ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ. iii) 32, 16,8, iv) 27, 9, 3,... και λ=2.να βρείτε : και α4=6.να βρείτε :

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ. iii) 32, 16,8, iv) 27, 9, 3,... και λ=2.να βρείτε : και α4=6.να βρείτε :"

Transcript

1 Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 8ο όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων: i) 1,, 4 ii) 1, 1,1, iii) 3, 16,8, iv) 7, 9, 3, Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) είναι 1 και λ=.να βρείτε : 4 i) τον 8ο όρο της (αν) ii) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 1 3. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) είναι 1 και α4=6.να βρείτε : 9 i) τον λόγο λ της (αν) ii) τον 6ο όρο της (αν) 4. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) είναι 1 48 και α5=3.να βρείτε : i) τον λόγο λ της (αν) ii) τους 6 πρώτους όρους της (αν) v) 1,,, Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) με λόγο 3 είναι α5=18.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της (αν) ii) τον όρο α9. 6. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) με λόγο και α7=8.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) τους 5 πρώτους όρους της (αν). 7. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) με ακέραιους όρους,ισχύει : 5 16 και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) τον όρο α9. 8. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν),ισχύει : 6 4 και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) τον όρο α Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν),ισχύει : 4.Να βρείτε : 5 i) τον λόγο της (αν) ii) Αν επιπλέον ο όγδοος όρος της (αν) είναι κατά 16 μεγαλύτερος από τον α7, να βρείτε : α) τον πρώτο όρο της (αν) β) τον όρο α Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν),ισχύει : Να βρείτε : i) τον πέμπτο όρο της (αν) ii) το γινόμενο Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος αν : α) α3=0 και α7=0 β)α1αα3α4=79 και α4=αα3 γ)α1+α+α3=1 και α+1=α1 δ)α1+α4=35 και α+α3=30 ε)α1+α3=5 και a Να βρεθούν τα επόμενα στοιχεία μιας γεωμετρικής προόδου 01

2 α)το πλήθος ν,αν α4=13,α6=117 και αν=9477 β)ο όρος α1 και το άθροισμα Σν,αν λ=5,ν=7,αν =3150 γ)οι όροι α1 και α5,αν λ= και α6=448 δ)οι ν και αν,αν α1=4,λ=4,σν= Να βρεθεί γεωμετρική πρόοδος,όταν : α) α3-α1=9 και α5-α3=36 β) α1+α4=7 και αα3=7 γ)α5-α3=5 και α5-α4=15 δ)α1+α+α3=4 και α11=16 α7 ε)αν Σ6=8Σ3 και Σ4=80 στ)αν Σ5=31 και α+α3+α4+α5+α6=6 14. Ο 4ος όρος γεωμετρικής προόδου είναι 5 και ο 7ος όρος της είναι 135. Να βρεθεί ο 11ος όρος της. 15. Να βρεθεί Γ.Π. της οποίας ο 5ος όρος υπερβαίνει τον 3ο κατά 5, και τον 4ο όρο κατά Ο 3ος όρος μιας Γ.Π. είναι 0 και ο 7ος όρος της είναι 30. Να βρεθεί η πρόοδος. 17. Ο 5ος όρος μιας Γ.Π. είναι 3 16 και ο 10ος όρος της είναι 3. Να βρεθεί η πρόοδος Ο 4ος όρος μιας Γ.Π. είναι 13, ο 6ος όρος της είναι 117 και ο τελευταίος είναι Να βρεθεί το πλήθος των όρων της. 19. Να βρεθεί Γ.Π. της οποίας ο 5ος υπερβαίνει τον 3ο κατά 5, τον δε 4ο κατά 15. Γεωμετρικός μέσος-διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 0. i) Οι αριθμοί, x, 8 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε το x ii) Nα βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών και i) Οι αριθμοί -9, x,-4 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε το x ii) Nα βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών -9 και -4. Ο αριθμός x είναι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών x-3 και x+8.να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός x. 3. Οι αριθμοί x-, x-,4x+4 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε : i) το x ii) τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών x και 7 4. Οι αριθμοί, x-1,x +x-3 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε τιμές που μπορεί να πάρει ο x 5. Να βρείτε για ποια τιμή του x οι αριθμοί 4 x 1, x 13, x 3 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 6. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 5 3 6,, για κάθε α,β, γ R είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής 4 3 0

3 προόδου. 7. α)να σχηματιστεί μία γεωμετρική πρόοδος αν α1= και α7=18 β)να βρεθεί ο όρος α9 μιας γεωμετρικής προόδου αν α1= και λ=4 γ)να βρεθεί ο αριθμός x αν οι αριθμοί 1-x,1+x,35-x είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 8. Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., να αποδείξετε ότι: ( )( ) ( ) ( ). 9. Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς: i),, ii),, Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,με α,β,γ 0 να αποδείξετε ότι οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 31. Αν οι αριθμοί ( ), ( ),( )( ) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να αποδείξετε ότι οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 3. Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι: Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι: ( )( ) ( )( ). 34. Αν,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι:. 35. Αν,,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι:. 36. Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι : i) ( )( ) ( ) ii) ( )( ) ( )( ) Αν οι αριθμοί,,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι : i) ( )( ) ( )( ) ( ) ii) ( ) ( ) ( ) ( ). 38. Αν οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να δειχτεί ότι: i) ( ) ( ) ( ) ( ) ii) ( ) ( ) 03

4 iii) Αν οι αριθμοί,,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,με α,β,γ 0 να αποδείξετε ότι οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου για κάθε νn *. 40. Έστω α και β δύο θετικοί αριθμοί.να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο τους. 41. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν το άθροισμά τους είναι 1 και το γινόμενό τους είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν το άθροισμά τους είναι 9 και οι άκροι όροι διαφέρουν κατά Αν α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και α-β=4,γ-δ=3 και α +β +γ +δ =6,5,να βρεθούν οι α,β,γ,δ. 44. Να βρεθούν οι αριθμοί x,y,z όταν : α) x+y+z=147,οι x,y,z είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και οι x,z,y είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β) x+y+z=8,οι x,y,z είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και οι x,y+,z είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου γ) y=z+1,οι x,y,z είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και οι x,y-1,z-1 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 45. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν).αν οι όροι ακ,αμ,αν,αρ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να αποδείξετε ότι αριθμοί κ-μ,μ-ν,ν-ρ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 46. Αν,34, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., και,30, είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π, να βρεθούν οι α και β Δίνεται η σχέση: Αν οι αριθμοί μ1,μ,μ3,,μν αποτελούν Α.Π., να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί α1,α,α3,,αν αποτελούν Γ.Π., και αντιστρόφως. 48. Είναι δυνατόν τρείς αριθμοί α,β,γ να είναι συγχρόνως διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου και μιας γεωμετρικής προόδου ; 49. Να βρείτε τρείς αριθμούς α, β, γ πού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω και οι αριθμοί α,β+,γ+1 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο λ=1+ω 50. Τρείς μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αυξάνοντας τον α κατά 1 ή αυξάνοντας τον γ κατά,αυτό έχει σαν αποτέλεσμα μία γεωμετρική πρόοδο.να προσδιορίσετε τους αριθμούς α,β,γ. 51. Έστω οι αριθμοί α,β,γ με α β,αγ και α +β 0.Αν οι αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να αποδειχτεί ότι οι αριθμοί : 1 1 1,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. a 04

5 5. Θεωρούμε δύο προόδους,μία αριθμητική με τέσσερις πρώτους όρους τους αριθμούς,β,γ,δ και μία γεωμετρική με τέσσερις πρώτους όρους τους αριθμούς,β,γ,δ.να βρεθεί η διαφορά της αριθμητικής και ο λόγος της γεωμετρικής,ώστε να είναι γ=γ και δ=δ. 53. Αν,, είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., έχουν άθροισμα 35 και οι αριθμοί 5,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π, να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. 54. Αν,, είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., έχουν άθροισμα 147 και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π, να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. 55. Αν,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., έχουν άθροισμα 15 και με αύξηση κατά 1,4,9 αντιστοίχως είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π, να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Άθροισμα ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου 56. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) είναι α1=3 και λ=.να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της προόδου. 57. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 7 όρων της γεωμετρικής προόδου: 19,96,48, 58. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα : i) ii) Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) είναι α3=144 και λ= 3.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της (αν) ii) το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της προόδου. 60. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) είναι α3=48 και α6=6.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) το άθροισμα των πρώτων 7 όρων της προόδου. 61. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) με λόγο λ=3,το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της είναι 40.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της (αν) ii) το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της προόδου. 6. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ο δεύτερος και ο τέταρτος όρος έχουν άθροισμα 30,ενώ ο πέμπτος και ο έβδομος όρος έχουν άθροισμα 81.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) τον όρο α4 iii) το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της προόδου. 63. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ισχύει ότι και το άθροισμα των 3 πρώτων όρων της είναι 40. Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της προόδου. S Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει 33.Να βρείτε : S 05 5

6 i) τον λόγο λ της (αν) S ii) το πηλίκο Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ισχύει i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) S013 1 ii) το πηλίκο. S Να βρείτε : 66. Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύουν 1 10 και 3 15.Να βρείτε : i) τον λόγο λ της (αν) S 8 ii) το πηλίκο. 67. Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν),της οποίας το άθροισμα των πρώτων τριών όρων περιττής τάξης είναι 105,ενώ το άθροισμα των πρώτων τριών όρων άρτιας τάξης είναι -10.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της (αν) iii) τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών α και α Δίνεται γεωμετρική πρόοδο (αν) με λόγο λ=.να υπολογίσετε το πηλίκο : Να υπολογίσετε το άθροισμα : S Δίνεται γεωμετρική πρόοδο (αν) με λόγο λ. S i) Να αποδείξετε ότι: 1 S ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί S, S S, S3 S είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 50 iii) Αν ισχύει S100=1000 και,να βρείτε τα αθροίσματα S00 και S Δίνεται γεωμετρική πρόοδο (αν) για την οποία ισχύει ; και ο όρος α4 είναι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών 1 και 104.Να βρείτε : 16 i) τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) το άθροισμα S Δίνεται γεωμετρική πρόοδο (αν) για την οποία ισχύει ; 1 3 και S i) Να αποδείξετε ότι 1 1 ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα S Δίνεται το άθροισμα 74. Δίνεται η ακολουθία S x x x x x Να αποδείξετε ότι : S x ( x 1) x1 ( x1) 1 1.Να υπολογίσετε το άθροισμα : S... a1 1 a 1 a3 1 a

7 75. Να υπολογίσετε το άθροισμα : S Να βρεθεί Γ.Π., που έχει ως πρώτο όρο τη μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης x 6x8 0 και ως λόγο τη μικρότερη ρίζα αυτής. Έπειτα να βρεθεί το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της Να βρεθεί Γ.Π., που έχει ως πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x x 5x 50 0 και ως λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα αυτής. Έπειτα να βρεθεί το άθροισμα των ν πρώτων όρων της, αν σαν ν πάρουμε την τρίτη ρίζα της εξίσωσης. 78. Να σχηματιστεί Γ.Π. η οποία έχει σαν πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης 3 x x 5x 50 0 και σαν λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα. Να βρεθεί επίσης το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αν σαν ν πάρουμε το τριπλάσιο της τρίτης ρίζας της παραπάνω εξίσωσης. 79. Να βρεθεί μία γεωμετρική πρόοδος που να έχει πρώτο όρο την μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x 3 -x - 4x+4=0 και λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης.να βρεθεί το άθροισμα των κ πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου,όπου ο κ είναι ίσος με τον τετραπλάσιο της τρίτης ρίζας της εξίσωσης. 80. Σε Γ.Π. είναι S6 8 S3 και S4 80. Να βρεθεί η πρόοδος. 81. Αν σε Γ.Π. έχουμε S3 90 και S6 10, να βρεθεί το S Να βρεθεί Γ.Π. που αποτελείται από 6 όρους, αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της είναι 168 και το άθροισμα των τριών τελευταίων όρων της είναι Να βρεθεί Γ.Π. που αποτελείται από 8 όρους, αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι 40 και το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της είναι Σε μια Γ.Π. με ν το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι S 1 και το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι S. Αν ο πρώτος όρος είναι α, να βρεθεί ο λόγος της. Ακολουθίες που αποδεικνύουμε ότι είναι γεωμετρικές πρόοδοι 85. O ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι : 3, i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο. ii) Να βρείτε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της (αν). 86. O ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι : 3, i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο λ. ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών α1 και λ O ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι: x,όπου x R *. i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος. ii) Αν το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της (αν) είναι 17,να βρείτε τον αριθμό x. 07

8 88. Δίνεται ακολουθία (αν) με α1=9 για την οποία ισχύει 1 6. i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (γν) με γν =αν-6 είναι γεωμετρική πρόοδος. ii) Να βρείτε τον 9ο όρο της ακολουθίας iii) Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της (αν) 89. Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι : S 4 για κάθε ν Ν *. Να αποδείξετε ότι : 1 i) ο ν-οστός όρος της (αν) είναι. ii) η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος,της οποίας να βρείτε τον λόγο και τον πρώτο όρο Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι : S 3 x για κάθε ν Ν *. i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος ii) Να βρείτε τον αριθμό x. Γεωμετρική παρεμβολή 91. Μεταξύ των αριθμών και 486 να βρείτε τέσσερις αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 9. Μεταξύ των αριθμών 3 8 και 96 να βρείτε επτά αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 93. Να παρεμβληθούν γεωμετρικοί ενδιάμεσοι μεταξύ των αριθμών 3 και Να παρεμβληθούν 4 γεωμετρικοί ενδιάμεσοι μεταξύ των αριθμών 5 και Δίνεται η εξίσωση : x 4x 9 x 3x 7.Ανάμεσα στις θετικές ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε πέντε αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 96. Να παρεμβληθούν 4 γεωμετρικοί ενδιάμεσοι μεταξύ των ριζών της εξίσωσης x 5x Μεταξύ των αριθμών 5 και 0 παρεμβάλλουμε ορισμένους αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να αποτελούν 16 διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.οι δύο τελευταίοι αριθμοί που παρεμβάλλουμε έχουν γινόμενο 50.Να βρείτε τους αριθμούς που παρεμβάλλουμε. 98. Μεταξύ των αριθμών 3 4 και 96 παρεμβάλλουμε ορισμένους αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.ο δεύτερος και ο τελευταίος από τους αριθμούς που παρεμβάλλουμε έχουν γεωμετρικό μέσο το 1.Να βρείτε τους αριθμούς που παρεμβάλλουμε. Προσδιορισμός διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με γνωστό γινόμενο 99. Να βρείτε τρείς διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου που έχουν γινόμενο 7 και άθροισμα Να βρείτε τρείς διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου που έχουν γινόμενό 64 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με

9 101. Να βρείτε τέσσερις αριθμούς που αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου και έχουν γινόμενο 79,ενώ τα τετράγωνα των δύο τελευταίων αριθμών έχουν γινόμενο Να βρείτε 5 θετικούς διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου που έχουν γινόμενο 3 και άθροισμα Το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου είναι 1 και το γινόμενό τους 16. Να βρεθούν οι όροι αυτοί Να βρεθεί γεωμετρική πρόοδος, αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της είναι 168 και το άθροισμα των τριών επόμενων είναι Σε μια γεωμετρική πρόοδος το άθροισμα των τριών πρώτων όρων τους είναι 1 και το διπλάσιο του δεύτερου όρου της συν ένα ισούται με τον πρώτο όρο της. Να βρεθεί η πρόοδος Να βρεθεί γεωμετρική πρόοδος της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 4 και είναι Σε γεωμετρική πρόοδο είναι 1 3 και Να βρεθεί η πρόοδος και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της Το γινόμενο τριών ακεραίων είναι Αν τα τετράγωνά τους σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο, να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί Σε μια γεωμετρική πρόοδο το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της είναι 1 και το διπλάσιο του δεύτερου όρου της συν ένα ισούται με τον πρώτο όρο της Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν το γινόμενό τους είναι 79 και ο τέταρτος όρος ισούται με το γινόμενο των δύο μεσαίων Τρείς αριθμοί ( 0) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.οι αριθμοί αυτοί είναι συγχρόνως πρώτος,δεύτερος και έβδομος όρος μιας Α.Π. αντίστοιχα.να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί αν το άθροισμα τους είναι 93. Προβλήματα 11. Η Άννα διάβασε ένα βιβλίο σε 8 ημέρες.την πρώτη ημέρα διάβασε ορισμένες σελίδες και κάθε άλλη ημέρα διάβαζε μισές σελίδες από αυτές που διάβαζε την προηγούμενη ημέρα.αν την τέταρτη ημέρα διάβασε 16 σελίδες,να βρείτε : i) πόσες σελίδες διάβασε την πρώτη ημέρα ii) πόσες σελίδες διάβασε την έβδομη ημέρα iii) πόσες σελίδες είχε ολόκληρο το βιβλίο Σε μια κοινωνία μικροβίων ρίχνεται ένα φάρμακο, με αποτέλεσμα κάθε μία ώρα το πλήθος των μικροβίων που είναι ζωντανά να φτάνει στο 1 4 του πλήθους των μικροβίων της προηγούμενης ώρας. Αν αρχικά υπήρχαν 0 μικρόβια, να βρείτε το πλήθος των μικροβίων που έμειναν ζωντανά 8 ώρες μετά τη ρίψη του φαρμάκου. 09

10 114. Σε μια δεξαμενή υπάρχουν 9 5 λίτρα νερού λόγω κατανάλωσης,στο τέλος κάθε ημέρας μένουν στη δεξαμενή τα 3 της ποσότητας του νερού που υπήρχαν την προηγούμενη ημέρα.πόσα λίτρα νερού έμειναν στη δεξαμενή στο τέλος της 8ης ημέρας Σε ένα κτίριο υπάρχουν 187 άτομα.κάθε ώρα που περνάει φεύγει το 1 3 των ατόμων που υπάρχουν στο κτίριο. Να βρείτε πόσα άτομα θα υπάρχουν στο κτίριο μετά από 6 ώρες Ο Κώστας αποφάσισε να ξεκινήσει να αποταμιεύει χρήματα. Έτσι τον πρώτο μήνα αποταμίευσε 64 και κάθε επόμενο μήνα θα αποταμίευε 50% περισσότερα χρήματα σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Να βρείτε : i) πόσα χρήματα αποταμίευσε τον πέμπτο μήνα, ii) πόσα χρήματα αποταμίευσε συνολικά τους πρώτους 6 μήνες Τα μήκη των πλευρών ορθογώνιου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του Ένας πληθυσμός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μία ώρα. i) Αν αρχικά υπάρχουν 10 βακτηρίδια, να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα από 6 ώρες. ii) Στο τέλος της 6ης ώρας ο πληθυσμός των βακτηριδίων ψεκάζεται με μια ουσία η οποία σταματά τον πολλαπλασιασμό τους και συγχρόνως προκαλεί την καταστροφή βακτηριδίων κάθε ώρα. α) Να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που απομένουν 0 ώρες μετά τον ψεκασμό, β) Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφούν όλα τα βακτηρίδια; 119. Όταν ο Πέρσης μαθηματικός Sessa επινόησε το σκάκι,τον παρουσίασαν στο βασιλιά της Περσίας για να κάνει μία επίδειξη του παιχνιδιού.ο βασιλιάς ενθουσιάστηκε τόσο που είπε στον Sessa να του ζητούσε ότι επιθυμούσε σαν ανταμοιβή.ο Sessa ζήτησε να του δοθεί ένας κόκκος σταριού για το πρώτο τετραγωνάκι της σκακιέρας, κόκκοι για το δεύτερο,4 για το τρίτο κ.ο.κ. Η αντίδραση του μονάρχη ήταν τρομερή σαν άκουσε την <<ασήμαντη>> απαίτηση,γιατί την θεώρησε ανάξια της βασιλικής του γενναιοδωρίας.όταν όμως του έκαναν τους σχετικούς υπολογισμούς κατάλαβε ότι δεν ήταν δυνατό να ικανοποιήσει την τόσο ασήμαντη απαίτηση.γιατί ; 10. Μια ζυγαριά έχει δύο δίσκους Α και Β. Στον δίσκο Α τοποθετούμε διαδοχικά βαρίδια ως εξής: Το πρώτο έχει βάρος 0 g και κάθε επόμενο έχει βάρος τριπλάσιο από το προηγούμενό του. Στον δίσκο Β τοποθετούμε διαδοχικά βαρίδια ως εξής: Το πρώτο έχει βάρος 10 g και κάθε επόμενο έχει βάρος 0 g περισσότερο από το προηγούμενό του. i) Να βρείτε πόσα g ζυγίζει το 4ο βαρίδι που τοποθετούμε στον δίσκο Α. ii) Αν στον δίσκο Α τοποθετήσουμε 5 βαρίδια, να βρείτε πόσα βαρίδια πρέπει να τοποθετήσουμε στον δίσκο Β, ώστε να ισορροπεί η ζυγαριά. 11. Σχεδιάζουμε ομόκεντρους κύκλους C1,C,C3,.Ο κύκλος C1 έχει ακτίνα 18 cm και κάθε άλλος κύκλος έχει τη μισή ακτίνα από τον προηγούμενό του. Να βρείτε: i) την ακτίνα του κύκλου C4, ii) την περίμετρο του κύκλου C6, iii) το εμβαδόν του κύκλου C8, iv) το άθροισμα των εμβαδών των 5 πρώτων κύκλων. C3 C C1 10

11 1. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΚ1Λ1 είναι ισόπλευρο με πλευρά 96 cm. Το Κ είναι μέσο του ΑΚ1 και γενικά το Κν είναι μέσο του ΑΚν-1, για ν. Επίσης το Λ είναι μέσο του ΑΛ1 και γενικά το Λν είναι μέσο του ΑΛν-1, για ν. Να βρείτε: i) το μήκος της πλευράς Κ3Λ3, ii) την περίμετρο του τριγώνου ΑΚ5Λ5, iii) το άθροισμα Κ1Λ1 + ΚΛ K6Λ6. K4 K3 A Λ3 Λ4 13. Στους δίσκους Α και Β μιας ζυγαριάς υπάρχουν βάρη 40 και 0 γραμμαρίων αντίστοιχα.στον δίσκο Α τοποθετούμε διαδοχικά βάρη των 0 γραμμαρίων το καθένα.στον δίσκο Β τοποθετούμε τριπλάσιο βάρος του αρχικού και συνεχίζουμε προσθέτοντας βάρη,καθένα από τα οποία είναι τριπλάσιο του βάρους που είχε τοποθετηθεί στην αμέσως προηγούμενη φορά. i) Αν το συνολικό βάρος στον δίσκο Β είναι 40 γραμμάρια, να βρεθεί πόσες φορές χρειάστηκε να τοποθετήσουμε βάρη στον δίσκο αυτό. ii) Πόσα βάρη των 0 γραμμαρίων πρέπει να τοποθετήσουμε στον δίσκο Α, ώστε να ισορροπήσει η ζυγαριά; 14. Σε ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η τελευταία έχει 50 καθίσματα. Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η προτελευταία σειρά έχει 140 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά. i) Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου έχει 0 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. ii) Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου. iii) Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου, σ αυτό το θέατρο, την παρακολούθησαν 100 θεατές, ενώ σε κάθε επόμενη παράσταση, ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν. Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει το θέατρο; 15. Έστω δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β. Αν συμβολίσουμε με Αο τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Α και με Βο τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Β, τότε είναι:9α0 = Β0. 1 Ο πληθυσμός της κοινωνίας Α μειώνεται κάθε ώρα κατά το του αρχικού πληθυσμού της, ενώ ο 100 πληθυσμός της κοινωνίας Β αυξάνεται ανά ώρα με γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ. Οι δύο πληθυσμοί γίνονται ίσοι σε 10 ώρες μετά την αρχική στιγμή. i) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου που αναφέρεται στον πληθυσμό Β είναι λ= 10. ii) Πέντε ώρες μετά την αρχική στιγμή, ο πληθυσμός της κοινωνίας Β είναι βακτηρίδια. Να αποδείξετε ότι ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας Β είναι βακτηρίδια, iii)να βρείτε τον πληθυσμό της κοινωνίας A, 99 ώρες μετά την αρχική στιγμή. Συνδυαστικά θέματα 16. Τρεις θετικοί αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και έχουν άθροισμα 15. Αν στον πρώτο αριθμό προσθέσουμε, στον δεύτερο προσθέσουμε 3 και στον τρίτο προσθέσουμε 8, τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε: i) τους τρεις αρχικούς αριθμούς, 11 K1 Λ1

12 ii) τον γεωμετρικό μέσο του μικρότερου και του μεγαλύτερου από τους παραπάνω αριθμούς. a71 a Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει: a51 i) τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών α99 και α103, ii) το γινόμενο των πρώτων 01 όρων της..να βρείτε: 18. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (αν) και μια γεωμετρική πρόοδος (βν), οι οποίες έχουν α1 = β1 και α = β.αν επιπλέον ισχύει β5 - β4 = 4 και α5 - α4 = 3, να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), καθώς και τον πρώτο όρο και τον λόγο της (βν), ii) τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών β και α8, iii) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με τον β Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) με α1 > 0 και λόγο λ Ζ, για την οποία ισχύει:α3 + 3α1 < 4α i) Να βρείτε την τιμή του λ Ζ. ii) Αν επιπλέον ο γεωμετρικός μέσος των α και α3 είναι 6, τότε να βρείτε: α) τον α1, β) το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της (αν) Δίνεται η εξίσωση: x + λx + λ- 1 = 0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ R. ii) Αν x1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (l), να βρείτε για ποιες τιμές του λ, οι αριθμοί: 1 x1x, x1 x, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν), με λόγο λ >0, το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων όρων είναι 90 ενώ ο πέμπτος και ο έκτος όρος έχουν άθροισμα 88 i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) Ανάμεσα στον α6 και στον α7 να παρεμβάλλετε 5 αριθμούς, ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 13. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και τη γεωμετρική πρόοδο (αν), με λόγο λ, έτσι, ώστε να ισχύουν: α1 = Ρ(Α Β), α = Ρ(Α), α3 = Ρ(Α Β), η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι i) Να αποδείξετε ότι 1 και. 9 ii) Να βρείτε τις πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β, β) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β. iii) Να βρείτε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της (αν). 1

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12, Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-,-7,-1,. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1= και ω=3.να

Διαβάστε περισσότερα

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr. Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1 ,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ .α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει: x y x y x 6y 0 0 Β)Να βρείτε τους αριθμούς x,y ώστε x y x y 6 0 0.Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α,β με τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία Κεφάλαιο Πιθανότητες. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα.. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης; 3. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α=

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α= Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 0) ( 5) 3 ( 8) Α= + 3 3 ( ) +. ( 3) 4 Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΟ είναι ισοσκελή με βάση την πλευρά ΑΒ. Η προέκταση της

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0.

ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0. ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση f x x x, x α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της ευθεία ψ x 3. (Μονάδες 0) γ) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κεφάλαιο Πιθανότητες. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = {x N /x 0}. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A = {x Ω/x πρώτος αριθμός} και B = {x Ω/x άρτιος αριθμός}. Να

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96 3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96 A Ομάδας. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 + 3 0 Δ 5 4, 5 6 4 4 Δ 36 36 0, i Δ 6 4 8 < 0, 6 + 9 0 i 3 + 4 + 0 6. η εξίσωση είναι αδύνατη. 3 3 (διπλ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 :

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 : Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 Tel. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 B τάξη Γυμνασίου Να βρείτε τους αριθμούς 0 4 1 1 77 16 60 19 7 : 000 : και 4 : 4 9

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο. ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας - 0 A Ομάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρκής προόδου,,,... Είναι λ και...ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου,,,... Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα