ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

Transcript

1 ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε ϕ [, π] η µεταξύ τους γωνία. Επίσης. (Μονάδες 3) β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y ' y, να αποδείξετε ότι b = 3a γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x ' x, να αποδείξετε ότι b = 3a δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόµο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b a (Μονάδες 8) α) Η εξίσωση που µας δίνεται είναι της µορφής: Ax+ By+ Γ= µε Α= α b+, Β= α b και Γ= 5. Για να παριστάνει εξίσωση ευθείας θα πρέπει πάντοτε Α ή Β. Μηδενίζουµε ταυτόχρονα τους συντελεστές των x,y και έχουµε: ότι η εξίσωση Α α b α b = + = = = αδύνατο Β= α b = α b= Άρα ισχύει πάντοτε Α ή Β που σηµαίνει ότι η εξίσωση () παριστάνει πάντοτε ευθεία γραµµή. β) Η ευθεία της εξίσωσης () είναι παράλληλη στον άξονα y y όταν Β= α b= α b συν ( α b ) 6 συν ( α b ) συν ( α b = = ) = ( α b ) = α b Εποµένως θα έχουµε ότι: b= λα,µελ> Άρα α b= α ( λα) = λα = λ = 4λ= λ= 3, εποµένως η σχέση: b= λα γίνεται: b= 3α γ) Η ευθεία της εξίσωσης () είναι παράλληλη στον άξονα x x όταν A= α b= α b συν ( α b ) 6 συν ( α b ) συν ( α b = = ) = ( α b ) = π α b Εποµένως θα έχουµε ότι: b= λα,µελ< Άρα α b= α ( λα) = λα = λ = 4λ= λ= 3, εποµένως η σχέση: b= λα γίνεται: b= 3α

2 4 5 δ) Η ευθεία της εξίσωσης () είναι παράλληλη στην διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων Α όταν έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= =, οπότε Β α b+ = α b + = α b + α b = α b = α b α b 6 Β (Αναρτήθηκε 5 4 ) α=, καιβ= 3, ίνονται τα διανύσµατα ( ) ( ) α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος u= 4α β 3 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης A, α β+ σηµείο ( ) u 5 και διέρχεται από το α) Αρχικά πάµε να βρούµε τις συντεταγµένες του u, u= 4α β= 4, 3, = 4, 4, = 4, 4 = 3, 4 u= 3, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Μονάδες ) (Μονάδες 5) β) Υπολογίζουµε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας: ( ) u u λ= = = = = = 5 λ= Υπολογίζουµε τις συντεταγµένες του σηµείου Α, αφού βρούµε αρχικά το εσωτερικό γινόµενο τωνα,β α β= 3+ = 3 α β= 3 ( ) Εποµένως οι συντεταγµένες του σηµείου Α είναι: Α(,5). : Άρα η εξίσωση θα είναι: y 5= 5( x ) y 5= 5x 5 5x y= 68 Β (Αναρτήθηκε 5 4 ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α( 5,4), Β(,6), Γ(4,) και σηµείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει ΑΜ= ΑΒ 4 α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος ΑΒ (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Μ. (Μονάδες 9) 9 γ) Αν το σηµείο Μ έχει συντεταγµένες 4,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Γ,Μ. (Μονάδες )

3 α) Έχουµε, ΑΒ= + 5, 6 4 = (4, ). ( ) 4 5 β) Έχουµε ΑΜ = ΑΒ = (4, ) =, 4 4 Έστω M( x M, y M) οι συντεταγµένες του σηµείου Μ, τότε οι συντεταγµένες του ΑΜ είναι, ΑΜ = (x + 5, y 4), xm+ 5= xm = 5 xm = 4 9 Εποµένως θα πρέπει: 9 ( x M, ym) = 4,. ym 4= ym 4 ym = + = 9 Εποµένως, Μ 4,. γ) Υπολογίζουµε αρχικά τον συντελεστής διεύθυνσης της ΓΜ, ο οποίος είναι: λγμ = = = Άρα η εξίσωση της ΓΜ είναι: 7 y = (x 4) 6y 6= 7x+ 8 7x+ 6y 44= 6 3 M 86 (Αναρτήθηκε 8 4 ) 3 ίνονται τα σηµεία Α,, B(, ) και µ 4 Γ µ,, όπου µ R α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ και ΒΓ (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε µ Rτο σηµείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε την τιµή του µ έτσι, ώστε µ ΒΓ= ΑΒ (Μονάδες 6) δ) Για την τιµή του µ που βρήκατε στο ερώτηµα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ) =, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) ΑΒ= x x, y y, όπουα x, y καιβ x, y υπολογίζουµε τις α) Με τη βοήθεια του τύπου: ( ) ( ) ( ) M B A B A A A Β Β συντεταγµένες των δυο διανυσµάτων: 3 µ 4 µ ΑΒ=, + =, και ΒΓ = µ, + = µ,

4 4 5 β) Αρχικά βρίσκουµε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι: λ = = ΑΒ Οπότε ΑΒ : y yb = λαβ( x x B) y+ = ( x ) y+ = x x y 4= () Θέτουµε όπου x,y τις συντεταγµένες του Γ για να δούµε αν επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας. µ µ 4= µ ( µ ) 4= µ µ + 4 4= = πουισχύει Άρα για κάθε µ R το σηµείο Γ ανήκει στην ευθεία (ε). γ) Έχουµε: µ µ µ µβγ= ΑΒ µ µ, =, µ µ, =, = µ µ µ µ = µ µ µ µ = = µ µ = ( ) + = = = = µ µ µ µ µ δ) Για µ = το σηµείο Γ έχει συντεταγµένες: Έτσι λοιπόν 3 Γ, οπότε ΟΒ = (, ) και ΟΒΓ = det( OB,OΓ) = 3 = 3 + = τ.µ. 3 ΟΓ=, 863 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα σηµεία Α(3,4), B(5,7) και Γ (µ +,3µ ), όπου µ R α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ και ΒΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιµή του µ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι: i) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το µ. (Μονάδες 5) ii) για κάθε τιµή του µ το σηµείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. γ) Να ερµηνεύσετε γεωµετρικά γιατί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραµένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιµή του µ; (Μονάδες 5) 4

5 α) Υπολογίζουµε αρχικά τις συντεταγµένες των δυο διανυσµάτων: AB= 5 3, 7 4 =,3 AΓ= µ + 3,3µ 4 = µ,3µ 6 ( ) ( ) και ( ) ( ) 4 5 Για να δείξουµε ότι τα τρία σηµεία δεν είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουµε ότι η ορίζουσα των συντεταγµένων των διανυσµάτων δεν είναι µηδέν. 3 det( AB,ΑΓ) = ( 3µ 6) 3( µ ) 6µ 6µ 6 6 µ 3µ 6 = = + = Άρα AB / / ΑΓ οπότε τα σηµεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε µ R β) i) Έχουµε, 3 ΑΒΓ = det( AB,ΑΓ) = = 6 = 3 τ.µ. µ 3µ 6 οπότε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του µ. ii) Θα κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου µ από τις συντεταγµένες του Γ. Έστω Γ( x, y ), έχουµε λοιπόν: x = µ x = µ + x = µ x y+ = y = 3µ y + = 3µ y + 3 = µ 3 Άρα το Γ ανήκει στην ευθεία 3x y 7= 3x 3= y+ 4 ε : 3x y 7= γ) Έχουµε: λαβ = = και λε = =, άρα οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, εποµένως η µεταξύ 5 3 τους απόσταση είναι σταθερή και ανεξάρτητη του µ, όπως και η απόσταση µεταξύ των σηµείων Α, Β είναι σταθερή. Γι αυτό το εµβαδόν είναι σταθερό. 5

6 869 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ΑΒ= λ, λ+ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ( ) της πλευράς ΒΓ α) Να αποδείξετε ότι ΑΜ= ( λ, λ), ΑΓ= ( 3 λ, λ ) 4 5, όπου λ και λ,και Μ είναι το µέσο β) Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία το διάνυσµα ΑΜ είναι κάθετο στο διάνυσµα α=, λ λ (Μονάδες 8) γ) Για την τιµή του λ που βρήκατε στο ερώτηµα β), να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες ) α) Αφού Μ µέσο ΒΓ, θα ισχύει η σχέση: ΑΜ= ( ΑΒ+ΑΓ ) = (( λ, λ+ ) + ( 3 λ, λ ) ) = ( λ+ 3 λ, λ+ +λ ) = ( λ, λ) β) ΑΜ α ΑΜ α= λ +λ ( λ ) = 4 λ = λ = 4 λ= λ γ) Για λ= είναι AΒ = (,3) και AΓ = (6,) 3 τότε (ΑΒΓ) = det(ab, ΑΓ) = = 8 = 6= 8 τ.µ. 6 (αφού λ ) 6