ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑ ΕΙΞΗ ΟΥΣΙΩ ΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΚΟΝΑΣ) ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ

Transcript

1 ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑ ΕΙΞΗ ΟΥΣΙΩ ΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΚΟΝΑΣ) Τµήµα από το µάθηµα ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Η καλύτερη προσέγγιση της ύλης του µαθήµατος 1.R.C. Gonzalez R.E. Woods. "Digital Image Processing" Prentice Hall 3 rd Edition R.C. Gonzalez R.E. Woods. "Digital Image Processing Using MATLAB" Prentice Hall 2 nd Edition sagri@di.uoa.gr 1

2 Εικόνα (Image): Μια πηγή από την οποία ο άνθρωπος, αντλεί άµεσα κάθε είδος πληροφορίας που τον ενδιαφέρει. Αντίθετα ο υπολογιστής για να αντλήσει πληροφορίες από µια εικόνα απαιτείται ειδικός αλγόριθµος Ανάλυσης Εικόνας, προσαρµοσµένος στο είδος της αντλούµενης πληροφορίας. Ένας Αλγόριθµός Ανάλυσης Εικόνας επεξεργάζεται την Εικόνα ως δισδιάστατο σήµα, προσµετράει καθορισµένες γεωµετρικές, φασµατικές, ή στατιστικές ιδιότητες του σήµατος αυτού και δίνει ως αποτέλεσµα ένα ιάνυσµα Χαρακτηριστικών µε συνιστώσες τα εξαγόµενα των µετρήσεων. Για να γίνει δυνατή η λήψη πληροφορίας πρέπει αυτό το ιάνυσµα Χαρακτηριστικών να τροφοδοτήσει ειδικό Αλγόριθµο Ταξινόµησης. 2

3 Εικόνα: Ένας εναλλακτικός τρόπος αναπαράστασης ενός δισδιάστατου σήµατος. ισδιάστατο Σήµα: Μια κλασσική Αναπαράσταση ισδιάστατο Σήµα: Αναπαράσταση µε Εικόνα. ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DISCRETE FOURIER TRANSFORM-DFT) Έστω ακολουθία x(c,l) c,l=0,1,,m-1 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier της x(c,l) ορίζεται η ακολουθία X(C,L) M 1 M 1 1 C c L l X ( C, L) = x( c, l) exp j2 M π + c= 0 l= 0 M M C, L = 0,1,..., M 1 Αποδεικνύεται ότι ισχύει: M (, ) = M C c L l x c l X ( C, L) exp j2π + M M M C= 0 L= 0 c, l = 0,1,..., M 1 x(c,l) X(C,L) sagri@di.uoa.gr 3

4 Έστω η συνάρτηση f(x,y) µε F(u,v)=F{f(x,y)} (x 0,y 0 ) σηµείο από το πεδίο ορισµού και x, y Ορίζεται η ακολουθία πραγµατικών αριθµών f D (c,l)=f(x 0 +c x,y 0 +l y) c,l=0,1,,m-1 Έστω F * (u,v)=f{f D (c,l)} & F(C,L)=DFT{f D (c,l)} Αν Μ αρκετά µεγάλο, ισχύει: F(C,L)=F * (C u,l v) u=1/(μ x), v=1/(μ y), sagri@di.uoa.gr 4

5 5

6 6

7 ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΚΗΝΗΣ άνθρωπος, σανίδι, ύο άνθρωποι σε τραµπάλα. Σχήµα 1.1 Το λειτουργικό διάγραµµα ενός Συστήµατος Οπτικής Αναγνώρισης ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ: Η Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας µε πρωταρχικό στόχο την εξαγωγή από τα δεδοµένα της των κύριων χαρακτηριστικών µε τα οποία µια αυτόµατη µηχανή µπορεί να επιτύχει την ερµηνεία, την αντίληψη, ή την περιγραφή της σκηνής που απεικονίζει η εικόνα. 7

8 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) 8

9 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΜΟΡΦΩΝ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ. Συντεταγµένες των pixels του περιγράµµατος Συντεταγµένες και τιµές των pixels του εσωτερικού της περιοχής κωδικοποιηµένα σε κατάλληλα σχήµατα. Περιγράφοντα Στοιχεία (Description Elements) Αριθµητικές τιµές, που περιγράφουν ιδιότητες όπως: Μήκος του περιγράµµατος της περιοχής Ροπές της περιοχής. Υφή του εσωτερικού της περιοχής. 9

10 NW W SW Ν P S ΝΕ Ε SE Ορθογώνιο Πλέγµα και γειτονία των 4 pixels & 8 pixels Το περίγραµµα υπολογίστηκε µε βάση τον ορισµό της γειτονίας των 8 pixels! Περίγραµµα µιας περιοχής R δίχρωµης εικόνας είναι τα pixels της R που είναι γειτονικά µε ένα ή περισσότερα pixels εκτός της R. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΙΧΡΩΜΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΧΚ sagri@di.uoa.gr 10

11 Χρησιµοποιούµε τους Φυσικούς Αριθµούς 0-7 για να κωδικοποιήσουµε τις διευθύνσεις γειτονίας του περιγράµµατος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ 11

12 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ Υποδειγµατολήπτηση Περιγράµµατος για την ελάττωση του µήκους του κώδικα. Κάθε Pixel από το αρχικό περίγραµµα αντικαθίσταται από τον πλησιέστερο κόµβο του νέου πλέγµατος. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ Για να µην εξαρτάται ο κώδικας αλύσου από το σηµείο του περιγράµµατος, από το οποίο άρχισε η κωδικοποίηση, η κωδική λέξη αντικαθίσταται από την κυκλική της ολίσθηση µε την ελάχιστη αριθµητική αξία: Παράδειγµα: > > Ο Κώδικας Αλύσου παραµένει αναλλοίωτος σε µεταφορά. Χρησιµοποι- ούµε το ιαφορικό Κώδικα Αλύσου ( ΚΑ) ώστε οι κωδικές λέξεις να παραµένουν αναλλοίωτες σε στροφές πολλαπλάσιες του π/2. Αν D 1, D 2,,D N η κωδική λέξη η αντίστοιχη λέξη του ΚΑ ορίζεται ως d 1,d 2,,d Ν µε d i =Mod 8 (D i+1 -D i ), για i=1,2, N-1 και d N =Mod 8 (D 1 -D Ν ), Παράδειγµα υπολογισµού ΚΑ: > > sagri@di.uoa.gr 12

13 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΠΌ ΤΟΝ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ Μήκος L, Πλάτος wκαι Ύψος hενός περιγράµµατος Παράδειγµα: Μήκος Περιγράµµατος: ( 2 ) L = n + n d A Π όπου n A το πλήθος των άρτιων ψηφίων και n Π το πλήθος των περιττών ψηφίων του κώδικα αλύσου. Μήκος Περιγράµµατος: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ Παράδειγµα Πλάτος w περιγράµµατος 1 Di {1,0,7} yi = 0 if Di {2, 6} 1 Di {3, 4,5} i s = y, i = 1,2,, N yi j= 1 j { yi} min{ yi} w = max s s d s y i { } { } yi yi [ ] w = max s min s d = 3 (2) d = 5d sagri@di.uoa.gr 13

14 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΩ ΙΚΑ ΑΛΥΣΟΥ Ύψος hπεριγράµµατος 1 Di {1, 2,3} zi = 0 if Di {0, 4} 1 Di {5,6,7} i s = z, i = 1,2,, N zi j= 1 j Παράδειγµα { } min{ } h = max szi szi d s zi { } { } [ ] h = max szi min szi d = 0 ( 6) d = 6d Για να είναι κλειστό ένα περίγραµµα πρέπει να ισχύει: N y = 0 & z = 0 N i i= 1 i= 1 Ή ισοδύναµα: i Ο αριθµός των κωδικών ψηφίων που ανήκουν στο σύνολο {1,0,7} είναι ίδιος µε αυτόν που ανήκουν στο {3,4,5} & Ο αριθµός των κωδικών ψηφίων που ανήκουν στο σύνολο {1,2,3} είναι ίδιος µε αυτόν που ανήκουν στο {5,6,7} Εύκολα προκύπτει: κλειστό, κλειστό, ανοικτό sagri@di.uoa.gr 14

15 Η λεπτοµέρεια του κώδικα αλύσου δεν είναι πάντα επιθυµητή! Περίγραµµα µε Ν pixels τα p 1,p 2,,p N ζητείται να προσεγγιστεί από πολύγωνο µε µ πλευρές τις, π 1, π 2,,π µ. Σφάλµα προσέγγισης του σηµείου P i Σφάλµα προσέγγισης περιγράµµατος sagri@di.uoa.gr 15

16 Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η υπογραφή (signature) είναι ένα µονοδιάστατο σχήµα αναπαράστασης του περιγράµµατος Σχέση Μήκους και Γωνίας Επιβατικής Ακτίνας των σηµείων του Περιγράµµατος. Π.Α. R(θ P ) θp C P ξ θ R(θ P ) π /2 π 3π/2 2π Περίγραµµα θ P Υπογραφή Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η υπογραφή περιγράµµατος ενός τετραγώνου R= r K -r P Ι r K K θ p P r P O R(θ P )=(a/2)/sin(π/4+θ 0 ), θ 0 =mod π/2 (θ P ), 0 θ P <2π Η υπογραφή R(θ p ) παραµένει αναλλοίωτη στη µεταφορά, και τη στροφή! Για να γίνει αναλλοίωτη στην αλλαγή κλίµακας πρέπει να γίνει κανονικοποίηση ως προ τη µέγιστη τιµή της R(θ p ) sagri@di.uoa.gr 16

17 Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Το Ιστόγραµµα Κλίσεων θ j P j--2 P j--1 P j P j+2 P j+1 ε Η εφαπτοµένη σε ένα σηµείο του ιστογράµµατος P j φέρεται ως η ευθεία που απέχει ελάχιστη συνολική απόσταση από το P j και τους 4 γείτονες του που βρίσκονται ανά 2 εκατέρωθεν Το ιστόγραµµα Κατασκευάζεται το ιστόγραµµα των κλίσεων του περιγράµµατος. Αυτό είναι αναλλοίωτο στη µεταφορά και στην οµοιόµορφη αλλαγή κλίµακας! Αλλάζει όµως µε την περιστροφή! Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Ιστόγραµµα Κλίσεων Το Η περιστροφή του ιστογράµµατος ώστε η πρώτη στήλη να είναι η µεγαλύτερη κάνει την περιγραφή αυτή του περιγράµµατος αναλλοίωτη και την περιστροφή! Η υπογραφή περιγράµµατος (ιστόγραµµα κλίσεων) σε πολικές συντεταγµένες sagri@di.uoa.gr 17

18 ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ροπή (moment), τάξεως i+j ΟΙ ΡΟΠΕΣ ΜΙΑΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Ροπές µε Ιδιαίτερο Φυσικό Περιεχόµενο: m 00 = a(x,y) R m m x = m m 00 Πλήθος των Pixels της Περιοχής = και y Κεντροειδές Περιοχής C C 00 Οι Ροπές µεταβάλλονται µε ολίσθηση, περιστροφή και αλλαγή κλίµακας! ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ Υπολογίζονται µε βάση τις αποστάσεις των pixels της περιοχής από το κεντροειδές, C, της περιοχής m m x = m m = και y Κεντροειδές, C,Περιοχής C C Κεντρική ροπή (central moment), τάξεως i+j Αποδεικνύεται εύκολα: µ 00 = Πλήθος των Pixels της Περιοχής µ 01 =µ 10 =0 sagri@di.uoa.gr 18

19 ΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ Οι τιµές των Κεντρικών Ροπών διατηρούνται σε µετασχηµατισµούς µεταφοράς, αλλά µεταβάλλονται σε µετασχηµατισµούς στροφής και αλλαγής κλίµακας. Οι κεντρικές κανονικοποιηµένες ροπές: Οι τιµές των Κεντρικών Κανονικοποιηµένων Ροπών διατηρούνται σε µετασχηµατισµούς µεταφοράς και αλλαγής κλίµακας, αλλά µεταβάλλονται σε µετασχηµατισµούς στροφής. ΟΙ ΡΟΠΕΣ HUE (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΡΟΠΕΣ) Έχουν οριστεί µε τέτοιο τρόπο ώστε οι τιµές τους να παραµένουν αναλλοίωτες σε µετασχηµατισµούς µεταφοράς, µετασχηµατισµούς στροφής, και αλλαγής κλίµακας. Οι ροπές Hue: 19

20 ΟΙ ΡΟΠΕΣ HUE (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΡΟΠΕΣ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ Ηue 20

21 ΟΙ ΡΟΠΕΣ HUE (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΡΟΠΕΣ) ΑΛΛΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ Ηue Έστω µορφή s µε Ν pixels, τα P k (x k,y k ) για k=1,2,,n. Έστω ευθεία ε του επιπέδου και d k µε k=1,2,,n οι αποστάσεις των pixels από την ε. Ορίζουµε ως στροφορµή l ε της s ως προς την ε το άθροισµα: N 2 d k k= 1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΚΚΕΝΤΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΠΡΩΤΕΥΩΝ ΚΑΙ ΕΥΤΕΡΕΥΩΝ ΑΞΟΝΑΣ Ι Π <=Ι ε <=Ι sagri@di.uoa.gr 21

22 ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (Description Elements) ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DFT) Έστω ένα περίγραµµα µε Ν pixels, των οποίων οι συντεταγµένες είναι: Oρίζουµε την ακολουθία των µιγαδικών αριθµών s = x + jy, i= 0,1,...,N 1 i i i και το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier (DFT) της s i, την ακολουθία: 1 N 1 αu = siexp[ j2πui/ N] u= 0,1,...,N 1 N i= 0 ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τους όρους της ακολουθία α u, που καλούνται και συντελεστές Fourier, είναι δυνατό να υπολογιστεί εκ νέου η ακολουθία s i εφαρµόζοντας τη σχέση: s i N 1 = α u exp[ j2πui/ N] i= 0,1,...,N 1 u= 0 16 ΠΡΩΤΟΤΥΠΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 4 M= sagri@di.uoa.gr 22

23 ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ M= Ανακατασκευή Περιγράµµατος χρησιµοποιώντας τους 20 από τους 63 συντελεστές ΚΑΙ ΟΙ 63 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Ανακατασκευή Περιγράµµατος χρησιµοποιώντας τους 63 από τους 63 συντελεστές DFT ΩΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η χρήση του µέτρου των συντελεστών από τους οποίους έχει αποµακρυνθεί ο πρώτος, εξασφαλίζει το αναλλοίωτο των στοιχείων σε: µεταφορά, περιστροφή και αρχή δειγµατοληψίας περιγράµµατος. Η κανονικοποίηση ως προς τον µέγιστο συντελεστή εξασφαλίζει το αναλλοίωτο και ως προς την αλλαγή κλίµακας. sagri@di.uoa.gr 23

24 Μέτρα των συντελεστών DFT για το gama Μέτρα των συντελστών DFT για το ci Μέτρα συντελεστών DFT 1:6 58:63 του gama και ci ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Η Υφή του Εσωτερικού Περιοχής Εικόνας Ο ορισµός της έννοιας της υφής δεν µπορεί να δοθεί επακριβώς. Εν τούτοις στην καθηµερινή πρακτική αυτή χρησιµοποιείται για να εκφραστούν οπτικές ιδιότητες της παρατηρούµενης περιοχής, όπως: λεπτή υφή, τραχεία υφή, ινώδης και κοκκώδης υφή, κανονικά επαναλαµβανόµενη υφή κ.λ.π. Λεπτή Υφή Τραχεία Υφή Κανονικά Επαναλαµβα νόµενη Ινώδης Υφή Κανονικά Επαναλαµβα νόµενη Υφή sagri@di.uoa.gr 24

25 ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Τα περιγράφοντα στοιχεία ορίζονται χρησιµοποιώντας τρεις κύριες τεχνικές προσέγγισης: τη Στατιστική τη Φασµατική τη οµική. Στατιστική Προσέγγιση Ιστόγραµµα - Πίνακες Συνεµφάνισης Ιστόγραµµα Εικόνας-Μέση Τιµή Ιστογράµµατος ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Κεντρικές Ροπές Ιστογράµµατος τάξης k Προφανώς: µ 0 =1, µ 1 =0! Τρεις ροπές µε ιδιαίτερη Φυσική Σηµασία µ 2 =διασπορά=αντίθεση µ 3 =ελαττώνεται µε τη συµµετρία (για εντελώς συµµετρικά ιστογράµµατα µ 3 =0) µ 4 =µικρή για κυρτές µεγάλη για κοιλα ιστογράµµατα. sagri@di.uoa.gr 25

26 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΦΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ 26

27 ε: Τµήµα Υφής 8Χ8 µε Πεδίο Τιµών των pixels{0,1,2,3} Πίνακας Επαναλήψεων κατά τη διεύθυνση D=SE Πίνακας Συνεµφάνισης 27

28 ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΝΌΣ ΠΙΝΑΑΚΑ ΣΥΝΕΜΦΑΝΙΣΗΣ Μετασχηµατισµός Fourier F(u,v)F(r,θ) 28