«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»"

Transcript

1

2 2

3 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1). (επιβλέπων Καθηγητής).... 2) )

4 ευχαριστίες Ευχαριστώ ιδιαιτέρως τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Διονύσιο Λάππα, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και τη βοήθειά που μου παρείχε κατά την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής, καθώς και τον κ. Σάββα Κονταράτο η καθοδήγηση του οποίου υπήρξε καθοριστική για την πραγματοποίησή της. Επίσης ευχαριστώ τον κ. Π. Σπύρου που με τίμησε με τη συμμετοχή του στην τριμελή επιτροπή, την κ. Α.Μ. Κουρνιάτη από την Αρχιτεκτονική σχολή του Ε.Μ.Π για την ευγενική παραχώρηση έντυπου και ηλεκτρονικού υλικού, τις φιλολόγους κ. Κ. Βαρελά και κ. Ο. Μάμαλη, καθώς και την κ. Δ. Μπακογιάννη γραμματέα του μεταπτυχιακού προγράμματος που ήταν πάντα πρόθυμη σε όλη τη διάρκεια των σπουδών να απαντήσει στα ερωτήματά μου. Τέλος ευχαριστώ την οικογένειά μου κυρίως για την υπομονή που έδειξε τα χρόνια της φοίτησής μου, και ιδιαίτερα για την περίοδο εκπόνησης της διπλωματικής, τον σύζυγό μου Αλέξανδρο και το γιό μου Αλέξανδρο, για την ηθική στήριξη και την τεχνική βοήθεια που μου παρείχαν. Είμαι βέβαιη ότι χωρίς αυτή το αποτέλεσμα δεν θα ήταν το ίδιο. 4

5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (Η περίπτωση της Αρχιτεκτονικής) Μαργέτη Ιωάννα Υποβλήθηκε στο Πανεπιστήμιο Αθηνών στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών που απονέμει το τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, Ελλάδα Ιούνιος

6 6 Στην οικογένειά μου

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. σελ. 12 ΜΕΡΟΣ Α ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΟΠΤΙΚΗ ΑΝΤΙΛΗΨΗ 19 3.ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΕΙΣ Πως καθορίζεται η Αρμονία; 24 Ποιά είναι τα υποκειμενικά στοιχεία της αρμονίας; 26 Αντικειμενικά στοιχεία τη αρμονίας 30 Αρμονικές χαράξεις στην αρχιτεκτονική 39 4.ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΙΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΟΙ ΘΕΩΡΙΕΣ ΤΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η ΕΡΕΥΝΑ ΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΕΣ ) Γεωμετρική χάραξη ως κάναβος του έργου α)triangulatur και Quadratur 66 β) Ο κύκλος και τα κανονικά πολύγωνα.. 72 γ) Η ομοιότητα επίπεδων σχημάτων. 80 δ) Αναλογίες εμβαδών ) Η αριθμητική αναλογία ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. σελ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΔΟΞΙΑΔΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΚΡΙΤΙΚΕΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΟΞΙΑΔΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ. 96 7

8 7.1Εισαγωγή Τα είδη της Συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Πολλαπλές Συμμετρίες στην Αρχιτεκτονική Συμμετρία στον Αρχιτεκτονικό χώρο Συμπεράσματα ΜΕΡΟΣ Β ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ) ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ (ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ) α) Η μέθοδος β) Η ιστορική διαδρομή της μεθόδου ) ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ α) Η μέθοδος β) ΤΟ ΡΩΜΑΙΚΟ ΣΤΑΥΡΟΘΟΛΙΟ & Ο ΜΟΝΑΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΘΟΛΟΣ ) ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ α) Η μέθοδος β) Σύστημα προβολής. 144 ΜΕΡΟΣ Γ. σελ ΚΑΜΠΥΛΕΣ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ α) Καμπύλες και θόλοι β) Καμπύλες προκύπτουσες από την τομή δύο επιφανειών ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ-ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ & «ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ» ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ 171 8

9 3.4. 2) ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ α) «Ο ΥΔΑΤΙΝΟΣ ΚΥΒΟΣ» (πισίνα Ολυμπιακών Εγκαταστάσεων Πεκίνο) β) ΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ MERCEDES-BENZ ΣΤΗ ΣΤΟΥΤΓΑΡΔΗ γ) Ο ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΣΚΟΣΜΙΟΥ ΠΡΩΤΑΘΛΗΤΗ MICHAEL SCHUMACHER δ) ΠΡΑΣΙΝΗ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΕΝΟΥ ΣΤΟ ΚΤΙΡΙΟ ΤΟΥ ΤΕΛΩΝΕΙΟΥ ΣΤΟ ΣΥΔΝΕΪ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΛΩΡΙΔΑΣ MOBIUS FRACTAL & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ α) Εισαγωγή β) Έννοιες, ορισμοί και παραδείγματα στην αρχιτεκτονική ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ FRACTAL ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΑΣΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ σελ α).Εισαγωγή β) Ορισμοί και μαθηματικές σχέσεις της fractal γεωμετρίας γ) Η σχέση της fractal γεωμετρίας με την Ευκλείδεια και οι συσχετισμοί τους με τον αστικό χώρο. σελ δ) Εναλλακτικοί ορισμοί των fractals και επεκτάσεις της θεωρίας με προσαρμογή στη μελέτη του αστικού χώρου Οι βασικές υποθέσεις του συσχετισμού των fractals με τη μορφή και τη δομή του αστικού χώρου σελ Ο υπολογισμός της fractal διάστασης του ορίου της πόλης Cardiff και του ευρύτερου αστικού χώρου του Tel Aviv: Δύο βασικά παραδείγματα εφαρμογής Συμπεράσματα: Συσχετισμοί και αποκλίσεις 200 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 203 ΜΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΕ ΣΚΟΠΟ ΤΗΝ ΕΚΛΑΪΚΕΥΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. 204 Βιβλιογραφία 211 9

10 Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική διερευνώνται και καταγράφονται οι σχέσεις γεωμετρίας και αρχιτεκτονικής, καθώς η εμπλοκή της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική είναι καθοριστική από την αρχαιότητα ως σήμερα. Αναφέρονται οι θεωρίες των αρμονικών χαράξεων για την αρχιτεκτονική που διατυπώθηκαν από διάφορους ερευνητές προκειμένου να δικαιολογηθούν άδηλες ή έκδηλες γεωμετρικές χαράξεις που εμφανίζονται σε αρχιτεκτονικά έργα. Σκοπός της διπλωματικής είναι να γίνει φανερός ο καθοριστικός ρόλος της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική σύνθεση, ένας ρόλος που έχει διερευνηθεί πολλαπλώς ως προς την αισθητική του συνεισφορά στην αρχιτεκτονική. Αναφέρονται οι μέθοδοι αρχιτεκτονικής απεικόνισης που αποτέλεσαν εργαλείο για τον αρχιτέκτονα στην πορεία του χρόνου και καταγράφεται η γέννηση και η εξέλιξη των μεθόδων αυτών. Πρόκειται για την προοπτική απεικόνιση, την μέθοδο των ορθογώνιων προβολών (μέθοδος Monge) καθώς και την αξονομετρική μέθοδο. Επίσης αναζητείται η σχέση της σύγχρονης αρχιτεκτονικής και άλλων γεωμετριών που δεν ταιριάζουν στο Ευκλείδειο μοντέλο, μια σχέση που σήμερα έχει οδηγήσει στη δημιουργία της λεγόμενης αρχιτεκτονικής γεωμετρίας. Η τελευταία εμπνεόμενη από τη διαφορική γεωμετρία, την τοπολογία και τη γεωμετρία των fractals, καταδεικνύεται στην παρούσα εργασία μέσα από τη παρουσίαση διαφόρων περιπτώσεων εφαρμογών. Λέξεις κλειδιά: γεωμετρία, αρχιτεκτονική, χαράξεις, απεικόνιση, εφαρμογές Abstract This thesis explores and records the geometry and architecture relationship as well as the involvement of geometry in architecture which has been crucial since ancient times. It also recites the theories of harmonic alignments in architecture made by various researchers to justify implicit or apparent geometric tracings shown in architectural projects. The aim of this thesis is to clarify the vital role of geometry in architectural design; a role which 10

11 has been thoroughly examined in terms of its contribution to the aesthetics of architecture. The methods of architectural illustration which served as a tool to the architect in the course of time are mentioned and their genesis and evolution are also recorded. These are the prospect illustration, the method of rectangular projections (Monge method) as well as the axonometric method. The thesis also explores the relationship between modern architecture and other geometries that do not fit the Euclidean model, a relationship which has led to the creation of the so-called architectural geometry. The latter inspired by differential geometry, topology and geometry of fractals is demonstrated in this work through the presentation of several cases of applications. Keywords: geometry, architecture, alignments, depiction, applications 11

12 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η αρχιτεκτονική και η γεωμετρία είναι άρρηκτα δεμένες κατά τη διάρκεια της ιστορίας. Ίσως θα ήταν πιο ακριβές να ισχυριστoύμε ότι η καλή αρχιτεκτονική αντικατοπτρίζει πάντα κατανόηση της γεωμετρίας. Θεωρώντας την αρχιτεκτονική με την ευρύτερη έννοια του όρου, θα λέγαμε ότι είναι η χειραγώγηση του χώρου που προορίζεται για ανθρώπινη χρήση. Από την άλλη θεωρώντας τη γεωμετρία ως μελέτη των ιδιοτήτων και των σχέσεων των μεγεθών στο χώρο, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η γεωμετρία είναι ένα απαραίτητο εργαλείο για τον αρχιτέκτονα, δεδομένου ότι εκείνος εργάζεται σε μορφές, και η γεωμετρία είναι η γλώσσα των μορφών. Ο τελευταίος μάλιστα πρέπει να έχει μια ευρεία βάση των γεωμετρικών εννοιών. Αυτή η άποψη ουσιαστικά βασίζεται στην γενικότερη πεποίθηση ότι υπάρχει μια υποκείμενη ενότητα μεταξύ μαθηματικών και τέχνης, μια ενότητα που προέρχεται από το γεγονός ότι τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι καλλιτέχνες, ο καθένας από το δικό του μέρος, αναζητούν την τάξη στο σύμπαν. Η ικανότητα να παρατηρούνται και να αντιπροσωπεύονται τα πρότυπα(πάτερνς) που διέπουν τη μορφή και τη δομή της φύσης, σηματοδοτεί αυτή την ενότητα. Η διακόσμηση τόσο στην αγγειοπλαστική όσο και στην υφαντική και καλαθοπλεκτική, δείχνει ότι ακόμα και πριν από δέκα χιλιάδες χρόνια στην Νεολιθική εποχή, ο άνθρωπος κατείχε τα γεωμετρικά σχήματα. Η πρωτόγονη διακόσμηση εμφανίζει τις έννοιες της συνάφειας, της ομοιότητας και της συμμετρίας. Η αναζήτηση της αισθητικής με χρήση μοτίβων οδήγησε καλλιτέχνες και διακοσμητές στο να εξαντλήσουν όλες τις ομάδες συμμετρίας 12

13 στο επίπεδο, πολύ πριν ο Fedοrov 1 (1891) τις αποδείξει. (Πράγματι και οι 17 συμμετρίες εμφανίζονται στην Αλάμπρα (1230) πολύ νωρίτερα). Η έφεση προς τη συμμετρία στην τέχνη και τη φύση, οδήγησε τον Hermann Weyl 2 (σε συμφωνία με τον Πλάτωνα) να θεωρητικολογεί ότι στα μαθηματικά υπάρχουν οι κοινές αρχές και των δύο. Μαθηματικοί νόμοι διέπουν τη συμμετρία στη φύση, και οι καλλιτέχνες κατανοώντας διαισθητικά αυτούς τους νόμους, τους χρησιμοποιούν στις συμμετρίες της τέχνης. (Weyl 1952). Δηλαδή, ο καλλιτέχνης είναι κατά μία έννοια και μαθηματικός. Αντίθετα, G.H. Hardy υποστηρίζει «ο μαθηματικός όπως ο ζωγράφος ή ο ποιητής, είναι κατασκευαστής μοντέλων. Αν τα πρότυπά του είναι πιο σταθερά από εκείνων, είναι επειδή είναι κατασκευασμένα με τις ιδέες» (Hardy 1967). Επομένως ό μαθηματικός είναι με αυτή την έννοια ένας καλλιτέχνης. Με την παρούσα εργασία δεν επιχειρείται η κατάδειξη όλων των δυνατών συνδέσεων μεταξύ μαθηματικών και τέχνης, αλλά των σχέσεων μεταξύ γεωμετρίας και αρχιτεκτονικής. Η αλληλεξάρτηση αυτών μπορεί να αποδειχθεί ιστορικά. Υπήρξαν περίοδοι που κυριάρχησε στην αρχιτεκτονική μια συγκεκριμένη γεωμετρική προοπτική. Κατά καιρούς δημιουργικά άτομα ενεπλάκησαν τόσο με την αρχιτεκτονική όσο και με τη γεωμετρία. Οι αναλογίες καθόριζαν την αρχιτεκτονική των αρχαίων Ελλήνων ενώ οι γεωμετρικές γνώσεις του κτίστη, τη μορφή του γοτθικού καθεδρικού ναού, και η προβολική γεωμετρία την εποχή της Αναγέννησης επηρέασε τον αρχιτέκτονα ως προς τη σύλληψη του χώρου και φυσικά ως προς το έργο του. Υπήρξε ένας αρχιτέκτονας ο Desargues, του οποίου η εργασία για την προβολική γεωμετρία ήταν «το πιο πρωτότυπο μαθηματικό δημιούργημα του 17ου αιώνα», όπως χαρακτηριστικά αναφέρει ο M.Rubin. Ο Christopher Wren, αρχιτέκτονας του καθεδρικού ναού του Αγίου Παύλου, είχε χαρακτηριστεί ως ο καλύτερος γεωμέτρης της εποχής του από τον Νεύτωνα. Ο Lobachevsky, ένας από τους ιδρυτές μιας μη- 1 Yevgraf Stepanovich Fedorov( ): Ρώσος μαθηματικός, κρυσταλλογράφος και μεταλλειολόγος. 2 Hermann Klaus Hugo Weyl, ( ): Γερμανός μαθηματικός και θεωρητικός φυσικός 13

14 Ευκλείδειας γεωμετρίας, έμαθε αρχιτεκτονική προκειμένου να επιβλέψει την κατασκευή ενός επιπλέον κτιρίου στο Πανεπιστήμιο του Καζάν, όπου ήταν πρύτανης. Στις μέρες μας οι γεωδαιτικοί θόλοι του Buckminster που χρησιμοποιούνται στην Αρχιτεκτονική κατασκευάζονται με βάση γεωμετρικές τοπολογικές θεωρίες. Η Γεωμετρία εκτελεί διπλό ρόλο για τον αρχιτέκτονα: τον βοηθά τόσο τυπικά όσο και από τεχνική άποψη, επηρεάζοντας τις οπτικές και τις διαρθρωτικές πτυχές του σχεδιασμού. Ο Βιτρούβιος 3 αυτό αντιλαμβανόταν όταν παρουσίασε τις τρεις απαιτήσεις της αρχιτεκτονικής: firmitas (δομή), utilitas (λειτουργία), και venustas (Ομορφιά). Έτσι μια αρχιτεκτονική δημιουργία πρέπει ταυτόχρονα να επιτελεί τόσο τη στατική όσο και την οπτική λειτουργία και οι δύο μαζί να αντανακλούν τη λειτουργία του έργου. Αυτή η καθοριστική «εμπλοκή» της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική θα αναζητηθεί στις σελίδες που ακολουθούν, με βάση τις παρακάτω οπτικές: Στο πρώτο μέρος της εργασίας διερευνάται ο ρόλος της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική σύνθεση, ένας ρόλος πολυσυζητημένος ιδιαιτέρως ως προς την αισθητική συνεισφορά του στην αρχιτεκτονική. Στο δεύτερο μέρος προσδιορίζεται η χρήση της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική απεικόνιση, ενώ στο τρίτο και τελευταίο μέρος αποτυπώνεται η «συμπόρευση» γεωμετρίας και αρχιτεκτονικής στη σύγχρονη εποχή, όπως αυτή υπαγορεύεται από την εξέλιξη της τεχνολογίας και την χρήση «άλλων γεωμετριών». 3Βιτρούβιος(ή Μάρκος Βιτρούβιος Πολλίωνας): Ρωμαίος συγγραφέας, αρχιτέκτονας και μηχανικ ός που έζησε τον 1ο αιώνα. Είναι κυρίως γνωστός για την πραγματεία του περί αρχιτεκτονικής (De architectura), έργο που σήμερα αναφέρεται συνήθως με τον τίτλο Δέκα Βιβλία Αρχιτεκτονικής και αποτελεί το μοναδικό κείμενο αρχιτεκτονικής θεωρίας και πρακτικής που διασώζεται από την αρχαιότητα. 14

15 ΜΕΡΟΣ Α Ο ρόλος της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική σύνθεση 15

16 1. ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Στην προσπάθειά μας να «ανιχνεύσουμε» τη σχέση της γεωμετρίας και της αρχιτεκτονικής θα χρειαστεί να ταξιδέψουμε στο μακρινό παρελθόν. Όταν ο πρωτόγονος άνθρωπος ξεκίνησε την περιπλάνησή του αναζητώντας τροφή ως κυνηγός, βρήκε καταφύγιο στα σπήλαια. Από την παλαιολιθική εποχή ήδη ο άνθρωπος θα χρησιμοποιήσει μια ενστικτώδη γεωμετρική γνώση για την κατασκευή των πρώτων εργαλείων, ενώ το γεωμετρικό ένστικτο είναι εκείνο που θα τον οδηγήσει και στις πρώτες απεικονίσεις. Αυτό γίνεται φανερό και στις διακοσμητικές του δημιουργίες οι οποίες σηματοδοτούν τόσο τις καλλιτεχνικές όσο και τις γεωμετρικές του δεξιότητες. Στη συνέχεια ο άνθρωπος στάθηκε. Από κυνηγός γίνεται ποιμένας και αργότερα γεωργός, καλλιεργώντας τη γη με συστηματική εργασία. Καθώς άρχισε να σχηματίζει ομάδες και οικογένεια ήρθε αντιμέτωπος με την ανάγκη μιας διαρκούς άμυνας από τα στοιχεία της φύσης και τις επιδρομές των άλλων ομάδων. Ήταν εκείνη η καθοριστική στιγμή που ο τόπος απόκτησε για πρώτη φορά σημασία. Τότε θα αρχίσει να κατασκευάζει τις πρώτες ξύλινες κατοικίες (που διέθεταν μια φυσική γεωμετρία, η οποία βασίζεται στα διαρθρωτικά χαρακτηριστικά και τα διαθέσιμα υλικά) σε λίμνες, για να προστατευθεί από τα θηρία. Εικ. 1: Κάτοψη κυκλικού κτιρίου στην Uch Tepe (Μεσοποταμία περίπου 3000 π. Χ) 16

17 Όταν το φυσικό περιβάλλον δεν του προσφέρει αυτή τη δυνατότητα, θα καταφύγει στις ακροπόλεις, στα φυσικά αυτά τείχη που σιγά-σιγά θα ενισχύσει, και σε αυτές τις πρώτες κατασκευές του, αντικατοπτρίζεται μια συγχώνευση της δομής και του προτύπου, είτε αυτές εξυπηρετούσαν ανάγκες στέγασης ή οχύρωσης ή λατρείας. Εικ.2: Πυξίδα σε σχήμα οικίσκου(εποχή χαλκού) και κάτοψη ελλειψοειδούς οικίας στο Χαμαίζι της Κρήτης Δεδομένου ότι η κατοικία όταν δεν την προστάτευαν τείχη, όφειλε η ίδια να μορφοποιηθεί σε βάση αμυντική και επιθετική, το περίφραγμα αποτέλεσε τη βασική αρχή προστασίας, και ο κύκλος έγινε έτσι η πρώτη εξυπηρετική μορφή της κάτοψης(εικ. 1) αλλά και της κατοικίας, γεγονός που μαρτυρείται από τις σωζόμενες ακροπόλεις του παρελθόντος και τις καλύβες. Η μορφή του κύκλου οικεία στον άνθρωπο (μιας και ο κύκλος είναι το μόνο γεωμετρικό σχήμα που μπορεί να δει στη φύση) θα διατηρηθεί και στη συνέχεια, ως η κύρια επιλογή σχήματος κατοικίας, ενώ μια παράθεση κυκλικών κτισμάτων γύρω από έναν μεγαλύτερο κύκλο που αποτελεί τον κοινόχρηστο χώρο, θα αποτελέσει τους πρώτους συνοικισμούς. Αυτή η σύνθετη μορφή ενοποιείται στη συνέχεια σε μια κατοικία μορφής ελλειπτικής ή πεταλόσχημης (εικ. 2)Αλλά και η διαμόρφωση του χώρου στους υπαίθριους ναούς-μνημεία (εικ. 3) είναι μια έκφραση αρχιτεκτονική που θα χρησιμοποιήσει το κυκλικό σχήμα, ίσως για να υποβάλλει το αίσθημα της ενότητας, συμβολίζοντας τη φυσική κατοικία του ανθρώπου που τη σκεπάζει ο θόλος του ουρανού και την περιζώνει κυκλικά ο ορίζοντας. Έτσι θα συναντήσουμε για πρώτη φορά τη χρήση μιας «λανθάνουσας- εμπειρικής» γεωμετρίας που υπαγορεύεται από τα διαθέσιμα υλικά το περιβάλλον και τις συνθήκες. 17

18 εικ.: 3. Στόουνχεντς νεολιθικό μεγαλιθικό μνημείο( Αγγλία, Εποχή του Χαλκού) εικ.4. Κάτοψη μυκηναϊκού μεγάρου Αργότερα στις κατασκευές αρχίζουν να αποσαφηνίζονται «γεωμετρικά γωνιώδη» σχήματα, όπως το ορθογώνιο, που καθορίζει την κάτοψη τόσο του «μεγάρου» όσο και των ναών. (εικ. 4) Η εξοικείωση με τα γεωμετρικά σχήματα είναι εμφανής και στα Αιγυπτιακά μνημεία, τις πυραμίδες των Φαραώ, που αντανακλούν την προσπάθεια του ανθρώπου να διαμορφώσει μία «Κοσμική τάξη». Ο Τ. Brunes στο έργο του "Τα μυστικά της Αρχαίας Γεωμετρίας" θα ισχυριστεί ότι η αρχαία αρχιτεκτονική βασίστηκε σε ένα απόκρυφο γεωμετρικό σύστημα, το οποίο ο ίδιος αποκαλεί αρχαία γεωμετρία". Εύστοχος ή όχι ο χαρακτηρισμός του Brunes για την "Αρχαία γεωμετρία» δείχνει ότι η κατασκευή των αρχαίων ναών βασίζεται σε σχετικά απλά γεωμετρικά μοτίβα. Είναι η γεωμετρία του homo faber(ανθρώπου τεχνίτη), όπως τον ονομάζει ο Bergson. 4 Αργότερα τα ελληνικά μνημεία με τη σαφήνεια της μορφής και τις αναλογίες τους, μαρτυρούν τη γνώση της γεωμετρίας και σηματοδοτούν τις κατακτήσεις του ανθρώπινου πνεύματος, καθώς εμφανίζεται για πρώτη φορά στο προσκήνιο της ιστορίας ο σύγχρονος άνθρωπος, όταν το πνεύμα κάνοντας άλμα, περνά από την αχαλίνωτη φαντασία στη σώφρονα καθορισμένη γνώση. 4 Henri Bergson( ), εξέχουσα μορφή της γαλλικής φιλοσοφικής σκέψης, Νόμπελ Λογοτεχνίας,

19 Αν και δεν διαθέτουμε γραπτές πηγές που να επιβεβαιώνουν την ηθελημένη χρήση της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική πριν την Αναγέννηση, από τα όσα ο ρωμαίος αρχιτέκτονας Βιτρούβιος μας μεταφέρει, δεν μπορούμε να αμφισβητήσουμε ότι ο «γάμος» των μαθηματικών και του αισθήματος, της ακρίβειας και της ευαισθησίας οδήγησε στην ανακάλυψη της ομορφιάς. Εφεξής η αρχιτεκτονική θα ακολουθήσει ηθελημένα κοινή πορεία με τη γεωμετρία και θα διεκδικήσει πλάι στον χαρακτηρισμό τεχνική τον προσδιορισμό «τέχνη». 2. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΟΠΤΙΚΗ ΑΝΤΙΛΗΨΗ Η γεωμετρία αποτελεί για τον αρχιτέκτονα το εργαλείο με το οποίο κόβει, ορίζει, δημιουργεί στο χώρο, ως εκ τούτου θα γίνει το βασικό «υλικό» της αρχιτεκτονικής. Όμως οι τρισδιάστατες μορφές στην αρχιτεκτονική δεν είναι το εξωτερικό ενός όγκου, όπως συμβαίνει για παράδειγμα με μια γλυπτική δημιουργία, αλλά η επιφάνεια, (κυρτή, κοίλη ή επίπεδη), που περικλείει το χώρο, έναν χώρο που δεν είναι κενός, αλλά αποτελεί τον ογκομετρικό χώρο στον οποίο συνυπάρχουν μια σειρά από δραστηριότητες(μοναδική εξαίρεση αποτελούν οι περιπτώσεις γλυπτικής απόδοσης των αρχιτεκτονημάτων π.χ. πυραμίδες). Μιλώντας επομένως για έμπνευση-δημιουργία, στην περίπτωση της αρχιτεκτονικής, αναφερόμαστε σε ένα σύστημα οργανωμένου χώρου, όπου πειραματιζόμαστε διαμέσου της χρήσης και αντιλαμβανόμαστε διαμέσου της μορφής του. Καθώς λοιπόν «συνθέτω» στη γλώσσα της αρχιτεκτονικής σημαίνει να κατασκευάσω ένα ογκομετρικό σύνολο μέσα από το οποίο η τελευταία εκφράζεται, εκείνος ο όγκος πρέπει να ανταποκρίνεται στα χαρακτηριστικά μιας κατασκευής, και επομένως οι διάφοροι χώροι του, πρέπει να δημιουργούν και μεταξύ τους συνδετικές σχέσεις τέτοιες, ώστε να εκφράζουν και να μεταδίδουν στον παρατηρητή τις βασικές λειτουργίες για τις οποίες το έργο κατασκευάστηκε. Οι συνδετικές σχέσεις θα πρέπει αρχικά να ανταποκρίνονται σε θέματα ευκρίνειας-αναγνώρισης των μορφών της σύνθεσης, και στη συνέχεια να πλαισιώνονται και εμπλουτίζονται, ώστε να γίνουν πιο σύνθετες, με 19

20 δευτερεύουσες προσθήκες, μέχρι τον πλήρη καθορισμό τους, με την επεξεργασία των λεπτομερειών και τις εικαστικές επεμβάσεις στις επιφάνειές τους. Όλα τα παραπάνω σε συνδυασμό με την καλλιτεχνική μορφή στην οποία θα πρέπει να υποταχθούν η εξυπηρετική-λειτουργική μορφή καθώς και η τεχνική μορφή, θα δώσουν τη δυνατότητα στον άνθρωπο-χρήστη να κινηθεί μέσα στο έργο με τάξη και αρμονία. Και αυτό το κατορθώνει γιατί όχι μόνο το έργο ως κάτοψη πρέπει να είναι σοφά οργανωμένο, αλλά και γιατί ως όγκος, με τα ανοίγματα και τα πλήρη, το φως και τις σκιές, τα χρώματα, τη λογική της κατασκευής του και τις αναλογίες των χώρων του, τελικά αποκτά μια αυτοτέλεια. Μόνο τότε οι μορφές μπορούν να θεωρηθούν αρμονικές και το αρχιτεκτόνημα να συγκινεί αισθητικά όχι μόνο τον χρήστη αλλά και τον θεατή. Η σύνθεση των μορφών θα πρέπει να αποβλέπει ουσιαστικά στην ικανοποίηση τριών στοιχείων: α) της πρακτικά αναγκαίας μορφή που εξυπηρετεί το σκοπό του έργου β) της τεχνικά αναγκαίας μορφής που προκύπτει από την κατασκευή και γ) της καλλιτεχνικά αναγκαίας μορφής που έχει αυτοτέλεια αισθητική χάρη στην αρμονία των αναλογιών της. Καθώς το ανθρώπινο μάτι είναι ένα εργαλείο άμεσα ευαίσθητο, μπορεί ακόμα και χωρίς εξάσκηση, να αναγνωρίσει μια γραμμή που δεν είναι απόλυτα ευθύγραμμη, κάθετη ή οριζόντια, ή μια καμπύλη που δεν είναι συνεχής και κανονική στην καμπυλότητα της. Δεν είναι όμως τόσο ευαίσθητο στο να αντιλαμβάνεται την χωρικότητα των μορφών, τουλάχιστον όταν αυτές δεν είναι ορατά και καθαρά αναλυμένες σε μορφές αποτελούμενες από βασικά γεωμετρικά σχήματα. Η δυνατότητα της άμεσης αναγνώρισης των μορφών αποτελεί αναντικατάστατη συνθήκη για την σύλληψη του αρχιτεκτονικού μηνύματος. Οι μορφές γίνονται τόσο πιο εύκολα αντιληπτές και αναγνωρίσιμες, όσο πιο χαρακτηριστικές και λιγότερο συγκεχυμένες είναι μεταξύ τους. Τα ιδιαίτερα μορφολογικά χαρακτηριστικά στοιχεία που εμπεριέχονται στις απλές γεωμετρικές μορφές είναι τόσο έντονα, που δημιουργούν σε κάθε άνθρωπο, ανεξάρτητα του βαθμού εξέλιξης του, αναφορά σε αυθόρμητους συμβολισμούς. Το τετράγωνο για παράδειγμα και η τρισδιάστατη επέκταση του, 20

21 δηλαδή ο κύβος, αποδίδει περισσότερο από κάθε άλλη μορφή την ιδέα της καθαρότητας της σταθερότητας, της ήρεμης συνειδητής σκέψης. Αντίστοιχα ο κύκλος και η τρισδιάστατη επέκταση του η σφαίρα, φέρουν την ιδέα της συνέχειας, της κίνησης, της αιωνιότητας, της τελειότητας περισσότερο από κάθε άλλη μορφή. Με ανάλογο τρόπο το ισόπλευρο τρίγωνο και η τρισδιάστατη επέκταση του το τετράεδρο, είναι συνδεδεμένα με την ιδέα της ενέργειας, της αστάθειας, της δυσκολίας ή της επιθετικότητας. Οι κανονικές παραμορφώσεις αυτών των βασικών μορφών, παρουσιάζουν αναγκαίες αλλαγές στο θέμα της κατασκευής σύνθετων αρχιτεκτονημάτων στα οποία συχνά μπορούν να χρησιμοποιηθούν περισσότερες γεωμετρικές μορφές ταυτόχρονα. Στην ιστορία της αρχιτεκτονικής μπορούμε να βρούμε πολλά παραδείγματα χρήσης σύνθετων γεωμετρικών συστημάτων (τετράγωνο και ορθογώνιο τρίγωνο, τετράγωνο και εξάγωνο, ή τετράγωνο και ισόπλευρο τρίγωνο). Πρόκειται δηλαδή για βασικές-στοιχειώδεις εκφράσεις της ψυχολογίας της μορφής, αλλά χάρη σε αυτές επιτυχώς ή όχι, στάθηκε ικανό να κατασκευαστεί από την αρχή της ανθρώπινης δραστηριότητας μέχρι σήμερα, το μεγάλο κτίριο της παγκόσμιας αρχιτεκτονικής. Γεγονός είναι επομένως ότι εκτός ελαχίστων εξαιρέσεων, ορατή είναι πάντα η ανάγκη να «διαβάσουμε» σε μία αρχιτεκτονική ένα σύνολο στοιχειωδών γεωμετρικών σχημάτων και μορφών. Αυτά τα στοιχειώδη σχήματα είναι μορφές με τις οποίες ασχολείται η κλασική γεωμετρία και έφτασαν σε μας διαμέσου των «Στοιχείων», παρόλο που η ιστορία της αρχιτεκτονικής εγγράφει τη συνειδητή χρήση τους από τις πρώτες πολιτισμικές εκδηλώσεις του homo sapiens, χιλιάδες χρόνια πριν την συστηματοποίηση που πραγματοποίησαν ο Πυθαγόρας, ο Θαλής, ο Εύδοξος και ο Ευκλείδης. 3.ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΕΙΣ Πολλοί ερευνητές και καλλιτέχνες αιώνες τώρα προβληματίζονται πάνω στη σημασία των χαράξεων, στην «ερμηνεία» και «κατανόηση» των έργων 21

22 αρχιτεκτονικής και τέχνης. Ο καθηγητής Δ. Φατούρος γράφει σχετικά: «Μέγεθος και σχέση είναι δύο έννοιες με πολύ γενική και ευρύτατη χρήση, τις οποίες χρησιμοποιεί η γεωμετρία και οι οπτικές τέχνες. Το μέγεθος, αυτό καθ αυτό, όταν δηλαδή δεν το παραβάλουμε με ένα άλλο (και ειδικότερα με μία μονάδα συγκρίσεως), είναι ανεξάρτητο από την ποσότητα. Η διαίρεση ενός μεγέθους ή η πρόσθεση, ή η παράθεση ενός ή περισσοτέρων, δημιουργεί σύγκριση και εγκαθιστά σχέση». Επομένως αν μελετήσουμε κάποιο έργο τέχνης η αρχιτεκτονικής, με αυτό το πρίσμα, θα έπρεπε να θυμηθούμε τον ορισμό της Αρμονικής Χαράξεως, όπως τον διατυπώνει ο JOUVEN και όπως τον μεταφέρει στο περί αρμονιών χαράξεων βιβλίο του ο Δ.Η. Κωνσταντίδης: «Μία Αρμονική χάραξη είναι εν γεωμετρικό σχήμα, ούτινος το ( παριστάμενο) σχέδιο συμπίπτει με τις κυρίας γραμμές ενός κτηρίου (ή όπερ το αυτό, μετά της γραφικής του παραστάσεως εν γεωμετρική προβολή ). Η εκλογή του γεωμετρικού σχήματος τούτου (και το οποίον ο αρχιτέκτων συνέλαβε συγχρόνως με το κτήριο), στηρίζεται επί των αξιόλογων ιδιοτήτων οι οποίες περιλαμβάνονται εν αυτῴ". Βέβαια αυτόν τον ορισμό δεν θα πρέπει να τον χρησιμοποιήσουμε ως απαράβατη αρχή, γιατί μπορεί πολλές φορές να μας παρασύρει σε λανθασμένες κρίσεις ή σε αυθαίρετα πορίσματα. Μιλήσαμε παραπάνω για «μέγεθος» και «σχέση». Αυτές οι δύο έννοιες - όπως παρατηρεί ο Ν.Χολέβας-όταν βρίσκονται σε μία εκφραστική διαλεκτική που «οπτικά» αλλά και «γεωμετρικά» δημιουργούν ικανοποίηση στο αισθητικό μας κριτήριο, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για αρμονικές αναλογίες. Αναφορικά με την αρμονία ο Φατούρος δίνει την επεξήγηση: «Υπενθυμίζουμε ότι η λέξη αρμονία προέρχεται από το αρμόζω και ανήκει στην ίδια οικογένεια με το αρμόδιος. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι οι αρμονικές σχέσεις είναι και οι αρμόδιες σχέσεις, δηλαδή που ταιριάζουν». Γι αυτό και όταν προχωρήσουμε στον γεωμετρικό προσδιορισμό των σχημάτων και των σχέσεων έχοντας υπόψη αυτές τις βασικές έννοιες που παραπάνω διατυπώσαμε, θα μπορούσαμε να καταλήξουμε και να συμφωνήσουμε συγχρόνως ότι: «Ο καθορισμός των σχημάτων και των σχέσεων με γεωμετρικές μεθόδους αποτέλεσε πάντα ένα σοβαρό και πολύ διαδεδομένο μέσο της τέχνης, γιατί 22

23 α) πολύ συχνά συμβάλει αποφασιστικά στην ίδια την κατασκευή του έργου, και β) δίνει σαφήνεια διατύπωσης, δίνει έναν κανόνα. Οι χαράξεις που ορίζουν αυτές οι μέθοδοι είναι τότε γεωμετρικές χαράξεις». ( Δ.Α. Φατούρος). Οι αισθητικές θεωρίες κατά καιρούς έχουν δώσει διάφορες ερμηνείες του φαινομένου που ονομάζουμε "γεωμετρική κατασκευαστική υποδομή". Χρειάζεται μεγάλη προσπάθεια για να αποκομίσουμε τελικά κάποιο κοινό διαλεκτικό μέσο συνεννόησης την στιγμή που εξετάζουμε, πάντα με κριτικό πρίσμα το "προϊόν" της τέχνης και της αρχιτεκτονικής. Στο βιβλίο "la simmetria dinamika" o C.BAIRATI γράφει στον πρόλογο: «ο πρωτόγονος και το βρέφος σχεδιάζουν με το ένστικτο τους και πάνω σε αυτό το γεγονός βασίζονται οι σύγχρονες μέθοδοι διδασκαλίας του σχεδίου: μόνο η κατά συνθήκη κριτική στερεί την αυθεντικότητα και αποπροσωποποιεί την πρωτοτυπία και την ελευθερία της γραφικής εκφράσεως των παιδιών, τα οποία κατ' αρχήν, δεν ενδιαφέρονται για το "κοινό", του οποίου η επενέργεια εμφανίζεται κάτω από το πρίσμα του δασκάλου ή των γονιών». Και συνεχίζει : «...Μια αποδοχή είναι αναγκαία για τον καλλιτέχνη ή του κοινού ή ενός νόμου με χαρακτήρα παγκόσμιο ή τουλάχιστον μιας προσωπικής συνείδησης. Αλλά υπάρχει ένας τέτοιος γενικός νόμος;». Είναι βέβαιο ότι η μελέτη των χαράξεων και των γεωμετρικών αξιών συμβάλει, όχι με την καθιέρωση ενός νόμου αλλά με την καθιέρωση ενός "τρόπου σκέψης" την στιγμή που μελετάμε το έργο τέχνης και προσπαθούμε να το καταλάβουμε τόσο αισθητικά- μορφολογικά αλλά και κατασκευαστικά. Σημασία κυρίως έχει να μπορέσουμε να καταλάβουμε ότι στην τέχνη και στην αρχιτεκτονική υπάρχει πάντα μια "γεωμετρία" που άλλοτε προκύπτει "αθέλητα" σαν επιβεβαίωση της εσωτερικής και σιωπηλά παραδεκτής και υπάρχουσας γεωμετρίας που εκφράζεται στο έργο σαν αποτέλεσμα της ισορροπίας του αισθητικού κριτηρίου και που μεταφράζεται μορφολογικά την ίδια στιγμή της συνθέσεως, και άλλοτε "ηθελημένα" σαν γενεσιουργός κατασκευαστικός κάναβος του έργου. (Ν.Χολέβας) 23

24 Προκειμένου λοιπόν να προχωρήσουμε στις χαράξεις πρέπει να επεξηγήσουμε μερικές παραδοχές και ορισμούς απαραίτητους για να γίνουν κατανοητές οι παραπέρα διαπιστώσεις. Πως καθορίζεται η Αρμονία; Μελετώντας την ρυθμική τάξη στο χώρο όπως αναφέρει ο Π.Μιχελής, μπορούμε να αναγνωρίσουμε ως υποτυπώδη αρμονία, τη συμμετρία. Υποτυπώδης μιας και αυτή δεν αρκεί για να καταστήσει τα τυπικώς σύμμετρα έργα αρμονικά, εφόσον άλλωστε δεν είναι δυνατόν να εφαρμοστεί προς όλες τις κατευθύνσεις. Η συμμετρία υποτάσσεται για το λόγο αυτό στην ευμετρία, εκεί δηλαδή που ισορροπούν όχι τα ίσα, αλλά τα ισοδύναμα, ώστε να μπορούμε να αποφανθούμε ότι: «στην τέχνη αν μπορεί να υπάρξει ευμετρία δίχως συμμετρία, η συμμετρία (αντίστροφα) δεν αρκεί δίχως ευμετρία.(...) Αυτός είναι ο λόγος που δεχόμαστε και τα εξωτερικά ασύμμετρα και τυπικά ακανόνιστα κτίρια ως ωραία (π.χ Ερέχθειο), ή θεωρούμε ως άξονες ευμετρίας μοτίβα, που δεν είναι τοποθετημένα στο κέντρο των κτιρίων αλλά στο πλάι, ή στην άκρη, όπου δηλαδή κυριαρχεί το αισθητικό κέντρο βάρους, ζυγίζοντας τις αξίες των μορφών του αρεχιτεκτονήματος.»(π.μιχελής) Πού οφείλεται επομένως η εντύπωση της αρμονίας ενός κτιρίου; Οφείλεται σε ορισμένους μαθηματικούς τύπους και γεωμετρικές αναλογίες κοινές για όλα τα κτίρια, ή στο ελεύθερο αίσθημα του καλλιτέχνη που τα έπλασε, δηλαδή στην κατάργηση κάθε νόμου και τύπου; Είναι προφανές ότι μόνο με τύπους και κανόνες ένα έργο αρμονικό δε γίνεται. Από την άλλη όμως πλευρά δε σημαίνει ότι το καλλιτέχνημα αποκλείει τους κανόνες και τους τύπους της αρμονίας, αλλά σημαίνει ότι από δύο πανομοιότυπα κτίρια, ως προς τις αναλογίες, το ένα μπορεί να είναι ωραίο και το άλλο άσχημο. Αυτή η διαφορά οφείλεται στο αίσθημα του καλλιτέχνη, και όπως επισημαίνει ο Μιχελής είναι το παν. Παρατηρώντας ένα έργο τέχνης "αφαιρούμε" πρώτα τις λεπτομέρειες, προκειμένου να διακρίνουμε στο αρχιτεκτόνημα τις κυρίαρχες σχέσεις ύψους και πλάτους, στη συνέχεια να τις συγκρίνουμε με τις δευτερεύουσες σχέσεις των 24

25 μελών του και τελικά αφήνουμε και πάλι τις λεπτομέρειες να προβάλλουν εφ'οσον υπάγονται αρμονικά σε αυτό. Έτσι μελετώντας ορισμένα αναγνωρισμένα αρχιτεκτονήματα θα παρατηρήσουμε ότι οι όψεις τους εγγράφονται συνήθως σε γεωμετρικά σχήματα με σχέση πλευρών 1:2 ή 2:3 κ.ο.κ., και σπάνια με σχέση που πλησιάζει τη μονάδα όπως 8:9 ή 5:6. Όμως τα πιο ονομαστά από αυτά παρουσιάζουν τη σχέση της χρυσής τομής, περίπου 3:5. Ο Fechner που πειραματίσθηκε με διάφορα ορθογώνια απέδειξε στατιστικά ότι ο μέσος όρος των ανθρώπων προτιμά ορισμένες απλές σχέσεις και ιδιαιτέρως εκείνη της χρυσής τομής. Αναρωτιέται όμως κανείς αν όλα αυτά επιβεβαιώνουν την αντικειμενικότητα της αρμονίας. Ο αντίλογος λέει πως και το ορθογώνιο που οι πλευρές του είναι σε σχέση χρυσής τομής αν στραφεί έτσι ώστε η διαγώνιός του να σταθεί κατακόρυφα, δεν προκαλεί το ευάρεστο αίσθημα που μας προξενούσε, ενώ αντίστροφα πολλά αρχιτεκτονήματα αξίας εγγράφονται σε ένα τετράγωνο που ως σχήμα κρίνεται "χονδροειδές" ως προς την εντύπωση που προκαλεί (Porte St-Denis), ή το παλάτι των δόγηδων στην Βενετία που διχάζεται στη μέση από έναν άξονα οριζόντιο παρά το γεγονός ότι το αίσθημα "αντιπαθεί" αυτού του είδους τη συμμετρία. (εικ. 1) εικ.1 Το ωραίο στην αρχιτεκτονική δεν "εγείρει αξιώσεις, παρουσιάζοντας ως αντιπροσωπευτικότερο έργο του ένα και μόνο ορθογώνιο της γεωμετρίας, όπως εκείνο της χρυσής τομής, αλλά παρουσιάζοντας μια σύνθεση μορφών πλαστικών, των οποίων τα όρια μόνο εγγράφονται σε σχήματα γεωμετρικά από την αφαιρετική μας διάνοια" (Π.Μιχελής). 25

26 Αυτό που ουσιαστικά ορίζει την Αρμονία είναι οι σχέσεις που δημιουργούνται μεταξύ του όλου και των μελών, και αυτών μεταξύ τους, ώστε να κυριαρχήσει "η ενότης στην ποικιλία". Η ομοιότητα των μερών μεταξύ τους δεν αρκεί για να ορίσει την αρμονία του όλου. Τα μέρη πρέπει να συντίθενται όχι μόνο μεταξύ τους ανάλογα αλλά και να εναρμονίζονται προς το σύνολο. Η σύνθεση επομένως των αντιθέσεων είναι σύνθεση των μερών μεταξύ τους και αυτών προς το όλο, υπό ένα ενιαίο πνεύμα. Δικαίως λοιπόν -όπως επισημαίνει ο Π.Μιχελής- οι πυθαγόρειοι όριζαν την αρμονία λέγοντας : "αρμονία εστί πολμιγέων ένωσις και δίχα φρονεόντων συμφρόνησις"(φιλόλαος). [η αρμονία είναι μια ενοποίηση πραγμάτων πολλαπλώς αναμεμειγμένων και μια συμφωνία πραγμάτων που διαφωνούν] Μπορούμε να αποφανθούμε καταλήγοντας ότι η αρμονία εδράζεται στην αναλογία. Ποιά είναι τα υποκειμενικά στοιχεία της αρμονίας; Το άτομο γνωρίζει, χωρίς να χρειαστεί να αναρωτηθεί αν είναι όρθιο ή ξαπλωμένο, αν στέκεται ή κινείται, τί βρίσκεται μπροστά του και τι πίσω του, τι είναι δεξιά του και τι αριστερά του. Γνωρίζει την κατακόρυφη, την οριζόντια, την ευθεία τον κύκλο, την ορθή γωνία, καθώς και το βάρος. Όλα αυτά είναι έμφυτα δεδομένα που τα συμπληρώνει η πείρα και αποτελούν αξιωματικές γνώσεις (κατά τον χαρακτηρισμό του Μιχελή,) προτού κανείς σκεφθεί λογικά. Αυτή η κατοχή γνώσεων βοηθά το άτομο όχι μόνο να διακρίνει τι είναι κατακόρυφα ζυγισμένο και τι όχι αλλά και να επεκτείνει και να συμπληρώσει ένα κομμάτι μιας κατακόρυφης ή ενός κύκλου χωρίς να έχει ανάγκη να δει το υπόλοιπο. Ο αρχιτέκτονας λοιπόν έχει στα χέρια του ένα μεγάλο και απλό μέσο για να προξενήσει εντυπώσεις. Μπορεί να σταματήσει απότομα μία κατακόρυφη ευθεία με μία οριζόντια ή να φανερώσει στον θεατή εκεί που περιμένει το συμμετρικό αντίκρισμα κάποιου αντικειμένου, κάτι διαφορετικό, όμως ισοδύναμα ζυγισμένο, ώστε το όλο να είναι εύμετρο. 26

27 Αυτό που μπορούμε να διαπιστώσουμε λοιπόν είναι ότι το μάτι προβλέπει για να δει, και βλέπει τα μέρη μέσα από το σύνολο και αντιστρόφως, γιατί οι εντυπώσεις του είναι αλληλένδετες με μηχανικές αντιδράσεις ολόκληρου του είναι μας και όχι απλώς με το μηχανισμό της οράσεως. Αυτές τις αντιδράσεις επιδιώκει η τέχνη να "ξυπνήσει" με τα σχήματα και να μας συγκινήσει. Όταν για παράδειγμα διαιρούμε μια ευθεία σε δύο μέρη προκύπτουν δύο νέα σύνολα τα οποία προκειμένου να συγκινούν ως μέρη ενός συνόλου πρέπει να παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη αντίθεση διαφοράς μεταξύ τους, αλλά και τη μεγαλύτερη ενότητα προς το σύνολο. Πρέπει η μία τάση να κυριαρχεί πάνω στην άλλη ώστε να δίνει χαρακτήρα στο σύνολο, που προβάλλει ως τρίτη ανεξάρτητη μονάδα και συνθέτει τις αντιθέσεις. Στην αρμονία λοιπόν απαιτείται η κυριαρχία της μίας τάσης πάνω στην άλλη ώστε τα δύο στοιχεία να αντιτίθενται αχώριστα κάτω από μια τρίτη μονάδα που τα συνθέτει : το όλον. Στην αρχιτεκτονική σύνθεση η χρυσή τομή δεν είναι η μόνη ιδεώδης αναλογία. Η αρχιτεκτονική άλλωστε δεν αποτελείται απλώς από γεωμετρικά σχήματα. Κάθε έργο σύνθεσης έχει ένα περιεχόμενο, εκφράζει μία ιδέα και κυριαρχείται από ένα βασικό συναίσθημα. Όπως σωστά επισημαίνει ο Μιχελής, μπορεί να "εκφράζει την ηρεμία των τάφων με οριζόντια καθισμένα σχήματα (όπως στους Αιγυπτίους), την ψυχική ανάταση των γοτθικών αναλογιών ή την γαλήνη της ευμετρίας των Ελλήνων". Τα συναισθήματα αυτά είναι βασικά και σαφή και εκφράζονται με σχήματα απλά και σαφή στις κύριες αναλογίες τους : 2/1 ή 2/3 ή 3/5. Αν λοιπόν πάρουμε σαν βασικά σχήματα τα ορθογώνια πρέπει να κατατάξουμε σε τρεις γενικές κατηγορίες: Ουδέτερα: Όταν ούτε ο κατακόρυφος ούτε ο οριζόντιος άξονας υπερισχύουν (τετράγωνο) Παθητικά: Όταν υπερισχύει ο οριζόντιος άξονας Ενεργητικά: Όταν υπερισχύει ο κατακόρυφος άξονας 27

28 Οι απλές αυτές σχέσεις βρίσκονται και στην αρμονία των μουσικών τόνων ως σχέσεις του βασικού τόνου προς τους άλλους της κλίμακας, με την ακόλουθη σειρά: Στηριζόμενες σε αυτές ο Th. Fischer διαμόρφωσε μια κλίμακα «μουσική» για την αρχιτεκτονική με ορθογώνια απλών σχέσεων καθένα από τα οποία σχετίζεται με τα διάφορα βασικά συναισθήματα. Με βάση την παραπάνω κατάταξη τα ορθογώνια μπορούν επίσης να διαιρεθούν στις κατηγορίες Στατικά: Όταν η μεταξύ των πλευρών τους σχέση αποτελείται από έναν ακέραιο ή (κλασματικό) αριθμό. Δηλαδή, όταν έχουμε 1,2,3,4... ή επίσης όταν έχουμε 3/4, 4/

29 Δυναμικά: Όταν ο αριθμός που προσδιορίζει την σχέση των πλευρών τους είναι ασύμμετρος, δηλαδή όταν έχουμε : 2, 3... Φυσικά τα ορθογώνια με σχέση πλευρών τους αριθμούς 1=1 και 4=2 ανήκουν και στις δύο παραπάνω ομάδες. Με αυτό το σκεπτικό μπορούμε πχ να προχωρήσουμε στις παρακάτω διατυπώσεις όπως αυτές εκφράζονται στο βιβλίο Δ.Α. Φατούρου που προαναφέραμε: «Σημειώνουμε μερικούς κύριους τρόπους για να αναλύσουμε αρμονικά ένα δυναμικό ορθογώνιο: (Ι) Η διαίρεση σε τόσα ορθογώνια παράλληλα μεταξύ τους και προς την μικρή πλευρά του ορθογωνίου όσα ο ακέραιος αριθμός που βρίσκεται μέσα στην τετραγωνική ρίζα ( ) (ΙΙ) Η τομή της καθέτου που άγεται από μια κορυφή του ορθογωνίου στην διαγώνιο του αλλά και πάνω στην κάθετο μιας πλευράς του ορθογωνίου είναι χαρακτηριστικό σημείο. Μπορούμε από αυτό να φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές και έτσι να δημιουργήσουμε ορθογώνια σε δυναμική σχέση με το όλο και μεταξύ τους (ΙΙΙ) Τέλος, η χρησιμοποίηση των καθέτων μεταξύ τους ευθειών που άγονται από δύο γωνίες πάνω στην ίδια πλευρά του ορθογωνίου. Όλες αυτές οι σκέψεις χρησίμευαν παλαιότερα και χρησιμεύουν στο να αποκτήσουμε κάποιο "κοινό νόμο συνεννόησης" πάνω στα θέματα αυτά και στις εφαρμογές τους στις εικαστικές τέχνες και στην αρχιτεκτονική. Από τον διαφορετικό καθορισμό του βασικού σχήματος ή της βασικής γεωμετρικής ενότητας ενός έργου τέχνης με την διακλάδωση της στα επί μέρους "σχήματα", θα προκύψει ακριβώς στα στάδια της μελέτης και η όλη κατασκευαστική δομή του έργου προκαλώντας και μία αισθητική παρόρμηση κρίσεως. "Οι αναζητήσεις αυτές, όλη η έρευνα των αρμονικών χαράξεων πηγάζει από μια βαθύτατη ανάγκη προσδιορισμού και καθορισμού "σταθερών" σύνθεσης και στην κρίση 29

30 ενός έργου τέχνης. Δηλαδή γνωσιολογικής θεμελίωσης του έργου».(δ.α. Φατούρος) Όμως όσα παραπάνω εξηγήθηκαν δεν πρέπει να μας δεσμεύουν σε έναν "κανόνα". Η πληροφόρηση που μας δίνουν οι χαράξεις είναι το σημαντικό εργαλείο που μπορεί να μας διευκολύνει στην διερεύνηση την στιγμή της οπτικής παρατήρησης αλλά φυσικά δεν αποτελεί το μοναδικό και απόλυτο μέσο τεκμηρίωσης της αναζητησιακής έρευνας μας. Το ερώτημα που γεννάται είναι: δικαιολογούνται αντικειμενικά όσα υποκειμενικώς καθορίσαμε ως στοιχεία της αρμονίας; Αντικειμενικά στοιχεία τη αρμονίας Σε αυτό το σημείο και πολύ συνοπτικά πρέπει να αναφερθούν ακόμα ορισμένοι κανόνες ή καλύτερα πιστοποιήσεις της γεωμετρίας και πρώτα-πρώτα ας προσπαθήσουμε να δούμε την διαφορά της σχέσης από την αναλογία έτσι όπως εννοείται μαθηματικά. Με τον όρο σχέση εκφράζουμε τη σύγκριση ενός μεγέθους με ένα άλλο της ίδιας φύσης, όπως για παράδειγμα όταν συγκρίνουμε μια ευθεία με μία άλλη. Η αναλογία από την άλλη πλευρά απαιτεί δύο σχέσεις για να υπάρξει, επομένως απαιτεί τέσσερα ή τουλάχιστον τρία μεγέθη και εκφράζεται με τον τύπο : Από τον Αριστοτέλη η αναλογία ορίζεται ως εξής :" Το δε ανάλογον λέγω, όταν ομοίως έχη το δεύτερον προς το πρώτον και το τέταρτον προς το τρίτον", εννοώντας με αυτή τη γενική αναλογία ο Αριστοτέλης, τη "μεταφορά" στην ποίηση, ότι δηλαδή επιτρέπονται οι εκφράσεις "γήρας ημέρας" και "δυσμάς 30

31 βίου", επειδή υπάρχει μεταξύ βίου και γήρατος και ημέρας και δύσεως η ίδια σχέση.(π.μιχελής). Αυτή μάλιστα η ομοιότητα ή συγγένεια των φυσικών φαινομένων επειδή ακριβώς είναι η αιτία, ο λόγος δηλαδή των φαινομένων, ονομάζεται και στις μαθηματικές αναλογίες "λόγος" των σχετιζόμενων μεγεθών. Αν θεωρήσουμε λοιπόν τα δύο μεγέθη μιας σχέσης ως σύνολο, τα οποία θέλουμε να συγκρίνουμε, όχι μόνο μεταξύ τους αλλά και προς το σύνολό τους, τότε βρίσκουμε μία αναλογία με τρία μεγέθη. Έτσι αναζητώντας τις σχέσεις μεταξύ μιας ευθείας γ και των μελών της α και β (στα οποία έχει αυτή διαιρεθεί), μπορούμε να πάρουμε διάφορες σχέσεις και μεταξύ των αναλογιών που προκύπτουν από αυτές, οι πλέον ενδιαφέρουσες είναι οι παρακάτω τέσσερεις : Οι δύο πρώτες δείχνουν ότι η ευθεία έχει χωριστεί σε ίσα μέρη (συμμετρική τομή), η οποία όμως καταργεί αντί να λύνει το πρόβλημα από αισθητική σκοπιά. Οι άλλες δύο όμως αναλογίες είναι όμοιες γιατί αυτές δείχνουν ότι η γ τέμνεται εξίσου ασύμμετρα. Σύμφωνα μάλιστα με τον GHYKA, σε αυτή την αναλογία έχουμε τον αμεσότερο ασύμμετρο χωρισμό. Η ευθεία δηλαδή έχει διαιρεθεί σε μέσο και άκρο λόγο. Όταν κατασκευάζουμε τη γεωμετρική διαίρεση μιας ευθείας σε μέσο και άκρο λόγο τότε αυτή η διαίρεση είναι η "χρυσή τομή" της ευθείας. Ο αριθμός φ είναι ο λόγος αυτής της σχέσεως και ισούται με: 31

32 Υπάρχουν ορθογώνια όπου η σχέση των πλευρών των πλευρών τους είναι ο αριθμός αυτός και παρουσιάζουν εξαιρετικό διαφέρον. δημιούργημα. Σχ.1. Διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο Αν όμως η αναλογία της χρυσής τομής μας αποκαλύπτει την "ιδεώδη αρμονία", μας αποκαλύπτει επίσης ότι η γενική αναλογία δε μπορεί παρά να μας δώσει ομοιότητα σχημάτων. Το μέγιστο της διαφοράς με το μέγιστο της ενότητας δίνεται μόνο στην περίπτωση που α+β=γ, οπότε και έχουμε την ιδεώδη σύνθεση των αντιθέσεων. Αλλά ακόμα και τότε αν πάρουμε το ορθογώνιο της χρυσής τομής χ (σχ. 2 α) 32

33 Σχ. 2 και θελήσουμε να το συνθέσουμε με την ιδεώδη αντίθεσή του, θα μοιράσουμε πάλι τις πλευρές του κατά τη χρυσή τομή, ώστε να προκύψει το ορθογώνιο ψ. Αν τώρα μετακινήσουμε το νέο ορθογώνιο ψ μέσα στο χ και φανταστούμε ότι το σχήμα αυτό παριστάνει δοκό επί στύλων (σχ. 2β), θα χρειαστεί να αναζητήσουμε ένα συγκεκριμένο υλικό κατασκευής, ώστε αν πρόκειται για μάρμαρο να ανατρέξουμε ίσως στην αναλογία του (σχ.2γ) ενώ αν πρόκειται για μπετόν -αρμέ θα θελήσουμε να "ψηλώσουμε" το ψ ώστε να "λεπτύνει" το επιστύλιο για να συμφωνήσει" με την αντοχή του υλικού αυτού σε κάμψη που είναι μεγαλύτερη από του μαρμάρου. (σχ.2δ). Αυτό το παράδειγμα παρουσιάζει ο Μιχελής ( "Η αρχιτεκτονική ως τέχνη"), για να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι "ο προορισμός της μορφής, που περιγράφεται στο γεωμετρικό σχήμα, καθώς και το "συναίσθημα", που εκφράζεται με τη μορφή, επηρεάζει την ιδεώδη αναλογία της χρυσής τομής" 33

34 Αναζητώντας αν το ιδεώδες που εκφράζεται από την αναλογία της χρυσής τομής, βρίσκεται μέσα στη ζωή, κρυμμένο κάθε φορά από τα φυσικά φαινόμενα και φανερώνεται άδηλα στην ψυχή μας σε ό,τι μας συγκινεί, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο φ=1,618 έχει περίεργες ιδιότητες. Έτσι αν φ=1,618..., ο 1/φ=0, και ο φ 2 =2,618..,δηλαδή τα δεκαδικά ψηφία μένουν πάντα ίδια γι αυτό και ο φ ονομάστηκε "χρυσός αριθμός. Στα έργα τέχνης αλλά και στα έργα της φύσης ο αριθμός φ έχει ξεχωριστές ιδιότητες. Είναι χαρακτηριστική η διάρθρωση του ανθρώπινου σώματος κατά τον Th.Cook, με την σειρά φ. 34

35 Κατά ανάλογο τρόπο παρατηρώντας τη σπείρα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Η οποία σύμφωνα με τον Goethe ήταν "μαθηματικό σύμβολο της ζωής και της πνευματικής εξέλιξης" θα πάρουμε τη σχέση Στην περίπτωση που το m γίνει ίσο με το φ έχουμε την "καμπύλη της αρμονικής εξέλιξης" που είναι και μία από τις σπείρες των ελίκων του ιωνικού κιονόκρανου. Πολλοί μελετητές επίσης αναζήτησαν τον "χρυσό αριθμό" φ στα κανονικά πολύγωνα καθώς και στα κανονικά στερεά. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ο Prise αρχίζει τη μελέτη των κανονικών πολυγώνων από το τρίγωνο και θεωρεί ότι υπάρχει ένα μόνο ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι όροι γεωμετρικής προόδου και σχετίζονται μεταξύ τους με τη σχέση (σχ.3α) 35

36 Η γωνία α εμφανίζεται ως γωνία βάσης στο τρίγωνο τομής της μεγάλης πυραμίδας της Γκίζας. Ένα άλλο τρίγωνο που χρησιμοποίησαν οι Αιγύπτιοι για τη χάραξη ορθών γωνιών αλλά και οι Αχαμαινίδες αρχιτέκτονες (σχ.3γ) για τη χάραξη ελλειπτικών θόλων είναι το πυθαγόρειο τρίγωνο-γνωστό ως ιερό τρίγωνο- με πλευρές 3, 4, 5 που αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου. (σχ.3β) Το αιγυπτιακό τρίγωνο (του Viollet-le-Duc)- που θεωρήθηκε ως βασικό στοιχείο της χάραξης καθ ύψος στη Notre-Dame αλλά και σε άλλους γοτθικούς ναούςείναι ισοσκελές με αναλογία βάσης προς ύψος 8 : 5, ενώ προέρχεται από δύο τρίγωνα ορθογώνια με σχέση πλευρών y : χ=1.250 και z : χ=1,601. (σχ.3δ) Επίσης το ισοσκελές τρίγωνο με γωνία κορυφής 36 ο, (σχ.3ε) που μελετήθηκε από τους πυθαγορείους, είναι το μόνο ισοσκελές τρίγωνο που παρουσιάζει τη σχέση ΑΓ /ΓΒ =Φ. Εμφανίζεται στο κανονικό δεκάγωνο και στο αστεροειδές πεντάγωνο(πεντάλφα). Το τρίγωνο μάλιστα ΑΒΔ που προκύπτει με τη διχοτόμο της γωνίας Β (ΒΔ=ΑΔ=ΒΓ) είναι το λεγόμενο "υπέροχο τρίγωνο". 36

37 (σχ. 3) 37

38 Στο ισοσκελές τρίγωνο του οποίου το ύψος είναι ίσο με τη βάση, κάθε σκέλος αποτελεί τη διαγώνιο ενός διπλού τετραγώνου και σύμφωνα με τον Lund είναι ένα από τα τρίγωνα που εμφανίζονται στις χαράξεις γοτθικών μνημείων. (σχ.3στ) Το κανονικό εξάγωνο υποδιαιρείται σε έξι ισόπλευρα τρίγωνα (σχ.3ζ) οπότε και μπορεί να σχηματιστεί το εξάγραμμο ή Σφραγίδα του Σολομώντος που εμφανίζεται στην Ιουδαϊκή τέχνη. (σχ.3η) Τέλος το κανονικό πεντάγωνο και το κανονικό δεκάγωνο (των πλευρών των οποίων μας δίνει μια μέθοδο κατασκευής ο Dϋrer απέκτησε πρωτεύουσα σημασία για τους πυθαγόρειους εξ' αιτίας της σχέσης που έχει με αυτά τα πολύγωνα η Χρυσή τομή (Φ). Το πεντάγωνο χρησιμοποιήθηκε σε χαράξεις από ρόδακες Γοτθικών Εκκλησιών και στη Notre-Dame. Αντίστοιχα συναντάμε το δεκάγωνο στη Minerva Medica στη Ρώμη στο μαυσωλείο του Θεοδώριχου στη Ραβέννα σε Ρωμανικές εκκλησίες και αλλού. Σε βυζαντινές εκκλησίες οκταγωνικού τύπου (όπως το Δαφνί) συναντάμε το κανονικό οκτάγωνο ενώ το αστεροειδές οκτάγωνο υπήρξε διακοσμητικό στοιχείο στην Μουσουλμανική τέχνη σχ.4 Μωσαϊκό με αστεροειδές οκτάγωνο, με εξάγωνα πρίσματα περιφερειακά 38

39 Η Χρυσή Τομή στο χώρο σχετίζεται με το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο δύο από τα λεγόμενα (Πλατωνικά Στερεά). Στα έργα τέχνης και ιδιαίτερα στα αρχιτεκτονήματα ωστόσο πρέπει να σημειώσουμε ότι η Χρυσή Τομή ποτέ δεν συναντάται με ακρίβεια χιλιοστού, ενώ οι μετρήσεις μας θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν ως αυθαίρετες ή ανακριβείς δεδομένου ότι εμείς ορίζουμε τα σημεία μέτρησης έτσι ώστε να βρίσκουμε τις αναλογίες που θέλουμε. Αρμονικές χαράξεις στην αρχιτεκτονική Ο ορισμός των αρμονικών χαράξεων όπως τον διατυπώνει Δ.Η. Κωνσταντινίδης είναι: «Χάραξις είς μνημείον ή έργον τέχνης, είναι η ένταξις χαρακτηριστικών σημείων ή γραμμών αυτού εις εν γεωμετρικόν πλέγμα είτε εμφανές, είτε διαπιστούμενο κατόπιν ιδιαζούσης γεωμετρικής διερευνήσεως. Αρμονική δε χάραξις είναι η προσδίδουσα είς το εξεταζόμενον ή δημιουργούμενον έργον αισθητικάς ιδιότητας». Σε αυτήν την φράση ο Κωνσταντινίδης υποστηρίζει ότι η αρμονική χάραξη είναι ικανή να δώσει στο έργο "αισθητικάς ιδιότητας", άποψη που αν χρησιμοποιηθεί σαν συνταγή μπορεί να δώσει λανθασμένες εκτιμήσεις για τις ιδιότητες των αρμονικών χαράξεων όταν δεν έχει προηγηθεί μια "διαλογή" και έρευνα στο υπό εξέταση έργο ή στο υπό κατασκευή δημιούργημα. Είναι αναγκαίο λοιπόν να επισημανθεί ότι ο προβληματισμός γύρω από τις χαράξεις έχει ιδεολογικές και φιλοσοφικές προεκτάσεις, που στο διάβα της ιστορίας της τέχνης και της αρχιτεκτονικής, παρουσιάζεται σε συγκεκριμένες ιστορικές στιγμές κρίσεων και ανακατατάξεων στον χώρο των αισθητικών θεωριών. Είναι εντελώς διαφορετικός ο προβληματισμός της γεωμετρικής κατασκευαστικής συνείδησης" των αρχαίων Αιγυπτίων στα έργα τους από την αναζήτηση της "γεωμετρικής τελειότητας" των αναγεννησιακών μέσα από τις επινοήσεις της τέχνης και της αρχιτεκτονικής τους. Για την κατανόηση αυτών των φαινομένων είναι απαραίτητο να ερευνηθεί όχι μόνο η καθαρά 39

40 καλλιτεχνική παραγωγή αλλά επίσης και η κοινωνική δομή καθώς και οι ιστορικές συνθήκες αυτών των εποχών. Η μία ξεκινά από την παραδοχή της αισθητικής αυτοτέλειας-συμβόλου που σε συνδυασμό με την ανεπτυγμένη μαθηματική επιστήμη μπορεί να δώσει την οντότητα του έργου σε όλες του τις συνιστώσες, ενώ η άλλη ξεκινά από μία βαθύτερη εναλλαγή που από την μεσαιωνική κοινωνία προχωρεί στην "επανάσταση" της αναγέννησης και εκφράζεται πολύμορφα στην προσπάθεια της αναζήτησης της "αισθητικής τελειότητας" και του "κανόνα" μέσα από τις έρευνες των αναγεννησιακών δημιουργών που αναζητούν το ουμανιστικό περιεχόμενο των καλλιτεχνικών εκφράσεων. Εδώ η αναλογία και η γεωμετρία γίνονται τα μέσα για την κατοχύρωση στα έργα της ανθρώπινης κλίμακας και από αυτόν τον προβληματισμό που έχει γενικότερες φιλοσοφικές βάσεις έρχεται να οργανωθεί η αναγεννησιακή κοινωνία και το αισθητικό της κριτήριο. Πολλοί μελετητές ασχολήθηκαν με τις αρμονικές χαράξεις όπως προαναφέραμε, χρησιμοποιώντας διάφορα συστήματα τα οποία αναλυτικά παρουσιάζονται στο σύγγραμμα του Κωνσταντινίδη με αποτέλεσμα να έχουμε τριγωνικές, αναλογικές, με βάση τη διαίρεση της περιφέρειας κύκλου, πολικές κλπ, αυτή όμως η υποδιαίρεση αφορά ακριβώς τη μεθοδολογία που οι διάφοροι ερευνητές χρησιμοποίησαν στην αναζήτησή τους. Είναι πάντως αναμφισβήτητο ότι δεν μπορούμε να μιλάμε για απόλυτη επαλήθευση αυτών των συστημάτων και έτσι αυτά παραμένουν πάντα σε θεωρητικό επίπεδο. Μετά τα παραπάνω πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι για την πληρέστερη κατανόηση του θέματός μας είναι απαραίτητη μια παράλληλη μελέτη των ιστορικών συνθηκών που σαν πλαίσιο περικλείουν την τέχνη και την αρχιτεκτονική όπως και κάθε αναζήτηση στο χώρο της αισθητικής επιστήμης. 40

41 4.ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΙΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Πολλοί συγγραφείς μέσα στους αιώνες έχουν ασχοληθεί με τη μελέτη και την αναζήτηση των αναλογιών και των "μετρικών γεγονότων" στην τέχνη και στην αρχιτεκτονική. Οι θεωρίες των αρμονικών χαράξεων αν και αρχίζουν από το παρελθόν και μάλιστα από το μακρινό παρελθόν, έγιναν ιδιαίτερα επίκαιρες στις αρχές του περασμένου αιώνα και πήραν νέα ώθηση κατά τη διάρκεια του μεσοπολέμου. Δεδομένου ότι εκείνο που προέχει γενικά στην Αρχιτεκτονική, είναι η οργάνωση του αρχιτεκτονήματος με βάση κάποια δομή, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο τα διάφορα στοιχεία που συνιστούν το έργο συνθέτονται, ώστε εκείνο να αποτελεί ένα οργανικό σύνολο, είναι αντιληπτό ότι απαραιτήτως σε κάθε αρχιτεκτόνημα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένας γεωμετρικός τρόπος συνδυασμού αυτών των στοιχείων. Διαφορετικά αν τα στοιχεία που συνθέτουν ένα αρχιτεκτόνημα είναι άτακτα και εκείνο θα είναι καταδικασμένο να καταρρεύσει ή να δίνει την εντύπωση μιας χαώδους κατάστασης. Ήταν εύλογο λοιπόν να τεθεί το ερώτημα από διάφορους ερευνητές αν η γεωμετρική διάταξη που υπάρχει σε διάφορες συνθέσεις είναι αυθαίρετη ή υπακούει σε κάποιο νόμο που αποτελεί την βασική προϋπόθεση της αισθητικής απόδοσης του αρχιτεκτονήματος. Όπως επισημαίνει ο Δ. Κωνσταντινίδης έτσι δημιουργήθηκε η έννοια της αρμονικής χάραξης με την έννοια που δίνεται στον όρο «χάραξη» από τη Γεωμετρία. Για παράδειγμα χαράσσω έναν κύκλο, χαράσσω μια κατασκευή η οποία ενώ έχει καθαρά γεωμετρική υφή, επιφέρει ταυτόχρονα αισθητικά αποτελέσματα. 41

42 Lissisky «Ο Tatlin ενώ εργάζεται» (1916) Δεν είναι τυχαίο λοιπόν το γεγονός ότι κατά την περίοδο του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης ο αρχιτέκτων χαρακτηριζόταν ως GEOMETREUR. Αυτή η αντίληψη ενέπνευσε στις αρχές του περασμένου αιώνα και τον Lissisky στο ζωγραφικό του πίνακα να απεικονίσει τον κονστρουκτιβιστή αρχιτέκτονα Vladimir Tatlin 5, να «γεωμετρεί» το χώρο. Πριν ξεκινήσουμε όμως την ιστορική μας διαδρομή στις αρμονικές χαράξεις, θα πρέπει πρώτα να έχουμε κατά νου ότι οι αρμονικές χαράξεις μπορούν να διακριθούν σε δύο κατηγορίες: εκείνες που είναι «έκδηλες», κατά 5 Ο Βλαντιμίρ Γιεβγκράφοβιτς Τάτλιν (( ) ήταν ζωγράφος και αρχιτέκτονας στην Ρωσία και την ΕΣΣΔ. Μαζί με τον Μάλεβιτς ήταν η μια από τις δυο πιο σημαντικές φιγούρες στο Ρωσικό καλλιτεχνικό κίνημα του 1920, και αργότερα έγινε ο σημαντικότερος καλλιτέχνης στο κίνημα του Κονστρουκτιβισμού. Είναι δε περισσότερο φημισμένος για τις προσπάθειές του να δημιουργήσει τον Πύργο γίγαντα, γνωστό και ως Το Μνημείο της Τρίτης Διεθνούς. 42

43 τον χαρακτηρισμό του Κωνσταντινίδη, και εκείνες που είναι εσωτερικές ή «άδηλες». Ο τελευταίος αναφέρει κάποια ιστορικά παραδείγματα όπου γίνονται αντιληπτές οι έκδηλες αρμονικές χαράξεις, όπως το γνωστό μνημείο APADANA του Δαρείου στην Περσέπολη, με εμφανή τετράγωνη χάραξη, ή τον Παρθενώνα, καθώς και τον καθεδρικό της REIMS. Ο Βιτρούβιος, ο L.B. ALBERTI και αργότερα οι BORISSAVLIEVITCH και M.GHYKA ασχολήθηκαν εμβαθύνοντας αυτά τα προβλήματα καθώς και νεότεροι μελετητές όπως οι S.BAIRATI o LE CORBUSIER και οι 'Έλληνες, Π.Μιχελής, Κωνσταντινίδης, Ν.Μουτσόπουλος, Π.Ξαγοράρης, Κ.Δοξιάδης, Δ.Φατούρος και άλλοι, συμβάλλοντας θετικά στην εξελικτική αναδίφηση αυτών των θεμάτων που ακόμα απασχολούν την επιστήμη της αισθητικής των οπτικών τεχνών και την ίδια την ιστορία της τέχνης και της αρχιτεκτονικής. Ανατρέχοντας στους αρχαίους πολιτισμούς θα δούμε ότι από την μελέτη των πυραμίδων της Αιγύπτου προκύπτουν ορισμένες διαπιστώσεις (π.χ. η κεντρική τομή της μεγάλης πυραμίδος του Χέοπα = διπλό τρίγωνο του PRICE ψ/χ= ξ/ψ= Φ, η τομή της δεύτερης πυραμίδας της Γκίζας παρουσιάζει ένα διπλό "ιερό τρίγωνο" με πλευρές ανάλογες στους αριθμούς 3,4,5, που θα δεχτούν διάφορες ερμηνείες από τους μελετητές). Η σχετική βιβλιογραφία είναι πολύ πλούσια πάνω σε αυτό και τελικά μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν δύο θεωρίες: Η μία που παραδέχεται την ύπαρξη μιας επιστημονικό-μαθηματικής κουλτούρας πολύ υψηλού επιπέδου, ενώ η άλλη υπενθυμίζει την έλλειψη γραπτών στοιχείων που να τεκμηριώνουν αυτήν την άποψη. Βασικά όμως όλες οι μελέτες που δέχονται την ύπαρξη μιας μαθηματικής παιδείας στην Αίγυπτο, βασίζονται στην έρευνες που έγιναν πάνω στην πυραμίδα του Χέοπα ( π. Χ.) και στο μοναδικό κείμενο, τον περίφημο πάπυρο RHIND, που βρίσκεται στο βρετανικό μουσείο. Αλλά και αυτός είναι νεότερος κατά 900 χρόνια από την πυραμίδα του Χέοπα. Όλα αυτά δείχνουν ότι οι επιστημονικές μαρτυρίες είναι πολύ αντιφατικές όταν εξετάζουν αυτά τα προβλήματα. Ο M.GHYKA στο περίφημο βιβλίο του "Esthetique des proportions dans la nature et dans les arts" αφιερώνει ένα ολόκληρο κεφάλαιο πάνω σε αυτό το 43

44 μνημείο, περιλαμβάνοντας όλες τις διάφορες θέσεις των συγγραφέων που εκφράζονται με ενθουσιασμό για τη μεγάλη αρχαία επιστήμη των Αιγυπτίων. Τα προβλήματα είναι διαφορετικά όταν περάσουμε στην ενασχόληση με τους αρχαίους Έλληνες. Εδώ βρίσκουμε αρκετά στοιχεία για να μορφοποιήσουμε μια καθαρή ιδέα του πνευματικού και εκφραστικού κόσμου των Ελλήνων. Βέβαια και εδώ πρέπει να ξεκαθαριστούν οι επηρεασμοί που από παλαιότερους πολιτισμούς έδωσαν στους Έλληνες τη βάση στις αναζητήσεις τους. «Η μελέτη των στοιχείων θα μπορούσε να καταλήξει στο γεγονός, ότι η εξέλιξη της επιστήμης της αρχαίας ελληνικής τέχνης ήταν οπωσδήποτε ένα γεγονός που είχε δεχτεί επηρεασμούς από άλλους πολιτισμούς μα εντελώς πρωτότυπο και ειλικρινές»(c.bairati). Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφερθεί η παραδοχή του Κωνσταντινίδη "πλήρες σκότος τα της νοοτροπίας και των μεθόδων άς εχρησιμοποίουν προς σύνθεση των έργων τους οι καλλιτέχναι..." Πάντως είναι αδιαφιλονίκητο γεγονός ότι και οι Αιγύπτιοι και οι Έλληνες είχαν αναπτύξει πολύ το γεωμετρικό τους ένστικτο μέσα από την ίδια τη φιλοσοφική τους θεώρηση για τη ζωή και τον κόσμο, καθώς επίσης και από το γενικότερο πλαίσιο δομής του αισθητικού κριτηρίου τους. Η ρωμαϊκή εποχή χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη του περίφημου βιβλίου του Βιτρούβιου DE ARCHITECTURA (24 π.χ),, κατά το οποίο γίνεται η εισαγωγή της έννοιας του εμβάτου (modulus) που μέχρι και σήμερα βρίσκει απήχηση στη τέχνη και στην αρχιτεκτονική κατά τη χρησιμοποίηση κατασκευαστικών κανάβων. Αναφερόμενος στην κατασκευή θεάτρου ο Βιτρούβιος προτείνει γεωμετρική χάραξη, θέτοντας ως προϋπόθεση η ορχήστρα να είναι κυκλική και σε αυτή να εγγραφεί δωδεκάγωνο, είτε με τέσσερα τρίγωνα (ρωμαϊκό θέατρο), είτε με τρία τετράγωνα (ελληνικό θέατρο). Οι πλευρές μάλιστα αυτών των σχημάτων κατάλληλα προεκτεινόμενες καθώς και οι κορυφές αν χρησιμοποιηθούν ως αφετηρίες μπορούν να μας δώσουν τα στοιχεία κάθε θεάτρου, σημειώνει ο συγγραφέας. Όπως πολύ σωστά παρατηρεί όμως ο Δ. Κωνσταντινίδης, ο Βιτρούβιος δεν αναφέρεται σε κανένα πραγματικό θέατρο, γιατί δεν υπάρχει θέατρο ούτε ελληνικό ούτε ρωμαϊκό, που να 44

45 ανταποκρίνεται ακριβώς στη χάραξή του. Μάλιστα προχωρά τις μελέτες του και πάνω στις αναλογίες των ναών. Χαράξεις σε αρχαίο θέατρο Φυσικά εκτός από «συμβουλές αναλογιών» για την κατασκευή διαφόρων τύπων κτηρίων, ο Ρωμαίος αρχιτέκτονας μιλά και για «συμμετρία» και για «αναλογίες» με την σημερινή έννοια της λέξης. Παραδέχεται βασικά ότι σε ένα ρωμαϊκό μνημείο, όλα τα μέρη του βρίσκονται σε μία αυστηρή ποσοτική εξάρτηση το ένα από το άλλο. Έτσι με την χρησιμοποίηση του MODULUS που μπορεί να είναι η κάτω ακτίνα, ή η διάμετρος ενός κίονα, ή το πλάτος της τριγλύφου, δημιουργείται ένας γεωμετρικός κάναβος (υποδομή) των απλών αναλογιών ενός ναού, και αποτελεί κατά τον Βιτρούβιο εχέγγυο μιας σωστής αισθητικής κατασκευής. Ο ίδιος δίνει υποδείξεις σχετικά με τις αναλογίες που οι 45

46 Έλληνες έχουν χρησιμοποιήσει τη στιγμή της αρχιτεκτονικής σύνθεσης και του σχεδιασμού. Ωστόσο οι αναλογίες που θαυμάζουμε σήμερα στα αρχαία ελληνικά μνημεία μπορεί να έχουν μια αμφισβητούμενη ερμηνεία. Πάνω σε αυτό το θέμα έχει γραφτεί ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο του C.J.MOE για τους "Αριθμούς του Βιτρούβιου". Βασικά ο συγγραφέας αφού επισημάνει ότι ο μετρικός κάναβος που ο Βιτρούβιος μελετά παρά το γεγονός ότι δεν μπορεί τελικά να εφαρμοστεί με ακρίβεια σε κανένα ναό της κλασικής Ελλάδας, συμπεραίνει ότι με μία αναλυτικότερη μελέτη μπορεί κανείς να βρει από τα γραπτά του στοιχεία εφαρμόσιμα στους κλασσικούς ναούς. Γι αυτό και αναλύει την εξάστυλη δωρική κιονοστοιχία που κατά τον Βιτρούβιο διέπεται από τον αριθμό 27. Ο ΜΟΕ παρατηρεί ότι πάνω από κάθε κίονα υπάρχει ένα τρίγλυφο συν ένα τρίγλυφο ενδιάμεσο. Υπάρχουν γι αυτό έντεκα (11) τρίγλυφα και δέκα(10) μετώπες. Παίρνοντας λοιπόν σαν "σωστό" κάναβο το πλάτος της προσόψεως 46

47 προκύπτει τελικά από 11 τρίγλυφα και από 10 μετώπες αξίας 1,6(11+16=27). Δηλαδή η σχέση μεταξύ του πλάτους της μετόπης και του πλάτους του τριγλύφου είναι 1:1,6 και αυτό είναι ο χρυσός κανόνας. Βέβαια είναι γνωστό ότι στους αρχαιοελληνικούς ναούς το πλάτος της μετόπης είναι πάντα μεταβλητό. Στον Παρθενώνα π.χ. έχουμε σαν μέσο όρο στην σχέση μετόπης : τριγλύφου =1,61 ενώ στο Θησείο η ίδια σχέση είναι 1,59. Άρα και πάλι δεν μπορούμε να μιλήσουμε για σταθερό γεωμετρικό κανόνα με αριθμητική ακρίβεια. Αν ασχοληθούμε με τον Παρθενώνα αναλυτικότερα πρέπει να αναφέρουμε ότι ο ναός αποτυπώθηκε με μεγάλη προσοχή από πολλούς μελετητές και θα ήταν αρκετό να δει κανείς το έργο του MAXIMΕ COLLIGNON για να δικαιολογήσει αυτό που γράφει ο C.BAIRATI, εκτιμώντας την λεπτότητα και την ακρίβεια που χρησιμοποιήθηκε για την μελέτη όλων των σχεδίων του κτηρίου. Η αρχαιότερη μονάδα μέτρησης των Ελλήνων, ο πους φαίνεται να ανήκει στην Αίγινα και να ισούται με 0,327 μέτρα, ενώ ο πους στην αρχαία Αθήνα αυτός που χρησιμοποιήθηκε στην εποχή του Σόλωνα φαίνεται να ισούται με 0,2962 μέτρα (HILL). Ξεκινώντας λοιπόν με αυτές τις πληροφορίες έγιναν από πολλούς μελετητές διάφορες διερευνήσεις. Αρμονική ανάλυση του Παρθενώνα καtά Ηambidge Ένας από τους κυριότερους είναι ο HAMBIDGE, που βασίζει την θεωρία του στην δυναμική συμμετρία και που ασχολήθηκε με την μελέτη της τέχνης και της αρχιτεκτονικής στην αρχαία Ελλάδα. 47

48 Ο Π. Μιχελής γράφει σχετικά με τον HAMBIDGE: «Η θεωρία αυτή, σε αντίθεση με τις άλλες, χαρακτηρίζεται ως δυναμική, γιατί ο HAMBIDGE χωρίζει τα ορθογώνια σε όσα είναι στατικά και σε όσα είναι δυναμικά υποστηρίζει μάλιστα ότι η Αιγυπτιακή και η Ελληνική τέχνη χρησιμοποιούσαν ορθογώνια δυναμικά γιατί από τις μετρήσεις των έργων τους δεν προκύπτουν πουθενά σχέσεις ακέραιων αριθμών. Σύμφωνα μάλιστα με αυτόν χρησιμοποίησαν προπάντων τα δυναμικά ορθογώνια με σχέση πλευρών 5 και Φ». Αρμονική ανάλυση της όψης του Παρθενώνα καtά Ηambidge Milan Προσπάθειες αναζήτησης αρμονικών χαράξεων έγιναν και από τον JOUVAIN στην Αγία Σοφία της Κωνσταντινούπολης για την οποία βέβαια δεν υπάρχει κανένα απολύτως δεδομένο που να αφορά στις χαράξεις από την εποχή της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας. Κατά την εποχή του μεσαίωνα περίφημα είναι τα σχέδια του λευκώματος του αρχιτέκτονα VILLARD DE HONNECOURT, του 13 ου αιώνα που αναφέρονται κυρίως στις μελέτες τους πάνω σε σχέδια ανθρώπων και ζώων όπως και σε διάφορα συμπλέγματα. Εκείνος προσπαθεί με διάφορα γεωμετρικά σχήματα και διαγράμματα τα οποία έχουν σχέση με το πεντάκτινο αστέρι να ερμηνεύσει τα σκαριφήματά του. 48

49 Υποθετική χάραξη στην Αγία Σοφία κατά Jouvain Σπουδαίες είναι οι μελέτες του C.CAESARIANO του περίφημου DUOMO του Μιλάνου, (τομή του ναού) αλλά και αργότερα του RIVIUS πάνω στις τριγωνικές χαράξεις. Ένας άλλος αρχιτέκτονας ο VIOLLET LE DUC επιχείρησε τριγωνική χάραξη σε ένα μεσαιωνικό μνημείο, έναν καθεδρικό ναό, προσπαθώντας στη συνέχεια να τις επαληθεύσει και σε άλλα μνημεία αυτής της περιόδου. Πάντως κατά τον μεσαίωνα η εξελικτική διερεύνηση των χαράξεων είναι πολύ φτωχή όπως μαρτυρεί και ο Δ. Κωνσταντινίδης. Πρέπει να φτάσουμε στην εποχή της Αναγέννησης για να βρούμε πραγματικά ένα τεράστιο πλούτο αλλά και ποικιλία πάνω σε αυτό το αντικείμενο. 49

50 Μελέτη του Duomo του Μιλάνου κατά C.Caesariano Η μελέτη των αναλογιών είναι ένα πρόβλημα που απασχολεί πολύ τους αναγεννησιακούς καλλιτέχνες και ξεκινά ακριβώς από την θέση τους απέναντι στην κοσμογονία και στις Ουμανιστικές επιστήμες. Ένα Βασικό κείμενο της εποχής, γύρω στο τέλος του 13 ου αιώνα, είναι το σύγγραμμα του C.CENNINI γύρω από την ζωγραφική. Στην αρχιτεκτονική της αναγέννησης υιοθετείται όχι μόνο η χρήση μορφολογικών στοιχείων και ρυθμών της ελληνικής αρχαιότητας, αλλά κυρίως εφαρμόζεται η θεωρία των αρμονικών αναλογιών. Πρόκειται δηλαδή για εφαρμογή των αντιλήψεων και δοξασιών που εκφράζονται μέσα από τους διαλόγους του Πλάτωνα και απηχούν τις θεωρίες των πυθαγορείων, καθώς και το σύγγραμμα του Βιτρούβιου. Οι αναγεννησιακοί καλλιτέχνες όπως ο ALBERTI και ο PALLADIO, θα χρησιμοποιήσουν συστηματικά τη θεωρία των αναλογιών ως εργαλείο για τη 50

51 διαμόρφωση του αρχιτεκτονικού χώρου, και αυτό γιατί η τελευταία ήταν σύμφωνη με τις πεποιθήσεις του αναγεννησιακού πνεύματος. Είναι η εποχή που καθιερώνεται η γεωμετρική προοπτική ως μόνη νόμιμη μέθοδος αναπαράστασης στις δύο διαστάσεις, με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί ευνοϊκό κλίμα για την αποδοχή της θεωρίας των αναλογιών, η οποία επιχειρεί να ερμηνεύσει την αρμονία που διέπει τόσο τον μικρόκοσμο (τα μέτρα του ανθρώπινου σώματος), όσο και τον μακρόκοσμο (την κίνηση των ουράνιων σωμάτων), ως συνέπεια απλών αριθμητικών και γεωμετρικών σχέσεων. Τριγωνική χάραξη με βάση το ισόπλευρο τρίγωνο στη πλάγια όψη της ST.CHAPELLE του Παρισιού κατά Viollet-le-Duc Η δημιουργική αναζήτηση πάνω στις αισθητικές θεωρίες που συνοδεύουν αλλά και δικαιολογούν το «γεωμετρικό γεγονός» στην τέχνη, ξεκινούν με τον L.B.ALBERTI ( DE RE AEDIFICATORIA γύρω στο 1450), ο οποίος αν και βασιζόμενος σε εμπειρικές θεωρίες, όπως οι DAVINCI και DURER, προσπαθεί να εξηγήσει ότι για να είναι ένα έργο τέχνης άρτιο, πρέπει προηγουμένως να παρουσιάζει μια «κατάλληλη εκλογή αναλογιών». Με βάση 51

52 αυτό το σκεπτικό ο ALBERTI γράφει σχετικά με την ύπαρξη γεωμετρικών οντοτήτων (LINEAMENTI): «κάθε μορφή και σχήμα μιας οικίας εξαρτώνται από την διαμόρφωση των γραμμών αυτών οι οποίες δεν υποχρεώνονται καθόλου να ακολουθήσουν την ύλη αλλά είναι τέτοιες ώστε να διαπιστώνονται πάντοτε με τον ίδιο τρόπο σε πολλά κτίρια διαφορετικής απόστασης». Αντιλαμβάνεται όμως την ύπαρξη ενός κάποιου γενικού ρυθμικού κανόνα, που συνοδεύει πότε συμμετρικά και πότε ασύμμετρα, κάθε καλλιτεχνική έκφραση, και σημειώνει: «Θα δανειστούμε τους κανόνες μας για τις αρμονικές σχέσεις από τους μουσικούς, στους οποίους αυτό το είδος των αριθμών είναι πασίγνωστο αλλά και από αυτά τα ιδιαίτερα αντικείμενα τα οποία η Φύσις εμφανίζει άριστα και που την συμπληρώνουν». Στο 7ο βιβλίο της πραγματείας του, ο ALBERTI πραγματεύεται το χτίσιμο και τη διακόσμηση της θρησκευτικής αρχιτεκτονικής, ερευνώντας τα επιθυμητά σχήματα για τους ναούς, ξεκινώντας με το εγκώμιο του κύκλου. Όπως αναφέρει ο Wittkover, ο ALBERTI προτείνει ως βασικά γεωμετρικά σχήματα για τις εκκλησίες, εκτός από τον κύκλο, το τετράγωνο, το εξάγωνο, το οκτάγωνο, το δεκάγωνο και το δωδεκάγωνο, που όπως υπογραμμίζει, καθορίζονται από τον κύκλο, εξηγώντας στη συνέχεια πώς μπορεί κανείς να παράξει τα μήκη των πλευρών αυτών των σχημάτων, συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου στον οποίο εγγράφονται. 52

53 Διάγραμμα πρόσοψης S.Maria Novella (Alberti) Αναφερόμενος στο χαρακτήρα της ιδανικής εκκλησίας, ο ALBERTI ξεκαθαρίζει ότι μπορούμε να πετύχουμε την απαράμιλλη ομορφιά, προκειμένου η εκκλησία να είναι το στολίδι όλης της πόλης, βασιζόμενοι σε μία λογική ενσωμάτωση των αναλογιών και των μερών ενός κτιρίου με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μέρος να έχει απόλυτα σταθερό μέγεθος και σχήμα, χωρίς τίποτα να μη μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί, και παράλληλα να μη καταστρέφει την αρμονία του συνόλου. Οι ιδέες του αυτές, προφανώς βασιζόμενες στον Βιτρούβιο, τον οδηγούν στην επιλογή του κύκλου, ως την καταλληλότερη γεωμετρική μορφή, ή στα παραγόμενα από τον κύκλο σχήματα, ενώ δεν παραλείπει να δώσει και συμβουλές για τη γενική εμφάνιση της εκκλησίας και τη διακόσμησή της. 53

54 Andrea Palladio: Σχέδιο για την ανέγερση της La Rotonda Με τον Palladio η εφαρμογή των αρμονικών αναλογιών θα είναι πλήρης, πιο πλούσια και εκλεπτυσμένη, αν και ο ίδιος θα αναγνωρίσει ότι σε κάθε περίπτωση ο αρχιτέκτονας πρέπει να χρησιμοποιεί κυρίως την κρίση του. Ο Α.PALLANTIO θα δικαιώσει τις σκέψεις του ALBERTI, συνθέτοντας πάμπολλα αρχιτεκτονικά έργα όπου είναι εμφανέστατη η προσοχή στον σχεδιασμό των αναλογιών (VILLA MASER, MALCONTENTA, ROTONDA κ.α.), καθώς και μέσα από τα κείμενά του: «I QUATRO LIBRI DELL ARCHITECTTURA» που θα εκδοθούν το 1570 στην Βενετία, προσφέρει πολλά στην έρευνα και στη μελέτη των αναλογιών. 54

55 Η προμετωπίδα του I Quattro libri dell architecttura Την ίδια εποχή με τον Alberti, ο επίσης Φλωρεντινός γλύπτης και αρχιτέκτονας Antonio Averlino γνωστός με το όνομα Filarete, στο σύγγραμμά του Libro architettonico, θα τονίσει ιδιαίτερα την αναλογία του κτιρίου με το ανθρώπινο σώμα, και θα επιχειρήσει την περιγραφή μιας ιδεώδους πολιτείας της "Sforzinda" το σχέδιο της οποίας είναι απόλυτα περίκεντρο, η περίμετρός της πολυγωνική, προκύπτουσα από την αλληλοτομία δύο τετραγώνων, την οποία διασχίζουν δεκαέξι ακτινωτές λεωφόροι οι οποίες με τη σειρά τους συνδέονται με μια κυκλική λεωφόρο στα μέσα τους, ενώ προτείνει τις θέσεις διαφόρων δημόσιων κτισμάτων, πλατειών εκκλησιών και αγορών. 55

56 Γενική άποψη της ιδεώδους πόλης Sforzinda Filarete Με το σχέδιο της Sforzinda ο Filarete δημιούργησε το πρότυπο μιας πολεοδομίας που βρήκε πολλούς μιμητές αν και ήταν ουτοπική. Ο μανιεριστής αρχιτέκτονας, SERLIO, εκδίδει επίσης την πραγματεία του για την αρχιτεκτονική, και είναι ο πρώτος που συνόδευε με υψηλής ποιότητας σχέδια το κείμενό του. Χαρακτηριστικές είναι οι υποδείξεις στο τέλος του πρώτου βιβλίου του, που συνοδεύονταν από σχήμα, ως οδηγό για τη σωστή κατασκευή της πόρτας της εκκλησίας. Ακόμα δεν πρέπει να αγνοήσουμε και τις αναζητήσεις που εκφράστηκαν με τους FRANCESCO BORROMINI και G.GUARINI και που κατέχουν μια θαυμαστή θέση στην αρχιτεκτονική της Ευρώπης την εποχή του μπαρόκ. 56

57 Κατασκευή πόρτας από το πρώτο βιβλίο του Serlio Μια ολόκληρη ομάδα στην Ιταλία αλλά και στη Γαλλία και Αγγλία θα ακολουθήσει τους «μουσικούς κανόνες» μετά την Αναγέννηση, στους 17 ο και 18 ο αιώνες, ένας τρόπος σκέψης και θεώρησης που θα βρει πολλές αντιδράσεις και μέσα σε αυτές εκείνη του γάλλου αρχιτέκτονα και θεωρητικού C.PERRAULT, που δεν παραδέχεται τη μεταφορά των μουσικών αναλογιών στην αρχιτεκτονική λόγω διαφορετικής φυσιολογικής λειτουργίας μεταξύ της ακοής και της οράσεως. Κατά τον 18 ο αιώνα, μέσα στο κλίμα του ρομαντισμού, οι εμπειρικές θεωρίες των αναλογιών και ιδιαίτερα η θέληση μιας κάποιας «ερμηνείας» μέσω της γεωμετρίας των καλλιτεχνικών εκφράσεων σταματούν να παίζουν σημαντικό και πρωτεύοντα ρόλο στις αισθητικές αναζητήσεις. Η κοινωνία του 19 ου αιώνα έχει άλλους προβληματισμούς και οι καλλιτεχνικές της επιδιώξεις αποβλέπουν σε μία «τελειότητα» που δεν βρίσκει μοναδική δικαιολόγηση τη γεωμετρία. 57

58 Στη σύγχρονη εποχή και ιδιαίτερα μετά τη βιομηχανική επανάσταση και τις συνέπειές της για την αρχιτεκτονική και την τέχνη, με τη ραγδαία εξέλιξη, παρατηρούνται μέσα στα μοντέρνα κινήματα τάσεις που μελετούν και ασχολούνται θεωρητικά αλλά και πρακτικά, με το γενικότερο πρόβλημα της σημασίας της γεωμετρίας και των χαράξεων στην τέχνη. Μια από τις χαρακτηριστικότερες εκδηλώσεις του Μοντέρνου Κινήματος είναι η αναβίωση της αναγεννησιακής αισθητικής, με την επάνοδο της θεωρίας των αρμονικών αναλογιών που είναι τώρα πια αποσυνδεμένη από τους κλασικούς ρυθμούς. Κύριος εκφραστής αυτής της αναβίωσης ο Le Corbusier που εκφράζει την πεποίθηση του στη μαθηματική τάξη, και την αναγνωρίζει ως το μόνο μέσο για να αποφύγει κανείς τις παρορμήσεις του Ρομαντισμού που προηγήθηκε. Ο LE CORBUSIER όχι μόνο θα τεκμηριώσει θεωρητικά τις απόψεις του πάνω στις χαράξεις με το περίφημο βιβλίο LE MODULOR αλλά και θα τις εφαρμόσει στα έργα του. Ζωγράφος, αρχιτέκτονας, πολεοδόμος και συγγραφέας, θα εφαρμόσει τις σκέψεις του τόσο στα αρχιτεκτονικά έργα του όσο και στην ζωγραφική, ήδη από το 1916, ενώ θα δώσει στην εξέλιξη της αρχιτεκτονικής και γενικά των τεχνών την ξέχωρα προσωπική δουλειά του. Στον MODULOR o LE CORBUSIER πιστοποιεί ότι δύο είναι οι μαθηματικές δυνατότητες που πρέπει να χρησιμοποιούνται, ο γεωμετρικός τόπος της ορθής γωνίας και η Χρυσή Τομή (με αυτά τα στοιχεία θα προσπαθήσει στα έργα του να λύσει το πρόβλημα «κλίμακα»). Στο βιβλίο του «Vers une architecture», αφιερώνει μια ενότητα στις ρυθμιστικές χαράξεις επισημαίνοντας: 58

59 LE CORBUSIER: Le Modulor "Η ρυθμιστική χάραξη παρέχει σιγουριά απέναντι στην αυθαιρεσία: είναι η πράξη επαλήθευσης που επικυρώνει κάθε έργο το οποίο δημιουργήθηκε με ζήλο, η διαρκής επιβεβαίωση του μαθητή, το όπερ έδει δείξαι του μαθηματικού. Η ρυθμιστική χάραξη προσφέρει ικανοποίηση πνευματικής τάξης, που οδηγεί στην αναζήτηση ευρηματικών και αρμονικών σχέσεων. Προσδίδει στο έργο ευρυθμία(...) Η επιλογή της ρυθμιστικής χάραξης καθορίζει τη θεμελιώδη γεωμετρία του έργου. Προσδιορίζει λοιπόν μία από τις θεμελιώδεις εντυπώσεις. Η επιλογή της ρυθμιστικής χάραξης συνιστά αποφασιστική στιγμή της έμπνευσης, αποτελεί κεφαλαιώδη πράξη της αρχιτεκτονικής". Αναγνωρίζει την ομορφιά έργων της αρχαιότητας και την αποδίδει ακριβώς στην ύπαρξη ρυθμιστικών χαράξεων. (όπως για παράδειγμα η όψη του ναυστάθμου του Πειραιά όπως φαίνεται από σωζόμενο αντίγραφο μαρμάρινης πλάκας, οι διαστάσεις της οποίας καθορίζονται από την ύπαρξη απλών αναλογιών και 59

60 διαιρέσεων, ή η ρυθμιστική χάραξη που προτείνεται από τον Dieulafoy για τους μεγάλους θόλους των Αχαμαινιδών ως μια "εκλεπτυσμένη εφαρμογή της γεωμετρίας" όπως ο ίδιος την χαρακτηρίζει). Χάραξη στους θόλους των Αχαμαινιδών (Dieulafoy) Ο ίδιος μάλιστα χρησιμοποιώντας ως βάση το MODULOR θα προχωρήσει στην εφαρμογή της αναλογίας της χρυσής τομής στην αρχιτεκτονική του και τη διακοσμητική. Η χρήση της χρυσής τομής από τον LE CORBUSIER αρχίζει το 1927 στη Villa Stein στο Garches της οποίας η ορθογώνια αναλογία στο επίπεδο του εδάφους και στο υψόμετρο καθώς επίσης και η εσωτερική δομή του ισογείου σχεδίου, δείχνουν κατά προσέγγιση την χρυσή τομή.. 60

61 Ρυθμιστικές χαράξεις για την έπαυλη στο Garches, Le Corbusier Ο ίδιος ο LE CORBUSIER αποκαλεί την Unite d Habitation (Σύνολο κατοικιών) στη Μασσαλία ( ) μια επίδειξη του συστήματος του MODULOR. Πράγματι το σύνολο κατοικιών στην Μασσαλία είναι ένα παράδειγμα οικοδομής στο οποίο το MODULOR χρησιμοποιήθηκε για να καθοριστούν οι διαστάσεις των αρχιτεκτονικών στοιχείων στην κάτοψη και στην πρόσοψη. Unite d Habitation Μασσαλία, LE CORBUSIER 61

62 Le Corbusier & Pierre Jeanneret, (1923). Κατοικία του κ. Ozenfant 62

63 Στην Ελλάδα η αρχιτεκτονική θεωρία του Le Corbusier θα τύχει ένθερμης υποδοχής, δεδομένου ότι εκφράζει την πεποίθηση πως η αρχιτεκτονική συγκινεί μέσω των αρμονικών σχέσεων, οι οποίες αντανακλούν τη φυσική νομοτέλεια, την κοσμική αρμονία, μια ιδέα που είχε τις ρίζες της στους πυθαγορικής αγωγής πλατωνικούς διαλόγους τον Τίμαιο και τον Φίληβο. Ίσως ο πιο αντιπροσωπευτικός εκφραστής αυτής της ιδέας στον ελλαδικό χώρο ήταν ο Δ. Πικιώνης και αυτήν την ιδέα εξέφρασε στο έργο του. Αρμονική χάραξη για τη διαμόρφωση των προσπελάσεων Φιλοπάππου- Ακρόπολης, , Δ.Πικιώνης (πηγή: Σ. Κονταράτος) Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι την ίδια περίπου εποχή, και υπό το πνεύμα αυτών των αναζητήσεων κάποιοι μελετητές στέκονται σε διαπιστώσεις πάνω στις χαράξεις της βυζαντινής αρχιτεκτονικής όπως ο Ν.Μουτσόπουλος για τους εγγεγραμμένους σταυροειδείς ναούς και Αν. Ορλάνδος για την ξυλόστεγο παλαιοχριστιανική Βασιλική 63

64 Χαράξεις στην εγκάρσια τομή του καθολικού της μονής Καισαριανής κατά Ν.Κ.Μουτσόπουλο 64

65 5. ΟΙ ΘΕΩΡΙΕΣ ΤΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ «Υπάρχουν μαθηματικές σχέσεις-γεωμετρικές χαράξεις ή αριθμητικές αναλογίες που εφαρμόζονται στα έργα Τέχνης, και αν ναι τί επίδραση έχει η χρήση αυτών στην πληρότητα του έργου;» Αυτόν τον προβληματισμό θέτει στο άρθρο του ο αρχιτέκτονας Κ.Δοξιάδης που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό 3ο μάτι στα πλαίσια του αφιερώματος Ο νόμος του αριθμού στη φύση και στην Τέχνη το Το να απαντήσει κανείς σε ένα τέτοιο ερώτημα έχει μεγάλη σημασία για κάθε δημιουργό, είτε αυτός σχεδιάζει έργα που εξυπηρετούν τις πρακτικές ανάγκες των ανθρώπων, είτε είναι καλλιτέχνης (ζωγράφος ή γλύπτης) και ικανοποιεί μόνο το αίσθημα. Βέβαια δεν είναι εύκολο να απαντήσει κάποιος σε αυτό, αν πρώτα δεν επιδοθεί σε μια αναλυτική μελέτη του προβλήματος σε όλες του τις μορφές ιστορική-πρακτική-ψυχολογική-φυσιολογική. Αρχικά γεννήθηκε το ερώτημα: υπήρχαν μαθηματικές σχέσεις στα καλλιτεχνικά έργα των προηγούμενων εποχών; Πρόκειται για μια ερώτηση καθαρά ιστορική με την οποία πολλοί ερευνητές ασχολήθηκαν, μελετώντας τα μνημεία των περασμένων εποχών. Στη συνέχεια προέκυψε ο προβληματισμός: αν πράγματι υπήρχαν αυτές οι σχέσεις τι σημασία είχαν ή τι ρόλο έπαιξαν; Η απάντηση σε αυτό απαιτούσε μελετητές με ικανότητες καλλιτέχνη και ερευνητή, για το λόγο αυτό ήσαν λιγότεροι όσοι ασχολήθηκαν με το συγκεκριμένο θέμα, και οι απαντήσεις που δόθηκαν δεν μπορούν με βεβαιότητα να στηρίξουν μια θεωρία. Πρέπει να σημειωθεί ότι το να αναλύσει κανείς με οποιονδήποτε τρόπο ένα έργο τέχνης ή αρχιτεκτονικής και μάλιστα με ένα σύστημα δικής του επινόησης, έχει τον κίνδυνο εξαγωγής αναληθών συμπερασμάτων, γιατί κανείς δε μας βεβαιώνει ότι ο κατασκευαστής του έργου χρησιμοποίησε την υποτιθέμενη μέθοδο ή ακόμα ότι η αισθητική ευχαρίστηση που εκείνο πιθανόν να προσφέρει, οφείλεται σε χαράξεις που έχουν εφαρμοστεί. 65

66 5.1 Η ΕΡΕΥΝΑ Στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα η έρευνα πάνω στις μαθηματικές σχέσεις και την Τέχνη-Αρχιτεκτονική ήταν πιο έντονη, ολοένα και περισσότεροι ερευνητές ασχολήθηκαν με αυτήν και προχώρησαν σε πιο συγκεκριμένα αποτελέσματα. Οι μελετητές κυρίως επικέντρωσαν την έρευνά τους στην αρχαία ελληνική τέχνη και τον μεσαίωνα. Όσοι επιδόθηκαν σε αυτήν τη μελέτη ακολούθησαν σχεδόν τον ίδιο τρόπο έρευνας, δηλαδή εξέτασαν το καλλιτεχνικό έργο σύμφωνα με τις προβολές του σε ένα επίπεδο, είτε αυτό ήταν αρχιτεκτονικό έργο ή πλαστικό ή ζωγραφικό. Με βάση αυτές τις προβολές οι ερευνητές προσπάθησαν να αναλύσουν και να βρουν αν υπήρχαν μαθηματικές σχέσεις, γεωμετρικές ή αριθμητικές. Κατά τον Δοξιάδη ακριβώς αυτός ο τρόπος έρευνας δημιουργεί αμφιβολίες δεδομένου ότι κάθε εποχή έχει άλλη αντίληψη του χώρου. Παρά το γεγονός πάντως ότι η έρευνα έγινε με τον ίδιο τρόπο από τους ερευνητές τα συμπεράσματα μπορούν να χωριστούν σε δύο διαφορετικές ομάδες. Αν και όλοι συμφωνούν αρχικά ως προς την ύπαρξη μαθηματικών σχέσεων, οι απόψεις διχάζονται ως προς το είδος αυτών. Οι περισσότεροι μελετητές αποδεικνύουν ότι βάση για τον προσδιορισμό της μορφής διαφόρων καλλιτεχνικών έργων, είναι τα απλά γεωμετρικά σχήματα, το τρίγωνο το τετράγωνο τα κανονικά πολύγωνα και οι σχέσεις που αυτά δημιουργούν, σχέσεις που εισάγουν και ασύμμετρους αριθμούς. Υπήρξαν και κάποιοι που αρνούνται την ύπαρξη κάθε γεωμετρικής χάραξης και παραδέχονται ότι η μορφή διαφόρων έργων προσδιορίστηκε σύμφωνα με απλές αριθμητικές αναλογίες μεταξύ δύο αριθμών, που ήσαν πάντα σύμμετροι, και μάλιστα κατά προτίμηση μικρών ακεραίων μεταξύ 1 και ΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΕΣ 5.2.1) Γεωμετρική χάραξη ως κάναβος του έργου α)triangulatur και Quadratur 66

67 Η προφορική αλλά και η γραπτή παράδοση που υπήρχε από τους τεχνίτες του μεσαίωνα, για την Triangulatur και Quandratur (σχ.1) ήταν εκείνη που κυρίως έστρεψε το ενδιαφέρον των καλλιτεχνών σε μια αναζήτηση των γεωμετρικών χαράξεων αρχικά στα Ρωμανικά και Γοτθικά έργα και αργότερα στα δημιουργήματα όλων των άλλων περιόδων του πολιτισμού της ανθρωπότητας. Οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με αυτήν ήσαν οι Baisseree, Viollet, Le Duc de Vοgue και ο Semper. Ο τελευταίος μάλιστα έδωσε ιδιαίτερη σημασία στα κανονικά πολύγωνα και στις αναλογίες που προέρχονται από αυτά. (σχ. 1) Στα 1894 και 1895 ο G. Dehio δημοσιεύει σε δύο μελέτες, τα συμπεράσματα του από την έρευνα με την Triangulatur, σύμφωνα με τις οποίες η βάση όλων των αρχιτεκτονικών μορφών της αρχαιότητας και του μεσαίωνα είναι το ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο με τα διάφορα ύψη του, καθέτους κλπ. σχηματίζει ένα πλέγμα γραμμών, που προσδιορίζει τα σπουδαιότερα σημεία και τις κυριότερες γραμμές των διαφόρων οικοδομημάτων. Αυτός ο αναλογικός 67

68 νόμος εφαρμόστηκε πρώτα στην αρχαία αρχιτεκτονική και ξανά εμφανίζεται στον μεσαίωνα και την αναγέννηση. (σχ. 2) Κάτοψη καθεδρικού ναού Chartres από τον Dehio (λιθογραφία) Το τρίγωνο αυτό το ονομάζει π/4 τρίγωνο, και χρησιμοποιείται από εκείνον περισσότερο, εξαιτίας της παραγωγικότητάς του. Στη συνέχεια και άλλοι μελετητές χρησιμοποίησαν και άλλα απλά τρίγωνα ως πρωταρχικά σχήματα στα διάφορα έργα που μελέτησαν. 68

69 (σχ. 3) Ο Karl Witzel μίλησε για χαράξεις με βάση το ισόπλευρο τρίγωνο, το ισοσκελές με γωνία κορυφής 45 μοίρες και το ισοσκελές τρίγωνο με γωνία κορυφής 36 μοίρες. ΟL.Spitzepjeil πάλι πιστεύει στην Triagulatur με βασικό σχήμα ένα τρίγωνο δικής του επινόησης. Άλλοι πάλι ερευνητές όπως ο J.Haase θεώρησαν πολλά και διαφόρων ειδών τρίγωνα που χρησιμοποιήθηκαν με διάφορους τρόπους από τον ίδιο προκειμένου να πετύχει τις αναλογίες που ήθελε. 69

70 Ο Hauftmann μελέτησε κυρίως τα έργα του τάγματος των Βενεδίκτων και βρήκε σε αυτά σχέσεις με την αρχαιότητα, βασιζόμενος στο τρίγωνο, ενώ αποδεικνύει ότι υπάρχει σε αυτά τα έργα και κοινό μέτρο όλων των μεγεθών ο πους(0,3329μ.). Αντίστοιχη προσπάθεια είναι και εκείνη του I.Knouth ο οποίος διαπιστώνει την ύπαρξη χαράξεων με βάση ένα τρίγωνο που έχει ίση βάση και ύψος. Παρόμοια είναι και η προσπάθεια που έγινε από τον E.Muller αν και αφορούσε χαράξεις σε χρηστικά αντικείμενα και συγκεκριμένα σε έπιπλα. (σχ. 4) Η πιο αντιπροσωπευτική προσπάθεια όμως γίνεται από τον καθηγητή Th.Fischer, ο οποίος μάλιστα υπήρξε και ιδρυτής μιας εταιρείας για την έρευνα των προβλημάτων πάνω στις χαράξεις και για το λόγο αυτό ήρθε σε επαφή με όλους σχεδόν τους παραπάνω ερευνητές. Ο ίδιος όπως φαίνεται από τις δημοσιεύσεις του κατέληξε στην υπόθεση ότι η μαθηματική βάση των αναλογιών αρχικά οφείλετε στην προσπάθεια για τάξη που προήλθε από τεχνικούς λόγους αλλά με την πάροδο του χρόνου έγινε συνειδητά ή υποσυνείδητα μια έκφραση αρμονίας και μάλιστα σύμφωνα με τους κανόνες των απλών αναλογιών οι οποίοι αποτελούν και τις βάσεις της μουσικής. Ειδικά με τις αναλογίες του δωρικού ναού ασχολήθηκε ο ερευνητής Max Raphael. Εκείνος αρχικά μελέτησε τις αναλογίες που εμφανίζονται μεταξύ των τμημάτων του ναού, δηλαδή στο ότι σε 2 κίονες +1 μετακιόνιο αντιστοιχούν 2 μετόπες+3 τρίγλυφοι, σε 2 κίονες αντιστοιχούν 5 προμόχθοι κτλ. Με αυτές τις απλές αναλογίες όχι μεγεθών, αλλά πλήθους αντιστοιχούντων μελών, δίνεται 70

71 ρυθμός στα τμήματα του ναού και έτσι συνδέονται τα τμήματα και αποτελούν το σύνολο κατά την Ηρακλείτεια ρήση : και εκ πάντων το έν, και εξ ενός τα πάντα. Ο ίδιος πίστευε ότι σε κάθε δωρικό ναό υπήρχε μια αυστηρά εφαρμοσμένη γεωμετρική κατασκευή, μέσω της χρήσης μερικών σχημάτων τα οποία με διαφορετική τάξη εμφανίζονται σε όλους τους ναούς. Στο σχήμα 4 φαίνεται το κεντρικό τρίγωνο που έχει γωνίες 30 και 75 και το ονομάζει τρίγωνο της χρυσής τομής, ενώ χαράζοντας συνεχείς καθέτους στις πλευρές του, βρίσκει διάφορα ύψη, προσδιορίζει άξονες κιόνων και χαράσσει κίονες. Υποστηρίζει μάλιστα ότι η μέθοδος αυτή είναι πλήρης αφού βασίζεται στο τρίγωνο, δηλαδή τη μορφή που εμφανίζεται στο δωρικό ναό, γιατί ορίζει όλα τα σημεία της κάτοψης και της πρόσοψης, γιατί έχει ενότητα και διατηρεί την παράδοση (δηλαδή τα ίδια στοιχεία, με διαφορετική τάξη εφαρμόζονται σε όλους τους ναούς). Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι η παραπάνω άποψη δεν επαληθεύεται από την έρευνα, μιας και όχι μόνο το τρίγωνο στο οποίο βασίστηκε, δεν είναι το τρίγωνο της χρυσής τομής (θα έπρεπε να έχει γωνίες 36 και 72 μοιρών), αλλά και από την ίδια την κατασκευή, δεν προσδιορίζονται όλα τα σημεία του ναού. Άλλωστε τη μέθοδό του την εφαρμόζει σε τρείς μόνο ναούς και εκεί ακόμα πολλές φορές τα δεδομένα του από την χάραξη απέχουν τόσο, ώστε αναγκάζεται να μιλήσει για εσκεμμένες διαφορές μεταξύ των γεωμετρικών και των αριθμητικών δεδομένων, (που σκοπό είχαν να προσδώσουν ζωή στο έργο), προκειμένου να δικαιολογήσει αυτές τις αποκλίσεις. 71

72 β) Ο κύκλος και τα κανονικά πολύγωνα Υπήρξαν κάποιοι άλλοι ερευνητές που αναζήτησαν τον κύκλο και τα εγγεγραμμένα πολύγωνα ως αφετηρία σε όλες τις κατασκευές, από τους οποίους οι σημαντικότεροι είναι ο P.O.Wolff και λίγο αργότερα ο Mossel. O Wolff δημοσίευσε το 1912, την μελέτη του για τους νόμους των αναλογιών στα αρχαία παλαιοχριστιανικά ιερά, εργαζόμενος συνήθως με τα αστεροειδή που γεννώνται από διπλασιασμό του ισόπλευρου τριγώνου (σχ. 5). Είναι ο μόνος μελετητής που θεωρεί το αισθητικό μέρος των χαράξεων ως το σπουδαιότερο, σε αντίθεση με τους άλλους οι οποίοι το θεωρούν ως δευτερεύον και δίνουν βαρύτητα στο τεχνικό μέρος. Δεν υποστήριξε όμως την άποψή του αρκετά. (σχ. 5) Μερικά χρόνια αργότερα το 1915 ο μηχανικός Mossel, ανακοινώνει την πρώτη του μελέτη πάνω στο θέμα αυτό. Μπορούμε να πούμε ότι εκείνος υπερέχει έναντι των άλλων ερευνητών, γιατί είναι ο επιστημονικότερος από όλους τους προηγούμενους, κάνοντας σκοπό της ζωής του τη μελέτη αυτή. Ασχολήθηκε με όλες τις εποχές της ανθρώπινης δημιουργίας και δεν αρκέστηκε σε απλές σχεδιαστικές δοκιμές, που επιτρέπουν μεγάλη ανακρίβεια, αλλά με πραγματικό σύστημα έκανε όλους τους αναγκαίους αριθμητικούς υπολογισμούς έτσι ώστε τα δεδομένα του να χαρακτηρίζονται από μεγάλη ακρίβεια. Τα δύο 72

73 βιβλία του Η αναλογία στην αρχαιότητα και στον μεσαίωνα που εκδόθηκε το 1926, και το Οι πρωτογενείς μορφές του χώρου ως βάσις της διαμορφώσεως το 1931, δίνουν μια πλήρη εικόνα των συμπερασμάτων του. Αυτά τα συμπεράσματα μπορούν να συνοψισθούν στις παρακάτω προτάσεις : 1) Οι σχέσεις και οι αναλογίες στα αρχιτεκτονικά και γλυπτικά έργα από την εποχή του αιγυπτιακού πολιτισμού μέχρι το τέλος του μεσαίωνα είναι προσδιορισμένες σύμφωνα με ένα ορισμένο σύστημα. 2) Αυτό το σύστημα είναι κατά γενικό κανόνα γεωμετρικής φύσης. Προέρχεται από τη διαίρεση του κύκλου σε 4,5,6,7,8 και 10 ίσα τμήματα, από την οποία γεννώνται συστήματα τριγώνων, ορθογωνίων, πολυγώνων, αστεροειδών, τα οποία σχηματίζουν δικτυωτές μορφές και αποτελούν τη βάση για τη μορφή των αρχιτεκτονικών και γλυπτικών έργων. 3) Όσα συστήματα είχαν βρεθεί από άλλους ερευνητές, στην αρχιτεκτονική και τη γλυπτική, όπως το σύστημα των τετραγώνων και των τριγώνων, είναι απόρροια του συστήματος της διαίρεσης του κύκλου, ενώ το σύστημα της δισδιάστατης γεωμετρικής αναλογίας του Thiersch,είναι επίσης ένα φυσικό αποτέλεσμα του ίδιου συστήματος της (γεωμετρίας του κύκλου) 4) Αυτή η γεωμετρία που εμφανίζεται στο επίπεδο -κάτοψη και όψειςμπορεί να θεωρηθεί ως απήχηση της γεωμετρίας του χώρου. Οι διαιρέσεις του κύκλου που προαναφέρθηκαν εμφανίζονται στις προβολές των 5 κανονικών πολυέδρων που εγγράφονται στη σφαίρα (του Τετράεδρου, Εξάεδρου, Οκτάεδρου, Δωδεκάεδρου και Εικοσάεδρου) στο επίπεδο. Είναι τα λεγόμενα πλατωνικά στερεά τα οποία στην αρχαιότητα αλλά και στο μεσαίωνα έπαιξαν τόσο σπουδαίο ρόλο. 5) Οι αριθμητικές αναλογίες που συχνά εμφανίζονται προέρχονται από τις γεωμετρικές που είναι και οι πρωτογενείς. Για απλούστευση της εργασίας κατά την εκτέλεση των έργων αντί γεωμετρικών χαράξεων εφαρμόζονται αριθμοί και σειρές αριθμών. 6) Μετά τον μεσαίωνα, δηλαδή στη νεώτερη εποχή χρησιμοποιήθηκαν και γεωμετρικές αναλογίες, οι οποίες όμως κατά την εποχή της αναγέννησης 73

74 εμφανίζονται υπό μορφή αριθμητικών αναλογιών και ακριβώς από αυτή τη μετάβαση από τη φανερή τεχνική κατασκευή (Γεωμετρία) σε μία παράλογη μέθοδο(αριθμός), χάθηκε η πρωτογενής ειδική σημασία της γεωμετρικής αναλογίας. 7) Επειδή οι όψεις οι κατόψεις και οι άλλες αρχιτεκτονικές λεπτομέρειες προσδιορίζονται από τη γεωμετρική κατασκευή με όμοιο τρόπο υπάρχει μια ομοιογενής τάξη των αρχιτεκτονικών στοιχείων δηλαδή των περιεχομένων μεγεθών του χώρου, από τα οποία γεννάται και η γεωμετρική ομοιότητα των τμημάτων ενός οικοδομήματος, μεταξύ των και προς το σύνολο. 8) Οι γεωμετρικοί κανόνες προσδιορίζουν εκτός των όψεων, κατόψεων, και των αρχιτεκτονικών λεπτομερειών, ακόμα και τα έργα της λεγόμενης ελεύθερης τέχνης, εφόσον αυτά συντείνουν στην έκφραση του πνεύματος της αρχιτεκτονικής (αετώματα αρχαίων ναών, τύμπανα μεσαιωνικών θυρών). 9) Η γεωμετρία του κύκλου γεννήθηκε στους αρχαιότερους πολιτισμούς και εξελίχθηκε πιθανώς από την αλληλεπίδραση απλών τεχνικών κατασκευών συνδυασμένων με την πρώτη αστρονομική πείρα. Η γεωμετρική κατασκευή μεταδόθηκε από γενιά σε γενιά και εφαρμόστηκε πολλές φορές ως νόμος του οποίου ήταν άγνωστη η σημασία., ενώ δεν γινόταν αριθμητικός υπολογισμός από τους κατασκευαστές. 10) Αρχικά η γεωμετρία του κύκλου δεν είχε ως σκοπό την αισθητική αλλά αυτό εμφανίζεται αργότερα 74

75 (σχ. 6) Οι παραπάνω κανόνες ουσιαστικά μιλούν για την τάξη που επιβάλλεται μέσω των μαθηματικών, ως αντίθεση στην αυθαιρεσία, με την έννοια που οι Έλληνες έθεταν τον κόσμο έναντι στο χάος και το πέρας έναντι του απείρου. Σχετικά με τη γέννηση του συστήματος οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι η γεωμετρική κατασκευή γεννήθηκε στον τόπο της εκτέλεσης της οικοδομής και μετά μεταδόθηκε στο σχέδιο υπό κλίμακα. Ο Mossel θεώρησε ότι η γεωμετρική κατασκευή αρχικά γινόταν στην κάτοψη και χαρασσόταν με πασσάλους και σχοινιά στο έδαφος, ενώ αργότερα μεταδόθηκε και στην πρόσοψη. Μια τέτοια δυνατότητα χάραξης και της πρόσοψης με πασσάλους και σχοινιά υπάρχει στους μικρασιατικούς τάφους που είναι σκαλισμένοι στο βράχο. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή στη συνέχεια η γεωμετρική κατασκευή μεταδόθηκε και σε μεγάλα κομμάτια όπως τους κίονες τα κιονόκρανα το θριγκό κλπ, αργότερα σε γλυπτικά τμήματα συνδεδεμένα με την αρχιτεκτονική ιδέα και τέλος και σε άσχετα με την αρχιτεκτονική έργα. (σχ.6) 75

76 Κατά τον Mossel το παραπάνω σύστημα εμφανίστηκε τους προϊστορικούς χρόνους και εξελίχθηκε ως σήμερα. Σαφώς επηρέασαν την εξέλιξή του και την (σχ. 7) επικράτησή του και οι αστρονομικές παρατηρήσεις. Επειδή η αστρονομία και οι υποθέσεις της αποτελούσαν μέρος της θρησκείας σε κάθε αρχαία πίστη, τα γεωμετρικά σχήματα που βοήθησαν την αστρονομία κατά τον Mossel, πήραν θρησκευτική σημασία. Δηλαδή η πρωτόγονη γεωμετρία του κύκλου εμφανίζεται στην αστρονομία, και μετά στους θρησκευτικούς τύπους και όπου αυτοί εμφανίζονται σε οικοδομήματα, χρησιμοποιούν την γεωμετρία αρχικά στην κάτοψη, και έπειτα στην πρόσοψη και στις λεπτομέρειες, όπως για παράδειγμα ο βωμός των πρωτοχριστιανικών βασιλικών, ήταν κέντρο και αφετηρία για τη διαμόρφωση του χώρου. 76

77 Στον Ελληνικό πολιτισμό το σύστημα των αναλογιών ήταν στενά συνδεδεμένο με τις κοσμογονικές αντιλήψεις και την αντίληψη περί τέχνης, άλλωστε είναι χαρακτηριστικά τα λόγια του Πλάτωνα : Αν κανείς αφαιρέσει από την Τέχνη την αριθμητική και τη μετρική τότε θα μείνει ένα πολύ φτωχό υπόλειμμα. Ο Mossel, λοιπόν σύμφωνα με την παραπάνω θεωρία, πρακτικά κατέληξε στο να βγάλει σχ. 8: προσδιορισμός κάτοψης και όψης ιδεατού εξάστυλου δωρικού ναού με χάραξη από τη διαίρεση κύκλου. Ανάλυση Mossel κάποιους τύπους γεωμετρικών κατασκευών για διάφορες εποχές και διάφορα κτίρια. Προσπάθησε μάλιστα να εξηγήσει την αισθητική αξία του συστήματος των αρμονικών χαράξεων, σε αντίθεση με τους περισσότερους άλλους ερευνητές όπως φαίνεται και από τα σχέδια 7 & 8. 77

78 Συνοψίζοντας τις απόψεις του θα μπορούσαμε να διατυπώσουμε τις ακόλουθες προτάσεις : (α) βεβαιώνεται το γεγονός της ύπαρξης χαράξεων (β) όλα τα αρχαία έργα έγιναν βάσει χαράξεων και (γ) όλα αυτά μας ικανοποιούν αισθητικά. Ο Mossel βέβαια παρατηρεί ότι δεν είναι δυνατόν η αισθητική τελειότητα να είναι αποτέλεσμα μόνο της γεωμετρικής χάραξης, παρά είναι μία από τις πολλές προϋποθέσεις που συντελεί προς αυτήν την κατεύθυνση. Όπως μάλιστα επισημαίνει η γεωμετρική χάραξη μόνη της θα καθιστούσε την γεωμετρική κατασκευή, απλή γεωμετρία. Έτσι η σταθερότητα της εξέλιξης και η διάρκεια της κυριαρχίας των αρχαίων μορφών, οφείλεται κατά πολύ στην επίδραση του γεωμετρικού νόμου, της γεωμετρίας. Σε ό,τι αφορά την αισθητική αξία θεωρεί ότι τα στοιχεία που διαμορφώνουν το χώρο είναι ορισμένα γεωμετρικά μεγέθη και η τοποθέτησή τους σε αυτόν χωρίζει από το Χάος τμήματα που με τη σειρά τους δέχονται πάλι χωρισμό και διαμόρφωση. Ό,τι αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι οι αναλογίες, οι οποίες εμφανίζονται στη δισδιάστατη εικόνα που αυτός αντιλαμβάνεται. Τα γεωμετρικά στοιχεία τα συνδέει η τάξη, όταν υπάρχει ένα κέντρο και γύρω του επικρατεί μια γεωμετρική διαίρεση του χώρου. Στο ερώτημα μάλιστα γιατί η ψυχή συγκινείται όταν υπάρχει αυτή η τάξη, η θεωρία του Mossel συμφωνεί με τα λόγια του Kepler : «Η αντίληψη της μουσικής και η αντίδραση που αυτή προκαλεί βασίζεται στη σύγκριση με την πρωτόγονη (αρχέτυπη) αρμονία που υπάρχει εξ αρχής στην ψυχή της Γης καθώς και του κάθε ατόμου». Κατά τον Kepler «η αρμονία προέρχεται από τον Θεό που την ενεφύσηξε σε κάθε ψυχή. Οι αρμονίες που σχετίζονται με τη ψυχή είναι κύκλοι και τμήματα κύκλου που έχουν τμηθεί από κανονικά σώματα. Η αρχή από την οποία γεννιόνται οι αρμονίες είναι ο κύκλος, εφόσον η έννοιά του είναι καθαρή από καθετί υλικό και αισθητό. Οι απλές ιδέες και μορφές της Αρμονίας είναι πρωταρχικές. Έτσι και κάποιος που δεν είναι μορφωμένος μπορεί να καταλάβει την μουσική γιατί οι ψυχές πηγάζουν από την ίδια αρχή με τον κύκλο. 78

79 Ως συμπέρασμα λοιπόν θα λέγαμε ότι το Έξω εμφανίζεται και γίνεται αντιληπτό, συγκρίνεται και βρίσκεται σύμφωνο με το Έσω. Η ψυχική αντίδραση που εμφανίζεται στο Έσω είναι το αποτέλεσμα αυτής της σύγκρισης». Ο Kepler φτάνει έτσι στη δυάδα του Εσω και του Έξω, ώστε κάθε μορφή που έχει σημασία για τον άνθρωπο γεννιέται από τη δυάδα της λογικήςορθοφροσύνης και της υλικότητας- του αισθητού. Όταν δημιουργεί ο άνθρωπος συνεργούν τόσο η Λογική (ορθογωνισμός, συμμετρία, κύκλος, σφαίρα, κανονικά πολύεδρα, γεωμετρικός χώρος), όσο και το Αισθητό (το στοιχείο που ο άνθρωπος προσλαμβάνει με τις αισθήσεις του από τον εξωτερικό κόσμο). Η φύση προσφέρει στις αισθήσεις το υλικό, και ο άνθρωπος το διαμορφώνει με τη δύναμη της λογικής. Όταν ο πρωτόγονος άνθρωπος χτίζει τις καλύβες του ως κανονικά σώματα δεν τον οδηγεί σε αυτό η σκοπιμότητα αλλά υποσυνείδητα η δύναμη της Λογικής, και είναι εκείνη που τα συνδέει όλα σε ένα, στην Ιδέα η οποία αν και χωρίς υλική μορφή περιέχεται σε οποιαδήποτε από αυτές. Όποιος θέλει να καταλάβει τη μορφή και να μάθει τη δύναμή της πρέπει να διακρίνει την Ιδέα που κρύβεται μέσα της. Εδώ επιστρέφουμε στα λόγια του Πλάτωνα: «Τώρα δε δοκιμάζω να μιλήσω, όπως θα νομίζουν πολλοί, για την ομορφιά των σχημάτων λ.χ. των ζωντανών πλασμάτων και των εικόνων των ζωγράφων, αλλά αν θέλεις να μάθεις, μιλώ για τις ευθείες γραμμές και για τους κύκλους, και με αυτά εννοώ και εκείνα που γίνονται με τον τόρνο, τα επίπεδα και τα στερεά, και αυτά που σχεδιάζονται με το χάρακα και το γωνιόγραμμα. Γιατί αυτά τα σχήματα δεν είναι ωραία σε σχέση με τα άλλα, αλλά είναι ωραία αυτά καθ αυτά.» Κάπως έτσι προσπαθεί ο Mossel να εξηγήσει το αισθητικό πρόβλημα που δημιουργείται από όλο αυτό το ζήτημα, με αποτέλεσμα να οδηγείται στην παραδοχή ότι εκτός από τη φύση χρειάζεται και η δράση της λογικής του Έσω, για τη δημιουργία της Τέχνης. 79

80 Παραμένουν όμως έπειτα από όλα αυτά αναπάντητα τα ερωτήματα: γιατί μόνο οι κατασκευές που μελετήθηκαν να είναι δημιουργήματα της λογικής του Έσω, γιατί αφού πρόκειται για ένα κεντρικό σύστημα, ένα σημείο χωρίς υλική υπόσταση και σημασία να είναι πολλές φορές το κέντρο, και πώς προσδιορίζεται αυτό το κέντρο; (σχ. 9) γ) Η ομοιότητα επίπεδων σχημάτων Εκτός από τις προηγούμενες θεωρίες που προσπάθησαν να αναγάγουν όλα τα έργα τέχνης στο τρίγωνο στο τετράγωνο και στον κύκλο, με τις οποίες ασχολήθηκε το σύνολο των ερευνητών, εμφανίστηκαν σποραδικά και επιστήμονες που υποστήριξαν άλλες θεωρίες με εντελώς διαφορετικές βάσεις. Οι πιο χαρακτηριστικές από αυτές είναι δύο: η θεωρία για την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και η θεωρία για τις αναλογίες εμβαδών.(σχ. 9) 80

81 (σχ.10) Ο August Thiersch, μελέτησε Αιγυπτιακά, Ελληνικά, Ρωμαϊκά κτίρια καθώς και κτίρια της Αναγέννησης και των νεώτερων χρόνων. Τα συμπεράσματά του τα εξέδωσε σε ένα βιβλίο με τίτλο: Αναλογίες στην Αρχιτεκτονική. Προσπάθεια για μια Αναγέννηση της Θεωρίας των Αναλογιών. Εκείνος κατέληξε στο παρακάτω βασικό συμπέρασμα : Η Αναλογία των πλευρών ενός ορθογωνίου α : β δεν παίζει κανένα ρόλο όπως πιστεύουν άλλοι ερευνητές, αλλά μόνο μέσα από την επανάληψη α : β = γ : δ, γεννάται αναλογία. Αυτή μάλιστα δεν είναι τυχαία αλλά εφαρμόστηκε ενσυνείδητα σε όλες τις εποχές για αισθητικούς λόγους. Η ομοιότητα αυτή που αναφέρει ο Thiersch, είναι δισδιάστατη και εμφανίζεται όταν ορισμένα ορθογώνια ενός οικοδομήματος έχουν ανάλογες πλευρές, και δεν έχει καμία σχέση με τη μονοδιάστατη αναλογία. Έτσι λοιπόν για τον Thiersch, η αναλογία στην Αρχιτεκτονική είναι η ομοιότητα επίπεδων σχημάτων (σχ.10). Αν και η θεωρία αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι όμοια ορθογώνια μπορούν να γίνουν ευκολότερα αντιληπτά και να τονίσουν περισσότερο τη σχέση των μεγεθών τους, από ερευνητική άποψη δεν μας πείθει, αφού ο προσδιορισμός των περάτων των διαφόρων ορθογωνίων δεν είναι καθόλου ακριβής και επιτρέπει μεγάλη ελαστικότητα και παραδοχές.(σχ.11) 81

82 (σχ. 11) δ) Αναλογίες εμβαδών Σε άλλη βάση κινείται η θεωρία του Jay Hambidge, που στηρίζεται στην παραδοχή ότι ναι μεν οι αναλογίες των επιφανειών έχουν σημασία, όχι όμως των μορφών τους- όπως υποστήριζε ο Thiersch- αλλά των μεγεθών τους. Ο Hambidge μελέτησε τους αρχαίους ελληνικούς ναούς και τα συμπεράσματά του τα εξέδωσε το 1924 στη μελέτη του με τον τίτλο : Ο Παρθενών και άλλοι Ελληνικοί ναοί. Η Δυναμική τους Συμμετρία. Εκεί υποστηρίζει ότι οι αρχαίοι Έλληνες εφάρμοζαν τόσο τη γεωμετρική όσο και την αριθμητική αναλογία. Θεωρεί σημαντικό όχι την ύπαρξη απλής αναλογίας μεταξύ των δύο διαστάσεων (με τη μονοδιάστατη δηλαδή έννοια), αλλά την ύπαρξη αναλογικών τετραγώνων, εάν οι ναοί είναι δηλαδή δυνάμει σύμμετροι κατά τους αρχαίους Έλληνες. Την ίδια Δυναμική Συμμετρία την ξαναβλέπουμε στον Μεσαίωνα και την Αναγέννηση στον Μιχαήλ Άγγελο και τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ενώ αυτή 82

83 που ονομάζουμε Στατική Συμμετρία είναι χαρακτηριστικό των Ρωμαίων. (Βιτρούβιος) Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε την πρόσοψη του Παρθενώνα, και σε αυτή χαράξουμε το ορθογώνιο των μέγιστων διαστάσεων, ύψους και μήκους, μέσα σε αυτό ορίζονται οι κυριότερες οριζόντιες διαιρέσεις. 1) η βάση του αετώματος 2) η γραμμή των κορυφών των κιόνων 3) η γραμμή του στυλοβάτη. Έτσι η πρόσοψη χωρίζεται σε 4 τμήματα ( αέτωμα, θριγκός, κίονας και βάση). Η κυριότερη από τις διαιρέσεις είναι η μεσαία, μεταξύ φέροντος μέρους και φερομένου. Η ευθεία ΑΒ χωρίζει όλο το ορθογώνιο σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή κατά τη χρυσή τομή.(σχ.12) (σχ.12) Στη συνέχεια προσδιορίζεται το F με τις γνωστές ευθείες CD και AE και τέλος ο στυλοβάτης. Η ευθεία GH έχει έτσι χαραχθεί ώστε GR : RΗ να είναι 83

84 1:2*0,618 δηλαδή η διαγώνιος δύο συνεχόμενων ορθογωνίων της χρυσής τομής. Έτσι προσδιορίζεται το σημείο Κ και επομένως ο στυλοβάτης. Μέσω του προσδιορισμού και των σημείων N και Ο προσδιορίζονται οι άξονες των μεταξονίων και έτσι οι άξονες των μεσαίων κιόνων. Με τα σημεία S και T βρίσκονται και οι άξονες των άκρων κιόνων. Ο ίδιος ο Hambidge θεωρούσε ως πρακτικά προτερήματα της θεωρίας του τα παρακάτω: α) εύκολα μπορούσε να κατασκευάσει κανείς μοντέλα του κτιρίου ή μερών αυτού υπό κλίμακα, με μεγάλη ακρίβεια και β) ο υπολογισμός όλων των μερών του ναού ήταν εύκολος πριν την κατασκευή του. Αυτά όμως δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι διαφοροποιούνται σε σχέση με εκείνα των άλλων θεωριών, αλλά οφείλουμε να αναγνωρίσουμε ότι το ιδιαίτερο πλεονέκτημά του είναι, πως οι σχέσεις επιφανειών μπορούν να έχουν αισθητική σημασία, αν μάλιστα τα συνδυάσουμε με τις γνώσεις περί φωτεινότητας επιφανειών, έντασης χρωμάτων κ.τ.λ. στην εποχή μας. Όμως η έρευνα του Hambidge περιορίστηκε μόνο στον Παρθενώνα και σε δύο άλλους ναούς των οποίων μάλιστα δε δημοσίευσε ούτε σχέδια, και έτσι δε μας έδωσε τόσο υλικό μελετημένο ώστε να βασιστούμε με βεβαιότητα στα συμπεράσματά του ) Η αριθμητική αναλογία Υπήρξαν και λίγοι ερευνητές που ήσαν υπέρμαχοι των αριθμητικών χαράξεων και κατά των γεωμετρικών χαράξεων και της χρήσης των ασύμμετρων αριθμών. Αυτοί περιόρισαν τις μελέτες τους κυρίως στην Ελληνική Αρχιτεκτονική και πρόκειται για τους W.Watkiss Lloyd και τον Max Theuer. Ο πρώτος μελέτησε τον Παρθενώνα και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο Αρχιτέκτονας εφάρμοσε δύο σειρές αναλογιών, και ο δεύτερος μελετώντας πάλι ελληνικά έργα βρίσκει ότι παντού το μέτρο είναι ο πους, υπολόγισε μάλιστα μέχρι 1/5 του ποδός τις αναλογίες. Κατά τον Theuer, βασική απαίτηση στη μελέτη του αρχιτεκτονικού έργου από τους αρχαίους Έλληνες είναι η δημιουργία αναλογιών. Από τις αναλογίες κυριαρχείται η διάταξη όχι μόνο των κατόψεων αλλά και των προσόψεων και 84

85 μέσω αυτών και του χώρου. Η αντίληψη του χώρου στους αρχαίους Έλληνες είναι συνδεδεμένη με το σύμμετρο του αρχιτεκτονικού σώματος, το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από τα τμήματά του, τα οποία βρίσκονται σε απλές σχέσεις προς αυτό και μεταξύ τους. Έτσι -σύμφωνα με αυτή τη θεωρία -εξηγείται ότι ο θόλος( η κύρτωση) δεν είναι στοιχείο ελληνικό, λόγω της ασυμμετρίας του. Συμπερασματικά λοιπόν μπορούμε να αναγνωρίσουμε στον Theuer και τη θεωρία του ότι αναγνωρίζει ως λάθος το να μιλά κανείς για καλές αναλογίες αναφερόμενος σε αναλογίες ύψους προς διάμετρο κίονα. Όπως παρατηρεί αυτές δεν είναι αναλογίες αλλά σχέσεις. Αναλογία κατά την αρχαία ελληνική έννοια έχουμε όταν συγκρίνουμε δύο σχέσεις 2 αριθμών, και όχι όταν σχετίζουμε δύο σχετικά μεγέθη με δύο απόλυτα, μόνο τότε άλλωστε μπορεί να προκύψει και αισθητική αναλογία. Τελικά επομένως ο Theuer συμφωνεί με τη θεωρία του Thiersch αν και ο πρώτος ξεκινάει από αριθμητική βάση. Η θεωρία του λοιπόν έρχεται ως μια επανάληψη της θεωρίας του Thiersch, με μία πιο προσεκτική μελέτη της ελληνικής αρχιτεκτονικής και προσδιορισμό αυτής μέσα από αριθμητικούςs υπολογισμούς. 5.3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Κατά τον Κ. Δοξιάδη «καμία από τις προσπάθειες που αναφέρθηκαν δεν είναι πλήρως ικανοποιητική ούτε καν η επιστημονικότερη από αυτές. Την άποψη αυτή τη στηρίζει στο γεγονός ότι καμία δεν εξέτασε τα διάφορα έργα ως σύνολα, και πάντα εκείνα παρουσιάζονταν σε διάφορες προβολές και μάλιστα πάντοτε κομματιαστά, χωρίς να συνδυάζεται η κάτοψη με την πρόσοψη και εκείνες με τη σειρά τους με τις λεπτομέρειες, για να ερευνηθεί αν πράγματι υπάγονται στο ίδιο μαθηματικό σύνολο, όπως συχνά τονίζεται χωρίς όμως να αποδεικνύεται.» Στο ερώτημα αν οι μαθηματικοί νόμοι εφαρμόζονται συνειδητά και εκείνοι δημιουργούν τέχνη, ή πίσω από κάθε μορφή τέχνης που δημιουργείται χωρίς μαθηματικό υπολογισμό κρύβεται ένας μαθηματικός νόμος, που επέδρασε υποσυνείδητα στον τεχνίτη, κυριάρχησε στην εποχή του και εμφανίζεται σε όλες του τις εκδηλώσεις, κανείς δεν έδωσε απάντηση. Προφανώς ένα τέτοιο σύστημα 85

86 δεν μπορεί να γεννήθηκε απότομα, ούτε αρχικά να εφαρμόστηκε από ένα μόνο άνθρωπο, τον εφευρέτη, αλλά εκείνο γεννήθηκε σιγά- σιγά όπως γεννιόνταν και οι μορφές τέχνης και εξελίχθηκε μαζί τους όσο αυτές εξελίσσονται. Για το λόγο αυτό ο Δοξιάδης παρατηρεί: «αφού κανένα από τα προτεινόμενα συστήματα δε μας πείθει για μια φυσική γέννηση του μαθηματικού νόμου, που κρύβεται πίσω από ένα έργο τέχνης, και αφού δε μπορούμε να υποθέσουμε ότι πρόκειται για φυσικούς νόμους που επέδρασαν υποσυνείδητα στους δημιουργούς, πιθανόν η ιδέα ότι τους βλέπουμε εφαρμοσμένους στα διάφορα κτίρια να επιβεβαιώνεται μόνο συμπτωματικά.» Ο τελευταίος μάλιστα αναρωτιέται αν η αποτυχία αυτών των προσπαθειών οφείλεται στο γεγονός ότι όλες αναζήτησαν την Αλήθεια στο έξω μελετώντας μόνο το υλικό που τόσο πλούσιο προσφέρεται από τους προηγούμενους αιώνες της καλλιτεχνικής δημιουργίας. Ο Δ. Κωνσταντινίδης μελετώντας το ίδιο πρόβλημα, δηλαδή τις θεωρίες των αρμονικών χαράξεων, στέκεται κυρίως σε δύο επισημάνσεις. Στο γεγονός ότι πρέπει να κρίνονται διαφορετικά τα όσα λέγονται για τις εμφανείς ή έκδηλες χαράξεις -όπως τις χαρακτηρίζει- και στις χαράξεις που δεν γίνονται άμεσα αντιληπτές, τις οποίες πολλοί υποστήριξαν. Για το λόγο αυτό τονίζει ιδιαιτέρως ότι οι πληροφορίες που σώζονται από γραπτές πηγές για εσκεμμένη χρήση χαράξεων από τους κατασκευαστές, με σκοπό να προσδώσουν αισθητική αξία στα έργα, είναι σποραδικές και αναφέρονται κυρίως σε αριθμητικές ή γεωμετρικές σχέσεις που διέπουν αυτά, τόσο κατά την περίοδο του Μεσαίωνα όσο και κατά την Αναγέννηση. Αυτές τις χαράξεις δεν τις αμφισβητούμε, αν και παραμένει πάντα μετέωρο το ερώτημα κατά πόσο εκείνες επιλέχθηκαν από τους δημιουργούς προκειμένου να υπηρετήσουν την αισθητική. Τα συστήματα χαράξεων όμως που πολλοί ερευνητές τον 19 ο αιώνα κυρίως, αλλά και αργότερα επινόησαν, τα χαρακτηρίζει γεννήματα του άκρατου θετικισμού και των μηχανιστικών θεωριών. Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει «στα Μαθηματικά την Αριθμητική ή τη Γεωμετρία, μπορούμε πάντα να προβαίνουμε σε μαθηματικά παιχνίδια, με συνδυασμούς αριθμών ή γραμμών», παρατηρώντας ότι τέτοιες ενέργειες οδήγησαν τον Ευκλείδη στην έκδοση των «Ψευδαρίων», κειμένου του οποίου το περιεχόμενο ενώ αποδεικτικά ήταν άτεγκτο, εντούτοις είχε λογικά λάθη. Ο Κωνσταντινίδης τονίζει ότι πολλά από τα συστήματα αρμονικών 86

87 χαράξεων μπορούν να εφαρμοστούν επακριβώς στα γνωστά μνημεία (Παρθενώνα, Παναγία των Παρισίων, Μεγάλη Πυραμίδα κ.ά.), αλλά το ίδιο εύκολα μπορούν να βρουν εφαρμογή και σε σχήματα ή αντικείμενα χωρίς καμία αισθητική αξία. Διερευνώντας μάλιστα διεξοδικά τον υπερβολικό ζήλο που επέδειξαν οι ερευνητές στην αναζήτηση των αρμονικών χαράξεων αφού παραδέχεται ότι «στα μνημεία ή τα έργα τέχνης ενυπάρχει μια ενδόμυχος γεωμετρική εσωτερικότης, διέπουσα ορισμένα χαρακτηριστικά τους στοιχεία», καταλήγει στα παρακάτω: «δυστυχώς κατά γενικό κανόνα οι διαπιστώσεις εφαρμογής Αρμονικών Χαράξεων είναι αμφίβολες γιατί Α) πολλές κατασκευές γίνονται πάνω σε φωτογραφίες Β)συχνά τα αποτελέσματα δεν συμπίπτουν με το εικονιζόμενο μνημείο ή το έργο τέχνης Γ)τα προσδιοριζόμενα σημεία δεν αντιπροσωπεύουν κάτι χαρακτηριστικό Δ)η αλληλουχία των κατασκευών δεν ακολουθεί σαφή νομοτέλεια Ε)πολλοί ερευνητές υστερούν ως προς τις μαθηματικές τους γνώσεις ΣΤ) όλοι εμφανίζουν μια απόσταση μεταξύ θεωρίας και πράξης Ζ)πολλές μέθοδοι δοκιμαζόμενες σε ένα μνημείο επιβεβαιώνονται χωρίς να δίνουν απάντηση ποιά εξ αυτών χρησιμοποιήθηκε». 87

88 6. 1 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΔΟΞΙΑΔΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ( Αρμονική χάραξη του χώρου) Ο Κ.Δοξιάδης στη διδακτορική του διατριβή που υποβλήθηκε στο Πολυτεχνείο του Βερολίνου, διατύπωσε μια θεωρία για τις αρχές που διέπουν τη διαμόρφωση του χώρου της Ελληνικής Αρχαιότητας, την οποία ο Δ.Πικιώνης χαρακτήρισε ως αντικειμενική διαπίστωση των αρχών της αρμονίας και της αισθητικής του χώρου στην αρχαιότητα. Όπως προαναφέρθηκε, όσοι μελετητές ασχολήθηκαν με τις θεωρίες της αρμονίας της αρχαίας ή της μεσαιωνικής αρχιτεκτονικής, βασίστηκαν είτε στις αρμονικές ιδιότητες των κανονικών πολυγώνων, είτε στην ορθογωνική χάραξηδηλαδή στην αρμονία των λεγόμενων δυναμικών ορθογωνίων. (Hambidge). Αυτές οι χαράξεις αναφέρονταν στις ορθές προβολές (κάτοψη, τομές, προσόψεις), των αρχιτεκτονικών όγκων με αποτέλεσμα να αφορούν στην αρμονία του χώρου που κλείνεται μέσα τους ή που καθορίζεται με έναν τρόπο από τη διάταξή τους. Έτσι η αρμονία των όγκων ή του χώρου θεωρήθηκε καθ 88

89 εαυτήν. Ακτινοβολεί τις αρμονικές σχέσεις, δηλαδή γύρω της, προς τον θεατή που κοιτάζει αυτά τα σχήματα, και που μετακινείται αλλάζοντας θέση, μέσα σε αυτούς τους κατ αρμονία ρυθμισμένους χώρους. Πολύ νωρίς όμως φάνηκε πως η αισθητική παρατήρηση ακολουθεί τη φυσιολογία της όρασης του θεατή, ώστε οι θέσεις της διαδρομής που πρέπει εκείνος να ακολουθήσει για να αντικρύσει την αρμονία των σχημάτων του χώρου, οφείλουν να είναι θέσεις κριτικές. Οι πρώτες νύξεις που τα αρχαία μνημεία μας προσφέρουνε για μια οπτική θεώρηση του χώρου και του σχήματος, είναι οι πολλές οπτικές διορθώσεις που ανακάλυψε ο Penrose και άλλοι, οι οποίες αποσκοπούσαν στην αντιστάθμιση των οπτικών παραμορφώσεων που παθαίνει το σχήμα είτε από το φως, είτε από την αλληλεπίδραση των σχημάτων, είτε από την απόσταση και την θέση από την οποία κοιτάμε. Ο Pennethorne μάλιστα διατύπωσε μια θεωρία σύμφωνα με την οποία οι αναλογίες των υψών προβάλλονται αντίστοιχα πάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας που κέντρο της είναι ο παρατηρητής. Λαμπρές είναι οι παρατηρήσεις του Choisy στο έργο του Histoire de l' Architecture, σχετικά με την αντιστάθμιση των οπτικών σφαλμάτων στην αρχαία ελληνική τέχνη. Αναφέρουμε χαρακτηριστικά ένα παράδειγμα: «Η εικόνα των Προπυλαίων. Το σχήμα δείχνει τη γενική κάτοψη των Προπυλαίων: Ένα κεντρικό σώμα, συμμετρικό, δύο πτέρυγες ουσιωδώς άνισες, αριστερά η πιο μεγάλη, δεξιά η μικρότερη και εμπρός ο ναός της Απτέρου Νίκης. Τι πιο ακανόνιστο φαινομενικά από αυτό ; Πραγματικά όμως είναι ένα σύνολο ισορροπημένο, όπου η συμμετρία των μαζών αδελφώνεται με την πιο πρωτότυπη παραλλαγή στη λεπτομέρεια. Η δεξιά πτέρυγα, με το ναό της Νίκης, σχηματίζει μια μάζα που ανταποκρίνεται στη μάζα της αριστερής : κι έτσι που για ένα θεατή τοποθετημένο στην αρχή της κλίμακας οι δύο οριακές ακτίνες ΑΧ και ΑY έχουν την ίδια απόκλιση ως προς τον γενικό άξονα». Και παρακάτω συνεχίζει: «Στην κάτοψη η οπτική συμμετρία είναι άμεμπτη. Στην πρόσοψη λείπει αριστερά ένα αντιστάθμισμα προς το βάθρο της Νίκης. Το αντιστάθμισμα αυτό υπήρχε. Το υπόβαθρο Ρ, όπου οι Ρωμαίοι είχαν ανεγείρει ένα άγαλμα του Αγρίππα, στηρίζεται πάνω σε 89

90 αρχαιότερη υποθεμελίωση. Τα ερείπια δείχνουν ότι εδώ ήταν η θέση ενός κολοσσού αναγκαίου για τη συμμετρία.» Ο Choisy σε γενικές γραμμές δεν κάνει λάθος με τις παρατηρήσεις του αν και η βασική και καθολική αρχή, του διαφεύγει. Διαπιστώνει μεν στο παραπάνω παράδειγμα την ισότητα των γωνιών, αλλά δεν ασχολείται ιδιαιτέρως με τις αποστάσεις. Σημειώνει, αλλά παρέρχεται το γεγονός πως η δεξιά γωνία των Προπυλαίων βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας που περνάει από τον ναό της Νίκης, μια αρχή που έρχεται να αποδείξει η θεωρία του Δοξιάδη. Ο τελευταίος κατορθώνει να συμφιλιώσει τους χωριστούς δρόμους που έως τότε είχαν ακολουθήσει η θεωρία της αρμονίας του χώρου από τη μία, και η συναισθηματική παρατήρηση του καλλιτέχνη από την άλλη, που με ένα τρόπο διαισθάνθηκε τη βασική οπτική αρχή πάνω στην οποία η αρμονία του χώρου φαινόταν θεμελιωμένη, αδιάφορο αν η μαθηματική γνώση της αρχής αυτής του έμενε τελικά κρυμμένη. Ο Δοξιάδης ολοκληρώνοντας την παρατήρηση των αισθητικών φαινομένων που παρουσιάζει η διαμόρφωση του χώρου στην αρχαία αρχιτεκτονική, οδηγείται στις θεμελιακές αρχές από τις οποίες τα φαινόμενα αυτά απορρέουν. Η θεωρία του, μας θυμίζει πως η παράσταση του χώρου που είχαν οι αρχαίοι, ήταν σύμφωνη με τη φυσιολογία της ανθρώπινης όρασης. Πραγματικά η νοητική λειτουργία που κάνουμε για να αναχθούμε από τη γνώση των 3 ορθογώνιων συντεταγμένων του σχήματος ή του χώρου, στην παράστασή τους είναι έργο αφαιρετικό, αναλυτικό και συχνά πολύπλοκο. Από την άλλη μεριά, η 90

91 παράσταση που μας χαρίζει η αίσθηση της όρασης είναι απλή, αυτονόητη, άμεση. (σχήμα 2). Νους και αίσθηση του ανθρώπου καθημερινά ασκούνται συνεργαζόμενες σε αυτή τη συγκεντρική παράσταση των σχημάτων του χώρου, όπου η αίσθηση της όρασης έχει την ικανότητα να αναμετρά τις αποστάσεις που μας χωρίζουν από τα αντικείμενα (δηλαδή να κάνει εκτίμηση των μηκών των επιβατικών ακτινών). Ο θεατής καθώς βρίσκεται στο κέντρο αυτής της παράστασης, γίνεται αυτός το μέτρο, το κριτήριο του χώρου και των σχημάτων. Ο οξύς προγραμματισμός των αρχαίων Ελλήνων ήταν φυσικό να στηρίξει την εναρμόνισή του χώρου, που είναι σύμφωνη με την ανθρώπινη ψυχολογία, ενώ ο ορθός λόγος τους, τους υπαγόρευσε πως τη διαστηματική, ρυθμική διαίρεση του χώρου- που μοιάζει να ακτινοβολεί γύρω από τον θεατή-, θα πρέπει να τη διέπει η αρτιότητα της σφαίρας : ο χώρος διαιρείται, κατά το βάθος σε ομόκεντρες σφαίρες (ή χάριν απλότητας σε κυλινδρικές επιφάνειες), και κατά πλάτος σε ισογώνιους τομείς. Οι ακτίνες αυτών των κυλίνδρων είναι πολλαπλάσια του ανθρώπινου μέτρου: 100, 150, 200 πόδες.(σχ. 2). Μέσα σε αυτή τη διαστηματική διαίρεση του χώρου, που έχει το ισοδύναμό της στα ισόχρονα μουσικά διαστήματα έρχεται να εγγραφεί η μουσική των σχημάτων, όπως σε εκείνα εγγράφονται τα ύψη των τόνων. Η θεωρία λοιπόν που υποστήριξε ο Δοξιάδης τοποθετεί το θεατή στο κέντρο της αρμονικής χάραξης του χώρου. Δηλαδή ως κέντρο ή κέντρα χάραξης εκλέγονται τα κριτικά εκείνα σημεία της διαδρομής που πρέπει να ακολουθήσει ο θεατής επισκέπτης ή προσκυνητής- για να πλησιάσει τα μνημεία. Αυτές οι κριτικές θέσεις είναι η πύλη ή τα προπύλαια ενός περιβόλου ή μιας Ακρόπολης, το τέρμα μιας κλίμακας, το άνοιγμα προς μια πλατεία ή προς μια αγορά, ενός δρόμου ή ό,τι άλλο, ένοιωθε ως επιβαλλόμενο για να ρυθμίσει την αρχιτεκτονική σύνθεση, η αρχαία λογική. Ο θεατής με τον τρόπο αυτό αντικρίζοντας για πρώτη φορά τη σύνθεση, διαφύλασσε την πιο συνθετική εικόνα ενός συνόλου, ιδωμένου όχι ανεξάρτητα, αλλά σε απόλυτη ενότητα με τη φύση γύρω του, έτσι που ο λόφος, η κλίση της κλιτύος, η συμμετρία ή ασυμμετρία του τοπίου, τα σημεία του ορίζοντα, να γίνονται ουσιαστικά στοιχεία της σύνθεσης και να εμπνέουν κάθε φορά την κατάλληλη λύση. 91

92 Αυτή την εικόνα του ενός και αδιαίρετου συνόλου, μυστικά την κυβερνούσε κάτω από την επιφανειακή ελευθερία και ασυμμετρία των μαζών, αφανής όπως την απαιτεί ο Ηράκλειτος, η τέλεια, η σύμμετρη αρμονία της σφαίρας. Με ποιές αρχές οι αρχαίοι ένοιωσαν την εγγραφή της σύνθεσης μέσα στη ρυθμική διαίρεση του χώρου; Ο Δοξιάδης στη θεωρία του ισχυρίζεται ότι δε μπορούσαν να επιλεγούν φυγές προς το διάστημα που θα άφηναν την όραση να ξεφεύγει ελεύθερη προς τον ορίζοντα, ούτε θα μπορούσε να μισοκρύβει το ένα οικοδόμημα το άλλο (αφού κάτι τέτοιο θα ήταν μειωτικό της ακεραιότητας της σύνθεσης). Κατά την άποψή του ανάμεσα στις δύο αυτές άκρες λύσεις, και μέσα σε μία περιοχή όπου θα έπρεπε να πρυτανεύσει οικονομία χώρου, το λογικό πνεύμα του αρχαίου αρχιτέκτονα βρήκε τη λύση: εκεί που τελειώνει η προβολή ενός μνημείου αρχίζει του άλλου. Ή διαφορετικά η ακτίνα της χάραξης που τραβάει προς κάποια ακμή ενός οικοδομήματος ή ενός βάθρου, περνάει από την ακμή του επόμενου (οπτικά), ώστε οι δύο προβολές τους να συνέχονται. Σχήμα 3 Σχήμα 4 Όταν μάλιστα ως ακμή θεωρείται η πρώτη βαθμίδα του στυλοβάτη, ή η βάση του βάθρου, ένα μικρό διάστημα ελεύθερου χώρου να σημειώνεται ανάμεσά τους ως μια υποβολή φυγής. 92

93 Πρόκειται για μία αρχή που εξασφαλίζει την ενότητα της σύνθεσης, την σφραγίζει με μία οικονομία, μία απλότητα που είναι πραγματικά ελληνικές. Η συμπλησίαση των μαζών συγκρατεί την ανθρώπινη κλίμακα των μνημείων, αντισταθμίζοντας τη διαβρωτική ενέργεια του φωτεινού διαστήματος. Στα ιωνικά μνημεία σε ένα οπτικά περίκλειστο χώρο, ο κύριος ναός ή το κύριο οικοδόμημα ( Α ) (σχ. 3) παίρνει κατά το νοητό άξονα της σύνθεσης, την κυρίαρχη θέση, ενώ στα δωρικά συγκροτήματα κατά το νοητό αυτό άξονα σημειώνεται μία φυγή προς το άπειρο (Α) (σχ. 4) η οποία είναι προσανατολισμένη σε κάποιο σημείο του ορίζοντα που δεν την κόβει ούτε η θέα του πιο μακρινού βουνού. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Η ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ σχ.5 Η Ακρόπολη την εποχή του Περικλή 93

94 σχ6 Αναλογίες γωνιών ΓΩΝΙΕΣ Μεταξύ των a και c = 30º=180º/6 >> >> c και g=30º=180º/6 >> >> g και k=30º=180º/6 >> >> k και l= 30º=180º/6 Οι ίσες αυτές γωνίες a-c, c-g, g-k, k-l, διαιρούνται η κάθε μια σε δύο γωνίες, τη μία 17º 30 και 12º 20 η άλλη. Η γωνία c-h είναι 36º( 180º/5) ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ από το σημείο Α AC (C, άξονας του αγάλματος της Προμάχου) = AC' (C' αρχή της χαλκοθήκης) = 40,5 μ. και AD=AD2 =AD3 =AD4 =81 μ. =2*AC, DE=CD=AC=40,5μ. Οι αποστάσεις AD, AF και AG έχουν σχέσεις : AD/AF=0,68/1= 5-1(χρυσή τομή) όπου AD= 82/133=0,68/1 2. ΤΟ ΙΕΡΟ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ ΣΤΗΝ ΠΕΡΓΑΜΟ 94

95 6.2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΚΡΙΤΙΚΕΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΟΞΙΑΔΗ Η θεωρία του αρχιτέκτονα Δοξιάδη έγινε δεκτή όχι μόνο με θετικά σχόλια αλλά υπήρξαν και αρνητικές κριτικές. Ο Δ. Κωνσταντινίδης παρατηρεί σχετικά με την εφαρμογή της θεωρίας του στην Ακρόπολη, ότι τα μνημεία την εποχή της ανέγερσής τους δεν προσέδιδαν στον επισκέπτη ακριβώς την ίδια εντύπωση με σήμερα, δεδομένου ότι εκείνα ανεγέρθηκαν διαδοχικά. Αλλά ακόμα και αν υποθέσουμε ότι με την ολοκλήρωση του οικοδομικού προγράμματος στην Ακρόπολη, η εικόνα ήταν ίδια με τη σημερινή, υπάρχουν και άλλοι παράγοντες που μπορούν να αλλάξουν την οπτική εντύπωση, αρκεί να σκεφτεί κανείς ακόμα και αυτή την ανατολή του ηλίου η οποία δεν είναι πάντα σε σταθερό σημείο αλλά αλλάζει με την εποχή. Μια άλλη ένσταση που εκθέτει ο Κωνσταντινίδης είναι ότι ο Λυκαβηττός είναι σημείο που μάλλον επινοήθηκε από τον Δοξιάδη προκειμένου να εφαρμοστεί η θεωρία του, γεγονός που την καθιστά αδύναμη, αφού θα πρέπει εκείνη κάθε φορά να προσαρμόζεται στον εκάστοτε τόπο που εφαρμόζεται. Ακόμα ο ίδιος ερευνητής παρατηρεί ότι και η κίνηση του θεατή μέσα στο χώρο της Ακρόπολης, είναι παράγοντας που θέτει εν αμφιβόλω τη θεωρία, μιας και αλλοιώνει την αισθητική αντίληψη που τα μνημεία προκαλούν. Αξιόλογη είναι επίσης και η επισήμανση ότι ακόμα και η επιλογή της θέσης του Παρθενώνα δεν μπορεί να αποδοθεί στον αρχιτέκτονα Ικτίνο, αν αναλογιστεί κανείς ότι το κλασικό μνημείο οικοδομήθηκε πάνω στον προηγούμενο πρώτο Παρθενώνα και βέβαια η διάταξη των προϋπαρχόντων μνημείων δεν ήταν απολύτως η ίδια. Τέλος πρέπει να αναφέρουμε ότι ο καθηγητής Π. Μιχελής αντέκρουσε τη θεωρία Δοξιάδη με το πλέον ισχυρό επιχείρημα: υπέθεσε ότι ακόμα και αν διατηρήσουμε τις γωνίες θέασης στις οποίες στηρίζεται η θεωρία, και στρέψουμε τον Παρθενώνα έτσι ώστε να εμφανιστεί η νοτιοδυτική γωνία του μνημείου, αντί της βορειοδυτικής, η προκαλούμενη αισθητική αντίληψη δεν θα είναι πια η ίδια. Μπορούμε λοιπόν να παρατηρήσουμε ότι κάθε προτεινόμενη θεωρία αρμονικής χάραξης ενός μνημείου ή χώρου, που δεν είναι έκδηλη αλλά την υποθέτει ο υποστηρικτής της, οφείλει να λαμβάνει πολύ σοβαρά υπόψιν της 95

96 τα ζητήματα αισθητικής, πριν χρησιμοποιηθεί ως πανάκεια για την επίλυση τέτοιου τύπου προβλημάτων. 7. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ (Μια σύντομη επισκόπηση των τύπων συμμετρίας στην αρχιτεκτονική) 7.1Εισαγωγή «Τι κοινό έχουν η Rundetarn (η Round Tower) του 17ου αιώνα στη Κοπεγχάγη, με τον Πύργο της Πίζας του δέκατο τρίτου αιώνα; Ή η Astrodome του Χιούστον, το πρώτο κλειστό γήπεδο του μπέιζμπολ που κατασκευάστηκε στις Ηνωμένες Πολιτείες, με το τεράστιο θόλο του Πάνθεον στη Ρώμη; Ή μια κινεζική παγόδα με την Όπερα του Σύδνεϋ;» Αυτό το ερώτημα προσπαθεί να απαντήσει ο αρχιτέκτονας Kim Williams, στο άρθρο του με τίτλο Symmetry in Architecture. Όπως παρατηρεί μια πρώτη απάντηση θα μπορούσε να είναι το «σχήμα», αλλά μια πιο ακριβής απάντηση θα ήταν η «συμμετρία». Κάθε ένα από αυτά τα παράξενα ζευγάρια των κτιρίων μοιράζονται ένα διαφορετικό είδος συμμετρίας που τα συνδέει, παρά τις χρονικές και πολιτισμικές διαφορές τους. Η Αρχιτεκτονική, όπως κάθε συνθετική τέχνη, κάνει εκτενή χρήση της συμμετρίας. Σε όλους τους πολιτισμούς και σε όλες τις χρονικές περιόδους, οι αρχιτεκτονικές συνθέσεις είναι συμμετρικά τοποθετημένες. Υπάρχουν τόσα πολλά είδη της συμμετρίας, στα τόσα πολλά είδη της αρχιτεκτονικής, και τόσοι πολλοί τρόποι θέασης της αρχιτεκτονικής, ώστε το εγχείρημα απειλεί να γίνει τόσο γενικευμένο ώστε να χάσει κάθε νόημα. Η γενική έκθεση των τύπων συμμετρίας που βρέθηκαν στην αρχιτεκτονική είναι αξιοθαύμαστη. Παρακάτω θα προσπαθήσουμε να διερευνήσουμε γιατί ένας αρχιτέκτονας μπορεί να επιλέξει ένα συγκεκριμένο τύπο συμμετρίας ώστε να αντλήσουμε πληροφορίες για την διαδικασία και το σχεδιασμό από την άποψη της συμμετρίας. 96

97 Η αρχιτεκτονική διαφέρει ριζικά από τις άλλες τέχνες λόγω της χωρικότητας της. Το να προσδιορίσει κανείς ένα είδος συμμετρίας σε μια δισδιάστατη σύνθεση είναι σχετικά απλή υπόθεση. Το να περιγράψει όμως τα είδη συμμετρίας σε ένα τρισδιάστατο αντικείμενο, όπως σε ένα γλυπτό είναι κάτι πιο περίπλοκο διότι η αντίληψη μας για ένα αντικείμενο αλλάζει καθώς κινούμαστε γύρω από αυτό. Πολύ περισσότερο στην περίπτωση της αρχιτεκτονικής, που όχι μόνο κινούμαστε γύρω από αυτό, αλλά κινούμαστε μέσα σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι η αρχιτεκτονική μας παρέχει μια μοναδική ευκαιρία να βιώσουμε τη συμμετρία το ίδιο καλά με όσο την βλέπουμε. Αυτό είναι δυνατό επειδή η αρχιτεκτονική αποτελείται από δύο ξεχωριστές συνιστώσες: μια στερεή και μια νοητή. Η Αρχιτεκτονική πιο συχνά χαρακτηρίζεται από τη φύση των στοιχείων της: αναγνωρίζουμε ένα ελληνικό ναό από τις στοές του και τα αετώματα του. Ένας γοτθικός καθεδρικός ναός επίσης χαρακτηρίζεται από οξυκόρυφα τόξα που φέρουν αντηρίδες. Αυτά είναι τα στοιχεία που συνθέτουν το στερεό συστατικό της αρχιτεκτονικής, και είναι πιθανό ότι αυτό το στερεό συστατικό της αρχιτεκτονικής είναι πιο οικείο στην εμπειρία μας. Από την άλλη πλευρά, όλα αυτά τα στερεά στοιχεία αποτελούν το περίβλημα γύρω από αυτό που βιώνουμε όταν κινούμαστε μέσα σε ένα κτίριο, δηλαδή, τον κενό, ή αρχιτεκτονικό χώρο. Η πραγματική δουλειά του αρχιτέκτονα είναι να διαμορφώσει το κενό, που γίνεται το θέατρο των δράσεων που λαμβάνουν χώρα στο κτίριο. Αυτός ο αρχιτεκτονικός χώρος είναι πολύ πιθανό να χαρακτηρίζεται από συμμετρίες, που είναι ίσως λιγότερο γνωστές, καθώς είναι οι συμμετρίες που βιώνουμε (νοητές συμμετρίες). 7.2 Τα είδη της Συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Οι τύποι συμμετρίας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: ομάδες σημείων και ομάδες χώρου. Οι ομάδες σημείων χαρακτηρίζονται από τη σχέση τους τουλάχιστον με ένα σημείο αναφοράς. Οι ομάδες χώρου δεν έχουν ένα συγκεκριμένο σημείο αναφοράς. Και τους δύο τύπους τους συναντάμε στο χώρο της αρχιτεκτονικής. 97

98 1. Bilateral symmetry (Διμερής συμμετρία): είναι από παλιά η πιο κοινή μορφή συμμετρίας στην αρχιτεκτονική, και βρίσκεται σε όλους τους πολιτισμούς και σε όλες τις εποχές. Στο πλαίσιο της διμερούς συμμετρίας, τα μισά από μια σύνθεση αντικατοπτρίζουν τα άλλα μισά. Την συναντάμε στην πρόσοψη του Πάνθεον στη Ρώμη. Μερικά χρόνια αργότερα το 1700 σε μια ήπειρο που δεν μπορούσαν να ονειρευτούν το Πάνθεον, όταν χτίστηκε, θα βρούμε την ίδια συμμετρία στο χαμένο αρχιτεκτονικό στιλ της Alamo στο Σαν Αντόνιο του Τέξας. Διμερής συμμετρία είναι επίσης παρούσα, όχι μόνο στην κλίμακα ενός ενιαίου κτιρίου, αλλά και σε μια αστική κλίμακα. Ένα παράδειγμα αυτού βρίσκεται στο σχεδιασμό του PraHo do Comercio της Λισαβόνας στην Πορτογαλία, όπου τρία αστικά στοιχεία (μια μεγάλη δημόσια πλατεία, μια μνημειακή πύλη και ο ευρύς εμπορικός δρόμος πέρα από την πύλη) είναι συμμετρικά ως προς ένα μεγάλο οριζόντιο άξονα που διέπει την οπτική προοπτική μας. Η διμερής συμμετρία είναι μάλλον μια έκφραση από την εμπειρίας μας μέσω της φύσης, και ιδίως μέσω της εμπειρίας που έχουμε από το σώμα μας. Όπως πολλοί πολιτισμοί πιστεύουν ότι ο Θεός δημιούργησε τον άνθρωπο κατ 'εικόνα Του-παρατηρεί ο Williams- η αρχιτεκτονική έχει με τη σειρά της ίσως δημιουργηθεί κατ' εικόνα του ανθρώπου. Ωστόσο δεν είναι όλες οι διμερείς συμμετρίες ίσης αξίας στον τομέα της αρχιτεκτονικής. Δύο προσόψεις φαίνονται στα διπλανά σχήματα. Στη μία, υπάρχει ένας άνισος αριθμός κόλπων. Στην άλλη, υπάρχει ένας ίσος αριθμός κόλπων. Το πρώτο είναι ένα παράδειγμα της "ορθόδοξης" διμερούς συμμετρίας, όπου η πρόσοψη διαιρείται σε δύο ίσα μέρη, αλλά στο δεύτερο, ο άξονας συμμετρίας που χωρίζει την πρόσοψη σε δύο ίσα και ανεξάρτητα μισά δημιουργεί ένα δυϊσμό. Αν είναι αληθές, αυτό που ισχυρίζεται ο Dagobert Frey, ότι η διμερής συμμετρία αντιπροσωπεύει ηρεμία και δέσμευση τότε στην πραγματικότητα ο δυϊσμός αντιπροσωπεύει διαιρετότητα. 98

99 εικ.1 Παραδοσιακά, ο δυϊσμός στην αρχιτεκτονική έχει θεωρηθεί ως κάτι που πρέπει να αποφεύγεται. Οι ναοί της αρχαίας Ελλάδας για παράδειγμα, είχαν πάντα έναν ακόμη αριθμό κιόνων έτσι που δεν υπήρξε ποτέ ένας κίονας στον κεντρικό άξονα της πρόσοψης. Η αποφυγή του διπλού από τους κλασικούς αρχιτέκτονες προέρχεται πιθανότατα από την ασάφεια που συχνά αποδίδεται με τον αριθμό 2, σχετικά με καχυποψία από την εποχή του Πυθαγόρα. Ο αριθμός 2 θεωρήθηκε αναξιόπιστος( ένας θηλυκός αριθμός) επειδή θα μπορούσε να χωριστεί σε ίσα μέρη, σε αντίθεση με τον αριθμό 3 (ένας αρσενικός αριθμός), ο οποίος δεν ήταν δυνατό να διαιρεθεί σε δύο μέρη. Ακόμη και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική θεωρία, ο δυϊσμός στην αρχιτεκτονική θεωρείται "κλασική και στοιχειώδη γκάφα» και ταυτίζεται με το «άμορφο ή αμφιλεγόμενο". Οι επιφυλάξεις αυτές δεν ευσταθούν ότι ο δυϊσμός δεν υπάρχει στον τομέα της αρχιτεκτονικής. 99

100 εικ.2 Τον δέκατο τέταρτο αιώνα το Orsanmichele 6 στη Φλωρεντία είναι ένα τέτοιο παράδειγμα (εικ. 2).Αυτό έχει μια διπλή λειτουργία: είναι ένα παρεκκλήσι στο ισόγειο και μια σιταποθήκη παραπάνω. Εδώ εμφανίζεται ένα ασυνήθιστο δίκλιτο σχέδιο. Ο ναός έχει δύο βωμούς. Η δυσκολία του διπλού στο επίπεδο της αρχιτεκτονικής εμπειρίας εξηγείται καλύτερα από το πρόβλημα των δύο βωμών. Πού μπορεί κάποιος να σταθεί μέσα στον ναό; Κάποιος είναι αναγκασμένος να αποφασίσει αν θα σταθεί μπροστά σε ένα βωμό ή όχι. Μπορούμε να το συγκρίνουμε με ένα σπίτι με δύο εμπρός πόρτες. Πού είναι η είσοδος; Συνήθως αυτό το είδος της απόφασης γίνεται για τον θεατή από τον αρχιτέκτονα, ο οποίος τοποθετεί ένα βωμό σε μια κεντρική θέση, ή μία εξέχουσα πόρτα στην πρόσοψη ενός σπιτιού. Έτσι, ο δυϊσμός στην αρχιτεκτονική παρουσιάζει ένα είδος πρόκλησης τόσο για τον θεατή όσο και για τον αρχιτέκτονα. 6 Orsanmichele (ή "Κήπος Κουζίνα του Αγίου Μιχαήλ ) κτίσμα του Francesco Talenti στην Φλωρεντία που χτίστηκε το

101 εικ.3 2. Rotation and reflection: (περιστροφή και ανάκλαση): (εικ.4,5,6) παρέχει μια αίσθηση κίνησης και ρυθμού των αρχιτεκτονικών στοιχείων και έμφαση στο κεντρικό σημείο του αρχιτεκτονικού χώρου. Το σκευοφυλάκιο της βασιλικής του S. Spirito στη Φλωρεντία, σχεδιασμένο από τον Giuliano da San Gallo στα τελευταία χρόνια του δέκατου πέμπτου αιώνα, είναι οκταγωνικό σε κάτοψη και τόσο η αρχιτεκτονική όσο και η ξεχωριστή σχεδίαση του πεζοδρόμιου παρουσιάζουν περιστροφές και ανακλάσεις (εικ. 4). εικ.4 101

102 εικ.5 Θόλοι, ημισφαιρικοί όπως αυτός του Πάνθεον ή οκταγωνικοί, όπως ο μεγάλος τρούλος του καθεδρικού ναού της Φλωρεντίας, σχεδιασμένος από τον Filippo Brunelleschi, παρουσιάζουν επίσης τόσο περιστροφές όσο και ανακλάσεις. εικ.6 102

103 3.Cylindrical symmetry ( Κυλινδρική συμμετρία, εικ 7): είναι εκείνη που εμφανίζεται σε πύργους και στήλες. Η καθετότητα σε πύργους αποτελεί περιφρόνηση της βαρύτητας. Σπάνια παραδείγματα σφαιρικής συμμετρίας μπορεί επίσης να βρεθούν στην αρχιτεκτονική, αν και η σφαίρα είναι μια δύσκολη μορφή για τον αρχιτέκτονα, επειδή τα ανθρώπινα όντα κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το έργο για ένα κενοτάφιο για τον Ισαάκ Νεύτωνα, που σχεδιάστηκε από τον Etienne-Louis Boulée το εικ.7 4. Chiral symmetry (Χειρόμορφη συμμετρία, εικ 8,9,10): είναι ίσως λιγότερο γνωστό από τα άλλα είδη της συμμετρίας, αλλά συχνά χρησιμοποιούνται αποτελεσματικά στον τομέα της αρχιτεκτονικής. Χειρόμορφη συμμετρία βρίσκεται σε δύο αντικείμενα που το ένα είναι είδωλο του άλλου και που δεν μπορούν να αλληλεπικαλύπτονται, όπως τα χέρια μας. Οι δύο αντίθετες κιονοστοιχίες που σχεδιάστηκαν από τον Μπερνίνι Gianlorenzo που περιβάλλουν την ελλειπτική πλατεία μπροστά από το ναό του Αγίου Πέτρου στη Ρώμη είναι ένα παράδειγμα χειρόμορφης συμμετρίας(εικ. 9). Στη Βουδαπέστη, τα δύο Klotild παλάτια που υψώνονται πάνω από την πλατεία Felszabadul, το καθένα με ασύμμετρα τοποθετημένους πύργους και οι καλαίσθητες προσόψεις αποτελούν παραδείγματα της chiral συμμετρίας. 103

104 εικ.8 εικ.9 Μια πολύ λεπτή μορφή της chiral συμμετρίας παρουσιάζει από τους δύο γερμένους πύργους του, το νεόδμητο Puerta de Europa στη Μαδρίτη, που σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα John Βurgee σε συνεργασία με την Philip Johnson. (εικ.10) 104

105 εικ.10 Η χειρόμορφη συμμετρία στην αρχιτεκτονική είναι ένας άλλος τρόπος για να δοθεί οπτική έμφαση στο κεντρικό στοιχείο της σύνθεσης. Στην περίπτωση της Puerta de Europa, για παράδειγμα, οι δύο κεκλιμένοι πύργοι δίνουν έμφαση στην ευρεία λεωφόρο που περνά μεταξύ τους, σχηματίζοντας αυτό που εύστοχα αποκαλείται "πύλη προς την Ευρώπη". 5. Similarity symmetry (Συμμετρία ομοιότητας): σήμερα ο τύπος αυτής της συμμετρίας τυγχάνει μεγάλης προσοχής ενώ η τελευταία είναι γνωστή για την ταυτοποίησή της με τα fractals. Αυτή η συμμετρία βρίσκεται σε περιπτώσεις επανάληψης στοιχείων με διαφορετική κλίμακα, που διατηρούν ένα παρόμοιο σχήμα, όπως τα στρώματα από στέγες σε μια παγόδα, οι μορφές των οποίων μειώνονται σε μέγεθος, αλλά διατηρούν τη μορφή τους, όσο πλησιάζει προς το κορυφή του κτιρίου. Ένα άλλο παράδειγμα της συμμετρίας ομοιότητας βρίσκεται στα κελύφη που βρίσκονται στην Όπερα του Σύδνεϋ, σχεδιασμένη 105

106 από τον Joern Utzon το 1959 (εικ.11). Τα κελύφη είναι όλα τμήματα σφαίρας, παρόμοια σε σχήμα ενώ διαφέρουν όσον αφορά το μέγεθος και την κλίση. εικ.11 Ένα άλλο παράδειγμα της συμμετρίας ομοιότητας βρίσκεται στο Castel del Monte στην Απουλία της Ιταλίας, που χτίστηκε από τον Friedrich ΙΙ στο τέλος της πρώτης χιλιετίας. Η βασική μορφή του οκταγωνικού εξωτερικού τοίχους του οχυρού επαναλαμβάνεται σε μικρότερη κλίμακα, στην εσωτερική αυλή, και πάλι στους μικρότερους πύργους που προστίθενται σε κάθε κορυφή του κύριου οκτάγωνο. Συμμετρία ομοιότητας επίσης συχνά χρησιμοποιείται, αν και λιγότερο προφανής, στις σχέσεις μεταξύ των μεγεθών διαφόρων δωματίων. Ο Frank Lloyd Wright 7 χρησιμοποίησε ένα είδος συμμετρίας ομοιότητας στο σχεδιασμό του για την Palmer House στο Ann Arbor, Michigan, το Στην περίπτωση αυτή, ο Wright επέλεξε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ως μονάδα σχεδιασμού, που επαναλαμβάνεται σε διάφορα επίπεδα και μεγέθη για να οργανώσει το σχεδιασμό του σπιτιού. 7 Frank Lloyd Wright ( ): Αμερικανός αρχιτέκτονας, σχεδιαστής εσωτερικών χώρων, συγγραφέας και παιδαγωγός, ο οποίος σχεδίασε πάνω από κατασκευές από τις οποίες ολοκληρώθηκαν 500. Ο Ράιτ πίστευε στο σχεδιασμό των δομών που ήταν σε αρμονία με την ανθρωπότητα και το περιβάλλον της, μια φιλοσοφία που ονομάζεται οργανική αρχιτεκτονική. 106

107 Ομοιότητα συμμετρίας είτε εμφανής είτε όχι, έχει ως αποτέλεσμα σε μεγάλο βαθμό την τάξη μέσα σε ένα αρχιτεκτονικό σχεδιασμό, και προσφέρεται για μια αρχιτεκτονική σύνθεση. 6.Spiral or helical symmetry( ελικοειδής συμμετρία): μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της συμμετρίας ομοιότητας. Έλικες και σπείρες στον τομέα της αρχιτεκτονικής συχνά αντιπροσωπεύουν τη συνέχεια. Σε ελικοειδείς σκάλες, η συνεχής μορφή εκφράζει τη συνέχεια του χώρου από επίπεδο σε επίπεδο σε όλο το κτίριο. Στους φανταστικά στριμμένους πυργίσκους της Κοπεγχάγης ή της S.Ivo alla Sapienza του Borromini (εικ.12), στη Ρώμη, το θέμα της συνέχειας εκφράζεται από την αδιάκοπη ανοδική εξέλιξη της φόρμας. εικ.12 Ο Frank Lloyd Wright χρησιμοποίησε την έλικα το 1946 στον σχεδιασμού του Μουσείου Guggenheim της Νέας Υόρκης. (εικ.13). Σε αυτή την περίπτωση, το εξωτερικό του κτιρίου αντικατοπτρίζει τη μορφή της γιγαντιαίας ελικοειδούς ράμπας στο εσωτερικό του. Οι εκθεσιακοί χώροι αναπτύσσονται κατά μήκος 107

108 της μίας πλευράς της ράμπας. Ο επισκέπτης του μουσείου παίρνει το ασανσέρ για τον πάνω όροφο του χώρου, και ακολουθώντας τον σπειροειδή δρόμο προς τα κάτω, θαυμάζει την τέχνη κατά μήκος της ράμπας. Η κριτική του κτιρίου επικεντρώνονται στο γεγονός ότι η καθοδική πορεία αναγκάζει τους επισκέπτες να βιαστούν μέσα στο το μουσείο, επισπεύδοντας την πορεία τους ασυνείδητα, από την έλξη της βαρύτητας. Ο θρύλος λέει ότι ο Wright, που δίνει μεγαλύτερη αξία στην αρχιτεκτονική από την τέχνη, σχεδίασε σκόπιμα έτσι το κτίριο για να πάρει τον επισκέπτη έξω από αυτό το συντομότερο δυνατόν! Στην πραγματικότητα, όμως, η ελικοειδής ράμπα για άλλη μια φορά εκφράζει την χωρική συνέχεια. εικ Τranslational συμμετρία (μεταφορική συμμετρία εικ.14): εμπίπτει στην κατηγορία της ομάδας συμμετρίας χώρου, και είναι, μετά από τη διμερή συμμετρία, το πιο κοινό είδος της συμμετρίας που βρίσκεται στην αρχιτεκτονική. Μεταφορά των στοιχείων σε μία κατεύθυνση βρίσκεται σε επαναλαμβανόμενες σειρές κιόνων, 108

109 ή καθώς ξεφυτρώνουν διαδοχικά τόξα σε ένα υδραγωγείο. Μεταφορά των στοιχείων σε δύο κατευθύνσεις είναι παρούσα στις ταπετσαρίες που μοιάζουν με τα πρότυπα των υαλοπετασμάτων προσόψεων πολλών σύγχρονων κτιρίων. Μεταφορά μπορεί επίσης να περιλαμβάνει την επανάληψη ολόκληρων κομματιών των κτιρίων, ειδικά στο δικό μας αιώνα, και μπορεί να είναι ένας λόγος που η σύγχρονη αρχιτεκτονική τόσο συχνά χαρακτηρίζεται ως βαρετή ή μονότονη. εικ.14 Όλα τα παραπάνω αναφέρονται στους τύπους συμμετρίας που βρέθηκαν στις ρυθμίσεις των αρχιτεκτονικών στοιχείων. Για τον αρχιτέκτονα, η γνώση των τύπων συμμετρίας είναι ένα ισχυρό εργαλείο, γι 'αυτό δεν παρέχει απλώς ένα μέσο για την ακρίβεια περιγραφής ενός κτιρίου, αλλά ένα φάσμα εκφραστικών δυνατοτήτων. Μαθαίνουμε περισσότερα σχετικά με τις εκφραστικές δυνατότητες της συμμετρίας, όταν κοιτάζουμε τη χρήση της συμμετρίας στον αρχιτεκτονικό χώρο. 109

110 7.3 Πολλαπλές Συμμετρίες στην Αρχιτεκτονική Μελετώντας τα παραδείγματα των διαφόρων τύπων συμμετρίας επικεντρωθήκαμε σε μία πτυχή ή ένα μέρος ενός κτιρίου που παρουσιάζει ένα και μόνο είδος συμμετρίας. Ωστόσο, στα περισσότερα κτίρια θα βρίσκουμε περισσότερα από ένα είδος συμμετρίας. Για παράδειγμα, στην κινεζική παγόδα, μπορούμε να δούμε την ίδια στιγμή τόσο τη κυλινδρική συμμετρία εγγενή στην οργάνωση του κτιρίου προς τον κάθετο άξονα, όσο και τη συμμετρία της ομοιότητας των μεγεθών στη μείωση των στρωμάτων από ανισομεγέθεις όμοιες στέγες. Μια περίστυλη πρόσοψη ναού μπορεί να δείχνει διμερή συμμετρία, αλλά δείχνει επίσης και τη μετάφραση. Αυτά είναι παραδείγματα από πολλές συμμετρίες που μπορούν να παρατηρηθούν, χωρίς να απαιτείται από εμάς να αλλάξουμε την άποψή μας του κτιρίου. Αντιλαμβανόμαστε, επίσης, πολλές συμμετρίες όταν αλλάζουμε τη θέση μας σε σχέση με το κτίριο, όπως για παράδειγμα, όταν περνάμε από έξω προς τα μέσα. Ο θόλος είναι ένα πολύ καλό παράδειγμα αυτού. Από το εξωτερικό, ο τρούλος φαίνεται να οργανώνεται γύρω από έναν κάθετο άξονα (όπως πράγματι είναι). Όταν παρατηρείται όμως από το εσωτερικό, φαίνεται να οργανώνεται γύρω από ένα κεντρικό σημείο. Πολλαπλές συμμετρίες επίσης μπορεί να προκύψουν όταν ένα κτίριο αποτελείται από πολλά στοιχεία, μερικά ή όλα από τα οποία έχουν τη δική τους συμμετρία. Ο τύπος συμμετρίας που αναγνωρίζουμε σε κάθε δεδομένη στιγμή, τότε, είναι αποτέλεσμα της φυσικής θέσης μας σε σχέση με το κτίριο. Το σημείο αυτό πρέπει να γίνεται σημείο πολλών συμμετριών, γιατί οι περισσότεροι αρχιτέκτονες προσβλέπουν μέσα από την πολυπλοκότητα της κατασκευής σε μια σειρά χώρων που προορίζονται για να βιώσει διαδοχικά ο επισκέπτης, σαν ο αρχιτέκτονας να αφηγείται μια ιστορία. Η αλλαγή συμμετρίας μπορεί να είναι τόσο σημαντική για την εξέλιξη της ιστορίας όπως μία από τις άλλες συσκευές που ο αρχιτέκτονας έχει στη διάθεσή του. Μια πιο προσεκτική εξέταση του Πάνθεον θα παρουσιάσει την εμπειρία της αρχιτεκτονικής "ιστορίας". Το Πάνθεον στη Ρώμη είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα της εμπειρίας των πολλαπλών συμμετριών που είναι κοινό στον τομέα της αρχιτεκτονικής. Όταν βρισκόμαστε στην πλατεία μπροστά από το Πάνθεον, παρατηρούμε αμέσως τη 110

111 διμερή συμμετρία της πρόσοψης στην αρχή. Η μετακίνηση γύρω από το κτίριο, αποκαλύπτει ότι το Πάνθεον αποτελείται από τρία εύκολα εντοπιζόμενα στοιχεία: τη περίστυλη στοά, ένα μικρό μπλοκ ενδιάμεσων, και τη μεγάλη ροτόντα (εικ. 15). εικ.15 Καθώς μπαίνουμε στο Πάνθεον, βλέπουμε ότι τα τρία στοιχεία οργανώνονται σε σχέση με ένα κοινό οριζόντιο άξονα. Είναι ο άξονας που οδηγεί στην διμερή συμμετρία. Ωστόσο, όταν προχωράμε στο εσωτερικό, ο οριζόντιος άξονας που έχουμε ακολουθήσει για να κερδίσει την είσοδο στη ροτόντα, εξαφανίζεται. Θα αντικατασταθεί από ένα κατακόρυφο άξονα που τρέχει από το κέντρο του οδοστρώματος έως και μέσω του ματιού του θόλου. Έτσι, η κυρίαρχη συμμετρία δεν είναι πλέον διμερής. Η κατώτερη ζώνη παρουσιάζει κυλινδρική συμμετρία, ενώ ο ημισφαιρικός θόλος πάνω της εμφανίζει συμμετρία περιστροφής και ανάκλασης. Ο λόγος για την αλλαγή συμμετρίας είναι ότι, όταν μπαίνουμε στη ροτόντα αφήνουμε πίσω τη ζώνη του χερσαίου, εκπροσωπούμενη από τον οριζόντιο άξονα, και αποκτούμε την εμπειρία της ζώνης του ουράνιου, που συμβολίζεται από τον κατακόρυφο άξονα. Το Πάνθεον είναι ένας ναός αφιερωμένος σε όλους τους θεούς. Το ίδιο το σύμπαν εκπροσωπείται στην ροτόντα με τη μορφή της σφαίρας, το ένα ημισφαίριο της οποίας αντιπροσωπεύεται με τον τρούλο που επιστέφει το χώρο, ενώ το άλλο 111

112 είναι νοητό (όπως αναφέρθηκε πριν, η σφαίρα είναι προβληματική στον τομέα της αρχιτεκτονικής, διότι τα ανθρώπινα όντα χρειάζονται ένα οριζόντιο επίπεδο). Η σφαίρα περιέχει έναν άπειρο αριθμό επιπέδων αντανακλάσεων και περιστροφής. Οι άπειρες συμμετρίες της, επομένως την καθιστούν κατάλληλο σύμβολο για το σύμπαν. 7.4 Συμμετρία στον Αρχιτεκτονικό χώρο Αφού εξετάσαμε τον τρόπο με τον οποίο η συμμετρία βρίσκεται στα τμήματα του κτιρίου που βλέπουμε, θα δούμε τώρα πώς η συμμετρία σχετίζεται με το μέρος του κτιρίου που δε βλέπουμε, το οποίο είναι το κενό (ο αρχιτεκτονικός χώρος). Δύο έννοιες είναι θεμελιώδεις για την περιγραφή του αρχιτεκτονικού χώρου: το κέντρο και η διαδρομή. Το κέντρο αφορά μία μόνο σημαντική θέση στο πλαίσιο του ευρύτερου αρχιτεκτονικού χώρου, όπως ο βωμός σε μια εκκλησία. Η πορεία σχετίζεται με την κίνηση του θεατή μέσα στο χώρο. Η Christian Norberg-Schulz, γράφει ότι «... το κέντρο και η διαδρομή είναι παρούσες σε κάθε εκκλησία, αλλά η σχέση τους είναι διαφορετική». Αυτή η σχέση καθορίζει πραγματικά το πώς αντιλαμβανόμαστε τον αρχιτεκτονικό χώρο για κάθε δεδομένη χρονική περίοδο. Όσον αφορά την συμμετρία, το κέντρο μπορεί να θεωρηθεί ως «σημείο» και η διαδρομή, ως «άξονας». Παρακάτω, με μια πολύ σύντομη, εξέταση των περίπου 1500 χρόνων της αρχιτεκτονικής ιστορίας, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι καθώς ο αρχιτεκτονικός χώρος εξελίχθηκε μέσα στους αιώνες, αποκτούσε κυρίαρχες συμμετρίες. Στη ρωμαϊκή αρχιτεκτονική, τηρείται αυστηρά η αξονική συμμετρία, η οποία δημιουργεί χώρους που είναι μνημειώδεις και στατικοί, δηλαδή γενικώς ενσωματώνει μια αίσθηση ισορροπίας αντί να εκφράσει μια αίσθηση δυναμικής κίνησης. 112

113 εικ.16 Εξετάζοντας τις σχέσεις συμμετρίας του σχεδίου της ρωμαϊκής βασιλικής (ενός κοσμικού τύπου κτιρίου που χρησιμοποιείται ως δικαστήριο) (εικ. 8)., διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για ένα ορθογώνιο, με αψίδα σε κάθε άκρο του κύριου άξονα, και πόρτες σε κάθε άκρο του μικρού άξονα. Τα αρχιτεκτονικά στοιχεία είναι τοποθετημένα έτσι ώστε τα στοιχεία, να είναι πάντα στην αντίθετη πλευρά: αψίδα, κολόνα σε κολόνα, πόρτα σε πόρτα. Οι ανασκαφές έφεραν στο φως τα ερείπια των πεζοδρομίων που χρησιμοποιούνταν σε βασιλικές, τα οποία τονίζουν την αίσθηση της ισορροπίας, και της ισορροπίας που χαρακτηρίζει την αρχιτεκτονική, καθώς συχνά βασίζονται σε πρότυπα που περιγράφονται από την μεταφορική συμμετρία σε δύο κατευθύνσεις, και όχι από οποιοδήποτε άλλο είδος πιο δυναμικής συμμετρίας όπως η εκ περιστροφής συμμετρία. Η ίδια στατική διάταξη των αρχιτεκτονικών στοιχείων βρίσκεται στην ροτόντα του Πάνθεον, Ρώμη. Εδώ το σχέδιο είναι ένας κύκλος, με οκτώ επίπεδα ανάκλασης και ένα τετραπλό άξονα περιστροφής (για την ακρίβεια, η συμμετρία είναι κατά προσέγγιση, αφού η είσοδος είναι απέναντι από μια μεγάλη κυκλική αψίδα). Και πάλι θα βρούμε αντιθέσεις: αψίδα με αψίδα, προσκυνητάρι με ουρανό πάνω σε κιονίσκους με το αντίστοιχό του, θέση με θέση, στήλη με στήλη. Η αυστηρή αξονική συμμετρία δημιουργεί την αίσθηση της ισορροπίας στο χώρο που είναι χαρακτηριστικό της ρωμαϊκής αρχιτεκτονικής. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί, ωστόσο, ότι ούτε οι άξονες ούτε το κεντρικό σημείο γίνεται ρητό μέσω του σχεδιασμού του πεζοδρόμιου της ροτόντας, το οποίο είναι σαν αυτό της βασιλικής και βασίζεται σε μετάφραση σε 113

114 δύο κατευθύνσεις. Έτσι, η συμμετρία είναι μια συσκευή για την οργάνωση της αρχιτεκτονικής, αλλά δεν καθορίζει την κίνηση του θεατή μέσα στο χώρο. Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που διακρίνει τη ρωμαϊκή αρχιτεκτονική από εκείνη των μεταγενέστερων περιόδων, στις οποίες οι άξονες και τα κέντρα χρησιμοποιούνται για να παρέχουν μια συγκεκριμένη δυναμική έμφαση και να ενθαρρύνουν την κίνηση. Μετά την νομιμοποίηση του Χριστιανισμού, τον τέταρτο αιώνα, η χριστιανοί αρχιτέκτονες επέλεξαν να προσαρμόσουν τη Ρωμαϊκή βασιλική στις δικές τους εκκλησιαστικές ανάγκες. Για να γίνει αυτό, αφαιρέθηκαν οι είσοδοι από τον μικρό άξονα και τοποθετήθηκε μια κύρια είσοδος στο ένα άκρο του κύριου άξονα, ενώ ο βωμός βρήκε τη θέση του στην εναπομείνασα αψίδα(εικ.9). Έτσι, η συμμετρία άλλαξε ριζικά, συνεχίζει να υφίσταται μόνο ένα ενιαίο επίπεδο ανάκλασης και όχι επίπεδα περιστροφής: το σχέδιο της χριστιανικής βασιλικής είναι συμμετρικό διμερώς. Ο άξονας συμμετρίας παίρνει ένα πολύ σημαντικό συμβολικό ρόλο: γίνεται ένα μονοπάτι, που συμβολίζει το επίγειο προσκύνημα του χριστιανού είναι ο δρόμος προς την Βασιλεία του Θεού. Τα σχέδια του οδοστρώματος σε πολλές από αυτές τις εκκλησίες καθιστούν σαφή την αξονική συμμετρία που διέπει την αρχιτεκτονική. Η διμερής συμμετρία είναι σε πλεονεκτική θέση έναντι όλων των άλλων τύπων συμμετρίας κατά την Παλαιοχριστιανική, ρομανική και γοτθική περίοδο, που εκτείνονται από το μ. Χ., επειδή εξέφρασε καλύτερα το Χριστιανικό ιδεώδες. Ο Williams παρατηρεί ότι είναι η ανάγκη που εκφράζει την έννοια του προσκυνήματος, αυτή που οδήγησε στην διμερή συμμετρία, η οποία κυριαρχεί στη χριστιανική αρχιτεκτονική μέχρι την Αναγέννηση, και όχι η ανάγκη απλώς για αρχιτεκτονική έκφραση, όπως πρότεινε ο Hermann Weyl,. Εκτός από τη διμερή συμμετρία στο σχέδιο, η αίσθηση της κίνησης κατά μήκος μιας διαδρομής, υπογραμμίζεται από την μετάφραση των στοιχείων σε μια οριζόντια κατεύθυνση, παράλληλα με τον κυρίαρχο διαμήκη άξονα. Είναι αυτό το είδος της δυναμικής, ένδειξη της κατεύθυνσης που λείπει από τη ρωμαϊκή αρχιτεκτονική. Όπως τα αρχιτεκτονικά και φιλοσοφικά ιδεώδη άλλαξαν κατά την Αναγέννηση, το ίδιο έγινε και με τον τύπο της συμμετρίας που 114

115 χρησιμοποιείται πιο συχνά. Η Ιερή αρχιτεκτονική προορίζεται ως μοντέλο του σύμπαντος που δημιούργησε ο Θεός. εικ.17 Προς αυτήν την κατεύθυνση του Ανθρωπισμού, πρόσθεσαν την ιδέα ότι, αφού ο άνθρωπος είναι το πιο σημαντικό δημιούργημα του Θεού στον Κόσμο, η θέση του είναι στο κέντρο της. Η κεντρικά σχεδιασμένη κατασκευή επιλέχθηκε ως η πλέον κατάλληλη έκφραση της αντανακλά την τελειότητας του σύμπαντος, έτσι περιστροφικές και ανακλαστικές συμμετρίες διαδόθηκαν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου. Το κεντρικό σημείο είναι συνήθως σαφές στον σχεδιασμό οδοστρωμάτων: αυτή η ιδιαίτερη έμφαση στον κεντρικό σημείο προκαλεί τον θεατή να τοποθετήσει τον εαυτό του εκεί. Τα σχέδια πεζοδρομίου από το δέκατο πέμπτο, δέκατο έκτο και δέκατο έβδομο αιώνα χρησιμοποιούν περιστροφική, ανακλαστική συμμετρία και συμμετρία ομοιότητας για να τονίσουν το κέντρο. Η ροζέτα είναι ένα μοτίβο που συχνά εμφανίζεται στο πεζοδρόμιο στα σχέδια αυτής της εποχής, όπως για παράδειγμα, στο οκταγωνικό Σκευοφυλάκιο της βασιλικής του S. Spirito στη Φλωρεντία (βλ. σχ. 5 παραπάνω). Εδώ ο ρόδακας σχηματίζεται από τα τμήματα της λογαριθμικής σπείρας. Για να δημιουργηθεί το καμπυλόγραμμο μοτίβο σκακιέρα, ένα λογαριθμικό τμήμα περιστρέφεται πολλές φορές γύρω από το κέντρο προς μία κατεύθυνση, σχηματίζοντας ένα σχέδιο ανεμιστήρα, στη συνέχεια η κατεύθυνση του τμήματος αντιστρέφεται και περιστρέφεται γύρω από το κέντρο τον ίδιο αριθμό φορές προς την αντίθετη κατεύθυνση. Το προκύπτον σχέδιο ρόδακα έχει ενότητες που αυξάνονται σε μέγεθος, αλλά διατηρούν ανάλογη ομοιότητα καθώς κινούνται μακριά από το κέντρο, και 115

116 επομένως χαρακτηρίζονται από συμμετρία ομοιότητας καθώς και περιστροφή και ανάκλαση. Ένα άλλο παράδειγμα από σχέδια αυτής της περιόδου αυτής, μπορεί να φανεί στον καθεδρικό ναό της Φλωρεντίας, S. Maria del Fiore, της οποίας το τραπεζοειδούς σχήματος μονάδες αυξάνονται σε μέγεθος όσο απομακρύνονται από το κέντρο του μοτίβου, αποδεικνύοντας και πάλι την ανάκλαση την περιστροφή και τη συμμετρία ομοιότητας. Αυτά τα σχέδια χωρίς αμφιβολία προσφέρονται επειδή η ψευδαίσθηση της προοπτικής που δημιουργούν είναι ένας άριστος τρόπος να δοθεί έμφαση στο κεντρικό σημείο του σχεδιασμού, και μέσω αυτού, στο κεντρικό σημείο του αρχιτεκτονικού χώρου. Έτσι βλέπουμε ότι σε αυτό το κομμάτι της αρχιτεκτονικής ιστορίας, η κυρίαρχη συμμετρία εξελίχθηκε από μια γενικευμένη αξονική συμμετρία στη ρωμαϊκή εποχή, μέσω της διμερούς συμμετρίας στην Παλαιοχριστιανική, ρομανική και γοτθική εποχή, σε περιστροφική συμμετρία στην Αναγέννηση. Το να αναγνωρίσει κανείς τη συμμετρία σε ένα αρχιτεκτονικό χώρο αποτελεί ένα βήμα προς την κατανόηση της ίδιας της αρχιτεκτονικής, είναι ένα μέσο που βοηθά την ερμηνεία της αρχιτεκτονικής «ιστορίας» που βιώνουμε. 7.5 Συμπεράσματα Μετά τα παραπάνω η μεγάλη ποικιλία από είδη συμμετρίας και διάφορους συνδυασμούς τους, καθώς και η χρήση της συμμετρίας για να ορίσουμε το χώρο, έχει γίνει σαφής. Ωστόσο, το θέμα της συμμετρίας στην αρχιτεκτονική απέχει πολύ από το να εξαντληθεί. Υπάρχουν άλλωστε και κάποιες άλλες πτυχές του θέματος. 116

117 Ένα από αυτά τα θέματα έχει να κάνει με τις «σπασμένες συμμετρίες» όπως τονίζει στη μελέτη του ο Williams. Το Πάνθεον στη Ρώμη προσφέρει ένα παράδειγμα από μια σπασμένη συμμετρία: φέρει την κυλινδρική κάτω ζώνη της ροτόντας που χαρακτηρίζεται από τα τέσσερα επίπεδα ανάκλασης και τετραπλή περιστροφή, ενώ ο ημισφαιρικός θόλος από πάνω χαρακτηρίζεται από είκοσι επτά περιστροφές. Το τέσσερα και το είκοσι επτά δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, έτσι η συμμετρία "σπάει". Ένα άλλο παράδειγμα σπασμένης συμμετρίας βρίσκεται μεταξύ των οριζόντιων κερκίδων του Βαπτιστηρίου της Πίζας, τα οποία βασίζονται σε εναλλακτικές περιστροφές του δώδεκα και του είκοσι. Αυτά βέβαια, είναι ιστορικά παραδείγματα. Πολλά άλλα παραδείγματα υπάρχουν στη σύγχρονη αρχιτεκτονική. Εκκλησία στη Ρώμη σε σχέδιο του Richard Mayer (2003) Ένα άλλο, πολύ σημαντικό ερώτημα σχετικά με την αρχιτεκτονική του σήμερα είναι το εξής: "Γιατί έχουν οι σύγχρονοι αρχιτέκτονες σκοπίμως επιλέξει να αγνοήσουν τα παραδοσιακά είδη της συμμετρίας στην αρχιτεκτονική τους; Τα σχέδια του Richard Meyer και του Frank Gehry στις Ηνωμένες Πολιτείες μας έρχονται στο μυαλό. Το πλεονέκτημα στην εξέταση της σύγχρονης αρχιτεκτονικής έγκειται στο γεγονός ότι οι αρχιτέκτονες σήμερα είναι εν ζωή και έτσι μπορούμε να ζητήσουμε από τον Frank Gehry αρχιτέκτονα του Μουσείου Guggenheim στο Μπιλμπάο, να μάθουμε γιατί έσπασε τη συμμετρία του κτιρίου ενώ δεν μπορούμε ποτέ να μάθουμε από τον αρχιτέκτονα του 117

118 Πάνθεον γιατί έσπασε τη συμμετρία της ροτόντας. Μένει επομένως πάντα ανοιχτό για διερεύνηση το ερώτημα αυτό. Το Μουσείο Guggenheim στο Μπιλμπάο ( Frank Gehry) Οι αριθμοί που ακολουθούν παραπέμπουν στη βιβλιογραφία του Α ΜΕΡΟΥΣ Ελληνική : [1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[11],[12],[13],[15],[16],[17],[21],[22],[23],[28],[29],[30] Ξενόγλωσση: [1],[2],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[13],[14],[15],[21],[22],[23],[24] 118

119 ΜΕΡΟΣ Β Η γεωμετρία ως εργαλείο στην αρχιτεκτονική απεικόνιση 119

120 2.1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάγκη για τάξη και αρμονία, δηλαδή η εσωτερική ανάγκη της γεωμετρικότητας, οφείλεται στην ιδιότητα της ψυχής να επηρεάζεται από διάφορες γεωμετρικές μορφές (η ψυχή συγκινείται, αναστατώνεται, ηρεμεί από αυτές), που μπορούν να θεωρηθούν ως τα αρχέτυπα της καθολικής αρμονίας του σύμπαντος. Η γεωμετρία συμμετέχει στη δομή και στη μορφή των έργων του τρισδιάστατου αρχιτεκτονικού χώρου. Όταν μιλάμε για έργα αρχιτεκτονικής αναφερόμαστε στη σύνθεση και την οργάνωση τεχνητών δομών στο φυσικό χώρο. Σε φυσικό χώρο, αυτές οι τεχνητές δομές, αποτελούν υλοποιήσεις σύνθετων σχημάτων του γεωμετρικού χώρου. Οι εικόνες είναι μία από τις υλοποιημένες εκφράσεις των συνθέσεων του γεωμετρικού χώρου, τις οποίες οι άνθρωποι χρησιμοποιούν ως κώδικα επικοινωνίας. Έτσι από πολύ νωρίς ο άνθρωπος επιδόθηκε στην απεικόνιση διαφόρων μορφών του τρισδιάστατου χώρου πάνω σε μία επιφάνεια. Ο τρόπος απεικόνισης που κάθε φορά επιλεγόταν, διαφοροποιούνταν και διαμορφωνόταν στο πέρασμα των αιώνων, ώστε εκείνη να αποτελεί έναν κώδικα επικοινωνίας και μεταφοράς ιδεών. Προκειμένου λοιπόν ο άνθρωπος να μεταφέρει από τις τρείς διαστάσεις στις δύο, τη μορφή που θέλει να απεικονίσει, χρησιμοποίησε αρχικά τη διαίσθησή του και διάφορες εμπειρικές μεθόδους, τις οποίες σιγά-σιγά με την ανάπτυξη της γεωμετρίας συστηματοποίησε και εξέλιξε. Έτσι αρχικά προέκυψαν οι πρώτες απεικονίσεις που δεν ήσαν παρά τυχαίες παράλληλες προβολές -όπως οι σπηλαιογραφίες- οι οποίες όπως ήταν φυσικό βασίζονταν στην εμπειρία και την παρατήρηση της φύσης, στη συνέχεια οι άνθρωποι προχώρησαν σε αποτυπώσεις των χαρακτηριστικών μιας εικόνας, παραθέτοντας ταυτόχρονα την κάτοψη την πλάγια όψη και την όψη της μορφής στην ίδια εικόνα.(π.χ. αρχαία Αίγυπτος), και αργότερα ανακάλυψαν την προοπτική απεικόνιση. 120

121 Αν θέλουμε να μιλήσουμε για απεικονίσεις μέσω γεωμετρικών μεθόδων έτσι όπως το εννοούμε σήμερα, θα πρέπει να ανατρέξουμε στον Βιτρούβιο που μας πληροφορεί ότι τέτοιες απεικονίσεις έκαναν πρώτοι οι Έλληνες. Συγκεκριμένα ο Βιτρούβιος αναφέρει στο έργο του περί Αρχιτεκτονικής, ότι οι Έλληνες είχαν τρείς τρόπους με τους οποίους προσπαθούσαν να αποδώσουν την ιδέα ενός κτιρίου: αυτό που σήμερα ονομάζουμε κάτοψη την οποία ονόμαζαν ιχνογραφία, αυτό που ονομάζουμε όψη την οποία καλούσαν ορθογραφία, και τέλος την σκηνογραφία αυτό που εννοούμε λέγοντας προοπτική. Σήμερα οι μέθοδοι απεικόνισης του χώρου, αποτελούν γλώσσα αρχιτεκτονικής έκφρασης και η καλή γνώση τους δημιουργεί το εκάστοτε επίπεδο επικοινωνίας κάθε αρχιτέκτονα με τους συναδέλφους, συνεργάτες, πελάτες, κατασκευαστές. Η σχεδιαστική έκφραση κάθε αρχιτεκτονικής σκέψηςπρότασης, απαιτεί την εξοικείωση του κάθε μηχανικού με τις μεθόδους απεικόνισης του χώρου (3 διαστάσεις) στο χαρτί (2 διαστάσεις). Ταυτόχρονα, μέσω των απεικονίσεων, αναπτύσσεται η αντίληψη για τον χώρο, που ένας αρχιτέκτονας, περισσότερο από κάθε άλλο μηχανικό απαιτείται να έχει. Κατ επέκταση, οι διαφορετικές μέθοδοι αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου στις δύο διαστάσεις (π.χ. χαρτί, οθόνη Η/Υ) είναι τα βασικά και απαραίτητα εργαλεία για έναν αρχιτέκτονα. Από τις πολλές γεωμετρικές μεθόδους απεικόνισης που υπάρχουν η αρχιτεκτονική επιλέγει, εκείνες που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες : οι εικόνες πρέπει να υπενθυμίζουν το αντικείμενο που απεικονίζουν πρέπει να προκύπτουν μέσα από απλές γεωμετρικές χαράξεις πρέπει να δίνουν τη δυνατότητα μετρήσεων των διαφόρων μεγεθών, ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή του χωρικού μοντέλου. 121

122 Συνεπώς στην Αρχιτεκτονική, χρησιμοποιούνται τα παρακάτω συστήματα απεικόνισης με γεωμετρικές μεθόδους : 1. Η μέθοδος της κεντρικής προβολής (προοπτική) 2. Η απεικόνιση στο σύστημα των δύο επιπέδων προβολής ( Σύστημα Monge) 3. Η αξονομετρική μέθοδος 2.2) ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ (ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ) 2.2.α) η μέθοδος Σύμφωνα με αυτή ορίζονται ένα επίπεδο προβολής Π και ένα σημείο Ο ως κέντρο προβολής. Έτσι η προοπτική εικόνα ενός χωρικού αντικειμένου, είναι η κεντρική προβολή του πάνω στο επίπεδο. Το επίπεδο προβολής ονομάζεται επίπεδο του πίνακα και ως κέντρο προβολής, θεωρείται το σημείο οράσεως. 122

123 Ένα σημείο Α παριστάνεται (προοπτικά) με το Α, που είναι το σημείο τομής της ΑΟ με το επίπεδο Π. Μια ευθεία ε παριστάνεται στο Π από το ίχνος της πάνω σ` αυτό, το σημείο δηλ. τομής της με το επίπεδο, και με το σημείο φυγής, που είναι το ίχνος μιας ευθείας παράλληλης προς την ε που περνά από το Ο. Ένα επίπεδο Ρ τέλος παριστάνεται από το ίχνος του με το Π και την αντίστοιχη ευθεία φυγής, που είναι η ευθεία τομής του Π με ένα επίπεδο Ρ παράλληλο προς το Ρ και περνά από το Ο. 2.2.β) Η ιστορική διαδρομή της μεθόδου Η προοπτική είναι μέθοδος που εφαρμόστηκε από την εποχή της κλασικής αρχαιότητας, ενώ οι αρχές της διατυπώθηκαν θεωρητικά από τον Ευκλείδη στο έργο του «Οπτικά». Πράγματι στην Ελλάδα από το 7ο και τον 6ο π.χ αιώνα αναζητούνται οι αιτίες και επιχειρούνται ερμηνείες φαινομένων, με αποτέλεσμα η πρακτική γνώση να δίνει σιγά-σιγά τη θέση της στην ελεύθερη αναζήτηση και τη θεωρητική έρευνα. Έτσι στην τέχνη σταδιακά η στατικότητα της Αρχαϊκής εποχής εγκαταλείπεται, και στους κλασικούς χρόνους οι καλλιτέχνες στην προσπάθειά τους να αποδώσουν την οπτική εμπειρία όσο γίνεται πιο πιστά, υποτάσσονται στους οπτικούς νόμους και επιδιώκουν την αληθοφάνεια και το εύρυθμο αισθητικό αποτέλεσμα. Με τον Ευκλείδη γίνεται η πρώτη επιστημονική προσέγγιση των οπτικών φαινομένων μέσα από τις προτάσεις που διατυπώνει και αποδεικνύει στα Οπτικά του. Εκεί ο Ευκλείδης συγκεντρώνει και καταγράφει όλες τις μέχρι τότε εμπειρικές γνώσεις γύρω από την οπτική αντίληψη και επιχειρεί μια γεωμετρική ερμηνεία των οπτικών φαινομένων, παράλληλα όμως δίνει και τη δυνατότητα στους καλλιτέχνες να επινοήσουν μεθόδους απεικόνισης. 123

124 Όπως προαναφέραμε η προοπτική αποδίδεται από τον Βιτρούβιο με τον όρο σκηνογραφία, και όπως μας πληροφορεί ο Ρωμαίος αρχιτέκτονας, ο Σάμιος ζωγράφος Αγάθαρχος, τον 5ο π. Χ αιώνα, ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με αυτήν. Ο τελευταίος μάλιστα προσκλήθηκε από τον Αισχύλο με σκοπό να ζωγραφίσει τα σκηνικά σε κάποια από τις τραγωδίες του (πιθανόν στην Ορέστεια που διδάχτηκε το 458 π. Χ). Στη συνέχεια οι γνώσεις πάνω στην προοπτική απεικόνιση εξελίσσονται και μάλιστα σημαντικά, ιδιαίτερα κατά την Ελληνιστική περίοδο, όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τις τοιχογραφίες της Πομπηίας. 124

125 Αργότερα στη Βυζαντινή Τέχνη, υπάρχει εσκεμμένη απουσία προοπτικής, αν και τα έργα τέχνης αυτής της περιόδου μαρτυρούν τη γνώση των αρχών της. Στην περίοδο του Μεσαίωνα, πολλοί καλλιτέχνες θέτουν κανόνες απεικόνισης επαναλαμβάνοντας στην πραγματικότητα τις αρχές της Ευκλείδειας Οπτικής.(π.χ. Giotto κ.ά.). 125

126 Η προοπτική ως γεωμετρικό σύστημα απεικόνισης, καθιερώθηκε στην περίοδο της Αναγέννησης, εποχή που χαρακτηρίσθηκε από μία στροφή προς τη σκέψη και την Τέχνη των κλασικών χρόνων. Είναι η εποχή που η τέχνη γίνεται ανθρωποκεντρική, οι καλλιτέχνες ανατρέχουν στις αρχαίες πηγές, μελετούν τους φιλοσόφους και τους μαθηματικούς της αρχαιότητας, και προβληματίζονται για τις διαφορές οπτικής αντίληψης και προοπτικής απεικόνισης. Τότε διατυπώνεται από τον Brounelesci και τον Alberti η προοπτική, ως ένα σύστημα γεωμετρικών χαράξεων, που βασίζεται στην κεντρική προβολή το οποίο και υιοθετήθηκε στα έργα τέχνης. Ο οπτικός κώνος του Ευκλείδη, με κορυφή το σταθερό σημείο οράσεως γίνεται για τον Alberti οπτική πυραμίδα και η τομή της με το επίπεδο του πίνακα οδηγεί στην προοπτική απεικόνιση. Αλλά και άλλοι καλλιτέχνες όπως ο Pierro della Francesca και ο Leonardo da Vinci χρησιμοποιούν την προοπτική ως μέθοδο απεικόνισης και εμπλουτίζουν τις γνώσεις τους για την οπτική αντίληψη ανατρέχοντας στα αρχαία κείμενα και ειδικότερα στην Ευκλείδεια Οπτική, όπως γίνεται φανερό από αναφορές τους σε διάφορα σημεία των μελετών τους. 126

127 Οι καλλιτέχνες της αναγέννησης μάλιστα προβληματίστηκαν για τις διαφορές της οπτικής αντίληψης και της προοπτικής απεικόνισης, παραπέμποντας άμεσα ή έμμεσα στην Οπτική του Ευκλείδη. Ο Pierro della Fransesca, επισημαίνει ότι η γωνία στην κορυφή του οπτικού κώνου πρέπει να είναι μικρή ώστε να αποφεύγονται οι παραμορφώσεις στα άκρα της εικόνας, ενώ ο Leonardo da Vinci, στην πραγματεία του περί ζωγραφικής, παρατηρεί ότι τα ίσα μεγέθη με την απομάκρυνση από το σημείο οράσεως απεικονίζονται να αυξάνουν σε μέγεθος ενώ θα έπρεπε να ελαττώνονται. Αυτό σημαίνει ότι θεωρεί την καμπυλόγραμμη θεώρηση του χώρου η οποία ήταν ήδη γνωστή από τους κλασικούς χρόνους και την είχε διατυπώσει ο Ευκλείδης στην Οπτική του. Durer, Χαλκογραφία. Η προοπτική του Αλμπέρτι Σύμφωνα με αυτό το σύστημα η προοπτική απεικόνιση προκύπτει από την κεντρική προβολή των αντικειμένων σε μία σφαιρική επιφάνεια. Το μέγεθος της εικόνας των αντικειμένων είναι τότε συνάρτηση της οπτικής γωνίας με την οποία αυτά φαίνονται από το σημείο παρατήρησης, το οποίο είναι το κέντρο της σφαίρας. Με τον τρόπο αυτό δεν προκύπτουν οπτικά παράδοξα, όπως στην προοπτική απεικόνιση σε επίπεδη πλάκα. Μέσα από ένα τέτοιο σύστημα προοπτικής απεικόνισης τόσο οι ζωγράφοι όσο και οι αρχιτέκτονες της Αναγέννησης υπολόγιζαν με γραφικές χαράξεις τις προοπτικές σμικρύνσεις των 127

128 έργων τους ή οργάνωναν το χώρο, καθόριζαν τις μορφές των κτιρίων, εξουδετέρωναν τις οπτικές απάτες και δυσμορφίες και τόνιζαν τα στοιχεία που αναδείκνυαν τη σύνθεσή τους. Όπως παρατηρεί η Α. Κουρνιάτη στη διατριβή της με τίτλο: Οπτικά του Ευκλείδη και προοπτικές απεικονίσεις, η χωροθέτηση των κτισμάτων στα αρχαία συγκροτήματα είναι πιθανό να γινόταν μέσω ενός γεωμετρικού οπτικού συστήματος, που είχε ως βάση τις οπτικές ακτίνες, τις αντίστοιχες γωνίες και τις αποστάσεις από το καθορισμένο σημείο οράσεως. Αλλά και σύμφωνα με την ίδια ερευνήτρια, τα διάφορα οπτικά τεχνάσματα που χρησιμοποιήθηκαν στα κλασικά μνημεία ερμηνεύονται, συνδυάζοντας την καμπυλόμορφη αντίληψη του χώρου και τη γνώση και εφαρμογή των οπτικών κανόνων από την Οπτική του Ευκλείδη. Το ίδιο παρατηρεί η κ. Κουρνιάτη και για τα προοπτικά τεχνάσματα που εφαρμόστηκαν στα μνημεία της Αναγέννησης. Στα μέσα του 15ου αιώνα ο Ελβετός ζωγράφος K.Witz αποδίδει στους πίνακές του τα αρχιτεκτονικά στοιχεία με καμπύλες ενώ ο Γάλος J. Fouquet χρησιμοποιεί στις μινιατούρες του επίσης έντονες καμπυλότητες Είσοδος του Καρόλου του 4ου στο Saint- Denis Μινιατούρα, 1460, (France, 1460, Bibliotheque Nationale) Αργότερα στα μέσα του 20ου αιώνα ο M.C.Escher προσεγγίζει στις λιθογραφίες του, την καμπυλόγραμμη απεικόνιση μέσω της τομής της οπτικής 128

129 δέσμης, από μία κυλινδρική επιφάνεια, αλλά και θεωρητικοί όπως οι A.Barre και A,Floccon αναλύουν τις προοπτικές απεικονίσεις που προκύπτουν από την τομή της οπτικής δέσμης με σφαιρική επιφάνεια και τη μεταφορά της εικόνας στο επίπεδο, μέσω διαφόρων υπολογισμών, στη μελέτη τους La Perspective Curvilligne. Σκάλες σε μετωπική καμπυλόγραμμη απεικόνιση (A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne) Μέσω της ευθύγραμμης προοπτικής λοιπόν, επιτυγχάνονται εκφραστικές απεικονίσεις του χώρου και των αντικειμένων που περιέχονται σε αυτόν, υπό ορισμένες όμως προϋποθέσεις και περιορισμούς, χωρίς γενικά να παρέχεται η δυνατότητα μετρήσεων των πραγματικών μεγεθών, ενώ στην καμπυλόγραμμη απεικόνιση-οι σχεδιαστικές δυσκολίες της οποίας σήμερα αντιμετωπίζονται με τη χρήση Η/Υ- η εικόνα εξακολουθεί να ανταποκρίνεται στην οπτική μας εμπειρία. 129

130 Ο καμπυλόγραμμος χωρικός κάναβος του Εscher (Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher) 130

131 2.3) ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΓΝΩΣΤΗ ΩΣ «ΜΕΘΟΔΟΣ MONGE» Gaspard Monge, ( ) 2.3.α) Η μέθοδος Η μέθοδος πήρε το όνομά της από τον Monge, γάλλο μαθηματικό και εφευρέτη της παραστατικής γεωμετρίας που αποτέλεσε τη θεωρητική βάση του τεχνικού σχεδίου, ο οποίος πρώτος την επινόησε. Σύμφωνα με τη μέθοδο των ορθογώνιων προβολών, κάθε αντικείμενο του χώρου, απεικονίζεται από δύο ορθές προβολές του σε ένα σύστημα δύο επιπέδων τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους. Θεωρούμε δηλαδή δύο κάθετα επίπεδα e1 και e2, που η ευθεία τομής τους ονομάζεται γραμμή εδάφους, ενώ τα ίδια ονομάζονται επίπεδα προβολής. Κάθε σημείο Α του χώρου παριστάνεται με τις ορθές προβολές του Α'(πρώτη προβολή) και Α'' (δεύτερη προβολή) στα επίπεδα e1 και e2 αντίστοιχα, οι δε αποστάσεις του από το e1 (οριζόντιο επίπεδο) και e2 (κατακόρυφο επίπεδο) ονομάζονται αντίστοιχα ύψος και αποχή του Α.(σχ. 1). Από κάθε σημείο του χωρικού σχήματος προκύπτει το ζεύγος των δύο προβολών του, αλλά και από το ζεύγος των προβολών κάθε σημείου, μπορεί να προκύψει το σημείο του χώρου. Δηλαδή στο σύστημα Monge, το τυχόν σημείο του χώρου είναι ορισμένο και απεικονίζεται μέσω των δύο προβολών του. 131

132 (σχ. 1) Για την παράσταση μιας ευθείας ε, στο σύστημα Monge, δεν έχουμε παρά να θεωρήσουμε δύο σημεία της Α και Β και να ενώσουμε τις αντίστοιχες κατακόρυφες και οριζόντιες προβολές. Ως τέτοια σημεία Α και Β παίρνουμε συνήθως τα σημεία κατά τα οποία η ε τέμνει τα δύο επίπεδα, οπότε το ύψος του ενός σημείου και η αποχή του άλλου μηδενίζονται. Με ανάλογο τρόπο γίνεται και η απεικόνιση πιο σύνθετων σχημάτων. Από το σύνολο των προβολών των κορυφών και των ακμών ενός στερεού σχήματος προκύπτουν οι δύο προβολές του στερεού. 132

133 2.3.β) ΤΟ ΡΩΜΑΙΚΟ ΣΤΑΥΡΟΘΟΛΙΟ & Ο ΜΟΝΑΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΘΟΛΟΣ (ως μελέτη περίπτωσης αλληλοτομίας επιφανειών 2ου βαθμού στο σύστημα Monge) Ορισμοί: Δύο επιφάνειες βαθμών μ και ν αντιστοίχως, τέμνονται κατά καμπύλη βαθμού (μ. ν). Η αλληλοτομία, επομένως, δύο επιφανειών 2ου βαθμού, (π.χ κώνος, κύλινδρος και σφαίρα), είναι γενικά χωρική καμπύλη 4ου βαθμού. Η καμπύλη αυτή, αναλόγως της σχετικής θέσης των δύο επιφανειών, είτε είναι μία συνεχής καμπύλη, (σχ. 2), είτε αποτελείται από δύο τμήματα καμπύλης 4ου βαθμού (σχ. 3 ) σχ. 2 σχ. 3 Στην πρώτη περίπτωση, η αλληλοτομία των δύο επιφανειών είναι κατά διάσπαση (σχ. 2). Στην δεύτερη περίπτωση, η αλληλοτομία είναι κατά διείσδυση (σχ. 3) Στην περίπτωση κατά την οποία οι δύο επιφάνειες έχουν ένα κοινό εφαπτόμενο επίπεδο, η αλληλοτομία των δύο επιφανειών παρουσιάζει ένα διπλό σημείο. (Η 4ου βαθμού καμπύλη διέρχεται δύο φορές από το ίδιο σημείο) (σχ. 4) Το διπλό σημείο της καμπύλης, είναι το σημείο τομής των δύο γενετειρών επαφής των δύο επιφανειών που ανήκουν στο κοινό εφαπτόμενο επίπεδο. Στην περίπτωση κατά την οποία οι δύο επιφάνειες έχουν δύο κοινά εφαπτόμενα επίπεδα, η αλληλοτομία τους, παρουσιάζει δύο διπλά σημεία και ταυτόχρονα 133

134 εκφυλλίζεται σε δύο καμπύλες 2ου βαθμού δηλαδή σε δύο κωνικές. (σχ. 5). Τα διπλά σημείο των δύο κωνικών, είναι τα σημεία τομής των γενετειρών επαφής των δύο επιφανειών που ανήκουν στα κοινά εφαπτόμενα επίπεδα. Σχ.4 Σχ. 5 Ως εφαρμογή αυτής της περίπτωσης μπορούμε να θεωρήσουμε την αλληλοτομία δύο ίσων ημικυλίνδρων (σχ. 6) των οποίων οι άξονες συναντώνται και οι οποίοι έχουν κοινό εφαπτόμενο επίπεδο. σχ. 6 Κατά τη Ρωμαϊκή περίοδο, είναι ευρεία η χρήση κυλινδρικών θόλων, ημικυκλικής διατομής, καθώς και ο συνδυασμός τους για την κάλυψη χώρων 134

135 τετραγωνικής κάτοψης. Από την αλληλοτομία δύο ίσων ημικυλίνδρων ημικυκλικής διατομής, των οποίων οι άξονες συναντώνται, προκύπτει το Ρωμαϊκό Σταυροθόλιο και ο Μοναστηριακός θόλος. (σχ. 7). σχ.7 Οι δύο ημικύλινδροι έχουν κοινό εφαπτόμενο επίπεδο και επομένως τέμνονται κατά δύο ημιελλείψεις. Η αλληλοτομία ανάγεται σε επίπεδες τομές των ημικυλίνδρων, μέσω των οποίων κάθε ημικύλινδρος διαιρείται σε τέσσερα τμήματα. Το ρωμαϊκό σταυροθόλιο προκύπτει από τον συνδυασμό των τμημάτων των ημικυλίνδρων, που περιλαμβάνουν και τις βάσεις τους, ενώ ο μοναστηριακός θόλος από τα υπόλοιπα τμήματα. Στα παραδείγματα που ακολουθούν, οι ημικύλινδροι έχουν τους άξονές τους και τις γενέσεις τους στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και κατά συνέπεια οι ημιελλείψεις της αλληλοτομίας ανήκουν σε κατακόρυφα επίπεδα και προβάλλονται κατά τις διαγώνιους του τετραγώνου ΑΒΓΔ, που αποτελεί την οριζόντια προβολή των τεμνόμενων ημικυλίνδρων. 135

136 (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΣΤΑΥΡΟΘΟΛΙΩΝ) (σχ.8 Τα διάφορα σημεία της αλληλοτομίας των δύο επιφανειών έχουν καθορισθεί με την βοήθεια δέσμης οριζοντίων επιπέδων τα οποία είναι παράλληλα προς τις γενέτειρες των δύο κυλίνδρων και αποτέμνουν και από τις δύο επιφάνειες γενέτειρες. Έτσι, το τυχόν επίπεδο σ, (σχ. 9), της δέσμης, τέμνει τον ένα κύλινδρο κατά τις γενέτειρες α1 και α2 τον δεύτερο κύλινδρο κατά τις β1 και β2. Αυτές τεμνόμενες ορίζουν τέσσερα σημεία της αλληλοτομίας. 136

137 σχ 9 Στο σχήμα 10, το τυχόν οριζόντιο επίπεδο της δέσμης, είναι το επίπεδο σ, υψόμετρου z, το οποίο αποσπά από τον ένα κύλινδρο τις γενέτειρες (1,2) και (3,4) ενώ από τον άλλο, τις γενέτειρες (1,3) και (2,4). σχ

138 Αυτές τέμνονται και ορίζουν τα σημεία 1,2,3 και 4 της τομής, η οποία σε κάτοψη προβάλλεται κατά τις διαγώνιους ΑΓ και ΒΔ του ΑΒΓΔ, στην δε όψη προβάλλεται στο ημικύκλιο της βάσης του κυλίνδρου. Συνήθως απαιτούνται πλάγιες όψεις για να φανούν οι ημιελλείψεις της τομής, όπως στα σχήματα 2 και 7. Στο σχ. 11, απεικονίζεται σε πλάγια διμετρική αξονομετρική προβολή (cavalière) ένα ρωμαϊκού τύπου σταυροθόλιο, στο δε σχ. 12, ένας συνδυασμός ρωμαϊκών σταυροθολίων που έχουν κοινά ή διαφορετικά σημεία στήριξης, και θα μπορούσαν να χρησιμεύσουν για την κάλυψη ενός επιμήκους διαδρόμου. σχ. 11 πλάγια διμετρική αξονομετρική προβολή σταυροθολίου σχ. 12 συνδυασμός ρωμαϊκών σταυροθολίων 138

139 σχ. 13 κάτοψη όψη και πλάγιες όψεις σταυροθολίου ρωμαϊκού τύπου Από τον 6 ο μ.χ. αιώνα, τα αυστηρά γεωμετρικά ρωμαϊκού τύπου σταυροθόλια αρχίζουν να εξελίσσονται σημαντικά. Αρχικά, λόγω του ότι η κατασκευή του ελλειπτικού διαγώνιου τόξου παρουσίαζε δυσκολίες, αυτό αντικαταστάθηκε από κυκλικό τόξο, με μορφή άλλοτε πλήρους ημικυκλίου και άλλοτε τμήματος αυτού.(σχ. 14) σχ

140 Ταυτόχρονα, για να καλυφθούν όχι μόνο τετράγωνοι αλλά και ορθογώνιοι χώροι με σταυροθόλια, εφαρμόζεται η καινοτομία της διαφορετικής διαμέτρου των μετωπικών και εγκαρσίων τόξων. Ακόμα σε μερικές περιπτώσεις χρησιμοποιούνται υπερυψωμένα μετωπικά τόξα ή ημικύλινδροι ελλειπτικής διατομής.στο παραπάνω σχήμα έχει γίνει γεωμετρική ανάλυση και απεικόνιση ενός σταυροθολίου που καλύπτει ένα χώρο ΑΒΓΔ τετραγωνικής κάτοψης. Στο σταυροθόλιο αυτό, τα διαγώνια τόξα είναι τμήματα κατακόρυφων κύκλων με το κέντρο κατάλληλα χαμηλωμένο ως προς το οριζόντιο επίπεδο των γενέσεων των κύκλων των μετώπων. θέρμες Καρακάλα Με αυτόν τον τρόπο, οι κλείδες όλων των τόξων παραμένουν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Η επιφάνεια η οποία ορίζεται από τα τόξα αυτά δεν είναι πλέον κυλινδρική επιφάνεια αλλά μπορεί μνα θεωρηθεί ως μία ευθειογενής επιφάνεια με γενέτειρες οριζόντιες. 140

141 2.4) ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ 2.4.α) Η μέθοδος Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την απλή παράλληλη προβολή ενός αντικειμένου του χώρου επί ενός επιπέδου είναι μεν δυνατό να καθοριστεί το σχήμα αυτό καθ αυτό και η θέση του αντικειμένου στο χώρο, αλλά δεν εξασφαλίζεται η εποπτεία του αντικειμένου. Η μέθοδος της αξονομετρικής απεικόνισης επιτρέπει την προβολή στερεών σε ένα σχέδιο, διατηρώντας τις μετρητικές σχέσεις των τριών διαστάσεων του στερεού, καθώς και την παραλληλία των πλευρών του (σε αντίθεση με την προοπτική), με μετασχηματισμό όμως των επιφανειών του. Αξονομετρική απεικόνιση του Αγ. Πέτρου στη Ρώμη. Σχεδιάστηκε περίπου το 1530 από τον Baldassare Peruzzi ( ) 141

142 Στην πραγματικότητα η αξονομετρία επιτρέπει μια τρισδιάστατη (αλλά αφηρημένη) απεικόνιση του χώρου με κέντρο προβολής το άπειρο. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για απεικονίσεις κτιρίων και κατασκευαστικών ή τεχνικών λεπτομερειών, καθώς με αυτήν μπορούν να απεικονιστούν αντικείμενα με διαφορετικούς τρόπους, προβαλλόμενα ταυτόχρονα από διαφορετικές γωνίες και διευθύνσεις, από ψηλά ή χαμηλά, ενώ επίσης αποδεικνύεται ιδανική για την μελέτη και διερεύνηση των όγκων των κατασκευών. Παράλληλα, μπορεί να συνδυαστεί με τις ορθές προβολές για τη μελέτη αντικειμένων ή κτιρίων τεμνομένων σε διαφορετικά σημεία επιτυγχάνοντας την ταυτόχρονη απεικόνιση του εσωτερικού και του εξωτερικού χώρου (εικ. 1). Η αξονομετρική απεικόνιση ενός κτιρίου από ψηλά, μας δίνει τη δυνατότητα απεικόνισής του, σαν πρόπλασμα, ενώ αντίθετα η απεικόνισή του από κάτω, μας επιτρέπει την απεικόνιση σαν το αντικείμενο ή το κτήριο να είναι τοποθετημένο σε διάφανη βάση. εικ 1 142

143 Με την αξονομετρική προβολή ενός χωρικού σχήματος ουσιαστικά δημιουργούμε μια παράλληλη προβολή του σχήματος σε ένα επίπεδο, και προκειμένου να είναι το σχήμα καθορισμένο, εισάγεται ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο αναφέρεται το χωρικό σχήμα. Τόσο το χωρικό σχήμα όσο και το τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, προβάλλονται παράλληλα προς τη διεύθυνση δ, στο επίπεδο Ε.(σχ. 1) σχ. 1 Αυτή η παράλληλη προβολή του σχήματος, που έχει ως σύστημα αναφοράς, τη παράλληλη προβολή του αρχικού συστήματος, είναι εκείνη που ονομάζεται αξονομετρική προβολή του χωρικού συστήματος. Εάν η διεύθυνση δ είναι πλάγια ως προς το επίπεδο Ε, η αξονομετρική προβολή είναι πλάγια, ενώ αν η διεύθυνση δ είναι κάθετη στο επίπεδο Ε, η αξονομετρική προβολή είναι ορθή. 143

144 2.4.β) Σύστημα προβολής Το σύστημα της αξονομετρικής προβολής έχει άμεση σχέση με το σύστημα Monge και τις ίδιες αρχές. Είναι το σύστημα κατά το οποίο μας δίνεται η δυνατότητα να δούμε τρισδιάστατες εικόνες των σχημάτων του χώρου, χωρίς όμως να έχουμε προοπτική. Όπως στην παραστατική γεωμετρία χρησιμοποιούμε ένα σύστημα αξόνων Οxyz τέτοιο, ώστε ο άξονας των y να παριστάνεται σαν οριζόντια γραμμή (άξονας y12), η περιοχή κάτω από τον άξονα y12 είναι εκείνη των θετικών αποστάσεων (+x) και η περιοχή πάνω από τον y12 είναι η περιοχή των θετικών υψομέτρων (+z) (σχ. 1). Το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxyz αλλάζει θέση στην αξονομετρία και υπάρχουν διάφοροι τρόποι διάταξής του: Ισομετρική αξονομετρική προβολή. Είναι η πιο αληθοφανής προβολή. Οι άξονες x,y,z σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες 120 και τα μοναδιαία διανύσματα απεικονίζονται από τη σχέση 144

145 1:1:1 (σχ. 2). Μπορούμε να στρέψουμε τους άξονες x και y το πολύ μέχρι 18⁰ και να διατηρήσουμε τα μοναδιαία διανύσματα με τη σχέση 1:1:1 (σχ. 3). (σχ.2) (σχ.3) Πλάγια διμετρική αξονομετρική προβολή (Cavalière). Στη μετωπική διμετρική προβολή οι άξονες y και z είναι κάθετοι μεταξύ τους, ενώ ο άξονας x σχηματίζει με τον z γωνία ω, που μπορεί να είναι 30, 45 ή 60 (σχ. 4). (σχ. 4) (σχ. 5) Στην οριζόντια διμετρική προβολή οι άξονες x και y είναι κάθετοι μεταξύ τους, ενώ ο άξονας z σχηματίζει με τον χ γωνία ω, ίση με 30, 45 ή 60 (σχ. 5). Και στις δύο περιπτώσεις οι αναλογία των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι 1:1:½. 145

146 Τριμετρική αξονομετρική προβολή. (σχ. 6) Στην τριμετρική προβολή οι άξονες x, y, z σχηματίζουν μεταξύ τους τυχαίες γωνίες, τα δε μοναδιαία διανύσματα είναι μεταξύ τους διάφορα (σχ. 6). Συνήθως δε στρέφουμε τον άξονα z περισσότερο από 18 από την κατακόρυφη, για να μην έχουμε παράδοξες απεικονίσεις. Επειδή με τη μέθοδο αυτή επιτυγχάνονται εκφραστικές απεικονίσεις των χωρικών σχημάτων, ενώ ταυτόχρονα μέσω απλών κατασκευών παρέχεται και η δυνατότητα καθορισμού των πραγματικών μεγεθών, η αξονομετρική προβολή είχε ανέκαθεν ευρεία χρήση στην Αρχιτεκτονική. Οι αριθμοί που ακολουθούν παραπέμπουν στην βιβλιογραφία του Β ΜΕΡΟΥΣ Ελληνική : [8],[9],[10] 146

147 ΜΕΡΟΣ Γ Γεωμετρία Αρχιτεκτονική: οι σύγχρονες μορφές τους 147

148 3.1 ΚΑΜΠΥΛΕΣ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η σχέση των μαθηματικών με τις τέχνες και την αρχιτεκτονική είναι ένα θέμα που έχει τις ρίζες του στην αρχαιότητα. Από τη στιγμή που ο αριθμός με τη μορφή του λόγου και των αναλογιών, κυριαρχεί στο γεωμετρικό σχήμα, η αισθητική μαθηματικοποιείται και όπως έχουμε ήδη αναφέρει η χρυσή τομή (Φ) αποτέλεσε μια από τις αρχαιότερες εκφράσεις αυτής της αισθητικής. Στο πρώτο μέρος της εργασίας αναφερθήκαμε στα προβλήματα της αισθητικής των αναλογιών, της χρυσής τομής, των αρμονικών χαράξεων και των συμμετριών με τα οποία όπως είδαμε ασχολήθηκαν κατά καιρούς πολλοί ερευνητές και διάσημοι μαθηματικοί. Στα τέλη του 19 ου αιώνα ο F. Klein, μελέτησε τις σχέσεις των παραβολικών γραμμών που χάραξε πάνω στο κλασσικό έργο Απόλλων του Belvedere και αναζήτησε τη σύνδεση μεταξύ της μαθηματικής έκφρασης που καθορίζει την μορφή μιας επιφάνειας, και του απόλυτου κάλλους. Πρόκειται για ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα το οποίο προοιώνιζε τις γεωμετρικές αναζητήσεις της σύγχρονης εποχής στον χώρο των πλαστικών τεχνών και ιδιαίτερα στην αρχιτεκτονική και στην γλυπτική. Στην ενότητα αυτή θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε και να κατανοήσουμε τις δομικές και μαθηματικές ιδιότητες αυτών των καμπυλόμορφων γεωμετρικών επιφανειών, έχοντας κατά νου ότι το ευχάριστο αίσθημα και η αρμονία της αρχιτεκτονικής δομής, οφείλεται όχι μόνο στα διαρθρωτικά και διακοσμητικά υλικά που χρησιμοποιούνται, αλλά συνδέεται και με τις εγγενείς ιδιότητες της γεωμετρικότητάς τους. Η αρμονία των σχημάτων και των χρησιμοποιούμενων μορφών δεν σχετίζεται επομένως μόνο με την καλλιτεχνική δημιουργικότητα, αλλά είναι άρρηκτα δεμένη με μαθηματικούς κανόνες. 148

149 Θα εστιάσουμε σε καμπύλες και επιφάνειες που εμφανίζονται σε προσόψεις, θόλους και τρούλους ανατρέχοντας σε παραδείγματα τόσο από την Ιστορία της αρχιτεκτονικής όσο και από τη Σύγχρονη αρχιτεκτονική, ενώ θα παραθέσουμε πρώτα τα βασικά μαθηματικά στοιχεία που περιγράφουν αυτές τις επιφάνειες, και συγκεκριμένα τις παραμετρικές μορφές αυτών. Πιο αναλυτικά στον 3-σδιάστατο ορθογώνιο Καρτεσιανό χώρο Οxyz, μια κανονική καμπύλη αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες εξαρτώνται από την παράμετρο t δηλαδή όταν ικανοποιούνται οι συνήθεις συνθήκες κανονικότητας. και Μια κανονική επιφάνεια αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα εξαρτημένο από δύο πραγματικές παραμέτρους και 149

150 Παραθέτουμε παρακάτω τις βασικές κανονικές καμπύλες και επιφάνειες. 150

151 Επίσης παρουσιάζουμε παρακάτω τις βασικές κανονικές τετραγωνικές επιφάνειες: Να σημειώσουμε εδώ ότι ο κύλινδρος ο κώνος το υπερβολοειδές ενός φύλλου και το υπερβολικό παραβολοειδές είναι ευθειογενείς επιφάνειες (ruled), δηλαδή μέσα από κάθε σημείο τους περνά τουλάχιστον μία ευθεία γραμμή που 151

152 βρίσκεται εξολοκλήρου πάνω στην επιφάνεια. Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν και να προσαρμοστούν, στη γεωμετρία πολλών σχημάτων. Κυλινδρικές, κωνικές και υπερβολικές επιφάνειες μπορούμε να αναγνωρίσουμε σε πολλά αρχιτεκτονικά έργα. (εικ.1,2) εικ.1: Η όπερα της Λυών εικ.2: Πύργος ψύξης στο Μιλάνο Κατά την διάρκεια του 20 ου αιώνα γεωμετρικές επιφάνειες όπως οι ευθειογενείς και οι εκ περιστροφής, χρησιμοποιήθηκαν για την πραγματοποίηση πρωτοποριακών αρχιτεκτονικών συνθέσεων και όπως αναφέρει ο Π.Ξαγοράρης πολλοί ήσαν οι μελετητές που ασχολήθηκαν και με την έρευνα των στατικών τους ιδιοτήτων. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αρχιτεκτονικής σύνθεσης με ευθειογενείς επιφάνειες έργο του Le Corbusier και του Γιάννη Ξενάκη ήταν το περίπτερο της Philips στην διεθνή έκθεση των Βρυξελλών το 1958.(εικ. 3,4) Εκείνο που οι δύο δημιουργοί επιδίωξαν να πετύχουν ήταν η κάλυψη ενός επίπεδου σχήματος με τις λιγότερες δυνατές ευθειογενείς επιφάνειες. Αποτέλεσμα ήταν και ύστερα από πολλές αναζητήσεις- η τελική μορφή του έργου να διαμορφωθεί από εννέα υπερβολικά παραβολοειδή και έναν κώνο, ενώ το επίπεδο σχήμα του εδάφους σχηματίστηκε από τόξα υπερβολών.(εικ. 3 &4) 152

153 εικ.3. : Σχέδια του Ξενάκη στα οποία διακρίνουμε τους διάφορους μετασχηματισμούς που καθόρισαν την τελική μορφή του έργου εικ.4 :το περίπτερο της Philips (1958)( Le Corbusier,Γ. Ξενάκης) 153

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ηρεμία, στατικότατα, σταθερότητα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ηρεμία, στατικότατα, σταθερότητα ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (μάθημα κατεύθυνσης) Τι είναι η δομή και η σύνθεση ενός εικαστικού έργου. Είναι η οργάνωση όλων των στοιχείων ενός έργου σε ένα ενιαίο σύνολο με στόχο να εκφράσουν κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης)

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΣΧΕΔΙΟ (Ελεύθερο και Προοπτικό) και που ενδέχεται

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Τρισδιάστατο μοντέλο των όγκων

Τρισδιάστατο μοντέλο των όγκων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γεωμετρία σαν εργαλείο στην αρχιτεκτονική Όπως είναι γνωστό από την ανάλυση του θέματος ενός κτιριακού έργου και τη σύνταξη του γενικού κτιριολογικού προγράμματος 1, μπορούμε να ορίσουμε τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Γ' Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΕΛΕΥΘΕΡΟ-ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ( Εικαστική και Αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΦΩΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ. Το άρθρο αυτό έχει ως σκοπό την παράθεση των αποτελεσμάτων πάνω σε μια έρευνα με τίτλο, οι ιδέες των παιδιών σχετικά με το

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος. Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 2 ώρες /εβδοµάδα. Αθήνα, Απρίλιος 2001

Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος. Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 2 ώρες /εβδοµάδα. Αθήνα, Απρίλιος 2001 Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 2 ώρες /εβδοµάδα Αθήνα, Απρίλιος 2001 Σελίδα 1 από 8 Μάθηµα: «Ιστορία Ενδυµασίας Ι». Α. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Το µάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014

1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014 1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014 Συνθεση πινακίδας παρουσίασης συνθετικά και γεωμετρικά στοιχεία Εισαγωγη στην Αρχιτεκτονικη Συνθεση Θεμα 1ο ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ ΓΡΑΦΑΚΟΥ Καθηγήτρια της Σχολης Αρχιτεκτονων Ε.Μ.Π. Εικονογραφηση

Διαβάστε περισσότερα

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ Φύση και Μαθηματικά Η χρυσή τομή φ Ερευνητική Εργασία (Project) Α' Λυκείου 1ο ΓΕΛ Ξάνθης 2011 2012 Επιβλέποντες καθηγητές Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Βασιλική Κώττη Φύση και Μαθηματικά 2 Τι είναι η χρυσή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΘΕΜΑΤΟΣ: 18673 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/12/2014 ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΚΕΙΜΕΝΟ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ Α. Ο συγγραφέας του παρόντος κειμένου παρουσιάζει τον προβληματισμό του αναφορικά με

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Α ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ. Ο Α Κύκλος Σπουδών οδηγεί στην απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης στην «Οπτική και Όραση».

Α ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ. Ο Α Κύκλος Σπουδών οδηγεί στην απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης στην «Οπτική και Όραση». Α ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Ο Α Κύκλος Σπουδών οδηγεί στην απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης στην «Οπτική και Όραση». 1. Προϋποθέσεις για τη λήψη Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης (Μ.Δ.Ε.) Κάθε Μεταπτυχιακός

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι 1.Ελλιπής ή ατελής διδασκαλία της σύγχρονης γεωμετρίας στα λύκεια. 2.Ελάχιστες ώρες μαθηματικών και έλλειψη ολοκληρωμένης διδασκαλίας της σύγχρονης γεωμετρίας στις σχολές "οικοδόμων" μηχανικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ulrich Rückriem. Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

Ulrich Rückriem. Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Ulrich Rückriem Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Το Εθνικό Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης επιχορηγείται από το Υπουργείο Πολιτισµού Eκπαιδευτικό Πρόγραµµα για Μαθητές ηµοτικού Οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΦΥΣΗ, ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΦΥΣΗ, ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΦΥΣΗ, ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Η αισθητική της Φύσης και της Τέχνης και η Λογική των Μαθηματικών» για όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες Το Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα «ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Το κτίριο περιγράφεται σχηµατικά από το τρίπτυχο: δοµή, µορφή, περιεχόµενο

Το κτίριο περιγράφεται σχηµατικά από το τρίπτυχο: δοµή, µορφή, περιεχόµενο Το κτίριο περιγράφεται σχηµατικά από το τρίπτυχο: δοµή, µορφή, περιεχόµενο Τύπος είναι µια επαναλαµβανόµενη αναγνωρίσιµη οργανωτική δοµή. εν έχει διαστάσεις και κλίµακα. Βρίσκεται σε διαλεκτική σχέση µε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα