PDF processed with CutePDF evaluation edition

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PDF processed with CutePDF evaluation edition"

Transcript

1 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας 3. Κατανοµές (µέου, αναλογίας) 4. Περιγραφή της χέης Κατανοµών Πληθυµού και Κατανοµών 5. Ιδιότητες ηµειακών εκτιµητών 6. Εξέταη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος 7. Επίλυη Προβληµάτων Κατανοµών - - ειγµατοληψία ειγµατοληψία ειγµατοληψία: Η διαδικαία επιλογής δείγµατος από έναν πληθυµό. Στόχος είναι η εκτίµηητων των τιµών παραµέτρων του πληθυµού (π.χ. µέη τιµή, αναλογία, διακύµανη) Απαραίτητη γιατί υνήθως δεν είναι δυνατό να γίνουν µετρήεις εόλατα τοιχεία (µονάδες) ενόςπληθυµού. Ο πληθυµός µπορεί να είναι άπειρος ή πολύ µεγάλου µεγέθους Ο πληθυµός µπορεί να είναι θεωρητικός (π.χ. οι µονάδες που τον απαρτίζουν είναι µέρος µιας διαδικαίας ε εξέλιξη) Περιοριµοί χρόνου και οικονοµικού κότους Ηµέτρηη µπορεί να υνεπάγεται κατατροφή των µονάδων ειγµατοληψία Τα δείγµατα επιλέγονται από έναν πληθυµό τατιτικών µονάδων µε χρήη ενός δειγµατικούπλαιίου,, δηλαδή µιας λίταςυτηµατικής υτηµατικής καταγραφής των µονάδων που απαρτίζουν τον πληθυµό, π.χ. δίνοντας έναν αριθµό (από έως Ν) ) ε κάθε µονάδα. ύο τύποι δειγµάτων: Πιθανοτικά (ή τυχαία) δείγµατα: : οι δειγµατικές µονάδες επιλέγονται µε χρήη ενός µοντέλου πιθανότητας, π.χ. µε έναν πίνακα τυχαίων αριθµών που προκύπτουν από µια οµοιόµορφη κατανοµή πιθανότητας Μη-πιθανοτικά δείγµατα: : τα δείγµατα επιλέγονται µε µη τυχαίο τρόπο είγµατα ευκολίας: : επιλογή µε βάη την ευκολία προέγγιης των δειγµατικών µονάδων είγµατα που επιλέγονται µε βάη την κρίη του αναλυτή - 5 Τυχαία ειγµατοληψία Συνηθέτερα είδη τυχαίας δειγµατοληψίας Απλή τυχαία δειγµατοληψία Συτηµατική δειγµατοληψία Στρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία ειγµατοληψία κατά υτάδες - 6 PDF processed with CutePDF evaluatio editio

2 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Απλό τυχαίο δείγµα - Πεπεραµένος πληθυµός: Ένα απλό τυχαίο δείγµαµεγέθους µεγέθους από πληθυµό µεγέθους Νείναι ένα δείγµα επιλεγµένο µε τέτοιο τρόπο ώτε κάθε δυνατό δείγµα µεγέθους έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί. Σκοπός της χρήης τυχαίου δείγµατος από έναν πληθυµό είναι η µέγιτη δυνατή αντιπροωπευτικότητατων πληροφοριών που υλλέγονται από το δείγµα αναφορικά µε τα χαρακτηριτικά του πληθυµού. - 7 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Πλήθος τρόπων λήψης τοιχείων από πληθυµό Ν τοιχείων (αριθµός δειγµάτων µεγέθους ) Η διάταξη ενδιαφέρει Με χρήη υνδυατικής ανάλυης Χωρίς επανάθεη Με επανάθεη!! ( )! Η διάταξη δεν! + ( + )! ενδιαφέρει Από την πολλαπλαιατική αρχή της απαρίθµηης!( )!!( )! - 8 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Παράδειγµα Πλήθος τρόπων λήψης 0τοιχείων από πληθυµό 00τοιχείων (αριθµός δειγµάτων µεγέθους 0 ) Η διάταξη ενδιαφέρει Η διάταξη δεν ενδιαφέρει Χωρίς επανάθεη Με επανάθεη! 00, ! ( )! , Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Απλό τυχαίο δείγµα -Πεπεραµένος πληθυµός: Η πιθανότητα επιλογήςκάθε δυνατού δείγµατος µεγέθους µπορεί να υπολογιτεί θεωρητικά όταν ο πληθυµός είναι πεπεραµένος: ειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη: Ένα τοιχείο µπορεί να υµπεριληφθεί το δείγµα περιότερες από µία φορές. Πλήθος δειγµάτων µεγέθους από πληθυµό µεγέθους Ν: Πιθανότητα επιλογής κάθε δείγµατος: - 0 Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Απλό τυχαίο δείγµα - Πεπεραµένος πληθυµός: ειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη: Ένα τοιχείο µπορεί να υµπεριληφθεί το δείγµα µονάχα µία φορά Πλήθος δειγµάτων µεγέθους από πληθυµό µεγέθους Ν: Πιθανότητα επιλογής κάθε δείγµατος:! ( )! ( )!! Πλήθος διαφορετικών δειγµάτων µεγέθους πληθυµό µεγέθους Ν:!!( )! από - Επιλογή τυχαίου δείγµατος -Πεπεραµένος πληθυµός: Γίνεται χρήη του δειγµατικού πλαιίου, δηλαδή µιας λίτας υτηµατικής καταγραφής των µονάδων που απαρτίζουν τον πληθυµό. Καταγράφονται οι µονάδες του πληθυµού δίνοντας έναν αριθµό (από έωςν)ε κάθε µονάδα. Τα τοιχεία του δειγµατικού πλαιίου ονοµάζονται µονάδες δειγµατοληψίας -

3 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων µονάδες Πληθυµός Ν7 3 ειγµατικό πλαίιο Λίτα µονάδων Αϖλή Τυχαία ειγµατοληψία Επιλογή τυχαίου δείγµατος -Πεπεραµένος πληθυµός: Τα τοιχεία του δείγµατος επιλέγονται µε τη χρήη (ψευδο)τυχαίων αριθµών. Αυτοί παράγονται από Η/Υ µε ειδικούς αλγόριθµους. Είναι ακολουθίες ψηφίων απότο 0έωςτο 9που επιλέγονται υνήθως από µια οµοιόµορφη κατανοµή, δηλαδή κάθε ψηφίο έχει την ίδια πιθανότητα εµφάνιης. Επίης, η πιθανότητα εµφάνιης κάθε ψηφίου ε µια υγκεκριµένη θέη την ακολουθία είναι ταθερή και ανεξάρτητηαπότο τοποια ψηφία έχουνπροηγηθεί. - 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ειγµατικό πλαίιο Επιλογή δείγµατος µεγέθους 5 Βήµα ο : Τυχαία επιλογή ηµείου έναρξης τον Π.Τ.Α. Βήµα ο: Επιλογή απλού τυχαίου δείγµατος µεγέθους 5µε ή χωρίς επανατοποθέτηη (ανάλογα µε το πρόβληµα) Λίτα µονάδων ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

4 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων ειγµατικό πλαίιο είγµα Λίτα µονάδων Συτηµατική δειγµατοληψία Χρήιµη για τοιχεία καταγεγραµµένα ε δειγµατικό πλαίιο, καθώς και για τοιχεία διατεταγµένα το χώρο ή το χρόνο (π.χ. προϊόντα παραγόµενα ε ειρά). Η επιλογή δείγµατος µεγέθους από δειγµατικό πλαίιο (ή πληθυµό) µεγέθους Ν γίνεται µε υτηµατικό τυχαίο τρόπο ως εξής: Υπολογίζεται το διάτηµα (ή βήµα) δειγµατοληψίας ίο µε Ν/ Επιλέγεται τυχαία ένα ακέραιο ηµείο έναρξης,, έτω k, από το έως το Ν/ Επιλέγονται οι µονάδες µε ακέραια βήµατα ία µε Ν/,, δηλαδή αυτάµε αύξοντες αριθµούς { k, k+ν/ +Ν/, k+ν/ +Ν/,, k+( +(-) )Ν/ Ν/} Συτηµατική δειγµατοληψία Παράδειγµα: Έτω πληθυµός µεγέθους 000. Επιλογή δείγµατος µεγέθους 0. ιάτηµα (ή βήµα) δειγµατοληψίας / 00. Σηµείο έναρξης (k) : Επιλέγεται µε τυχαία λήψη από το ύνολο {,,,00} Έτω k3 Τότε, το επιλεγµένο δείγµα απαρτίζεται από τα τοιχεία : { k, k+ν/ +Ν/, k+ν/ +Ν/,, k+( +(-) )Ν/ Ν/} {3, 3, 3, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93} Συτηµατική δειγµατοληψία Παρέχει έναν απλό τρόπο επιλογής τυχαίου δείγµατος Τα τοιχεία του πληθυµού πρέπει να είναι τυχαία διατεταγµένα (τουλάχιτον ως προς τις τιµές των χαρακτηριτικών που µετρούνται), αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος µεροληψίας. π.χ. αν η διάταξη είναι περιοδική, υπάρχει ο κίνδυνος να υµπεριλαµβάνονται το δείγµα τοιχεία µε υτηµατικά µεγάλες (ή µικρές) τιµές ε χέη µε το ύνολο των τιµών. - - Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Ο πληθυµός µπορεί να υποδιαιρεθεί ε οµάδες (τρώµατα τρώµατα) µε βάη τις τιµές µιας ή περιότερων µεταβλητών τρωµατοποίηης (π.χ.ηλικιακή οµάδα, φύλο, ειοδηµατική οµάδα, κ.ο.κ) Τυχαία δείγµατα επιλέγονται από κάθε τρώµα και όχι από τον υνολικό πληθυµό. Η ένωή τους είναι το τελικό δείγµα. Είναι ιδιαίτερα χρήιµη όταν η µεταβλητότητα ε κάθε τρώµα είναι πολύ µικρότερηαπό τη µεταβλητότητα τον υνολικό πληθυµό Έχει υνήθως λιγότερο κότος από την απλή τυχαία δειγµατοληψία Παρέχει µεγαλύτερη ακρίβεια εκτίµηης Αυξάνει την αντιπροωπευτικότητα του δείγµατος - 3 Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Επιλογή τρωµατοποιηµένου τυχαίου δείγµατος: Επιλέγουµε το µέγεθος του δείγµατος,. Για κάθε τρώµα επιλέγουµε το µέγεθος δείγµατος i - υνήθως επιλέγουµε αναλογικά µεγέθη δείγµατος Αναλογικά µεγέθη είναι εύκολο να προδιοριτούν (αγνοώντας όµως τις διαφορές τη µεταβλητότητα των τρωµάτων) - 4

5 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Παράδειγµα: Έτω δειγµατικό πλαίιο όλων των 5000 πιτών πελατώντου ουπερµάρκετ ETTO ε µια περιοχή Το ETTO θέλει να εκτιµήει το µέο ποό χρέωης αυτών των πελατών ε όλες τις πιτωτικές κάρτες που κατέχουν, µαζί µε επιπλέον χαρακτηριτικά της χρήης της πίτωής τους. Η εταιρία αποφαίζει να τρωµατοποιήει τους πελάτες κατά ηλικία και να επιλέξει τρωµατοποιηµένοτυχαίο τυχαίο δείγµα µεγέθους 500 αναλογικά καικατόπιν κατόπιν να έρθει ε τηλεφωνική επαφή µε τα άτοµα αυτά. Πώς θα προχωρήει την επιλογή δείγµατος; Στρωµατοϖοιηµένη δειγµατοληψία Παράδειγµα Στρωµατοποίηη κατά ηλικία ιαφορετικές ηλικιακές οµάδες ενδέχεται να έχουν διαφορετική υµπεριφορά τη χρήη πίτωης Έτω πως επιλέγονται 5 ηλικιακές κατηγορίες: : 8-4, 5-34, 35-49, ad Επιλογή δείγµατος: Μέγεθος τελικού δείγµατος 500 (πληθυµός: Ν5000) Έτω Νi το µέγεθος κάθε τρώµατος Από κάθε τρώµα επιλέγονται (αναλογικά) µε απλή τυχαία δειγµατοληψία i 500 Νi /5000 τοιχεία ειγµατοληψία κατά υτάδες Υποθέτε ότι µας ενδιαφέρουν τα χαρακτηριτικά των νοικοκυριών ε µια πόλη Μονάδες δειγµατοληψίας είναι τα νοικοκυριά Μπορούµε να χωρίουµε την πόλη ε οικοδοµικά τετράγωνα ως µονάδες δειγµατοληψίας και κατόπιν να πάρουµε όλα τα νοικοκυριά των επιλεγµένων τετραγώνων Τα οικοδοµικά τετράγωνα ονοµάζονται «υτάδες»και η δειγµατοληψία ονοµάζεται δειγµατοληψία κατά υτάδες Το πλεονέκτηµά της είναι η ευκολίατης δειγµατοληψίας και το ενδεχόµενα µικρότερο κότος Όταν επιλέγονται όλες οι µονάδες δειγµατοληψίας κάθε υτάδας έχουµε δειγµατοληψία «ενός ταδίου» Πραγµατικές διαδικαίες δειγµατοληψίας είναι υνήθως πιο περίπλοκες και περιλαµβάνουν περιότερα τάδια - 7 Παράµετροι και Εκτιµητές - 8 Κατανοµές και Παράµετροι Πληθυµού πληθυµούτυχαίας µεταβλητής Χ: Η κατανοµή πιθανοτήτων της Χ, έτω f(), της οποίας όλες οι δυνατές τιµές της το ύνολο των τατιτικών µονάδων αποτελούν τον πληθυµόενδιαφέροντος. Παράµετροι πληθυµού τυχαίας µεταβλητής Χ: Οι παράµετροι (ταθερές ποότητες όπως ο µέος όρος µκαι η διακύµανη ή η αναλογία επιτυχιών pµιας µεταβλητής Beroulli) της κατανοµής πληθυµού ονοµάζονται παράµετροι πληθυµού ή απλά παράµετροι. Όταν η κατανοµή πληθυµού είναι γνωτή είναι προφανώς γνωτοί και οι παράµετροι πληθυµού. Τις περιότερες φορές όµως οι παράµετροι δεν είναι γνωτές και πρέπει να εκτιµηθούν από ένα ή περιότερα δείγµατα. - 9 Στατιτικές Συναρτήεις - Εκτιµητές Οι παράµετροι του πληθυµού εκτιµούνται χρηιµοποιώντας υναρτήεις των τιµών του δείγµατος που ονοµάζονται τατιτικές υναρτήεις ή απλά τατιτικές. Έτω πως έχουµε τυχαίο δείγµα µεγέθους. Ορίζουµε τις τυχαίες µεταβλητές Χ i τιµήτηςχτην i -λήψητοιχείουτουδείγµατος, i,, Οι µεταβλητές αυτές είναι τυχαίες καθώς µπορούν να λάβουν διαφορετικές τιµές, έτω i, ε διαφορετικά δείγµατα µεγέθους. Συνεπώς, ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους µπορεί να περιγραφεί από τις τιµές των τυχαίων µεταβλητών. Όταν ο πληθυµός είναι άπειρος ή η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, τότεοιχ i είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε κατανοµή πιθανότητας f() - δηλαδή την κατανοµή πληθυµού. - 30

6 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Στατιτικές Συναρτήεις - Εκτιµητές Στατιτικές υναρτήεις ή εκτιµητές Παραδείγµατα: Για δείγµατα µεγέθους i i S i i ( ) i ˆ P, 0, i i { } ειγµατικός µέος ειγµατική διακύµανη ειγµατική αναλογία - 3 Στατιτικές Συναρτήεις - Εκτιµητές Στατιτικές υναρτήεις ή εκτιµητές Είναι τυχαίες µεταβλητές που χρηιµοποιούνται για να εκτιµήουν µια παράµετρο πληθυµού π.χ. δειγµατικός µέος, δειγµατική αναλογία, δειγµατική διακύµανη π.χ. : ο δειγµατικός µέος είναι ένας εκτιµητής του µέου του πληθυµού µ Αν ε ένα δείγµα 3, τότε η τιµή 3είναι η εκτίµηη του µ Βάη της διαδικαίας εκτίµηης είναι η κατανοµή δειγµατοληψίας - 3 Σηµειακή Εκτίµηη και Σφάλµα Παράδειγµα: Ειοδήµατα Σε µια µικρή γεωγραφική περιοχή το πλήθος των εργαζοµένων ανέρχεται ε 50άτοµα. Θέλουµε να αντλήουµε τις παρακάτω πληροφορίες: το µέο ειόδηµα των 50 εργαζοµένων και την διαπορά του ειοδήµατος την αναλογίατων εργαζοµένων µε ειόδηµα άνω των 850 ευρώ Παράδειγµα: Ειοδήµατα Θα δούµε δυο τρόπους για να λάβουµε τις πληροφορίες αυτές. Απογραφή και των 50 εργαζοµένων Επιλογή τυχαίου δείγµατοςεργαζοµένων εργαζοµένων µε µέγεθος (έτω 30) Παράδειγµα: Ειοδήµατα Απογραφή και των 50 εργαζοµένων Αν τα δεδοµένα για όλους τους 50 εργαζοµένους είναι διαθέιµα οι ϖαράµετροι ϖληθυµού ϖου µας ενδιαφέρουν µϖορούν να υϖολογιτούν. Ας υϖοθέουµε ϖως είναι ϖρακτικά δυνατόν να διεξάγουµε αϖογραφή. Σύνολο εδοµένων

7 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Παράδειγµα: Ειοδήµατα Σύνολο εδοµένων Παράδειγµα: Ειοδήµατα Μέο ειόδηµα τον πληθυµό i µ Τυπική απόκλιη τον πληθυµό ( i µ ) Αναλογία πληθυµού µε ειόδηµα >850 ευρώ 34 p Παράδειγµα: Ειοδήµατα Το ως εκτιµητής του µ Το s ως i ως εκτιµητής του s ( ) 9 Το ως εκτιµητής του p i Παρατήρηη: ιαφορετικό δείγµα θα οδηγούε ε διαφορετικές ηµειακές εκτιµήεις. 5 p ˆ Παράµετρος Πληθυµού µ Μέο ειόδηµα ϖληθυµού Τυϖική αϖόκλιη ειοδήµατος τον ϖληθυµό p Αναλογία µε ειόδηµα > 850 τον ϖληθυµό Περίληψη Σηµειακών Εκτιµήεων αϖό ένα Αϖλό Τυχαίο είγµα Τιµή Παραµέτρου Εκτιµητής Σηµείου Σηµειακή Εκτίµηη ειγµατικό 805 µέο ειόδηµα 49.5 s ειγµατική τυϖ. αϖόκλιη ειοδήµατος ειγµατική 0.67 αναλογία µε ειόδηµα > Στατιτική Συµϖεραµατολογία ιαδικαία της Στατιτικής Συµπεραµατολογίας Πληθυµός µε µέο µ ; Στην τιµή του βαίζουµε τα υµϖεράµατά µας για την τιµή του µ. Εϖιλέγουµε αϖλό τυχαίο δείγµα τοιχείων αϖό τον ϖληθυµό. Αϖό τα δειγµατικά δεδοµένα υϖολογίζουµε τον δειγµατικό µέο. Σηµειακή εκτίµηη Στην ηµειακή εκτίµηη χρηιµοϖοιούµε δειγµατικά δεδοµένα για να υϖολογίουµε την τιµή µιας τατιτικής ως µια εκτίµηη της τιµής µιας ϖαραµέτρου του ϖληθυµού. Η τιµή του είναι η ηµειακή εκτίµηη του µέου του ϖληθυµού µ. Η τιµή του s είναι η ηµειακή εκτίµηη της τυϖικής αϖόκλιης του ϖληθυµού. Η τιµή του είναι η ηµειακή εκτίµηη της αναλογίας του ϖληθυµού p

8 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Σφάλµα Όταν η αναµενόµενη τιµή ενός εκτιµητή είναι ίη µε την ϖαράµετρο ϖληθυµού ο εκτιµητής είναι αµερόληϖτος. Η αϖόλυτη τιµή της διαφοράς της τιµής ενός αµερόληϖτου εκτιµητή και της αντίτοιχης ϖαραµέτρου του ϖληθυµού ονοµάζεται φάλµα δειγµατοληψίας. Το φάλµα δειγµατοληψίας είναι αϖοτέλεµα της χρήης ενός υϖουνόλου του ϖληθυµού (το δείγµα), και όχι ολόκληρου του ϖληθυµού. Μϖορούµε να χρηιµοϖοιήουµε τατιτικές µεθόδους για να κάνουµε ϖιθανοτικές δηλώεις για το µέγεθος του φάλµατος δειγµατοληψίας. Σφάλµα Τα φάλµατα δειγµατοληψίας είναι: µ για τον δειγµατικό µέο s για την δειγµατική τυϖική αϖόκλιη p για την δειγµατική αναλογία Κατανοµές - 45 Θεωρητική κατανοµή πιθανοτήτων Τυχαία µεταβλητή είναι η δειγµατική τατιτική ειγµατικός Μέος, ειγµατική Αναλογία, ειγµατική ιακύµανη κ.ο.κ. Προκύπτει λαµβάνοντας όλατα δυνατά δείγµατα ταθερού µεγέθους Καταγραφή όλων των δυνατών τιµών της δειγµατικής τατιτικής και των πιθανοτήτων τους Π.χ. του Μέου: Η καταγραφή όλων των ζευγών [, P( ) ] - 46 Κατακευή Κατανοµών Χαρακτηριτικά Πληθυµού Υποθέτε έναν πληθυµό... Μέγεθος πληθυµού, 4 Τυχαία µεταβλητή Χ αριθµός υπερατικών κλήεων ενός νοικοκυριού ε τέερις διαδοχικές ηµέρες Τιµές της Χ :,, 3, 4 Παραδοχή: Οµοιόµορφη κατανοµή πληθυµού Πληθυµός {,, 3, 4 } µε ίδια πιθανότητα εµφάνιης κάθε τοιχείου (0.5) - 47 Συνοπτικά Μέτρα µ i. 5 ( i µ ) i i. Πληθυµού Είναι µια οµοιόµορφη κατανοµή - 48

9 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Όλα τα υνατά είγµατα Μεγέθους Όλα τα υνατά είγµατα Μεγέθους 4 6 είγµατα η η Παρατήρηη Παρ. 3 4,,,3,4,,,3,4 3 3, 3, 3,3 3,4 4 4, 4, 4,3 4,4 ειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη είγµατα 6 ειγµατικοί Μέοι η η Παρατήρηη Παρ. 3 4,,,3,4,,,3,4 3 3, 3, 3,3 3,4 4 4, 4, 4,3 4,4 ειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη η η Παρατήρηη Παρ Όλων των ειγµατικών Μέων Συνοπτικά Μέτρα Όλων των ειγµατικών Μέων 6 ειγµατικοί Μέοι η η Παρατήρηη Παρ P( ) µ 6 i i. ( i µ ) i Σύνολο δυνατών δειγµάτων µεγέθους από τον πληθυµό των 4 τοιχείων (. 0. 5) + (. 5. 5) + + ( ) Σύγκριη Πληθυµού P() P( ) του Μέου µ. 5. µ

10 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων του Μέου Η κατανοµή δειγµατοληψίας του είναι η κατανοµή ϖιθανότητας όλων των δυνατών τιµών του δειγµατικού µέου. Αναµενόµενη τιµή του του Μέου Τυϖική αϖόκλιη του Πεϖεραµένος Πληθυµός ( ) Άϖειρος Πληθυµός όϖου: E ( ) µ µ µ ο µέος του ϖληθυµού - 55 Ένας ϖεϖεραµένος ϖληθυµός αντιµετωϖίζεται ως άϖειρος αν (α) / < 0.05 ή (β) η δειγµατοληψία είναι µε εϖανατοϖοθέτηη. ( ) / ( ) είναι η διόρθωη ϖεϖεραµένου ϖληθυµού. ονοµάζεται και τυϖικό φάλµα του µέου του Μέου Μορφή της ς του Όταν το µέγεθος του τυχαίου δείγµατος είναι µεγάλο ( > 30), το κεντρικό οριακό θεώρηµα µας λέει ότι η κατανοµή δειγµατοληψίας του ϖροεγγίζεται αϖό µια κανονική κατανοµή. Όταν το µέγεθος του τυχαίου δείγµατος είναι µικρό ( < 30), η κατανοµή δειγµατοληψίας του µϖορεί να θεωρηθεί κανονική µόνο όταν η κατανοµή του ϖληθυµού είναι κανονική. του Μέου - Παράδειγµα Παρατηρείτε ότι η κατανοµή δειγµατοληψίας προεγγίζει την κανονική κατανοµή όοτο αυξάνει, ανεξάρτητα από τη µορφή της κατανοµής πληθυµού πληθυµού δειγµατοληψίας του για δειγµατοληψίας του για 5 δειγµατοληψίας του για του Μέου - Παράδειγµα Βαθµοί ε ένα τετ Το αποτέλεµα ενός τετ ε 900 φοιτητές έχει µέη τιµή 990 µονάδες και τυπική απόκλιη 80 µονάδες. Πόη είναι η πιθανότητα από ένα τυχαίο δείγµα 30 φοιτητών να πάρουµε ως εκτίµηη του µέου αποτελέµατος τον πληθυµό µια τιµή που είναι ±0µονάδες από τον πραγµατικό µέο µ του πληθυµού; του Μέου - Παράδειγµα του του Κανονική ~ ( 9904,. 6 ) των βαθµών Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα ο να είναι µεταξύ του 980 και του 000; E( )

11 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων του Μέου - Παράδειγµα του των βαθµών του Μέου - Παράδειγµα του των βαθµών του 4.6 Υϖολογιµός κατά τα γνωτά της κανονικής κατανοµής ( 000) P P Z µ ± 0 Εµβαδόν? P ( Z 0. 68) P( Z 0. 68) Η ϖιθανότητα ο δειγµατικός µέος να είναι µεταξύ του 980 και του 000 είναι: P(980 < < 000) του Μέου - Παράδειγµα του του των βαθµών 4.6 Εµβαδόν του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του Υϖοθέτε ότι εϖιλέγουµε τυχαίο δείγµα 00 φοιτητών αντί για 30. E( ( ) µ ανεξάρτητα του µεγέθους δείγµατος. Στο ϖαράδειγµα Ε( ( ) 990. Όταν αυξάνει το µέγεθος δείγµατος, το τυϖικό φάλµα του µέου µειώνεται. Με την αύξηη του µεγέθους ε 00, το τυϖικό φάλµα του µέου µειώνεται ε: του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του Με 00, 8 Με 30, 4.6 Όταν 30, P(980 < < 000) Κατά τα γνωτά υϖολογίζουµε την P(980 < < 000) όταν 00. Όταν 00, P(980 < < 000) E( ) Καθώς η κατανοµή δειγµατοληψίας µε 00 έχει µικρότερη τυϖική αϖόκλιη, τότε το έχει µικρότερη µεταβλητότητα και τείνει να είναι ϖιο κοντά το µέο του ϖληθυµού αϖό ότι ο όταν

12 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων του Μέου Σχέη ανάµεα το Μέγεθος είγµατος και της ς του του 8 Εµβαδόν Παράδειγµα Είτε αναλυτής το τµήµα ταθερής τηλεφωνίας ενός ϖαρόχου τηλεϖικοινωνιακών υϖηρειών. Η διάρκεια των υϖερατικών κλήεων είναι κανονικά κατανεµηµένη µε µ 8 mi. και mi. Αν εϖιλέξετε τυχαία δείγµατα 5 κλήεων, τι ϖοοτό των δειγµατικών µέων θα είναι µεταξύ 7.8 και 8. λεϖτών; Άνω όριο Κάτω όριο.4 Z Z Επίλυη µ µ Τυποιηµένη Κανονική της Αναλογίας Z της Αναλογίας Η κατανοµή δειγµατοληψίας του είναι η κατανοµή ϖιθανότητας όλων των δυνατών τιµών της δειγµατικής αναλογίας. Αναµενόµενη τιµή του όϖου: E ( ) µ p p ˆ p η αναλογία τον ϖληθυµό - 7 Πεϖεραµένος Πληθυµός της Αναλογίας Τυϖική αϖόκλιη του p( p) Άϖειρος Πληθυµός p( p) Ένας ϖεϖεραµένος ϖληθυµός αντιµετωϖίζεται ως άϖειρος αν (α) / < 0.05 ή (β) η δειγµατοληψία είναι µε εϖανατοϖοθέτηη. ( ) / ( ) είναι η διόρθωη ϖεϖεραµένου ϖληθυµού. ονοµάζεται και τυϖικό φάλµα της αναλογίας. - 7

13 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων της Αναλογίας Μορφή της ς του της Αναλογίας Μορφή της ς του Η κατανοµή δειγµατοληψίας του µϖορεί να ϖροεγγιτεί αϖό µια κανονική κατανοµή όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι εϖαρκώς µεγάλο. Το δείγµα θεωρείται εϖαρκώς µεγάλο όταν ικανοϖοιούνται οι ϖαρακάτω υνθήκες : p > 5 και ( p) > 5 Για τιµές του p κοντά το 0.50 µεγέθη δείγµατος γύρω το 0 εϖιτρέϖουν κανονική ϖροέγγιη. Για ϖολύ µικρές (κοντά το 0) ή ϖολύ µεγάλες (κοντά το ) τιµές του p αϖαιτούνται ϖολύ µεγαλύτερα δείγµατα. ή ιοδύναµα mi { p,( p) } > της Αναλογίας - Παράδειγµα Βαθµοί ε ένα τετ Το 7% των αποτελεµάτων ενός τετ ε 900 φοιτητές είναι πάνω από τις 850 µονάδες. Πόη είναι η πιθανότητα από ένα τυχαίο δείγµα 30 φοιτητών να πάρουµε ως εκτίµηη της αναλογίας των βαθµών που είναι πάνω από τις 850 µονάδες µια τιµή που είναι ±0.05 από την πραγµατική αναλογία τον πληθυµό; Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα η να είναι µεταξύ του 0.67 και του 0.77; - 75 της Αναλογίας - Παράδειγµα Εϖειδή 30 και p 0.7 η ϖροέγγιη µε την κανονική κατανοµή είναι δυνατή: p 30(0.7).6 > 5 και ( - p) ) 30(0.8) 8.4 > 5-76 της Αναλογίας - Παράδειγµα του της Αναλογίας - Παράδειγµα του του 0. 7( 0. 7) 30 p ˆ. Κανονική ~ ( 0. 7, ) 0 08 Υϖολογιµός κατά τα γνωτά της κανονικής κατανοµής P ( ) P P Z ( 0. 6 Z 0. 6) P( Z 0. 6) E ( ) Η ϖιθανότητα η δειγµατική αναλογία να είναι µεταξύ του 0.67 και του 0.77 είναι: P(0.67 < < 0.77)

14 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων της Αναλογίας - Παράδειγµα του του p ˆ Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Εµβαδόν Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Πριν χρηιµοϖοιήουµε µια δειγµατική τατιτική ως ηµειακό εκτιµητή, ελέγχουµε µε τη βοήθεια της τατιτικής θεωρίας αν η τατιτική έχει τις ϖαρακάτω ιδιότητες ϖου ϖρέϖει να ϖληρούν οι καλοί εκτιµητές: Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Αµεροληψία Αν η αναµενόµενη τιµή της τατιτικής ιούται µε την ϖαράµετρο ϖληθυµού ϖου εκτιµά, η τατιτική είναι ένας αµερόληϖτος εκτιµητής της ϖαραµέτρου ϖληθυµού. Αµεροληψία Αϖοτελεµατικότητα P( ) Αµερόληπτος Μεροληπτικός Συνέϖεια A C - 8 µ Μέος πληθυµού - 8 Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Αϖοτελεµατικότητα Μεταξύ δυο αµερόληϖτων εκτιµητών της ίδιας ϖαραµέτρου, ϖροτιµάται αυτός µε τη µικρότερη διακύµανη, δηλ. ο ϖιο αϖοτελεµατικός,, καθώς οι τιµές του τείνουν να είναι ϖιο κοντά την ϖαράµετρο ϖληθυµού. P( ) του Μέου A B της ιαµέου (για υµµετρικό πληθυµό) Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών Συνέϖεια Ένας εκτιµητής είναι υνεϖής αν οι τιµές του τείνουν να έρχονται ϖληιέτερα την ϖαράµετρο ϖληθυµού όο αυξάνει το µέγεθος του δείγµατος. P( Θˆ ) Μεγαλύτερο µέγεθος δείγµατος A B Μικρότερο µέγεθος δείγµατος µ - 83 Ε(Θ) Θ Θˆ - 84

15 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Ιδιότητες Σηµειακών Εκτιµητών. Αµεροληψία - Ubiasedess Ο Μέος της ς είναι ίοςµε τον Μέο του Πληθυµού. Αποτελεµατικότητα - Efficiecy Ο ειγµατικός Μέος είναι Πιο Κοντάτον Μέο του πληθυµού από Κάθε Άλλον Αµερόληπτο Εκτιµητή 3. Συνέπεια - Cosistecy Καθώς το Μέγεθος του είγµατος Αυξάνει, η Απόκλιη του ειγµατικού Μέου από τον Μέο του Πληθυµού Μειώνεται ειγµατοληψία από Κανονικούς Πληθυµούς Κεντρική Τάη ειγµατοληψία από Κανονικούς Πληθυµούς µ µ Πληθυµού 0 του Μέου ιαπορά Τυποποιηµένη µ 50 Κανονική ειγµατοληψία µε επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό ειγµατοληψία από 4 6 άπειρο πληθυµό ειγµατοληψία χωρίς 5.5 επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό µ - 50 µ µ 0 Z αν / 0.05 Κανονική ανεξαρτήτως του Z µ µ ειγµατοληψία από Μη-Κανονικούς Πληθυµούς - 89 ειγµατοληψία από Μη-Κανονικούς Πληθυµούς Κεντρική Τάη ιαπορά µ ειγµατοληψία µε επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό ειγµατοληψία από άπειρο πληθυµό ειγµατοληψία χωρίς επανάθεη από πεπεραµένο πληθυµό αν / 0.05 µ Πληθυµού 0 µ µ - 50 Κανονική όταν το µεγάλο - 90

16 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Cetral Limit Theorem) Όταν το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει επαρκώς ( 30) Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Όταν το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει επαρκώς ( 30)... η κατανοµή δειγµατοληψίας γίνεται χεδόν κανονική. Όταν το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει επαρκώς ( 30)... η κατανοµή δειγµατοληψίας γίνεται χεδόν κανονική µ µ - 94 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Κ.Ο.Θ.:.:Αν οιχ,χ,,χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες τυχαίες µεταβλητές µε µέη τιµή µ και πεπεραµένηδιακύµανη,και S i i είναι το άθροιµά τουςκαι S ο αριθµητικός τους µέος, τότε όο αυξάνει ο αριθµός τωντ.µ.χ ( µ, ) S ~ ~ µ, - 95 Σηµαία του Κ.Ο.Θ. Ανεξάρτητα από την κατανοµή των ανεξάρτητων και ιόνοµων τ.µ. Χ i, το άθροιµα και ο αριθµητικός τους µέος ακολουθούν την κανονική κατανοµή αυµπτωτικά,, δηλαδή όο αυξάνει το πλήθος τους. ΤοΚΟΘ εξηγεί: το ότι πολλές τυχαίες µεταβλητές ακολουθούν την πράξη την κανονική κατανοµή το ότι ηµαντικές κατανοµές µπορούν να προεγγιτούν από την κανονική κατανοµή την ευρύτατη χρήη της κανονικής κατανοµής τη δειγµατοληψία την ευρύτατη χρήη της κανονικής κατανοµής την τατιτική υµπεραµατολογία. - 96

17 Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη ΑνΧ,Χ,,Χ είναιένατυχαίοδείγµατηςτ.µ.χ,µεε(χ)µκαι Var() <, τότε ο δειγµατικός µέος i είναι µια τ.µ. µε E( ) µ και Var( ) Χ i αν το δείγµα λαµβάνεται από άπειρο πληθυµό ή η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, διαφορετικά αν ο πληθυµός έχει µέγεθος Ν και το δείγµα έχει ληφθεί χωρίς επανατοποθέτηη Η ποότητα (Ν-)/(-) ονοµάζεται διόρθωη πεπεραµένου πληθυµού, καιόοαυξάνειτοντόοπληιάζειτηνµονάδα. Η ποότητα Χ Var( ) Χ ονοµάζεται τυπικό φάλµα του δειγµατικού µέου δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη Θεωρήµατα για την κατανοµή δειγµατοληψίας της µέης τιµής: α. Η τ.µ. Χ ακολουθεί οποιαδήποτε κατανοµή µε γνωτή διακύµανη µεγάλο δείγµα Από το κεντρικό οριακό θεώρηµα, όο το αυξάνει τόο η κατανοµή δειγµατοληψίας του µέου πληιάζει την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, ανεξάρτητα από το είδος της κατανοµής πληθυµού της Χ. Η προέγγιη είναι πρακτικά ικανοποιητική για 30. ( µ ) ~, όπου η δίνεται από τους προηγούµενους τύπους δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη Θεωρήµατα για την κατανοµή δειγµατοληψίας της µέης τιµής: β. Η τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε γνωτή διακύµανη ΑνηκατανοµήπληθυµούτηςΧείναικανονικήκαιηδιακύµανητου πληθυµού είναι γνωτή, τότε η κατανοµή του είναι κανονική ανεξάρτητα από το µέγεθος του δείγµατος. ( µ ) ~ ( µ, ) ~, όπου η δίνεται από τους προηγούµενους τύπους δειγµατοληψίας της µέης τιµής - Σύνοψη Θεωρήµατα για την κατανοµή δειγµατοληψίας της µέης τιµής: γ. Η τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε άγνωτη διακύµανη Ανηδιακύµανητουπληθυµού είναιάγνωτηκαιηχακολουθεί την κανονική κατανοµή, τότε αν S είναι η δειγµατική διακύµανη, η τυχαία µεταβλητή µ t S / ακολουθεί την κατανοµή t-studet µε ν - βαθµούς ελευθερίας t - Studet Καµπανοειδής Συµµετρική Πλατύτερες Ουρές Τυπική Κανονική 0 t (v 3) t (v 5) Όο αυξάνει το µέγεθος του δείγµατος (πρακτικά για v - 49) η κατανοµή t-studet πληιάζει την τυπική κανονική κατανοµή. Z t - 0 Τέλος Ενότητας - 0

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο

ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Α. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του Μέου ενός Πληθυµού Μέος Πληθυµού µ Εκτίµηη

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Κουγιουµτζής ηµήτρης Γενικό Τµήµα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ Θερινό Εξάµηνο 004 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ...4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...8. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων...8..

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

1 N N 1 N ( ) x dx (1) , (2) N xi. i= 1. = A exp , (3) dx = 1. (4) x σ 68% 2. (5) σ x x x . (6) . (7)

1 N N 1 N ( ) x dx (1) , (2) N xi. i= 1. = A exp , (3) dx = 1. (4) x σ 68% 2. (5) σ x x x . (6) . (7) Περί φλµάτων µετρήεων κι ποτελεµάτων Προδιοριµός φάλµτος (ή ειότητς) ενός ποτελέµτος Σφάλµ µις µετρήεως: φάλµ νγνώεως, π.χ. ±/ υποδιιρέεως κλίµκος. Σφάλµ πολλπλών, επνληπτικών µετρήεων: ( ) ( ) Πρόκειτι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία

Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Περιεχόµενα ειγµατοληψία Κατανοµές ειγµατοληψίας Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Κατανομή Διασπορά Μέγεθος δείγματος Διάστημα Εμπιστοσύνης Κανονική Γνωστή Οποιοδήποτε Οποιαδήποτε Γνωστή Μεγάλο 30 Z

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ ΚΥΡΙΑΚΗ Σ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Μεταπτυχιακη Διατριβη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαηματικα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα