ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ
|
|
|
- Νικόμαχος Κορωναίος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλουσ τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που ικανοποιοφν τισ πιο κάτω ςυνκικεσ: Όλα τα ψθφία τουσ είναι πρϊτοι αρικμοί. Είναι πολλαπλάςια του. Πρόβλημα 2 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Πρόβλημα 3 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετϊν, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δϊςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρϊνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρϊνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετϊν είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα το είναι ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο με εμβαδόν, το οποίο χωρίςτθκε ςε μικρότερα ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα. Αν οι αρικμοί και αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων ορκογωνίων παραλλθλογράμμων ςε, να υπολογίςετε τθν τιμι του.
2 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Πρόβλημα 2 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετών, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δώςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρώνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρώνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από 100. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετών είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Πρόβλημα 3 Στο διπλανό ςχιμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Πρόβλημα 4 (α) Να βρείτε ςτακεροφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, ώςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άκροιςμα:
3 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Στο διπλανό ςχήμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Πρόβλημα 2 (α) Να βρείτε ςταθεροφσ πραγματικοφσ αριθμοφσ, ϊςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άθροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άθροιςμα: Πρόβλημα 3 Να γράψετε την παράςταςη ςτη μορφή όπου και θετικοί ακζραιοι αριθμοί. Πρόβλημα 4 Αν και να υπολογίςετε την τιμή του θετικοφ ακζραιου αριθμοφ.
4 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηζρύεη β) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο αιεζεύεη ε αλίζσζε Πρόβλημα 2: Αλ ν είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο κε, λα απνδείμεηε όηη ην θιάζκα είλαη αθέξαηνο αξηζκόο. Πρόβλημα 3: Αλ, λα απνδείμεηε όηη ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο είλαη Πρόβλημα 4: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγσλν. Από ηηο θνξπθέο θέξνπκε θάζεηεο πξνο ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ θαη έζησ ηα ίρλε ησλ θαζέησλ πάλσ ζηηο πιεπξέο αληίζηνηρα. Ολνκάδνπκε ην ζεκείν ηνκήο ησλ πςώλ ηνπ ηξηγώλνπ. I. Αλ ηα κέζα ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη νξζνγώλην. II. Φέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ ζην ζεκείν Να απνδείμεηε όηη ε είλαη παξάιιειε κε ηελ επζεία
5 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο κε ( ) κε θαη κε, όπνπ. α) Να βξείηε ην επξύηεξν ππνζύλνιν ηνπ, ζην νπνίν. β) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη. Πρόβλημα 2: Σε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλωλ ζεωξνύκε ηα ζεκεία I. Να βξείηε κηα εμίζωζε 2 νπ βαζκνύ γηα ηελ νπνία μέξνπκε όηη νη ξίδεο ηεο είλαη ίζεο κε ηηο θιίζεηο ηωλ δύν επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην θαη ρωξίδνπλ ην ηξαπέδην ζε ηξία ηζεκβαδηθά κέξε. II. Αλ είλαη ε νμεία γωλία ηωλ επζεηώλ λα απνδείμεηε όηη Πρόβλημα 3: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγωλν θαη επζεία παξάιιειε πξνο ηελ πιεπξά, πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ζηα ζεκεία αληίζηνηρα. Έζηω ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. α) Να απνδείμεηε όηη ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη από ηελ θνξπθή πξνο ηνπο θύθινπο θαη είλαη ίζα. β) Αλ είλαη ην έλα από ηα ζεκεία ηνκήο ηωλ θύθιωλ θαη, λα απνδείμεηε όηη ε επζεία είλαη θάζεηε ζηελ πιεπξά. Πρόβλημα 4: Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο.
6 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Να βξείηε όια ηα δεύγε αθεξαίωλ ( ) πνπ απνηεινύλ ιύζεηο ηεο εμίζωζεο Πρόβλημα2: (α) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν. Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ηεο. (β) Έζηω ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε Απνδείμηε ηελ αληζόηεηα Πρόβλημα 3: Σε νμπγώλην ηξίγωλν θέξνπκε ηηο δηακέζνπο θαη. Έζηω ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. Από ηελ θνξπθή θέξνπκε ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη πξνο ηνπο θύθινπο θαη αληίζηνηρα. Αλ έλα από ηα θνηλά ζεκεία ηωλ θύθιωλ θαη, ε επζεία ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Η δηρνηόκνο ηεο γωλίαο ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Πρόβλημα 4: Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο θαη λα απνδείμεηε όηη ε είλαη κνλαδηθή.
7 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλουσ τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που ικανοποιοφν τισ πιο κάτω ςυνκικεσ: Όλα τα ψθφία τουσ είναι πρϊτοι αρικμοί. Είναι πολλαπλάςια του. Προτεινόμενη Λύση Από τθν πρϊτθ ςυνκικθ προκφπτει ότι τα ψθφία των ηθτοφμενων αρικμϊν ανικουν ςτο ςφνολο * +. Αφοφ και οι αρικμοί είναι πρϊτοι μεταξφ τουσ, θ δεφτερθ ςυνκικθ είναι ιςοδφναμθ με το να βροφμε τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που διαιροφνται με το και το. Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του, ςυμπεραίνουμε ότι οι ηθτοφμενοι αρικμοί τελειϊνουν ςε, ι. Αν είναι το ψθφίο των χιλιάδων και το ψθφίο των εκατοντάδων των ηθτοφμενων αρικμϊν, αντίςτοιχα, τότε: και Διακρίνουμε τισ ακόλουκεσ τρεισ περιπτϊςεισ: Αρικμοί που τελειϊνουν ςε Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του προκφπτει ότι. Άρα:, που δίνει τον αρικμό, που δεν ζχει λφςεισ ςτο Αρικμοί που τελειϊνουν ςε Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του προκφπτει ότι. Άρα:, που δεν ζχει λφςεισ ςτο, που δεν ζχει λφςεισ ςτο Αρικμοί που τελειϊνουν ςε Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του προκφπτει ότι. Άρα:, που δίνει τον αρικμό, που δίνει τον αρικμό
8 Πρόβλημα 2 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Προτεινόμενη Λύση Η μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι. Η ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι.
9 Πρόβλημα 3 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετϊν, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δϊςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρϊνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρϊνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετϊν είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Προτεινόμενη Λύση Θζτουμε το ποςό που δόκθκε για προκαταβολι και το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ, όπου κετικοί ακζραιοι αρικμοί,. Ζχουμε: { Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και ςυμπεραίνουμε ότι ο διαιρεί τον μζγιςτο κοινό διαιρζτθ των και. Ζχουμε: } Τελικά, ςυμπεραίνουμε ότι αφοφ ο διαιρεί τον και, τότε.
10 Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα το είναι ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο με εμβαδόν, το οποίο χωρίςτθκε ςε μικρότερα ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα. Αν οι αρικμοί και αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων ορκογωνίων παραλλθλογράμμων ςε, να υπολογίςετε τθν τιμι του. Προτεινόμενη Λύση Αρικμοφμε ςχιμα. τα «μικρά» ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα, όπωσ φαίνεται ςτο πιο κάτω Ονομάηουμε τα εμβαδά των αντίςτοιχων ορκογωνίων παραλλθλογράμμων. Τα και ζχουν το ίδιο μικοσ και. Τα και ζχουν το ίδιο μικοσ. Επιπλζον, ζχουν τα ίδια πλάτθ με τα και, αντίςτοιχα. Άρα,. Ομοίωσ: Αφοφ, τότε. Δθλαδι,. Το εμβαδόν του ορκογωνίου παραλλθλογράμμου είναι. Ζχουμε:
11 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέταςησ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Προτεινόμενη Λύση Η μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι. Η ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι:
12 Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι. Πρόβλημα 2 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετών, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δώςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρώνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρώνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από 100. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετών είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Προτεινόμενη Λύση Ονομάηουμε με το ποςό που δόκθκε για προκαταβολι και με το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ, όπου κετικοί ακζραιοι αρικμοί,. Ζχουμε: { Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και ςυμπεραίνουμε ότι ο διαιρεί τον μζγιςτο κοινό διαιρζτθ των και. Ζχουμε: } Τελικά, ςυμπεραίνουμε ότι αφοφ ο διαιρεί τον και, τότε.
13 Πρόβλημα 3 Στο διπλανό ςχιμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Προτεινόμενη Λύση Προεκτείνουμε τα ευκφγραμμα τμιματα και προσ το μζροσ των και, αντίςτοιχα, και ονομάηουμε το ςθμείο τομισ των δφο προεκτάςεων, όπωσ φαίνεται ςτο πιο κάτω ςχιμα. Από το άκροιςμα των γωνιών του τριγώνου, ζχουμε. Άρα, το τρίγωνο είναι ορκογώνιο και ιςοςκελζσ με. Ομοίωσ, από το τρίγωνο ζχουμε και. Άρα,
14 Πρόβλημα 4 (α) Να βρείτε ςτακεροφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, ώςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: Προτεινόμενη Λύση (α) Ζχουμε: Δοκιμάηουμε τισ τιμζσ. Πράγματι: Άλλοσ τρόποσ Άρα,. (β) Χρθςιμοποιώντασ τθ ςχζςθ που αποδείξαμε ςτο (α) ερώτθμα για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε: (γ) Δουλεφοντασ με όμοιο τρόπο όπωσ ςτο (α) ερώτθμα, αποδεικνφουμε εφκολα ότι: Χρθςιμοποιώντασ τθ ςχζςθ αυτι για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε:
15 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέταςησ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Στο διπλανό ςχιμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Προτεινόμενη Λύση Προεκτείνουμε τα ευκφγραμμα τμιματα και προσ το μζροσ των και, αντίςτοιχα, και ονομάηουμε το ςθμείο τομισ των δφο προεκτάςεων, όπωσ φαίνεται ςτο πιο κάτω ςχιμα. Από το άκροιςμα των γωνιϊν του τριγϊνου, ζχουμε. Άρα, το τρίγωνο είναι ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ με. Ομοίωσ, από το τρίγωνο ζχουμε και. Άρα,
16 Πρόβλημα 2 (α) Να βρείτε ςτακεροφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, ϊςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: Προτεινόμενη Λύση (α) Έχουμε: Δοκιμάηουμε τισ τιμζσ. Πράγματι: Άλλοσ τρόποσ Άρα,. (β) Χρθςιμοποιϊντασ τθ ςχζςθ που αποδείξαμε ςτο (α) ερϊτθμα για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε: (γ) Δουλεφοντασ με όμοιο τρόπο όπωσ ςτο (α) ερϊτθμα, αποδεικνφουμε εφκολα ότι: Χρθςιμοποιϊντασ τθ ςχζςθ αυτι για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε:
17 Πρόβλημα 3 Να γράψετε τθν παράςταςθ ςτθ μορφι όπου και κετικοί ακζραιοι αρικμοί. Προτεινόμενη Λύση Έχουμε: ( ) Αντικακιςτϊντασ τισ και ςτθν παράςταςθ παίρνουμε: ( ) ( ) (Το ( ) μπορεί να βρεκεί δοκιμάηοντασ και το ( ), το οποίο καταλιγει ςε μια δευτεροβάκμια εξίςωςθ.) Πρόβλημα 4 Αν και να υπολογίςετε τθν τιμι του κετικοφ ακζραιου αρικμοφ. Προτεινόμενη Λύση Πολλαπλαςιάηοντασ με το και τα δφο μζλθ τθσ πρϊτθσ ςχζςθσ, παίρνουμε διαδοχικά: Αντικακιςτϊντασ ςτθ δεφτερθ ςχζςθ, παίρνουμε: Άλλοσ τρόποσ }
18 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηζρύεη β) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο αιεζεύεη ε αλίζσζε Λύση α), β) Έρνπκε δηαδνρηθά, γηα : ή ή ή ή
19 απ όπνπ Σπλεπώο, Πρόβλημα 2: Αλ ν είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο κε, λα απνδείμεηε όηη ην θιάζκα είλαη αθέξαηνο αξηζκόο. Λύση Παξαγνληνπνηνύκε ηελ παξάζηαζε Άξα Παξαηεξνύκε όηη ε παξάζηαζε είλαη γηλόκελν πέληε δηαδνρηθώλ θπζηθώλ αξηζκώλ. Επνκέλσο ην θαη επίζεο ην, αθνύ αλ έρνπκε πέληε δηαδνρηθνύο θπζηθνύο αξηζκνύ ηνπιαρηζηνλ έλαο δηαηξείηαη κε ην θαη κε ην Επίζεο ηνπιάρηζηνλ δύν από ηνπο παξάγνληεο ηνπ γηλνκέλνπ είλαη άξηηνη θαη ηνπιάρηζηνλ έλαο δηαηξείηαη κε ην θαη επόκέλσο ην γηλόκελν δηαηξείηαη θαη κε ην. Επεηδή νη νηξηζκνί είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, ζπκπεξαίλνπκε όηη ην γηλόκελν δηαηξείηαη κε ην. Άξα ην θιάζκα είλαη αθέξαηνο αξηζκόο γηα Πρόβλημα 3: Αλ, λα απνδείμεηε όηη ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο είλαη Λύση
20 Έρνπκε, Πρόβλημα 4: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγσλν. Από ηηο θνξπθέο θέξνπκε θάζεηεο πξνο ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ θαη έζησ ηα ίρλε ησλ θαζέησλ πάλσ ζηηο πιεπξέο αληίζηνηρα. Ολνκάδνπκε ην ζεκείν ηνκήο ησλ πςώλ ηνπ ηξηγώλνπ. I. Αλ ηα κέζα ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη νξζνγώλην. II. Φέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ ζην ζεκείν Να απνδείμεηε όηη ε είλαη παξάιιειε κε ηελ επζεία Λύση I. Επεηδή ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ θαη κέζνλ ηνπ, ζα έρνπκε Επίζεο, ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ θαη κέζνλ ηνπ. Άξα έρνπκε
21 Άξα ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. Όκσο ζην ηξίγσλν, ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ θαη κέζνλ ηνπ. Επνκέλσο Επεηδή όκσο, έπεηαη όηη θαη Από ηηο παίξλνπκε όηη. Άξα ην παξαιιειόγξακκν είλαη νξζνγώλην. II. Από ην νξζνγώλην ηξίγσλν έρνπκε,. Όκσο,, επεηδή είλαη εγγεγξακκέλεο ζην ίδην ηόμν ηνπ θύθινπ πνπ πεξλά από ηηο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ Επνκέλσο, Σην νξζνγώλην ηξίγσλν ε είλαη δηάκεζνο, άξα ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο. Σπκπεξαίλνπκε ινηπόλ όηη. Επνκέλσο ε πξνεγνπκελε ηζόηεηα γξάθεηαη, Επεηδή όκσο ηα ηξίγσλα είλαη νξζνγώληα θαη ην κέζνλ ηεο θνηλήο ηνπο ππνηείλνπζαο, ζα έρνπκε. Δειαδή ππάξρεη θύθινο πνπ πεξλά από ηα ζεκεία. Άξα αθνύ είλαη εγγεγξακκέλεο ζην ίδην ηόμν Από ηηο θαη παίξλνπκε Επεηδή όκσο νη δύν πιεπξέο απηώλ ησλ ίζσλ γσληώλ είλαη θάζεηεο δύν νμείεο ζα έρνπκε Όκσο από ηελ ππόζεζε θαη είλαη θαη νη Άξα,
22 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο κε ( ) κε θαη κε, όπνπ. α) Να βξείηε ην επξύηεξν ππνζύλνιν ηνπ, ζην νπνίν. β) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη. Λύση Τα πεδία νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ είλαη: ) θαη ). α) Είλαη, θαη ( ). Άξα ην ην επξύηεξν ππνζύλνιν ηνπ, ζην νπνίν είλαη ην ).
23 β) Γηα ), έρνπκε, δηαδνρηθά: απ όπνπ ή ή ή ή Σπλεπώο, ) ( Πρόβλημα 2: Σε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλσλ ζεσξνύκε ηα ζεκεία I. Να βξείηε κηα εμίζσζε 2 νπ βαζκνύ γηα ηελ νπνία μέξνπκε όηη νη ξίδεο ηεο είλαη ίζεο κε ηηο θιίζεηο ησλ δύν επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην θαη ρσξίδνπλ ην ηξαπέδην ζε ηξία ηζεκβαδηθά κέξε. II. Αλ είλαη ε νμεία γσλία ησλ επζεηώλ λα απνδείμεηε όηη Λύση
24 I. Τν εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ είλαη θαη ην. Επεηδή ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ είλαη, ε κηα επζεία είλαη ε, πνπ έρεη εμίζσζε θαη θιίζε. Η άιιε επζεία είλαη ε επζεία ηεο δηακέζνπ ηνπ ηξηγώλνπ, πνπ, όπσο είλαη γλσζηό, δηαηξεί ην ηξίγσλν ζε δπν ηζνδύλακα κέξε. Επεηδή ην είλαη ην κέζνλ ηνπ, είλαη θαη ε θιίζε ηεο είλαη. Σπλεπώο θαη. Έηζη ε εμίζσζε 2 νπ βαζκνύ πνπ έρεη ξίδεο ηα είλαη ή II. Είλαη, θαη έζησ (ζρήκα). Τόηε έρνπκε απ όπνπ ή Πρόβλημα 3: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγσλν θαη επζεία παξάιιειε πξνο ηελ πιεπξά, πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ζηα ζεκεία αληίζηνηρα. Έζησ ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. α) Να απνδείμεηε όηη ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη από ηελ θνξπθή πξνο ηνπο θύθινπο θαη είλαη ίζα. β) Αλ είλαη ην έλα από ηα ζεκεία ηνκήο ησλ θύθισλ θαη, λα απνδείμεηε όηη ε επζεία είλαη θάζεηε ζηελ πιεπξά. Λύση α) Έζησ ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά θαη ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά. Τόηε θαη. Από ην εγγξάςηκν έρνπκε:
25 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο (1) θαη (2) θαη παίξλνπκε πνπ ζεκαίλεη όηη θαη άξα από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο. β) Αθνύ από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο (εξώηεκα α)), ην ζεκείν αλήθεη ζην ξηδηθό άμνλα ησλ θύθισλ, πνπ είλαη ε θνηλή ρνξδή ηνπο (ζρήκα). Η θνηλή ρνξδή είλαη θάζεηε ζηε δηάθεληξν ησλ δπν θύθισλ, ε νπνία ζπλδέεη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ηξαπεδίνπ θαη ζπλεπώο είλαη παξάιιειε πξνο ηε βάζε ηνπ. Έηζη, ηειηθά έρνπκε όηη ε είλαη θάζεηε ζηελ πιεπξά. Πρόβλημα 4: Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο. Λύση i) Αλ ε γίλεηαη: θαη επεηδή παίξλνπκε Αλ ε γίλεηαη θαη ιόγσ ηεο έρνπκε Γηα Αλ ε γίλεηαη ε γίλεηαη
26 θαη ιόγσ ησλ Επνκέλσο ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Αλ ζέζνπκε ζηελ παίξλνπκε Όκσο, αθνύ από ηελ ππόζεζε έρνπκε, έπεηαη όηη Πξάγκαηη ε ζπλάξηεζε επαιεζεύεη ηηο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο.
27 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: Να βξείηε όια ηα δεύγε αθεξαίσλ ( ) πνπ απνηεινύλ ιύζεηο ηεο εμίζσζεο Λύση Η εμίζσζε γξάθεηαη, πνπ, ζεσξνύκελε σο δεπηεξνβάζκηα σο πξνο, έρεη δηαθξίλνπζα. Αξρηθά πξέπεη, αθνύ ν είλαη αθέξαηνο. Τόηε θαη, επεηδή ν είλαη αθέξαηνο, ην κε πξέπεη λα είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν πεξηηηνύ, δειαδή πξέπεη απ όπνπ πνπ είλαη αθέξαηνο γηα θάζε, αθνύ είλαη δηαδνρηθνί αθέξαηνη θαη κάιηζηα, αθνύ Τόηε από ηελ (1) έρνπκε: Έηζη όια ηα δεύγε αθεξαίσλ ( ( ). { ) πνπ απνηεινύλ ιύζεηο ηεο εμίζσζεο, είλαη: ( ) ή ( ), κε.
28 Πρόβλημα2: (α) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν. Να κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηεο. (β) Έζησ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε Απνδείμηε ηελ αληζόηεηα Λύση (α) Παξαγσγίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε Επνκέλσο, Από ηνλ πίλαθα κνλνηνλίαο ηεο ζα έρνπκε Επνκέλσο ε είλαη Γλεζίσο αύμνπζα ζηα δηαζηήκαηα ( ] θαη [ ) Γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα [ ] (β) Επεηδή ε δεδνκέλε αληζόηεηα γίλεηαη Θέηνπκε, ηόηε παίξλνπκε όηη Επεηδή είλαη γλσζηό όηη ηζρύεη, ζα έρνπκε Με ηνλ κεηαζρεκαηηζκό απηό ε γίλεηαη Άξα αξθεί λα απνδείμνπκε ηελ Επεηδή, από ηελ κνλνηνλία ηεο έρνπκε όηη είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα [ ). Επνκέλσο
29 Πρόβλημα 3: Σε νμπγώλην ηξίγσλν θέξνπκε ηηο δηακέζνπο θαη. Έζησ ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. Από ηελ θνξπθή θέξνπκε ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη πξνο ηνπο θύθινπο θαη αληίζηνηρα. Αλ έλα από ηα θνηλά ζεκεία ησλ θύθισλ θαη, ε επζεία ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Η δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Λύση Έζησ ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά θαη ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά. Τόηε θαη. Από ην εγγξάςηκν έρνπκε: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο (1) θαη (2) θαη παίξλνπκε ζεκαίλεη όηη πνπ θαη άξα από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο. Δειαδή είλαη ηζνζθειέο. Άξα, ε δηρνηόκνο ηεο γσλίαο από ην νπνίν ζπκπεξαίλνπκε όηη, θαη επνκέλσο ην ηξίγσλν είλαη θαη ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ, Αθνύ από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο, ην ζεκείν αλήθεη ζην ξηδηθό άμνλα ησλ θύθισλ, πνπ είλαη ε θνηλή ρνξδή ηνπο (ζρήκα). Η θνηλή ρνξδή είλαη θάζεηε ζηε δηάθεληξν ησλ δπν θύθισλ, ε νπνία ζπλδέεη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ηξαπεδίνπ θαη ζπλεπώο είλαη παξάιιειε πξνο ηε βάζε ηνπ. Έηζη, ηειηθά έρνπκε όηη ε. Από παίξλνπκε όηη ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά.
30 Πρόβλημα 4: Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο θαη λα απνδείμεηε όηη ε είλαη κνλαδηθή. Λύση i) Αλ ε γίλεηαη: θαη επεηδή παίξλνπκε Αλ ε γίλεηαη θαη ιόγσ ηεο έρνπκε Γηα ε γίλεηαη Αλ ε γίλεηαη θαη ιόγσ ησλ Επνκέλσο ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Αλ ζέζνπκε ζηελ παίξλνπκε Όκσο, αθνύ από ηελ ππόζεζε έρνπκε, έπεηαη όηη Πξάγκαηη ε ζπλάξηεζε επαιεζεύεη ηηο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Έζησ όηη ππάξρεη θαη κηα δεύηεξε γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ νη ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Τόηε κε ηελ ίδηα επεμεξγαζία θαηαιήγνπκε όηη Άξα. Επνκέλσο ε είλαη κνλαδηθή.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημεπομηνία: 18/1/010 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 Προτεινόμενες λύσεις 1 Σε κηα θαηαζθήλσζε ππάξρνπλ 18 παηδηά θαη έρνπλ ηξόθηκα γηα 9 κέξεο Μεηά
=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη
iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r
1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
ΝΟΕΜΒΡΙΟ Ημερομηνία: 12/11/2016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y
Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΥΗΜΑΣΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ ΓΧΝΙΕ
1 ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΚΕΦΛΙΟ 6 ο ΥΗΜΣ ΕΕΡΜΜΕΝ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΕΡΜΜΕΝΕ ΧΝΙΕ ΟΡΙΜΟ: Εγγεγπαμμένη γσλία νλνκάδεηαη ε γσλία ηεο νπνίαο ε θνξπθή είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ θαη νη πιεπξέο ηεο ηέκλνπλ ηνλ θύθιν. Τν ηόμν
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
: :
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 106 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.
ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ
ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ
ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 9 Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Μαθηματικός Ρόδος ΕΠΑ.Λ Παραδεισίου ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Παπάλληλερ εςθείερ Αίηημα παπαλληλίαρ Γύν επζείεο (ε 1 ),(ε
Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
ΓΗΑΓΩΝΗΜΑ ΣΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ 38. Ύλη: Σρίγωνα, Παράλληλες εσθείες, Παραλληλόγραμμα-Σραπέζια
ΓΗΑΓΩΝΗΜΑ ΣΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ 8 Ον/μο:.. Α Λσκείοσ Ύλη: Σρίγωνα, Παράλληλες εσθείες, 0-0-14 Παραλληλόγραμμα-Σραπέζια Θέμα 1 ο : Α.Τη νλνκάδνπκε βαξύθεληξν ελόο ηξηγώλνπ θαη πνηα ηδηόηεηα έρεη; (6 μον.) Β. Να
ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1o Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες
Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες Ανακεθαλαίωζη θεωρίας Ομαδοποιημένες έννοιες θεωρίας 5 άλσηες αζκήζεις Θέμαηα πολλαπλής επιλογής ΕΑΚΤΝΘΟ 010 11 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γύν επζείεο
f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e
8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω
B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Καζεγεηήο: Υαηδόπνπινο Μάθεο Δπαλαιεπηηθά θύιια εξγαζίαο
Δπιμέλεια: Υαηδόπνπινο Μάθεο Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ 1ν Λύθεην Εαθύλζνπ 28+ Επαναληπτικά Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου Υποψήφια θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου Κατηγορίες ασκήσεων Κατηγορία Α: Θεωρία / Σωστό
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΚΖΖ Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλω ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ θαη αληίζηνηρα, ώζηε λα ηζρύεη ζπλερώο 4. Να απνδεηρζεί όηη: 5 α).
ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ
1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ
Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ
Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α Ππάξειρ μιγαδικών ). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x x 9 θαη w = y, x, y R. α). Να βξείηε ηνπο x, y ώζηε = w. β) Να βξείηε ηνλ. ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = 6 (3 4 ) x 3
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ. να βρείτε την τιμή του x
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξζταςησ: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2016
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 ΕΞΕΣΑΣΕΑ ΤΛΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ Β ΣΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ (όλα τα τμήματα) Από το βιβλίο «Μαθηματικά Θετικήσ και Τεχνολογικήσ Κατεφθυνςησ Β
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Οη αζθήζεης ηες ηράπεδας ζεμάηωκ απαιιαγμέκες από ηα ζτήμαηα (όποσ ήηακ δσκαηόκ) β έθδοζε 0/11/015 ΗΡΖΣΕΡΖΑ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία
Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία Ερωτήσεις θεωρίας με κενά για απαντήσεις Εργασίες πάνω στην θεωρία Προπαρασκεσαστικά θέματα Κεφάλαια 3.7 3.8 3.9 ΕΑΚΥΝΘΟΣ 2010 11 Γεωμεηπία Α Λςκείος
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα )
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
«Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ
. Άλγεβπα Ά Λςκείος Θεωπία Αζκήζειρ «Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ Σςνοπηική θεωπία Επωηήζειρ θεωπίαρ Θέμαηα Εξεηάζεων Σςνδςαζηικά θέμαηα Θέμαηα ηος ΟΕΦΕ 006 010.. (Α) ΜΕΡΟ: ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΣΑ
Εξίσωση ευθείας. ) θαη Β( 1,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο Ι. Ερωτήσεις τύποσ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ». Η επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(, ) έρεη ζπληειεζηή
x x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΜΑ 1 0. Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ: (i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ
Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο.
. Σρεδίαζε Καηεπζπλόκελωλ Γξαθεκάηωλ (.8.) Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. Κνξπθέο 0 0 0 0 0 0 0 0. Σρεδίαζε(.8.5) Να ζρεδηαζηεί ην παξαθάηω γξάθεκα
Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.
ε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οxy δίνεται ευκεία ε. Σί ονομάηουμε : α) γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία ε με τον άξονα xϋx; β) ςυντελεςτι διευκφνςεωσ τθσ ευκείασ ε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Παρατιρθςθ β) Παρατιρθςθ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (Key Stage II) 9 Μαρτίου 2016 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ΩΡΕΣ Λύςεισ : Πρόβλημα 1 (α) Να βρείτε τθν τιμι του για να ιςχφει θ πιο κάτω ςχζςθ: (β) Ο Ανδρζασ τελειϊνει
3 ΕΝΤΟΛΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( while, do while )
3 ΕΝΤΟΛΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( while, do while ) Στα πιο πολλά προγράμματα απαιτείται κάποια ι κάποιεσ εντολζσ να εκτελοφνται πολλζσ φορζσ για όςο ιςχφει κάποια ςυνκικθ. Ο αρικμόσ των επαναλιψεων μπορεί να είναι
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ
ΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ
ΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΜΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΤΠΟΔΕΙΞΕΙ ΑΠΟ ΣΟΝ ΚΩΣΑ ΕΡΙΦΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 009 w w w m a t h e m a t i c a g r ΑΝΣΩΝΗ K ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ
Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ
Θέμα 3 ο v. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z γηα ηνπο νπνίνπο
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΔΤΙΚΗ & ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Δπαλαιεπηηθέο αζθήζεηο θαη ζύλζεηα ζέκαηα Δπηκέιεηα: Άιθεο Τδειέπεο Αζήλα 0 Θέμα ο Έζησ νη α, β R. Να δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο
ΔΥΚΛΔΙΓΗΣ 2008 ΛΥΣΔΙΣ ΘΔΜΑΤΩΝ
1 ΔΥΚΛΔΙΓΗΣ 008 ΛΥΣΔΙΣ ΘΔΜΑΤΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Αλ ηζρύεη όηη 8x10y 1, λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 008 x 5y 8x 60 y. (1 ος τρόπος) 008 x 5y 8x 60y x y x y x y x y 008 5 6 8 10 008 8 10 6 8
ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1
ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οπιζμόρ : Έλαο αθέξαηνο θαιείηαη πξώηνο αλ νη κόλνη ζεηηθνί δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη θαη. Αλ ν αθέξαηνο δελ είλαη πξώηνο ηόηε ν θαιείηαη ζύλζεηνο. Παπαηήπηζη : i) Αλ ν αθέξαηνο είλαη ζύλζεηνο
Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:
Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν
ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν
Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!
Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.