AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2018

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2018"

Θωθ Ρόκας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 8 ΘΕΜΑ Α: Α. Αόδειξη σελ.44 (σχολικό) Α. Ορισμός σελ. 5 (σχολικό) Α3. Η αράγωγος της f μορεί να είναι η Τ και η αράγωγος της g η H. Α4. α) ψευδής β) Oι συναρτήσεις f ()= και g()= έχουν όρια: f ()= ( )= και (f ()g( ))= ( )= g()= ( )= αντίστοιχα, όμως: Α5. (ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ) α)σωστο β)σωστο γ)λαθοσ ΘΕΜΑ Β: Β. Η f() είναι συνεχής για < ως ολυωνυμική και συνεχής για > ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Για να είναι συνεχής σε όλο το εδίο ορισμού της ου είναι το R θα ρέει να είναι συνεχής και στο, άρα: f()= f() = ( α) =α α= Β. Για να ικανοοιεί η συνάρτηση τις υοθέσεις του θεωρήματος Roll θα ρέει να είναι: ΣΥΝΕΧΗΣ στο διάστημα [/, ] ( ισχύει αφού είναι συνεχής στο R). ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο διάστημα (/, ) Είναι αραγωγίσιμη στο (/, ) με f '()=. Είναι αραγωγίσιμη στο (, 4) με f '()=. Εξετάξουμε με τη βοήθεια του ορισμού αν είναι αραγωγίσιμη στο δηλαδή αν ισχύει: f ()f () f()f() = = = = ()() () = () = άτοο. Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο οότε δεν ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Roll.

2 Β3. Είναι f '()={, > } και έστω (, f( )) το σημείο εαφής της εφατομένης και f '( ) ο,< συντελεστής διεύθυνσης της. Θα ισχύει για < : f '( )= 4 = 4 = 8 δεκτή για > : f '( )= 4 = 4 =4 =± το =- αορρίτεται αφού > άρα =. Εομένως, τα σημεία ου η εφατομένη της C f είναι αράλληλη στην ευθεία y= - ¼ 8 είναι τα: Α(-/8, f(-/8)) και B, f. Oότε έχουμε τις εξισώσεις των εφατομένων: y = 4 ( 8 ) και y3 = 4 () Β4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε όλο το R οότε δεν έχει η γραφική της αράσταση κατακόρυφες ασύμτωτες. Στο η f είναι ολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού άρα δεν έχει λάγιες ή οριζόντιες ασύμτωτες. Στο θα βρώ το όριο f ()= = ( )=,άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη στο. Η γραφική αράσταση της f είναι: ΘΕΜΑ Γ: Γ. Η αράγωγος της συνάρτησης είναι f '()=συν άρα έχουμε f '()= συν= συν= συν= = αφού [, ] 3 και για την συνάρτηση f ροκύτει ο ίνακας: X /3 f '() f () Η f αρουσιάζει για =/3 τοικό μέγιστο με τιμή f ( 3 )= 3 3 ελάχιστα τα f()=, f()= -.

3 Γ. Eίναι f ''()=ημ< στο, άρα η f είναι κοίλη στο [, ], συνεώς η εφατομένη της σε οοιοδήοτε σημείο της [, ] είναι άνω αό την Cf εκτός του σημείου. Εομένως η γραφική αράσταση της f και η εφατομένη της στο A (, f( )) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Γ3. f()συνd= ημσυν d συν d=i I Για το ρώτο ολοκλήρωμα θέτουμε ημ=u άρα και συν d=du. Για = το u= και για = το u= I = I = udu= συν d= (ημ)'d= [ ημ ] Άρα f()συνd=i I =()= f () Γ4. α) = ημ == β) Παρατηρώ ότι : (f ()f ())ln=( f () ημd= [ συν ] =συνσυν=()= () f )ln και γνωρίζω τα όρια : f () = f (), =, ln (ln)= = DLH = ()= Άρα ((f ()f ()) ln)=() =. ΘΕΜΑ Δ: Δ. α' τρόος) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την g()=ln στο διάστημα [,], >. g συνεχής στο [,] g αραγωγίσιμη στο (, ) με αράγωγo g'()=/ Άρα υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε g'(ξ)= g ()g() = ln() Aφού ξ< και g ' γνησίως φθίνουσα g '(ξ)>g'() ln() > β' τρόος) ln()> ()ln()> ()ln()> άρα αν θεωρήσω τη συνάρτηση φ()=()ln()-, > αρκεί να δείξω ότι φ()> φ'()=() ln()=ln()> άρα φ γνησίως αύξουσα για oότε () Για > φ( )>φ()=

4 Δ. () ln() ln() () f '()= = < λόγω του Δ και '-', άρα αντιστρέφεται. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα Το εδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το σύνολο τιμών της f και η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ) οότε: f ((, ))=( f(), f ())=( Δ3. α' τρόος) ln(), ln() )=(, )=(,) f ()> f () ln(f())>f()ln ln(f()) >ln f (f ())>f() f() και εειδή f γνησίως φθίνουσα f()< ου ισχύει αό το Δ. β' τρόος) Θέτω στη σχέση όου =f (t) με t (,) και αίρνω : f (f (t))> f (f(t)) t> t t t< h(t)< με t (,) h'(t)= tln άρα h''(t)= t ln > άρα η h'(t) είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (,) άρα το σύνολο τιμών της είναι (ln-, ln-) όμως το ln-< και το ln->, άρα υάρχει t (,) τέτοιο ώστε h'(t )= οότε ροκύτει ο ίνακας: X t h '() h() Οότε τα δύο μέγιστα της συνάρτηση h είναι τα h() και h() ου είναι ίσα με, άρα h(t)<. Δ4. Θεωρώ τη συνάρτηση Κ()=f(α)()f (α)()ημ(α)()() στη οοία θα εφαρμόσω το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα [,] και [,] Η k() είναι συνεχής στα [,] και [,] ως ολυωνυμική. ΚΑΙ Κ()=ημ(α)> αφού ο<α<, Κ ()=f(α)<,, Κ()=f (α)> ΆΡΑ K()K()<, K()K()< Oότε υάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε Κ ( )= ΚΑΙ (,) τέτοιο ώστε Κ ( )= Άρα η εξίσωση Κ()= έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (,) και εειδή είναι και ολυωνυμική δευτέρου βαθμού έχει το ολύ δύο λύσεις οότε, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις,. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Αν θεωρήσω τη συνάρτηση G()= f (α) f (α) ημ(α) τότε G'()= f (α) () f (α) () ημ(α) < άρα η G είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,) και (,) και συνεως έχουμε ακριβώς δύο λύσεις.

5 Δ5. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την F() στο διάστημα [,], >. F συνεχής στο [,] F αραγωγίσιμη στο (, ) με αράγωγo F'()=f() Άρα υάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε F'( )= F()F() Aφού F''()=f '( )< η F ' γνησίως φθίνουσα στο [, ] Άρα θα έχουμε : < < F'()<F '( )<F '() ln() < lnf() <ln ()ln() <lnf()<lnln () ln()ln<f()<ln ln<f()<ln () ln() ln<f()<ln ln()ln() ln<f()<lnlnln() ln<f()<()lnln() ln<f()<ln( ) Aφού ln()<ln ln()<ln < ου ισχύει.

Σχετικά έγγραφα

και g(x) =, x ΙR * τότε

και g(x) =, x ΙR * τότε ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό