Prof. dr Vidosav D. Majstorović, dipl.maš.inž. Mašinski fakultet u Beogradu
|
|
|
- Νατάσσα Ακρίδας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Upravljanje kvalitetom proizvoda I četvrta nastavna jedinica statistički metodi upravljanja kvalitetom / Kontrolne karte Prof. dr Vidosav D. Majstorović, dipl.maš.inž. Mašinski fakultet u Beogradu UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 1
2 METOD KONTROLNIH KARATA Definicija, oblik i zadatak kontrolne karte Savremeni metod regulisanja i upravljanja kvalitetom konformnosti proizvoda i procesa u proizvodnim linijama industrije prerade metala Kontrolne karte su specijalne dijagramske forme u obliku mreže, gde se na apcisi nanosi vreme odvijanja obradnog procesa ili redni broj uzorka, a na ordinati, karakteristika kvaliteta ili statističke karakteristike uzoraka U mrežu kontrolne karte se unose tačke rezultata merenja ili nivoa kvaliteta u vremenskoj dimenziji procesa Kada se u ovako formirane dijagrame unesu i kontrolne granice ili granice regulisanja, dobija se kompletna kontrolna karta Primer R kontrolne karte, slika 7.22 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 2
3 Slika 7.22 R kontrolna karta UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 3
4 Definicija granice regulisanja Granica regulisanja predstavlja najvažniji element svake kontrolne karte Posmatraju se paramametri osnovnog skupa i uzorka, slika 7.14 Definišu se granice intervala poverenja kontrolne granice GKG = X 3σ o + 3 σ = X + = + n 2 A R UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 4
5 Slika 7.14 Veličina intervala poverenja... UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 5
6 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 6 Definicija granice regulisanja R A n X X DKG o = = = σ σ R d o 2 1 = σ R A d R n n o = = = σ σ ( ) E X = = = = k i R i k R 1 1
7 Definicija granice regulisanja Ove granice se u teoriji kontrolnih karata nazivaju: Kontrolne granice, ili Granice regulisanja One dele kontrolnu kartu na dve zone: Zonu neizbežne disperzije (proces je stabilan i statistički ovladan i pod dejstvom sistema dozvoljenih faktora) Zonu nedozvoljenih disperzija, posmatrane karakteristike kvaliteta ( pod dejstvom nedozvoljenih faktora, proces je nestabilan) UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 7
8 Definicija granice regulisanja Pokatkad se u kontrolnu kartu unose i granice upozorenja, koje glase: GGU = 2σ o + n DGU = 2σ o n UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 8
9 Primena metoda kontrolnih karata Upravljanje kvalitetom obradnih i tehnoloških procesa na bazi prostorne slike stanja, promena i tendencija kvaliteta Kontrola kvaliteta proizvoda u pojedinim fazama pripreme, proizvodnje i završetka proizvodnje Stabilizacija procesa kroz otkrivanje i isključivanje sistema nedopuštenih faktora Identifikacija stanja (nivoa) kvaliteta konformnosti proizvoda Analiza tačnosti i stabilnosti obradnih i tehnoloških procesa Inoviranje i usavršavanje obradnih i tehnoloških procesa Analiza sistema grešaka obrade Primena u svim fazama nekog procesa za upravljanje kvalitetom proizvoda UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 9
10 Podela kontrolnih karata Koriste se više kriterijuma za podelu kontrolnih karata, a ovde se navode četiri najvažnija: Vrsta karakteristike kvaliteta Karakter objekta kontrole Statistički tretman ili vreme odvijanja proizvodnog procesa Složenost kontrolne karte UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 10
11 Podela kontrolnih karata vrsta karakteristike kvaliteta Karakteristika kvaliteta se utvrđuje merenjem numerička karakteristika Ocenjivanje karakteristike kvaliteta se vrši atributivno, dihotomnom podelom: dobro-loše, valja-ne valja, ide-ne ide, tačno-ne tačno, bez defekata-sa defektima, kvalietno-nekvalitetno,... i ovo su atributivne karakteristike kvaliteta. Informacija kvaliteta o njima su jako oskudne UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 11
12 Podela kontrolnih karata vrsta karakteristike kvaliteta U kontrolne karte za numeričke karakteristike kvaliteta spadaju: karte karte R karte σ karte Sve karakteristike se odnose na uzorak UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 12
13 Podela kontrolnih karata vrsta karakteristike kvaliteta U kontrolne karte za atributivne karakteristike kvaliteta spadaju: m karte p karte c karte u karte, gde su: m-broj defektnih primeraka u uzorku, p-procenat defektnih primeraka u uzorku, c-ukupan broj defekata u uzorku, i u-količnik između ukupnog broja defekata u uzorku i ukupnog broja primeraka u uzorku UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 13
14 Podela kontrolnih karata karakter objekta kontrole Ovaj kriterijum razmatra prilaz da li se u kontrolnu kartu unose podaci o: Karakteristikama kvaliteta svakog primerka Statističkim karakteristikama kvaliteta uzoraka Prema ovom kriterijumu kontrolne karte se dele na: KK za karakteristike kvaliteta primeraka (-karte) KK za statističke mere uzorka ( -karte) UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 14
15 Podela kontrolnih karata karakter objekta kontrole -karte su jednostavne za konstruisanje i primenu, ali daju dosta grubu predstavu o tačnosti datog procesa, slika karte su redovni model statističke kontrole kvaliteta, gde se aritmetička sredina uzorka raspoređuje u uskom području oko aritmetičke sredine osnovnog skupa, slika Ova karta je osetljiva na promene u toku procesa i na njoj se lako otkriva mesto i trenutak ovih promena UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 15
16 Slika karta UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 16
17 Slika karta UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 17
18 Podela kontrolnih karata statistički tretman ili vreme odvijanja tehnološkog procesa Tehnološki proces na osnovu ovog kriterijuma može se tretirati na dva načina: sukcesivno uzimanje uzoraka, snimanje njegovih karakteristika i izračunavanje statističkih parametara kontrolne karte, za kontrolu stabilnosti i tačnosti protekle proizvodnje iz analize podataka ranijeg procesa izračunaju se kontrolne granice, pa se zatim vrši snimanje procesa preko uzastopnih uzoraka, čime se dobijaju kontrolne karte za kontrolu stabilnosti i tačnosti tekuće proizvodnje UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 18
19 Podela kontrolnih karata složenost kontrolne karte Prema ovom kriterijumu dele se na: Proste kontrolne karte Dvojne kontrolne karte (par prostih karata) UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 19
20 - karte Iz tehnološkog procesa se uzima u određenim vremenskim razmacima po jedan primerak koji se po redu uzimanja numeriše Izmerena karakteristika kvaliteta i se unosi u - kartu, slika 7.16 U kontrolnu kartu se unose granične linije u okviru kojih se sa verovatnoćom od 99.73% nalaze vrednosti karakteristika kvaliteta: UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 20
21 - karte IP = X ± 3σ o Ovo znači da će se izvan granica... naći manje od 3 od 1000 primeraka, što u praksi predstavlja metod za upravljanje kvalitetom šest sigma - 6σ Kada su vrednosti parametra... osnovnog skupa najčešće nepoznate, to se njihove vrednosti prema ranijem, procenjuju parametrima... dovoljno velikog uzorka, sa s= σ n n 1 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 21
22 - karte Uslov tačnosti kod ove karte mora biti zadovoljen kroz jednačinu T 6σ o U slučaju T = 6σ o, oscilovaće unete tačke u -karti oko centralne linije, pri čemu će biti svega 0.27% tačaka izvan tolerancijskih kontrolnih granica U slučaju kada je T 6σ o, obrada radnih predmeta je netačna, pa se preuzimaju intervencije u dva pravca: UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 22
23 - karte 1. Koriguje se ili menja postojeći proces kako bi se karakteristike kvaliteta dovele u granice tolerancija 2. Ispitati mogućnost povećanja tolerancije sa projektantom proizvoda, ako nije moguće primeniti korak 1 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 23
24 Kontrolne karte za analizu stabilnosti proteklog procesa Definicija stabilnosti procesa Stabilnost i tačnost procesa izrade proizvoda ( sposobnost procesa) predstavlja ključne pojmove u metodu kontrolnih karata Opšti sistem faktora, koji uslovljavaju varijabilnost neke karakteristike kvaliteta, mogu se prikazati šemom na slici 7.20 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 24
25 Slika 7.20 Klasifikacija uticajnih faktora na kvalitet UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 25
26 Kontrolne karte za analizu stabilnosti proteklog procesa Neki proces može biti: Stabilan i tačan Stabilan i netačan Nestabilan i tačan Nestabilan i netačan UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 26
27 Kontrolni karton Karton za kontrolu (merenje i analizu) kvaliteta konformnosti proizvoda ima dvojak zadatak: kontrola određene karakteristike kvaliteta na radnom mestu putem uzoraka kontrolni karton se koristi kao osnovni statistički dokument, za konstruisanje kontrolnih karata UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 27
28 Kontrolni karton Kontrolni karton ima oblik formulara, slika 7.21 Za prvi zadatak kontrolni karton služi za praćenje kvaliteta pri maloserijskoj i srednjoserijskoj proizvodnji (radnik, regler i poslovođa se upozoravaju da preuzmu aktivnosti za vraćanje procesa u normalni tok) Za drugi zadatak kontrolni karton služi za prikupljanje podataka za dalje analize i konstruisanje kontrolnih karata UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 28
29 Slika 7.21 Primer kontrolnog kartona UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 29
30 Procedura formiranja kontrolnih karata Tok kontrole stabilnosti protekle proizvodnje definiše se procedurom koja ima sledeće etape: postavljanje plana karakteristika kvaliteta koje treba da se kontrolišu definisanje načina biranja, veličine, vremena, mesta i učestalosti uzimanja uzoraka formiranje kontrolnog kartona izbor tipa kontrolne karte UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 30
31 Procedura formiranja kontrolnih karata - nastavak snimanje numeričkih, odnosno atributivnih karakteristika kvaliteta pojedinih primeraka u uzorcima i izračunavanje statističkih mera uzoraka (rezultati se upisuju u kontrolni karton) postepeno unošenje izračunatih podataka u izabrani tip kontrolne karte izračunavanje položaja centralnih linija i kontrolnih granica i njihovo ucrtavanje na kartu analiza i ocena stabilnosti protekle proizvodnje na osnovu kontrolne karte UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 31
32 Procedura formiranja kontrolnih karata - nastavak Pored ovoga, kada je reč o metodologiji uzimanja uzoraka, treba voditi računa i o: Primerci jednog uzorka ne izvlače se na slučajan već na sistematski način ( primerci obrađeni pod istim uslovima) Uzorci sadrže isti broj primeraka (ne manje od 4 i ne više od 25) Za R kontrolne karte broj elemenata u uzorku je do 10 Za σ kontrolne karte broj elemenata je veći od 10 Vreme uzimanja uzoraka se definiše vremenskom šemom, za koju ne treba da zna radnik za mašinom Za ocenu stabilnosti procesa treba izvući najmanje 25 uzoraka UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 32
33 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica Centralne linije (CL) i kontrolne granice (GKG, DKG) izračunavaju se i ucrtavaju tek po definitivnoj obradi snimljenih podataka U slučaju da se menja veličina uzorka, menja se stalno i položaj kontrolnih granica Kada se ne menja broj primeraka u uzorku, kontrolne granice zadržavaju nepromenjen položaj, pa se preporučuje da uzorci budu sa istim brojem primeraka Neka je izvučeno po planu kontrole k (više od 25 uzoraka), onda je položaj centralnih linija i kontrolnih granica za protekli proces, definisan j-nama: UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 33
34 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica R σ m c CL CL CL CL 1 = = i k i= 1 k R R i k i= 1 DKG = A R, GKG = + A 2 2 k 1 = R = DKG = D R, GKG = D R 1 = = i k i= 1 σ CL CL 1 = σ = k 1 = m = k k i= 1 σ m m i k i= 1 1 = c = c c i k i= 1 k k i DKG R 3 R 4 = 1 + A σ, GKG = A1σ DKG = B σ, GKG = B DKG σ 3 σ 4 m m = m 3 m = + 1, GKGm m 3 m n n σ m 1 DKGc = c 3 c, GKGc = c + 3 c R UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 34
35 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica Jednačine odnose se za kontrolne karte za protekli proces, za koji nisu poznati statistički parametri osnovnog skupa, već se njihove vrednosti procenjuju na osnovu uzoraka Kada su ove karakteristike (osnovnog skupa) poznate, tada se CL, DKG i GKG izračunavaju primenom J-na 7.48 do 7.51 : UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 35
36 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica R CL CL R = X o, = R = d DKG = X o Aσ, GKG = X + 2 σ o, DKGR = D1σ o, GKG R= D2 o o σ Aσ o o σ CL CL = X o, = σ = DKG = X o Aσ, GKG = X + c σ, DKG = B σ, GKG = σ 2 o σ 1 o σ 2 o o B σ o Aσ o UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 36
37 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica Kontrolne karte ovog tipa pripadaju sistemu kontrolnih karata za tekuće procese, jer se centralne linije i kontrolne granice ucrtavaju u kontrolne karte pre nego što se pristupi kontroli stabilnosti i tačnosti (sposobnosti) nekog procesa na osnovu uzoraka UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 37
38 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica Moguć je i treći slučaj karakterstika kvaliteta se pokorava zakonu normalnog rasporeda a poklapaju se i tolerancije T = T p = 6 σ o R σ g + d ' ' CL = X o = sr = DKG = X AT GKG X o AT 0, = + 2 ' ' ' CL R = R = d T DKGR = D1 T, GKGR = D2 T 2 CL CL σ d + g ' ' = Xo = sr = DKG = X o AT, GKG = X o + AT 2 ' ' ' =σ = c T DKGσ = B1 T, GKGσ = B2 T 2 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 38
39 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica U ovom slučaju, kontrolne granice se izrčunavaju i ucrtavaju na osnovu date tolerancije Ovaj tip kontrolnih karata pripada sistemu kontrolnih karata za tekući proces UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 39
40 Ocena stabilnosti proteklog procesa Kada se izračunaju položaji CL, DGK i GKG, tada se na osnovu odnosa granica i unetih tačaka, može oceniti stabilnost protekle proizvodnje Ova ocena proizilazi iz broja tačaka koje se nalaze van kontrolnih granica Protekli proces je stabilan, ako je: Od poslednjih 25 tačaka, svaka je u kontrolnim granicama Od poslednjih 35 tačaka, samo 1 je van kontrolnih granica Od poslednjih 100 (više od 50), 2 se nalaze van kontrolnih granica UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 40
41 Izračunavanje centralnih linija i kontrolnih granica Ovi uslovi stabilnosti važe za bilo koji tip pojedinačne kontrolne karte Kada je reč o dvojnim kartama, kao što je na primer R karta, tada je protekli proces nestabilan ukoliko jedan od navedenih uslova nije zadovoljen na bilo kojoj od dotičnih pojedinih karata Kod nestabilnih procesa tačke izvan kontrolnih granica ukazuju na delovanje nedozvoljenih faktora u toku obrade UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 41
42 Analiza tačnosti proteklog procesa Nakon kontrole stabilnosti procesa, pristupa se kontroli njegove tačnosti Suština kontrole tačnosti sastoji se u upoređivanju (po veličini i položaju) propisanog tolerancijskog polja i područja prirodne disperzije (rasipanja) vrednosti date karakteristike kvaliteta Kod kontrole tačnosti procesa treba razlikovati proces bez i sa trendom UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 42
43 Analiza tačnosti proteklog procesa Kod procesa bez trenda, linija centralne tendencije, odnosno statsitičke mere, paralelna je sa apcisom kontrolne karte (osa ) Kada je proces stabilan, njegova prirodna tolerancija je Tp = 6 σ o UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 43
44 Analiza tačnosti proteklog procesa Teorija uzoraka kaže: ako osnovni skup ima normalni raspored, tada će se i rasponi (R i ) uzoraka, uzeti iz osnovnog skupa, takođe normalno raspoređeni oko centralne linije R Isto važi i za statističku meru Tada se parametri rasporeda OS i uzorka određuju: UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 44
45 Analiza tačnosti proteklog procesa σ o = 1 d 2 R σ o = 1 c 2 σ σ = 1 k k i= 1 σ i R = 1 k k i= 1 R i UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 45
46 Analiza tačnosti proteklog procesa Tačnost posmatranog metoda obrade izražava se koeficijentima tačnosti... µ T 6σ o T p 1 = = T 1 µ 2 = E T = T s UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 46
47 Analiza tačnosti proteklog procesa U zavisnosti od odnosa Tp i T, moguće su tri vrednosti koeficijenta µ 1 :.µ 1 > 1.µ 1 = 1.µ 1 < 1, slika 7.23 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 47
48 Slika 7.23 Karakteristični slučajevi... UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 48
49 Analiza tačnosti proteklog procesa Za netačne procese pojavljuje se škart, koji se izračunava: T q = 1 2φ 100% 2 σ o T T t = = = 2 = σ σ σ 2σ o o o q [ 1 2 ( 3) ] 100% = 0.27% = φ UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 49
50 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 50 Analiza tačnosti proteklog procesa Međutim, uslov µ 1 < 1 nije dovoljan da bi u svim prilikama bila obezbeđena tačna obrada Potrebno je da bude ispunjen i dopunski uslov, odnosno... 2 d g s + = s E = T T E s = = µ µ σ µ = = = T T T E o d d
51 UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 51 Analiza tačnosti proteklog procesa Ako je µ 2 > µ 2d = o s T q σ φ = o s T q σ φ
52 Analiza tačnosti proteklog procesa Zaključak proces bez trenda, čija je stabilnost prethodno proverena i dokazana, biće tačan samo tada ako ispunjava uslove:... µ 1 < 1... µ 2 < µ 2d UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 52
53 Analiza tačnosti proteklog procesa Dopuštena vrednost greške regulisanja ili tolerancije jednaka je: r = 2E = T 6 α σ o UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 53
54 Kontrolne karte za analizu stabilnosti i tačnosti tekućih procesa Model statističke kontrole tekuće kontrole se bitno razlikuje od metoda protekle proizvodnje Suštinu metoda kontrole tekućeg procesa čine kontrolne karte koje se unapred utvrđuju, odnosno pre neposredne kontrole procesa Položaj kontrolnih granica zavisi od reprezentativnih i standardnih vrednosti posmatrane karakteristike kvaliteta UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 54
55 Kontrolne karte za analizu stabilnosti i tačnosti tekućih procesa utvrđivanje reprezentativnih vrednosti Pre početka kontrole tekućeg procesa potrebno je da se ispita najmanje 25 uzoraka, prema pravilima kako je to ranije objašnjeno Ukoliko se zadovolje napred definisana pravila, a proces je stabilan, reprezentativne vrednosti se određuju iz jednačina: r = σ r = 1 d 2 R σ r = 1 c 2 σ p r = p UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 55
56 Kontrolne karte za analizu stabilnosti i tačnosti tekućih procesa utvrđivanje reprezentativnih vrednosti Posle izračunavanja reprezentativnih vrednosti upoređuje se širina granica specifikacije (tolerancije) sa intervalom ( σ, + 3σ ) r 3 r r r U slučaju kada je asimetričan raspored frekvencija karakteristika kvaliteta, onda je ( σ, + 4σ ) ( σ, + 3σ ) r r 3 r r r 4 r r r UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 56
57 Kontrolne karte za analizu stabilnosti i tačnosti tekućih procesa utvrđivanje reprezentativnih vrednosti Kada su zadovoljeni uslovi 7.72 do 7.74 onda je tačnost tehnološkog procesa zadovoljavajuća, što znači da su reprezentativne vrednosti dobre U obrnutom slučaju, mora se procedura ponoviti Proces u napred posmatranim slučajevima može biti statistički ovladan ili neovladan UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 57
58 Kontrolne karte za analizu stabilnosti i tačnosti tekućih procesa određivanje standardnih vrednosti Standardne vrednosti se utvrđuju na osnovu reprezentativnih vrednosti Kada su zadovoljeni uslovi iz j-na , onda su standardne vrednosti jednake reprezentativnim, tj. ' = r = σ ' 1 = σ r = d2 R ' p = pr = p UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 58
59 Kontrolne karte za analizu stabilnosti i tačnosti tekućih procesa utvrđivanje reprezentativnih vrednosti Kada to nije slučaj, onda se procedura ponavlja, kako je to već napred objašnjeno UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 59
60 Centralne vrednosti i kontrolne granice tekućeg procesa Kada se usvoje standardne vrednosti prema prethodnoj proceduri, onda se centralne vrednosti i kontrolne granice za KK za tekući proces izračunavaju: ' ' ' Aσ ' ' + Aσ ' ' R=dσ 2 ' D 1 σ ' D 2 σ ' c 2 σ ' B 1 σ ' B 2 σ ' m ( ' 1 m n) ' ' m 3 m / ( ' 1 m n) ' ' m + 3 m / UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 60
61 Centralne vrednosti i kontrolne granice tekućeg procesa Kada se CL i D/G KG izračunaju, onda se one unose u KK za tekući proces Na ovaj način je završena KK za tekući proces Svrha i metodologija primene KK je projektovanje KK za tekući proces UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 61
62 Hvala Vam na pažnji! Vaš Prof. dr Vidosav D. Majstorović Mašinski fakultet u Beogradu P I T A NJ A! UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 62
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Prediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Str
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Uvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Upravljanje kvalitetom proizvoda I četvrta nastavna jedinica Merni lanci Prof. dr Vidosav D. Majstorović, dipl.maš.inž. Mašinski fakultet u Beogradu
Upravljanje kvalitetom proizvoda I četvrta nastavna jedinica Merni lanci Prof. dr Vidosav D. Majstorović, dipl.maš.inž. Mašinski fakultet u Beogradu UKP I - TIK Mašinski fakultet - Beograd 1 Pojam mernog
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.
1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd
Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Obrada rezultata merenja
Obrada rezultata merenja Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen