ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ"

Transcript

1 ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ

2 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: wwworosimoeu ISBN: ΕΚΔΟΣΕΙΣ

3 Πρόλογος Το Α μέρος υτού του ιλίου περιλμάνει τους ορισμούς κι τις ποδείξεις των θεωρημάτων των Μθημτικών Κτεύθυνσης της Γ Λυκείου, σύμφων με την ύλη των Πνελληνίων Εξετάσεων Το Β μέρος περιέχει ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος» νά κεφάλιο της ύλης σύμφων με το πνεύμ των ερωτήσεων των Πνελληνίων Εξετάσεων Όμως, σε κμί περίπτωση δεν υποκθιστά το σχολικό ιλίο πό το οποίο ο μθητής οφείλει ν γνωρίζει όλ τ θεωρήμτ, τις εφρμογές, τις πρτηρήσεις κι τ σχόλι που είνι στην ύλη των Πνελληνίων Εξετάσεων κι δεν περιλμάνοντι στο πρόν ιλίο

4 Κάθε ντίτυπο φέρει την υπογρφή του συγγρφέ ΕΚΔΟΣΕΙΣ: Ι ΚΑΛΙΜΑΝΗΣ Π ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ & ΣΙΑ ΕΕ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Κεντρική Διάθεση ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: wwworosimoeu, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΣΧΗΜΑΤΑ: ΔΗΜΗΤΡΑ ΖΑΧΑΡΙΑ ΛΙΑΝΑ ΝΤΕΛΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΞΩΦΥΛΛΟΥ: ΛΙΑΝΑ ΝΤΕΛΟΥ ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΦΩΤΟΓΙΟΥΝΙΚΑ ΜΟΝΟΠΡΟΣΩΠΗ ΕΠΕ ISBN:

5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ σελ 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 6 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 ΜΕΡΟΣ B : ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ σελ 35 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 39 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 46 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 55

7

8 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕΡΟΣ Α ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ν δώσετε τον ορισμό του συνόλου των μιγδικών ριθμών Το σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι έν υπερσύνολο του συνόλου των πργμτικών ριθμών, στο οποίο: Επεκτείνοντι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι ώστε ν έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέν () ν είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έν () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, Υπάρχει έν στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μονδικό τρόπο με τη μορφή z + i, όπου, Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + i κι γ +δi με,, γ, δ είνι ίσοι; Δύο μιγδικοί ριθμοί γ κι δ Δηλδή ισχύει: + i κι γ + δi είνι ίσοι, ν κι μόνο ν + i γ + δi γ κι δ 3 Τι λέγετι εικόν του μιγδικού ριθμού z a + i,, ; Kάθε μιγδικό ριθμό + i μπορούμε ν τον ντιστοιχίσουμε στο σημείο M (,) ενός κρτεσινού επιπέδου Αλλά κι ντιστρόφως, κάθε σημείο M (,) του κρτεσινού υτού επιπέδου μπορούμε ν το ντιστοιχίσουμε στο μιγδικό + i Το σημείο M λέγετι εικόν του μιγδικού + i y M(,) ή Μ(z) Ο a

9 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Αν z +i,, τι λέγετι συζυγής του z; Ο μιγδικός ριθμός συμολίζετι με z i,, λέγετι συζυγής του z κι 5 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: z + z z + z Αν z + i κι z γ + δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: + z ( + i) + (γ + δi) ( + γ) + ( z + δ)i ( + γ) ( + δ)i ( i) + (γ δi) z + z 6 Δίνετι η εξίσωση z + z +γ με,, γ κι Ν ποδείξετε ότι aν η δικρίνουσ Δ<, τότε έχει δύο συζυγείς ± i Δ μιγδικές ρίζες z, Έστω η εξίσωση z + z + γ, με,, γ κι Εργζόμστε όπως στην ντίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώνων, στη μορφή: z + Δ 4 Αν Δ <, τότε, επειδή Δ 4 ( )( Δ) i ( Δ) ι Δ, 4 () η εξίσωση γράφετι: i Δ z + ± i Δ Άρ οι λύσεις της είνι: z,, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί

10 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Τι λέγετι μέτρο του μιγδικού ριθμού z + ψi, χ, ψ Έστω M (,y) η εικόν του μιγδικού z + yi στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z την πόστση του M πό την ρχή O, δηλδή z OM + y 8 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: z z z z Έχουμε: z z z z z z z z ( z z )(z z ) z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύνμη ρχική

11 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζετι πργμτική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α κι τι τιμή της f στο A ; Έστω Α έν υποσύνολο του Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν) f, με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο πργμτικό ριθμό y Το y ονομάζετι τιμή της f στο κι συμολίζετι με f () Τι ονομάζετι σύνολο τιμών μίς συνάρτησης f : Α ; Το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της f σε όλ τ A, λέγετι σύνολο τιμών της f κι συμολίζετι με f (A) Είνι δηλδή: f (A) {y y f() γι κάποιο A} 3 Τι ονομάζετι γρφική πράστση μίς συνάρτησης f: Α ; Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oy έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων M (,y) γι τ οποί ισχύει y f(), δηλδή το σύνολο των σημείων M (,f()), A, λέγετι γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συνήθως με C f 4 Πότε δύο συνρτήσεις λέγοντι ίσες; Δύο συνρτήσεις f κι g λέγοντι ίσες ότν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) g( )

12 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 5 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τις συνρτήσεις f + g, f g, fg κι f g Ορίζουμε ως άθροισμ f + g, διφορά f - g, γινόμενο fg κι πηλίκο συνρτήσεων f, g τις συνρτήσεις με τύπους: ( f + g)() f() + g() ( f g)() f() g() ( fg)() f()g() f f() () g g() f g δύο Το πεδίο ορισμού των f + g, f g κι fg είνι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α κι Β των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού f της είνι το A B, εξιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον g προνομστή g (), δηλδή το σύνολο { A κι B, με g() } 6 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τη σύνθεση gof της f με τη g Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β ντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, κι τη συμολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο ( gof)() g(f()) Το πεδίο ορισμού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της f γι τ οποί το f () νήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είνι το σύνολο A { A f() B} 7 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) < f( )

13 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι: γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) > f( ) 9 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι ύξουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f() f() Πότε μί συνάρτηση f λέγετι φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι, πλώς φθίνουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f() f() Πότε μί συνάρτηση f προυσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο (ολικό) μέγιστο, το f( ), ότν f() f( ) γι κάθε A A Πότε μί συνάρτηση f προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο το f( ), ότν f() f( ) γι κάθε A A 3 Τι είνι τ ολικά κρόττ μίς συνάρτησης f; Το (ολικό) μέγιστο κι το (ολικό) ελάχιστο μις συνάρτησης f λέγοντι (ολικά) κρόττ της f

14 - - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 4 Πότε μί συνάρτηση λέγετι ; Μι συνάρτηση f : A R λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε f() f( ) 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f()+, με είνι συνάρτηση Αν υποθέσουμε ότι f( )f( ), τότε έχουμε διδοχικά: Πώς ορίζετι η ντίστροφη μίς συνάρτησης f; Έστω μι συνάρτηση f :A R που είνι Tότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A), της f υπάρχει μονδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει μι συνάρτηση στο μονδικό f () y κι επομένως ορίζετι g:f(a) R με την οποί κάθε y f(a) ντιστοιχίζετι A γι το οποίο ισχύει f () y Η g λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της f κι συμολίζετι με f 7 Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y Έστω οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι στο ίδιο σύστημ ξόνων Επειδή: f f() y f (y), ν έν σημείο Μ(, ) νήκει στη γρφική πράστση C της f, τότε το σημείο Μ (, ) θ νήκει στη γρφική πράστση C της f - κι ντιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες χοy κι χ Οy Επομένως οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y

15 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε πολυώνυμο ν ν P () ν + ν κι, ισχύει: lim P() P( ) ν ν Έστω το πολυώνυμο: P () ν + ν κι Σύμφων με τις ιδιότητες έχουμε: ν ν ν lim P() lim ( ) ν ν ν lim (ν ) + lim (ν ) + + lim ν ν ν lim + ν lim + + lim ν ν ν + ν + + P( ) Επομένως, lim P() P( ) 9 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ρητή συνάρτηση με Q( ) ισχύει Έστω η ρητή συνάρτηση lim P() Q() P( ) Q( ) P() f () κι κάθε Q() P() f (), όπου P (), Q () πολυώνυμ του Q() κι με Q( ) Τότε, lim f() lim P() Q() lim P() P( ) lim Q() Q() Επομένως, lim P() Q() P( ), εφόσον Q( ) Q( )

16 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συνρτήσεις f,g, h Αν h() f() g() κοντά στο κι lim h() lim g(), τότε lim f() Πότε λέμε ότι η κολουθί ( ν ) έχει όριο το R; Λέμε ότι η κολουθί ( ν ) έχει όριο το R κι θ γράφουμε lim ν ν, ότν γι κάθε ε>, υπάρχει ν Ν* τέτοιο ώστε γι κάθε ν>ν ν ισχύει ν < ε Πότε μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Έστω μι συνάρτηση f κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η f είνι συνεχής στο, ότν lim f() f( ) 3 Πότε μί συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ότν: ) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ) Υπάρχει το όριό της στο, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της f( ), στο σημείο 4 Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ); Μι συνάρτηση f θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (, )

17 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ]; Μι συνάρτηση f θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ], ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (,) κι επιπλέον lim f() f() + κι lim f() f() 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Έστω μι συνάρτηση f, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι, επιπλέον, ισχύει f () f() <, τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε f( ) Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης f () στο νοικτό διάστημ (,) Γεωμετρική ερμηνεί: Επειδή τ σημεί A (, f( ) ) κι (, f ( ) ) Β ρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της f τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (, ) y 64 f() B(,f()) O a f(a) Α(,f())

18 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ ενδιμέσων τιμών ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι f() f() τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ των f () κι f () υπάρχει ένς, τουλάχιστον (,) τέτοιος, ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ f( ) η Ας υποθέσουμε ότι f () < f() Τότε θ ισχύει f () < η < f() Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f() η, [,], πρτηρούμε ότι: η g είνι συνεχής στο [,] κι y g ()g() <, φού g () f() η < κι f() η f(a) Α(,f()) B(,f()) yη g () f() η > O a Επομένως, σύμφων με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε g( ) f( ) η, οπότε f( ) η Αν υποθέσουμε ότι ( ) f( ) f > κτλήγουμε στο ίδιο συμπέρσμ 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχουν, [,] τέτοι, ώστε, ν m f() κι M f( ), ν ισχύει m f( ) M, γι κάθε [, ]

19 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 9 Ποιο είνι το σύνολο τιμών μίς γνησίως ύξουσς (ντιστοίχως φθίνουσς) κι συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε έν νοικτό διάστημ (, ); Το διάστημ (Α, Β) (ντιστοίχως (Β, Α)), όπου Α lim f() κι B lim f( ) + 3 Πώς ορίζετι η εφπτομένη της C f στο σημείο της Α; Έστω f μι συνάρτηση κι A(,f( )) έν σημείο της C f Αν υπάρχει το f() f( ) lim κι είνι ένς πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφπτομένης στο σημείο A(,f( )) είνι y f( ) λ( ) 3 Πότε μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει το f() f( ) lim κι είνι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό ονομάζετι πράγωγος της f στο κι συμολίζετι με f ( ) Δηλδή: f() f( ) f ( ) lim 3 Τι ονομάζετι κλίση της C f στο σημείο A(,f( )) ή κλίση της f στο ; Ονομάζετι η κλίση f ( ) της εφπτομένης ε στο A(,f( ))

20 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 33 Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό f() f( ) Γι έχουμε f() f( ) ( ), οπότε f() f( ) lim [f() f( )] lim ( ) f() f( ) lim lim ( ) (φού η f είνι πργωγίσιμη στο ) f ( ), Επομένως, lim f() f( ), δηλδή η f είνι συνεχής στο 34 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ν κι συνεχής στο, δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό Έστω η συνάρτηση f () Η f είνι συνεχής στο, λλά δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό, φού f() f() f() f() lim lim, ενώ lim lim + 35 Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α είνι πργωγίσιμη στο Α; Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: H f είνι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 36 Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, ) του πεδίου ορισμού της Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: Η f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, ) του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο (,)

21 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: Η f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη στο (, ) κι επιπλέον ισχύει f() f( ) lim + κι f() f( ( ) lim 38 Τι ονομάζετι πράγωγος μις συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α; Έστω Α τo σύνολο των σημείων του Α στ οποί η συνάρτηση υτή είνι πργωγίσιμη Αντιστοιχίζοντς κάθε A στο f (), ορίζουμε τη συνάρτηση f :A, f () η οποί ονομάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f 39 Ν ποδείξετε ότι η στθερή συνάρτηση f () c, c είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f ( ) Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) c c f() f( ) Επομένως, lim, δηλδή ( c) 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) f() f( ) Επομένως, lim lim, δηλδή ( )

22 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ν 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f (), ν Ν {,} είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ν f () ν Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) ν ν ν ν ( )( + ν + + ) Οπότε, ν ν + ν + + δηλδή f() f( ) ν ν lim lim ( + ν ν ν ν ν ν ν ( ) ν ν + + ), 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f () Ακόμη, ν ποδείξετε ότι ν κι συνεχής στο δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό Aν είνι έν σημείο του (, + ), τότε γι ισχύει: f() f( ( ( + ) + ) ) f() f( ) Οπότε lim lim + ( )( + ) ( )( + ) f() f( ) Tέλος, + lim lim lim, κι επομένως η συνάρτηση δεν πργωγίζετι στο, δηλδή ( )

23 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ημ είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () συν Γι κάθε κι h ισχύει f( + h) f() ημ( + h) ημ ημ συνh + συν ημh ημ h h h (συνh ) ημh ημ + συν h h ημh συνh Επειδή lim κι h h h lim h, έχουμε: f( + h) f() lim ημ + συν συν h h Δηλδή, ( ημ) συν 44 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () συν είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () ημ Γι κάθε κι h ισχύει: f( + h) f() συν( + h) συν συν συνh ημ ημh συν h h h συνh ημh συν ημ, h h f( + h) f() συνh ημh Οπότε lim lim συν lim ημ h h h h h h συν ημ ημ Δηλδή, ( συν) ημ 45 Ν ποδείξετε ότι ν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f + g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) Γι, ισχύει: (f + g)() (f + g)() f() + g() f( ) g( ) f() f() g() g() +

24 - - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, έχουμε: (f + g)() (f + g)( ) f() f( ) g() g( ) lim lim + lim f ( ) + g ( ), Δηλδή ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) 46 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ν στο * κι ισχύει f () ν ν f(), ν * είνι πργωγίσιμη Γι κάθε * R έχουμε: ( ν ν ν ν () ( ) ν ν ) ν ν ν ν ( ) 47 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () εφ είνι πργωγίσιμη στο - { συν} κι ισχύει f () συν Γι κάθε (εφ) έχουμε: ημ συν (ημ) συν ημ(συν) συνσυν + ημημ συν συν συν + ημ συν συν 48 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση (, + ) κι ισχύει f () f (), Z είνι πργωγίσιμη στο Αν ln y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, u u ln y (e ) e u e

25 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτησηf (), > είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () ln Αν ln y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, y u u ln (e ) e u e ln ln 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ln, * είνι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει (ln ) Πράγμτι ν >, τότε (ln ) (ln ), ενώ ν <, τότε ln ln( ), οπότε, ν θέσουμε y ln( ) κι u, έχουμε y lnu Επομένως, κι άρ (ln ) y (lnu) u ( ) u 5 Τι ονομάζετι ρυθμός μετολής του yf() ως προς ; Αν δύο μετλητά μεγέθη, y συνδέοντι με τη σχέση y f(), ότν f είνι μι συνάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το στο σημείο την πράγωγο f ( )

26 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 5 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεί του Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (,) κι f () f() τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε: f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, y Μ(ξ,f(ξ)) Α(,f()) Β(,f()) ώστε η εφπτομένη της C f στο M (ξ,f(ξ)) ν είνι πράλληλη στον άξον των O ξ ξ 53 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέσης τιμής διφορικού λογισμού κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [,] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (,) y M(ξ,f(ξ)) Β(,f()) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) A(a,f(a)) τέτοιο, ώστε: f() f() f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M (ξ,f(ξ)) ν,f Β,f είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ, όπου Α ( ( )) κι ( ( )) Ο a ξ ξ

27 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι ν η f είνι μί συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι η f είνι συνεχής στο Δ κι f () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ν ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Πράγμτι, Δ ισχύει f( ) f( ) Αν, τότε προφνώς f( ) f( ) Αν <, τότε στο διάστημ [, ] η f ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ) f() f (ξ) () Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f (ξ),οπότε, λόγω της (), είνι f( ) f( ) Αν <, τότε ομοίως ποδεικνύετι ότι f( ) f( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι f( ) f( ) 55 Ν ποδείξετε ότι ν δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ κι οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f () g () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε f () g() + c Δ ν ισχύει: Η συνάρτηση f g είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει: ( f g) () f () g () Επομένως, σύμφων με το πρπάνω θεώρημ, η συνάρτηση f g είνι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει f () g() c, οπότε f () g() + c

28 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 56 Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν f () > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν f () < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημ στην περίπτωση που είνι f () > Έστω, Δ με < Θ δείξουμε ότι f( ) < f( ) Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε οπότε έχουμε f( ) f() f (ξ)( ) f( ) f() f (ξ), Επειδή f (ξ) > κι >, έχουμε f( ) f() >, οπότε f( ) < f( ) Στην περίπτωση που είνι f () < εργζόμστε νλόγως 57 Τι λέγετι τοπικό μέγιστο μίς συνάρτησης f; Μι συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f() f( ) γι κάθε A ( δ, + δ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοπικό μέγιστο της f 58 Τι λέγετι τοπικό ελάχιστο μίς συνάρτησης f; Μί συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f() f( ), γι κάθε A ( δ, + δ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, ενώ το f( ) τοπικό ελάχιστο της f

29 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ Fermat Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Aν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f ( ) Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είνι εσωτερικό σημείο του Δ κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ κι f() f( ), γι κάθε ( δ, + δ) () Επειδή, επιπλέον, η f είνι πργωγίσιμη στο, ισχύει: Επομένως, f() f( ) f() f( ) f ( ) lim lim + ν ( f() f( ) δ, ), τότε, λόγω της (), θ είνι, f() f( ) οπότε θ έχουμε f ( ) lim () f() f( ) ν (, + δ), τότε, λόγω της (), θ είνι, f() f( ) οπότε θ έχουμε f ( ) lim (3) + Έτσι, πό τις () κι (3) έχουμε f ( ) Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είνι νάλογη 6 Ποι σημεί λέγοντι κρίσιμ σημεί μίς συνάρτησης f; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ

30 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 6 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής i) Αν f () > στο (, ) κι f () < στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό μέγιστο της f ii) Αν f () < στο (, ) κι f () > στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f iii) Aν η f () διτηρεί πρόσημο στο (, ) (,), τότε το f( ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (,) i) Eπειδή f () > γι κάθε (, ) κι η f είνι συνεχής στο, η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ] Έτσι έχουμε: f() f( ), γι κάθε (, ] () Επειδή f () < γι κάθε (,) κι η f είνι συνεχής στο, η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [,) Έτσι έχουμε: f() f( ), γι κάθε [,) Επομένως, λόγω των () κι (), ισχύει: που σημίνει ότι το f( ) μέγιστο υτής ii) Εργζόμστε νλόγως f() f( ), γι κάθε (,), είνι μέγιστο της f στο (, ) κι άρ τοπικό iii) Έστω ότι f () >, γι κάθε (, ) (,) Επειδή η f είνι συνεχής στο θ είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήμτ (, ] κι [,) Επομένως, γι < < ισχύει f( ) < f( ) < f( ) Άρ το f( ) δεν είνι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Πράγμτι, έστω, (,) με < Αν, (, ], επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ], θ ισχύει f( ) < f( ) Αν, [,), επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,), θ ισχύει f( ) < f( ) Τέλος, ν < <, τότε όπως είδμε f( ) < f( ) < f( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f( ) < f( ), οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Ομοίως, ν f () < γι κάθε (, ) (,)

31 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέγετι κυρτή σε έν διάστημ Δ; Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ 63 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι κοίλη σε έν διάστημ Δ; Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ, ν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του Δ 64 Πότε το σημείο A(,f( )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν ισχύουν: η f είνι κυρτή στο (, ) η C f έχει εφπτομένη στο σημείο A(,f( )), κι κοίλη στο (, ), ή ντιστρόφως, κι τότε το σημείο A(,f( )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 65 Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f; Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f(), lim f() είνι + ή, τότε η + ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 66 Πότε η ευθεί y λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο ); Αν ισχύει lim f() (ντιστοίχως lim f() ) +

32 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 67 Πότε η ευθεί y λ + λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο - ); Αν ισχύει: lim [f() (λ + )] + Αντιστοίχως lim [f() (λ + )] 68 Αν η ευθεί yλ + είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο +, ντιστοίχως στο -, ποιες σχέσεις μς δίνουν τ λ, ; ντιστοίχως lim + lim f() f() λ κι λ κι lim [f() λ], + lim [f() λ] 69 Ν διτυπώσετε τους κνόνες του de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim f(), lim g(), R {, + } κι υπάρχει το f () lim (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: g () lim f() g() lim f () g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή + ) + Αν lim f() +, lim g() +, R {, + } κι υπάρχει το f () lim (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: g () lim f() g() f () lim g ()

33 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Τι ονομάζετι πράγουσ της f στο Δ; Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: F () f(), γι κάθε Δ 7 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε: όλες οι συνρτήσεις της μορφής της f στο Δ κι G () F() + c, c, είνι πράγουσες κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή c G () F() + c, Κάθε συνάρτηση της μορφής πράγουσ της f στο Δ, φού G () F() + c, όπου c, είνι μι G () (F() + c) F () f(), γι κάθε Δ Έστω G είνι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύουν F () f() κι G () f(), οπότε: G () F (), γι κάθε Δ Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε: G () F() + c, γι κάθε Δ

34 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Αν f συνεχής συνάρτηση στο [, ] με f(), [a, ], τι ονομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον κι τις ευθείες χ, χ; Χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, y yf() μήκους Δ, με τ ν σημεί < < < < ν f(ξ ) f(ξ ) Ω f(ξ k ) f(ξ ν ) Σε κάθε υποδιάστημ [ κ,κ ] επιλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξ κ O ξ k ν ξ k- ξ k ν- ξ ν κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι που Δ a v έχουν άση Δχ κι ύψη τ f(ξκ ) Το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι: S ν f(ξ)δ + f(ξ )Δ + + f(ξ ν )Δ [f(ξ) + + f(ξ ν )]Δ Yπολογίζουμε το lim S ν ν + Αποδεικνύετι ότι το lim S ν υπάρχει στο κι είνι νεξάρτητο πό την ν επιλογή των σημείων ξ κ Το όριο υτό ονομάζετι εμδόν του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε (Ω) Είνι φνερό ότι Ε(Ω) 73 Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f πό το στο ; Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [,] Με τ σημεί < < < < ν χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ ν y yf() O a ξ ξk ξ v- ξv v

35 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Στη συνέχει επιλέγουμε υθίρετ έν ξκ [κ, κ], γι κάθε κ {,,, ν}, κι σχημτίζουμε το άθροισμ S ν f(ξ)δ + f(ξ )Δ + + f(ξκ )Δ + + f(ξ ν )Δ το οποίο συμολίζετι, σύντομ, ως εξής: Aποδεικνύετι ότι: f(ξ S ν ν κ κ)δ ν Το όριο του θροίσμτος S ν, δηλδή το lim f( ξκ ) Δ () υπάρχει στο ν κ κι είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ Το πρπάνω όριο () ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο, συμολίζετι με f ( ) d 74 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [,] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν ποδείξετε ότι: f(t)dt G ( ) G( ) Η συνάρτηση F() f(t)dt είνι μι πράγουσ της f στο [, ] Επειδή κι η G είνι μι πράγουσ της f στο [,], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε: Από την (), γι οπότε c G() G () F() + c () G c,, έχουμε ( ) F( ) + c f(t)dt + c Επομένως, G () F() + G(), οπότε, γι, έχουμε κι άρ G ( ) F( ) + G( ) f(t)dt G( ) f(t)dt G + ( ) G( )

36 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 75 Ν γράψετε τον τύπο της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ όπου f ()g ()d [f()g()] f ()g() d, f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,] 76 Ν γράψετε τον τύπο της ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ u u f (g())g ()d f(u)du, όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u g(), du g () d κι u g(), u g() 77 Έστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [,] με f() g() γι κάθε [,] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι Ν ποδείξετε ότι γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει: E (Ω) (f() g())d y yf() y yf() y Ω yg() yg() Ω Ω O () O () O (γ) Πρτηρούμε ότι: Ε (Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) f()d g()d (f() g()) d () Επομένως, E (Ω) (f() g())d

37 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Έστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [,] με f() g() γι κάθε κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι E Ω (f() g())d γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει: ( ) Ν ποδείξετε ότι Πράγμτι, επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε f() + c g() + c, γι κάθε [, ] Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (σχ ) έχει το ίδιο εμδόν με το χωρίο Ω (σχ ) y y yf()+c yf() Ω Ω yg()+c O O yg() () () Επομένως, έχουμε: Ε(Ω) Ε(Ω ) [(f() + c) (g() + c)]d (f() g())d Άρ, E (Ω) (f() g())d 79 Έστω συνάρτηση g συνεχής στο [, ] με g(), [a, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό Cg,, a, Ν ποδείξετε ότι γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει E ( Ω ) g()d Επειδή ο άξονς έχουμε είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f (), y E (Ω) (f() g())d [ g()]d g()d Επομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g() γι κάθε [,], τότε : O Ω yg() E (Ω) g()d

38 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΕΡΟΣ B ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Αν z + i, με, R, τότε το i λέγετι φντστικό μέρος του z Αν, πργμτικοί ριθμοί, τότε: + i ή 3 Αν z + i, με, R ισχύει: z< < κι 4 Αν z + i κι z γ + δi,,,γ,δ R τότε ισχύει η ισοδυνμί: z >z >γ κι δ 5 Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δυο μιγδικών ριθμών είνι ίση με το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους 6 Η δινυσμτική κτίν της διφοράς δυο μιγδικών ριθμών είνι ίση με τη διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους 7 Αν, z 8 Αν, z z μιγδικοί ριθμοί τότε: R e ( z + z ) Re ( z ) + Re ( ) z z μιγδικοί ριθμοί τότε: R e ( z z ) Re ( z ) Re ( ) 9 Αν, R τότε: ( + i)( i) z Αν z, z μιγδικοί ριθμοί ώστε z z + τότε z z Αν z + i, με, R, τότε + i z Υπάρχουν μιγδικοί ριθμοί z έτσι ώστε ν ισχύει: z < 3 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζουμε: z

39 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ρ+ 4 Ισχύει: i, όπου ρ 5 Ισχύει: i 3 i 6 Ισχύει: 7 Ισχύει: 8 i i i i 8 Αν z + i, με, R τότε ο συζυγής του z είνι ο z + i 9 Οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών, είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον χ χ z + z Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: Re( z) Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z Im( z) Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ο z z είνι πάντ πργμτικός ριθμός 3 Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ο z z είνι πάντ φντστικός ριθμός 4 O z είνι πργμτικός ριθμός ν κι μόνο ν z z 5 O z είνι φντστικός ριθμός ν κι μόνο ν z + z 6 Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε R e ( z) Re ( z) 7 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: ( z) z 8 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z + i z z + i z 9 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 3 Ισχύει: i z i z, γι κάθε μιγδικό ριθμό z v 3 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: ( ) ( ) ν z z, ν

40 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 Η εξίσωση z +z+γ, με,,γ κι, ν έχει δικρίνουσ Δ<, τότε έχει δυο συζυγείς μιγδικές λύσεις 33 Αν η εξίσωση z + z + γ, με,,γ R κι έχει λύση τον +i, τότε θ έχει λύση κι τον 5 + i 34 Το μέτρο του μιγδικού ριθμού z+yi, όπου χ, y πργμτικοί ριθμοί, δίνετι πό τον τύπο z + y 35 Ισχύει: i, R κι R 36 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: z z 37 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 38 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 39 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z z 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z z 4 Ισχύει η ισοδυνμί: z φντστικός z z 43 Αν z μιγδικός ριθμός, τότε ισχύει: z z z 44 Αν z μιγδικός ριθμός, τότε ισχύει: z ρ ρ z z 45 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 46 Αν ισχύει z z, τότε z z ή z z 47 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: i z z 48 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: iz z

41 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Ισχύει: i i 5 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί με z, τότε ισχύει: z z z z 5 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z κι κάθε θετικό κέριο ν, ισχύει: v v z z 5 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z κι κάθε θετικό κέριο ν, ισχύει: ν ν z z 53 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ: z z z + z z + z 54 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ: z z z z z + z 55 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z + z z + z 56 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί τότε ισχύει: z z z + z 57 Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών ριθμών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους 58 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z z ρ, ρ> είνι κύκλος με κέντρο Κ(z ) κι κτίν ρ 59 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z + z z + z, είνι η μεσοκάθετος του ευθύγρμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί Α(z ) κι Β(z ) 6 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z z + z z, > κι z z <, είνι έλλειψη με εστίες τ σημεί Α(z ) κι Β(z )

42 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης f το πολύ έν κοινό σημείο Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς τον άξον χ χ 3 Η γρφική πράστση της f ποτελείτι πό τ τμήμτ της C f που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον χ χ κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον χ χ, των τμημάτων της C f που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον χ χ 4 Αν f ( ) g( ) ( ), γι κάθε R g, γι κάθε R, τότε ( ) f, γι κάθε R ή 5 Αν Α κι Β τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f, g ντιστοίχως, τότε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων f+g, f g κι f g είνι το Α Β 6 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν πεδί ορισμού Α κι Β ντιστοίχως τότε η A /g B fog έχει πεδίο ορισμού το { ( ) } 7 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού R κι ορίζοντι οι συνθέσεις fog κι gof, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες 8 Αν γι δύο συνρτήσεις f, g ορίζοντι οι fog κι gof, τότε είνι υποχρεωτικά fog gof 9 Αν f, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η ho ( gof ), τότε ορίζετι κι η ( hog )of κι ισχύει ho ( gof ) ( hog )of Μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f ( ) < f( ) Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως μονότονη, τότε η C f τέμνει τον άξον χ χ σ έν σημείο Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότν f ( ) < f( ), γι κάθε A 3 Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f(χ ) ότν f( ) f( ), γι κάθε A

43 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε f ( ) f( ) 5 Αν μι συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, τότε γι οποιδήποτε, A f f ισχύει η ισοδυνμί: ( ) ( ) 6 Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει κριώς μι λύση ως προς χ 7 Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει τουλάχιστον μι λύση ως προς χ 8 Μι συνάρτηση f είνι, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί (πράλληλη στον χχ ) τέμνει τη γρφική πράστσή της το πολύ σε έν σημείο 9 Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε είνι κι Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες στο πεδίο ορισμού τους Αν μι συνάρτηση δεν είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε δεν είνι Κάθε συνάρτηση που είνι στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη 3 Αν μι συνάρτηση είνι, τότε η γρφική της πράστση C f τέμνει τον άξον χ χ σ έν το πολύ σημείο 4 Αν μι συνάρτηση f είνι άρτι, τότε δεν είνι 5 Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή, τότε είνι 6 Αν μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, τότε ισχύουν: ( f( ) ) f κι f f ( ψ), A ( ) ψ, ψ f( A) 7 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτομεί τις γωνίες Οy κι Οy 8 Τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι f -, ρίσκοντι πάνω στην ευθεί ψχ

44 - 4 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Γι ν νζητήσουμε το όριο μις συνάρτησης f στο χ πρέπει το χ ν νήκει στο πεδίο ορισμού της Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim f( ) lim f( ) + 3 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim ( f( ) ) 4 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim f( + h) h 5 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο R τότε f ( ) < κοντά στο χ κι lim f( ) < 6 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο R κι είνι f(χ)> κοντά στο χ, τότε lim f( ) > 7 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν όριο στο στο, τότε lim f( ) < lim g( ) κι ισχύει ( ) g( ) f < κοντά 8 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός κι ισχύει f( ) κοντά στο χ, τότε lim f( ) 9 Ισχύει πάντ: lim ( f( ) + g( ) ) lim f( ) + lim g( ) Αν υπάρχει το lim ( f( ) + g( ) ) lim f( ) lim g κι ( ), τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ,

45 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν lim ( f( ) + g( ) ) R κι f ( ) R g lim ( ) lim, τότε Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός, τότε: lim ( k f( ) ) k lim ( f( ) ), γι κάθε στθερά k R 3 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f g στο R, τότε θ υπάρχουν κι τ όρι των συνρτήσεων f κι g στο σημείο R 4 Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων f κι g στο κι είνι lim f( ) f( ) πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύει lim, εφόσον g( ) lim g( ) lim g ( ) 5 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι είνι πργμτικός ριθμός, τότε ισχύει lim f( ) lim f( ) 6 Αν υπάρχει το όριο της f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός, k τότε lim f( ) k lim f( ), εφόσον ( ) k 7 Αν f( ) R, τότε [ f( ) ] ν ν lim lim 8 Αν lim f( ), τότε lim f( ) 9 Αν f( ) R, τότε ( ) lim lim f R lim f f κοντά στο χ, με k κι, * Αν ( ), τότε lim f( ) ή lim f( ) Αν f lim g ( ) ( ) R κι lim g( ), τότε ( ) lim f

46 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Γι κάθε R, ισχύει: ημ < ημχ 3 Ισχύει: lim χ συνχ 4 Ισχύει: lim χ lim f 5 Αν ( ) +, τότε f(χ)> κοντά στο χ 6 Αν f()> κοντά στο χ κι υπάρχει το όριο της f στο χ, τότε lim f( + 7 Αν lim f ( ) lim f, τότε ( ) + ή 8 Αν ( ) + lim f ή, τότε lim f ( ) lim 9 Αν ( ) + f κι lim f( ) +, τότε το lim f( ) δεν υπάρχει lim 3 Αν ( ) f 3 Αν lim f( ) κι f( ) κοντά στο χ, τότε κι f() κοντά στο χ, τότε lim f ( ) lim f ( ) + + ή 3 Αν ( ) + lim f lim f ή, τότε ( ) + 33 Αν lim f( ) +, τότε ( ) + lim k f 34 Ισχύει: lim +, ν v+ 35 Αν lim f( ) + κι lim g( ), τότε lim ( f( ) + g( ) ) 36 Αν lim f( ) R κι lim g( ), τότε lim ( f( ) g( ) )

47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Ισχύει: lim ν +, ν * 38 Ισχύει:, ν lim * χ ν 39 Ισχύει: lim e + 4 Αν >, τότε lim 4 Αν >, τότε lim χ Αν <<, τότε lim χ + 43 Ισχύει: lim n Ισχύει: lim n + 45 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο σημείο χ 46 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο σημείο χ, τότε η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ 47 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ κι η f είνι συνεχής στο χ, τότε η g μπορεί ν είνι συνεχής στο σημείο χ 48 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε οι συνρτήσεις f κι g μπορεί ν είνι συνεχείς στο σημείο χ 49 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι η f είνι συνεχής στο σημείο χ 5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι η f είνι συνεχής στο χ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο χ, τότε κι η σύνθεση τους gof είνι συνεχής στο χ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε είνι συνεχής κι στο κι στο

48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 53 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] με f()> κι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε f(ξ), τότε κτ νάγκη f()< ( ) 54 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) f( ) > εξίσωση f() δεν έχει κμί ρίζ στο (,) 55 Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει ( ), τότε η f, γι κάθε Δ, τότε η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο Δ 56 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι ( ) Δ, τότε η f είνι στθερή στο Δ f, γι κάθε 57 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δεν μηδενίζετι σ υτό, τότε ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ 58 Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί στθερό πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 59 Η εικόν ( Δ) f ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ 6 Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m 6 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ( ) f( ) σύνολο τιμών της είνι το [ f ( ),f ( ) ] ή το [ f ( ),f ( ) ] f, τότε το 6 Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α, Β) όπου A lim f( ) κι B lim f ( ) +

49 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη στο σημείο χ του f( ) f( ) πεδίου ορισμού της ν υπάρχει το lim Έστω μι συνάρτηση f κι Δ f Αν ισχύει: ( ) f( ) f( ) f( ) f lim lim +, τότε η f είνι πργωγίσιμη στο χ 3 Την κλίση της εφπτομένης στο σημείο Α(χ, f(χ )) την λέμε κι κλίση της C f 4 Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφπτομένης στο σημείο Α ( χ, f( )), της γρφικής πράστσης C f μις συνάρτησης f, πργωγίσιμης στο σημείο χ του πεδίου ορισμού της είνι λ f ( χ ) 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο χ του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 6 Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σ έν εσωτερικό σημείο χ ενός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο χ 7 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο χ του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό 8 Η συνάρτηση ( ) ν ν f ( ) ν f, ν, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει 9 Η συνάρτηση f ( ) είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει f () Η συνάρτηση f ( ) είνι πργωγίσιμη στο [,+ ) Η συνάρτηση ( ) f ( ) Ισχύει: ( ημ) συν f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) κι ισχύει, R

50 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 Η συνάρτηση f()συνχ είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f () ημχ 4 Αν οι συνρτήσεις f, g κι h είνι πργωγίσιμες σε διάστημ Δ, τότε f g h f g h, Δ ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 5 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο χ κι g( ), τότε η συνάρτηση g f είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει: f g ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) g χ f χ g [ g ( )] 6 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο χ κι g( ), τότε η συνάρτηση g f είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει: f g ( ) f ( ) g ( χ ) f ( χ ) ( ) g [ g ( )] ν 7 Η συνάρτηση ( ) ν ( ) ν f f, ν * είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f είνι πργωγίσιμη στο R R { συν } 8 Η συνάρτηση ( ) εφ κι ισχύει f ( ) συν 9 Η συνάρτηση f()εφχ είνι πργωγίσιμη στο R R { συνχ } κι ισχύει: f ( χ) συν Η συνάρτηση ( ) σφχ κι ισχύει f ( χ) f είνι πργωγίσιμη στο R R { ημ } ημ Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο χ τότε κι η συνάρτηση fog είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει ( fog) ( ) f (g ( ) g ( )

51 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν yf(u) κι ug(), ισχύει: dy d 3 Η συνάρτηση f()χ, R f ( ) dy du du d Z είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) με 4 Η συνάρτηση f()χ, R Z γι > είνι πργωγίσιμη στο [, + ) με ( ) f 5 Η συνάρτηση f(), > είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f χ χ ( ) n χ χ χ 6 Γι κάθε χ> ισχύει: ( ) 7 Γι κάθε χ> ισχύει: ( ) χ nχ 8 Γι κάθε ισχύει: [ ] χ n 9 Αν δύο μετλητά μεγέθη, y συνδέοντι με τη σχέση yf(), ότν f είνι μι πργωγίσιμη συνάρτηση στο χ, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το χ στο σημείο χ την πράγωγο f (χ ) 3 Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς τον χρόνο t την χρονική στιγμή t είνι η πράγωγος υ (t ) 3 Αν f πργωγίσιμη συνάρτηση κι ισχύει f()f() με <, τότε ορίζετι η στο [,] f (χ) 3 Μετξύ δυο ριζών μις πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντοτε μι τουλάχιστον ρίζ της πργώγου της 33 Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σε διάστημ Δ κι f (χ), σε κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι στο Δ 34 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) τότε υπάρχει έν, f τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο ώστε: ( ) ( ) f( ) f ξ 35 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο [,] με f()<f(), τότε, τέτοιο ώστε f (χ )< υπάρχει ( )

52 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 36 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε η f είνι στθερή στο R R κι f (χ), γι κάθε 37 Έστω δύο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι f, g f g γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του είνι συνεχείς στο Δ κι ( ) ( ) Δ, τότε ισχύει ( ) g ( ) f γι κάθε Δ 38 Αν f (χ)f(χ) γι κάθε R, τότε f(χ)ce χ, c R, R 39 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ Αν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ 4 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, τότε f ( ) > γι κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ 4 Αν μι συνάρτηση f : R R έχει συνεχή πρώτη πράγωγο κι f (χ), γι κάθε R, τότε η f είνι γνησίως μονότονη στο R 4 Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σ έν διάστημ Δ κι ισχύει f ( ) <, γι κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι στο Δ 43 Αν μι συνάρτηση προυσιάζει τοπικά κρόττ, τότε προυσιάζει κι ολικά κρόττ 44 Έν τοπικό μέγιστο είνι πάντ μεγλύτερο πό έν τοπικό ελάχιστο 45 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημ Δ προυσιάζει στο Δ τοπικό κρόττο κι είνι πργωγίσιμη στο χ, τότε f ( ) 46 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ, τότε στ εσωτερικά σημεί του Δ όπου η f προυσιάζει τοπικά κρόττ, η C f έχει οριζόντι εφπτομένη 47 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημ Δ κι χ έν εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο f ( ), τότε στο χ η f προυσιάζει τοπικό κρόττο 48 Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ

53 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι πργωγίσιμη σε νοικτό διάστημ Δ κι ( ) κρόττ f, γι κάθε Δ, τότε δεν έχει τοπικά 5 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έν σημείο του χ, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν ( ) f > στο (, τοπικό ελάχιστο της f ) κι ( ) f < στο (, ), τότε το ( ) f είνι 5 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ 5 Αν μι συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ, ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 53 Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 54 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι ισχύει f (χ)>, γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είνι κυρτή στο Δ 55 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι η f είνι κοίλη στο Δ, τότε f (χ)< γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ 56 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (, ) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο A (, f( )) είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 57 Αν το σημείο Α(, f(χ )) είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f κι η f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο χ, τότε f (χ ) 58 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει f (χ ), τότε η f στο χ προυσιάζει κμπή 59 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο R με f (χ), γι κάθε R, τότε η C f δεν έχει σημεί κμπής

54 - 5 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 6 Η συνάρτηση f( ) + + γ + δ 3, με,,γ,δ R κι, έχει πάντ έν κριώς σημείο κμπής 6 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f( ), f( ) + lim _ είνι R, τότε η ευθεί χχ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 6 Η ευθεί χχ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f ν κι μόνο ν lim f( ) + ή 63 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f( ), lim f( ) + είνι + ή -, τότε η ευθεί λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f, τότε η ευθεί ψ λέγετι οριζόντι σύμπτωτη + της γρφικής πράστσης της f στο + 64 Αν lim f( ) R 65 Αν η γρφική πράστση μις συνάρτησης f έχει στο + οριζόντι σύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγι σύμπτωτη στο + 66 Μι συνάρτηση συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,], δεν έχει σύμπτωτες 67 Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του ου, δεν έχουν σύμπτωτες ( ) ( ) P 68 Οι ρητές συνρτήσεις με θμό του ριθμητή P() μεγλύτερο Q τουλάχιστον κτά δυο του θμού του προνομστή, δεν έχουν πλάγιες σύμπτωτες 69 Αν f( ) κι g( ), R {, + } lim ( ) ( f lim g lim f ( ) g ( ) lim, τότε:

55 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Κάθε συνάρτηση σε διάστημ Δ, έχει πράγουσ στο διάστημ υτό Το σύνολο των πργουσών της συνάρτησης f( ) ημχ, χ R F ( ) συνχ + c, c R, R είνι 3 Το σύνολο των πργουσών της συνάρτησης f(χ)συνχ, R είνι F ημχ + c, c R, ( ) R 4 Αν η συνάρτηση F είνι πράγουσ της συνάρτησης f κι λ R *, τότε η συνάρτηση λf είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λf 5 Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, τότε η συνάρτηση F G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης f g 6 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι, Δ ισχύει πάντοτε ότι: f ( ) d f( ) d 7 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι f( ), γι κάθε Δ κι, Δ, τότε f ( ) d 8 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ [,] κι f(χ)>, γι κάθε [,], τότε f ( ) d > 9 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ [,] κι f(χ), γι κάθε [,], τότε κι f ( ) d Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) f(χ)> γι κάθε [,] d >, τότε

56 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν f, g, συνεχείς συνρτήσεις στο [,] με f( ) g( ) γι κάθε [,] κι η f δεν είνι πντού ίση με την g στο [,], τότε f ( ) d g( ) Ισχύει: cd c( ), όπου c R 3 Αν f, g, συνεχείς συνρτήσεις στο [,], τότε: [ ( ) + ( )] γ ( ) + g d f d γ g( ) d γ, f με [ ] 4 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ κι Δ, τότε: f( t) dt f( ), γι κάθε Δ 5 Αν F () f( t) ορισμού της f dt, τότε το πεδίο ορισμού της F είνι ίδιο με το πεδίο χ 6 Αν f συνεχής στο R, τότε f( t) dt f( ) 7 Αν f συνεχής σε διάστημ Δ κι η () f( t) της f στο Δ, τότε κτ νάγκη Δ g 8 Αν f, g, συνεχείς στο R ισχύει: f( t) dt < d F χ dt είνι μι πράγουσ ( ) f ( ) g ( χ) 9 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν διάστημ [,] κι G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε: f( t) dt G( ) G( ) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε υπάρχει πάντοτε το ( ) f d κι είνι πργμτικός ριθμός Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ με, Δ τότε ισχύει η ισοδυνμί: f( ) d Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f( ) d νγκστικά θ είνι f(χ), γι κάθε [,], τότε 3 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ με, Δ κι ισχύει ( ) d f, τότε ή f(χ) γι κάθε Δ ή

57 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] τότε ισχύει: f( t) dt f( ) 3 +, τότε f () 5 Αν f( ) t dt 6 Ισχύει ότι: ημχ d συν συν,, R 7 Ισχύει ότι: συνχ d ημ ημ,, R 8 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] τότε: f ( ) g ( χ) d [ f( ) g( ) ] f ( χ) g( ) d 9 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] τότε το f d, εκφράζει το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ, χ ολοκλήρωμ ( ) 3 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] κι f( ) γι κάθε [,] f d εκφράζει το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ κι χ, τότε το ολοκλήρωμ ( )

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα