Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου"

Transcript

1 Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ

2 Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι, αν και µόνο αν α = γ και β = δ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Εικόνα του αθροίσµατος και της διαφοράς µιγαδικών. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος ή της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών ισούται µε το άθροισµα ή τη διαφορά των διανυσµατικών ακτινών τους. Αόδειξη y M(z + z) M M(z ) M Έστω οι µιγαδικοί z = α + βi, z = γ + δi µε εικόνες τα σηµεία Μ( z ) (α,β) Μ O M(z ) M αντίστοιχα. και Μ( z ) (γ,δ) Μ M( z ) M(z z) Μ Το άθροισµά τους, ισούται µε z + z = (α + βi ) + (γ + δi ) = ( α + γ) + (β+ δ)i Οότε, ο z ηλαδή ΟΜ z + αριστάνεται µε το σηµείο Μ( z + z ) ( α + γ, β δ) = ΟΜ + ΟΜ Μ + Η διαφορά τους, ισούται µε z z = (α + βi ) (γ + δi ) = ( α γ) + (β δ)i Οότε ο z Μ Μ z z α γ, β δ ηλαδή Ο Μ z, αριστάνεται µε το σηµείο ( ) ( ) = ΟΜ ΟΜ

3 Παρουσίαση υνάµεις του i. Να υολογίσετε τις φυσικές δυνάµεις ν i, του i Αόδειξη Εειδή i 4 4ρ =, κάθε δύναµη της µορφής i, ρ Ν, ισούται µε i = (i ) = Γενικότερα: ν 4ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i = i = i i = (i ) i = i = i = i,,,, αν αν αν αν υ = Είναι γνωστό, µε βάση την Ευκλείδεια διαίρεση ότι για κάθε φυσικό ν, είναι ν = 4ρ + υ µε υ =,,, 4ρ υ = υ =, ν : φυσικός αριθµός. υ = 4 ρ ν 4 υ ρ Συζυγείς µιγαδικοί.4 Να αναφέρετε, τι ονοµάζουµε συζυγή αριθµό του µιγαδικού z = α + βi Αάντηση Ονοµάζεται ο αριθµός, ου συµβολίζεται µε _ z και ισούται µε _ z = α + βi = α βi Άθροισµα συζυγών.5 Για τους µιγαδικούς z και z, είναι z + z = z + z Αόδειξη Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z = α + βi και z = γ + δi Είναι z + z = ( α + βi) + (γ + δi) _ = = ( α + γ) + (β + δ)i ( α + γ) (β + δ)i = z + z Άλλες ιδιότητες των συζυγών z z = z z z z = z z : z z : z z =, µε z z + + z zν = z + z +... z ν z z... zν = z z... zν ν ν z = z, * Ν ν Προκύτει αλά, αν ριν θέσουµε z = z =... = z z ν =

4 Παρουσίαση 4 Είλυση δευτεροβάθµιας εξίσωσης µε ραγµατικούς συντελεστές.6 Να λύσετε την εξίσωση αz + βz + γ=, µε α,β, γ R και α Αόδειξη Εργαζόµενοι όως στην Α Λυκείου στους ραγµατικούς, η εξίσωση µε τη µέθοδο συµλήρωσης τετραγώνων β γ γίνεται: z + z + = α α β γ ή z + z + = α α β β β γ ή z + z + + = α α α α ή z + β α β = 4αγ 4α 4α Θεωρήσαµε την διακρίνουσα = β 4αγ, της εξίσωσης. ιακρίνουµε τις εξής εριτώσεις: >, τότε η εξίσωση έχει δύο ραγµατικές λύσεις, τις z, β α ± = =, τότε η εξίσωση έχει µια διλή ραγµατική λύση, την z = β α <, τότε εειδή 4α ( ) ( ) = 4α i = (α) i = α β i Η εξίσωση γράφεται z + = και έχει λύσεις τις α α οι οοίες είναι και συζυγείς. z, β ± i = α Τύοι Vieta Έστω η εξίσωση αz + βz + γ=, µε α,β, γ R, α και ρίζες τις z, z Ισχύουν οι σχέσεις β + z = και α z z z = γ α

5 Παρουσίαση 5 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Μέτρο µιγαδικού.7 Να αναφέρετε, τι ονοµάζουµε σαν µέτρο του µιγαδικού z = + yi,, y R Αάντηση Έστω M (, y) η εικόνα του µιγαδικού z = + yi Λέµε µέτρο του µιγαδικού αριθµού z την αόσταση της εικόνας του M (z), αό την αρχή Ο (,) και συµβολίζουµε µε z ηλαδή, z = (ΟΜ) = OM = + y Ιδιότητες µέτρου.8 Έστω z = α + βi, = α β i, = α β i µιγαδικοί αριθµοί. z + z + Είναι z = z = z z = z z z z = z z Αόδειξη Να σηµειώσουµε ότι: z = α βi και z = α βi z = α + β z = ( α) + ( β) = α + β, z = (α) + ( β) = α + β z z z α + β = (α + βi) (α βi) = α + β = α + β Προφανές. z z = z z z z = z z _ z ( z z ) (z z ) = (z z) (z z) z z z z = z z z Προφανές. Είναι z : z = z : z, µε z Είσης γενικότερα, είναι και z z... z = z z... z, µε ν ν * ν Ν Πορίσµατα στα µέτρα.9 z z z + z z + z ( M ) = z z όου Μ Μ( ) και Μ Μ( ) M z z ν z = z Η εξίσωση z zο =ρ>, δίνει τον κύκλο κέντρου Κ(z o ) και ακτίνας ρ Η εξίσωση z z = zz, δίνει τη µεσοκάθετη του Μ Μ ν

6 Παρουσίαση 6 Α ξ ι ο λ ό γ η σ η. Ο αριθµός + i δεν είναι φανταστικός.. Ο αριθµός i δεν είναι µιγαδικός.. Ο αριθµός i είναι µικρότερος αό τον αριθµό i, αφού <.4 Ο αριθµός i είναι θετικός φανταστικός..5 Ο αριθµός είναι θετικός µιγαδικός αριθµός..6 Ο αριθµός i έχει εικόνα τo σηµείο M (,).7 Ο αριθµός δεν είναι φανταστικός..8 Ο αριθµός i δεν είναι ραγµατικός..9 Κάθε ραγµατικός αριθµός δεν είναι µιγαδικός.. Είναι + i = ( + i) = + i + i = + i = i. Είναι λi, για κάθε τιµή της ραγµατικής αραµέτρου λ. Είναι α + βi µε α,β R, µόνο αν α και β. _ =.4 _ i = i.5 Το φανταστικό µέρος του z = + i, είναι το Im( z) = i.6 Για τον αριθµό.7 Για τον αριθµό z = α + βi µε,β R z = α + βi µε,β R α, είναι ( Re(z)i) α Im = Re + = α, είναι ( Ιm(z) Re(z) i) Im(z).8 Οι συζυγείς των ραγµατικών, είναι οι ίδιοι οι ραγµατικοί αριθµοί κi = κi, αν κ R + κi = κi, αν κ C Είναι (i ( i) i ( i ) 4 ) = (i) = = = = = 5

7 Παρουσίαση 7. Για δύο µιγαδικούς z, z ισχύει z z = z = ή z =. Για δύο µιγαδικούς z, z ισχύει z z = z = z ή z = z.4 Η εικόνα του z = ηµθ + συνθi, κινείται στον κύκλο + y =.5 Αν η εικόνα του µιγαδικού z κινείται στην ευθεία =, τότε z I.6 Αν z + = α β i, z = α + βi, είναι Re( z + z ) = Re(z) + Re(z ).7 Αν z I, τότε και z I.8 Αν z,z C και z + iz =, τότε z = z = 5 ν.9 Αν i = i ν :φυσικός, υοχρεωτικά θα είναι ν = 5. Αν για τους. Αν για τους z, w C, είναι z + w =, τότε z = w = z, w C είναι z zwi w =, τότε z = iw. Αν z = w wi, µε w C, τότε είναι z = w+ w i. Η εξίσωση z + αz = µε α R, έχει άνισες ραγµατικές ρίζες..4 Η εξίσωση z + αz + α =, µε * α R, έχει δύο µη ραγµατικές ρίζες..5 Η εξίσωση z αz + =, µε α R στο C, έχει δύο ρίζες αντίστροφες..6 Οι ρίζες της εξίσωσης z + αz + =, µε < α < στο είεδο, έχουν εικόνες σηµεία συµµετρικά ως ρος τον άξονα.7 Αν για το µιγαδικό z είναι z =, τότε θα είναι και z = 6.8 Εειδή i = ( i ) = ( ) = ( ) =.9 Αν ο τότε και ο αριθµός 6 6 =, στο C, είναι = z = + i είναι ρίζα της εξίσωσης z z + λ =, µε z C, λ R z = i, είναι ρίζα της.

8 Παρουσίαση 8.4 Αν ο z = i + είναι ρίζα της εξίσωσης z (z ) = λ, µε λ R τότε και ο αριθµός = i, είναι είσης µία ρίζα της. z.4 Έστω αv + βv + γ =, αw + βw + γ =, µε α,β, γ R και β < 4αγ Εειδή η εξίσωση αz + βz + γ = έχει σαν ρίζες τους v, w, είναι v = w.4 =.4 i =.44 i = = =.45 i = i =.46 + i = + i = + =.47 z i = z i = z.48 Αν z =, τότε θα είναι z = ή z =.49 z = z = z.5 Αν z = z, τότε η εικόνα M (z) ανήκει στον ηµιάξονα O.5 Αν _ z = z z, τότε θα είναι z = ή z =.5 Για κάθε ραγµατικό αριθµό z, είναι άντοτε z + i = z i.5 Ο µιγαδικός είναι Μηδενικός, αν και µόνο αν το µέτρο του είναι Μηδέν..54 Είναι α + βi = (α) + (βi) = α β, µε α,β R.55 Αν z = 5 ηµ + συν i, θα είναι z = Αν για το µιγαδικό z είναι z =, τότε θα είναι και z =

9 Παρουσίαση 9.57 Οι λύσεις της εξίσωσης z =, είναι µιγαδικοί των οοίων οι εικόνες στο µιγαδικό είεδο είναι σηµεία του κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ρ =.58 Οι λύσεις της εξίσωσης z =, είναι µιγαδικοί των οοίων οι εικόνες στο µιγαδικό είεδο είναι σηµεία του κύκλου κέντρου K(, ) και ακτίνας ρ =.59 Οι λύσεις της εξίσωσης z = z i, είναι µιγαδικοί αριθµοί των οοίων οι εικόνες στο µιγαδικό είεδο, είναι σηµεία της ευθείας ( δ) : y =.6 Η εξίσωση z z + = µε z C, είναι αδύνατη..6 Αν z =, οι εικόνες των, z,, z,iz, είναι οµοκυκλικά σηµεία. z.6 Αν ένας µιγαδικός είναι ραγµατικός τότε το µέτρο του θα ταυτίζεται και µε την αόλυτη τιµή του..6 Το µέτρο της διανυσµατικής ακτίνας του αθροίσµατος δύο µιγαδικών ισούται µε το άθροισµα των µέτρων των διανυσµατικών ακτινών τους..64 Η εξίσωση z 4 = z i, στο σύνολο C, είναι αδύνατη..65 Αό z < είναι και < z <.66 Οι λύσεις της εξίσωσης z + + z =, είναι µιγαδικοί αριθµοί y των οοίων οι εικόνες στο είεδο είναι σηµεία της έλλειψης (e) : + = Να βρείτε οιες αό τις σχέσεις Α: z z = z z Β: z z = z z Γ: z iz iz = µε z z z : z z = z είναι ορθές.

10 Παρουσίαση.68 Αν z και z, η µεγαλύτερη τιµή του µέτρου z + z αοκλείεται να είναι ίση µε Α: Β: Γ: : 4.69 Βρείτε οιες αό τις ισότητες Α: z z = z Β: z z I Γ: z z = (Re(z)) + (Im(z)) : z z = Im(z) Ε: z + z = z + z Ζ: z + z = Re(z), δεν ισχύει άντα..7 Είναι i + i =.7 Για κάθε φανταστικό αριθµό z ισχύει z = Im(z).7 Αν για τον z C είναι R e(z) >, αό z + z = Re(z) >, είναι > z _ z _.7 Για δύο µιγαδικούς z, z ισχύει z z z και z.74 Αν για τους µιγαδικούς z, w είναι z + w =, τότε είναι z = w =.75 Αν για τους µιγαδικούς z και z είναι z = z, τότε z z =.76 Αν z, w, z, w C, µε z + iz = w + iw, τότε z = w και z = w.77 Αν * C z και z = z, τότε θα είναι z =.78 Για τους µιγαδικούς z, z είναι άντοτε z z z + z.79 Για τους µιγαδικούς z, z είναι άντοτε z z z + z.8 Αν z C και z = z +, τότε z I

11 Παρουσίαση Αξιολόγηση σε θέµ ατα Πανελληνίων εξετάσεων. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z, z, αοδείξτε ότι z z = z z. Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε z = z = z. Να αοδείξετε ότι η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών, ισούται µε το άθροισµα των διανυσµατικών ακτινών τους..4 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z = z.5 Να αοδείξετε ότι για κάθε µιγαδικό z και φυσικό ν είναι z = z.6 Αν z, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει z + z = z + z.7 Το µέτρο της διαφοράς των διανυσµατικών ακτίνων δύο µιγαδικών είναι µικρότερο αό το άθροισµα των µέτρων των διανυσµατικών ακτινών τους. _ =.8 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z + z Im(z).9 Για τους µιγαδικούς z, z είναι z z z + z z z. Για τους µιγαδικούς z, z είναι z + z = z + + z. Για τους µιγαδικούς z, z είναι z z = z z. Για τους µιγαδικούς z, z είναι z z > z z ν ν. z = z z, όου ο z = α + βi είναι µιγαδικός αριθµός..4 Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών, είναι ίσο µε την αόσταση των εικόνων τους..5 Οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών ως ρος τον άξονα z, z, είναι συµµετρικά σηµεία.6 Αν z, z είναι µιγαδικοί, τότε ισχύει z z z + z.7 Αν α,β ραγµατικοί αριθµοί, τότε α + βi = α = ή β =.8 Για τους µιγαδικούς z, z είναι z + z z + z και z z z z.9 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε z =

12 Παρουσίαση Θ έ µ α τ α. Έστω ο µιγαδικός αριθµός i z = i Α) Να βρείτε την τιµή του αριθµού Re(z) + 4 Im(z) Β) Να αοδείξετε ότι z = Γ) Να αοδείξετε ότι z = i z ) Να αοδείξετε ότι z Ι Ε) Να αοδείξετε ότι z = i. Έστω οι µη µηδενικοί µιγαδικοί z, w, ώστε z zw + w = Α) Να αοδείξετε ότι ο w z δεν είναι ραγµατικός. Β) Να αοδείξετε ότι z = w Γ) Αν τα σηµεία M (w) ανήκουν στον κύκλο (κ) : + y = να αοδείξετε ότι οι εικόνες των M (z) ανήκουν στον κύκλο (c) : + y = 4 z ) Αν Im > και Μ (w) (δ) : y =, να αοδείξετε ότι z I w. Έστω ο αριθµός z = α + βi µε α,β R του οοίου οι εικόνες M (z) κινούνται στον κύκλο (κ) : + y = Έστω και οι αριθµοί w = i z Α) Αοδείξτε ότι τα Μ (w) κινούνται στον ίδιο κύκλο και µάλιστα OM(z) OM(w) Β) Αν z o είναι εκείνος ο z, ώστε το µέτρο z o να είναι το ελάχιστο δυνατό να αοδείξετε ότι w o 4 = 5, όου w o ο αντίστοιχος αριθµός w Γ) Αν (w z) = + i, να βρείτε τους z και w.4 Έστω οι µιγαδικοί z και z, µε z = και z = Α) Να αοδείξετε ότι + = z + z z z Β) Να αοδείξετε η αόσταση των εικόνων των z, z δεν υερβαίνει το Γ) Αν Ιm(z z ) =, = Re(z z ), iii) αοδείξτε ότι z ρ > iii) να βρείτε τον z z z = ρ + 4

13 Παρουσίαση.5 Έστω ο µιγαδικός z = + yi, ώστε z = z i Α) ιαιστώστε ότι οι εικόνες Μ (z) βρίσκονται σε ευθεία, την οοία να βρείτε. Β) Μετά, να βρείτε α αυτούς, εκείνον τον z ου έχει το ελάχιστο µέτρο. Γ) Έστω z o εκείνος ο µιγαδικός αό τους ιο άνω µε εικόνα στον Να υολογίσετε την τιµή της δύναµης z o y y.6 Έστω z = + κi, = κ i, κ R z Α) Να αοδείξετε ότι i) z = i και ii) = i z z Β) Να αοδείξετε ότι ii) z 4 4 z z = ii) Να αοδείξετε ότι ( + κi) + (κ i) = Γ) Αν ο αριθµός z z είναι φανταστικός, ii) να βρείτε τους z και z ii) και τότε να βρείτε τους 6 ν Ν, ώστε z + ( z) + ( z) ( z) = z 6 v.7 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, w, ώστε να είναι zw + = z w Α) Να αοδείξετε ότι z Β) Να εκφράσετε τον w, ως συνάρτηση του z Γ) Αν η εικόνα του w κινείται στον κύκλο κέντρου O (, ) και ακτίνας ρ = να αοδείξετε ότι η εικόνα M(z) του z κινείται στον άξονα y y ) Αν ο µιγαδικός z είναι φανταστικός, να αοδείξετε ότι w =.8 Έστω η εξίσωση (ε) : z συνθ z + =, θ, και z C Α) Να αοδείξετε ότι αυτή έχει δύο ρίζες µη ραγµατικές. Β) Έστω z, z οι ρίζες αυτής, ώστε Im( z ) > Im(z ) < iii) Να αοδείξετε ότι ( z + z z z ) iii) Να αοδείξετε ότι iii) Αν z = z z = 4ηµθσυνθi z i, να ροσδιορίσετε τους µιγαδικούς αριθµούς z, z

14 Παρουσίαση 4 _ z.9 Έστω οι µιγαδικοί z, z, ώστε + z = + i και z z = i Α) Να αοδείξετε ότι z = + i και = i Β) Να αοδείξετε ότι Im(z ) + Im(z ) = Im(z ) + Im(z ) Γ) ii) Να αοδείξετε ότι οι z = ν z, ν z, ii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση z + z, _ * ν Ν είναι ραγµατικοί ή φανταστικοί. ν ν = * ν Ν, έχει µοναδική λύση το 4. Έστω ο µιγαδικός αριθµός z, ώστε z i = Α) iii) Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των z κινούνται σε κύκλο. iii) Να αοδείξετε ότι z iii) Να αοδείξετε ότι 4 z + 4 4i 6 Β) Να αοδείξετε ότι το µέγιστο και το ελάχιστο του z i είναι αντίστοιχα το και το Γ) iii) Να αοδείξετε ότι z 5 iii) Να αοδείξετε ότι ( z 4i)( z + ) 6. Έστω ο αριθµός z = + yi C R και ο µιγαδικός w = z + i z Α) I ii) Αν w =, δείξτε ότι τα M (z) βρίσκονται στην ευθεία y = ii) Αν z =, δείξτε ότι τα M (w) βρίσκονται στην ευθεία y = Β) Iii) Αν w R, δείξτε ότι τα M (z) βρίσκονται σε ευθεία. I ii) Αν w I, δείξτε ότι τα M (z) βρίσκονται σε κύκλο. Γ) Αν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w βρίσκονται στην ευθεία ( ε) : y =, δείξτε ότι Re( z) + Im(z)

15 Παρουσίαση 5. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z = (λ ) + λi, λ R Α) Να αοδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόος των εικόνων των µιγαδικών z είναι η ευθεία ( ε) : y = + 4 Β) Αν ισχύει z + z =, να αοδείξετε ότι Re = z Γ) Αν z = και Im( z), να αοδείξετε ότι λ = _ ( z ) z +. Έστω ο µιγαδικός αριθµός Π(z) =, Re( z) Α) Να αοδείξετε ότι Π = Π(z) _ z _ z+ z Β) Έστω Α και Β δύο σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί, διαφορετικοί αό το Έστω και οι αριθµοί ii) Να αοδείξετε ότι z = ii) Να αοδείξετε ότι τα (, y) z = Α + Βyi,, ώστε να είναι Re Π z = Μ, είναι σηµεία της έλλειψης ( y e) : + = Α Β.4 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί w και z = + yi, µε, y R και z i οι οοίοι ικανοοιούν τις σχέσεις z i + z+ i = και _ w = z i + z i Α) Να αοδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόος των εικόνων των αριθµών z είναι ο κύκλος (κ) : + (y ) = Β) Να αοδείξετε ότι z _ + i = z i Γ) Να αοδείξετε ότι ο w είναι ραγµατικός, µε w ) Να αοδείξετε ότι 4 z + i 4 6 Ε) Να αοδείξετε ότι το µέγιστο µέτρο του z + i, είναι ίσο µε

16 Παρουσίαση 6 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

17 Παρουσίαση 7 Β. Α) Έστω η ορισµένη και αραγωγίσιµη στο (, + ) συνάρτηση f ώστε i) f(), ii) f () = f() f() ln, για κάθε > και iii) f () = Α ) Θα αοδείξουµε ότι f () = Α ) Θα αοδείξουµε ότι f () >, για κάθε > Α ) Θα εξηγήσουµε γιατί η h() = f() f ()( + ) είναι συνεχής στο [,e ] Β) Θα αοδείξουµε ότι υάρχει o (,e ), ώστε η εφατοµένη της C f στο σηµείο της A(, f( )) Γ ) Θα αοδείξουµε ότι ο ο να διέρχεται αό το σηµείο Β(,) ln f () = e, > Γ ) Θα µελετήσουµε τη συνάρτηση f ως ρος την µονοτονία και τα ακρότατα. Γ ) Αν α > e, να αοδείξετε ότι (α + ) α < α α+ ) Θα αοδείξουµε την ισοδυναµία = f () = f() ) Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση = στο διάστηµα (, + ) έχει ακριβώς λύσεις, µία την ροφανή την και µία ακόµα στο διάστηµα (,e) Αάντηση Α ) Αό f () = f() f() ln, για =, είναι f () = f() f()ln ή f () = Α ) Αφού η συνάρτηση f δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής, ως αραγωγίσιµη, θα διατηρεί ρόσηµο. Εειδή f() >, θα είναι f() >, για κάθε > Α ) Η συνάρτηση h() = f() f ()( + ) είναι συνεχής στο [,e ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι συνεχής ως ράξεις συνεχών. αφού αό τη σχέση f () = f() f() ln είναι f () = f()( ln ) Β) Η εφατοµένη ( ε) της f A o, f(o) είναι η ευθεία µε εξίσωση ( ε) : y f( ) = f ( )( ) C στο σηµείο ( ) o ln ή f () = f(), > Θέλουµε αυτή να εαληθεύεται αό τις συντεταγµένες του Β(,) Οότε f( o ) = f (o )( o ) f( o ) = f (o )(+ o ) f( ) f ( )(+ ) o o o o = o

18 Παρουσίαση 8 Έτσι, ααιτούµε να υάρχει o (,e ) ου να είναι λύση της εξίσωσης f( ) f ( )(+ ) o o o = Η συνάρτηση h() = f() f ()( + ) είναι συνεχής στο [,e ] Είσης h() = f() f()(+ ) = = < lne και h(e) = f(e) f (e)(e + ) = f(e) f(e) (e + ) = f(e) > e Οότε f ()f(e) < Εοµένως, ισχύουν οι υοθέσεις του θ. Bolzano και συνεώς θα υάρχει o (,e ), ώστε h( o ) = f( ) f ( )( + ) o o o = ln Γ ) Αό f () = f(), είναι και ln Οότε ln( f()) = + c, > και c R Για = αίρνουµε ln ( f() ) + c ln Άρα ln( f()) = ή f () ln = f() ln = ή ln( ) = c ή c = ln f () = e, για κάθε > ( ln( f()) ) ln = e ln Γ ) Είναι f () = f(), µε f() e + ln f () + ο Ισχύει f () = f() = ln = f o.µ. = e H µονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αραάνω ίνακα. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, e] και γνησίως φθίνουσα στο [e,+ ) Για = e, αρουσιάζει µέγιστο το f (e) = e e

19 Παρουσίαση 9 Γ ) Αν α > e, είναι α + > α > e, οότε f( α + ) < f(α), αφού η f είναι γν. φθίνουσα. ή ln(α+ ) α+ e < e ln(α) α ή ln(α + ) < α + ln(α) α ή αln(α + ) < (α + )ln(α) ή α ln(α + ) < ln(α) α+ ή τελικά (α + ) α < α α+ ) = ln = ln() ln() ln() ln() ln() = e = e f () = f() Είναι ροφανές ότι η εξίσωση = έχει τις ίδιες ρίζες µε την εξίσωση f () = f() ) Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση = στο διάστηµα (, + ) έχει ακριβώς λύσεις, µία την ροφανή, την, και µία ακόµα στο διάστηµα (,e) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() = f() f() Η µονοτονία της φ είναι ταυτόσηµη µε τη µονοτονία της f, αφού φ = f Μία λύση της φ είναι ο αριθµός ο =, αφού φ() = = και µάλιστα µοναδική στο [ e, + ), αφού η φ είναι γνησίως φθίνουσα σ αυτό. Στο διάστηµα (,e), η φ έχει ακόµα µία λύση. Πραγµατικά Η φ είναι συνεχής στο [,e], σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων. φ(e) = f(e) f() > αφού e< είναι και f(e)>f(), γιατί η f είναι γνήσια φθίνουσα στο [e,+ ) φ() = f() f() < αφού < είναι και f()<f() αφού ln ln f () < f() e < e Εοµένως φ()φ(e) < ln ln < ln < ln ln < ln 8 < 9 Σύµφωνα µε το Θ.Bolzano, υάρχει (,e) ώστε φ( ) = f( ) = f() ηλαδή, το είναι ρίζα της φ και µάλιστα µοναδική στο διάστηµα (,e) αφού η f είναι γνήσια αύξουσα σ αυτό.

20 Παρουσίαση Γ. Α) Έστω η ορισµένη και στο R συνάρτηση f και η ορισµένη στο διάστηµα συνάρτηση g, µε και f ( g() ) =, για κάθε τιµή του αό το g ( ) = R Αοδείξτε ότι η συνάρτηση g είναι η αντίστροφη f της συνάρτησης f στο dt Β) Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση f () =, µε R + t Β ) Θα µελετήσουµε την f ως ρος τη µονοτονία και την καµυλότητα. Β ) Θα αοδείξουµε ότι η f είναι και εριττή. Β ) Θα αοδείξουµε ότι η h() f( εφ) Β 4 ) Θα βρούµε την αντίστροφη συνάρτηση Β 5 ) Θα αοδείξουµε ότι =, µε, είναι σταθερή. lim f() = και f της συνάρτησης f lim f() = + Β 6 ) Αφού διαιστώσουµε ότι η y = είναι η εφατόµενη της C f στο Ο (,) µετά θα αραστήσουµε τη συνάρτηση f στο καρτεσιανό είεδο. d Γ) Θα βρούµε τα ολοκληρώµατα Γ ) I = και Γ ) I = + d + Αάντηση Α) Έστω η στο R συνάρτηση f και η ορισµένη στο συνάρτηση g Αό f ( g() ) =, για κάθε ισοδύναµα είναι f ( f(g() ) = f () ή ( f o f )( g() ) = f () =Α g g ( ) = R A f = R g= f g() = f () f ( f og() ) = I() = f(r) f ( g() ) = ή g() = f (), f og= I ηλαδή η συνάρτηση g είναι η αντίστροφη της συνάρτησης f στο σύνολο

21 Παρουσίαση dt Β) Έστω η συνάρτηση f () =, R + t Β ) f () = + >, και έτσι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R f () = = και ροφανώς η f στρέφει τα κοίλα άνω στο R + ( + ) και τα κοίλα κάτω στο R + Β ) f( ) = dt = d( t) = dy = dt = f() t ( t) y t θέτουµε: t = y Μετονοµάζουµε: y = t Οότε διαιστώνουµε ότι η f είναι εριττή στο R Θα µορούσαµε να κινηθούµε και µε τον ιο κάτω τρόο. dt Θεωρούµε τη συνάρτηση h () = f( ) + f() = + + t Αυτή είναι αραγωγίσιµη ως ράξεις αραγωγισίµων. dt + t dt dt Οότε h () = = ( ) + = + t + + t + ( ) + ηλαδή, είναι σταθερή στο R Συνεώς dt dt h() h() = + = + t και έτσι είναι f ( ) + f() = ή f( ) = f() + t εφ Β ) h() = f(εφ) = dt, µε =, + t συν h () = (εφ) = = = + εφ ηµ συν συν + ηµ συν + συν Άρα, η συνάρτηση h είναι σταθερή, µε h() h() = dt = + t ηλαδή f(εφ) = ή f (εφ) =, µε

22 Παρουσίαση Β 4 ) Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα, είναι, δηλαδή είναι αντιστρέψιµη. Θέτουµε g () = εφ, µε =, y = εφ Το εδίο τιµών της g () = εφ είναι ροφανώς το R / O / Αό f ( εφ) = ή f ( g() ) = διαιστώνουµε αό το ρώτο ερώτηµα, ότι f () = εφ, Β 5 ) Το εδίο τιµών της f είναι το εδίο ορισµού της και το εδίο ορισµού της f είναι το εδίο τιµών της Η f είναι γνήσια αύξουσα και ροφανώς συνεχής. Το εδίο τιµών της είναι το f(r) = lim + f f f(), lim f() ( A ) Αf = f f f f f f(α) = Α Όµως, το εδίο τιµών f (R) ταυτίζεται µε το εδίο ορισµού της f ηλαδή lim f(), lim f() =, +, άρα lim f() =, lim f() = + Μορούµε να κινηθούµε και µε τον ιο εξής τρόο. Είναι γνωστό ότι lim + εφ = Αό την σύνθεση στα όρια ροκύτει lim f(εφ) = lim f(y) = lim f() + Θέτουµε y y = εφ y Ο c g c f Εειδή f (εφ) = θα είναι και ηλαδή lim + f(εφ) = lim + = lim f() = και ανάλογα διαιστώνουµε ότι lim + f() =

23 Παρουσίαση Β 6 ) Η εφατοµένη της στο σηµείο της Ο(,) C f είναι η ευθεία ( δ) : y f() = f ()( ) y cg ( δ): y = c f ή ( δ) : y = Ο Όως είδαµε και ροηγούµενα δίλα είναι τα διαγράµµατα των f, f Γ ) Ι = = = = d = + dt f() f εφ + t 4 4 Το ιο άνω ολοκλήρωµα µορούµε να το υολογίσουµε και µε τον αρακάτω τρόο. Ι 4 ( ) 4 = d = εφu du = συν u du = du = + + εφ u συν u Θέτουµε = εφu και αν = είναι u = και αν = είναι u = Γ ) Είναι Ι = + d = = d + + d d d = f ( ) + f(), αφού η f είναι εριττή. = f () + = f() = 4 = f()

24 Παρουσίαση 4 ΑΛΥΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Θ. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z και w = z iz + 4, όου z ο συζυγής του z Α) Να αοδείξετε ότι Re( w) = Re(z) Im(z) + 4 και Im( w) = Im(z) Re(z) Β) Αν οι εικόνες του w στο είεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = να αοδείξετε ότι οι εικόνες του z, κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = Γ) Να βρείτε οιος αό τους αραάνω µιγαδικούς z, έχει το ελάχιστο µέτρο. Θ. Έστω η συνάρτηση f() = 4 + 6, Α) Να αοδείξετε ότι η f είναι C f - Β) Αφού διαιστώσετε ότι η f αντιστρέφεται, µετά να βρείτε την Γ) Προσδιορίστε τα κοινά σηµεία των C f, C µε την ( δ) : y = f C f f ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f Θ. Έστω η συνάρτηση f, ώστε e f( ) =, R + e e Α) Να αοδείξετε ότι f() =, µε R e + Β) Να αοδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ροσδιορίσετε την f Γ) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει µοναδική ρίζα το Μηδέν. α ) Να αοδείξετε ότι f ()d =, για κάθε ραγµατική αράµετρο α (, ) Θ.4 Έστω η συνεχής συνάρτηση Α) Να αοδείξετε ότι α = και β = α f() = α + β + ln f() f() f() Β) Να υολογίσετε τα i) lim, ii) lim + Γ) Να αοδείξετε ότι f() d = 6 αν αν < <, όου α, β R αν

25 Παρουσίαση 5 Θ.5 Έστω ο z i z = a + bi, a,b R και η f() = z + Α) Να αναφέρετε αν αυτή είναι συνεχής στα διαστήµατα (, + ) και (,] Υοθέτουµε τώρα ότι αυτή είναι συνεχής στο R αν αν > Β) Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των z βρίσκονται σε ευθεία την οοία και να βρείτε. Γ) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim f() + ) Να αοδείξετε ότι υάρχουν µόνο δύο τέτοιοι µιγαδικοί, οι z =, z = + i α + e Θ.6 Έστω η συνάρτηση f() =, για κάθε R και η αράµετρος α R + + e + + Γνωρίζουµε ότι ( e ) f () = e e Α) Να αοδείξετε ότι α = +, για κάθε R Β) Να µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονία. Γ) Για κάθε <, αοδείξτε ότι f (5) + f(7) < f(6) + f(8) Θ.7 Έστω η συνεχής στο R συνάρτηση f, ώστε f() = + µε f(), για κάθε R + f(t + ) dt f(t ) t +, R Α) Να αοδείξετε ότι η f είναι αραγωγίσιµη στο R, µε f ()( f() ) = f() Β) Να αοδείξετε ότι υάρχει c R ώστε c f() = f ( ) Γ) Να αοδείξετε ότι f() = + 9 +, R ) ii) Να αοδείξετε ότι η f είναι κυρτή. ii) Να αοδείξετε ότι Θ.8 Έστω η συνάρτηση + f() Θέλουµε να είναι f( R) = (,] + + +, για κάθε R f (t) dt < f(t) dt, για κάθε R = + 4 m, m > Α) Να αοδείξετε ότι υάρχει τέτοιος m και είναι ο m = 8 Β) Να αοδείξετε ότι η f δεν είναι Γ) Να αοδείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό το διάγραµµα 7 της f, τους άξονες, y y και την ευθεία =, ισούται µε Ε = τ.µ. ln

26 Παρουσίαση 6 5 (λ + λ ) κ + Θ.9 Έστω η συνάρτηση f() =, κ, λ R και Η ευθεία ( δ) : y = είναι λάγια ασύµτωτη της C f στο + Α) Να αοδείξετε ότι κ = και λ = Β) ii) Να αοδείξετε ότι η ( δ) : y = είναι λάγια ασύµτωτη της C f και στο ii) Να αοδείξετε ότι η ( ε) : = είναι κατακόρυφη ασύµτωτη της C f Γ) Να εξετάσετε την f ως ρος τη µονοτονία. ) Να αοδείξετε ότι f() αν < και f () +, αν > Θ. Έστω η f() = κ +, µε κ R, για κάθε R Γνωρίζουµε ότι το είναι κρίσιµο σηµείο της f Α) Να αοδείξετε ότι κ = Β) iiii) Να µελετήσετε την f ως ρος τα ακρότατα. iii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f iii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() = α α + για κάθε τιµή του α R, έχει ακριβώς µία λύση στο R Θ. Έστω η συνεχής συνάρτηση 9 f() = α e αν αν > Α) Να αοδείξετε ότι α = Β) Να βρείτε την εφατοµένη ( ε) της C f στο σηµείο της A (, f() ) Γ) Να αοδείξετε ότι lim f() = lim f() + Α ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό το διάγραµµα C της f, την ευθεία ( ε) και την ευθεία =

27 Παρουσίαση 7 Θ. Έστω η ορισµένη στο (, + ) συνάρτηση f ώστε f () = l n + c, c R, f () = ln +, για κάθε > και f () = Α) ii) Να αοδείξετε ότι c = ii) Να αοδείξετε ότι l f() = n, > Β) Να µελετήσετε την µονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα της f Γ) Να µελετήσετε την f ως ρος την κυρτότητα και να βρείτε τις καµές της. Θ. Έστω οι αραγωγίσιµες στο R συναρτήσεις και Είναι ( f(t) g (t)) dt = e e + f, g, µε f, g συνεχείς. f ()g() = e, για κάθε R και η ευθεία ( δ) : y = είναι εφατοµένη της C f στο σηµείο της O (,) Α) Να αοδείξετε ότι f ()g() = e, για κάθε R Β) Να αοδείξετε ότι g () >, για κάθε R Γ) Να βρείτε το ρόσηµο της f ) Να αοδείξετε ότι g () = e και f () =, R Θ.4 Έστω η συνάρτηση f() = λ, µε λ (,) σταθερά. Α) είξτε ότι η f αρουσιάζει ένα τ. µέγιστο, ένα τ. ελάχιστο και µία καµή. Β) είξτε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς τρεις ραγµατικές ρίζες. Γ) Αν, είναι οι θέσεις των τ. ακρότατων και η θέση της καµής, δείξτε ότι τα Α(,f() ), Β (,f( ), Γ(,f( )), βρίσκονται στην ( ε) : y = λ ) ) Να υολογίσετε το εµβαδόν E του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση C της συνάρτησης f και την ευθεία ( ε) Θ.5 Έστω η συνάρτηση f() = α ln( + ), α >, ώστε f(), για κάθε > Α) Να αοδείξετε ότι α = e Β) Να αοδείξετε ότι e ln(e + e) Γ) iii) Να αοδείξετε ότι η f είναι κυρτή. e iii) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) iii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ( ) f = ( ) f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) 7

28 Παρουσίαση 8 Θ.6 Έστω η συνάρτηση f() ln ( ( ) e ) + =, R Α) Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. Β) Να αοδείξετε την ισοδυναµία: e = {, } 4 + Γ) Να αοδείξετε ότι οι κλίσεις της C f αίρνουν τιµές αό το διάστηµα [, ] ) Να βρείτε την τιµή του ολοκληρώµατος f() d Ε) Να βρείτε την τιµή των Ι + + = d + και J = d Θ.7 Έστω η ορισµένη στο (, + ) συνάρτηση f, ώστε και f () =, f() = Α) Να αοδείξετε ότι f() = ln e Β) Να αοδείξετε ότι e, για κάθε > f () =, > Γ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό το διάγραµµα C της f, τον και τις ευθείες µε εξισώσεις = και = e Θ.8 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση 4 Α) Να αοδείξετε ότι f() = + Β) Να αοδείξετε ότι f(r) = [, ] Γ) Να βρείτε το f() d i f() = + i + Θ.9 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, µε f συνεχή. για την οοία ισχύει ( + )f() f(t) dt = +, για κάθε R Α) Να αοδείξετε ότι f () = Β) Να αοδείξετε ότι f () =, R Γ) Να βρείτε την f ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου, ου ερικλείεται αό το διάγραµµα της f τον και την ευθεία =

29 Παρουσίαση 9 e f () + Θ.46 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε + f() =, R Γνωρίζουµε ότι αυτή είναι συνεχής στο R Α) ii) Να αοδείξετε ότι υάρχει η f και να βρείτε τον τύο της f στο f (R) ii) Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R Β) ii) Να αοδείξετε ότι lim f() = και lim f() = + + ii) Να αοδείξετε ότι η αντίστροφη f ορίζεται τελικά στο διάστηµα R iii) Να λύσετε τις εξισώσεις f () =, f () = e, f () =, f () = Γνωρίζουµε είσης τώρα ότι η f είναι και αραγωγίσιµη στο R Γ) iii) Να αοδείξετε ότι f() iii) Αφού αοδείξετε ότι f ()( e + ) = f(), µετά υολογίστε το = e d I + f() iii) Υολογίστε τα όρια e lim f() και f() lim + f() ) iii) Να αοδείξετε ότι η f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο R iii) Να αοδείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο R iii) Να αοδείξετε ότι f(), για κάθε R Ε) iii) Να αραστήσετε την αντίστροφη f και την f στο καρτεσιανό είεδο. ii) Υολογίστε την τιµή του ολοκληρώµατος J = e f() d

30 Παρουσίαση Θ.47 Έστω η συνάρτηση f / = [, ], µε f συνεχή και f = f = ώστε να είναι συν f() ηµf (), για κάθε [, ] Α)i iii) Να αοδείξετε ότι f() i ii) Να αοδείξετε ότι f() Β) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση ηµ Φ () = δεν µορεί να οριστεί στο [, ] f() Γ) Έστω τώρα και η συνάρτηση Τ () = f() ηµ iii) Να αοδείξετε ότι Τ (), για κάθε (, ) iii) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση Τ είναι γνήσια αύξουσα στο (, ) iii) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ακριβώς µία ρίζα ρ στο [, ] iiv) Να βρείτε το ρόσηµο της συνάρτησης f iiv) Να αοδείξετε ότι f () < και ότι f () > ivi) Να αοδείξετε ότι < ρ < vii) Να αοδείξετε ότι f < 4 ) ii) Να αοδείξετε ότι lim Τ() = και lim Τ() = + ii) Να αοδείξετε ότι T ((, ) ) = R

31 Παρουσίαση Θ.48 Α) Έστω η ορισµένη και συνεχής στο R συνάρτηση f και α,β R i) Είναι γνωστό ότι αν α = β, τότε f()d = f() =, τότε f()d = Αν όµως α β και η f δεν είναι µηδενική, δείξτε ότι αυτή έχει µία ρίζα. ii) Έστω ότι f() και f(t) dt = ρ, να βρείτε τον ρ Β) Αν για την ορισµένη και συνεχή στο = [α,β] συνάρτηση h β µε h() για κάθε [α,β] είναι h() d =, να αοδείξετε ότι h () = Γ) Αν τώρα για την ορισµένη και συνεχή στο = [,] συνάρτηση f είναι f () d = e και e f() d = e, να βρείτε την f α ) Αν για την ορισµένη και συνεχή στο, συνάρτηση f είναι f() συν για κάθε, και f() d =, να βρείτε τη συνάρτηση f β α β α Ε) Έστω και η συνάρτηση f() = e ορισµένη στο διάστηµα = [,] ii) Να αοδείξετε ότι f n (), για κάθε n N n ii) Αν τώρα ξέρουµε ότι (e ) d =, µε n N, αοδείξτε ότι n = Ζ) Έστω η αραγωγίσιµη στο οοιοδήοτε διάστηµα [ α,β], συνάρτηση f β β + α για κάθε α,β R α µε συνεχή f, ώστε ( f() ) d ( f ()) d = f (α) f (β) i) Να αοδείξετε ότι f () + f() =, [α,β] α+ β α β ii) Αν e + f =, να βρείτε τον τύο της f Η) Έστω η ορισµένη και συνεχής στο [,] συνάρτηση f Γνωρίζουµε ότι Να αοδείξετε ότι f f () = () d f() d

32 Παρουσίαση ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

33 Παρουσίαση ιαγώνισµα Όνοµα:.. ΒΑΘΜΟΣ:.. ιάρκεια: ώρες Ηµεροµηνία: / /.. ΘΕΜΑ Α Α Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ο ένα εσωτερικό σηµείο του στο οοίο είναι αραγωγίσιµη. Αν η f αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο, δείξτε ότι f ( ο ) = (9 µονάδες) ο Α Να αναφέρετε ότε λέµε ότι µια συνάρτηση f αρουσιάζει στο σηµείο του εδίου ορισµού της τοικό ελάχιστο. ο (6 µονάδες) Β Ααντήστε µε ένα Σωστό ή Λάθος ( µονάδες) Β Κατά την εέκταση αό το σύνολο R των ραγµατικών αριθµών στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών, η διάταξη και οι ιδιότητές της ου ισχύουν στο R εξακολουθούν να ισχύουν και στο C Β Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος στα οοία η συνεχής f δεν αραγωγίζεται ή η αράγωγός της είναι ίση µε λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο Β Αν lim f() = ο και f () > «κοντά» στο ο, τότε ισχύει lim = + ο f() Β 4 Αν για τη συνεχή f είναι f() d = υάρχει ρ [,], ώστε f (ρ) > Β 5 Μία συνάρτηση f : A R είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της, η εξίσωση f () = y έχει ακριβώς µια λύση ως ρος

34 Παρουσίαση 4 ΘΕΜΑ Β Έστω οι µιγαδικοί z, w ώστε z(n w) = nw, µε n Ν, n > και w = Α) Να αοδείξετε ότι z n ( µονάδες) Β ) Να αοδείξετε ότι nz = n z (5 µονάδες) Β ) Να αοδείξετε ότι τα Μ (z) ανήκουν στον κύκλο (κ) : + y = (5 µονάδες) Γ) Έστω z z, οι εικόνες δύο µιγαδικών αό τους ροηγούµενους αριθµούς z z z Να αοδείξετε ότι Γ ) z + z και Γ ) A = + R (8 µονάδες) z z = ) Αν είναι και Α =, να αοδείξετε ότι z z (5 µονάδες) ΘΕΜΑ Γ Έστω η αραγωγίσιµη συνάρτηση f : [, + ) R και f () = για την οοία ισχύει < f () < +, για κάθε (, + ) Α ) Να αοδείξετε ότι οι συναρτήσεις g() = f() και h() = + f() είναι γνησίως αύξουσες στο [, + ) (6 µονάδες) Α ) Να αοδείξετε ότι f() + (4 µονάδες) f() Α ) Να αοδείξετε ότι lim = + (4 µονάδες) Β) Να αοδείξετε ότι υάρχει µόνο ένας o >, ώστε f( o ) = (4 µονάδες) Γ) Να βρείτε τον ΘΕΜΑ * v N και τον Έστω η συνεχής συνάρτηση ( ) * l R, ώστε lim v f = l + (7 µονάδες) f : (, + ) R, τέτοια ώστε f(), για κάθε > lnt t e f(t)dt dt, ln dt e f() f(t) =, για κάθε > + Α) Να αοδείξετε ότι f() e ( ln ) =, για κάθε > (5 µονάδες) Β ) Να αοδείξετε ότι ln, για κάθε > (5 µονάδες) = Β ) Να αοδείξετε ότι η F () f(t) dt, > είναι κυρτή. (5 µονάδες) Γ) Να αοδείξετε ότι F () + F() > F(), για κάθε > (5 µονάδες) ) Να αοδείξετε ότι ακριβώς ένα r (, ), ώστε F () + F() = F(r ) (5 µονάδες) ÊáëÞ åðéôõ ßá!

35 Παρουσίαση 5

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων.

1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων. 1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οοία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)χ 2 +1,χ 0 και ερνάει αό την αρχή των αξόνων. f x f x x + 1 (1) x 0 H f(x) ερνάει αό το (0, 0) f(0) 0 (2) (1) x Άρα οι συναρτήσεις διαφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (κωδικός μαθήματος: 37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμτη, 3

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c,

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c, Σύγχρονο www.asma.ro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο sit του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα)

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) 8 Μαΐου 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Μαθηματικά Ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα