ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει : z + z z+ z = να βρείτε την τιμή του θ και τις ρίζες z,z. α) Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ ) < γιατί < θ < < εφ θ <. 4 β) Έχουμε: z+ z = εφθ, z = z και z = zz = zz = z =. Οότε: z + z z+ z = εφθ = εφθ = θ = 6 αφού < θ <. 4 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος ου διέρχεται αό την αρχή των αξόνων. α) (z) = i z iz= i. Αν z= + yi τότε + y y= + y i( yi) = i ( + y y) i = i + y = y+ + y = y + 4y+ 4,y = = = Άρα y = 4 = z= i. 4 β) (z) = z iz = z i z = ( i) z οότε (z) = i z = z. - -

2 Άρα z= z=. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 γ) Αν z = τότε: w = iz iz = w οότε w = iz w = z = z = άρα w = Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου ου εαληθεύεται για w=. ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση : zz + 4R ( i) z + 4 = (I). α) Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει άειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών. β) Αν z,z είναι δύο λύσεις της αραάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: z z 8. γ) Αν t,t είναι αντίστοιχα οι τιμές των μιγαδικών z και z (του ερωτ. β) για τις οοίες η αράσταση z z γίνεται μέγιστη, να δείξετε ότι: v v 4v+ v t + t + (t t ) = 5 για κάθε * ν. α) Θέτουμε z=+yi, (,y ) και η (Ι) αίρνει την μορφή: + y y + 4 = ( + ) + (y + 4) = 6. Εομένως η εξίσωση (I) έχει λύση κάθε μιγαδικό, του οοίου η εικόνα είναι σημείο του κύκλου C: ( + ) + (y + 4) = 6. β) Αν z,z δύο λύσεις της (I) τότε οι εικόνες τους M(z) και M(z) είναι σημεία του κύκλου C. Οότε έχουμε: z z = (M M ) ρ = 4 = 8. γ) Η αράσταση z z γίνεται μέγιστη όταν η χορδή MΜ, του κύκλου C, γίνεται διάμετρος. Έτσι οι εικόνες Α, Β των μιγαδικών t και t αντίστοιχα είναι αντιδιαμετρικά σημεία. Οότε t t = ma z z = 8=. t+ t = OA + OB = OK = = 5. Έτσι έχουμε: v v 4v v 4v v 4v v 4v+ v t+ t + (t t ) = = 5 =

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 4 Έστω μια συνάρτηση : τέτοια ώστε: (I) () + () = ημ για κάθε (). Αν lim = α τότε: α) Να δείξετε ότι α=. (ημ) (()) ( ) β) Να βρείτε τα όρια: i) lim, ii) lim και iii) lim +. () () ημ α) Για διαιρούμε με την (I) οότε έχουμε: ( ) + = ( ) και υολογίζοντας τα όρια των δύο μελών αίρνουμε : α + α = α =. β) Παρατηρούμε ότι σε εριοχή του έχουμε (ημ) (ημ) ημ i) = ημ όου (ημ) (y) lim για y=ημ γίνεται lim =. y y (()) (()) () () ii) = όου lim () = lim( ) = = και () (()) (y) lim για y=() lim =. y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iii) = = = + + ( )( ) Εύκολα βρίσκουμε ότι σε εριοχή του είναι: ( ) lim = ( ) =. + ΘΕΜΑ 5 Έστω μια συνάρτηση :, ου είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής. Αν () lim = (ημ) α) Να βρείτε το όριο: lim συν β) Να δείξετε ότι: ()= (), γ) Να βρείτε την τιμή του k, ώστε η συνάρτηση g() = να είναι k, = συνεχής στο. δ) Για την τιμή του k= να δείξετε ότι η γραφική αράσταση της g τέμνει την ευθεία (ε): y= σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,). ΥΠΟΔΕΙΞΗ α) Παρατηρούμε ότι σε εριοχή του (ημ) (ημ) (ημ) (ημ) συν = συν = συν = συν συν ημ ημ- + ημ - - έχουμε

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 (ημ) (y) (ημ) όου για y=ημ έχουμε lim = lim =. Άρα lim = =. y ημ- y- συν () β) Εειδή συνεχής στο έχουμε: ()= lim () = lim( ) = =. () γ) g()= lim g() = lim = άρα k=. δ) Εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano για την h()=g()- στο [,]. Παρατηρήστε ότι: h()=g()=-() όμως γνησίως αύξουσα στο, οότε: () < () =. Εομένως h() >. Ακόμα είναι: h()=g()-=- <. ΘΕΜΑ 6 Έστω μια συνάρτηση : τέτοια ώστε: (I) () για κάθε. () α) Να δείξετε ότι: lim =. + β) Να βρείτε τα όρια: () * i) lim, v, ii) lim[ ( )], iii) lim [ + v + ( )]. + + α) Για > έχουμε: () () () + και () εφαρμόζοντας το κριτήριο αρεμβολής βρίσκουμε: lim =. + β) i) Έχουμε: () () Για ν> lim = lim [ ] = = + v v + () () Για ν= lim = lim =. + v + ( ) ii) = και για + + lim () =. + ( ) ( )(+ ) iii) Είναι ( ) = ( ) = ( ) () + ( ) () και θέτοντας = βρίσκουμε: lim + = lim = οότε αό την + () αίρνουμε: lim [ ( )] =

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 7 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο τέτοια ώστε: (I). ημ α) Να δείξετε ότι: lim =. + β) Να βρείτε το (). γ) Να δείξετε ότι υάρχει (, ) -6 - ημ ( ) = τέτοιο ώστε: ( ) =. για κάθε ημ ημ ημ α) Για κάθε > έχουμε: = με κριτήριο - - ημ αρεμβολής βρίσκουμε: lim =. + β) Αό την (I) αίρνουμε: lim ( ) =. Θέτουμε y = τότε + = lim ( ) = lim(y) και εειδή η είναι συνεχής στο έχουμε: + y () = lim(y) =. y γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την στο [, ] Για - Για = 6 η (I) δίνει: = η (I) δίνει: ( ) = = < ( ) = = >. - Σημείωση: Παρατηρείστε ότι αό την σχέση (I) μορεί να βρεθεί ο τύος της συνάρτησης για κάθε, οότε τα ερωτήματα β) και γ) ειλύονται διαφορετικά. ΘΕΜΑ 8 Έστω συνάρτηση αραγωγίσιμη στο [, + ) με ()> για κάθε [, + ). Αν το εμβαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της, τους άξονες, y y και την ευθεία = είναι E() = () για κάθε τότε: i) να αοδείξετε ότι () + () = για κάθε [, + ) () ii) lim =. iii) να βρείτε τον τύο της συνάρτησης. iv) να λύσετε την εξίσωση () = ημ

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 i) Εειδή η είναι συνεχής στο [, + ) και ()> για κάθε [, + ), το εμβαδόν ου χωρίου ου ερικλείεται αό την C, τους άξονες, y y και την ευθεία =, ()d= () είναι E() = ()d οότε για κάθε είναι (). Η ως αραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο [, + ), το [, + ) άρα ( ()d) = () Για κάθε είναι = = + =. ( ()d) ( ()) () () () () Άρα για κάθε [, + ) είναι () + () = (). Αό τη σχέση () για = έχουμε ()= και αό τη σχέση () για = έχουμε () =. () () () Είναι lim = lim = () = αό υόθεση). ii) Για κάθε [, + ) είναι (η είναι αραγωγίσιμη στο [, + ) () + () = () + () = ( () ) = ( ) οότε () = + c, (). Για = αό την () έχουμε = + c c= εομένως για κάθε είναι () = + () = ( + ),. iii) Για κάθε [, + ) είναι () = ( ), οότε η εξίσωση () = ημ ισοδύναμα γράφεται ( ) = ημ = ημ (4). Παρατηρούμε ότι = ημ = αληθές, άρα το είναι ρίζα της εξίσωσης. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = + ημ,. Για κάθε [, + ) είναι = > g() συν=( ) ( συν) > άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οότε η ρίζα της εξίσωσης είναι μοναδική. Εομένως - () = ημ = ημ =. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Είναι γνωστό ότι α + για κάθε α> και αφού > είναι α +. Είσης -συν> αφού συν για κάθε.

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 9 Έστω συνάρτηση αραγωγίσιμη στο με () > 7 για κάθε. Να αοδείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=6+ σε ένα ακριβώς σημείο. Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση () =6+ έχει μία ακριβώς ρίζα στο. Θεωρούμε τη συνάρτηση g()=()-( 6+),. H g είναι αραγωγίσιμη στο ως διαφορά αραγωγισίμων με g ()= ()- 6>7-6=> (), για κάθε, οότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η εξίσωση g()= έχει το ολύ μια ρίζα στο. Η g ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού σε κάθε διάστημα της μορφής [,] με > άρα θα υάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε g()-g() > g(ξ )= g()=g (ξ ) +g()>+g() (αφού g(ξ )> g (ξ )> ). Είναι lim ( + g() ) =+ άρα και lim g() = +, οότε θα υάρχει διάστημα της + + μορφής (β, + ) με β> τέτοιο ώστε g()> για κάθε (β, + ). Εομένως g(λ)> για λ (β, + ). Η g ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού σε κάθε διάστημα της μορφής [,] με < άρα θα υάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε g()-g() < g(ξ )= g()=g (ξ ) +g()<+g() (αφού g(ξ )> g (ξ )< ). Είναι lim ( + g() ) = άρα και lim g() =, οότε θα υάρχει διάστημα της μορφής (,α) με α< τέτοιο ώστε g()< για κάθε (,α). Εομένως g(κ)< για κ (,α). Η g ικανοοιεί λοιόν τις ροϋοθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο [κ.λ]. Εομένως θα υάρχει ένα τουλάχιστον (κ,λ) τέτοιο, ώστε g( )=. Δείξαμε λοιόν ότι η g()= έχει: μια τουλάχιστον ρίζα και μια το ολύ ρίζα στο Άρα η g()= έχει μια ακριβώς ρίζα στο, ου σημαίνει ότι η C τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=6+ σ ένα ακριβώς σημείο. ΘΕΜΑ Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο (, + ) η οοία ικανοοιεί τη σχέση (t) () dt = + για κάθε (, +. ) α) Να αοδείξετε ότι () = ln(+ ) β) Να αοδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη C και τους ημιάξονες Ο και Oy

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Να βρείτε τη γραμμή ου διαγράφουν οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z () με Rz στο μιγαδικό είεδο, αν ισχύει + z + για κάθε (, +. ) α) Η συνάρτηση (, + ) άρα η συνάρτηση (t) είναι συνεχής στο (, + ) ως σύνθεση συνεχών, το είναι αραγωγίσιμη στο (, + ) με (t) dt είναι αραγωγίσιμη στο (, ) () ( (t) () dt) () +, οότε και η = + = () = () () () () () () = [ ] = () = + c, c (). Για = αό την αρχική σχέση έχουμε ()=, ενώ αό τη σχέση () είναι () = c c=. () Έχουμε λοιόν = + () = ln(+ ), >-. β) Αό τη σχέση () έχουμε () = () > άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), οότε είναι και -. Εομένως η αντιστρέφεται. Για να βρούμε την αντίστροφη της θέτουμε y=() και λύνουμε ως ρος. Έχουμε λοιόν y y y y = () y = ln( + ) + = = (y) =, y. Άρα η αντίστροφη της είναι η : με () =. γ) Συντεταγμένες Α Για y= είναι ln( + ) = ln( + ) = ln + = = οότε Α(-,). Είναι Ε(Ω)= ln( + )d = ln( + )d = [ ln( + )] (ln( + )) d = d = = ( )d = ( )d = d d = ( + ) d d = = [ln + ] [ ( )] = + = τ.μ δ) Θεωρούμε συνάρτηση () g() z = +, (, + ). Για κάθε () () (, + ) είναι + z + + z g() g(). Δείξαμε ότι g() g() για κάθε (, + ), άρα η g αρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο = του εδίου ορισμού της. Η g είναι αραγωγίσιμη στο () (, + ) με g() = () + z άρα είναι αραγωγίσιμη και στο = με - 8 -

9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 () () () g() = () + z g() = + z g() = z. Ισχύει λοιόν το () Θεώρημα Frmat, οότε g() = z = z =. Άρα οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ= ου έχει εξίσωση + y = 9. Όμως το Rz εομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z άνω στο μιγαδικό είεδο διαγράφουν το ημικύκλιο BAB του κύκλου + y = 9 όου Β (,-). Α(,), και Β(,). ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση ου ικανοοιεί τη σχέση () = () ( ) για κάθε με ()=. α) Να αοδείξετε ότι [()-] = [ ( )] για κάθε. β) Να αοδείξετε ότι () για κάθε. γ) Αν η C έχει με τον άξονα δύο μόνο κοινά σημεία, τότε να αοδείξετε ότι για = η αίρνει μέγιστη τιμή ()=. α) Για κάθε είναι () = () ( ) () () = ( ) () () + = ( ) [() ] = [ ( )]. [ () ] * β) Για είναι ( ) = οότε ( ) για κάθε. Είσης είναι ( ) = () =. Άρα ( ) για κάθε. Αν όου θέσουμε το - έχουμε ( ( )) () για κάθε. γ) Για = αό την αρχική σχέση έχουμε () = () () () = () ()[ () ] = () = ή () =. Για = είσης έχουμε () = () =. Εειδή () = και ()= δεν είναι δυνατόν να είναι και ()= αφού η C έχει με τον άξονα δύο μόνο κοινά σημεία. Υοχρεωτικά λοιόν είναι ()=. Άρα () () για κάθε. Εομένως η αίρνει μέγιστη τιμή το για =. ΘΕΜΑ Έστω, g δύο συναρτήσεις αραγωγίσιμες στο. Αν η συνάρτηση, ( g)() = και για κάθε ισχύει η σχέση τότε να αοδείξετε ότι: * α) g ()=- για κάθε και g() g είναι - (t)dt + ( g)(t)dt =,

10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 β) g() + (t)dt=,. α) Η είναι συνεχής στο, το και η g είναι αραγωγίσιμη στο, εομένως η g() (t)dt είναι αραγωγίσιμη στο. Η g είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών, το άρα η συνάρτηση αραγωγίσιμη στο. Για κάθε έχουμε g() ( (t)dt + ( g)(t)dt) = ( g)(t)dt είναι (g())g () + ( g)() = ( g)()[g () + ] = (). Εειδή η συνάρτηση g είναι - και ( g)() = ισχύει ( g)() = ( g)() = ( g)() =. Δηλαδή η εξίσωση ( g)() = έχει μοναδική λύση την =. Εομένως η () ισοδύναμα γράφεται = ή g() + =, για κάθε β) Θεωρούμε τη συνάρτηση *. g() + h() = (t)dt,. () Η είναι συνεχής στο, το, η g()+ είναι αραγωγίσιμη στο, άρα η h αραγωγίζεται στο με h () = (g() + ) (g() + ) h () = (g() + ) (g () + ),. Για = έχουμε h () = (g()) (g () + ) = (g () + ) =. Για έχουμε h () = (g() + ) =. Παρατηρούμε λοιόν ότι h() = για κάθε, άρα η h είναι σταθερή στο, δηλαδή h() = c,. Για = αό την αρχική σχέση έχουμε την () έχουμε g() + h() = (t)dt =. g() g() (t)dt= και αό h() = (t)dt c =. Άρα για κάθε είναι - -