[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2."

Καλυψώ Λύτρας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει η σχέση: f() f () [f ()], για κάθε. β) Να βρεθεί το µέγιστο διάστηµα, στο οοίο η συνάρτηση g µε g() = ln( + ) έχει την ιδιότητα g (). α) Έχουµε για κάθε g () = f () f() g () και g () = f () f() [f ()] [f()] f () f() [f ()] [f()]. f() f () [f ()]. β) Έχουµε g() = lnf() και f() = + >, για κάθε. Οότε σύµφωνα µε το α) ερώτηµα: g () f() f () [f ()] ( + ) () Άρα το ζητούµενο διάστηµα είναι το [-, ].. α) Να µελετηθεί ως ρος τη µονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση f µε f() = α, και < α <. β) Να βρεθούν οι ραγµατικές τιµές του λ, για τις οοίες ισχύει η ισότητα λ 4 α α λ = (λ 4) (λ ), όου < α <. α) Για κάθε έχουµε f ()= α lnα <, αφού α >, lnα <, για < α <, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και f () = α (lnα) >, αφού α > και (lnα) >, άρα η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο. β) Για < α < έχουµε λ 4 α λ α = (λ 4) (λ ) λ 4 α (λ λ 4) = α (λ ) f(λ 4) = f(λ ) f - λ 4 = λ λ λ = λ = - ή λ =.

2 3. ίνεται η συνάρτηση f µε f() = ( + 4) e -,. Να υολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου ου ορίζεται αό τα σηµεία (, y) µε -, y f(). Έχουµε ότι η f είναι συνεχής στο [-, ] (γινόµενο συνεχών συναρτήσεων) και f() > και για κάθε [-, ]. Άρα το ζητούµενο εµβαδό είναι Ε = f() d - + e ( 4) = f() d = ( + 4) e d = ( + 4) ( e ) d = = e (+ 4) e - ( 4) ( e + ) d = e ( + 4) - - = = (e 3) e τ.µ. - - ( e ) - d 4. α) Να αοδειχθεί ότι µία συνάρτηση f ορισµένη στο έχει την ιδιότητα f = f αν και µόνο αν f() = ce, όου c ραγµατική σταθερά. β) Να βρεθεί η συνάρτηση g ορισµένη στο διάστηµα (-, ), η οοία ικανοοιεί τις σχέσεις: g () συν + g() ηµ = g() συν και g() = 99. α) Για κάθε έχουµε f () = f() f () f() = e - f () e - f()) = e - [e - f() ] = e - f() = c f() = ce, όου c. β) Για κάθε (-, ) έχουµε g () συν + g() ηµ = g() συν g () συν g() (συν) = g() συν συν > g () συν g() (συν) g() συν = ce συν = g() συν g() = ce συν. ( g() g() ) = συν συν αό α) Για = έχουµε g() = ce συν 99 = c c = 99. Άρα g() = 99e συν, (-, ).

3 5. Να αοδείξετε ότι για κάθε στο ανοικτό διάστηµα (, ) ισχύει η σχέση: + < e < + e. Για κάθε (, ) έχουµε + < e < + e < e < e < Έστω f() = e µε [, ] και (, ). Η f είναι συνεχής στο [, ] (αραγωγίσιµη). Η f είναι αραγωγίσιµη στο (, ), µε f () = e. < e. Άρα εφαρµόζεται το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για την f στο [, ], εοµένως υάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f() f() e ξ =. Εειδή ξ (, ) < ξ < < e < e ξ < e e < < e < < e. 6. ίνεται η συνάρτηση f µε f() = ηµ, αν, αν = 3 α) Να αοδείξετε ότι η f είναι αραγωγίσιµη στο. β) Να βρείτε την αράγωγο της f για κάθε. α) Για κάθε η συνάρτηση f() = 3 ηµ είναι αραγωγίσιµη (γινόµενο αραγωγίσιµων συναρτήσεων), αφού η συνάρτηση ηµ είναι αραγωγίσιµη (σύνθεση αραγωγίσιµων συναρτήσεων). Για = µε τον ορισµό έχουµε: f() f() ηµ = = ηµ = ( ηµ ) =, διότι: 3 ηµ = (αφού ηµ ) ηµ ηµ

4 Εειδή = Κ.Π. ( ηµ = ) =. ( ) Άρα η f είναι αραγωγίσιµη στο = µε f () =. β) Για κάθε έχουµε f () = ( 3 ) ηµ + 3 (ηµ ) = 3 ηµ + 3 συν ( ) = 3 ηµ + 3 συν (- ) = 3 ηµ συν. Άρα f () = 3 ηµ συν,., = 7. ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 4 (ln ) (ln ), >. α) Να βρείτε την αράγωγο f της f για κάθε >. β) Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη µονοτονία και τα τοικά ακρότατα. γ) Να υολογιστεί το ολοκλήρωµα E() = ( ) ln d, για κάθε >. δ) Να βρείτε το όριο + α) Για κάθε > έχουµε E (). ln f () = (ln ) + 4 (ln ) = ln + ln + = ln ln = ( ) ln. β) f () = ( )ln = = = ή ln = =. Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα (, ], [, + ), η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], ενώ f ( ) ln ln 3 ln3 f () // + + f() // αρουσιάζει τοικό µέγιστο στη θέση το f() = 7 4 και

5 τοικό ελάχιστο στη θέση το f() = 3 ln. γ) Για κάθε > έχουµε : E() = ( ) ln d αό α) 4 (ln ) (ln ) 7 4. [ ] = f () d = f() = f() f() = δ) Για κάθε > έχουµε E () = ( ( ) ln d ) = ( ) ln. Εοµένως: + E () ln = + ( ) ln ln = + = ( + ) = =. 8. Να βρείτε ολυωνυµική συνάρτηση f µε f() = α 3 + β + γ, και α, β, γ ραγµατικούς αριθµούς, η οοία ικανοοιεί τις ακόλουθες συνθήκες: (i) Η συνάρτηση f είναι εριττή. (ii) Η συνάρτηση f αρουσιάζει τοικό µέγιστο στο σηµείο =. (iii) f()d =. Αφού η f είναι εριττή, για κάθε έχουµε f(- ) = - f() οότε α(- ) 3 + β(- ) + γ = - (α 3 + β + γ) - α 3 β + γ = - α 3 β γ γ = γ =. f () = 3α + β, εειδή η συνάρτηση f (ολυωνυµική) είναι αραγωγίσιµη στο και αρουσιάζει τοικό µέγιστο στο σηµείο =, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Ferma έχουµε f () = 3α + β = 3α + β = β = - 3α () β= 3α f() d = 3 = γ= (α 3α) d 4 α 3α 4 4α 6α = α = -. Άρα αό την () αίρνουµε β = 3. Εοµένως f()= ,. = 9. Η συνάρτηση g έχει συνεχή αράγωγο στο κλειστό διάστηµα [, ] και g() = e -. Αν [g() + g ()] e d συνάρτησης g στο σηµείο =. Έχουµε: =, να βρείτε την τιµή της [g() + g ()] e d = [g() (e ) + g () e ] d =

6 (g() e ) d = g() e = g() e g() e = e - e g() = g() = g() = -.

Σχετικά έγγραφα

1 εφ x dx. 1 ν 1. συνx. 2 + ln1 = - ln 2. J 3-2 = 1 2 J 1 = ln 2 2, οπότε. x lnx 2 x, x > 0.

1 εφ x dx. 1 ν 1. συνx. 2 + ln1 = - ln 2. J 3-2 = 1 2 J 1 = ln 2 2, οπότε. x lnx 2 x, x > 0. 99 ΘΕΜΑΤΑ. Αν J ν ν εφ d, ν *, τότε α να αοδείξετε ότι για κάθε ν >, ισχύει J ν β να υολογίσετε το J 5. α Έχουµε J ν-, ν J ν ν εφ d εφ εφ d εφ ( d συν εφ d συν εφ d εφ (εφ d J ν- β Έχουµε ν εφ ν J ν- ν