OXFORD UNIVERSITY PRESS, ISBN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OXFORD UNIVERSITY PRESS, ISBN 978 0 19 285361-5"

Transcript

1 W.T. Gowers Mathematics A very short introduction OXFORD UNIVERSITY PRESS, ISBN Μετάφραση του κεφαλαίου Numbers and abstraction στα Ελληνικά από τον Παππά Ιωάννη. 1 Κάποια χρόνια πριν, μια review στο Times Literary Supplement άνοιγε με την παρακάτω παράγραφο: Δοθέντος ότι 0 0 = 0 και 1 1 = 1, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν αριθμοί που ισούνται με το τετράγωνό τους. Αλλά αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχουν αριθμοί. Με ένα πολύ απλοϊκό και αφελές βήμα, λοιπόν, έχουμε μεταβεί από ένα κομμάτι στοιχειώδους αριθμητικής σε ένα υψηλά διφορούμενο φιλοσοφικό συμπέρασμα : ότι οι αριθμοί υπάρχουν. Θα πιστεύατε ότι κάτι τέτοιο θα έπρεπε να ήταν πιο δύσκολο. Α. W. Moore στην review του Realistic Rationalism του Jerrold J, Katz, στο Times Literary Supplement, 11 Σεπτεμβρίου Αυτό το επιχείρημα μπορεί να δεχθεί κριτική με πολλούς τρόπους, και είναι απίθανο να το πάρει κάποιος σοβαρά, συμπεριλαμβανομένου του παραπάνω reviewer. Ωστόσο, υπάρχουν φιλόσοφοι που παίρνουν σοβαρά το ερώτημα, αν οι αριθμοί υπάρχουν, και αυτό τους ξεχωρίζει από τους μαθηματικούς, που είτε το βρίσκουν προφανές ότι οι αριθμοί υπάρχουν, είτε δεν καταλαβαίνουν την ερώτηση. Ο κύριος σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να εξηγήσει γιατί οι μαθηματικοί μπορούν, και πρέπει, να αγνοήσουν χαρούμενο αυτό το θεμελιώδες ερώτημα. 1 National Technical University of Athens, 1

2 Η ασάφεια του πολύ απλοϊκού και αφελούς επιχειρήματος για την ύπαρξη των αριθμών γίνεται εμφανής αν κάποιος κοιτάξει ένα παράλληλο επιχείρημα που σχετίζεται με το σκάκι. Δοθέντος ότι ο μαύρος βασιλιάς, στο σκάκι, κάποιες φορές επιτρέπεται να κινείται διαγώνια κατά ένα τετράγωνο, συνεπάγεται ότι υπάρχουν κομμάτια στο σκάκι που κάποιες φορές επιτρέπεται να κινούνται διαγώνια κατά ένα βήμα. Αλλά αυτό με την σειρά του συνεπάγεται ότι υπάρχουν κομμάτια σκακιού. Φυσικά δεν εννοώ με αυτό την πρακτική δήλωση ότι οι άνθρωποι μερικές φορές χτίζουν σκακιέρες με κομμάτια σκακιού ούτως ή άλλως μπορείς να παίξεις σκάκι και χωρίς αυτά αλλά από το «εντυπωσιακό» συμπέρασμα ότι τα κομμάτια του σκακιού υπάρχουν ανεξάρτητα από της φυσικές τους υποστάσεις. Τι είναι ο μαύρος βασιλιάς στο σκάκι; Αυτό είναι μια περίεργη ερώτηση και ο πιο ικανοποιητικός τρόπος να την αντιμετωπίσεις είναι να εκ της πλαγίας οδού. Τι μπορεί να κάνει κάποιος παραπάνω από το να δείξει την σκακιέρα και να εξηγήσεις τους κανόνες του παιχνιδιού, ίσως δίνοντας μεγαλύτερη βαρύτητα στο τι επιτρέπεται να κάνει ο μαύρος βασιλιάς; Αυτό που έχει σημασία για τον μαύρο βασιλιά είναι όχι η ύπαρξή του, ή η εγγενής του φύση, αλλά ο ρόλος που παίζει στο παιχνίδι. Η αφηρημένη μέθοδος στα μαθηματικά, όπως κάποιες φορές ονομάζεται, είναι τι αποτελέσματα παίρνει κάποιος όταν έχει μια παρόμοια συμπεριφορά με την παραπάνω αλλά προς τα μαθηματικά αντικείμενα. Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να αποτυπωθεί στο ακόλουθο slogan : ένα μαθηματικό αντικείμενο είναι το τι κάνει. Παρόμοια slogans έχουν εμφανιστεί πολλές φορές στην φιλοσοφία της γλώσσας, και μπορούν να είναι πολύ διφορούμενα. Δύο παραδείγματα είναι «Στις γλώσσες υπάρχουν μόνο διαφορές» και «Το νόημα μια λέξης είναι η χρήση της στην γλώσσα», που αποδίδονται στον Saussure και στον Wittgenstein αντίστοιχα, και κάποιος θα μπορούσε να προσθέσει το ακόλουθο κάλεσμα συσπείρωσης των λογικών θετικιστών: «Το νόημα μιας πρότασης είναι η μέθοδος επιβεβαίωσής της». Αν βρίσκετε την δικιά μου δυσάρεστη για φιλοσοφικούς λόγους, τότε, αντί να την θεωρήσετε σαν κάποια δογματική διατύπωση, θεωρήστε την σαν μια συμπεριφορά που μπορεί κάποιος κάποιες φορές να υιοθετήσει. Στην πραγματικότητα, όπως ελπίζω να σας παρουσιάσω, είναι ουσιώδες να την υιοθετήσει κάποιος που θέλει να καταλάβει σωστά τα ανώτερα μαθηματικά. Σκάκι χωρίς τα κομμάτια Είναι ευχάριστο να δει κανείς, παρόλο που το επιχείρημά μου δεν εξαρτάται από αυτό, ότι το σκάκι ή κάποιο άλλο παρόμοιο παιχνίδι μπορούν να αναπαρασταθούν από ένα γράφημα. Οι κορυφές του γραφήματος αναπαριστούν τις πιθανές θέσεις στο παιχνίδι. Δύο κορυφές P και Q ενώνονται με ακμή αν το άτομο που είναι η σειρά του να παίξει, βρίσκεται στην θέση P και έχει μια νόμιμη κίνηση ( στο σκάκι ) που τον οδηγεί στην θέση Q. Αφού είναι πιθανό να μην μπορεί να επιστρέψει κάποιος από το Q στο P πάλι, οι ακμές χρειάζονται βέλη τα οποία θα υποδηλώνουν την κατεύθυνση. Ορισμένες κορυφές θεωρούνται νίκες για τον λευκό, και άλλες νίκες για τον μαύρο. Το παιχνίδι ξεκινάει σε μια συγκεκριμένη κορυφή, που αντιστοιχεί στην αρχική θέση του παιχνιδιού. Στην συνέχεια οι παίκτες με παίζουν διαδοχικά με την σειρά τους, προσπαθώντας ο ένας να φτάσει στις νικητήριες κορυφές του λευκού και ο άλλος στις νικητήριες κορυφές του μαύρου. Ένα πιο απλό παιχνίδι αυτού του είδους φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. (Δεν είναι δύσκολο να παρατηρήσει κανείς ότι, για αυτό το παιχνίδι, ο λευκός έχει μια νικητήρια στρατηγική.) 2

3 Το γραφηματικό μοντέλο σκακιού, αν και μη πρακτικό λόγω του τεράστιου αριθμού των πιθανών θέσεων σκακιού, είναι τέλειο, υπό την έννοια ότι το παιχνίδι που προκύπτει είναι ακριβώς ισοδύναμε με το σκάκι. Και όμως, όταν το όρισα, δεν έκανα καμία αναφορά για κομμάτι σκακιού. Από αυτή την σκοπιά, φαίνεται αρκετά αφύσικο να ρωτήσεις αν ο μαύρος βασιλιάς υπάρχει : η σκακιέρα και τα κομμάτια του σκακιού δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια βολική οργάνωση αρχών που μας βοηθούν να σκεφτούμε το περίπλοκο πίνακα από κορυφές και ακμές σε ένα τεράστιο γράφημα. Αν πούμε κάτι του στυλ «Ο μαύρος βασιλιάς δέχεται check», τότε αυτό δεν είναι παρά μια συντομογραφία της πρότασης που ορίζει μια τεράστια λίστα κορυφών και που μας λέει ότι που παίκτες έχουν φτάσει μία από αυτές. Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί είναι το όνομα που έδωσαν οι μαθηματικοί στους γνωστούς μας αριθμούς 1,2,3,4,. Είναι από τα πιο βασικά μαθηματικά αντικείμενα, αλλά δεν φαίνεται να μας ενθαρρύνουν να σκεφτόμαστε αφηρημένα. Τι στην τελική μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός 5 μπορεί να κάνει; Δεν κινείται γύρω γύρω σαν ένα κομμάτι σκακιού. Αντιθέτως, φαίνεται να έχει μία εγγενή σχέση, ένα είδος καθαρής ιδιότητας του 5 που αμέσως αντιλαμβανόμαστε όταν κοιτάμε μια εικόνα σαν τη παρακάτω. 3

4 Ωστόσο, όταν συλλογιζόμαστε μεγάλους αριθμούς, υπάρχει μία λιγότερη καθαρότητα. Η παρακάτω εικόνα μας δίνει αναπαραστάσεις των αριθμών 7,12 και 47. 4

5 Πιθανώς κάποιοι άνθρωποι αμέσως αντιλαμβάνονται την ιδιότητα του 7, από την πρώτη εικόνα, αλλά στα μυαλά των περισσότερων ανθρώπων θα υπάρχει μια διαφεύγουσα σκέψη όπως «Οι εξωτερικές τελείες σχηματίζουν ένα εξάγωνο, συνεπώς μαζί με το κεντρικό παίρνουμε = 7.» Παρόμοια, το 12 θα είναι πιθανότατα το αποτέλεσμα μια σκέψης ως 3 4, ή 2 6. Όσο για το 47, δεν υπάρχει κάτι συγκεκριμένα ιδιαίτερο σχετικά με την ομάδα αντικειμένων αυτού του αριθμού, όπως έχει για παράδειγμα το 46. Αν οργανωθούν σε κάποιο μοτίβο, όπως το πλέγμα 7 7 με δύο σημεία να λείπουν, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την γνώση του = 49 2 = 47 για να πούμε γρήγορα ότι πόσα πολλά είναι. Αν όχι, τότε δεν έχουμε άλλη επιλογή από το να τα μετρήσουμε, αυτή τη φορά σκεφτόμενοι ότι το 47 έρχεται μετά το 46, που αυτό έρχεται μετά το 45 κ.ο.κ.. Με άλλα λόγια, οι αριθμοί δεν χρειάζεται να είναι πολύ μεγάλοι πριν σταματήσουμε να τους σκεφτόμαστε σαν μεμονωμένα αντικείμενα και να αρχίσουμε να τους καταλαβαίνουμε μέσα από τις ιδιότητές τους, μέσα από το πώς σχετίζονται με άλλος αριθμούς, μέσα από το ρόλος τους σε ένα σύστημα αριθμών. Αυτό εννοώ με το τι ένας αριθμός κάνει. Όπως φαίνεται καθαρά, η έννοια του αριθμού συνδέεται στενά με τις αριθμητικές πράξεις τις πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού : για παράδειγμα, χωρίς κάποια ιδέα για την αριθμητική, κάποιος δεν έχει την παραμικρή αντίληψη της έννοιας ενός αριθμού σαν το 1,000,000,017. Ένα σύστημα αριθμών δεν είναι απλά μια συλλογή αριθμών αλλά μια συλλογή αριθμών μαζί με κανόνες που ορίζουν πώς να κάνεις αριθμητική. Ένας άλλος τρόπος για να συνοψίσω την αφηρημένη μέθοδο είναι ο εξής : σκεφτείτε τους κανόνες παρά τους αριθμούς αυτούς καθεαυτούς Οι αριθμοί, από αυτή την σκοπιά, είναι μονάδες σε κάποιου είδους παιχνίδι ( ή κάποιος πρέπει να τους αποκαλέσει μετρητές ). Για να πάρετε μια ιδέα σχετικά με το τι είναι οι κανόνες, ας αναλογιστούμε μια απλή αριθμητικές ερώτηση : τι κάνει κάποιος αν θέλει να πειστεί ότι = 9994 ; Οι περισσότεροι άνθρωποι θα το έλεγχαν πιθανόν στην αριθμομηχανή, αλλά αν αυτό δεν ήταν πιθανό για κάποιο λόγο, θα έκαναν την παρακάτω συλλογιστική = = = = = 9994 Γιατί ωστόσο τα βήματα αυτά φαντάζουν προφανώς σωστά; Για παράδειγμα, γιατί κάποιος αμέσως πιστεύει ότι = 6000 ; Ο ορισμός το 30 είναι 3 x 10 και ο ορισμός του 200 είναι 2 ( ), έτσι λοιπόν τι μπορούμε να πούμε με απόλυτη αυτοπεποίθηση ότι 30 x 200 = ( 3 10 ) ( 2 ( ) ). Αλλά γιατί αυτό κάνει 6000; Κανονικά, κανένας δεν θα έκανε αυτή την ερώτηση, αλλά σε κάποιον που θα την έκανε θα λέγαμε, ( 3 10 ) ( 2 ( ( ) ) = ( 3 3 ) ( ) = =

6 Χωρίς να το σκεφτούμε ιδιαίτερα, θα χρησιμοποιούσαμε δύο γνωστές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού : ότι αν πολλαπλασιάσεις δύο αριθμούς μαζί, δεν πειράζει μια ποια σειρά τους βάζεις, και ότι αν πολλαπλασιάσεις παραπάνω από δύο αριθμούς μαζί, δεν έχει σημασία πώς θα βάλεις τις παρενθέσεις. Για παράδειγμα 7 8 = 8 7 και (31 34 ) 35 = 31 ( ). Παρατηρείστε ότι ενδιάμεσοι υπολογισμοί που περιλαμβάνονται στο δεύτερο παράδειγμα επηρεάζονται σίγουρα από το πώς θα βάλει κάποιος τις παρενθέσεις, αλλά κάποιος ξέρεις ότι η τελική απάντηση θα είναι η ίδια. Αυτοί οι δύο κανόνες λέγονται, ο αντιμεταθετικός και προσεταιριστικός κανόνας του πολλαπλασιασμού. Ας παραθέσω τώρα λίγους κανόνες, συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο, που χρησιμοποιούμε συχνά όταν προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε. Α1. Ο αντιμεταθετικός κανόνας για την πρόσθεση : aa + bb = bb + aa για οποιουσδήποτε αριθμούς aa, bb. A2. Ο προσεταιριστικός κανόνας για την πρόσθεση : aa + ( bb + cc ) = ( aa + bb ) + cc για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς aa, bb, cc. M1. O αντιμεταθετικός κανόνας για τον πολλαπλασιασμό: aa bb = bb aa για οποιουσδήποτε αριθμούς aa, bb. M2. Ο προσεταιριστικός κανόνας για το πολλαπλασιασμό: aa (bb cc) = (aa bb) cc για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς aa, bb, cc. M3. Tο 1 είναι η πολλαπλασιαστική ταυτότητα: 1aa = aa για οποιονδήποτε αριθμό aa. D. O επιμεριστικός κανόνας: (aa + bb) cc = aaaa + bbbb για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς aa, bb, cc. Παραθέτω αυτούς τους κανόνες όχι γιατί θέλω να σας πείσω ότι είναι ενδιαφέροντες από μόνοι τους, αλλά για να τραβήξω την προσοχή σχετικά με τον ρόλο που παίζουν στην σκέψη μας, ακόμα και στις απλές μαθηματικές δηλώσεις. Η αυτοπεποίθησή μας ότι το 2 3 = 6 πιθανόν να οφείλεται σε μια τέτοια εικόνα. Από την άλλη μεριά, μια άμεση προσέγγιση αδύνατη αν θέλουμε να δείξουμε ότι = 9994, συνεπώς σκεφτόμαστε για αυτό πιο περίπλοκα με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας, τον αντιμεταθετικό, τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο. Αν έχουμε υπακούσει σε αυτούς τους κανόνες, τότε πιστεύουμε το αποτέλεσμα. Επιπλέον, το πιστεύουμε ακόμα και αν δεν έχουμε οπτική εποπτεία 9994 αντικειμένων. Μηδέν 6

7 Ιστορικά, η ιδέα του αριθμού μηδέν αναπτύχθηκε αργότερα από την ιδέα των θετικών ακεραίων. Έχει φανεί σε πολλούς ανθρώπους σαν μια μυστηριώδης και παράδοξη έννοια, εμπνέοντας ερωτήσεις όπως «Πώς κάτι μπορεί να υπάρχει και όμως να είναι τίποτα;» Από την αφηρημένη σκοπιά ωστόσο, το μηδέν είναι κάτι πολύ ευθύ είναι απλά μια καινούργια μονάδα στο αριθμητικό μας σύστημα με την ακόλουθη ιδιαίτερη ιδιότητα. Α3. To 0 είναι η προσθετική ταυτότητα: 0 + aa = aa για οποιονδήποτε αριθμό aa. Αυτό είναι ότι χρειάζεστε να ξέρετε για το 0. Δεν χρειάζεται να ξέρετε τι σημαίνει απλά ένα μικρό κανόνα που σας λέει τι κάνει. Τι γίνεται σχετικά με άλλες ιδιότητες του αριθμού 0, όπως το γεγονός ότι 0 φορές οποιονδήποτε αριθμό μας κάνει 0; Δεν έβαλα αυτό τον κανόνα, επειδή τελικά προκύπτει από τον κανόνα A3 και τους προηγούμενούς μας κανόνες. Εδώ για παράδειγμα φαίνεται πώς μπορεί να δειχτεί ότι 0 2 = 0, όπου ο αριθμός 2 είναι ορισμένος σαν Πρώτον, ο κανόνας M1 μας λέει ότι 0 2 = 2 0. Έπειτα ο κανόνας D μας λέει ότι ( 1 + 1) 0 = Αλλά 1 0 = 0 από τον κανόνα M3, συνεπώς αυτό ισούται με Ο κανόνας Α3 υπονοεί ότι = 0, και η απόδειξη τελειώνει. Ένα διαφορετικό, μη αφηρημένο, επιχείρημα θα ήταν κάτι τέτοιο: «0 2 σημαίνει πρόσθεσε 2 φορές κανένα δυάρι και αν το κάνεις αυτό μένεις με κανένα, 0» Αλλά αυτός ο τρόπος σκέψης, καθιστά δύσκολο να απαντηθούν ερωτήματα όπως αυτό που μου έθεσε ο μικρός μου γιος John ( όντας έξι χρονών ) : Πώς μπορεί καμία φορές το κανένα να κάνει κανένα, αφού καμία φορές σημαίνει ότι δεν έχεις κανένα; Μια καλή απάντηση, αν και όχι κατάλληλη για εκείνη την στιγμή, είναι ότι μπορεί να εξαχθεί από τους κανόνες όπως φαίνεται παρακάτω ( Μετά από κάθε βήμα, παραθέτω τον κανόνα που χρησιμοποιώ ). 0 = 1 0 M3 = (0 + 1) 0 A3 = D = M3 = A1 = 0 0 A3 Γιατί παραθέτω αυτές τις μακροσκελείς αποδείξεις πολύ στοιχειωδών γεγονότων; Πάλι, δεν είναι γιατί βρίσκω τις αποδείξεις ενδιαφέρουσες από μαθηματική σκοπιά, αλλά επειδή θέλω να δείξω τι σημαίνει να δικαιολογείς αριθμητικές εκφράσεις αφηρημένα ( χρησιμοποιώντας λίγους απλούς κανόνες και χωρίς να χρειάζεται να ανησυχείς για το τι οι αριθμοί είναι στην πραγματικότητα) παρά συμπαγώς ( με το αναζητάς τι σημαίνουν οι εκφράσεις ). Είναι φυσικά πολύ χρήσιμο να συνδέονται έννοιες και νοητικές εικόνες με μαθηματικά αντικείμενα αλλά αυτά δεν είναι πολλές φορές αρκετά να μας υποδείξουν το τι να κάνουμε σε μη συνηθισμένες καταστάσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις η αφηρημένη μέθοδος γίνεται απαραίτητη. Αρνητικοί αριθμοί και κλάσματα 7

8 Όπως οποιοσδήποτε με εμπειρία στο να διδάσκει μαθηματικά σε μικρά παιδιά ξέρει, ότι υπάρχει κάτι μη άμεσο με την αφαίρεση και την διαίρεση που τις κάνει πιο δύσκολες στην κατανόηση από την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Για να εξηγήσεις την αφαίρεση, κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει την έννοια του αφαιρώ κάτι από κάτι, ρωτώντας ερωτήσεις όπως, «Πόσα πορτοκάλια θα μείνουν αν ξεκινήσεις με πέντε και φας τα δύο;». Ωστόσο, αυτός δεν είναι ο καλύτερος τρόπος πάντα για να σκέφτεσαι. Για παράδειγμα, αν κάποιος θέλει να αφαιρέσει το 98 από το 100, τότε αντί να σκεφτείς να αφαιρέσεις 98 πράγματα από 100 πράγματα, να σκεφτείς τι χρειάζεται να προσθέσει κάποιος στο 98 για το κάνεις 100. Τότε, αυτό που κάνει κάποιος, είναι να λύσει αποτελεσματικά την εξίσωση 98 + xx = 100, αν και φυσικά είναι ασυνήθιστο για κάποιον να περάσει το γράμμα xx από το μυαλό του κατά τη διάρκεια του υπολογισμού. Παρόμοια, υπάρχουν δύο τρόποι για να σκεφτεί κάποιος την διαίρεση. Για να εξηγήσει την έννοια του να διαιρέσεις το 50 με το 10, κάποιος μπορεί να ρωτήσει είτε, «Αν πενήντα αντικείμενα χωριστούν σε δέκα ίσες ομάδες, πόσα αντικείμενα θα έχει η κάθε ομάδα;» ή να ρωτήσει, «Αν πενήντα αντικείμενα χωριστούν σε ομάδες των δέκα, πόσες ομάδες θα υπάρξουν;». Η δεύτερη προσέγγιση είναι ισοδύναμη με την ερώτηση, «Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί το δέκα για γίνει πενήντα» που με τη σειρά του είναι ισοδύναμο με το να λυθεί η εξίσωση 10xx = 50. Μια επιπλέον δυσκολία για την επεξήγηση της αφαίρεσης και της διαίρεση στα παιδιά, είναι το γεγονός ότι δεν είναι πάντα δυνατόν να γίνουν. Για παράδειγμα δεν μπορείς να αφαιρέσεις δέκα πορτοκάλια από ένα μπωλ με επτά πορτοκάλια, και τρία παιδιά δεν μπορούν να μοιραστούν έντεκα σοκολάτες ίσα. Ωστόσο, αυτό δεν σταματάει τους ενήλικες από το να αφαιρούν το 10 από το ή να διαιρούν το 11 με το 3, παίρνοντας τις απαντήσεις -3, 11/3 αντίστοιχα. Η ερώτηση που προκύπτει είναι η εξής: οι αριθμοί -3, 11/3 υπάρχουν πραγματικά, και αν ναι τι είναι; Από την αφηρημένη σκοπιά, μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τέτοιες ερωτήσεις όπως αντιμετωπίσαμε παρόμοιες ερωτήσεις σχετικά με το 0 : ξεχνώντας τες. Ότι χρειάζεται να ξέρουμε για το -3, είναι το γεγονός ότι όταν προσθέτουμε 3 σε αυτό, αυτό γίνεται 0, και ότι χρειαζόμαστε για το 11/3 είναι το γεγονός ότι αν το πολλαπλασιάσουμε με 3, παίρνουμε 11. Αυτοί είναι οι κανόνες, και σε αντιστοιχία με προηγούμενους κανόνες, μας επιτρέπουν να κάνουμε αριθμητική σε μεγαλύτερο σύστημα αριθμών. Γιατί θέλουμε να επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών με αυτό τον τρόπο; Επειδή μας δίνει ένα μοντέλο στο οποίο οι εξισώσεις όπως xx + aa = bb και aa xx = bb μπορούν να λυθούν, ανεξάρτητα με το τι είναι οι τιμές των aa, bb εκτός από το γεγονός ότι το a δεν πρέπει να είναι 0 στην δεύτερη εξίσωση. Για να το θέσουμε αλλιώς, μας δίνει ένα μοντέλο, όπου η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πάντα δυνατές, εκτός φυσικά αν κάποιος προσπαθήσει να διαιρέσει με το 0. Όπως συμβαίνει, χρειαζόμαστε μόνο δύο ακόμα κανόνες για να επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών μας με αυτό τον τρόπο : έναν που μας δίνει τους αρνητικούς αριθμούς και ένας που μας δίνει τα κλάσματα ή τους ρητούς αριθμούς όπως είναι συνήθως γνωστοί. Α4. Προσθετικοί αντίστροφοι : για κάθε αριθμό aa υπάρχει αριθμός b τέτοιος ώστε aa + bb = 0. M4. Πολλαπλασιαστικοί αντίστροφοι : για κάθε αριθμό a εκτός του 0 υπάρχει αριθμός c τέτοιος ώστε aaaa = 1. 8

9 Εφοδιασμένοι με αυτούς τους κανόνες, μπορούμε να σκεφτούμε το aa και το 1/aa σαν συμβολισμούς για τους αριθμούς bb και cc στα A4,M4 αντίστοιχα. Όσο αναφορά γενικότερες εκφράσει p/q, αυτές συμβολίζουν το p πολλαπλασιασμένο με το 1/q. Ο κανόνας A4 και ο κανόνας M4 υπονοούν δύο ακόμα κανόνες γνωστοί σαν νόμοι της ακύρωσης. Α5. Ο κανόνας της ακύρωσης για την πρόσθεση : αν aa, bb, cc οποιοιδήποτε αριθμοί κκκκκκ aa + bb = aa + c, τότε b = c. Μ5. O κανόνας της ακύρωσης για τον πολλαπλασιασμό: αν a, b, c οποιοιδήποτε αριθμοί, ο a όχι 0 και aaaa = aaaa, τότε bb = cc. Ο πρώτος από τους δύο παραπάνω κανόνες αποδεικνύεται αν προσθέσει κανείς aa και στις δύο πλευρές και ο δεύτερος αν πολλαπλασιάσει με 1/aa και τις δύο μεριές. Παρατηρήστε το διαφορετικό status του A5 και του M5 από τους προηγούμενους κανόνες είναι συνέπειες των προηγούμενων κανόνων, παρά κανόνες που απλά εισάγαμε για να δημιουργήσουμε ένα καλό παιχνίδι. Εάν κάποιου του ζητηθεί να προσθέσει δύο κλάσματα όπως το 2/5 και το 3/7, τότε η συνηθισμένη μέθοδος είναι να εισάγουμε τον κοινό παρονομαστή, όπως στην συνέχεια: = = Αυτή η τεχνική, και άλλες σαν αυτή, μπορεί να δικαιολογηθεί χρησιμοποιώντας τους καινούργιους μας κανόνες. Για παράδειγμα = = ( ) 1 35 = (14 35 ) 1 35 = = 14 1 = και = ( 5 7 ) = ( 7 5 ) = = ( 7 1 ) 2 = 7 2 = 14 Συνεπώς από τον κανόνα M5, τα 2/5 και 14/35 είναι ίσα, όπως υποθέσαμε στον υπολογισμό. Παρομοίως μπορούμε να δικαιολογήσουμε παρόμοια γεγονότα σχετικά με τους αρνητικούς αριθμούς. Αφήνεται στον αναγνώστη να εξάγει από τους κανόνες το ( -1 ) ( -1 ) = 1, η εξαγωγή είναι παρόμοια με εκείνη του 0 0 = 0. 9

10 Γιατί φαίνεται σε πολλούς ανθρώπους ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι λιγότεροι πραγματικοί από τους θετικούς; Πιθανόν επειδή το να μετράς μικρές ομάδες αντικειμένων είναι μια θεμελιώδης ανθρώπινη δραστηριότητα, και όταν την κάνουμε, δεν χρησιμοποιούμε αρνητικούς αριθμούς. Αλλά αυτό το μόνο που σημαίνει είναι ότι το σύστημα των φυσικών αριθμών, θεωρούμενο σαν μοντέλο, είναι χρήσιμο υπό ορισμένες συνθήκες ενώ ένα μεγαλύτερο σύστημα αριθμών δεν είναι. Αν θέλουμε να σκεφτόμαστε θερμοκρασίες, ημερομηνίες, λογαριασμούς τραπεζών, τότε οι αρνητικοί αριθμοί γίνονται χρήσιμοι. Όσο το επεκταμένο σύστημα αριθμών είναι λογικά συνεπές, που είναι, δεν υπάρχει βλάβη στο να το χρησιμοποιούμε σαν μοντέλο. Μπορεί να φανεί περίεργο να καλούμε τους φυσικούς αριθμούς μοντέλο. Δεν μετράμε πραγματικά χωρίς να χρειάζεται περαιτέρω εξιδανίκευση; Ναι μετράμε, αλλά αυτή η διαδικασία δεν είναι πάντα η κατάλληλη, ούτε είναι πάντα πιθανή. Δεν υπάρχει τίποτα λάθος με τον αριθμό από μαθηματικής απόψεως αλλά είναι ασύλληπτο ότι μπορούμε ποτέ να έχουμε μια συλλογή από αντικείμενα. Αν πάρεις δύο σακιά με φύλλα και τα προσθέσεις σε ένα τρίτο, το αποτέλεσμα δεν είναι τρία σακιά από φύλλα αλλά ένα μεγαλύτερο σακί. Και αν έχετε μόλις παρατηρήσει μια καταιγίδα, τότε, όπως είπε ο Wittgenstein, «Η κατάλληλη απάντηση στην ερώτηση Πόσες σταγόνες βροχής είδες;, είναι πολλές, όχι ότι δεν υπήρχε αριθμός αλλά δεν ξέρεις πόσο πολλές». Πραγματικοί και φανταστικοί αριθμοί Το σύστημα των πραγματικών αριθμών αποτελείται από όλους τους αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν από άπειρα δεκαδικά ψηφία. Αυτή η έννοια είναι λίγο πιο βαθιά. Ο λόγος που επεκτείναμε το σύστημα των ρητών αριθμών στο σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι παρόμοιος με τον λόγο που εισάγαμε τους αρνητικούς αριθμούς και τα κλάσματα: μας επιτρέπουν να επιλύσουμε εξισώσεις που αλλιώς δεν θα μπορούσαμε. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι μια εξίσωση σαν την xx 2 = 2. Τον έκτο αιώνα π. Χ., ανακαλύφθηκε από την σχολή του Πυθαγόρα ότι ο αριθμός 2 είναι άρρητος, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από κλάσμα. Αυτή η ανακάλυψη προκάλεσε απογοήτευση, αλλά τώρα πρέπει να αποδεχτούμε χαρούμενα ότι πρέπει να επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών μας αν θέλουμε να μοντελοποιήσουμε πράγματα όπως η διαγώνιος ενός τετραγώνου. Ακόμα μια φορά, το καθήκον της αφηρημένης μεθόδου είναι πολύ εύκολο. Εισάγουμε ένα καινούργιο σύμβολο, το 2 και έχουμε ένα κανόνα να μας πει τι να κάνουμε με αυτό: αν το υψώσουμε στο τετράγωνο μας κάνει 2. Αν έχετε προετοιμαστεί καλά, θα φέρετε αντίρρηση σε ότι είπα, γιατί ο κανόνας δεν κάνει διαχωρισμό μεταξύ του 2 και του 2. Ένας τρόπος να αντιμετωπιστεί αυτό, είναι να εισάγουμε μια νέα έννοια στο αριθμητικό μας σύστημα, αυτήν της τάξης. Είναι συχνά χρήσιμο το να λες ότι ένα αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο, και αν επιτρέψουμε στον εαυτό μας να το κάνει αυτό, τότε μπορούμε να επιλέξουμε το 2 με την επιπλέον ιδιότητα ότι είναι μεγαλύτερο του 0. Αλλά και ακόμα και χωρίς αυτή την ιδιότητα μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς σαν = ( 2 + 1) = ( 2) = =

11 και στην πραγματικότητα υπάρχει πλεονέκτημα στο να μην διαχωριστεί το 2 από το 2, γιατί ξέρουμε ότι ο παραπάνω υπολογισμός είναι έγκυρος και για τους δύο αριθμούς. Ιστορική καχυποψία για την αφηρημένη μέθοδο, έχει αφήσει τα ίχνη της στις λέξεις που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν καινούργιους αριθμούς που εμφανίζονται κάθε φορά που το σύστημα αριθμών επεκτείνεται, λέξεις όπως αρνητικός ή άρρητος. Αλλά περισσότερο δύσκολο να κατανοηθούν, ήταν οι φανταστικοί ή μιγαδικοί αριθμοί, αριθμοί της μορφής a+bi, όπου a,b πραγματικοί αριθμοί και i η τετραγωνική ρίζα του -1. Από μία συμπαγής άποψη, κάποιος μπορεί να απορρίψει την τετραγωνική ρίζα του -1: αφού το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι θετικό, το -1 δεν έχει τετραγωνική ρίζα, και έτσι έχουν τα πράγματα. Ωστόσο, αυτή η ένσταση, δεν προβάλλει πραγματικό εμπόδιο για κάποιον που υιοθετεί την αφηρημένη μέθοδο. Γιατί δεν επεκτείνουμε απλά το σύστημα των αριθμών, εισάγοντας στην εξίσωση xx 2 = 1 και καλώντας το -1; Γιατί αυτό πρέπει να επιφέρει πιο πολλή ένσταση από ότι η προηγούμενη εισαγωγή του 2; Μια απάντηση μπορεί να είναι ότι το 2 έχει δεκαδικό ανάπτυγμα που ( επί της αρχής ) μπορεί να υπολογιστεί με οποιαδήποτε ακρίβεια, ενώ τίποτε ισοδύναμε δεν μπορεί να ειπωθεί σχετικά με το i. Αλλά αυτό λέει κάτι που γνωρίζουμε ήδη, ότι το i δεν είναι πραγματικό αριθμός, όπως το 2 δεν είναι ρητός αριθμός. Αυτό δεν μας σταματά από το να επεκτείνουμε το αριθμητικό μας σύστημα σε ένα σύστημα στο οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς όπως τους παρακάτω: 1 ii 1 = ii + 1 (ii 1)(ii + 1) = ii + 1 ii 2 ii + ii 1 = ii = 1 (ii + 1) 2 Η κυριότερη διαφορά μεταξύ i και 2 είναι ότι στην περίπτωση του i είμαστε υποχρεωμένοι να σκεφτούμε αφηρημένα, ενώ υπάρχει πάντα μια επιλογή με το 2 να σκεφτούμε μια συμπαγής αναπαράσταση όπως ή το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου. Για να δείτε γιατί το i δεν έχει τέτοια αναπαράσταση ρωτήστε τον εαυτό σας την ακόλουθη ερώτηση: ποια από τις δύο τετραγωνικές ρίζες του -1 είναι i και ποια i; Η ερώτηση δεν βγάζει νόημα επειδή η μοναδική ορισμένη ιδιότητα του i είναι ότι το τετράγωνό του κάνει -1. Αφού το i έχει την ίδια ιδιότητα, κάθε αληθής πρόταση σχετικά με το i παραμένει αληθής αν κάποιος την αντικαταστήσει με την αντίστοιχη πρόταση για το i. Είναι δύσκολο για κάποιον όταν το έχει συλλάβει έτσι, να έχει οποιοδήποτε σεβασμό για την άποψη ότι το i μπορεί να υποδηλώνει ένα Πλατωνικό αντικείμενο ένα αντικείμενο που υπάρχει ανεξάρτητα από την δικιά μας ύπαρξη. Υπάρχει ένας παραλληλισμός εδώ με ένα πολύ γνωστό φιλοσοφικό αίνιγμα. Είναι η ίδια η αίσθηση όταν αντιλαμβάνεσαι το χρώμα κόκκινο με το όταν αντιλαμβάνεσαι το χρώμα πράσινο και αντίστροφα; Κάποιοι φιλόσοφοι παίρνουν αυτή την ερώτηση πολύ σοβαρά αι ορίζουν σαν qualia να είναι η απόλυτα εγγενής εμπειρίες που έχουμε όταν, για παράδειγμα, βλέπουμε χρώματα. Άλλοι δεν πιστεύουν στο qualia. Για αυτούς, μια λέξη σαν το πράσινο ορίζεται πιο αφηρημένα από τον ρόλο της στο γλωσσολογικό σύστημα, δηλαδή από τις σχέσεις της με έννοιες όπως το γρασίδι, το κόκκινο κ.τ.λ.. Είναι αδύνατο να εξάγεις 11

12 κάποιου την θέσε σε αυτό το ζήτημα από τον τρόπο που μιλάνε για το χρώμα, εκτός κατά τη διάρκεια των φιλοσοφικών συζητήσεων. Παρομοίως, στην πράξη, ότι χρειάζεται για τους αριθμούς και τα άλλα μαθηματικά αντικείμενα είναι οι κανόνες στους οποίους υπακούουν. Αν εισάγουμε το i με σκοπό να έχουμε μια λύση στην εξίσωση xx 2 = 1, τότε τι γίνεται σχετικά με άλλες εξισώσεις όπως xx 4 = 3 ή 2xx 6 + 3xx + 17 = 0; Αποδεικνύεται λαμπρά ότι κάθε τέτοια εξίσωση μπορεί να λυθεί μέσα στο σύστημα των μιγαδικών αριθμών. Με άλλα λόγια, μπορούμε να κάνουμε την μικρή επένδυση με το να δεχθούμε το i, αλλά αυτή θα ξεπληρωθεί ξανά και ξανά. Αυτό το γεγονός, το οποίο έχει μια περίπλοκη ιστορία αλλά που συνήθως αποδίδεται στον Gauss, είναι γνωστό σαν το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας και παρέχει πολλά πειστικά στοιχεία ότι υπάρχει κάτι το φυσικό σχετικά με το i. Μπορεί να είναι αδύνατο να φανταστείς ένα καλάθι από i μήλα, ένα ταξίδι με το αμάξι που να διαρκεί i ώρες, ή ένα τραπεζικό λογαριασμό από i αριθμό καταθέσεων, αλλά το μιγαδικό σύστημα αριθμών έχει γίνει απαραίτητο στους μαθηματικούς, και στους επιστήμονες και στους μηχανικούς εξίσου η θεωρία της κβαντικής μηχανικής, για παράδειγμα, εξαρτάται πολύ από τους μιγαδικούς αριθμούς. Παρέχει μία από τις καλύτερες ενσαρκώσεις μια γενικότερης αρχής: αν ένα αφηρημένο μαθηματικό κατασκεύασμα είναι επαρκώς φυσικό, τότε είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα βρει κάποιο μοντέλο. Μια πρώτη ματιά στο άπειρο Έχοντας κάποιος μάθει να σκέφτεται αφηρημένα, μπορεί να προκαλεί ευφορία, όπως όταν ξαφνικά μαθαίνεις να οδηγείς μια μηχανή χωρίς να χρειάζεται να ανησυχείς για να την ισορροπία σου. Ωστόσο, δεν θέλω να δώσω την εντύπωση ότι η αφηρημένη μέθοδος είναι κάτι σαν μια άδεια για να εκτυπώνεις λεφτά. Είναι ενδιαφέρον να αντιπαραθέσετε την εισαγωγή του i στο αριθμητικό σύστημα με το τι συμβαίνει όταν κάποιος προσπαθεί να εισάγει το άπειρο των αριθμών. Με μια πρώτη ματιά, δεν φαίνεται να μας σταματά κάτι: το άπειρο οφείλει να σημαίνει κάτι σαν την διαίρεση του 1 με το 0, έτσι λοιπόν για να μην ορίσουμε το να είναι ένα αφηρημένο σύμβολο και να το θεωρήσουμε σαν λύση στην εξίσωση 0xx = 1; Το πρόβλημα με αυτή την ιδέα εγείρεται την στιγμή που κάποιος προσπαθεί να κάνει αριθμητική. Εδώ για παράδειγμα, είναι μια απλή συνέπεια του M2, του αντιμεταθετικού νόμου του πολλαπλασιασμού, και του γεγονότος ότι 0 2 = 0. 1 = 0 = ( 0 2 ) = ( 0 ) 2 = 1 2 = 2 Αυτό που υποδεικνύει το παραπάνω είναι ότι η ύπαρξη μιας λύσης στην εξίσωση 0xx = 1 οδηγεί σε ασυνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι το άπειρο δεν υπάρχει; Όχι, αυτό απλά σημαίνει ότι κανένας φυσικός συμβολισμός του απείρου είναι συμβατός με τους νόμους τους αριθμητικής. Είναι πολλές φορές χρήσιμο να επεκτείνουμε το σύστημα αριθμών έτσι ώστε να περικλείει το σύμβολο, δεχόμενοι το γεγονός ότι σε επεκταμένα συστήματα αυτοί οι κανόνες δεν είναι πάντα έγκυροι. Συνήθως ωστόσο, κάποιος προτιμά να κρατά τους κανόνες χωρίς το άπειρο. Υψώνοντας αριθμούς σε αρνητικές και κλασματικές δυνάμεις Μια από τις μεγαλύτερες αρετές της αφηρημένης μεθόδου είναι ότι μας επιτρέπει να εκλογικεύσουμε οικείες έννοιες σε ασυνήθιστες καταστάσεις. Η φράση εκλογικεύω είναι αρκετά κατάλληλη αφού αυτό είναι ακριβώς που κάνουμε, παρά να ανακαλύπτουμε κάποια 12

13 προϋπάρχουσα λογική. Ένα απλό παράδειγμα αυτού, είναι ο τρόπος που επεκτείνουμε την έννοια του να υψώνεις έναν αριθμό σε μια δύναμη. Αν n θετικός ακέραιος, τότε το αα nn σημαίνει το αποτέλεσμα του να πολλαπλασιάζεις n φορές το α. Για παράδειγμα, 5 3 = = 125 και 2 5 = = 32. Αλλά με αυτό σαν ορισμό, δεν είναι εύκολο να μεταφράσεις μια έκφραση σαν την 2 3/2, αφού δεν μπορείς να πάρεις μισά 2 και να τα πολλαπλασιάσεις μαζί. Μια είναι η αφηρημένη μέθοδος για να αντιμετωπιστούν προβλήματα τέτοιου είδους; Για ακόμα μια φορά, το ζήτημα δεν είναι να αναζητήσετε εγγενής έννοιες σε αυτή την περίπτωση εκφράσεις όπως το αα nn, αλλά να σκεφτείτε κανόνες. Δύο στοιχειώδεις κανόνες σχετικά με το να υψώνονται αριθμοί σε δυνάμεις είναι οι εξής. Ε1. αα 1 = αα για κάθε πραγματικό αριθμό α. Ε2. αα mm+nn = aa mm aa nn για κάθε πραγματικό αριθμό α και κάθε ζευγάρι φυσικών αριθμών mm, nn. Για παράδειγμα, 2 5 = αφού 2 5 σημαίνει και σημαίνει (2 2 2 ) ( 2 2 ). Αυτοί είναι οι ίδιο αριθμοί επειδή ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός. Από αυτούς τους κανόνες μπορούμε γρήγορα να εξάγουμε τα ήδη γνωστά γεγονότα. Για παράδειγμα, το αα 2 = αα 1+1 το οποίο, από τον Ε2, είναι αα 1 αα 1. Από τον Ε1 αυτό είναι α x α, όπως θα έπρεπε να είναι. Αλλά τώρα είμαστε σε θέση να κάνουμε πολλά περισσότερα. Ας γράψουμε σαν xx τον αριθμό 2 3/2. Τότε xx xx = 2 3/2 2 3/2 το οποίο, από τον Ε2, είναι = 2 3 = 8. Με άλλα λόγια xx 2 = 8. Αυτό δεν καθορίζει ακριβώς το xx, αφού το 8 έχει δύο τετραγωνικές ρίζες, έτσι λοιπόν είναι σύνηθες να υιοθετήσουμε την ακόλουθη σύμβαση. Ε3. Αν a > 0 και b πραγματικός αριθμός, τότε αα bb είναι θετικός. Χρησιμοποιώντας λοιπόν και την Ε3, βρίσκουμε ότι το 2 3/2 είναι η θετική τετραγωνική ρίζα του 8. Αυτό δεν είναι μια ανακάλυψη της πραγματικής τιμής του 2 3/2. Ωστόσο, δεν είναι ούτε η μετάφραση που έχουμε δώσει τυχαία στο 2 3/2 - είναι η μοναδική πιθανότητα αν θέλουμε να διατηρήσουμε τους κανόνες Ε1, Ε2, Ε3. Ένα παρόμοιο επιχείρημα μας επιτρέπει να μεταφράσουμε το αα 0, τουλάχιστον ότι το αα δεν είναι 0. Από τον Ε1 και τον Ε2 ξέρουμε ότι αα = αα 1 = αα 1+0 = αα 1 αα 0 = αα αα 0. Ο νόμος της ακύρωσης Μ5 υπονοεί τότε ότι αα 0 = 1, όποια και να είναι η τιμή του αα. Όσο για τις αρνητικές δυνάμεις, αν γνωρίζουμε την τιμή του αα bb, τότε 1 = αα 0 = αα bb+( bb ) = aa bb aa bb, από το οποίο συνεπάγεται ότι αα bb = 1/aa bb. O αριθμός 2 3/2, για παράδειγμα είναι 1/ 8. Μία άλλη έννοια που γίνεται πολύ πιο απλή αν ιδωθεί από την αφηρημένη σκοπιά είναι αυτή του λογαρίθμου. Για την χρήση αυτών υπάρχουν τρεις κανόνες. ( Αν θέλετε λογαρίθμους στην βάση e αντί για αυτή του 10, απλά αντικαταστήστε στον L1 το 10 με το e. 13

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η Τζούλι και η μαμά της έχουν βγει για να αγοράσουν ένα τζιν για το σχολείο. Παρατηρούν έναν πάγκο με την εξής ταμπέλα πάνω: 40% έκπτωση των τιμών στις ετικέτες

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΒΙΩΝΟΝΤΑΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Δέκα μαθητές (εθελοντές) θα μοιραστούν 6 σοκολάτες που βρίσκονται πάνω σε 3 καρέκλες, όπως δείχνει η εικόνα. Κάθε ένας πρέπει να κατευθυνθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες

Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες Αριθμοί Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες Τα ερωτηματολόγια δόθηκαν σε ένα δείγμα 54 πρωτοετών φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Οι φοιτητές / φοιτήτριες δεν είχαν ενημερωθεί για την

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α.

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου 013 στο 17 ο ΓΕΛ από τους καθηγητές Ν.Κ, Κ.Μ, Δ.Α. Παρακάτω παρατίθενται τα θέματα και οι λύσεις ανεπτυγμένες σε κάποια σημεία, με σχόλια καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο Συνάντηση 2 Βασικές πρωτομαθηματικές δεξιότητες: σύγκριση, σειροθέτηση, εκτίμηση Ο Τζέρεμι και η Τζάκι Ο Τζέρεμι και η αδερφή του η Τζάκι συζητούσαν

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές.

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. Αγοράζω Πληρώνω Παίρνω ρέστα Συνεργάστηκαν οι: Σπίνος Γεράσιμος, Υποδ/ντής

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα