ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των ασκήσεων ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Β ΜΕΡΟΣ

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η εανέκδοση του αρόντος βιβλίου ραγματοοιήθηκε αό το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οοία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση αό το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις ραγματοοιήθηκαν κατόιν έγκρισης του Δ.Σ. του Ινστιτούτου Εκαιδευτικής Πολιτικής

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Β ΜΕΡΟΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Β/θμιας εκαίδευσης Μέτης Στέφανος Καθηγητής Β/θμιας εκαίδευσης Μρουχούτας Κων/νος Καθηγητής Β/θμιας εκαίδευσης Παασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής Β/θμιας εκαίδευσης Η συγγραφή και η ειστηµονική ειµέλεια του βιβλίου ραγµατοοιήθηκε υό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

5 ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΤΗ Το τεύχος ου κρατάς έχει μια ιδιομορφία: σου δίνεται με τη σύσταση να μη το διαβάσεις. τουλάχιστο με την έννοια ου διαβάζεις ένα άλλο βιβλίο για να κατανοήσεις το εριεχόμενό του. Πράγματι, οι ασκήσεις ου σου δίνει ο καθηγητής σου είναι για να εργαστείς μόνος. Γιατί το να λύσεις μια άσκηση σημαίνει ολλές φορές όχι μόνο ότι έχεις κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρητική ύλη αλλά και ότι ξέρεις να τη χρησιμοοιήσεις για να δημιουργείς, να ανακαλύτεις ή να ειβεβαιώνεις κάτι καινούργιο. Και αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για σένα τον ίδιο. Δεν μορεί αρά να έχεις και συ τη φιλοδοξία να λύνεις μόνος χωρίς βοήθεια τις ασκήσεις για να νιώθεις τη χαρά αυτής της δημιουργίας, της ανακάλυψης. Πρέει να ξέρεις ότι όταν δυσκολεύεσαι στη λύση μιας άσκησης, τις ιο ολλές φορές υάρχει κάοιο κενό στη γνώση της αντίστοιχης θεωρίας. Πήγαινε ίσω λοιόν στο διδακτικό βιβλίο κάθε φορά ου χρειάζεται να εντοίσεις και να συμληρώσεις τέτοια κενά. Οωσδήοτε ριν καταιαστείς με τη λύση των ασκήσεων ρέει να αισθάνεσαι κάτοχος της θεωρίας ου διδάχτηκες. Εκτός αό την κατανόηση της θεωρίας μορεί να βοηθηθείς στη λύση μιας άσκησης αό τα αραδείγματα και τις εφαρμογές ου εριέχει το διδακτικό σου βιβλίο. Αν αρ όλα αυτά δεν μορείς να ροχωρήσεις, στο τέλος του βιβλίου σου θα βρεις μια σύντομη υόδειξη ου ασφαλώς θα σε διευκολύνει. Στις ελάχιστες εριτώσεις ου έχοντας εξαντλήσει κάθε εριθώριο ροσάθειας δε βρίσκεται η ορεία ου οδηγεί στη λύση της άσκησης, τότε και μόνο τότε μορείς να καταφύγεις σ αυτό το τεύχος και μάλιστα για να διαβάσεις εκείνο το τμήμα της λύσης ου σου είναι ααραίτητο για να συνεχίσεις μόνος. Ουσιαστικά λοιόν δεν το χεις ανάγκη αυτό το τεύχος. Σου αρέχεται όμως για τους εξής λόγους: α) Για να μορείς να συγκρίνεις τις λύσεις ου εσύ βρήκες. β) Για να σε ροφυλάξει αό ανεύθυνα «λυσάρια». γ) Για να ααλλάξει τους γονείς σου αό αντίστοιχη οικονομική ειβάρυνση. δ) Για να έχεις εσύ και οι συμμαθητές σου την ίδια συλλογή ασκήσεων ου είναι έτσι ειλεγμένες, ώστε να εξασφαλίζουν την εμέδωση της ύλης. ε) Για να εργάζεσαι χωρίς το άγχος να εξασφαλίσεις οωσδήοτε για κάθε μάθημα τις λύσεις των ασκήσεων. Το τεύχος ου κρατάς είναι λοιόν φίλος. Να του συμεριφέρεσαι όως σ έναν φίλο ου έχει δει ριν αό σένα την ταινία ου ρόκειται να δεις μη του ειτρέψεις να σου αοκαλύψει την «υόθεση» ριν δεις και συ το έργο. Μετά μορείτε, να συζητήσετε. Η σύγκριση των συμερασμάτων θα είναι ενδιαφέρουσα και ροαντός εωφελής. (Αό το Τμήμα Μ.Ε. του Π.Ι.)

6 Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ

7

8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. και. Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν +. Το τριώνυμο + έχει ρίζες: ή. Εομένως το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A R {,}. ii) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και, δηλαδή όταν και. Εομένως το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A [,]. iii) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και. Η ανίσωση αληθεύει, όταν, δηλαδή όταν. Εομένως το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α [,) (,]. iv) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν e > e < <. Άρα το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α (,).. i) Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται άνω αό τον άξονα των για εκείνα τα R για τα οοία ισχύει ii) Ομοίως έχουμε: f( )> 4+ > (,) ή (, + ) + > ( + )( ) > < <. iii) Ομοίως είναι e e e > > > e >.. i) Η γραφική αράσταση της f βρίσκεται άνω αό τη γραφική αράσταση της g για εκείνα τα R για τα οοία ισχύει f( ) > g ( ) + + > + + > ( + ) > >. ii) Ομοίως: f( ) > g ( ) + > + > ( ) > >. 7

9 . και. 4. α) Α(45), ,64,69 cm β) Γ(45), ,48 95, cm. 5. Το τετράγωνο έχει ερίμετρο, οότε η λευρά του είναι 4 και το εμβαδό του 6. Το ισόλευρο τρίγωνο έχει ερίμετρο, οότε η λευρά του είναι και το εμβαδό του 4. Εομένως Ε Ετετρ + Ετριγ ( ) με (, ). 6. i) Είναι, < f( ) +, >. Η γραφική αράσταση της f φαίνεται στο διλανό σχήμα. Το σύνολο των τιμών της f είναι το f(a) {,} ii) Είναι, f( ) <,. Η γραφική αράσταση της f φαίνεται στο διλανό σχήμα. Το σύνολο των τιμών της f είναι το f(α) R. iii) H γραφική αράσταση της f δίνεται στο διλανό σχήμα. Το σύνολο των τιμών της f είναι το f ( Α)[, + ). 8

10 . και. iv) Είναι ln, f( ) < <. ln, Η γραφική αράσταση της f δίνεται στο διλανό σχήμα. Το σύνολο των τιμών της f είναι το f ( Α)[,+ ). 7. i) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το σύνολο A R, ενώ η g το Β [, + ). Είναι Α Β και εομένως οι συναρτήσεις f και g δεν είναι ίσες. Για κάθε έχουμε f( ) ( ) g( ). Άρα οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες στο διάστημα [, + ). ii) Οι συναρτήσεις f, g έχουν εδίο ορισμού το R*. Για κάθε R * έχουμε: ( ) ( + ) f( ) g ( ). + ( + ) Εομένως f g. iii) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το Α [,) (, + ). Για κάθε Α, έχουμε f( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( ) + + ( ) +. Η συνάρτηση g έχει εδίο ορισμού το Β [, + ). Εομένως οι συναρτήσεις f και g έχουν διαφορετικά εδία ορισμού, οότε δεν είναι ίσες. Είναι όμως f() g() για κάθε [,) (, + ). Άρα οι f, g είναι ίσες στο [,) (,+ ). 8. Η συνάρτηση f ορίζεται στο Α R *, ενώ η g στο Β R {}. Εομένως, για κάθε R {,} έχουμε: ( f + g)( ) f( ) + g( ) ( ) ( ) ( f g)( ) f( ) g( ) + ( ) ( ) 9

11 . και. ( f g)( ) f( g ) ( ) + + f g + f ( ) ( ), g ( ) αφού για κάθε R {,} είναι g(). 9. Οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό εδίο ορισμού το Α (, + ), οότε για κάθε Α έχουμε: ( f + g)( ) f( ) + g( ) ( f g)( ) f( ) g( ) ( f g)( ) f( g ) ( ), ενώ, για κάθε Α με g ( ), δηλαδή με l ισχύει: f g f( ) ( ) g ( ) i) Η f έχει εδίο ορισμού το σύνολο D f R, ενώ η g το D g [, + ). Για να ορίζεται η αράσταση g(f()) ρέει ( D f και f( ) D g ) ( R και ) R. Εομένως, η g f ορίζεται για κάθε R και έχει τύο: ( g f)( ) g( f( )) g ( ). ii) Η f έχει εδίο ορισμού το σύνολο D f R, ενώ η g το D g [,]. Για να ορίζεται η αράσταση g(f()) ρέει: ( D f και f( ) D g ) ( R και f( ) [, ] ) ηµ [, ] R.

12 . και. Εομένως, η g f ορίζεται για κάθε R και έχει τύο iii) Ομοίως η f έχει εδίο ορισμού το σύνολο D f R και η g το R. Για να ορίζεται η αράσταση g( f()) ρέει: ( D f και f( ) D g ) ( R και κ +, κ ) R. 4 Εομένως, η g f ορίζεται για κάθε R και έχει τύο ( g f)( ) g( f( )) g εϕ Η f έχει εδίο ορισμού το D f R και η g το D g [, + ). Για να ορίζεται η αράσταση g(f()) ρέει: ( D f και ( + ) D g ) ( R και + ) ή (, ] [, + ) Α. Εομένως, η g f έχει εδίο ορισμού το σύνολο Α, και τύο: ( g f)( ) g( f( )) g ( + ). Για να ορίζεται η αράσταση f(g()) ρέει ( D g και g ( ) D f ) ( και R) [, + ) Β. Εομένως, η f g έχει εδίο ορισμού το σύνολο Β και τύο ( f g)( ) f( g ( )) f ( ) ( ) + +.

13 . και.. i) Η συνάρτηση f() ημ( + ) είναι σύνθεση της h() + με τη g() ημ. ii) Η συνάρτηση f() ημ + είναι σύνθεση των συναρτήσεων h(), g() ημ και φ() +. iii) Η συνάρτηση f() ln(e ) είναι σύνθεση των συναρτήσεων h(), g() e l και φ() ln. iv) Η συνάρτηση f() ημ είναι σύνθεση των συναρτήσεων h(), g() ημ και φ().. και. Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Η ευθεία ου διέρχεται αό τα σημεία Α(,) και Β(,) έχει συντελεστή κατεύθυνσης λ, οότε η εξίσωσή της είναι: y ( )( ) y +. Η ευθεία ου διέρχεται αό τα σημεία Γ(,) και Δ(l,) έχει συντελεστή κατεύθυνσης λ, οότε η εξίσωσή της είναι: y ( )( ) y +. Εομένως το σχήμα μας είναι η γραφική αράσταση της συνάρτησης +, < f( ) +, < ii) H ευθεία ου διέρχεται αό τα σημεία Ο(,) και A(,) έχει λ και εξίσωση y. Η ευθεία ου διέρχεται αό τα σημεία A(,) και Β(,) έχει λ και εξίσωση y ( ) y + 4. Εομένως το σχήμα μας είναι η γραφική αράσταση της συνάρτησης iii) Ομοίως έχουμε, f( ) +4, <, [,) [,) f( )., [,) [,4)

14 . και.. Το εμβαδόν των δύο βάσεων είναι, ενώ το εμβαδόν της αράλευρης ειφάνειας είναι h, όου h το ύψος του κυλίνδρου. Έχουμε V h 68, 68 οότε h και το εμβαδόν της αράλευρης ειφάνειας γίνεται: 4. Εομένως, το κόστος Κ() είναι: Κ ( ) , 8 + με >. Το εμβαδόν των βάσεων του κουτιού είναι 5 5, ενώ το κόστος τους είναι 5 4 (δραχμ.). Το εμβαδόν της αράλευρης ειφάνειας είναι 5 8 8, ενώ το κόστος της είναι 8,5. Εομένως το συνολικό κόστος είναι 94 λετά 9,4 ευρώ.. Αν <, τότε: Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑBE είναι όμοια, οότε ( ΜΝ ) ( ΜΝ ) ( ΑΒ ) ( ΒΕ ) ( ΜΝ ). Εομένως, το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου, δίνεται αό τον τύο Ε( ) ( ΜΝ ) με <. Αν, τότε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου είναι ίσο με Ε ( ) + ( ) Άρα +, με <., < Ε( ), <,

15 . και. 4. Αό τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΝΜ, έχουμε: Εομένως, ΒΓ ΜΝ Α ΑΕ ΜΝ 5 5 ( ) 5 ΜΝ. Ε Ε( ) ΜΝ ΚΝ 5 ( ) +, < < 5 και P P( ) ΜΝ + ΚΝ 5 ( ) +, < < i) Αν <, τότε Αν <, τότε Αν, τότε Άρα f( ) + f( ) + + f( ) + +., < f( ), <., Η γραφική αράσταση της f δίνεται στο διλανό σχήμα. Αό τη γραφική αράσταση της f φαίνεται ότι το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο [,+ ). ii) Έχουμε ηµ, [, ] f( ), (, ]. Η γραφική αράσταση της f δίνεται στο διλανό σχήμα. Το σύνολο τιμών της f είναι το [,]. 4

16 . και. 6. i) Έχουμε: f(g()) + +, δηλαδή f ( + l) + +. Αν θέσουμε ω + ή, ισοδύναμα, ω, τότε f ( ω) ( ω ) + ( ω ) + ω ω+ + ω + ω +. Εομένως f() +. ii) f( g( )) +, δηλαδή f( ) +. Θέτουμε ω, οότε f ( ω) ω, ω. Εομένως μια αό τις ζητούμενες συναρτήσεις είναι η f( ),. iii) g( f( )) συν f ( ) συν f ( ) συν f ( ) συν f ( ) ηµ f( ) ηµ. Μια τέτοια συνάρτηση είναι.χ. η συνάρτηση f() ημ ή η συνάρτηση f() ημ κ.τ.λ. 7. Οι συναρτήσεις f και g ορίζονται στο R. Για να ορίζεται η αράσταση f(g()) ρέει: ( R και g( ) R) R. Εομένως ορίζεται η ( f g)( ) και είναι ( f g)( ) f( g ( )) f( α+ ) α + + α +. 5, ή η συνάρτηση Για να ορίζεται η αράσταση g(f()) ρέει: ( R και f ( ) R) R. Εομένως ορίζεται η ( g f)( ) και είναι ( g f)( ) g( f( )) g ( + ) α( + ) + α +( α +). Θέλουμε να είναι f g g f, ου ισχύει μόνο όταν (α + α + α +, για κάθε R) α + α. 8. Η συνάρτηση f ορίζεται στο D f R\{α}, ενώ η g στο D g [, + ). α) Για να ορίζεται η f( f()) θα ρέει: ( D f και f( ) D f ) ( α και α + β α ( β α ) α) a και D f.

17 . και. Εομένως, η f f έχει εδίο ορισμού το R\{α} και τύο + α α β + β f f ( ) ( ( )) α α + αβ + β αβ α + β. α + β α α+ β α+ α α + β α β) Για να ορίζεται η g(g()) θα ρέει: ( D g και + D g ) ( και + ) ( και ( ) ) D g. Εομένως η g g έχει εδίο ορισμού το [, + ) και τύο ( ) ( ) ( ) gg ( ( )) g ( ) 9. i) Έχουμε: ( ) ( ), αφού. ( ) + + ( ) ( + + ) Ν () t t + t t t t t t ii) Έχουμε: ( ) ( + + ) t+ 9 t + t 9 t ( t+ 9 t + ) 44 t+ 9 t + 7 t+ 9 t 5 t 4 ή ( t, αορ.) t 6. Εομένως μετά αό 6 χρόνια τα αυτοκίνητα θα είναι.. 6

18 .. Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Η συνάρτηση f( ) έχει εδίο ορισμού το (, ]. Έστω, με <. Τότε έχουμε διαδοχικά: > > > f( ) > f( ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. ii) Η συνάρτηση f( ) ln( ) έχει εδίο ορισμού το (, + ). Έστω, με <. Τότε έχουμε διαδοχικά: < ln( ) < ln( ) ln( ) < ln( ) f( ) < f( ). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). iii) Η συνάρτηση f( ) e + έχει εδίο ορισμού το R. Έστω, R με <. Τότε έχουμε διαδοχικά: > > e > e e > e e e + > + f( ) > f( ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. iv) H συνάρτηση f( ) ( ) έχει εδίο ορισμού το (, ]. Έστω, με <. Τότε έχουμε διαδοχικά: 7

19 . < ( ) > ( ) ( ) > ( ) f( ) > f( ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ].. i) Η f έχει εδίο ορισμού το R. Έστω, R με f( ) f( ). Τότε έχουμε διαδοχικά:. Άρα η f είναι στο R. Για να βρούμε την αντίστροφη της f, θέτουμε y f() και λύνουμε ως ρος. Έχουμε, λοιόν: y f( ) y y y+ +. y Εομένως f y + ( ), οότε η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση f ( ) +. ii) Η συνάρτηση f() +, δεν έχει αντίστροφη, γιατί δεν είναι, αφού f() f( ), με. iii) Έχουμε f() f() με. Άρα η f δεν είναι στο R. Συνεώς δεν έχει αντίστροφη. iv) Η συνάρτηση f( ) έχει εδίο ορισμού το (, ]. Έστω, με f( ) f( ). Τότε, έχουμε διαδοχικά:. 8

20 . Άρα η f είναι στο R. Για να βρούμε την αντίστροφη θέτουμε y f() και λύνουμε ως ρος. Έτσι έχουμε: f( ) y y y, y y, y. Εομένως f ( y) y, y, οότε η αντίστροφη της f είναι η f ( ),. v) Η συνάρτηση f() ln(l ) έχει εδίο ορισμού το (, ). Έστω, με f( ) f( ). Τότε έχουμε διαδοχικά ln( ) ln( ). Άρα η f είναι στο Δ. Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y f() και λύνουμε ως ρος. Έτσι έχουμε: y f( ) y ln( ) y e e y Εομένως f ( y) e, y R, οότε η αντίστροφη της f είναι η f ( ) e, R. vi) Η συνάρτηση f() e + έχει εδίο ορισμού το R. Έστω, R με f( ) f( ). Τότε έχουμε διαδοχικά: Άρα η f είναι στο R. e + e + e e y 9

21 . Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y f() και λύνουμε ως ρος. Έχουμε λοιόν: f( ) y e + y y e ln( y ), y > ln( y ), y > Εομένως f ( y) ln( y ), y >, οότε η αντίστροφη της f είναι η f ( ) ln( ), >. e vii) Η συνάρτηση f( ) έχει εδίο ορισμού το R. e + Έστω, R με f( ) f( ). Τότε έχουμε διαδοχικά: e e e + e e e + e e e + e e e. Άρα η f είναι στο R. Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y f(), οότε έχουμε: e f( ) y y e + e ye + y e ye y+ e ( y ) y + + y e, με + y y y >. + ln y y, με < y <.

22 . Εομένως f f + y ( y) ln, y (, ), οότε η αντίστροφη της f είναι η y + ( ) ln, (., ) viii) Η f δεν είναι, γιατί f() f() με. Άρα η f δεν αντιστρέφεται.. Οι συναρτήσεις f, φ και ψ αντιστρέφονται, αφού οι αράλληλες ρος τον άξονα των τέμνουν τις γραφικές τους αραστάσεις το ολύ σ ένα σημείο. Αντίθετα η g δεν αντιστρέφεται. Οι γραφικές αραστάσεις των αντίστροφων των αραάνω συναρτήσεων φαίνονται στα σχήματα. 4. i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, οότε για κάθε, με < έχουμε διαδοχικά: f( ) < f( ) f( ) > f( ) ( f)( ) > ( f)( ). Εομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ii) Έστω, με <. Εειδή οι f, g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ θα ισχύει f( ) < f( ) και g ( ) < g ( ),

23 .4 οότε θα έχουμε ή, ισοδύναμα, f( ) + g ( ) < f( ) + g ( ), ( f + g)( ) < ( f + g)( ). Άρα, η f + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. iii) Έστω, με <. Εειδή οι f, g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ, θα ισχύει f( ) < f( ) και g ( ) < g ( ) και εειδή, ειλέον, είναι f( ) και g( ), θα έχουμε οότε f( ) g ( ) < f( ) g ( ), ( fg)( ) < ( fg)( ). Άρα η fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ..4 Α ΟΜΑΔΑΣ. Αό τα σχήματα βρίσκουμε ότι: i) lim f( ) ii) lim f( ) iii) lim f( ) f(). lim f( ) και f () και f ( ) 4 και lim f( ) + και lim f( ) + Ειλέον, η f δεν ορίζεται στο. iv) lim f( ) f (). lim f( ) f(). και lim f( ) + και lim f( ) +, οότε η f δεν έχει όριο στο, ενώ είναι, οότε η f δεν έχει όριο στο., οότε η f δεν έχει όριο στο, ενώ είναι, οότε η f δεν έχει όριο στο, ενώ είναι lim f( ) lim f( ), ενώ η f δεν ορίζεται στο.

24 .4. i) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το R {} και γράφεται ( )( ) f( ). Αό τη γραφική αράσταση της f (διλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim f( ). ii) Ομοίως αό τη γραφική αράσταση της f (διλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim f( ) iii) Ομοίως αό τη γραφική αράσταση της f (διλανό σχήμα) βρίσκουμε lim f( ) και lim f( ) + f δεν έχει όριο στο., οότε, η iv) H συνάρτηση f στο εδίο ορισμού της R {} γράφεται +, > f( ) +, < οότε αό τη γραφική αράσταση της f C f (διλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim f( ) και lim f( ) + Εομένως, η f δεν έχει όριο στο..

25 .4. i) H f στο εδίο ορισμού της R {,} γράφεται: ( ) + ( ) ( )( + ) f( ) +. Αό τη γραφική αράσταση της f ου φαίνεται στο διλανό σχήμα βρίσκουμε: lim f( ) και lim f( ) 4. ii) Η f στο εδίο ορισμού της R γράφεται: ( + ) ( ) ( + ) f( ), οότε ( + ), αν < f( ) +, αν > Αό τη γραφική αράσταση της f ου φαίνεται στο διλανό σχήμα βρίσκουμε: 4 lim f( ) και lim f( ) + Εομένως, η f δεν έχει όριο στο. 4. i) Είναι αληθής, αφού lim f( ) lim f( ) + ii) Δεν είναι αληθής, αφού lim f( ) + iii) Δεν είναι αληθής, αφού lim f( ) f δεν έχει όριο στο και lim f( ) +, ου σημαίνει ότι η 4

26 .5 iv) Αληθής, αφού lim f( ) lim f( ). + ν) Δεν είναι αληθής, αφού lim f( ). vi) Αληθής, αφού lim f( ) lim f( ) Το lim f( ) υάρχει, αν και μόνο αν lim f( ) lim f( ) λ 6 λ λ ή λ. +.5 Α ΟΜΑΔΑΣ 5 5. i) Έχουμε lim( 4 + 5) ii) lim( + ) + 8 iii) lim( + + ) 8 lim( + + ) iv) lim ( ) lim( ) lim ( 5 5 ) v) lim lim( + 5) + lim( + ) 4 + lim + vi) lim + + lim( + + ) 5 ( ) vii) lim ( + ) lim( + ) 9. viii) lim. Έχουμε: ( ) + + lim lim( + 4+ ) 8 i) lim g ( ) lim[ ( f( )) 5] lim f( ) ii) lim g ( ) lim( f( ))

27 .5 iii) lim g ( ) lim( f( ) + )lim( f( ) ) ( 4+ )( 4 ) 6.. i) Για μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Για έχουμε: Εομένως, 4 6 ( 4)( + 4) ( + )( + 4) f( ) 8 ( )( + + 4) ii) Ομοίως για έχουμε: οότε iii) Ομοίως για έχουμε: f( ) Εομένως, lim ( ) lim ( )( f ) ( )( ) f( ) ( )( + ) + lim f( ) lim lim f( ) lim +. iv) Ομοίως για έχουμε: ( + ) 7 ( + )[( + ) + ( + ) + 9] f( ) ( + ) + ( + ) + 9. Εομένως, 4. Έχουμε: lim f( ) lim[( + ) + ( + ) + 9] 7. i) lim lim lim lim ( ) ( )( ) 6 6

28 .5 ( )( + ) ( ) ( ) ii) lim lim lim + + iii) lim lim + 7 ( ) ( ) ( )( + + ) + + ( ) lim + 5 ( + 5+ ) ( + 5 ) + + ( ) ( ) + 5+ lim ( 4) + + ( ) + 5+ lim ( + ) ( ) 6 ( ) iv) lim lim lim ( )( ) ( ) ( ) lim 4 ( ) + lim 4 ( ) + ( )( ) ( ) 5. i) Για < είναι f( ), οότε lim f( ). Για > είναι f() 5, οότε lim f( ) + Εομένως δεν υάρχει όριο της f στο. ii) Για < είναι f( ), οότε lim f( ). 5. Για > είναι f( ) +, οότε lim f( ) Εομένως lim f( )

29 .5 6. Έχουμε: ηµ ηµ i) lim lim εϕ ηµ ii) lim lim lim lim ηµ συν συν ηµ 4 εϕ4 ηµ 4 iii) lim lim lim 4 ηµ ηµ συν4 ηµ συν4 ηµ iv) lim lim lim ηµ ηµ ηµ v) lim lim lim + ηµ + vi) lim ηµ 5 lim + ηµ i) Έχουμε, ( ) ηµ 5 lim lim( ) ηµ συν lim lim lim ( συν )( + συν) lim( συν). + συν + συν ( + συν) ii) Έχουμε, iii) Έχουμε, συν ηµ ηµ lim lim lim ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ lim lim lim. ηµ ηµ συν συν 8. i) Είναι, lim( ) και lim( + ), οότε αό το θεώρημα της αρεμβολής είναι lim f( ). 4 ii) Ομοίως, lim( ) και lim, οότε lim f( ). συν 8

30 .5 9. Είναι: lim f( ) lim f( ) lim f( ) + lim( α+ β) lim ( α+ β) + 6α + β α + β 6α + β α + β α 4 και β..5 Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Για μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Με το σχήμα του Horner βρίσκουμε ( )( + + ), οότε lim lim ( )( ) lim 8 ( )( + + 4) ii) lim + ( ν + ) + ν ν + ν lim lim ( ) ν ( ) ν+ ν ν ν ν ( )[ ( ) ν ] lim ν ν lim[ ( ) ν] ν ν iii) Θέτουμε t, οότε t lim lim lim ( t )( t ) t t t t ( t )( t + t + ) lim t t t + + t+ 4. (Σχήμα Horner). i) Έχουμε: f( ) ( + 5), αν < 5, + 5, αν >5 9

31 .5 οότε lim f( ) 5 Εομένως δεν υάρχει όριο της f στο 5. ii) Για < 5 είναι: και lim f( ) ( ) f( ) Εομένως lim f( ) lim 5. iii) Για > 5 είναι: f( ) Εομένως lim f( ) lim ( + ) iv) Θέτουμε t, οότε έχουμε 4 lim lim lim ( )( t t tt t t ) t t t + + t lim tt ( + t + ). t ηµ θ. i) Είναι α και β εϕθ συνθ συν θ, οότε ηµ θ θ lim( α β) lim lim θ θ θ θ ηµ συν συν θ συνθ. + 5 ηµ θ συνθ lim lim. συνθ( + ηµ θ) + ηµ θ θ ii) lim( α β ) lim( ) θ θ β iii) lim lim( ηµ θ ). α θ θ θ 4. i) Θέτουμε g( ) 4f( ) + 4, οότε f( ) g ( ) + 4 lim g ( ), έχουμε. Εειδή

32 .6 lim f( ) lim g ( ) + ( ) f( ) ii) Θέτουμε g ( ), οότε f( ) ( ) g( ),. Εειδή lim g ( ), έχουμε lim f( ) lim( ) lim g( )..6 Α ΟΜΑΔΑΣ 4 4. i) Εειδή lim( + ) και + > για, είναι lim + Εειδή, ειλέον, lim( + 5) 5, έχουμε + 5 lim lim ( + ) ii) Εειδή lim 4( ) και 4( ) > κοντά στο, είναι lim ( ) Εειδή, ειλέον, lim( ) <, έχουμε lim lim ( ) ( ) ( ) iii) Η f στο εδίο ορισμού της R {} γράφεται, αν < f( ),, αν > οότε έχουμε lim f( ) lim, ενώ lim f( ) Εομένως δεν υάρχει όριο της f στο i) Η f στο εδίο ορισμού της R {,} γράφεται: 4 ( + ) 4 f( ). Εειδή εριοριζόμαστε στο υοσύνολο (,) (, + ) του εδίου ορισμού της f.

33 .6 Αν (,) έχουμε > και lim( ), οότε lim Ειλέον είναι lim( ) >, οότε έχουμε lim lim ( ) +. Αν (, + ) έχουμε < και lim( ), οότε lim + + Ειλέον είναι lim( ) >, οότε + lim lim ( ) + +. Εομένως, δεν υάρχει όριο της f στο. ii) Η f στο εδίο ορισμού της R {} γράφεται: +, < f( ) +, > +.. Αν < έχουμε <, lim( ) και lim( + ) <, οότε lim και άρα lim f( ) lim ( + ) +. Αν > έχουμε >, lim και lim( + ) <, οότε + + lim + και άρα + lim f( ) lim ( + ) + +. Εομένως, δεν υάρχει όριο της f στο. iii) Η f στο εδίο ορισμού της R {} γράφεται: f( ) Αν < έχουμε <, lim και lim( + ) >, οότε lim και άρα

34 .6 lim f( ) lim ( + ). Αν > έχουμε >, lim και lim( + ) >, οότε lim και άρα lim f( ) lim ( + ) Εομένως, δεν υάρχει όριο της f στο..6 Β ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε: 9 f( ) ( ) ( 4) + ( ) ( ) ( ) Το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α [, 4) ( 4, + ). Για Α είναι ( ) > και lim ( ), οότε lim 4 ( ) Ειλέον είναι lim , οότε lim f( ) lim ( ) i) Έχουμε lim συν και συν > για,, οότε lim συν +. Ειλέον είναι lim( ηµ ), οότε lim( εϕ) lim ηµ +. συν Ομοίως, lim (συν ) και συν < για +,, οότε lim + συν. Ειλέον είναι lim( ηµ ), οότε +

35 .6 lim( εϕ) lim + + ηµ. συν Εομένως, η f() εφ δεν έχει όριο στο. ii) Έχουμε lim( ηµ ) και ημ > για +,, οότε lim + Ειλέον είναι lim ( συν ), οότε + limσϕ lim + + συν +. ηµ Ομοίως, lim( ηµ ) και ημ < για,, οότε lim Ειλέον είναι lim ( συν ), οότε lim( σϕ) lim συν. ηµ Εομένως, η f() σφ δεν έχει όριο στο.. Έχουμε lim( ) και lim[( λ ) + ] λ. ηµ ηµ +.. Αν λ > δηλαδή αν λ >, τότε lim f( ) + και lim f( ), οότε + δεν υάρχει όριο της f στο. Αν λ < δηλαδή αν λ <, τότε lim f( ) και lim f( ) +, οότε + δεν υάρχει όριο της f στο. + ( )( + ) Αν λ, τότε f( ) + ( )( + ) +, με, οότε lim f( ) R. Εομένως το lim f( ) υάρχει στο R μόνο αν λ. Ομοίως, έχουμε: lim και lim( + + µ ) µ. Αν μ >, τότε lim g ( ) + της g στο. + και lim g ( ), οότε δεν υάρχει όριο 4

36 .7 Αν μ <, τότε lim g ( ) και lim g ( ) +, οότε δεν υάρχει όριο + της g στο. Αν μ, τότε g( ) + + με, οότε lim g ( ) R. Εομένως, το lim g ( ) υάρχει στο R μόνο αν μ. 4. i) Θέτουμε g ( ) 4. Εειδή lim g ( ) +, είναι g() κοντά στο. f( ) Εομένως f( ) 4, κοντά στο. g ( ) Εειδή lim( 4) < και lim g ( ) + έχουμε: 4 lim f( ) lim lim ( ) g ( ) 4 g ( ). f( ) ii) Θέτουμε g ( ), οότε f() ( + )g() κοντά στο. Εειδή + lim( + ) > και lim g ( ), έχουμε: lim f( ) lim[( + ) g( )] g ( ) iii) Θέτουμε g() f()( ), οότε f( ) κοντά στο. Εειδή lim g ( ) + και lim >, έχουμε: lim f( ) lim g ( ) +..7 Α ΟΜΑΔΑΣ. i) lim( + 5) lim ( ) lim ii) lim( 5 + ) lim ( 5 ) 5 lim iii) lim 5 lim iv) lim lim lim

37 .7 + v) lim lim vi) lim lim lim vii) lim lim lim ( )( ) lim lim viii) lim lim lim i) Εειδή Δ < το εδίο ορισμού της f( ) 4 + R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, + ) όου η f γράφεται: είναι το f( ) Εομένως lim f( ) lim ii) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι 9 και, οότε το εδίο ορισμού της f( ) είναι Α (, 9] [, + ). Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, 9 ] όου η f γράφεται: f( ) Εομένως lim f( ) lim iii) Το εδίο ορισμού της f( ) είναι Α (, ] [, + ). Περιοριζόμαστε στο διάστημα [, + ) όου η f γράφεται: 6

38 .7 f( ) Εομένως. lim f( ) lim iv) To εδίο ορισμού είναι το σύνολο Α (, ρ] [ ρ, + ), όου ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης ( + α)( + β), ου είναι οι αριθμοί α, β. Άρα, η f ορίζεται σε διάστημα της μορφής (, γ ) με γ <. Περιοριζόμαστε στο διάστημα αυτό, οότε έχουμε: α + β αβ f( ) + ( α + β) + αβ α β αβ Εομένως α + β αβ lim f( ) lim v) Το εδίο ορισμού της f( ) είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, + ), οότε η f() γράφεται: ( ) ( ) f( ) Εομένως lim f( ) lim lim

39 .7. i) Το εδίο ορισμού της f( ) διάστημα (, + ), οότε + είναι το R*. Περιοριζόμαστε στο f( ) + Εομένως lim f( ) ii) To εδίο ορισμού της f( ) + είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, + ), οότε f( ) ( + ) ( + + ) Εομένως lim f( ). + + είναι το R*. Περιοριζόμαστε στο διάστη- iii) Το εδίο ορισμού της f( ) μα (, ), οότε f ( ) +. Εομένως lim f( ). iv) Το εδίο ορισμού της f( ) + + είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, ), οότε f( ) ( + + ) ( + ) + + 8

40 .7 Εομένως lim f( ) ν) Το εδίο ορισμού της f( ) + Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, + ), οότε f( ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + + ) είναι Α (, ) (, + ). ( ) ( ) ( ) Εομένως, + lim f( ) lim vi) To εδίο ορισμού της f( ) + + είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, + ), οότε ( ) f( ) Εομένως, lim f( ) +. + ( )( ) + + ( )

41 .7.7 Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, ), οότε f( ) + + µ + + µ +. µ Εειδή lim( ) + και lim +, µ µ έχουμε τις εξής εριτώσεις: Αν μ > δηλαδή μ <, τότε lim f( ) + Αν μ < δηλαδή μ >, τότε lim f( ) Αν μ, τότε f( ) + +, οότε ( ) lim f( ) lim + + lim lim lim ( µ ) + + ii) Έστω f( ) µ ( + + ) ( + ) lim lim ( ) Αν μ, τότε f( ), οότε lim f( ) lim lim Αν μ, τότε f( ) + +, οότε lim lim lim

42 .7 Αν μ,, τότε lim ( ) lim ( µ f ) + + µ + + lim ( µ ), αν µ (, ) (, ). + µ, αν µ (,). Περιοριζόμαστε στο (, + ), οότε: f( ) λ 5 λ 5 λ. Εειδή lim + και lim λ λ. Έχουμε τις εξής εριτώσεις: Αν λ > δηλαδή λ <, τότε lim f( ) + + Αν λ < δηλαδή λ >, τότε lim f( ) + Αν τέλος λ, τότε: f( ) οότε 5+ lim f( ) R. Ώστε το lim f( ) υάρχει στο R μόνο αν λ. +. Είναι + f( ) α + β α + β α β + ( α) + ( β α) + + β + Αν α, τότε lim ( ) lim ( ) α, f lim( ) + αν α < α , αν α > 4

43 .7 Αν α και α β, τότε lim ( ) lim ( β α f ) β α Αν α β, τότε lim f( ) lim Ώστε lim f( ) α β i) To εδίο ορισμού της f( ) είναι το R {, }. Περιοριζόμαστε + στο διάστημα (, ), οότε f ( ) Εομένως lim f( ) lim ii) To εδίο ορισμού της f( ) είναι το R. Περιοριζόμαστε στο (, ), οότε f( ) Εομένως lim f( ) lim ( ) +. 4

44 .8 iii) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (, + ), οότε Εομένως ( ) f( ). lim f( ) lim Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Η f δεν είναι συνεχής στο, αφού lim f( ) lim f( ) + Στα υόλοια σημεία του εδίου ορισμού της, όως φαίνεται αό το σχήμα, η f είναι συνεχής. ii) Η f δεν είναι συνεχής στο, αφού lim f( ) f ( ). Στα υόλοια σημεία του εδίου ορισμού της, όως φαίνεται αό το σχήμα, η f είναι συνεχής.. i) Είναι: lim f( ) lim ( + 4) 8, lim f( ) lim lim f( ) f ( ). Εομένως η f είναι συνεχής στο και f ( ) 8, οότε ii) Είναι: lim f( ) lim( + ), lim f( ) lim + και f (), οότε lim f( ) f ( ). + + Εομένως η f είναι συνεχής στο. + ( )( + ) iii) Για ισχύει f( ) ( ), + + οότε lim f( ) lim ( ) f( ). Εομένως η f είναι συνεχής στο., <. i) Η f() γράφεται f( ),., >

45 .8 Στο διάστημα (,) η f είναι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση ενώ στα διαστήματα (, ) και (, + ) η f είναι συνεχής ως ρητή συνάρτηση. Στο έχουμε: lim f( ) lim, lim f( ) lim και f ( ). + + Εομένως η f δεν είναι συνεχής στο. Στο έχουμε: lim f( ) lim, lim f( ) lim και f (). + + Εομενως η f δεν είναι συνεχής στο. Η γραφική αράσταση της f φαίνεται στο διλανό σχήμα. ii) Για έχουμε f( ) 5+ 6 ( )( ), οότε η f είναι συνεχής σε καθένα αό τα διαστήματα (, ) και (, + ), ως ολυωνυμική συνάρτηση. Για ισχύει lim f( ) lim( ) f( ) 5, οότε η f δεν είναι συνεχής στο. Η γραφική αράσταση της f φαίνεται στο διλανό σχήμα. iii) Στο διάστημα (, ) η f είναι συνεχής ως ολυωνυμική. Στο διάστημα (, + ) η f είναι συνεχής ως λογαριθμική. Στο έχουμε: lim f( ) lim, lim f( ) lim ( ln ) + + και f (). Εομένως η f δεν είναι συνεχής στο. Η γραφική αράσταση της f φαίνεται στο διλανό σχήμα. 44

46 .8 iv) Στο διάστημα (, ) η f έχει τύο f () e και είναι συνεχής. Στο διάστημα (, + ) η f έχει τύο f( ) + και είναι συνεχής ως ολυωνυμική. Στο έχουμε: lim f( ) lim e, lim f( ) lim ( + ) + + και f (). Εομένως η f είναι συνεχής στο. Η γραφική αράσταση της f φαίνεται στο διλανό σχήμα. 4. i) Στο διάστημα (, ) η f είναι συνεχής ως ολυωνυμική. Στο διάστημα (, + ) η f είναι συνεχής ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο έχουμε: lim f( ) lim( ), ( ) lim ( ) lim lim ( ) f lim ( + ) και f (). Εομένως η f δεν είναι συνεχής στο. ii) Στο διάστημα (, ) η f είναι συνεχής ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο διάστημα (, + ) η f είναι συνεχής. Στο έχουμε: ηµ lim f( ) lim, lim f( ) lim συν και f (). + + Εομένως η f είναι συνεχής και στο. 5. i) H f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y ημu και u συν. ii) H f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y lnu και u

47 .8 iii) H f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y ημu και u. + iv) H f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y e u και u ημ. ν) Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y lnu και u ln. 6. Η συνάρτηση f( ) ηµ + είναι συνεχής στο [,] και ισχύει f() f( ) ( ) <, δηλαδή ληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Εομένως, η εξίσωση f(), δηλαδή η εξίσωση ημ +, έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (,). 7. i) Παρατηρούμε ότι: f() και f(), οότε η f() + l στο [,] ληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Εομένως, η εξίσωση f(), δηλαδή η εξίσωση +, έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (,). Άρα, ένας αό τους ζητούμενους ακεραίους είναι ο α. ii) Ομοίως, ένας αό τους ζητούμενους ακέραιους είναι ο α iii) Ομοίως, ο α iv) Ομοίως, ο α. 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) α ( µ )( ν) + β( λ)( ν) + γ( λ )( µ ). Η f είναι συνεχής στο [λ, μ] και ισχύει f( λ ) f( µ ) <, αφού f ( λ) α( λ µ )( λ ν) > και f ( µ ) β( µ λ )( µ ν ) <. Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υάρχει ένα, τουλάχιστον, ( λµ, ) τέτοιο, ώστε f( ). Ανάλογα βρίσκουμε ότι υάρχει ένα, τουλάχιστον, ( µν, ) τέτοιο ώστε f( ). Εειδή η f είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο, δεν έχει άλλες ρίζες. 9. i) Έχουμε: οότε f( ) + ( + ) ( + ) ( + )( ) ( + )( + )( ), f( ) ή ή. 46

48 .8 Ο αρακάτω ίνακας δείχνει το ρόσημο της f σε κάθε διάστημα. Διάστημα (, ) (, ) (, ) (, + ) Ειλεγμένος αριθμός f() Πρόσημο της f + + ii) Έχουμε f( ) ( 9) ( )( + ), οότε f( ) (διλή) ή ή. Ο αρακάτω ίνακας δείχνει το ρόσημο της f σε κάθε διάστημα. Διάστημα (, ) (, ) (,) (, + ) Ειλεγμένος αριθμός 4 4 f ( ) 8 8 Πρόσημο της f + + iii) Έχουμε: εϕ ή, αφού (, ). Ο αρακάτω ίνακας δίνει το ρόσημo της f σε κάθε διάστημα. Διάστημα Ειλεγμένος αριθμός f ( ),,,,, Πρόσημο της f

49 .8 iv) Υολογίζουμε τις ρίζες της f() στο [,] έχουμε ηµ + συν ηµ συν εϕ 7 ή. 4 4 Ο αρακάτω ίνακας δίνει το ρόσημο της f() ημ + συν σε κάθε διάστημα: Διάστημα Ειλεγμένος αριθμός f( ) Πρόσημο της f + +. i) Η συνάρτηση f() ln l είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [,e]. Εομένως το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f(), f(e)] [,]. ii) Η συνάρτηση f() + είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (,). Εομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (,), αφού lim f( ) και lim f( ). iii) Η συνάρτηση f() ημ + είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο,. 6 (Αφού η συνάρτηση του g() ημ είναι γνησίως αύξουσα στο ρώτο τεταρτημόριο). Εομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [,), αφού f() και lim f( ). 6, 4 iv) H συνάρτηση f() e + είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, ]. Εομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (,], αφού lim f( ) + και f(). 4, 7 4 7, 4 48

50 .8.8 Β ΟΜΑΔΑΣ. Η f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν lim f ( ) lim f ( ) f ( ) lim( ) lim ( κ κ + 5) 4 κ κ κ + 5 κ + κ + κ.. Η f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν lim f( ) lim f( ) f() lim( α + β ) lim( α + β ) α + β α + β 5. Αό την είλυση του τελευταίου συστήματος βρίσκουμε (α 4, β ) ή (α, β 8).. i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Συνεώς, συν συν ηµ f( ) lim f( ) lim lim lim ( συν+ ) ( + συν) lim ( ) ηµ ηµ +. συν ii) Εειδή η g είναι συνεχής στο θα ισχύει g( ) lim g( ) lim g( ). Εομένως, αρκεί να υολογίσουμε το lim g ( ). Για > έχουμε διαδοχικά: + g( )ηµ g ( ) ηµ + ηµ g( ) + ηµ + Αλλά ηµ ηµ + g ( ) +. ηµ lim + + ηµ και lim +, + 49

51 .8 οότε, αό το θεώρημα αρεμβολής, είναι lim g ( ). Εομένως g(). 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() f() g(). 5 + Η φ είναι συνεχής στο [,] και ισχύει φ()φ() <, αφού ϕ( ) f( ) g ( ) < και ϕ( ) f() g() > Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, θα υάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε φ(ξ), οότε f(ξ) g(ξ). 5. α) Στο ανοικτό διάστημα (,) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ( 4 + )( ) + ( 6 + )( ). Εομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f( ) ( 4 + )( ) + ( 6 + )( ) έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (,). Πράγματι Η f είναι συνεχής στο [,] και Ισχύει f() f() ( )(65) <. Εομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η f έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (,). β) Στο ανοιχτό διάστημα (,) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ( ) e + ( )ln Εομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f( ) ( ) e + ( )ln έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (,). Πράγματι Η f είναι συνεχής στο [,] και Ισχύει f() f() ( e) ln <. Εομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η f έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (,). 6. i) Αναζητούμε λύση της εξίσωσης f() g() στο σύνολο (, ) (, + ). Εειδή όμως f() e > για κάθε R * και g ( ) > με >, ενώ g ( ) < με <, η εξίσωση, f() g(), αν έχει κάοια λύση, αυτή θα ανήκει στο (, + ).

52 .8 Συνεώς, αναζητούμε λύση της f() g() στο (, + ) ή, ισοδύναμα, της εξίσωσης f() g() στο (, + ). Θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ( ) f( ) g( ) e, (, + ). Η συνάρτηση αυτή είναι: συνεχής στο (, + ). γνησίως αύξουσα στο (, + ). Πράγματι, έστω, (, + ) με <. Τότε: e < e e < e, οότε, και αρα e > < < e, δηλαδή φ( ) < φ( ). Εομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (, + ) R, αφού lim ϕ ( ) και lim ϕ ( ) +. Άρα η φ έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο + + (, + ). Εειδή, όμως, η φ γνησίως αύξουσα στο (, + ), η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα, η εξίσωση f() g() στο (, + ) έχει ακριβώς μια ρίζα. ii) Αναζητούμε λύση της εξίσωσης f() g() στο (, + ) ή, ισοδύναμα, της εξίσωσης ln στο (, + ). Θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ( ) ln, (, + ). Η συνάρτηση αυτή: Είναι συνεχής στο (, + ). Είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Πράγματι Έστω, (, + ) με <. Τότε: ln < ln ln < ln, οότε, και άρα ln < ln, δηλαδή > < φ( ) < φ( ). Εομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (, + ) R, αφού lim ϕ ( ) και lim ϕ ( ) +. Άρα η φ έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο + + (, + ). Εειδή, ειλέον, η φ είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα η εξίσωση f() g() στο (, + ) έχει ακριβώς μια ρίζα. 5

53 .8 7. i) Για κάθε [, ] έχουμε f ( ) () α) Η εξίσωση f() στο [,] γράφεται ισοδύναμα: () f( ) f ( ) ή. Εομένως, λύσεις της f() στο [,] είναι μόνο οι και. β) Η f στο (,) είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται σ αυτό. Εομένως, στο (,) η f διατηρεί ρόσημο. Αν f() > στο (,), τότε αό τη σχέση () ροκύτει ότι f( ) και εειδή f( ) f(), έχουμε f( ), [, ] Αν f() < στο (,), τότε αό τη σχέση () ροκύτει ότι f( ) και εειδή f( ) f(), έχουμε f( ), [, ] Η γραφική αράσταση της f σε κάθε ερίτωση φαίνεται στο διλανό σχήμα. ii) α) Έχουμε f( ) f ( ). Εομένως, η εξίσωση f() έχει στο R μοναδική ρίζα την. β) Η συνάρτηση f στο (, ) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σ αυτό. Εομένως η f διατηρεί σταθερό ρόσημο στο (, ). Έτσι: αν f() < στο (, ), τότε στο διάστημα αυτό είναι f ( ) f( ), αφού <, ενώ αν f() > στο (, ), τότε στο διάστημα αυτό είναι f ( ) f( ), αφού <. Εειδή, ειλέον f(), έχουμε f(), για κάθε (, ] ή f(), για κάθε (, ]. 5

54 .8 Ομοίως, έχουμε f(), για κάθε [, + ) ή f(), για κάθε [, + ). Συνδυάζοντας τα αραάνω, η f έχει έναν αό τους αρακάτω τύους: α) f(), R, β) f(), R, γ) f( ) <,, < δ) f( ), ή, ιο αλά, f ( ) ή, ιο αλά, f ( ). Η γραφική αράσταση της f φαίνεται σε κάθε ερίτωση στα αρακάτω σχήματα (α), (β), (γ), (δ) αντιστοίχως. 5

55 .8 8. i) Η εξίσωση της διαγωνίου ΟΒ είναι η y ( ) y. Ομοίως η εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ είναι η y ( ) y +. ii) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και η γραφική της αράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο. Εομένως, το σύνολο τιμών της είναι υοσύνολο του [,]. Είναι δηλαδή f( ) για κάθε [,]. Θα αοδείξουμε, ρώτα, ότι η C f τέμνει τη διαγώνιο y. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f() έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στον [,]. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() f() η οοία είναι συνεχής στο [,] και ισχύει φ() f() και φ() f(). Αν φ(), τότε f(), οότε η εξίσωση f() έχει ως ρίζα τον και η C f τέμνει την ΟΒ στο Ο(,). Αν φ(), τότε f(), οότε η εξίσωση f() έχει ως ρίζα τον και η C f τέμνει την ΟΒ στο Α(,). Αν φ() φ() <, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υάρχει ένα, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε φ( ), οότε f( ) και η C f τέμνει την ΟΒ στο σημείο Ρ(, ). Εομένως σε κάθε ερίτωση η C f τέμνει την ΟΒ. Για την άλλη διαγώνιο εργαζόμαστε ομοίως. 9. i) Έστω Μ(, f()) τυχαίο σημείο της C f. Τότε d d( ) ( ) + ( f( ) y ) με [ αβ, ]. ii) Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] ως ρίζα αθροίσματος συνεχών συναρτήσεων. Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, θα υάρχει κάοιο [ αβ, ] για το οοίο η d θα άρει τη μέγιστη τιμή της και κάοιο [ αβ, ] για το οοίο η d θα άρει την ελάχιστη τιμή της. 54

56 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Για έχουμε: f( ) f ( ) +, οότε f lim ( ) f ( ) lim. Εομένως f (). ii) Για R * {} έχουμε: f( ) f () ( ) +, ( ) οότε f lim ( ) f () lim ( + ) Εομένως f (). iii) Για έχουμε: f( ) f ( ) ηµ ηµ ηµ, οότε f lim ( ) f ( ) ηµ lim lim lim ηµ ηµ ηµ. Εομένως f ().. i) Για έχουμε: f( ) f ( ) 55,

57 . οότε f lim ( ) f ( ) lim. Εομένως έχουμε f (). ii) Για > έχουμε: f( ) f (), οότε f lim ( ) f () lim( ) + + Για < έχουμε: f( ) f () ( ), οότε f lim ( ) f () lim( ). f Εειδή lim ( ) f () f lim ( ) f (), η f δεν αραγωγίζεται στο + σημείο. iii) Για κάθε (,) (, ) έχουμε: f( ) f () ( )( ) + +, οότε f lim ( ) f () lim( + ). Εομένως f (). iv) Για < έχουμε: f( ) f ( ) + + ( + ) +, οότε f lim ( ) f ( ) lim( + ). 56

58 . Για > έχουμε: οότε f( ) f ( ) +, f lim ( ) f ( ) lim( ). + + f Εειδή lim ( ) f ( ) f lim ( ) f ( ), η f είναι αραγωγίσιμη στο +, με f ().. Για κάθε αό το εδίο ορισμού της f με έχουμε: g ( ) g( ) f ( ) f( ) f ( ) f( ), οότε g lim ( ) g ( ) lim f( ) f ( ), αφού η f είναι συνεχής στο σημείο. Εομένως η g αραγωγίζεται στο με g () f(). 4. i) Έχουμε: lim f( ) lim ( + ), lim f( ) lim και f(). + + Εειδή lim f( ) lim f( ), το όριο της f στο δεν υάρχει. Εομένως η + f δεν είναι συνεχής στο. Αφού όμως η f δεν είναι συνεχής στο, δεν είναι ούτε αραγωγίσιμη σ αυτό. ii) Έχουμε: lim f( ) lim( + ) και f(). Εομένως η f είναι συνεχής στο. Για < έχουμε: f( ) f () ( ) +, οότε f lim ( ) f (). 57

59 . Για > έχουμε: οότε f( ) f () +, f lim ( ) f (). + f Εειδή lim ( ) f () f lim ( ) f (), η f δεν αραγωγιζεται στο Αό την άσκηση έχουμε: i) f( ) +, f ( ) και f ( ). Εομένως η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο (,) είναι: y ( ) y. ii) f( ), f() και f (). Εομένως η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο (,) είναι: y ( ) y +. iii) f() ημ, f() και f (). Εομένως η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο (,) είναι: y ( ) y. Αό την άσκηση έχουμε: i) f( ), f() και f (). Εομένως η εξίσωση της εφατομένης στο σημείο (,) είναι: y ( ) y f ii) f( ), f() και lim ( ) f () δεν υάρχει. Εομένως δεν ορίζεται εφατομένη της C f στο σημείο (,). iii) f( ), f() και f (). Εομένως η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο (,) είναι: y ( ) y + + +, < iv) f( ), +, f() και f (). 58

60 . Εομένως η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο (,) είναι: y ( ) y +.. Β ΟΜΑΔΑΣ. Για κάθε έχουμε: 59 ( ) + f( ) f ( ) + ηµ + ηµ ηµ, οότε f lim ( ) f ( ) lim ( + ηµ ), αφού lim ( ηµ ). Εομένως, f ().. i) Για h έχουμε f(). ii) Για κάθε h R * έχουμε: f( + h) f () h + h + h + hh ( + h + ) h + h+, h h h οότε f lim ( + h ) f () lim( h + h+ ). h h h Εομένως f ().. Για < έχουμε: f( ) f ( ) +, ( ) οότε f lim ( ) f ( ) lim. Για > έχουμε: f( ) f ( ) ηµ + ηµ, οότε f lim ( ) f ( ) ηµ lim. Εομένως f ().

61 . Άρα, ορίζεται εφατομένη της C f στο σημείο Ο(,) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ f (), οότε εϕω ω Για κάθε έχουμε: συν f( ) f ( ) συν συν ( + συν) οότε ηµ + ηµ συν, ( ) + συν lim ( ) ( ) f f ηµ lim + συν. Εομένως, f ( ). 5. Για κάθε R γνωρίζουμε ότι: i) Για, αό την () έχουμε: Η () γράφεται ισοδύναμα: ( + ) f( ) + + f (), οότε f(). f( ) + f( ) f( ) ( + ) ii) Για <, αό τη () έχουμε: f( ) f ( ) +. () Για >, αό τη () έχουμε f( ) f ( ) + (4) iii) Αό τη σχέση () εειδή lim lim ( + ), σύμφωνα με το κριτήριο αρεμβολής έχουμε f lim ( ) f ( ). Αό τη σχέση (4) εειδή lim lim ( + ), σύμφωνα με το κριτήριο + αρεμβολής έχουμε + 6 () ()

62 . Εομένως f (). f lim ( ) f ( ) Για κάθε R γνωρίζουμε ότι ισχύει: ηµ 4 f ( ) ηµ + 4 () i) Εειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει f( ) lim f( ) lim f( ) + Εομένως, αρκεί να υολογίσουμε το lim f( ). Για >, αό την (), έχουμε + ή, ισοδύναμα, ηµ ηµ f( ) ηµ ηµ ηµ f ηµ ( ) +. ηµ Εειδή lim ηµ + και ηµ lim ηµ +, + + έχουμε lim f( ). Άρα f(). + ii) Για, αό την (), έχουμε 4 4 ηµ f( ) ηµ + ή, ισοδύναμα, ηµ f f ηµ ( ) ( ) +. Εειδή ηµ lim ηµ και lim, + + f έχουμε lim ( ) f ( ). () Άρα f ().

63 . 7. i) Αφού η f είναι συνεχής στο ισχύει lim f( ) f ( ). f Αλλά lim ( ) lim ( ) f lim ( f ) lim. 4 Εομένως, f(). ii) Είναι f f f f ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) 4, λόγω της υόθεσης. 8. i) Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο ισχύει Για h είναι Εομένως ii) Για h είναι f + h f f ( ) lim ( ) ( ). h f( h) f( ) f( + ( h)) f( ). h h f lim ( ) ( ) lim ( ( )) ( ) h f f + h f. h h h h f + lim ( ( )) ( ) h f h h f + lim ( ) ( ) k f (θέσαμε k h) k k f( + h) f( h) f( + h) f( ) f( h) + f( ) h h f( + h) f( ) f( h) f( ), h h οότε f lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) + h f h f + h f f h f( ) h h h h h h f ( ) ( f ( )) f ( ). f (Σύμφωνα με το ερώτημα i) lim ( ) ( ) h f f ( )). h h 6

64 . 9. i) Αό την αρχή του άξονα κίνησης ξεκίνησε το κινητό Β. ii) Μόνο ρος τα δεξιά κινήθηκε το κινητό Γ, αφού η συνάρτηση θέσης του είναι γνησίως αύξουσα. iii) Τη χρονική στιγμή t sec το κινητό Β άλλαξε φορά κίνησης, γιατί τότε η συνάρτηση θέσης αό γνησίως φθίνουσα γίνεται γνησίως αύξουσα. Τη στιγμή t 4 sec άλλαξε φορά κίνησης το κινητό Α, αφού η συνάρτηση θέσης του αό γνησίως φθίνουσα γίνεται γνησίως αύξουσα. Τέλος τη χρονική στιγμή t 5 sec άλλαξε φορά κίνησης το κινητό Β, αφού τη συνάρτηση θέσης του αό γνησίως αύξουσα γίνεται γνησίως φθίνουσα. iv) Στο χρονικό διάστημα [,4] το κινητό Α κινήθηκε μόνο αριστερά, αφού η συνάρτηση θέσης του είναι γνησίως φθίνουσα. ν) Πιο κοντά στην αρχή των αξόνων τερμάτισε το κινητό Β. Όλα τα αραάνω φαίνονται καλύτερα, αν ροβάλλουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων θέσης στον άξονα κίνησης: vi) Το κινητό Α διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα, αφού: Το Α κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με Μ Μ + Μ Μ Το Β κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με Μ 4 Μ 5 + Μ 5 Μ 6 + Μ 6 Μ 7 Το Γ κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με Μ 8 Μ 9. 6

65 .. Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Για κάθε R ισχύει f () 4, οότε f ( ) 4. ii) Για κάθε (, + ) ισχύει f ( ), οότε f () iii) Για κάθε R ισχύει f () ημ, οότε 64 f ηµ. 6 6 iv) Για κάθε (, + ) ισχύει f ( ), οότε f () e. e v) Για κάθε R ισχύει f () e, οότε f (ln) e ln.. i) Για κάθε < ισχύει f (). Για κάθε > ισχύει f ( ). Εξετάζουμε αν η f αραγωγίζεται στο σημείο. Για < έχουμε: f( ) f (), + οότε f lim ( ) f () lim( + ). Για > έχουμε: οότε f( ) f () ( ) + ( ) + f lim ( ) f () lim Εομένως η f δεν αραγωγίζεται στο., < Άρα f ( )., >,

66 . ii) Για κάθε < ισχύει f () συν. Για κάθε > ισχύει f (). Εξετάζουμε αν η f αραγωγίζεται στο σημείο. Για < έχουμε: οότε f( ) f ( ) ηµ ηµ, f lim ( ) f ( ) ηµ lim. Για > έχουμε: οότε f( ) f ( ), f lim ( ) f ( ). + Εομένως f (). συν, < Άρα f ( )., iii) Για κάθε < ισχύει f (). Για κάθε > ισχύει f () 4. Εξετάζουμε αν η f αραγωγίζεται στο σημείο. Εειδή 4 lim f( ) lim 8 και lim f( ) lim 6, η f δεν είναι συνεχής στο. + + Εομένως η f δεν αραγωγίζεται στο., < Άρα f ( ). 4, > iv) Για κάθε < ισχύει f (). Για κάθε > ισχύει f (). Εξετάζουμε αν η f αραγωγίζεται στο σημείο. 65

67 . Παρατηρούμε ότι: 4 lim f( ) f 8 και lim f( ) f Δηλαδή η f δεν είναι συνεχής στο. Άρα η f δεν αραγωγίζεται στο σημείο., < Εομένως, f ( )., >. Έστω ότι υάρχουν δύο σημεία, τα Μ (, ) και Μ (, ) με, στα οοία οι εφατομένες της C f είναι αράλληλες. Τότε, εειδή η f αραγωγίζεται στο εδίο ορισμού της, θα ρέει f ( ) f ( ), οότε και άρα, ου είναι άτοο, αφού. Άρα, δεν υάρχουν διαφορετικές εφατομένες της C f ου να είναι αράλληλες. Για τη γραφική αράσταση της f() δεν συμβαίνει το ίδιο. Πράγματι, για να υάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία αυτής, τα Μ (, ), Μ (, ) στα οοία οι εφατόμενες είναι αράλληλες, αρκεί να ισχύει: f ( ) f ( ). Εομένως, στα σημεία Μ (, ), Μ (, ) με οι εφατομένες είναι αράλληλες. 4. Στο διάστημα (,) η κλίση της f είναι σταθερή και ίση με. ( ) Στο (,) η f έχει κλίση ίση με.

68 . Στο (,4) η κλίση της είναι. Στο (4,6) η κλίση της είναι ίση με Στο (6,9) η κλίση της f είναι ίση με , (, ), (, ) Εομένως, f ( ), (, 4)., ( 4, 6) 4, ( 69, ) Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο αρακάτω σχήμα 5. Στο διάστημα [,) είναι f (). Άρα, στο διάστημα αυτό η f αριστάνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση, δηλαδή αράλληλο στην ευθεία y. Στο διάστημα (,4) είναι f (). Άρα, στο διάστημα αυτό η f αριστάνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση, δηλαδή αράλληλο στην ευθεία y. Τέλος, στο διάστημα (4,8] είναι f (). Άρα, στο διάστημα αυτό η f αριστάνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση, δηλαδή αράλληλο στην ευθεία y. Λαμβάνοντας υόψη τα αραάνω, την υόθεση ότι η C f ξεκινάει αό το Ο(,) και ότι η f είναι συνεχής στα σημεία και 4, αίρνουμε τη γραφική αράσταση του διλανού σχήματος. 67

69 .. B ΟΜΑΔΑΣ. Αρχικά θα ρέει η f να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim f( ) lim ηµ, Άρα θα ρέει Έτσι η f γίνεται: lim f( ) lim ( α + β) α + β και f ( ) α + β. + + α + β β α () ηµ, < f( ). αα, Για να είναι η f αραγωγίσιμη στο, αρκεί: f lim ( ) f ( ) f lim ( ) f ( ) + Για < έχουμε: f( ) f ( ) ηµ, οότε f lim ( ) f ( ) ηµ ηµ ( ) lim lim. ( ) Για > έχουμε: f( ) f ( ) α α α, οότε f lim ( ) f ( ) α. + Άρα α, οότε αό την () έχουμε β. 68

70 .. Για κάθε ξ (, + ) έχουμε f ( ξ ). ξ Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο Α(ξ, f(ξ)) είναι: ξ y ξ ( ξ ) y +. ξ ξ Η ευθεία αυτή διέρχεται αό το σημείο Β( ξ,), αφού ξ ξ ξ ( ξ ) + +. ξ. Για κάθε R * ισχύει f (), οότε f (α) α. Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο Μ(α,α ) είναι: y α α ( α) y α α. Λύνουμε το σύστημα Έχουμε: y y α α y y y y α α α + α ( α ) α ( α) y y ( α)( + α α ) α ή α y α α y 8α ή. α Εομένως η εφατομένη της C f στο σημείο Μ(α,α ) έχει και άλλο κοινό σημείο με την C f το Ν ( α, 8α ). Είναι f ( α) ( α) α 4 α 4 f ( α). 69

71 . 4. i) Είναι f f f ( ) lim ( ) ( ξ ξ ) ξ ξ ξ lim lim ξ ξ ξ ξ ξ Εομένως η εξίσωση της εφατομένης ε είναι y ( ξ ). ξ ξ Για y είναι ( ξ) ξ ξ ξ. ξ ξ Άρα η ε τέμνει τον στο σημείο Α(ξ,). Για είναι y ( ξ ) y. ξ ξ ξ Άρα η ε τέμνει τον y y στο Β,. ξ Εομένως, οι συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ είναι + ξ + ξ ξ και ξ. Άρα, το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο Μ ξ,. ξ ii) Το εμβαδόν του τριγώνου OΑΒ είναι Ε ΟΑ ΟΒ ( )( ) ξ ξ τ.μ. ξ ξ 7

72 .. A ΟΜΑΔΑΣ 6. i) f ( ) ii) f ( ) 6 + iii) f ( ) + iv) f ( ) ηµ συν. i) f ( ) ( ) ii) f ( ) e ηµ + e συν e ( ηµ + συν) iii) ( ) ( ) ( ) 4 f ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( συν ηµ )( + συν) + ηµ ( ηµ + συν) iv) f ( ) ( + συν) συν ηµ + συν ηµ συν+ ηµ + ηµ συν ( + συν) ηµ + συν ( + συν) v) f ( ) ηµ συν+ συνσυν ηµηµ ηµ + ( συν ηµ ) ηµ + συν ( ηµ + συν). e ln e e ln. i) f ( ) (ln ) (ln ) ηµ συν ii) f συν 4συν ( ) συν ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ 7

73 . συνe ηµ e e ( συν ηµ ) συν ηµ iii) f ( ) e e e iv) Έχουμε: οότε ( ) ( + ) f( ) 4( f ) + 8 ( ) ( ) 4, 4( + ) ( ). 4. i) Για κάθε < ισχύει f () Για κάθε > ισχύει f ( ) Εξετάζουμε αν η f αραγωγίζεται στο. Για < έχουμε: f( ) f ( ) + +, οότε f lim ( ) f ( ) lim( + ) Για > έχουμε: f( ) f ( ) , οότε f lim ( ) f ( ) lim Εομένως η f δεν αραγωγίζεται στο. 4+, < Άρα f ( ). 6 +, > ii) Για κάθε < ισχύει f () + συν 7

74 . Για κάθε > ισχύει f (). Εξετάζουμε αν η f αραγωγίζεται στο. Για < έχουμε: οότε f( ) f ( ) + ηµ ηµ +, f lim ( ) f ( ) ηµ lim +. Για > έχουμε: f( ) f ( ), οότε f lim ( ) f ( ) lim. + + Εομένως f (). + συν, Έτσι f ( )., > 5. Θα ρέει να βρούμε εκείνα τα σημεία (, f()) της C f για τα οοία ισχύει f (). i) Για έχουμε: οότε 4 4 f ( ), f ( ) 4 ή. Εομένως τα ζητούμενα σημεία είναι (, 4) και (,4). ii) Έχουμε: οότε e e f ( ) e e ( ), e e f ( ). 7

75 . Εομένως το ζητούμενο σημείο είναι το,. e iii) Έχουμε: οότε f ( ), f ( ) ή. Εομένως τα ζητούμενα σημεία είναι τα (, ) και (,). 6. Για κάθε ισχύει: Για κάθε [,) (, + ) είναι + g ( ) ( ) ( + ) 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 74 ( + ) 4, οότε g ( ) ( ). Δεν ισχύει η ισότητα των f, g, αφού αυτές έχουν διαφορετικά εδία ορισμού. 7. Για κάθε R ισχύει f (), οότε f (). Για κάθε ισχύει g ( ), οότε g (). Εειδή f () g (), οι εφατόμενες των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο (,) είναι κάθετες. 8. Παρατηρούμε ότι το σημείο Α(,), για κάθε α R *, βρίσκεται άνω στην C f. Για κάθε R { α} έχουμε: οότε α( + α) ( α+ α) α α f ( ) ( + α) ( + α), α α α f ( ). α α

76 . Εομένως α f ( ) α α α. α 9. i) Τα σημεία της C f στα οοία η εφατομένη είναι αράλληλη ρος την ευθεία y 9 + l είναι αυτά για τα οοία ισχύει f () 9. Αλλά f (), οότε 9 4 ή. Εομένως, τα σημεία είναι (,) και (,7). ii) Τα σημεία της C f στα οοία η εφατομένη είναι κάθετη ρος την ευθεία y είναι αυτά για τα οοία ισχύει: f ( ) ( ) ή ισοδύναμα: 4 ( )( ) ή. Εομένως τα σημεία είναι 45 9, + και + 45,. 9. Η εφατομένη της C f στο τυχαίο σημείο M (, f( )) αυτής έχει εξίσωση: y f( ) f ( )( ) y ( ) Για να ερνάει η ε αό το σημείο Α(, ), αρκεί να ισχύει y. () ή. Εομένως οι ζητούμενες εφατόμενες ροκύτουν αό την (), αν θέσουμε και. Άρα, είναι οι ευθείες y l και y.. Η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό τα σημεία Α(,) και Ο(,), οότε f () α + β + γ f ( ) γ () Για κάθε R ισχύει f () α + β. 75

77 . Εειδή η C f εφάτεται της ευθείας y στο σημείο Ο(,) θα είναι: f ( ) β. () Αό τις () και () ροκύτει ότι α, β και γ.. i) Έχουμε f ( ) (( ) ) ( ) ( ) ii) Για (, + ) έχουμε iii) Είναι iv) Έχουμε ( + ) 4 ( + 4 ) 4( + ) 7 ( + 4). / f ( ) (( ) ) ( ) ( ). + f ( ) συν + συν + ( + ). f ( ) v) Είναι f ( ) e ( ) e ( ). + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ). 76

78 .. i) Για κάθε > ισχύει οότε ii) Για κάθε > ισχύει οότε ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ), 4 iii) Για κάθε R ισχύει οότε f ( 4) f ( ) ηµ ( ) + ηµ ( ) συν( ) [ηµ ( ) + ηµ ( ) συν( )], f iv) Για κάθε ισχύει: οότε ( ) 4 f + 4 ( ) +, ( ) ( ) ( ) 9 + f () + 5., 77

79 . ln ln ln 4. i) Για > έχουμε f( ) e e, οότε ln f ( ) e (ln ) ln e ln ln ln ln ln ii) Είναι f( ) e ( 5 )ln, οότε ( f ( ) e 5 )ln (( 5 )ln ) e ( 5 )ln ln ln. iii) Για > ισχύει f e ln(ln ( ) ), οότε ln(ln ) f ( ) e ( ln(ln )) ln(ln ) e ln(ln ) + ln iv) Έχουμε (ln ) ln(ln ) +. ln f ( ) ( ηµ e συν ) συν e συν + ηµ ( e συν ) συν συν συν e + ηµ e ( συν) συν e ( συνηµ ). 5. Είναι και f ( ) ( ηµ ) ηµ συν ηµ f ( ) συν. 78

80 . Άρα f ( ) + 4f( ) συν+ 4ηµ ( ηµ ) + 4ηµ 4ηµ + 4ηµ.. B ΟΜΑΔΑΣ. Οι γραφικές αραστάσεις των f, g έχουν ένα κοινό σημείο, αν και μόνο αν υάρχει τέτοιο ώστε f( ) g ( ) + + ( )( + ). Εομένως, το σημείο (,) είναι το μόνο κοινό σημείο των C f και C g. Για κάθε R * ισχύει: οότε και εομένως ισχύει f ( ) και g ( ), f () και g (l) f () g (). Εομένως οι εφατομένες των C f και C g στο σημείο (,) είναι κάθετες.. Λύνουμε το σύστημα y y y y + ( ) ( + ) y ή. ή y y 8 Εομένως, η ευθεία y τέμνει την C f στα σημεία (,) και (, 8). Για κάθε R ισχύει: f (), οότε f () και f ( ). 79

81 . Άρα η ευθεία y εφάτεται της C f στο σημείο (,).. Οι γραφικές αραστάσεις των f και g έχουν κοινή εφατομένη στο αν και μόνο αν f() g(l) και f (l) g (l). Για κάθε R * ισχύει: f () α + β και g ( ) οότε Εομένως f () α + β και g (l) l. f() g() α + β + α + β f () g () α + β α + β α β. 4. Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο Α(,) είναι: y f ( )( ) y +, αφού f (). Η ευθεία y + θα εφάτεται στη γραφική αράσταση της g, αν και μόνο αν υάρχει, τέτοιο, ώστε g ( ) g ( ) Εομένως, η y + l εφάτεται στη C g στο σημείο (,). 5. Το ζητούμενο ολυώνυμο είναι της μορφής f( ) α + β + γ + δ, αβγδ,,, R και α. Για κάθε R ισχύει: f ( ) α + β+ γ, f ( ) 6α + β και f ( ) ( ) 6α. Έχουμε: f ( ) 4 δ 4 δ 4 f ( ) α β + γ γ 9 f. ( ) 4 α + β 4 β 4 ( ) f () 6 6α 6 α 8

82 . Εομένως f( ) Έστω ότι υάρχει ολυώνυμο β βαθμού f( ) α + β+ γ ου ικανοοιεί τις υοθέσεις της άσκησης. Τότε θα είναι f() και f () και f() και f (). Όμως, f () α + β. Εομένως, θα ισχύει γ και β και α + β + γ και α + β. Αυτό, όμως, είναι άτοο αφού αό τις τρεις ρώτες εξισώσεις ροκύτει ότι α, β και γ, ου δεν εαληθεύουν την τελευταία. 7. i) Για α είναι f ( ) α f( α) f ( ) f( α) + f( α) α f( α) α α ( f( ) f( α)) f( α)( α) + f ( ) f ( α) + f ( α). α α α Εειδή η f αραγωγίζεται στο α, υάρχει το f lim ( ) f ( α ) f ( α). α α f Άρα lim ( ) α f ( α ) ( ) ( ) lim f f α f( ) f ( + α α α) + f ( α). α α α α ii) Για α είναι α α e f( ) e f ( α) e f( ) e f( α) + e f( α) e f ( α) α α e f f α ( ) ( α) e e + f ( α). α α Εειδή η συνάρτηση h() e είναι αραγωγίσιμη στο α ισχύει α e e α lim h ( α) e. α α 8

83 . Εομένως, a e f( ) e f ( ) ( ) ( ) lim lim e f f α α α e e + f ( α)lim α α α α α α α α α e f ( α) + f( α) e e ( f ( α) + f ( α)). 8. Τα σημεία της C f στα οοία η εφατομένη είναι αράλληλη ρος τον άξονα των είναι αυτά για τα οοία ισχύει f () με [, ]. Αλλά f ( ) συν4ηµ συν συν ηµ, οότε Εειδή [, ] έχουμε: f ( ) συν ηµ εϕ κ κ Για τις τιμές αυτές του κ βρίσκουμε ότι: κ + κ κ κ,,,, αφού κ ή 5 9 ή ή i) Για έχουμε / / ( ), αν < f( ). /, αν Εομένως Αν <, τότε / / f ( ) (( ) ) ( ). Αν >, τότε / / f ( ) ( ). 8

84 . Για είναι Εομένως Όταν >, έχουμε f( ) f ( ), οότε f( ) f ( ) f lim ( ) f ( ) lim Όταν < έχουμε οότε f( ) f ( ) ( ) f lim ( ) f ( ) lim. Εομένως η f( ) δεν αραγωγίζεται στο. Εειδή η f είναι συνεχής στο, η εξίσωση της εφατομένης της C f στο Ο(,) είναι η. ii) Είναι 4 / 4 / ( ), < f( ). 4 /, > Εομένως Αν >, τότε 4 / 4 f ( ). Αν <, τότε 4 f ( ) (( ) ) ( ) 4 / / 8 4.

85 . Στο έχουμε Εομένως: Αν > είναι οότε Αν < είναι οότε f( ) f ( ) f( ) f ( ) f lim ( ) f ( ) lim. + + f( ) f ( ) ( ) ( ) f lim ( ) f ( ) lim. Εομένως f ( ). Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο της Ο(,) είναι η y.. Εειδή η συνάρτηση f αραγωγίζεται στο R είναι g ( ) f ( + + ) ( + ), οότε g ( ) f (). Είσης έχουμε g( ) f( + + ) f (). Άρα, η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο της Α(, f()) είναι η y f() f ()( ) y + f (), () ενώ η εξίσωση της εφατομένης της C g στο σημείο της Β(, g()) είναι η y g( ) g ( )( ) y f() +. y + f (). () Αό () και () ροκύτει ότι η y + f() είναι κοινή εφατομένη των C f, C g στα Α, Β αντιστοίχως.

86 .4. i) Έχουμε διαδοχικά ( f( ηµ )) ( e συν) f ( ηµ ) συν e συν+ e ( ηµ ) f ( ηµ ) συν e ( συν ηµ ). Εομένως οότε ii) Είναι f ( ηµ ) συν e ( συνηµ ), f ( ). f( ηµ ) e συν οότε f(). Άρα, η εξίσωση της εφατομένης ε της C f στο σημείο της Α(,) είναι ε : y ( ) y + Η εφατομένη ε τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(,) και B(,) και ισχύει (OΑ) (OB). Εομένως το τρίγωνο OΑΒ είναι ισοσκελές..4 Α ΟΜΑΔΑΣ. Εειδή E(t) 4r (t) και r(t) 4 t έχουμε: Ε () t 8 r() t r () t 8 ( 4t ) ( t) 6t( 4t ). Άρα Ε () 6( 4 ) 48 cm /s. Εειδή Vt () 4 r (), t 85

87 .4 έχουμε V () t 4r () t r () t 4( 4t ) ( t) 8t( 4 t ). Άρα V () 8 4 ( ) 7 cm /s.. Εειδή Vt () 4 r () t έχουμε V () t 4 r () t r () t και για t t V ( t ) 4 r ( t ) r ( t ). Είναι όμως V (t ) cm /s και r(t ) 9 cm οότε έχουμε 4 9 r ( t ). Εομένως. Έχουμε 5 r ( t ) cm/s. P ( ) Π ( ) Κ ( ) Είναι Ρ () > για όλα τα μεταξύ των ριζών του τριωνύμου + 48, δηλαδή (, + ). 4. i) Έστω (t), y(t) οι συναρτήσεις θέσεων των λοίων Π, Π αντιστοίχως. Τότε υ () t 5 και υ y () t οότε (t) 5t και y(t) t, αφού τα λοία Π, Π αναχωρούν συγχρόνως αό το λιμάνι. 86

88 .4 ii) Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΛΠ Π έχουμε d () t () t + y () t ( 5t) + ( t) 5t + 4t 65t. Άρα d(t) 5t, οότε ο ρυθμός μεταβολής της αόστασης d είναι σταθερός και ισούται με d () t 5 Km/h. 5. Έστω Μ t (), ( t) σημείο της αραβολής, τη χρονική στιγμή t με t. Τότε: 4 () t () t () t t () () t 4 4 t ()(αφού (t) > για κάθε t ). Άρα (t), οότε yt (). 4 Έτσι το σημείο είναι το Μ(,)..4 Β ΟΜΑΔΑΣ. Έστω r r(t) η ακτίνα της σφαίρας, ως συνάρτηση του χρόνου t. Τότε είναι: Vt () 4 r (), t οότε Είναι όμως οότε 4 V () t r () t r () t 4 r () t r (). t () Ε () t 4 r (), t Ε () t 8 r() tr () t r () t E (). t 8 rt () Ο τύος () γίνεται V () t 4 r () t Ε () t r() t Ε (). t 8 rt () 87

89 .4 Εομένως. Έχουμε: V ( t ) cm /s. T T( ) ( ΟΑΒ ) ln, αφού >. Εειδή το είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε Tt () t ()ln t (), οότε T () t ()ln t t () + t () () t t () ( t)(ln t ( ) + ). Εομένως τη χρονική στιγμή t ου είναι (t ) 5, έχουμε T ( t ) ( t)(ln t ( ) + ). Τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΓΒΑ είναι όμοια. Εομένως y s 5 y s y s (ln 5 ) (ln 5 ) cm /s. Εειδή τα y και s είναι συναρτήσεις του χρόνου t, είναι yt () st (). 4 Εομένως y () t s () t 4 4 m/s. 88

90 .4 4. Η γωνία θ είναι συνάρτηση του χρόνου t. Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΠ έχουμε ht () εϕθ () t. Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε διαδοχικά οότε ht () (εϕθ ()) t θ () t h () t συν θ () t θ () t h () t συν θ(), t θ ( t ) h ( t) συν θ( t ). () Όμως, τη χρονική στιγμή t ου το μαλόνι βρίσκεται σε ύψος m ισχύει: h ( t ) 5 και συνθ ( t ) συν45. Εομένως θ ( t ) rad/min. 5. Αό την ομοιότητα των τριγώνων ΦΟΣ και ΚΠΣ έχουμε 6, 8 + s 89. s Τα, s είναι συναρτήσεις του χρόνου t και ισχύει, (t),8 m/s ενώ s (t) είναι ο ρυθμός μεταβολής του ίσκιου της γυναίκας. Αό την () έχουμε: s, s, ( + s) 8, s, s() t (). t + s 4 Εομένως s () t () t 5, ( t) 4 Άρα s () t 58,,, m/s. ()

91 .4 6. Ο ροβολέας του εριολικού φωτίζει κατά τη διεύθυνση της εφατομένης της C f, καθώς αυτό κινείται κατά μήκος της καμύλης. Βρίσκουμε την εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο της Α α, α. Είναι f ( ) οότε f ( α) α. Εομένως, η εφατομένη AM έχει εξίσωση: y+ α α ( α). Για y, έχουμε α α + α α α α. Άρα, το σημείο Μ έχει τετμημένη () t (). t α Εομένως, () t α () t α() t και τη χρονική στιγμή t, ου είναι, α(t ), έχουμε 7. Τα μεγέθη, y, θ είναι συναρτήσεις του χρόνου t και ισχύει: υ Α y () t και υ Β t (), m/s. Τη χρονική στιγμή t ου η κορυφή της σκάλας αέχει αό το δάεδο,5 m είναι y(t ),5 και ( t) y ( t ), 75 m. i) Έχουμε () t συνθ (), t οότε () t ηµθ() t θ () t και άρα Εομένως θ () t (). t ηµ θ () t θ ( t ) ( t ), θ ( t ), 5 rad/s. ηµ 5 9

92 .4 ii) Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε () t + y () t 9, οότε Άρα, οότε t () t () () t + yt () y () t y () t ( t). yt () t ( ) y ( t ) ( t ), yt ( ) 75, y ( t ) 5, 75, m/sec Έστω (t) και y y(t) οι συντεταγμένες του κινητού, τη χρονική στιγμή t. Τη χρονική στιγμή t ου το κινητό βρίσκεται στη θέση,, έχουμε t ( ) και yt ( ). Είσης έχουμε: y ( t ) μονάδες/sec. Εειδή το κινητό κινείται στον κύκλο + y, είναι οότε έχουμε διαδοχικά Εομένως (t) + y (t), ( ( t)) + ( y ( t)) t () () t + yt () y () t t ( ) ( t ) + yt ( ) y ( t ). yt ( t ) ( ) / ( ) y ( t ) μονάδες/sec. t ( ) / 9

93 .5.5 Α ΟΜΑΔΑΣ. i) H f( ) + είναι συνεχής στο [,] ως ολυωνυμική, αραγωγίσιμη στο (,) με f ( ) και ισχύει f() f(). Εομένως, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ. Rolle, οότε υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ) ξ ξ. ii) H f() ημ είναι: συνεχής στο,, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, αραγωγίσιμη στο,, με f () συν και ισχύει f( ) f. Εομένως, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ. Rolle, οότε υάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε f ( ξ) συνξ συνξ ξ ή ξ, αφού < ξ < ξ 6 ή ξ. iii) Η f() + συν είναι συνεχής στο [, ], αραγωγίσιμη στο (, ) με f () ημ και ισχύει f() f(). Εομένως, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ. Rolle, οότε υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε 9

94 .5 f ( ξ) ηµ ξ ηµξ ξ, αφού < ξ < ξ. iv) Η συνάρτηση f( ) είναι συνεχής στο [,], ως αόλυτη τιμή συνεχούς συνάρτησης. Η f, όμως, δεν είναι αραγωγίσιμη στο, αφού f lim ( ) f ( ) lim και + + f lim ( ) f ( ) lim. Εομένως η f δεν αραγωγίζεται στο (,). Άρα δεν ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ. Rolle.. i) H f() + είναι συνεχής στο [,4], ως ολυωνυμική αραγωγίσιμη στο (,4) με f ( ) +. Εομένως, ισχύουν οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ., οότε υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο, ώστε f( 4) f( ) 4 f ( ξ) ξ ξ + 6 ii) Η f() ημ είναι ξ συνεχής στο,, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, αραγωγίσιμη στο, με f () 6συν. Εομένως, ικανοοιούνται οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ., οότε υάρχει ένα τουλάχιστον, ξ, τέτοιο, ώστε 9

95 .5 f ( ξ ) f f ( ) 6συνξ συνξ ξ, αφού ξ (, ) ξ 4. iii) Εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο [,] Για [, ) η f είναι συνεχής, ως ολυωνυμική. Για (, ] η f είναι συνεχής, ως ολυωνυμική. Στο έχουμε lim f( ) lim ( + ) lim f( ) lim ( ) + + οότε η f είναι συνεχής στο. Εομένως, η f είναι συνεχής στο [,]. 94 και f ( ), Εξετάζουμε τώρα την αραγωγισιμότητα της f στο (,). Η f είναι αραγωγίσιμη στο (, ), με f (). Η f είναι αραγωγίσιμη στο (,), με f (). Έχουμε Άρα, f ( ). f lim ( ) f ( ) + lim και + + lim ( ) ( ) f f lim lim ( ) Εομένως, η f είναι αραγωγίσιμη στο (,) με, (, ] f ( ), (, ).

96 .5 Άρα ικανοοιούνται οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ., οότε υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ) f( ) 6 f ( ( ) f 4) ξ ( ξ) f ( ξ ). ( ) ( ) Η τελευταία ισχύει για κάθε ξ (, ], ενώ για ξ (, ) έχουμε: ξ ξ ξ ξ.. Η συνάρτηση f() e είναι συνεχής στο [α, β] και αραγωγίσιμη στο (α, β) με f () e. Εομένως σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υάρχει ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( ) β α f( β) f( α) e e e. () β α β α Εειδή α < < β και η συνάρτηση y e α είναι γνησίως αύξουσα ισχύει e < e < e Άρα, λόγω της (), είναι e α β α e e β < < e. β α β. Η συνάρτηση g() ln είναι συνεχής στο [α, β] με < α < β και αραγωγίσιμη στο (α, β) με f ( ). Εομένως, σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υάρχει ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( ) f( β) f( α) ln β lnα ln β ln α. β α β α β α Εειδή < α < < β, είναι < <, οότε, λόγω της (), έχουμε β α ln β lnα < <. β β α α () 95

97 .5.5 Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] ως ολυωνυμική. Είναι f( ) και f() Δηλαδή f( ) f() <. Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε f( ). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και f(), f() Δηλαδή, f() f() 44 <. Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε f( ). ii) H συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ] [,], με (, ) και (,), αφού είναι συνεχής στο [, ] ως ολυωνυμική είναι αραγωγίσιμη στο (, ) με ισχύει f( ) f( ). f ( ) και Άρα υάρχει ξ (, ) (,), τέτοιο, ώστε f ( ξ ) ή, ισοδύναμα, 4ξ 6ξ 5ξ. Εομένως, η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,).. i) Η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [,], αφού είναι συνεχής στο [,] ως γινόμενο συνεχών είναι αραγωγίσιμη στο (,) με f ( ) ηµ + ( ) συν και f() ( )ημ, f() ημ. 96

98 .5 Άρα, υάρχει ξ (,), τέτοιο, ώστε f (ξ), δηλαδή η εξίσωση f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,). ii) Η εξίσωση εφ στο (,) γράφεται ισοδύναμα ηµ ηµ ( ) συν ηµ + ( ) συν f ( ) συν και σύμφωνα με το ερώτημα i) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,). Εομένως, η εξίσωση εφ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,). Σημ.: To ii) μορεί να αοδειχθεί και με το Θ. Bolzano ανεξάρτητα αό το i) ερώτημα.. Η εξίσωση f() γράφεται ισοδύναμα f(). Θέτουμε g() f(), R και υοθέτουμε ότι η εξίσωση g() έχει δύο ραγματικές ρίζες, στο R. Η συνάρτηση g ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ] αφού είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα συνεχών. (Η f είναι συνεχής στο R ως αραγωγίσιμη στο R). είναι αραγωγίσιμη στο (, ) με g () f () και g( ) g( ). Εομένως, υάρχει ξ (, ), τέτοιο, ώστε g ( ξ) f ( ξ) f ( ξ ), ου είναι άτοο, αφού f () για κάθε R. Άρα η εξίσωση g(), ή ισοδύναμα η εξίσωση f() έχει το ολύ μια ραγματική ρίζα. ii) Κατ αρχάς η εξίσωση ηµ έχει ρίζα το, αφού ηµ. Έστω f( ) ηµ. Τότε f ( ) συν για κάθε R (αφού συν ). Άρα σύμφωνα με το i) ερώτημα η εξίσωση f(), δηλαδή η εξίσωση ηµ, έχει το ολύ μια ραγματική ρίζα. Αφού, όμως, έχει ρίζα το, η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. 97

99 .5 4. i) Έχουμε ( ) +, ου ισχύει. ii) Για α β ισχύει η ισότητα Για α β, η f στο διάστημα με άκρα τα α, β ικανοοιεί τις υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. Άρα υάρχει ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε Εομένως, f ( ξ ) f( β) f( α) f( β) f( α) f ( ξ)( β α) β α ξ f( β) f( α) ( β α). + ξ ξ f( β) f( α) β α β α, λόγω του i). + ξ 5. Η f ικανοοιεί τις συνθήκες του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,4], οότε υάρχει ξ (, 4 ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) f( 4) f( ) f ( 4). 4 4 Αλλά, αό υόθεση έχουμε f ( ) 5 για κάθε (, 4 ), οότε f ( 4) 5 8 f( 4) 9 f( 4) Η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,], αφού είναι συνεχής στο [,] και αραγωγίσιμη στο (,) με f ( ). Εομένως, υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f( ) f( ) f ( ) ( ) f ( ξ ) f ( ) +. () + Η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,], αφού είναι συνεχής στο [,] και αραγωγίσιμη στο (,). Εομένως, υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε 98

100 .6 f() f( ) f f ( ) ( ξ ) f ( ). () Εειδή f ( ) για κάθε (, ) θα ισχύει Άρα f (). f ( ξ) f ( ) + f ( ) f ( ξ ) f ( ) f ( ) 7. Κατ αρχάς f() g() και f() g(l). Εομένως οι γραφικές αραστάσεις των f, g έχουν κοινά τα σημεία Α και Β. Ας υοθέσουμε ότι αυτές έχουν και τρίτο κοινό σημείο Γ και ας ονομάσουμε ρ < ρ < ρ τις τετμημένες των τριών σημείων. Τότε, θα ισχύει: f( ρ ) g( ρ ), f( ρ ) g( ρ ) και f( ρ ) g( ρ ). Θεωρούμε, τώρα, τη συνάρτηση ϕ( ) f( ) g( ) +. Για τη συνάρτηση φ ισχύουν οι υοθέσεις του Θ. Rolle στα διαστήματα [ρ, ρ ] και [ρ, ρ ], αφού είναι αραγωγίσιμη στο R με ϕ ( ) ln + και ισχύει ϕρ ( ) ϕρ ( ) ϕρ ( ). Άρα, υάρχουν ξ ( ρ, ρ ) και ξ ( ρ, ρ) τέτοια, ώστε φ (ξ ) και φ (ξ ). Εειδή, ειλέον, η φ είναι αραγωγίσιμη στο [ξ, ξ ], για τη συνάρτηση φ ισχύουν οι υοθέσεις του Θ. Rolle. Άρα υάρχει ξ ( ξ, ξ ) τέτοιο, ώστε ϕ ( ξ). Αυτό όμως είναι άτοο, αφού ϕ ( ) ln + > για κάθε. Άρα, η εξίσωση φ() έχει ακριβώς δύο ρίζες, τους αριθμούς και..6 Α ΟΜΑΔΑΣ. Για κάθε R έχουμε ϕ ( ) f( ) f ( ) + g( g ) ( ) Εομένως, φ() c. f( ) g ( ) gf ( ) ( ).. i) Για κάθε R είναι 99

101 .6 f ( ) + ( + ) >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii) Για κάθε R είναι: f ( ) 6 6 6( ). Οι ρίζες του τριωνύμου είναι και, οότε το ρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f() Άρα η f είναι: γνησίως αύξουσα στο (, ], αφού είναι συνεχής στο (, ] και ισχύει f ( ) >, στο (, ). γνησίως φθίνουσα στο [,, ] αφού είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει f ( ) <, στο (, ), και γνησίως αύξουσα στο [, + ), αφού είναι συνεχής στο [, + ) και ισχύει f ( ) >, στο (, + ). iii) Για κάθε R ισχύει + f ( ) ( + ) ( + ). Οι ρίζες της f ( ) είναι και, το ρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, ], [, + ) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,].

102 .6. i) Για κάθε < η f είναι συνεχής, ως ολυωνυμική Ομοίως για κάθε > Για έχουμε: lim f( ) lim( 4 ), lim f( ) lim( + ) και f(), + οότε η f είναι συνεχής στο. Άρα η f συνεχής στο R. Η συνάρτηση f αραγωγίζεται στο R {} με, f < ( )., > Η f ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα την. Το ρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f() Δηλαδή η f είναι: γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [,]. ii) H συνάρτηση f γράφεται:, (, ] f( ), (,), [, + ) Η f είναι συνεχής στο R, ως αόλυτη τιμή συνεχούς συνάρτησης. Για ± έχουμε, (, ) f ( ), (,)., (, + ) Η f () έχει ακριβώς μια ρίζα την. Το ρόσημο της f και η μονοτονία της φαίνονται στον αρακάτω ίνακα.

103 .6 + f () + + f() Δηλαδή η f είναι: γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, ], [,] και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [,], [, + ). 4. i) Για κάθε R είναι f ( e e ) e e. Η f () έχει μια μόνο ρίζα την. Το ρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ). ii) Για κάθε > είναι f ( ). Έχουμε f ( ). Το ρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ).

104 .6 iii) Η συνάρτηση f γράφεται ηµ, f( )., < Εομένως έχουμε να μελετήσουμε τη μονοτονία της f στο [,]. Η f είναι συνεχής στο [,] Για κάθε (, ) είναι f ( ) συν Η f μηδενίζεται στο (,) για. Το ρόσημο της f στο [,] φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. Δηλαδή η f είναι f () + f() γνησίως αύξουσα στο,, γνησίως φθίνουσα στο, και σταθερή με τιμή μηδέν στο [,]. 5. i) Για κάθε R είναι f ( ) ( 4 + ) >. Εομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, + ) και αραγωγίσιμη στο (, + ), με g ( ) + + > για κάθε (, + ). Εομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). ii) Έχουμε: 5 5 lim f( ) lim ( ) και lim f( ) lim Εομένως η f, ως συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, θα έχει σύνολο τιμών το διάστημα (, + ), δηλαδή το R.

105 .6 Έχουμε: g() και lim g ( ) lim ( + ) Άρα το σύνολο τιμών της g, για τον ίδιο λόγο όως ριν, είναι το διάστημα [, + ). iii) Οι εξισώσεις γράφονται f() και g() αντιστοίχως και έχουν ροφανή ρίζα την. Εειδή οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες, η είναι μοναδική κοινή ρίζα τους. 6. i) Για κάθε > ισχύει f ( ) e + >. Εομένως η f είναι γνησίως + αύξουσα στο (, + ). ii) Η εξίσωση e ln( + ) γράφεται ισοδύναμα: e + ln( + ) f( ). Προφανώς f(). Εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο εδίο ορισμού της και ισχύει f(), η τιμή είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης f()..6 Β ΟΜΑΔΑΣ. Έστω R. Τότε, λόγω της υόθεσης, για κάθε έχουμε f( ) f( ) f( ) f( ) Αλλά f( ) f( ). lim( ) lim. Εομένως, σύμφωνα με το κριτήριο αρεμβολής θα είναι: f lim ( ) f ( ) ή f ( ). Άρα f ( ), για κάθε R ου σημαίνει ότι η f σταθερή στο R. 4

106 .6. i) Η f είναι συνεχής στο [,] ως ολυωνυμική και ισχύει f ( ) ( ) < Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. για κάθε (, ). ii) Εειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [,], το σύνολο τιμών της είναι το [f(), f( )] [α,α + ]. iii) Η συνάρτηση f( ) + α είναι συνεχής στο [,] και το σύνολο τιμών της [α,α + ] εριέχει το, αφού < α <. Εομένως, υάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε f( ). Αυτό όμως είναι μοναδικό, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,).. Η ταχύτητα του κινητού είναι ενώ η ειτάχυνσή του είναι υ( t) () t 4t 4t + 6t6, α( t) () t t 48t+ 6 ( t 4t + ). i) Η ταχύτητα του κινητού με τη βοήθεια του σχήματος Horner γράφεται υ( t) 4( t) ( t 4) και μηδενίζεται τις χρονικές στιγμές t και t 4. Για να ααντήσουμε στα ερωτήματα της άσκησης αρκεί να μελετήσουμε το ρόσημο της ταχύτητας υ( t) () t στο διάστημα [,5]. Οι ρίζες της () t είναι και 4, ενώ το ρόσημο της () t φαίνεται στον ίνακα t 4 5 () t + ii) Άρα στο διάστημα (,4) το κινητό κινείται ρος τα αριστερά, ενώ στο διάστημα (4,5) κινείται ρος τα δεξιά. iii) Τo ρόσημο της συνάρτησης α( t) () t φαίνεται στον ίνακα t 5 a(t) + + Εομένως στα διαστήματα [,] και [,5] η ταχύτητά του αυξάνεται, ενώ στο διάστημα [,] μειώνεται. 5

107 .6 4. Η συνάρτηση V αραγωγίζεται για t > με 5t t V () t 5 < ( t + ) ( t + ) Άρα η συνάρτηση V είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ), ου σημαίνει ότι το ροϊόν συνεχώς υοτιμάται. Εειδή V() 5 και lim Vt ( ) lim 5t 5 t + t + ( t + ) 5t 5 lim , t + t 4t το σύνολο τιμών της V είναι το διάστημα (5,5]. Άρα, η τιμή του ροϊόντος δεν μορεί να γίνει μικρότερη αό το μισό της αρχικής του τιμής. 5. i) H συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το Α (, ) (,) (, + ), είναι συνεχής, ως ρητή, και αραγωγίσιμη στο Α με ( 9)( ) ( )( 9) f ( ) ( ) ( )( ) ( 9 9 ) ( ) ( + ) ( ) ( ) Η μονοτονία της f φαίνεται στον ίνακα 6 >. + f () f() + Δηλαδή, η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα αό τα διαστήματα (, ), (, ) και (, + ). Είναι 9 lim f( ) lim lim

108 .6 lim f( ) lim 9 lim f( ) lim + ( )( + ) lim f( ), lim f( ) + και lim f( ). + + Εομένως το σύνολο τιμών της f σε καθένα αό τα διαστήματα του ορισμού της είναι το R. ii) Οι αριθμοί και ροφανώς δεν είναι ρίζες της εξίσωσης α 9 + α. Εομένως, θα αναζητήσουμε ρίζες αυτής στα διαστήματα (, ), (, ) και (, + ). Στα διαστήματα αυτά έχουμε α 9+ α 9 α α 9 α f( ) α. Εειδή η συνάρτηση f σε καθένα των διαστημάτων (, ), (, ) και (, + ) είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το R, η εξίσωση f() α, έχει ακριβώς τρεις ραγματικές ρίζες, αό μια σε καθένα αό τα διαστήματα του εδίου ορισμού της f. 6. Για κάθε R είναι f ( ) α Η f είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με Δ 6 α ( α). Για α, η f έχει διλή ρίζα την. Εειδή η f είναι συνεχής για και ισχύει f () > για κάθε, η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε R. Για α < η f έχει δύο ρίζες ραγματικές και άνισες και άρα αλλάζει ρόσημο στο R. Εομένως, για α < η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R. Για α > η f δεν έχει ρίζες στο R και εειδή α > θα ισχύει f () > για κάθε R. Εομένως, για α > η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R μόνο όταν α. 7

109 .6 7. i) Έχουμε f ( ) ( ηµ συν) συν συν+ ηµ ηµ. Για, είναι f () > και αφού η f είναι συνεχής στο, θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. ii) Εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, για κάθε, με < < θα είναι f() < f(), δηλαδή ημ συν >. iii) Για κάθε, ισχύει συν ηµ f ( ) < (λόγω της ii), οότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. 8. i) Η f είναι συνεχής στο,, ως άθροισμα συνεχών και για κάθε, ισχύει: συν συν + f ( ) συν + συν συν συν συν συν + συν ( συν) ( συν ) συν συν ( συν)( συν συν ) ( συν ) ( συν+ ) >. συν συν Εομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. ii) Εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, για κάθε < ισχύει f () f( ). Αλλά f(), οότε για κάθε, ισχύει: ηµ + εϕ ηµ + εϕ. 8

110 .7.7 Α ΟΜΑΔΑΣ. Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο R, τα τοικά ακρότατα θα αναζητηθούν μεταξύ των ριζών της εξίσωσης f (), δηλαδή των, και. Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f() Τ.Μ. Δηλαδή η f, στο αρουσιάζει τοικό μέγιστο και στο αρουσιάζει τοικό ελάχιστο. Τ.Ε.. α) i) Για κάθε R είναι f ( ) 6+ ( ). Η f() έχει ακριβώς μια ρίζα την l. Το ρόσημο της f, η μονοτονία της f και τα όριά της στο και + φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f() + Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii) Για κάθε R είναι g ( ). Οι ρίζες της g () είναι και. Το ρόσημο της g, η μονοτονία της g, τα ακρότατα και τα όριά της στο, + φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + g () g() T.M. T.E. + Δηλαδή η g αρουσιάζει: 9

111 .7 στο τοικό μέγιστο το g( l) 4 και στο τοικό ελάχιστο το g(l). iii) Για κάθε R είναι h ( ) ( ). Οι ρίζες της είναι και. Το ρόσημο της h, η μονοτονία και τα ακρότατα της h καθώς και τα όριά της στο και + φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + h () Τ.Μ. h() T.E. Δηλαδή η h αρουσιάζει: στο τοικό μέγιστο, το h() και στο τοικό ελάχιστο, στο h(). β) i) Εειδή η f( ) + + είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R και lim f( ) lim ( ), lim f( ) lim ( ) +, + + το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (, + ), δηλαδή το R. Εομένως θα υάρχει R τέτοιο, ώστε f(), δηλαδή η εξίσωση + + θα έχει μια τουλάχιστον ραγματική ρίζα. Αυτή είναι μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii) Η συνάρτηση g ( ) +. Στο (, ] είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα και εειδή lim g ( ) lim ( ) και g( l) 4, το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το (, 4 ]. Άρα στο (, ] η εξίσωση + έχει ακριβώς μια ρίζα. Στο [,] είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Άρα το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το [g(l), g( l)] [,4], οότε στο διάστημα [,] η εξίσωση + έχει ακριβώς μια ρίζα την. Στο [, + ) είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα και εειδή lim g ( ) lim ( ) + και g(l), το σύνολο τιμών της στο διάστημα + +

112 .7 αυτό είναι το [, + ). Άρα στο [, + ) η εξίσωση + έχει ακριβώς μια ρίζα την ου βρήκαμε και ριν. Εομένως, η εξίσωση έχει στο R δύο άνισες ρίζες. iii) Αν εργαστούμε για τη συνάρτηση h( ), όως και για τις συναρτήσεις f και g, βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει μια ακριβώς λύση στο R ου βρίσκεται στο διάστημα [, + ).. i) Για < η f είναι συνεχής ως ολυωνυμική. Για > η f είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Για έχουμε lim f( ) lim, lim f( ) lim e και f(). + Εομένως η f είναι συνεχής στο R. Έχουμε:, < f ( ). e, > Η f μηδενίζεται στο. Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() T.E. Δηλαδή η f αρουσιάζει στο τοικό ελάχιστο το f() και στο τοικό μέγιστο το f(). ii) Για < η g είναι συνεχής ως ολυωνυμική Για > η g είναι είσης συνεχής. Για έχουμε: T.M. lim g ( ) lim( + ) lim g ( ) lim( + 4+ ) και g(). + +

113 .7 Εομένως η g είναι συνεχής σ όλο το R. Έχουμε:, < g ( ). 4, > Η g μηδενίζεται στο. Το ρόσημο της g, η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + g () + g() min Δηλαδή η g αρουσιάζει στον ελάχιστο το g(). 4. i) Για κάθε R είναι f ( ) e. Έχουμε f ( ) e. Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() min Δηλαδή η f αρουσιάζει στο ελάχιστο το f(). ln ii) Για > έχουμε f( ) e. Εομένως ln f ( ) e ( ln ) (ln + ). Έχουμε: f ( ) (ln + ) ln. e Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα.

114 .7 + e f () + f() Δηλαδή η f αρουσιάζει στο e e min ελάχιστο το f e e e e. 5. Η συνάρτηση f αραγωγίζεται στο R με f ( ) α + β. Για να αρουσιάζει η f ακρότατα στα και, ρέει: f ( ) α β 6α 6 α f () α + β 4β β (Προσθέσαμε και αφαιρέσαμε κατά μέλη τις εξισώσεις). Για τις τιμές αυτές των α, β η f γράφεται f( ) + και έχει αράγωγο f ( ). Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f() T.M. T.E. Δηλαδή για α και β η f αρουσιάζει στο τοικό μέγιστο το f ( ) και στο τοικό ελάχιστο το f(). 6. Έστω, m οι διαστάσεις σε m του ορθογωνίου οικοέδου με εμβαδόν Ε 4 m. Τότε y 4, οότε y 4. 4 m y Εομένως, η ερίμετρος P + y, ως συνάρτηση του, δίνεται αό τον τύο P ( ) , >. Για κάθε > έχουμε: P ( ) 4 4

115 οότε.7 P ( ) 4. Το ρόσημο της Ρ, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + P () + P() 8 min Δηλαδή η Ρ αρουσιάζει στο ελάχιστο το Ρ() 8. Εομένως το οικόεδο χρειάζεται τη μικρότερη ερίφραξη όταν. Αό την ισότητα y 4 για έχουμε και y, ου σημαίνει ότι το οικόεδο είναι τετράγωνο. 7. Έστω, y οι διαστάσεις σε m του οικοέδου με ερίμετρο 8 m. Τότε είναι + y 8, οότε y 4. Το εμβαδόν E y, ως συνάρτηση του, δίνεται αό τον τύο Ε() (4 ) με < < 4. Για κάθε (, 4 ) είναι Ε ( ) 4 οότε y Ε ( ). Το ρόσημο της Ε, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 4 Ε () + Ε() 4 4 ma Δηλαδή, το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν. Αό τη σχέση y 4 για έχουμε y, οότε το οικόεδο είναι τετράγωνο. 8. Ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως ρος τη δόση του φαρμάκου είναι h ( ) T ( ). 4 Για κάθε (,) είναι h ( ) 6 4, οότε

116 .7 h ( ) Το ρόσημο της h, η μονοτονία και τα ακρότατα της h φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 4 h () + 4 h() ma Δηλαδή, ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως ρος τη δόση του φαρμάκου γίνεται μέγιστος όταν 4 mgr. 9. i) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΖ, ΓΖΗ, ΔΗΘ και ΑΘΕ είναι ίσα. Εομένως ΓΖ, οότε ΒΖ. Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΖ έχουμε: ( EZ) + ( ) 4+ 4 ii) Το εμβαδόν Ε() του τεγραγώνου ΕΖΗΘ δίνεται αό την ισότητα Ε( ) ( ΕΖ ) 4 + 4, (, ). Μελετάμε τη συνάρτηση Ε ως ρος τα ακρότατα. Για κάθε (, ) είναι Ε ( ) 4 4 4( ), οότε Ε ( ). Το ρόσημο της Ε, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. Ε () + Ε() min Δηλαδή η Ε αρουσιάζει στο ελάχιστο το Ε(). Εομένως το εμβαδόν του ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο όταν, δηλαδή όταν τα Ε, Ζ, Η, Θ είναι μέσα των λευρών του ΑΒΓΔ.. Το κέρδος του εργοστασίου είναι: 5

117 .7 P ( ) Ε( ) Κ( ) , με [, 5]. Για κάθε [, 5 ] ισχύει P ( ) + 68, οότε P ( ) 6 ή. Το ρόσημο της Ρ, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 6 5 P () + P() 8 Τ.Μ. Τ.Ε. Τ.Μ. Τ.Ε. Εομένως το εργοστάσιο αρουσιάζει μέγιστο κέρδος, όταν έχει ημερήσια αραγωγή μονάδες..7 Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Είναι f ( ) συν. Η εξίσωση της f () στο διάστημα [,] έχει ρίζα το. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον ίνακα. / f () + f() + 9 ma Δηλαδή, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, γνησίως φθίνουσα στο, και αρουσιάζει: τοικό μέγιστο για, το f 9 + τοικό ελάχιστο για, το f() ελάχιστο για, το f(). 6

118 .7 ii) H εξίσωση ηµ γράφεται ισοδύναμα ηµ ηµ + f( ). Αό τον αραάνω ίνακα φαίνεται ότι Για, το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα +, 9, στο οοίο δεν εριέχεται το. Για,, το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα + 9,, στο οοίο εριέχεται το. Άρα η εξίσωση f() έχει μια ρίζα στο διάστημα, (, ) η οοία είναι και η μοναδική, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,.. i) Είναι f ( ) + >, για κάθε (, + ). Εομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο εδίο ορισμού της. Μια ροφανής ρίζα της f είναι το, η οοία είναι και μοναδική, στο διάστημα (, + ), αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Εειδή f(), λόγω της μονοτονίας της f, έχουμε ii) Είναι f() <, για (,) και f() >, για (, + ). ϕ ( ) ln (ln + ) f( ), (, + ). Το ρόσημο της φ (όως ροκύτει αό i)), η μονοτονία και τα ακρότατα της φ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + φ () + φ() min 7

119 .7 Άρα, η φ αρουσιάζει ελάχιστο για, το φ(). iii) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των C f και C g λύνουμε την εξίσωση g() h(). Έχουμε g ( ) h ( ) ln + ln + 4+ ϕ( ). Η τελευταία όως ροκύτει αό το ii) έχει μοναδική ρίζα το. Άρα οι C f, C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α(,). Εειδή g () ln + l και h () +, είναι g (l) l και h (). Άρα οι C f, C g έχουν κοινή εφατομένη στο κοινό τους σημείο Α.. i) α) Αρκεί να δείξουμε ότι e l >, για κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() e l, R. Είναι f () e, οότε f ( ) e. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον ίνακα. + f () + f() min Στο διάστημα [, + ) η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, για > ισχύει f() > f(), οότε e l >. β) Αρκεί να δείξουμε ότι e >. Θεωρούμε τη συνάρτηση g ( ) e, R, η οοία είναι συνεχής στο [, + ) και αραγωγίσιμη στο (, + ) με g () e l >, για (, + ) ((α) ερώτημα). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και εομένως για > ισχύει 8

120 .7 g() > g() οότε e >. ii) α) Αρκεί να δείξουμε ότι συν+ >. Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) συν+, R η οοία είναι αραγωγίσιμη στο R με f () ημ +. Εειδή για είναι ηµ <, έχουμε < ηµ <, οότε για > ισχύει ημ < και άρα ημ + >. Εομένως, f () > για κάθε >, οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Εομένως, για > ισχύει f() > f(). Άρα συν+ > για κάθε >. β) Αρκεί να δείξουμε ότι ηµ+ >. Θεωρούμε τη συνάρτηση 6 g ( ) ηµ +, R. 6 Έχουμε g ( ) συν+ f( ) (ερώτημα α). Όμως f() > για κάθε >, οότε g () > για κάθε >. Εομένως η g είναι γνησίως αύξουσα, στο [, + ), οότε για > ισχύει g() > g() ή, ισοδύναμα, ηµ+ >. 6 ν iii) α) Αρκεί να δείξουμε ( + ) ν >. Θεωρούμε τη συνάρτηση, Έχουμε f( ) ( + ) ν ν,. f ( ) ν( + ) ν ν ν ν[( + ) ] >, αφού + >, για >. 9

121 .7 Εομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αφού η f είναι και συνεχής στο. ν Άρα, για > ισχύει f() > f() ή, ισοδύναμα, ( + ) ν >, αφού f() (+) ν ν. β) Αρκεί να δείξουμε ότι: ν νν ( ) ( + ) ν Θεωρούμε τη συνάρτηση Έχουμε >. ν νν ( ) g ( ) ( + ) ν, ( ) g ( ) ν( + ) ν νν ν ν ν( + ) ν νν ( ). ν ν[( + ) ( ν ) ] >, λόγω της α). Εομένως είναι g () >, για (, + ) και εειδή η g είναι συνεχής στο, η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Άρα για > ισχύει g() > g() ή, ισοδύναμα, ν νν ( ) ( + ) ν >. 4. Εειδή η f αραγωγίζεται σ όλο το R, τα ακρότατα αυτής θα αναζητηθούν μόνο μεταξύ των ριζών της f (). Για κάθε R έχουμε: 6( f( )) f ( ) + 6f ( ) f ( )[( f( )) + ] + >. Εομένως η εξίσωση f () είναι αδύνατη στο R. Άρα η f δεν έχει ακρότατα. 5. Έστω α, β οι τετμημένες των κοινών σημείων των C f και C g. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() f() g() με [ αβ, ], η οοία αριστάνει την κατακόρυφη αόσταση των C f και C g. Το σημείο ξ είναι εσωτερικό σημείο του [α,β]. Σ αυτό η h αραγωγίζεται και έχει μέγιστο. Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα είναι:

122 .7 h ( ξ) f ( ξ) g ( ξ) f ( ξ) g ( ξ ). Άρα στα σημεία Α(ξ, f(ξ)), Β(ξ, g(ξ)) οι εφατομένες των C f και C g αντιστοίχως είναι αράλληλες. 6. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R με f ( ) ( α)( β) ( γ) + ( α) ( β)( γ) + ( α) ( β ) ( γ ). Προφανώς f ( α) f ( β) f ( γ ). () Η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στα διαστήματα [α,β] και [β,γ], αφού είναι συνεχής σ αυτά ως ολυωνυμική, αραγωγίσιμη στα (α,β) και (β,γ) και f( α) f( β) f ( γ ). Εομένως, υάρχουν ξ ( α, β ) και ξ β γ (, ) τέτοια, ώστε f ( ξ ) και f ( ξ ). Αό () και () ροκύτει ότι η f έχει έντε τουλάχιστον ρίζες τις α < ξ < β < ξ < γ. Εειδή η συνάρτηση f είναι ολυωνυμική έκτου βαθμού, η αράγωγός της είναι έμτου βαθμού. Άρα η εξίσωση f () δεν έχει άλλες, εκτός αό τις α, ξ, β, ξ, γ ρίζες στο R. Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον ίνακα. α ξ β ξ γ + f () Τ.Μ. Τ.Μ. f() Τ.Ε. Τ.Ε. Τ.Ε. Άρα η f έχει τρία τοικά ελάχιστα τα f(α), f(β) και f(γ) και δύο τοικά μέγιστα τα f(ξ ) και f(ξ ). 7. i) Έχουμε + 4y 4, οότε y 4. 4

123 .7 Έτσι έχουμε: Ε( ) Ε+ Ε + y ( ) ii) Για κάθε, 4 ισχύει Ε ( ) , οότε 6 ( ) ( ) ( ) Ε ( ) Το ρόσημο της Ε, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 4 Ε () + Ε() Ε( ) Δηλαδή, το εμβαδόν του σχήματος γίνεται ελάχιστο όταν η λευρά του 4 ισολεύρου τριγώνου είναι ( ) 9 4, 75 m. 8. i) Έστω Μ(, f()) το ζητούμενο σημείο της C f. Έχουμε ( ΜΑ) 9 9 ( ( )). + f + Η αόσταση ΜΑ γίνεται ελάχιστη, όταν γίνει ελάχιστο το τετράγωνό της, δηλαδή όταν άρει την ελάχιστη τιμή της η συνάρτηση 9 g ( ), + [, + ).

124 .7 Για κάθε [, + ) ισχύει g ( ) 9 + 8, οότε g ( ) 4. Το ρόσημο της g, η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 4 + g () + g() 7 Δηλαδή η g αρουσιάζει στο 4 ελάχιστο το g( 4). Εομένως η 4 οσότητα (AM) και άρα η (AM) γίνεται ελάχιστη όταν 4. Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(4,). ii) Για κάθε > ισχύει f ( ), οότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφατομένης ε στο σημείο Μ(4,) είναι λ ε f ( 4). 4 Ο συντελεστής διεύθυνσης της AM είναι: λ ΑΜ Εομένως, λ ε λ ΑΜ ( 4), ου σημαίνει ότι η εφατομένη ε είναι 4 κάθετη στην AM. 9. Έστω (AΒ) και (ΒΓ) y οι διαστάσεις του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Τότε η ερίμετρος του στίβου θα είναι ίση με + y και εομένως θα ισχύει + y 4 y. Το εμβαδόν του ορθογωνίου AΒΓΔ είναι 7 4 Ε ( ) y ( ) + 4.

125 .7 Για κάθε, είναι Ε () 4 + 4, οότε Ε ( ). Το ρόσημο της Ε, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + Ε () + Ε() ma Δηλαδή η Ε αρουσιάζει στο μέγιστο το Ε.. Εομένως, το ορθογώνιο τμήμα του στίβου γίνεται μέγιστο, όταν οι διαστάσεις του είναι: ( ΑΒ ) m και ( ΒΓ ) m.. Έστω ( > ) ο αριθμός των ατόμων ου θα δηλώσουν συμμετοχή. Τότε, το οσό ου θα ληρώσει κάθε άτομο ροκύτει αν αό τα ευρώ αφαιρέσουμε το οσό της έκτωσης, το οοίο ανέρχεται σε ( ) 5 ευρώ, δηλαδή κάθε άτομο θα ληρώσει: ( ) ευρώ. Εομένως, τα έσοδα της εταιρείας αό τη συμμετοχή των ατόμων θα είναι: Ε ( ) ( 5 5) Για κάθε > έχουμε Ε ( ) + 5, οότε Ε ( ) 5. Το ρόσημο της Ε φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της Ε και τα ακρότατα αυτής. 5 + Ε () + Ε().5 ma 4

126 .7 Δηλαδή, η Ε αρουσιάζει στο 5 μέγιστη τιμή την Ε(5).5. Εομένως, ρέει να δηλώσουν 5 άτομα συμμετοχή στην κρουαζιέρα για να έχουμε τα ερισσότερα έσοδα.. Έχουμε r () t 5,, οότε r () t (, 5t) και άρα r() t 5, t+ c. Όμως r (), οότε r () t 5, t +. Ομοίως r () t 4, t + 5. i) Το εμβαδόν δακτυλίου θα μηδενιστεί όταν r() t r() t +, 5t 5+, 4t, t t. Άρα, ύστερα αό s το εμβαδόν του δακτυλίου θα μηδενιστεί. ii) Το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου, ως συνάρτηση του χρόνου t, είναι Ε () t r () t r () t ( 5+, 4t) ( +, 5t). Έχουμε Ε () t ( 5+ 4, t), 4 ( + 5, t), 5 (, +, 6t, 5, 5t) (, 5, 9t). Είναι Ε () t t 556, s. Το ρόσημο της Ε, η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον ίνακα. t 55,6 Ε (t) + Ε(t) ma Άρα, τη χρονική στιγμή t 55,6 s το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου θα μεγιστοοιηθεί.. i) Η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ είναι σχήματος τραεζίου. Αό το τρίγωνο ΗΒΓ έχουμε ΗΒ ημθ και ΗΓ συνθ. Εειδή το τραέζιο είναι ισοσκελές, ισχύει 5

127 .7 ΔΘ ΓΗ συνθ και ΔΓ + συνθ + συνθ + 4 συνθ. Το εμβαδόν του τραεζίου ΑΒΓΔ είναι ΑΒ + Γ E + + 4συνθ ΗΒ ηµ θ ( 4+ 4συνθ) ηµ θ 4ηµ θ( + συνθ). ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση Ε ( θ) 4ηµ θ( + συν θ ), θ,. Είναι Έχουμε Ε ( θ) 4συνθ( + συνθ) + 4ηµ θ( ηµ θ ) 4συν θ 4ηµ θ + 4συνθ 4συν θ 4( συν θ) + 4συνθ 8συν θ + 4συνθ 4 4 ( συν θ + συνθ ). Ε ( θ) συν θ + συνθ συνθ 6 ή συνθ θ, εειδή θ,. Το ρόσημο της Ε καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον ίνακα. θ / Ε (θ) + Ε(θ) ma Εομένως, όταν θ το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, ου σημαίνει ότι τότε το κανάλι θα μεταφέρει τη μέγιστη οσότητα νερού.

128 .7. i) Έστω t ο χρόνος ου χρειάζεται ο κολυμβητής για να κολυμήσει αό το Κ στο Μ και t ο χρόνος ου χρειάζεται για να ερατήσει αό το Μ στο Σ. Έχουμε t ( KM ) υ + και t ( ΜΣ ). υ 5 Εομένως, ο συνολικός χρόνος για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ είναι ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι + Τ ( ) Τ ( ) +, 5 Τ ( ). + 5 (, ). Οι ρίζες της Τ () είναι το 75. Το ρόσημο της Τ η μονοτονία και τα ακρότατα της Τ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 75 Τ () + Τ() Τ(75) min Δηλαδή, η συνάρτηση Τ αρουσιάζει ελάχιστο για 75 ft. Άρα, όταν 75ft, τότε ο κολυμβητής χρειάζεται το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σίτι του. 4. Έστω ρ η υκνότητα του κανού ου εκέμει το εργοστάσιο Ε και ρ η υκνότητα του κανού ου εκέμει το εργοστάσιο Ε. Έχουμε ρ ( ) k P και ρ 8 ( ) k P ( ), k R. 7

129 .7 Η υκνότητα του κανού στη θέση Σ είναι ρ( ) ρ ( ) + ρ ( ) k P 8P + k ( ) 8 kp +. ( ) Η συνάρτηση 8 ρ( ) kp +, (, ) ( ) είναι αραγωγίσιμη με Έχουμε 6 ( ) ρ ( ) kp + 4 ( ) 4 6 kp +. ( ) 6 ρ ( ) + ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Το ρόσημο της ρ, η μονοτονία και τα ακρότατα της ρ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. 4 ρ () + ρ() Δηλαδή, η υκνότητα ρ γίνεται ελάχιστη, όταν 4. Άρα, ο εργολάβος για να έχει τη λιγότερη ρύανση ρέει να χτίσει το σίτι του σε αόσταση 4 km αό το εργοστάσιο Ε. min

130 .8.8 Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Για κάθε R ισχύει οότε 4 f ( ) 5 και f ( ) ( ), f ( ) (διλή) ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() Σ.Κ. Δηλαδή η f είναι κοίλη στο (, ] και στο [,] και κυρτή στο [, + ). Το σημείο είναι θέση σημείου καμής. Εομένως το σημείο Α(,) είναι σημείο καμής της C f. ii) Για κάθε R * ισχύει: και οότε 6 4 ( ) 6 g ( ) ( 6 ) 6( 4) g ( ) 8 5, g ( ) ή. Το ρόσημο της g φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. + g () + + g() Σ.Κ. Σ.Κ. Δηλαδή, η g στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω στα διαστήματα [,) και [, + ), ενώ ρος τα κάτω στα διαστήματα (, ] και (,]. Εειδή η g μηδενίζεται στα σημεία, και εκατέρωθεν αλλάζει ρόσημο τα σημεία Α, 5 και 4 9

131 .8 Β, 5 4 είναι σημεία καμής της C. g. i) Για κάθε R ισχύει οότε f ( ) e e και f ( ) e ( ), f ( ). Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. + f () + f() Δηλαδή, η f στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο (, ] και ρος τα άνω στο [, + ). Εειδή η f μηδενίζεται στο σημείο και εκατέρωθεν αλλάζει ρόσημο, το σημείο Α, e είναι σημείο καμής της C. f ii) Για κάθε (, + ) ισχύει: e Σ.Κ. και οότε g ( ) ( ln 5) + 4(ln ) g ( ) 4(ln ) + 4 4(ln ), g ( ) ln e. Το ρόσημο της g φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. e + g () + g() e Σ.Κ.

132 .8 Δηλαδή, η g στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο διάστημα (,e] και ρος τα άνω στο [ e, + ). Εειδή η g μηδενίζεται στο σημείο e και εκατέρωθεν αλλάζει ρόσημο, το σημείο A(e, e ) είναι σημείο καμής της C g. iii) Για κάθε < ισχύει h () 6. Για κάθε > ισχύει h () + 6 Στο έχουμε: lim ( ) ( ) hh + lim και lim ( ) ( ) hh + + lim lim ( ( )) Εομένως, η h αραγωγίζεται στο με h (). Άρα 6, < h ( ). + 6, 6, < Για έχουμε h ( ), 6+ 6, > οότε h ( ). Το ρόσημο της h φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. + h () + h() Σ.Κ. Σ.Κ. Δηλαδή, η h στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στα διαστήματα (, ] και [, + ) και ρος τα άνω στο [,]. Εειδή το είναι εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού της h και h (), η C h έχει εφατομένη στο σημείο (,) και εειδή η h εκατέρωθεν του αλλάζει ρόσημο, το σημείο Α(,) είναι σημείο καμής της C h. Εειδή η h μηδενίζεται στο και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει ρόσημο, το σημείο Β(,) είναι σημείο καμής της C h.

133 .8. i) Για κάθε R ισχύει f ( ) e και f ( ) e ( e ) e ( ), οότε f ( ) ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f() Σ.Κ. Σ.Κ. Δηλαδή, η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω σε καθένα αό τα διαστήματα,,. και, +, ενώ στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο διάστημα Εειδή η f μηδενίζεται στα σημεία, ρόσημο, τα σημεία Α ii) Για κάθε, e, Β, ισχύει g ( ) συν,e και εκατέρωθεν αυτών αλλάζει είναι σημεία καμής της C. f και συν( ηµ ) ηµ g ( ), οότε 4 συν συν g ( ) ηµ. Το ρόσημο της g φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. / / g () + g() Σ.Κ.

134 .8 Δηλαδή, η g στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο,, ενω στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω στο,. Εειδή η g μηδενίζεται στο σημείο και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει ρόσημο, το σημείο Ο(,) είναι σημείο καμής της C g., iii) Είναι h ( )., < Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R ως γινόμενο συνεχών. Έχουμε:, > h ( ), < και, > h ( )., < Για είναι lim ( ) ( ) hh lim, + + lim ( ) ( ) hh lim. Άρα h (). Αό το ρόσημο της h ροκύτει ότι η h είναι κυρτή στο [, + ), κοίλη στο (, ] και το σημείο Ο(,) είναι σημείο καμής. iv) Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών. Έχουμε ϕ( ),,, <, 4 και ϕ ( ), 4, ϕ ( ), >. < > < Η αράγωγος της φ στο σημείο θα αναζητηθεί με τη βοήθεια του ορισμού.

135 .8 ϕ Για >, είναι lim ( ) ϕ ( ) lim lim ϕ Για <, είναι lim ( ) ϕ ( ) lim lim. Άρα, η φ δεν αραγωγίζεται στο. Όμως η C φ δέχεται εφατομένη στο Ο(,φ()), την κατακόρυφη. Το ρόσημο της φ, καθώς τα κοίλα και τα κυρτά της φ φαίνονται στον ίνακα. + φ () φ() Άρα το σημείο Ο(,) δεν είναι σημείο καμής της C φ, αφού εκατέρωθεν του η φ δεν αλλάζει ρόσημο. v) Η συνάρτηση ψ για < και για > είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών. Ισχύει lim ψ ( ) lim ( ), lim ψ ( ) lim και ψ(). + + Άρα η ψ είναι συνεχής και στο. Έχουμε, ψ ( ), Στο έχουμε <, < 4 και ψ ( ). >, > 4 ψ lim ( ) ψ ( ) lim lim και ψ lim ( ) ψ ( ) lim lim. + 4

136 .8 Εομένως η ψ δεν αραγωγίζεται στο. Εειδή η ψ είναι συνεχής στο, η C ψ δέχεται εφατομένη στο σημείο της Ο(,) την κατακόρυφη ευθεία. Το ρόσημο της ψ φαίνεται στον ίνακα. + ψ () + ψ() Σ.Κ. Δηλαδή, η ψ είναι κυρτή στο (, ] και κοίλη στο [, + ). Εειδή εκατέρωθεν του η ψ αλλάζει ρόσημο και η C ψ δέχεται εφατομένη στο σημείο Ο(,), το σημείο αυτό είναι σημείο καμής της C ψ. 4. Η f στο [,] είναι συνεχής ως αραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει f ( ) > για κάθε (,). Εομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,]. Ομοίως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,4], γνησίως αύξουσα στο [4,8] και γνησίως φθίνουσα στο [8,]. Η f στο [,] είναι συνεχής και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,). Εομένως η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω στο [,]. Ομοίως η f στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο [,] τα κοίλα ρος τα άνω στο [,5] τα κοίλα ρος τα κάτω στο [5,6] τα κοίλα ρος τα άνω στο [6,7] και τα κοίλα ρος τα κάτω στο [7,]. Πιθανές θέσεις τοικών ακροτάτων είναι τα σημεία, 4, 6, 8 ου είναι εσωτερικά σημεία του εδίου ορισμού της f και στα οοία μηδενίζεται η f, καθώς και τα σημεία, ου είναι άκρα του εδίου ορισμού της f. Οι αριθμοί, 8 είναι θέσεις τοικών μεγίστων, ενώ οι αριθμοί, 4, είναι θέσεις τοικών ελαχίστων. Ο αριθμός 6 δεν είναι θέση τοικού ακροτάτου αφού η f δεν αλλάζει ρόσημο εκατέρωθεν αυτού. 5

137 .8 Τέλος, τα σημεία,, 5, 6, 7 είναι θέσεις σημείων καμής. 5. i) Εειδή η συνάρτηση S είναι γνησίως φθίνουσα στο [,t ], το κινητό για t [, t ] κινείται κατά την αρνητική φορά. Εειδή η S είναι γνησίως αύξουσα στο [ t, + ), το κινητό για t t κινείται κατά τη θετική φορά. ii) Είναι γνωστό ότι η ταχύτητα του κινητού είναι υ( t) S () t και ότι τις χρονικές στιγμές h η C αρουσιάζει καμή. Αό το σχήμα ροκύτει ότι: Στο διάστημα [,t ] η S στρέφει τα κοίλα κάτω και άρα η S () t υ () t είναι γνησίως φθίνουσα σ αυτό. Δηλαδή η ταχύτητα στο [,t ] μειώνεται. Στο διάστημα [t,t ] η S στρέφει τα κοίλα άνω και άρα η S () t υ () t είναι γνησίως αύξουσα σ αυτό. Δηλαδή η ταχύτητα στο [t,t ] αυξάνεται. Ομοίως ροκύτει ότι η ταχύτητα στο [ t, + ) μειώνεται. t t t + υ(t) Δηλαδή, η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται στο διάστημα [t,t ] και στα διαστήματα [,t ] και [, + ) μειώνεται. t.8 Β ΟΜΑΔΑΣ. Για κάθε R ισχύει: + f ( ) ( + ) ( + ) και + + ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ), οότε 4 ( + ) ( + ) f ( ) ή ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. 6

138 .8 + f () + + f() 4 Σ.Κ. Σ.Κ. 4 Σ.Κ. Εειδή η f μηδενίζεται στα, και ρόσημο, τα σημεία Α της C f., 4, Β(,) και Γ, και εκατέρωθεν αυτών αλλάζει 4 είναι σημεία καμής Εειδή τα σημεία Α και Γ έχουν αντίθετες συντεταγμένες θα είναι συμμετρικά ως ρος την αρχή των αξόνων ου είναι το σημείο Β.. Για κάθε R ισχύει: οότε α f ( ) e και f ( ) e α α ( e ), f ( ) e α α. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. α + f () + f() α Σ.Κ. Εειδή η f μηδενίζεται στο σημείο α και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει ρόσημο, το σημείο Α( α, α ), α R είναι σημείο καμής της C f. Το σημείο αυτό βρίσκεται στην αραβολή y +, αφού α α +.. Για κάθε R ισχύει: f ( ) 4 6α + + και f ( ) α+ ( α+ ). Παρατηρούμε ότι η f είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με Δ α 4 <, αφού α (, ). Εομένως, f () > για κάθε R. 7

139 .8 Άρα η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω σ όλο το R. 4. i) Για κάθε R ισχύει οότε και οότε f ( ) 6 ( ), f ( ) ή f ( ) 6 6 6( ), f ( ). Το ρόσημο των f και f, τα τοικά ακρότατα και τα σημεία καμής φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. + f () + + f () + + f() T.M. Σ.Κ. T.E. Δηλαδή, η f αρουσιάζει: στο σημείο τοικό μέγιστο το f() και στο σημείο τοικό ελάχιστο το f(). Εειδή η f μηδενίζεται στο και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει ρόσημο το σημείο Γ(,) είναι σημείο καμής της C f. ii) Για να δείξουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι λ ΑΒ λ ΑΓ. Έχουμε: λ ΑΒ και λ ΑΓ. Άρα λ ΑΒ λ ΑΓ. 5. Είναι: f( ) f ( ) f ( ) + 8

140 .9 οότε έχουμε διαδοχικά f( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f( ) f ( ) f ( ) + ( f ( )) + f ( )( f( ) ) +. Έστω ότι το σημείο είναι θέση σημείου καμής. Τότε ισχύει f ( ), οότε ( f ( )) + f ( )( f( ) ) + ή ισοδύναμα ( f ( )) + ου είναι άτοο. Άρα η f δεν έχει σημεία καμής..9 Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Είναι lim f( ) lim και lim f( ) lim, οότε η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. ii) Είναι: lim f( ) lim εϕ + + lim ηµ, + συν αφού lim + και lim ηµ. + συν + Άρα η είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. Ομοίως αφού lim f( ) lim εϕ lim ηµ +, συν lim συν + και lim ηµ. 9

141 .9 Άρα η είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. iii) Είναι: + lim f( ) lim lim ( )( ) lim( ). Εομένως, η ευθεία l δεν είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. iv) Είναι lim f( ) lim και lim f( ) lim Εομένως, η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f.. i) Έχουμε: + + lim f( ) lim lim, οότε η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο lim f( ) lim, οότε η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f + και στο. ii) Έχουμε: ( ) lim f( ) lim + lim lim lim, οότε η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο +. lim f( ) lim + lim + + +, οότε η C f δεν έχει οριζόντια ασύμτωτη στο. 4

142 .9. i) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το (, ) (, + ). Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο είναι της μορφής y λ + β, όου λ lim ( ) f lim lim και β lim( f( ) λ) lim lim. Δηλαδή, είναι η ευθεία y. Ομοίως βρίσκουμε ότι η ευθεία y είναι ασύμτωτη της C f και στο +. Κατακόρυφες ασύμτωτες Είναι: lim f( ) lim + και lim f( ) lim, + + οότε η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. ii) H f έχει εδίο ορισμού το (, ) (, + ). Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο είναι της μορφής y λ + β, όου λ lim ( ) f lim και β lim( f( ) λ) lim lim. Δηλαδή, είναι η ευθεία y +. Ομοίως, η ευθεία y + είναι λάγια ασύμτωτη της C f και στο +. Κατακόρυφες ασύμτωτες Είναι 4

143 .9 lim f( ) lim και lim f( ) lim +, + + οότε η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. iii) Η f έχει εδίο ορισμού Α (, ) [, + ). Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο είναι της μορφής y λ + β, όου + + λ lim ( ) f lim lim και ( ) β lim( f( ) λ) lim + + lim Δηλαδή είναι η ευθεία y + + lim lim Ομοίως βρίσκουμε ότι η ευθεία y Κατακόρυφες ασύμτωτες + είναι ασύμτωτη της C στο +. f Η C f δεν έχει κατακόρυφη ασύμτωτη, αφού στο και στο είναι συνεχής. 4. i) Εειδή lim( ηµ ), limln( + ) και έχουμε lim ( ηµ ) lim lim( ), (ln( + )) συν + συν + ηµ lim. ln( + ) 4

144 .9 ii) Εειδή lim( συν ), lim 4 και lim ( ) συν ηµ ηµ lim lim. 4 ( ) 4 έχουμε: συν lim. 4 iii) Εειδή lim( ηµ ), lim( συν ) και lim ( ηµ ) lim lim ( ) ( ) συν συν ηµ lim συν ηµ ( ηµ) συν έχουμε: ηµ lim. συν.9 Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Αρκεί να δείξουμε ότι Πράγματι έχουμε lim lim( f( ) + + ). lim( f( ) + + ) lim ( ) + + ( + ) lim + + ( + ) + + lim lim Αρκεί να δείξουμε ότι Πράγματι έχουμε lim( f( ) ( + )). + lim( f( ) ( + )) lim + + ( + ) + + ( )

145 .9 ii) Έχουμε lim ( + ) lim ( + ) lim lim Εομένως: Κοντά στο είναι + + > + + ( + ) f( ) + + > ( + ) + (αφού < ) ου σημαίνει ότι η C f βρίσκεται άνω αό την ασύμτωτη y Κοντά στο + είναι f( ) + + > ( + ) + + (αφού < ) ου σημαίνει ότι η C f βρίσκεται άνω αό την ασύμτωτη y +.. i) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το R. Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Εειδή λ lim ( ) f lim lim lim αφού lim lim + και lim, η C f δεν έχει λάγια ασύμτωτη στο. Η ασύμτωτη της C f στο + είναι της μορφής y λ + β, όου λ lim ( ) f lim lim lim ( ) ( ) ln και 44

146 .9 β lim( ( ) λ ) lim lim ( ) f lim ( ) + ln + + lim ( ) lim. ( ln ) ln Δηλαδή, είναι η ευθεία y. ii) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το (, + ). Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο + είναι της μορφής y λ + β, όου f λ lim ( ) lim ln lim (ln ) lim ( ) + lim και + β λ lim( ( ) ) lim ln lim (ln ) f lim ( ) + Δηλαδή, είναι η ευθεία y. Κατακόρυφες ασύμτωτες Εειδή lim ln lim ln. + + Η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f.. Αρχικά θα ρέει η f να είναι συνεχής στο, δηλαδή θα ρέει να ισχύει: Έχουμε lim f( ) lim f( ) f ( ). + β lim f( ) lim ( ηµ + α) α, lim f( ) lim e και f() α. + + Εομένως ρέει να είναι α, δηλαδή η συνάρτηση f θα είναι της μορφής ηµ +, f( ) () β e, > 45

147 .9 Για α η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, άρα δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Εξετάζουμε τώρα, για οιες τιμές του β η συνάρτηση () είναι αραγωγίσιμη στο. Για < έχουμε f ( ) f ( ) ηµ + ηµ, οότε f lim ( ) f ( ) ηµ lim. Για > έχουμε f f β ( ) ( ) e, οότε lim ( ) ( ) β lim lim ( β f f e e ) β lim + + e β β + ( ) +. Εομένως, η f αραγωγίζεται στο, αν και μόνο αν β και α. 4. i) Για < η f είναι συνεχής ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Για έχουμε lim ln lim ( ln ) lim ln ( ) + και f(). Εομένως η f είναι συνεχής στο εδίο ορισμού της. ii) Για < έχουμε: ln f( ) f () ln + +, ( ) οότε f lim ( ) f () + ln lim lim ( + ln ) ( ) ( ( )) + ln + lim lim ln ( ) ( ) lim (ln ) lim. ( ( )) 46

148 .9 Άρα f (). 5. i) Για η f είναι συνεχής ως σύνθεση και ηλίκο συνεχών. Για έχουμε lim ( ) lim ln( + f ) + lim lim ( ) +. Εειδή f() lim f( ), η f είναι συνεχής στο. Είναι ln( + ) f lim ( ) f () lim + lim ln( ) ( ) + lim ( ) lim. ( ) ( )( + ) Άρα f (). Εομένως η f είναι συνεχής και αραγωγίσιμη στο. ii) Είναι ln lim g ( ) lim, lim g ( ) lim και g(). Άρα η g είναι συνεχής στο. Για < έχουμε lim ( ) () gg lim lim( ). + Για > έχουμε 47

149 .9 ln lim ( ) () + gg lim lim ln ( ) lim + lim. + + ( ) Εειδή g lim ( ) g () g lim ( ) g (), + η συνάρτηση g δεν είναι αραγωγίσιμη στο. 6. i) Εειδή lim( e ) και lim, έχουμε e e lim lim. Εειδή lim, και limln, έχουμε lim( ln ) lim ln + + lim lim ( ). + + ii) Έχουμε e lim f( ) lim ( e )ln lim ( ln ) e lim lim ( ln ) + + σύμφωνα με το ερώτημα i). Εειδή f( ) lim f( ), η f είναι συνεχής στο. + iii) Είναι lim ( ) ( ) lim ( )ln f f e e lim lim + + ln

150 . f Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και lim ( ) f ( ), + δέχεται εφατομένη στο Ο(,) την ευθεία με εξίσωση. η C f. A ΟΜΑΔΑΣ. i) Η f έχει εδίο ορισμού το A R. Η f είναι συνεχής ως ολυωνυμική Για κάθε R ισχύει f ( ) 6 9 ( ), οότε f ( ) ή. Το ρόσημο της f δίνεται αό τον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της f και τα τοικά ακρότατα αυτής. + f () f() T.M. 6 T.E. Εξάλλου για κάθε R ισχύει f ( ) 6 6, οότε f ( ). Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία η C f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω και τα σημεία καμής. + f () + f() Σ.Κ. Είναι lim f( ) lim ( 9+ ) lim +, lim f( ) lim ( 9+ ) lim. Η C f δεν έχει ασύμτωτες στο + και, αφού η f είναι ολυωνυμική τρίτου βαθμού. Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. 49

151 . + f () + + f () + + f() 6 T.M. Σ.Κ. 6 T.E. + ii) Η f ορίζεται στο Α (, ) (, + ) Η f είναι συνεχής στο Α, ως ρητή. Για κάθε Α ισχύει f ( ) ( ), οότε f ( ) για κάθε Α. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της f. + f () f() Για κάθε Α ισχύει f ( ) ( ) 4 ( ) ( ). 4 Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω και τα σημεία καμής. + f () + f() 5

152 . + Είναι lim f( ) lim, οότε η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο. Ομοίως lim f( ), οότε η y είναι οριζόντια ασύμτωτη και στο Είσης lim f( ) lim, lim f( ) +, οότε η ευθεία είναι + κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. + f () f () + f() + iii) Η f ορίζεται στο Α R. Η f είναι συνεχής στο R ως ολυωνυμική. Για κάθε R ισχύει f ( ) ( ), οότε f ( ) ή ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοικά ακρότατα της f. + f () + + f() T.E. T.Μ. T.E. Για κάθε R ισχύει f ( ) 4 4( ), οότε f ( ) 5 ή.

153 . Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω και τα σημεία καμής. + f () + + f() 5 9 Σ.Κ. 5 9 Σ.Κ. 4 4 Είναι lim f( ) lim ( ) lim +. 4 lim f( ) lim Η C f δεν έχει ασύμτωτες στο, +, αφού είναι ολυωνυμική τετάρτου βαθμού. Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. + f () f () f() T.M. 9 9 T.E. Σ.Κ. Σ.Κ. T.E. Σχόλιο Εειδή για κάθε R ισχύει f( ) ( ) 4 ( ) 4 f( ), 5

154 . η f είναι άρτια, οότε η γραφική της αράσταση είναι συμμετρική ως ρος τον άξονα των y.. i) Η f ορίζεται στο A R*. Η f είναι συνεχής στο R*, ως ρητή. Για κάθε R * ισχύει f ( ), οότε f ( ) ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f. + f () + + f() T.Μ. 5 T.Ε. ( ) Για κάθε R* ισχύει f ( ), οότε 4 f () για κάθε R*. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία C f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω. + f () + f() Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο είναι της μορφής y λ + β, όου f λ lim ( ) lim + και β lim( f ( ) λ ) lim + lim. Δηλαδή, είναι η ευθεία y. Ομοίως, αοδεικνύεται ότι η ευθεία y είναι ασύμτωτη της C f στο +.

155 . Κατακόρυφες ασύμτωτες Είναι lim f( ) lim + και lim f( ) lim Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. Είσης έχουμε: + lim f( ) lim lim και + lim f( ) lim lim Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. + f () + + f () f() T.Μ. T.Ε. Σχόλιο Εειδή για κάθε R* ισχύει ( ) f( ) + + f( ), 54

156 . η f είναι εριττή, οότε η γραφική της αράσταση είναι συμμετρική ως ρος την αρχή Ο. ii) Η f ορίζεται στο Α (, ) (, + ) Η f είναι συνεχής στο Α, ως ρητή. Για κάθε Α ισχύει ( )( ) ( ) + f ( ), ( ) ( ) οότε f () > για κάθε Α. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f. + f () + + f() Για κάθε Α ισχύει: ( )( ) ( )( + ) 4 f ( ) ( ) ( ), 4 οότε το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία η C f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω. + f () + f() Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο είναι της μορφής y λ + β, όου λ lim ( ) f lim και β lim( f( ) λ) lim lim. 55

157 . Δηλαδή, είναι η ευθεία y. Ομοίως, η y είναι ασύμτωτη της C f στο +. Κατακόρυφες ασύμτωτες Είναι lim f( ) lim + και lim f( ) lim. + + Άρα, η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. Είσης έχουμε: lim f( ) lim και lim f( ) +. + Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. + f () + + f () + f() + +. Είναι Α [,] Η f είναι συνεχής στο Α ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Για κάθε Α ισχύει f () +συν, οότε 56

158 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ f ( ) ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της f και τα ακρότατα αυτής. + f () + f() Για κάθε Α ισχύει f () ημ, οότε f ( ) ή ή. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω και τα σημεία καμής. f () + f() Σ.Κ. Είναι f( ) και f() Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. f () + + f () + f() min Σ.Κ. ma ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ. i) Για κάθε (, + ) ισχύει: f ( ) και g ( ), 57

159 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ οότε f () και g (l). Το σημείο Α(,) είναι κοινό σημείο των C f και C g, αφού f() και g(l) l. Εειδή ισχύει f () g (l), οι εφατόμενες των C f, C g στο (,) ταυτίζονται. ii) Για να βρούμε τη σχετική θέση των C f και C g βρίσκουμε το ρόσημο της διαφοράς ( ) ϕ( ) g ( ) f ( ) +. Έχουμε: φ() <, για κάθε (,) και φ() > για κάθε (, + ). Εομένως: η C f είναι άνω αό την C g, όταν (,) και η C g είναι άνω αό την C f, όταν (, + ) (σχήμα).. Θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ( ) f( ) g( ). Για κάθε R ισχύει ϕ ( ) f ( ) g ( ) >, οότε η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R. Εομένως: Για > θα είναι: ϕ( ) > ϕ( ) f( ) g( ) > f( ) g( ) f( ) > g( ), αφού f() g() και Για < θα είναι ϕ( ) < ϕ( ) f( ) g( ) < f( ) g( ) f( ) < g( ), αφού f() g(). 58

160 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ. Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΜ έχουμε: Είναι όμως (ΒΓ) (ΒΜ) ημθ και (ΒΜ) ημθ και (ΟΜ) συνθ. (AM) (OA) + (ΟΜ) +συνθ οότε Ε Ε( θ) θ( + θ) θ( + θ ). ηµ συν ηµ συν Για κάθε θ (, ) ισχύει: οότε Ε (θ) συνθ( + συνθ) ημ θ συν θ ημ θ + συνθ συνθ + συνθ, Ε ( θ) συνθ συνθ συνθ συν( θ) θ θ, αφού θ (, ) θ. Το ρόσημο της Ε φαίνεται στον αρακάτω ίνακα ( Ε 6 > και Ε < ), αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της Ε και τα ακρότατα αυτής. θ / Ε (θ) + Ε(θ) 4 ma Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι 4 και αρουσιάζεται όταν θ. 59

161 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ 4. Γνωρίζουμε ότι το μήκος τόξου θ rad είναι L r θ ενώ το εμβαδόν κυκλικού τομέα θ rad είναι Ε r θ. Εομένως, η ερίμετρος του κυκλικού τομέα είναι: r r+ rθ θ, < r < r και το εμβαδόν του είναι: r Ε () r r rr, r r (, ). Για κάθε r (, ) ισχύει E (r) r, οότε Ε () r r 5. To ρόσημο της E (r), η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. r 5 Ε (r) + Ε(r) 5 ma Δηλαδή η Ε αρουσιάζει στο r 5 μέγιστο το E(r) 5. Εομένως ο ανθόκηος έχει τη μεγαλύτερη δυνατή ειφάνεια, όταν η ακτίνα του κύκλου είναι r 5 m. 5. i) Αό τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΔΒ έχουμε: οότε ( ΟΓ ) ( Ο ) συνθ και ηµθ ( ΟΑ) ( ΟΑ) ( ΟΒ ) ( ΟΒ ) ( ΟΑ ) συνθ και ( ΟΒ ) ηµθ, ii) ( ΑΒ ) ( ΟΑ) + ( ΟΒ ) + ηµ θ συνθ < θ < iii) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( θ ) + η οοία είναι ορισμένη στο ηµ θ συνθ, και συνεχής στο διάστημα. Ειλέον, για κάθε, ισχύει: 6

162 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ οότε συνθ ηµ θ ηµ θ συν θ f ( θ ) +, ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ f ( θ) ηµ θ συν θ ηµ θ συνθ θ, 4 αφού θ,. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας της f και τα ακρότατα αυτής. θ f (θ) + f(θ) Δηλαδή, η f στο θ αρουσιάζει ελάχιστο f 4 4. Εομένως, το μεγαλύτερο δυνατό μήκος της σκάλας, ου μορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια να στρίψει στη γωνία, είναι m 8, m. 6. i) Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισμού το Α (, + ) Η f είναι συνεχής στο Α. Για κάθε > ισχύει f ln ( ), οότε f ( ) ln e. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοικά ακρότατα της f. e + f () + f() 4 min e ma 6

163 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ Για κάθε > ισχύει ( ln ) ln f ( ), οότε 4 / f ( ) ln e. Το ρόσημο της f φαίνεται στον αρακάτω ίνακα, αό τον οοίο ροσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οοία η C f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμής της. e / + f () + f() Πλάγιες - οριζόντιες ασύμτωτες Η ασύμτωτη της C f στο + είναι της μορφής y λ + β, όου λ lim ln lim lim και β lim( ( ) λ ) lim ln f lim Άρα, η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο +. Εειδή, ειλέον, lim ( ) lim ln f lim ln, η ευθεία + + είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C f. Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική της αράσταση. e e / + f () + f () + f() e e TM.. / ΣΚ.. e / ΣΚ.. 6

164 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ + + ii) Είναι α > ( α + ) lnα > ln( α + ) α α α α ( α + )lnα > αln( α + ) lnα ln( α + ) > α α + f( α) > f( α + ). Η τελευταία ανισότητα (άρα και η ρώτη) είναι αληθής, αφού e < α < α + και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ e, + ). iii) Για κάθε > έχουμε: ln ln ln ln ln ln f( ) f( ). Δηλαδή η εξίσωση έχει τόσες λύσεις στο (, + ), όσες είναι οι τιμές του > για τις οοίες η συνάρτηση f αίρνει την τιμή ln f ( ). Εειδή και 4 4, η εξίσωση έχει στο (, + ) λύσεις τις και 4. Θα αοδείξουμε τώρα ότι αυτές είναι μοναδικές. Πράγματι σύμφωνα με το ερώτημα i): η f στο (,e] είναι γνησίως αύξουσα. Άρα την τιμή f() θα την άρει μια φορά, για. η f στο [ e, + ) είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα την τιμή f(4) θα την άρει μόνο μια φορά. 6

165 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ Εομένως, οι λύσεις της είναι ακριβώς δύο, οι και i) Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) α + β, η οοία ορίζεται στο R και είναι αραγωγίσιμη σ αυτό. Εειδή f() έχουμε: f( ) f ( ) για κάθε R, ου σημαίνει ότι η f στο αρουσιάζει ελάχιστο, οότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει f (). Είναι όμως f ( ) α lnα + β ln β, οότε f ( ) lnα + ln β ln( αβ ) αβ. ii) Για κάθε R ισχύει. Θεωρούμε, τώρα, τη συνάρτηση f( ) α, η οοία ορίζεται στο R και είναι αραγωγίσιμη σ αυτό. Εειδή f ( ) α, έχουμε f() f() για κάθε R. Άρα η f στο αρουσιάζει ελάχιστο, οότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, ισχύει f (). Είναι όμως: οότε 8. i) Για κάθε R ισχύει: f ( ) α lnα f ( ) α lnα ln α α e. f () e και f () e > για κάθε R. Άρα η f είναι κυρτή στο R. Για κάθε (, + ) ισχύει: Άρα η f είναι κοίλη στο (, + ). g ( ) και g ( ) <. ii) Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο Α(,) είναι: y f ( )( ) y y +, 64

166 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ ενώ της C g στο σημείο (,) είναι: y g ()( ) y. iii) α) Εειδή η f είναι κυρτή στο R η εφατομένη της C f στο σημείο (,) βρίσκεται κάτω αό την C f. Άρα ισχύει: e + για κάθε R. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν. β) Εειδή η g είναι κοίλη στο (, + ) η εφατομένη της C g στο σημείο Β(,) βρίσκεται άνω αό την C g. Άρα, ισχύει: Η ισότητα ισχύει όταν. iv) Για κάθε R ισχύει ln για κάθε (, + ). +, οότε, λόγω του ερωτήματος iii), έχουμε Άρα ln < + < e, >. ln < e, για κάθε >. 9. i) H συνάρτηση f() e λ είναι αραγωγίσιμη στο R με f ( ) e λ. Είναι f ( ) e λ ln λ. Το ρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον ίνακα. lnλ + f () + f() min Εομένως, η f αρουσιάζει ελάχιστη τιμή για ln λ την 65

167 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii) Ισχύουν οι ισοδυναμίες ln λ f(ln λ) e λln λ λ λln λ λ( ln λ). R R R min f( ) λ( ln λ) ln λ ln λ λ e. Άρα, η μεγαλύτερη τιμή του λ, για την οοία ισχύει e λ για κάθε R, είναι η λ e. iii) Για να εφάτεται η ευθεία y e της γραφικής αράστασης της g() e, αρκεί να υάρχει σημείο τέτοιο, ώστε η εφατομένη της C g στο Α(,g( )) να ταυτίζεται με την y e. Για να ισχύει αυτό, αρκεί g ( ) e e e. g ( ) e e e Εομένως η y e εφάτεται της C g στο σημείο Α(l,e). ε y e e : ( ). (). i) Για είναι f( ) f ( ) ηµ ηµ. Εειδή ηµ έχουμε Όμως ηµ. lim lim ( ). 66

168 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ Άρα lim ηµ. Εομένως f (). Αφού f() και f (), η ευθεία y είναι εφατόμενη της C f στο Ο(,). ii) Τα κοινά σημεία της C f και της ευθείας y ροκύτουν αό τη λύση της εξίσωσης f(). Για είναι f ( ) ηµ ηµ κ, κ *, κ *. () κ Για είναι f(). Άρα, τα κοινά σημεία είναι άειρα το Ο(,) και τα υόλοια έχουν τετμημένες ου δίνονται, για τις διάφορες τιμές του κ * αό τη σχέση (). (Είναι ροφανές ότι για μεγάλες κατ αόλυτη τιμή του κ, οι τιμές του είναι ολύ μικρές και λησιάζουν το ). iii) Αρκεί να δείξουμε ότι Έχουμε: lim( f( ) ) και lim( f( ) ) + lim( f( ) ) lim ηµ + + lim ηµ t t t t ηµ t t lim µορϕή t t συνt lim µορϕή t t ηµ t lim. t 67

169 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ Ομοίως, έχουμε lim( f( ) ).. Α. i) H συνάρτηση ψ είναι αραγωγίσιμη στο R με ψ () φ ()φ () + φ() φ () φ ()( φ () + φ()) φ () (αό υόθεση). Εομένως, η ψ είναι σταθερή στο R. Εειδή είναι ψ( ) ( ϕ ( )) + ( ϕ( )) +, ψ ( ), R ii) Εειδή ψ(), είναι ( ϕ ( )) + ( ϕ( )) για κάθε R. Άρα φ () και φ() για κάθε R, οότε φ(), για κάθε R. Β. Είναι Άρα Είσης και ϕ ( ) f ( ) συνκαι ϕ ( ) f ( ) + ηµ. ϕ ( ) + ϕ( ) f ( ) + ηµ + f( ) ηµ f ( ) + f( ) (αό υόθεση) ϕ( ) f ( ) ηµ ϕ ( ) f ( ) συν. Εομένως η φ ικανοοιεί τις υοθέσεις () του ερωτήματος (Α). Ομοίως, έχουμε: ψ ( ) g ( ) + ηµ 68

170 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ και Άρα, ψ ( ) g ( ) + συν. ψ ( ) + ψ( ) g ( ) + συν+ g( ) συν g ( ) + g ( ) (αό υόθεση). Είσης ψ ( ) g( ) συν ψ ( ) g ( ) + ηµ. Εομένως, η συνάρτηση y ικανοοιεί τις υοθέσεις () του ερωτήματος Α. ii) Αφού οι συναρτήσεις φ, ψ ικανοοιούν τις υοθέσεις () του ερωτήματος Α, σύμφωνα με το ερώτημα (Α), ισχύει φ() και ψ() για κάθε R, οότε f() ημ και g() συν για κάθε R.. i) Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι (συνθ,ημθ). Τα διανύσματα ΡΜ ( συνθ, ηµ θ) και ΡΝ (, θ ) είναι συγγραμμικά. Εομένως, συνθ ηµ θ det( ΡΜ, ΡΝ ) θ θ( συνθ ) ηµ θ ( ) θσυνθ ηµ θ θ ηµ θ ii) Έχουμε θσυνθ ηµ θ ( θ ). θ ηµ θ θσυνθ ηµ θ lim ( θ ) lim θ θ θ ηµ θ συνθ θηµ θ συνθ lim θ συνθ θηµ θ lim θ συνθ ηµ θ θσυνθ lim θ ηµ θ 69

171 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ συνθ συνθ + θηµ θ lim θ συνθ.. A. i) Το μήκος s του τόξου ΑΠ είναι s ρ θ θρ θ, οότε θ s. Αν Ο ΑΠ, αό το τρίγωνο ΟΑΔ έχουμε ηµ θ Α l/ l 4 οότε l 4ηµ θ. ii) Εειδή ο εζοόρος βαδίζει με ταχύτητα υ 4 km/h, τη χρονική στιγμή t θα έχει διανύσει διάστημα s 4t. Αφού θ l, είναι 4t t θ t και l 4ηµ 4ηµ t. Β. Είναι l () t 4συν t, οότε: α) Όταν θ, είναι t και l 4συν 4 km/h. β) Όταν θ, είναι t και l 4συν km/h γ) Όταν θ 4, είναι t και l 4συν km/h. 7

172 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γ ΟΜΑΔΑΣ 4. Έστω ότι ο αγρότης θα ροσλάβει εργάτες, και τον ειστάτη και έστω ότι χρειάζονται t ώρες για να μαζευτούν οι ντομάτες. Αφού κάθε εργάτης μαζεύει 5 κιλά ντομάτες την ώρα, σε t ώρες οι εργάτες θα μαζέψουν όλες τις ντομάτες. Άρα 5t 5 t t. () Αν Κ είναι συνολικό κόστος για την εργασία, τότε έχουμε Κ 6t + t+ ( + ). Έτσι, λόγω της (), είναι δηλαδή Κ ( ) ( + ) Κ ( ) Η συνάρτηση Κ είναι αραγωγίσιμη για > με ( ) Κ ( ) +. Είναι Κ ( ), αφού >. Το ρόσημο της Κ, καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της Κ φαίνονται στον ίνακα. + Κ () + Κ() K() min Άρα, για η συνάρτηση έχει ελάχιστο, το Κ ( ) Εομένως, ο αγρότης ρέει να ροσλάβει εργάτες. Το μικρότερο δυνατό κόστος είναι 8 ευρώ, ενώ χρειάζονται t ώρες για να μαζευτούν οι ντομάτες. 7

173

174 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Α ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε: i) ( + ηµ + συνd ) d + ηµ d+ συνd ii) + + d d+ d + 4 συν+ ηµ + c ln + c + d 5 6 iii) d d + c + c + 5 iv) + 8 d d+ d + 4d + v) e vi) c d + συν d e d + d συν d ed + ( ηµ ) d e ln + ηµ + c. συν ηµ d συν d ηµ d εϕ+ σϕ+ c 7

175 . vii) + d d d ln + + c. d +. Εειδή f ( ) d f ( ) + c, έχουμε διαδοχικά d f ( ) + c d f( ) + c f( ) + c, f( ) c. Εειδή f(9), έχουμε 9 c, οότε c 5. Εομένως f( ) 5.. Εειδή f ( ) d f ( ) + c, έχουμε διαδοχικά: d f ( ) + c, f ( ) c. Εειδή f () 6 έχουμε c 6, οότε c. Εομένως f ( ) +. Εειδή f ( ) d f ( ) + c, έχουμε διαδοχικά: ( + ) d f( ) + c f( ) + c. Εειδή f() 4 έχουμε + c 4, οότε c 4. Εομένως 4. Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) d f ( ) + c 74

176 . ( + ) d f ( ) + c 4 + f ( ) + c, f ( ) 4 + c. Εειδή f (), έχουμε 4 + c, οότε c. Εομένως Είσης έχουμε διαδοχικά f ( ) 4 +. f ( ) d f( ) + c ( 4 + ) d f( ) + c 4 + f( ) + c, f( ) 4 + c. Εειδή το Α(,) είναι σημείο της γραφικής αράστασης της f, έχουμε: Εομένως f() + c c. 75 f( ) t 5. Εειδή Ν () t e, έχουμε διαδοχικά Ν () tdt Ν () t + c t / e dt Ν () t + c t / e Ν () t + c t / Ν () t e c Εομένως, η αύξηση του ληθυσμού στα ρώτα 6 λετά, είναι ίση με: 6/ Ν ( 6) Ν ( ) ( e c) ( e c) e 9 εκατομ. 6. Αν Κ() το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας αραγωγής, τότε Κ ( ) + 5, οότε έχουμε Κ ( d ) Κ( ) + c ή ( + 5) d Κ ( ) + c,

177 . οότε 5 Κ ( ) + c. Αό τα δεδομένα του ροβλήματος έχουμε Κ(), οότε c και άρα c. Εομένως, η συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας αραγωγής είναι: 7. Έχουμε διαδοχικά: 5 Κ ( ) + +. R () t dt Rt () + c + t t dt Rt + c 4 (), Rt () t+ 5t t c. 4 Προφανώς R(), οότε c και άρα Rt () t+ 5t t. 4 Εομένως τα βαρέλια ου θα αντληθούν στους ρώτους 8 μήνες είναι: R( 8) χιλιάδες. 4. Β ΟΜΑΔΑΣ. Εειδή T () t kα e kt έχουμε διαδοχικά: T () t dt Tt () + c kt kα e dt Tt () + c α ( e kt ) dt T() t + c, Tt () αe kt c. k Εειδή Τ() + α και T( ) αe c α c, έχουμε Εομένως T + α α c c T. Tt () e kt + T. α 76

178 .. Έχουμε διαδοχικά P ( ) d P ( ) + c e d P c 58, ( ) + 58, ( ) ( e ) d P ( ) + c P ( ). 6e c. Το συνολικό κέρδος ου οφείλεται στην αύξηση της εένδυσης αό 4.. σε 6.. είναι: e 6( e e ) 6 e 6, , 6 χιλιάδες ευρώ ευρώ. Έστω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις ρώτες t ημέρες. Τότε Ρ(t) Ε(t) Κ(t), οότε P () t Ε () t Κ () t +, t 8 + 6, t + 9, t. Έτσι έχουμε διαδοχικά: P () t dt Pt () + c ( + 9, tdt ) P( t) + c t Pt () t + 9, + c. Το συνολικό κέρδος της εταιρείας αό την η έως την 6 η ημέρα είναι: P( 6) P( ) 6+, c, 9 c 6, 4, 8 84, 4 ευρώ. 4. i) Αό την ισότητα f () g () έχουμε διαδοχικά f ( ) g ( ) + c f( ) g ( ) + c + c. () 77

179 . Για είναι f() g() + + c, οότε c, αφού f() g(). Εομένως f( ) g ( ) + c. () Για l, αό την (), έχουμε f() g() + c, οότε c, αφού f() g() +. Έτσι αό τη () ροκύτει f( ) g ( ) +. ii) H f() είναι συνεχής στο [α,β] και ισχύει f( α) g( α) + α + α α < f( β) g( β) + β + β β >. Άρα, f(α) f(β) <, οότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α,β).. Α ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε i) e d ( e ) d e + e d e e ( ) d e e + e d e e e + c e ( + + ) + c. ii) ( + ) e d ( + )( e ) d + ( ) e ( 6 ) e d + ( ) e ( 6 )( e ) d ( ) e ( ) e e d e ( ) + e + c 4 4 e ( 6 + 7) + c 4

180 . iii) 4 ln d ln d ln (ln ) d ln d ln + c iv) ηµ d ( συν) d συν+ συνd συν+ ( ηµ ) d συν+ ηµ ηµ d συν+ ηµ + συν+ c + συν+ ηµ + c v) 4συνd ( ηµ ) d vi) ln d ( ) ln d ηµ ηµ d ηµ + συν+ c ln d ln + c vii) ln ln d ln ln d d c + + viii) I e συνd e συν+ e ηµ d e συν+ e ηµ 4 e συν d. 79

181 . Άρα I e ( συν+ ηµ ) 4I 5I e ( συν+ ηµ ) I e ( συν+ ηµ ) + c. 5. i) Θέτουμε u, οότε du d και άρα d du. Εομένως, ηµ d ηµ συν συν udu u+ c + c ii) Θέτουμε u , οότε du ( 8 6) d 8( ) d. Εομένως 4 u ( ) ( ) d u du 8 +c ( ) c. iii) Θέτουμε u + 6, οότε du ( + 6)d ( + )d. Εομένως, + ( + 6) du 4 u d u du c u c 6 u 6( + 6) iv) Θέτουμε u +, οότε du d. Εομένως, + + c. du d u du u + c c u + + ( ). v) Θέτουμε u + l, οότε du d και u. Εομένως, + d ( u ) udu u du u du 5 u u + c 5 u u 5 + c

182 . ( + ) ( ) + c. 5. i) Θέτουμε u e, οότε du e d. Εομένως, e ηµ e d ηµ udu συνu+ c συνe + c ii) Θέτουμε u e +, οότε du e d. Εομένως, iii) Θέτουμε u ln, οότε du e du d u c e c e + ln + ln( + ) + u d. Εομένως, d du u u du + c ln u u + c ln + c iv) Θέτουμε u ln(e e + ), οότε du d. Εομένως, e + e du d ln u + c ( e + )ln( e + ) u ln ln( e + ) + c αφού ln(e + ) > ln. ln(ln( e + )) + c v) Θέτουμε u, οότε du d. Εομένως, ηµ d ηµ udu συνu+ c συν + c. 8

183 .. Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Θέτουμε u + συν, οότε du ημσυνd ή du ημd. Εομένως, ηµ συν συν d du u + c + + c + u ln ln( ) ii) Θέτουμε u ln(συν), οότε du ηµ d εϕ συν d. Εομένως, u εϕln( συν) d udu + c [ln( συν)] + c iii) Θέτουμε u ημ, οότε du συνd. Εομένως, ηµ u u ηµ συνe d edu e + c e + c. +. i) Θέτουμε u, οότε du ( + ) d d. Εομένως, d udu u du 4 u u + + c + c + c ii) Θέτουμε u +, οότε du d d. Εομένως, + + d du u+ c + + c +. iii) Θέτουμε u +, οότε du d, οότε έχουμε ln( + ) d ln udu ( u) ln udu uln u du uln u u+ c ( + )ln( + ) ( + ) + c.

184 .. i) Έχουμε: ii) Έχουμε ln d ln d ln ( ) d ln ln d + c 9 (ln t) dt ()(ln t t) dt t(ln t) tln t(ln t) dt t (ln t ) ln tdt t (ln t ) ()ln t tdt t(ln t) tln t+ t dt t t(ln t) tln t+ t+ c iii) Θέτουμε u e, οότε du e d. Εομένως 4. i) Έχουμε και e συν e d e συν e ed u συν udu u( ηµ u) du uηµ u ηµ udu uηµ u+ συνu+ c e ηµ e + συν e + c. ηµ συν εϕd συν d ( ) συν d ln συν + c d ( εϕ) d εϕ εϕd συν εϕ+ ln συν + c. ii) Θέτουμε u ημ, οότε du συνd. Εομένως, συν ηµ d du c c + +. u u ηµ 8

185 . Είσης έχουμε iii) Έχουμε 5. Έχουμε + συν συν + ηµ d ηµ d ηµ d σϕ + c. ηµ ηµ d ηµ ηµ d ( συν ) ηµ d. Θέτουμε u συν, οότε du ημd. Εομένως, Είσης έχουμε ηµ ( ) d u du udu du u συν u+ c συν + c. συν d συν συνd ( ηµ ) συνd. Θέτουμε u ημ, οότε du συνd. Εομένως, ηµ συν d u du u u ( ) + c ηµ + c. συν i) ηµ d d συν d ηµ + c 4 + συν ii) συν d d + ηµ + c 4 iii) ηµ συν d ηµ d 4 συν4 4 d 8 8 συν4d ηµ 4+ c. 8 84

186 . 6. Έχουμε i) ηµ συνd ηµ ηµ d [ ( ) + ] ηµ d+ ηµd συν συν+ c 6 ii) συνσυν5d συν συν8 d ( + ) συνd+ συν8d ηµ + ηµ8+ c 4 6 iii) ηµ ηµ 4d συν συν6 d ( ) 7. i) Έχουμε: d + ii) Έχουμε: ηµ ηµ6+ c. 4 + d + + c + ( ) ln , {, }. ( )( ) R Αναζητούμε ραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι ώστε: + Α Β +, ( )( ) Με ααλοιφή αρονομαστών έχουμε τελικά: 85 για κάθε R {, }. (Α + Β) (Α + Β) +, για κάθε R {, } () Η () ισχύει για κάθε R {, }, αν και μόνο αν Α+ Β Α 5 και Β 8. Α Β

187 . Εομένως + d + 5 d d 5ln + 8ln + c. iii) Αό τη διαίρεση ( ):( + + ) βρίσκουμε: οότε Εξάλλου έχουμε: ( + + )( ) ( + )( + ). Αναζητούμε ραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε Α Β + για κάθε R {, }. ( + )( + ) + + Με ααλοιφή αρονομαστών, έχουμε τελικά ( Α+ Β) + Α+ Β () Η () ισχύει για κάθε R {, }, αν και μόνο αν Α+ Β 5 Α και Β 4. Α+ Β 6 Εομένως λόγω και της () έχουμε: iv) Έχουμε d ( ) d d 4 d ln + + 4ln + + c. Α + Β, για κάθε R {, }. + Με ααλοιφή αρονομαστών έχουμε (Α + Β) + Α Β. () ()

188 . Η () ισχύει για κάθε R {, }, αν και μόνο αν Εομένως, έχουμε d Α+ Β Α και Β. Α Β d d + + c + ln ln.. Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy 4y d dy 4d y dy y 4 d + c y ii) Η εξίσωση γράφεται y, c R. + c y dy d ydy d ydy d y + c y +c y c, y c+, αφού y > (c R). 87

189 . iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy y d dy y y dy d d ln y + c + y e c y e c e iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: y y e c ± e ce, όου c ± e c. dy d y e συν y edy συνd y edy συνd e y ηµ + c y ln( ηµ + c), c R.. i) Μία αράγουσα της α() είναι η Α(). Πολλαλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e και έχουμε διαδοχικά: ye + e y e ( ye ) e ( ye ) d e d 88 ye e + c

190 . y + ce, c R. ii) Μία αράγουσα της α() είναι η A(). Πολλαλασιάζουμε με e οότε έχουμε διαδοχικά ye + ye e ( ye ) e ( ye ) d ed 89 ye e + c y e + ce, c R. iii) Μία αράγουσα της α() l είναι η A(). Πολλαλασιάζουμε με e, οότε έχουμε διαδοχικά ye + ye e ( ye ) e ( ye ) d e d ye + c e e d ye e e + c y + ce, c R. iv) Μία αράγουσα της α() είναι η A(). Πολλαλασιάζουμε e, οότε έχουμε διαδοχικά ye + e y e ( ye ) e + ye c e d ye e + c y + ce, c R.

191 .. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy y d dy d y y dy d + c y + c y 9 y. + c Εειδή y(), έχουμε, οότε c. Άρα c y Η εξίσωση γράφεται y + y. Μια αράγουσα της α() είναι η Α(), οότε έχουμε διαδοχικά ye + ye e Εειδή y( ) έχουμε ye + ye ( ) e ( ye ) e ( ye ) d e d ye e + c c y +. e + c e, οότε c. Άρα y.

192 . 5. i) Μια αράγουσα της α( ) είναι η Α() εφ. Πολλαλασιάζουμε συν με e εϕ, οότε έχουμε διαδοχικά: ye + e y συν συν e εϕ εϕ εϕ εϕ ( ye ) e + 9 εϕ εϕ ye c e συν συν εϕ d εϕ εϕ ye + c e εϕ ( ) d εϕ εϕ ye e + c y + ce εϕ. Εειδή y(), έχουμε + c, οότε c 4. Άρα 4 y. e εϕ ii) Εειδή >, είναι + l >, οότε η εξίσωση γράφεται y + y + + ln. Μία αράγουσα της α( ) + είναι η Α() ln( + ). Πολλαλασιάζουμε ln( + ) με e +, οότε έχουμε διαδοχικά y ( + ) + y ln ( y ( + )) ln y ( + ) + c ln d y ( + ) ln + c ln + c y. + Εειδή y(), έχουμε + c, οότε c. Εομένως ln + y. +

193 .. Β ΟΜΑΔΑΣ. Μία αράγουσα της α(t) είναι η A(t) t. Πολλαλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e t και έχουμε διαδοχικά: Εξάλλου έχουμε οότε Άρα οότε αό την () ροκύτει ότι Για t έχουμε t t t I () t e + I() te e ηµ t t t ( Ite ( ) ) e ηµ t t t Ite () + c e ηµ tdt () e t ηµ tdt e t ηµ t e t συνtdt t t t e ηµ t e συνt+ e ηµ tdt, ( ) +. e t t ηµ tdt e ηµ t συνt c t t e ηµ tdt e ηµ t συνt + c ( ), t t Ite () e ( ηµ t συνt) + c. I( ) e e ( ηµ συν) + c + c c. Έτσι, τελικά είναι t t Ite () e ( ηµ t συνt) + It () ( ηµ t συνt) + e t. 9

194 .. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: Άρα ye y dy d e y ye dy e d y ye dy e d y e e + c y e e +c y e e + c, c R. Εειδή y(), έχουμε e 4 e 4 + c, οότε c. Εομένως e και άρα y, αφού ερνάει αό το σημείο Α(,). y e, οότε y. Μία αράγουσα α ( ) είναι η Α( ) ln. Πολλαλασιάζουμε με ln ln e e, οότε έχουμε διαδοχικά y y y y + c 4. Ισχύει y y, y >, οότε έχουμε διαδοχικά: dy y 9 y + c, c R. d dy y d ln y +c, y >

195 . y e Εξάλλου ισχύει y(), οότε c. Άρα + c y c e, c e c >. y e 5. i) Μία αράγουσα της α(t) α είναι η A(t) αt, οότε έχουμε διαδοχικά Άρα. ye + αe y βe e α t α t λ t α t t ( ye ) βe α ( αλ ) t αt ( αλ ) t ye + c βe dt αt β ( αλ ) t ye e + c α λ β y e α λ β c yt () + t t α λ e λ e α λt, c R. c + e. α t c ii) Εειδή α >, λ > ισχύει lim και lim, οότε t + λ t e t + αt e lim yt ( ). t + 6. Εειδή θ Τ > η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dθ κdt θ Τ dθ κt+ c θ Τ, ln( θ Τ ) κt+ c κ θ Τ e t+ c κ θ () t T + ce t, c e c. 94

196 . Εξάλλου Άρα θ( ) θ θ T + c e c θ T. κ θ() t T + ( θ Te ) t. 7. i) Έστω Ρ (t) ο ληθυσμός της χώρας, αν δεν υήρχε η μετανάστευση και P (t) ο ληθυσμός ου έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή t. Τότε ο ληθυσμός της χώρας είναι οότε Είναι όμως Pt () Pt () P () t P () t P t P () (). t () P () t k P(), t k >, αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ (t) ανάλογο του P(t). Είσης είναι P () t m, οότε η () γράφεται ή ισοδύναμα P () t kp() t m, P kp m. Μία αράγουσα της α(t) k είναι η A(t) kt. Πολλαλασιάζουμε με e kt τα μέλη της εξίσωσης, οότε έχουμε διαδοχικά: Pe ke P me kt kt kt kt ( Pe ) me 95 kt kt kt Pe + c m e dt Pe kt m k e kt + c m Pt () + ce kt. k m Εειδή P() P, έχουμε P c k +, οότε c P m k. Άρα

197 . iii) Είναι m Pt P m () + k k ekt, k > P () t ( kp me ) kt αν m < kp τότε P (t) >, οότε ο ληθυσμός αυξάνεται. αν m > kp τότε P (t) <, οότε ο ληθυσμός μειώνεται. αν m kp τότε P (t) >, οότε ο ληθυσμός είναι σταθερός. 8. i) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι Vt () r y() t y(), t όου r m η ακτίνα του κυλίνδρου, οότε Εξάλλου έχουμε V () t y (). t α gy, y, 5y. Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται y, 5y, ή ισοδύναμα 5 y y () 5 ii) Προφανώς το y αοτελεί λύση της (). Για y > η εξίσωση γράφεται οότε έχουμε διαδοχικά: dy y 5 dt, 5 y dy / t+ c 5 5 / 5 y t+ c 5 y c t+ / 5 c y 5 t+. 96

198 . Όμως ισχύει y() 6 dm, οότε 6 c, συνεώς c. Άρα 5 yt () t + 6 iii) H δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(t). Έτσι έχουμε: yt () t+ 6 t 5 5 sec Η Ε αοτελεί μία ροφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης. Για Ε > η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: Εξάλλου Άρα dε Ε RC dt ln Ε + RC t c Ε () t RC e + 97 t c t RC Ε () t k e, k e c. t t RC RC Ε( t ) Ε Ε ke k Ε e. t t RC Et () Ee.. i) α) Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται ή ισοδύναμα 4I + I 6, I I + 5. () Μία αράγουσα της α(t) είναι η A(t) t. Πολλαλασιάζουμε τα μέλη () με e t, οότε έχουμε διαδοχικά: Ie + e I 5e t t t t ( Ie ) 5e t

199 . β) Είναι t t Ie + c 5 e dt t t Ie 5e + c. c It () e t c lim It ( ) lim +. t + t + t 5 e 5 Αό την ισότητα lim It ( ) 5 συμεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές του t η t + ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική αράσταση της y I(t) έχει ασύμτωτη την ευθεία y 5. ii) Αν Ε 6ημt ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά: I + I 5ηµ t Ie t t t + e I 5e ηµ t t Θέτουμε J e ηµ tdt, οότε t t ( Ie ) 5e ηµ t t t Ie + c 5 e ηµ tdt. () J e t tdt e t ( ) ηµ ηµ t e t συνtdt t t e ηµ t ( e ) συνtdt e t ηµ t e t συνt+ e t ηµ tdt t e ( ηµ tσυνt) J. Άρα t J e ( ηµ t συν t) + c, c R. 4 Λόγω της () έχουμε Άρα t 5 t Ie e ( ηµ t συνt) + c 4 5 c It () ( ηµ t συνt) +. 4 e t

200 .4.4 Α ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε i) f( ) d f( ) d ii) f( ) d f( ) d + f( ) d f( ) d + f( ) d iii) f( ) d f( ) d + f( ) d 9 f( ) d iv) f( ) d f( ) d + f( ) d + f( ) d. Έχουμε. Η ισότητα 4. Έχουμε 4 f( ) d k ln dt (ln ln) ln ln. t tdt ε tdt tdt ε ε ε 4 d + k 5 d + γράφεται διαδοχικά: k 4 d + + k k 5 d d + k d ( k ) k 4. i) [ f( ) 6g ( )] d f( ) d 6 gd ( ) 5 6 ( ) ii) [ f( ) g ( )] d f( ) d gd ( ) f( ) d + gd ( ) 5. 99

201 .5.5 Α ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε i) ( + ) d [ + ] [ + ] [ + ] 6 ii) + + d d e d + e e e d e + e [ln ] ln e ln e e e iii) ( συν ηµ ) d ( ηµ + συν) d [ ηµ + συν] ηµ + συν ηµ συνθ iv) + d d d d d ( ) Έχουμε + 7 d d d + 5 d + 5. Έχουμε: d d 4 5.

202 .5 β f( ) f ( ) d f( ) f ( ) d [( f( ))] d α β α [( f( ))] β ( f( β)) ( f( α)). 4. Εειδή η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό τα σημεία (,) και (,) έχουμε f() και f(). Εομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα είναι: f d f ( ) [ ( )] f () f ( ). 5. i) Θέτουμε u συν, οότε, έχουμε: ii) Η F() γράφεται Έχουμε α συν ( ) F ( ) t dt συν ( συν) συν ( ηµ ) ηµ ηµ. β α 6. i) Έχουμε: f ( ) ( + + ) + + συν συν ii) Αν χρησιμοοιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε: d f d f f f ( ) [ ( )] () ( ) + ln ( + ) ln ( + ) ln ( + ).

203 .5.5 Β ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε διαδοχικά: d d ( ) + d tg tdt d 4 () ( 6 ) 5 g( ) Εομένως, για έχουμε l g(l) , οότε g().. Η f() γράφεται: + συνt συνt συνt συνt f( ) e dt+ e dt e dt+ e dt, οότε έχουμε: f ( ) e + e e + e συν συν e + e. Αυτό σημαίνει ότι η f είναι σταθερή. + συν συν( + ) συν συν( + ). Έχουμε: και τον ίνακα f ( ) e + f () + f() min Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, + ) και αρουσιάζει ελάχιστο στο, το f(). 4. Είναι 5. Έχουμε: ( ) F ( ) f() tdt f () t dt + f ( ).

204 .5 F ( ) Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή. F() c, (, + ). Είναι όμως, F() dt + dt. + t + t Εομένως F(), (, + ). 6. Έχουμε: + h lim + t dt lim h h 5 h + h 5 + t dt µορϕή h + h ( + ) 5 t dt lim (κανόνας De L Hospital) h ( h) lim 5+ ( + h) h i) Θέτουμε u 4, οότε du d. Τα νέα όρια ολοκληρώσεως είναι u 4 4 και u 6 4. Εομένως, 6 4 ii) Έχουμε du u d 4 u 4 [ ηµ ( συν+ ) ηµ ηµσυν ( + )] d ηµ ( συν+ )[ ηµ ] d.

205 .5 Θέτουμε u συν +, οότε du ( ηµ ) d. Τα νέα όρια είναι u συν + και u συν +. Εομένως, 8. i) Έχουμε: ηµ ( συν+ )[ ηµ ] d ηµ udu [ συνu] συν συν συν. ( ) d ( ) d ( ) d ii) Η f είναι συνεχής στο [,] οότε έχουμε f( ) d d + d ηµ [ ] συν 4 ( συν συν) +. iii) Το τριώνυμο + έχει ρίζες τους αριθμούς και και το ρόσημό του φαίνεται στον ίνακα: Εομένως έχουμε: d ( + ) d + ( + ) d + ( + ) d

206 .5 9. i) Με ολοκλήρωση κατά αράγοντες έχουμε: e ln ln ln d e e d d ( ) e e ln d 5 eln e ln 4 e e d 4e4 4e4( e ) 4. ii) Με ολοκλήρωση κατά αράγοντες έχουμε: e d e d e ( ) [ ] + e d e e [ e ] e e e e iii) Θέτουμε u 9 +, οότε du d, u 9 και u. Εομένως: ln( 9 + ) d ln udu ( u) ln udu 9 9 uln u ln 9ln 9 du ( ) 9 9 5ln 9 ln 9. iv) Με ολοκλήρωση κατά αράγοντες έχουμε: I e συνd e ( ηµ ) d [ e ηµ ] ηµ e d + 4 e ( συν ) d 9 e συν 4 e συνd 4

207 .5 e συν e συν I, οότε 5 I e I ( e + ) Έχουμε: I + J ηµ d + συν d ( ηµ + συν d ) Είσης d. 8 I J ( ηµ συν d ) συνd + ( ηµ ) d [ ηµ ] ηµ d ηµ [ συν ] 4 ( συν συν) ( ). 4 4 Αν λύσουμε το σύστημα I + J 8 I J βρίσκουμε. Εειδή f συνεχής έχουμε: Όμως είναι: I και J f( ) ηµ d+ f ( ) ηµ d. () f ( ) ηµ d [ f ( ) ηµ ] f ( )( ηµ ) d

208 .6 Έτσι, η σχέση () γράφεται οότε f(). f ( )συνd [ f( ) συν] + f( )( συν) d f( ) + f( ) f( ) ηµ d + f( ) f( )ηµ d f( ) ηµ d+ + f( ) f( ) ηµ d,. Εειδή οι f και g είναι συνεχείς έχουμε β I ( f ( g ) ( ) f ( g ) ( )) d α β f ( ) g ( ) d f ( ) gd ( ) α β α β β [ f( ) g ( )] f ( ) g ( ) d [ f ( ) g ( )] + f ( ) g ( ) d α β α f( β) g ( β) f( α) g ( α) [ f ( β) g( β) f ( α) g( α)] f( β) g ( β) f ( β) g( β ), (αφού f (α) g(α) ) f( β) g ( β) g ( β) g( β), (αφού f ( β) g ( β )) g ( β)( f( β) g( β ))..6 Α ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε: α β α οότε. Έχουμε: ( f( ) ) d f( ) d d f( ) d, f( ) d f( ) d f. 7

209 οότε.6 β β α α α ( f( ) kd ) f( d ) kd f( ) d k( β α), β α β f( ) d k( β α) f( d ) k f k. β α α. Έστω η συνάρτηση f(), [ αβ, ]. Τότε η μέση τιμή του στο [α,β] είναι: β β α f d β αα β α β α β α α + β. β α β β α β α.6 Β ΟΜΑΔΑΣ. Έχουμε: f + + d β β α α αβ β β α α β α και οότε β g d β α α β α α β α α β β α β α αβ αβ, Έτσι, έχουμε να δείξουμε ότι: ου ισχύει. Εομένως είναι f. α) Έχουμε: α + αβ + β α + αβ + β f g. αβ αβ α + αβ + β > α + αβ + β > αβ αβ g >. β α αβ + β > ( α β) >, 8

210 .7 R R P P R υ υ() rdr ( R r ) dr ( R r ) dr R R 4n 4Rn P R ( R ) 4Rn P R R 4Rn P R PR 4Rn 6n. β) Εξάλλου έχουμε: R r P υ () ( ) Pr r r <, για κάθε r (, R). 4n n Όμως η υ υ() r είναι συνεχής στο [,R], οότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [,R]. Εομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι: Προφανώς ισχύει υ > µεγ υ.. Έχουμε υ µεγ υ ( ) PR 4n. f( ) d f (). () Ειλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ) d f ( ξ ). () Αό () και () ροκύτει ότι f(ξ) f(), οότε στο διάστημα [ξ,] ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υάρχει τουλάχιστον ένα ( ξ, ) τέτοιο, ώστε f ( ). Εομένως η C f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφατομένη..7 A ΟΜΑΔΑΣ. Το τριώνυμο f( ) + έχει διακρίνουσα Δ 8 <, οότε ισχύει f() > για κάθε R. Εομένως το εμβαδόν ου ζητάμε είναι: 9

211 .7 Ε ( + ) d τετρ. μον.. i) Για κάθε [, + ) ισχύει f( ). Εομένως το εμβαδόν ου ζητάμε είναι: Ε d [ ] ( ) 7 τ.μ ii) Για κάθε, ισχύει f( ) >. Εομένως το εμβαδόν ου συν ζητάμε είναι Ε εϕ εϕ εϕ συν d [ ] τ.μ.. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα είναι οι ρίζες της εξίσωσης, δηλαδή οι αριθμοί και. Εειδή f() < για κάθε [,], έχουμε: Ε f( ) d f( ) d ( ) d τ.μ. y O 9 4 y 4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών αραστάσεων C f και C g είναι οι ρίζες της εξίσωσης f() g(), ου γράφεται: f( ) g ( ) ( + ) ή ή.

212 .7 Το ρόσημο της διαφοράς f( ) g ( ) + ( )( + ) φαίνεται στον αρακάτω ίνακα: + f() g() + + Εομένως το εμβαδόν ου ζητάμε είναι: Ε f( ) g ( ) d ( f( ) g ( )) d + ( g ( ) f( )) d ( + d ) + ( ) d τ.μ. 5. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f() 4 και g() είναι οι ρίζες της εξίσωσης f() g(), ου γράφεται f( ) g ( ) ή. Το ρόσημο της διαφοράς f( ) g ( ) + 6 φαίνεται στον αρακάτω ίνακα. + f() g() + Εομένως το εμβαδόν ου ζητάμε είναι:

213 .7 Ε f( ) g ( ) d ( + ) d τ.μ..7 Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Εειδή f () 6 έχουμε f () 6, οότε η εξίσωση της εφατομένης στο Α(,) είναι: ε : y 6( ) y 6 ii) Η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Β,. Εομένως, το εμβαδόν ου ζητάμε είναι: Ε ε + ε d+ ( 6+ ) d [ ] + [ + ] τ.μ.. Εειδή lim f( ) lim f( ) f (), + η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο σημείο, οότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R. Είναι φανερό, ειλέον, ότι f( ) για κάθε [, ]. Εομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

214 .7 Ε f( ) d ( + ) d+ d. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(), δηλαδή οι αριθμοί και 5. Στο, 5 η f είναι και συνεχής και ισχύει f( ). Εομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε f( ) d 4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των C f και C g είναι οι ρίζες της εξίσωσης f() g(), ου γράφεται ( ) τ.μ. ( + 4 ) d + ( + 5) d ( ) τ.μ.

215 .7 Εξάλλου, για έχουμε: f( ) g ( ) + ( + ) 9 7+ ή 5. + f( ) g ( ) Εομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε d d ( + ) d. Στο ολοκλήρωμα θέτουμε u, οότε du d, u, u 4 και έτσι έχουμε: 5 4 Ε + u du u ( ) i) Έχουμε f(e) l g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών αραστάσεων C f και C g των συναρτήσεων f και g. Εειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α. Εομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με τ.μ.

216 .7 Είναι όμως e λ e Ε ( λ) ln d +. d e e e ln d ( ) ln d e [ ln ] d e eln e( e ). Άρα ii) Εομένως, e λ e Ε ( λ) ln d + + [ln ] d e e λ e + eln λ eln e + e(ln λ). lim Ε ( λ) lim [ + e(ln λ)] λ + λ + 6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης, ου είναι ο αριθμός. Η τετμημένη του Β είναι η λύση του y συστήματος, ου είναι ο αριθμός. y Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: ( e) + e lim(ln λ) +. λ + ( d ) + ( ) d d ln [ ] ln [ ] τ.μ. ln

217 .7 7. Η τετμημένη του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης +, ου είναι ο αριθμός. Εομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: Ε ( ) d+ ( ) d + ( + ) d τ.μ i) Οι εξισώσεις των εφατομένων ε και ε της C f στα σημεία Ο και Α αντιστοίχως είναι: ε : y f( ) f ( )( ) και ε : y f( ) f ( )( ) Εειδή f () συν έχουμε: f () και f (), οότε ε : y και ε : y +. ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε και ε είναι η ρίζα της εξίσωσης +, δηλαδή ο αριθμός. Εομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 6

218 .7 9. α) Έχουμε f ( ), Ε ( ηµ ) d + ( + ηµ ) d συν συν συν συν συν συν (, + ), οότε f () και η εξίσωση της εφατομένης ε είναι: y ( ) y + Η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο με τετμημένη. Εομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε d d τ.μ. β) Εξετάζουμε αρχικά αν υάρχει ευθεία α με α [, ] η οοία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβαδικά χωρία. Δηλαδή αν υάρχει τιμή του α [, ] τέτοια, ώστε να ισχύει: α Ε d

219 .7 α α + + α + 6α Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α + 6 και α. Αό αυτούς μόνο ο α ανήκει στο διάστημα [,]. Εομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: + 6. Αν εργαστούμε ανάλογα για α [,], βρίσκουμε ότι δεν υάρχει άλλη ευθεία α ου να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβαδικά χωρία. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο.. Έχουμε g ( ) ln ln ln, ου σημαίνει ότι η C g είναι συμμετρική της C f ως ρος τον άξονα. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα της εξίσωσης ln ln, ου είναι ο αριθμός. Η τετμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης ln ln, ου είναι ο αριθμός. Εομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε ln ln + (ln d ln d ) ln + ln + ln ( ) ln d d ln + [ ln ] d + ln [ ln ] + d + ln ln ln + ln ln + ln + 8

220 .7 ln + ln ln +.. i) Έχουμε f() και f (). Αό τον τύο f ( ) d f ( ) + c έχουμε διαδοχικά ( ) d f( ) + c f( ) + c f( ) c. Είναι όμως, f( ) c c. Εομένως, f( ) +. ii) Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα είναι οι ρίζες της εξίσωσης + δηλαδή και. Εειδή + <, όταν (, ), το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε ( + ) d τ.μ.. i) Η C f τέμνει τον άξονα των στα σημεία Α(,) και Β(,). Εειδή f ( ) ( 4+ ) 4, έχουμε f () και f (). Εομένως, η εξίσωση της εφατομένης στο Α(,) είναι: y f() f ()( ) y + ενώ η εξίσωση της εφατομένης στο Β(,) είναι: 9

221 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ y f() f ()( ) y 6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Γ των εφατομένων είναι λύση της εξίσωσης + 6 δηλαδή ο αριθμός. Εομένως το σημείο τομής τους είναι το Γ(, ). Λόγω της συμμετρίας του σχήματος έχουμε: ε ( 4 + ) d και ε ( 4+ + ) d ( + ) d Άρα ε ε ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ. i) Θέτουμε u, οότε du d, u, u. Έτσι έχουμε: I f( ηµ ) d ( u) f( ηµ ( u)) du f( ηµ u) du + uf ( ηµ udu ) f( ηµ u) du I. Εομένως I f( ηµ udu ), οότε I f d ( ηµ ).

222 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii) Σύμφωνα με το ερώτημα (i) έχουμε: I ηµ d ηµ d ηµ d. + ηµ + ηµ 4 συν Θέτουμε u συν, οότε du ημd. Εομένως: du du I 4 u. u 4 Αναζητούμε α, β R τέτοια, ώστε να ισχύει: u 4 α u + β u+ ισοδύναμα, ( α + β) u + ( α β), για κάθε u R {, }. ή, Η τελευταία ισχύει για κάθε u R {, }, αν και μόνο αν Εομένως α + β α ( α β) 4 I 4 du + u και β 4. 4 du u + ln u ln u+ 8 8 (lnln) (lnln ) 8 8 ln + ln ln i) Αναζητούμε α, β τέτοια ώστε α + β ή, ισοδύναμα, + ( α + β) + ( α β), για κάθε R {, }. Η τελευταία ισχύει για κάθε R {, }, αν και μόνο αν α + β α α β και β. Έτσι τελικά έχουμε: d d d + + ln ln

223 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii) Έχουμε: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln. ηµ ηµ d ηµ d ηµ συν d. Θέτουμε u συν, οότε du ηµ d, u συν και u συν. Εομένως ηµ d du du ln (αό i)). u u. Για u, αναζητούμε α, β R τέτοιους, ώστε: α β + ( u+ )( u+ ) u + u + ή, ισοδύναμα, α( u+ ) + β( u + ), για κάθε u, ( α + β) u + α + β, για κάθε u, Η τελευταία ισχύει για κάθε u R {, }, αν και μόνο αν Εομένως α + β α α + β β. du du du ( u+ )( u+ ) u + u + ln u+ ln u+ + c

224 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ i) Θέτουμε u ημ, οότε du συνd. Εομένως συν du d ( ηµ + )( ηµ + ) ( u+ )( u+ ) ii) Θέτουμε u e, οότε du e d. Έτσι έχουμε 4. i) Έχουμε: I ii) I ν ln u+ ln u+ + c ln ηµ + ln ηµ + + c e du d ln e ln e c ( e + )( e + ) ( u+ )( u+ ) + I ν+ ν+ ν+ t t dt + + t + t t dt + ( + t ) ν + dt + t t dt ν + t ν + ν ν + t + t dt t + dt ( t + ) ( ) [ln( t + )] (ln ln) ln. Εξάλλου αό το ερώτημα i) έχουμε I Είσης είναι I I ln( e + ) ln( e + ) + c. + I +, οότε I ln ( ln ). + I, οότε + I I ln ln Θέτουμε g() το μέλος και h() το μέλος και έχουμε:

225 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ( ) g ( ) f ( udu ) uf ( u ) du και f( u) du + f ( ) f( ) f( u) du h ( ) f() t dt. Δηλαδή ισχύει g () h () για κάθε R. Εομένως, υάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g() h() + c ή, ισοδύναμα, Για έχουμε: f( u)( u) du ( f() t dt) du + c, u για κάθε R. οότε έχουμε: u f( u)( udu ) ( f() tdt) du+ c + c c ( ) u f( u)( u) du f() t dt du. 6. i) Η συνάρτηση gu ( ) u έχει εδίο ορισμού το σύνολο Α (, ] [, + ). Άρα, για να ορίζεται η f ρέει τα άκρα, t να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα ρέει t [, + ), οότε το εδίο ορισμού της f είναι το [, + ). Για να ορίζεται, τώρα, η F ρέει τα άκρα, να ανήκουν στο διάστημα [, + ) ου είναι το εδίο ορισμού της f. Άρα ρέει [, + ), οότε το εδίο ορισμού της F είναι το [, + ). ii) Έχουμε F ( ) f( ) u du 4 οότε F ( ) f ( ). Εειδή F () > στο (, + ) και F (), η F είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οότε:

226 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ η F είναι κυρτή στο [, + ) και F () > F (l) για κάθε (, + ). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). t 7. i) F( ) + G ( ) e ( συν t+ ηµ tdt ) e, () και F G e t ( ) ( ) ( συν t ηµ tdt ) Όμως, είναι e t συν tdt Κ ( ). t t Κ ( ) [ e συνt] e ηµ tdt + t t e συν + [ e ηµ t] 4 e συνtdt e συν + e ηµ 4Κ ( ) οότε 5Κ ( ) e ( συν+ ηµ ). Άρα e Κ ( ) F( ) G( ) ( συν+ ηµ ). () 5 5 Με ρόσθεση των () και () κατά μέλη ροκύτει ότι: e 6 F( ) ( συν+ ηµ ) + e 5 5 e e 6 F( ) ( συν+ ηµ ) +. () Αό τις () και () έχουμε e e 6 G ( ) e ( συν+ ηµ ) + e e 4 ( συν+ ηµ ) t ii) Εειδή F () t e συν t, έχουμε 5

227 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ e e 6 e e I [ F( )] ( συν4 + ηµ 4) + ( συν + ηµ ) e e e e + e ( e ). 5 t Εειδή G () t e ηµ t, έχουμε e e e e J [ G( )] ( συν4 + ηµ 4) + ( συν + ηµ ) e e e e + e ( e ) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης + 5, δηλαδή οι αριθμοί και. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξίσωσης + α +, δηλαδή οι αριθμοί α και α. Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω ου ερικλείεται αό την ευθεία y 5 και τη γραφική αράσταση της y + είναι: Ε ( 5 ) d Το εμβαδόν ε του χωρίου ου ερικλείεται αό την ευθεία y α + και τη γραφική αράσταση της y + είναι: α α ε α + α α α + α α α ( ) d ( ) d ( ) α α 4 α + α α α. α α

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελ.

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων.

1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων. 1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οοία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)χ 2 +1,χ 0 και ερνάει αό την αρχή των αξόνων. f x f x x + 1 (1) x 0 H f(x) ερνάει αό το (0, 0) f(0) 0 (2) (1) x Άρα οι συναρτήσεις διαφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2.

Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2. .8 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 97 0 A µάδας. Στα αρακάτω σχήµατα δίννται ι γραφικές αραστάσεις δύ συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα ία αυτές δεν είναι συνεχείς. 3 3,5 3 - εν είναι συνεχής στ αφύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα. ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy Ράβδος σε σκαλοάτι Ράβδος μήκους ύψους ακουμά σε σκαλοάτι όως φαίνεται στο σχήμα. Το κάτω άκρο της είναι σε εαφή με λείο κατακόρυφο εμόδιο το οοίο μορεί να κρατείται σταερό σε οοιαδήοτε έση. Μεταξύ ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα