ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη της κίνηη ενός τερεού ώµατος δεν είναι εύκολη υπόθεη και ίγουρα υπερβαίνει κατά πολύ το επίπεδο του παρόντος µαθήµατος. Για να ειαγάγοµε µε φυικό τρόπο τις έννοιες της ροπής δύναµης και τροφορµής θα περιοριτούµε την περιτροφή τερεού ώµατος περί ταθερό άξονα. 7. Ροπή δύναµης Ας θεωρήοµε ένα τερεό ώµα που µπορεί να περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα, ο οποίος, ας δεχτούµε χωρίς να είναι απαραίτητο, διέρχεται από το ώµα. Επιλέγοµε το επίπεδο να τέµνει το τερεό ώµα και θεωρούµε ένα ηµείο P του ώµατος που να βρίκεται το επίπεδο. Έτω ότι οι υντεταγµένες του ηµείου P είναι (,,. Εποµένως η διανυµατική ακτίνα του ηµείου P είναι ˆ, (7. όπου και ˆ cosθ ˆ snθ ˆj είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυµα. Εδώ θεωρήαµε ότι η γωνία που χηµατίζει η διανυµατική ακτίνα µε τον άξονα είναι θ, δηλαδή cosθ και snθ. Ας θεωρήοµε τώρα ότι το ώµα περιτρέφεται κατά απειροτή γωνία d θ. Ας δούµε πόη είναι η µεταβολή d της διανυµατικής ακτίνας. Κατά την περιτροφή το µέτρο του διανύµατος, δηλαδή το, παραµένει ταθερό. Άρα, µε παραγώγιη της (7. έχοµε d d dˆ d dθ ˆ (cosθ ˆ snθ ˆ j ( snθ ˆ cosθ ˆj. (7. Αλλά, όπως είδαµε το Παράδειγµα.5, το διάνυµα την παρένθεη είναι το µοναδιαίο (εφαπτόµενο τον κύκλο διάνυµα θˆ, ˆ θ snθ ˆ cosθ ˆj. (7. Έτι, πολλαπλαιάζοντας µε το αµφότερα τα µέλη της (7. παίρνοµε d dθ ˆ θ. (7. Το αποτέλεµα (7. θα µπορούαµε να το γράψοµε κατ ευθείαν, χωρίς να κάνοµε πράξεις, διότι το µέτρο της µεταβολής d είναι dθ, δηλαδή είναι το µήκος τόξου που διέγραψε το ηµείο P µετά από περιτροφή κατά γωνία d θ. Επίης, η Pge of

2 κατεύθυνη της κίνηης του ηµείου P είναι αυτή του µοναδιαίου διανύµατος θˆ. Άρα η (7. είναι προφανής. Ας θεωρήοµε τώρα ότι το ηµείο P ακείται δύναµη F F ˆ F ˆj και ότι λόγω αυτής της δύναµης το τερεό ώµα περιτρέφεται περί τον άξονα κατά γωνία d θ. Το έργο λοιπόν που έκανε η δύναµη είναι dw F d ( F ˆ F ˆ j dθ ˆ θ ( F ˆ F ˆ j dθ ( snθ ˆ cosθ ˆ j F sn θ dθ F cosθ dθ F dθ F dθ ( F F dθ, (7.5 που έχει κάπως περίεργη µορφή. Στη µονοδιάτατη κίνηη, ας πούµε τον άξονα, το έργο της δύναµης F για µετατόπιη κατά d είναι dw F d, από την οποία θα µπορούε κα γράψει κανείς εξίωη (7.5 έχοµε F dw / d. Αν κάνοµε κάτι παρόµοιο την F F dw dθ. (7.6 / Βλέποµε λοιπόν ότι, για το ίδιο έργο dw, την περιτροφή εµφανίζεται η ποότητα F που θα τη λέµε ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων. F Όπως θα δούµε αµέως παρακάτω, η ροπή της δύναµης F ορίζεται ως διανυµατικό µέγεθος και η ποότητα που εµφανίζεται την εξίωη (7.6 είναι η -υνιτώα της ροπής. Γι αυτό εµφανίζεται ως βαθµωτό µέγεθος. Οριµός: Αν είναι η διανυµατική ακτίνα ενός ηµείου το οποίο δρα η δύναµη F, τότε η ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως τ F, (7.7 όπου το υµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6. Στην ειδική περίπτωη που εξετάαµε παραπάνω, δηλαδή την περιτροφή τερεού ώµατος περί τον ταθερό άξονα, όπου τα διανύµατα και F είχαν µόνο και υνιτώες, γράφοµε τ F ˆ ˆj kˆ ( ˆ ˆ j ( F ˆ F ˆ j ( F F kˆ. (7.8 F F Το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων είναι µια ορίζουα µε πρώτη γραµµή τα µοναδιαία διανύµατα ˆ, ˆ, j kˆ, µε δεύτερη γραµµή τις υνιτώες του πρώτου Pge of

3 διανύµατος και µε τρίτη γραµµή τις υνιτώες του δεύτερου διανύµατος. Το ανάπτυγµα της ορίζουας αυτής γίνεται πάντοτε κατά µήκος της πρώτης γραµµής. Αυτό ηµαίνει ότι το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων είναι διάνυµα. Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι η υπο-ορίζουα του î είναι µηδέν και οµοίως για την υπο-ορίζουα του ĵ. Μόνο η υπο-ορίζουα του kˆ είναι διάφορη του µηδενός και ίη µε την ποότητα (7.6, δηλαδή τ F F. 7. Στροφορµή υλικού ηµείου Θα δούµε τώρα πως εµφανίζεται µε φυικό τρόπο η τροφορµή. Ας ξεχάοµε προς το παρόν το τερεό ώµα που εξετάαµε παραπάνω και ας θεωρήοµε ότι το ηµείο P υπάρχει ένα υλικό ηµείο µάζας m, πάνω το οποίο ακείται δύναµη F F ˆ F ˆj. Ως αποτέλεµα αυτής της δύναµης, το υλικό ηµείο θα κάνει κίνηη το επίπεδο, που περιγράφεται από τις δυο πρώτες εξιώεις (.6. Ας το δούµε όµως αυτό και από άλλη κοπιά. Όπως είδαµε παραπάνω, η -υνιτώα της ροπής της δύναµης F είναι τ F F. (7.9 Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για το υλικό ηµείο µάζας m έχοµε ότι d Αντικαθιτώντας την (7.9 έχοµε F m και m d F. (7. Αλλά, d m d d m d d τ m m. (7. d d d d d d m m m m Έτι, η (7. γράφεται d d m m. (7. d ( mu mu ( p p d d d d τ m m, (7. όπου u και u είναι οι υνιτώες της ταχύτητας του υλικού ηµείου και είναι οι αντίτοιχες υνιτώες της ορµής. Η ποότητα ( p p, που p, p Pge of

4 εµφανίζεται την (7. µας θυµίζει τη -υνιτώα εξωτερικού γινοµένου διανυµάτων. Οριµός: Αν είναι η διανυµατική ακτίνα ενός υλικού ηµείου µάζας m το οποίο δρα η δύναµη F, τότε η τροφορµή του υλικού ηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως l p, (7. όπου το υµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6. Στην ειδική περίπτωη που εξετάαµε εδώ, δηλαδή την κίνηη υλικού ηµείου το επίπεδο, γράφοµε ˆ ˆj kˆ l p ( ˆ ˆ j ( p ˆ p ˆ j ( p p kˆ (7.5 p p και η τροφορµή l έχει µόνο -υνιτώα. Έτι, η εξίωη (7. γράφεται ως όπου d l τ, (7.6 l p p είναι η -υνιτώα της τροφορµής του υλικού ηµείου. Η εξίωη (7.6 δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα γραµµένος µε τη χρήη της ροπής δύναµης και της τροφορµής. Παρατήρηη: Στην ειδική περίπτωη που το υλικό ηµείο κάνει κύκλο ακτίνας, η διανυµατική ακτίνα του και η ορµή του p είναι κάθετα διανύµατα και η τροφορµή του υλικού ηµείου µπορεί να γραφεί ως l p ˆ p ˆ θ pkˆ, (7.7 διότι ˆ θ ˆ kˆ, κατ αναλογία προς τις χέεις ( Στροφορµή τερεού ώµατος Τώρα που ξέροµε τι είναι η τροφορµή υλικού ηµείου, µπορούµε νε εξετάοµε τη τροφορµή τερεού ώµατος, αφού τα τερεά ώµατα αποτελούνται από άτοµα, που µπορούµε να τα θεωρήοµε αν υλικά ηµεία. Ας θεωρήοµε ξανά ένα τερεό ώµα, που µπορεί να περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα. Έτω ότι το τερεό ώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόταη από τον άξονα. Αν το τερεό ώµα είναι Pge of

5 κράµα πολλών τοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιτροφή του τερεού ώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για τη τροφορµή του, ύµφωνα µε την (7.7, l p m u mω ω m, (7.8 όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιτροφής του τερεού ώµατος περί τον ταθερό άξονα. Έτι, η ολική τροφορµή του τερεού ώµατος είναι l ω m ω, (7.9 όπου ορίαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του τερεού ώµατος ως προς Παρατήρηη: Είναι ηµαντικό να παρατηρήοµε ότι η εξίωη (7.9 ιχύει και για υλικό ηµείο µάζας m που κάνει κύκλο ακτίνας το επίπεδο µε κέντρο την αρχή των αξόνων, διότι m και ω ω m mω mu p, όπου u ω είναι η ταχύτητα του υλικού ηµείου. Από τον οριµό της ροπής αδράνειας τερεού ώµατος ως προς τον άξονα, που είναι το άθροιµα των γινοµένων των µαζών του επί το τετράγωνο των αποτάεών τους από τον άξονα, µπορούµε να γενικεύοµε τον οριµό για υνεχείς κατανοµές µάζας. Έτι, όπως το Κεφάλαιο, θεωρούµε τερεό ώµα µάζας M µε πυκνότητα ρ και θεωρούµε επίης έναν απειροτό όγκο του ώµατος dv που απέχει από τον άξονα απόταη. Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροτή µάζα dm ρ dv. Κατ αναλογία λοιπόν προς τη ροπή αδράνειας για διακριτά υλικά ηµεία γράφοµε dm ( V ( V ρ dv, (7. όπου το ύµβολο (V το ολοκλήρωµα ηµαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώοµε ως προς όλον τον όγκο V του τερεού ώµατος. Αν το τερεό ώµα έχει αµελητέο πάχος, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την επιφάνεια του ώµατος. Αν το τερεό ώµα είναι λεπτό ύρµα, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την γραµµή που διατρέχει το ώµα. Στο επόµενο Κεφάλαιο θα δείξοµε ότι η εξίωη τ d (7. Pge 5 of

6 περιγράφει την περιτροφή τερεού ώµατος περί τον άξονα. Εδώ είναι η υνιτώα της τροφορµής του τερεού ώµατος περί τον άξονα και τ είναι η υνιτώα της υνολικής ροπής που ακείται το τερεό ώµα. 7. Κινητική ενέργεια τερεού ώµατος Ας θεωρήοµε ξανά ένα τερεό ώµα, που µπορεί να περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα. Έτω ότι το τερεό ώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόταη από τον άξονα. Αν το τερεό ώµα είναι κράµα πολλών τοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιτροφή του τερεού ώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για την κινητική ενέργειά του m u mω m ω, (7. όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιτροφής του τερεού ώµατος περί τον ταθερό άξονα. Έτι, η ολική κινητική ενέργεια του τερεού ώµατος είναι T ω m ω, (7. όπου ορίαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του τερεού ώµατος ως προς Παρατήρηη: Όπως η εξίωη (7.9 έτι και η εξίωη (7. ιχύει για υλικό ηµείο µάζας m που κάνει κύκλο ακτίνας το επίπεδο µε κέντρο την αρχή των αξόνων. Έχοµε ότι T ω ω m mu. Παράδειγµα 7.: ίνεται υρµάτινο πλαίιο, χήµατος ρόµβου, το επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ (οι µονάδες είναι kg/m, µε κορυφές τα ηµεία (,,(,,(,,(,. Το πλαίιο µετά περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Λύη: Πρώτα πρέπει να βρούµε τη ροπή αδράνειας του πλαιίου. Ας θεωρήοµε την πλευρά µεταξύ των κορυφών (, και (,. Αν βρούµε τη ροπή αδράνειας αυτής της πλευράς, την πολλαπλαιάζοµε µε το για να βρούµε την ολική ροπή αδράνειας. Η εξίωη της ευθείας που ενώνει τις κορυφές (, και (, είναι. Pge 6 of

7 Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το ύρµα που έχει εξίωη ένα κοµµάτι µήκους ds d d d ( d / d d ( d. Το κοµµάτι αυτό του ύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του ύρµατος που έχει >, > είναι. d λ dλ Η υνολική ροπή αδράνειας είναι πλαιίου είναι λ και η υνιτώα της τροφορµής του λω. Παρατήρηη : Στο αποτέλεµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται το ότι η εξίωη είναι µαθηµατική και όχι φυική. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως α, µε α m. Επίης, το όριο είναι µαθηµατική και όχι φυική χέη. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το α και το β µέα το τελικό αποτέλεµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα!!! Παρατήρηη : Λόγω του ότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας του ύρµατος, η τροφορµή του ύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.: Στo προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείτε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από το υρµάτινο πλαίιο. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα M και η επιφανειακή πυκνότητά της (διατάεις kg/m είναι οµογενής. Αν η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Λύη: Ας θεωρήοµε το / της επιφάνειας που βρίκεται το τεταρτηµόριο >, >. Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το τεταρτηµόριο που είναι κάτω από την ευθεία µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds ( d. Η λωρίδα έχει µάζα dm ds ( d και απέχει από τον άξονα περιτροφής απόταη ίη µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm, η ροπή αδράνειας του τεταρτηµορίου είναι Pge 7 of

8 d ( d και η ολική ροπή αδράνειας είναι M M 6, διότι το κάθε τεταρτηµόριο έχει εµβαδόν / και ο ρόµβος έχει εµβαδόν. Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεµα «φαίνεται» να µην έχει ωτές διατάεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει ωτές διατάεις. Η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου είναι ω Mω. 6 Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας. Παράδειγµα 7.: Θεωρείτε έναν οµογενή κύλινδρο µάζας M, ακτίνας R και ύψους h ο οποίος περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα, που είναι ο άξονας υµµετρίας του, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του κυλίνδρου. Λύη: Θεωρούµε οµοαξονικό κυλινδρικό φλοιό ύψους h µεταξύ των ακτίνων και d, όπου < < R. Αν ρ M /( π R h είναι η πυκνότητα του κυλίνδρου, τότε η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ dv ( dv είναι ο όγκος του και η ροπή αδράνειάς του είναι d dm κυλινδρικού φλοιού κάνοµε το εξής:. Για να υπολογίοµε τη µάζα dm του Ο όγκος dv του κυλινδρικού φλοιού µεταξύ των ακτίνων και d είναι dv h [ π ( d π ] h π d διότι ο όρος (d είναι διαφορικό δευτέρας τάξεως, που είναι αµελητέο ε χέη µε το διαφορικό πρώτης τάξεως d. Η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ π d h και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι M R πρhr d dm πρ h d MR. Έτι, η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου είναι ω MR ω. Pge 8 of

9 Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, άξονας υµµετρίας. k ˆ διότι ο άξονας περιτροφής είναι Παράδειγµα 7.: ίνεται ύρµα, χήµατος U το επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ, που περιγράφεται από την εξίωη και εκτείνεται από µέχρι. Το ύρµα µετά περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του ύρµατος. Λύη: Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το ύρµα ένα κοµµάτι µήκους ds d d d ( d / d d ( d. Το κοµµάτι αυτό του ύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του ύρµατος είναι d λ d λ d λ d. Χρηιµοποιώντας Πίνακες Ολοκληρωµάτων (π.χ. Mthemtcl Hndook, Sots Pesds, ESP βλέποµε ότι / d ln( 8 8 ( όπου /. Έτι το αποτέλεµα του ολοκληρώµατος πρέπει να το υπολογίοµε το και το. Στο τελικό αποτέλεµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται το ότι η εξίωη είναι µαθηµατική και όχι φυική. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Επίης, το είναι µαθηµατική και όχι φυική χέη. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως γ µε γ m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το β και το γ µέα το τελικό αποτέλεµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα! Έτι, η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου έιναι ω. Λόγω του ότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας του ύρµατος, η τροφορµή του ύρµατος είναι k. ˆ, Pge 9 of

10 Παράδειγµα 7.5: Στο προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείτε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από τις γραµµές, και. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι. Αν η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Λύη: Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από την επιφάνεια που είναι κάτω από την καµπύλη µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds d. Η λωρίδα έχει µάζα dm ds d και απέχει από τον άξονα περιτροφής απόταη ίη µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας της επιφάνειας κάτω από την καµπύλη d d είναι. 5 d Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεµα «φαίνεται» να µην έχει ωτές διατάεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει ωτές διατάεις. Η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου είναι 86 ω ω. 5 Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας. Παράδειγµα 7.6: Θεωρείτε το επίπεδο µια οµογενή πλάκα µάζας M, χήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, απειροτού πάχους, µε πλευρές και, παράλληλες προς τους άξονες και. Το κέντρο της πλάκας είναι την αρχή των αξόνων. Η πλάκα περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Α Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της πλάκας. Β Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της πλάκας, αν η πλάκα έχει πάχος c και τον άξονα εκτείνεται από c µέχρι c. Η µάζα της παραµένει M. Λύη: Α Πρώτα θα βρούµε τη ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα. Το εµβαδόν της πλάκας είναι και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι M /(. Θεωρούµε µια απειροτή λωρίδα παράλληλη προς τον άξονα, µεταξύ και d, εύρους d. Σ αυτή τη λωρίδα θεωρούµε το απειροτό κοµµάτι µεταξύ και d, εµβαδού d d. Το απειροτό αυτό κοµµάτι απέχει από τον άξονα κατά και έχει απειροτή ροπή αδράνειας d d d. Έτι η υνολική ροπή αδράνειας της πλάκας είναι Pge of

11 Pge of ( ( ( M d d d d d d και η υνιτώα της τροφορµής της πλάκας είναι ω ( M. Β Αν η πλάκα έχει πεπεραµένο πάχος και µάζα M το δεν αλλάζει! Αυτό το καταλαβαίνοµε ποιοτικά διότι η πεπεραµένου πάχους πλάκα µπορεί να θεωρηθεί αν υπέρθεη πλακών µε απειροτό πάχος η κάθε µια και υνολική µάζα M. Αλλά και ποοτικά έχοµε ( ( ( M d d d d c c c c ρ ρ, διότι η πυκνότητα ρ ιούται µε 8 /( c M και η απόταη του απειροτού όγκου d d d από τον άξονα είναι. 7.5 Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων Αν γνωρίζοµε τη ροπή αδράνειας ώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, τότε µπορούµε εύκολα να υπολογίοµε τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον πρώτο. Ας θεωρήοµε ένα τερεό ώµα ( ωµάτια µάζας M και τρεις άξονες,,, που η αρχή τους είναι το κέντρο µάζας του ώµατος. Ας υποθέοµε ότι έχοµε υπολογίει τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς τον άξονα και θέλοµε να υπολογίοµε τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς άξονα, που είναι παράλληλος προς τον. Έχοµε m m (, (7.

12 όπου είναι η απόταη της µάζας m από τον άξονα. Επιλέγοντας τους άξονες, να είναι παράλληλοι προς τους, αντιτοίχως, γράφοµε ότι X και Y, όπου X, Y είναι οι - και -υντεταγµένες του κέντρου µάζας το ύτηµα,,. Όλες οι ποότητες είναι αλγεβρικές. Με αντικατάταη την (7. έχοµε X m Η ποότητα ( X X Y Y m X m m Y m m Y m. (7.5 M m είναι ίη µε µηδέν, διότι είναι εξ οριµού η -υντεταγµένη του κέντρου µάζας ως προς το κέντρο µάζας. Με άλλα λόγια, αφού το κέντρο µάζας είναι την αρχή των αξόνων,,, οι υντεταγµένες του είναι µηδέν. Έτι, ο δεύτερος και ο πέµπτος όρος τη χέη (7. είναι µηδέν. Έτι, η (7. γράφεται ως M X Y MD, (7.6 όπου D ( X Y είναι η απόταη του άξονα από τον άξονα ( m m. Έτι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. και Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων: Η ροπή αδράνειας ώµατος ως προς έναν άξονα ιούται µε τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς αυτόν και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του ώµατος, υν τη µάζα του ώµατος επί το τετράγωνο της απόταης µεταξύ των δυο αξόνων. Παράδειγµα 7.7: Να βρεθεί η ροπή αδράνεια της πλάκας του Παραδείγµατος 7.6 ως προς ακµή της που είναι παράλληλη τον άξονα. Λύη: Η απόταη µιας τέτοιας ακµής από τον άξονα είναι Συνεπώς, η ζητούµενη ροπή αδράνειας είναι D. M ( M ( M (. Άκηη 7.: ίνεται υρµάτινο πλαίιο χήµατος τετραγώνου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό του τον άξονα. Το πλαίιο περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Απάντηη: ω m ω 6. Pge of

13 Άκηη 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό της τον άξονα. Η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Απάντηη: ω m ω. Άκηη 7.: ίνεται υρµάτινο πλαίιο χήµατος τετραγώνου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά του τον άξονα. Το πλαίιο περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Απάντηη: 5 m ω Άκηη 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά της τον άξονα. Η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Απάντηη: m ω Άκηη 7.5: ίνεται υρµάτινο πλαίιο χήµατος ιοκελούς ορθογωνίου τριγώνου καθέτου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά του τον άξονα. Το πλαίιο περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Απάντηη: m ω. ( Άκηη 7.6: ίνεται ορθογώνια ιοκελής τριγωνική επιφάνεια καθέτου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά της τον άξονα. Η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Απάντηη: m ω 6. Άκηη 7.7: ίνεται το επίπεδο υρµάτινο πλαίιο κυκλικού χήµατος ακτίνας R, υνολικής µάζας m, µε το κέντρο του τον άξονα. Το πλαίιο µετά περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Pge of

14 Υπόδειξη: Χρηιµοποιήτε το χήµα του Παραδείγµατος.. Απάντηη: mr ω Pge of

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ 4-4 Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Ένας κυκλικός δίσκος µάζας M και ακτίνας R µπορεί να περιστρέφετε χωρίς τριβές γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ένα αβαρές νήµα είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστµατα µεταβλητς µάζας Μέχρι τώρα µελετσαµε την κίνηση υλικού σηµείου µε συγκεκριµένη µάζα m, η οποία παραµένει σταθερ. Θα εξετάσοµε τώρα την περίπτωση που η µάζα δεν είναι σταθερ, αλλά µεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ )

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους. Φροντιστήριο ο : Εξίσωση κίνησης στερεών σωµάτων και επίλυση (ΠΕΡΙΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ, ΚΥΛΙΗ, ) τερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ

ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ XΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΙΑ ΟΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΗ ΑΓΩΓΙΜΑ ΜΕΣΑ ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ.3 ΧΙ.4 Φαική ταθερά ιάοης κύµατος β Μονοιάτατη εξίωη Helmholt για τις υνιτώες των ιανυµάτων H και ( H ) επιπέου κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80 TΟΙΧΟΠΟΙΙΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ Η µηχανική υµπεριφορά της τοιχοποιίας περιράφεται από τα εξής χαρακτηριτικά: καθ. Στέφανος ρίτος Τµήµα Πολιτικών Σ. Μηχανικών, Πανεπιτήµιο Η. Πατρών ΔΡΙΤΣΟΣ Θλιπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις - 22 Μάη Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Β

Πανελλήνιες Εξετάσεις - 22 Μάη Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Β Πανελλήνιες Εξετάσεις - 22 Μάη 203 Α. (γ.) Α.2 (γ.) Α.3 (δ.) Α.4 (γ.) Α.5 Σ,Λ, Σ, Λ, Σ Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Θέµα Β Β.. (ii) Η αρχική ενέργεια του κυκλώµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,.

Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,. Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,. Νόµοι του Keple: Οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, τη µία εστία των οποίων καταλαµβάνει ο Ήλιος Η επιβατική ακτίνα κάθε πλανήτη µε αρχή αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 4-5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Νίκος Κυλάφης Πανεπιστήµιο Κρήτης //4 Σελίδα από 55 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Το µάθηµα της Γενικής Φυσικής Ι θα γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Θέμα Α. 1. β 2. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Θέμα Α. 1. β 2. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ- 07 Θέμα Α.. β. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ. Β Στην επιφάνεια ελαστικού μέσου υπάρχουν δύο πανομοιότυπες πηγές κυμάτων που ξεκινούν ταυτόχρονα την ταλάντωση τους. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διατρηση ορμς Ας θεωρσομε δυο υλικά σημεία και, με μάζες και αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονικ στιγμ στις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες r και r και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα