ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 172 ΚΑΤΟΠΤΡΑ

Transcript

1 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 7 ΚΑΤΟΠΤΡΑ ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΟΠΤΡΑ: Θεωρούµε γρµµικό ντικείµενο που βρίσκετι σε πόστση (πόστση του ντικειµένου) πό επίπεδο κάτοπτρο. A B Σχήµ 95 Μερικές πό τις κτίνες που εκπέµπει το φωτεινό ντι κείµενο ΑΒ προσπίπτουν πάνω στο κάτοπτρο κι νκ λώντι. Μετά την νάκλση οι κτίνες εξκολουθούν ν ποκλίνουν, λλά εάν προεκτείνουµε τις νκλ σθείσες κτίνες πίσω πό το κάτοπτρο, θ δούµε ότι όλες συγκλίνουν στο ίδιο σηµείο Α,που βρίσκετι πί σω πό το κάτοπτρο.κτά τον πρτηρητή, το σηµείο υτό είνι η πηγή των κτίνων που πρτηρεί. Ονοµά ζουµε το ντικείµενο Α Β είδωλο του ΑΒ. Τ είδωλ σχηµτίζοντι πάντοτε στο σηµείο όπου οι φωτεινές κ τίνες ή οι προεκτάσεις τους συγκλίνουν. Η πόστση κλείτι πόστση του ειδώλου. Τ είδωλ µπορεί ν είνι πργµτικά ή φντστικά. Έν είδωλο είνι πργµτικό,ότν σχηµτίζετι πό την τοµή των πργµτικών φωτεινών κτίνων. Αντίστοιχ,έν είδωλο είνι φντστικό, ότν σχηµτίζετι πό την τοµή των προεκτάσεων των φωτεινών κτίνων. Συγκεντρωτικά νφέρουµε ότι τ είδωλ που σχηµτίζοντι πό επίπεδ κάτοπτρ προυσιάζουν τις πρκάτω ιδιότητες η Το είδωλο είνι φντστικό κι όρθιο. η Το είδωλο κι το ντικείµενο ισπέχουν πό το επίπεδο κάτοπτρο. 3 η Γενικά ορίζουµε ως µεγέθυνση το µέγεθος m.γι επίπεδ κάτοπτρ m. 4 η Το είδωλο έχει υποστεί νστροφή δεξιού - ριστερού. ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΑΤΟΠΤΡΑ Ότν η νκλώσ επιφάνει κάτοπτρο κλείτι σφιρικό. Λ κτόπτρου, ποτελεί τµήµ σφίρς, τότε το β Ο Ε Κ Κ Ε O ε Κ Ε Ο Μ Σχήµ 96 Σχήµ 97 Σχήµ 98 Γι ν µπορέσουµε ν µελετήσουµε τις ιδιότητες κι τ φινόµεν, που συνδέοντι µε τ κάτοπτρ, χρειάζετι πρώτ ν νφέρουµε µερικούς ορισµούς. Κορυφή του κτόπτρου κλείτι έν σηµείο Ο, που βρίσκετι στο κέντρο της επιφάνεις του (Σχήµ 96). Η ευθεί ΚΟ, που ενώνει την κορυφή µε το κέντρο Κ της σφίρς, ονοµάζετι κύριος άξονς. Κάθε άλλη ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο Κ ονοµάζετι δευτερεύων άξονς, ενώ η γωνί ΛΚΜ κλείτι άνοιγµ του κτόπτρου. Η κτίν κµπυλότητς της

2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 73 σφίρς είνι κι το κέντρο κµπυλότητς (όπως ονοµάζετι το κέντρο της σφίρς) θ συµβολίζετι µε Κ. Κάθε κτίν πράλληλη στον κύριο άξον (Σχήµ 97), που νκλάτι πάνω στο σφιρικό κάτοπτρο διέρχετι πό το σηµείο Ε,που κλείτι κύρι εστί του κτόπτρου. Η πόστση της εστίς πό το οπτικό κέντρο, κλείτι εστική πόστση f. Η εστική πόστση f είνι, πάντοτε, ίση µε το µισό της κτίνς της σφίρς, δηλδή είνι : f Ότν η δέσµη προσπίπτει πράλληλ προς έν δευτερεύοντ άξον (Σχήµ 98), οι κτίνες, µετά την νάκλση, συνέρχοντι σε έν σηµείο ε το οποίο βρίσκετι πάνω στο δευτερεύοντ άξον. Το σηµείο υτό ονοµάζετι δευτερεύουσ εστί.ότν µετβάλλετι η διεύθυνση της προσπίπτουσς δέσµης δηµιουργούντι διάφορες δευτερεύουσες εστίες, οι οποίες κτά προσέγγιση, βρίσκοντι όλες εντός ενός επιπέδου, που είνι κάθετο στον κύριο άξον κι περνάει πό την κύρι εστί Ε. Το επίπεδο υτό ονοµάζετι εστικό επίπεδο. Τ κοίλ σφιρικά κάτοπτρ χρκτηρίζοντι γενικά πό µικρό γωνικό άνοιγµ. O I I ΤΥΠΟΣ ΤΩΝ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΚΑΤΟΠΤΡΩΝ Ζ A O I β θ I 3 θ θ A Α Y Γ Y O B Σχήµ 99 Σχήµ 00 Σχήµ 0 Α. ΚΟΙΛΑ ΚΑΤΟΠΤΡΑ Ο τύπος των κοίλων σφιρικών κτόπτρων. η Απόδειξη ( Μέσω της πρώτης διτύπωσης της ρχής του Fermat) Ανφερόµενοι στο σχήµ 99 θ πρέπει t AI + t IA min, ή ( AI ) + ( AI ) min, ή + min () ( + ( ) ( )cosθ ) / + ( + ( ) ( )cos(80 θ ) / ή ( ) / + ( ) ( )cosθ + ( ( ) + ( )cosθ ) / min + min Πρέπει : d( ) + min () dθ δηλδή ( ( ) ( sinθ )) + ( ( ) ( sinθ )) 0 ή ( ) ( ), ή,ή ή + + ή + +

3 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 74 ή Γι µικρό όµως άνοιγµ ( 80 ) +. θ, κι η Απόδειξη ( Μέσω της δεύτερης διτύπωσης της ρχής του Fermat). η(αι) + η(ια ) η(αο) + η(οα ) () Αν θέλουµε το είδωλο του Α ν σχηµτισθεί στο Α (Σχήµ 99), τότε το σχήµ της επιφάνεις πρέπει ν είνι τέτοιο ώστε όλοι οι οπτικοί δρόµοι ν είνι ισοδύνµοι(στη συγκεκριµένη περίπτωση, επειδή οι κτίνες εκπορεύοντι κι νκλώντι µέσ στο ίδιο µέσο, πρέπει όλες οι κτίνες ν χρειάζοντι την ίδι χρονική διάρκει πό το Α στο Α ). Επιλέγουµε τις διδροµές ) µέσω Ι δηλδή ΑΙΑ κι β) µέσω Ο δηλδή ΑΟΑ. Προφνώς η νκλώσ επιφάνει δεν µπορεί ν είνι επίπεδη, κάθετη στον κύριο άξον στο σηµείο Ι, διότι ν το Ι είνι πάνω στην επίπεδη υτή επιφάνει, τότε θ ισχύει : AI >AO κι I > O. Προφνώς πρέπει ν κµπυλωθεί η επιφάνει ώστε ν ισχύει η σχέση (), η οποί τελικά γράφετι : ΑΙ+ΙΑ ΑΟ+ΟΑ () Από το Σχήµ 99 προκύπτουν οι σχέσεις : ΑΙΑΙ + /, A IA I + /. Πράγµτι πό το τρίγωνο ΑΙΙ προκύπτει: AI - AI (AI + AI ) (AI - AI ). Όµως ΑΙ+ΑΙ ΑΟ όποτε: (AI-AI ) κι τελικά: AI AI + (3) Αντίστοιχ προκύπτει: AI AI + (4) Από το Σχήµ 99 προκύπτει επίσης ότι: O I I O OI O I (5) Εποµένως πό τις σχέσεις (), (3), (4) κι (5) διδοχικά προκύπτει: AI + IA AO + OA AI + + A I + AO + OA + ( AO AI ) + ( OA A I ) OI η Απόδειξη Στην πόδειξη υτή θ χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητ της διχοτόµου ΙΚ της γωνίς ΑΊΑ που βλέπουµε στο Σχήµ 99. Από το ντίστοιχο θεώρηµ της διχοτόµου AI A προκύπτει:. Όµως ΑΙΑΟ κι ΑΊΑΌ,εποµένως θ έχουµε: AI A -- + f

4 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 75 4 η Απόδειξη Από το Σχήµ 00 πρτηρούµε γι τις γωνίες τ εξής : θ θ + κι θ 3 θ +β. Επίσης β. Εποµένως προκύπτει : θ +θ 3 θ. Όµως : θ εφθ II,θ εφθ II κι θ 3 εφθ 3 II I A I k I A Τελικά προκύπτει: + Β. ΚΥΡΤΑ ΚΑΤΟΠΤΡΑ Ο τύπος του Descartes γι τ κυρτά κάτοπτρ έχει την ίδι µορφή µε υτόν που ισχύει γι κοίλ κάτοπτρ µε τη διφορά ότι τ,f, πίρνοντι ρνητικά. Στο Σχήµ 0 πρτηρούµε ότι η ΓΚ είνι η διχοτόµος της εξωτερικής γωνίς ΑΓΖ του τριγώνου ΑΒΓ. Από το θεώρηµ της διχοτόµου έχουµε τη σχέση: ΑΓ A BΓ B Αν το άνοιγµ του κτόπτρου είνι πολύ µικρό, τότε είνι: ΑΓΑΟ κι ΒΓΒΟ, οπότε ο πρπάνω τύπος γράφετι: ΑO A BO B Από το σχήµ έχουµε AO, BO, A + κι B -, οπότε ντικθιστώντς στον τελευτίο τύπο βρίσκουµε τη σχέση : + Άσκηση : Αποδείξτε τον τύπο των κτόπτρων µε την βοήθει της πρώτης διτύπωσης της ρχής του Fermat (Επιλέξτε µί διδροµή L L(x) όπου χ L µετβλητή πράµετρος κι θέστε 0 ). x ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙ ΩΛΩΝ ΜΕΣΩ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΚΑΤΟΠΤΡΩΝ O E B A B E A B A O E Σχήµ 0 Σχήµ 03 Σχήµ 04 Ότν το ντικείµενο πλησιάζει προς την εστί, το νεστρµµένο πργµτικό είδωλο κινείτι προς τ ριστερά. Ότν το ντικείµενο είνι πάνω στην εστί, το είδωλο είνι ριστερά στο άπειρο. Ότν το ντικείµενο είνι νάµεσ στην εστί κι

5 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 76 την κορυφή, το είδωλο είνι φντστικό κι όρθιο (Σχήµ 03). Ότν το ντικείµενο είνι φντστικό το είδωλο είνι πργµτικό. Στην περίπτωση των κυρτών κτόπτρων, το είδωλο ενός πργµτικού ντικείµενου είνι πάντοτε φντστικό κι όρθιο (Σχήµ 04). Ότν η πόστση του ντικειµένου υξάνετι, το φντστικό είδωλο µικρίνει κι τείνει προς την εστί. ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΓΙΑ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΑΤΟΠΤΡΑ Ο λόγος του ύψους Α Β του ειδώλου(στ πρπάνω σχήµτ) δι του ύψους ΑΒ του ντικειµένου ονοµάζετι (εγκάρσι) µεγέθυνση m. Ότν το είδωλο είνι µικρότερο του ντικειµένου, τότε η µεγέθυνση θ είνι µικρότερη της µονάδς, δηλδή έχουµε σµίκρυνση. Από τ πρπάνω σχήµτ φίνετι ότι η µεγέθυνση θ είνι νάλογη της πόστσης του ειδώλου πό το οπτικό κέντρο κι ντιστρόφως νάλογη της πόστσης του ντικειµένου πό το οπτικό κέντρο. Από το τελευτίο σχήµ γι πράδειγµ, βλέπουµε ότι υπάρχουν δύο όµοι τρίγων τ ΑΟΒ κι ΟΑ Β, πό τ οποί προκύπτει: AB. AB Άρ τελικά έχουµε: m AB AB Με τον όρο εγκάρσι µεγέθυνση εννοούµε ότι τ ντικείµεν είνι κάθετ στον κύριο άξον. Γι την περίπτωση ντικειµένου επιφνείς S κάθετης στον κύριο άξον µπορεί εύκολ ν δειχθεί ότι το είδωλό του είνι επιφάνει S επίσης κάθετη στον S κύριο άξον. Εδώ εισάγουµε το µέγεθος επιφνεική µεγέθυνση m επ, γι την S οποί ισχύει: S mεπ m S

6 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 77 ίοπτρο ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΙΟΠΤΡΟ : Είδωλ µπορούν ν σχηµτιστούν πό τη διάθλση, την οποί µπορούν ν υποστούν φωτεινές κτίνες ότν διέρχοντι πό τη διχωριστική επιφάνει δύο υλικών µε διφορετικό δείκτη διάθλσης. Μι τέτοι διάτξη που περιλµβάνει δύο µέσ (σε επφή το έν µε το άλλο) διφορετικού δείκτη διάθλσης εκ των οποίων το έν έχει σφιρικό σχήµ, κλείτι σφιρικό δίοπτρο. η < η η< η η η η ι I η r I θ I A O I O x Σχήµ 05 Σχήµ 06 Σχήµ 07 Θεωρούµε λοιπόν ότι έχουµε δύο διφνή µέσ, που έχουν δείκτες διάθλσης η κι η ντίστοιχ κι χωρίζοντι πό σφιρική επιφάνει κτίνς (Σχήµ 05). Υποθέτουµε ότι το ντικείµενο βρίσκετι στη θέση Α κι εκπέµπει κτίνες, οι οποίες είνι πρξονικές κι σχηµτίζουν µικρή γωνί µετξύ τους κι µε τον κύριο άξον. Αυτές οι κτίνες, µετά τη διάθλσή τους στην σφιρική επιφάνει, εστιάζοντι σε έν σηµείο Ι όπου σχηµτίζετι το είδωλο. ΤΥΠΟΣ ΤΩΝ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΙΟΠΤΡΩΝ η Απόδειξη Η πόδειξη που θ νφέρουµε, όπως φίνετι κι στο Σχήµ 06, φορά στ κυρτά κάτοπτρ. Από το νόµο της διάθλσης στο σηµείο Ι ισχύει : η sin i η sin r () Επίσης έχουµε : ΑΙ ΑΟ A I A O I O Από το σχήµ επίσης προκύπτει: $ $ $ II II i a+ ( ) AI + I επίσης: II II r a I AI µε την προϋπόθεση ότι οι γωνίες είνι µικρές οπότε ισχύει: sin w w. Κτά συνέπει η εξίσωση () πίρνει τη µορφή: η $i η $r ( ) ()(3) ( ) η( ) η ( ) η + η η η

7 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 78 η Απόδειξη Στην πόδειξη υτή θ χρησιµοποιήσουµε την ρχή του Fermat ( η διτύπωση). Θεωρούµε τις διδροµές ΑΙΑ κι ΑΟΑ (σχήµ 06) Ισχύει: η ( ΑΙ) + η ( ΙΑ') η( ΑΟ) + η ( ΟΑ' ) () Είνι όµως ( AI) ( AI ) +, ( A I) ( A I ) + κι ( OI ) οπότε η( ΑΙ') + η + n ( A' I') + η η( ΑΟ) + η ( ΟΑ' ) ή η + η η( ΑΟ ΑΙ') + η ( ΟΑ' Α' Ι' ) ή η + η η( ΟΙ') + η ( ΟΙ') ( n n )( OI') ( n n )( ) δηλδή η ( n n ) + η c c c c Η σχέση () γράφετι (AI) + ( IA ) ( AO) + ( OA ) u u u u t AI + t IA t AO + t OA οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) t AI t + t + u Αλλά ( ) ( AI ) ( AI ) η c. η Οµοίως t ( I A ) t ( I A ) + t ( AI ) +. u c Όπως είνι φνερό πό τις πρπάνω σχέσεις, ο επιπλέον χρόνος, που χρειάζετι το φως γι ν δινύσει την πόστση ΑΙΑ σε σχέση µε τη διδροµή ΑΙ Α θ είνι: t η /(c)+η /(c). Η κθυστέρηση κτά τη διδροµή ΑΟΑ θ υπολογιστεί ως εξής: η ( ΟΙ ) t ( OI ),η κι η ( ΟΙ t c ( OI ),η άρ t )c t ( OI ),η t (OI ), η οπότε προκύπτει: t (η -η )/c Η διδροµή ΑΟΑ προυσιάζει κθυστέρηση εφόσον το φως δινύει µεγλύτερη διδροµή στο µέσο µε δείκτη διάθλσης η, δηλ. στο µέσο µικρότερης τχύτητς, φού η >η, έπετι u >u. Σύµφων όµως µε την ρχή του Fermat το φως κολουθεί τη διδροµή ελχίστου χρόνου, εποµένως γι τις δύο ισοδύνµες γειτονικές διδροµές ΑΙΑ ' κι ΑΙ ' Α ' οι κθυστερήσεις t κι t πρέπει ν είνι ίσες, δηλδή: η n η η η η t t + (η η) + c c c 3 η Απόδειξη Η πόδειξη υτή θ στηριχτεί κι πάλι στην ρχή του Fermat ( η διτύπωση). Το Σχήµ 06 νπριστάνει µι κτίν φωτός, που πηγάζει πό το σηµείο Α κι προσπίπτει σε µι σφιρική επιφάνει κτίνς κµπυλότητς. Στην προύσ περίπτωση υποθέτουµε ότι η <η. Η ρχή του Fermat πιτεί ο οπτικός δρόµος ν είνι ελάχιστος. Η εξίσωση οπτικού δρόµου πίρνει τη µορφή : Ο.. η o +η. Χρησιµοποιώντς το νόµο των συνηµίτονων στ τρίγων ΑΙΚ κι ΙΑ Κ κολουθώντς την ρχή που λέει ότι cos φ - cos (80-φ) πίρνουµε : 0 [ +(+) -(+)cosφ] ½ κι [ +(-) +(-)cosφ] ½

8 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 79 Ο οπτικός δρόµος µπορεί τώρ ν πάρει τη µορφή: (Ο. )η [ +(+) -(+)cosφ] ½ +η [ +(-) +(-)cosφ] ½. Σύµφων µε την ρχή του Fermat η πρώτη πράγωγος του οπτικού δρόµου ως προς τη γωνί πρέπει ισούτι µε το µηδέν, δηλδή: η 0 η η η η η do (. ) ( + )sin φ ( )sinφ 0 0 πό την οποί προκύπτει: dφ ( ) Αυτή είνι η σχέση που πρέπει ν κρτήσουµε, η οποί προυσιάζει όλες τις νγκίες πρµέτρους γι µι κτίν φωτός που οδεύει πό το Α στο Α, η οποί έχει υποστεί διάθλση πάνω στην κοινή σφιρική επιφάνει. Η πρπάνω σχέση έχει έν βσικό πλεονέκτηµ: µπορούµε ν γνωρίζουµε κάθε στιγµή τη θέση του σηµείου Ι φού υτή υποδεικνύετι πό το ηµίτονο της γωνίς φ. Χρησιµοποιώντς τους νόµους ηµιτόνων κι συνηµιτόνων πίρνουµε: cosφ- φ φ 4 φ κι sinφφ- φ 3 φ 5 φ ! 4! 6! 3! 5! 7! Είνι εποµένως φνερό ότι ν επιλέξουµε µικρές γωνίες τότε θ έχουµε : 0 κι. Συνεπώς ο πρπάνω τύπος πίρνει τη µορφή: η η η η + ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙ ΩΛΩΝ η η η η η η η η Α Κ Α Α Α Κ Α Α Κ A Α Σχήµ 08 Σχήµ 09 Σχήµ 0 Σχήµ κυρτή επιφάνει κυρτή επιφάνει κοίλο κάτοπτρο κοίλο κάτοπτρο η >η η <η η <η η <η η η η η + η η η η + ( ) η η η η + ( ) ( ) η η η η + ( ) Σχήµ 08 Σχήµ 09 Σχήµ 0 Σχήµ ΕΜΠΡΟΣΘΙΑ ΚΑΙ ΟΠΙΣΘΙΑ ΕΣΤΙΑΚΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ Αν υποθέσουµε ότι η πόστση τείνει στο άπειρο, τότε f. Η πόστση f ονοµάζετι οπίσθι εστική πόστση. η η f η ν υποθέσουµε ότι η πόστση τείνει στο άπειρο, τότε f. Η πόστση f ονοµάζετι εµπρόσθι εστική πόστση.

9 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 80 f η η η Οι δύο πρπάνω εκφράσεις συνοψίζοντι στην εξής εξίσωση: f f + n n E O E f f ΕΙ ΩΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΑΠΌ ΙΑΘΛΑΣΤΙΚΗ EΠΙΦΑΝΕΙΑ A A A A B B B B η η η η η η η Σχήµ Σχήµ 3 Σχήµ 4 Σχήµ 5 η κυρτό δίοπτρο κυρτό δίοπτρο κοίλο δίοπτρο κοίλο δίοπτρο η <η η >η η <η n >n η η η η + η η η η + ( ) η η η η + ( ) η η η η + ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΜΕΣΩ ΙΟΠΤΡΟΥ Από το νόµο της διάθλσης γνωρίζουµε ότι κτίν που προσπίπτει στο οπτικό κέντρο του κυρτού κτόπτρου υπκούει στο νόµο: η iη r γι µικρές γωνίες γι τις οποίες υποθέτουµε ότι το ηµίτονο κι η εφπτοµένη ισούντι µε τις γωνίες, εκπεφρσµένες σε κτίνι. Β I η ψ Α i r β Α Β ψ η Κτά συνέπει προκύπτει: η ψ η ψ η ψ η ψ η ψ η ψ * β :εξίσωση Hemotz.

10 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 8 Ορίζουµε ως εγκάρσι µεγέθυνση το µέγεθος: M T ψ ψ β Ορίζουµε ως γωνική µεγέθυνση το µέγεθος: M η η