3. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Ο ΚΥΚΛΟΣ. Ν βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(, κι κτίν ρ. Ποιος κύκλος ονομάζετι μονδιίος ; Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M(, νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του Ο πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει: ( OM ( Όμως, ( OM. Επομένως, η ( γράφετι ή, ισοδύνμ,. ( Πρτηρούμε, δηλδή, ότι οι συντετγμένες των σημείων του κύκλου κι μόνο υτές επληθεύουν την εξίσωση (. Άρ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, κι κτίν ρ έχει εξίσωση (3 Γι πράδειγμ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(, κι κτίν έχει εξίσωση. Ο κύκλος υτός λέγετι μονδιίος κύκλος. Ο ρ (, M(, C. Ν βρεθεί η εξίσωση εφπτομένης του κύκλου ρ στο σημείο του A,. ( Έστω ε η εφπτομένη του κύκλου C : ρ σε έν σημείο του A(,. Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M(, νήκει στην ε, ν κι μόνο ν, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει ε OA AM. ( M(, Όμως OA (, κι AM (,. Έτσι η ( γράφετι διδοχικά ( (, φού. Επομένως, η εφπτομένη του κύκλου ρ στο σημείο του A, έχει εξίσωση : ( Α(, Ο

2 Γι πράδειγμ, η εφπτομένη του κύκλου στο σημείο A, 3, η οποί γράφετι 3. 3 έχει εξίσωση 3. Ν βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K(, κι κτίν ρ. Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο K(, κι κτίν ρ. Έν σημείο M(, νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του Κ πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει ( KM ρ ( Όμως, ( KM ( (. Ο Κ(, ρ M(, Επομένως, η σχέση ( γράφετι: ( ( ή, ισοδύνμ, ( (. Άρ, ο κύκλος με κέντρο K(, κι κτίν ρ έχει εξίσωση: ( ( ( Έτσι, γι πράδειγμ, ο κύκλος με κέντρο K(, 3 κι κτίν έχει εξίσωση ( ( 3.. Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B, με A B (Ι κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι πριστάνει κύκλο. Έστω ο κύκλος με κέντρο K(, κι κτίν ρ έχει εξίσωση ( ( Αν εκτελέσουμε τις πράξεις, η εξίσωση γράφετι δηλδή πίρνει τη μορφή ( ρ, όπου A, B κι. A B, (3 Αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (3 γράφετι διδοχικά: ( A ( B

3 A A B B A B Επομένως: A B A B. A B Αν A B, η εξίσωση (3 πριστάνει κύκλο με κέντρο K, κι κτίν A B. A B Αν A B, η εξίσωση (3 πριστάνει έν μόνο σημείο, το K,. Αν A B, η εξίσωση (3 είνι δύντη, δηλδή δεν υπάρχουν σημεί M (, των οποίων οι συντετγμένες ν την επληθεύουν. Αποδείξμε λοιπόν ότι: Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B, με A B (Ι κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι πριστάνει κύκλο. Π.χ. Η εξίσωση 6, γι πράδειγμ, γράφετι διδοχικά ( ( 6 ( ( ( ( 3 Άρ, πριστάνει κύκλο με κέντρο K(, 3 κι κτίν. 5. Ν βρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων του κύκλου C : 5 που διέρχοντι πό το σημείο A( 3,, κι ν ποδειχτεί ότι οι εφπτόμενες υτές είνι κάθετες. ΛΥΣΗ Έστω μι εφπτομένη του κύκλου C που διέρχετι πό το σημείο Α. Αν M(, είνι το σημείο επφής, τότε η θ έχει εξίσωση 5 ( κι επειδή διέρχετι πό το σημείο A( 3,, θ ισχύει 5. ( 3 Όμως, το σημείο M(, νήκει στον κύκλο C. Άρ, θ ισχύει 5. (3 ε M ε ω M Α(3, Ο 3

4 Επομένως, οι συντετγμένες (, του M είνι η λύση του συστήμτος των εξισώσεων ( κι (3. Λύνουμε το σύστημ υτό κι βρίσκουμε δύο λύσεις: (, (, ή (, (, ( Άρ, υπάρχουν δύο εφπτόμενες του C που διέρχοντι πό το σημείο A( 3,, οι οποίες, λόγω των ( κι (, έχουν εξισώσεις: : 5, : 5. Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των κι είνι κι, οι ευθείες κι είνι κάθετες. 6. Δίνοντι οι κύκλοι C :( ( 3 5 κι C : ( 3. i Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης ε του κύκλου C στο σημείο A ( 5,. ii Ν ποδειχτεί ότι η ε εφάπτετι κι του κύκλου C. ΛΥΣΗ Ο κύκλος C έχει κέντρο K (,3 κι κτίν 5, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο (, κι κτίν 3. (i Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M (, νήκει στην ε, ν κι μόνο ν AM KA, δηλδή, ν κι μόνο ν KA AM. ( Όμως, KA ( 3, κι AM ( 5,. Έτσι, η ( γράφετι διδοχικά 3 9. Άρ, η εξίσωση της ε είνι: C 3( 5 ( O C K(,3 M(, Λ(,- A(5,- B 3 9. ( (ii Γι ν δείξουμε ότι η ε εφάπτετι του κύκλου C, ρκεί ν δείξουμε ότι η πόστση του κέντρου (, του C πό την ε είνι ίση με την κτίν του C, δηλδή ίση με 3. Έχουμε λοιπόν: 3( 9 5 d(, ε

5 Ασκήσεις σχολικού A Ομάδς.Ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις : (i Ότν διέρχετι πό το σημείο Α(, 3 (ii Ότν διέρχετι πό το σημείο Α( β, + β (iii Ότν εφάπτετι της ευθείς (iv Ότν εφάπτετι της ευθείς + β (i ρ (ΟΑ 3 Εξίσωση του κύκλου : (ii ρ (ΟΑ. + ( ( Εξίσωση του κύκλου : (iii ρ πόστση της ρχής των ξόνων πό την ευθεί.. Εξίσωση του κύκλου : + (iv ρ πόστση της ρχής των ξόνων πό την ευθεί + β ( +.. ( Εξίσωση του κύκλου : + +.Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου πό τις πρκάτω περιπτώσεις : (i Ότν είνι πράλληλη στην ευθεί + 3 (ii Ότν είνι κάθετη στην ευθεί + 5 σε κθεμιά (iii Ότν διέρχετι πό το σημείο Α(5, (i Έστω ε : + 5 η ζητούμενη εφπτομένη, όπου Ε(, το σημείο επφής. ε // στην ευθεί + 3 ( 5

6 Ε στον κύκλο + 5 ή ( Γι, η (, οπότε ε : + 5 Γι, η (, οπότε ε : 5 (ii Έστω ε : + 5 η ζητούμενη εφπτομένη, όπου Ε(, το σημείο επφής. ε στην ευθεί Συνεχίζουμε όπως στην περίπτωση (i κι βρίσκουμε ε : + 5 ή ε : 5 (iii Έστω ε : + 5 η ζητούμενη εφπτομένη, όπου Ε(, το σημείο επφής. A ε ( Ε στον κύκλο + 5 ή ( + 5 Άρ ε : + 5 ή ε : 5 3.Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες του κύκλου + στ σημεί Α(,, Β(,, Γ(, κι Δ(, σχημτίζουν τετράγωνο με διγώνιες τους άξονες κι. Ποιο είνι το εμβδόν του τετργώνου υτού; Εφπτομένη στο Α(, +. Τέμνει τους άξονες στ Κ(,, Λ(, Εφπτομένη στο Β(, + Τέμνει τους άξονες στ Λ(,, Μ(, Εφπτομένη στο Γ(, Τέμνει τους άξονες στ Μ(,, Ν(, Εφπτομένη στο Δ(, Τέμνει τους άξονες στ Ν(,, Ν(, Το ΚΛΜΝ είνι τετράγωνο διότι οι διγώνιές του διχοτομούντι, είνι ίσες κι κάθετες. Μ Γ Β O Λ Ν Α Δ K.Ν βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου σημείο Μ(, + που έχει μέσο το 6

7 Η ζητούμενη χορδή ε θ είνι κάθετη στην ΟΜ. Είνι. Άρ. Επομένως ε : ( ( + 5.Ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν έχει κέντρο Κ(, κι διέρχετι πό το σημείο Α( 3, (ii Ότν έχει διάμετρο το τμήμ με άκρ Α(, κι Β(7, 8 (iii Ότν έχει κτίν ρ 5 κι τέμνει τον άξον στ σημεί Α(, κι Β(7, (iv Ότν διέρχετι πό τ σημεί Α(, κι Β(8, κι έχει το κέντρο του στην ευθεί (v Ότν τέμνει τον άξον στ σημεί Α(, κι Β(8, κι τον άξον στ σημεί Γ(, κι Δ(, μ (vi Ότν εφάπτετι του άξον στο σημείο Α(3, κι διέρχετι πό το σημείο Β(, (vii Ότν διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι εφάπτετι της ευθείς 3 + στο σημείο Α(, 3 (i Ο (ΚΑ ( + ( Η εξίσωση του κύκλου είνι ( + ( (ii Το κέντρο Κ του κύκλου θ είνι το μέσο του τμήμτος ΑΒ. Κ( 7, 8 Κ(3, 5 (ΚΑ ( 3 + ( Η εξίσωση του κύκλου είνι ( 3 + ( 5 5 (iii Έστω Κ(, το κέντρο του κύκλου. Α Κ Β (ΚΑ (ΚΒ ( +( ( 7 +( (ΚΑ 5 (ΚΑ 5 ( +( ( ( 6 ή Η εξίσωση του κύκλου είνι ( + ( 5 ή ( + ( + 5 7

8 (iv Έστω Κ(, το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ (ΚΒ ( +( ( 8 +( Επειδή Κστην ευθεί, θ είνι 6 (ΚΑ ( 6 + ( Η εξίσωση του κύκλου είνι ( 6 + ( (v Έστω Κ(, το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ (ΚΒ ( +( ( 8 +( ( (ΚΑ (ΚΓ ( + ( ( +( ( (ΚΑ ( + ( (6 +( Η εξίσωση του κύκλου είνι ( 6 + ( (vi Έστω Κ(, το κέντρο του κύκλου. KA 3 O Β K Α (ΚΑ (ΚΒ ( 3 +( ( +( ρ (ΚΑ Η εξίσωση του κύκλου είνι ( 3 + ( (vii Έστω Κ(, το κέντρο του κύκλου κι ε η ευθεί 3 + A K O ΑΚ ε 3. ( 3 8

9 (3 (ΚΑ (ΚΟ ( +( ( (ΚΟ Η εξίσωση του κύκλου είνι ( ( i Ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν του κύκλου που έχει εξίσωση A B 6 3 K(, 3 ρ ii Ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν του κύκλου που έχει εξίσωση + + A 5 B 6 K(5, 6 ρ iii Ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν του κύκλου που έχει εξίσωση H εξίσωση του κύκλου γράφετι ρ A B K(, 3 6.iv Ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν του κύκλου που έχει εξίσωση 9

10 + + β A B 5β Κ(, 5β 6 ( ρ 3β 7.i Ν βρείτε την εφπτομένη του κύκλου στο σημείο του Α(, A, B. Κέντρο το Κ(, Έστω Μ(, το τυχίο σημείο της εφπτομένης στο Α. ( ( + ( + ( + ( + ( 7.ii Ν βρείτε την εφπτομένη του κύκλου + β + 3 στο σημείο του Α(, β A B β Κέντρο το Κ(, β Έστω Μ(, το τυχίο σημείο της εφπτομένης στο Α. ( ( + ( + β( β + β ( + ββ ( Ότν β, η ( γίνετι ( +. δηλδή, που δεν πριστάνει ευθεί. Η εξήγηση είνι : Η δοσμένη εξίσωση + + β + 3 γίνετι + Οπότε ο κύκλος εκφυλίζετι σε σημείο, άρ δε γίνετι λόγος γι εφπτομένη. Ότν β, η ( γίνετι + β δηλδή β 8.Ν βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : + κι C : ( + (,, (,, Είνι ( κι ( Άρ οι κύκλοι εφάπτοντι εσωτερικά.

11 Β Oμάδς.Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ( β + ( γ( δ πριστάνει τον περιγεγρμμένο κύκλο του τετρπλεύρου με κορυφές τ σημεί Α(, γ, Β(β, γ, Γ(β, δ, Δ(, δ κι ότι οι ΑΓ κι ΒΔ είνι διάμετροι υτού του κύκλου. ( ( β + ( γ( δ ( + β + β + (γ + δ + γδ + ( + β (γ + δ + β + γδ είνι δε ( + β + (γ + δ (β + γδ +β + + β + + ( β + (γ δ > Άρ η δοσμένη εξίσωση πριστάνει κύκλο. Ελέγχουμε ν η εξίσωση επληθεύετι πό το σημείο Α(, γ ( ( β + (γ γ( δ που ισχύει. Άρ ο κύκλος διέρχετι πό το Α. Ομοίως, διέρχετι πό τ Β, Γ, Δ. + γδ + β γδ γδ +. ( β(β β + (γ γ(δ γ ( β. +. (δ γ + 9 ο ΑΓ διάμετρος Ομοίως ΒΔ διάμετρος.ν ποδείξετε ότι η ευθεί συνφ + ημφ ημφ συνφ + εφάπτετι του κύκλου H δοσμένη ευθεί γράφετι ε : συνφ + ημφ ημφ + συνφ. A, B. Κέντρο του κύκλου Κ(, ρ. d(k, ε ρ. Άρ η ευθεί εφάπτετι του κύκλου. 3.Από έν σημείο (, εκτός του κύκλου + φέρνουμε τις δύο εφπτόμενές του. Αν, είνι τ σημεί επφής, ν ποδείξετε ότι η χορδή έχει εξίσωση +.

12 O κύκλος έχει κέντρο Ο(, κι επειδή το είνι εκτός του κύκλου, θ είνι Ο, άρ έν τουλάχιστον πό τ, είνι. Άρ η γρμμική εξίσωση + πριστάνει ευθεί ε. Γι ν ποδείξουμε ότι η ευθεί ε είνι η, ρκεί ν ποδείξουμε ότι επληθεύετι πό τ σημεί,, δηλδή ότι + κι + όπου (, είνι οι συντετγμένες του κι (, του. Η εφπτομένη στο έχει εξίσωση +. Επειδή το νήκει σ υτή, θ την επληθεύει, άρ +. Ομοίως ποδεικνύουμε ότι +..Έστω C ο κύκλος που έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι διέρχετι πό το σημείο Α(3,. Αν Μ είνι έν οποιοδήποτε σημείο του C, που δε βρίσκετι στον άξον, ν ποδείξετε ότι το κέντρο βάρους G του τριγώνου ΟΑΜ νήκει στον κύκλο ( +. Έστω (μ, ν οι συντετγμένες του Μ. Μμ,ν Τότε + (3 9 O G A 3. Η ( 9( ( + ( Οι συντετγμένες (, του G είνι 3, μ + 3, 3 ν μ 3 3, ν 3 μ 3(, ν 3. 5.Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, πό τ οποί οι εφπτόμενες προς τον κύκλο + είνι κάθετες. Έστω Μ(μ,ν τυχίο σημείο του γεωμετρικού τόπου Α ˆ ˆ ˆ 9 ο κι ΟΑ ΟΒ ΟΑΒΜ τετράγωνο πλευράς ρ ρ Μ(μ,ν ΟΜ ρ το Μ διγράφει κύκλο (Ο, ρ Ο + (ρ Β +

13 6.Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των ποστάσεων πό τ σημεί Α(-3, κι Β(3, είνι στθερός κι όσος με. Έστω Μ(, τυχίο σημείο του γεωμετρικού τόπου (MA (MB ( ( [( ( ] ( Κύκλος με κέντρο Κ(5, κι κτίν ρ Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της πόστσης πό την ρχή των ξόνων είνι ίσο με το τετρπλάσιο της πόστσης πό την ευθεί. H ευθεί ε : γράφετι Έστω Μ(, τυχίο σημείο του γεωμετρικού τόπου (OM d(m, ε + + ( + ( με ή ( + ( με + ( με + με + + με ( + με κι με κι με σημείο Μ(, + ( με + με + + με ( 6 6 ρ κέντρο Κ(, 3, k(-, O 3

14 H ( το σημείο Μ(, διγράφει τον κύκλο που έχει κέντρο Κ(, κι κτίν, με τον περιορισμό. Στο σχήμ, πρτηρούμε ότι, όλ τ σημεί του κύκλου ικνοποιούν τον περιορισμό (κολουθεί η πόδειξη. Τελικά, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είνι ο κύκλος (Κ, μζί με το σημείο Μ(,. Η εξίσωση του κύκλου + + γράφετι Δηλδή το τριώνυμο + είνι ετερόσημο του κι επειδή Δ >, ο θ είνι εντός των ριζών 3 Άρ < < + < +. 8.Έστω το τρίγωνο με κορυφές Α(3, 5, Β(, κι Γ( 5,. Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ γι τ οποί ισχύει M + M + M 7 Είνι κύκλος με κέντρο το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. Έστω Μ(, τυχίο σημείο του γεωμετρικού τόπου M + M + M 7 ( 3 + ( 5 + ( + ( + + ( ( το Μ διγράφει τον κύκλο που έχει κέντρο την ρχή Ο κι κτίν 3.. Οι συντετγμένες του κέντρου βάρους του τριγώνου ΑΒΓ είνι 3 5 5, 3 3 (, άρ το Ο είνι το κέντρου βάρους του. 9.Ν ποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών συνθ + ημθ κι ημθ συνθ β νήκει στον κύκλο + + Λύνουμε το σύστημ των εξισώσεων των δύο ευθειών. D συνθ ημθ ημθ -συνθ θ γι όλες τις τιμές του θ,.

15 D β ημθ συνθ συνθ βημθ D συνθ ημθ β βσυνθ ημθ D συνθ + βημθ D D D ημθ βσυνθ + Λ (συνθ + βημθ + (ημθ βσυνθ θ + βσυνθ ημθ + ( θ + + Μ Σ ( A(, + θ + βσυνθ ημθ Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου + 5, που διέρχοντι πό το σημείο Α(,. Έστω Μ(, τυχίο σημείο του γεωμετρικού τόπου K θ το Μ είνι μέσο της τυχίς χορδής ΚΛ, που διέρχετι πό το Α O ΟΜ ΜΑ το Μ βλέπει το τμήμ ΟΑ με ορθή γωνί το Μ διγράφει κύκλο διμέτρου ΟΑ Το κέντρο του είνι Σ(, η κτίν του ρ (ΣΟ 5. Σ(, κι Άρ η εξίσωσή του είνι ( + ( 5 5

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ν δοθεί ο ορισμός της πρβολής κθώς κι ορισμός της κορυφής της. Έστω μι ευθεί δ κι έν σημείο Ε εκτός της δ. Ονομάζετι πρβολή με εστί το σημείο Ε κι διευθετούσ την ευθεί δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό την Ε κι τη δ. Αν Α είνι η προβολή της εστίς Ε στη διευθετούσ δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είνι προφνώς σημείο της πρβολής κι λέγετι κορυφή της. δ (διευθετούσ C (πρβολή P Μ Α Κ (ΜΕ(ΜΡ Ε (εστί. Ν βρεθεί έν σημείο της πρβολής. δ C P Μ Α Κ Π Ε Γι ν βρούμε έν σημείο της πρβολής C, εργζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν σημείο της ημιευθείς ΚΕ (Σχ. β κι πό το σημείο υτό φέρνουμε την κάθετη στην ΚΕ κι έστω M έν πό τ σημεί τομής της κάθετης υτής κι του κύκλου με κέντρο το Ε κι κτίν A. Τότε, το σημείο M είνι σημείο της πρβολής C. Πράγμτι, ν P είνι η ορθή προβολή του M στη διευθετούσ δ, τότε θ ισχύει M P ( A ( M, δηλδή d M, δ d( M,. ( E ( E 6

17 3. Ν δείξετε ότι η εξίσωση της πρβολής C με εστί E p, κι p διευθετούσ : είνι p.τι κλείτι πράμετρος p της πρβολής ; Έστω C μι πρβολή με εστί Ε κι διευθετούσ δ. Θ βρούμε την εξίσωση της πρβολής C ως προς σύστημ συντετγμένων O με ρχή Ο την κορυφή της πρβολής κι άξον την κάθετη πό το Ε στην δ. P p> p< M(, M(, P Α O p E, p O Α E, p δ: p δ: Αν στο σύστημ υτό η τετμημένη της εστίς Ε είνι p, τότε η εξίσωση της διευθετούσς p θ είνι. Σύμφων με τον ορισμό της πρβολής, έν σημείο M(, θ νήκει στη C, ν κι μόνο ν ισχύει d( M, E d( M,. ( p Είνι όμως d( M, E κι d( M, p p. Έτσι, η σχέση ( γράφετι διδοχικά p p p p p p p p p. ( Επομένως, η εξίσωση της πρβολής C με εστί E p, p κι διευθετούσ : είνι p Ο ριθμός p λέγετι πράμετρος της πρβολής κι η p πριστάνει την πόστση της εστίς πό τη διευθετούσ. Γι πράδειγμ, η πρβολή με εστί το σημείο E(, κι διευθετούσ την ευθεί έχει p κι επομένως έχει εξίσωση. 7

18 . Ποι άλλη εξίσωση γνωρίζετε γι την πρβολή ; Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετγμένων O με ρχή Ο την κορυφή της πρβολής κι άξον την κάθετη πό το Ε στη δ p p> κι εργστούμε όπως πριν, θ βρούμε ότι η πρβολή C έχει εξίσωση E p p Η εξίσωση υτή γράφετι ισοδύνμ p κι πριστάνει τη γρφική πράστση της γνωστής μς πό την Α Λυκείου συνάρτησης, όπου p Γι πράδειγμ, η εξίσωση πριστάνει την πρβολή που έχει p κι άρ έχει εστί το σημείο E(, κι διευθετούσ την ευθεί. p p<, O p δ: O E, p p δ: 5. Ποιες οι ιδιότητες της πρβολής ; Έστω μι πρβολή p. ( Από την εξίσωση ( προκύπτει ότι τ p κι (με είνι ομόσημ. Άρ, κάθε φορά η πρβολή βρίσκετι στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονς κι η εστί Ε. Επομένως, η πρβολή βρίσκετι στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί Ε. Αν το σημείο M(, είνι σημείο της πρβολής, δηλδή, ν p, τότε κι το σημείο M, θ είνι σημείο της ίδις πρβολής, φού ( p. ( Αυτό σημίνει ότι ο άξονς είνι άξονς συμμετρίς της πρβολής. Επομένως, η κάθετη πό την εστί στη διευθετούσ είνι άξονς συμμετρίς της πρβολής κι λέγετι άξονς της πρβολής. 6. Έστω η πρβολή p κι μι ευθεί που διέρχετι πό την εστί της κι τέμνει την πρβολή στ σημεί M κι M. Ν ποδειχτεί ότι το γινόμενο των ποστάσεων των M κι M πό τον άξον είνι στθερό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν (, κι (, είνι οι συντετγμένες των M κι M ντιστοίχως, τότε οι ποστάσεις των M κι M πό τον άξον θ είνι ίσες με κι ντιστοίχως. Επομένως, ρκεί ν δείξουμε ότι το είνι στθερό. Επειδή τ σημεί,,, νήκουν στην πρβολή p, θ ισχύει ( ( p κι p. 8

19 Επομένως, οι συντετγμένες των σημείων M κι M θ είνι p, κι p, M (, ντιστοίχως. Όμως, τ σημεί E p,, M συνευθεικά. Επομένως: διδοχικά: p,, M p, είνι EM //EM, οπότε έχουμε O N E N M (, p p p p, EM det( EM ( p ( p άρ p p p p ( p ( p Άρ p. (στθερό, φού. 7. Ν δείξετε ότι η εφπτομένη της πρβολής p στο σημείο της M(, έχει εξίσωση p( ενώ γι την πρβολή p, η εφπτομένη της στο σημείο M(, έχει εξίσωση p(. Έστω η πρβολή C με εξίσωση p ( κι έν στθερό της σημείο M(,. Έστω επιπλέον μι μη κτκόρυφη ευθεί ζ που διέρχετι πό το M(, κι τέμνει την πρβολή κι σε έν άλλο σημείο M(,. Τότε η ζ θ έχει συντελεστή διεύθυνσης ε ζ M (, M (, O κι επειδή διέρχετι πό το σημείο M(,, θ έχει εξίσωση (. ( Επειδή τ σημεί M(,, M(, νήκουν στην πρβολή, οι συντετγμένες τους θ επληθεύουν την εξίσωση (. Άρ, θ ισχύει p κι p, C 9

20 οπότε θ έχουμε διδοχικά p( ( ( p( p. Έτσι, η εξίσωση ( θ πάρει τη μορφή p (, δηλδή τη μορφή ( p(. (3 ( Ας υποθέσουμε τώρ ότι το σημείο M(,, κινούμενο πάνω στην πρβολή C, τείνει ν συμπέσει με το σημείο M(,. Τότε το τείνει ν γίνει ίσο με, οπότε η εξίσωση (3 της τέμνουσς ζ τείνει ν πάρει τη μορφή ( ( p(, δηλδή τη μορφή ( p(. ( Η εξίσωση υτή πριστάνει την ευθεί ε, που είνι η ορική θέση της τέμνουσς ζ, κθώς το M τείνει ν συμπέσει με το M. Η ευθεί ε λέγετι εφπτομένη της πρβολής στο σημείο M. Η εξίσωση της εφπτομένης γράφετι διδοχικά: p p p p p p p p(. Επομένως, η εφπτομένη της πρβολής εξίσωση p( p στο σημείο της M (, έχει Γι πράδειγμ, η εφπτομένη της πρβολής στο σημείο της M (, έχει εξίσωση (, η οποί γράφετι. Αν μι πρβολή έχει εξίσωση p, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, έχει εξίσωση p(. 8. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε την νκλστική ιδιότητ της πρβολής. Η κάθετη στην εφπτομένη μις πρβολής στο σημείο επφής M διχοτομεί τη γωνί που σχημτίζουν η ημιευθεί M E κι η ημιευθεί M t, που είνι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είνι η εστί της πρβολής.

21 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφπτομένη της πρβολής στο M(, κι N το σημείο τομής της με τον άξον. Γι ν δείξουμε ότι φ φ, ρκεί ν δείξουμε ότι ή ισοδύνμ ότι M (, ω ( EM ( EN. Πράγμτι, επειδή η ε έχει εξίσωση p(, το N θ έχει συντετγμένες (,, οπότε θ ισχύει N (-, ε ω O ω E φ φ p, η t ( EM p κι p ( EN. Επομένως, έχουμε: C p p ( EM p p p ( EN. ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με την προηγούμενη πόδειξη, γι ν φέρουμε την εφπτομένη μις πρβολής σε έν σημείο της M(,, ρκεί ν ενώσουμε το σημείο N (, με το M(,. 9. Που χρησιμοποιείτι η νκλστική ιδιότητ της πρβολής Η χρήση της νκλστικής ιδιότητς γίνετι στ πρβολικά τηλεσκόπι, στ ρντάρ, στ φνάρι των υτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κτλ. Συγκεκριμέν: Όλες οι κτίνες φωτός που προσπίπτουν στο πρβολικό κάτοπτρο πράλληλ προς τον άξονά του, νκλώμενες, συγκεντρώνοντι στην εστί. Στ φνάρι των υτοκινήτων που έχουν πρβολικά κάτοπτρ οι λμπτήρες βρίσκοντι στην εστί τους. Έτσι, οι φωτεινές κτίνες, νκλώμενες στο κάτοπτρο, εξέρχοντι πράλληλ προς τον άξονά του.

22 . Έστω η πρβολή C : p κι, οι εφπτόμενες της πρβολής πό έν σημείο M (, με. Αν M, M είνι τ σημεί επφής των ε,ε με την πρβολή C, ν ποδειχτεί ότι i Η ευθεί M M έχει εξίσωση p( ii Η ευθεί M M διέρχετι πό την εστί, ν κι μόνο ν το M νήκει στη διευθετούσ της πρβολής. ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i Αν (, κι (, είνι οι συντετγμένες των σημείων M κι M, τότε οι εφπτόμενες κι θ έχουν εξισώσεις: ε : p( ε : p( M (, O Ε M (, ε M (, κι επειδή οι κι διέρχοντι πό το M(,, θ ισχύουν p( κι p(. δ ε Επομένως, οι συντετγμένες των M κι M θ επληθεύουν την εξίσωση p( ( Άρ, η ( θ είνι η εξίσωση της χορδής M M. (ii Λόγω της (i, η ευθεί M M διέρχετι πό την εστί E p,, ν κι μόνο ν οι συντετγμένες της Ε επληθεύουν την εξίσωση της p(, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει p p ή ισοδύνμ p, που συμβίνει, ν κι μόνο ν το σημείο M(, νήκει στη διευθετούσ της πρβολής. p ΣΧΟΛΙΟ Η ευθεί M M λέγετι πολική του σημείου M ως προς την πρβολή C, ενώ το σημείο M λέγετι πόλος της M M ως προς την C. Πρτηρούμε ότι η εξίσωση της πολικής ενός σημείου M(, ως προς την πρβολή C : p έχει τη μορφή που θ είχε η εφπτομένη της C στο σημείο M(,, ν υτό νήκε στην C.. Έστω η πρβολή p κι η εφπτομένη της ε σε έν σημείο της M(,, η οποί τέμνει τη διευθετούσ της πρβολής στο σημείο M. Ν ποδειχτεί ότι M E M ΑΠΟΔΕΙΞΗ 9.

23 Η εξίσωση της ε είνι p(. ( M (, Επειδή το σημείο M(, είνι σημείο της πρβολής, ισχύει p, οπότε Άρ, οι συντετγμένες του M είνι. p ε M O p E, p,. Έτσι, η εξίσωση ( γράφετι p δ: p p ή p. ( Επομένως, οι συντετγμένες του M θ είνι η λύση του συστήμτος p p Από την επίλυση του συστήμτος υτού βρίσκουμε ότι οι συντετγμένες του M είνι. Έτσι, έχουμε EM p p p p p p,. κι EM p p p p. Άρ, EM, που σημίνει ότι EM EM EM, δηλδή ότι M E M 9. 3

24 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Ομάδς.Ν βρεθεί η εξίσωση της πρβολής που έχει κορυφή την ρχή των ξόνων κι άξον συμμετρίς τον άξον σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις : (i Ότν έχει εστί το σημείο Ε(, (ii Ότν έχει διευθετούσ την ευθεί (iii Ότν διέρχετι πό το σημείο Α(, (i Η εξίσωση της πρβολής θ είνι της μορφής ρ ρ. Άρ (ii Η εξίσωση της πρβολής θ είνι της μορφής ρ. Άρ ρ (iii Η εξίσωση της πρβολής θ είνι της μορφής Επληθεύετι πό το σημείο Α(, Άρ ρ ρ. ρ.ν βρεθεί η εστί κι η διευθετούσ της πρβολής με εξίσωση : (i 8 (ii 8 (iii (v (iv (vi (i ρ 8 ρ (ii ρ 8 ρ (iii ρ ρ Άρ Ε(, κι δ : Άρ Ε(, κι δ : Άρ Ε(, κι δ : (iv ρ ρ (v ρ ρ Άρ Ε(, κι δ : Άρ Ε(, κι δ :

25 (vi ρ ρ Άρ Ε(, κι δ : 3.Δίνετι η πρβολή ρ. Ν ποδειχθεί ότι η κορυφή της πρβολής είνι το πλησιέστερο στην εστί σημείο της. Έστω Μ(, το τυχίο σημείο της πρβολής κι Ε η εστί της. Θ ποδείξουμε ότι (ΕΜ (ΕΟ M (ΕΜ (ΕΟ O Β E O Α ( + ( ρ + ρ που ισχύει. Ν βρεθούν οι συντετγμένες των σημείων Α κι Β της πρβολής ( που έχουν την ίδι τετγμένη κι ισχύει Α Ô Β 9ο. Επειδή η πρβολή μς είνι συμμετρική ως προς τον άξον, τ σημεί Α, Β που έχουν την ίδι τετγμένη, θ έχουν ντίθετες τετμημένες,, ντίστοιχ. ( Α στην πρβολή Α Ô Β 9ο OA. OB ( +. ( ή Γι, η ( πορρίπτετι φού Α Ο Γι Η ( 6 ή Άρ τ ζητούμεν σημεί είνι Α(, κι Β(, 5

26 5.Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής πό τις πρκάτω περιπτώσεις : (i Ότν είνι πράλληλη στην ευθεί + (ii Ότν είνι κάθετη στην ευθεί (iii Ότν διέρχετι πό το σημείο Α(, Η πρβολή γράφετι. ρ Η εφπτομένη της στο σημείο της Λ(, είνι ε : ( + + σε κθεμιά (i ε // + Λ(, στην πρβολή ( ε : ( (ii ε Λ(, στην πρβολή ( ε : - (iii Α(, ε. Λ(, στην πρβολή ( ή ή ή 6.Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες της πρβολής στ σημεί Α(, κι Β(, Η πρβολή γράφετι τέμνοντι κάθετ κι πάνω στη διευθετούσ της.. ρ κι δ : Εφπτομένη στο Α ε :. ( + +. ( 6

27 Εφπτομένη στο B η :. ( ( + + (. ( ε η Λύνουμε το σύστημ των (, ( γι ν βρούμε το σημείο τομής K των ε, η. Εξισώνουμε τ δεύτερ μέλη (. 3. (Άρ το Κ δεν νήκει στη διευθετούσ 7

28 .Ν ποδειχθεί ότι ο κύκλος ( 3 + Β Ομάδς 8 εφάπτετι της πρβολής. (Δηλδή έχουν τις ίδιες εφπτόμενες στ κοινά σημεί τους ( ( ή Τ σημεί τομής είνι Α(,, Β(, - Η εφπτομένη της πρβολής στο Α είνι ε :. ( + +. Το κέντρο του κύκλου είνι Κ(3, κι η κτίν r 8.3. d(k, ε Ομοίως στο σημείο Β. 6 8 r άρ η ε εφάπτετι κι του κύκλου.έστω η πρβολή. Αν η εφπτομένη της πρβολής στο σημείο Α(, 3 τέμνει τον άξον στο σημείο Β, ν ποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είνι ισόπλευρο..6 Α άρ ρ 6 κι Ε(3, Εφπτομένη στο Α ε :. 3 6( + Γι δίνει. Άρ Β(, Β O E (ΕΑ ( 3 +(

29 (ΕΒ 6 (ΑΒ ( + { Άρ (ΕΑ (ΕΒ (ΑΒ 3. Έστω η πρβολή Β δ Κ Δ O Ε. Αν η εφπτομένη της πρβολής στο σημείο Α(3, 3 τέμνει τη διευθετούσ στο σημείο Β, ν ποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ εφάπτετι στον άξον στην εστί της πρβολής... άρ Ε(, κι δ : Α Εφπτομένη στο Α ε :. 3 ( + 3 Γι δίνει 3 ( Άρ Β(, Το κέντρο Κ του κύκλου διμέτρου ΑΒ είνι το μέσο του τμήμτος ΑΒ K 3 3 K 3 Είνι ΚΕ K E Αρκεί ν είνι κι (ΚΕ (ΚΑ (ΚΕ (ΚΑ ( + ( ( (3 - +( 3 που ισχύει 3 3.Έστω Μ έν σημείο της πρβολής ρ. Ν ποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΕΜ, όπου Ε η εστί της πρβολής, εφάπτετι στον άξον. M Έστω Μ(, σημείο της πρβολής, οπότε ρ Λ O E K Το κέντρο Κ του κύκλου διμέτρου ΕΜ είνι το μέσο του τμήμτος ΕΜ. 9

30 K + κι K Φέρουμε ΚΛ Λ, Αρκεί ν είνι (ΚΕ (ΚΛ (ΚΕ (ΚΛ + + ( ( 6 ρ ρ + 8 ρ ρ που ισχύει 5.Έστω η πρβολή ρ κι η εφπτομένη της ε σε έν σημείο Α(, υτής. Αν η ευθεί ΟΑ τέμνει τη διευθετούσ της πρβολής στο σημείο Β, ν ποδειχθεί ότι ΒΕ // ε. δ Δ Β Η O ε E Α B ( ε : ρ( + + OA : ( Σύστημ των δ : κι OA, γι ν βρούμε τις συντετγμένες του Β. Είνι B Αρκεί ν είνι ρ το οποίο ισχύει, φού το Α νήκει στην πρβολή. 3

31 6.Αν η εφπτομένη της πρβολής ρ στο σημείο της Α τέμνει τη διευθετούσ στο Β κι τον άξον στο σημείο Κ, ν ποδειχθεί ότι (i A Ê B 9ο (ii EK AB κι (iii (EK (KA(KB Εφπτομένη στο Α(, Α ε : ρ( + δ Β K Δ O Ε Γι K έχουμε Κε Γι ρ(+ K K B Βε έχουμε ρ( B + B B ( ( (i A Ê B 9ο EA. EB + ( ( ( ρ + ( που ισχύει (ii EK AB E. A + ( + ( ( + ρ + + ρ (λλά ρ ρρ + ρ + ρ ρ + ρ + ρ 8ρ (iii Τρίγωνο ΕΑΒ με ύψος ΕΚ (EK (KA(KB που ισχύει 3

32 7. Έστω η πρβολή ρ κι έν σημείο της Α(,, Φέρνουμε την εφπτομένη της πρβολής στο Α, που τέμνει τον άξον στο Β κι την πράλληλη πό το Α στον άξον, που τέμνει τη διευθετούσ στο Γ. Ν ποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είνι ρόμβος με κέντρο στον άξον. Εφπτομένη στο Α(, : δ Γ Α ε : ρ( + Κ B Δ O Ε Γι έχουμε B Βε. ρ( B + B Είνι Γ(, B + κι ΒΓ ΕΑ. Άρ ΑΕΒΓ πρλληλόγρμμο. Γι ν είνι ρόμβος, ρκεί ν ποδείξουμε ότι (ΓΑ (ΕΑ (ΓΑ (ΕΑ + ( + ρ + ρ ρ + που ισχύει + ( + Το κέντρο του ρόμβου είνι το μέσο Κ της διγωνίου ΒΑ A B. Άρ το Κ νήκει στον άξον. 8.Δίνοντι οι πρβολές C : ρ κι C : ρ. (i Ν ποδείξετε ότι οι C κι C τέμνοντι στ σημεί Ο(, κι Α(ρ, ρ. (ii Αν οι εφπτόμενες των C κι C στο Α τέμνουν τις C κι C στ σημεί Β κι Γ ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι η ΒΓ είνι κοινή εφπτομένη των C κι C. 3

33 (i A Σύστημ των C, C C Β O 3 3 ή 8 (ii ή ή Ε Γ ( 3 3 C ή ή ή Εφπτομένη ΑΒ της C στο Α(ρ, ρ : ρ ρ( + ρ Σύστημ των C, ΑΒ ώστε ν βρούμε τις συντετγμένες του Β ( 8 + ρ ρ ρ( + ρ ρ + ρ ρ ή ρ πορρίπτετι φού ρ Η + ρ ( ρ + ρ Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε Γ(, A Άρ Β(, Εφπτομένη της C στο Β : ρ ρ( + + ρ ( Εφπτομένη της C στο Γ : ρ ρ( + + ρ + ρ ( Από τις (, ( συμπερίνουμε ότι πρόκειτι γι την ίδι ευθεί. 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ν δοθεί ο ορισμός της έλλειψης κι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού υτού. Έστω Ε κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΕ. Το στθερό υτό άθροισμ το συμβολίζουμε, συνήθως,με κι την πόστση των εστιών E κι Ε με γ. H πόστση E E ονομάζετι εστική πόστση της έλλειψης. Σύμφων με τον πρπάνω ορισμό: M Έν σημείο Μ του επιπέδου είνι σημείο της έλλειψης, ν κι μόνο ν ( ME ( ME β Ισχύει ( EE ( ME ( ME, δηλδή οπότε γ. (Ε Εγ (ΜΕ +(ΜΕ Αν, τότε τ σημεί E, E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνετι κύκλος με κέντρο το Ε κι κτίν. E Ε Μ ρ ρ Α ρ E Α E ρ Μ Κ Σ Λ a. Πως εργζόμστε γι ν βρούμε έν σημείο της έλλειψης κι πως πρκτικά μπορούμε ν σχεδιάσουμε την έλλειψη ; Γι ν βρούμε έν σημείο της έλλειψης C, εργζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν τμήμ ΚΛ μήκους κι έν οποιοδήποτε σημείο του Σ. Με κέντρ τ E κι Ε κι κτίνες ( κι (, ντιστοίχως, γράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνοντι στ σημεί Μ κι M. Τ σημεί Μ M κι M είνι σημεί της έλλειψης, γιτί ισχύει ( ME ( ME κι ( ME ( ME. E E Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε ν κτσκευάσουμε οσδήποτε σημεί της έλλειψης. Πρκτικά μπορούμε ν σχεδιάσουμε την έλλειψη ως εξής: Πίρνουμε έν σχοινί μήκους κι στερεώνουμε τ άκρ του στις εστίες E κι Ε. Αν τώρ με έν μολύβι διτηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε υτό, κτά την κίνησή του, θ διγράψει την έλλειψη. 3

35 3. Ποιος είνι κι πως ποδεικνύετι ο τύπος της εξίσωσηςτης έλλειψης; Έστω μι έλλειψη C με εστίες E κι Ε. Θ βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημ συντετγμένων O με άξον των την ευθεί EE κι άξον των τη μεσοκάθετο του EE. Αν M(, είνι έν σημείο της έλλειψης C, τότε θ ισχύει ( ME ( ME. ( A E( γ, O B B M (, E(γ, Α Επειδή ( EE, οι εστίες E κι Ε θ έχουν συντετγμένες (, κι (, ντιστοίχως. Επομένως, ( γ κι ( ME ( γ. ( ME Έτσι, η σχέση ( γράφετι ( γ ( γ, πό την οποί έχουμε διδοχικά: ( γ ( γ ( γ ( γ ( γ γ γ γ γ ( γ ( γ γ ( ( γ γ ( γ γ γ γ γ ( γ γ ( γ. (3 Επειδή γ, είνι γ, οπότε ν θέσουμε τη μορφή β γ, η εξίσωση (3 πίρνει. ( β Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο, δηλδή ότι κάθε σημείο M (,, του οποίου οι συντετγμένες επληθεύουν την εξίσωση (, είνι σημείο της έλλειψης C. Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί E ( γ,, E(, κι στθερό άθροισμ είνι β, όπου β γ 35

36 Γι πράδειγμ, η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τ σημεί E (,, E(, κι στθερό άθροισμ είνι, 5 3 φού β γ 5 3. Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετγμένων O με άξον των τη μεσοκάθετο του EE κι άξον των την ευθεί EE κι εργστούμε όπως πριν, θ βρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είνι Α E(, γ β, όπου β γ B O Β Γι πράδειγμ, η έλλειψη με εστίες E (,, E(, κι στθερό άθροισμ είνι, 3 5 φού β γ 5 3. E(, γ A. Ποιες είνι οι ιδιότητες της έλλειψης Έστω μι έλλειψη C :, όπου β Αν M(, είνι έν σημείο της O έλλειψης C, τότε τ σημεί M (,, M3(, κι M (, νήκουν στην M M C, φού οι συντετγμένες τους επληθεύουν B την εξίσωσή της. Αυτό σημίνει ότι η πρπάνω έλλειψη έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς. Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες E, E της έλλειψης κι η μεσοκάθετος του EE είνι άξονες συμμετρίς της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του EE είνι κέντρο συμμετρίς της. Το σημείο Ο λέγετι κέντρο της έλλειψης. Από την εξίσωση της έλλειψης γι βρίσκουμε, ενώ γι βρίσκουμε β. Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξον στ σημεί A (, κι A (,, ενώ τον άξον στ σημεί B (, β κι B (, β. Τ σημεί A, A, B, B λέγοντι κορυφές της έλλειψης, ενώ τ ευθύγρμμ τμήμτ A A κι B B, τ οποί έχουν μήκη ( A A κι ( B B β, λέγοντι μεγάλος άξονς κι μικρός άξονς ντιστοίχως. Το ευθύγρμμο τμήμ που ορίζουν δύο οποιδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεί M κι M της έλλειψης λέγετι διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύετι ότι A β ( M M, B M 3 M A 36

37 δηλδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είνι μεγλύτερη ή ίση πό το μικρό άξον κι μικρότερη ή ίση πό το μεγάλο άξον της έλλειψης. Τέλος, πό την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε Οπότε κι άρ. Ομοίως β β. Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες, κι,. 5. Τι είνι κι πως ορίζετι η εκκεντρότητ της έλλειψης;ποιες ελλείψεις ονομάζοντι όμοιες; Μι πράμετρος που κθορίζει τη μορφή της έλλειψης είνι η εκκεντρότητ της έλλειψης. Ονομάζουμε εκκεντρότητ της έλλειψης κι τη συμβολίζουμε β γ με ε, το λόγο ε. Επειδή β β ε κι άρ β γ β, είνι ε. ( Επομένως, όσο μεγλώνει η εκκεντρότητ τόσο μικρίνει ο λόγος συνέπει τόσο πιο επιμήκης γίνετι η έλλειψη (Σχ.. Ότν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος β ε, οπότε κι κτά τείνει στο κι επομένως η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος. Ότν, όμως, το ε τείνει στη μονάδ, τότε ο λόγος τείνει στο κι επομένως η έλλειψη τείνει ν εκφυλιστεί σε ευθύγρμμο τμήμ. Οι ελλείψεις που έχουν την ίδι εκκεντρότητ, άρ ίδιο λόγο, λέγοντι όμοιες (Σχ. β. ( (β 37

38 6. Έστω ο κύκλος a, a κι έν σημείο του M, του οποίου η ορθή προβολή στον άξον είνι το σημείο. Πάνω στο ευθύγρμμο ( M M β τμήμ M M ορίζουμε έν σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ν ισχύει, ( M M βa. Ν ποδειχτεί ότι ν το M κινείτι στον κύκλο, το Μ κινείτι στην έλλειψη. β a ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (, οι συντετγμένες του M κι (, οι συντετγμένες του Μ. Επειδή έχουμε β, οπότε. ( β ( M M β ( M M, Επειδή, επιπλέον η M M είνι κάθετη στον άξον θ ισχύει. ( Όμως, το σημείο M, νήκει στον κύκλο. Επομένως, ισχύει (, οπότε, λόγω των σχέσεων ( κι (, έχουμε. β β β Άρ, το σημείο M(, νήκει στην έλλειψη. β A Β Ο Β M M (, M(, Α 7. Πως ορίζετι η εφπτομένη της έλλειψης Έστω μι έλλειψη C με εξίσωση β κι έν σημείο της M(,. Η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M(, ορίζετι με τρόπο νάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφπτομένη της πρβολής κι ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση ε ζ Μ Ο β 38

39 Γι πράδειγμ, η εφπτομένη της έλλειψης 6 στο σημείο της M (, 3 3 έχει εξίσωση, η οποί γράφετι ισοδύνμ Αν μι έλλειψη έχει εξίσωση β, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, έχει εξίσωση β. 8. Ποι κοινή ιδιότητ έχουν η πρβολή κι η έλλειψη κι που χρησιμοποιείτι η ιδιότητ υτή ; Όπως η πρβολή έτσι κι η έλλειψη έχει νάλογη νκλστική ιδιότητ. Συγκεκριμέν: Η κάθετη στην εφπτομένη μις έλλειψης στο σημείο επφής Μ διχοτομεί τη γωνί E M E, όπου E, E οι εστίες της έλλειψης. M ε E E E E Σύμφων με την ιδιότητ υτή έν ηχητικό κύμ ή μι φωτεινή κτίν που ξεκινούν πό τη μί εστί μις έλλειψης, νκλώμεν σε υτήν, διέρχοντι πό την άλλη εστί. Η ιδιότητ υτή χρησιμοποιείτι στο σχεδισμό ορισμένων τύπων οπτικών οργάνων κι στην κτσκευή των λεγόμενων στοών με ειδική κουστική. Οι στοές υτές είνι ίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες έν πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μι εστί μπορεί ν κουστεί στην άλλη εστί. Ακόμη, η νκλστική ιδιότητ της νεφρό έλλειψης βρίσκει σπουδί εφρμογή σε μι ιτρική μέθοδο που λέγετι λιθοθρυψί. Η μέθοδος υτή εφρμόζετι ως εξής: Στη μι εστί της έλλειψης τοποθετείτι έν ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο σθενής τοποθετείτι σε E E πέτρ τέτοι θέση, ώστε το νεφρό του ν είνι νεφρού στην άλλη εστί. Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούντι πό τους νκλώμενους υπερήχους. + ηλεκτρόδιο ελλειπτικό κάτοπτρο 39

40 9. Δίνοντι η έλλειψη C : κι ο κύκλος β C :. Αν M (, είνι έν σημείο της C κι M (, το σημείο του C με, ν ποδειχτεί ότι η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M κι η εφπτομένη του κύκλου C στο σημείο M τέμνοντι πάνω στον άξον. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της είνι β ( ε ε M κι της είνι M. ( A Ο C Α M Γι, πό την ( βρίσκουμε πό τη ( βρίσκουμε το M,., ενώ. Άρ, κι η κι η τέμνουν τον στο ίδιο σημείο, ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με την εφρμογή υτή, γι ν φέρουμε την εφπτομένη ε της έλλειψης C στο σημείο M, φέρνουμε την εφπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο M κι στη συνέχει ενώνουμε το σημείο τομής Μ των ε κι με το σημείο M. Η MM είνι η ζητούμενη εφπτομένη.. Έστω C η έλλειψη με εστίες τ σημεί E ( γ, κι E (γ, κι μεγάλο άξον. Ν ποδειχτεί ότι ο λόγος των ποστάσεων οποιουδήποτε ΑΠΟΔΕΙΞΗ σημείου M (, της έλλειψης πό την εστί E(, κι την ευθεί δ: γ είνι στθερός κι ίσος με την εκκεντρότητ της έλλειψης. Ομοίως, γι την εστί ( γ, κι την ευθεί δ :. γ Επειδή το M(, νήκει στην έλλειψη C, θ ισχύει ( ME ( ME. ( Επομένως, όπως είδμε στην πόδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, θ έχουμε C ( γ γ ( Η ισότητ υτή γράφετι διδοχικά:

41 γ γ ( γ γ γ (. (3 Όμως,, ( ( E M d γ κι, ( δ M d γ. Επομένως, η (3 γράφετι, (, ( δ M d γ E M d ή ισοδύνμ, (, ( ε γ δ M d E M d. a E(γ, O M(, E (-γ,

42 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Oμάδς. Ν βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις : (i Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (, κι Ε(, κι μεγάλο άξον (ii Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (, 5 κι Ε(, 5 κι μεγάλο άξον 6 (iii Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (, κι Ε(, κι εκκεντρότητ 3 (iv Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (, κι Ε(, κι διέρχετι πό το σημείο Μ(, 9 5 (v Ότν έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή των ξόνων, εστίες στον άξον κι διέρχετι πό τ σημεί M (, κι M (, (i Είνι γ κι 5, οπότε 5 C : (ii Είνι γ 5 κι 6 3, οπότε 3 C : + 69 (iii Είνι γ κι ε 3, οπότε 3 3 (iv Έστω C : Μ C 69 5, C : με > 6 Δ ή , 69 + κι , ( ( (

43 Γι Γι θ είνι οπότε C : θ είνι , < πορρίπτετι (v Έστω C : + Τότε C : μ + ν M (, με > (Θέτουμε μ κι ν C μ + ν ( M (, C μ. + ν. 6μ + ν ( ( ( 5μ 3 μ 5 ( 5 + ν + 5ν 5 5ν ν 5. Επομένως C : i Ν βρείτε τ μήκη των ξόνων, τις εστίες κι την εκκεντρότητ της έλλειψης Μήκος του μεγάλου άξον β Μήκος του μικρού άξον β 3 γ 3 Εστίες : Ε (- 3,, Ε( 3, κι εκκεντρότητ ε 3.ii Ν βρείτε τ μήκη των ξόνων, τις εστίες κι την εκκεντρότητ της έλλειψης

44 β Μήκος του μικρού άξον β 3 Μήκος του μεγάλου άξον 6 3 B Γ Ε O Ο Α Δ Ε 69 5 γ 5 Εστίες : Ε (, -5, Ε(,5 κι εκκεντρότητ ε Ν εγγράψετε στην έλλειψη + τετράγωνο με πλευρές πράλληλες προς τους άξονες. Έστω ΑΒΓΔ το ζητούμενο τετράγωνο με Α(, Επειδή οι άξονες είνι άξονες συμμετρίς, θ είνι Β(,, Γ(,, Δ(, ΑΒ ΑΔ Α στην έλλειψη + Άρ Α 5, 5 5 5, Β 5 5, 5 5, 5 5 Γ, 5 5, Δ 5, Αν Ε, Ε είνι οι εστίες κι Β Β ο μικρός άξονς της έλλειψης +, ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΒΈ είνι τετράγωνο. + + Β Είνι κι, β γ Β Β Ε Ε Β Οι διγώνιοι, λοιπόν, του τετρπλεύρου είνι ίσες, διχοτομούντι κι είνι κάθετες,

45 - - - άρ είνι τετράγωνο. 5.Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες μις έλλειψης στ άκρ μις διμέτρου της είνι πράλληλες. (Διάμετρος μις έλλειψης λέγετι το τμήμ που συνδέει δύο σημεί της έλλειψης κι διέρχετι πό την ρχή των ξόνων η B ε Ο Από τις (, ( βλέπουμε ότι A Έστω ΑΒ η διάμετρος κι ε, η οι εφπτόμενες στ Α, Β της έλλειψης + με Α(,. Λόγω της συμμετρίς ως προς την ρχή Ο, θ είνι Β(,. ε : η :, άρ ε η. + + ( ( + ( + + ( 6.Ν βρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων της έλλειψης 3 + οποίες : (i είνι πράλληλες προς την ευθεί 3 + (ii είνι κάθετες στην ευθεί, οι (iii διέρχοντι πό το σημείο Μ(, (i Έστω ε : 3 + ζητούμενη εφπτομένη, όπου Λ(, το σημείο επφής. ε πράλληλη στην ευθεί Λ(, στην έλλειψη ή Γι θ είνι, οπότε ε : Γι θ είνι, οπότε ε : 3. ( + ( 3 5

46 (ii Έστω ε : 3 + ζητούμενη εφπτομένη, όπου Λ(, το σημείο επφής. ε κάθετη στην ευθεί. Λ(, στην έλλειψη 3 + Γι ε : Γι θ είνι Τότε ή θ είνι 3 ( 6 Τότε ε : 3( (iii Έστω ε : 3 + ζητούμενη εφπτομένη, όπου Λ(, το σημείο επφής. M(, ε Λ(, στην έλλειψη ή Γι,, είνι ε : Γι,, είνι ε : 3. ( Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες της έλλειψης + στ σημεί της M ( 5, 5, M ( 5, 5, M ( 5, 5 3 M ( 5, 5 σχημτίζουν τετράγωνο με διγώνιες τους άξονες κι. ε : εφπτομένη στο M : ζ : εφπτομένη στο M : η : εφπτομένη στο M : κι 6

47 θ : εφπτομένη στο M : 5 5 Σημεί τομής της ε με τους άξονες Γι βρίσκουμε K( 5 5, Γι βρίσκουμε 5 Λ(, 5 5 Ομοίως βρίσκουμε τ σημεί τομής των ζ, η, θ με τους άξονες κι διπιστώνουμε ότι νά δύο τέμνουν κάθε άξον στο ίδιο σημείο. Άρ οι άξονες είνι διγώνιοι. Λόγω της συμμετρίς της έλλειψης ως προς την ρχή των ξόνων, οι διγώνιοι είνι κάθετες κι σν τμήμτ διχοτομούντι. Άρ το M M M 3 M είνι ρόμβος ε ζ άρ ο ρόμβος είνι τετράγωνο. Β Oμάδς 7

48 .Ν ποδείξετε ότι το σημείο M( + ( t t, t, γι όλες τις τιμές του tϵr. H εξίσωση της έλλειψης γράφετι Μ στην έλλειψη ( ( t t ( t ( t ( t ( t ( t t t ( t + t ( + t t ( t t ( t t t + t + t +.Ν ποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών λβ( + κι λ β(, < β <, νήκει στην έλλειψη + νήκει στην έλλειψη t, γι όλες τις τιμές του λϵr*. Πολλπλσιάζουμε κτά μέλη τις εξισώσεις των ευθειών. λ λ ( που ισχύει + + Άρ το σημείο τομής Μ(, των δύο ευθειών νήκει στην έλλειψη. + 3.Αν Μ(, είνι έν σημείο της έλλειψης (ΜΕ + ε κι (ΜΕ ε (ΜΕ ( γ + ( + γ + + (ΜΕ (γ + ( Άρ (ΜΕ (ΜΕ γ γ + +, ν ποδείξετε ότι [(ΜΕ (ΜΕ] [(ΜΕ + (ΜΕ] γ λλά (ΜΕ + (ΜΕ ( Άρ [(ΜΕ (ΜΕ] γ (ΜΕ (ΜΕ ε ( ( + ( (ΜΕ ( + ε (ΜΕ + ε ( - ( (ΜΕ ( ε (ΜΕ ε 8

49 .Αν d, d είνι οι ποστάσεις των σημείων Γ(, γ κι Γ (, -γ πό την εφπτομένη της έλλειψης + σε έν σημείο της M (,, ν ποδείξετε ότι d + d Η εξίσωση της έλλειψης γράφετι + Η εξίσωση της εφπτομένης στο M γράφετι d. ( ( ( ( ( + - ( ( ( d.. ( ( ( Αρκεί ν δειχθεί ότι d + d ( ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( + το σημείο M νήκει στην έλλειψη. 5.Έστω M (,, M (, δύο σημεί της έλλειψης που ισχύει, φού + κι τ σημεί N (ε, κι N (ε,. Ν ποδείξετε ότι ( M N ( M N ( M N ( N ( M M N ( M N (ε + ( (ε ε ( ε + + 9

50 + ( ( (Α - - Αποδεικνύουμε την ισότητ (Α M στην έλλειψη + M στην έλλειψη Άρ + Ο Δ 6.Έστω η έλλειψη Γ N M κι έν σημείο της Μ. Έστω επιπλέον, ο κύκλος + κι το σημείο του Ν, που έχει την ίδι τετμημένη με το Μ. Από το Μ φέρνουμε πράλληλη προς την ΟΝ, που τέμνει τους άξονες κι στ σημεί Γ κι Δ ντιστοίχως. Ν ποδείξετε ότι ΜΓ β κι ΜΔ. Έστω Μ(μ, λ κι Ν(μ, ν Μ στην έλλειψη + Νστον κύκλο ( + ΜΔ ΟΝ ( Ευθεί ΜΔ : λ ( μ Γι δίνει λ ( μ λμ ν νμ Άρ Γ(, Γι δίνει λ ν λ ν Άρ Δ(, Αρκεί ν ποδείξουμε ΜΓ β (ΜΓ ( ( + μ + ( λ 5

51 ( (Α Αποδεικνύουμε την ισότητ (Α ( ( + ( ( Γι την ισότητ ΜΔ : ΟΔΜΝ πρλληλόγρμμο ΜΔ ΝΟ κτίν ε Γ Α ζ Ο Μ Ε ε Γ Α + 7.Έστω ε κι ε οι εφπτόμενες της έλλειψης C :, < β < στις κορυφές της Α(, κι Α (,, ντιστοίχως, κι ζ η εφπτομένη της C σε έν σημείο της M (,. Αν η ζ τέμνει τις ε κι ε στ σημεί Γ κι Γ, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι : (i (ΑΓ (Α Γ (ii ο κύκλος με διάμετρο το ΓΓ διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης. ζ : + Συντετγμένες του Γ : Γι, η ζ δίνει + + Άρ Γ(, Ομοίως βρίσκουμε Γ (, (i ( ( (ΑΓ (Α Γ ( + ( ( ( ισχύει φού M στην έλλειψη 5

52 (ii Ο κύκλος με διάμετρο το ΓΓ διέρχετι πό την εστί Ε(γ, της έλλειψης Γ ˆ Γ 9 ο. ( γ( γ + ( ( ( ( ( ( ( που ισχύει φού + M στην έλλειψη + 8.Έστω η έλλειψη κι η εφπτομένη στο σημείο της M (,. Αν η εφπτομένη τέμνει τους άξονες κι στ σημεί Γ(p, κι Δ, q, ν ποδείξετε ότι M (, στην έλλειψη + p q Η εξίσωση της εφπτομένης είνι. + + Γ(p, στην εφπτομένη Δ, q στην εφπτομένη + p q + p + p. + q +. q p q 5

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Πως ορίζετι η υπερβολή κι ποιες οι άμεσες συνέπειες του ορισμού ; Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερβολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερή κι μικρότερη του ( EE. Την πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής πό τις εστίες την πριστάνουμε συνήθως με, ενώ την πόστση των εστιών με γ. Η πόστση EE ονομάζετι εστική πόστση της υπερβολής. με τον ορισμό υτό: Έν σημείο Μ είνι σημείο της υπερβολής, ν κι μόνο ν ( ME ( ME. β Ισχύει ( ME ( ME ( E E δηλδή γ, οπότε γ. Ε (Ε Εγ (MΕ (ME a Μ Ε. Πως εργζόμστε γι ν βρούμε σημεί της υπερβολής ; Γι ν βρούμε σημεί της υπερβολής C, εργζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν ευθύγρμμο τμήμ ΚΛ μήκους κι έν οποιοδήποτε σημείο Σ της ημιευθείς ΚΛ εκτός του ευθύγρμμου τμήμτος ΚΛ. Με κέντρ E κι Ε κι κτίνες ( κι (, ντιστοίχως, γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνοντι στ σημεί Μ κι M. Τ σημεί Μ κι M είνι σημεί της υπερβολής, γιτί ισχύει ( ME ( ME ( ( (. Με τον τρόπο υτό μπορούμε ν κτσκευάσουμε οσδήποτε σημεί της υπερβολής. Κ Λ Σ Ε M Ε M 3. Ποιος είνι ο τύπος της Εξίσωση της Υπερβολής πως ποδεικνύετι υτός κι ποι η υπερβολή ονομάζετι ισοσκελής; 53

54 5 Έστω C μι υπερβολή με εστίες E κι Ε. Θ βρούμε την εξίσωση της C ως προς σύστημ συντετγμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετη του E E. Αν M (, είνι έν σημείο της υπερβολής C, τότε θ ισχύει ME E M ( (, ( Επειδή γ E E (, οι εστίες E κι Ε θ έχουν συντετγμένες ( γ, κι, (γ ντιστοίχως. Επομένως, ( ( γ E M κι ( ( γ ME Έτσι η σχέση ( γράφετι γ γ ( ( πό την οποί έχουμε διδοχικά: ( ( ( ( γ γ γ γ ( ( γ γ γ ] [( ] ][( [( γ γ γ γ γ ( ( ( γ γ γ γ γ γ ( ( γ γ γ. ( Επειδή γ, είνι γ, οπότε, ν θέσουμε γ β, η εξίσωση ( πίρνει τη μορφή β. ( Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο, δηλδή ότι κάθε σημείο, ( M του οποίου οι συντετγμένες επληθεύουν την εξίσωση ( είνι σημείο της υπερβολής C. Επομένως, η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τ σημεί ( γ, E, (γ, E, κι στθερή διφορά είνι Ε(γ, Α Α Ο Ε (-γ, Μ(,

55 , όπου β γ Γι πράδειγμ, η εξίσωση της υπερβολής με εστίες τ σημεί στθερή διφορά είνι E (, 3 E (3, κι, φού Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετγμένων O με άξον των την ευθεί EE κι άξον των τη μεσοκάθετο του EE κι εργστούμε όπως πριν, θ βρούμε ότι η εξίσωση της υπερβολής C είνι: β, όπου β γ. Ο E(,γ Α Α Ε (,-γ Γι πράδειγμ, η εξίσωση της υπερβολής με εστίες τ σημεί E (, 3 E (,3 κι στθερή διφορά, είνι 5, φού β γ 3 5. Τέλος, ν είνι, τότε η υπερβολή λέγετι ισοσκελής κι η εξίσωσή της γράφετι: a.. Ποιες είνι οι ιδιότητες της υπερβολής; Έστω μι υπερβολή C, η οποί ως προς έν σύστημ συντετγμένων O έχει εξίσωση, όπου β β γ. Αν M(, είνι έν σημείο της υπερβολής C, τότε κι τ σημεί M(,, M3(, κι M(, νήκουν στην C, φού οι συντετγμένες τους επληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημίνει ότι η υπερβολή C έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς. Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες E, E της υπερβολής κι η μεσοκάθετη του EE είνι άξονες συμμετρίς της M 3 M -a O a M M 55

56 υπερβολής, ενώ το μέσο Ο του λέγετι κέντρο της υπερβολής. EE είνι κέντρο συμμετρίς της. Το σημείο Ο Από την εξίσωση της υπερβολής γι βρίσκουμε. Συνεπώς, η υπερβολή τέμνει τον άξον στ σημεί A (,, κι A(,. Τ σημεί υτά λέγοντι κορυφές της υπερβολής. Από την ίδι εξίσωση γι προκύπτει η εξίσωση, η οποί είνι δύντη στο R. Επομένως, η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξον. Τέλος, πό την εξίσωση της υπερβολής, έχουμε οπότε κι άρ, ή. Επομένως, τ σημεί της υπερβολής C βρίσκοντι έξω πό την τινί των ευθειών κι, πράγμ που σημίνει ότι η υπερβολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. 5. Ποιες είνι οι σύμπτωτες Υπερβολής κι τι γνωρίζετι γι υτές; Έστω μι υπερβολή C με εξίσωση β κι μι ευθεί ε με εξίσωση β ( κι λ ( έχει λύση. Η πρώτη εξίσωση του συστήμτος (, λόγω της δεύτερης, γράφετι διδοχικά λ β β λ β λ. ( ( β β ε: λ λ, δηλδή μι ευθεί που περνάει πό την ρχή των ξόνων. a a Η ευθεί ε έχει με την υπερβολή C κοινά σημεί, ν κι μόνο ν το σύστημ Έτσι το σύστημ ( έχει λύση, ν κι μόνο ν η ( έχει λύση, δηλδή ν κι μόνο ν β λ ή, ισοδύνμ, ν κι μόνο ν β λ. (3 O 56

57 Επομένως, η ευθεί λ έχει με την υπερβολή κοινά σημεί, κι μάλιστ δύο, μόνο β ότν λ. Άρ, όλ τ σημεί της υπερβολής C θ περιέχοντι στις γωνίες των ευθειών στις οποίες βρίσκετι ο άξονς. Ας θεωρήσουμε τώρ έν σημείο M(, της υπερβολής με κι. Αποδεικνύετι ότι ότν το υξάνει περιόριστ, η πόστση ΜΡ του Μ πό την ευθεί τείνει προς το μηδέν. Έτσι, το άνω τετρτημόριο του δεξιού κλάδου της υπερβολής πλησιάζει όλο κι περισσότερο την ευθεί β β κι, την ευθεί συμμετρίς της υπερβολής ως προς τον άξον, χωρίς ποτέ ν συμπέσει με υτή. Γι υτό τη λέμε σύμπτωτο του δεξιού κλάδου της υπερβολής. Λόγω, ο δεξιός κλάδος της θ έχει σύμπτωτο κι την ευθεί, οπότε, λόγω συμμετρίς της υπερβολής κι ως προς τον άξον, ο ριστερός κλάδος της θ έχει σύμπτωτες τις ίδιες ευθείες. Άρ, οι σύμπτωτες της υπερβολής είνι οι ευθείες β, Είνι φνερό ότι οι σύμπτωτες της υπερβολής είνι οι διγώνιες του ορθογώνιου ΚΛΜΝ με κορυφές τ σημεί K (, β, (, β, M(, β κι N(, β. a O P Μ a Το ορθογώνιο υτό λέγετι ορθογώνιο βάσης της υπερβολής. Γι πράδειγμ, οι σύμπτωτες της υπερβολής είνι οι ευθείες κι. Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση β, τότε οι σύμπτωτες της είνι ευθείες: κι. a Ν Α Ο Μ Λ a Κ Α 6. Ποιος είνι ο μνημονικός κνόνς γι ν βρίσκουμε τις σύμπτωτες μις υπερβολής ; 57

58 Ένς μνημονικός κνόνς γι ν βρίσκουμε κάθε φορά τις σύμπτωτες μις υπερβολής είνι ο εξής: Πργοντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης της υπερβολής κι εξισώνουμε κάθε πράγοντ με μηδέν. Γι πράδειγμ, έστω η υπερβολή. Επειδή. οι σύμπτωτες της υπερβολής είνι οι ευθείες κι, δηλδή οι κι. 7. Ποι είνι η εκκεντρότητ της υπερβολής ; Τι γνωρίζετι γι υτή ; Ποι η εκκεντρότητ της ισοσκελούς υπερβολής ; Όπως στην έλλειψη έτσι κι στην υπερβολή μί πράμετρος που κθορίζει το σχήμ της είνι η εκκεντρότητ. Ονομάζουμε εκκεντρότητ της υπερβολής, κι β γ τη συμβολίζουμε με ε, το λόγο ε. Επειδή οπότε β ε κι άρ, γ β, είνι β ε. ( β ε, Επομένως, η εκκεντρότητ ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της συμπτώτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθογώνιο βάσης, άρ τη μορφή της ίδις της υπερβολής. Όσο η εκκεντρότητ μικρίνει κι τείνει ν γίνει ίση με, ο λόγος, άρ κι το β, μικρίνει κι τείνει ν γίνει ίσο με. Κτά συνέπει, όσο πιο μικρή είνι η εκκεντρότητ της υπερβολής τόσο πιο επίμηκες είνι το ορθογώνιο βάσης κι κτά συνέπει τόσο πιο κλειστή είνι η υπερβολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είνι, οπότε. 8. Πως ορίζετι η εφπτομένη της υπερβολής A Ο A 58

59 Έστω μι υπερβολή με εξίσωση β ( κι έν σημείο M(, υτής. O Η εφπτομένη της υπερβολής στο σημείο M(, ορίζετι με τρόπο νάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφπτομένη της έλλειψης κι ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση β ζ Μ(, ε Έτσι, γι πράδειγμ, η εφπτομένη της υπερβολής 3 έχει εξίσωση 3, η οποί γράφετι ισοδύνμ 3 Αν μι υπερβολή έχει εξίσωση, β τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, θ έχει εξίσωση β. 9. Πως ορίζετι η νκλστική ιδιότητ της υπερβολής ; στο σημείο M (, Όπως η έλλειψη έτσι κι η υπερβολή έχει νάλογη νκλστική ιδιότητ. Συγκεκριμέν: Η εφπτομένη μις υπερβολής σε έν σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνί όπου E, E οι εστίες της υπερβολής. E ME, ω M ω ω Ε Ο Ε E C Ε C Επομένως, μι φωτεινή κτίν, κτευθυνόμενη προς τη μί εστί της υπερβολής, ότν νκλάτι στην επιφάνει υτής, διέρχετι πό την άλλη εστί, όπως φίνετι στο σχήμ. Η ιδιότητ υτή της υπερβολής σε συνδυσμό με τις ντίστοιχες ιδιότητες των άλλων κωνικών τομών βρίσκει εφρμογή στην κτσκευή των νκλστικών τηλεσκοπίων, κθώς κι στη νυσιπλοΐ γι τον προσδιορισμό του στίγμτος των πλοίων. 59

60 . Ν ποδειχτεί ότι το γινόμενο των ποστάσεων ενός σημείου M, της υπερβολής πό τις σύμπτωτες είνι στθερό. β ΑΠΟΔΕΙΞΗ ( Έστω M(, έν σημείο της υπερβολής. Τότε θ ισχύει β ή, ισοδύνμ, β β. ( Οι σύμπτωτες ε κι ε της υπερβολής έχουν εξισώσεις ισοδύνμ β κι β ( β β κι, ή ντιστοίχως. Επομένως, το γινόμενο των ποστάσεων του M πό τις ε, ε είνι ίσο με d( M, ε d( M, ε β β β β β β (, που είνι στθερό. 6

61 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Ομάδς.Ν βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις : (i Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε ( 3,, Ε(3, κι κορυφές τ σημεί Α(5, κι Α ( 5,. (ii Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (,, Ε(, κι εκκεντρότητ 5 3 (iii Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε ( 5,, Ε( 5, κι διέρχετι πό το σημείο Μ(, (iv Ότν έχει σύμπτωτες τις ευθείες 3 κι πό το σημείο Μ(3, (i Είνι γ 3 κι 5, οπότε (ii Είνι γ (iii Έστω C : 3 κι ε 5 3, οπότε , C : Μ(, C (5 Δ Γι Γι (iii Έστω C : 3 > 5 έχουμε , C : 36-6 ( (5 ( (5 8 8 ( ή δεν υπάρχει υπερβολή. κι διέρχετι ( (5 (5 5, άρ C : β 3, οπότε C :

62 6 Μ(3, C 6 (3 9 6 β 3 β Άρ C : 3 Έστω C : 3 3 β, οπότε C : Μ(3, C Άρ δεν υπάρχει τέτοι υπερβολή ( < άτοπο..ν βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητ κι τις σύμπτωτες της υπερβολής : (i 9 6 (ii (iii 5 36 (i , β 3, 9 6 Εστίες : Ε ( 5,, Ε(5, Εκκεντρότητ : ε γ 5 Ασύμπτωτες :, 3, 3 (ii, β, 6

63 8 γ Εστίες : Ε (,, Ε(, Εκκεντρότητ : ε Ασύμπτωτες :,,, (iii , β, γ 3 Εστίες : Ε ( 3,, Ε(3, Εκκεντρότητ : ε 3 5 Ασύμπτωτες :, 5, 5 3.Ν βρείτε την εκκεντρότητ της υπερβολής, της οποίς η σχημτίζει με τον άξον γωνί 3ο. σύμπτωτη Ο συντελεστής διεύθυνσης της σύμπτωτης θ είνι 3 εφ3ο β Αν η εφπτομένη της υπερβολής την σύμπτωτη γ 3 3 ε 3 3 στην κορυφή Α(, τέμνει στο σημείο Γ, ν ποδείξετε ότι (ΟΕ (ΟΓ. Η εφπτομένη της υπερβολής στο Α(, έχει εξίσωση. Η γι δίνει β. Άρ Γ(, β (ΟΕ (ΟΓ (ΟΕ (ΟΓ + 63

64 M 5. Έστω η υπερβολής C : που ισχύει., ε η εφπτομένη της σε έν σημείο της (, κι ζ η κάθετη της ε στο. Αν η ε διέρχετι πό το σημείο M (, β κι η ζ διέρχετι πό το σημείο M (,, ν 3 ποδείξετε ότι η εκκεντρότητ της υπερβολής είνι ίση με. ε C : Ο ε : M M 3 ζ M (, β ε. β (- β ζ ε.. ζ : ( β M (, ζ β 3 στην υπερβολή 3 + ( ( ( ε 6

65 6.Ν ποδείξετε ότι κάθε ευθεί που είνι πράλληλη προς μι πό τις σύμπτωτες της υπερβολής τέμνει την υπερβολή σε έν μόνο σημείο. Ποιο είνι το σημείο τομής της ευθείς κι της υπερβολής ; Μι σύμπτωτη είνι. Μι πράλληλός της είνι + μ ( Η υπερβολή γράφετι ( Σύστημ των (, ( γι ν έχουμε τ κοινά σημεί τους. ( βμ βμ ( μονδική λύση, άρ μονδικό σημείο τομής. Σύστημ των εξισώσεων (3 κι (3 ( ( ( + + ( Άρ.. Σημείο τομής το Κ, 7.Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της υπερβολής οι οποίες: (i είνι πράλληλες προς την ευθεί + (ii είνι κάθετες στην ευθεί 3 (iii διέρχοντι πό το σημείο Μ(3, (i Έστω ε : ζητούμενη εφπτομένη πράλληλη στην ευθεί +, όπου (, το σημείο επφής 65