ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες (δυναµικές τάεις, µπορούν να ατοχήουν ε θραύη, ακόµη και όταν οι τιµές των τάεων αυτών βρίκονται αρκετά χαµηλότερα από την αντοχή του υλικού ε θραύη. Η ατοχία που εµφανίζεται τα µεταλλικά υλικά λόγω της επίδραης δυναµικών καταπονήεων ονοµάζεται κόπωη (fatigue. Το βαικό χαρακτηριτικό της κόπωης είναι ότι απαιτεί µία ηµαντική χρονική περίοδο λειτουργίας του δοµικού τοιχείου ή εξαρτήµατος µίας κατακευής για να εµφανιτεί. Μάλιτα, καθώς η πρόοδος της τεχνολογίας έφερε ε χρήη νέα δοµικά τοιχεία, τα οποία βρήκαν εφαρµογή ε κατακευές όπως αυτοκίνητα, αεροκάφη, υµπιετές, τρόβιλοι, κ.λ.π., τα οποία οι µηχανικές καταπονήεις είναι κατ εξοχήν δυναµικές, η κόπωη απέκτηε ταδιακά όλο και µεγαλύτερη ηµαία αν µηχανιµός ατοχίας. Σήµερα εκτιµάται ότι το 90% των ατοχιών, που προέρχονται από µηχανικά αίτια, οφείλεται ε κόπωη. Η κόπωη των µεταλλικών υλικών είναι ένας από τους πλέον ύπουλους µηχανιµούς ατοχίας, καθώς πραγµατοποιείται χωρίς να εµφανίζει προειδοποιητικές ενδείξεις. Μία ατοχία λόγω κόπωης µπορεί να αναγνωριθεί, αφότου εκδηλωθεί, από οριµένα χαρακτηριτικά των επιφανειών θραύης. Μία επιφάνεια θραύης από κόπωη φαίνεται τη φωτογραφία του Σχ. 1. Ένα µεγάλο τµήµα της επιφάνειας θραύης έχει λεία εµφάνιη, η οποία οφείλεται την τριβή των επιφανειών του ρήγµατος µεταξύ τους, καθώς αυτό προωθείται ταδιακά κατά τη διάρκεια λειτουργίας. Αντίθετα, ένα µικρότερο τµήµα της επιφάνειας, το οποίο αντιτοιχεί το τελικό τάδιο της θραύης, έχει ανώµαλη εµφάνιη και οφείλεται τη γρήγορη τελική προώθηη του ρήγµατος µε όλκιµο τρόπο µέα το υλικό, καθώς η µειωµένη διατοµή του υλικού που έχει αποµείνει δεν µπορεί να αντέξει πλέον τα επιβαλλόµενα φορτία. Ένα ακόµη πιο τυπικό χαρακτηριτικό των επιφανειών θραύης που προήλθαν από κόπωη είναι οι γραµµώεις (striations που δηµιουργούνται ε αυτήν. Οι γραµµώεις αυτές 167

2 έχουν υνήθως χήµα τόξων από οµόκεντρους κύκλους, το κέντρο των οποίων υποδεικνύει το ηµείο όπου βρικόταν το αρχικό ρήγµα. Η απόταη της µίας γράµµωης από την άλλη δίνει µία καλή εκτίµηη της ταχύτητας µε την οποία προωθήθηκε το ρήγµα µέα το υλικό. Χαρακτηριτικές γραµµώεις κόπωης φαίνονται την φωτογραφία του Σχ.. Σχ. 1: Επιφάνεια θραύης από κόπωη ε περιτρεφόµενο άξονα. Σχ. : Γραµµώεις κόπωης ε επιφάνεια θραύης από κράµα Ti-6Al-4V. 168

3 Υπάρχουν τρεις βαικοί παράγοντες που απαιτούνται για να εµφανιθεί ατοχία από κόπωη: α µία αρκετά υψηλή µέγιτη εφελκυτική τάη, β µία αρκετά µεγάλη και επαναλαµβανόµενη διακύµανη της τάης κατά τη λειτουργία και γ ένας αρκετά µεγάλος αριθµός κύκλων φόρτιης, δηλαδή επαναλήψεων της δυναµικής καταπόνηης. Εκτός από τους τρεις αυτούς βαικούς παράγοντες, η υµπεριφορά των µεταλλικών υλικών ε κόπωη επηρεάζεται και από µία ειρά άλλων παραµέτρων, όπως η θερµοκραία, η παρουία διαβρωτικού περιβάλλοντος, η µικροδοµή του υλικού, η ύπαρξη παραµενουών εωτερικών τάεων το υλικό, κ.α. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο η κόπωη των µεταλλικών υλικών δεν έχει εξηγηθεί πλήρως θεωρητικά και η ανάλυή της βαίζεται ε µεγάλο βαθµό, ακόµη και ήµερα, ε πειραµατικές και εµπειρικές παρατηρήεις.. Χαρακτηριτικά των υναµικών Καταπονήεων Το Σχ. δείχνει µερικούς χαρακτηριτικούς τύπους δυναµικών καταπονήεων, δηλαδή µεταβολής της τάης αν υνάρτηη των κύκλων φόρτιης (δηλ. του χρόνου. Το Σχ. α απεικονίζει µία πλήρως ανατρεφόµενη δυναµική καταπόνηη ηµιτονοειδούς µορφής. Η ηµιτονοειδής δυναµική καταπόνηη είναι µία εξιδανικευµένη κατάταη, η οποία πολύ πάνια υναντάται ε πραγµατικές εφαρµογές. Ωτόο, ε επίπεδο εργατηριακού πειράµατος, µπορεί εύκολα να επιτευχθεί µε έναν άξονα ο οποίος περιτρέφεται µε ταθερή ταχύτητα και καταπονείται από ένα ταθερό καµπτικό φορτίο ( περιτρεφόµενος πρόβολος. Σε αυτόν τον τύπο δυναµικής καταπόνηης η απόλυτη τιµή της µέγιτης και της ελάχιτης τάης είναι ίες µεταξύ τους, δηλαδή max min, όπου max > 0 (εφελκυτική και min < 0 (θλιπτική. Το Σχ. β απεικονίζει µία περιοδική δυναµική καταπόνηη την οποία max min. Στο υγκεκριµένο παράδειγµα του Σχ. β τόο η max > 0 όο και η min > 0 (δηλ. εφελκυτικές. Ωτόο, θα µπορούε κάλλιτα η max να είναι εφελκυτική και η min θλιπτική, ή ακόµη να είναι και οι δύο θλιπτικές. Τέλος, το Σχ. γ δείχνει µία ακανόνιτη ή τυχαία δυναµική καταπόνηη, η οποία δεν εµφανίζει καµία απολύτως περιοδικότητα. Στην πραγµατικότητα τέτοιας µορφής δυναµικές καταπονήεις εµφανίζονται τις περιότερες εφαρµογές. Για παράδειγµα, το Σχ. γ θα µπορούε να αντιτοιχεί τη δυναµική καταπόνηη που δέχεται το φτερό ενός αεροκάφους, όταν χτυπηθεί από ένα ξαφνικό και ιχυρό ρεύµα ανέµου. 169

4 (α (β (γ Σχ. : Τύποι δυναµικών καταπονήεων. Μία δυναµική καταπόνηη µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από δύο υνιτώες : µία µέη (ή ταθερή τάη m και µία µεταβαλλόµενη τάη α. Επίης, την ανάλυη µιας δυναµικής καταπόνηης πρέπει να λάβουµε υπόψη και το εύρος της τάης,. Όπως φαίνεται και το Σχ. β, το εύρος τάης ορίζεται αν η αλγεβρική διαφορά της µέγιτης από την ελάχιτη τάη: max min (1 Αντίθετα, η µεταβαλλόµενη τάη, α, ορίζεται αν το µιό του εύρους, δηλαδή: α max min ( 170

5 Η µέη τάη, m, είναι ο αλγεβρικός µέος όρος της µέγιτης και της ελάχιτης τάης του κύκλου φόρτιης: max + min m ( Επίης, πολύ υχνά την ανάλυη προβληµάτων δυναµικών καταπονήεων και κόπωης χρηιµοποιούνται δύο ακόµη µεγέθη. Το ένα είναι η αναλογία τάεων (stress ratio, η οποία ορίζεται ως εξής: min R (4 max Το άλλο µέγεθος είναι η αναλογία εύρους τάεων (amlitude ratio, που ορίζεται ως εξής: R A α 1 (5 1 R m +. Καµπύλες S N (καµπύλες Wöhler Η βαική µορφή µε την οποία υπάρχουν διαθέιµα τη βιβλιογραφία πειραµατικά δεδοµένα, χετικά µε την υµπεριφορά µεταλλικών υλικών ε κόπωη, είναι οι καµπύλες S N ή, όπως είναι πιο γνωτές, οι καµπύλες Wöhler. Οι καµπύλες αυτές χεδιάζονται ε διαγράµµατα που τον κατακόρυφο άξονα έχουν ένα µέγεθος S χετιζόµενο µε την τάη (υνηθέτερα κάποιο από τα α, max ή min, ενώ τον οριζόντιο άξονα δείχνουν τον αριθµό κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη, δηλαδή την διάρκεια ζωής ε κόπωη Ν f, του υλικού. Ο άξονας του αριθµού κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη χεδόν πάντοτε είναι εκφραµένος ε λογαριθµική (log κλίµακα. Κάθε καµπύλη S N ενός υλικού ιχύει για την υγκεκριµένη τιµή µέης τάης ( m και αναλογίας τάεων (R την οποία έχουν διεξαχθεί οι αντίτοιχες δοκιµές κόπωης. Εάν για το ίδιο υλικό πραγµατοποιηθούν δοκιµές κόπωης µε διαφορετική τιµή m ή/και R, η καµπύλη S N που θα προκύψει δεν θα είναι ίδια µε την προηγουµένη. Συνήθως, οι περιότερες καµπύλες S N των µεταλλικών υλικών προέρχονται από δοκιµές περιτρεφόµενου προβόλου, όπου m 0. Ωτόο, επειδή τις περιότερες πραγµατικές εφαρµογές ιχύει ότι m 0, ε επόµενη παράγραφο θα εξετάουµε ποιες διαφορές 171

6 προκύπτουν την περίπτωη αυτή. Ένα τυπικό διάγραµµα αυτού του είδους φαίνεται το Σχ. 4, το οποίο υπάρχουν δύο καµπύλες S-N: µία που είναι χαρακτηριτική για ιδηρούχα κράµατα (χάλυβες και µία για µη ιδηρούχα κράµατα (π.χ. κράµατα αλουµινίου. Αξίζει να προέξει κανείς ότι οι καµπύλες S-N αναφέρονται ε θραύη λόγω κόπωης µετά από έναν αρκετά µεγάλο αριθµό κύκλων φόρτιης, δηλαδή για Ν f > 4 κύκλους. Στις περιπτώεις αυτές οι τάεις ε µακροκοπικό επίπεδο είναι ελατικές, µε αποτέλεµα µακροκοπικά να µην προκαλείται πλατική παραµόρφωη του υλικού. Η κόπωη αυτού του είδους ονοµάζεται πολυκυκλική κόπωη (high cycle fatigue HCF. Όταν οι εφαρµοζόµενες τάεις ξεπερνούν το όριο διαρροής του υλικού, µε υνέπεια αυτό ε κάθε κύκλο φόρτιης να υφίταται ένα ποοτό ελατικής και πλατικής παραµόρφωης, τότε η διάρκεια ζωής ε κόπωη µειώνεται ηµαντικά (Ν f < 4 κύκλοι. Επειδή τις περιπτώεις αυτές είναι δύκολο να εκφρατεί η δυναµική καταπόνηη ε όρους τάης, οι δοκιµές κόπωης διεξάγονται έτι, ώτε ε κάθε κύκλο φόρτιης να προδίδεται το υλικό ένα προκαθοριµένο ποοτό ελατικής και πλατικής παραµόρφωης, παρά µία προκαθοριµένη µεταβολή τάης. Αυτό το είδος κόπωης ονοµάζεται ολιγοκυκλική κόπωη (low cycle fatigue LCF, µε την οποία και θα αχοληθούµε λεπτοµερέτερα ε επόµενη παράγραφο. max [MPa] εργαλειοχάλυβας e κράµα αλουµινίου Αριθµός κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη, N f Σχ. 4: Καµπύλες Wöhler για ιδηρούχα και µη ιδηρούχα µέταλλα. 17

7 Ας επιτρέψουµε όµως τις καµπύλες S-N του Σχ. 4. Η πρώτη παρατήρηη που µπορεί να γίνει είναι ότι, η διάρκεια ζωής ε κόπωη (δηλ. ο αριθµός κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη αυξάνεται όο µειώνεται η εφαρµοζόµενη τάη. Μία δεύτερη παρατήρηη έχει να κάνει µε τη µορφή των καµπυλών. Σε µεταλλικά υλικά µεγάλης πρακτικής ηµαίας, όπως οι χάλυβες και το τιτάνιο, υπάρχει µία χαρακτηριτική τιµή τάης ( e κάτω από την οποία η καµπύλη γίνεται οριζόντια (βλ. Σχ. 4. Αυτό πρακτικά ηµαίνει ότι εάν η εφαρµοζόµενη τάη είναι µικρότερη από e, τότε ουιατικά το υλικό έχει άπειρη διάρκεια ζωής ε κόπωη. Με άλλα λόγια δεν κινδυνεύει να υποτεί θραύη λόγω κόπωης. Για αυτό και η τάη e ονοµάζεται όριο διαρκούς αντοχής ε κόπωη (endurance limit. Στο παράδειγµα του εργαλειοχάλυβα του Σχ. 4 το όριο διαρκούς αντοχής είναι e 4 MPa. Η υµπεριφορά αυτή δεν εµφανίζεται ε όλα τα µεταλλικά υλικά. Τα περιότερα µη ιδηρούχα κράµατα, όπως τα κράµατα αλουµινίου, µαγνηίου, χαλκού, κ.α., δεν εµφανίζουν όριο διαρκούς αντοχής. Το παράδειγµα του κράµατος αλουµινίου του Σχ. 4 είναι χαρακτηριτικό, αφού φαίνεται ότι η καµπύλη δεν γίνεται οριζόντια ε καµία τάη, αλλά τείνει αυµπτωτικά προς τον άξονα N f όο µειώνεται η εφαρµοζόµενη τάη. Αυτό πρακτικά µεταφράζεται το ότι τα κράµατα µε τη υγκεκριµένη υµπεριφορά πάντοτε έχουν µία πεπεραµένη διάρκεια ζωής ε κόπωη, άχετα µε το πόο µικρή είναι η εφαρµοζόµενη τάη. Για παράδειγµα, το κράµα αλουµινίου του Σχ. 4 κάποια τιγµή, έτω και µετά από πάρα πολλούς κύκλους φόρτιης, θα υποτεί θραύη λόγω κόπωης, ακόµα και για πολύ µικρού µεγέθους εναλλαόµενες τάεις. Στις περιπτώεις αυτές, για να µπορεί να οριθεί µία τάη αν αντοχή του υλικού ε κόπωη και να χρηιµοποιηθεί για την χεδιοµελέτη κατακευών, έχει καθιερωθεί η χρήη της υµβατικής αντοχής ε κόπωη (fatigue strength. Η υµβατική αντοχή ε κόπωη είναι η τάη εκείνη, για την οποία το υλικό θα έχει µία προκαθοριµένη διάρκεια ζωής ε κόπωη. Συνήθως επιλέγεται µία µεγάλη διάρκεια ζωής της τάξεως των κύκλων φόρτιης. Έτι, το κράµα αλουµινίου του Σχ. 4 έχει υµβατική αντοχή ε κόπωη για διάρκεια ζωής 5 7 κύκλους ίη µε 0 MPa, ενώ η υµβατική του αντοχή ε κόπωη για διάρκεια ζωής 8 κύκλους είναι ίη µε 00 MPa. 4. Πειραµατικός Προδιοριµός των Καµπυλών S N Υπάρχουν διάφορες τεχνικές µε τις οποίες µπορεί να διερευνηθεί πειραµατικά η υµπεριφορά ενός υλικού ε εναλλαόµενες καταπονήεις, δηλαδή ε κόπωη. Περιότερο οικεία είναι πιθανότατα αυτή που πραγµατοποιείται ε υνήθη δοκίµια 17

8 εφελκυµού. Υπάρχουν τύποι µηχανών εφελκυµού που διαθέτουν την δυνατότητα εκτέλεης δοκιµών κόπωης, εξακώντας προκαθοριµένη εναλλαόµενη φόρτιη το δοκίµιο. Στις πλέον ύγχρονες µηχανές εφελκυµού κόπωης υπάρχει η δυνατότητα επιλογής υγκεκριµένου τύπου δυναµικής καταπόνηης (π.χ. ηµιτονοειδής καθώς και των χαρακτηριτικών αυτής (π.χ. max και min, m, κ.τ.λ., γεγονός που επιτρέπει την µελέτη της υµπεριφοράς ε κόπωη ε ένα µεγάλο εύρος υνθηκών δυναµικής καταπόνηης. Ένας εναλλακτικός τύπος δοκιµής κόπωης, που έχει βρει πολύ µεγάλη πρακτική εφαρµογή, είναι η δοκιµή περιτρεφόµενου προβόλου (rotating cantilever beam test. Η πειραµατική διάταξη της δοκιµής αυτής είναι χετικά απλή και απεικονίζεται το Σχ. 5. Στη δοκιµή υποβάλλεται δοκίµιο κυλινδρικής γεωµετρίας του υπό εξέταη υλικού. Το ένα άκρο του δοκιµίου υγκρατείται ε έναν ρότορα που υνδέεται µε έναν ηλεκτρικό κινητήρα, ενώ το άλλο άκρο τοποθετείται ένα εγκάριο φορτίο, ακώντας έτι κάµψη το δοκίµιο. ρότορας µοτέρ εφελκυµός δοκίµιο ρουλεµάν θλίψη Σχ. 5: οκιµή περιτρεφόµενου προβόλου. φορτίο F Καθώς ο ρότορας τίθεται ε περιτροφική κίνηη το δοκίµιο αρχίζει να υποβάλλεται ε µία εναλλαόµενη καταπόνηη. Όπως είναι γνωτό από την θεωρία κάµψης δοκών, οι µέγιτες τάεις αναπτύονται τις εξωτερικές επιφάνειες της δοκού. Έτι και την περίπτωη του περιτρεφόµενου προβόλου, ένα ηµείο του υλικού που βρίκεται την επάνω επιφάνεια δέχεται την µέγιτη εφελκυτική τάη. Μετά από περιτροφή 90 ο το ηµείο αυτό έρχεται ε µία θέη όπου η τάη µηδενίζεται. Μετά από περιτροφή άλλων 90 ο, (δηλαδή υνολικά 180 ο από την αρχή το ηµείο έρχεται την κάτω επιφάνεια, όπου εκεί 174

9 δέχεται την µέγιτη θλιπτική τάη. Σε κάθε περιτροφή του δοκιµίου επαναλαµβάνεται η ίδια πλήρως ανατρεφόµενη δυναµική καταπόνηη, η οποία µάλιτα για την υγκεκριµένη δοκιµή κόπωης έχει ηµιτονοειδή µορφή µε µέη τάη m 0 και R -1. Η µέγιτη και η ελάχιτη τάη που καταπονούν το δοκίµιο υπολογίζονται από τη χέη:,18 L F max min (6 D όπου L και D το µήκος και η διάµετρος του δοκιµίου, αντίτοιχα και F το επιβαλλόµενο εξωτερικό φορτίο. Έτι, µεταβάλλοντας κατάλληλα τα L, F και D µπορεί να παραχθεί ένα πολύ µεγάλο πλήθος διαφορετικών δυναµικών καταπονήεων. Η υνήθης διαδικαία για τον καθοριµό µίας καµπύλης S N ξεκινά υποβάλλοντας το πρώτο δοκίµιο ε µία υψηλή τάη, την οποία περιµένουµε ότι το δοκίµιο θα υποτεί θραύη µετά από µικρό αριθµό κύκλων φόρτιης. Συνήθως, για το πρώτο αυτό δοκίµιο, η τάη που επιλέγεται ιοδυναµεί µε τα / της µέγιτης αντοχής του υλικού ε εφελκυµό ( UTS. Τα επόµενα δοκίµια υποβάλλονται ε όλο και µικρότερες τάεις και καταγράφεται ο αριθµός κύκλων τον οποίο ατοχούν µε θραύη. Η δοκιµή υνεχίζεται µε τον ίδιο τρόπο, µέχρις ότου ένα ή δύο δοκίµια να µην έχουν ατοχήει µετά από έναν προκαθοριµένο µεγάλο αριθµό κύκλων φόρτιης, π.χ. µετά από 7 κύκλους. Τότε αν όριο διαρκούς αντοχής του υλικού ορίζεται η υψηλότερη τάη την οποία το δοκίµιο δεν ατόχηε. Στα µεταλλικά υλικά που δεν εµφανίζουν όριο διαρκούς αντοχής, οι δοκιµές τερµατίζονται όταν το δοκίµιο αντέξει ε έναν πολύ µεγάλο αριθµό κύκλων, π.χ κύκλους, χωρίς να πάει. Η τιµή της τάης που χρηιµοποιήθηκε το δοκίµιο αυτό λαµβάνεται τότε αν η υµβατική αντοχή του υλικού ε κόπωη. Στις περιότερες περιπτώεις, για τον καθοριµό µίας καµπύλης S N χρηιµοποιούνται υνολικά από 8 έως 1 δοκίµια του υλικού. Εκείνο που έχει εξαιρετική ηµαία να γνωρίζουµε, είναι ότι τα αποτελέµατα των δοκιµών κόπωης ε ένα υγκεκριµένο υλικό εµφανίζουν µεγάλη διαπορά (scatter. ηλαδή, εάν πάρουµε αρκετά δοκίµια από το ίδιο υλικό και τα υποβάλλουµε ε δοκιµές κόπωης µε ακριβώς τις ίδιες υνθήκες ( max, min, m, κ.τ.λ. θα παρατηρήουµε ότι η διάρκεια ζωής τους ε κόπωη (δηλ. ο αριθµός κύκλων φόρτιης µέχρι να πάουν θα είναι αρκετά διαφορετικός από δοκίµιο ε δοκίµιο. Για αυτό το λόγο τα αποτελέµατα δοκιµών κόπωης υποβάλλονται ε κατάλληλη τατιτική επεξεργαία, προκειµένου να κατατούν 175

10 αξιόπιτα και αφαλή και να µπορούν να χρηιµοποιηθούν αν δεδοµένα ενός υλικού, κατά το τάδιο χεδιοµελέτης µίας κατακευής. 5. Στατιτική Εξέταη της Κόπωης Όπως αναφέρθηκε την προηγούµενη παράγραφο, τα αποτελέµατα των δοκιµών κόπωης ε ένα υγκεκριµένο υλικό παρουιάζουν µεγάλη διαπορά, τόο όον αφορά τη διάρκεια ζωής, όο και το όριο διαρκούς αντοχής του υλικού. Κατά υνέπεια και τα δύο αυτά µεγέθη, Ν f και e, είναι τατιτικές ποότητες και ως τέτοιες πρέπει να αντιµετωπίζονται. Αυτό βέβαια ηµαίνει ότι η καµπύλη S N ενός υλικού, που προκύπτει µε την διαδικαία που είδαµε την προηγούµενη παράγραφο, δηλαδή µε την διενέργεια δοκιµών κόπωης ε ένα πλήθος 8 1 δοκιµίων, περιγράφει µία µέη υµπεριφορά του υλικού ε κόπωη, από την οποία θα πρέπει να αναµένουµε αρκετά µεγάλες αποκλίεις. Για να γίνει πιο κατανοητή η µεγάλη τατιτική διαπορά που παρουιάζουν τα αποτελέµατα δοκιµών κόπωης, που πραγµατοποιούνται µε ακριβώς τις ίδιες υνθήκες ε δοκίµια από το ίδιο υλικό, έχει ενδιαφέρον να εξετάουµε το πείραµα του Ransom, που πραγµατοποιήθηκε το 195. Ο Ransom χρηιµοποίηε µία ράβδο από έναν χάλυβα, από την οποία έκοψε και κατακεύαε 0 πανοµοιότυπα δοκίµια κόπωης, τα οποία τη υνέχεια χώριε ε οµάδες ( δοκίµια ανά οµάδα. Κάθε οµάδα δοκιµίων υπεβλήθη ε δοκιµές κόπωης µε ακριβώς τις ίδιες υνθήκες. Εποµένως, για κάθε οµάδα δοκιµίων προέκυψε η αντίτοιχη καµπύλη S N. Οι δέκα υνολικά καµπύλες S N που προέκυψαν µε τον τρόπο αυτό φαίνονται το διάγραµµα του Σχ. 6. Η εικόνα του διαγράµµατος δικαίωε τις υποψίες του Ransom. Πραγµατικά, οι δέκα καµπύλες S N όχι µόνο δεν υµπίπτουν µεταξύ τους, αλλά αντίθετα εµφανίζουν µεγάλες διαφορές, τόο ως προς την διάρκεια ζωής για κάποια δεδοµένη τιµή τάης, όο και ως προς το όριο διαρκούς αντοχής. Για παράδειγµα, ας εξετάουµε τις καµπύλες Νο. και Νο. 5 (που προήλθαν από τις δοκιµές κόπωης των οµάδων δοκιµίων και 5, αντίτοιχα. Το διάγραµµα µας δείχνει ότι ε τάη si ( 48 MPa η διάρκεια ζωής που προβλέπει η καµπύλη Νο. είναι N f 4 κύκλοι φόρτιης, ενώ η διάρκεια ζωής που προβλέπει η καµπύλη Νο. 5 είναι N f 7 4 κύκλοι φόρτιης! Σηµαντική είναι η διαφορά και το όριο διαρκούς αντοχής: η καµπύλη Νο. δείχνει ότι e si (4 MPa, ενώ η Νο. 5 δείχνει ότι e si (69 MPa! Οι αποκλίεις είναι ηµαντικές, δεδοµένου µάλιτα ότι όλα τα δοκίµια προέρχονται όχι µόνο 176

11 από το ίδιο υλικό, αλλά και από την ίδια ράβδο, που ηµαίνει ότι είχαν υποτεί ακριβώς τις ίδιες θερµικές, µηχανικές ή άλλες κατεργαίες κατά την παραγωγή της ράβδου. Σχ. 6 Το πείραµα του Ransom καταδεικνύει ακόµα τις πολύ οβαρές, έως και κατατροφικές, υνέπειες που µπορεί να έχει η αγνόηη αυτής της τατιτικής πλευράς της κόπωης. Για παράδειγµα, εάν για ένα υλικό υπήρχε διαθέιµη µόνο η καµπύλη S N Νο. του Σχ. 6, τότε ένας µηχανικός που θα έκανε τη χεδιοµελέτη για µία κατακευή από το υγκεκριµένο υλικό θα έπαιρνε ως δεδοµένο ότι e 4 MPa. Θα θεωρούε λοιπόν δικαιολογηµένα ότι, εάν η τάη που θα καταπονήει την κατακευή κατά τη λειτουργία της δεν πρόκειται να υπερβεί τα 4 MPa, η κατακευή του θα είχε άπειρη διάρκεια ζωής ε κόπωη. Η πράξη όµως 177

12 µπορεί να τον διέψευδε, καθώς το υλικό την πραγµατικότητα µπορεί να ακολουθούε την καµπύλη Νο. 5 και να είχε πραγµατικό όριο διαρκούς αντοχής µόλις 69 MPa, µε αποτέλεµα κάποια τιγµή να ατοχούε λόγω κόπωης. Με βάη όλα τα παραπάνω, γίνεται αφές ότι τα δεδοµένα για την υµπεριφορά ενός υλικού ε κόπωη πρέπει να εµπεριέχουν και πληροφορία χετικά µε το µε πόη πιθανότητα (robability είναι ακριβή και αξιόπιτα. Για να εξηγήουµε καλύτερα το θέµα αυτό θα χρηιµοποιήουµε το διάγραµµα του Σχ. 7. Το διάγραµµα αυτό περιέχει διάφορες καµπύλες S N ενός υγκεκριµένου υλικού, όπου κάθε καµπύλη αντιτοιχεί ε ένα υγκεκριµένο επίπεδο πιθανότητας Ρ. Για να παραχθεί ένα διάγραµµα αυτού του είδους απαιτείται ένα τεράτιο πλήθος δοκιµίων του υλικού, που υνήθως φτάνει ή και ξεπερνά τα 00 υνολικά δοκίµια, καθώς επίης και η πραγµατοποίηη αντίτοιχου αριθµού δοκιµών κόπωης. Εποµένως, το κότος για την δηµιουργία ενός τέτοιου διαγράµµατος είναι αρκετά υψηλό. Αυτός είναι και ο λόγος που πλήρη διαγράµµατα αν αυτό του Σχ. 7 υπάρχουν ελάχιτα την πραγµατικότητα και αφορούν υλικά που χρηιµοποιούνται ε πολύ κρίιµες εφαρµογές. Σχ

13 Ας δούµε όµως µε ποιο τρόπο µπορούµε να δηµιουργήουµε ένα τέτοιο διάγραµµα. Παίρνουµε έναν µεγάλο αριθµό δοκιµίων (π.χ. 0 δοκίµια και τα υποβάλλουµε ε δοκιµή κόπωης ε κάποια υγκεκριµένη τάη, για παράδειγµα την 1. Όταν την τάη αυτή πάει το 1 ο δοκίµιο τότε ηµειώνουµε τον αριθµό κύκλων φόρτιης τον οποίο υνέβη το γεγονός αυτό (Ν 1 το διάγραµµα. Συνεχίζουµε µε τα υπόλοιπα 99 δοκίµια. Όταν πάει το ο κατά ειρά δοκίµιο ηµειώνουµε πάλι τον αριθµό κύκλων φόρτιης τον οποίο υνέβη το γεγονός (Ν το διάγραµµα. Συνεχίζουµε τις δοκιµές µε τα υπόλοιπα 90 δοκίµια. Όταν πάει το 50 ο κατά ειρά δοκίµιο ηµειώνουµε αντίτοιχα τον αριθµό κύκλων φόρτιης Ν 50. Συνεχίζουµε µε τα υπόλοιπα 50 δοκίµια. Όταν πάει το 99 ο κατά ειρά δοκίµιο ηµειώνουµε τον αριθµό κύκλων φόρτιης Ν 99. Η πληροφορία που έχουµε υλλέξει µέχρι τώρα είναι ιδιαίτερα ηµαντική. Τώρα ξέρουµε ότι το υλικό που µας ενδιαφέρει, εάν υποβληθεί ε δυναµική καταπόνηη µε τάη 1 (όπου 1 µπορεί να είναι είτε η max, είτε το α, είτε κάποιο άλλο χετικό µέγεθος, τότε η διάρκεια ζωής του ε κόπωη θα ιούται µε Ν 1 µε πιθανότητα Ρ 0,01 (1%, µε Ν µε πιθανότητα Ρ 0, (%, µε Ν 50 µε πιθανότητα Ρ 0,50 (50% ή µε Ν 99 µε πιθανότητα Ρ 0,99 (99%. Επαναλαµβάνοντας όλη αυτή τη διαδικαία ε διάφορες τάεις, τότε προκύπτουν οι πλήρεις καµπύλες του Σχ. 7. Το ενδιαφέρον τώρα είναι ότι κάθε καµπύλη S N αντιπροωπεύει και την αντίτοιχη πιθανότητα ιχύος της. ηλαδή η καµπύλη Ρ 0,01 έχει πιθανότητα 1% να εκφράζει την αναµενόµενη υµπεριφορά του υλικού ε κόπωη, ενώ η καµπύλη Ρ 0,50 έχει πιθανότητα 50% να εκφράζει την αναµενόµενη υµπεριφορά του υλικού ε κόπωη. Όον αφορά το όριο διαρκούς αντοχής, το όριο που µας δίνει η καµπύλη Ρ 0,01 ηµαίνει ότι όντως αυτό είναι το όριο διαρκούς αντοχής του υλικού µε πιθανότητα µόλις 1%, ενώ αντίτοιχα το όριο διαρκούς αντοχής της καµπύλης Ρ 0,99 ιχύει µε πιθανότητα 99%. Κλείνοντας αυτό το ιδιαίτερα ηµαντικό για την κόπωη θέµα, θα πρέπει να τονίουµε ότι όταν µία κατακευή είναι πολύ κρίιµη και πρέπει οπωδήποτε να αποφύγουµε την ατοχία λόγω κόπωης, τότε λαµβάνουµε υπόψη τα δεδοµένα της καµπύλης Ρ 0,01. Οι προβλέψεις της καµπύλης Ρ 0,01 ιχύουν µε πιθανότητα µόλις 1%. Ωτόο, επειδή οι προβλέψεις αυτές αφορούν τη χειρότερη δυνατή υµπεριφορά του υλικού ε κόπωη (µικρότερη διάρκεια ζωής και χαµηλότερο όριο διαρκούς αντοχής, όταν η κατακευή είναι πολύ κρίιµη είµατε υποχρεωµένοι να τις λάβουµε υπόψη, έτι ώτε να διαφαλίουµε ότι η πιθανότητα ατοχίας λόγω κόπωης είναι µικρότερη ακόµη και από 1%. 179

14 6. Η Επίδραη της Μέης Τάης Τα περιότερα διαθέιµα πειραµατικά δεδοµένα κόπωης τη βιβλιογραφία έχουν προκύψει από δοκιµές κόπωης µε πλήρως ανατρεφόµενους κύκλους φόρτιης, για τους οποίους ιχύει ότι m 0. Ωτόο, τις περιότερες πραγµατικές εφαρµογές η µέη τάη δεν ιούται µε το µηδέν. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι µε τους οποίους µπορούν να καθοριτούν οι καµπύλες S N όταν m 0. Το Σχ. 8 δείχνει τους δύο πιο υνήθης τρόπους παρουίαης των δεδοµένων κόπωης τις περιπτώεις αυτές. Στο Σχ. 8α οι καµπύλες S N παρουιάζονται ε ένα διάγραµµα µέγιτης τάης ( max αριθµών κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη (N f, όπου κάθε καµπύλη αντιτοιχεί ε µία ταθερή τιµή R min / max. Όταν R -1 η τάη είναι πλήρως ανατρεφόµενη ( max - min και εποµένως η µέη τάη m 0. Όο το R γίνεται πιο θετικό, που ιοδυναµεί µε το ότι η µέη τάη m αυξάνεται, το όριο διαρκούς αντοχής του υλικού αυξάνεται. Το Σχ. 8β δείχνει τα ίδια δεδοµένα, εκφραµένα όµως ε ένα διάγραµµα εύρους τάης ( α αριθµών κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη (N f, όπου κάθε καµπύλη αντιτοιχεί ε µία ταθερή µέη τάη m. Προέξτε ότι όο η µέη τάη m αυξάνεται, τόο µικρότερο πρέπει να είναι το εύρος τάης α για να επιτευχθεί µία υγκεκριµένη διάρκεια ζωής ε κόπωη N f. Έχουν αναπτυχθεί διάφορα µαθηµατικά µοντέλα τα οποία περιγράφουν τη υχέτιη µεταξύ της µέης τάης ( m και του εύρους τάης ( α, για µία προκαθοριµένη διάρκεια ζωής του υλικού ε κόπωη. Τα τρία πιο διαδεδοµένα από τα µοντέλα αυτά είναι το παραβολικό µοντέλο Gerber, το γραµµικό µοντέλο Goodman και το γραµµικό µοντέλο Soderberg. Το διάγραµµα του Σχ. 9 δείχνει τη υχέτιη της µέης τάης ( m και του εύρους τάης ( α που προκύπτει µε καθένα από τα µοντέλα αυτά. Τα υγκεκριµένα µοντέλα χρηιµοποιούνται για να απαντήουν το εξής θέµα: εµείς έχουµε δεδοµένα κόπωης για ένα υλικό, τα οποία έχουν καθοριτεί από δοκιµές κόπωης µε πλήρως ανατρεφόµενη τάη. ηλαδή έχουµε δεδοµένα για δυναµική καταπόνηη µε: max min R 1 m 0 α ( max min / [ max ( max ]/ ( max / max 180

15 (α (β Σχ

16 Από τα δεδοµένα αυτά γνωρίζουµε το όριο διαρκούς αντοχής ( e του υλικού (για την πλήρως ανατρεφόµενη δυναµική καταπόνηη και γνωρίζουµε και τη διάρκεια ζωής ε κόπωη του υλικού Ν f για κάθε εφαρµοζόµενη τάη (από την καµπύλη S N. Εάν ε µία κατακευή, την οποία θέλουµε να χρηιµοποιήουµε το υλικό αυτό, η µέη τάη είναι m 0, τότε πόο πρέπει να είναι το εύρος της τάης α ( max min /, έτι ώτε για µία υγκεκριµένη εφαρµοζόµενη τάη να έχω την ίδια διάρκεια ζωής ε κόπωη, όπως θα είχα εάν m 0; Ακριβώς το ερώτηµα αυτό προπαθούν να δώουν απάντηη τα µοντέλα Gerber, Goodman και Soderberg, το καθένα µε τον δικό του τρόπο (βλ. Σχ. 9. Η µαθηµατική διατύπωη των µοντέλων αυτών έχει ως εξής: Παραβολικό µοντέλο Gerber: m α e 1 (7 UTS Γραµµικό µοντέλο Goodman: m α e 1 (8 UTS Γραµµικό µοντέλο Soderberg: m α e 1 (9 ο όπου e το όριο διαρκούς αντοχής του υλικού που βρέθηκε τις δοκιµές πλήρως ανατρεφόµενης τάης, UTS η µέγιτη αντοχή εφελκυµού του υλικού και ο το όριο διαρροής του υλικού (ε µονοτονικό εφελκυµό. Συγκρίνοντας τα παραπάνω µοντέλα µε πειραµατικά αποτελέµατα, έχει παρατηρηθεί ότι το παραβολικό µοντέλο Gerber βρίκεται ε καλύτερη υµφωνία µε πειραµατικά αποτελέµατα από δοκιµές ε όλκιµα µέταλλα. Ωτόο, λόγω της τατιτικής διαποράς των αποτελεµάτων και επειδή πειραµατικά αποτελέµατα ε δοκίµια µε εγκοπές υµφωνούν καλύτερα µε το γραµµικό µοντέλο Goodman, έχει επικρατήει να χρηιµοποιείται το µοντέλο Goodman περιότερο το µηχανολογικό χεδιαµό. 18

17 Παράδειγµα Μία κυλινδρική ράβδος κατακευαµένη από χάλυβα 440 υποβάλλεται ε εναλλαόµενη αξονική φόρτιη µεταξύ ενός εφελκυτικού φορτίου +,6 kn και ενός θλιπτικού φορτίου 111,1 kn. Εάν οι µηχανικές ιδιότητες του χάλυβα 440 είναι UTS 89 MPa, ο 1,5 MPa και e 517 MPa, να υπολογιτεί η διάµετρος της ράβδου, έτι ώτε να έχει άπειρη διάρκεια ζωής ε κόπωη. Απάντηη d Έτω ότι A π είναι η επιφάνεια διατοµής της ράβδου, όπου d η ζητούµενη διάµετρος 4 της ράβδου. Τότε έχουµε ότι: Pmax +,6 Pmin 111,1 max Pa και min Pa A A A A m +,6 A 111,1 A 111,05 A max min Pa α,6 A 111,1 + A,415 A max min Pa Χρηιµοποιώντας το µοντέλο Goodman, Εξ. (8, έχουµε ότι: α e 1 m UTS,415 Α , Α Α 5, 4 m 18

18 Εποµένως, η διάµετρος της ράβδου που εξαφαλίζει άπειρη διάρκεια ζωής ε κόπωη πρέπει να είναι: 4 d 4A 45, m A π d d 0,06 m 6 4 π π mm Σχετικά µε τις Εξ.(7 (9 θα πρέπει να ηµειώουµε το εξής: όταν τις εξιώεις αυτές βάζουµε το όριο διαρκούς αντοχής ( e τότε υπολογίζουµε το εύρος τάης ( α που µας εξαφαλίζει άπειρη διάρκεια ζωής για κάποιο m 0. Εάν µας ενδιαφέρει να υπολογίουµε το α για κάποια πεπεραµένη διάρκεια ζωής N f, τότε τις Εξ. (7 (9 αντί του e πρέπει να βάλουµε την τάη ( εκείνη από την καµπύλη S N, η οποία αντιτοιχεί την επιθυµητή διάρκεια ζωής N f. Ας δούµε το παρακάτω παράδειγµα. Παράδειγµα Για την ράβδο του προηγούµενου παραδείγµατος και για την ίδια δυναµική καταπόνηη, να υπολογιτεί η διάµετρος που εξαφαλίζει διάρκεια ζωής ε κόπωη N f 5 5 κύκλους φόρτιης. Από την καµπύλη S N του χάλυβα 440, που έχει καθοριτεί από δοκιµές κόπωης µε µέη τάη m 0, έχει βρεθεί ότι η τάη την οποία επιτυγχάνεται διάρκεια ζωής 5 5 κύκλων φόρτιης είναι 650 MPa. Απάντηη Και πάλι έχουµε ότι Pmax +,6 Pmin 111,1 max Pa και min Pa A A A A m +,6 A 111,1 A 111,05 A max min Pa α,6 A 111,1 + A,415 A max min Pa 184

19 Τώρα, όµως η εξίωη Goodman πρέπει να διατυπωθεί ως εξής: α ( N f m UTS,415 Α , Α Α 4,44 4 m Εποµένως, η διάµετρος της ράβδου, η οποία για την υγκεκριµένη δυναµική καταπόνηη θα εξαφαλίει διάρκεια ζωής 5 5 κύκλων φόρτιης, ιούται µε: 4 d 4A 44,44 m A π d d 0,08 m, 8 4 π π mm 7. Πολυκυκλική (HCF και Ολιγοκυκλική (LCF Κόπωη Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη παράγραφο, κατά την πολυκυκλική κόπωη (high cycle fatigue HCF το επίπεδο των εναλλαόµενων τάεων που αναπτύονται το υλικό βρίκεται γενικά κάτω από ότι µακροκοπικό όριο διαρροής του υλικού. Η καταπόνηη, δηλαδή, που υφίταται το υλικό είναι ελατικής φύεως. Είδαµε ακόµη ότι η πολυκυκλική κόπωη χαρακτηρίζεται από διάρκεια ζωής ε κόπωη (αριθµός κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη της τάξεως Ν f > 4 κύκλων. Συνήθως οι καµπύλες S N που προκύπτουν από δοκιµές κόπωης των µεταλλικών υλικών αναφέρονται ε υνθήκες πολυκυκλικής κόπωης. Η µαθηµατική χέη που περιγράφει µία καµπύλη S N ε καθετώς πολυκυκλικής κόπωης ονοµάζεται νόµος του Basquin και έχει την παρακάτω µορφή: N ( C f α ( Τα και C την Εξ. ( είναι εµπειρικές ταθερές και οι τιµές τους εξαρτώνται από το υλικό. Αντίθετα, όταν οι αναπτυόµενες το υλικό χρονικά µεταβαλλόµενες τάεις υπερβαίνουν το µακροκοπικό όριο διαρροής, τότε ε κάθε κύκλο φόρτιης το υλικό υφίταται ένα ποοτό πλατικής παραµόρφωης. Στην κατάταη αυτή η διάρκεια ζωής ε 185

20 κόπωη είναι γενικά χαµηλότερη των 4 κύκλων φόρτιης και έτι αυτό το είδος κόπωης ονοµάζεται ολιγοκυκλική κόπωη (low cycle fatigue LCF. Χαρακτηριτικές περιπτώεις αυτού του είδους υναντώνται ε εφαρµογές όπου το υλικό αντιµετωπίζει επαναλαµβανόµενες τάεις θερµικής προέλευης. Στις περιπτώεις αυτές είναι φανερό ότι οι τάεις προέρχονται από τις επαναλαµβανόµενες υτολές και διατολές του υλικού, γεγονός που υποδεικνύει ότι εδώ η κόπωη προκύπτει περιότερο λόγω της επαναλαµβανόµενης πλατικής παραµόρφωης που υφίταται το υλικό, παρά λόγω των επαναλαµβανόµενων τάεων. Προτού προχωρήουµε ε περιότερες λεπτοµέρειες για την ολιγοκυκλική κόπωη, θα πρέπει πρώτα να δούµε την υµπεριφορά των µεταλλικών υλικών όταν αυτά υποβάλλονται ε επαναλαµβανόµενους κύκλους ταθερής παραµόρφωης. Θα εξετάουµε δηλαδή ύντοµα την κυκλική ή δυναµική καµπύλη τάης παραµόρφωης. Το Σχ. 9 δείχνει την κυκλική καµπύλη τάης παραµόρφωης που προκύπτει όταν υποβάλλουµε ένα δοκίµιο του υλικού που εξετάζουµε ε κυκλική φόρτιη, µε τέτοιο τρόπο ώτε να διατηρούµε ταθερή την παραµόρφωη του δοκιµίου ε κάθε κύκλο. ηλαδή, ε µία δοκιµή αυτού του είδους υποβάλλουµε το δοκίµιο ε εναλλαόµενους κύκλους εφελκυµού και θλίψης, φροντίζοντας ώτε ε κάθε κύκλο να προκαλείται η ίδια υνολική (ελατική + πλατική παραµόρφωη το δοκίµιο. Το εύρος της υνολικής παραµόρφωης ε (βλ. Σχ. 9, που διατηρείται ταθερό ε κάθε κύκλο κατά τη δοκιµή, αποτελείται από µία υνιτώα ελατικής παραµόρφωης ( ε e και µία υνιτώα πλατικής παραµόρφωης ( ε : ε ε e + ε ( /Ε + ε ταθερό (11 Επειδή η πλατική παραµόρφωη είναι µη αντιτρεπτή διεργαία και προκαλεί µόνιµες µεταβολές τη µικροδοµή του υλικού, η κυκλική καµπύλη τάης παραµόρφωης µεταβάλλεται από κύκλο ε κύκλο. Για παράδειγµα, η εργοκλήρυνη που υφίτανται τα µεταλλικά υλικά όταν δέχονται πλατικές παραµορφώεις θα οδηγούε ε κυκλική καµπύλη τάης παραµόρφωης αν αυτή του Σχ. γ. 186

21 Σχ. 9 Ας εξετάουµε όµως λίγο προεκτικότερα το Σχ.. Το Σχ. α δείχνει την µεταβολή της υνολικής παραµόρφωης που επιβάλλεται το δοκίµιο ε κάθε κύκλο και όπως βλέπουµε το εύρος της υνολικής (ελατικής + πλατικής παραµόρφωης ε ε max ε min διατηρείται εκεµµένα ταθερό ε κάθε κύκλο. Όον αφορά την διακύµανη της τάης ε κάθε κύκλο, εδώ εµφανίζονται υνήθως δύο είδη υµπεριφοράς. Το ένα είδος αφορά την περίπτωη που το υλικό εργοκληρύνεται, κάτι που δείχνει το Σχ. β. Όπως φαίνεται, όταν το υλικό εµφανίζει αυτή τη υµπεριφορά, τότε το εύρος της τάης αυξάνεται από κύκλο ε κύκλο. Κοιτάζοντας όµως την Εξ. (11 διαπιτώνουµε ότι, αφού το αυξάνεται ε κάθε κύκλο, τότε επίης ε κάθε κύκλο αυξάνεται η ελατική υνιτώα της υνολικής παραµόρφωης και αντίτοιχα µειώνεται η πλατική υνιτώα (αφού ε ταθερό. Ακριβώς αυτή η υµπεριφορά παριτάνεται το Σχ. γ. Το δεύτερο είδος υµπεριφοράς αφορά την περίπτωη όπου το υλικό εµφανίζει µείωη αντοχής κατά την κυκλική καταπόνηη. Η περίπτωη αυτή φαίνεται το Σχ. δ, όπου 187

22 βλέπουµε ότι το εύρος της τάης µειώνεται από κύκλο ε κύκλο. Έτι, ε κάθε κύκλο µειώνεται η ελατική υνιτώα της υνολικής παραµόρφωης και αντίτοιχα αυξάνεται η πλατική υνιτώα (αφού και πάλι η υνολική παραµόρφωη ε ταθερή. Η υµπεριφορά αυτή απεικονίζεται την κυκλική καµπύλη τάης παραµόρφωης του Σχ. ε. (β (γ (α (δ (ε Σχ. Ο υνηθέτερος τρόπος παρουίαης πειραµατικών αποτελεµάτων ε υνθήκες ολιγοκυκλικής κόπωης είναι µε διαγράµµατα αν αυτό του Σχ. 11, όπου τον κατακόρυφο άξονα βάζουµε το εύρος της πλατικής παραµόρφωης ε ε λογαριθµική κλίµακα, ενώ τον οριζόντιο άξονα βάζουµε τον αριθµό κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη Ν f, επίης ε 188

23 λογαριθµική κλίµακα. Σε τέτοιας µορφής διαγράµµατα τα πειραµατικά αποτελέµατα υνήθως χηµατίζουν µία ευθεία γραµµή. Σχ. 11: Αποτελέµατα δοκιµών ολιγοκυκλικής κόπωης ε δοκίµια ανοξείδωτου χάλυβα 47. Για την µαθηµατική περιγραφή της χέης µεταξύ διάρκειας ζωής ε ολιγοκυκλική κόπωη Ν f και εύρους πλατικής παραµόρφωης ε χρηιµοποιείται ο νόµος Coffin Manson: ε b ( f C N (1 Στην Εξ. (1 το C είναι µία ταθερά, η οποία για τα περιότερα µεταλλικά υλικά ιούται µε την παραµόρφωη θραύης (εκφραµένη ε τιµές πραγµατικής παραµόρφωης ε απλό εφελκυµό. Ο εκθέτης b τα περιότερα µεταλλικά υλικά κυµαίνεται παίρνει τιµές µεταξύ του 0,5 και του 0,7. 189

24 Παράδειγµα Για την κυκλική καµπύλη τάης παραµόρφωης του Σχ. 9 ας υποθέουµε ότι Β 75 MPa και ε Β 6,45-4. Εάν το υγκεκριµένο υλικό έχει παραµόρφωη θραύης ε απλό µονοαξονικό εφελκυµό ε f 0,0 και το µέτρο ελατικότητάς του είναι Ε 0 GPa, να υπολογιτούν: α το εύρος της ελατικής και της πλατικής παραµόρφωης, ε e και ε και β η διάρκεια ζωής ε κόπωη. Απάντηη α Στο ηµείο Β της κυκλικής καµπύλης τάης παραµόρφωης του Σχ. 9 η ελατική και η πλατική υνιτώα της υνολικής παραµόρφωης ιούνται αντίτοιχα µε: ε e E 75MPa 4 6,8 0 MPa ε ε ε e 6,45 4 6,8 4 6,08 4 β Υποθέτοντας µία τιµή για το b 0,6 και C ε f 0,0, τότε ύµφωνα µε το νόµο Coffin Manson η διάρκεια ζωής ε κόπωη µε τις υνθήκες αυτές θα είναι ίη µε: ε C 4 b 6,08 0,6 ( N 0,0 ( N N f f f κύκλοι 8. Κόπωη Κατακευών µε Προϋπάρχοντα Ρήγµατα Πολλά τοιχεία µηχανών, δοµικά τοιχεία κατακευών, είτε ακόµη και ολόκληρες υναρµολογηµένες διατάξεις τέτοιων επιµέρους τοιχείων, περιέχουν εξ αρχής ρήγµατα, τα οποία δηµιουργούνται υνήθως ε κάποιο από τα τάδια παραγωγής ή/και κατεργαίας τους. Χαρακτηριτικά τέτοια παραδείγµατα είναι τα ρήγµατα που µπορεί να δηµιουργηθούν κατά την τερεοποίηη ενός χυτού µεταλλικού αντικειµένου, ρήγµατα που µπορεί να δηµιουργηθούν κατά τη θερµική κατεργαία βαφής των χαλύβων, καθώς και ρήγµατα που οριµένες φορές εµφανίζονται τη θερµικά επηρεαµένη ζώνη (ΘΕΖ υγκολλητών κατακευών. Με την έναρξη λειτουργίας της κατακευής αυτά τα προϋπάρχοντα ρήγµατα, κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες κόπωης, έχουν τη δυνατότητα να προωθηθούν ταδιακά 190

25 µέα το υλικό και να προκαλέουν την θραύη του. Για τον εντοπιµό και την εκτίµηη του µεγέθους τέτοιων ρηγµάτων, τόο πριν όο και κατά τη λειτουργία της κατακευής, έχουν αναπτυχθεί µία ειρά από µεθόδους µη κατατροφικού ελέγχου (Non-Destructive Testing NDT, όπως η ραδιογραφία µε ακτίνες Χ, ο έλεγχος µε υπερήχους, ο έλεγχος µε µαγνητικά ωµατίδια, ο έλεγχος µε διειδυτικά υγρά, κ.α. Με δεδοµένη την πολλές φορές αναπόφευκτη ύπαρξη ρηγµάτων τις κατακευές, έχει αναπτυχθεί µία φιλοοφία χεδιαµού, που τοχεύει τον καθοριµό των υνθηκών λειτουργίας µίας κατακευής, έτι ώτε τα δεδοµένα προϋπάρχοντα ρήγµατα να παραµένουν ταθερά κατά τη λειτουργία της και να µην οδηγούν ε ατοχία (θραύη από κόπωη. Με άλλα λόγια, η φιλοοφία αυτή αποδέχεται την ύπαρξη ρηγµάτων και προπαθεί να κατατήει την κατακευή ανεκτική τα ρήγµατα αυτά. Για τον λόγο αυτό η φιλοοφία αυτή αναφέρεται υνήθως τη διεθνή βιβλιογραφία αν damage tolerant (ανεκτικός ε ζηµία ή fail safe (αφαλής από ατοχία design. Η υγκεκριµένη φιλοοφία χεδιαµού βαίζεται την παρατήρηη ότι ο ρυθµός µε τον οποίο προωθείται ένα προϋπάρχον ρήγµα µέα ε ένα υλικό, ε υνθήκες εναλλαόµενης φόρτιης, ακολουθεί ένα νόµο της παρακάτω µορφής: dα C dn m n ( α α (1 Στην Εξ. (1 dα/dn είναι η αύξηη του µεγέθους του ρήγµατος ανά κύκλο φόρτιης (δηλ. ο ρυθµός προώθηης του ρήγµατος, α το εύρος της εναλλαόµενης τάης, α το τιγµιαίο µέγεθος του ρήγµατος και C µία ταθερά. ιάφορες µελέτες ε µεταλλικά υλικά έχουν δείξει ότι ο εκθέτης m παίρνει τιµές µεταξύ και 4, ενώ ο εκθέτης n µεταξύ 1 και. Η πρακτική χρήη του χεδιαµού fail-safe ηµείωε µεγάλη πρόοδο, όταν διαπιτώθηκε ότι ο ρυθµός προώθηης ρήγµατος (dα/dn για διάφορα επίπεδα εναλλαόµενων τάεων µπορεί να εκφρατεί ε ένα και µόνο διάγραµµα, αν υνάρτηη του εύρους του παράγοντα ένταης τάεων, Κ. Το εύρος του παράγοντα ένταης τάεων ορίζεται ως εξής: K K max K min f max πα f min πα f πα (14 191

26 Στην Εξ. (14 το f είναι ο παράγοντας χήµατος του ρήγµατος (βλ. ελ. 156 ηµειώεων, max και min η µέγιτη και ελάχιτη τάη του κύκλου φόρτιης αντίτοιχα και α το τιγµιαίο µέγεθος ρήγµατος. Καθώς ο παράγοντας ένταης τάεων δεν ορίζεται ε περιπτώεις θλιπτικών τάεων, όταν τον κύκλο φόρτιης η min είναι θλιπτική ( min < 0 τότε θεωρείται ότι K min 0. Το διάγραµµα του Σχ. 1 δείχνει µία τυπική καµπύλη dα/dn Κ για ένα όλκιµο µεταλλικό υλικό. Και οι δύο άξονες του διαγράµµατος εκφράζονται ε λογαριθµική (log κλίµακα. Η καµπύλη διακρίνεται ε τρεις καλά καθοριµένες περιοχές. Στην περιοχή Ι τα ρήγµατα παραµένουν ταθερά, δηλαδή δεν υπάρχει παρατηρήιµη αύξηη του µεγέθους τους µε αύξηη του Κ. Η περιοχή Ι εκτείνεται µέχρι µία υγκεκριµένη τιµή Κ th, η οποία ονοµάζεται τάη κατωφλίου (threshold. Η περιοχή ΙΙ εµφανίζει το µεγαλύτερο ενδιαφέρον από πρακτικής απόψεως, καθώς εδώ εµφανίζεται µία γραµµική υχέτιη µεταξύ του log(dα/dn και του log( Κ: dα log log( K + B dn dα dn dα log dn log( K dα ( A A( K dn log( K + B dα dn log( K B (15 Στην Εξ. (15, είναι η κλίη του ευθύγραµµου τµήµατος της καµπύλης (περιοχή ΙΙ, η οποία για τους χάλυβες είναι περίπου ίη µε, ενώ για τα κράµατα αλουµινίου κυµαίνεται µεταξύ και 4. Όον αφορά το Β ( B A B loga, η τιµή του καθορίζεται εκτείνοντας την ευθεία γραµµή µέχρι την τιµή Κ 1 MPam 1/. Η Εξ. (15, που περιγράφει την περιοχή ΙΙ του διαγράµµατος, είναι γνωτή και ως νόµος του Paris. Τέλος, την περιοχή ΙΙΙ τα ρήγµατα γίνονται αταθή και ο ρυθµός προώθηής τους αυξάνεται ραγδαία. Εδώ πλέον η τιµή του Κ max αρχίζει να προεγγίζει τον κρίιµο παράγοντα ένταης τάεων του υλικού Κ c. Η τελική θραύη του υλικού θα υµβεί όταν Κ max K c. Θα πρέπει το ηµείο αυτό να θυµίουµε ότι το K c εξαρτάται ιδιαίτερα από τη γεωµετρία του αντικειµένου που περιέχει τα ρήγµατα και όχι µόνο από το υλικό του. Σαν 19

27 ιδιότητα του υλικού ανεξάρτητη από τη γεωµετρία χρηιµοποιείται υνήθως ο κρίιµος παράγοντας ένταης τάεων ε επίπεδη παραµόρφωη Κ Ic (βλ. ελ. 158 ηµειώεων. Σχ. 1 19

28 Η αύξηη της µέης τάης m του κύκλου φόρτιης, που ιοδυναµεί µε αύξηη του λόγου R min / max K min /Κ max, οδηγεί ε αύξηη του ρυθµού προώθηης των ρηγµάτων και τις περιοχές της καµπύλης (δηλαδή η καµπύλη µετατοπίζεται υνολικά προς τα πάνω. Αυτό υµβαίνει επειδή αύξηη της m ηµαίνει µεγαλύτερες εφελκυτικές τάεις, γεγονός που ευνοεί την ταχύτερη προώθηη των ρηγµάτων. Ειδικότερα όον αφορά την περιοχή ΙΙ, η επίδραη αυτή περιγράφεται από τη χέη: ( ( K K R K A dn d c 1 α (16 Η αναµενόµενη διάρκεια ζωής ε κόπωη µπορεί να υπολογιτεί µε ολοκλήρωη της Εξ. (15: ( ( o c f N f f A N f A d dn N f A d dn f A dn d f A dn d K A dn d c f ( 1 ( 0 ( ( 1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( π α α α π α α π α α π α πα α α α α ο (17 Στην Εξ. (17, α ο είναι το µέγεθος του µεγαλύτερου από τα αρχικά προϋπάρχοντα ρήγµατα, το οποίο καθορίζουµε µε κάποια µέθοδο NDT. Το α c είναι το κρίιµο µέγεθος ρήγµατος που θα προκαλέει θραύη για την δεδοµένη µέγιτη τάη max της κυκλικής φόρτιης: max 1 π α f K c c (18 Στην Εξ. (17 θα πρέπει επίης να ηµειωθεί ότι για να προκύψει λογικό αποτέλεµα θα πρέπει. Τέλος, θα πρέπει να αναφερθεί ότι την ολοκλήρωη της Εξ. (17 έχει θεωρηθεί ότι ο παράγοντας χήµατος f είναι ανεξάρτητος του µεγέθους ρήγµατος α. Αυτό πολλές 194

29 φορές δεν ιχύει την πραγµατικότητα, δηλαδή το f είναι υνάρτηη του µεγέθους του ρήγµατος, f f(α, και κατά υνέπεια δεν µπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωµα. Έτι, τη γενική περίπτωη το ολοκλήρωµα γράφεται ως εξής: N f 1 A α ( ( π ο [ f ( α ] α α c dα (19 9. Άλλοι Παράγοντες που Επηρεάζουν τη Συµπεριφορά ε Κόπωη Όπως ίως έγινε αντιληπτό όταν αναφερθήκαµε την τατιτική φύη της κόπωης, η υµπεριφορά ενός υγκεκριµένου υλικού ε δυναµικές καταπονήεις δεν εξαρτάται απόλυτα µόνο από το ίδιο το υλικό, αλλά και από µία ειρά άλλων παραγόντων. Ακόµη και ήµερα, δεν έχει γίνει εφικτή πλήρως η επίδραη όλων των παραγόντων που επηρεάζουν τη υµπεριφορά των µεταλλικών υλικών ε κόπωη. Οι βαικότεροι από τους παράγοντες αυτούς έχουν να κάνουν µε την ύπαρξη γεωµετρικών αυνεχειών (π.χ. εγκοπών το υλικό, µε το µέγεθος του δοµικού τοιχείου που υφίταται δυναµική καταπόνηη, µε την κατάταη της επιφάνειάς του (π.χ. τραχύτητα, παραµένουες τάεις, κ.α. Κλείνοντας την ενότητα αυτή θα αναφερθούµε επιγραµµατικά την επίδραη οριµένων από τους παράγοντες αυτούς. 9.1 Επίδραη Γεωµετρικών Αυνεχειών Στην ενότητα της θραύης είδαµε ότι η ύπαρξη γεωµετρικών αυνεχειών, όπως οπές, εγκοπές, φηναύλακες, κ.τ.λ., έχουν µεγάλη επίδραη τη µηχανική υµπεριφορά ενός υλικού, για δύο κυρίως λόγους: α κοντά την αυνέχεια υπάρχει µεγάλη υγκέντρωη τάεων, δηλαδή οι τάεις που επικρατούν τοπικά κοντά την αυνέχεια είναι πολύ υψηλότερες από ότι το υπόλοιπο υλικό και β η εντατική κατάταη που επικρατεί γύρω από µία αυνέχεια εµφανίζει τριαξονικότητα, δηλαδή γύρω από την αυνέχεια επικρατεί µία ύνθετη εντατική κατάταη. Στην ίδια ενότητα είχαµε ειαγάγει την έννοια του θεωρητικού υντελετή υγκέντρωης τάεων (βλ. ελ. 140 ηµειώεων: K t max (0 nom 195

30 όπου max η µέγιτη τάη που αναπτύεται επάνω την αυνέχεια (προοχή: δεν έχει να κάνει µε την max της δυναµικής καταπόνηης! και nom η τάη που καταπονεί το υλικό µακριά από την αυνέχεια. Μάλιτα, µε τη βοήθεια της θεωρίας ελατικότητας είδαµε και οριµένες χέεις για τον υπολογιµό του Κ t για αυνέχειες απλής γεωµετρίας (βλ. Σχ., ελ. 144 ηµειώεων. Η επίδραη τέτοιου είδους γεωµετρικών αυνεχειών την υµπεριφορά ενός υλικού ε κόπωη είναι µεγάλη. Για να ποοτικοποιηθεί η επίδραη αυτή κατακευάζονται δοκίµια του υλικού τα οποία δηµιουργείται εκεµµένα µία εγκοπή και τα οποία τη υνέχεια υποβάλλονται ε δοκιµές κόπωης. Τα αποτελέµατα υγκρίνονται µε αντίτοιχα αποτελέµατα του ίδιου υλικού, αλλά από δοκιµές ε δοκίµια χωρίς εγκοπή. Η ύγκριη τέτοιων πειραµατικών αποτελεµάτων έχει δείξει ότι η ύπαρξη της εγκοπής µειώνει δραµατικά το όριο διαρκούς αντοχής του υλικού e, αλλά και την διάρκεια ζωής ε κόπωη για ένα δεδοµένο επίπεδο δυναµικής καταπόνηης. Αυτό φαίνεται χαρακτηριτικά το διάγραµµα Wöhler του Σχ. 1, που δείχνει τις καµπύλες S N για ένα υγκεκριµένο υλικό µε και χωρίς εγκοπή. Για την ποοτικοποίηη της επίδραης της εγκοπής το όριο διαρκούς αντοχής του υλικού έχει προταθεί από τον Neuber η παρακάτω χέη: K f Kt (1 ρ 1+ r Το K f ονοµάζεται υντελετής κόπωης µε εγκοπή (fatigue-notch factor και εκφράζει απλά τον λόγο του ορίου διαρκούς αντοχής (ή της υµβατικής αντοχής ε κόπωη ενός υλικού χωρίς εγκοπή δια το όριο διαρκούς αντοχής (ή της υµβατικής αντοχής ε κόπωη του ίδιου υλικού µε εγκοπή: K f ( e un ( e notched notched ( Στην Εξ. (1, r είναι η ακτίνα καµπυλότητας της ρίζας (αιχµής της εγκοπής, ενώ το ρ είναι ένας υντελετής που εξαρτάται από το υλικό, αλλά και από τη µέγιτη αντοχή εφελκυµού του υλικού. Μερικές χαρακτηριτικές τιµές του ρ δίδονται τον Πίνακα

31 χωρίς εγκοπή µε εγκοπή Σχ. 1 Πίνακας 1 Υλικό UTS [MPa] ρ [mm] Χάλυβες Κράµατα αλουµινίου 55 0, ,07 1 0,01 150, , ,40 9. Επίδραη Μεγέθους Ένα ηµαντικό πρακτικό πρόβληµα την αντιµετώπιη της κόπωης είναι η πρόβλεψη της υµπεριφοράς ε κόπωη ενός ογκώδους εξαρτήµατος, έχοντας αν δεδοµένο τα αποτελέµατα δοκιµών κόπωης του υλικού του εξαρτήµατος, τα οποία όµως προέρχονται 197

32 από δοκιµές κόπωης ε δοκίµια µικρού µεγέθους. Η εµπειρία έχει δείξει ότι το µέγεθος ενός εξαρτήµατος έχει αρνητική επίδραη την αντοχή ε κόπωη, δηλαδή η αντοχή ε κόπωη ογκωδών εξαρτηµάτων είναι µικρότερη από εκείνη µικρού µεγέθους εξαρτηµάτων του ιδίου υλικού. Η εξέταη της επίδραης του µεγέθους είναι καθαρά εµπειρική και δεν έχει ακόµη αναπτυχθεί µία θεωρία που να καλύπτει όλα τα µεταλλικά υλικά. Αντίθετα, έχουν αναπτυχθεί διάφορες εµπειρικές µέθοδοι εκτίµηης της επίδραης αυτής. Για παράδειγµα, όον αφορά το όριο διαρκούς αντοχής χαλύβων που υφίτανται εναλλαόµενη φόρτιη ε κάµψη, έχει βρεθεί ότι το όριο διαρκούς αντοχής µειώνεται ύµφωνα µε ένα υντελετή C s, η τιµή του οποίου εξαρτάται από τη διάµετρο δοκιµίου. Χαρακτηριτικές τιµές του υντελετή αυτού, που ιχύουν µόνο για χάλυβες υποκείµενους ε εναλλαόµενη κάµψη, δίδονται τον Πίνακα. Πίνακας ιάµετρος δοκιµίου [mm] D,16 1,0,16 D 50,8 0,9 50,8 D 8,6 0, C s Η επεξεργαία ενός µεγάλου αριθµού πειραµατικών αποτελεµάτων ε χάλυβες έδειξε ότι υπάρχει µία χέη ανάµεα το όριο διαρκούς αντοχής και τον όγκο του αντικειµένου: 0,04 o V e e o ( V όπου e το όριο διαρκούς αντοχής του αντικειµένου µε όγκο V, ενώ o e το γνωτό όριο διαρκούς αντοχής αντικειµένου µε όγκο αναφοράς V o. Ωτόο, θα πρέπει να τονιτεί ότι χέεις αυτού του είδους είναι εµπειρικές και πρέπει να χρηιµοποιούνται µόνο κατά περίπτωη και µε πολύ µεγάλη προοχή. 198

33 9. Κατάταη της Επιφάνειας Στην πράξη έχει αποδειχθεί ότι όλες οι ατοχίες λόγω κόπωης ξεκινούν από την εξωτερική επιφάνεια του υλικού. Αυτό οφείλεται το ότι ακόµη και µικρές ανωµαλίες της επιφάνειας, όπως για παράδειγµα η τραχύτητα, µπορούν να λειτουργήουν αν ηµεία πυρήνωης ρηγµάτων, τα οποία τη υνέχεια αναπτύονται και προκαλούν την τελική θραύη του υλικού. Η επίδραη της επιφανειακής τραχύτητας είναι καταλυτική για την διάρκεια ζωής ε κόπωη ενός µεταλλικού υλικού. Αυτό φαίνεται πολύ χαρακτηριτικά τον Πίνακα, ο οποίος δείχνει την διάρκεια ζωής ε κόπωη αν υνάρτηη της επιφανειακής τραχύτητας δοκιµίων από χάλυβα SAE 10, τα οποία υπεβλήθηαν ε πλήρως ανατρεφόµενη δυναµική καταπόνηη µε max 655 MPa. Οι διαφορετικές τραχύτητες τα δοκίµια επετεύχθηαν χρηιµοποιώντας διάφορες µεθόδους φινιρίµατος της εξωτερικής επιφάνειας των δοκιµίων. Όπως φαίνεται τον Πίνακα, η επίδραη της τραχύτητας τη διάρκεια ζωής είναι µεγάλη, αφού όο µεγαλύτερη η τραχύτητα (δηλ. όο πιο ανώµαλη η επιφάνεια τόο µικρότερη η διάρκεια ζωής ε κόπωη. Πίνακας Μέθοδος φινιρίµατος Τραχύτητα επιφανείας [µm] Αριθµός κύκλων φόρτιης µέχρι τη θραύη Τορνίριµα, Μερική τίλβωη µε το χέρι 0, Πλήρης τίλβωη µε το χέρι 0, Λείανη 0, Λείανη και τίλβωη 0,

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Συμπεριφορά των υλικών σε δυναμικές φορτίσεις-κόπωση

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Συμπεριφορά των υλικών σε δυναμικές φορτίσεις-κόπωση Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Συμπεριφορά των υλικών σε δυναμικές φορτίσεις-κόπωση Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κόπωσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 5 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κόπωσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 5 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κόπωσης ΕργαστηριακήΆσκηση 5 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι να κατανοηθούν οι αρχές του πειράµατος κόπωσης ο προσδιορισµός της καµπύλης Wöhler ενός υλικού µέσω της οποίας καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

To φαινόµενο της κό ωσης. N.. Αλεξόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

To φαινόµενο της κό ωσης. N.. Αλεξόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ To φαινόµενο της κό ωης N.. Αλεξόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ 1 οµή Παρουίαης Η κόπωη ε µηχανολογικές εφαρµογές Μηχανιµός κόπωης Στάδιο 1: ηµιουργία των µικρο-ρωγµών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Τεχνικής Μηχανικής Διαγράμματα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) Υπολογισμός Αντιδράσεων Διαγράμματα Φορτίσεων Διατομών (MNQ) Αντοχή Φορέα? Αντικείμενο Τεχνικής Μηχανικής Σχήμα 2 F Y A Γ B A Y B Y 1000N

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Νόµος των Wiedemann-Franz

Νόµος των Wiedemann-Franz Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω

Διαβάστε περισσότερα

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

(a) Λεία δοκίµια, (b) δοκίµια µε εγκοπή, (c) δοκίµια µε ρωγµή

(a) Λεία δοκίµια, (b) δοκίµια µε εγκοπή, (c) δοκίµια µε ρωγµή ΜηχανικέςΜετρήσεις Βασισµένοστο Norman E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials: Engineering Methods for Deformation, Fracture, and Fatigue, Third Edition, 2007 Pearson Education (a) οκιµήεφελκυσµού,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα θλίψης με λυγισμό

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα θλίψης με λυγισμό Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα θλίψης με λυγισμό Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Περιεχόμενα Σχήμα 1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ηκατανόησητωνδιαδικασιώνκατάτηκαταπόνησηστρέψης, η κατανόηση του διαγράµµατος διατµητικής τάσης παραµόρφωσης η ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Τα υπόγεια τεχνικά έργα έχουν γενικά μεγάλη διάρκεια ζωής. Τέτοια είναι οι ήραγγες, οι άλαμοι, οι αποήκες καυίμων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Εφελκυσμού. ΕργαστηριακήΆσκηση2 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Εφελκυσμού. ΕργαστηριακήΆσκηση2 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Εφελκυσμού ΕργαστηριακήΆσκηση2 η Κατηγορίες υλικών Μέταλλα Σιδηρούχαµέταλλα (ατσάλι, ανθρακούχοι, κραµατούχοι και ανοξείγωτοιχάλυβες, κ.α. Πολυµερικά υλικά Πλαστικά Ελαστοµερή Μη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα:

Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Λυγισμός Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΛΛΑ. 1. Γενικά 2. Ιδιότητες μετάλλων 3. Έλεγχος μηχανικών ιδιοτήτων

ΜΕΤΑΛΛΑ. 1. Γενικά 2. Ιδιότητες μετάλλων 3. Έλεγχος μηχανικών ιδιοτήτων ΜΕΤΑΛΛΑ 1. Γενικά 2. Ιδιότητες μετάλλων 3. Έλεγχος μηχανικών ιδιοτήτων 1. ΓΕΝΙΚΑ Τα μέταλλα παράγονται, κυρίως, από τις διάφορες ενώσεις τους, οι οποίες βρίσκονται στη φύση με τη μορφή μεταλλευμάτων. Τα

Διαβάστε περισσότερα