ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διδάσκων: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΨΥΧΑΡΗΣ. Αθήνα 02/03/2012 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

Transcript

1 ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διδάσκων: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΨΥΧΑΡΗΣ Αθήνα 2/3/212 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΑΜ: 21118

2 ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Η έννοια της παραγώγου Παράγωγος συνάρτηση ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΘΕΜΑ: Η έννοια της παραγώγου Παράγωγος συνάρτηση ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ - ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ: Η διδασκαλία με τον παραδοσιακό τρόπο των ενοτήτων «Η έννοια της παραγώγου» και «Παράγωγος συνάρτηση» παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Η προσέγγιση της παραγώγου κινητικά ως ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, και γεωμετρικά ως η κλίση της «εφαπτομένης» (οριακή θέση της ευθείας), αλλά και η κατανόηση της παραγώγου συνάρτησης, απαιτούν τη δυναμική διαχείρηση των μαθηματικών αντικειμένων, κάτι που με τα συμβατικά διδακτικά μέσα, χαρτί, μολύβι, πίνακας, είναι αδύνατο να υλοποιηθεί. Η χρήση υπολογιστικών εργαλείων στην εκπαιδευτική διαδικασία διευκολύνει ή και τροποποιεί την παραδοσιακό τρόπο μάθησης, αλλάζοντας τόσο τον ρόλο του μαθητή όσο και τον ρόλο του καθηγητή. Η συγκεκριμένη δραστηριότητα ενισχύει τη μάθηση ως προϊόν της ενεργούς συμμετοχής των μαθητών και βοηθάει στην ενσάρκωση των μαθηματικών ιδεών, γεφυρώνοντας το χάσμα μεταξύ της αφηρημένης και της συγκεκριμένης γνωστικής λειτουργίας. Προσφέρει στον καθηγητή έναν εναλλακτικό τρόπο διδασκαλίας, συμβάλλοντας έτσι στην δημιουργία μαθητών ικανών να «μάθουν να μαθαίνουν». ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΗ ΑΞΙΑ: Η σημαντικότερη ίσως δυνατότητα που εμπεριέχει το λογισμικό GeoGebra είναι η δυναμική διαχείρηση μαθηματικών αντικειμένων. Ακριβώς αυτή είναι που το καθιστά κατάλληλο για την διδασκαλία των συγκεκριμένων διδακτικών πράξεων. Συγκεκριμένα, η δυνατότητα κατασκευής του δρομέα και η άμεση συσχέτισή του με τον τύπο και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αποτελεί κρίσιμη παράμετρο για την προσέγγιση της έννοιας της παραγώγου κινητικά και γεωμετρικά. Η δυνατότητα να «σύρεται» ένα σημείο κατά μήκος του άξονα x x, να είναι εφικτή η δυναμική διαχείρηση των συντεταγμένων του και της κλίσης της εφαπτομένης, σε 1

3 συνδυασμό με τη δυνατότητα να αφήνει τα ίχνη του ένα εξαρτώμενο σημείο, είναι τα στοιχεία πάνω στα οποία μπορεί να οικοδομηθεί η έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης. ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ: Η έρευνα έχει δείξει ότι οι μαθητές όλων των τάξεων της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, παραδοσιακά αντιμετωπίζουν ιδιαίτερες δυσκολίες με την έννοια της συνάρτησης. Δυσκολίες ως προς την δομική αντιμετώπιση (να την δουν ως αντικείμενο, δηλαδή ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών), αλλά και ως προς τη λειτουργική αντιμετώπιση (να τη δουν ως διαδικασία, δηλαδή ως μέθοδο μεταφοράς από το ένα αναπαραστασιακό σύστημα στο άλλο). Οι εικόνες που έχουν οι μαθητές για τη συνάρτηση είναι περιορισμένες. Χρειάζεται εμπλουτισμός των εικόνων, υπάρχει η ανάγκη σύνδεσης των διαφόρων αναπαραστάσεων και η ανάγκη δημιουργίας δυναμικών εικόνων. Οι συμβολικές αναπαραστάσεις δημιουργούν πρόβλημα στους μαθητές, οι πολύπλοκοι συμβολισμοί και η αλλαγή μεταβλητής ακόμη μεγαλύτερο. Ενώ είναι φυσικό η συνάρτηση να συνδέεται με τη γραφική της παράσταση, η έρευνα δείχνει ότι κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει, ότι οι μαθητές για την επίλυση προβλημάτων δεν χρησιμοποιούν γραφικές παραστάσεις. Στις συγκεκριμένες διδακτικές ενότητες οι μαθητές αντιμετωπίζουν πρόβλημα με f x h f x τον πολύπλοκο συμβολισμο των τύπων της παραγώγου f x lim, h h f x f x f x lim. Αδυνατούν να διακρίνουν ποια είναι η μεταβλητή και ποια x x x x η σταθερά. Επίσης δυσκολεύονται να ανγνωρίσουν την f (x) ως συνάρτηση, την βλέπουν ως μια τιμή και αδυνατούν να αντιληφθούν την αλλάγή του ρόλου του x, από μια συγκεκριμένη τιμή που έχει στους παραπάνω τύπους, σε ανεξάρτητη μεταβλητή στην f (x). Μικρότερης έκτασης πρόβλημα σχετικά με τις συγκεκριμένες διδακτικές ενότητες, δημιουργεί η εννοιολογική αλλαγή της εφαπτομένης. Δυσκολεύονται να περάσουν από μια ολική ιδιότητα που ισχύει για όλα τα σημεία, σε μια ιδιότητα τοπικού χαρακτήρα που ισχύει για τα σημεία μιας περιοχής του x. Αναφορές που χρησιμοποιήθηκαν: Elia, I. & Spyrou, P. (26). How students conceive function: A triarchic conceptual-semiotic model of the understanding of a complex construct. The Montana Mathematics Enthousiast. Sajka, M. (23). A secondary school student s understanding of the concept of function- A case study. Educational Studies in Mathematics Tall. D. (1997). Functions and Calculus. In A.J. Bishop et al. (eds.) International Handbook of Mathematics Education,

4 ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΣΕ ΠΟΙΟΥΣ ΑΠΕΥΘΥΝΕΤΑΙ: Το σενάριο απευθύνεται στους μαθητές της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. ΧΡΟΝΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: Η υλοποίηση του σεναρίου απαιτεί 3 διδακτικές ώρες. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: Οι μαθητές θα εργαστούν στο εργαστήριο πληροφορικής της σχολικής μονάδας. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Ως προς το γνωστικό αντικείμενο οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν την έννοια του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, την έννοια της συνάρτησης, να αναγνωρίζουν τα αναπαραστασιακά της πλαίσια (τύπος, πίνακας τιμών, γραφική παράσταση), την έννοια του ορίου και την έννοια της συνέχειας. Επιπλέον θα πρέπει να αναγνωρίζουν τις βασικές συναρτήσεις μέσα από τη γραφική τους παράσταση. Το να έχουν οι μαθητές ήδη μια επαφή και μια εξοικείωση, έστω και μικρή, με το λογισμικό GeoGebra συμβάλλει τόσο στην ομαλή ροή της διδασκαλίας, όσο και στην επίτευξη των στόχων της δραστηριότητας. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ: Οι Η/Υ του εργαστηρίου πληροφορικής. Το λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και Άλγεβρας GeoGebra. Τα αρχεία «derivative_1», «derivative_2», «derivative_function» τύπου.ggb Βίντεο-προβολέας. Σχετικά φύλλα εργασίας (βλ. τέλος σεναρίου). ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΝΟΡΧΗΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ: Οι μαθητές, καθοδηγούμενοι από τα φύλλα εργασίας, θα εργαστούν σε ομάδες των 2 ή 3 ατόμων, ανάλογα με το πλήθος των διατιθέμενων Η/Υ του εργαστηρίου και των μαθητών της τάξης. Ο καθηγητής, αναλαμβάνοντας στην ουσία το ρόλο του «συνκατασκευαστή» βοηθά τους μαθητές στην κατασκευή των νέων μαθηματικών εννοιών. Εξειδικεύει τις παρεμβάσεις του με κατάλληλες ερωτήσεις, ανάλογα με τη ροή της διδασκαλίας, αφήνοντας συγχρόνως στους μαθητές την πρωτοβουλία των κινήσεων και τα περιθώρια για δια πραγμάτευση. Η άριστη γνώση και χρήση του GeoGebra από τον καθηγητή είναι αναγκαία για τη σωστή διεξαγωγή της δραστηριότητας. Οι υποδείξεις του προς τους μαθητές για την κατασκευή των μαθηματικών αντικειμένων που προβλέπονται στα φύλλα εργασίας, πρέπει να γίνεται σωστά, 3

5 γρήγορα και κατανοητά, ώστε κατά πρώτον να αποφεύγονται άσκοπες καθυστερήσεις και κατά δεύετρον να μην παρατηρείτε μετατόπιση από τους προβλεπόμενους διδακτικούς στόχους στην εκμάθηση των ενολών του λογισμικού. ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Γενικό στόχο αποτελεί ο προσανατολισμός στην εννοιολογική διάσταση των νέων μαθηματικών αντικειμένων που περιέχονται στις συγκεκριμένες διδακτικές ενότητες. Οι επιμέρους στόχοι είναι: Οι μαθητές να κατασκευάσουν την έννοια της παραγώγου, προσεγγίζοντάς την τόσο κινητικά ως ο ρυθμός μεταβολής, όσο και γεωμετρικά ως η κλίση της εφαπτομένης. Να πραγματοποιήσουν την εννοιολογική αλλαγή της έννοιας της εφαπτομένης που είναι αναγκαία, όχι μόνο για τις συγκεκριμένες διδακτικές ενότητες, αλλά και για ολόκληρο το κεφάλαιο του Διαφορικού Λογισμού. Να οικοδομήσουν την έννοια της παραγώγου συνάρτησης, να μπορούν να την αναγνωρίσουν ως μια νέα συνάρτηση και να κατανοήσουν πώς προκύπτει από την ίδια τη συνάρτηση. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Η υπλοποίηση της δραστηριότητας θα πραγματοποιηθεί σε τρεις φάσεις. Σε κάθε φάση οι μαθητές καθοδηγούνται από το αντίστοιχο φύλλο εργασίας (βλ. τέλος σεναρίου). Στις δύο πρώτες φάσεις εισάγεται η έννοια της παραγώγου. Συγκεκριμένα, στην 1 η φάση προσεγγίζεται κινητικά, δηλαδή ως ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, ενώ στη 2 η φάση προσεγγίζεται γεωμετρικά, δηλαδή ως η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης. Στην 3 η φάση οικοδομείται η έννοια της παραγώγου συνάρτησης. 1 Η ΦΑΣΗ Στο 1 ο βήμα οι μαθητές εκτελούν το αρχείο «derivative_1» και διαβάζουν το πλαίσιο του προβλήματος: Η θέση ενός κινητού Κ δίνεται από τη συνάρτηση 3 t 2 S t 4t 6t 9 με t 6. 2 Ο καθηγητής πρέπει να εξηγήσει ότι στην αναπαράσταση που βλέπουν στην οθόνη, το Κ παριστάνει το κινητό, το διαβαθμισμένο ευθύγραμμο τμήμα τον άξονα στον οποίο κινείται και ο δρομέας t το χρόνο. Στο 2 ο βήμα ο καθηγητής τους υποδεικνύει, μέσω του βίντεο-προβολέα, πώς θα ενεργοποιήσουν την κίνηση του t για να δουν την αναπαράσταση της κίνησης του κινητού Κ πάνω στον άξονα και επίσης πώς μπορούν να κάνουν προσωρινή παύση 4

6 της. Στη συνέχεια τους ζητείται να σύρουν το t από έως 6. Αυτό θα τους βοηθήσει στο να κατανοήσουν ότι κατά τη διάρκεια της δραστηριότητας μπορούν να διαχειριστούν δυναμικά το χρόνο t. Στο 3 ο βήμα, αφού πληκτρολογήσουν στο πεδίο Εισαγωγή «m=s(t)», καλούνται να απαντήσουν στην ερώτηση: Τι εκφράζει η τιμή του m; Αναμένουμε ότι θα απαντήσουν με ευκολία ότι εκφράζει τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t. Οποιαδήποτε δυσκολία παρουσιαστεί μπορεί να ξεπεραστεί με την κατάλληλη παρέμβαση του καθηγητή. Στις επόμενες δύο ερωτήσεις θεωρούμε ότι μπορούν να κάνουν τις απαιτούμενες ενέργειες που θα τους οδηγήσουν στην απάντηση. Να σύρουν το t στο 2 (και μετά στο 4), να παρατηρήσουν την τιμή του m και να γράψουν S(2)=9 και S(4)=1. Εδώ ο καθηγητής μπορεί να τους παροτρύνει να το επιβεβαιώσουν, παρατηρώντας συγχρόνως τη θέση του κινητού Κ στον άξονα. Στη συνέχεια τους ζητείται να γράψουν τη σχέση που δίνει τη μέση ταχύτητα του κινητού από τη χρονική στιγμή t=2 μέχρι τη χρονική στιγμή t=4 και να την υπολογίσουν. Αναμένουμε ότι θα αντικαταστήσουν τις τιμές που βρήκαν πριν και S 4 S θα καταλήξουν 4. Αν κάποια ομάδα δυσκολευτεί, μάλλον θα 2 2 οφείλεται στη μη γνώση του τύπου της μέσης ταχύτητας. Σ αυτή τη περίπτωση ο καθηγητής ζητάει από κάποια άλλη ομάδα να διατυπώσει τον τύπο της μέσης ταχύτητας, και τους προτρέπει να τον προσαρμόσουν στην υπάρχουσα κατάταση. Στην τελευταία ερώτηση του 3 ου βήματος στην ουσία οι μαθητές καλούνται να αναγνωρίσουν την ταχύτητα ως διανυσματικό μέγεθος, και ως τέτοιο, το μείον θα δηλώνει ότι η φορά της είναι αρνητική, δηλαδή ότι το κινητό σ αυτό το χρονικό διάστημα κινείται προς τα αριστερά. Η παρέμβαση του καθηγητή, αν χρειαστεί, κρίνεται επιτυχής αν οδηγήσει τους μαθητές στο να κάνουν αυτή τη σειρά συλλογισμών. Το 4 ο βήμα είναι ιδιαίτερα σημαντικό διότι εδώ εμπλέκεται η παράμετρος h. Καταρχήν ζητείται από τους μαθητές να σύρουν το h από έως 4, για να κατανοήσουν ότι πρόκειται για μια ποσότητα που μπορούν να τη διαχειριστούν δυναμικά. Στη συνέχεια καλούνται να απαντήσουν τι εκφράζει η τιμή S(t+h) για t=2 και h=2. Σ αυτή την ερώτηση ο καθηγητής πρέπει να αφιερώσει όσο χρόνο απαιτείται, οι δε παρεμβάσεις του, στις ομάδες που κρίνει ότι χρειάζονται τη βοήθειά του, πρέπει να είναι ιδιαιτέρως εύστοχες. Είναι σημαντικό για τη συνέχεια οι μαθητές να ανακαλύψουν οι ίδιοι ότι το S(t+h) εκφράζει τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t+h=2+2=4. Ο καθηγητής πρέπει να εμφανιστεί ως αρρωγός και συνερευνητής στην προσπάθεια των μαθητών, να διαπραγματευτεί μαζί τους και μέσω κατάλληλων ερωτήσεων, να τους ωθήσει στην απάντηση. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή να μην ανακοινώσει ο ίδιος την απάντηση, αλλά να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν το διακριτό ρόλο των t και h. Μόνο τότε θα είναι σε θέση να αντιληφθούν την ποσότητα h ως τη διαφορά δύο χρονικών στιγμών. Αυτό, 5

7 σε συνδυασμό με το ότι μπορούν να τη διαχειριστούν δυναμικά, είναι ίσως το πιο καθοριστικό σημείο της 1 ης φάσης. Στη συνέχεια αναμένουμε ότι οι μαθητές θα απαντήσουν με ευκολία ότι το κλάσμα S t h S t, για τις συγκεκριμένες τιμές των t και h, εκφράζει τη μέση ταχύτητα h από τη χρονική στιγμή t=2 μέχρι τη χρονική στιγμή t=4. Στη συνέχεια τους ζητείται να πληκτρολογήσουν στο πεδίο Εισαγωγή τον τύπο της μέσης ταχύτητας «v=(s(t+h)-s(t))/h» και επιλέγοντας κατάλληλες τιμές για τα t, h να προσδιορίσουν την μέση ταχύτητα από τη χρονική στιγμή t=1 μέχρι τη χρονική στιγμή t=4. Αν έχουν κατανοήσει το h ως διαφορά δύο χρονικών στιγμών, δεν θα αντιμετωπίσουν πρόβλημα στο να επιλλέξουν τις σωστές τιμές (t=1 και h=3) και να απαντήσουν ότι v=-3,5 (Εικόνα 1). Η αντίδρασή τους στη συγκεκριμένη ερώτηση αποτελεί κριτήριο για το αν ο καθηγητής θα προχωρήσει στο επόμενο βήμα ή θα γυρίσει πίσω για να διαπραγματευτεί εκ νέου το ρόλο του h. Εικόνα 1: Στιγμιότυπο της 1 ης φάσης Οι δύο πρώτες ερωτήσεις του 5 ου βήματος, που είναι να προσδιορίσουν τη μέση ταχύτητα από τη χρονική στιγμή t=2 μέχρι τη χρονική στιγμή t=3 και μέχρι τη χρονική στιγμή t=2,5, έχουν ως στόχο να προιδεάσουν τους μαθητές στο να αρχίσουν να ελαττώνουν την ποσότητα h, δηλαδή την απόσταση των δύο χρονικών στιγμών, κρατώντας σταθερό το χρόνο t. Έτσι, όταν στη συνέχεια τους ζητείται, να σύρουν το h κοντά στο, να αντιληφθούν ότι δεν έχει νόημα πλέον να μιλάμε για μέση ταχύτητα, αλλά ότι τώρα, η τιμή v=-4 εκφράζει την στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=2 (Εικόνα 2). 6

8 Εικόνα 2: Στιγμιότυπο της 1 ης φάσης Στο συμπέρασμα που ακολουθεί οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν τις λέξεις S t h S t «στιγμιαία ταχύτητα» και τον τύπο «v t lim». Εδώ ο καθηγητής h h οφείλει να προτρέψει τους μαθητές κάθε ομάδας να συζητήσουν, να διαπραγματευτούν, να αναστοχαστούν και στηριζόμενοι πάνω στις ήδη υπάρχουσες γνώσεις τους, να εντοπίσουν με ποια μαθηματική έννοια μπορούν να προσεγγίσουν το γεγονός ότι η ποσότητα h πλησιάζει στο. Είναι διδακτικά ορθότερο οι μαθητές να φτάσουν μόνοι τους στο ότι η έννοια που πρέπει να χτησιμοποιήσουν είναι η έννοια του ορίου, διότι τότε θα έχουν καταφέρει να συνδέσουν τη νέα γνώση με την ήδη υπάρχουσα. Στο συγκεκριμένο σημείο, αν ο καθηγητής το κρίνει απαραίτητο, μπορεί να τους ζητήσει να υπολογίσουν και αλγεβρικά τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη S 2 h S 2 χρονική στιγμή t=2. Έτσι, υπολογίζοντας οι μαθητές το lim, η σύνδεση h h παλιάς και νέας γνώσης θα πάρει σάρκα και οστά. Στο 6 ο και τελευταίο βήμα οι μαθητές καλούνται, μέσω του λογισμικού, να προσδιορίσουν τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τις χρονικές στιγμές t=1, t=2, t=3 και να διακρίνουν αν κινείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Στην ουσία τους ζητείται να επαναλάβουν ενέργειες που ήδη έχουν κάνει. Οπότε αναμένουμε με ευχέρεια να τοποθετήσουν το h στο και σύροντας το t, να καταγράψουν τις τιμές v(1), v(3), v(5) και με βάση το πρόσημό τους να αποφανθούν για την κατεύθυνση του κινητού. 7

9 Τους ζητείται επίσης να εντοπίσουν ποιες χρονικές στιγμές η ταχύτητα του κινητού είναι. Και εδώ αναμένουμε να μην συναντήσουν ιδιαίτερη δυσκολία στο να σύρουν το t από έως 6 και να παρατηρήσουν πότε η τιμή του v είναι. Εναλλακτικά, ο καθηγητής, αν το κρίνει απαραίτητο, μπορεί να τους προτείνει να το επιβεβαιώσουν ενεργοποιώντας την κίνηση του t και παρατηρώντας ότι τις χρονικές στιγμές που εντόπισαν, το κινητό πράγματι είναι στιγμιαία ακίνητο. Το φύλλο εργασίας κλείνει με τον τυπικό ορισμό. Αφού πλέον έχει ολοκληρωθεί η δραστηριότητα, η παρουσίαση του τυπικού ορισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο x o του πεδίου ορισμού της, ως ο ρυθμός μεταβολής της f στο συγκεκριμένο σημείο, μπορεί να γίνει πλέον ομαλά. Κάτι το οποίο δεν θα μπορούσεί να συμβεί αν η διατύπωσή του γινόταν εξ αρχής διότι, είναι πολύ πιθανό η πλειοψηφία των μαθητών να μην είχε αντιληφθεί καν «τι λέει», να μην μπορούσε να διακρίνει το ρόλο του x o και του h, να υπήρχε σύγχυση στο ποια είναι η μεταβλητή και ποια η παράμετρος. 2 Η ΦΑΣΗ Στο 1 ο βήμα οι μαθητές εκτελούν το αρχείο «derivative_2». Ο καθηγητής εξηγεί ότι στην οθόνη βλέπουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, της οποίας ο τύπος φαίνεται στο πεδίο της Άλγεβρας, και τους δρομείς x και m. Τους προτρέπει να σύρουν τους δύο δρομείς στο διάστημα [-2,6] για να εξοικειωθούν με τη δυνατότητα της δυναμικής διαχείρησή τους, αφού στην ουσία εκεί βασίζεται η όλη διεξαγωγή της δραστηριότητας. Στο 2 ο βήμα τους ζητείται να σύρουν τον δρομέα x στην τιμή 3 και να εμφανίσουν τα σημεία Α(x,f(x)) και Μ(m,f(m)) της C f, εισάγοντας τις συντεταγμένες τους στο πεδίο Εισαγωγή. Αν υπάρξει πρόβλημα, ο καθηγητής θυμίζει τι ακριβώς πρέπει να πληκτρολογήσουν. Στη συνέχεια τους υποδεικνύει μέσω του βιντεο-προβολέα με ποιο ενσωματωμένο εργαλείο θα κατασκευάσουν την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Μ. Στην επόμενη ερώτηση οι μαθητές καλούνται να γράψουν τον τύπο που δίνει την κλίση της ευθείας ΑΜ. Αναμένουμε να χρησιμοποιήσουν τον ym y A τύπο που ήδη γνωρίζουν από την προηγούμενη χρονιά. Το ζητούμενο xm x A όμως εδώ, είναι να τον εφαρμόσουν στο συγκεκριμένο πλαίσιο, δηλαδή να αντικαταστήσουν τις συντεταγμένες των Α και Μ και να καταλήξουν ότι η κλίση της f m f x ΑΜ δίνεται από το κλάσμα. Η αντικατάσταση πρέπει να γίνει από τους m x ίδιους τους μαθητές, γι αυτό ο καθηγητής οφείλει να περάσει γρήγορα από όλες τις ομάδες και να παρέμβει όπου διαπιστώσει ότι υπάρχει δυσκολία. Αν οι ομάδες που δυσκολεύονται είναι πολλές, εναλλακτικά, μπορεί να διαπραγματευτεί το ζήτημα με ολόκληρη την τάξη. Το βήμα ολοκληρώνεται με την εισαγωγή του τύπου f της κλίσης «κ= m f x» στο πεδίο Εισαγωγή. m x 8

10 Να διευκρινίσουμε εδώ ότι για τον υπολογισμό της κλίσης της εφαπτομένης δεν επιλέξαμε το ενσωματωμένο εργαλείο του GeoGebra, διότι μέσω αυτού δεν θα μπορούσαμε να φτάσουμε στον τύπο που δίνει την παράγωγο της f στο x. Στο 3 ο βήμα, αρχικά ζητείται από τους μαθητές να σύρουν το δρομέα m, ώστε να πλησιάσει στην τιμή x=3, και από δεξιά και από αριστερά και να παρατηρήσουν την οριακή θέση της ευθείας ΑΜ. Ουσιαστικά σ αυτό το σημείο οι μαθητές καλούνται να πραγματοποιήσουν το πρώτο βήμα για την εννοιολογική αλλαγή της εφαπτομένης. Να τροποποιήσουν την εικόνα της έννοιας που μέχρι τώρα είχαν στο μυαλό τους και αφορούσε εφαπτομένη κύκλου, και να περάσουν στην έννοια της εφαπτομένης συνάρτησης. Να μεταβούν από μια ιδιότητα ολική που ισχύει για κάθε σημείο του κύκλου, σε μια ιδιότητα με τοπικά χαρακτηριστικά που ισχύει για μια περιοχή του x. Αυτή η αλλαγή δεν είναι καθόλου εύκολη, γι αυτό ο καθηγητής οφείλει να αφιερώσει επαρκή χρόνο. Αρχικά να προκαλέσει συζήτηση γύρω από τις εμπειρίες των μαθητών για την έννοια της εφαπτομένης, μετά βασιζόμενος σ αυτές να την επεκτείνει προσαρμόζοντάς την στην εφαπτομένη συνάρτησης, να τονίσει ότι πλέον η έννοια αποκτά τοπικό χαρακτήρα, αλλά παράλληλα να κάνει γνωστό στους μαθητές ότι το νέο πλαίσιο της έννοιας καλύπτει και όλες τις περιπτώσεις που μέχρι τώρα είχαν συναντήσει. Για να απαντήσουν στην επόμενη ερώτηση, ποια είναι τώρα η κλίση της ευθείας ΑΜ, αρκεί να παρατηρήσουν την τιμή του k. Ακολούθως, αναμένουμε ότι η σειρά συλλογισμών που περιγράφεται στο φύλλο εργασίας, θα ανακαλέσει στο νου των μαθητών την έννοια του ορίου. Έτσι θα είναι πιο εύκολο να προσεγγίσουν την κλίση της εφαπτομένης ως το όριο όταν το m τείνει στο x και να απαντήσουν ότι η κλίση της ευθείας ΑΜ ισούται με f m f x lim. m x m x Ο ορισμοί της εφαπτομένης και της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο, που διατυπώνονται στη συνέχεια του φύλλου εργασίας, θα είναι πιο προσιτοί στους μαθητές. Η παρέμβαση του καθηγητή είναι απαραίτητη ώστε τα κενά που απαιτούνται, να συμπληρωθούν σωστά. Πρέπει να καθοδηγήσει τους μαθητές, να f x f x χρησιμοποιήσουν, και στους δύο ορισμούς, τον τύπο lim. x x x x f x h f x Επειδή συνήθως ο τύπος lim διατυπώνεται όταν η παράγωγος h h f x f x προσεγγίζεται ως ρυθμός μεταβολής, ενώ ο τύπος lim όταν η x x x x παράγωγος προσεγγίζεται ως η κλίση της εφαπτομένης, παρατηρείτε συχνά το φαινόμενο οι μαθητες να χρησιμοποιούν τον πρώτο τύπο όταν τους ζητείτε ο ρυθμός μεταβολής και τον δεύτερο όταν τους ζητείται η κλίση της εφαπτομένης. Τους βλέπουν δηλαδή ως δύο τύπους που υπολογίζουν δύο διαφορετικά πράγματα. Γι αυτό είναι αναγκαίο, ο καθηγητής να διευκρινίσει ότι στην ουσία και 9

11 οι δύο τύποι αναφέρονται στην παράγωγο συνάρτησης και ότι η παράγωγος εκφράζει και τον ρυθμό μεταβολής, αλλά και την κλίση της εφαπτομένης. Στην τελευταία ερώτηση του 3 ου βήματος οι μαθητές αναμένουμε να συσχετίσουν την παράγωγο της f στο σημείο 3 με την τιμή του k και να γράψουν ότι f (3)=,73 (Εικόνα 3). Εικόνα 3: Στιγμιότυπο της 2 ης φάσης Στο 4 ο βήμα οι μαθητές καλούνται να προσδιορίσουν την παράγωγο της f στο σημείο,5 και να δικαιολογήσουν γιατί είναι αρνητική. Αναμένουμε, ενεργώντας όπως πριν, να προσδιορίσουν εύκολα την τιμή της παραγώγου. Για το πρόσημο πρέπει ο καθηγητής να παρέμβει αν χρειαστεί, και να ωθήσει τους μαθητές να συσχετίσουν το πρόσημο της παραγώγου με το είδος της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα x x. Η γωνία είναι αμβλεία, άρα έχει αρνητική εφαπτομένη, που σημαίνει ότι η κλίση είναι αρνητική, οπότε αρνητική είναι και η παράγωγος. Όμοια στην επόμενη ερώτηση, αφού προσδιορίσουν ότι f (1,7)=, να συσχετίσουν την δικαιολόγηση με το γεγονός ότι η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Στο 5 ο βήμα, οι μαθητές καθοδηγούμενοι από το φύλλο εργασίας, αλλάζουν τον 2 τύπο της f, εμφανίζουν την f x x 2x, 5 και προσδιορίζουν την f (,5). Στο 6 ο βήμα τίθεται το ζήτημα της μη παραγωγισιμότητας σε διαισθητικό επίπεδο. Αναμένουμε να αντιληφθούν ότι στο σημείο 2 δεν υπάρχει οριακή θέση της ευθείας ΑΜ και να παρατηρήσουν ότι όταν το m πλησιάσει στο x από αριστερά τότε k=-2, ενώ όταν το πλησιάσει από δεξιά k=2. Μ αυτές τις διαπιστώσεις, αλλά 1

12 και με τη βοήθεια του καθηγητή αν χρειαστεί, οδηγούνται στο να συμπεράνουν ότι στο σημείο 2 δεν υπάρχει η παράγωγος της f (Εικόνες 4α, 4β). Εικόνα 4α: Στιγμιότυπο της 2 ης φάσης Εικόνα 4β: Στιγμιότυπο της 2 ης φάσης 11

13 Στο 7 ο βήμα οι μαθητές πάλι διαισθητικά, αναμένουμε να αντιληφθούν χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες, ότι το ίδιο συμβαίνει και στο σημείο, διότι και εκεί, όπως στο 2, η γραφική παράσταση σχηματίζει «γωνία». Κάτι που δεν μπορεί να συμβαίνει αλλού, αφού σε όλα τα άλλα σημεία η C f είναι «ομαλή». Τέλος, καλούνται να συμπεράνουν ότι η f στα σημεία και 2 δεν είναι παραγωγίσιμη. 3 Η ΦΑΣΗ Στο 1 ο βήμα οι μαθητές εκτελούν το αρχείο «derivative_function» και βλέπουν τη 3 x γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 2x 3. 2 Στο 2 ο βήμα ο καθηγητής τους υποδεικνύει πώς μπορούν να κατασκευάσουν ένα ελεύθερο σημείο Α πάνω στον x x. Για την κατασκευή του σημείου Β, τους ζητάει καταρχήν, να του πουν ποιες είναι οι συντεταγμένες του και μετά τους υποδεικνύει ότι για να το εμφανίσουν πρέπει να πληκτρολογήσουν στο πεδίο Εισαγωγή «Β=(x(A),f(x(A))». Τους προτρέπει να παρατηρήσουν ότι σύροντας το Α κατά μήκος του x x, το Β κινείται κατά μήκος της C f, ώστε να αντιληφθούν ότι μπορούν να το διαχειριστούν δυναμικά. Στη συνέχεια, πάλι με υπόδείξεις του καθηγητή, κατασκευάζουν την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Β και εμφανίζουν την κλίση της m. Στην ερώτηση τι εκφράζει η τιμή του m, αναμένουμε να απαντήσουν με ευκολία ότι εκφράζει την παράγωγο της f στο σημείο x(a). Αν κάποιες ομάδες δεν ανταπεξέλθουν, ο καθηγητής με κατάλληλη παρέμβαση προσπαθεί να κάνει τους μαθητές να ανακαλέσουν στο νού τους την έννοια της παραγώγου. Ακολούθως τους ζητείται να σύρουν το Α στα σημεία 2 και -1 του άξονα x x και με βάση την τιμή του m, να απαντήσουν ότι f (2)=4 και f (-1)=-,62, κάτι που με ευχέρεια αναμένουμε να κάνουν. Το κρίσιμο σημείο της 3 ης φάσης είναι το 3 ο βήμα. Για την κατασκευή του σημείου C(x(A), m), ο καθηγητής πρέπει να αφήσει τους μαθητές να το σκεφτούν και να το κατασκευάσουν μόνοι τους χωρίς καμία υπόδειξη. Να παρέμβει μόνο όπου καταστεί αναγκαίο, αλλά και πάλι να δώσει μόνο μια αρχική ώθηση και όχι έτοιμη την απάντηση. Στη συνέχεια οι μαθητές καλούνται να σύρουν το Α και να παρατηρήσουν την τροχιά που διαγράφει το σημείο C. Εδώ πρέπει να δώσει την ευκαιρία ο καθηγητής να το κάνουν αρκετές φορές. Ακολούθως, αφού τους υποδείξει ο ίδιος πώς θα ενεργοποιήσουν το ίχνος του C, να σύρουν και πάλι το A αρκετές φορές και με όσο το δυνατόν μικρή ταχύτητα, ώστε η τροχιά του C να διαγραφεί με ευκρίνεια (Εικόνα 5). Στην ερώτηση τι πιστεύουν ότι αποτελεί η διαγραφόμενη τροχιά, ο καθηγητής πρέπει να δώσει επαρκή χρόνο στους μαθητές, για να το συζήτησουν και να το διαπραγματευτούν μεταξύ τους. Ο ίδιος περνώντας από κάθε ομάδα, να συμμετέχει στην συζήτηση, παρουσιαζόμενος ως συνακατασκευαστής της νέας γνώσης. Η δυσκολία που παρατηρείτε εδώ για τους μαθητές οφείλεται στον εξής λόγο: Για να προσδιορίσουν την παράγωγο μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο x, 12

14 έχουν μάθει να χρησιμοποιούν είτε τον τύπο x x f x f lim x h f x f h h είτε τον f f x lim. Και στις δύο περιπτώσεις το x το εκλαμβάνουν ως ένα x x x x σταθερό σημείο με συγκεκριμένη τιμή, και ως μεταβλητή στον πρώτο τύπο το h και στον δεύτερο το x. Τώρα όμως, για να αντιληφθούν ότι η διαγραφόμενη τροχιά αποτελεί την παράγωγο συνάρτηση, πρέπει να θεωρήσουν ως ανεξάρτητη μεταβλήτή το x και ως εξαρτημένη την τιμή της παραγώγου f (x ). Αυτή η αλλαγή του ρόλου του x εμπεριέχει αρκετή δυσκολία για τους μαθητές. Επιπλέον πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι οι πολύπλοκοι συμβολισμοί στους δύο τύπους προσθέτουν σύγχυση στο όλο πλαίσιο. Εικόνα 5: Στιγμιότυπο της 3 ης φάσης Στο 4 ο βήμα οι μαθητές καλούνται να κάνουν κάτι που το έχουν ήδη κάνει στη 2 η 2 φάση, να εμφανίσουν τη γραφική παράσταση της f x x 2x, 5. Στη συνέχεια τους ζητείται, βάσει της γραφικής παράστασης, να την εξετάσουν ως προς τη συνέχεια και να εξηγήσουν γιατί παρουσιάζει ασυνέχεια στα σημεία και 2 (Εικόνα 6). Εδώ πρέπει να συνδέσουν το συμπέρασμα της 2 ης φάσης, δηλαδή ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στα σημεία αυτά, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει η παράγωγος εκεί, οπότε η f (x) δεν είναι συνεχής εκεί. Θεωρούμε ότι μπορούν οι μαθητές να κάνουν αυτή την τροχιά συλλογισμών. Σε όποια όμως ομάδα παρουσιαστεί δυσκολία, θα πρέπει να παρέμβει ο καθηγητής και να τους ωθήσει προς αυτή την κατεύθυνση. 13

15 Εικόνα 6: Στιγμιότυπο της 3 ης φάσης Το 5 ο και τελευταίο βήμα έχει στόχο, οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό για να ανακαλύψουν μόνοι τους ποια είναι η παράγωγος συνάρτηση κάποιων βασικών συναρτήσεων. Της f x ημx, της f x συνx, της f x lnx και της x f x e. Αναμένουμε ότι χωρίς δυσκολία θα συμπεράνουν ότι ημx συνx, 1 lnx x x και e e (Εικόνα 7). Εκεί που μάλλον θα συναντήσουν δυσκολία x είναι στο ότι συνx ημx. Ο καθηγητής θα πρέπει να τους δώσει χρόνο να σκεφτούν ποια μπορεί να είναι η συνάρτηση που βλέπουν. Εναλλακτικά μπορεί να τους προτρέψει, για όποια συνάρτηση υποψιάζονται ότι είναι, να κάνουν την γαρφική της παράσταση και αν συμπίπτει τότε θα είναι η ζητούμενη. 14

16 Εικόνα 7: Στιγμιότυπο της 3 ης φάσης ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Το συγκεκριμένο Διαδακτικό σενάριο μπορεί να προσαρμοστεί και να χρησιμοποιηθεί στην διδασκαλία των ενοτήτων: Θεώρημα Rolle, Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού, Μονοτονία και Ακρότατα Συνάρτησης, Κυρτότητα Σημεία Καμπής. 15

17 1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βήμα 1 ο : Εκτελέστε, με διπλό αριστερό κλικ, το αρχείο «derivative_1». Η θέση ενός κινητού Κ, το οποίο κινείται κατά μήκος ενός άξονα, την χρονική στιγμή 3 t 2 t, με t 6, δίνεται από την συνάρτηση S t 4t 6t 9. 2 Στην οθόνη βλέπετε τους δρομείς t και h, το κινητό Κ, τον άξονα στον οποίο κινείται και στο πεδίο Άλγεβρα αριστερά τον τύπο της συνάρτησης S. Βήμα 2 ο : Ενεργοποιήστε την κίνηση του t, ώστε να πάρετε την αναπαράσταση της κίνησης που εκτελεί το κινητό Κ κατά μήκος του άξονα. Με πατημένο αριστερό κλικ σύρετε το t από έως 6 και παρατηρείστε, κάθε στιγμή, τη θέση του κινητού Κ. Βήμα 3 ο : Πληκτρολογήστε στο πεδίο Εισαγωγή «m=s(t)». - Τι εκφράζει το m για τις διάφορες τιμές του t; - Ποια είναι η θέση του κινητού την χρονική στιγμή t=2; S(2)=... - Ποια είναι η θέση του κινητού την χρονική στιγμή t=4; S(4)=... - Ποια σχέση εκφράζει την μέση ταχύτητα του κινητού από την χρονική στιγμή t=2 μέχρι την χρονική στιγμή t=4 και ποια είναι η τιμή της;.. - Τι δηλώνει το πρόσημο της μέσης ταχύτητας;. Βήμα 4 ο : Με πατημένο αριστερό κλικ στο h και σύροντας έχετε τη δυνατότητα να επιλέξετε την τιμή του στο διάστημα [,4]. Επιλέξτε t=2 και h=2. - Τι εκφράζει η τιμή S(t+h);.. S t h S t - Τι εκφράζει το κλάσμα για τις συγκεκριμένες τιμές των t και h;.. h Πληκτρολογήστε στο πεδίο Εισαγωγή «v=(s(t+h)-s(t))/h». - Επιλέξτε κατάλληλες τιμές για τα t και h ώστε το u να εκφράζει τη μέση ταχύτητα του κινητού από τη χρονική στιγμή t=1 μέχρι τη χρονική στιγμή t=4. Με τι ισούται η μέση ταχύτητα;.. 16

18 Βήμα 5 ο : - Ποια είναι η μέση ταχύτητα του κινητού από τη χρονική στιγμή t=2 μέχρι τη χρονική στιγμή t=3; - Ποια είναι η μέση ταχύτητα του κινητού από τη χρονική στιγμή t=2 μέχρι τη χρονική στιγμή t=2,5; Πλησιάστε το h στο. - Ποια είναι τώρα η τιμή του v; - Τι εκφράζει τώρα η τιμή του v; Συμπέρασμα Η. του κινητού την χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο v(t)= Βήμα 6 ο : - Ποια είναι στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τις χρονικές στιγμές t=1, t=3, t=5;. - Προς ποια κατεύθυνση κινείται το κινητό τις παραπάνω χρονικές στιγμές;... - Ποιες χρονικές στιγμές η ταχύτητα του κινητού είναι ; Ορισμός Έστω x ένα σημείο του πεδίου ορισμού μιας συνάρτηση f. Αν υπάρχει το f x h f x lim h h και είναι πραγματικός αριθμός, τότε η τιμή του εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της f και ονομάζεται παράγωγος της f στο x. f στο σημείο x, συμβολίζεται με x 17

19 2 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βήμα 1 ο : Εκτελέστε, με διπλό αριστερό κλικ, το αρχείο «derivative_2». Στην οθόνη βλέπετε τους δρομείς x, m και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Με πατημένο αριστερό κλικ πάνω στους δρομείς x, m και σύροντας μπορείτε να επιλέξετε την τιμή τους στο διάστημα [-2,6]. Βήμα 2 ο : Επιλέξτε x= 3 και πληκτρολογήστε στο πεδίο Εισαγωγή «A=(x,f(x))» για να εμφανίσετε το σημείο Α(x,f(x)) της C f. Επιλέξτε m=1 και εμφανίστε, με τον ίδιο τρόπο, το σημείο Μ(m,f(m)) της C f. Κατασκευάστε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Μ. - Ποιος είναι ο τύπος που δίνει την κλίση της ευθείας ΑΜ;.. Πληκτρολογήστε στο πεδίο Εισαγωγή «k=..» τον τύπο που υπολογίζει την κλίση της ευθείας ΑΜ. Βήμα 3 ο : Με πατημένο αριστερό κλικ στο m και σύροντας πλησιάστε το m πολύ κοντά στο x, και από αριστερά και από δεξιά και παρατηρείστε την οριακή θέση που παίρνει η ευθεία ΑΜ. Την οριακή αυτή θέση της ΑΜ μπορούμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(x,f(x)). - Ποια είναι τώρα η κλίση της ευθείας ΑΜ;... Άρα όταν η τετμημένη m του σημείου Μ πλησιάσει πολύ κοντά την τετμημένη x του σημείου Α, δηλαδή όταν το m τείνει στο x, τότε το Μ πλησιάζει πολύ κοντά στο Α και η ευθεία ΑΜ γίνεται εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(x,f(x)). - Στην περίπτωση αυτή ποιος είναι ο τύπος που δίνει την κλίση της ευθείας ΑΜ;. Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση και Α(x,f(x )) ένα σημείο της C f. Αν υπάρχει το.. και είναι πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία που διέρχεται από το Α και έχει. λ. Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το. και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x και συμβολίζεται με f (x ). Δηλαδή f (x )= 18

20 - Με τι ισούται η παράγωγος της f στο σημείο 3;. Βήμα 4 ο : Με την ίδια διαδικασία προσδιορίστε την παράγωγο της f στο σημείο,5. - f (,5)=. - Ποιο είναι το πρόσημο της f (,5);... - Δικαιολογείστε την απάντησή σας:.. Υπολογίστε την παράγωγο της f στο σημείο 1,7. - f (1,7)=. - Δικαιολογείστε την απάντησή της:.. Βήμα 5 ο : 2 Αλλάξτε τον τύπο της συνάρτησης f σε f x x 2x, 5 «abs(x^2-2*x)+.5». Προσδιορίστε την παράγωγο της f στο σημείο,5. - f (,5)=. πληκτρολογώντας Βήμα 6 ο : Προσπαθήστε να προσδιορίσετε την παράγωγο της f στο σημείο 2. - Υπάρχει οριακή θέση της ευθείας ΑΜ; - Τι παρατηρείτε για την τιμή k της κλίσης της ΑΜ καθώς το m πλησιάζει στο x από δεξιά και από αριστερά; - Τι συμπέρασμα βγάζετε για την παράγωγο της f στο 2;.... Βήμα 7 ο : - Σε ποιο άλλο σημείο νομίζετε ότι συμβαίνει το ίδιο;.. Επιβεβαιώστε τον προηγούμενο ισχυρισμό. - Υπάρχει άλλο σημείο της f που να συμβαίνει το ίδιο; - Άρα η συνάρτηση f στα σημεία και δεν είναι... 19

21 3 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βήμα 1 ο : Εκτελέστε, με διπλό αριστερό κλικ το αρχείο «derivative_function». Στην οθόνη 3 x βλέπετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 2x 3 και αριστερά, 2 στο πεδίο Άλγεβρα, τον τύπο της. Βήμα 2 ο : Πάρτε ένα ελεύθερο σημείο Α πάνω στον άξονα x x. Πληκτρολογώντας στο πεδίο Εισαγωγή κατάλληλη εντολή, κατασκευάστε το σημείο Β, το οποίο έχει ως τετμημένη την τετμημένη του σημείου Α, και ως τεταγμένη την εικόνα της τετμημένης του Α μέσω της f. Κατασκευάστε την εφαπτομένη a της C f, στο σημείο της Β. Εμφανίστε, με κατάλληλη εντολή, την κλίση m της εφαπτομένης a. - Τι εκφράζει η τιμή του m;. Σύροντας το Α στην κατάλληλη θέση, προσδιορίστε την παράγωγο της f στα σημεία 2 και f 2 - f 1 Βήμα 3 ο : Πληκτρολογώντας στο πεδίο Εισαγωγή κατάλληλη εντολή, κατασκευάστε το σημείο C, το οποίο έχει ως τετμημένη την τετμημένη του σημείου Α και ως τεταγμένη την παράγωγο της f στο σημείο x(a). Σύρετε το Α κατά μήκος του άξονα x x και παρατηρήστε την τροχιά που διαγράφει το σημείο C. Κάνετε το ίδιο, αφού πρώτα ενεργοποιήσετε το ίχνος του σημείου C. - Τι πιστεύετε ότι αποτελεί η διαγραφόμενη τροχιά ;.. Βήμα 4 ο : Απενεργοποιήστε το ίχνος του σημείου C και στη συνέχεια αλλάξτε τον τύπο της 2 συνάρτησης f σεf x x 2x, 5 πληκτρολογώντας «abs(x^2-2*x)+.5». Ενεργοποιήστε το ίχνος του σημείου C και σύρετε το Α κατά μήκος του άξονα x x ώστε να εμφανίσετε τη γραφική παράσταση της f (x). - Εξετάστε την f (x) ως προς τη συνέχεια παρατηρώντας τη γραφική της παράσταση; 2

22 - Μπορείτε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας;. Βήμα 5 ο : Με τον ίδιο τρόπο εμφανίστε την f (x) όταν x f ημx. - Ποια νομίζετε ότι είναι η f (x)=.. - Πως μπορείτε να επιβεβαιώσετε τον ισχυρισμό σας; Εμφανίστε την f (x) όταν x f συνx. - Ποια νομίζετε ότι είναι η f (x)=.. Εμφανίστε την f (x) όταν x f lnx. - Ποια νομίζετε ότι είναι η f (x)=.. Εμφανίστε την f (x) όταν x x f e. - Ποια νομίζετε ότι είναι η f (x)=.. 21