κλειτό και φραγμένο και αν η f είναι υνεχής το, τότε η f έχει μέγιτη τιμή και ελάχιτη τιμή το. Επομένως, αν τα προηγούμενα χρηιμοποιήουμε ως M, m την μέγιτη τιμή mx ( f και την ελάχιτη τιμή min ( f της f το, έχουμε το εξής: Αν η f είναι υνεχής το κλειτό και φραγμένο χωρίο, τότε min ( f f (x, y dxdy mx( f. (2 A( Δηλαδή η μέη τιμή της f είναι ανάμεα την ελάχιτη τιμή της και τη μέγιτη τιμή της. Ένα χωρίο χαρακτηρίζεται υνεκτικό αν κάθε δύο ημεία του μπορούν να ενωθούν με μια καμπύλη η τροχιά της οποίας βρίκεται ολόκληρη μέα το. Για παράδειγμα, ένας δίκος, ένα παραλληλόγραμμο, ένας δακτύλιος, ένα ημιεπίπεδο είναι όλα υνεκτικά χωρία ενώ η ένωη δύο δίκων που απέχουν θετική απόταη δεν είναι υνεκτικό ύνολο. Είναι γνωτό ότι, αν το χωρίο είναι υνεκτικό και η f είναι υνεχής το, τότε η f έχει την ιδιότητα μέης τιμής το : αν δύο αριθμοί είναι τιμές της f ε δύο ημεία του, τότε κάθε ενδιάμεος αριθμός είναι κι αυτός τιμή της f ε κάποιο ημείο του. Εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα τους αριθμούς min ( f και mx ( f, οι οποίοι είναι τιμές της f ε κάποια ημεία του, έχουμε βάει της (2 το εξής πόριμα: Αν η f είναι υνεχής το κλειτό, φραγμένο και υνεκτικό χωρίο, τότε υπάρχει ημείο (ξ, η ώτε f (x, y dxdy f (ξ, η. A( Δηλαδή, η μέη τιμή της f το είναι τιμή της f ε κάποιο ημείο του. Ως παράδειγμα εφαρμογής της (2 εκτιμήαμε το διπλό ολοκλήρωμα x+y+4 dxdy, όπου είναι ο μοναδιαίος δίκος {(x, y x 2 + y 2 }. Με τις μεθόδους του Απειροτικού Λογιμού ΙΙ (κριτήριο πρώτης παραγώγου για το εωτερικό του και εύρεη ακροτάτων υπό υνθήκη για το ύνορο του υπολογίαμε την ελάχιτη τιμή και την μέγιτη τιμή της x + y + 4 το και βρήκαμε ότι < 4 2 x + y για κάθε (x, y. υνεπάγεται ότι 4+ 2 ίο με π, έχουμε βάει της (2 ότι x+y π για κάθε (x, y και επειδή το εμβαδόν του είναι x + y + 4 dxdy π 4 2. Δηλαδή η αριθμητική τιμή του ολοκληρώματος είναι ανάμεα τους αριθμούς.58 και.25. Κατόπιν θα αχοληθούμε με τον τύπο αλλαγής μεταβλητής. Θυμόματε ότι για ολοκληρώματα μίας μεταβλητής ο ανάλογος τύπος έχει την μορφή f (x dx d c f (x(ux (u du d c f (x(u dx du du, όπου x x(u είναι υνάρτηη με υνεχή παράγωγο από το διάτημα [c, d] το διάτημα [, b]. Η υνάρτηη x x(u είναι η υνάρτηη αλλαγής μεταβλητής: από την μεταβλητή x που διατρέχει το [, b] την μεταβλητή u που διατρέχει το [c, d]. Θεωρούμε ότι η υνάρτηη x x(u είναι γνηίως αύξουα και άρα x(c και b x(d και επίης ιχύει x (u dx du το [c, d]. Αν η υνάρτηη x x(u είναι γνηίως φθίνουα, τότε x(d και b x(c και ιχύει x (u dx du το [c, d], ο δε τύπος αλλαγής μεταβλητής έχει την μορφή f (x dx c d f (x(ux (u du c d f (x(u dx du du. 3

15 αυτήν την περίπτωη τα άκρα c, d δεν εμφανίζονται με την κανονική τους διάταξη (πρώτα το c και μετά το d ως άκρα των αντίτοιχων ολοκληρωμάτων και, αν θέλουμε τα ολοκληρώματα να είναι κάτω το c και πάνω το d, πρέπει να αλλάξουμε το πρόημο μπροτά από τα ολοκληρώματα. Αυτό το κάνουμε αλλάζοντας το πρόημο της x (u dx du και, επειδή αυτή είναι μη-θετική, μπορούμε ιοδύναμα να την θέουμε μέα ε απόλυτη τιμή: dx du dx du. Άρα ο τελευταίος τύπος αλλαγής μεταβλητής γράφεται ιοδύναμα f (x dx d c f (x(u x (u du d c f (x(u dx du. du Παρατηρούμε ότι ο ίδιος τύπος ιχύει και την πρώτη περίπτωη που η x x(u είναι γνηίως αύξουα, αφού τότε ιχύει dx dx du και άρα du dx du. Μπορούμε λοιπόν να θεωρήουμε τον τελευταίο τύπο ως έναν ενιαίο τύπο αλλαγής μεταβλητής και τις δύο περιπτώεις, δηλαδή που η x x(u είναι είτε γνηίως αύξουα είτε γνηίως φθίνουα, και όπου οι, b και οι c, d εμφανίζονται με τη ωτή διάταξή τους ως άκρα ολοκλήρωης. Ας δούμε τώρα ποιός είναι ο ανάλογος τύπος την περίπτωη του χώρου διάταης ίης με 2. Θεωρούμε ένα χωρίο E το uv-επίπεδο και ένα χωρίο το xy-επίπεδο και μια απεικόνιη T : E επί. Αν γράψουμε (u, v το ανεξάρτητο μεταβλητό ημείο το χωρίο E και (x, y το εξαρτημένο μεταβλητό ημείο το χωρίο, τότε T(u, v (x, y (x(u, v, y(u, v όπου οι μεταβλητές x, y είναι υναρτήεις των μεταβλητών u, v: x x(u, v, y y(u, v. Το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής είναι το εξής: Αν η απεικόνιη T : E είναι ένα-προς-ένα από το χωρίο E επί του χωρίου και αν οι υναρτήεις x x(u, v, y y(u, v έχουν υνεχείς μερικές παραγώγους ως προς u, v το χωρίο E, τότε f (x, y dxdy f (x(u, v, y(u, v (x, y dudv, (22 (u, v όπου (x,y είναι η Ιακωβιανή ορίζουα των x, y ως υναρτήεις των u, v: (u,v E (x, y (u, v det Θα δούμε τώρα μερικά παραδείγματα, ειδικά ή γενικά, εφαρμογής του θεωρήματος αλλαγής μεταβλητών. Ένα πολύ ειδικό παράδειγμα είναι το εξής. Θεωρούμε το τρίγωνο E με κορυφές (,, (, και (, και την απεικόνιη T : E 2 με τύπο (x, y T(u, v (u, v 2, δηλαδή x x(u, v u, y y(u, v v 2. x Το E βρίκεται το uv-επίπεδο και περιγράφεται ως εξής: x E {(u, v u, v u}. Όταν το u διατρέχει το διάτημα [, ], το x u διατρέχει κι αυτό το διάτημα [, ]. Για ταθερό u και άρα για ταθερό x u, το v διατρέχει το διάτημα [, u] και άρα το y v 2 διατρέχει 4

16 το διάτημα [, u 2 ] [, x 2 ]. Άρα η T απεικονίζει το χωρίο E το uv-επίπεδο το χωρίο το xy-επίπεδο το οποίο περιγράφεται ως εξής: {(x, y x, y x 2 }. Το είναι το χωρίο που βρίκεται ανάμεα τον x-άξονα, την ευθεία με εξίωη x και την παραβολή με εξίωη y x 2 και είναι εύκολο να δούμε ότι η T είναι ένα-προς-ένα το E και άρα T : E. Η Ιακωβιανή ορίζουα των υναρτήεων x x(u, v u, y y(u, v v 2 είναι ίη με Άρα επί (x, y (u, v det f (x, y dxdy E x x det [ ] 2v. 2v f (x(u, v, y(u, v 2v dudv E f (u, v 2 2v dudv. Επειδή το E είναι χωρίο πρώτου τύπου, το ολοκλήρωμα το E υπολογίζεται βάει των τύπων του Fubini και έχουμε: ( u f (x, y dxdy 2 f (u, v 2 v dudv 2 f (u, v 2 v dv du. E Τα υπόλοιπα είναι θέμα πράξεων και εξαρτώνται από τον τύπο της f. Ένα πολύ γενικό και χρήιμο παράδειγμα μιας ολόκληρης υλλογής υναρτήεων T : 2 2 είναι οι λεγόμενες γραμμικές υναρτήεις. Μια γραμμική υνάρτηη έχει τύπο [ x y ] ( [ u T v] [ u + bv cu + dv ] [ ] [ ] b u, c d v όπου τα ζευγάρια (x, y και (u, v τα γράφουμε τη μορφή πίνακα-τήλης. Οι τύποι των x, y ως υναρτήεις των u, v είναι x x(u, v u + bv, y y(u, v cu + dv. [ ] b Γνωρίζουμε ότι η γραμμική υνάρτηη T είναι ένα-προς-ένα αν και μόνο αν det c d και τα παρακάτω θα περιοριτούμε αυτήν την περίπτωη. Είναι γνωτό από την Γραμμική Άλγεβρα ότι μια γραμμική υνάρτηη T απεικονίζει ευθείες, παραλληλόγραμμα, τρίγωνα το uv-επίπεδο ε ευθείες, παραλληλόγραμμα, τρίγωνα, αντιτοίχως, το xy-επίπεδο. Επίης, απεικονίζει ζεύγη παράλληλων ευθειών το uv-επίπεδο ε ζεύγη παράλληλων ευθειών το xy-επίπεδο. Μάλιτα, η T διατηρεί την διάταξη παράλληλων ευθειών: αν έχουμε τρεις παράλληλες ευθείες l, l 2, l 3 το uv-επίπεδο και η l 2 βρίκεται ανάμεα τις l, l 3, τότε οι εικόνες τους T(l, T(l 2, T(l 3 το xy-επίπεδο είναι παράλληλες ευθείες και η T(l 2 βρίκεται ανάμεα τις T(l, T(l 3. Ας θεωρήουμε, λοιπόν, ένα παραλληλόγραμμο ή τρίγωνο E το uv-επίπεδο και την εικόνα του E μέω της T το xy-επίπεδο. Τότε το είναι ένα παραλληλόγραμμο ή τρίγωνο, αντιτοίχως, και οι κορυφές του E απεικονίζονται τις κορυφές του και οι πλευρές του E απεικονίζονται τις πλευρές του. Η Ιακωβιανή ορίζουα των υναρτήεων x x(u, v u + bv, y y(u, v cu + dv είναι ίη με x x [ ] (x, y (u, v det b det d bc, c d δηλαδή είναι ίη με την ορίζουα του 2 2 πίνακα της γραμμικής υνάρτηης. Άρα ο τύπος αλλαγής μεταβλητής (22 γράφεται f (x, y dxdy d bc f (u + bv, cu + dv dudv. (23 5 E

17 Ο τύπος αυτός είναι χρήιμος ιδιαίτερα την περίπτωη που το E είναι ένα ορθογώνιο το uv-επίπεδο με πλευρές παράλληλες τους κύριους άξονες ή ένα τρίγωνο το uv-επίπεδο με δύο πλευρές παράλληλες τους κύριους άξονες. Ένα υγκεκριμένο παράδειγμα. Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο το xy-επίπεδο που βρίκεται ανάμεα τις ευθείες με εξιώεις y 2x, y 2x + 3, y x 2 και y x + 4 και θέλουμε να υπολογίουμε το x2 y dxdy. Ορίζουμε νέες μεταβλητές με τύπους u 2x y, v x + y. Αν λύουμε ως προς x, y υναρτήει των u, v έχουμε x (/3u + (/3v, y ( /3u + (2/3v. Έτι ορίζεται η γραμμική υνάρτηη T : 2 2 με τύπο [ ] ( [ [ ] [ ] [ ] x u (/3u + (/3v /3 /3 u T. y v] ( /3u + (2/3v /3 2/3 v Παρατηρούμε ότι η χέη y 2x είναι ιοδύναμη με την u. Αυτό ημαίνει ότι η ευθεία το uv-επίπεδο με εξίωη u απεικονίζεται μέω της T την ευθεία το xy-επίπεδο με εξίωη y 2x. Ομοίως, οι ευθείες το uv-επίπεδο με εξιώεις u 3, v 2 και v 4 απεικονίζονται μέω της T τις ευθείες το xy-επίπεδο με εξιώεις y 2x + 3, y x 2 και y x + 4, αντιτοίχως. Επομένως, το παραλληλόγραμμο E το uv-επίπεδο που βρίκεται ανάμεα τις ευθείες με εξιώεις u, u 3, v 2 και v 4 απεικονίζεται το αρχικό παραλληλόγραμμο το xy-επίπεδο. Τώρα, ο τύπος (23 την υγκεκριμένη περίπτωη γράφεται ( 2 3 x 2 ( y dxdy 3 8 E ( 3( 3 E ( u + v 2 ( u + 2v 3 (u + v 2 ( u + 2v dudv. 3 dudv Επειδή, όμως, το E είναι ορθογώνιο το uv-επίπεδο με πλευρές παράλληλες τους κύριους άξονες, μπορούμε εύκολα να υπολογίουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα με τους τύπους του Fubini και βρίκουμε x 2 y dxdy 8 3 ( 4 2 (u + v 2 ( u + 2v dv Τα υπόλοιπα είναι ζήτημα απλών πράξεων. Ένα ακόμη εξαιρετικά ημαντικό παράδειγμα είναι η λεγόμενη αλλαγή ε πολικές υντεταγμένες. το xy-επίπεδο γράφουμε du. x r cos θ, y r sin θ και αυτό ημαίνει ότι για το ημείο (x, y η πολική ακτίνα r είναι ίη με την απόταή του από το (, και η πολική γωνία θ είναι ίη με την γωνία που χηματίζει με τον θετικό x-ημιάξονα η ημιευθεία με κορυφή το (, που διέρχεται από το (x, y. Το θ λογίζεται θετικό αν το μετράμε με την λεγόμενη θετική φορά περιτροφής γύρω από το (,, δηλαδή την φορά περιτροφής που είναι αντίθετη την φορά περιτροφής των δεικτών του ρολογιού. Το θ λογίζεται αρνητικό αν το μετράμε με την αρνητική φορά περιτροφής γύρω από το (,, δηλαδή την φορά περιτροφής που είναι ίδια με την φορά περιτροφής των δεικτών του ρολογιού. το ίδιο ημείο (x, y (, αντιτοιχεί ένα μοναδικό r > και άπειρα θ τα οποία ανά δύο διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάιο του 2π (ακέραιος αριθμός πλήρων περιτροφών. Για να περιορίουμε την απειρία των θ διαλέγουμε ένα διάτημα μήκους 2π της μορφής [θ, θ + 2π ή (θ, θ + 2π] και επιλέγουμε το (αναγκατικά μοναδικό θ μέα από αυτό το διάτημα. Δύο τέτοια υνηθιμένα διατήματα είναι το [, 2π και το ( π, π]. το εξής θα χρηιμοποιούμε το διάτημα [, 2π ενώ αν παρίταται ανάγκη μπορούμε να χρηιμοποιούμε και το ( π, π] (ή οποιοδήποτε άλλο διάτημα μήκους 2π. 6

18 Θεωρούμε την υνάρτηη με τύπο T : (, + [, 2π επί 2 \ {(, } (x, y T(r, θ (r cos θ, r sin θ. Η υνάρτηη T απεικονίζει την ημιευθεία το rθ-επίπεδο που διατρέχει οριζοντίως την μιή ζώνη (, + [, 2π ε ύψος θ την ημιευθεία το xy-επίπεδο με κορυφή το (, η οποία χηματίζει γωνία θ με τον θετικό x-ημιάξονα. Όταν η αρχική ημιευθεία το rθ-επίπεδο ανεβαίνει από το ύψος θ προς το ύψος θ 2π, η αντίτοιχη ημιευθεία το xy-επίπεδο περιτρέφεται με την θετική φορά περιτροφής γύρω από την κορυφή της, το (,, κάνοντας μια πλήρη θετική περιτροφή από τον θετικό x-ημιάξονα προς τον θετικό x-ημιάξονα. Επίης η υνάρτηη T απεικονίζει το ευθύγραμμο τμήμα το rθ-επίπεδο που διατρέχει την μιή ζώνη (, + [, 2π ε μήκος r τον κύκλο το xy-επίπεδο με κέντρο (, και ακτίνα r. Όταν το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα το rθ-επίπεδο μεταφέρεται προς τα δεξιά καθώς το r αυξάνεται το (, +, ο αντίτοιχος κύκλος το xy-επίπεδο με ταθερό κέντρο (, μεγαλώνει και η ακτίνα του αυξάνεται το (, +. Επομένως, η T απεικονίζει οριζόντιες μιές ζώνες που βρίκονται μέα την μιή ζώνη (, + [, 2π ε γωνίες το xy-επίπεδο με κορυφή το (, και ορθογώνια που εκτείνονται κατακόρυφα μέα την μιή ζώνη (, + [, 2π από ύψος μέχρι ύψος 2π ε δακτύλιους το xy-επίπεδο. Θεωρώντας τομές οριζόντιων μιών ζωνών και κατακόρυφων ορθογωνίων μέα την μιή ζώνη (, + [, 2π έχουμε ότι T : E, (24 επί όπου E {(r, θ r r r 2, θ θ θ 2 } είναι ένα ορθογώνιο την μιή ζώνη (, + [, 2π και είναι το κυκλικό ορθογώνιο το xy-επίπεδο που βρίκεται ανάμεα τους κύκλους με κέντρο (, και ακτίνες r και r 2 και τις ημιευθείες με κορυφή (, που χηματίζουν αντίτοιχες γωνίες θ και θ 2 με τον θετικό x-ημιάξονα. Η Ιακωβιανή ορίζουα της υνάρτηης T είναι ίη με x x ] (x, y (r, θ det r r θ θ [ cos θ r sin θ det sin θ r cos θ E r cos 2 θ + r sin 2 θ r. Άρα ο τύπος αλλαγής μεταβλητής (22 γράφεται f (x, y dxdy f (r cos θ, r sin θr drdθ, (25 όταν E και είναι τα χωρία που εμφανίζονται την (24. τον τύπο (25 η εμφανιζόμενη χέη dxdy rdrdθ προκύπτει, όπως είδαμε, από τον υπολογιμό της Ιακωβιανής ορίζουας της υνάρτηης T που μετατρέπει πολικές υντεταγμένες ε καρτειανές υντεταγμένες και θα θυμόματε αυτήν την χέη χωρίς να κάνουμε κάθε φορά τον ίδιο υπολογιμό. Ας δούμε δύο υγκεκριμένα παραδείγματα. Θεωρούμε το χωρίο το xy-επίπεδο το οποίο είναι η τομή του δίκου κέντρου (, και ακτίνας 2 και του δεύτερου τεταρτημορίου του xyεπιπέδου και θέλουμε να υπολογίουμε το xy dxdy. Βλέπουμε ότι τα ημεία του περιγράφονται ως τα ημεία που έχουν πολική ακτίνα r η οποία κυμαίνεται το διάτημα [, 2] και πολική γωνία θ η οποία κυμαίνεται το διάτημα [π/2, π]. Άρα xy dxdy r 2 cos θ sin θ r drdθ, E 7

19 όπου E {(r, θ r 2, π 2 θ π}. Επομένως, από τους τύπους του Fubini έχουμε xy dxdy 2 ( π π/2 r 3 cos θ sin θ dθ dr 2 π r 3 dr cos θ sin θ dθ π/2 και υνεχίζουμε κάνοντας πράξεις. Δεύτερο παράδειγμα. Θεωρούμε το χωρίο το xy-επίπεδο το οποίο είναι η τομή του δακτύλιου κέντρου (,, εωτερικής ακτίνας και εξωτερικής ακτίνας 3 και της μη-κυρτής γωνίας που ορίζεται από τις ημιευθείες με κορυφή το (, που χηματίζουν γωνίες π/4 και 3π/2 με τον θετικό x-ημιάξονα και θέλουμε να υπολογίουμε το (x+y dxdy. Τα ημεία του περιγράφονται ως τα ημεία που έχουν πολική ακτίνα r η οποία κυμαίνεται το διάτημα [, 3] και πολική γωνία θ η οποία κυμαίνεται το διάτημα [π/4, 3π/2]. Άρα (x + y dxdy (r cos θ + r sin θ r drdθ, όπου E {(r, θ r 3, π 4 θ 3π 2 }. Επομένως, (x + y dxdy 3 ( 3π/2 π/4 και υνεχίζουμε κάνοντας πράξεις. E r 2 (cos θ + sin θ dθ dr 3 r 2 dr 3π/2 π/4 (cos θ + sin θ dθ 8

20 3η εβδομάδα. Θεωρούμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο τον 3 και μια πραγματική υνάρτηη [, b] [c, d] [r, s] f : οριμένη το και θα ορίουμε το τριπλό ολοκλήρωμα της f το, με τρόπο ανάλογο του τρόπου οριμού του διπλού ολοκληρώματος πραγματικής υνάρτηης οριμένης ε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο του 2, παίρνοντας, δηλαδή, αθροίματα iemnn και το όριό τους. Θα θεωρήουμε διαμερίεις του παραλληλεπιπέδου ε μικρότερα παραλληλεπίπεδα, μέω αυτών των διαμερίεων θα θεωρήουμε τα αντίτοιχα αθροίματα iemnn της f και μέω αυτών των αθροιμάτων iemnn, περνώντας το όριο, θα προκύψει το τριπλό ολοκλήρωμα της f το. Ξεκινάμε με μια διαμέριη του διατήματος [, b] τον x-άξονα, με μια διαμέριη του διατήματος [c, d] τον y-άξονα, x < x <... < x n < x n b, c y < y <... < y m < y m d, καθώς και με μια διαμέριη του διατήματος [r, s] τον z-άξονα, r z < z <... < z l < z l s. Όταν χεδιάουμε τα επίπεδα που τέμνουν κάθετα τον x-άξονα τα ημεία της πρώτης διαμέριης, τα επίπεδα που τέμνουν κάθετα τον y-άξονα τα ημεία της δεύτερης διαμέριης και τα επίπεδα που τέμνουν κάθετα τον z-άξονα τα ημεία της τρίτης διαμέριης, χηματίζεται μια διαμέριη του παραλληλεπιπέδου ε nml μικρότερα παραλληλεπίπεδα i, j,k [x i, x i ] [y j, y j ] [z k, z k ], i n, j m, k l. Όο λεπτότερες είναι οι διαμερίεις των [, b], [c, d] και [r, s], δηλαδή όο μικρότερα είναι τα mx x i, i n mx y j, j m mx z k, k l τόο λεπτότερη λέμε ότι είναι η διαμέριη του παραλληλεπιπέδου τα ορθογώνια i, j,k. Κατόπιν, δεδομένης της διαμέριης που θεωρήαμε παραπάνω, θεωρούμε μέα ε κάθε ορθογώνιο i, j,k ένα τυχαίο ημείο ξ i, j,k και χηματίζουμε το τριπλό άθροιμα n,m,l i, j,k f (ξ i, j,k x i y j z k n,m,l i, j,k f (ξ i, j,k όγκος( i, j,k. (26 Το άθροιμα αυτό ονομάζεται άθροιμα iemnn της f που ορίζεται από την υγκεκριμένη διαμέριη του παραλληλεπιπέδου ε υποπαραλληλεπίπεδα i, j,k και από την υγκεκριμένη επιλογή ενδιάμεων ημείων ξ i, j,k τα i, j,k. 9

21 Και τώρα έχουμε τον εξής βαικό οριμό. Αν όο λεπτότερη είναι η διαμέριη του τα υποπαραλληλεπίπεδα i, j,k τόο πιο κοντά έρχεται το άθροιμα iemnn ε κάποιον υγκεκριμένο αριθμό, τότε λέμε ότι η f είναι (iemnn ολοκληρώιμη το και ο αριθμός τον οποίο πληιάζει το άθροιμα iemnn ονομάζεται (iemnn ολοκλήρωμα της f το και υμβολίζεται f (x, y, z dxdydz ή f. Αν, λοιπόν, η f είναι ολοκληρώιμη το παραλληλεπίπεδο, τότε έχουμε n,m,l i, j,k f (ξ i, j,k x i y j z k f (x, y, z dxdydz όταν mx i n x i, mx j m y j και mx k l z k (όπου, ημαίνει περίπου ίο. Ή, με άλλα λόγια, n,m,l i, j,k f (ξ i, j,k x i y j z k f (x, y, z dxdydz όταν mx i n x i, mx j m y j και mx k l z k. Για να μιλήουμε για το γεωμετρικό περιεχόμενο της έννοιας του τριπλού ολοκληρώματος πρέπει πρώτα να μιλήουμε για την έννοια του τετραδιάτατου όγκου τετραδιάτατου τερεού. Η πιο απλή περίπτωη για να ξεκινήουμε είναι η περίπτωη ενός τετραδιάτατου ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου K [, b] [c, d] [r, s] [u, v]. Φυικά δεν μπορούμε να χεδιάουμε το K, διότι αυτό βρίκεται τον χώρο 4. Μπορούμε, όμως, κατ αναλογία με τον τριδιάτατο όγκο τριδιάτατου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (και με το διδιάτατο εμβαδόν διδιάτατου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου να ορίουμε τον τετραδιάτατο όγκο του K ως το γινόμενο των μηκών των ακμών του: Ω(K (b (d c(s r(v u. Βλέπουμε αμέως ότι, βάει αυτού του οριμού, ιχύει ο κανόνας: Ω(K V(h, όπου [, b] [c, d] [r, s] είναι η βάη του K τον 3 και V(K (b (d c(s r είναι ο τριδιάτατος όγκος της τριδιάτατης βάης και όπου h v u είναι το ύψος του K μετρημένο τον τέταρτο άξονα του 4. Γενικότερα, αν ένα τετραδιάτατο τερεό M είναι η ένωη ξένων ανά δύο τέτοιων τετραδιάτατων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων K, τότε ορίζουμε τον τετραδιάτατο όγκο του M να είναι το άθροιμα των τετραδιάτατων όγκων των επιμέρους K. Ακόμη γενικότερα, αν ένα τετραδιάτατο τερεό L μπορεί να προεγγιθεί από τέτοιου τύπου τετραδιάτατα τερεά M, τότε ορίζουμε τον τετραδιάτατο όγκο του L να είναι το όριο των τετραδιάτατων όγκων των M που προεγγίζουν το L. Βάει αυτής της υζήτηης ας δούμε τώρα το γεωμετρικό περιεχόμενο του τριπλού ολοκληρώματος. Αν η f είναι μη-αρνητική, δηλαδή αν ιχύει f (x, y, z για κάθε (x, y, z, τότε ο όρος f (ξ i, j,k x i y j z k V( i, j,k f (ξ i, j,k ιούται με τον τετραδιάτατο όγκο του τετραδιάτατου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου το οποίο έχει βάη το τριδιάτατο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο i, j,k τον xyz-χώρο και ύψος f (ξ i, j,k, δηλαδή του τετραδιάτατου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου το οποίο εκτείνεται κατακόρυφα πάνω από τον xyz-χώρο από το παραλληλεπίπεδο i, j,k μέχρι 2

22 το ημείο (ξ i, j,k, f (ξ i, j,k του γραφήματος της f. Το γράφημα της f είναι μια τριδιάτατη επιφάνεια μέα τον τετραδιάτατο χώρο 4 και πάνω από το τριδιάτατο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (το οποίο βρίκεται τον τριδιάτατο χώρο 3. Άρα, αυτήν περίπτωη, το άθροιμα iemnn (26 ιούται με τον τετραδιάτατο όγκο της ένωης όλων αυτών των τετραδιάτατων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων. Όταν η υνάρτηη f είναι ολοκληρώιμη το και η διαμέριη είναι πολύ λεπτή τότε, αφ ενός το άθροιμα iemnn προεγγίζει το τριπλό ολοκλήρωμα της f το αφ ετέρου η ένωη των τετραδιάτατων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων προεγγίζει το τετραδιάτατο τερεό που βρίκεται πάνω από το τριδιάτατο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και κάτω από την τριδιάτατη επιφάνεια/γράφημα της f και, επομένως, ο τετραδιάτατος όγκος της ένωης των τετραδιάτατων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων προεγγίζει τον τετραδιάτατο όγκο του τετραδιάτατου τερεού που βρίκεται ανάμεα το και το γράφημα της f. υμπεραίνουμε ότι: Αν η f είναι μη-αρνητική και ολοκληρώιμη το, τότε το τριπλό ολοκλήρωμα της f το ιούται με τον τετραδιάτατο όγκο του τετραδιάτατου τερεού που βρίκεται ανάμεα το και το γράφημα της f. Το τριπλό ολοκλήρωμα υνάρτηης ε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ιδιότητες εντελώς ανάλογες με τις ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος υνάρτηης ε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Οι τύποι που εκφράζουν αυτές τις ιδιότητες είναι οι ίδιοι με τους τύπους (2-5 όταν αντικατατήουμε το ύμβολο με το ύμβολο, τα f (x, y, g(x, y με τα f (x, y, z, g(x, y, z και το dxdy με το dxdydz. Θα τις καταγράψουμε λίγο αργότερα μια και καλή ως ιδιότητες του τριπλού ολοκληρώματος ε γενικότερο τριδιάτατο χωρίο. Το ύμβολο f (x, y, z dxdydz έχει νόημα μόνο όταν η f είναι ολοκληρώιμη το παραλληλεπίπεδο. Ένα θεώρημα που μας εξαφαλίζει την ολοκληρωιμότητα μιας υνάρτηης είναι το εξής: Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι υνεχής το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ή, πιο γενικά, αν η f είναι υνεχής το εκτός από κάποια ημεία αυνέχειας τα οποία βρίκονται πάνω ε κάποιες πεπεραμένου πλήθους επιφάνειες μέα το οι οποίες είναι γραφήματα υνεχών υναρτήεων z ϕ(x, y ή y ψ(x, z ή x χ(y, z, τότε η f είναι ολοκληρώιμη το. Για παράδειγμα, η υνάρτηη f (x, y, z x 2 y + xe xz είναι υνεχής ε ολόκληρο το 3 και άρα είναι ολοκληρώιμη ε οποιοδήποτε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Για τον υπολογιμό τριπλών ολοκληρωμάτων, όπως και για τα διπλά ολοκληρώματα, πάνια βαιζόματε τον οριμό του ολοκληρώματος (ως όριο αθροιμάτων iemnn. υνήθως εφαρμόζουμε το επόμενο θεώρημα του Fubini το οποίο έχει έξι μορφές. Η πρώτη μορφή: Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι ολοκληρώιμη το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο [, b] [c, d] [r, s] και για κάθε (x, y [, b] [c, d] η f (x, y, z είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του z το διάτημα [r, s] και για κάθε x [, b] η s f (x, y, z dz είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη r του y το διάτημα [c, d] και η d ( s f (x, y, z dz dy είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του x c r το διάτημα [, b], τότε Η δεύτερη μορφή: f (x, y, z dxdydz ( d ( s c r f (x, y, z dz dy dx. Αν η πραγματική υνάρτηη f είναι ολοκληρώιμη το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο [, b] [c, d] [r, s] και για κάθε (x, z [, b] [r, s] η f (x, y, z είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του y το διάτημα [c, d] και για κάθε x [, b] η d του z το διάτημα [r, s] και η s r ( d c c f (x, y, z dy είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη f (x, y, z dy dz είναι ολοκληρώιμη (ως υνάρτηη του x 2

23 το διάτημα [, b], τότε f (x, y, z dxdydz ( s ( d r c f (x, y, z dy dz dx. Υπάρχουν άλλες τέερις μορφές, τις οποίες καταγράφουμε χωρίς τις διατυπώεις των προϋποθέεων (διατυπώτε τις εείς: f (x, y, z dxdydz f (x, y, z dxdydz f (x, y, z dxdydz f (x, y, z dxdydz d c d c s r s r ( ( s r ( s ( r ( ( d c ( d ( c f (x, y, z dz dx dy. f (x, y, z dx dz dy. f (x, y, z dy dx dz. f (x, y, z dx dy dz. Έτι ο υπολογιμός τριπλού ολοκληρώματος ανάγεται με έξι διαφορετικούς τρόπους τον υπολογιμό διαδοχικά τριών απλών ολοκληρωμάτων μίας μεταβλητής. Παρατηρήτε ότι όταν βρικόματε τον 2 έχουμε ακριβώς δύο μεταθέεις των x, y, τις xy και yx, ενώ τον 3 έχουμε ακριβώς έξι μεταθέεις των x, y, z, τις xyz, xzy, yxz, yzx, zxy και zyx. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Η υνάρτηη f (x, y, z xy + z είναι υνεχής το παραλληλεπίπεδο [, ] [, 3] [2, 4] και άρα ολοκληρώιμη το. Επίης, για κάθε (x, y [, ] [, 3] η f (x, y, z xy + z είναι υνεχής ως υνάρτηη του z το [2, 4] (με ταθερά x, y και άρα ολοκληρώιμη το [2, 4]. Για κάθε (x, y [, ] [, 3] υπολογίζουμε 4 2 (xy + z dz (xyz + z 2 / xy + 6. Τώρα, για κάθε x [, ] η 4 (xy + z dz 2xy + 6 είναι υνεχής ως υνάρτηη του y το [, 3] 2 (με ταθερό x και άρα ολοκληρώιμη το [, 3]. Για κάθε x [, ] υπολογίζουμε 3 ( 4 (xy + z dz dy 2 3 (2xy + 6 dy (xy 2 + 6y 3 8x Τέλος, η ( (xy + z dz dy 8x + 24 είναι υνεχής ως υνάρτηη του x το [, ] και άρα ολοκληρώιμη το [, ]. Άρα από τον πρώτο τύπο του Fubini έχουμε (xy + z dxdydz ( 3 ( 4 (xy + z dz dy dx (4x x (8x + 24 dx Πολύ υνοπτικά εφαρμόζουμε έναν οποιονδήποτε άλλον από τους υνολικά έξι τύπους του Fubini: ( 3 3 (xy + z dy (xy 2 /2 + yz 3 4x + 4z, (xy + z dy dx (xy + z dxdydz 4 2 (4x + 4z dx (2x 2 + 4xz ( ( 3 (2z 2 + 2z (xy + z dy dx dz 4 2 4z + 2. (4z + 2 dz

24 Όπως αναμενόταν, και με τους δύο τύπους βρήκαμε το ίδιο αποτέλεμα: το τριπλό ολοκλήρωμα πρέπει να έχει μόνο μία τιμή. Όποιον από τους υπόλοιπους τέερις τρόπους δοκιμάουμε θα βρούμε το ίδιο αποτέλεμα. Τώρα θα δούμε πώς ορίζεται η έννοια του τριπλού ολοκληρώματος πραγματικής υνάρτηης ε γενικότερο χωρίο του 3. Η διαδικαία θα είναι εντελώς ανάλογη της διαδικαίας οριμού της έννοιας του διπλού ολοκληρώματος ε γενικό χωρίο του 2 από την έννοια του διπλού ολοκληρώματος ε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Έτω ένα χωρίο του 3 και πραγματική υνάρτηη f : οριμένη το. Θεωρούμε ένα οποιοδήποτε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αρκετά μεγάλο ώτε να περιέχει το χωρίο και ορίζουμε την επέκταη της f η οποία είναι ταυτοτικά ίη με μέα το και έξω από το, δηλαδή την υνάρτηη f : με τύπο f f (x, y, z, (x, y, z (x, y, z, (x, y, z \ Θα λέμε ότι η f είναι ολοκληρώιμη το όταν η f είναι ολοκληρώιμη το και αυτήν την περίπτωη ορίζουμε το τριπλό ολοκλήρωμα της f το με τον τύπο f (x, y, z dxdydz : f (x, y, z dxdydz. (27 Βάει του οριμού αυτού αποδεικνύονται οι βαικές ιδιότητες του τριπλού ολοκληρώματος ε γενικό χωρίο. Είναι ανάλογες των ιδιοτήτων του διπλού ολοκληρώματος που εκφράζονται από τους τύπους (5-2. Τις καταγράφουμε: Όταν οι υναρτήεις f, g είναι ολοκληρώιμες το χωρίο τότε και η f + g είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει ( f (x, y, z + g(x, y, z dxdydz f (x, y, z dxdydz + g(x, y, z dxdydz. Όταν η f είναι ολοκληρώιμη το και λ είναι αριθμός, τότε και η λ f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει λ f (x, y, z dxdydz λ f (x, y, z dxdydz. Αν οι f, g είναι ολοκληρώιμες το και ιχύει f (x, y, z g(x, y, z για κάθε (x, y, z, τότε f (x, y, z dxdydz g(x, y, z dxdydz. Αν η f είναι ολοκληρώιμη το τότε και η f είναι ολοκληρώιμη το και ιχύει f (x, y, z dxdydz f (x, y, z dxdydz. Αν το χωρίο γράφεται ως... k, όπου τα χωρία,..., k ανά δύο δεν έχουν κοινά εωτερικά ημεία, και αν η f είναι ολοκληρώιμη τα χωρία,,..., k, τότε f (x, y, z dxdydz f (x, y, z dxdydz + + f (x, y, z dxdydz. Αν η f είναι μη-αρνητική και ολοκληρώιμη το χωρίο, τότε το τριπλό ολοκλήρωμα της f το ιούται με τον τετραδιάτατο όγκο του τετραδιάτατου τερεού που βρίκεται τον τετραδιάτατο χώρο ανάμεα το τριδιάτατο και το τριδιάτατο γράφημα της f. Το τριπλό ολοκλήρωμα της ταθερής υνάρτηης το χωρίο ιούται με τον (τριδιάτατο όγκο του : dxdydz V(, 23 k