2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije"

Transcript

1 Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Neprekidnost funkcije Asimptote funkcije Pojam derivacije i tehnika deriviranja Derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija) Derivacija implicitno zadane funkcije Logaritamsko deriviranje Derivacije višeg reda Taylorova formula Diferencijal funkcije Jednadžba tangente i normale L Hospitalovo pravilo Ekstremi funkcija jedne varijable Rast i pad funkcija jedne varijable Konveksnost, konkavnost, točka infleksije Grafički prikaz funkcije Ekonomske primjene. Ukupne, prosječne i granične veličine Elastičnost funkcije i

2 Poglavlje REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Funkciju f : D R R zovemo realnom funkcijom jedne realne varijable.. Elementarne funkcije polinom linearna funkcija (polinom. stupnja) f : R R, f() a + b, a, b R f() Pr. y f() + Slika.: Linearna funkcija. kvadratna funkcija (polinom. stupnja) f : R R, f() a + b + c, a, b, c R 7

3 f() f() a > 0 a < 0 Slika.: Kvadratna funkcija za a > 0 i a < 0. Pr. y f() kubna funkcija (polinom 3. stupnja) f : R R, f() a 3 + b + c + d, a, b, c, d R Pr. f() 3 f() Pr. f() 3 f() Pr. f() ( )( )( 3) nultočke:,, 3 3 f()

4 apsolutna vrijednost f : R R +, f() {, 0;, 0. f() Slika.3: Funkcija apsolutne vrijednosti. Korijen pozitivni drugi korijen (pozitivnog broja!) f : [0, + [0, +, f() f() Slika.4: Pozitivni drugi korijen. treći korijen f : R R, f() 3 f() Slika.5: Treći korijen. 74

5 Napomena: Promatramo funkciju n-tog korijena, f() n A(). Prirodnu domenu te funkcije odredujemo na sljedeći način: za n paran A() 0 za n neparan A() R razlomljena (racionalna) funkcija općenito: f() polinom stupnja m polinom stupnja n, n npr. f() a + b c + d, c 0 c + d 0 d c D R\{ d c } Pravac d je tzv. vertikalna asimptota. c Pravac y a je tzv. horizontalna asimptota. c f() y a c d c Slika.6: Racionalna funkcija i njezine asimptote. Pr. f() + 0 D R\{} 75

6 f() y Slika.7: Graf i asimptote funkcije f(). vertikalna asimptota... d c horizontalna asimptota... y a c eksponencijalna funkcija Općenita eksponencijalna funkcija je oblika: f : R R, f() a A() + b, A : R R. Pr. f() a, a > 0, a f() f() a > a < Slika.8: Graf funkcije f() a za a >, odn. za a <. Pr. y e, e.7 logaritamska funkcija Općenita logaritamska funkcija je oblika: f() log a A() + b, a > 0, a, A : R R, 76

7 pri čemu je njezina domena D { R : A() > 0}. Pr. a : e f() log e (oznaka) ln, f() D 0, + Slika.9: Graf funkcije f() ln. Pr. a : 0 f() log 0 (oznaka) log, D 0, + Napomena: Logaritamska funkcija je inverzna funkcija od odgovarajuće eksponencijalne funkcije, tj. vrijedi: a log a & log a a, odn. e ln & ln e. Primjer.. Odredite domenu funkcije: 3 f() ln +. Moraju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti: + 0, 3 0, 3 > Sada crtamo tablicu predznaka za 3 3 } + : nultočke brojnika, odn. nazivnika 77

8 ,, 3 3, D, 3, + Napomena: Podsjetimo se da postoje i trigonometrijske funkcije, ali ih nećemo ovdje ponavljati.. Primjeri ekonomskih funkcija Primjer.. Dana je funkcija proizvodnje Q u ovisnosti o L, Q(L) 4 L, gdje je L količina rada. Izvedite funkciju proizvodnosti rada. Q(L) L L 4 L 4 L proizvodnost rada (proizvodnja po jedinici rada) Primjer.3. Dana je funkcija proizvodnje Q u ovisnosti o kapitalu C, Q(C).3C 3. Izvedite funkciju proizvodnosti kapitala. Q(C) C.3C 3 C.3.3C 3 3 C proizvodnost kapitala (proizvodnja po jedinici kapitala) Primjer.4. Zadana je funkcija ukupnih troškova nekog poduzeća, T(Q) Q + 3, pri čemu je Q količina proizvodnje tog poduzeća. Izvedite i grafički prikažite funkciju prosječnih troškova. Za koje količine proizvodnje funkcije ukupnih i prosječnih troškova imaju ekonomskog smisla? Koliki su fiksni troškovi proizvodnje? Koje je ekonomsko značenje koeficijenta u funkciji T(Q)? 78

9 Označimo sa A(Q) funkciju prosječnih troškova (troškova po jedinici proizvodnje). Tada je A(Q) T(Q) Q Q + 3 Q. Radi se o razlomljenoj (racionalnoj) funkciji, čiji će graf biti hiperbola: d 0 je okomita asimptota (tj. Q 0), c y a je vodoravna asimptota (tj. A(Q) ), c D R\{0}, nultočke brojnika i nazivnika: Q 3, Q 0 (nije u domeni!). A(Q) Samo za Q > 0 A(Q) ima smisla! 3 Q Slika.0: Graf funkcije A(Q). Nadalje, ukupni troškovi imaju smisla za Q 0 (proizvodnja nenegativna!). Prosječni troškovi imaju smisla za Q > 0 (0 nije u domeni, jer je nultočka nazivnika funkcije prosječnih troškova). Fiksni troškovi: Q 0 T(0) Ekonomsko značenje koeficijenta u T(Q): Q T(Q + ) (Q + ) + 3 tj. Q (Q + 3) + T(Q) +, Q T(Q). To znači, ako proizvodnju povećamo za neki iznos, troškovi će se povećati za dvostruki taj iznos. 79

10 Primjer.5. Dane su funkcija potražnje Q(p) p + 0, gdje je p cijena proizvoda, i funkcija prosječnih troškova proizvodnje A(Q) Q Q, gdje je Q količina proizvoda. Odredite funkciju dobiti i interval rentabilne proizvodnje. Prihod: P(Q) p Q, Ukupni troškovi: T(Q) A(Q) Q, Dobit: D(Q) P(Q) T(Q). Količina proizvoda koji su proizvedeni, Q, mora biti jednaka potražnji zbog tržišne ravnoteže. Iz relacije Q(p) p + 0 izrazimo cijenu u terminima potražnje: Sada računamo: p(q) 0 Q. P(Q) p Q (0 Q)Q Q + 0Q, T(Q) A(Q) Q Q(q Q ) Q 8Q D(Q) P(Q) T(Q) Q + 8Q 80. parabola! Proizvodnja će biti rentabilna ako vrijedi: Izračunamo nultočke parabole: D(Q) 0 Q + 8Q Q 0, Q 4. Zbog a < 0, parabola je okrenuta otvorom prema dolje. Skiciramo i očitamo interval na kojem je D(Q) 0: D(Q) Q Q [4, 0] 80

11 .3 Limes funkcije Cilj: Neka je zadana funkcija f(). Htjeli bismo odrediti kojoj vrijednosti se približava f() kada se približava vrijednosti a R, u oznaci: Vrijedi: f()? a 0, 0, +, + ( ),, ( ), {, a > 0; a, a < 0. Neodredeni izrazi (ne znamo ih izračunati!!!):, 0,, 0, 0 0,, 0 0, Za a > 0 vrijedi (vidi graf!): 0, a < ; a, a ;, a >. Primjer Primjer.7. ( ) 0. Primjer.8.. Zadatak ( ) / : + 3 / :

12 Zadatak ( ) / : / : Zadatak ( ) / : / : Zadatak ( ( ) / : / : ) Zadatak ( ) / : / : Zadatak.4. ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) ( ) / : / :

13 DZ DZ.6. ( + )... Vrijedi: a a a 0 Zadatak ( ) / : 7 ( 3 7 ) + 7 / : Vrijedi: 0 sin Zadatak.8. sin sin Zadatak.9. sin ( ) 3 6 sin ( ) ( ) 3 sin ( ) 3 3. Zadatak Zadatak

14 Ako tražimo es racionalne funkcije u zajedničkoj nultočki brojnika i nazivnika, podijeo brojnik i nazivnik polinomom ( ) (skratimo razlomak). Nakon toga es se lako odredi uvrštavanjem vrijednosti. Zadatak DZ.3. Zadatak.4. ( 3 3 DZ.5. ( ) 4( ) 3( ) 9( ) ) ( + + ) 3 ( 4)( ) (3 9)( ) ( )( + + ) + + ( )( + + ) ( ) + ( ) ( )( + + ) ( + )( ) ( ) ( + + ) 3 3. ( 4 ) Ako računamo es funkcije koja u brojniku i nazivniku ima komplicirane funkcije, nekad je možemo vrlo elegantno supstitucijom svesti na racionalnu funkciju. Zadatak.6. ( ) supstitucija: + t 6 0 t t 3 t t t (t ) (t + t + ) (t ) (t + )

15 DZ [supstitucija: t 5 ] Zadatak.8. 3 log 3 log supstitucija: t log 3 3 t t t t t (t ) (t + ) (t ). Zadatak supstitucija: t t 4 t 6 t 4 t 4 56 t 4 (t 6) (t 6) (t + 6) 3. Ako računamo es funkcije koja u brojniku ili nazivniku ima korijene, često koristimo metodu racionalizacije brojnika, odn. nazivnika. Zadatak.30. Vrijedi: k, ( ) + k e k 0 0 ( + ) e ( + + ) ( ) ( + ). Zadatak.3. ( 4 + ) ( + 4 e ) 4. 85

16 Zadatak.3. Zadatak.33. Zadatak.34. ( ) + ( + ( + 3 Zadatak.35. ( Zadatak.36. ) ) + ( + ( + ( + ( + ) ) ( ) + ) e e e. ) ( + ) (( + ) ) e. [ ( ) + 3 ( ) ] + 3 (razlomak u. zagradi skratimo sa ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) + 3 e e 3 e 4. ) ( + 4 ) ( + 3 [( + )(ln(3 + ) ln(3))] ln ln 4 ) 3 e 4 3 e 3 e. ( ) [( ) ( )] (ln neprekidna funkcija) [ ( ) ( )] ln 3 3 [ ( ) ( 3 ln + + )] 3 ln e

17 Zadatak.37. ( + 3 ) 3 ( + 3 (( + ( DZ ) DZ.39. ( +3 ( DZ ) +3 ) 4+ DZ.4. 3 (3 ) (+5) 3 ( ) Vrijedi: ( ) + k e k 0 ( + k) e k Zadatak.4. ( + 0 Zadatak.43. ( + 3 ) [ 3 ( + 0 ) Zadatak.44. Pokažite da vrijedi: ) 3 ( + 3 ) ) 3 ( e 3 ) 3 ) ] 3 ( e ( 3 + ( ) 3 ) 3 e. ) 3 e 3. ) 3 ( + 3 ) ( ) e 3. ln(+) 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 ln ( + ) 0 ln ( + ) ln e. 0 87

18 .4 Neprekidnost funkcije Najlakše si je neprekidnu realnu funkciju jedne realne varijable predočiti kao funkciju čiji graf nema skokova. Teorem: Funkcija f : D R R je neprekinuta u točki a D ako i samo ako vrijedi: f() f(a). a Napomena: Elementarne funkcije navedene u odjeljku.. su neprekidne u svakoj točki domene na kojoj su definirane! Primjer.45. Ispitajte da li je sljedeća funkcija neprekidna: { + 4, < ; f : R R, f() + 4 3,. Na intervaa, i [, + funkcija f je elementarna (polinom!), dakle, na njima je neprekidna. Jedino pitanje je da li se ti polinomi dobro slijepe u točki ili u njoj vrijednost funkcije ima skok. Vrijednost funkcije f u točki ima skok ako je za. Tada kažemo da f ima prekid u točki. Inače je f neprekidna. Dakle, provjeravamo: f() f ima prekid u točki. f() Slika.: Graf funkcije f ima skok u. Primjer.46. Ispitajte da li je sljedeća funkcija neprekidna: { + 3, < ; f : R R, f() + 4 3,. 88

19 Analogno kao u primjeru prije, provjeravamo: f() f neprekidna! f() Slika.: Graf funkcije f se u dobro slijepi. Primjer.47. Funkcija je zadana formulom: { f(), ; A,. Kako treba odabrati A f() da bi funkcija f bila neprekidna na čitavoj domeni na kojoj je definirana? Neka je g racionalna funkcija iz definicije funkcije f: g() ( + 3)( ) ( ) ( + ) + 3 ( + ) D g R\{0, } D f R\{0} ( jer f() A ) Znamo da je f neprekidna u svim točkama domene D f osim eventualno u točki, jer se za f podudara sa elementarnom, racionalnom funkcijom koja je neprekidna. Po teoremu, da bi f bila neprekinuta i u točki, mora biti + 3 A f()

20 .5 Asimptote funkcije Asimptote funkcije su pravci kojima se funkcija sve više približava, ali ih nikada ne dostiže. Razlikujemo okomite, kose i vodoravne asimptote. okomita asimptota pravac a takav da vrijedi: kosa asimptota pravac y k + l, takav da je: f() ±. a f() k ±, l [f() k]. ± (za lijeva, a za + desna) Ako je k 0, kosa asimptota je pravac y l. Takvu asimptotu onda zovemo vodoravnom asimptotom. Primjer.48. Odredite asimptote funkcije: f() ( ). - okomita asimptota Sada računamo: + ( ) D R\{},, + (tj. kako se ponaša funkcija kad se približava broju zdesna) ( ) (tj. kako se ponaša funkcija kad se približava broju slijeva) pravac je okomita asimptota! 90

21 - kosa asimptota k + l + k ( ) ( + ( ) 0, ) 0, ( ) 0 (desna kosa asimptota) l ( ) ( ( ) 0, ) 0, ( ) 0 (lijeva kosa asimptota) pravac y 0 je i lijeva i desna vodoravna asimptota! f() Slika.3: Graf funkcije f() ( ). Zadatak.49. Odredite asimptote funkcije: D f R\{0, } f() ( ) 9

22 - okomita asimptota 0 - kosa asimptota \ / ( ) 0 \ + / ( ) \ / ( ) ± pravac 0 nije okomita asimptota! pravac je okomita asimptota! f() k + + l [f() k] + + \ \ ( ) + 0 \ / ( ) ( / : / : pravac y je desna vodoravna asimptota! f() k \ / ( ) l [f() k] 0 \ / ( ) ( / : / : pravac y je lijeva vodoravna asimptota! ) ) + pravac y je i lijeva i desna vodoravna asimptota! (kose nema) 9

23 f() Slika.4: Graf funkcije f() ( ). Zadatak.50. Odredite asimptote funkcije: D f R\{, } f() 3. - okomita asimptota pravac je okomita asimptota! pravac je okomita asimptota! 93

24 - kosa asimptota f() k + + l [f() k] + + [ ] 3 + pravac y je desna vodoravna asimptota! f() k 0 pravac y je lijeva vodoravna asimptota! l [f() k] 0 pravac y je i lijeva i desna kosa asimptota! f() y - Slika.5: Graf funkcije f() 3. Zadatak.5. Odredite asimptote funkcije: f() e +. D f R nema okomitih asimptota! 94

25 - kosa asimptota ( e + k ± ± l ± (e + ) ± + ) 0 e ( ) + e pravac y je vodoravna asimptota! f() Slika.6: Graf funkcije f() e +. DZ.5. Naći asimptote funkcije: f() e. DZ.53. Naći asimptote funkcije: f() e..6 Pojam derivacije i tehnika deriviranja Derivaciju funkcije f : R R u točki (oznaka: f ()) definiramo kao: f () h 0 f( + h) f() h (ako taj es postoji!) Ona mjeri promjenu vrijednosti funkcije uslijed infinitezimalno male promjene nezavisne varijable. Zadatak.54. Derivirajte po definiciji: a) f(), b) f(), c) f(). 95

26 a) b) c) DZ f( + h) f() ( + h) h 0 h h 0 h h/ ( + h) h 0 h/ f( + h) f() h 0 h h 0. h 0 + h h \ + h + h \ h + h + + h + \ + h/ \ h 0 h/ ( + h + ). Mi nećemo derivirati po definiciji, već koristeći tablicu derivacija elementarnih funkcija i pravila deriviranja. TABLICA DERIVACIJA ELEMENTARNIH FUNKCIJA c 0 (sin ) cos (cos) sin ( n ) n n (tg) cos (a ) a ln a (ctg) sin (log a ) ln a (arcsin ) (ln) (arccos) ( ) (arctg) + (e ) e (arcctg) + 96

27 PRAVILA DERIVIRANJA. (c f) c f, c const. R, c 0,. (f ± g) f ± g (derivacija sume), 3. (f g) f g + f g (derivacija produkta), ( ) 4. f g f g (derivacija kvocijenta). f g g Zadatak.55. Naći derivaciju funkcije: f() +. f () ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) ( ) ( + ( ) ) ( ) ( \ + + \) ( ) ( ) ( ). Zadatak.56. Naći derivaciju funkcije: f() 3 3. f () (3) 3 + (3) (3 ) ln ln ( + ln 3) Zadatak.57. Naći derivaciju funkcije: f() 3. f() ( ) 3 f () ( ) 3 ln 3. Zadatak.58. Naći derivaciju funkcije: f()

28 f() ( 3 5 f () 5 ) ( ) 3 ln Zadatak.59. Naći derivaciju funkcije: f() f () Zadatak.60. Naći derivaciju funkcije: f() f () Zadatak.6. Naći derivaciju funkcije: f() ( + )(3 + ). f () ( + ) (3 + ) + ( + )(3 + ) (3 + ) + ( + )(6) Zadatak.6. Naći derivaciju funkcije: f() +. f () ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ). Zadatak.63. Naći derivaciju funkcije: f()

29 f() 3 + f () Zadatak.64. Naći derivaciju funkcije: f() f() f () ( ) , ( 3 ) ( ) Derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija) Za f, u, v realne funkcije jedne realne varijable, vrijedi: f() v[u()] f () v [u()] u (). Zadatak.65. Deriviraj funkciju: f() ( + ) 0. u() +, v() 0, f() v[u()] f () v (u()) u () v ( + ) ( + ) 0( + ) 9 0( + ) 9. Zadatak.66. Deriviraj funkciju: f()

30 f() ( 3 4 ) f () ( 34 ) 3 ( 3 4 ) ( 34 ) 3 ( 3 ) 6 3 ( 34 ) 3. Zadatak.67. Deriviraj funkciju: f() + ( ). f () ( ) ( + ) (( ) ) ( ) 4 ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) [ + ( + )] ( ) 4\3 (3 + ) ( ). 3 Zadatak.68. Deriviraj funkciju: f() (3 ). f () 3 3 ln 3 3 ln3. Zadatak.69. Deriviraj funkciju: f() 3. f () 3 ln3 3 ln 3. Zadatak.70. Deriviraj funkciju: f()

31 f () 4 3 ln 4 ( 3 ) 4 3 ln 4 3 ( 3 ). Zadatak.7. Deriviraj funkciju: f() ln. f () ( ) + ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) \ Zadatak.7. Deriviraj funkciju: f() ln ln. f () ln (ln ) ln ln. Zadatak.73. Deriviraj funkciju: f() sin. f () ( ) sin + (sin ) sin + cos. Zadatak.74. Deriviraj funkciju: f() sin cos. f () (sin ) cos + sin (cos) cos cos + sin ( sin ) cos sin cos(). 0

32 Zadatak.75. Deriviraj funkciju: f() sin cos 5. f () cos 5(sin ) (cos 5) cos. Zadatak.76. Deriviraj funkciju: f() 3 ln + ln. f () (3 ) ln + (3 ) (ln ) ln ln ( ) ln +. Zadatak.77. Deriviraj funkciju: f() sin ln. f () [ sin ] ln + sin (ln ) [ sin + (sin ) ] ln + / sin / (sin + cos) ln + sin. Zadatak.78. Deriviraj funkciju: f() e ( ). f () (e ) ( ) + e ( ) \ e \ ( ) + \e \ e \ ( \ \ + \) e. 0

33 Zadatak.79. Dana je funkcija: Izračunaj f (0). f() log + log. f () ( log ) ( + log ) ( log ) ( + log ) ( + log ) ( + log ) ( log ) ln 0 ln0 ( + log ) ( + log + log ) ln 0 ( + log ) ln 0 ( + log ) ln 0 ( + log ). Sada uvrstimo 0: f (0) 0 ln 0 ( + log 0) }{{} 0 ln 0 40 ln 0 0 ln 0. Zadatak.80. Dana je funkcija: Izračunaj f (). f() e 3 f() e. f () e 3 + e 3 3 e e 3. 03

34 Sada uvrstimo : f () e + 3 e 7 e..8 Derivacija implicitno zadane funkcije Primjer.8. Neka je funkcija y y() dana implicitno jednadžbom: Odredite y (). y + y e. y() + (y()) e /() ( ) y() + y () + [(y()) ] (e ) y() + y () + y() y () e y () ( + y()) e y() y () e y() + y()..9 Logaritamsko deriviranje Primjer.8. Derivirajte funkciju: f() +. Primijetimo, i baza i eksponent su ovdje funkcije od, pa ovakvu funkciju ne znamo derivirati koristeći tablicu derivacija elementarnih funkcija! U takvim slučajevima služimo se sljedećim trikom : f() + / ln lnf() ( + ) ln /() f() f () ln + ( + ) ( f () f() ln + + ) ( f () + ln + + ). 04

35 .0 Derivacije višeg reda Primjer.83. Dana je funkcija y y() e. Odredite njezinu n-tu derivaciju, y (n) y (n) (). Redom računamo prvu derivaciju (y ), drugu derivaciju (y ) itd., dok ne uočimo neku pravilnost: y y () e, y y () (e ) e,. y (n) e. Zadatak.84. Dana je funkcija y e. Odredite njezinu n-tu derivaciju. y e ( ), y (e ( )) ( ) e ( ) ( ) e, y ( ) e ( ) ( ) 3 e,. y (n) ( ) n e. Zadatak.85. Dana je funkcija y. Odredite njezinu n-tu derivaciju. y y ( ), y ( ) ( ) 3, y ( ) ( ) ( 3) 4,. y (n) ( ) n n! (n+) ( ) n n! n+. 05

36 DZ.86. Pokažite da funkcija y y() e cos zadovoljava diferencijalnu jednadžbu y (iv) + 4y 0. Odredimo y (iv) 4e cos. Derivacija višeg reda implicitno zadane funkcije Zadatak.87. Neka je funkcija y y() implicitno zadana jednadžbom: Odredite njezinu drugu derivaciju, y. ln + y 3y. ln + y 3y \() + y y 3y 0 ( ) y y 3 + y y 3y 0 \() + y y + y y 3y 0 y (y 3) (y ) y [ ] y 3 (y ) [( ( ) y 3 ) (y 3) ].. Taylorova formula Ako funkcija f ima n-tu derivaciju na nekoj okolini 0, Taylorov polinom funkcije f u točki 0 R stupnja n je polinom oblika: T f () n k0 f (k) ( 0 ) ( 0 ) k. k! 06

37 Taylorov polinom funkcije f u 0 služi za aproksimaciju funkcije f na okolini 0, tj. f() T f () na nekoj okolini 0. Što je taj polinom višeg stupnja, obično bolje aproksimira funkciju f. Primjer.88. Funkciju f() ln razvijte po cije nenegativnim potencijama binoma ( ) do člana sa 3. Traži se zapravo Taylorov polinom funkcije f stupnja 3 oko točke : Računamo: f() f() + f () +! ( ) f () +! f() ln 0, ( )3 f (). 3! f () f (), Sada je: f () f (), f () 3 f (). f() 0 + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )3 3 / /. Diferencijal funkcije Neka je dana funkcija y y(). prirast zavisne varijable (promjena zavisne varijable y y() pri promjeni nezavisne za ): y y( + ) y() 07

38 infinitezimalno mali prirast zavisne varijable tzv. diferencijal (promjena zavisne varijable y y() pri infinitezimalno maloj promjeni nezavisne varijable - oznaka d): dy y( + d) y() (po formuli za derivaciju) y ()d Zadatak.89. Koliko se približno promijene ukupni troškovi T(Q) ako se proizvodnja na nivou Q 0 promijeni za dq 0.034? (T(Q) 3Q 3 Q + ) T dt T (Q)dQ (9Q )dq Nama je Q 0, dq 0.034: T(0) T (0)dQ (9 0 ) Ukupni troškovi se promijene za približno Jednadžba tangente i normale jednadžba tangente na graf funkcije f() u točki T( 0, f( 0 )) t... y y() f( 0 ) + f ( 0 ) }{{} k t ( 0 ), jednadžba normale na graf funkcije f() u točki A( 0, f( 0 )) n... y y() f( 0 ) ( f 0 ). ( 0 ) }{{} k n Primjer.90. Odredite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije u točki s apscisom. f()

39 0, y 0 f( 0 ) T(, f()) T(, ) f () [8 (4 + ) ] 8 (4 + ) 6 (4+ ) f ( 0 ) f () 3 64 t... y ( ), y + +, y +. n... y ( ), y ( ) +, y 3. Zadatak.9. Odredite jednadžbe tangente i normale na krivulju y e u njezinim sjecištima s -osi. T( 0, y 0 )? y e 0 e ± T (, 0), T (, 0) y () e ( ) y (), y ( ). 09

40 T t... y 0 ( ), y + n... y 0 ( ), y T t... y 0 ( + ), y + n... y 0 ( + ), y. Zadatak.9. Na krivulji y nadite točku u kojoj je normala paralelna pravcu p... y +. T( 0, y 0 )? T Γ y y 0 0 n p k n k p k n y ( 0 ) y ( 0 ) y () y ( 0 ) 0 0, y 0 0 ( ) T(, 3 4 ) 0

41 .4 L Hospitalovo pravilo L Hospitalovo pravilo se koristi za jednostavno računanje esa razlomljenih funkcija kada dobijemo neodredeni izraz 0 ili ±. 0 Vrijedi: f() a g() 0 0 Zadatak.93. Zadatak.94. Zadatak.95. Zadatak Zadatak.97. ( ili ± ) (L H) 0 f() a g() f () a g (). ( ) e e e ( \ + \ ( ln) 0 ( ) 0 0 ( e 0 ) \ \ L HOSPITALOVO PRAVILO ( + ) ( 3 + ) ) ln 0 ( ) (L H) e e 0. (L H) 0 e (e ) 0 0 (L H) e 0 e + e 0 0 (L H) 0 e e + e + e (L H) \ \ +3 e/ e/ ( + ). + 3.

42 Zadatak.98. ln 3 (L H) 3 ( ) 3 3/ ( 3/ ) 3 3( ) 3 (L H) Ekstremi funkcija jedne varijable Postupak za odredivanje ekstrema funkcije f() je sljedeći:. Nademo stacionarne točke (stacionarne točke su nultočke od f ()). Neka su to točke,,.... Svaku od stacionarnih točaka uvrstimo u drugu derivaciju funkcije f (f ()). Ako je f ( i ) > 0 tada je točka i TOČKA LOKALNOG MINIMUMA funkcije f. Ako je f ( i ) < 0 tada je točka i TOČKA LOKALNOG MAKSIMUMA funkcije f. Napomena: Ako je f ( i ) 0, tražimo prvu sljedeću derivaciju višeg reda koja je različita od nule u i. Ako je ta derivacija parna (dakle 4., 6., 8., itd.), tada je točka i LOKALNI EKSTREM. Ako je ta derivacija neparna (dakle 3., 5., 7., itd.), tada funkcija u i ima INFLEKSIJU. Zadatak.99. Nadite ekstremne vrijednosti funkcija a) f() e b) f() + c) f() a) f () e 0 e 0 je jedina stacionarna točka

43 f () e f (0) e 0 > 0 0 je točka lokalnog minimuma f(0) e 0 0 rješenje: m(0, ) b) f () + ( + ) ( + ) 0 0 i su stacionarne točke f () ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) [ ( + ) 4 ( )] ( + ) ( + ) ( + ) 3 f () < 0 ma, f() f ( ) > 0 min, f( ) rješenje: m(, ), M(, ). c) f() f () ( +) 0 3 ( ) 0 0 3

44 f () f (0) 0 dalje provjera f () 0 dalje provjera f () f (0) 0 dalje provjera f () 0 neparna derivacija (, 60 ) infleksija f IV () f IV (0) 6 > 0 parna derivacija m(0, 0) minimum Zadatak.00. Rastavite broj 0 na dva pribrojnika tako da njihov umnožak bude najveći., (0 ) (0 ) ma f() + 0 f () f () < 0 M(5, 5) Zadatak.0. Za koju vrijednost parametara a i b funkcija f() a ln()+ b + ima ekstreme u točkama s apscisama i? Koji su to ekstremi? f () a + b + 0 4

45 a + b + 0 /II ( ) + I a + 4b + 0 6b 0 6b b 6 a 3 f() 3 ln() 6 + f () f () 3 ( ) 3 f () > 0 m(, 5 6 ) f () 3 6 < 0 M(, 3 ln() ).6 Rast i pad funkcija jedne varijable Teorem: Neka je funkcija f neprekidna i derivabilna na intervalu a, b. Ako je f () > 0 za sve a, b, tada je f strogo rastuća na a, b. Ako je f () < 0 za sve a, b, tada je f strogo padajuća na a, b. Ako je f () 0 za sve a, b, tada je f konstanta na a, b. Zadatak.0. Odredite područje rasta i pada funkcije f() 3 3. Domena: D f R f () , 5

46 ,,, + f () + + ր ց ր Funkcija raste na, i na, + Funkcija pada na, Zadatak.03. Odredite područje rasta i pada funkcije f() e. Domena: 0 D f R\{0} f () e + e ( ) e ( ) 0, 0 0,, + f () + + ր ց ր Funkcija raste na, 0 i na, + Funkcija pada na 0, Zadatak.04. Odredite područje rasta i pada funkcije f() 3 ln( ). Domena: ( ) > 0 0 ± D f R \ {, } f () 3 ( ) ( ) 4 3( ) 0 0,, 0 0,, + f () + + ր ց ր ց Funkcija raste na, i na 0, Funkcija pada na, 0 i na, + 6

47 Zadatak.05. Odredite područje rasta i pada funkcije f(). Domena: 0 D f R\{0} f() f () nema stacionarnih točaka, 0 0, + f () + + ր ր Mogli smo i odmah zaključiti da je f () + > 0, D f. Funkcija raste na cijeloj svojoj domeni, tj. na, 0 i na 0, +..7 Konveksnost, konkavnost, točka infleksije Teorem: Neka je funkcija f neprekidna i dva puta derivabilna na intervalu a, b. Tada vrijedi: f() je konveksna na a, b ako i samo ako je f () 0 za svaki a, b. f() je konkavna na a, b ako i samo ako je f () 0 za svaki a, b. Teorem: Neka je f funkcija čija je druga derivacija neprekidna na intervalu a, b i neka je c a, b. Ako je f (c) 0 i f mijenja predznak u c (tj. f () 0 za a < < c i f () 0 za c < < b, ili f () 0 za a < < c i f () 0 za c < < b), tada je c točka infleksije funkcije f. Ako je c točka infleksije funkcije f, tada je f (c) 0. 7

48 Zadatak.06. Odredite područja konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije f() Domena: D f R f () 3 + f () je kandidat za točku infleksije,, + f () + Funkcija je konkavna na,. Funkcija je konveksna na, +. je točka infleksije. Zadatak.07. Odredite područja konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije f() Domena: D f R f () 6 f () 0 nema točaka infleksije f (), + Funkcija je konkavna D f. Zadatak.08. Odredite područja konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije f(). 5 Domena : ±5 D f R \ { 5, 5} 8

49 f () ( 5) ( 5) ( 5) 50 ( 5) f () 50( 5) + 50 ( 5) ( 5) 4 50( 5) [ ( 5) + 4 ] ( 5) 4 50(3 + 5) ( 5) 3 0 nema točaka infleksije, 5 5, 5 5, + f () + + Funkcija je konkavna na 5, 5. Funkcija je konveksna na, 5 i na +5, +..8 Grafički prikaz funkcije Ispitujemo sljedeće elemente:. domenu. nul-točke 3. asimptote 4. stacionarne točke, rast, pad 5. ekstreme 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost Zadatak.09. Uz detaljne argumente grafički prikažite funkciju f()

50 . domena: D f R. nul-točke: 3. asimptote: nema f() stacionarne točke, rast, pad: 5. ekstremi: ( 3) 0 0 0, 0,3 ± 3 f () ,,,, ր ց ր f () 6 f ( ) 6 < 0 M(, ) f () 6 > 0 m(, ) 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost: f () je kandidat za točku infleksije Funkcija je konveksna na 0, +. Funkcija je konkavna na, 0. 0 je točka infleksije., 0 0, + f () + 0

51 f() M 3 3 m Slika.7: Graf funkcije f() 3 3. Zadatak.0. Uz detaljne argumente grafički prikažite funkciju f().. domena: 0 D f R\{}.. nul-točke: f() asimptote: Okomita asimptota: pravac pravac je okomita asimptota! Desna kosa asimptota: pravac y k + l k + l + ( ) +, + + y + je desna kosa asimptota,

52 Lijeva kosa asimptota: pravac y k + l k l ( ), + y + je lijeva kosa asimptota, pravac y + je i lijeva i desna kosa asimptota! 4. stacionarne točke, rast, pad: f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () 0 0 ( ) 0 5. ekstremi: 0,, 0 0,,, + f () + + ր ց ց ր f () ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 ( )[( )( ) ( )] ( ) ( ) 3 ( ) 3 f (0) < 0 M(0, 0) f () > 0 m(, 4) 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost: f () 0 0 nema točaka infleksije

53 Funkcija je konveksna na, +. Funkcija je konkavna na,.,, + f () + f() 4 m M y + Slika.8: Graf funkcije f(). Zadatak.. Uz detaljne argumente grafički prikažite funkciju f() domena: D f R.. nul-točke: f() asimptote: Nema okomitih asimptota. 0 3

54 Desna kosa asimptota: pravac y k + l + k + + 0, ( ) + l, + + y je desna vodoravna asimptota Lijeva kosa asimptota: pravac y k + l + k + 0, ( ) + l, + y je lijeva vodoravna asimptota 4. stacionarne točke, rast, pad: f () ( + ) ( + ) / ( + )[( + ) / ] + ( + ) / ( + ) ( + ) / + + ( + ) ( + ) / ( + ) ( + ) 3/ f () 0 0 je stacionarna točka,, + f () + ր ց 4

55 5. ekstremi: f () ( ) ( + ) 3/ ( )[( + ) 3/ ] ( + ) 3 ( + ) 3/ ( ) 3 ( + ) / ( + ) 3 ( + ) / ( + ) 3( )( + ) / ( + ) 3 ( + ) / [ ] ( + ) 3 3 ( + ) 5/ f () < 0 M(, ) 5 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost: f () , , , , + f () + + Funkcija je konkavna na 3 7, Funkcija je konveksna na, 3 7 i na 3+ 7, i su točke infleksije. f() M y y Slika.9: Graf funkcije f()

56 .9 Ekonomske primjene. Ukupne, prosječne i granične veličine. Zadatak.. Zadana je funkcija prosječnih prihoda AR(Q) 5 Q, gdje je Q količina proizvodnje. a) Odredite prosječni prihod na razini proizvodnje 5 i interpretirajte. b) Odredite funkciju ukupnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji Q. c) Odredite granični prihod na razini proizvodnje 5 i interpretirajte. Napomena: Neka je R(Q) funkcija ukupnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji Q. Vrijednost R(Q 0 ) kaže koliki je ukupan prihod ako smo proizveli Q 0 jedinica robe. Funkcija prosječnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji računa se po formuli: AR(Q) R(Q) Q. Vrijednost AR(Q 0 ) R(Q 0) Q 0 nazivamo prosječnim prihodom na razini proizvodnje Q 0 i ona nam govori koliki se prihod po jedinici proizvodnje prosječno ostvaruje gledajući do nivoa proizvodnje Q 0. Funkcija graničnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji računa se po formuli: MR(Q) r(q) dr(q) dq R (Q). Vrijednost MR(Q 0 ) nazivamo graničnim prihodom na razini proizvodnje Q 0 i ona nam kaže koliko se brzo mijenja prihod baš onda kada je proizvodnja jednaka Q 0, tj. ako proizvodnju sa vrijednosti Q 0 povećamo za jedinicu, za koliko jedinica će se promijeniti prihod. Naravno, ta brzina promjene je različita ovisno o nivou proizvodnje koji promatramo. a) A(Q) 5 Q A(5) Interpretacija: do razine proizvodnje 5, po jedinici proizvodnje prosječno se ostvaruje prihod 0. 6

57 b) AR(Q) R(Q) Q R(Q) A(Q) Q R(Q) Q (5 Q) 5Q Q c) MR(Q) r(q) R (Q) 5 Q r(5) 5 Interpretacija: ako na razini proizvodnje 5 povećamo proizvodnju za jedinicu, prihod će se povećati za 5 jedinica. Zadatak.3. Na odredenoj razini proizvodnje, rad L i kapital C povezani su relacijom L C 0. a) Izvedite graničnu stopu supstitucije rada kapitalom dl dc. b) Izvedite graničnu stopu supstitucije kapitala radom dc dl. a) L 0 dl 0 < 0 C dc C Kada se kapital C poveća za jedinicu, rad se smanji za 0 jedinica. C b) C 0 dc 0 < 0 L dl L Kada se rad L poveća za jedinicu, kapital C se smanji za 0 jedinica. L Zadatak.4. Dane su funkcija ukupnih prihoda R(Q) 5Q + 0Q i ukupnih troškova T(Q) 5Q 90Q, pri čemu je Q količina proizvodnje. Maksimizirajte dobit. Za koju količinu proizvodnje se ostvaruje maksimalna dobit? Funkcija dobiti dana je sa: D(Q) R(Q) T(Q) 0Q 5Q 5Q + 90Q 00Q 0Q. 7

58 Tražimo maksimum: D (Q) Q 0 Q 5 D (Q) 0 < 0 ma M(5, 50) Maksimum dobiti ostvaruje se na nivou proizvodnje Q 5 i jednak je Elastičnost funkcije Uvodimo tzv. koeficijent elastičnosti funkcije y y() obzirom na : E y, dy y d y dy d y y. Interpretacija: Izraz d, odn. dy označava relativnu (u postocima) promjenu varijable, y odn. funkcije y. Koeficijent elastičnosti funkcije y y() na nivou 0 predstavlja odnos relativne promjene funkcije i relativne promjene varijable na nivou 0. Napomena: Ako je na nivou 0 granična vrijednost jednaka prosječnoj vrijednosti, koeficijent elastičnosti funkcije y na nivou 0 je jednak E y,. Ako je na nivou 0 E y, <, kažemo da je funkcija y y() neelastična na nivou 0 (na tom nivou se funkcija apsolutno manje mijenja nego varijabla). 8

59 Ako je na nivou 0 E y, >, kažemo da je funkcija y y() elastična na nivou 0 (na tom nivou se funkcija apsolutno više mijenja nego varijabla). Kažemo da je funkcija y y() savršeno elastična na nivou 0 ukoliko za fiksnu razinu nezavisne varijable 0 funkcija može poprimiti bilo koju vrijednost (graf - okomiti pravac). Tada je E y, na nivou 0. Kažemo da je funkcija y y() savršeno neelastična ukoliko ona poprima konstantnu vrijednost za bilo koju razinu varijable (graf - horizontalni pravac). Tada je E y, 0 na svim nivoima. Svojstva koeficijenta elastičnosti: E y, E,y, E f g, E f, E g,. Zadatak.5. Zadana je funkcija potražnje q(p) p + 0, gdje p predstavlja cijenu. Izračunajte koeficijent elastičnosti funkcije potražnje na nivou cijena p. Interpretirajte rezultat. E q,p p q q (p) E q,p (p ) p p + 0 ( p) p p + 0 Interpretacija: Na nivou cijena p (onda kada je cijena ), ako cijenu povećamo za % njezine vrijednosti, potražnja će se smanjiti (zbog predznaka ) za približno 4 3 %. Zadatak.6. Zadana je cijena kao funkcija potražnje q, p(q) 00( + q). Odredite koeficijent elastičnosti E q,p na razini p 4 i interpretirajte rezultat. 9

60 Najprije moramo izraziti q kao funkciju od p, q q(p): p 00 ( + q) 00 ( + q) p \ E q,p p 0 p p \ p 0 p p + q 0 p q 0 p ( 0 p ) ( ) p 3 5 E q,p (p 4) Na nivou p 4, ako cijenu povećamo za %, potražnja se smanji za približno 5 %. 6 Zadatak.7. Zadana je funkcija potražnje q(p) 0 p. Za koju cijenu p je E q,p? Interpretirajte. Prvo treba odrediti prirodnu domenu za cijene (na kojoj q(p) ima smisla): E q,p 0 p 0 / 40 p 0 40 p p 40 D [0, 40] ( p 0 p 0 ) p p 4 (0 p) p 80 p p 80 /D ne postoji takav p! 30

61 Interpretacija: Ne može se dogoditi da se na nekom nivou p povećanjem cijene za % i potražnja poveća za %, jer je potražnja opadajuća funkcija cijene i kad cijena raste, potražnja pada. Zadatak.8. Za funkciju y() a e b odredite parametre a i b takve da za vrijedi E y, 5, a za E y, 8. E y, a e b (aa e b + a e b b) a e\ b eb \ (a a + b a ) a (a a + b a ) a + b a + b 5 a + b 8 a + b 5 b 5 a a + b 8 a a a, b 3 Zadatak.9. Odredite područje elastičnosti i neelastičnosti funkcije potražnje q(p) 00 p 3. Ekonomske varijable moraju imati smisla: p 0, q(p) 0 00 p 0 p [ 0, 0] p [0, 0] 3

62 E q,p p 00 p 3/ ) ( 3/ p p 00 p elastičnost E q,p > p 00 p > (00 p 0, p 0) p 00 p > 3p p > 0 (00 p 0, 0 u nazivniku daje E q,p ) p > 00 3 / (p 0) p > 0 3 na nivoima p 0 3, 0] funkcija je elastična, a na p [0, 0 3 neelastična! Zadatak.0. Dan je koeficijent elastičnosti funkcije ukupnih troškova T(Q), E T,Q Q Q+. Odredite količinu proizvodnje za koju su prosječni troškovi jednaki graničnima. E T,Q Q T dt dq Q T T Q Q Q + Q Q + /() Q Q + Q Q 0 Q, Q DZ.. Uz koju cijenu je funkcija potražnje q(p) a p savršeno elastična? b Interpretirajte. E q,p p a p b ( b ) p p a p p a p a p 0 p a 3

63 Za cijenu p a je funkcija potražnje savršeno elastična. To znači da na razini cijene p a možemo postići bilo koju razinu potražnje. DZ.. Za koju je vrijednost cijene p elastičnost funkcije potražnje q(p) 8 p jedinična? ( E q,p p ) Zadatak.3. Odredite područje elastičnosti i neelastičnosti funkcije potražnje, q(p) 4 p. (elastična za p 8 3, 4]) Zadatak.4. Dana je funkcija ukupnih troškova proizvodnje, T(Q) 0.0Q + 0Q Odredite elastičnost ukupnih i prosječnih troškova na nivou proizvodnje Q 00. E T,Q Q T T Q (Q) (0.0Q + 0) 0.0Q + 0Q Q + 0Q 0.0Q + 0Q E T,Q (Q 00) Q 00 : Q % T(Q) % E T Q,Q E T,Q E Q,Q E T,Q 5 53 Q 00 : Q % A(Q) T(Q) Q 5 53 % Zadatak.5. Ako je koeficijent elastičnosti funkcije prosječnih troškova, izvedite koeficijent elastičnosti funkcije ukupnih troškova. E T Q,Q Q Q+ E T Q,Q E T,Q E Q,Q E T,Q E T,Q E T Q,Q + Q Q + + Q Q +. 33

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi 1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija

1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija Slika Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija. Limesi funkcija Zajedni ko svim varijantama esa funkcije je da se opisuju (procjenjuju) vrijednosti zadane funkcije u okolini neke vrijednost varijable.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα