ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ"

Transcript

1 ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ

2 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: wwworosimoeu ISBN: ΕΚΔΟΣΕΙΣ

3 Πρόλογος Το Α μέρος υτού του ιλίου περιλμάνει τους ορισμούς κι τις ποδείξεις των θεωρημάτων των Μθημτικών Κτεύθυνσης της Γ Λυκείου, σύμφων με την ύλη των Πνελληνίων Εξετάσεων Το Β μέρος περιέχει ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος» νά κεφάλιο της ύλης σύμφων με το πνεύμ των ερωτήσεων των Πνελληνίων Εξετάσεων Όμως, σε κμί περίπτωση δεν υποκθιστά το σχολικό ιλίο πό το οποίο ο μθητής οφείλει ν γνωρίζει όλ τ θεωρήμτ, τις εφρμογές, τις πρτηρήσεις κι τ σχόλι που είνι στην ύλη των Πνελληνίων Εξετάσεων κι δεν περιλμάνοντι στο πρόν ιλίο

4 Κάθε ντίτυπο φέρει την υπογρφή του συγγρφέ ΕΚΔΟΣΕΙΣ: Ι ΚΑΛΙΜΑΝΗΣ Π ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ & ΣΙΑ ΕΕ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Κεντρική Διάθεση ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: wwworosimoeu, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΣΧΗΜΑΤΑ: ΔΗΜΗΤΡΑ ΖΑΧΑΡΙΑ ΛΙΑΝΑ ΝΤΕΛΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΞΩΦΥΛΛΟΥ: ΛΙΑΝΑ ΝΤΕΛΟΥ ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΦΩΤΟΓΙΟΥΝΙΚΑ ΜΟΝΟΠΡΟΣΩΠΗ ΕΠΕ ISBN:

5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ σελ 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 6 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 ΜΕΡΟΣ B : ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ σελ 35 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 39 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 46 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 55

7

8 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕΡΟΣ Α ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ν δώσετε τον ορισμό του συνόλου των μιγδικών ριθμών Το σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι έν υπερσύνολο του συνόλου των πργμτικών ριθμών, στο οποίο: Επεκτείνοντι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι ώστε ν έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέν () ν είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έν () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, Υπάρχει έν στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μονδικό τρόπο με τη μορφή z + i, όπου, Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + i κι γ +δi με,, γ, δ είνι ίσοι; Δύο μιγδικοί ριθμοί γ κι δ Δηλδή ισχύει: + i κι γ + δi είνι ίσοι, ν κι μόνο ν + i γ + δi γ κι δ 3 Τι λέγετι εικόν του μιγδικού ριθμού z a + i,, ; Kάθε μιγδικό ριθμό + i μπορούμε ν τον ντιστοιχίσουμε στο σημείο M (,) ενός κρτεσινού επιπέδου Αλλά κι ντιστρόφως, κάθε σημείο M (,) του κρτεσινού υτού επιπέδου μπορούμε ν το ντιστοιχίσουμε στο μιγδικό + i Το σημείο M λέγετι εικόν του μιγδικού + i y M(,) ή Μ(z) Ο a

9 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Αν z +i,, τι λέγετι συζυγής του z; Ο μιγδικός ριθμός συμολίζετι με z i,, λέγετι συζυγής του z κι 5 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: z + z z + z Αν z + i κι z γ + δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: + z ( + i) + (γ + δi) ( + γ) + ( z + δ)i ( + γ) ( + δ)i ( i) + (γ δi) z + z 6 Δίνετι η εξίσωση z + z +γ με,, γ κι Ν ποδείξετε ότι aν η δικρίνουσ Δ<, τότε έχει δύο συζυγείς ± i Δ μιγδικές ρίζες z, Έστω η εξίσωση z + z + γ, με,, γ κι Εργζόμστε όπως στην ντίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώνων, στη μορφή: z + Δ 4 Αν Δ <, τότε, επειδή Δ 4 ( )( Δ) i ( Δ) ι Δ, 4 () η εξίσωση γράφετι: i Δ z + ± i Δ Άρ οι λύσεις της είνι: z,, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί

10 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Τι λέγετι μέτρο του μιγδικού ριθμού z + ψi, χ, ψ Έστω M (,y) η εικόν του μιγδικού z + yi στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z την πόστση του M πό την ρχή O, δηλδή z OM + y 8 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: z z z z Έχουμε: z z z z z z z z ( z z )(z z ) z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύνμη ρχική

11 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζετι πργμτική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α κι τι τιμή της f στο A ; Έστω Α έν υποσύνολο του Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν) f, με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο πργμτικό ριθμό y Το y ονομάζετι τιμή της f στο κι συμολίζετι με f () Τι ονομάζετι σύνολο τιμών μίς συνάρτησης f : Α ; Το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της f σε όλ τ A, λέγετι σύνολο τιμών της f κι συμολίζετι με f (A) Είνι δηλδή: f (A) {y y f() γι κάποιο A} 3 Τι ονομάζετι γρφική πράστση μίς συνάρτησης f: Α ; Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oy έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων M (,y) γι τ οποί ισχύει y f(), δηλδή το σύνολο των σημείων M (,f()), A, λέγετι γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συνήθως με C f 4 Πότε δύο συνρτήσεις λέγοντι ίσες; Δύο συνρτήσεις f κι g λέγοντι ίσες ότν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) g( )

12 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 5 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τις συνρτήσεις f + g, f g, fg κι f g Ορίζουμε ως άθροισμ f + g, διφορά f - g, γινόμενο fg κι πηλίκο συνρτήσεων f, g τις συνρτήσεις με τύπους: ( f + g)() f() + g() ( f g)() f() g() ( fg)() f()g() f f() () g g() f g δύο Το πεδίο ορισμού των f + g, f g κι fg είνι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α κι Β των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού f της είνι το A B, εξιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον g προνομστή g (), δηλδή το σύνολο { A κι B, με g() } 6 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τη σύνθεση gof της f με τη g Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β ντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, κι τη συμολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο ( gof)() g(f()) Το πεδίο ορισμού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της f γι τ οποί το f () νήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είνι το σύνολο A { A f() B} 7 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) < f( )

13 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι: γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f( ) > f( ) 9 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι ύξουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι ύξουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f() f() Πότε μί συνάρτηση f λέγετι φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέγετι, πλώς φθίνουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f() f() Πότε μί συνάρτηση f προυσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο (ολικό) μέγιστο, το f( ), ότν f() f( ) γι κάθε A A Πότε μί συνάρτηση f προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο το f( ), ότν f() f( ) γι κάθε A A 3 Τι είνι τ ολικά κρόττ μίς συνάρτησης f; Το (ολικό) μέγιστο κι το (ολικό) ελάχιστο μις συνάρτησης f λέγοντι (ολικά) κρόττ της f

14 - - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 4 Πότε μί συνάρτηση λέγετι ; Μι συνάρτηση f : A R λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε f() f( ) 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f()+, με είνι συνάρτηση Αν υποθέσουμε ότι f( )f( ), τότε έχουμε διδοχικά: Πώς ορίζετι η ντίστροφη μίς συνάρτησης f; Έστω μι συνάρτηση f :A R που είνι Tότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A), της f υπάρχει μονδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει μι συνάρτηση στο μονδικό f () y κι επομένως ορίζετι g:f(a) R με την οποί κάθε y f(a) ντιστοιχίζετι A γι το οποίο ισχύει f () y Η g λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της f κι συμολίζετι με f 7 Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y Έστω οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι στο ίδιο σύστημ ξόνων Επειδή: f f() y f (y), ν έν σημείο Μ(, ) νήκει στη γρφική πράστση C της f, τότε το σημείο Μ (, ) θ νήκει στη γρφική πράστση C της f - κι ντιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες χοy κι χ Οy Επομένως οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y

15 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε πολυώνυμο ν ν P () ν + ν κι, ισχύει: lim P() P( ) ν ν Έστω το πολυώνυμο: P () ν + ν κι Σύμφων με τις ιδιότητες έχουμε: ν ν ν lim P() lim ( ) ν ν ν lim (ν ) + lim (ν ) + + lim ν ν ν lim + ν lim + + lim ν ν ν + ν + + P( ) Επομένως, lim P() P( ) 9 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ρητή συνάρτηση με Q( ) ισχύει Έστω η ρητή συνάρτηση lim P() Q() P( ) Q( ) P() f () κι κάθε Q() P() f (), όπου P (), Q () πολυώνυμ του Q() κι με Q( ) Τότε, lim f() lim P() Q() lim P() P( ) lim Q() Q() Επομένως, lim P() Q() P( ), εφόσον Q( ) Q( )

16 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συνρτήσεις f,g, h Αν h() f() g() κοντά στο κι lim h() lim g(), τότε lim f() Πότε λέμε ότι η κολουθί ( ν ) έχει όριο το R; Λέμε ότι η κολουθί ( ν ) έχει όριο το R κι θ γράφουμε lim ν ν, ότν γι κάθε ε>, υπάρχει ν Ν* τέτοιο ώστε γι κάθε ν>ν ν ισχύει ν < ε Πότε μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Έστω μι συνάρτηση f κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η f είνι συνεχής στο, ότν lim f() f( ) 3 Πότε μί συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ότν: ) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ) Υπάρχει το όριό της στο, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της f( ), στο σημείο 4 Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ); Μι συνάρτηση f θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (, )

17 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ]; Μι συνάρτηση f θ λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ], ότν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (,) κι επιπλέον lim f() f() + κι lim f() f() 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Έστω μι συνάρτηση f, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι, επιπλέον, ισχύει f () f() <, τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε f( ) Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης f () στο νοικτό διάστημ (,) Γεωμετρική ερμηνεί: Επειδή τ σημεί A (, f( ) ) κι (, f ( ) ) Β ρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της f τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (, ) y 64 f() B(,f()) O a f(a) Α(,f())

18 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ ενδιμέσων τιμών ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι f() f() τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ των f () κι f () υπάρχει ένς, τουλάχιστον (,) τέτοιος, ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ f( ) η Ας υποθέσουμε ότι f () < f() Τότε θ ισχύει f () < η < f() Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f() η, [,], πρτηρούμε ότι: η g είνι συνεχής στο [,] κι y g ()g() <, φού g () f() η < κι f() η f(a) Α(,f()) B(,f()) yη g () f() η > O a Επομένως, σύμφων με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε g( ) f( ) η, οπότε f( ) η Αν υποθέσουμε ότι ( ) f( ) f > κτλήγουμε στο ίδιο συμπέρσμ 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχουν, [,] τέτοι, ώστε, ν m f() κι M f( ), ν ισχύει m f( ) M, γι κάθε [, ]

19 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 9 Ποιο είνι το σύνολο τιμών μίς γνησίως ύξουσς (ντιστοίχως φθίνουσς) κι συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε έν νοικτό διάστημ (, ); Το διάστημ (Α, Β) (ντιστοίχως (Β, Α)), όπου Α lim f() κι B lim f( ) + 3 Πώς ορίζετι η εφπτομένη της C f στο σημείο της Α; Έστω f μι συνάρτηση κι A(,f( )) έν σημείο της C f Αν υπάρχει το f() f( ) lim κι είνι ένς πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφπτομένης στο σημείο A(,f( )) είνι y f( ) λ( ) 3 Πότε μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει το f() f( ) lim κι είνι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό ονομάζετι πράγωγος της f στο κι συμολίζετι με f ( ) Δηλδή: f() f( ) f ( ) lim 3 Τι ονομάζετι κλίση της C f στο σημείο A(,f( )) ή κλίση της f στο ; Ονομάζετι η κλίση f ( ) της εφπτομένης ε στο A(,f( ))

20 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 33 Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό f() f( ) Γι έχουμε f() f( ) ( ), οπότε f() f( ) lim [f() f( )] lim ( ) f() f( ) lim lim ( ) (φού η f είνι πργωγίσιμη στο ) f ( ), Επομένως, lim f() f( ), δηλδή η f είνι συνεχής στο 34 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ν κι συνεχής στο, δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό Έστω η συνάρτηση f () Η f είνι συνεχής στο, λλά δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό, φού f() f() f() f() lim lim, ενώ lim lim + 35 Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α είνι πργωγίσιμη στο Α; Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: H f είνι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 36 Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, ) του πεδίου ορισμού της Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: Η f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, ) του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο (,)

21 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α Θ λέμε ότι: Η f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη στο (, ) κι επιπλέον ισχύει f() f( ) lim + κι f() f( ( ) lim 38 Τι ονομάζετι πράγωγος μις συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α; Έστω Α τo σύνολο των σημείων του Α στ οποί η συνάρτηση υτή είνι πργωγίσιμη Αντιστοιχίζοντς κάθε A στο f (), ορίζουμε τη συνάρτηση f :A, f () η οποί ονομάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f 39 Ν ποδείξετε ότι η στθερή συνάρτηση f () c, c είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f ( ) Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) c c f() f( ) Επομένως, lim, δηλδή ( c) 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) f() f( ) Επομένως, lim lim, δηλδή ( )

22 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ν 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f (), ν Ν {,} είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ν f () ν Aν είνι έν σημείο του, τότε γι ισχύει: f() f( ) ν ν ν ν ( )( + ν + + ) Οπότε, ν ν + ν + + δηλδή f() f( ) ν ν lim lim ( + ν ν ν ν ν ν ν ( ) ν ν + + ), 4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f () Ακόμη, ν ποδείξετε ότι ν κι συνεχής στο δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό Aν είνι έν σημείο του (, + ), τότε γι ισχύει: f() f( ( ( + ) + ) ) f() f( ) Οπότε lim lim + ( )( + ) ( )( + ) f() f( ) Tέλος, + lim lim lim, κι επομένως η συνάρτηση δεν πργωγίζετι στο, δηλδή ( )

23 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ημ είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () συν Γι κάθε κι h ισχύει f( + h) f() ημ( + h) ημ ημ συνh + συν ημh ημ h h h (συνh ) ημh ημ + συν h h ημh συνh Επειδή lim κι h h h lim h, έχουμε: f( + h) f() lim ημ + συν συν h h Δηλδή, ( ημ) συν 44 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () συν είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () ημ Γι κάθε κι h ισχύει: f( + h) f() συν( + h) συν συν συνh ημ ημh συν h h h συνh ημh συν ημ, h h f( + h) f() συνh ημh Οπότε lim lim συν lim ημ h h h h h h συν ημ ημ Δηλδή, ( συν) ημ 45 Ν ποδείξετε ότι ν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f + g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) Γι, ισχύει: (f + g)() (f + g)() f() + g() f( ) g( ) f() f() g() g() +

24 - - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, έχουμε: (f + g)() (f + g)( ) f() f( ) g() g( ) lim lim + lim f ( ) + g ( ), Δηλδή ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) 46 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ν στο * κι ισχύει f () ν ν f(), ν * είνι πργωγίσιμη Γι κάθε * R έχουμε: ( ν ν ν ν () ( ) ν ν ) ν ν ν ν ( ) 47 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () εφ είνι πργωγίσιμη στο - { συν} κι ισχύει f () συν Γι κάθε (εφ) έχουμε: ημ συν (ημ) συν ημ(συν) συνσυν + ημημ συν συν συν + ημ συν συν 48 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση (, + ) κι ισχύει f () f (), Z είνι πργωγίσιμη στο Αν ln y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, u u ln y (e ) e u e

25 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτησηf (), > είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f () ln Αν ln y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, y u u ln (e ) e u e ln ln 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ln, * είνι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει (ln ) Πράγμτι ν >, τότε (ln ) (ln ), ενώ ν <, τότε ln ln( ), οπότε, ν θέσουμε y ln( ) κι u, έχουμε y lnu Επομένως, κι άρ (ln ) y (lnu) u ( ) u 5 Τι ονομάζετι ρυθμός μετολής του yf() ως προς ; Αν δύο μετλητά μεγέθη, y συνδέοντι με τη σχέση y f(), ότν f είνι μι συνάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το στο σημείο την πράγωγο f ( )

26 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 5 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεί του Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (,) κι f () f() τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε: f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, y Μ(ξ,f(ξ)) Α(,f()) Β(,f()) ώστε η εφπτομένη της C f στο M (ξ,f(ξ)) ν είνι πράλληλη στον άξον των O ξ ξ 53 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέσης τιμής διφορικού λογισμού κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [,] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (,) y M(ξ,f(ξ)) Β(,f()) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) A(a,f(a)) τέτοιο, ώστε: f() f() f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M (ξ,f(ξ)) ν,f Β,f είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ, όπου Α ( ( )) κι ( ( )) Ο a ξ ξ

27 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν ποδείξετε ότι ν η f είνι μί συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι η f είνι συνεχής στο Δ κι f () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ν ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Πράγμτι, Δ ισχύει f( ) f( ) Αν, τότε προφνώς f( ) f( ) Αν <, τότε στο διάστημ [, ] η f ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ) f() f (ξ) () Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f (ξ),οπότε, λόγω της (), είνι f( ) f( ) Αν <, τότε ομοίως ποδεικνύετι ότι f( ) f( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι f( ) f( ) 55 Ν ποδείξετε ότι ν δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ κι οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f () g () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε f () g() + c Δ ν ισχύει: Η συνάρτηση f g είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει: ( f g) () f () g () Επομένως, σύμφων με το πρπάνω θεώρημ, η συνάρτηση f g είνι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει f () g() c, οπότε f () g() + c

28 - 5 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 56 Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν f () > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν f () < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημ στην περίπτωση που είνι f () > Έστω, Δ με < Θ δείξουμε ότι f( ) < f( ) Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε οπότε έχουμε f( ) f() f (ξ)( ) f( ) f() f (ξ), Επειδή f (ξ) > κι >, έχουμε f( ) f() >, οπότε f( ) < f( ) Στην περίπτωση που είνι f () < εργζόμστε νλόγως 57 Τι λέγετι τοπικό μέγιστο μίς συνάρτησης f; Μι συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f() f( ) γι κάθε A ( δ, + δ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοπικό μέγιστο της f 58 Τι λέγετι τοπικό ελάχιστο μίς συνάρτησης f; Μί συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f() f( ), γι κάθε A ( δ, + δ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, ενώ το f( ) τοπικό ελάχιστο της f

29 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ Fermat Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Aν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f ( ) Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είνι εσωτερικό σημείο του Δ κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ κι f() f( ), γι κάθε ( δ, + δ) () Επειδή, επιπλέον, η f είνι πργωγίσιμη στο, ισχύει: Επομένως, f() f( ) f() f( ) f ( ) lim lim + ν ( f() f( ) δ, ), τότε, λόγω της (), θ είνι, f() f( ) οπότε θ έχουμε f ( ) lim () f() f( ) ν (, + δ), τότε, λόγω της (), θ είνι, f() f( ) οπότε θ έχουμε f ( ) lim (3) + Έτσι, πό τις () κι (3) έχουμε f ( ) Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είνι νάλογη 6 Ποι σημεί λέγοντι κρίσιμ σημεί μίς συνάρτησης f; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ

30 - 7 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 6 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής i) Αν f () > στο (, ) κι f () < στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό μέγιστο της f ii) Αν f () < στο (, ) κι f () > στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f iii) Aν η f () διτηρεί πρόσημο στο (, ) (,), τότε το f( ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (,) i) Eπειδή f () > γι κάθε (, ) κι η f είνι συνεχής στο, η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ] Έτσι έχουμε: f() f( ), γι κάθε (, ] () Επειδή f () < γι κάθε (,) κι η f είνι συνεχής στο, η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [,) Έτσι έχουμε: f() f( ), γι κάθε [,) Επομένως, λόγω των () κι (), ισχύει: που σημίνει ότι το f( ) μέγιστο υτής ii) Εργζόμστε νλόγως f() f( ), γι κάθε (,), είνι μέγιστο της f στο (, ) κι άρ τοπικό iii) Έστω ότι f () >, γι κάθε (, ) (,) Επειδή η f είνι συνεχής στο θ είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήμτ (, ] κι [,) Επομένως, γι < < ισχύει f( ) < f( ) < f( ) Άρ το f( ) δεν είνι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Πράγμτι, έστω, (,) με < Αν, (, ], επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ], θ ισχύει f( ) < f( ) Αν, [,), επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,), θ ισχύει f( ) < f( ) Τέλος, ν < <, τότε όπως είδμε f( ) < f( ) < f( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f( ) < f( ), οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Ομοίως, ν f () < γι κάθε (, ) (,)

31 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πότε μί συνάρτηση f λέγετι κυρτή σε έν διάστημ Δ; Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ 63 Πότε μί συνάρτηση f λέγετι κοίλη σε έν διάστημ Δ; Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ, ν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του Δ 64 Πότε το σημείο A(,f( )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν ισχύουν: η f είνι κυρτή στο (, ) η C f έχει εφπτομένη στο σημείο A(,f( )), κι κοίλη στο (, ), ή ντιστρόφως, κι τότε το σημείο A(,f( )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 65 Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f; Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f(), lim f() είνι + ή, τότε η + ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 66 Πότε η ευθεί y λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο ); Αν ισχύει lim f() (ντιστοίχως lim f() ) +

32 - 9 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 67 Πότε η ευθεί y λ + λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο - ); Αν ισχύει: lim [f() (λ + )] + Αντιστοίχως lim [f() (λ + )] 68 Αν η ευθεί yλ + είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο +, ντιστοίχως στο -, ποιες σχέσεις μς δίνουν τ λ, ; ντιστοίχως lim + lim f() f() λ κι λ κι lim [f() λ], + lim [f() λ] 69 Ν διτυπώσετε τους κνόνες του de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim f(), lim g(), R {, + } κι υπάρχει το f () lim (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: g () lim f() g() lim f () g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή + ) + Αν lim f() +, lim g() +, R {, + } κι υπάρχει το f () lim (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: g () lim f() g() f () lim g ()

33 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Τι ονομάζετι πράγουσ της f στο Δ; Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: F () f(), γι κάθε Δ 7 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε: όλες οι συνρτήσεις της μορφής της f στο Δ κι G () F() + c, c, είνι πράγουσες κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή c G () F() + c, Κάθε συνάρτηση της μορφής πράγουσ της f στο Δ, φού G () F() + c, όπου c, είνι μι G () (F() + c) F () f(), γι κάθε Δ Έστω G είνι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύουν F () f() κι G () f(), οπότε: G () F (), γι κάθε Δ Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε: G () F() + c, γι κάθε Δ

34 - 3 - ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 7 Αν f συνεχής συνάρτηση στο [, ] με f(), [a, ], τι ονομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον κι τις ευθείες χ, χ; Χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, y yf() μήκους Δ, με τ ν σημεί < < < < ν f(ξ ) f(ξ ) Ω f(ξ k ) f(ξ ν ) Σε κάθε υποδιάστημ [ κ,κ ] επιλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξ κ O ξ k ν ξ k- ξ k ν- ξ ν κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι που Δ a v έχουν άση Δχ κι ύψη τ f(ξκ ) Το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι: S ν f(ξ)δ + f(ξ )Δ + + f(ξ ν )Δ [f(ξ) + + f(ξ ν )]Δ Yπολογίζουμε το lim S ν ν + Αποδεικνύετι ότι το lim S ν υπάρχει στο κι είνι νεξάρτητο πό την ν επιλογή των σημείων ξ κ Το όριο υτό ονομάζετι εμδόν του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε (Ω) Είνι φνερό ότι Ε(Ω) 73 Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f πό το στο ; Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [,] Με τ σημεί < < < < ν χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ ν y yf() O a ξ ξk ξ v- ξv v

35 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Στη συνέχει επιλέγουμε υθίρετ έν ξκ [κ, κ], γι κάθε κ {,,, ν}, κι σχημτίζουμε το άθροισμ S ν f(ξ)δ + f(ξ )Δ + + f(ξκ )Δ + + f(ξ ν )Δ το οποίο συμολίζετι, σύντομ, ως εξής: Aποδεικνύετι ότι: f(ξ S ν ν κ κ)δ ν Το όριο του θροίσμτος S ν, δηλδή το lim f( ξκ ) Δ () υπάρχει στο ν κ κι είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ Το πρπάνω όριο () ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο, συμολίζετι με f ( ) d 74 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [,] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν ποδείξετε ότι: f(t)dt G ( ) G( ) Η συνάρτηση F() f(t)dt είνι μι πράγουσ της f στο [, ] Επειδή κι η G είνι μι πράγουσ της f στο [,], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε: Από την (), γι οπότε c G() G () F() + c () G c,, έχουμε ( ) F( ) + c f(t)dt + c Επομένως, G () F() + G(), οπότε, γι, έχουμε κι άρ G ( ) F( ) + G( ) f(t)dt G( ) f(t)dt G + ( ) G( )

36 ΟΡΙΣΜΟΙ -ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 75 Ν γράψετε τον τύπο της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ όπου f ()g ()d [f()g()] f ()g() d, f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,] 76 Ν γράψετε τον τύπο της ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ u u f (g())g ()d f(u)du, όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u g(), du g () d κι u g(), u g() 77 Έστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [,] με f() g() γι κάθε [,] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι Ν ποδείξετε ότι γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει: E (Ω) (f() g())d y yf() y yf() y Ω yg() yg() Ω Ω O () O () O (γ) Πρτηρούμε ότι: Ε (Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) f()d g()d (f() g()) d () Επομένως, E (Ω) (f() g())d

37 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Έστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [,] με f() g() γι κάθε κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι E Ω (f() g())d γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει: ( ) Ν ποδείξετε ότι Πράγμτι, επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε f() + c g() + c, γι κάθε [, ] Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (σχ ) έχει το ίδιο εμδόν με το χωρίο Ω (σχ ) y y yf()+c yf() Ω Ω yg()+c O O yg() () () Επομένως, έχουμε: Ε(Ω) Ε(Ω ) [(f() + c) (g() + c)]d (f() g())d Άρ, E (Ω) (f() g())d 79 Έστω συνάρτηση g συνεχής στο [, ] με g(), [a, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό Cg,, a, Ν ποδείξετε ότι γι το εμδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει E ( Ω ) g()d Επειδή ο άξονς έχουμε είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f (), y E (Ω) (f() g())d [ g()]d g()d Επομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g() γι κάθε [,], τότε : O Ω yg() E (Ω) g()d

38 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΕΡΟΣ B ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Αν z + i, με, R, τότε το i λέγετι φντστικό μέρος του z Αν, πργμτικοί ριθμοί, τότε: + i ή 3 Αν z + i, με, R ισχύει: z< < κι 4 Αν z + i κι z γ + δi,,,γ,δ R τότε ισχύει η ισοδυνμί: z >z >γ κι δ 5 Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δυο μιγδικών ριθμών είνι ίση με το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους 6 Η δινυσμτική κτίν της διφοράς δυο μιγδικών ριθμών είνι ίση με τη διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους 7 Αν, z 8 Αν, z z μιγδικοί ριθμοί τότε: R e ( z + z ) Re ( z ) + Re ( ) z z μιγδικοί ριθμοί τότε: R e ( z z ) Re ( z ) Re ( ) 9 Αν, R τότε: ( + i)( i) z Αν z, z μιγδικοί ριθμοί ώστε z z + τότε z z Αν z + i, με, R, τότε + i z Υπάρχουν μιγδικοί ριθμοί z έτσι ώστε ν ισχύει: z < 3 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζουμε: z

39 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ρ+ 4 Ισχύει: i, όπου ρ 5 Ισχύει: i 3 i 6 Ισχύει: 7 Ισχύει: 8 i i i i 8 Αν z + i, με, R τότε ο συζυγής του z είνι ο z + i 9 Οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών, είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον χ χ z + z Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: Re( z) Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z Im( z) Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ο z z είνι πάντ πργμτικός ριθμός 3 Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ο z z είνι πάντ φντστικός ριθμός 4 O z είνι πργμτικός ριθμός ν κι μόνο ν z z 5 O z είνι φντστικός ριθμός ν κι μόνο ν z + z 6 Αν z μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε R e ( z) Re ( z) 7 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: ( z) z 8 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z + i z z + i z 9 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 3 Ισχύει: i z i z, γι κάθε μιγδικό ριθμό z v 3 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: ( ) ( ) ν z z, ν

40 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 Η εξίσωση z +z+γ, με,,γ κι, ν έχει δικρίνουσ Δ<, τότε έχει δυο συζυγείς μιγδικές λύσεις 33 Αν η εξίσωση z + z + γ, με,,γ R κι έχει λύση τον +i, τότε θ έχει λύση κι τον 5 + i 34 Το μέτρο του μιγδικού ριθμού z+yi, όπου χ, y πργμτικοί ριθμοί, δίνετι πό τον τύπο z + y 35 Ισχύει: i, R κι R 36 Αν z μιγδικός ριθμός ισχύει: z z 37 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 38 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 39 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z z 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: z z z 4 Ισχύει η ισοδυνμί: z φντστικός z z 43 Αν z μιγδικός ριθμός, τότε ισχύει: z z z 44 Αν z μιγδικός ριθμός, τότε ισχύει: z ρ ρ z z 45 Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 46 Αν ισχύει z z, τότε z z ή z z 47 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: i z z 48 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει: iz z

41 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Ισχύει: i i 5 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί με z, τότε ισχύει: z z z z 5 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z κι κάθε θετικό κέριο ν, ισχύει: v v z z 5 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z κι κάθε θετικό κέριο ν, ισχύει: ν ν z z 53 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ: z z z + z z + z 54 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ: z z z z z + z 55 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z + z z + z 56 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί τότε ισχύει: z z z + z 57 Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών ριθμών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους 58 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z z ρ, ρ> είνι κύκλος με κέντρο Κ(z ) κι κτίν ρ 59 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z + z z + z, είνι η μεσοκάθετος του ευθύγρμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί Α(z ) κι Β(z ) 6 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z z + z z, > κι z z <, είνι έλλειψη με εστίες τ σημεί Α(z ) κι Β(z )

42 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης f το πολύ έν κοινό σημείο Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς τον άξον χ χ 3 Η γρφική πράστση της f ποτελείτι πό τ τμήμτ της C f που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον χ χ κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον χ χ, των τμημάτων της C f που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον χ χ 4 Αν f ( ) g( ) ( ), γι κάθε R g, γι κάθε R, τότε ( ) f, γι κάθε R ή 5 Αν Α κι Β τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f, g ντιστοίχως, τότε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων f+g, f g κι f g είνι το Α Β 6 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν πεδί ορισμού Α κι Β ντιστοίχως τότε η A /g B fog έχει πεδίο ορισμού το { ( ) } 7 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού R κι ορίζοντι οι συνθέσεις fog κι gof, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες 8 Αν γι δύο συνρτήσεις f, g ορίζοντι οι fog κι gof, τότε είνι υποχρεωτικά fog gof 9 Αν f, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η ho ( gof ), τότε ορίζετι κι η ( hog )of κι ισχύει ho ( gof ) ( hog )of Μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f ( ) < f( ) Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως μονότονη, τότε η C f τέμνει τον άξον χ χ σ έν σημείο Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότν f ( ) < f( ), γι κάθε A 3 Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f(χ ) ότν f( ) f( ), γι κάθε A

43 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν, τότε f ( ) f( ) 5 Αν μι συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, τότε γι οποιδήποτε, A f f ισχύει η ισοδυνμί: ( ) ( ) 6 Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει κριώς μι λύση ως προς χ 7 Μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει τουλάχιστον μι λύση ως προς χ 8 Μι συνάρτηση f είνι, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί (πράλληλη στον χχ ) τέμνει τη γρφική πράστσή της το πολύ σε έν σημείο 9 Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε είνι κι Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες στο πεδίο ορισμού τους Αν μι συνάρτηση δεν είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε δεν είνι Κάθε συνάρτηση που είνι στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη 3 Αν μι συνάρτηση είνι, τότε η γρφική της πράστση C f τέμνει τον άξον χ χ σ έν το πολύ σημείο 4 Αν μι συνάρτηση f είνι άρτι, τότε δεν είνι 5 Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή, τότε είνι 6 Αν μί συνάρτηση f:α R είνι συνάρτηση, τότε ισχύουν: ( f( ) ) f κι f f ( ψ), A ( ) ψ, ψ f( A) 7 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτομεί τις γωνίες Οy κι Οy 8 Τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι f -, ρίσκοντι πάνω στην ευθεί ψχ

44 - 4 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Γι ν νζητήσουμε το όριο μις συνάρτησης f στο χ πρέπει το χ ν νήκει στο πεδίο ορισμού της Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim f( ) lim f( ) + 3 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim ( f( ) ) 4 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, χ ) (χ, ) κι ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f( ) lim f( + h) h 5 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο R τότε f ( ) < κοντά στο χ κι lim f( ) < 6 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο R κι είνι f(χ)> κοντά στο χ, τότε lim f( ) > 7 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν όριο στο στο, τότε lim f( ) < lim g( ) κι ισχύει ( ) g( ) f < κοντά 8 Αν υπάρχει το όριο μις συνάρτησης f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός κι ισχύει f( ) κοντά στο χ, τότε lim f( ) 9 Ισχύει πάντ: lim ( f( ) + g( ) ) lim f( ) + lim g( ) Αν υπάρχει το lim ( f( ) + g( ) ) lim f( ) lim g κι ( ), τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ,

45 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν lim ( f( ) + g( ) ) R κι f ( ) R g lim ( ) lim, τότε Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός, τότε: lim ( k f( ) ) k lim ( f( ) ), γι κάθε στθερά k R 3 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f g στο R, τότε θ υπάρχουν κι τ όρι των συνρτήσεων f κι g στο σημείο R 4 Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων f κι g στο κι είνι lim f( ) f( ) πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύει lim, εφόσον g( ) lim g( ) lim g ( ) 5 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι είνι πργμτικός ριθμός, τότε ισχύει lim f( ) lim f( ) 6 Αν υπάρχει το όριο της f στο χ κι είνι πργμτικός ριθμός, k τότε lim f( ) k lim f( ), εφόσον ( ) k 7 Αν f( ) R, τότε [ f( ) ] ν ν lim lim 8 Αν lim f( ), τότε lim f( ) 9 Αν f( ) R, τότε ( ) lim lim f R lim f f κοντά στο χ, με k κι, * Αν ( ), τότε lim f( ) ή lim f( ) Αν f lim g ( ) ( ) R κι lim g( ), τότε ( ) lim f

46 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Γι κάθε R, ισχύει: ημ < ημχ 3 Ισχύει: lim χ συνχ 4 Ισχύει: lim χ lim f 5 Αν ( ) +, τότε f(χ)> κοντά στο χ 6 Αν f()> κοντά στο χ κι υπάρχει το όριο της f στο χ, τότε lim f( + 7 Αν lim f ( ) lim f, τότε ( ) + ή 8 Αν ( ) + lim f ή, τότε lim f ( ) lim 9 Αν ( ) + f κι lim f( ) +, τότε το lim f( ) δεν υπάρχει lim 3 Αν ( ) f 3 Αν lim f( ) κι f( ) κοντά στο χ, τότε κι f() κοντά στο χ, τότε lim f ( ) lim f ( ) + + ή 3 Αν ( ) + lim f lim f ή, τότε ( ) + 33 Αν lim f( ) +, τότε ( ) + lim k f 34 Ισχύει: lim +, ν v+ 35 Αν lim f( ) + κι lim g( ), τότε lim ( f( ) + g( ) ) 36 Αν lim f( ) R κι lim g( ), τότε lim ( f( ) g( ) )

47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Ισχύει: lim ν +, ν * 38 Ισχύει:, ν lim * χ ν 39 Ισχύει: lim e + 4 Αν >, τότε lim 4 Αν >, τότε lim χ Αν <<, τότε lim χ + 43 Ισχύει: lim n Ισχύει: lim n + 45 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο σημείο χ 46 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο σημείο χ, τότε η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ 47 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ κι η f είνι συνεχής στο χ, τότε η g μπορεί ν είνι συνεχής στο σημείο χ 48 Αν η συνάρτηση f+g είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε οι συνρτήσεις f κι g μπορεί ν είνι συνεχείς στο σημείο χ 49 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι η f είνι συνεχής στο σημείο χ 5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ, τότε κι η f είνι συνεχής στο χ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο χ κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο χ, τότε κι η σύνθεση τους gof είνι συνεχής στο χ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε είνι συνεχής κι στο κι στο

48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 53 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] με f()> κι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε f(ξ), τότε κτ νάγκη f()< ( ) 54 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) f( ) > εξίσωση f() δεν έχει κμί ρίζ στο (,) 55 Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει ( ), τότε η f, γι κάθε Δ, τότε η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο Δ 56 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι ( ) Δ, τότε η f είνι στθερή στο Δ f, γι κάθε 57 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δεν μηδενίζετι σ υτό, τότε ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ 58 Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί στθερό πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 59 Η εικόν ( Δ) f ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ 6 Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m 6 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ( ) f( ) σύνολο τιμών της είνι το [ f ( ),f ( ) ] ή το [ f ( ),f ( ) ] f, τότε το 6 Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α, Β) όπου A lim f( ) κι B lim f ( ) +

49 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη στο σημείο χ του f( ) f( ) πεδίου ορισμού της ν υπάρχει το lim Έστω μι συνάρτηση f κι Δ f Αν ισχύει: ( ) f( ) f( ) f( ) f lim lim +, τότε η f είνι πργωγίσιμη στο χ 3 Την κλίση της εφπτομένης στο σημείο Α(χ, f(χ )) την λέμε κι κλίση της C f 4 Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφπτομένης στο σημείο Α ( χ, f( )), της γρφικής πράστσης C f μις συνάρτησης f, πργωγίσιμης στο σημείο χ του πεδίου ορισμού της είνι λ f ( χ ) 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο χ του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 6 Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σ έν εσωτερικό σημείο χ ενός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο χ 7 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο χ του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό 8 Η συνάρτηση ( ) ν ν f ( ) ν f, ν, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει 9 Η συνάρτηση f ( ) είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει f () Η συνάρτηση f ( ) είνι πργωγίσιμη στο [,+ ) Η συνάρτηση ( ) f ( ) Ισχύει: ( ημ) συν f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) κι ισχύει, R

50 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 3 Η συνάρτηση f()συνχ είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f () ημχ 4 Αν οι συνρτήσεις f, g κι h είνι πργωγίσιμες σε διάστημ Δ, τότε f g h f g h, Δ ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 5 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο χ κι g( ), τότε η συνάρτηση g f είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει: f g ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) g χ f χ g [ g ( )] 6 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο χ κι g( ), τότε η συνάρτηση g f είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει: f g ( ) f ( ) g ( χ ) f ( χ ) ( ) g [ g ( )] ν 7 Η συνάρτηση ( ) ν ( ) ν f f, ν * είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f είνι πργωγίσιμη στο R R { συν } 8 Η συνάρτηση ( ) εφ κι ισχύει f ( ) συν 9 Η συνάρτηση f()εφχ είνι πργωγίσιμη στο R R { συνχ } κι ισχύει: f ( χ) συν Η συνάρτηση ( ) σφχ κι ισχύει f ( χ) f είνι πργωγίσιμη στο R R { ημ } ημ Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο χ τότε κι η συνάρτηση fog είνι πργωγίσιμη στο χ κι ισχύει ( fog) ( ) f (g ( ) g ( )

51 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν yf(u) κι ug(), ισχύει: dy d 3 Η συνάρτηση f()χ, R f ( ) dy du du d Z είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) με 4 Η συνάρτηση f()χ, R Z γι > είνι πργωγίσιμη στο [, + ) με ( ) f 5 Η συνάρτηση f(), > είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f χ χ ( ) n χ χ χ 6 Γι κάθε χ> ισχύει: ( ) 7 Γι κάθε χ> ισχύει: ( ) χ nχ 8 Γι κάθε ισχύει: [ ] χ n 9 Αν δύο μετλητά μεγέθη, y συνδέοντι με τη σχέση yf(), ότν f είνι μι πργωγίσιμη συνάρτηση στο χ, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το χ στο σημείο χ την πράγωγο f (χ ) 3 Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς τον χρόνο t την χρονική στιγμή t είνι η πράγωγος υ (t ) 3 Αν f πργωγίσιμη συνάρτηση κι ισχύει f()f() με <, τότε ορίζετι η στο [,] f (χ) 3 Μετξύ δυο ριζών μις πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντοτε μι τουλάχιστον ρίζ της πργώγου της 33 Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σε διάστημ Δ κι f (χ), σε κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι στο Δ 34 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) τότε υπάρχει έν, f τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο ώστε: ( ) ( ) f( ) f ξ 35 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο [,] με f()<f(), τότε, τέτοιο ώστε f (χ )< υπάρχει ( )

52 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 36 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε η f είνι στθερή στο R R κι f (χ), γι κάθε 37 Έστω δύο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι f, g f g γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του είνι συνεχείς στο Δ κι ( ) ( ) Δ, τότε ισχύει ( ) g ( ) f γι κάθε Δ 38 Αν f (χ)f(χ) γι κάθε R, τότε f(χ)ce χ, c R, R 39 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ Αν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ 4 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, τότε f ( ) > γι κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ 4 Αν μι συνάρτηση f : R R έχει συνεχή πρώτη πράγωγο κι f (χ), γι κάθε R, τότε η f είνι γνησίως μονότονη στο R 4 Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σ έν διάστημ Δ κι ισχύει f ( ) <, γι κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι στο Δ 43 Αν μι συνάρτηση προυσιάζει τοπικά κρόττ, τότε προυσιάζει κι ολικά κρόττ 44 Έν τοπικό μέγιστο είνι πάντ μεγλύτερο πό έν τοπικό ελάχιστο 45 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημ Δ προυσιάζει στο Δ τοπικό κρόττο κι είνι πργωγίσιμη στο χ, τότε f ( ) 46 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ, τότε στ εσωτερικά σημεί του Δ όπου η f προυσιάζει τοπικά κρόττ, η C f έχει οριζόντι εφπτομένη 47 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημ Δ κι χ έν εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο f ( ), τότε στο χ η f προυσιάζει τοπικό κρόττο 48 Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ

53 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι πργωγίσιμη σε νοικτό διάστημ Δ κι ( ) κρόττ f, γι κάθε Δ, τότε δεν έχει τοπικά 5 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έν σημείο του χ, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν ( ) f > στο (, τοπικό ελάχιστο της f ) κι ( ) f < στο (, ), τότε το ( ) f είνι 5 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ 5 Αν μι συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ, ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 53 Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 54 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι ισχύει f (χ)>, γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είνι κυρτή στο Δ 55 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι η f είνι κοίλη στο Δ, τότε f (χ)< γι κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ 56 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (, ) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο A (, f( )) είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 57 Αν το σημείο Α(, f(χ )) είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f κι η f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο χ, τότε f (χ ) 58 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει f (χ ), τότε η f στο χ προυσιάζει κμπή 59 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο R με f (χ), γι κάθε R, τότε η C f δεν έχει σημεί κμπής

54 - 5 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 6 Η συνάρτηση f( ) + + γ + δ 3, με,,γ,δ R κι, έχει πάντ έν κριώς σημείο κμπής 6 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f( ), f( ) + lim _ είνι R, τότε η ευθεί χχ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 6 Η ευθεί χχ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f ν κι μόνο ν lim f( ) + ή 63 Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f( ), lim f( ) + είνι + ή -, τότε η ευθεί λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f, τότε η ευθεί ψ λέγετι οριζόντι σύμπτωτη + της γρφικής πράστσης της f στο + 64 Αν lim f( ) R 65 Αν η γρφική πράστση μις συνάρτησης f έχει στο + οριζόντι σύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγι σύμπτωτη στο + 66 Μι συνάρτηση συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,], δεν έχει σύμπτωτες 67 Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του ου, δεν έχουν σύμπτωτες ( ) ( ) P 68 Οι ρητές συνρτήσεις με θμό του ριθμητή P() μεγλύτερο Q τουλάχιστον κτά δυο του θμού του προνομστή, δεν έχουν πλάγιες σύμπτωτες 69 Αν f( ) κι g( ), R {, + } lim ( ) ( f lim g lim f ( ) g ( ) lim, τότε:

55 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, με τη λέξη Σωστό ή Λάθος Κάθε συνάρτηση σε διάστημ Δ, έχει πράγουσ στο διάστημ υτό Το σύνολο των πργουσών της συνάρτησης f( ) ημχ, χ R F ( ) συνχ + c, c R, R είνι 3 Το σύνολο των πργουσών της συνάρτησης f(χ)συνχ, R είνι F ημχ + c, c R, ( ) R 4 Αν η συνάρτηση F είνι πράγουσ της συνάρτησης f κι λ R *, τότε η συνάρτηση λf είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λf 5 Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, τότε η συνάρτηση F G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης f g 6 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι, Δ ισχύει πάντοτε ότι: f ( ) d f( ) d 7 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι f( ), γι κάθε Δ κι, Δ, τότε f ( ) d 8 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ [,] κι f(χ)>, γι κάθε [,], τότε f ( ) d > 9 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ [,] κι f(χ), γι κάθε [,], τότε κι f ( ) d Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) f(χ)> γι κάθε [,] d >, τότε

56 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν f, g, συνεχείς συνρτήσεις στο [,] με f( ) g( ) γι κάθε [,] κι η f δεν είνι πντού ίση με την g στο [,], τότε f ( ) d g( ) Ισχύει: cd c( ), όπου c R 3 Αν f, g, συνεχείς συνρτήσεις στο [,], τότε: [ ( ) + ( )] γ ( ) + g d f d γ g( ) d γ, f με [ ] 4 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ κι Δ, τότε: f( t) dt f( ), γι κάθε Δ 5 Αν F () f( t) ορισμού της f dt, τότε το πεδίο ορισμού της F είνι ίδιο με το πεδίο χ 6 Αν f συνεχής στο R, τότε f( t) dt f( ) 7 Αν f συνεχής σε διάστημ Δ κι η () f( t) της f στο Δ, τότε κτ νάγκη Δ g 8 Αν f, g, συνεχείς στο R ισχύει: f( t) dt < d F χ dt είνι μι πράγουσ ( ) f ( ) g ( χ) 9 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν διάστημ [,] κι G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε: f( t) dt G( ) G( ) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], τότε υπάρχει πάντοτε το ( ) f d κι είνι πργμτικός ριθμός Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ με, Δ τότε ισχύει η ισοδυνμί: f( ) d Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f( ) d νγκστικά θ είνι f(χ), γι κάθε [,], τότε 3 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ με, Δ κι ισχύει ( ) d f, τότε ή f(χ) γι κάθε Δ ή

57 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] τότε ισχύει: f( t) dt f( ) 3 +, τότε f () 5 Αν f( ) t dt 6 Ισχύει ότι: ημχ d συν συν,, R 7 Ισχύει ότι: συνχ d ημ ημ,, R 8 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] τότε: f ( ) g ( χ) d [ f( ) g( ) ] f ( χ) g( ) d 9 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] τότε το f d, εκφράζει το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ, χ ολοκλήρωμ ( ) 3 Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] κι f( ) γι κάθε [,] f d εκφράζει το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ κι χ, τότε το ολοκλήρωμ ( )

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΞΕΠΑΠΑΔΕΑΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι Α Β c BB Α c B Εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ της ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου υγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΜΣ «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΙΑρχωβίτης ιπλωµτική Εργσί Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος 224 ΟΜΙΛΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΕΡΜΑΤΟΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ Τόμος 6, (4):224-234, 2009 Ελληνική Ετιρεί Δερμτοχειρουργικής 43 η Ετήσι Συνάντηση της Ελληνικής Ετιρείς Δερμτοχειρουργικής Laser κι άλλες πηγές ενέργεις στη Δερμτολογί

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα