OXFORD UNIVERSITY PRESS, ISBN

Transcript

1 W.T. Gowers Mathematics A very short introduction OXFORD UNIVERSITY PRESS, ISBN Μετάφραση του κεφαλαίου Numbers and abstraction στα Ελληνικά από τον Παππά Ιωάννη. 1 Κάποια χρόνια πριν, μια review στο Times Literary Supplement άνοιγε με την παρακάτω παράγραφο: Δοθέντος ότι 0 0 = 0 και 1 1 = 1, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν αριθμοί που ισούνται με το τετράγωνό τους. Αλλά αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχουν αριθμοί. Με ένα πολύ απλοϊκό και αφελές βήμα, λοιπόν, έχουμε μεταβεί από ένα κομμάτι στοιχειώδους αριθμητικής σε ένα υψηλά διφορούμενο φιλοσοφικό συμπέρασμα : ότι οι αριθμοί υπάρχουν. Θα πιστεύατε ότι κάτι τέτοιο θα έπρεπε να ήταν πιο δύσκολο. Α. W. Moore στην review του Realistic Rationalism του Jerrold J, Katz, στο Times Literary Supplement, 11 Σεπτεμβρίου Αυτό το επιχείρημα μπορεί να δεχθεί κριτική με πολλούς τρόπους, και είναι απίθανο να το πάρει κάποιος σοβαρά, συμπεριλαμβανομένου του παραπάνω reviewer. Ωστόσο, υπάρχουν φιλόσοφοι που παίρνουν σοβαρά το ερώτημα, αν οι αριθμοί υπάρχουν, και αυτό τους ξεχωρίζει από τους μαθηματικούς, που είτε το βρίσκουν προφανές ότι οι αριθμοί υπάρχουν, είτε δεν καταλαβαίνουν την ερώτηση. Ο κύριος σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να εξηγήσει γιατί οι μαθηματικοί μπορούν, και πρέπει, να αγνοήσουν χαρούμενο αυτό το θεμελιώδες ερώτημα. 1 National Technical University of Athens, johnpappas@hotmail.com, el06164@mail.ntua.gr 1

2 Η ασάφεια του πολύ απλοϊκού και αφελούς επιχειρήματος για την ύπαρξη των αριθμών γίνεται εμφανής αν κάποιος κοιτάξει ένα παράλληλο επιχείρημα που σχετίζεται με το σκάκι. Δοθέντος ότι ο μαύρος βασιλιάς, στο σκάκι, κάποιες φορές επιτρέπεται να κινείται διαγώνια κατά ένα τετράγωνο, συνεπάγεται ότι υπάρχουν κομμάτια στο σκάκι που κάποιες φορές επιτρέπεται να κινούνται διαγώνια κατά ένα βήμα. Αλλά αυτό με την σειρά του συνεπάγεται ότι υπάρχουν κομμάτια σκακιού. Φυσικά δεν εννοώ με αυτό την πρακτική δήλωση ότι οι άνθρωποι μερικές φορές χτίζουν σκακιέρες με κομμάτια σκακιού ούτως ή άλλως μπορείς να παίξεις σκάκι και χωρίς αυτά αλλά από το «εντυπωσιακό» συμπέρασμα ότι τα κομμάτια του σκακιού υπάρχουν ανεξάρτητα από της φυσικές τους υποστάσεις. Τι είναι ο μαύρος βασιλιάς στο σκάκι; Αυτό είναι μια περίεργη ερώτηση και ο πιο ικανοποιητικός τρόπος να την αντιμετωπίσεις είναι να εκ της πλαγίας οδού. Τι μπορεί να κάνει κάποιος παραπάνω από το να δείξει την σκακιέρα και να εξηγήσεις τους κανόνες του παιχνιδιού, ίσως δίνοντας μεγαλύτερη βαρύτητα στο τι επιτρέπεται να κάνει ο μαύρος βασιλιάς; Αυτό που έχει σημασία για τον μαύρο βασιλιά είναι όχι η ύπαρξή του, ή η εγγενής του φύση, αλλά ο ρόλος που παίζει στο παιχνίδι. Η αφηρημένη μέθοδος στα μαθηματικά, όπως κάποιες φορές ονομάζεται, είναι τι αποτελέσματα παίρνει κάποιος όταν έχει μια παρόμοια συμπεριφορά με την παραπάνω αλλά προς τα μαθηματικά αντικείμενα. Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να αποτυπωθεί στο ακόλουθο slogan : ένα μαθηματικό αντικείμενο είναι το τι κάνει. Παρόμοια slogans έχουν εμφανιστεί πολλές φορές στην φιλοσοφία της γλώσσας, και μπορούν να είναι πολύ διφορούμενα. Δύο παραδείγματα είναι «Στις γλώσσες υπάρχουν μόνο διαφορές» και «Το νόημα μια λέξης είναι η χρήση της στην γλώσσα», που αποδίδονται στον Saussure και στον Wittgenstein αντίστοιχα, και κάποιος θα μπορούσε να προσθέσει το ακόλουθο κάλεσμα συσπείρωσης των λογικών θετικιστών: «Το νόημα μιας πρότασης είναι η μέθοδος επιβεβαίωσής της». Αν βρίσκετε την δικιά μου δυσάρεστη για φιλοσοφικούς λόγους, τότε, αντί να την θεωρήσετε σαν κάποια δογματική διατύπωση, θεωρήστε την σαν μια συμπεριφορά που μπορεί κάποιος κάποιες φορές να υιοθετήσει. Στην πραγματικότητα, όπως ελπίζω να σας παρουσιάσω, είναι ουσιώδες να την υιοθετήσει κάποιος που θέλει να καταλάβει σωστά τα ανώτερα μαθηματικά. Σκάκι χωρίς τα κομμάτια Είναι ευχάριστο να δει κανείς, παρόλο που το επιχείρημά μου δεν εξαρτάται από αυτό, ότι το σκάκι ή κάποιο άλλο παρόμοιο παιχνίδι μπορούν να αναπαρασταθούν από ένα γράφημα. Οι κορυφές του γραφήματος αναπαριστούν τις πιθανές θέσεις στο παιχνίδι. Δύο κορυφές P και Q ενώνονται με ακμή αν το άτομο που είναι η σειρά του να παίξει, βρίσκεται στην θέση P και έχει μια νόμιμη κίνηση ( στο σκάκι ) που τον οδηγεί στην θέση Q. Αφού είναι πιθανό να μην μπορεί να επιστρέψει κάποιος από το Q στο P πάλι, οι ακμές χρειάζονται βέλη τα οποία θα υποδηλώνουν την κατεύθυνση. Ορισμένες κορυφές θεωρούνται νίκες για τον λευκό, και άλλες νίκες για τον μαύρο. Το παιχνίδι ξεκινάει σε μια συγκεκριμένη κορυφή, που αντιστοιχεί στην αρχική θέση του παιχνιδιού. Στην συνέχεια οι παίκτες με παίζουν διαδοχικά με την σειρά τους, προσπαθώντας ο ένας να φτάσει στις νικητήριες κορυφές του λευκού και ο άλλος στις νικητήριες κορυφές του μαύρου. Ένα πιο απλό παιχνίδι αυτού του είδους φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. (Δεν είναι δύσκολο να παρατηρήσει κανείς ότι, για αυτό το παιχνίδι, ο λευκός έχει μια νικητήρια στρατηγική.) 2

3 Το γραφηματικό μοντέλο σκακιού, αν και μη πρακτικό λόγω του τεράστιου αριθμού των πιθανών θέσεων σκακιού, είναι τέλειο, υπό την έννοια ότι το παιχνίδι που προκύπτει είναι ακριβώς ισοδύναμε με το σκάκι. Και όμως, όταν το όρισα, δεν έκανα καμία αναφορά για κομμάτι σκακιού. Από αυτή την σκοπιά, φαίνεται αρκετά αφύσικο να ρωτήσεις αν ο μαύρος βασιλιάς υπάρχει : η σκακιέρα και τα κομμάτια του σκακιού δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια βολική οργάνωση αρχών που μας βοηθούν να σκεφτούμε το περίπλοκο πίνακα από κορυφές και ακμές σε ένα τεράστιο γράφημα. Αν πούμε κάτι του στυλ «Ο μαύρος βασιλιάς δέχεται check», τότε αυτό δεν είναι παρά μια συντομογραφία της πρότασης που ορίζει μια τεράστια λίστα κορυφών και που μας λέει ότι που παίκτες έχουν φτάσει μία από αυτές. Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί είναι το όνομα που έδωσαν οι μαθηματικοί στους γνωστούς μας αριθμούς 1,2,3,4,. Είναι από τα πιο βασικά μαθηματικά αντικείμενα, αλλά δεν φαίνεται να μας ενθαρρύνουν να σκεφτόμαστε αφηρημένα. Τι στην τελική μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός 5 μπορεί να κάνει; Δεν κινείται γύρω γύρω σαν ένα κομμάτι σκακιού. Αντιθέτως, φαίνεται να έχει μία εγγενή σχέση, ένα είδος καθαρής ιδιότητας του 5 που αμέσως αντιλαμβανόμαστε όταν κοιτάμε μια εικόνα σαν τη παρακάτω. 3

4 Ωστόσο, όταν συλλογιζόμαστε μεγάλους αριθμούς, υπάρχει μία λιγότερη καθαρότητα. Η παρακάτω εικόνα μας δίνει αναπαραστάσεις των αριθμών 7,12 και 47. 4

5 Πιθανώς κάποιοι άνθρωποι αμέσως αντιλαμβάνονται την ιδιότητα του 7, από την πρώτη εικόνα, αλλά στα μυαλά των περισσότερων ανθρώπων θα υπάρχει μια διαφεύγουσα σκέψη όπως «Οι εξωτερικές τελείες σχηματίζουν ένα εξάγωνο, συνεπώς μαζί με το κεντρικό παίρνουμε = 7.» Παρόμοια, το 12 θα είναι πιθανότατα το αποτέλεσμα μια σκέψης ως 3 4, ή 2 6. Όσο για το 47, δεν υπάρχει κάτι συγκεκριμένα ιδιαίτερο σχετικά με την ομάδα αντικειμένων αυτού του αριθμού, όπως έχει για παράδειγμα το 46. Αν οργανωθούν σε κάποιο μοτίβο, όπως το πλέγμα 7 7 με δύο σημεία να λείπουν, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την γνώση του = 49 2 = 47 για να πούμε γρήγορα ότι πόσα πολλά είναι. Αν όχι, τότε δεν έχουμε άλλη επιλογή από το να τα μετρήσουμε, αυτή τη φορά σκεφτόμενοι ότι το 47 έρχεται μετά το 46, που αυτό έρχεται μετά το 45 κ.ο.κ.. Με άλλα λόγια, οι αριθμοί δεν χρειάζεται να είναι πολύ μεγάλοι πριν σταματήσουμε να τους σκεφτόμαστε σαν μεμονωμένα αντικείμενα και να αρχίσουμε να τους καταλαβαίνουμε μέσα από τις ιδιότητές τους, μέσα από το πώς σχετίζονται με άλλος αριθμούς, μέσα από το ρόλος τους σε ένα σύστημα αριθμών. Αυτό εννοώ με το τι ένας αριθμός κάνει. Όπως φαίνεται καθαρά, η έννοια του αριθμού συνδέεται στενά με τις αριθμητικές πράξεις τις πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού : για παράδειγμα, χωρίς κάποια ιδέα για την αριθμητική, κάποιος δεν έχει την παραμικρή αντίληψη της έννοιας ενός αριθμού σαν το 1,000,000,017. Ένα σύστημα αριθμών δεν είναι απλά μια συλλογή αριθμών αλλά μια συλλογή αριθμών μαζί με κανόνες που ορίζουν πώς να κάνεις αριθμητική. Ένας άλλος τρόπος για να συνοψίσω την αφηρημένη μέθοδο είναι ο εξής : σκεφτείτε τους κανόνες παρά τους αριθμούς αυτούς καθεαυτούς Οι αριθμοί, από αυτή την σκοπιά, είναι μονάδες σε κάποιου είδους παιχνίδι ( ή κάποιος πρέπει να τους αποκαλέσει μετρητές ). Για να πάρετε μια ιδέα σχετικά με το τι είναι οι κανόνες, ας αναλογιστούμε μια απλή αριθμητικές ερώτηση : τι κάνει κάποιος αν θέλει να πειστεί ότι = 9994 ; Οι περισσότεροι άνθρωποι θα το έλεγχαν πιθανόν στην αριθμομηχανή, αλλά αν αυτό δεν ήταν πιθανό για κάποιο λόγο, θα έκαναν την παρακάτω συλλογιστική = = = = = 9994 Γιατί ωστόσο τα βήματα αυτά φαντάζουν προφανώς σωστά; Για παράδειγμα, γιατί κάποιος αμέσως πιστεύει ότι = 6000 ; Ο ορισμός το 30 είναι 3 x 10 και ο ορισμός του 200 είναι 2 ( ), έτσι λοιπόν τι μπορούμε να πούμε με απόλυτη αυτοπεποίθηση ότι 30 x 200 = ( 3 10 ) ( 2 ( ) ). Αλλά γιατί αυτό κάνει 6000; Κανονικά, κανένας δεν θα έκανε αυτή την ερώτηση, αλλά σε κάποιον που θα την έκανε θα λέγαμε, ( 3 10 ) ( 2 ( ( ) ) = ( 3 3 ) ( ) = =

6 Χωρίς να το σκεφτούμε ιδιαίτερα, θα χρησιμοποιούσαμε δύο γνωστές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού : ότι αν πολλαπλασιάσεις δύο αριθμούς μαζί, δεν πειράζει μια ποια σειρά τους βάζεις, και ότι αν πολλαπλασιάσεις παραπάνω από δύο αριθμούς μαζί, δεν έχει σημασία πώς θα βάλεις τις παρενθέσεις. Για παράδειγμα 7 8 = 8 7 και (31 34 ) 35 = 31 ( ). Παρατηρείστε ότι ενδιάμεσοι υπολογισμοί που περιλαμβάνονται στο δεύτερο παράδειγμα επηρεάζονται σίγουρα από το πώς θα βάλει κάποιος τις παρενθέσεις, αλλά κάποιος ξέρεις ότι η τελική απάντηση θα είναι η ίδια. Αυτοί οι δύο κανόνες λέγονται, ο αντιμεταθετικός και προσεταιριστικός κανόνας του πολλαπλασιασμού. Ας παραθέσω τώρα λίγους κανόνες, συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο, που χρησιμοποιούμε συχνά όταν προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε. Α1. Ο αντιμεταθετικός κανόνας για την πρόσθεση : aa + bb = bb + aa για οποιουσδήποτε αριθμούς aa, bb. A2. Ο προσεταιριστικός κανόνας για την πρόσθεση : aa + ( bb + cc ) = ( aa + bb ) + cc για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς aa, bb, cc. M1. O αντιμεταθετικός κανόνας για τον πολλαπλασιασμό: aa bb = bb aa για οποιουσδήποτε αριθμούς aa, bb. M2. Ο προσεταιριστικός κανόνας για το πολλαπλασιασμό: aa (bb cc) = (aa bb) cc για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς aa, bb, cc. M3. Tο 1 είναι η πολλαπλασιαστική ταυτότητα: 1aa = aa για οποιονδήποτε αριθμό aa. D. O επιμεριστικός κανόνας: (aa + bb) cc = aaaa + bbbb για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς aa, bb, cc. Παραθέτω αυτούς τους κανόνες όχι γιατί θέλω να σας πείσω ότι είναι ενδιαφέροντες από μόνοι τους, αλλά για να τραβήξω την προσοχή σχετικά με τον ρόλο που παίζουν στην σκέψη μας, ακόμα και στις απλές μαθηματικές δηλώσεις. Η αυτοπεποίθησή μας ότι το 2 3 = 6 πιθανόν να οφείλεται σε μια τέτοια εικόνα. Από την άλλη μεριά, μια άμεση προσέγγιση αδύνατη αν θέλουμε να δείξουμε ότι = 9994, συνεπώς σκεφτόμαστε για αυτό πιο περίπλοκα με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας, τον αντιμεταθετικό, τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο. Αν έχουμε υπακούσει σε αυτούς τους κανόνες, τότε πιστεύουμε το αποτέλεσμα. Επιπλέον, το πιστεύουμε ακόμα και αν δεν έχουμε οπτική εποπτεία 9994 αντικειμένων. Μηδέν 6

7 Ιστορικά, η ιδέα του αριθμού μηδέν αναπτύχθηκε αργότερα από την ιδέα των θετικών ακεραίων. Έχει φανεί σε πολλούς ανθρώπους σαν μια μυστηριώδης και παράδοξη έννοια, εμπνέοντας ερωτήσεις όπως «Πώς κάτι μπορεί να υπάρχει και όμως να είναι τίποτα;» Από την αφηρημένη σκοπιά ωστόσο, το μηδέν είναι κάτι πολύ ευθύ είναι απλά μια καινούργια μονάδα στο αριθμητικό μας σύστημα με την ακόλουθη ιδιαίτερη ιδιότητα. Α3. To 0 είναι η προσθετική ταυτότητα: 0 + aa = aa για οποιονδήποτε αριθμό aa. Αυτό είναι ότι χρειάζεστε να ξέρετε για το 0. Δεν χρειάζεται να ξέρετε τι σημαίνει απλά ένα μικρό κανόνα που σας λέει τι κάνει. Τι γίνεται σχετικά με άλλες ιδιότητες του αριθμού 0, όπως το γεγονός ότι 0 φορές οποιονδήποτε αριθμό μας κάνει 0; Δεν έβαλα αυτό τον κανόνα, επειδή τελικά προκύπτει από τον κανόνα A3 και τους προηγούμενούς μας κανόνες. Εδώ για παράδειγμα φαίνεται πώς μπορεί να δειχτεί ότι 0 2 = 0, όπου ο αριθμός 2 είναι ορισμένος σαν Πρώτον, ο κανόνας M1 μας λέει ότι 0 2 = 2 0. Έπειτα ο κανόνας D μας λέει ότι ( 1 + 1) 0 = Αλλά 1 0 = 0 από τον κανόνα M3, συνεπώς αυτό ισούται με Ο κανόνας Α3 υπονοεί ότι = 0, και η απόδειξη τελειώνει. Ένα διαφορετικό, μη αφηρημένο, επιχείρημα θα ήταν κάτι τέτοιο: «0 2 σημαίνει πρόσθεσε 2 φορές κανένα δυάρι και αν το κάνεις αυτό μένεις με κανένα, 0» Αλλά αυτός ο τρόπος σκέψης, καθιστά δύσκολο να απαντηθούν ερωτήματα όπως αυτό που μου έθεσε ο μικρός μου γιος John ( όντας έξι χρονών ) : Πώς μπορεί καμία φορές το κανένα να κάνει κανένα, αφού καμία φορές σημαίνει ότι δεν έχεις κανένα; Μια καλή απάντηση, αν και όχι κατάλληλη για εκείνη την στιγμή, είναι ότι μπορεί να εξαχθεί από τους κανόνες όπως φαίνεται παρακάτω ( Μετά από κάθε βήμα, παραθέτω τον κανόνα που χρησιμοποιώ ). 0 = 1 0 M3 = (0 + 1) 0 A3 = D = M3 = A1 = 0 0 A3 Γιατί παραθέτω αυτές τις μακροσκελείς αποδείξεις πολύ στοιχειωδών γεγονότων; Πάλι, δεν είναι γιατί βρίσκω τις αποδείξεις ενδιαφέρουσες από μαθηματική σκοπιά, αλλά επειδή θέλω να δείξω τι σημαίνει να δικαιολογείς αριθμητικές εκφράσεις αφηρημένα ( χρησιμοποιώντας λίγους απλούς κανόνες και χωρίς να χρειάζεται να ανησυχείς για το τι οι αριθμοί είναι στην πραγματικότητα) παρά συμπαγώς ( με το αναζητάς τι σημαίνουν οι εκφράσεις ). Είναι φυσικά πολύ χρήσιμο να συνδέονται έννοιες και νοητικές εικόνες με μαθηματικά αντικείμενα αλλά αυτά δεν είναι πολλές φορές αρκετά να μας υποδείξουν το τι να κάνουμε σε μη συνηθισμένες καταστάσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις η αφηρημένη μέθοδος γίνεται απαραίτητη. Αρνητικοί αριθμοί και κλάσματα 7

8 Όπως οποιοσδήποτε με εμπειρία στο να διδάσκει μαθηματικά σε μικρά παιδιά ξέρει, ότι υπάρχει κάτι μη άμεσο με την αφαίρεση και την διαίρεση που τις κάνει πιο δύσκολες στην κατανόηση από την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Για να εξηγήσεις την αφαίρεση, κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει την έννοια του αφαιρώ κάτι από κάτι, ρωτώντας ερωτήσεις όπως, «Πόσα πορτοκάλια θα μείνουν αν ξεκινήσεις με πέντε και φας τα δύο;». Ωστόσο, αυτός δεν είναι ο καλύτερος τρόπος πάντα για να σκέφτεσαι. Για παράδειγμα, αν κάποιος θέλει να αφαιρέσει το 98 από το 100, τότε αντί να σκεφτείς να αφαιρέσεις 98 πράγματα από 100 πράγματα, να σκεφτείς τι χρειάζεται να προσθέσει κάποιος στο 98 για το κάνεις 100. Τότε, αυτό που κάνει κάποιος, είναι να λύσει αποτελεσματικά την εξίσωση 98 + xx = 100, αν και φυσικά είναι ασυνήθιστο για κάποιον να περάσει το γράμμα xx από το μυαλό του κατά τη διάρκεια του υπολογισμού. Παρόμοια, υπάρχουν δύο τρόποι για να σκεφτεί κάποιος την διαίρεση. Για να εξηγήσει την έννοια του να διαιρέσεις το 50 με το 10, κάποιος μπορεί να ρωτήσει είτε, «Αν πενήντα αντικείμενα χωριστούν σε δέκα ίσες ομάδες, πόσα αντικείμενα θα έχει η κάθε ομάδα;» ή να ρωτήσει, «Αν πενήντα αντικείμενα χωριστούν σε ομάδες των δέκα, πόσες ομάδες θα υπάρξουν;». Η δεύτερη προσέγγιση είναι ισοδύναμη με την ερώτηση, «Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί το δέκα για γίνει πενήντα» που με τη σειρά του είναι ισοδύναμο με το να λυθεί η εξίσωση 10xx = 50. Μια επιπλέον δυσκολία για την επεξήγηση της αφαίρεσης και της διαίρεση στα παιδιά, είναι το γεγονός ότι δεν είναι πάντα δυνατόν να γίνουν. Για παράδειγμα δεν μπορείς να αφαιρέσεις δέκα πορτοκάλια από ένα μπωλ με επτά πορτοκάλια, και τρία παιδιά δεν μπορούν να μοιραστούν έντεκα σοκολάτες ίσα. Ωστόσο, αυτό δεν σταματάει τους ενήλικες από το να αφαιρούν το 10 από το ή να διαιρούν το 11 με το 3, παίρνοντας τις απαντήσεις -3, 11/3 αντίστοιχα. Η ερώτηση που προκύπτει είναι η εξής: οι αριθμοί -3, 11/3 υπάρχουν πραγματικά, και αν ναι τι είναι; Από την αφηρημένη σκοπιά, μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τέτοιες ερωτήσεις όπως αντιμετωπίσαμε παρόμοιες ερωτήσεις σχετικά με το 0 : ξεχνώντας τες. Ότι χρειάζεται να ξέρουμε για το -3, είναι το γεγονός ότι όταν προσθέτουμε 3 σε αυτό, αυτό γίνεται 0, και ότι χρειαζόμαστε για το 11/3 είναι το γεγονός ότι αν το πολλαπλασιάσουμε με 3, παίρνουμε 11. Αυτοί είναι οι κανόνες, και σε αντιστοιχία με προηγούμενους κανόνες, μας επιτρέπουν να κάνουμε αριθμητική σε μεγαλύτερο σύστημα αριθμών. Γιατί θέλουμε να επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών με αυτό τον τρόπο; Επειδή μας δίνει ένα μοντέλο στο οποίο οι εξισώσεις όπως xx + aa = bb και aa xx = bb μπορούν να λυθούν, ανεξάρτητα με το τι είναι οι τιμές των aa, bb εκτός από το γεγονός ότι το a δεν πρέπει να είναι 0 στην δεύτερη εξίσωση. Για να το θέσουμε αλλιώς, μας δίνει ένα μοντέλο, όπου η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πάντα δυνατές, εκτός φυσικά αν κάποιος προσπαθήσει να διαιρέσει με το 0. Όπως συμβαίνει, χρειαζόμαστε μόνο δύο ακόμα κανόνες για να επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών μας με αυτό τον τρόπο : έναν που μας δίνει τους αρνητικούς αριθμούς και ένας που μας δίνει τα κλάσματα ή τους ρητούς αριθμούς όπως είναι συνήθως γνωστοί. Α4. Προσθετικοί αντίστροφοι : για κάθε αριθμό aa υπάρχει αριθμός b τέτοιος ώστε aa + bb = 0. M4. Πολλαπλασιαστικοί αντίστροφοι : για κάθε αριθμό a εκτός του 0 υπάρχει αριθμός c τέτοιος ώστε aaaa = 1. 8

9 Εφοδιασμένοι με αυτούς τους κανόνες, μπορούμε να σκεφτούμε το aa και το 1/aa σαν συμβολισμούς για τους αριθμούς bb και cc στα A4,M4 αντίστοιχα. Όσο αναφορά γενικότερες εκφράσει p/q, αυτές συμβολίζουν το p πολλαπλασιασμένο με το 1/q. Ο κανόνας A4 και ο κανόνας M4 υπονοούν δύο ακόμα κανόνες γνωστοί σαν νόμοι της ακύρωσης. Α5. Ο κανόνας της ακύρωσης για την πρόσθεση : αν aa, bb, cc οποιοιδήποτε αριθμοί κκκκκκ aa + bb = aa + c, τότε b = c. Μ5. O κανόνας της ακύρωσης για τον πολλαπλασιασμό: αν a, b, c οποιοιδήποτε αριθμοί, ο a όχι 0 και aaaa = aaaa, τότε bb = cc. Ο πρώτος από τους δύο παραπάνω κανόνες αποδεικνύεται αν προσθέσει κανείς aa και στις δύο πλευρές και ο δεύτερος αν πολλαπλασιάσει με 1/aa και τις δύο μεριές. Παρατηρήστε το διαφορετικό status του A5 και του M5 από τους προηγούμενους κανόνες είναι συνέπειες των προηγούμενων κανόνων, παρά κανόνες που απλά εισάγαμε για να δημιουργήσουμε ένα καλό παιχνίδι. Εάν κάποιου του ζητηθεί να προσθέσει δύο κλάσματα όπως το 2/5 και το 3/7, τότε η συνηθισμένη μέθοδος είναι να εισάγουμε τον κοινό παρονομαστή, όπως στην συνέχεια: = = Αυτή η τεχνική, και άλλες σαν αυτή, μπορεί να δικαιολογηθεί χρησιμοποιώντας τους καινούργιους μας κανόνες. Για παράδειγμα = = ( ) 1 35 = (14 35 ) 1 35 = = 14 1 = και = ( 5 7 ) = ( 7 5 ) = = ( 7 1 ) 2 = 7 2 = 14 Συνεπώς από τον κανόνα M5, τα 2/5 και 14/35 είναι ίσα, όπως υποθέσαμε στον υπολογισμό. Παρομοίως μπορούμε να δικαιολογήσουμε παρόμοια γεγονότα σχετικά με τους αρνητικούς αριθμούς. Αφήνεται στον αναγνώστη να εξάγει από τους κανόνες το ( -1 ) ( -1 ) = 1, η εξαγωγή είναι παρόμοια με εκείνη του 0 0 = 0. 9

10 Γιατί φαίνεται σε πολλούς ανθρώπους ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι λιγότεροι πραγματικοί από τους θετικούς; Πιθανόν επειδή το να μετράς μικρές ομάδες αντικειμένων είναι μια θεμελιώδης ανθρώπινη δραστηριότητα, και όταν την κάνουμε, δεν χρησιμοποιούμε αρνητικούς αριθμούς. Αλλά αυτό το μόνο που σημαίνει είναι ότι το σύστημα των φυσικών αριθμών, θεωρούμενο σαν μοντέλο, είναι χρήσιμο υπό ορισμένες συνθήκες ενώ ένα μεγαλύτερο σύστημα αριθμών δεν είναι. Αν θέλουμε να σκεφτόμαστε θερμοκρασίες, ημερομηνίες, λογαριασμούς τραπεζών, τότε οι αρνητικοί αριθμοί γίνονται χρήσιμοι. Όσο το επεκταμένο σύστημα αριθμών είναι λογικά συνεπές, που είναι, δεν υπάρχει βλάβη στο να το χρησιμοποιούμε σαν μοντέλο. Μπορεί να φανεί περίεργο να καλούμε τους φυσικούς αριθμούς μοντέλο. Δεν μετράμε πραγματικά χωρίς να χρειάζεται περαιτέρω εξιδανίκευση; Ναι μετράμε, αλλά αυτή η διαδικασία δεν είναι πάντα η κατάλληλη, ούτε είναι πάντα πιθανή. Δεν υπάρχει τίποτα λάθος με τον αριθμό από μαθηματικής απόψεως αλλά είναι ασύλληπτο ότι μπορούμε ποτέ να έχουμε μια συλλογή από αντικείμενα. Αν πάρεις δύο σακιά με φύλλα και τα προσθέσεις σε ένα τρίτο, το αποτέλεσμα δεν είναι τρία σακιά από φύλλα αλλά ένα μεγαλύτερο σακί. Και αν έχετε μόλις παρατηρήσει μια καταιγίδα, τότε, όπως είπε ο Wittgenstein, «Η κατάλληλη απάντηση στην ερώτηση Πόσες σταγόνες βροχής είδες;, είναι πολλές, όχι ότι δεν υπήρχε αριθμός αλλά δεν ξέρεις πόσο πολλές». Πραγματικοί και φανταστικοί αριθμοί Το σύστημα των πραγματικών αριθμών αποτελείται από όλους τους αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν από άπειρα δεκαδικά ψηφία. Αυτή η έννοια είναι λίγο πιο βαθιά. Ο λόγος που επεκτείναμε το σύστημα των ρητών αριθμών στο σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι παρόμοιος με τον λόγο που εισάγαμε τους αρνητικούς αριθμούς και τα κλάσματα: μας επιτρέπουν να επιλύσουμε εξισώσεις που αλλιώς δεν θα μπορούσαμε. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι μια εξίσωση σαν την xx 2 = 2. Τον έκτο αιώνα π. Χ., ανακαλύφθηκε από την σχολή του Πυθαγόρα ότι ο αριθμός 2 είναι άρρητος, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από κλάσμα. Αυτή η ανακάλυψη προκάλεσε απογοήτευση, αλλά τώρα πρέπει να αποδεχτούμε χαρούμενα ότι πρέπει να επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών μας αν θέλουμε να μοντελοποιήσουμε πράγματα όπως η διαγώνιος ενός τετραγώνου. Ακόμα μια φορά, το καθήκον της αφηρημένης μεθόδου είναι πολύ εύκολο. Εισάγουμε ένα καινούργιο σύμβολο, το 2 και έχουμε ένα κανόνα να μας πει τι να κάνουμε με αυτό: αν το υψώσουμε στο τετράγωνο μας κάνει 2. Αν έχετε προετοιμαστεί καλά, θα φέρετε αντίρρηση σε ότι είπα, γιατί ο κανόνας δεν κάνει διαχωρισμό μεταξύ του 2 και του 2. Ένας τρόπος να αντιμετωπιστεί αυτό, είναι να εισάγουμε μια νέα έννοια στο αριθμητικό μας σύστημα, αυτήν της τάξης. Είναι συχνά χρήσιμο το να λες ότι ένα αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο, και αν επιτρέψουμε στον εαυτό μας να το κάνει αυτό, τότε μπορούμε να επιλέξουμε το 2 με την επιπλέον ιδιότητα ότι είναι μεγαλύτερο του 0. Αλλά και ακόμα και χωρίς αυτή την ιδιότητα μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς σαν = ( 2 + 1) = ( 2) = =

11 και στην πραγματικότητα υπάρχει πλεονέκτημα στο να μην διαχωριστεί το 2 από το 2, γιατί ξέρουμε ότι ο παραπάνω υπολογισμός είναι έγκυρος και για τους δύο αριθμούς. Ιστορική καχυποψία για την αφηρημένη μέθοδο, έχει αφήσει τα ίχνη της στις λέξεις που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν καινούργιους αριθμούς που εμφανίζονται κάθε φορά που το σύστημα αριθμών επεκτείνεται, λέξεις όπως αρνητικός ή άρρητος. Αλλά περισσότερο δύσκολο να κατανοηθούν, ήταν οι φανταστικοί ή μιγαδικοί αριθμοί, αριθμοί της μορφής a+bi, όπου a,b πραγματικοί αριθμοί και i η τετραγωνική ρίζα του -1. Από μία συμπαγής άποψη, κάποιος μπορεί να απορρίψει την τετραγωνική ρίζα του -1: αφού το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι θετικό, το -1 δεν έχει τετραγωνική ρίζα, και έτσι έχουν τα πράγματα. Ωστόσο, αυτή η ένσταση, δεν προβάλλει πραγματικό εμπόδιο για κάποιον που υιοθετεί την αφηρημένη μέθοδο. Γιατί δεν επεκτείνουμε απλά το σύστημα των αριθμών, εισάγοντας στην εξίσωση xx 2 = 1 και καλώντας το -1; Γιατί αυτό πρέπει να επιφέρει πιο πολλή ένσταση από ότι η προηγούμενη εισαγωγή του 2; Μια απάντηση μπορεί να είναι ότι το 2 έχει δεκαδικό ανάπτυγμα που ( επί της αρχής ) μπορεί να υπολογιστεί με οποιαδήποτε ακρίβεια, ενώ τίποτε ισοδύναμε δεν μπορεί να ειπωθεί σχετικά με το i. Αλλά αυτό λέει κάτι που γνωρίζουμε ήδη, ότι το i δεν είναι πραγματικό αριθμός, όπως το 2 δεν είναι ρητός αριθμός. Αυτό δεν μας σταματά από το να επεκτείνουμε το αριθμητικό μας σύστημα σε ένα σύστημα στο οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς όπως τους παρακάτω: 1 ii 1 = ii + 1 (ii 1)(ii + 1) = ii + 1 ii 2 ii + ii 1 = ii = 1 (ii + 1) 2 Η κυριότερη διαφορά μεταξύ i και 2 είναι ότι στην περίπτωση του i είμαστε υποχρεωμένοι να σκεφτούμε αφηρημένα, ενώ υπάρχει πάντα μια επιλογή με το 2 να σκεφτούμε μια συμπαγής αναπαράσταση όπως ή το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου. Για να δείτε γιατί το i δεν έχει τέτοια αναπαράσταση ρωτήστε τον εαυτό σας την ακόλουθη ερώτηση: ποια από τις δύο τετραγωνικές ρίζες του -1 είναι i και ποια i; Η ερώτηση δεν βγάζει νόημα επειδή η μοναδική ορισμένη ιδιότητα του i είναι ότι το τετράγωνό του κάνει -1. Αφού το i έχει την ίδια ιδιότητα, κάθε αληθής πρόταση σχετικά με το i παραμένει αληθής αν κάποιος την αντικαταστήσει με την αντίστοιχη πρόταση για το i. Είναι δύσκολο για κάποιον όταν το έχει συλλάβει έτσι, να έχει οποιοδήποτε σεβασμό για την άποψη ότι το i μπορεί να υποδηλώνει ένα Πλατωνικό αντικείμενο ένα αντικείμενο που υπάρχει ανεξάρτητα από την δικιά μας ύπαρξη. Υπάρχει ένας παραλληλισμός εδώ με ένα πολύ γνωστό φιλοσοφικό αίνιγμα. Είναι η ίδια η αίσθηση όταν αντιλαμβάνεσαι το χρώμα κόκκινο με το όταν αντιλαμβάνεσαι το χρώμα πράσινο και αντίστροφα; Κάποιοι φιλόσοφοι παίρνουν αυτή την ερώτηση πολύ σοβαρά αι ορίζουν σαν qualia να είναι η απόλυτα εγγενής εμπειρίες που έχουμε όταν, για παράδειγμα, βλέπουμε χρώματα. Άλλοι δεν πιστεύουν στο qualia. Για αυτούς, μια λέξη σαν το πράσινο ορίζεται πιο αφηρημένα από τον ρόλο της στο γλωσσολογικό σύστημα, δηλαδή από τις σχέσεις της με έννοιες όπως το γρασίδι, το κόκκινο κ.τ.λ.. Είναι αδύνατο να εξάγεις 11

12 κάποιου την θέσε σε αυτό το ζήτημα από τον τρόπο που μιλάνε για το χρώμα, εκτός κατά τη διάρκεια των φιλοσοφικών συζητήσεων. Παρομοίως, στην πράξη, ότι χρειάζεται για τους αριθμούς και τα άλλα μαθηματικά αντικείμενα είναι οι κανόνες στους οποίους υπακούουν. Αν εισάγουμε το i με σκοπό να έχουμε μια λύση στην εξίσωση xx 2 = 1, τότε τι γίνεται σχετικά με άλλες εξισώσεις όπως xx 4 = 3 ή 2xx 6 + 3xx + 17 = 0; Αποδεικνύεται λαμπρά ότι κάθε τέτοια εξίσωση μπορεί να λυθεί μέσα στο σύστημα των μιγαδικών αριθμών. Με άλλα λόγια, μπορούμε να κάνουμε την μικρή επένδυση με το να δεχθούμε το i, αλλά αυτή θα ξεπληρωθεί ξανά και ξανά. Αυτό το γεγονός, το οποίο έχει μια περίπλοκη ιστορία αλλά που συνήθως αποδίδεται στον Gauss, είναι γνωστό σαν το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας και παρέχει πολλά πειστικά στοιχεία ότι υπάρχει κάτι το φυσικό σχετικά με το i. Μπορεί να είναι αδύνατο να φανταστείς ένα καλάθι από i μήλα, ένα ταξίδι με το αμάξι που να διαρκεί i ώρες, ή ένα τραπεζικό λογαριασμό από i αριθμό καταθέσεων, αλλά το μιγαδικό σύστημα αριθμών έχει γίνει απαραίτητο στους μαθηματικούς, και στους επιστήμονες και στους μηχανικούς εξίσου η θεωρία της κβαντικής μηχανικής, για παράδειγμα, εξαρτάται πολύ από τους μιγαδικούς αριθμούς. Παρέχει μία από τις καλύτερες ενσαρκώσεις μια γενικότερης αρχής: αν ένα αφηρημένο μαθηματικό κατασκεύασμα είναι επαρκώς φυσικό, τότε είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα βρει κάποιο μοντέλο. Μια πρώτη ματιά στο άπειρο Έχοντας κάποιος μάθει να σκέφτεται αφηρημένα, μπορεί να προκαλεί ευφορία, όπως όταν ξαφνικά μαθαίνεις να οδηγείς μια μηχανή χωρίς να χρειάζεται να ανησυχείς για να την ισορροπία σου. Ωστόσο, δεν θέλω να δώσω την εντύπωση ότι η αφηρημένη μέθοδος είναι κάτι σαν μια άδεια για να εκτυπώνεις λεφτά. Είναι ενδιαφέρον να αντιπαραθέσετε την εισαγωγή του i στο αριθμητικό σύστημα με το τι συμβαίνει όταν κάποιος προσπαθεί να εισάγει το άπειρο των αριθμών. Με μια πρώτη ματιά, δεν φαίνεται να μας σταματά κάτι: το άπειρο οφείλει να σημαίνει κάτι σαν την διαίρεση του 1 με το 0, έτσι λοιπόν για να μην ορίσουμε το να είναι ένα αφηρημένο σύμβολο και να το θεωρήσουμε σαν λύση στην εξίσωση 0xx = 1; Το πρόβλημα με αυτή την ιδέα εγείρεται την στιγμή που κάποιος προσπαθεί να κάνει αριθμητική. Εδώ για παράδειγμα, είναι μια απλή συνέπεια του M2, του αντιμεταθετικού νόμου του πολλαπλασιασμού, και του γεγονότος ότι 0 2 = 0. 1 = 0 = ( 0 2 ) = ( 0 ) 2 = 1 2 = 2 Αυτό που υποδεικνύει το παραπάνω είναι ότι η ύπαρξη μιας λύσης στην εξίσωση 0xx = 1 οδηγεί σε ασυνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι το άπειρο δεν υπάρχει; Όχι, αυτό απλά σημαίνει ότι κανένας φυσικός συμβολισμός του απείρου είναι συμβατός με τους νόμους τους αριθμητικής. Είναι πολλές φορές χρήσιμο να επεκτείνουμε το σύστημα αριθμών έτσι ώστε να περικλείει το σύμβολο, δεχόμενοι το γεγονός ότι σε επεκταμένα συστήματα αυτοί οι κανόνες δεν είναι πάντα έγκυροι. Συνήθως ωστόσο, κάποιος προτιμά να κρατά τους κανόνες χωρίς το άπειρο. Υψώνοντας αριθμούς σε αρνητικές και κλασματικές δυνάμεις Μια από τις μεγαλύτερες αρετές της αφηρημένης μεθόδου είναι ότι μας επιτρέπει να εκλογικεύσουμε οικείες έννοιες σε ασυνήθιστες καταστάσεις. Η φράση εκλογικεύω είναι αρκετά κατάλληλη αφού αυτό είναι ακριβώς που κάνουμε, παρά να ανακαλύπτουμε κάποια 12

13 προϋπάρχουσα λογική. Ένα απλό παράδειγμα αυτού, είναι ο τρόπος που επεκτείνουμε την έννοια του να υψώνεις έναν αριθμό σε μια δύναμη. Αν n θετικός ακέραιος, τότε το αα nn σημαίνει το αποτέλεσμα του να πολλαπλασιάζεις n φορές το α. Για παράδειγμα, 5 3 = = 125 και 2 5 = = 32. Αλλά με αυτό σαν ορισμό, δεν είναι εύκολο να μεταφράσεις μια έκφραση σαν την 2 3/2, αφού δεν μπορείς να πάρεις μισά 2 και να τα πολλαπλασιάσεις μαζί. Μια είναι η αφηρημένη μέθοδος για να αντιμετωπιστούν προβλήματα τέτοιου είδους; Για ακόμα μια φορά, το ζήτημα δεν είναι να αναζητήσετε εγγενής έννοιες σε αυτή την περίπτωση εκφράσεις όπως το αα nn, αλλά να σκεφτείτε κανόνες. Δύο στοιχειώδεις κανόνες σχετικά με το να υψώνονται αριθμοί σε δυνάμεις είναι οι εξής. Ε1. αα 1 = αα για κάθε πραγματικό αριθμό α. Ε2. αα mm+nn = aa mm aa nn για κάθε πραγματικό αριθμό α και κάθε ζευγάρι φυσικών αριθμών mm, nn. Για παράδειγμα, 2 5 = αφού 2 5 σημαίνει και σημαίνει (2 2 2 ) ( 2 2 ). Αυτοί είναι οι ίδιο αριθμοί επειδή ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός. Από αυτούς τους κανόνες μπορούμε γρήγορα να εξάγουμε τα ήδη γνωστά γεγονότα. Για παράδειγμα, το αα 2 = αα 1+1 το οποίο, από τον Ε2, είναι αα 1 αα 1. Από τον Ε1 αυτό είναι α x α, όπως θα έπρεπε να είναι. Αλλά τώρα είμαστε σε θέση να κάνουμε πολλά περισσότερα. Ας γράψουμε σαν xx τον αριθμό 2 3/2. Τότε xx xx = 2 3/2 2 3/2 το οποίο, από τον Ε2, είναι = 2 3 = 8. Με άλλα λόγια xx 2 = 8. Αυτό δεν καθορίζει ακριβώς το xx, αφού το 8 έχει δύο τετραγωνικές ρίζες, έτσι λοιπόν είναι σύνηθες να υιοθετήσουμε την ακόλουθη σύμβαση. Ε3. Αν a > 0 και b πραγματικός αριθμός, τότε αα bb είναι θετικός. Χρησιμοποιώντας λοιπόν και την Ε3, βρίσκουμε ότι το 2 3/2 είναι η θετική τετραγωνική ρίζα του 8. Αυτό δεν είναι μια ανακάλυψη της πραγματικής τιμής του 2 3/2. Ωστόσο, δεν είναι ούτε η μετάφραση που έχουμε δώσει τυχαία στο 2 3/2 - είναι η μοναδική πιθανότητα αν θέλουμε να διατηρήσουμε τους κανόνες Ε1, Ε2, Ε3. Ένα παρόμοιο επιχείρημα μας επιτρέπει να μεταφράσουμε το αα 0, τουλάχιστον ότι το αα δεν είναι 0. Από τον Ε1 και τον Ε2 ξέρουμε ότι αα = αα 1 = αα 1+0 = αα 1 αα 0 = αα αα 0. Ο νόμος της ακύρωσης Μ5 υπονοεί τότε ότι αα 0 = 1, όποια και να είναι η τιμή του αα. Όσο για τις αρνητικές δυνάμεις, αν γνωρίζουμε την τιμή του αα bb, τότε 1 = αα 0 = αα bb+( bb ) = aa bb aa bb, από το οποίο συνεπάγεται ότι αα bb = 1/aa bb. O αριθμός 2 3/2, για παράδειγμα είναι 1/ 8. Μία άλλη έννοια που γίνεται πολύ πιο απλή αν ιδωθεί από την αφηρημένη σκοπιά είναι αυτή του λογαρίθμου. Για την χρήση αυτών υπάρχουν τρεις κανόνες. ( Αν θέλετε λογαρίθμους στην βάση e αντί για αυτή του 10, απλά αντικαταστήστε στον L1 το 10 με το e. 13