Το θεώρηµα του Green

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το θεώρηµα του Green"

Transcript

1 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη Jordn Είναι ένα βαθύ τοπολογικό θεώρηµα που ανήκει τον Jordn ότι: Κάθε απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου απουνδέει το επίπεδο, δηλαδή το R είναι ένωη δύο ξένων ανοικτών και υνεκτικών υνόλων Α και Β ύνολο [ ] ώτε το ένα είναι φραγµένο και το άλλο µη φραγµένο Το φραγµένο ύνολο ονοµάζεται και εωτερικό και το µη φραγµένο εξωτερικό της καµπύλης Ένα ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο του R ονοµάζεται και χωρίο Jordn αν είναι το εωτερικό µιας καµπύλης Jordn του επιπέδου Είναι βέβαια αφές ότι ένα χωρίο Jordn είναι απλά υνεκτικό ( δηλαδή δεν έχει τρύπες) Υπενθυµίζουµε ότι όλες οι καµπύλες που θεωρούµε ( ειδικότερα ε χέη µε επικαµπύλια ολοκληρώµατα ) είναι κατά τµήµατα υνεχώς διαφορίιµες Ένα ανοικτό και φραγµένο υπούνολο R θα λέµε ότι έχει κατά τµήµατα οµαλό ύνορο, αν το ύνορο του αποτελείται από ένα πεπεραµένο πλήθος απλές κλειτές καµπύλες οι οποίες είναι ξένες ανά δύο Στην περίπτωη που το είναι επί πλέον υνεκτικό το ύνορο του αποτελείται από µια εξωτερική καµπύλη c και κάποιες εωτερικές καµπύλες c, c,, c N ( = c c cn ) Όταν ολοκληρώνουµε µια υνάρτηη πάνω το ύνορο του οι εωτερικές καµπύλες c, c,, c N προανατολίζονται αρνητικά και η εξωτερική καµπύλη c προανατολίζεται θετικά (αντιωρολογιακά), δηλαδή ούτως ώτε να αφήνουν το ύνολο τα αριτερά των Η ύµβαη αυτή δηλώνεται υµβολικά γράφοντας = c c c cn υπονοώντας µε τον τρόπο αυτό τον τρόπο που γίνεται η ολοκλήρωη επί του Παρατήρηη Με διαφορετική ορολογία ένα φραγµένο ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο του επιπέδου µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο είναι ένα ανοικτό και υνεκτικό πολλαπλά υνεκτικό υπούνολο του R του οποίου το ύνορο αποτελείται από ένα πεπεραµένο ύνολο καµπύλων Jordn ηλαδή ένα ανοικτό υνεκτικό υπούνολο του R που φράεται από ένα πεπεραµένο ύνολο καµπύλων Jordn ιαιθητικά ένας τόπος του R ( ανοικτό και υνεκτικό ύνολο) είναι πολλαπλά υνεκτικός αν έχει ένα πεπεραµένο αριθµό από τρύπες Έτι διακρίνουµε τους πολλαπλά υνεκτικούς τόπους ε τόπους υνεκτικότητας n, n, αν έχουν n αριθµό από τρύπες Τόπος υνεκτικότητας 4 Τόπος υνεκτικότητας 5 Τόπος υνεκτικότητας

2 59 Παραδείγµατα = Β= εξωτερικό της δηλ απλά υνεκτικός [ ] R :, καµπύλη Jordn Ένα ανοικτό υνεκτικό και φραγµένο ύνολο µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο Με τις παραπάνω υµβάεις το θεώρηµα του Green διατυπώνεται ως ακολούθως 5 Θεώρηµα ( του Green ) Έτω R ένα ανοικτό υνεκτικό και φραγµένο ύνολο του οποίου το ύνορο είναι κατά τµήµατα οµαλό Αν p και q είναι πραγµατικές υναρτήεις οι οποίες είναι οριµένες και C ε µια περιοχή του, τότε ιχύει ο τύπος: q p ( pdx+ qd = dxdy Όπου, αν = c c cn, τότε το αριτερό µέλος της παραπάνω ιότητας ιούται µε ( pdx+ qd = ( pdx+ qd ( pdx+ qd c k= c k εν θα δώουµε πλήρη απόδειξη του θεωρήµατος του Green Θα αποδείξουµε όµως τον αναλυτικό πυρήνα αυτού του ηµαντικού αποτελέµατος ο οποίος εντοπίζεται την περίπτωη που το είναι ένα ανοικτό τοιχειώδες χωρίο Ένα N

3 6 ανοικτό τοιχειώδες χωρίο είναι βέβαια απλά υνεκτικός τόπος που φράεται από µια καµπύλη Jordn 5 Λήµµα Έτω R ένα ανοικτό χωρίο τύπου και Υποθέτουµε ότι η υνάρτηη p είναι C ε µια περιοχή του Τότε p pdx= dxdy y ( όπου pdx= pdx+ qdy µε q= ) Απόδειξη: το ύνορό του Υποθέτουµε ότι το περιγράφεται από τις χέεις x ϕ x y ϕ x, όπου,, :[, ] R είναι ( x) ϕ ( x) για κάθε x (, ) ϕ ϕ ϕ C υναρτήεις µε Το ύνορο του είναι µια θετικά προανατολιµένη καµπύλη η οποία ύµφωνα µε το χήµα γράφεται ως = ( το πρόηµο 4 δηλώνει την αντίθετη καµπύλη ), όπου,,, 4 είναι οι καµπύλες: t ( t) = t, ϕ( t), t [, ], ( t) = (, t), t ϕ, ϕ, t t, ϕ t [, ], ( t) = ( t), t ϕ, ϕ 4, =, Από το θεώρηµα του Fuini µπορούµε να υπολογίουµε το διπλό ολοκλήρωµα ως ένα διαδοχικό ολοκλήρωµα και µετά να χρηιµοποιήουµε το θεµελιώδες θεώρηµα του Απειροτικού Λογιµού: p () dxdy (, ) x ϕ( x ) p = x y dy dx ϕ = (, ϕ) (, ϕ) Από την άλλη µεριά θα έχουµε: 4 p x x p x x dx pdx= pdx+ pdx pdx pdx 4 Αφού το x είναι ταθερό πάνω τα ίχνη των καµπύλων και 4 θα έχουµε pdx= pdx= ϕ pdx= ( p, t,) (,) dt =, οµοίως Πράγµατι, ϕ pdx= ( Η φυική ερµηνεία του µηδενιµού αυτών των ολοκληρωµάτων είναι ότι αν πχ η p( x y ) 4 (,,) θεωρηθεί ως δύναµη που µετακινεί το ηµείο εφαρµογής της κατά µήκος του κατακόρυφου ευθύγραµµου τµήµατος (, ϕ ),(, ϕ ) τότε δεν παράγει έργο αφού είναι κάθετη ε αυτό) ' pdx= ( p( t, t ),) (, ϕ( t) ) dt = (, ϕ) Επίης θα έχουµε: ϕ p t t dt =

4 6 (, ϕ) p x x dx ' ( (, ϕ),), ϕ pdx= p t t ( t ) dt = (, ϕ) p t t dt = p x, ϕ( x) dx Εποµένως, () (, ϕ) (, ϕ) ( ) pdx= p x x dx p x x dx = p x, ϕ( x) p x, ϕ x dx Έπεται από τις () και () ότι p pdx= dxdy y Σηµειώνουµε ότι µπορεί να αποδειχθεί και το ανάλογο του παραπάνω Λήµµατος µε τους ρόλους των x και y αντετραµµένους 5 Λήµµα Έτω ένα ανοικτό χωρίο τύπου µε ύνορο το Αν η q υνάρτηη q είναι C ε µια περιοχή του, τότε qdy = dxdy x Η απόδειξη αυτού του Λήµµατος είναι όµοια µε την προηγούµενη και έτι παραλείπεται Σηµειώνουµε µόνο ότι το αρνητικό πρόηµο απουιάζει την περίπτωη αυτή, εφόον η αντιτροφή των ρόλων των x και y ηµαίνει και αλλαγή του προανατολιµού του επιπέδου Ένα παράδειγµα χωρίου τύπου και η διάπαη του θετικά προανατολιµένου υνόρου του ε προανατολιµένες επί µέρους καµπύλες = {(, ) : < < και ψ < < ψ } ( t) = ( ψ ( t) t), t [ c, d], ( t) = ( t, c), t ψ ( c), ψ ( c) ( t) = ψ ( t) t, t [ c, d], ( t) = ( t d), t ψ ( d), ψ ( d) x y c y d y x y,, = + + 4, 4 Από τα προηγούµενα λήµµατα λαµβάνοµε αµέως την ακόλουθη ειδική αλλά ηµαντική περίπτωη του θεωρήµατος του Green

5 6 54 Πρόταη ( Green) Έτω ένα ανοικτό χωρίο τύπου και το ύνορό του Υποθέτουµε ότι οι πραγµατικές υναρτήεις p και q είναι C ε µια περιοχή του Τότε q p pdx+ qdy= dxdy Παρατηρήεις ) Ο παραπάνω τύπος αποδεικνύεται µε λίγο περιότερη δουλειά και για τοιχειώδη χωρία που είναι είτε του τύπου ή του τύπου Περαιτέρω αποδεικνύεται µε µη τετριµµένα γεωµετρικά επιχειρήµατα ότι ένα ανοικτό υνεκτικό και φραγµένο ύνολο µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο ( που είναι για εµάς η γενική περίπτωη του θεωρήµατος του Green ) διαπάται ε ένα πεπεραµένο πλήθος από τοιχειώδη χωρία,, m, που το καθένα είναι είτε τύπου είτε τύπου κατά τέτοιο τρόπο ώτε, ( m = k= k και m = k= k ) Το θεώρηµα του Green εφαρµόζεται το καθένα από τα k, k m και ο τύπος του Green έπεται την γενική περίπτωη προθέτοντας τα αποτελέµατα Σύµφωνα µε την παρατήρηη παρακάτω η διάπαη του αρκεί να γίνει την περίπτωη που το είναι χωρίο Jordn Οι παραπάνω δύο εξιώεις αποδεικνύονται εύκολα ( την περίπτωη της διάπαης του ε τοιχειώδη χωρία,, m ) Αρκεί να παρατηρήουµε αν τα k και λ µε k < λ m έχουν ένα κοινό τµήµα το ύνορό τους ( τα εωτερικά τους είναι βέβαια ξένα ) τότε το τµήµα αυτό εµφανίζεται µε διαφορετικό προανατολιµό και απλοποιείται το άθροιµα m ( πρβλ και την παρατήρηη ()) k= k ) Το θεώρηµα του Green είναι πολύ ηµαντικό εφόον υνδέει ένα επικαµπύλιο ολοκλήρωµα (β είδους ) πάνω το ύνορο ενός χωρίου του επιπέδου µε ένα διπλό ολοκλήρωµα το εωτερικό του χωρίου Σε πολλές περιπτώεις είναι ευκολότερο να υπολογίουµε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα απ ότι το διπλό ολοκλήρωµα Το θεώρηµα του Green θεωρείται και αυτό όπως και το θεώρηµα 5 της ελίδας 7 ένα ανάλογο του θεµελιώδους θεωρήµατος του Απειροτικού Λογιµού Πράγµατι αν Ι R διάτηµα,, R µε < και F : Ι R C υνάρτηη τότε όπως γνωρίζουµε F '( t) dt = F F Εδώ το ύνορο του = [, ] είναι το διύνολο {, } Θα πρέπει να τονίουµε ότι αν και αποδείξαµε το θεώρηµα του Green την ειδική περίπτωη ενός τοιχειώδους χωρίου ( τύπου ), τα χωρία τα οποία εµφανίζονται την πράξη είναι τις περιότερες περιπτώεις εύκολο να χωριθούν ε τοιχειώδη χωρία ούτως ώτε να εφαρµόζεται η παρατήρηη () ) Ιδιαίτερα το θεώρηµα του Green ιχύει για ένα ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο R που φράεται από µια καµπύλη Jordn c, δηλαδή είναι χωρίο Jordn και άρα απλά υνεκτικός τόπος

6 6 Αξίζει να ηµειωθεί ότι η γενικότερη περίπτωη που το είναι πολλαπλά υνεκτικός τόπος ( που φράεται από πεπεραµένο πλήθος καµπύλων Jordn ) ανάγεται την περίπτωη του απλά υνεκτικού τόπου ( που φράεται από µια καµπύλη Jordn ) Έτι αν ο είναι τόπος υνεκτικότητας n ( µε n ) τότε µπορούµε µε n «κοψίµατα» ( crosscuts ) να το µετατρέψουµε ε απλά υνεκτικό τόπο Τα κοψίµατα αυτά µπορούν να επιλεγούν να είναι C απλές καµπύλες Το χήµα εξηγεί γεωµετρικά πως µπορεί να γίνει αυτό Ένας τόπος υνεκτικότητας Επειδή το πρόηµο του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος δευτέρου είδους αλλάζει όταν η κατεύθυνη της ολοκλήρωης αλλάζει, έπεται ότι τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα πάνω τις καµπύλες που «κόβουν» το αλληλοαναιρούνται Έτι τα µόνα ολοκληρώµατα που «επιβιώνουν» είναι αυτά πάνω το ύνορο του, που το χήµα µας είναι το = c c c Είναι αφές ότι αν εξαιρέουµε από το τα ίχνη των καµπύλων γ, δ, που «κόβουν» το, τότε το [ γ] [ δ] είναι απλά υνεκτικός τόπος (Με n κοψίµατα αναγόµατε την περίπτωη όπου το χωρίζεται ε δυο απλά υνεκτικούς τόπους που φράονται από καµπύλες Jordn) Σηµειώνουµε ότι οι παρατηρήεις αυτές µπορεί να οδηγήουν ε µια απόδειξη του θεωρήµατος του Green (θεώρηµα 5), βαιµένη την πρόταη 54, προεγγίζοντας τον απλά υνεκτικό τόπο ( που φράεται από µια καµπύλη Jordn ) µε απλά υνεκτικούς τόπους που φράονται από απλές κλειτές πολυγωνικές γραµµές ( πρβλ την άκηη ) 4) Ένα φραγµένο ανοικτό υνεκτικό υπούνολο του R µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο δεν διαπάται αναγκαία ε ένα πεπεραµένο πλήθος από τοιχειώδη χωρία τύπου Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το ακόλουθο = { : x και y ϕ( x) }, όπου ϕ ( x) = x sin, x, ϕ = x Η ϕ είναι βέβαια υνεχώς διαφορίιµη το R Το είναι τύπου, αλλά δεν µπορεί να διαµεριθεί ε ένα πεπεραµένο πλήθος χωρίων τύπου ( υνεπώς ούτε και

7 64 τύπου ) Η παρατήρηη αυτή αφήνεται ως άκηη Παραδείγµατα φραγµένων υνόλων µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο )Το εωτερικό ενός τριγώνου το xy επίπεδο είναι ένα τοιχειώδες ύνολο τύπου )Ένα απλό πολύγωνο του επιπέδου χωρίζεται ε τρίγωνα τα οποία είναι τοιχειώδη ύνολα τύπου Οι προανατολιµοί είναι ηµειωµένοι τα χήµατα ( Πρβλ την άκηη ) Το καθένα από τα χωρία,,, 4 που χωρίζεται ο δακτύλιος είναι τύπου )Το χωρίο είναι εδώ ένας ( ανοικτός ) δακτύλιος το ύνορο του οποίου αποτελείται από τους κύκλους C και C, = C C Ο χωριµός του ε τοιχειώδη χωρία γίνεται µε δύο κάθετες ευθείες που διέρχονται από το κέντρο Το θεώρηµα Green εφαρµόζεται το καθένα από τα,,, 4 και προθέτουµε τα αποτελέµατα 55 Πρόταη Έτω c µια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου µε εωτερικό το

8 65 ( απλά υνεκτικό ) ύνολο Τότε το εµβαδόν του ( που έχει ύνορο την c ) δίδεται από τον τύπο Α= xdy ydx ( δηλαδή Α= F ds, όπου F ( y, x), R = ) Απόδειξη Θέτοµε F ( y, x) p, q = = δηλαδή θέτοµε p p = y και q = x ( Το F δεν είναι υντηρητικό πεδίο αφού = και q = ) Το θεώρηµα του Green εφαρµόζεται γιατί το είναι ένα φραγµένο ανοικτό απλά υνεκτικό ύνολο µε ύνορο το οποίο υποτίθεται ότι είναι µια κατά τµήµατα C καµπύλη Έτι έχουµε, y xdy ydx= dxdy = ( ) + dxdy= dxdy=α Παρατήρηη Εύκολα διαπιτώνουµε ότι Α= zdz, όπου µε f ( z) dz υµβολίζουµε το µιγαδικό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της f :[ ] i γ γ C κατά µήκος της γ ( Το µιγαδικό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα χρηιµοποιείται την Μιγαδική Ανάλυη) Παράδειγµα () Υπολογίτε το εµβαδόν του χωρίου που φράεται από την υποκυκλοειδή καµπύλη x cos θ =, y sin θ x + y =, >, χρηιµοποιώντας την παραµέτρηη =, θ [,π] Λύη Η καµπύλη µας είναι η ( θ) ( cos θ, sin θ), θ [, π] = και είναι απλή και κλειτή όπως εύκολα διαπιτώνεται αναλυτικά αλλά και από το χήµα Από την προηγούµενη πρόταη έχουµε: π Α= xdy ydx = cos θ( sin θ cosθ) sin θ( cos θ sinθ) dθ = π 4 4 ( sin cos cos sin ) θ θ + θ θ d θ = π sin cos θ θ d θ = sin 8 θ d θ = 6 6 = π = π π cos 4θ dθ 8 π π = dθ cos 4θ dθ π γ

9 66 Παράδειγµα Αποδείξτε ότι η έλλειψη και > ) x y + = έχει εµβαδόν π ( > Λύη Η έλλειψη παραµετρικοποιείται ως, ( θ) ( cos θ, sin θ), θ [, π] δηλαδή x( θ) = cosθ και y( θ) sin π π =, = θ Εποµένως Α= ( ydx+ xd = sinθ( sinθ) + cosθ( cosθ) dθ = ( sin θ + cos ) π θ dθ = dθ = π Σηµειώνουµε ότι η θ = cos θ, sin θ, θ, π είναι C απλή [ ] κλειτή καµπύλη Παράδειγµα Υπολογίτε το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάµεων (, ),( sin ) F x y = x+ xy x y y y κατά µήκος της κλειτής απλής καµπύλης c του χήµατος Λύη Το διανυµατικό πεδίο ( δυνάµεων ) F ( p, q) = είναι βέβαια C το Αν το υµβολίζει το χωρίο ( Jordn ) που περιβάλλει η θετικά προανατολιµένη καµπύλη Jordn c τότε από το θεώρηµα του Green θα έχουµε ότι το έργο που µας ζητείται ιούται µε: W = F ds= pdx+ qdy = q p dxdy = c c ( x y y sin ( x+ xy ) dxdy = ( 4xy x dxdy = y= x R y= xydy dx xy dx = x 5 6 = x x dx= x x = µπορεί να περιγραφεί ως τύπου ως εξής: 6 Σηµειώνουµε ότι το χωρίο είναι τύπου και = x, y : < x< και x < y< { }

10 67 Έχουµε αποδείξει για το διανυµατικό πεδίο y x F =,, (,), ότι x + y x + y F ds= π, όπου t = cos t,sin t, t, π, ο µοναδιαίος κύκλος µε την υνήθη παραµέτρηη [ ] που τον καθιτά καµπύλη Jordn Το επόµενο παράδειγµα γενικεύει αυτό το αποτέλεµα ( Σύγκρινε αυτό το παράδειγµα και µε την παρατήρηη της ελίδας 56) :, Παράδειγµα 4 Έτω [ ] y x x + y x + y ιχύει F ds= π R καµπύλη Jordn το εωτερικό της οποίας περιέχεται το (, ) Αν F =,, (,) Λύη Έτω r C ένας κύκλος κέντρου µικρή ακτίνα r >, ώτε Cr τότε, και αρκετά, όπου το εωτερικό της καµπύλης Θεωρούµε το χωρίο G του επιπέδου το οποίο περιβάλλεται ( έχει ως ύνορο G C και = [ ] r ) από τις καµπύλες [ ] C r Ο κύκλος C r θεωρείται µε την υνήθη γ t = r cos t,sin t, t, π παραµέτρηη [ ] Επειδή το πεδίο F είναι όπως έχουµε αποδείξει ατρόβιλο ιχύει ότι: q p x y y x y x = = = ( όπου, x x + y y x + y x + y x + y y x p = και q = ) x + y x + y Έπεται από το θεώρηµα του Green για τον τόπο G ότι: F ds = pdx+ qdy = q p dxdy = dxdy = ή F ds+ F ds= ή G G G G γ F ds F ds= ή F ds= F ds= π γ γ n Σηµείωη Ένα υπούνολο του R λέγεται ατρόµορφο αν υπάρχει ώτε, z, z το ευθύγραµµο τµήµα [ ] (ι) Κάθε ατρόµορφο ύνολο είναι υνεκτικό ( πρβλ την απόδειξη της πρόταης 4 (ιι) ) (ιι) Κάθε κυρτό ύνολο είναι ατρόµορφο ( προφανές) (ιιι) Κάθε ανοικτό και ατρόµορφο υπούνολο του R είναι απλά υνεκτικό ( ιαιθητικά προφανές) (ιν) Παραδείγµατα ανοικτών και ατρόµορφων ( άρα απλά υνεκτικών ) υπουνόλων του R που δεν είναι κυρτά είναι και τα ακόλουθα: z, κλειτή ηµιευθεία του = R z, έχει την (α) Έτω L= [ ) ιδιότητα R τότε το [ )

11 68 (β) Έτω (, r) Β ανοικτός δίκος του R Αν z (, r) Β και L είναι κλειτή ηµιευθεία του επιπεδου µε αρχή το z, τότε το =B(α,r)-L εχει επιης την ιδιοτητα

12 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι) (ι) του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα ) Αν R είναι απλά υνεκτικός τόπος και F : R R C διανυµατικό p q πεδίο, F = ( p, q) ώτε = το τότε το Fείναι υντηρητικό ( υπάρχει f : R C υνάρτηη ώτε F = f ) Απόδειξη Ας ταθεροποιήουµε ένα τυχόν ηµείο (, ) Για κάθε Γ µε αρχικό ηµείο το (, ) θεωρούµε µια πολυγωνική γραµµή και τελικό το y ) ( το είναι υνεκτικό και ανοικτό ύνολο, πρβλθεώρηµα 5) Ορίζουµε τώρα την υνάρτηη f : R ως ακολούθως: (, ) f x y = F ds= pdx+ qdy Γ Γ Ιχυριζόµατε ότι η f είναι καλά οριµένη, δηλαδή αν Γ είναι µια άλλη πολυγωνική γραµµή µε Γ που ξεκινά από το (, ) και καταλήγει το y ) τότε () pdx+ qdy= pdx+ qdy Γ ( x, Γ ( x, y ) Για να δείξουµε την () είναι αρκετό να δείξουµε την () pdx+ qdy= pdx+ qdy pdx+ qdy = Γ x, y Γ x, y Γ( x, Γ ( x, y ) Οι πολυγωνικές γραµµές Γ και Γ ξεκινούν από το ηµείο (, ) και έτω (, ) το πρώτο ηµείο που υναντώνται µετά το (, ) γραµµή c που ξεκινά από το (, ) πηγαίνει το (, ) επιτρέφει το (, ) µέω της Τότε η πολυγωνική µέω της Γ και Γ είναι µια απλή κλειτή καµπύλη του απλά υνεκτικού τόπου και εποµένως είναι το ύνορο ενός ανοικτού απλά υνεκτικού

13 7 υνόλου G Από το θεώρηµα του Green q p pdx+ qdy= dxdy= G= c G Εποµένως c pdx+ qdy= και την υπόθεή µας έπεται ότι Οφείλουµε να παρατηρήουµε ότι, ενδέχεται οι δύο πολυγωνικές Γ και Γ να ταυτίζονται ε ένα αρχικό κοµµάτι τους Στην περίπτωη αυτή αν (, ) είναι το πρώτο ηµείο το οποίο ξεχωρίζουν, τότε η πολυγωνική γραµµή που ξεκινά από το (, ) πηγαίνει το (, ) µέω της Γ και επιτρέφει το (, ) µέω της Γ - είναι βέβαια κλειτή, και λόγω αντιθέτων προήµων των επικαµπυλίων ολοκληρωµάτων ( αφού ολοκληρώνουµε ε αντίθετες καµπύλες ) ικανοποιεί προφανώς την χέη pdx+ qdy= c Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, δηλαδή δουλεύοντας τώρα µε το (, ) την θέη του (, ), µετά από πεπεραµένα βήµατα ( αφού αν Γ είναι κλειτή πολυγωνική γραµµή του επιπέδου, το ανοικτό ύνολο R Γ του R έχει πεπεραµένο πλήθος υνεκτικών υνιτωών ) καταλήγουµε το ότι Γ Γ, ( x, y ) = c + c + + c x y N όπου οι ck, k =,,, N είναι ( κλειτές ) πολυγωνικές γραµµές του τη χέη () pdx+ qdy= για κάθε k =,,, N c k Η χέη () έπεται την () και άρα την () f x, y = p x, y Αποµένει να δείξουµε ότι: Σταθεροποιούµε ένα ηµείο (, ) (, ) (, ) Γ f και = q R που ικανοποιούν για κάθε x y και χηµατίζουµε τις διαφορές για h αρκετά µικρό ( f x + h y f x y = pdx+ qdy pdx+ qdy έτω ( x + h, y ) Γ( x, h> ) ώτε το ευθύγραµµο τµήµα ( x, y ),( x + h, y ) να περιέχεται το

14 7 Έπεται αµέως ότι υνεπώς (4) (, ) (, ) pdx+ qdy pdx+ qdy= pdx+ qdy και Γ( x ) + h, y Γ x, y ( x, y ), ( x+ h, y ) f x + h y f x y = pdx+ qdy ( x, y ), ( x + h, y ) Παραµετρικοποιούµε το ευθύγραµµο τµήµα ( x, y ),( x + h, y ) ( t) = + t( ( x + h, ( x, ) = ( x + th,, [,] '( t) =, t [,] ως t Συνεπώς Οπότε από την (4) υπολογίζουµε, ( +, ) (, ) = ( +, ) = ( +, ) f x h y f x y p x th y hdt h p x th y dt Έπεται ότι ( +, ) (, ) f x h y f x y lim = lim h h h +, p ( x, y ) dt = p ( x, y ) δηλαδή = p Σηµειώνουµε ότι αν n f p x th y dt = f µε h, τότε η ακολουθία υναρτήεων n n [ ] fn t p x thn, y, n, t, ( x, y ) ) οµοιόµορφα την ταθερά (, ) = + υγκλίνει ( από την υνέχεια της p το ( + ) = lim p x th, y dt p x, y dt h f p x y και αυτό δικαιολογεί την ιότητα Αναλόγως αποδεικνύεται ότι, ( x, y ) = q( x, y ) και η απόδειξη είναι πλήρης

15 7 Σηµειώνουµε ότι ( ε ένα ανοικτό και υνεκτικό R ) η πολυγωνική x, y του µπορεί να επιλεγεί ώτε να γραµµή που υνδέει τα ηµεία (, ) και είναι απλή ( να µην τέµνει τον εαυτό της ) και επί πλέον τα ευθύγραµµα τµήµατά της να είναι παράλληλα είτε προς τον άξονα των x ή προς τον άξονα των y Περαιτέρω ηµειώνουµε ότι η απόδειξη απλοποιείται ε κάποιο βαθµό, υποθέτοντας ότι το είναι ατρόµορφο Πράγµατι αν το είναι ατρόµορφο ως προς το ηµείο (, ), τότε ορίζουµε την f : R (, ), y ) Γ = ως εξής: (, ) f x y = pdx+ qdy, όπου Γ το προανατολιµένο ευθύγραµµο τµήµα από το (, ) το 55 Παρατήρηη Το θεώρηµα που αποδείξαµε µας λέει ε διαφορετική αλλά ιοδύναµη διατύπωη ότι: Ένα C διανυµατικό πεδίο F : U R R, όπου U απλά υνεκτικός τόπος είναι υντηρητικό αν και µόνο αν είναι ατρόβιλο ( ες και την παρατήρηη 4 ) Σηµειώνουµε ότι ένας ανάλογος χαρακτηριµός ιχύει και για διανυµατικά πεδία F : U R R υποθέτοντας ότι το U είναι ανοικτό και απλά υνεκτικό υπούνολο του R Επειδή δεν θα δώουµε τον ακριβή οριµό της απλής υνεκτικότητας τον R, ηµειώνουµε απλώς ότι παραδείγµατα ανοικτών και απλά υνεκτικών υνόλων τον R είναι τα ανοικτά και κυρτά ύνολα, ( άρα οι ανοικτές φαίρες ο ίδιος ο R, και τα ανοικτά ορθογώνια ) το R Κ, όπου Κ πεπεραµένο ύνολο επίης τα ανοικτά και ατρόµορφα υπούνολα του R κτλ Αν L είναι ευθεία του R τότε το ανοικτό ύνολο R L είναι υνεκτικό αλλά όχι απλά υνεκτικό Έτι αποδεικνύεται ότι αν F : U R R είναι C διανυµατικό πεδίο και το U απλά υνεκτικό ύνολο, τότε το F είναι υντηρητικό ακριβώς τότε αν το F είναι ατρόβιλο Το θεώρηµα του Green την γλώα των διανυµατικών πεδίων έχει τις ακόλουθες µορφές ( διατυπώεις) 56 Θεώρηµα ( ιανυµατική µορφή του θεωρήµατος του Green )Έτω φραγµένος τόπος του R µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο και F : R, F = pi+ qj, ένα C διανυµατικό πεδίο οριµένο ε µια περιοχή του Τότε F ds= ( curlf) kdα, ( όπου (,,) k = ) Απόδειξη: Θέτοµε F : R R : F x, y, z = F x, y,, x, y, z R, τότε όπως γνωρίζουµε ορίζουµε ως curlf τον τροβιλιµό του πεδίου F, δηλαδή curlf = = curl F ορ Έχουµε υπολογίει ότι q p curl F = k όπου k = (,,) R ( Παρατήρηη της ελίδας 9 ) Επειδή προφανώς q p curlf k = curl F k = µε αντικατάταη έχουµε το υµπέραµα

16 7 Σηµείωη Υπενθυµίζουµε ότι µε τον όρο τόπος εννοούµε ένα ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο του R 57 Θεώρηµα ( της απόκλιης το επίπεδο ) Έτω απλά υνεκτικός τόπος :, R για την το επίπεδο που φράεται από την απλή κλειτή καµπύλη [ ] οποία υποθέτοµε ότι '( t) για κάθε t [, ] µοναδιαίο κάθετο διάνυµα το ύνορο = [ ] και F ( p, q) διανυµατικό πεδίο ε µια περιοχή του τότε () F nds= divfdα Αν n υµβολίζει το εξωτερικό = είναι ένα Όπου το αριτερό µέλος της () υµβολίζει το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα πρώτου ( y '( t), x( t) ) είδους της βαθµωτής υνάρτηης, t [, ] F( ( t) ), όπου ' t (, ), [, ] t = x t y t t Απόδειξη Το εφαπτόµενο διάνυµα το ( t ) είναι το '( t ) = x '( t ), y '( t ) και η εφαπτόµενη ευθεία το έχει εξίωη l t = t + ' t t t, t R (, ) ' (, ) ' '( t) p x t y t y t q x t y t x t '( t) dt = (, ) ' (, ) ' p x t y t y t q x t y t x t dt = t C Το διάνυµα n είναι κάθετο την ευθεία l ( t) το ηµείο ( t ) και το πρόηµό του επιλέγεται ώτε να αντιτοιχεί προς την εξωτερική κατεύθυνη Έτι το n το ηµείο του δίνεται από τον τύπο, n n ( t ) ( y '( t), x '( t) ) = Το n ( t ) '( t) '( t ) = Έπεται ότι pdy qdx () Επίης p q divfdα= + dxdy () Από το θεώρηµα του Green και τις () και () υµπεραίνουµε ότι F nds= divfdα l, αφού F nds= Παρατήρηη Το γεγονός ότι το πρόηµο του διανύµατος επελέγη ώτε να αντιτοιχεί την εξωτερική κατεύθυνη µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Η γραµµική ϕ : x, y R y, x R, τρέφει κατά την αρνητική φορά το απεικόνιη

17 74 διάνυµα y ) κατά υµβολιµό, αφού τότε ( π, π) είναι το π π Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρηιµοποιήουµε µιγαδικό ϕ z = iz ( z= x+ yi ) και το πρωτεύον όριµα του i το Έτι το εφαπτόµενο διάνυµα '( t) x '( t), y '( t) καµπύλης, τρέφεται κατά την αρνητική φορά κατά ( y '( t), x '( t) ) Με κανονικοποίηη παίρνουµε το η Παραδείγµατα ) Έτω F ( xy, y x) ( curlf) = της π και υνεπώς γίνεται = + Υπολογίτε το ολοκλήρωµα kdα, πάνω το χωρίο του πρώτου τεταρτηµόριου που φράεται από τις y= x και y = x Λύη Πρώτα υπολογίζουµε τον τροβιλιµό του F x, y, z = xy, y+ x,, που είναι, curl F F F F curlf = curl F = xy k = =,, = (,, x = ( ) Άρα Έπεται ότι, xy k F, ιοδύναµα, του curlf k = xy Η υνάρτηη αυτή ολοκληρώνεται πάνω το που είναι χωρίο τύπου µε την χρήη ενός διαδοχικού ολοκληρώµατος x ( x dxdy= ( x dy dx x = y xy dx = x x 5 x x x + x dx= + = 4 6 (Εδώ θεωρούµε το ως χωρίο τύπου, {, : και } = x y x x y x ) Μπορούµε επίης να υπολογίουµε πρώτα το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F ds, όπου είναι το ύνορο του χωρίου ( δες το χήµα ) και κατόπιν χρηιµοποιώντας την διανυµατική µορφή του θεωρήµατος του Green να έχουµε το ζητούµενο ολοκλήρωµα Το θετικά προανατολιµένο ύνορο του είναι το «άθροιµα» των καµπυλών και, ( ) t = t t t και ( t) = ( t, t), t [,] Έτι έχουµε: F ds= F ds F ds, = +, όπου [ ],,, ( ) ' F ds= F t t dt =

18 75 F ( x ( t ' ' ), y ( t )) ( x ( t ), y ( t )) dt 4 = (, ) (, ) = (, + ) (, ) 5 ( ) = t + t + t dt 4 = + + = 6 ' ( ) F t t t dt t t t t t dt ' ' F ds= F t t dt = F x ( t ), y ( t ) x t, y t dt = ( t, t ) (,) dt = ( t ) Εποµένως, ( ) = F ( t, t ) (,) 5 + t dt = + = F ds= = και από την διανυµατική µορφή του θεωρήµατος 4 Green ) Έτω F ( y, x 5 ) curlf kdα= F ds= = Να υπολογιθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ( πρώτου είδους) F nds το ύνορο του µοναδιαίου τετραγώνου Επειδή, µηδέν Λύη Από το θεώρηµα της απόκλιης έχουµε: 5 ( y ) ( x ) F nds= divf dα divf = + =, άρα το ζητούµενο ολοκλήρωµα ιούται µε dt

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 14

Λογισμός 4 Ενότητα 14 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Το θεώρημα του Green. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

2 i d i(x(i), y(i)),

2 i d i(x(i), y(i)), Κεφάλαιο 2 Σύγκλιη ακολουθιών και υνέχεια υνατήεων 2.1 Σύγκλιη ακολουθιών Στον Απειοτικό Λογιμό μελετήαμε τη ύγκλιη ακολουθιών παγματικών αιθμών. Με τον όο ακολουθία παγματικών αιθμών εννοούμε κάθε υνάτηη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 13

Λογισμός 4 Ενότητα 13 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα