HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για ΓΧΑ Συστήματα Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Παραδείγματα

2 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων (Differeial equaio models) Πολύ συχνά τα ΓΧΑ μοντελοποιούνται με συνήθεις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ς( (liear ordiary differeial equaios) )με σταθερούς συντελεστές Παράδειγμα: x() y() S dy () d ay () = bx () Συνήθης: όχι μερικές παράγωγοι Γραμμική: όχι εξάρτηση η από (dy()/d) ) κλπ. Πρώτης τάξης: Διαφορικά πρώτης τάξης μόνο Σταθεροί συντελεστές

3 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων (Differeial equaio models) Ερώτηση: Η αναπαράσταση αυτή είναι γραμμική και χρονικά αμετάβλητη; Ναι, όταν το σύστημα βρίσκεται αρχικά σε ηρεμία, δηλ. η είσοδος και έξοδος είναι μηδενικές για < 0 όπου 0 κάποια χρονική στιγμή dy1() dy() ay1() = bx1(), ay() = bx() d d Γραμμική: ή Έστω x1 () = y1 () = 0, < 1 x () = y () = 0, < d ( a 1 y 1 ( ) + a y ( )) a ( a 1 y 1 ( ) + a y ( )) = b ( a 1 x 1 ( ) + a x ( )) d dy1() dy() a1( ay1( ) bx1( )) + a( ay( ) bx( )) = 0 y1( ) + y( ) = 0, < mi( 1, ) d d Χρονικά αμετάβλητη: dy() ay( ) = bx ( ) x ( ) = y( ) = 0, < d dy( 0) ay( ) = bx( ) y ( ) = y( ) = 0, < + d

4 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Παραδείγματα: Κύκλωμα RC i() Va() x(), vc() y() x() = Ri() + y() dy() i () = C d dy() RC + y() = x() d Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

5 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Κύκλωμα RLC V () x (),() i y() dy () 1 Ry () + L + y ( τ ) d τ = x () d C () () 1 () L d y + R dy + y() = dx d d C d Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

6 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Μηχανικό σύστημα f () x(), y() d y () Fo () = m d dy () d y () x () r ky () M d = d d y() dy() M + r + ky() = x() d d

7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Γενική μορφή: Συνήθης γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης με σταθερούς συντελεστές m d y() dy() d x() dx() a a1 + a0y( ) = bm b1 + b0x( ) m d d d d k m k d y () d x () ak = b k k k k= 0 d k= 0 d 1 dy d y d y με αρχικές συνθήκες: y(0), (0), (0),..., (0) 1 d d d Γενικά για τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης απαιτούνται αρχικές συνθήκες

8 Εξισώσεις διαφορών (Differece equaios) Σε διακριτό χρόνο: a y [ k ] + a y [ k + 1] a y [ k ] = b x [ k m ] b 1 0 m 0 a y[ k l] = b x[ k l] m k l= 0 l= 0 k με αρχικές συνθήκες y[ 1],y[ ], y[ ]. Για την επίλυση μιας εξίσωσης διαφορών τάξης απαιτούνται επίσης αρχικές συνθήκες.

9 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Η Ηγενική ήλύση της m d y() dy() d x() dx() a a1 + a0y( ) = bm b1 + b0x( ) m d d d d έχει τη μορφή: y () = y () + y () y () H H P Λύση ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (homogeeous soluio) Φυσική απόκριση (aural respose) k = 0 a k k d yh k d () = 0 y () P Μερική λύση (paricular soluio) της εξίσωσης Βεβιασμένη απόκριση (Forced respose) Η συνολική λύση πρέπει να ικανοποιεί τις δοθείσες αρχικές συνθήκες

10 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων m d y() dy() d x() dx() a a1 + a0y( ) = bm b1 + b0x( ) m d d d d Ειδικά στην περίπτωση ΓΧΑ συστημάτων, συχνά φέρνουμε τη λύση στη μορφή: y () = y ZI () + y ZS () yzi () Απόκριση μηδενικής εισόδου (zero ipu respose): Λύση ομογενούς διαφορικής εξίσωσης, η οποία επιπλέον ικανοποιεί τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, δηλ. yzs () y ZI dyzi (0) dy(0) (0) = y(0), =,... d d Απόκριση μηδενικής κατάστασης (zero sae respose): Μερική λύση της εξίσωσης η οποία επιπλέον ικανοποιεί μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλ. y ZS dyzs (0) (0) = 0, = 0,... d

11 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων a k m k d y() d x() = bk k d k k k= 0 d k= 0 Ισοδύναμα x () y () y () = y () + y () 1 dy d y d y 1 d d d () y(0), (0), (0),..., (0) ΓΧΑ ZI x() = 0 ZS ΓΧΑ y (0) y(0) y ZI x() + ΓΧΑ yzs () y (0) = 0

12 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 0 a + a + a y() = x() d d dy με αρχικές συνθήκες y(0), (0) d Ομογενής εξίσωση: d y() dy() a + a1 + a0y() = 0 d d Θα αναζητήσουμε λύσεις της μορφής: y = Ce λ H () Αντικαθιστώντας: Ca ( λ + a1λ+ a0) e λ = 0 Επομένως: Χαρακτηριστική εξίσωση ή aλ + a1λ+ a0 = 0 Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Διακρίνουσα: Δ= a 4a a 1 0

13 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () d 1 0 () 0 y dy a + a + a y = (0), (0) d d d a λ + a λ + a = Ρίζες χαρακηριστικού πολυωνύμου Λύση ομογενούς εξίσωσης Δ>0 Δύο πραγματικές άνισες ρίζες ρζ λ 1, λ a1 ± Δ λ1, = a Δ=0 Μια πραγματική ρίζα πολλαπλότητας a1 λ1 = λ = λ = a Δ<0, Δύο άνισες μιγαδικές ρίζες λ 1, λ α 1 0 a1 ± j Δ λ1, = = σ ± jω a y () = Ce + C e H λ 1 λ 1 y () = Ce + C e H λ 1 λ σ y H () = e [ C cos( ω ) + C si( ω)] H 1 Δ<0, α 1 =0 Δύο φανταστικές ρίζες ± j Δ λ1, = =± jω a y () = C cos( ω ) + C si( ω ) H 1

14 0.5 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 1 σ < 0 e - cos(10) e - -e - σ y () = e cos( ω ) H e cos(10) e -e σ > με απόσβεση (uderdamped) σ = 0 cos(10) ασταθές (overdamped). λ1 ω. λ χωρίς απόσβεση (criically damped). λ λ σ<0 σ>0. λ σ

15 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 0 a + a + a y() = 0 d d dy Οι σταθερές C 1 και C υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες y (0), (0) d π.χ. για πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης και x()=0: y () Ce Ce λ 1 λ = + 1 C1+ C = y(0) C dy d 1λ1+ Cλ = (0) Η εύρεση της μερικής λύσης yp () μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, από τους οποίους ο πιο απλός είναι η μέθοδος των προδιοριστέων συντελεστών (mehod of udeermied coefficies), σύμφωνα με την οποία η μερική λύση προσδιορίζεται ανάλογα με τη μορφή της συνάρτησης εξαναγκασμού/ εισόδου x(): Π.χ. για x()=k, ψάχνουμε επίσης για μερικές λύσεις της μορφής y P ()=C 3

16 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 0 a + a + a y () = x () d d Μορφή εισόδου Μορφή μερικής λύσης x()=k y P ()=C 3 x()=βe α x()=βcos(ω) y P ()=C 3 e α y P ()=C 3 cos(ω)+c 4 si(ω) x()=β k k +β k 1 k 1 + +β 0 y P ()=C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 όταν α 0 μη μηδενικό, αλλιώς y ()=(C k +C k 1 P (C k+ k+1 + +C C 3 ) x()=(β k k +β k 1 k 1 + +β 0 )e α x()=(β k k +β k 1 k 1 + +β 0 ) cos(ω) y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 )e α όταν α 0 μη μηδενικό αλλιώς y P()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3)e α y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 )cos(ω) όταν α 0 μη μηδενικό αλλιώς y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 ) cos(ω)

17 Παράδειγμα i() Κύκλωμα RC dy() RC + y() = x(), d R= 1 Ω, C = 1 F, x () = cos( () ), y (0) = V V () x (), v () y () dy() Ομογενής εξίσωση: + y () = 0 d Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ + 1= 0 Γενικά, υπάρχουν δύο τρόποι λύσης: Α τρόπος: Αν μας ενδιαφέρει μόνο η συνολική ήλύ λύση y() Λύση ομογενούς εξίσωσης: y () = Ce Μερική λύση: = P = 1 + H x () cos() y C cos() C si() dyp () = C1si( ) + Ccos( ) d Αντικαθιστώντας: C si( ) + C cos( ) + C cos( ) + C si( ) = cos( ) ( C + C )cos( ) + ( C C )si( ) = cos( ) a C

18 Παράδειγμα i() C + 1 C = 1 C = 1 C = C C1 = y P () = cos( () + si( () Συνολική λύση y () = y H () + y P () = Ce + cos( () + si( () V () x (), v () y () Η συνολική λύση πρέπει να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, άρα 1 3 y(0) = C+ = C = y() = e + cos() + si() a C

19 Παράδειγμα i() Β τρόπος: Αν μας ενδιαφέρει η απόκριση μηδενικής εισόδου και μηδενικής κατάστασης Απόκριση μηδενικής εισόδου: V () x (), v () y () Λύση ομογενούς η οποία ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, άρα: dyzi () + yzi () = 0 yzi () = Ce d yzi (0) = C = Απόκριση μηδενικής κατάστασης: Βρίσκουμε τη μερική ήλύση όπως πριν, δηλ: 1 1 y P () = cos( () + si( () Η απόκριση μηδενικής κατάστασης πρέπει να ικανοποιεί μηδενικές αρχικές συνθήκες. Για να συμβεί αυτό, τη γράφουμε ως γραμμικό συνδυασμό της μερικής λύσης και της ομογενούς: 1 1 yzs () = cos() + si() + De a C

20 1 1 yzs (0) = 0 + D= 0 D= Συνολική λύση y () = yzi () + yzs () = e + cos() + si() e = cos() + si() + e Ίδιο αποτέλεσμα με πριν! Ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. >> =0:0.01:0; >> y_zi=*exp(-); >> y_zs=0.5*cos()+0.5*si()-0.5*exp(-); >> plo (,y_zi,'b',,y_zs,'r',,y_zi+y_zs,'k'); >> leged ('y_z_i()','y_z_s()','y()');