για την εισαγωγή στο Λύκειο

Transcript

1 Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο

2 Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το ) Περιττούς είνι της μορφής ν κ 1, κ Ν (δεν διιρούντι με το ) κέριοι ριθμοί Z {, 1,,...,} μ Ρητοί ριθμοί Q μ, ν Ν, ν ν Ρητός λέγετι κάθε ριθμός που έχει ή μπορεί ν πάρει τη μορφή κλάσμτος. Άρρητοι ριθμοί Άρρητος λέγετι κάθε ριθμός που δεν είνι ρητός. Πργμτικοί ριθμοί R είνι όλοι οι πρπάνω ριθμοί. Πολλπλάσι ενός φυσικού ριθμού είνι όλοι οι ριθμοί που προκύπτουν πό τον πολλπλσισμό του με όλους τους φυσικούς, δηλδή,,,3,... Ελάχιστο κοινό πολλπλάσιο (Ε. Κ.Π) είνι το μικρότερο πό τ κοινά πολλπλάσι δύο η περισσότερων ριθμών που δεν είνι μηδέν.

3 Νίκος Κρινιωτάκης 3 Διιρέτες ενός φυσικού ριθμού λέγοντι όλοι οι ριθμοί που τον διιρούν. Μέγιστος κοινός διιρέτης (Μ. Κ. Δ) δύο φυσικών λέγετι ο μεγλύτερος πό τους κοινούς διιρέτες υτών. Πρώτος λέγετι ο ριθμός που έχει διιρέτες μόνο τον ευτό του κι την μονάδ. Πρώτοι μετξύ τους δύο ριθμοί, λέγοντι πρώτοι μετξύ τους ν είνι ΜΚΔ(,) 1 Ομόσημοι λέγοντι οι ριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετερόσημοι λέγοντι οι ριθμοί που έχουν διφορετικό πρόσημο. πόλυτη τιμή ενός πργμτικού ριθμού συμολίζετι με κι είνι ίση με την πόστση του σημείου που πριστάνει τον ριθμό, πό την ρχή του άξον.,, Μ(-) ριθμητική πράτση είνι μί πράστση που περιέχει πράξεις με ριθμούς. λγερική πράτση είνι μί πράστση που περιέχει πράξεις με ριθμούς κι μετλητές. - Μ()

4 Νίκος Κρινιωτάκης 4 Πρόσθεση Γι ν προσθέσουμε δύο ομόσημους ριθμούς, προσθέτουμε τις πόλυτες τιμές τους κι στο άθροισμά τους άζουμε πρόσημο, το κοινό τους πρόσημο. Γι ν προσθέσουμε δύο ετερόσημους ριθμούς, φιρούμε την μικρότερη πόλυτη τιμή πό τη μεγλύτερη κι στη διφορά τους άζουμε πρόσημο, το πρόσημο του ριθμού με τη μεγλύτερη πόλυτη τιμή Ιδιότητες Πρόσθεσης ντιμετθετική ιδιότητ Προσετιριστική ιδιότητ ( γ) ( ) γ Ύπρξη ουδετέρου στοιχείου Ύπρξη ντιθέτου στοιχείου ( ) γ γ ντίθετοι λέγοντι δύο ριθμοί που έχουν άθροισμ ντίστροφοι λέγοντι δύο ριθμοί που έχουν γινόμενο 1 Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε δύο ομόσημους ριθμούς, πολλπλσιάζουμε τις πόλυτες τιμές τους κι άζουμε πρόσημο Γι ν πολλπλσιάσουμε δύο ετερόσημους ριθμούς, πολλπλσιάζουμε τις πόλυτες τιμές τους κι άζουμε πρόσημο

5 Νίκος Κρινιωτάκης 5 Ιδιότητες Πολλπλσισμού ντιμετθετική ιδιότητ Προσετιριστική ιδιότητ ( γ) ( ) γ Ύπρξη ουδετέρου στοιχείου 1 Ύπρξη ντιστρόφου στοιχείου 1 1 γ γ Επιμεριστική ιδιότητ ( γ) γ ή κι φίρεση ( ) Διίρεση 1 :,,γ γ γ

6 Νίκος Κρινιωτάκης 6 Δυνάμεις ν... ( ν φορές) ν Ν, ν, R άση, ν εκθέτης 1 1, ν 1, ν Ιδιότητες ν νμ μ ν μ ν μ ν ν ν ν ν μ ν ν ν νμ Πρόσημο δύνμης ν ν, τότε ν κι ν άρτιος, τότε ν ν κι ν περιττός, τότε ν ν

7 Νίκος Κρινιωτάκης 7 Προτεριότητ πράξεων 1) Δυνάμεις )Πολλπλσισμοί-διιρέσεις 3) Προσθέσεις-φιρέσεις ν υπάρχουν γίνοντι πρώτ οι πράξεις μέσ στις πρενθέσεις με την πρπάνω σειρά. Τετργωνική ρίζ Ορίζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού κι συμολίζουμε με τον θετικό ριθμό που ότν υψωθεί στο τετράγωνο, μς δίνει το Ιδιότητες,,,,, Τυτότητες

8 Νίκος Κρινιωτάκης 8 Πργοτοποίηση Λέγετι η διδικσί με την οποί μι πράτση που είνι άθροισμ μεττρέπετι σε γινόμενο πργόντων Ευκλείδει διίρεση φυσικών Έστω Δ,δ φυσικοί με δ. Τότε υπάρχουν μονδικοί φυσικοί π, υ τέτοιοι ώστε Δ δπ υ με υ δ Όπου Δ διιρετέος, δ διιρέτης, π πηλίκο, υ υπόλοιπο. Aν υ δηλδή Δ δπ, τότε η διίρεση λέγετι τέλει. Πολυώνυμο Πολυώνυμο κλείτι κάθε πράστση της μορφής ν ν1 P()... ν ν-1 1 θμός πλυωνύμου Κλείτι ο ν Ν ότν ν Τυτότητ Ευκλείδεις Διίρεσης Έστω Δ(),δ() πολυώνυμ με δ(). Τότε υπάρχουν μονδικά πολυώνυμ π(),υ() τέτοι ώστε Δ() δ()π() υ() με υ() ή θμός υ() θμόςδ() Το δ() λέγετι πράγοντς του Δ() ή το δ() λέγετι διιρέτης του Δ(), ν ισχύει Δ() π()δ()

9 Νίκος Κρινιωτάκης 9 Ρητή πράστση Κλείτι κάθε πράστση της μορφής P(), όπου P(),Q() Q() πολυώνυμ. Ιδιότητες κλσμάτων Ισότητ κλσμάτων Πολλπλσισμός κλσμάτων Διίρεση κλσμάτων Σύνθετ κλάσμτ γ δ : γ δ γ δ γ γ γ γ δ δ γ δ δ : δ γ γ δ (σύνθετο κλάσμ) γ Πρόσθεση-φίρεση κλσμάτων γ γ γ

10 Νίκος Κρινιωτάκης 1 ν τ κλάσμτ ετερώνυμ, τ μεττρέπουμε σε ομώνυμ ρίσκοντς το Ε.Κ.Π των πρνομστών. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξίσωση πρώτου θμού Εξίσωση πρώτου θμού με έν άγνωστο λέγετι κάθε εξίσωση της μορφής Επίλυση Έστω η εξίσωση,, R 1) ν, τότε η εξίσωση έχει μονδική λύση την )ν τότε η εξίσωση γίνετι κι )ν δεν έχει λύση (δύντη) ) ν κάθε ριθμός είνι λύση της (τυτότητ ή όριστη) Σε μι εξίσωση μπορούμε ν μετφέρουμε όρους πό το έν μέλος στο άλλο λλάζοντς το πρόσημό τους. Εξίσωση δευτέρου θμού Εξίσωση δευτέρου θμού λέγετι κάθε εξίσωση της μορφής γ με Δικρίνουσ Κλείτι η πράστση Δ 4γ

11 Νίκος Κρινιωτάκης 11 Επίλυση εξίσωσης δευτέρου θμού Έστω η εξίσωση γ με ν Δ τότε έχει δύο άνισες λύσεις τις 1, ν Δ τότε έχει μι διπλή ρίζ την ν Δ τότε δεν έχει λύση (δύντη) Δ Πργοντοποίηση τριωνύμου ν ρ 1,ρ είνι οι λύσεις της εξίσωσης τότε το τριώνυμο σύμφων με τον τύπο Διάτξη πργμτικών γ με γ πργοντοποιείτι γ ( ρ 1)( ρ ) νισότητ νισότητ κλείτι κάθε σχέση της μορφής ή Ιδιότητες διάτξης γ γ ν γ τότε γ γ ν γ τότε γ γ ν γ τότε γ γ

12 Νίκος Κρινιωτάκης 1 ν γ τότε γ γ ν κι γ δτότε γ δ ν κι γτότε γ ν,, γ,δ με κι γ δ τότε γ δ νίσωση νίσωση κλείτι η νισότητ που περιέχει ένν άγνωστο. Επίλυση νίσωσης πρώτου θμού Έστω η νίσωση ν τότε η νίσωση γίνετι ν τότε η νίσωση γίνετι ν τότε η νίσωση γίνετι κι ν η νίσωση ληθεύει γι κάθε R ν η νίσωση είνι δύντη. ν η νίσωση είνι δύντη. Γρμμική εξίσωση Γρμμική εξίσωση κλείτι κάθε εξίσωση της μορφής γ Λύση μις εξίσωσης γ λέγετι κάθε ζεύγος (,) που την επληθεύει.

13 Νίκος Κρινιωτάκης 13 Η εξίσωση k, k πριστάνει ευθεί πράλληλη στον άξον κι τέμνει τον άξον στο σημείο (,k) Η εξίσωση πριστάνει τον άξον (,k) k Η εξίσωση k, k πριστάνει ευθεί Πράλληλη στον άξον κι τέμνει τον άξον στο σημείο (k,) k (k,) Η εξίσωση πριστάνει τον άξον Ι Η εξίσωση γ με κι πριστάνει ευθεί που τέμνει κι τους δύο άξονες Η γρμμική εξίσωση γ πριστάνει ευθεί ότν ή Η εξίσωση πριστάνει ευθεί που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων Ο λόγος λέγετι κλίση της ευθείς Τ, λέγοντι μεγέθη νάλογ.

14 Νίκος Κρινιωτάκης 14 Άξονς πργμτικών ριθμών Ορθογώνιο σύστημ ξόνων Κάθε σημείο M του επιπέδου ντιστοιχεί σε έν μόνο ζεύγος συντετγμένων (,) Κάθε ζεύγος ριθμών (,) ντιστοιχεί σε έν μόνο σημείο Μ του επιπέδου. Μ(,) πόστση δύο σημείων 1 1 (AB) A(1,1) B(, ) ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση με έχει κορυφή το (,) έχει άξον συμμετρίς τον άξον ρίσκετι πό τον άξον κι πάνω πίρνει ελάχιστη τιμή, ότν Η συνάρτηση με έχει κορυφή το (,) έχει άξον συμμετρίς τον άξον.ρίσκετι πό τον άξον κι κάτω πίρνει μέγιστη τιμή, ότν

15 Νίκος Κρινιωτάκης 15 Η συνάρτηση γ με Δ έχει κορυφή το Κ, K( 4 έχει άξον συμμετρίς την ευθεί με εξίσωση Δ πίρνει ελάχιστη τιμή, ότν 4, Δ 4) Η συνάρτηση γ με Δ έχει κορυφή το Κ, 4 έχει άξον συμμετρίς την ευθεί με εξίσωση Δ πίρνει ελάχιστη τιμή, ότν 4 Η συνάρτηση Έχουν κέντρο συμμετρίς την ρχή Ο των ξόνων. Έχουν άξονες συμμετρίς τις διχοτόμους των γωνιών. των ξόνων, δηλδή τις ευθείες με εξισώσεις κι

16 Νίκος Κρινιωτάκης 16 Ευθύγρμμο τμήμ Ευθεί ν προεκτείνουμε περιόριστ έν ευθύγρμμο τμήμ AB, τότε το νέο σχήμ που δεν έχει ούτε ρχή ούτε τέλος, λέγετι ευθεί. ( ε) Ημιευθεί Εάν προεκτείνουμε περιόριστ έν ευθύγρμμο τμήμ AB πέρ πό το έν μόνο άκρο του, π. χ το B, τότε το νέο σχήμ που έχει ρχή το A λλά δεν έχει τέλος, λέγετι ημιευθεί. ντικείμενες ημιευθείες Εάν είνι έν σημείο της ευθείς, τότε με ρχή το ορίζοντι δύο ημιευθείες κι οι οποίες λέγοντι ντικείμενες ημιευθείες. Επίπεδο Είνι μι επιφάνει πάνω στην οποί εφρμόζει πντού η ευθεί γρμμή. ε πό τρί μη συνευθεικά σημεί διέρχετι μονδικό επίπεδο. πό έν ή δύο σημεί διέρχοντι άπειρ επίπεδ. Π

17 Νίκος Κρινιωτάκης 17 Ημιεπίπεδο Κάθε ευθεί ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδ. Π ε Π 1 πόστση σημείων πόστση δύο σημείων A,B Λέγετι το μήκος του ευθυγράμμου τμήμτος AB που τ ενώνει. πόστση σημείου πό ευθεί A (ε) πόστση πρλλήλων A ( ε ) Μέσο ευθυγράμμου τμήμτος Μέσο ενός ευθυγράμμου τμήμτος AB ονομάζουμε το σημείο M τμήμτος, που πέχει εξίσου πό τ άκρ του. ( ε 1 ) Οι προσκείμενες στη άση ισοσκελούς τριγώνου είνι ίσες Γ Διχοτόμος γωνίς Διχοτόμος γωνίς ονομάζετι η ημιευθεί που έχει ρχή την κορυφή της γωνίς κι τη χωρίζεισε δύο ίσες γωνίες. z

18 Νίκος Κρινιωτάκης 18 Είδη γωνιών Ορθή γωνί λέγετι η γωνί της οποίς το μέτρο είνι Οξεί γωνί λέγετι κάθε γωνί με μέτρο μικρότερο των 9 9 μλεί γωνί λέγετι κάθε γωνί με μέτρο μεγλύτερο των 9 κι μικρότερο των 18 Ευθεί γωνί λέγετι η γωνί της οποίς το μέτρο είνι ίσο με 18 Μη κυρτή γωνί λέγετι κάθε γωνί με μέτρο μεγλύτερο των 18 κι μικρότερο των 36 Μηδενική γωνί λέγετι η γωνί της οποίς το μέτρο είνι ίσο με Πλήρης γωνί λέγετι η γωνί της οποίς το μέτρο είνι ίσο με 36 Δύο ευθείες είνι κάθετες ότν οι γωνίες, που σχημτίζουν υτές τεμνόμενες είνι ορθές. Εφεξής γωνίες ονομάζοντι δύο γωνίες που έχουν την ίδι κορυφή, μι κοινή πλευρά κι δεν έχουν κνέν άλλο κοινό σημείο. Διδοχικές γωνίες λέγοντι περισσότερες πό δύο γωνίες, που ρίσκοντι στο ίδιο επίπεδο κι κθεμιά πό υτές είνι εφεξής γωνί με την προηγούμενη ή την επόμενή της.

19 Νίκος Κρινιωτάκης 19 Πρπληρωμτικές γωνίες ονομάζοντι δύο γωνίες που έχουν άθροισμ 18 Συμπληρωμτικές γωνίες ονομάζοντι δύο γωνίες που έχουν άθροισμ 9 Κτκορυφήν γωνίες ονομάζοντι δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή κι τις πλευρές τους ντικείμενες ημιευθείες. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγοντι πράλληλες, ν δεν έχουν κνέν κοινό σημείο όσο κι ν προεκτθούν. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν έν κοινό ονομάζοντι τεμνόμενες κι το κοινό τους σημείο λέγετι σημείο τομής των δύο ευθειών. Κυκλος Κύκλος λέγετι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που πέχουν την ίδι πόστση πό έν στθερό σημείο Το ευθύγρμμό τμήμ AB που συνδέει δύο σημεί A κι B του κύκλου, λέγετι χορδή του κύκλου. Η χορδή που περνέι πό το κέντρο του κύκλου λέγετι διάμετρος του κύκλου. Δύο σημεί A κι B του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη που το κθέν λέγετι τόξο του κύκλου με άκρ τ A κι B

20 Νίκος Κρινιωτάκης Κυκλικός δίσκος είνι ο κύκλος μζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Επίκεντρη γωνί λέγετι η γωνί της οποίς η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Θέσεις ευθείς κι κύκλου Ότν ευθεί κι κύκλος δεν έχουν κνέν κοινό σημείο λέμε ότι η ευθεί είνι εξωτερική του κύκλου Ότν ευθεί κι κύκλος έχουν έν μόνο κοινό σημείο M T άθροισμ των γωνιών τριγώνου είνι A B Γ 18 ο 18 Γ Διάκριση τριγώνων ως προς τις γωνίες Οξυγώνιο ότν έχει όλες τις γωνίες οξείες. Γ μλυγώνιο ότν έχει μί μόνο γωνί μλεί. Γ Ορθογώνιο ότν έχει μί γωνί ορθή. Γ

21 Νίκος Κρινιωτάκης 1 Ίσ τρίγων Άν δύο τρίγων έχουν τις πλευρές τους ίσες μί προς μί κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είνι ίσ. Κριτήρι ισότητς τριγώνων 1 ο κριτήριο ν δύο τρίγων έχουν δύο πλευρές ίσες μί προς μί κι την περιεχόμενη γωνί τους ίση, τότε είνι ίσ. ο κριτήριο ν δύο τρίγων έχουν μί πλευρά ίση κι τις προσκείμενες στην πλευρά υτή γωνίες ίσες μί προς μί, τότε είνι ίσ Γ Γ 3 ο κριτήριο ν δύο τρίγων έχουν τις πλευρές τους, ίσες μί προς μί, τότε είνι ίσ Σε ίσ τρίγων πένντι πό ίσες πλευρές ρίσκοντι ίσες γωνίες. Σε ίσ τρίγων πένντι πό ίσες γωνίες ρίσκοντι ίσες πλευρές.

22 Νίκος Κρινιωτάκης Κριτήρι ισότητς ορθογωνίων τριγώνων 1 ο κριτήριο ν δύο ορθογώνι τρίγων έχουν δύο ντίστοιχες πλευρές τους ίσες μί προς μί, τότε είνι ίσ. ο κριτήριο ν δύο ορθογώνι τρίγων έχουν μί ντίστοιχη πλευρά ίση κι μί ντίστοιχη οξεί γωνί ίση, τότε είνι ίσ. Μεσοκάθετος Κάθε σημείο της μεσοκθέτου ενός ευθυγράμμου τμήμτος ισπέχει πό τ άκρ του. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τ άκρ ενός ευθυγράμμου τμήμτος είνι σημείο της μεσοκθέτου του ευθυγράμμου τμήμτος. Διχοτόμος Κάθε σημείο της διχοτόμου μις γωνίς ισπέχει πό τις πλευρές της γωνίς. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τις πλευρές μις γωνίς είνι σημείο της διχοτόμου της. Ίσ τμήμτ μετξύ πρλλήλων ευθειών ν πράλληλες ευθείες ορίζουν ίσ τμήμτ σε μι ευθεί, τότε θ ορίζουν ίσ τμήμτ κι σε οποιδήποτε άλλη ευθεί που τις τέμνει. ν πό το μέσο μις πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεί πράλληλη προς μί άλλη πλευρά του, τότε υτή διέρχετι πό το μέσο της τρίτης πλευράς του. Μ Ν Γ

23 Νίκος Κρινιωτάκης 3 Θεώρημ του Θλή ν τρεις ή περισσότερες πράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες,τότε τ τμήμτ που ορίζοντι στη μί είνι νάλογ προς τ ντίστοιχ τμήμτ που ορίζοντι στην άλλη. Δηλδή ν ε 1 / /ε / /ε 3 τότε Γ Γ Γ Γ B Γ ε ε 1 B ε Γ ε 3 ε Γι δύο σημεί Δ,Ε των πλευρών των πλευρών,γ ντιστοίχως ενός τριγώνου Γ ισχύουν ν ΔΕ / /Γ τότε Δ Ε Δ ΕΓ ν Δ Ε τότε ΔΕ / /Γ Δ ΕΓ Δ (ε) Ε Γ ν δύο πολύγων έχουν τις πλευρές τους νάλογες κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είνι όμοι. Όμοι τρίγων Δύο τρίγων Γ,ΔΕΖ είνι όμοι ν έχουν τις πλευρές τους νάλογες κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες. AB Γ Γ Δηλδή κι Δ, Ε,Γ Ζ ΔΕ ΔΖ ΕΖ Δ Γ Ε Ζ ν δύο τρίγων έχουν δύο γωνίες τους ίσες μί προς μί, τότε είνι όμοι