γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)"

Ξάνθη Βουρδουμπάς
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4, f(4)) γ) Να υοογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικείεται αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και α) Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής θα είναι συνεχής και στο Για να είναι η f συνεχής στο, ρέει f() f() f() ΘΕΜΑ ο f() DL H ( ) ( ) ( ) (- - ) - f() f() 9α (α ) 9α Άρα ρέει 9α - α - β) Για > έχουµε f() f () 9 οότε: ( ) ( ) ( )( ) (4 ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Έχουµε f (4) 4 (4 4) 4 - και f(4) 4 εοµένως η εξίσωση της εφατοµένης της C f στο σηµείο Α(4, f(4)) είναι: y f(4) f (4)( 4) y ( ) -( 4) y - 5 γ) Η f είναι συνεχής στο [, ] άρα το ζητούµενο εµβαδόν είναι

2 Ε f() d α d α d α 7 α Για µια συνάρτηση f, ου είναι αραγωγίσιµη στο σύνοο των ραγµατικών αριθµών έχει ακρότατα, ισχύει ότι: f () βf () γf() 6 για κάθε, όου β, γ ραγµατικοί αριθµοί µε β < γ α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι υάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() στο ανοικτό διάστηµα (, ) Παραγωγίζουµε τα δύο µέη της δοθείσας ισότητας και για κάθε έχουµε: f ()f () βf()f () γf () 4 6 f ()(f () βf() γ) 4 6 () Το τριώνυµο f () βf() γ >, για κάθε, αφού ΘΕΜΑ ο f β 4αγ (β) - 4 γ 4(β γ) < και > (είναι β < γ ) Το τριώνυµο 4 6 >, για κάθε, αφού β 4αγ (- 4) < και > α) Εειδή η f (), για κάθε και η f είναι συνεχής στο, η f δεν ος τρόος Έστω ότι η συνάρτηση f αρουσιάζει ακρότατο στη θέση Τότε εειδή η f είναι αραγωγίσιµη στο, σύµφωνα µε το θεώρηµα Frmat ρέει f () Η () για δίνει 4 6, ου είναι άτοο αφού το τριώνυµο 4 6 δεν έχει ρίζες στο, αφού (- 4) < β) Αό την () έχουµε f () 4 6 f () βf() γ Οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο >, για κάθε γ) Αό την f () βf () γf() 6 έχουµε f()(f () βf() γ) 6 Το τριώνυµο f () βf() γ >, για κάθε, αφού f β 4γ (β γ) γ < (είναι β < γ οότε γ > και β γ < )

3 6 Άρα f() f () βf() γ Η f είναι συνεχής στο [, ] αφού είναι αραγωγίσιµη σε αυτό f() <, αφού f () βf() γ > f () βf() γ 4 f() f () βf() γ f() έχει µία τουάχιστον ρίζα στο (, ) <, αφού f () βf() γ > Όοτε f() f() <, άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα Bolzano η εξίσωση Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα έχει µία το ού ρίζα στο Εοµένως η εξίσωση f() έχει µοναδική ρίζα στο (, ) Έστω µια ραγµατική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνοο των ραγµατικών αριθµών i) f(), για κάθε ii) f(), για την οοία ισχύουν οι σχέσεις: t f (t) dt, για κάθε Έστω ακόµη g η συνάρτηση ου ορίζεται αό τον τύο g() f(), για κάθε α) Να δείξετε ότι ισχύει f () - f () β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή γ) Να δείξετε ότι ο τύος της συνάρτησης f είναι f() δ) Να βρείτε το όριο ( f() ηµ) α) f() t f (t) dt, θέτουµε t u dt dy, και ΘΕΜΑ 4ο t u οότε η f() (t) f (t) dt f() u f (u) du H f () είναι συνεχής άρα η f είναι αραγωγίσιµη µε f () - f () f () β) Για κάθε έχουµε g () - f () Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή γ) Έστω g() c, όου c σταθερά f () f () Έχουµε f() u f (u) du και g() Αό g() και g() c, έχουµε c άρα g() f(),

4 Αό g() f() f() f() f(), δ) Έχουµε ( f() ηµ) ηµ Θέτουµε g() ηµ g() ηµ και αίρνουµε αόυτες τιµές ηµ, αφού ηµ Άρα έχουµε g() - g() Εειδή ( ) οότε αό το κριτήριο αρεµβοής έχουµε ότι g() 4 Έστω η συνάρτηση f() ln, > α) Να αοδείξετε ότι υάρχει ένα µόνο σηµείο της γραφικής αράστασης της f, στο οοίο η εφατοµένη είναι αράηη στον άξονα β) Να υοογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία, όου είναι η θέση του τοικού ακροτάτου της f α) Για κάθε > είναι f () ( ) ln (ln) ln (ln ) και f () (ln ) ln ln - f () > (ln ) > ln > ln > - > > > Η f αρουσιάζει στη θέση f // f // ο ε οικό εάχιστο το f( ) -

5 Εειδή η f αρουσιάζει στη θέση ένα οικό εάχιστο (η εξίσωση f () έχει µία µόνο ύση), συµεραίνουµε ότι υάρχει ένα µόνο σηµείο της γραφικής αράστασης της f, στο οοίο η εφατοµένη είναι αράηη στον άξονα > β) Έχουµε f() ln Η f είναι συνεχής στο [ Το ζητούµενο εµβαδόν είναι:, ] και για κάθε [, ] έχουµε ln Ε f() d - ln d - ( ) ln d - ln d - ln d - ln 9 - ( ln ) 9 9 ln 9 9 ln τµ 5 Έστω η συνάρτηση f: [α, β], η οοία είναι συνεχής στο [α, β], αραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) β, f(β) α α) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει µία τουάχιστον ρίζα στο (α, β) β) Να αοδείξετε ότι υάρχουν ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) f (ξ ) 4 α) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() f(), Η g είναι συνεχής στο [α, β] (διαφορά συνεχών συναρτήσεων) g(α) f(α) α (β α) > και g(β) f(β) β - (β α) <, αφού β > α Όοτε g(α) g(β) <, άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα Bolzano η εξίσωση g() β) Είναι f( ) f(), έχει µία τουάχιστον ρίζα (α, β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, ], [, β] Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο (α, ), (, β) οότε σύµφωνα µε το θεώρηµα µέσης τιµής θα υάρχει ένα τουάχιστον

6 ξ (α, ) (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) f(γ) f(α) γ α γ β γ α ξ (, β) (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) f(β) f(γ) β γ α γ β γ γ α γ β Άρα υάρχουν ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) f (ξ ) γ β γ α γ α γ β 4 6 Έστω η συνάρτηση f() συνα συν α ηµ α, και α Να αοδείξετε ότι για οοιαδήοτε τιµή του α η γραφική αράσταση της f έχει µόνο ένα σηµείο καµής, το οοίο για τις διάφορες τιµές του α ανήκει σε αραβοή Για κάθε είναι: f () 6συνα συν α και f () 6 6συνα Έχουµε f () 6 6συνα f () > συνα, > συνα f(συνα) συν α συν α συν α ηµ α ηµ α οότε το Α(συνα, ηµ α) είναι σηµεία καµής, γιατί η - συνα f () f () f() f αάζει ρόσηµο εκατέρωθεν του συνα και δέχεται εφατοµένη στο συνα σαν αραγωγίσιµη Άρα για οοιαδήοτε τιµή του α η C f έχει ένα µόνο σηµείο καµής, το Α ΣΚ Έστω Α(, y) Τότε συνα και y ηµ α συν α Οι συντεταγµένες του A εαηθεύουν την εξίσωση y, ου είναι εξίσωση αραβοής, άρα το Α, για τις διάφορες τιµές του α, ανήκει σε αραβοή 7 Έστω συνάρτηση f αραγωγίσιµη στο µε f () και τέτοια ώστε να ισχύει f(t) dt -, για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f στο σηµείο Α(, f()) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() f(t) dt -,

7 Έχουµε g () f() - - -, Παρατηρούµε ότι g(), οότε για κάθε, έχουµε g() g() Εοµένως το g() είναι οικό εάχιστο της g και εειδή η g είναι αραγωγίσιµη στο θεώρηµα Frmat θα είναι g () f() (διαφορά αραγωγίσιµων συναρτήσεων), σύµφωνα µε το g () f() f() Η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f στο σηµείο Α(, f()) είναι: y f() f ()( ) y ( ) y 8 Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() ηµ,, είναι γνησίως αύξουσα β) Η εξίσωση ηµ έχει µία µόνο ρίζα στο διάστηµα (, ) α) Για κάθε είναι f () συν ( συν), αφού συν και Το ίσον ισχύει µόνο όταν είναι συγχρόνως και συν, το οοίο συµβαίνει µόνο για Εοµένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Η εξίσωση ηµ είναι ισοδύναµη µε την f() Αρκεί να δείξουµε ότι η f() έχει µία µόνο ρίζα στο (, ) Η f είναι συνεχής στο [, ] (άθροισµα συνεχών συναρτήσεων) και f() f() (- )( ηµ) <, αφού ηµ < ηµ > Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα Bolzano η εξίσωση f() έχει µία τουάχιστον ρίζα στο (, ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), άρα έχει µία το ού ρίζα στο Εοµένως η εξίσωση f() έχει µία µόνο ρίζα στο (, ) 9 Η συνάρτηση f: έχει συνεχή αράγωγο και ικανοοιεί την ισότητα β α) f(α) f(β) f () α f( ) d, όου α, β µε α < β Να αοδείξετε ότι: β) Η εξίσωση f () έχει µία τουάχιστον ρίζα στο διάστηµα (α, β) f() α) Έχουµε f () d β α f() β α f(β) f(α) f(β) f(α) f(α) f(β)

8 β) Εφαρµόζεται το θεώρηµα Roll για την f στο [α, β], αφού Η f είναι συνεχής στο [α, β] (ως αραγωγίσιµη σε αυτό), η f είναι αραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) f(β) Εοµένως η εξίσωση f () έχει µία τουάχιστον ρίζα στο διάστηµα (α, β) Έστω η συνάρτηση f() 4, > α) Να αοδείξετε ότι το εµβαδόν Ε() του χωρίου ου ερικείεται αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες,, όου >, είναι Ε() 4ln( ) β) Να ροσδιορίσετε την τιµή του για την οοία το εµβαδόν Ε() γίνεται εάχιστο α) Η f είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων και για κάθε [, ] είναι f() >, > Άρα Ε() f() d 4 ( ) d 4ln () 4ln() ( 4ln) 4(ln() ln) 4ln β) Για κάθε > έχουµε Ε () 4 Ε () ( ) 4 ή - (αορρίτεται αφού > ) Ε () > 4ln( ) (- > > > ) 4 Άρα η Ε αρουσιάζει οικό εάχιστο στη θέση, το Ε() Άρα η ζητούµενη τιµή του είναι ο αριθµός ( ) E () E() ίνεται η συνάρτηση g() συνt dt, α) Να αοδείξετε ότι g () συν ηµ,

9 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο Α(, g( )) α) Έχουµε g() συνt dt συνt dt g () ( συνt dt) () συνt dt ( συνt dt) συνt dt συν, g () ( συνt dt) () συν (συν) συν συν ηµ συν ηµ, β) Έχουµε g( ) συνt dt g ( ) συνt dt [ ηµt ] συν [ ηµt] (ηµ ηµ) και ηµ ηµ Άρα η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο Α είναι: y g( ) g ( )( ) y ( ) y Έστω η συνάρτηση f() α β, όου α, β Αν η, { } ευθεία ε: y είναι ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της f στο, να βρείτε τις τιµές των α, β Εειδή η ε: y είναι ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της f στο, έχουµε: f() f() και (f() ) - Έχουµε οιόν: α β α β α α β και (f() ) - ( 4 β - 4 β ) - - β - 5 (αφού ) 4 β -

Σχετικά έγγραφα

1 εφ x dx. 1 ν 1. συνx. 2 + ln1 = - ln 2. J 3-2 = 1 2 J 1 = ln 2 2, οπότε. x lnx 2 x, x > 0.

1 εφ x dx. 1 ν 1. συνx. 2 + ln1 = - ln 2. J 3-2 = 1 2 J 1 = ln 2 2, οπότε. x lnx 2 x, x > 0. 99 ΘΕΜΑΤΑ. Αν J ν ν εφ d, ν *, τότε α να αοδείξετε ότι για κάθε ν >, ισχύει J ν β να υολογίσετε το J 5. α Έχουµε J ν-, ν J ν ν εφ d εφ εφ d εφ ( d συν εφ d συν εφ d εφ (εφ d J ν- β Έχουµε ν εφ ν J ν- ν