Μέτρηση του λόγου e/m του ηλεκτρονίου

Transcript

1 Άκηη 4 Μέτρηη του λόγου e/m του ηλεκτρονίου 4.. Σκοπός Στην Άκηη αυτή µελετάται η κίνηη δέµης ηλεκτρονίων µέα ε κάθετο οµογενές µαγνητικό πεδίο και προδιορίζεται ο λόγος e/m (φορτίο προς µάζα) του ηλεκτρονίου. 4.. Ειαγωγή Ένας απλός τρόπος µέτρηης του λόγου e/m βαίζεται την κίνηης των ηλεκτρονίων ε ένα κάθετο οµογενές µαγνητικό πεδίο Β. Στην περίπτωη αυτή τα ηλεκτρόνια διαγράψουν µία κυκλική τροχιά, η ακτίνα της οποίας µπορεί να υπολογιτεί εξιώνοντας τη δύναµη Loretz µε την κεντροµόλο, δηλαδή από τις χέεις F L eυb και mυ, (4.α,β) r F C όπου υ είναι οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων µε τις οποίες αυτά ειέρχονται το κάθετο µαγνητικό πεδίο. Επειδή ο πειραµατικός προδιοριµός των ταχυτήτων είναι δύκολος, την πράξη προτιµάται η ταχύτητες των ηλεκτρονίων να προδιορίζονται έµµεα, από τη διαφορά δυναµικού U a που τα επιτάχυνε έως την ταχύτητα υ, αξιοποιώντας τη χέη: mυ eu a. (4.) Από τις παραπάνω τρεις χέεις ο λόγος e/m υπολογίζεται εύκολα και είναι e m U a. (4.3) r B Το µαγνητικό πεδίο δηµιουργείται από ένα ζευγάρι πηνίων Helmholtz, όπου τον κεντρικό χώρο µεταξύ των πηνίων δηµιουργείται ένα αρκετά οµογενές µαγνητικό πεδίο, η ένταη του οποίου υπολογίζεται από τη χέη: 8 µ 0 B I, (4.4) 5 R όπου µ 0 4π0-7 H/m είναι η µαγνητική διαπερατότητα του κενού, Ν είναι ο αριθµός των πειρών τα πηνία, R είναι η ακτίνα των πηνίων και Ι είναι η ένταη του ρεύµατος που διαρρέει τα δύο πηνία. Από τις χέεις (4.3) και (4.4), για το λόγο e/m προκύπτει η χέη: e m U 50R U 50R U a (4.5) r B r I a a 64µ 0 r I 64µ 0

2 4.3. Μέθοδος Από τη χέη (4.5), ο λόγος e/m µπορεί να µετρηθεί µέω µέτρηης της τάης επιτάχυνης των ηλεκτρονίων U a, της ένταης του ρεύµατος Ι που διαρρέει τα πηνία Helmholtz και της ακτίνας της τροχιάς r που διαγράφουν τα ηλεκτρόνια µέα το κάθετο µαγνητικό πεδίο, αν οι τροχιές τους µε κάποιον τρόπο γίνουν ορατές Πειραµατική διάταξη Η πειραµατική διάταξη περιλαµβάνει µία βάη µε την ηλεκτρονική λυχνία, ένα ζευγάρι πηνίων Helmholtz και τρία τροφοδοτικά των ~ 6,3 V, 0-5 V και V.. Το τροφοδοτικό των 6,3 V παράγει εναλλαόµενη τάη και χρηιµοποιείται για τη θέρµανη της καθόδου του τηλεβόλου ηλεκτρονίων.. Το τροφοδοτικό της υνεχούς τάης 5 V χρηιµοποιείται για την τροφοδοία των πηνίων Helmholtz µε ρεύµατα της τάξης - Α. Στο τροφοδοτικό αυτό η παραγόµενη τάη µπορεί να ρυθµίζεται από 0 έως 5 V. 3. Το τροφοδοτικό των 350 V, η τάη εξόδου του οποίου µπορεί να ρυθµίζεται από 0 έως 350 V, χρηιµοποιείται για την τροφοδοία της ανόδου του τηλεβόλου ηλεκτρονίων, προοριµός του οποίου είναι η δηµιουργία µίας λεπτής δέµης ηλεκτρονίων καθοριµένης ενέργειας. Στη λυχνία οι τροχιές των ηλεκτρονίων γίνονται ορατές µέω γόµωής της µε Ήλιο, υπό πίεη 0 mtorr. Τα ηλεκτρόνια που κινούνται µε ενέργειες της τάξης ev, υγκρούονται µε τα άτοµα του Ηλίου, τα διεγείρουν και, καθώς αυτά τη υνέχεια αποδιεγείρονται, εκπέµπουν ορατό φως το ηµείο της ύγκρουης Τηλεβόλο ηλεκτρονίων της λυχνίας Το τηλεβόλο ηλεκτρονίων της λυχνίας (Σχ.4.) αποτελείται από 3 βαικά ηλεκτρόδια:. Την κάθοδο έµµεης θέρµανης, δηλαδή την πηγή των ηλεκτρονίων.. Το διάφραγµα ετίαης, που περιβάλει την κάθοδο και µε το ηλεκτρικό του δυναµικό παραλληλίζει τη δέµη. 3. Την άνοδο, δηλαδή τον υλλέκτη των ηλεκτρονίων, µε µία µικρή οπή, 0,5 mm, το κέντρο. Κάθοδος-BaO Πλακίδια εκτροπής Θερµαντήρας ιάφραγµα ετίαης Άνοδος µε την οπή Σχήµα 4.. Το τηλεβόλο ηλεκτρονίων

3 Το θερµαντικό της καθόδου τροφοδοτείται µε εναλλαόµενη τάη 6,3 V και ρεύµα 0,3 Α, ενώ η άνοδος τροφοδοτείται από την πηγή υψηλής τάης (0-350 V). Μέρος της ανοδικής τάης εφαρµόζεται το διάφραγµα ετίαης. Πίω από την άνοδο υπάρχουν δύο πλακίδια εκτροπής, το ίδιο δυναµικό µε αυτό της ανόδου, ωτόο την Άκηη αυτή δεν αξιοποιούνται. Η κάθοδος του τηλεβόλουβόλου είναι έµµεης θέρµανης και αποτελείται από έναν κύλινδρο από νικέλιο που θερµαίνεται εωτερικά. Στη βάη του κυλίνδρου βρίκεται ένα λεπτό τρώµα οξειδίου του βαρίου (BaO), το οποίο ε θερµοκραίες Κ αποκτά ιδιότητες ηµιαγωγού και εκπέµπει µεγάλο αριθµό ηλεκτρονίων το κενό. Έτι, όταν την άνοδο εφαρµόζεται θετικό δυναµικό, για παράδειγµα +00 V, (ως προς την κάθοδο αφαλώς), τα ηλεκτρόνια που εκπέµπει η κάθοδος επιταχύνονται και υγκρούονται µε την άνοδο µε ενέργειες 00 ev. Η δέµη χηµατίζεται από τα ηλεκτρόνια που διαπερνούν την οπή. Σηµειώνουµε ότι τα δυναµικά των ενδιάµεων ηλεκτροδίων, δηλαδή του διαφράγµατος ετίαης, επηρεάζουν τις τροχιές των ηλεκτρονίων, αλλά δεν επηρεάζουν την τελική τους ενέργεια. Η αποτολή του διαφράγµατος ετίαης είναι να ετιάει τη δέµη προκειµένου αυτή να είναι παράλληλη, καθώς η οπή της ανόδου έχει ιδιότητες αποκλίνοντα φακού ηλεκτρονίων (βλ. Παράρτηµα ). Η διάταξη περιλαµβάνει ακόµη ένα ψηφιακό αµπερόµετρο για τη µέτρηη του ρεύµατος που διαρρέει τα πηνία Helmholtz. Λυχνία Πηνία Helmholtz Αµπερόµετρο Τροχιά ηλεκτρονίων Τηλεβόλο Κάτοπτρο e/m Προς 5 V cols curret agt focus deflect Προς ~ 6,3 V Κιβώτιο-βάη Προς τάη επιτάχυνης (60-60V) Σχήµα 4.. Το κιβώτιο-βάη, τα πηνία και η τροφοδοίας του τηλεβόλου και των πηνίων Στο τροφοδοτικό του τηλεβόλου η υψηλή τάη µπορεί να ρυθµίζεται από 0 έως 350 V. Η ρύθµιη της τάης γίνεται µε τον βηµατικό επιλογέα, µε βήµατα 50 V, ενώ οι ενδιάµεες 3

4 τιµές ρυθµίζονται µε το κουµπί FI E CO TROL. Στο τροφοδοτικό αυτό υπάρχει και ένα ενωµατωµένο αναλογικό βολτόµετρο για την ένδειξη της παραγόµενης υψηλής τάης. Η βάη της λυχνίας αξιοποιείται ως τήριγµα των πηνίων και ως κιβώτιο υνδεµολογίας, µέω του οποίου τροφοδοτείται η λυχνία και τα πηνία Helmholtz. Το κιβώτιο της βάης περιέχει 5 ζευγάρια ακροδεκτών, µέω των οποίων τροφοδοτούνται τα πηνία Helmholtz, τα πλακίδια εκτροπής και τα βαικά ηλεκτρόδια του τηλεβόλου της λυχνίας. Eνα βαθµονοµηµένο κάτοπτρο, τοποθετηµένο την οριζόντια µεγάλη διάµετρο της λυχνίας, πίω της, χρηιµεύει για τη µέτρηη της διαµέτρου της κυκλικής τροχιάς των ηλεκτρονίων. Βιβλιογραφία. Μαθήµατα Φυικής Berkele. Τόµος : Μηχανική. (Αθήνα 978), Κεφ. 3.. Aloso-F. Θεµελιώδεις Πανεπιτηµιακή Φυική. Τόµος ΙΙ: Πεδία και Κύµατα. 3. Κ. Αλεξόπουλος. Γενική Φυική. Τόµος 3: Ατοµική και Πυρηνική Φυική. Κεφ. Α. 4. F. Lokowch ad A. Melssos. Phscs for scetsts ad Egeers. Vol. II, Ch Εκτέλεη Προοχή. Στην Άκηη χρηιµοποιείται επικίνδυνη για τη ζωή τάη 350 V. Για τον λόγο αυτό η υναρµολόγηη του κυκλώµατος πρέπει να γίνεται αυτηρά µόνον όταν όλες οι πηγές τάης είναι κλειτές. Τονίζουµε ιδιαίτερα ότι τα τροφοδοτικά τίθενται ε λειτουργία µόνον από τον επιβλέποντα της Άκηης.. Αναγνωρίτε τα κύρια µέρη της πειραµατικής διάταξης που βλέπετε το Σχήµα 4. και τη υνέχεια υναρµολογήτε το κύκλωµα τροφοδοίας των πηνίων Ηelmhotz, ύµφωνα µε τα χέδιο που βλέπετε το Σχήµα 4.. Μέω των υνδέεων που υπάρχουν το εωτερικό του κιβωτίου - βάη, δηµιουργείται αυτοµάτως το ηλεκτρικό κύκλωµα που βλέπουµε το Σχ Στο κιβώτιο-βάη ο διακόπτης e/m:deflect πρέπει να βρίκεται τη θέη e/m. 5 V Α Πηνία Helmholtz 5 Ω Σχήµα 4.3. Σηµειώνουµε ότι το κιβώτιο-βάη, εκ δεξιών: A. Πάνω από το πρώτο ζευγάρι ακροδεκτών που χρηιµοποιείται για τη θέρµανη της καθόδου του τηλεβόλου αναγράφεται η λέξη HEATER. B. Πάνω από το δεύτερο ζευγάρι που χρηιµοποιείται για την τροφοδοία των δύο βαικών ηλεκτροδίων του τηλεβόλου αναγράφεται η λέξη ELECTRODES. 4

5 C. Πάνω από το τρίτο ζευγάρι αναγράφεται η λέξη DEFLECT PLATES. Το ζευγάρι αυτό χρηιµοποιείται για τη µέτρηη της τάης που εφαρµόζεται τα πλακίδια εκτροπής, όταν ο διακόπτης e/m:deflect βρίκεται τη θέη deflect και η ακρίβεια του ενωµατωµένου το τροφοδοτικό αναλογικού βολτόµετρου δεν είναι επαρκής. D. Πάνω από το τέταρτο ζευγάρι αναγράφεται η λέξη VOLTMETER (350 V). Το ζευγάρι αυτό χρηιµοποιείται για τη µέτρηη της τάης που εφαρµόζεται την άνοδο του τηλεβόλου µε όργανο µεγαλύτερης ακρίβειας, όταν ο διακόπτης e/m:deflect βρίκεται τη θέη e/m και η ακρίβεια του ενωµατωµένου το τροφοδοτικό αναλογικού βολτόµετρου δεν είναι επαρκής. E. Πάνω από το πέµπτο ζευγάρι αναγράφεται η λέξη HELMHOLTZ COILS. Το ζευγάρι αυτό χρηιµοποιείται για την τροφοδοία των πηνίων Ηelmhotz. 3. Θέατε ε λειτουργία το τροφοδοτικό που τροφοδοτεί τα πηνία Helmholtz. Σηµείωη. Στο κιβώτιο-βάη, το κουµπί Curret ADJ χρηιµεύει για τη µεταβολή του ρεύµατος τα πηνία Helmholtz. Αλλά λόγω µακροχρόνιας χρήης, η φθορά των επαφών το ποτενιόµετρο αυτό δηµιουργεί ακανόνιτες µεταβολές το ρεύµα των πηνίων. Για να παρακαµφτεί το πρόβληµα αυτό, τρίψτε το κουµπί τέρµα δεξιά, ή τέρµα αριτερά όπου οι επαφές είναι καλές. Η ρύθµιη αυτή δε δηµιουργεί πρόβληµα την τροφοδοία των πηνίων, καθώς η ωµική αντίταη των πηνίων είναι περίπου 5 Ω. Εποµένως όταν το ποτενιόµετρο ήταν ε καλή κατάταη, η αντίταη του κυκλώµατος µεταβαλλόταν από 5 έως 0 Ω. Το τροφοδοτικό των 5 V της Άκηης µπορεί να τροφοδοτήει άνετα τις δύο τιµές αντίταης. Όταν το ποτενιόµετρο είναι απενεργοποιηµένο, η µεταβολή του ρεύµατος το κύκλωµα µπορεί να γίνει µέω µεταβολής της τάης που παράγει το τροφοδοτικό των 5 βολτ. 4. Συναρµολογήτε το κύκλωµα τροφοδοίας του τηλεβόλου ηλεκτρονίων ύµφωνα µε το χέδιο που βλέπετε το Σχ. 4.. Μέω των ηλεκτρικών υνδέεων που υπάρχουν το εωτερικό του κιβωτίου - βάη, υλοποιείται αυτοµάτως το ηλεκτρικό κύκλωµα που βλέπουµε το Σχ Deflecto Plates Aode 00 V ELECTRODES 5 kω 5 kω Focus ιάφραγµα ετίαης Cathode (BaO) Heater ~ HEATER ~ 6,3 V Σχήµα 4.4. Τροφοδοία του τηλεβόλου 5

6 5. Καλέτε τον επιβλέποντα της Άκηης προκειµένου να ελέγξει το όλο κύκλωµα. Αν η υναρµολόγηη είναι επιτυχής, ο επιβλέπων θα θέει ε λειτουργία τα δύο τροφοδοτικά και θα ας ενηµερώει χετικώς για τον έλεγχο και χρήη του τροφοδοτικού υψηλής ανοδικής τάης. Σηµειώνουµε ότι η διάρκεια ζωής της καθόδου µειώνεται αιθητά όταν η ανοδική τάη εφαρµόζεται ε ψυχρή κάθοδο. Εποµένως πρώτα θερµαίνουµε την κάθοδο του τηλεβόλου (-3 λεπτά αρκούν) και µόνο µετά εφαρµόζουµε την άνοδο την ανοδική τάη! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το τροφοδοτικό του τηλεβόλου διαθέτει έναν πρόθετο διακόπτη, µε ενεργοποίηη του οποίου επιτυγχάνεται η εφαρµογή της ανοδικής τάης την άνοδο του τηλεβόλου. Σηµείωη. Στο κιβώτιο-βάη οι εωτερικές υνδέεις δηµιουργούν τη υνδεµολογία που βλέπουµε το Σχ Εδώ η υψηλή τάη εφαρµόζεται την άνοδο µε την οπή, ενώ η ετίαη της δέµης επιτυγχάνεται µέω ρύθµιης της τάης το διάφραγµα ετίαης (Focus). Από τις τιµές των αντιτάεων του διαιρέτη υµπεραίνουµε ότι η τάη αυτή µπορεί να µεταβάλλεται από 0 έως U a /4. 6. Ρυθµίτε την ανοδική τάη τα +00 V και θέατε ε λειτουργία τον πρόθετο διακόπτη. Θα εµφανιτεί µία οριζόντια ευθύγραµµοι δέµη ηλεκτρονίων που θα τερµατίζει την εωτερική επιφάνειας της γυάλινης φαίρας. Στη υνέχεια, αυξάνοντας το ρεύµα τα πηνία έως περίπου,3 Α, θα διαπιτώετε καµπύλωη της δέµης και εµφάνιη ενός κύκλου µε διάµετρο περίπου 6-9 cm. 7. Ρυθµίτε το κουµπί Fokus, προκειµένου να λεπτύνετε τη δέµη. Από το ηµείο αυτό είτε έτυµοι να κάνετε τα πειράµατα. Σηµείωη. Μη χρηιµοποιείτε τάεις άνω των 60 V και, επίης, µην αφήνετε τη λυχνία υπό τάη για µεγάλα χρονικά διατήµατα, καθώς τα θετικά ιόντα του Ηλίου που δηµιουργούνται από τα ηλεκτρόνια της δέµης βοµβαρδίζουν την κάθοδο µε ενέργειες της τάξης ev και έτι προκαλούν τη φθορά της (φαινόµενο spatterg) Μέθοδος βέλτιτου κύκλου Στην πειραµατική διάταξη η δέµη των ηλεκτρονίων χηµατίζει έναν κύκλο, η διάµετρος του οποίου πρέπει να µετρηθεί µε όο το δυνατόν µεγαλύτερη ακρίβεια, καθώς η κύρια υνιτώα του φάλµατος προέρχεται από την τιµή αυτή. Η µέτρηη της διαµέτρου γίνεται µε µία κατοπτρική κλίµακα που έχει οριζόντιο προανατολιµό και βρίκεται (δυτυχώς) Βελτ. κύκλ. την οριζόντια διάµετρο της γυάλινης φαίρας (θα έπρεπε να βρίκεται την κάθετη διάµετρο), πίω της, ε απόταη 0 cm Κατοπ από το κέντρο της φαίρας (βλ. χήµα). Το γεγονός αυτό 4,5 cm δηµιουργεί µεγάλη παράλλαξη κατά τη µέτρηη της διαµέτρου, η Τηλεβ οποία µειώνεται αιθητά αν καταφύγουµε τον βέλτιτο κύκλο, η διάµετρος του οποίου είναι 9,0 cm. Τον κύκλο αυτόν τον αποκαλούµε βέλτιτο για δύο λόγους. Α. Είναι µικρότερος από τη διάµετρο της γυάλινης φαίρας (3 cm) και εποµένως τα ηλεκτρόνια δε υγκρούονται µε αυτή και δεν τη φορτίζουν µε ηλεκτρικό φορτίο. Επίης, ο κύκλος αυτός είναι αρκετά µεγάλος και εποµένως η διάµετρός του µπορεί να µετρηθεί µε µικρό χετικό φάλµα. Β. Λόγω του ότι το τηλεβόλο βρίκεται την κατακόρυφο και χαµηλότερα κατά 4,5 cm από το κέντρο της φαίρας (βλ. παραπ χήµα), αλλά και λόγω ατυχούς προανατολιµού της κατοπτρικής κλίµακας για τη µέτρηη της διαµέτρου, τη διάταξη αυτή, αντί να µετριέται η διάµετρος του 6

