(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8) ) Αν τα διανύσµατα α+ και κα+ είναι κάθετα να ρείτε την τιµή του κ. (Μονάδες 0) γ) Να ρείτε το µέτρο του διανύσµατος α + (Μονάδες 7) α = α συν α ɵ,, α) Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: ( ) εοµένως έχουµε: α = συν = = α+ κα+ α+ κα+ = 0 κα + α + κα + = 0 κ α + κ+ α + = 0 κ + κ+ + = 0 4κ+ κ = 0 κ = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα για κ = είναι κάθετα τα αραάνω διανύσµατα. α+ = α+ = 4α + 4α + = 4 α + 4α + = = = 4 α+ = 4 α+ = γ) ( ) ( ) 858 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) Έστω τα διανύσµατα ακαι για τα οοία : α = = και ( α, ) = 0 ο α) Να αοδείξετε ότι α = (Μονάδες 0) ) Να υολογίσετε τα µέτρα των διανυσµάτων α + και α (Μονάδες 5) α) Έχουµε ότι: α = α = εοµένως έχουµε: α = συν 0 = = ( ) α+ = α+ = α + α + = α + α + = + + ( ) = = 4 α+ = 4 α = α = α α + = α α + = + = 4+ 8 = α = ( ) ( )

2 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ = ( κ κ+ 9, κ ) και ΑΓ = (,), όου κ R α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο ΑΒ ΑΓ (Μονάδες 8) ) Να ρείτε τις τιµές του κ, ώστε τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. (Μονάδες 9) γ) Για κ = να ρείτε το διάνυσµα ΒΓ. (Μονάδες 8) α) ΑΒ ΑΓ = ( κ κ+ 9) + ( κ ) = ( κ ) + ( κ ) = ( κ ) ( ( κ ) + ) = ( κ ) ( κ+ ) ) ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ = 0 ( κ ) ( κ+ ) = 0 κ = ή κ = γ) Για κ= έχουµε: ΑΒ = ( 4, ), ΑΓ = (,) εοµένως : ΒΓ = ΑΓ ΑΒ =, 4, = 4, =,8 ( ) ( ) ( ( )) ( ) 005 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) ίνονται τα διανύσµατα α, µε = α = 4 και α = 8 α) Να υολογίσετε τη γωνία( α, ) ) Να αοδείξετε ότι + α = 0 (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) ɵ, λύνουµε τη σχέση α) Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: α = α συν( α, ) ως ρος συν( α, ɵ ) και έχουµε: ( ) α 8 8, (, ) ( ɵ ɵ ɵ, ) ) Έχουµε αό το α) ερώτηµα ότι : α α εοµένως έχουµε: = α + α = 0 = α συν α = = = = συν α = συν α = α 4 8 και = α 005 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) Έστωα, 5 δυο διανύσµατα µε α =, =,( α, ) = και u = α+ α) Να υολογίσετε τα εσωτερικά γινόµενα α και u. (Μονάδες ) ) Να ρείτε το µέτρο του διανύσµατος u (Μονάδες 9) α = α συν α ɵ,, α) Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: ( ) 5 εοµένως έχουµε: α = συν = συν = συν = =

3 04 05 u = ( α+ ) = α + = α + = + = 4 u u 4 4 = = α+ = α + α + = α + 4α + 4 = = ) ( ) ( ) ( ) u = 4 u = 0057 B(Αναρτήθηκε 5 4 ) ίνονται τα διανύσµαταα, µε α =, =, ( α, ) =.Να υολογίσετε τα εξής: α) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτωνα, και κατόιν την τιµή της αράστασης ( ) ) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτωνα και+ α α = α συν α ɵ,, α) Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: ( ) α +α (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) εοµένως έχουµε: α = συν = =. α +α ( ) = α + α = + = α + α, α, + α ( α ) ( + α ) = α + α 4α = α α = = 9 ( ) α = α = α 4α + 4 = α 4α + 4 = = α = ) Αρχικά θα ρέει να υολογίσουµε τα: ( ) ( ) ( ) α+ = α+ = 4α + 4α + = 4 α + 4α + = = = α+ = α+ = ( ) ( α + α) 9 9 συν ( α ), ( + α ) = = συν ( α ), ( + α ) = α + α 0058 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) ίνονται τα διανύσµατα α = (, ) και = (,). Να υολογίσετε: α) τη γωνία α, ( ) u = α α α ) το διάνυσµα ( ) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5)

4 α) Υολογίζουµε αρχικά τα : α,, α, α = + α = ( ) = + = = ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ α = + α = Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: α = α συν( α ɵ, ), λύνουµε τη σχέση ως ρος συν( α, ɵ ) και έχουµε: ( ) α, (, ) (, ) συν αɵ = = = συν αɵ = συν αɵ = α u = α α α = α α = 4,, = + 4, ) Έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0059 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) ίνονται τα α = (,) και =, α) Να ρείτε τις συντεταγµένες του u = α ) Να ρείτε τον θετικό αριθµό x για τον οοίο τα διανύσµατα u και v = ( x, x ) u v u v = 0 x + 4 x = 0 x + 4 x 4 = 0. είναι κάθετα. α) Έχουµε: u = α u = (,), = (,) ( 4, ) = ( ( 4 ), ( ) ) = (, 4) ) Έχουµε: ( ) Υολογίζουµε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. ( ) x, 4 8 x = =, αορρίτεται 4± 4 4± 8 ր = = = ց 4+ 8 x = = δεκτή (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) = = 4 > 0, εοµένως έχουµε δυο ρίζες: 0070 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) Έστωα, δυο διανύσµατα του ειέδου για τα οοία ισχύουν α + = 9, α = και ( α, ) = α) Να ρείτε τα µέτρα των διανυσµάτωνα, και το εσωτερικό γινόµενο α ) Να υολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος u = α (Μονάδες ) (Μονάδες ) 4

5 04 05 α) Λύνουµε το σύστηµα των δυο εξισώσεων ου µας δίνονται για να ρούµε τα µέτρα των δυο διανυσµάτων. α + = 9 ( + ) 5 α = 0 α = και α = = =. α = α = α συν α ɵ,, εοµένως έχουµε: Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: ( ) α = συν = =. ) ( ) α = α = 4α α + 9 = 4 α α + 9 = = α = 0050B (Αναρτήθηκε 5 4 ) α =,7 και =, 4 ίνονται τα διανύσµατα: ( ) ( ) α) Να ρεθεί η ροολή του α άνω στο (Μονάδες 0) ) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες, αό τις οοίες, η µία να είναι αράλληλη στο. (Μονάδες 5) α) Έστωα = ρο α. Θα έχουµε λοιόν: α / / α = λ α α = α α = λ α = λ λ = αό όου υολογίζουµε το λ λ = = λ = εοµένως έχουµε: α = (, 4 ) α = (, ) ) Έστωα, α οι δυο κάθετες συνιστώσες του α ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: α +α = α µε : α / / α = λ α α = 0 Αό το α) ερώτηµα έχουµε υολογίσει το α και µε τη οήθεια του τύου α +α = α ρίσκουµε το α α = α α α =,7, =,7 α =, ( ) ( ) ( ) ( ) 5

6 005 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) α =, α+ = 7 και α = ίνονται τα διανύσµατα α, µε ( ) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Να υολογίσετε τα α και (Μονάδες ) ) Να υολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος α+ (Μονάδες 9) γ) Να ρείτε την ροολή του α+ στο διάνυσµα (Μονάδες 0) α) α = α = = α+ = 7 α + = 7 + = 7 = 8 = 4 = Ξέρουµε ότι: ( ) ) ( ) ( ) α+ = α+ = α + 4α + 4 = α + 4α + 4 = = γ) Έστω u = α+ ψάχνουµε u / / u = λ u u = u u = λ u = λ λ = αό όου υολογίζουµε το λ. ( α+ ) λ = = = λ = εοµένως έχουµε: u = α+ = 009 B (Αναρτήθηκε 5 4 ) ίνονται τα διανύσµατα α = (, ) και =, α) Να ρείτε την ροολή του α άνω στο (Μονάδες 0) ) Να αναλύσετε α το σε δύο κάθετες συνιστώσες αό τις οοίες η µία να είναι αράλληλη µε το α) Έστωα = ρο α. Θα έχουµε λοιόν: α / / α = λ α α = α α = λ α = λ λ = αό όου υολογίζουµε το λ. + ( ) λ = = = λ = εοµένως έχουµε:, α = 5 α =, (Μονάδες 5)

7 04 05 ) Έστωα, α οι δυο κάθετες συνιστώσες του α ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: α +α = α µε : α / / α = λ α α = 0 Αό το α) ερώτηµα έχουµε υολογίσει το α και µε τη οήθεια του τύου α +α = α ρίσκουµε το α 8 8 α = α α α = (, ), =, =, α =, (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα α, και γ για τα οοία ισχύουν: α =, =, ( α, ) = 0 ο και κ γ = α, όου κ R, α) Να υολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες ) ) Αν ισχύει γ = κ, τότε: i) να αοδείξετε ότι: κ = (Μονάδες ) ii) να υολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος γ (Μονάδες 8) iii) να αοδείξετε ότι τα διανύσµατα α + γ και γ είναι κάθετα. (Μονάδες 8) α = α συν α ɵ,, α) Αό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου ξέρουµε ότι: ( ) εοµένως έχουµε: α = συν 0 = =. κ κ κ κ ) i) Έχουµε: γ = κ α = κ α = κ α = κ = κ κ = κ κ = ii) Για κ = το γ γίνεται: γ = α εοµένως έχουµε: γ = α+ = α+ = α + α + = α + α + = + + = 4+ + = 7 γ = ( ) ( ) 7 α+ γ γ = 0. Θεωρούµε τα διανύσµατα: u = α+ γ = α+ α = α α u = α και v v = α+ Υολογίζουµε τώρα το εσωτερικό γινόµενο των u, v και έχουµε: u v = α α+ = α = α 4 = 4 = 4 4 = 0 iii) Αρκεί να δείξω ότι ( ) ( ) ( ) = γ = ( α ) =+α+ ( ) ( ) ( ), άρα ( α+ γ) ( γ) 7

8 (Αναρτήθηκε 08 4 ) α) Να εξετάσετε ότε ισχύει καθεµιά αό τις ισότητες : u + v = u + v και u+ v = u v α γ ) ίνονται τα διανύσµατα α,, γ για τα οοία ισχύουν: α++ γ = 0 και = = 4 7 i) Να αοδείξετε ότι: α και γ ii) Να αοδείξετε ότι: 7α+ γ = 0. (Μονάδες 0) (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) α) Υψώνουµε τη σχέση ου µας δίνεται στο τετράγωνο και έχουµε: u + v = ( u + v ) ( u + v) = ( u + v ) u + v + u v = u + v + u v u + v + u v = u + v + u v u v = u v u v. Οµοίως: u + v = u v ( u + v ) = ( u v ) u + v + u v = u + v u v u + v + u v = u + v u v u v = u v u v α γ ) Έστω ότι = = = κ ( κ 0µε αφού εκφράζει αόσταση). 4 7 Τότε θα έχουµε: α = κ, = 4κ και γ = 7κ. Για να δείξουµε ότι α, αό α ερώτηµα αρκεί να δείξουµε ότι α + = α +. Αό τη σχέση α++ γ = 0 λύνουµε ως ρος α+ και έχουµε: α + = γ α+ = γ = γ. α + = γ = 7κ Έχουµε: α + = α + ά ρα α α ό α ) ερ ώ τηµα. α + = κ+ 4κ = 7κ Για να δείξουµε ότι γ, αό α ερώτηµα αρκεί να δείξουµε ότι + γ = γ. Αό τη σχέση α++ γ = 0 λύνουµε ως ρος + γ και έχουµε + γ = α + γ = α = α + γ = α = κ Έχουµε: + γ = γ ά ρα γ α ό α ) ερ ώ τηµα. γ = 4κ 7κ = κ 8

9 ii) Έχουµε αό το i) ερώτηµα δείξει ότι: α α = γ 7 α = γ 7 α = γ 7 α+ γ = 0 7 α γ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ και γ άρα και α γ, εοµένως έχουµε: 9