Τα βασικά στοιχεία. Ρεύμα = ροή φορτίου Ορισμός η παράγωγος του φορτίου στον χρόνο

Transcript

1 Κ. Πολιτόπουλος

2 Τα βασικά στοιχεία Τάση V = διαφορά δυναμικού Ορισμός Η ενέργεια που χρειάζεται (η αποδίδει) να πάει από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β ένα στοιχειώδες (μοναδιαίο) φορτίο Ιδιότητα Η ενέργεια είναι ανεξάρτητη της πορείας του φορτίου ( αστρόβιλο πεδίο!) Ρεύμα = ροή φορτίου Ορισμός η παράγωγος του φορτίου στον χρόνο

3 Παρατήρηση Δεν χρησιμοποίησα στη ροή την διατομή του αγωγού Γιατί Από πού προκύπτει ότι το ρεύμα είναι διανυσματικό μέγεθος; -> Πίνακας ισοδυναμική επιφάνεια - κόμβοι

4 Εφαρμογή σε ένα διακριτό στοιχείο Τα άκρα του ορίζουν τα σημεία Α, Β Α Β + V - Συνέπεια των προηγουμένων ορισμών Ισχύς W = V t I t Ενέργεια Ε = I V t I t dt

5 Κλασικά γραμμικά στοιχεία Στοιχεία δύο ακροδεκτών Υπάρχει σχέση μεταξύ του V, I που προσδιορίζεται από το υλικό του στοιχείου (δηλαδή τι υπάρχει στον χώρο μεταξύ του Α,Β) Αντίσταση R V=R*I Πυκνωτής C I=C*dV/dt V = 1 C Πηνίο L V=L*dI/dt Πηγές V(t) I(t) Σύμβολα πίνακας Idt

6 Παράδειγμα επίλυσης κυκλώματος Διαιρέτης τάσης Διαιρέτης τάσης και μεγάλη αντίσταση ->προσέγγιση Προσοχή απροσδιόριστες μορφές Πηγή τάσης ρεύματος χωρίς φορτίο Εν σειρά πυκνωτές Παράλληλα πηνία

7 Πηγή τάσης αντίσταση πυκνωτής; Διαφορική εξίσωση Περισσότερη θεωρία

8 Σήματα + Συστήματα Σήματα είναι συναρτήσεις ανεξαρτήτων μεταβλητών. Συνήθως εξαρτούνται από τον χρόνο. Συνεχή διακριτά- 1D, 2D, kd (Dimensions) Πχ τάση μιας μπαταρίας Ένταση φωνής Τα pixel μιας εικόνας Τάση, ρεύμα

9 Το σύστημα προσδιορίζεται ως μία διεργασία επάνω σε ένα σήμα εισόδου δημιουργώντας ένα σήμα εξόδου

10 Τα σήματα Χ,Υ είναι συνήθως συναρτήσεις του χρόνου. Μπορεί να είναι πολυδιάστατα (Συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων) Μπορεί να είναι συνεχή διακριτά Τα πραγματικά συστήματα πρέπει να είναι αιτιατά δηλαδή να μην έχουν έξοδο πριν επιβληθεί το σήμα εισόδου

11 Γραμμικότητα Μία χρήσιμη ιδιότητα

12 Γραμμικά συστήματα Υπακούουν στον ορισμό της γραμμικότητας Τα γραμμικά συστήματα δεν αλλάζουν την συχνότητα ενός σήματος

13 Γραμμικό σύστημα χρονικά ανεξάρτητο Linear time invariant Προφανώς το ίδιο όργανο πρέπει να έχει την ίδια λειτουργία και σήμερα και αύριο. Δηλαδή πρέπει να είναι χρονικά ανεξάρτητα. (-) κινούμαστε μπροστά στον χρόνο

14 Πρώτη Απλοποίηση Τα συστήματα που θα εξετάσουμε έχουν μία είσοδο μία έξοδο Τα βασικά στοιχεία που δείξαμε RLC, έχουν δύο μεταβλητές Όμως μόνο μία είναι ανεξάρτητη Για απλοποίηση σκεφθείτε ότι στα επόμενα συζητάμε για την τάση σήμα εισόδου πχ ενός στερεοφωνικού ενισχυτή και την τάση εξόδου του

15 περιγραφή των γραμμικών χρονικά ανεξάρτητων συστημάτων Μορφή -> πολυωνυμική dy dt n n b n n 1 n n 1 dy dx dx 1... b y an an a n 1 0 n 1... n 1 dt dt dt 0 x Οι λύσεις είναι πολλές, στην πραγματικότητα αποτελούν ένα γραμμικό χώρο συναρτήσεων. Αρκεί να βρούμε μία βάση του χώρου αυτού.

16 Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι ένα «σημείο» του χώρου των λύσεων, ένας γραμμικός συνδυασμός των ανωτέρω. Για να βρούμε την συγκεκριμένη λύση (σημείο του χώρου) στο πρόβλημά μας θα πρέπει να έχουμε περισσότερη πληροφορία. Πρέπει να ξέρουμε τις αρχικές συνθήκες. Προφανώς σε ένα όργανο οι βασικές αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. (π.χ. μόλις το ανοίξαμε και δεν επιβάλαμε ακόμη καμία είσοδο )

17 Η λύση αποτελείται από δύο τμήματα Α) λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης Χρησιμοποιούμε το πολυώνυμο που σχηματίζεται από την διαφορική εξίσωση (characteristic polynomial) Η λύση έχει την μορφή ( D y b b n 1 n 1 Για βαθμό πολλαπλότητας των ριζών 1 b k Και για μεγαλύτερο βαθμό t e t D n n e k t D D n 1 n 1 y... b... b 0 0 ) y y 0 0

18 Οι μιγαδικές ρίζες θα δημιουργήσουν ταλάντωση Εφόσον το σύστημά μας είναι πραγματικό και δεν είναι γεννήτρια θα πρέπει μετά την επιβολή μίας εισόδου και την εξάλειψή της να επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση. Συνεπώς θα πρέπει οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου να βρίσκονται στο αρνητικό ημιεπίπεδο (παράσταση των ριζών σε επίπεδο με οριζόντιο άξονα το R και κάθετο το Ι ). Β) Η λύση της διαφορικής εξίσωσης θα περιέχει (άθροισμα) και την ειδική λύση που εξαρτάται από την εφαρμογή της εισόδου (x(t))

19 + di t v t = R i t v t = L dt 1) v c t = v L t = L di L t dt 2) i c = C dv c t dt 3) i L t + i c t = i t 4) v t R i t = v c t Η 2-> 3 κατόπιν στην 4 επί L + + παραγωγίζω εισάγω την 1 R C d2 v c t dt 2 + dv c t + R dt L v dv t c t = dt d 2 v c t dt dv c t + 1 RC dt LC v c t = 1 dv t RC dt i t + = C R dv t dt v t v i t c t L C

20 + v t = R i t v t = L d2 v c t dt RC dv c t dt + 1 LC v c t = 1 RC Πληροφορία από την εξίσωση 1 RC 1 LC μονάδες χρόνου! di t dt dv t dt μονάδες χρόνου στο τετράγωνο! Εποπτική πληροφορία Αν η είσοδος είναι σταθερή το v L t Αν η είσοδος αλλάζει πολύ γρήγορα v C t 0 γιατί i C t + i t = C dv t dt v t i t v c t C

21 Μήπως μπορώ να έχω περισσότερη πληροφορία; Ως ανεξάρτητη μεταβλητή χρησιμοποίησα τον χρόνο και ως μεγέθη τις τάσεις Αν αναλύσω τις ρίζες της ομογενούς θα βρω τις ρίζες και τις λεγόμενες ιδιοσυχνότητες (πχ χορδή κιθάρας) Κάτι πιο εύκολο; Για να αναλύσω ένα σημείο διάνυσμα στον χώρο έπαιρνα τις προβολές του στους άξονες XYZ Μήπως αν προβάλλω τα μεγέθη μου σε άλλους άξονες έχω περισσότερη πληροφορία; Η τουλάχιστον πιο εύκολα αναγνωρίσιμη;

22 Εσωτερικό γινόμενο Προβολή = εσωτερικό γινόμενο Στις συναρτήσεις στον συνηθισμένο χώρο μετρήσεων L 2 το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως + v t, base f, t = v t base f, t dt Προφανώς εξαφανίζεται η μεταβλητή t και μένει μόνο η f Αν διαλέξω κατάλληλη βάση του χώρου για να κάνω την προβολή ίσως έχει η νέα μεταβλητή και κάποια φυσική σημασία

23 Προβολή χώρου + v t, base f, t = v t base f, t dt V(t) V(f) t Η βάση του χώρου μπορεί να έχει άπειρους άξονες (συναρτήσεις βάσεις ) f

24 Η πιο γνωστή σας βάση του χώρου των συναρτήσεων Κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφή σαν άπειρο πολυώνυμο f x = a o x 0 + a 1 x 1 +a 2 x 2 + = 0 ai xi συναρτήσεις βάσης Πχ αντικείμενο στο R3 παραλληλεπίπεδο περιγράφεται Μήκος Πλάτος ύψος (όλα σε μέτρα)

25 Μετασχηματισμοί Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Z x t = 1 j2π X s e st ds X s = x t e st dt x t = 1 2π X jω e j2πft dt X ω = x t e j2πft dt x t = 1 j2π X z z i 1 dz X z = x t z i di

26 Είναι γραμμικοί Μετατρέπουν μία διαφορική εξίσωση σταθερών συντελεστών σε απλό πολυώνυμο Pdf ω, f έχουν φυσική σημασία ( ντο ρε μι φα ) Fourier υπέρ ενεργειακή ισότητα, ίδιο ολοκλήρωμα στον αντίστροφο κατά φαινόμενο Gibbs Laplace σχεδόν ίδιος με Fourier s jω

27 + v t = R i t v t = L di t dt i t = C V = R I V = sl I V = 1 sc I d2 v c t dt RC dv c t dt + 1 LC v c t = 1 RC dv t Μετασχηματισμός αρχικές συνθήκες μηδέν s 2 V c + 1 sv RC c + 1 V LC c= S H V = V c V = 1 RC + + RC V s s RC s+ 1 LC dt + dv t dt v t i t v c t C

28 Βασικά σήματα Συνάρτηση Dirac (delta) δ(t) Step function u(t) έχει την τιμή 0 για t<0 και 1 αλλού Pulse έχει τιμή 1 για t μεταξύ - ½ και ½ και στα όρια Sinc(x) = sin(πx)/πx 1 0 δ(t) u(t) P(t) sin(ωt), cos(ωt)

29 Απόκριση ενός συστήματος Γραμμικό σύστημα χρονικά ανεξάρτητο )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( t F a kdt t F a kdt t a F t y kdt t a t x kdt k k k k Αρκεί να ξέρω την απόκριση σε ένα δ(t) κρουστική Μετατοπίζω κατά kdt πολ/ζω με ακ και προσθέτω Συνέλιξη Άρα είναι λογικό να χρησιμοποιήσω μετασχηματισμό για να μετατραπεί σε γινόμενο ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s x s H s d t h t x t y

30 Με βάση τα προηγούμενα για τα γραμμικά κυκλώματα Χρησιμοποιούμε μετασχηματισμό Συνάρτηση μεταφοράς Χρησιμοποιούμε την γραμμικότητα Οπότε μπορούμε να εξετάζουμε τι συμβαίνει μηδενίζοντας όλες τις πηγές (αν είναι πολλές) εκτός μίας και βρίσκουμε την συνάρτηση μεταφοράς Επαναλαμβάνουμε τα βήματα για τις υπόλοιπες πηγές Προσθέτουμε τα αποτελέσματα Πηγή τάσης = 0 βραχυκύκλωμα Πηγή ρεύματος = 0 ανοικτοκύκλωμα (διαγραφή) Στα περισσότερα κυκλώματα έχουμε DC πηγές και AC πηγές

31 Μη γραμμικά κυκλώματα Αυτά είναι η πραγματικότητα Τίποτα δεν είναι απολύτως γραμμικό Δεν μπορεί ένας ενισχυτής να βγάλει πχ volt Θα τα αντιμετωπίσουμε στην πορεία του μαθήματος

32 Μερικά χρήσιμα πριν την «Ηλεκτρονική» Decibel Ορισμός db = 10log ( P P 0 ) Συνήθως αναφερόμαστε σε τάση πάνω στην αντίσταση φορτίου (ίδια αντίσταση και στη αναφορά) οπότε χρησιμοποιώντας το P = V2 ( προσοχή για R διαφορετικές τιμές αντιστάσεων υπολογίστε τον τύπο) db = 20log ( V V 0 ) Άλλες μορφές dbm dbn Γιατί db μετατρέπει γινόμενα σε αθροίσματα Αποφεύγονται πολύ μικροί αριθμοί

33 Ο ενισχυτής Είναι μία γενική έννοια μπορεί να ενισχύει τάση ρεύμα Ισχύ Στην πραγματικότητα μας προσφέρει πάντα μεγαλύτερη ισχύ από το αρχικό σήμα Αλλά ανάλογα τι μας ενδιαφέρει ορίζουμε διαφορετική συνάρτηση μεταφοράς (έξοδος προς είσοδο) Θεωρητικά (μαθηματικό μοντέλο) είναι μία απλή γραμμική σχέση Έξοδος =κ* είσοδος κ = κέρδος είναι ένας αριθμός

34 Ο πιο γνωστός ενισχυτής Είναι του στερεοφωνικού μας η των ηχείων του υπολογιστή Θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν ενισχυτή ήχου; Φυσικά μετά από το πέρας της Σχολής μας θα ήταν αδιανόητο να αισθάνεστε ανίκανοι να το κάνετε! Προσπαθώντας να τον σχεδιάσουμε θα χρειασθούμε διάφορα εργαλεία

35 Γνωστά στοιχεία Ο άνθρωπος ακούει από 20Hz έως 20kHz Τα ηχεία μου είναι 100Watt και 8 Ohm Η τυπική έξοδος του cd, του υπολογιστή είναι 1Vrms Άρα ο ενισχυτής μου πρέπει να έχει την ικανότητα να δίδει 100Watt επάνω σε ένα φορτίο 8 Ohm Επίσης πρέπει να ενισχύει όλες τις συχνότητες (τουλάχιστον αυτές που ακούμε) Άλλη μία ένδειξη γιατί χρειάζονται οι μετασχηματισμοί

36 + V = R I V = sl I V = 1 sc I Bode plot απόκριση συχνότητας Η είσοδος του ενισχυτή συνδέεται δια μέσου ενός πυκνωτή για την αποφυγή DC ρευμάτων Προφανώς εισέρχεται ρεύμα και η τελική τάση εισόδου είναι η v in V in = V R R+ 1 sc H = V in V = s s+ 1 RC v t i t C R v in t κ Vcc Vee

37 Γραφική παράσταση στον χώρο των συχνοτήτων

38 Αντικατάσταση του s jω Επιτρέπεται η αντικατάσταση όσο οι μετασχηματισμοί Laplace και Fourier είναι ισόμορφοι Ευτυχώς αυτό ισχύει στις μορφές των εξισώσεών μας Τώρα η εξίσωσή μας είναι μία ρητή πολυωνυμική συνάρτηση Βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της Η («φανταστική συνάρτηση») Βρίσκουμε την γωνία του φανταστικής συνάρτησης Τίποτα το καινούργιο!!!

39 Ευτυχώς τα πολυώνυμα είναι μέχρι δευτέρου βαθμού Λόγοι πολλοί Σε αυτά ξέρουμε να βρίσκουμε ρίζες Τα συστήματα που κατασκευάζουμε πρέπει να τα κατανοούμε για να τα ρυθμίζουμε Για μεγαλύτερου βαθμού εξισώσεων αναγκαζόμαστε να προσφεύγουμε σε προσέγγιση υπολογιστή Ας είναι καλά οι υπολογιστές που βάζουν χιλιάδες τιμές στην μεταβλητή μας και υπολογίζουν την απόλυτη τιμή και την φάση σε msec

40 Η(jω) = πλάτος του σήματος στην αντίστοιχη συχνότητα ω=2πf (το peak του σήματος) Είναι ουσιαστικά αυτό που μας ενδιαφέρει Η φάση εκφράζει την καθυστέρηση που προκαλείται στο σήμα (στην συχνότητα ω) Ενδιαφέρει περισσότερο μόνο για τον κίνδυνο ταλάντωσης του κυκλώματος Στην επεξεργασία τηλεπικοινωνιακού σήματος συνήθως είναι χρήσιμα και τα δύο

41 Τρόπος υπολογισμού Υποτίθεται γνωστός Για το πλάτος υπολογίζουμε Η jω = Α jω Π jω Η jω = Α jω Π jω = a ω +jβ ω a ω +jβ ω Η jω = α2 ω +β 2 ω α 2 ω +β 2 ω Συνήθως χρησιμοποιούμε db και τάσεις ( όχι ισχύ) 20log Η jω = 10log α 2 ω + β 2 ω 10log α 2 ω + β 2 ω Προφανώς δεν χρειάζεσθε να μάθετε τον πίνακα του βιβλίου που περιορίζεται μόνο σε πρώτου βαθμού

42 Για την φάση πρέπει να χωρίσω φανταστικό πραγματικό μέρος Πολλαπλασιάζω και διαιρώ με την συζυγή παράσταση του παρανομαστή Η jω = Α jω Π jω Π jω 2 = a ω +jβ ω a ω jβ ω Π jω 2 Η jω = a ω a ω +β ω β ω +j β ω a ω a ω β ω Π jω 2 = arctan Im Re = arctan β ω a ω a ω β ω a ω a ω +β ω β ω

43 Bode plot HP (High Pass) H = V in V = s s+ 1 RC

44 Παρατηρήσεις Όλα τα διαγράμματα είναι σε λογαριθμική κλίμακα Τα πολυώνυμα είναι πρωτοβάθμια ή δευτεροβάθμια (με μιγαδικές ρίζες) Ο σταθερός όρος του πολυωνύμου προσδιορίζει τη συχνότητα 3db όταν το πολυώνυμο δεν έχει συντελεστή στον μέγιστο όρο του s Δηλαδή γράφουμε τα πολυώνυμα όπως θα τα γράφαμε και στα μαθηματικά s, s + ω, s 2 +as + ω 2 Ο σταθερός όρος μας δίδει άμεσα την συχνότητα 3db

45 Μηδενικά λέγονται τα ω του αριθμητή Πόλοι τα ω που είναι στον παρανομαστή Κάθε πρωτοβάθμιο στον αριθμητή προκαλεί αύξηση 20db/δεκάδα Κάθε δευτεροβάθμιο στον αριθμητή προκαλεί αύξηση 40db/δεκάδα Στον παρανομαστή προκαλείται μείωση του πλάτους

46 Συχνότητα 3db Ένα απλό Low Pass H = V in sc R+ 1 SC V = 1 = 1 RC s+ 1 RC v t + i t R C v o t πόλος ω=1/rc

47 Low Pass first order H = V in RC s+ 1 RC V = 1 (1/RC=10)

48 Second order HP s^ s

49 2 order LP

50 Οι εξισώσεις LP 2 nd order ω 2 ο s 2 +a s+ω ο 2 = ω 2 ο s 2 +aω ο s+ω 2 ο τώρα είναι ομογενής Οι εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν είναι με ω ο = 10 και α το οποίο δίνει α και αντίστοιχες ονομασίες 01,1,14,28 Το α εκφράζει το ποσοστό απόσβεσης της ταλάντωσης από την μιγαδική ρίζα ( πολλοί χρησιμοποιούν στην θέση του α το 2ζ)

51 Η φάση Πρώτου βαθμού αλλάζει 90 ο Δευτέρου 180 ο Η αλλαγή γίνεται όπως και η κλίση ( + επάνω, - κάτω) Τόσο πιο γρήγορα στου δευτέρου βαθμού όσο περισσότερο τείνουμε να δημιουργήσουμε κορυφή (μικρό α)

52 Η κορυφή συνήθως είναι πρόβλημα h(t) impulse response

53 Η απόκριση σε μεταβολή τάσης u(t)

54

55 Band pass s s 2 +as+ω ο 2

56 Band pass s (s+10)(s+100) (κατασκευή)

57 Band stop (s+50)(s+100) (s+10)(s+500) (κατασκευή)

58 Κορεσμός Vout Γραμμική περιοχή εισόδου εξόδου Α B Vin Α Σήματα εξόδου Σήματα εισόδου B

59 Στην πραγματικότητα αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα της μη γραμμικής απόκρισης ενός συστήματος χωρίζοντάς το σε γραμμικές περιοχές Στο προηγούμενο σχήμα όσο η είσοδος αλλά και η έξοδος είναι στην γραμμική περιοχή χρησιμοποιούμε γραμμικές εξισώσεις k in when in out in linear area F out = constant non linear area Για καλύτερη ακρίβεια καταφεύγουμε σε εκθετικές arctan κλπ

60 Πόλωση Vout Γραμμική περιοχή εισόδου εξόδου Q Α B Vin Είναι απλά μετατόπιση αξόνων Προφανώς χαρακτηρίζεται από δύο μετατοπίσεις (άξονες χ,ψ) Ο Α B Σήματα εισόδου Σήματα εξόδου

61 Αντιμετώπιση των προβλημάτων Χωρίζουμε την περιοχή σε γραμμική και μη γραμμική Στην γραμμική χρησιμοποιούμε κλασική ανάλυση συναρτήσεων μεταφοράς συνήθως χώρος συχνοτήτων Μη γραμμική χρησιμοποιούμε ψηφιακή λογική (περνά ρεύμα ή όχι, έχω τάση ή όχι κλπ) Περιγράφουμε την λειτουργία στον χρόνο Φανταζόμαστε τι θα συμβεί στο χώρο συχνοτήτων Χρήση μη γραμμικών εξισώσεων

62 Παράδειγμα B + + * * Σ Γινόμενο στον χρόνο Συνέλιξη στην συχνότητα Παραγωγή αρμονικών

63 Λίγη φαντασία Fourier sinc F 0 Πολλαπλασιασμός με cos στον χρόνο μετατόπιση στην συχνότητα

64 Μοντέλα ενισχυτών γραμμικά Εφόσον θεωρούμε ότι είμαστε στην γραμμική περιοχή η τροφοδοσία δεν παίζει ρόλο! gain I in I out + V in R in I in I out + + R 0 V=g*A V out + V in R in I=g*A R 0 + V out Προσοχή : Συνήθως ανάλογα τι μας ενδιαφέρει μπορεί να μην βάζουμε αντιστάσεις (πολύ μικρή επίδραση) Μαθηματικά όμως τα συστήματα θα είναι απροσδιόριστα! (ως προς κάποιο V ή I)

65 Τύποι γραμμικών ενισχυτών Έξοδος Είσοδος κέρδος Ονομασία Ισοδύναμο κύκλωμα Τάση Τάση g=v/v in τάσης 1 Τάση ρεύμα g=v/i in διαντίστασης 1 Ρεύμα τάση g=i/v in διαγωγιμότητας 2 Ρεύμα ρεύμα g=ι/i in ρεύματος 2 I in I out + V in R in + R 0 V=g*A + V out (1) I in I out R in I=g*A R 0 + V out (2)