7 κύκλου, ουιατικά µετράται η χορδή του. Επειδή µόνο ο κύκλος µε ακτίνα 4,5 cm είναι οµόκεντρος µε τη φαίρα, µόνο ε αυτόν τον κύκλο η κατοπτρική κλίµακα υµπίπτει µε τη οριζόντια διάµετρό του. Εποµένως, λόγω µεγάλης παράλλαξης, τον βέλτιτο κύκλο τα όποια φάλµατα µέτρηης της διαµέτρου µειώνονται ηµαντικά Πείραµα. Με ταθερή ανοδική τάη +00 V, ρυθµίτε το ρεύµα των πηνίων έως ότου ο κύκλος αποκτήει διάµετρο 9,0 cm. Σηµειώτε τη διάµετρο, την τιµή του ρεύµατος όπως και τα φάλµατά τη διάµετρο και το ρεύµα.. Επαναλάβατε το προηγούµενο βήµα άλλες 6 φορές. Εποµένως το πείραµα, ο λόγος e/m θα υπολογιτεί από την τιµή της διαµέτρου (9 cm), της µέης τιµής του ρεύµατος και της τάης 00 V. Το φάλµα της τάης το αντλείτε από το φάλµα του βολτόµετρου, φροντίζοντας το φάλµα ανάγνωης να είναι 0 (ε άν ψ/0), ενώ το φάλµα της διαµέτρου το εκτιµάτε ανάλογα µε τη δυκολία µέτρηης της διαµέτρου του βέλτιτου κύκλου. 00 ev 80 ev Τηλεβόλο Σηµείωη. Λόγω διαποράς τις ενέργειες των ηλεκτρονίων της δέµης (βλ. Παράρτηµα ), παρά τις ρυθµίεις µε το κουµπί FOCUS, η γραµµή του κύκλου δεν είναι λεπτή παντού. Η δέµη παραµένει πλατιά το πάνω µέρος του κύκλου, ενώ λεπταίνει µόνο την περιοχή του τηλεβόλου (βλ. χήµα). Εποµένως όταν µετράµε τη διάµετρο του κύκλου που αντιτοιχεί ε ανοδική τάη 00 V, τις ενέργειες 00 ev έχουν τα ηλεκτρόνια που χηµατίζουν την εξωτερική πλευρά της δέµης. Συνεπώς ωτό είναι να ηµειώνουµε τις θέεις της εξωτερικής γραµµής του κύκλου και όχι του κέντρου της δέµης, όπως υνηθίζεται Πείραµα Εδώ ο λόγος e/m θα υπολογιτεί µε τη µέθοδο ελαχίτων τετραγώνων. Στο πείραµα αυτό τα µετρούµενα µεγέθη είναι η ανοδική τάη και το ρεύµα των πηνίων, ενώ η διάµετρος του κύκλου είναι παράµετρος του πειράµατος και φροντίζουµε να είναι πάντα 9,0 cm. Για την εκτέλεη του πειράµατος :. Εφαρµότε την άνοδο του πυροβόλου τάη 60 V ακριβώς, δηλαδή µε φάλµα ανάγνωης 0 (ωτότερα, µικρότερο από ψ/0) και ρυθµίτε το ρεύµα των πηνίων έως ότου τη λυχνία χηµατιτεί κύκλος µε διάµετρο 9,0 cm. Σηµειώτε την τιµή αυτού του ρεύµατος.. Επαναλάβατε το παραπάνω βήµα για τις ανοδικές τάεις 80, 00, 0, 40 και 60 V. 3. Κλείτε τα όργανα µε την εξής ειρά: διακόπτης υψηλής τάης ΗΤ ε θέη OFF, γενικός διακόπτης του τροφοδοτικού ε θέη OFF. Επίης, κλείτε και τους γενικούς διακόπτες του τροφοδοτικού των πηνίων και του ψηφιακού αµπερόµετρου Επεξεργαία των µετρήεων Επεξεργαία του Πειράµατος Στο Πείραµα, το λόγο e/m τον υπολογίζετε από τη χέη (4.5), όπου R 0,5 m, Ν 30 και µ 0 4π0-7 H/m. Στις τιµές R, Ν, και µ 0 τα φάλµατα θεωρούνται 0. Με την αντικατάταη των όρων R, Ν και µ 0 µε τις αντίτοιχες τιµές, η χέη (4.5) γίνεται 7

8 e m 50R U a 6 U a C 3,933 0, (4.6) 64µ r I r I kg 0 όπου η ανοδική τάη, U a, είναι ε µονάδες V, η ακτίνα του κύκλου, r, ε m και το ρεύµα των πηνίων, I, ε µονάδες Α. Α. Υπολογίτε το λόγο e/m µε βάη τη χέη (4.6), όπου η ακτίνα r είναι 4,5 cm, ενώ το Ι είναι η µέη τιµή του ρεύµατος τις 7 µετρήεις των I. Β. Υπολογίτε το φάλµα του λόγου e/m (ωτότερα, το διάτηµα φάλµατος εντός του οποίου βρίκεται το φάλµα το ακριβές), λαµβάνοντας υπόψη και τα εγγυηµένα φάλµατα των οργάνων, δηλαδή τα φάλµατα U a και Ι (το r το δηλώνετε κατ εκτίµηη, αλλά ε εγγυηµένη µορφή, λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το φάλµα της ακτίνας είναι φορές µικρότερο από αυτό της διαµέτρου). Το φάλµα την τάη U a, U a, το υπολογίζετε από την τιµή της ελάχιτης υποδιαίρεης του αναλογικού βολτόµετρου. Το φάλµα το r, r, το εκτιµάτε το εργατήριο, κατά τη διάρκεια του πειράµατος. Στο φάλµα του ρεύµατος, Ι, πρέπει να λάβετε υπόψη τη βαική αρχή της Μετρολογίας: Ι ολικό Ι οργάνου + Ι τυχαίο (Ρ 99,7 %), όπου οι δύο όροι προδιορίζονται χωριτά, θεωρώντας τον άλλο µηδέν. Το φάλµα Ι οργ το υπολογίζετε από τις µετρολογικές προδιαγραφές του ψηφιακού µετρητή: Accurac (I, d.c.):,5 % + 5r, Εποµένως: Ι οργ (,5 %) επί της µέης τιµής των I υν 5r. Το φάλµα αυτό είναι εγγυηµένο. Το φάλµα Ι τυχ το υπολογίζετε κανονικά, δηλαδή ως τυπικό φάλµα της µέης τιµής, µ, πολλαπλαιαζόµενο επί το υντελετή Studet t,p ( Ι τυχ µ t,p ). Για 7 και Ρ 99,7 %, ο υντελετής αυτός είναι 4,90 (t,p 4,90, βλ. Πίνακα υντελετών Studet). Στο επόµενο βήµα, από τη χέη (4.6) υπολογίζετε το χετικό φάλµα του λόγου e/m, το οποίο είναι: ( e/m) U a Iολ r δe/m + +, (4.7) e/m U I r a ενώ το φάλµα (e/m) (το απόλυτο φάλµα ) το υπολογίζετε από το χετικό φάλµα που υπολογίατε προηγουµένως: e ( e/m ) δ e/m. (4.8) m Το τελικό αποτέλεµα το ηµειώνετε ε µορφή e/m (τιµή) ± (e/m) Σηµείωη. Στη βιβλιογραφία, για το λόγο e/m του ηλεκτρονίου αναφέρεται η τιµή e/m (,7588 ± 0,000)0 C/kg. 8

9 4.6.. Επεξεργαία του Πειράµατος Γενικότερα, η µέτρηη του λόγου e/m µε τη µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων είναι προτιµότερη, καθώς αποτελεί παραλλαγή της µεθόδου κλίης, δηλαδή µέθοδος µέτρηης της φυικής παραµέτρου µέω µέτρηης της κλίης της πειραµατικής ευθείας. Στο πείραµα, το φάλµα της κλίης υµβάλουν µόνο το φάλµα ανάγνωης του αναλογικού µετρητής τάης ( 0 ή ε αν ψ/0 V) και το ποοτιαίο φάλµα του ψηφιακού µετρητή ρεύµατος γ (γ,5 %). Τα άλλα δύο µεγάλα φάλµατα, δηλαδή το φάλµα hr (5r) του ψηφιακού µετρητή και το φάλµα ε κυρ του αναλογικού οργάνου (ε κυρ ψ/ 5 V), η µέθοδος κλίης τα αποβάλλει (βλ. Συµπληρωµατικές ηµειώεις). Έτι, από την κλίη της πειραµατικής ευθείας I, (4.9) όπου I και U a, υπολογίτε το λόγο e/m µε τη µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων, λαµβάνοντας υπόψη και τα φάλµατα των οργάνων. Από τη χέη (4.5), προκύπτει η χέη για το : U a I m 50R. (4.0) U e 64r µ a 0 Εποµένως τη µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων ο λόγος e/m µπορεί να υπολογιτεί από τη χέη e 50R 8 C 6,63 0, (r 0,045 m) (4.) m 64µ N r kg 0 ενώ το φάλµα του λόγου e/m, (e/m), θα το υπολογίετε από τη χέη για τα χετικά φάλµατα: Εποµένως, ( e / m) ολ r +. e / m r e ολ r ( e / m) +, (4.) m r όπου τον όρο r/r τον έχετε υπολογίει το Πείραµα, ενώ ο όρος ολ είναι το ολικό φάλµα τον υπολογιµό της κλίης, το οποίο υµβάλουν τα φάλµατα των οργάνων, όπως και η αβεβαιότητα της κλίης. Καθώς όµως την παρούα ανάλυη λαµβάνονται υπόψη και τα φάλµατα των οργάνων, το ολικό φάλµα την κλίη ολ πρέπει να το υπολογίετε ως άθροιµα δύο όρων: ολ οργ + τυχ, (Ρ 99,7 %), (3) όπου οργ είναι η υνιτώα του φάλµατος των οργάνων, ενώ το τυχ είναι η αβεβαιότητα της κλίης, που προκαλείται από τη διαπορά των πειραµατικών ηµείων γύρω από την βέλτιτη ευθεία. Η διαπορά αυτή άµεα εξαρτάται από τη διαπορά των τιµών, καθώς τις τιµές των η διαπορά είναι 0. Στη υνέχεια, ακολουθώντας τη βαική αρχή της Μετρολογίας, τα φάλµατα των δύο όρων θα τα προθέετε αριθµητικά, εφόον την αβεβαιότητα του τυχαίου φάλµατος προδώετε πιθανότητα κάλυψης 99,7 %, προκειµένου η πρόθεη των δύο όρων να είναι δυνατή (µεγέθη µε διαφορετική πιθανότητα κάλυψης δεν µπορούν να προτεθούν). 9

10 Πρώτος όρος της χέης (3), οργ. Προέγγιη τυχ 0. Συνάρτηη τύπου Όταν εξετάζουµε τον όρο οργ, τα πειραµατικά ηµεία (, ), (, ), ( 3, 3 ) (, ), που µετρήθηκαν άµεα, τα φανταζόµατε να πέφτουν πάνω ε µία ευθεία ακριβώς. Ωτόο λόγω φαλµάτων των οργάνων, η κλίη αυτής της ευθείας, που θα την αποκαλούµε πειραµατική ( πειρ ), αναµένουµε να διαφέρει ελαφρώς από αυτή της πραγµατικής, κατά οργ. Η παραδοχή αυτή µας επιτρέπει την κλίης της πειραµατικής ευθείας να την υπολογίουµε από το λόγο πειρ / ( - )/( - ), ενώ την ανάλυη του φάλµατος που προκαλούν τα δύο όργανα να περιλάβουµε µόνο τα ακραία πειραµατικά ηµεία: το ηµείο (, ) και το ηµείο (, ). Γενικότερα (βλ. Συµπληρωµατικές ηµειώεις), ε άµεες µετρήεις των και, όπου ο µετρητής των είναι ψηφιακός, ενώ των είναι αναλογικός, το φάλµα την κλίη που προκαλούν τα δύο όργανα υπολογίζεται από τη χέη δαν γ + οργ, η οποία είναι απαλλαγµένη από τους όρους hr του ψηφιακού µετρητή και ε κυρ του αναλογικού οργάνου. Καθώς όµως το πείραµα οι τιµές των δεν µετρούνται άµεα αλλά υπολογίζονται από το φάλµα ανάγνωης των τάεων U ( U ), τη παραπάνω χέη το µέγεθος δ αν είναι παραγόµενο, δηλαδή δεν εκτιµάται άµεα από την κλίµακα του οργάνου, αλλά παράγεται (υπολογίζεται) από το φάλµα ανάγνωης τις τιµές U, το οποίο ε πρώτη προέγγιη µπορούµε να το θεωρήουµε 0. Η προέγγιη αυτή µηδενίζει τον αριθµητή το δεύτερο όρο της παραπάνω χέης. Αλλά ε πιο εκλεπτυµένη προέγγιη, το φάλµα ανάγνωης τις τιµές των U µπορούµε να το θεωρήουµε µικρότερο από ψ/0 (µικρότερο του µιού πάχους της χαρακιάς, ε άν ψ/0 ή V). Για τις παραγόµενες τιµές των δ αν, η δεύτερη προέγγιη δίνει ένα άνω όριο: δ δu U ( ψ /0) 60 αν U αν U ε 0,04 60 ( V / ) Έτι, ε υνθήκες µηδενικής διαποράς των πειραµατικών ηµείων, το φάλµα την κλίη που προκαλούν τα δύο όργανα δεν υπερβαίνει την τιµή δ αν δαν οργ γ + γ +, όπου η παρένθεη παριτάνει το άνω όριο του ποοτιαίου φάλµατος της κλίη : δαν 0,04 γ + 0,05+,5% +,3% 4,8% ,47 Έτι, η υνιτώα του φάλµατος που προκαλείται µόνο από τα φάλµατα των οργάνων δεν υπερβαίνει την τιµή 0,048, (4.4) οργ και, καθώς είναι εγγυηµένη, καλύπτεται µε πιθανότητα 00 %.. 0

11 Στο επόµενο βήµα, το φάλµα οργ (υνιτώα του πρώτου όρου) πρέπει να προθέετε και την αβεβαιότητα της µέης τιµής της κλίης, εφόον πρώτα το διάτηµα αβεβαιότητας, t,p µ, προδώετε πιθανότητα κάλυψης 99,7 %. Αυτό γίνεται µέω πολλαπλαιαµού του τυπικού φάλµατος της µέης τιµής, µ, µε τον κατάλληλο υντελετή Studet t,p (t,p 5,5, βλ. Πίνακα υντελετών Studet) εύτερος όρος της χέης (3), τυχ. Προέγγιη οργ 0. Συνάρτηη τύπου Στα πειράµατα όπου η διαπορά των πειραµατικών ηµείων δεν είναι µηδέν, δηλαδή όπου τηρούνται οι όροι 0, 0 και, επιπλέον, ταθ, η κλίη της πειραµατικής ευθείας είναι προτιµότερο να υπολογίζεται µε τη µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων. Σε υναρτήεις τύπου, η κλίη της βέλτιτης ευθείας την υπολογίζετε από τη χέη:, (4.5) (βλ. Παράρτηµα ), ενώ την τυπική απόκλιη της κλίης (όχι το τυπικό φάλµα) την υπολογίζετε από τη χέη όπου, (4.6) ( ) ( ). (4.7) Τελικά, το φάλµα της µέης τιµής της κλίης θα το υπολογίετε από τη χέη µ ( ) ( ), (4.8) Για µεγάλα ( 00), το µέγεθος µ καλύπτεται µε πιθανότητα 68,3 %. Όµως για µικρά (3 < < 0) και πιθανότητα κάλυψης 99,7 %, το τυπικό φάλµα µ πρέπει να πολλαπλαιατεί τον αντίτοιχο υντελετή Studet, που για 6, ο υντελετής αυτός είναι 5,5. Μετά την ενέργεια αυτή, το µέγεθος t,p µ µπορεί να προτεθεί τη υνιτώα του φάλµατος που προκαλείται µόνο από τα φάλµατα των οργάνων. Αυτό δίνει την τελική χέη από την οποία θα υπολογίετε το ολικό φάλµα ολ, την τιµή της κλίης : ολ γ + ( ) δ αν + 5,5 ( ). (Ρ 99,7 %) (4.9)

12 Τελικά, την κλίη της πειραµατικής ευθείας θα την υπολογίετε από τη χέη (4.5), την τιµή του λόγου e/m από τη χέη (4.), ενώ το φάλµα το λόγο e/m θα το υπολογίετε από τη χέη (4.), όπου η τιµή της ολ υπολογίζεται από τη χέη (4.9). Το τελικό αποτέλεµα το παρουιάζετε ε µορφή e/m (τιµή) ± (e/m) Παράρτηµα Ηλεκροοπτικές ιδιότητες της οπής Η δέµη ηλεκτρονίων χηµατίζεται από τα ηλεκτρόνια που διαπερνούν την οπή της ανόδου και κινούνται ευθύγραµµα, λόγω αδράνειας, µε ενέργειες περίπου 00 ev, αρκεί τον χώρο δεξιότερα της ανόδου να µην υπάρχουν ηλεκτρικά πεδία. Ο προοριµός του διαφράγµατος ετίαης γίνεται κατανοητός αν εξετάουµε τις αδυναµίες του απλού τηλεβόλου που αποτελείται µόνο από δύο ηλεκτρόδια, δηλαδή την κάθοδο και την άνοδο µε οπή. Στο ύτηµα των δύο ηλεκτροδίων, που θα το αποκαλούµε δίοδο, η δέµη των ηλεκτρονίων είναι πάντα αποκλίνουα, δηλαδή η οπή της ανόδου έχει ιδιότητες ενός αποκλίνοντος οπτικού φακού (Σχ 4.5). +00 V F 4l k l a +00 ev Σχήµα 4.5. Τα θέµατα αυτά αποτελούν αντικείµενο µελέτης της Ηλεκτρονικής Οπτικής, όπου για την ετιακή απόταη του αποκλίνοντος ηλεκτρονικού φακού οι χετική υπολογιµοί δίνουν F 4l, όπου l είναι η απόταη µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων. Η ιδιότητα αυτή πηγάζει από την παρουία εγκάριου ηλεκτρικού πεδίου την επιφάνεια της οπής. Η χετική ανάλυη δείχνει ότι το κέντρο της οπής το δυναµικό είναι µικρότερο κατά ένα παράγοντα που εξαρτάται από τον λόγο d/l, όπου d είναι η διάµετρος της οπής: d Φ c Φ a. π l (Στο τηλεβόλο της Άκηης, d 0,5 mm και l mm) Επίης, το επίπεδο της ανοδικής οπής, το εγκάριο αυτό πεδίο έχει κυκλική υµµετρία και µε καλή προέγγιη είναι παραβολικό: Φ ( r) Φ c + r, Άνοδος 00 V 93 V 88 V 85 V 84 V Οπή

13 όπου ο υντελετής ορίζεται από τη Φ c και τη υνοριακή υνθήκη Φ(d/) Φ a. Στο παραβολικό πεδίο η ένταη του εγκάριου ηλεκτρικού πεδίου είναι Φ( r) E( r) r, r δηλαδή είναι γραµµική υνάρτηη της ακτίνας r. Από τις παραπάνω χέεις προκύπτει ότι το επίπεδο της οπής, τα ηλεκτρόνια ακείται µία εγκάρια δύναµη που είναι ανάλογη του r, δηλαδή το πεδίο αυτό δρα µε τον ίδιο τρόπο που ο οπτικός φακός επιδρά το φως. Βλέπουµε ακόµη ότι η εγκάρια δύναµη που δρα το ηλεκτρόνιο είναι µηδέν το κέντρο και µεγιτοποιείται την περιφέρεια της οπής. Η οπή θα αποκτήει ιδιότητες υγκλίνοντος φακού αν ανατραφεί το εγκάριο πεδίο της οπής. Αυτό επιτυγχάνεται όταν το κέντρο της οπής το δυναµικό γίνει υψηλότερο από αυτό της περιφέρειας. Πιο κάτω θα δούµε έναν δυνατό τρόπο υλοποίηης τέτοιας κατάταης ιαπορά ενεργειών των ηλεκτρονίων της δέµης Από την προηγούµενη ανάλυη προκύπτει το υµπέραµα ότι τα ηλεκτρόνια που διαπερνάνε την οπή της ανόδου δεν έχουν ίδιες κινητικές ενέργειες. Για παράδειγµά, αυτά που διαπερνούν το κέντρο της οπής έχουν ενέργειες όο είναι το δυναµικό το κέντρο, δηλαδή 00( d/πl), ενώ αυτά που κινούνται κοντά την περιφέρεια της οπής ξυτά, έχουν ενέργειες χεδόν 00 ev. Έτι, όταν ο λόγος d/l /, όπως τη λυχνία της Άκηης, η διαφορά τα δυναµικά και εποµένως τις ενέργειες είναι της τάξης /4π ή περίπου ~ 8 %, δηλαδή το κέντρο της οπής το δυναµικό είναι 84 και όχι 00 V! Τονίζουµε ότι η διαπορά τις ενέργειες της δέµης επηρεάζει άµεα την ακρίβεια του πειράµατος την Άκηη αυτή, καθώς το µαγνητικό πεδίο, άλλης διαµέτρου κύκλο δα διαγράψουν τα ηλεκτρόνια µε ενέργειες 84 ev, ενώ κύκλο άλλης διαµέτρου (µεγαλύτερης) θα διαγράψουν τα ηλεκτρόνια µε ενέργειες 00 ev (βλ. Σχήµα τη ελίδα 7) Ανατροφή του εγκάριου ηλεκτρικού πεδίου. ιάφραγµα ετίαης Η αποτολή του διαφράγµατος αυτού είναι να εξουδετερώει τις αποκλίνουες ιδιότητες της οπής και µε τον τρόπο αυτό να κάνει τη δέµη ηλεκτρονίων παράλληλη. Αυτό επιτυγχάνεται µε ένα τρίτο ηλεκτρόδιο, το διάφραγµα ετίαης, που τοποθετείται ανάµεα την κάθοδο και άνοδο µε την οπή. Η οπή του διαφράγµατος πρέπει να είναι µεγαλύτερη από αυτή της ανόδου, για παράδειγµα 5 φορές V k Weh a Η δράη του ενδιάµεου διαφράγµατος εξαρτάται από το δυναµικό που αυτό φέρει. Πράγµατι, έτω ότι το διάφραγµα βρίκεται το µέο της απόταης άνοδος-κάθοδος. Αν εφαρµόουµε το διάφραγµα το δυναµικό που θα είχε η ιοδυναµική επιφάνεια το ύτηµα των δύο ηλεκτροδίων, δηλαδή 00 V, τότε η παρουία του διαφράγµατος δεν θα επιφέρει καµία επίδραη τα κινούµενα ηλεκτρόνια. Η κατάταη διαφοροποιείται όταν το διάφραγµα εφαρµόουµε τάη µικρότερη από την ιοδυναµική των δύο ηλεκτροδίων, για παράδειγµα, 50 V. Καθώς η οπή του διαφράγµατος είναι µεγάλη, το κέντρο της το δυναµικό λίγο θα µειωθεί, αλλά θα παραµείνει τα επίπεδα του 00 V, ενώ το δυναµικό της επιφάνειας του διαφράγµατος θα είναι 50 V. Βλέπουµε ότι εδώ έχουµε µία κατάταη όπου το κέντρο της οπής το δυναµικό είναι υψηλότερο από ότι την περιφέρειά του. Με άλλα λόγια, το εγκάριο πεδίο του διαφράγµατος τώρα έχει αντίθετη φορά από αυτό της ανόδου. Εποµένως το πεδίο του γιαφράγµατος πιέζει τα ηλεκτρόνια προς τον άξονα 3

14 υµµετρίας των δύο οπών. Με την έννοια αυτή το διάφραγµα έχει ιδιότητες ενός υγκλίνοντος φακού, η ετιακή απόταη του οποίου εξαρτάται από το δυναµικό που αυτό φέρει. Συµπεραµατικά µπορούµε να πούµε ότι: Όταν το δυναµικό του διαφράγµατος είναι υψηλότερο από την ιοδυναµική των δύο ηλεκτροδίων, π.χ. είναι 50 V, το κέντρο της οπής το δυναµικό είναι χαµηλότερο (είναι περίπου 00 V) της περιφέρειας και το διάφραγµα έχει ιδιότητες αποκλίνοντος φακού. Συνεπώς το όλο ύτηµα αποτελείται από δύο αποκλίνοντες φακούς, Όταν το δυναµικό του διαφράγµατος είναι χαµηλότερο από την ιοδυναµική των δύο ηλεκτροδίων, π.χ. είναι 50 V, το κέντρο του διαφράγµατος το δυναµικό αναµένεται να είναι περίπου όο το δυναµικό της ιοδυναµικής, δηλαδή περίπου 00 V, και εποµένως υψηλότερο από το δυναµικό της περιφέρειας. Εδώ το διάφραγµα αποκτά ιδιότητες υγκλίνοντος φακού και το όλο ύτηµα αποτελείται από έναν υγκλίνοντα και έναν αποκλίνοντα φακό. Ρυθµίζοντας το δυναµικό του διαφράγµατος ετίαης, µπορούµε να εξουδετερώουµε την εγκάρια δράη της οπής της ανόδου και µε τον τρόπο αυτό να κάνουµε τη δέµη παράλληλη. Σηµειώνουµε ότι οι ηλεκτροοπτικές ιδιότητες των διαφραγµάτων και οπών βρίκουν ευρεία εφαρµογή τους καθοδικούς ωλήνες των παλµογράφων, των τηλεοράεων, των υπολογιτών, την ηλεκτρονική µικροκοπία, τις πηγές ακτίνων Χ κ.λ.π Παράρτηµα Μέθοδος των ελαχίτων τετραγώνων ε υναρτήεις τύπου, οργ 0. Σε µερικές περιπτώεις η χετική θεωρητική ανάλυη της πειραµατικής µεθόδου οδηγεί το υµπέραµα ότι ο ελεύθερος όρος a είναι µηδέν τη χέη a +. Εποµένως η πραγµατική χέη µεταξύ των µεταβλητών είναι τύπου. (4.0) Στις περιπτώεις αυτές το πρόβληµα διατυπώνεται ως εξής. Από τα πειραµατικά ζεύγη,, να υπολογιτεί η κλίη της βέλτιτης πειραµατικής ευθείας, η οποία µε τον καλύτερο τρόπο προοµοιώνει τα πειραµατικά ηµεία. Η εφαρµογή της µεθόδου ελαχίτων τετραγώνων οδηγεί τον όρο S d όπου η αναγκαία υνθήκη για ελάχιτο S είναι ( ) ελάχιτο, (4.) ή Από την τελευταία χέη έχουµε: και εποµένως S 0 ( ) 0. (4.),. (4.3) 4

15 5 Για τον υπολογιµό της διαποράς ( ), θα λάβουµε υπόψη τις υνθήκες:... 0, 3, (4.4) όπως επίης και τις χέεις 3 ) (...,,,...,, (4.5) Αντικαθιτώντας, για την ( ) προκύπτει: ( ) , (4.6) όπου το ( ) υπολογίζεται κανονικά από τη χέη για τα (d ), δηλαδή: ( ) d ) ( ) (. (4.7) Η διαίρεη εδώ γίνεται δια ( ) και όχι ( ), καθότι το πρόβληµα αυτό ο ελάχιτος αριθµός των πειραµατικών ζευγών, δεν είναι 3, αλλά. Έχουµε τελικά:, και ( ) ( ). (4.8α,β,γ) Όο για το τυπικό φάλµα της µέης τιµής της κλίης, µ, αυτό υπολογίζεται από την τυπική απόκλιη, διαιρώντας τη δια ρίζα του : ( ) µ ) ( (4.9) Σηµείωη. Αυτό το κείµενο της Άκηης 4 είναι αναρτηµένο την προωπική ιτοελίδα του Επ. Καθηγητή του Ε.Μ.Π, Πεόγλου Βαιλείου, την ηλεκτρονική διεύθυνη: Καθώς το κείµενο της Άκηης 4 που είναι αναρτηµένη την ιτοελίδα του Τοµέα Φυικής η επεξεργαία των πειραµατικών αποτελεµάτων είναι απλοϊκή, αλλά και µε εφαλµένες προτροπές την εκτέλεη και µία την επεξεργαία του πειράµατος, η προετοιµαία αλλά κυρίως η επεξεργαία των πειραµατικών δεδοµένων πρέπει να γίνεται από το παρόν.