ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

Transcript

1 ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ

2 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: wwworosimoeu ISBN: ΕΚΔΟΣΕΙΣ

3 Πρόλογος Το Α μέρος υτού του ιλίου περιλμάνει τους ορισμούς κι τις ποδείξεις των θεωρημάτων των Μθημτικών Κτεύθυνσης της Γ Λυκείου, σύμφων με την ύλη των Πνελληνίων Εξετάσεων Το Β μέρος περιέχει ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος» νά κεφάλιο της ύλης σύμφων με το πνεύμ των ερωτήσεων των Πνελληνίων Εξετάσεων Όμως, σε κμί περίπτωση δεν υποκθιστά το σχολικό ιλίο πό το οποίο ο μθητής οφείλει ν γνωρίζει όλ τ θεωρήμτ, τις εφρμογές, τις πρτηρήσεις κι τ σχόλι που είνι στην ύλη των Πνελληνίων Εξετάσεων κι δεν περιλμάνοντι στο πρόν ιλίο

4 Κάθε ντίτυπο φέρει την υπογρφή του συγγρφέ ΕΚΔΟΣΕΙΣ: Ι ΚΑΛΙΜΑΝΗΣ Π ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ & ΣΙΑ ΕΕ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Κεντρική Διάθεση ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: wwworosimoeu, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΣΧΗΜΑΤΑ: ΔΗΜΗΤΡΑ ΖΑΧΑΡΙΑ ΛΙΑΝΑ ΝΤΕΛΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΞΩΦΥΛΛΟΥ: ΛΙΑΝΑ ΝΤΕΛΟΥ ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΦΩΤΟΓΙΟΥΝΙΚΑ ΜΟΝΟΠΡΟΣΩΠΗ ΕΠΕ ISBN:

5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ σελ 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 6 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 ΜΕΡΟΣ B : ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ σελ 35 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 39 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 46 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 55

7

8 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕΡΟΣ Α ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ν δώσετε τον ορισμό του συνόλου των μιγδικών ριθμών Το σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι έν υπερσύνολο του συνόλου των πργμτικών ριθμών, στο οποίο: Επεκτείνοντι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι ώστε ν έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέν () ν είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έν () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, Υπάρχει έν στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μονδικό τρόπο με τη μορφή z + i, όπου, Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + i κι γ +δi με,, γ, δ είνι ίσοι; Δύο μιγδικοί ριθμοί γ κι δ Δηλδή ισχύει: + i κι γ + δi είνι ίσοι, ν κι μόνο ν + i γ + δi γ κι δ 3 Τι λέγετι εικόν του μιγδικού ριθμού z a + i,, ; Kάθε μιγδικό ριθμό + i μπορούμε ν τον ντιστοιχίσουμε στο σημείο M (,) ενός κρτεσινού επιπέδου Αλλά κι ντιστρόφως, κάθε σημείο M (,) του κρτεσινού υτού επιπέδου μπορούμε ν το ντιστοιχίσουμε στο μιγδικό + i Το σημείο M λέγετι εικόν του μιγδικού + i y M(,) ή Μ(z) Ο a

9 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Αν z +i,, τι λέγετι συζυγής του z; Ο μιγδικός ριθμός συμολίζετι με z i,, λέγετι συζυγής του z κι 5 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: z + z z + z Αν z + i κι z γ + δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: + z ( + i) + (γ + δi) ( + γ) + ( z + δ)i ( + γ) ( + δ)i ( i) + (γ δi) z + z 6 Δίνετι η εξίσωση z + z +γ με,, γ κι Ν ποδείξετε ότι aν η δικρίνουσ Δ<, τότε έχει δύο συζυγείς ± i Δ μιγδικές ρίζες z, Έστω η εξίσωση z + z + γ, με,, γ κι Εργζόμστε όπως στην ντίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώνων, στη μορφή: z + Δ 4 Αν Δ <, τότε, επειδή Δ 4 ( )( Δ) i ( Δ) ι Δ, 4 () η εξίσωση γράφετι: i Δ z + ± i Δ Άρ οι λύσεις της είνι: z,, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί

10 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Τι λέγετι μέτρο του μιγδικού ριθμού z + ψi, χ, ψ Έστω M (,y) η εικόν του μιγδικού z + yi στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z την πόστση του M πό την ρχή O, δηλδή z OM + y 8 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: z z z z Έχουμε: z z z z z z z z ( z z )(z z ) z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύνμη ρχική

11 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζετι πργμτική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α κι τι τιμή της f στο A ; Έστω Α έν υποσύνολο του Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν) f, με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο πργμτικό ριθμό y Το y ονομάζετι τιμή της f στο κι συμολίζετι με f () Τι ονομάζετι σύνολο τιμών μίς συνάρτησης f : Α ; Το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της f σε όλ τ A, λέγετι σύνολο τιμών της f κι συμολίζετι με f (A) Είνι δηλδή: f (A) {y y f() γι κάποιο A} 3 Τι ονομάζετι γρφική πράστση μίς συνάρτησης f: Α ; Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oy έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων M (,y) γι τ οποί ισχύει y f(), δηλδή το σύνολο των σημείων M (,f()), A, λέγετι γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συνήθως με C f 4 Πότε δύο συνρτήσεις λέγοντι ίσες; Δύο συνρτήσεις f κι g λέγοντι ίσες ότν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) g( )

12 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 5 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τις συνρτήσεις f + g, f g, fg κι f g Ορίζουμε ως άθροισμ f + g, διφορά f - g, γινόμενο fg κι πηλίκο συνρτήσεων f, g τις συνρτήσεις με τύπους: ( f + g)() f() + g() ( f g)() f() g() ( fg)() f()g() f f() () g g() f g δύο Το πεδίο ορισμού των f + g, f g κι fg είνι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α κι Β των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού f της είνι το A B, εξιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον g προνομστή g (), δηλδή το σύνολο { A κι B, με g() } 6 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τη σύνθεση gof της f με τη g Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β ντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, κι τη συμολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο ( gof)() g(f()) Το πεδίο ορισμού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της f γι τ οποί το f () νήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είνι το σύνολο A { A f() B} 7 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) < f( )

13 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι: γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) > f( ) 9 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι ύξουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f() f() Πότε μί συνάρτηση f λέγετι φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι, πλώς φθίνουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f() f() Πότε μί συνάρτηση f προυσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο (ολικό) μέγιστο, το f( ), ότν f() f( ) γι κάθε A A Πότε μί συνάρτηση f προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο το f( ), ότν f() f( ) γι κάθε A A 3 Τι είνι τ ολικά κρόττ μίς συνάρτησης f; Το (ολικό) μέγιστο κι το (ολικό) ελάχιστο μις συνάρτησης f λέγοντι (ολικά) κρόττ της f

14 - - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 4 Πότε μί συνάρτηση λέγετι ; Μι συνάρτηση f : A R λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε f() f( ) 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f()+, με είνι συνάρτηση Αν υποθέσουμε ότι f( )f( ), τότε έχουμε διδοχικά: Πώς ορίζετι η ντίστροφη μίς συνάρτησης f; Έστω μι συνάρτηση f :A R που είνι Tότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A), της f υπάρχει μονδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει μι συνάρτηση στο μονδικό f () y κι επομένως ορίζετι g:f(a) R με την οποί κάθε y f(a) ντιστοιχίζετι A γι το οποίο ισχύει f () y Η g λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της f κι συμολίζετι με f 7 Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y Έστω οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι στο ίδιο σύστημ ξόνων Επειδή: f f() y f (y), ν έν σημείο Μ(, ) νήκει στη γρφική πράστση C της f, τότε το σημείο Μ (, ) θ νήκει στη γρφική πράστση C της f - κι ντιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες χοy κι χ Οy Επομένως οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y

15 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε πολυώνυμο ν ν P () ν + ν κι, ισχύει: lim P() P( ) ν ν Έστω το πολυώνυμο: P () ν + ν κι Σύμφων με τις ιδιότητες έχουμε: ν ν ν lim P() lim ( ) ν ν ν lim (ν ) + lim (ν ) + + lim ν ν ν lim + ν lim + + lim ν ν ν + ν + + P( ) Επομένως, lim P() P( ) 9 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ρητή συνάρτηση με Q( ) ισχύει Έστω η ρητή συνάρτηση lim P() Q() P( ) Q( ) P() f () κι κάθε Q() P() f (), όπου P (), Q () πολυώνυμ του Q() κι με Q( ) Τότε, lim f() lim P() Q() lim P() P( ) lim Q() Q() Επομένως, lim P() Q() P( ), εφόσον Q( ) Q( )

16 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συνρτήσεις f,g, h Αν h() f() g() κοντά στο κι lim h() lim g(), τότε lim f() Πότε λέμε ότι η κολουθί ( ν ) έχει όριο το R; Λέμε ότι η κολουθί ( ν ) έχει όριο το R κι θ γράφουμε lim ν ν, ότν γι κάθε ε>, υπάρχει ν Ν* τέτοιο ώστε γι κάθε ν>ν ν ισχύει ν < ε Πότε μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Έστω μι συνάρτηση f κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η f είνι συνεχής στο, ότν lim f() f( ) 3 Πότε μί συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ότν: ) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ) Υπάρχει το όριό της στο, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της f( ), στο σημείο 4 Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ); Μι συνάρτηση f θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (, )

17 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ]; Μι συνάρτηση f θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ], ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (,) κι επιπλέον lim f() f() + κι lim f() f() 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Έστω μι συνάρτηση f, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι, επιπλέον, ισχύει f () f() <, τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε f( ) Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης f () στο νοικτό διάστημ (,) Γεωμετρική ερμηνεί: Επειδή τ σημεί A (, f( ) ) κι (, f ( ) ) Β ρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της f τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (, ) y 64 f() B(,f()) O a f(a) Α(,f())

18 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ ενδιμέσων τιμών ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι f() f() τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ των f () κι f () υπάρχει ένς, τουλάχιστον (,) τέτοιος, ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ f( ) η Ας υποθέσουμε ότι f () < f() Τότε θ ισχύει f () < η < f() Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f() η, [,], πρτηρούμε ότι: η g είνι συνεχής στο [,] κι y g ()g() <, φού g () f() η < κι f() η f(a) Α(,f()) B(,f()) yη g () f() η > O a Επομένως, σύμφων με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε g( ) f( ) η, οπότε f( ) η Αν υποθέσουμε ότι ( ) f( ) f > κτλήγουμε στο ίδιο συμπέρσμ 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχουν, [,] τέτοι, ώστε, ν m f() κι M f( ), ν ισχύει m f( ) M, γι κάθε [, ]

19 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 9 Ποιο είνι το σύνολο τιμών μίς γνησίως ύξουσς (ντιστοίχως φθίνουσς) κι συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε έν νοικτό διάστημ (, ); Το διάστημ (Α, Β) (ντιστοίχως (Β, Α)), όπου Α lim f() κι B lim f( ) + 3 Πώς ορίζετι η εφπτομένη της C f στο σημείο της Α; Έστω f μι συνάρτηση κι A(,f( )) έν σημείο της C f Αν υπάρχει το f() f( ) lim κι είνι ένς πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφπτομένης στο σημείο A(,f( )) είνι y f( ) λ( ) 3 Πότε μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει το f() f( ) lim κι είνι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό ονομάζετι πράγωγος της f στο κι συμολίζετι με f ( ) Δηλδή: f() f( ) f ( ) lim 3 Τι ονομάζετι κλίση της C f στο σημείο A(,f( )) ή κλίση της f στο ; Ονομάζετι η κλίση f ( ) της εφπτομένης ε στο A(,f( ))

20 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 33 Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό f() f( ) Γι έχουμε f() f( ) ( ), οπότε f() f( ) lim [f() f( )] lim ( ) f() f( ) lim lim ( ) (φού η f είνι πργωγίσιμη στο ) f ( ), Επομένως, lim f() f( ), δηλδή η f είνι συνεχής στο 34 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ν κι συνεχής στο, δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό Έστω η συνάρτηση f () Η f είνι συνεχής στο, λλά δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό, φού f() f() f() f() lim lim, ενώ lim lim + 35 Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α είνι πργωγίσιμη στο Α; Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: H f είνι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 36 Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, ) του πεδίου ορισμού της Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: Η f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, ) του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο (,)

21 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: Η f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη στο (, ) κι επιπλέον ισχύει f() f( ) lim + κι f() f( ( ) lim 38 Τι ονομάζετι πράγωγος μις συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α; Έστω Α τo σύνολο των σημείων του Α στ οποί η συνάρτηση υτή είνι πργωγίσιμη Αντιστοιχίζοντς κάθε A στο f (), ορίζουμε τη συνάρτηση f :A, f () η οποί ονομάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f 39 Ν ποδείξετε ότι η στθερή συνάρτηση f () c, c είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f ( ) Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) c c f() f( ) Επομένως, lim, δηλδή ( c) 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) f() f( ) Επομένως, lim lim, δηλδή ( )

22 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ν 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f (), ν Ν {,} είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ν f () ν Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) ν ν ν ν ( )( + ν + + ) Οπότε, ν ν + ν + + δηλδή f() f( ) ν ν lim lim ( + ν ν ν ν ν ν ν ( ) ν ν + + ), 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f () Ακόμη, ν ποδείξετε ότι ν κι συνεχής στο δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό Aν είνι έν σημείο του (, + ), τότε γι ισχύει: f() f( ( ( + ) + ) ) f() f( ) Οπότε lim lim + ( )( + ) ( )( + ) f() f( ) Tέλος, + lim lim lim, κι επομένως η συνάρτηση δεν πργωγίζετι στο, δηλδή ( )

23 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ημ είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () συν Γι κάθε κι h ισχύει f( + h) f() ημ( + h) ημ ημ συνh + συν ημh ημ h h h (συνh ) ημh ημ + συν h h ημh συνh Επειδή lim κι h h h lim h, έχουμε: f( + h) f() lim ημ + συν συν h h Δηλδή, ( ημ) συν 44 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () συν είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () ημ Γι κάθε κι h ισχύει: f( + h) f() συν( + h) συν συν συνh ημ ημh συν h h h συνh ημh συν ημ, h h f( + h) f() συνh ημh Οπότε lim lim συν lim ημ h h h h h h συν ημ ημ Δηλδή, ( συν) ημ 45 Ν ποδείξετε ότι ν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f + g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) Γι, ισχύει: (f + g)() (f + g)() f() + g() f( ) g( ) f() f() g() g() +

24 - - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, έχουμε: (f + g)() (f + g)( ) f() f( ) g() g( ) lim lim + lim f ( ) + g ( ), Δηλδή ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) 46 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ν στο * κι ισχύει f () ν ν f(), ν * είνι πργωγίσιμη Γι κάθε * R έχουμε: ( ν ν ν ν () ( ) ν ν ) ν ν ν ν ( ) 47 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () εφ είνι πργωγίσιμη στο - { συν} κι ισχύει f () συν Γι κάθε (εφ) έχουμε: ημ συν (ημ) συν ημ(συν) συνσυν + ημημ συν συν συν + ημ συν συν 48 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση (, + ) κι ισχύει f () f (), Z είνι πργωγίσιμη στο Αν ln y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, u u ln y (e ) e u e

25 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτησηf (), > είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () ln Αν ln y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, y u u ln (e ) e u e ln ln 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ln, * είνι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει (ln ) Πράγμτι ν >, τότε (ln ) (ln ), ενώ ν <, τότε ln ln( ), οπότε, ν θέσουμε y ln( ) κι u, έχουμε y lnu Επομένως, κι άρ (ln ) y (lnu) u ( ) u 5 Τι ονομάζετι ρυθμός μετολής του yf() ως προς ; Αν δύο μετλητά μεγέθη, y συνδέοντι με τη σχέση y f(), ότν f είνι μι συνάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το στο σημείο την πράγωγο f ( )

26 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 5 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεί του Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (,) κι f () f() τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε: f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, y Μ(ξ,f(ξ)) Α(,f()) Β(,f()) ώστε η εφπτομένη της C f στο M (ξ,f(ξ)) ν είνι πράλληλη στον άξον των O ξ ξ 53 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέσης τιμής διφορικού λογισμού κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [,] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (,) y M(ξ,f(ξ)) Β(,f()) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) A(a,f(a)) τέτοιο, ώστε: f() f() f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M (ξ,f(ξ)) ν,f Β,f είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ, όπου Α ( ( )) κι ( ( )) Ο a ξ ξ

27 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι ν η f είνι μί συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι η f είνι συνεχής στο Δ κι f () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ν ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Πράγμτι, Δ ισχύει f( ) f( ) Αν, τότε προφνώς f( ) f( ) Αν <, τότε στο διάστημ [, ] η f ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ) f() f (ξ) () Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f (ξ),οπότε, λόγω της (), είνι f( ) f( ) Αν <, τότε ομοίως ποδεικνύετι ότι f( ) f( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι f( ) f( ) 55 Ν ποδείξετε ότι ν δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ κι οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f () g () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε f () g() + c Δ ν ισχύει: Η συνάρτηση f g είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει: ( f g) () f () g () Επομένως, σύμφων με το πρπάνω θεώρημ, η συνάρτηση f g είνι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει f () g() c, οπότε f () g() + c

28 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 56 Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν f () > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν f () < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημ στην περίπτωση που είνι f () > Έστω, Δ με < Θ δείξουμε ότι f( ) < f( ) Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε οπότε έχουμε f( ) f() f (ξ)( ) f( ) f() f (ξ), Επειδή f (ξ) > κι >, έχουμε f( ) f() >, οπότε f( ) < f( ) Στην περίπτωση που είνι f () < εργζόμστε νλόγως 57 Τι λέγετι τοπικό μέγιστο μίς συνάρτησης f; Μι συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f() f( ) γι κάθε A ( δ, + δ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοπικό μέγιστο της f 58 Τι λέγετι τοπικό ελάχιστο μίς συνάρτησης f; Μί συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f() f( ), γι κάθε A ( δ, + δ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, ενώ το f( ) τοπικό ελάχιστο της f

29 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ Fermat Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Aν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f ( ) Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είνι εσωτερικό σημείο του Δ κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ κι f() f( ), γι κάθε ( δ, + δ) () Επειδή, επιπλέον, η f είνι πργωγίσιμη στο, ισχύει: Επομένως, f() f( ) f() f( ) f ( ) lim lim + ν ( f() f( ) δ, ), τότε, λόγω της (), θ είνι, f() f( ) οπότε θ έχουμε f ( ) lim () f() f( ) ν (, + δ), τότε, λόγω της (), θ είνι, f() f( ) οπότε θ έχουμε f ( ) lim (3) + Έτσι, πό τις () κι (3) έχουμε f ( ) Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είνι νάλογη 6 Ποι σημεί λέγοντι κρίσιμ σημεί μίς συνάρτησης f; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ

30 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 6 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής i) Αν f () > στο (, ) κι f () < στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό μέγιστο της f ii) Αν f () < στο (, ) κι f () > στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f iii) Aν η f () διτηρεί πρόσημο στο (, ) (,), τότε το f( ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (,) i) Eπειδή f () > γι κάθε (, ) κι η f είνι συνεχής στο, η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ] Έτσι έχουμε: f() f( ), γι κάθε (, ] () Επειδή f () < γι κάθε (,) κι η f είνι συνεχής στο, η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [,) Έτσι έχουμε: f() f( ), γι κάθε [,) Επομένως, λόγω των () κι (), ισχύει: που σημίνει ότι το f( ) μέγιστο υτής ii) Εργζόμστε νλόγως f() f( ), γι κάθε (,), είνι μέγιστο της f στο (, ) κι άρ τοπικό iii) Έστω ότι f () >, γι κάθε (, ) (,) Επειδή η f είνι συνεχής στο θ είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήμτ (, ] κι [,) Επομένως, γι < < ισχύει f( ) < f( ) < f( ) Άρ το f( ) δεν είνι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Πράγμτι, έστω, (,) με < Αν, (, ], επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ], θ ισχύει f( ) < f( ) Αν, [,), επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,), θ ισχύει f( ) < f( ) Τέλος, ν < <, τότε όπως είδμε f( ) < f( ) < f( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f( ) < f( ), οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Ομοίως, ν f () < γι κάθε (, ) (,)

31 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέγετι κυρτή σε έν διάστημ Δ; Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ 63 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι κοίλη σε έν διάστημ Δ; Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ, ν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του Δ 64 Πότε το σημείο A(,f( )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν ισχύουν: η f είνι κυρτή στο (, ) η C f έχει εφπτομένη στο σημείο A(,f( )), κι κοίλη στο (, ), ή ντιστρόφως, κι τότε το σημείο A(,f( )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 65 Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f; Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f(), lim f() είνι + ή, τότε η + ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 66 Πότε η ευθεί y λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο ); Αν ισχύει lim f() (ντιστοίχως lim f() ) +

32 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 67 Πότε η ευθεί y λ + λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο - ); Αν ισχύει: lim [f() (λ + )] + Αντιστοίχως lim [f() (λ + )] 68 Αν η ευθεί yλ + είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο +, ντιστοίχως στο -, ποιες σχέσεις μς δίνουν τ λ, ; ντιστοίχως lim + lim f() f() λ κι λ κι lim [f() λ], + lim [f() λ] 69 Ν διτυπώσετε τους κνόνες του de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim f(), lim g(), R {, + } κι υπάρχει το f () lim (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: g () lim f() g() lim f () g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή + ) + Αν lim f() +, lim g() +, R {, + } κι υπάρχει το f () lim (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: g () lim f() g() f () lim g ()

33 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Τι ονομάζετι πράγουσ της f στο Δ; Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: F () f(), γι κάθε Δ 7 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε: όλες οι συνρτήσεις της μορφής της f στο Δ κι G () F() + c, c, είνι πράγουσες κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή c G () F() + c, Κάθε συνάρτηση της μορφής πράγουσ της f στο Δ, φού G () F() + c, όπου c, είνι μι G () (F() + c) F () f(), γι κάθε Δ Έστω G είνι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύουν F () f() κι G () f(), οπότε: G () F (), γι κάθε Δ Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε: G () F() + c, γι κάθε Δ

34 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Αν f συνεχής συνάρτηση στο [, ] με f(), [a, ], τι ονομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον κι τις ευθείες χ, χ; Χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, y yf() μήκους Δ, με τ ν σημεί < < < < ν f(ξ ) f(ξ ) Ω f(ξ k ) f(ξ ν ) Σε κάθε υποδιάστημ [ κ,κ ] επιλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξ κ O ξ k ν ξ k- ξ k ν- ξ ν κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι που Δ a v έχουν άση Δχ κι ύψη τ f(ξκ ) Το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι: S ν f(ξ)δ + f(ξ )Δ + + f(ξ ν )Δ [f(ξ) + + f(ξ ν )]Δ Yπολογίζουμε το lim S ν ν + Αποδεικνύετι ότι το lim S ν υπάρχει στο κι είνι νεξάρτητο πό την ν επιλογή των σημείων ξ κ Το όριο υτό ονομάζετι εμδόν του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε (Ω) Είνι φνερό ότι Ε(Ω) 73 Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f πό το στο ; Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [,] Με τ σημεί < < < < ν χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ ν y yf() O a ξ ξk ξ v- ξv v

35 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Στη συνέχει επιλέγουμε υθίρετ έν ξκ [κ, κ], γι κάθε κ {,,, ν}, κι σχημτίζουμε το άθροισμ S ν f(ξ)δ + f(ξ )Δ + + f(ξκ )Δ + + f(ξ ν )Δ το οποίο συμολίζετι, σύντομ, ως εξής: Aποδεικνύετι ότι: f(ξ S ν ν κ κ)δ ν Το όριο του θροίσμτος S ν, δηλδή το lim f( ξκ ) Δ () υπάρχει στο ν κ κι είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ Το πρπάνω όριο () ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο, συμολίζετι με f ( ) d 74 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [,] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν ποδείξετε ότι: f(t)dt G ( ) G( ) Η συνάρτηση F() f(t)dt είνι μι πράγουσ της f στο [, ] Επειδή κι η G είνι μι πράγουσ της f στο [,], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε: Από την (), γι οπότε c G() G () F() + c () G c,, έχουμε ( ) F( ) + c f(t)dt + c Επομένως, G () F() + G(), οπότε, γι, έχουμε κι άρ G ( ) F( ) + G( ) f(t)dt G( ) f(t)dt G + ( ) G( )

36 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 75 Ν γράψετε τον τύπο της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ όπου f ()g ()d [f()g()] f ()g() d, f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,] 76 Ν γράψετε τον τύπο της ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ u u f (g())g ()d f(u)du, όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u g(), du g () d κι u g(), u g() 77 Έστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [,] με f() g() γι κάθε [,] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι Ν ποδείξετε ότι γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει: E (Ω) (f() g())d y yf() y yf() y Ω yg() yg() Ω Ω O () O () O (γ) Πρτηρούμε ότι: Ε (Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) f()d g()d (f() g()) d () Επομένως, E (Ω) (f() g())d

37 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Έστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [,] με f() g() γι κάθε κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι E Ω (f() g())d γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει: ( ) Ν ποδείξετε ότι Πράγμτι, επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε f() + c g() + c, γι κάθε [, ] Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (σχ ) έχει το ίδιο εμδόν με το χωρίο Ω (σχ ) y y yf()+c yf() Ω Ω yg()+c O O yg() () () Επομένως, έχουμε: Ε(Ω) Ε(Ω ) [(f() + c) (g() + c)]d (f() g())d Άρ, E (Ω) (f() g())d 79 Έστω συνάρτηση g συνεχής στο [, ] με g(), [a, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό Cg,, a, Ν ποδείξετε ότι γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει E ( Ω ) g()d Επειδή ο άξονς έχουμε είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f (), y E (Ω) (f() g())d [ g()]d g()d Επομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g() γι κάθε [,], τότε : O Ω yg() E (Ω) g()d

38 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΕΡΟΣ B ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Αν z + i, με, R, τότε το i λέγετι φντστικό μέρος του z Αν, πργμτικοί ριθμοί, τότε: + i ή 3 Αν z + i, με, R ισχύει: z< < κι 4 Αν z + i κι z γ + δi,,,γ,δ R τότε ισχύει η ισοδυνμί: z >z >γ κι δ 5 Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δυο μιγδικών ριθμών είνι ίση με το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους 6 Η δινυσμτική κτίν της διφοράς δυο μιγδικών ριθμών είνι ίση με τη διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους 7 Αν, z 8 Αν, z z μιγδικοί ριθμοί τότε: R e ( z + z ) Re ( z ) + Re ( ) z z μιγδικοί ριθμοί τότε: R e ( z z ) Re ( z ) Re ( ) 9 Αν, R τότε: ( + i)( i) z Αν z, z μιγδικοί ριθμοί ώστε z z + τότε z z Αν z + i, με, R, τότε + i z Υπάρχουν μιγδικοί ριθμοί z έτσι ώστε ν ισχύει: z < 3 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζουμε: z

39 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ρ+ 4 Ισχύει: i, όπου ρ 5 Ισχύει: i 3 i 6 Ισχύει: 7 Ισχύει: 8 i i i i 8 Αν z + i, με, R τότε ο συζυγής του z είνι ο z + i 9 Οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών, είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον χ χ z + z Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: Re( z) Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z Im( z) Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ο z z είνι πάντ πργμτικός ριθμός 3 Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ο z z είνι πάντ φντστικός ριθμός 4 O z είνι πργμτικός ριθμός ν κι μόνο ν z z 5 O z είνι φντστικός ριθμός ν κι μόνο ν z + z 6 Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε R e ( z) Re ( z) 7 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: ( z) z 8 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z + i z z + i z 9 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 3 Ισχύει: i z i z, γι κάθε μιγδικό ριθμό z v 3 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: ( ) ( ) ν z z, ν

40 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 Η εξίσωση z +z+γ, με,,γ κι, ν έχει δικρίνουσ Δ<, τότε έχει δυο συζυγείς μιγδικές λύσεις 33 Αν η εξίσωση z + z + γ, με,,γ R κι έχει λύση τον +i, τότε θ έχει λύση κι τον 5 + i 34 Το μέτρο του μιγδικού ριθμού z+yi, όπου χ, y πργμτικοί ριθμοί, δίνετι πό τον τύπο z + y 35 Ισχύει: i, R κι R 36 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: z z 37 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 38 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 39 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z z 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z z 4 Ισχύει η ισοδυνμί: z φντστικός z z 43 Αν z μιγδικός ριθμός, τότε ισχύει: z z z 44 Αν z μιγδικός ριθμός, τότε ισχύει: z ρ ρ z z 45 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 46 Αν ισχύει z z, τότε z z ή z z 47 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: i z z 48 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: iz z

41 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Ισχύει: i i 5 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί με z, τότε ισχύει: z z z z 5 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z κι κάθε θετικό κέριο ν, ισχύει: v v z z 5 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z κι κάθε θετικό κέριο ν, ισχύει: ν ν z z 53 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ: z z z + z z + z 54 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ: z z z z z + z 55 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z + z z + z 56 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί τότε ισχύει: z z z + z 57 Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών ριθμών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους 58 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z z ρ, ρ> είνι κύκλος με κέντρο Κ(z ) κι κτίν ρ 59 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z + z z + z, είνι η μεσοκάθετος του ευθύγρμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί Α(z ) κι Β(z ) 6 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z z + z z, > κι z z <, είνι έλλειψη με εστίες τ σημεί Α(z ) κι Β(z )

42 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης f το πολύ έν κοινό σημείο Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς τον άξον χ χ 3 Η γρφική πράστση της f ποτελείτι πό τ τμήμτ της C f που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον χ χ κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον χ χ, των τμημάτων της C f που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον χ χ 4 Αν f ( ) g( ) ( ), γι κάθε R g, γι κάθε R, τότε ( ) f, γι κάθε R ή 5 Αν Α κι Β τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f, g ντιστοίχως, τότε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων f+g, f g κι f g είνι το Α Β 6 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν πεδί ορισμού Α κι Β ντιστοίχως τότε η A /g B fog έχει πεδίο ορισμού το { ( ) } 7 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού R κι ορίζοντι οι συνθέσεις fog κι gof, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες 8 Αν γι δύο συνρτήσεις f, g ορίζοντι οι fog κι gof, τότε είνι υποχρεωτικά fog gof 9 Αν f, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η ho ( gof ), τότε ορίζετι κι η ( hog )of κι ισχύει ho ( gof ) ( hog )of Μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f ( ) < f( ) Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως μονότονη, τότε η C f τέμνει τον άξον χ χ σ έν σημείο Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότν f ( ) < f( ), γι κάθε A 3 Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f(χ ) ότν f( ) f( ), γι κάθε A

43 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε f ( ) f( ) 5 Αν μι συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, τότε γι οποιδήποτε, A f f ισχύει η ισοδυνμί: ( ) ( ) 6 Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει κριώς μι λύση ως προς χ 7 Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει τουλάχιστον μι λύση ως προς χ 8 Μι συνάρτηση f είνι, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί (πράλληλη στον χχ ) τέμνει τη γρφική πράστσή της το πολύ σε έν σημείο 9 Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε είνι κι Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες στο πεδίο ορισμού τους Αν μι συνάρτηση δεν είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε δεν είνι Κάθε συνάρτηση που είνι στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη 3 Αν μι συνάρτηση είνι, τότε η γρφική της πράστση C f τέμνει τον άξον χ χ σ έν το πολύ σημείο 4 Αν μι συνάρτηση f είνι άρτι, τότε δεν είνι 5 Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή, τότε είνι 6 Αν μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, τότε ισχύουν: ( f( ) ) f κι f f ( ψ), A ( ) ψ, ψ f( A) 7 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτομεί τις γωνίες Οy κι Οy 8 Τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι f -, ρίσκοντι πάνω στην ευθεί ψχ

44 - 4 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Γι ν νζητήσουμε το όριο μις συνάρτησης f στο χ πρέπει το χ ν νήκει στο πεδίο ορισμού της Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim f( ) lim f( ) + 3 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim ( f( ) ) 4 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim f( + h) h 5 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο R τότε f ( ) < κοντά στο χ κι lim f( ) < 6 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο R κι είνι f(χ)> κοντά στο χ, τότε lim f( ) > 7 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν όριο στο στο, τότε lim f( ) < lim g( ) κι ισχύει ( ) g( ) f < κοντά 8 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός κι ισχύει f( ) κοντά στο χ, τότε lim f( ) 9 Ισχύει πάντ: lim ( f( ) + g( ) ) lim f( ) + lim g( ) Αν υπάρχει το lim ( f( ) + g( ) ) lim f( ) lim g κι ( ), τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ,

45 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν lim ( f( ) + g( ) ) R κι f ( ) R g lim ( ) lim, τότε Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός, τότε: lim ( k f( ) ) k lim ( f( ) ), γι κάθε στθερά k R 3 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f g στο R, τότε θ υπάρχουν κι τ όρι των συνρτήσεων f κι g στο σημείο R 4 Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων f κι g στο κι είνι lim f( ) f( ) πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύει lim, εφόσον g( ) lim g( ) lim g ( ) 5 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι είνι πργμτικός ριθμός, τότε ισχύει lim f( ) lim f( ) 6 Αν υπάρχει το όριο της f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός, k τότε lim f( ) k lim f( ), εφόσον ( ) k 7 Αν f( ) R, τότε [ f( ) ] ν ν lim lim 8 Αν lim f( ), τότε lim f( ) 9 Αν f( ) R, τότε ( ) lim lim f R lim f f κοντά στο χ, με k κι, * Αν ( ), τότε lim f( ) ή lim f( ) Αν f lim g ( ) ( ) R κι lim g( ), τότε ( ) lim f

46 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Γι κάθε R, ισχύει: ημ < ημχ 3 Ισχύει: lim χ συνχ 4 Ισχύει: lim χ lim f 5 Αν ( ) +, τότε f(χ)> κοντά στο χ 6 Αν f()> κοντά στο χ κι υπάρχει το όριο της f στο χ, τότε lim f( + 7 Αν lim f ( ) lim f, τότε ( ) + ή 8 Αν ( ) + lim f ή, τότε lim f ( ) lim 9 Αν ( ) + f κι lim f( ) +, τότε το lim f( ) δεν υπάρχει lim 3 Αν ( ) f 3 Αν lim f( ) κι f( ) κοντά στο χ, τότε κι f() κοντά στο χ, τότε lim f ( ) lim f ( ) + + ή 3 Αν ( ) + lim f lim f ή, τότε ( ) + 33 Αν lim f( ) +, τότε ( ) + lim k f 34 Ισχύει: lim +, ν v+ 35 Αν lim f( ) + κι lim g( ), τότε lim ( f( ) + g( ) ) 36 Αν lim f( ) R κι lim g( ), τότε lim ( f( ) g( ) )

47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Ισχύει: lim ν +, ν * 38 Ισχύει:, ν lim * χ ν 39 Ισχύει: lim e + 4 Αν >, τότε lim 4 Αν >, τότε lim χ Αν <<, τότε lim χ + 43 Ισχύει: lim n Ισχύει: lim n + 45 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο σημείο χ 46 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο σημείο χ, τότε η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ 47 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ κι η f είνι συνεχής στο χ, τότε η g μπορεί ν είνι συνεχής στο σημείο χ 48 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε οι συνρτήσεις f κι g μπορεί ν είνι συνεχείς στο σημείο χ 49 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι η f είνι συνεχής στο σημείο χ 5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι η f είνι συνεχής στο χ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο χ, τότε κι η σύνθεση τους gof είνι συνεχής στο χ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε είνι συνεχής κι στο κι στο

48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 53 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] με f()> κι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε f(ξ), τότε κτ νάγκη f()< ( ) 54 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) f( ) > εξίσωση f() δεν έχει κμί ρίζ στο (,) 55 Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει ( ), τότε η f, γι κάθε Δ, τότε η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο Δ 56 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι ( ) Δ, τότε η f είνι στθερή στο Δ f, γι κάθε 57 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δεν μηδενίζετι σ υτό, τότε ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ 58 Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί στθερό πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 59 Η εικόν ( Δ) f ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ 6 Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m 6 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ( ) f( ) σύνολο τιμών της είνι το [ f ( ),f ( ) ] ή το [ f ( ),f ( ) ] f, τότε το 6 Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α, Β) όπου A lim f( ) κι B lim f ( ) +

49 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη στο σημείο χ του f( ) f( ) πεδίου ορισμού της ν υπάρχει το lim Έστω μι συνάρτηση f κι Δ f Αν ισχύει: ( ) f( ) f( ) f( ) f lim lim +, τότε η f είνι πργωγίσιμη στο χ 3 Την κλίση της εφπτομένης στο σημείο Α(χ, f(χ )) την λέμε κι κλίση της C f 4 Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφπτομένης στο σημείο Α ( χ, f( )), της γρφικής πράστσης C f μις συνάρτησης f, πργωγίσιμης στο σημείο χ του πεδίου ορισμού της είνι λ f ( χ ) 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο χ του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 6 Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σ έν εσωτερικό σημείο χ ενός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο χ 7 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο χ του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό 8 Η συνάρτηση ( ) ν ν f ( ) ν f, ν, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει 9 Η συνάρτηση f ( ) είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει f () Η συνάρτηση f ( ) είνι πργωγίσιμη στο [,+ ) Η συνάρτηση ( ) f ( ) Ισχύει: ( ημ) συν f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) κι ισχύει, R

50 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 Η συνάρτηση f()συνχ είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f () ημχ 4 Αν οι συνρτήσεις f, g κι h είνι πργωγίσιμες σε διάστημ Δ, τότε f g h f g h, Δ ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 5 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο χ κι g( ), τότε η συνάρτηση g f είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει: f g ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) g χ f χ g [ g ( )] 6 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο χ κι g( ), τότε η συνάρτηση g f είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει: f g ( ) f ( ) g ( χ ) f ( χ ) ( ) g [ g ( )] ν 7 Η συνάρτηση ( ) ν ( ) ν f f, ν * είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f είνι πργωγίσιμη στο R R { συν } 8 Η συνάρτηση ( ) εφ κι ισχύει f ( ) συν 9 Η συνάρτηση f()εφχ είνι πργωγίσιμη στο R R { συνχ } κι ισχύει: f ( χ) συν Η συνάρτηση ( ) σφχ κι ισχύει f ( χ) f είνι πργωγίσιμη στο R R { ημ } ημ Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο χ τότε κι η συνάρτηση fog είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει ( fog) ( ) f (g ( ) g ( )

51 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν yf(u) κι ug(), ισχύει: dy d 3 Η συνάρτηση f()χ, R f ( ) dy du du d Z είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) με 4 Η συνάρτηση f()χ, R Z γι > είνι πργωγίσιμη στο [, + ) με ( ) f 5 Η συνάρτηση f(), > είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f χ χ ( ) n χ χ χ 6 Γι κάθε χ> ισχύει: ( ) 7 Γι κάθε χ> ισχύει: ( ) χ nχ 8 Γι κάθε ισχύει: [ ] χ n 9 Αν δύο μετλητά μεγέθη, y συνδέοντι με τη σχέση yf(), ότν f είνι μι πργωγίσιμη συνάρτηση στο χ, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το χ στο σημείο χ την πράγωγο f (χ ) 3 Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς τον χρόνο t την χρονική στιγμή t είνι η πράγωγος υ (t ) 3 Αν f πργωγίσιμη συνάρτηση κι ισχύει f()f() με <, τότε ορίζετι η στο [,] f (χ) 3 Μετξύ δυο ριζών μις πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντοτε μι τουλάχιστον ρίζ της πργώγου της 33 Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σε διάστημ Δ κι f (χ), σε κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι στο Δ 34 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) τότε υπάρχει έν, f τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο ώστε: ( ) ( ) f( ) f ξ 35 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο [,] με f()<f(), τότε, τέτοιο ώστε f (χ )< υπάρχει ( )

52 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 36 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε η f είνι στθερή στο R R κι f (χ), γι κάθε 37 Έστω δύο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι f, g f g γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του είνι συνεχείς στο Δ κι ( ) ( ) Δ, τότε ισχύει ( ) g ( ) f γι κάθε Δ 38 Αν f (χ)f(χ) γι κάθε R, τότε f(χ)ce χ, c R, R 39 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ Αν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ 4 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, τότε f ( ) > γι κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ 4 Αν μι συνάρτηση f : R R έχει συνεχή πρώτη πράγωγο κι f (χ), γι κάθε R, τότε η f είνι γνησίως μονότονη στο R 4 Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σ έν διάστημ Δ κι ισχύει f ( ) <, γι κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι στο Δ 43 Αν μι συνάρτηση προυσιάζει τοπικά κρόττ, τότε προυσιάζει κι ολικά κρόττ 44 Έν τοπικό μέγιστο είνι πάντ μεγλύτερο πό έν τοπικό ελάχιστο 45 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημ Δ προυσιάζει στο Δ τοπικό κρόττο κι είνι πργωγίσιμη στο χ, τότε f ( ) 46 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ, τότε στ εσωτερικά σημεί του Δ όπου η f προυσιάζει τοπικά κρόττ, η C f έχει οριζόντι εφπτομένη 47 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημ Δ κι χ έν εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο f ( ), τότε στο χ η f προυσιάζει τοπικό κρόττο 48 Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ

53 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι πργωγίσιμη σε νοικτό διάστημ Δ κι ( ) κρόττ f, γι κάθε Δ, τότε δεν έχει τοπικά 5 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έν σημείο του χ, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν ( ) f > στο (, τοπικό ελάχιστο της f ) κι ( ) f < στο (, ), τότε το ( ) f είνι 5 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ 5 Αν μι συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ, ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 53 Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 54 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι ισχύει f (χ)>, γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είνι κυρτή στο Δ 55 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι η f είνι κοίλη στο Δ, τότε f (χ)< γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ 56 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (, ) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο A (, f( )) είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 57 Αν το σημείο Α(, f(χ )) είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f κι η f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο χ, τότε f (χ ) 58 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει f (χ ), τότε η f στο χ προυσιάζει κμπή 59 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο R με f (χ), γι κάθε R, τότε η C f δεν έχει σημεί κμπής

54 - 5 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 6 Η συνάρτηση f( ) + + γ + δ 3, με,,γ,δ R κι, έχει πάντ έν κριώς σημείο κμπής 6 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f( ), f( ) + lim _ είνι R, τότε η ευθεί χχ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 6 Η ευθεί χχ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f ν κι μόνο ν lim f( ) + ή 63 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f( ), lim f( ) + είνι + ή -, τότε η ευθεί λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f, τότε η ευθεί ψ λέγετι οριζόντι σύμπτωτη + της γρφικής πράστσης της f στο + 64 Αν lim f( ) R 65 Αν η γρφική πράστση μις συνάρτησης f έχει στο + οριζόντι σύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγι σύμπτωτη στο + 66 Μι συνάρτηση συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,], δεν έχει σύμπτωτες 67 Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του ου, δεν έχουν σύμπτωτες ( ) ( ) P 68 Οι ρητές συνρτήσεις με θμό του ριθμητή P() μεγλύτερο Q τουλάχιστον κτά δυο του θμού του προνομστή, δεν έχουν πλάγιες σύμπτωτες 69 Αν f( ) κι g( ), R {, + } lim ( ) ( f lim g lim f ( ) g ( ) lim, τότε:

55 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Κάθε συνάρτηση σε διάστημ Δ, έχει πράγουσ στο διάστημ υτό Το σύνολο των πργουσών της συνάρτησης f( ) ημχ, χ R F ( ) συνχ + c, c R, R είνι 3 Το σύνολο των πργουσών της συνάρτησης f(χ)συνχ, R είνι F ημχ + c, c R, ( ) R 4 Αν η συνάρτηση F είνι πράγουσ της συνάρτησης f κι λ R *, τότε η συνάρτηση λf είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λf 5 Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, τότε η συνάρτηση F G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης f g 6 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι, Δ ισχύει πάντοτε ότι: f ( ) d f( ) d 7 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι f( ), γι κάθε Δ κι, Δ, τότε f ( ) d 8 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ [,] κι f(χ)>, γι κάθε [,], τότε f ( ) d > 9 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ [,] κι f(χ), γι κάθε [,], τότε κι f ( ) d Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) f(χ)> γι κάθε [,] d >, τότε

56 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν f, g, συνεχείς συνρτήσεις στο [,] με f( ) g( ) γι κάθε [,] κι η f δεν είνι πντού ίση με την g στο [,], τότε f ( ) d g( ) Ισχύει: cd c( ), όπου c R 3 Αν f, g, συνεχείς συνρτήσεις στο [,], τότε: [ ( ) + ( )] γ ( ) + g d f d γ g( ) d γ, f με [ ] 4 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ κι Δ, τότε: f( t) dt f( ), γι κάθε Δ 5 Αν F () f( t) ορισμού της f dt, τότε το πεδίο ορισμού της F είνι ίδιο με το πεδίο χ 6 Αν f συνεχής στο R, τότε f( t) dt f( ) 7 Αν f συνεχής σε διάστημ Δ κι η () f( t) της f στο Δ, τότε κτ νάγκη Δ g 8 Αν f, g, συνεχείς στο R ισχύει: f( t) dt < d F χ dt είνι μι πράγουσ ( ) f ( ) g ( χ) 9 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν διάστημ [,] κι G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε: f( t) dt G( ) G( ) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε υπάρχει πάντοτε το ( ) f d κι είνι πργμτικός ριθμός Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ με, Δ τότε ισχύει η ισοδυνμί: f( ) d Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f( ) d νγκστικά θ είνι f(χ), γι κάθε [,], τότε 3 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ με, Δ κι ισχύει ( ) d f, τότε ή f(χ) γι κάθε Δ ή

57 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] τότε ισχύει: f( t) dt f( ) 3 +, τότε f () 5 Αν f( ) t dt 6 Ισχύει ότι: ημχ d συν συν,, R 7 Ισχύει ότι: συνχ d ημ ημ,, R 8 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] τότε: f ( ) g ( χ) d [ f( ) g( ) ] f ( χ) g( ) d 9 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] τότε το f d, εκφράζει το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ, χ ολοκλήρωμ ( ) 3 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] κι f( ) γι κάθε [,] f d εκφράζει το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ κι χ, τότε το ολοκλήρωμ ( )