Εισαγωγή στην Τοπολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Τοπολογία"

Transcript

1 Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 3 Σύγκλιση και Συνέχεια Σύγκλιση ικτύων Συνέχεια Ανοικτές και κλειστές συναρτήσεις, Οµοιοµορφισµοί Σύγκλιση κατά Υπερφίλτρο Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 3 Σύγκλιση και Συνέχεια 3.1 Σύγκλιση ικτύων Για τη µελέτη των µετρικών χώρων και των τοπολογικών ιδιοτήτων τους, κεντρικής σηµασίας µέσο αποτέλεσαν οι ακολουθίες. Η χρηστικότητά τους εντοπίστηκε σε κοµβικά σηµεία, όπως στο χαρακτηρισµό της κλειστότητας ενός συνόλου ή της συνέχειας µίας συνάρτησης (αρχή της µεταφοράς). Ο ορισµός της σύγκλισης ακολουθιών γενικεύεται ϕυσιολογικά για ακολουθίες σε τοπολογικούς χώρους. Για το λόγο αυτό, ϕαίνεται δόκιµο το να εξετάσουµε κατά πόσο η έννοια της ακολουθίας είναι ικανή να διατηρήσει τον κεντρικό αυτό ϱόλο στην ευρύτερη κλάση των τοπολογικών χώρων. Ορισµός Εστω X τοπολογικός χώρος, (x n ) n N µία ακολουθία στο X και x X. Λέµε ότι η ακολουθία (x n ) συγκλίνει στο x (ϑα γράφουµε x n x) αν για κάθε περιοχή U N x υπάρχει n 0 = n 0 (U) N ώστε x n U για κάθε n n 0. Παρατήρηση Είναι εµφανές ότι αν η ακολουθία (x n ) συγκλίνει στο x, τότε κάθε υπακολουθία (x kn ) της (x n ) συγκλίνει στο x. Παραδείγµατα (α) Στον τοπολογικό χώρο (N, T ), όπου T η συµπεπερασµένη τοπολογία, η ακολουθία (x n ) µε x n = n n N συγκλίνει σε κάθε x N. Πράγµατι, έστω x N και U N x. Τότε x U T, άρα X \ U πεπερασµένο και προφανώς X \ U πεπερασµένο. Αρα υπάρχει n 0 N ώστε x n X \ U για κάθε n n 0, δηλαδή x n U. Εποµένως x n x. (ϐ) Στον τοπολογικό χώρο (X, T ), όπου X υπεραριθµήσιµο σύνολο και T η συναριθµήσιµη τοπολογία, παρατηρούµε τα εξής: Αν (x n ) ακολουθία στο X και x X ώστε x n x, τότε η (x n ) είναι τελικά σταθερή και ίση µε x (δηλαδή υπάρχει n 0 N ώστε x n = x για n n 0 ). Εστω, προς άτοπο, ότι η (x n ) δεν είναι τελικά σταθερή και ίση µε x. Τότε το {n N : x n x} είναι άπειρο σύνολο. Αρα υπάρχει (x kn ) υπακολουθία της (x n ) µε x kn x για κάθε n N. Θέτουµε U = X \ {x kn : n N}. Τότε x U και T, άρα U N x. Ακόµη x kn U για κάθε n N. Εποµένως x kn x, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε το ότι x n x. X = X. Πράγµατι, έστω x X. Τότε για κάθε U ανοικτό µε x U έχουµε U X \{x} = U \{x}, αφού το U είναι υπεραριθµήσιµο (γιατί;). Εποµένως x X Ετσι, για κάθε x X έχουµε x X \ {x}, αλλά δεν υπάρχει ακολουθία (x n ) στο X \ {x}, ώστε x n x. Τα παραπάνω παραδείγµατα κάνουν ϕανερή, όχι µόνο τη στέρηση των συνήθων «καλών» ιδιοτήτων των ακολουθιών, όπως η µοναδικότητα του ορίου (Παράδειγµα 3.1.3(α)), αλλά και την ανικάνοτητα τους να περιγράψουν πλήρως έννοιες, όπως αυτή της κλειστότητας (Παράδειγµα 3.1.3(ϐ)). Ετσι, η έννοια της ακολουθίας ϕαίνεται να είναι µάλλον ανεπαρκής για τους σκοπούς µας. Αυτή η παθογένεια εντοπίζεται, κατά κύριο λόγο, στο ότι όλες οι ϐάσεις περιοχών ενός σηµείου σε έναν τοπολογικό χώρο ενδέχεται να είναι (πληθαριθµικά) πολύ µεγαλύτερες από το σύνολο των ϕυσικών αριθµών. Εποµένως, αν επιθυµούµε να γενικεύσουµε την έννοια της ακολουθίας έτσι ώστε το νέο αντικείµενο να είναι ικανό να περιγράψει έναν τοπολογικό χώρο, όπως ακριβώς και οι ακολουθίες στην περίπτωση των µετρικών χώρων, ϑα πρέπει να επιτρέψουµε στο αντικείµενο αυτό να ορίζεται σε αυθαίρετα «µεγάλα» σύνολα (τα οποία ϑα εφοδιάζονται µε την ελάχιστη ικανή έννοια διάταξης). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Ορισµός Εστω (Λ, ) ένα προδιατεταγµένο σύνολο (δηλαδή a a για κάθε a Λ και αν a, b,c Λ µε a b και b c, τότε a c). Το (Λ, ) λέγεται κατευθυνόµενο σύνολο, αν για κάθε a, b Λ υπάρχει c Λ ώστε a c και b c. Η δυϊκή σχέση, της ορίζεται ως εξής: a b b a. Λέµε τότε ότι ο a προηγείται του b. Παραδείγµατα (α) Κάθε ολικά διατεταγµένο σύνολο είναι κατευθυνόµενο σύνολο. N, Z, Q, R είναι κατευθυνόµενα µε τη συνήθη διάταξη. Ειδικά τα (ϐ) Το δυναµοσύνολο P(X) κάθε συνόλου X είναι κατευθυνόµενο σύνολο µε τις: A 1 B A B και A 2 B A B. (γ) Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και x X. Το N x είναι κατευθυνόµενο σύνολο µε την ( ) U V U V Πράγµατι, το (N x, ) είναι προφανώς προδιατεταγµένο. Εστω τώρα U 1,U 2 N x. Τότε για το U = U 1 U 2 N x έχουµε ότι U 1 U και U 2 U. Γενικότερα, αν B x είναι ϐάση περιοχών του x, τότε το B x είναι κατευθυνόµενο σύνολο µε την ( ). Ορισµοί (α) Εστω X σύνολο. Ενα δίκτυο στο X είναι µία συνάρτηση p : Λ X, όπου (Λ, ) είναι κατευθυνόµενο µη κενό σύνολο. Θέτουµε p λ p(λ) και συµβολίζουµε το δίκτυο p µε (p λ ) λ Λ ή µε (p λ ). (ϐ) Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος, (p λ ) λ Λ ένα δίκτυο στο X και x X. Λέµε ότι το δίκτυο (p λ ) λ Λ συγκλίνει στο x, αν για κάθε U N x υπάρχει λ 0 = λ 0 (U) Λ ώστε p λ U για κάθε λ λ 0. Γράφουµε τότε p λ x ή lim λ p λ = x. Παρατήρηση Προφανώς κάθε ακολουθία στο X είναι δίκτυο µε κατευθυνόµενο σύνολο το (N, ). Σε αυτήν την περίπτωση, ο ορισµός της σύγκλισης δικτύου συµπίπτει µε το γνωστό ορισµό της σύγκλισης µίας ακολουθίας. Παραδείγµατα (α) Αν (X, T ) είναι ο διακριτός τοπολογικός χώρος, ένα δίκτυο (p λ ) λ Λ συγκλίνει σε ένα x X αν και µόνο αν υπάρχει λ 0 Λ ώστε p λ = x για κάθε λ λ 0 (αφού {x} N x ). (ϐ) Αν (X, T ) είναι ο τετριµµένος τοπολογικός χώρος, κάθε δίκτυο (p λ ) λ Λ στο X συγκλίνει σε κάθε x X, αφού N x = {X}. Παρατήρηση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος, x X και το κατευθυνόµενο σύνολο (B x, ). Για κάθε U B x επιλέγουµε p U U. Ετσι ορίζεται ένα δίκτυο (p U ) U Bx. Ισχύει ότι p U x. Πράγµατι, έστω V N x. Τότε υπάρχει U 0 B x µε U 0 V, αφού B x ϐάση περιοχών του x. Για κάθε U B x µε U U 0 έχουµε p U U U 0 V. Αρα p U x. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Τότε x A υπάρχει δίκτυο (p λ ) στο X ώστε p λ A λ Λ και p λ x. Απόδειξη: ( ) Υποθέτουµε ότι x A. Τότε A U για κάθε U N x. Επιλέγουµε p U U για κάθε U N x. Τότε το (p U ) U Nx είναι ένα δίκτυο στο X. Προφανώς p U A U N x και αφού p U U U N x, από την Παρατήρηση 3.1.9, έχουµε ότι p U x. ( ) Εστω U N x. Αφού p λ x, υπάρχει λ 0 Λ ώστε p λ U για κάθε λ λ 0. Ειδικά, p λ0 U A (αφού p λ A λ Λ) κι έτσι U A. Αρα U A για κάθε U N x και συνεπώς x A. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Πόρισµα Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) Α κλειστό για κάθε δίκτυο (p λ ) λ Λ στο X και για κάθε x X µε p λ A λ Λ και p λ x, ισχύει x A. (ii) Ενα σηµείο x X είναι σηµείο συσσώρευσης του A υπάρχει δίκτυο (p λ ) λ Λ στο X, ώστε p λ A \ {x} λ Λ και p λ x. Απόδειξη: (i) A κλειστό A = A A A. Το συµπέρασµα έπεται από την Πρόταση (ii) Επεται από την Πρόταση , αφού x A x A \ {x}. Ορισµοί (α) Εστω (Λ, ) κατευθυνόµενο σύνολο και N Λ. Το N καλείται οµοτελικό (στο Λ), αν για κάθε λ Λ υπάρχει ν N µε ν λ. (ϐ) Εστω (Λ, ), (M, ) κατευθυνόµενα σύνολα. Μία συνάρτηση ϕ : M Λ καλείται αύξουσα αν για κάθε µ 1, µ 2 M µε µ 1 µ 2 ισχύει ϕ(µ 1 ) ϕ(µ 2 ). (γ) Εστω p : (Λ, ) X ένα δίκτυο στο X. Μία συνάρτηση q : (M, ) X, όπου (M, ) κατευθυνόµενο σύνολο, καλείται υποδίκτυο του p αν υπάρχει αύξουσα συνάρτηση ϕ : (M, ) (Λ, ) ώστε το ϕ(m) να είναι οµοτελικό στο Λ και q = p ϕ. Λέµε τότε ότι το υποδίκτυο q καθορίζεται από το Ϲεύγος (M, ϕ). Το υποδίκτυο q συµβολίζεται µε (p ϕ(µ) ) µ M ή µε (p ϕ(µ) ) και προφανώς είναι δίκτυο. Παρατηρήσεις (α) Ενα M N είναι οµοτελικό το M είναι άπειρο. (ϐ) Αν (X, T ) είναι τοπολογικός χώρος και x X, το B (N x, ) είναι οµοτελικό αν και µόνο αν είναι ϐάση περιοχών του x. (γ) Αν (Λ, ) είναι κατευθυνόµενο σύνολο και λ 0 Λ, τότε το M = {λ Λ : λ λ 0 } είναι οµοτελικό καθώς και κάθε N Λ µε M N είναι οµοτελικό. (δ) Κάθε υπακολουθία (x kn ) µίας ακολουθίας (x n ) είναι υποδίκτυο της ακολουθίας (αφού k(n) είναι άπειρο). Προφανώς υπάρχουν υποδίκτυα της (x n ) που δεν είναι υπακολουθίες. (ε) Κάθε οµοτελικό υποσύνολο M ενός κατευθυνόµενου συνόλου Λ είναι κατευθυνόµενο (µε τον περιο- ϱισµό της προδιάταξης του Λ). Πράγµατι, έστω µ 1, µ 2 M. Αφού Λ κατευθυνόµενο, υπάρχει λ Λ ώστε λ µ 1 και λ µ 2. Αφού M οµοτελικό, υπάρχει µ M ώστε µ λ. Τότε µ µ 1 και µ µ 2. Επεται ότι: Αν p : (Λ, ) X είναι δίκτυο και M Λ οµοτελικό, τότε το q = p M είναι υποδίκτυο του p. Πράγµατι, η συνάρτηση ϕ : M Λ µε ϕ(µ) = µ ( M κατευθυνόµενο) είναι αύξουσα και ϕ(m) = M, οµοτελικό στο Λ και ισχύει q = p ϕ. (στ) Αν (p λ ) είναι δίκτυο στον τοπολογικό χώρο X και x X, τότε ισχύει p λ x υπάρχει U N x ώστε λ 0 Λ λ λ 0 µε p λ U υπάρχει U N x ώστε p λ U λ M, όπου M Λ οµοτελικό Από το (ε), έπεται ότι το (p λ ) λ M είναι υποδίκτυο του (p λ ) λ Λ µε p λ U λ M. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος, (p λ ) δίκτυο στο X και x X. Τότε: p λ x κάθε υποδίκτυο του (p λ ) συγκλίνει στο x Απόδειξη: ( ) Εστω q = p ϕ : M X υποδίκτυο του (p λ ) και U N x. Αφού p λ x, υπάρχει λ 0 Λ ώστε p λ U λ λ 0. Αφού ϕ(m) είναι οµοτελικό στο Λ, υπάρχει µ 0 M ώστε ϕ(µ 0 ) λ 0. Τότε για κάθε µ M µε µ µ 0 έχουµε ϕ(µ) ϕ(µ 0 ) λ 0 κι έτσι p ϕ(µ) U. Εποµένως p ϕ(µ) x. ( ) Είναι προφανές, αφού το (p λ ) είναι υποδίκτυο του (p λ ). Ορισµός Εστω (p λ ) ένα δίκτυο σε ένα τοπολογικό χώρο X και x X. Το x καλείται οριακό σηµείο του (p λ ) αν για κάθε U N x και για κάθε λ Λ υπάρχει µ Λ µε µ λ και p µ U. ηλαδή το x είναι οριακό σηµείο του (p λ ) αν για κάθε U N x το {λ Λ : p λ U} είναι οµοτελικό στο Λ. Παρατήρηση Αν p λ x, τότε το x είναι οριακό σηµείο του (p λ ). Πράγµατι, έστω U N x. Τότε υπάρχει λ 0 Λ ώστε p λ U για κάθε λ λ 0, δηλαδή {λ Λ : p λ U} {λ Λ : λ λ 0 } κι έτσι, από Παρατήρηση (γ), το {λ Λ : p λ U} είναι οµοτελικό, δηλαδή το x είναι οριακό σηµείο. Θεώρηµα Εστω X τοπολογικός χώρος, (p λ ) δίκτυο στο X και x X. Το x είναι οριακό σηµείο του (p λ ) αν και µόνο αν υπάρχει υποδίκτυο του (p λ ) που συγκλίνει στο x. Απόδειξη: ( ) Εστω x οριακό σηµείο. Θέτουµε: M = {(U, λ) : U N x, λ Λ και p λ U} Ορίζουµε τη σχέση στο M ως εξής: Η είναι µία προδιάταξη στο M (γιατί;). (U 1, λ 1 ) (U 2, λ 2 ) U 1 U 2 και λ 1 λ 2 Το (M, ) είναι κατευθυνόµενο σύνολο. Πράγµατι, αν (U 1, λ 1 ), (U 2, λ 2 ) M, ϑέτουµε U 3 = U 1 U 2 και επιλέγουµε λ 0 Λ ώστε λ 0 λ 1 και λ 0 λ 2. Αφού το x είναι οριακό σηµείο του (p λ ), υπάρχει λ 3 Λ µε λ 3 λ 0 και p λ3 U. Τότε (U 3, λ 3 ) M και (U 3, λ 3 ) (U 1, λ 1 ), (U 2, λ 2 ). Ορίζουµε ϕ : M Λ µε ϕ(u, λ) = λ. Τότε η ϕ είναι αύξουσα (από τον ορισµό της ) και ϕ(m) οµοτελικό στο Λ (αφού ϕ(m) = Λ). Ετσι, το p ϕ είναι υποδίκτυο του (p λ ). Θα δείξουµε ότι το p ϕ συγκλίνει στο x. Εστω U 0 N x. Αφού το x είναι οριακό σηµείο του p λ, υπάρχει λ 0 Λ ώστε p λ0 U 0. Τότε (U 0, λ 0 ) M και για κάθε (U, λ) M µε (U, λ) (U 0, λ 0 ) έχουµε Εποµένως, το p ϕ συγκλίνει στο x. (p ϕ)(u, λ) = p(ϕ(u, λ)) = p(λ) = p λ U U 0. ( ) Εστω q = (p ϕ(µ) ) µ M υποδίκτυο του (p λ ) λ Λ µε p ϕ(µ) x. Εστω U N x. Τότε υπάρχει µ 0 M ώστε p ϕ(µ) U για κάθε µ µ 0, δηλαδή: {λ Λ : p λ U} {ϕ(µ) : µ µ 0 }. Εποµένως, αρκεί να δείξουµε ότι το {ϕ(µ) : µ µ 0 } είναι οµοτελικό στο Λ. Εστω λ 0 Λ. Αφού ϕ(m) είναι οµοτελικό στο Λ, υπάρχει µ 1 M µε ϕ(µ 1 ) λ 0. Ακόµη, αφού το M είναι κατευθυνόµενο, υπάρχει µ M ώστε µ µ 0 και µ µ 1. Τότε ϕ(µ) ϕ(µ 1 ) λ 0, άρα ϕ(µ) λ 0 όπου µ µ 0. Αρα το {ϕ(µ) : µ µ 0 } είναι οµοτελικό στο Λ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 3.2 Συνέχεια Προχωρούµε στη µελέτη συνεχών συναρτήσεων µεταξύ τοπολογικών χώρων. Θα δούµε ότι οι χαρακτηρισµοί της συνέχειας είναι ανάλογοι µε αυτούς που είδαµε κατά τη µελέτη των µετρικών χώρων. Ορισµός Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και x 0 X. Μία συνάρτηση f : X Y ϑα λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0, αν για κάθε V N f (x0 ) υπάρχει U N x0 ώστε f (U) V. Η f καλείται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του X. Παρατηρήσεις (α) Η f είναι συνεχής στο x 0 για κάθε V N f (x0 ) ισχύει f 1 (V ) N x0. Πράγµατι, ( ) Εστω V N f (x0 ). Τότε υπάρχει U N x0 ώστε f (U) V. Αρα U f 1 (V ) κι εποµένως f 1 (V ) N x0. ( ) Εστω V N f (x0 ). Τότε το U = f 1 (V ) N x0 και προφανώς f (U) V. (ϐ) Στον Ορισµό µπορούµε να ϑεωρήσουµε ϐάσεις περιοχών των f (x 0 ) και x 0, αντί για τα N f (x0 ) και N x0 αντίστοιχα. Αρα στην περίπτωση των µετρικών χώρων, ο ορισµός αυτός συµπίπτει µε το γνωστό. (γ) Αν η f είναι σταθερή, τότε είναι συνεχής (παίρνουµε U = X). (δ) Αν ο X έχει τη διακριτή τοπολογία, τότε η f είναι αυτόµατα συνεχής (παίρνουµε U = {x 0 }) Θεώρηµα Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και µία συνάρτηση f : X Y. Τα ακόλουθα είναι ισοδύνα- µα: (i) Η f είναι συνεχής. (ii) Για κάθε G Y ανοικτό, το f 1 (G) είναι ανοικτό στο X. (iii) Για κάθε F Y κλειστό, το f 1 (F) είναι κλειστό στο X. (iv) Για κάθε A X, f (A) f (A). (v) Για κάθε B Y, f 1 (B) f 1 (B). (vi) Για κάθε B Y, f 1 (B ) ( f 1 (B)). Απόδειξη: (i) (ii) Εστω G Y ανοικτό και x f 1 (G). Τότε f (x) G και G N f (x0 ). Αφού f συνεχής, έπεται ότι f 1 (G) N x (Παρατήρηση 3.2.2(α)). Συνεπώς το f 1 (G) είναι περιοχή κάθε σηµείου του, άρα f 1 (G) είναι ανοικτό. (ii) (iii) Εστω F Y κλειστό. Τότε το Y \F είναι ανοικτό και, από το (ii), έπεται ότι το f 1 (Y \F) = X \ f 1 (F) είναι ανοικτό. ηλαδή το f 1 (F) είναι κλειστό. (iii) (iv) Εστω A X. Από το (iii) για το κλειστό F = f (A) έχουµε ότι το f 1 ( f (A)) είναι κλειστό στο X. Επιπλέον, A f 1 ( f (A)) f 1 ( f (A)). Αρα, από τον ορισµό της κλειστότητας, A f 1 ( f (A)) f (A) f (A). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 (iv) (v) Εστω B Y. Από το (iv) για το A = f 1 (B) έχουµε f ( f 1 (B)) f ( f 1 (B)). Ακόµη, f ( f 1 (B)) B f ( f 1 (B)) B. Εποµένως: (v) (vi) Εστω B Y. Τότε: Αρα f 1 (B ) ( f 1 (B)). f ( f 1 (B)) f ( f 1 (B)) f ( f 1 (B)) B X \ ( f 1 (B)) = X \ f 1 (B) f ( f 1 (B)) B f 1 (B) f 1 (B) = f 1 (Y \ B) f 1 (Y \ B) (από το (v)) = f 1 (Y \ B ) = X \ f 1 (B ) (vi) (i) Εστω x X και V N f (x). Τότε f (x) V, δηλαδή: x f 1 (V ) ( f 1 (V )) (από το (vi) ). Αρα f 1 (V ) N x. Εποµένως η f είναι συνεχής στο x. Αφού το x X ήταν τυχόν, η f είναι συνεχής. Παρατηρήσεις (α) Εστω (X, T ), (Y, S) τοπολογικοί χώροι, B µία ϐάση για την S και συνάρτηση f : X Y. Τότε η f είναι συνεχής αν και µόνο αν f 1 (B) T για κάθε B B. Πράγµατι: ( ) Είναι προφανές, αφού B S. ( ) Εστω G S.Τότε G = B i για κάποια υποοικογένεια (B i ) i I της B. Αρα f 1 (G) = i I i I T, ως ένωση ανοικτών. Αρα η f είναι συνεχής. f 1 (B i ) (ϐ) Η προηγούµενη παρατήρηση ισχύει αν η B είναι υποβάση για την S, κι όχι κατ ανάγκη ϐάση (γιατί;). Παράδειγµα Η συνάρτηση f : R S R S µε f (x) = x δεν είναι συνεχής. Πράγµατι, ένω το σύνολο (0,1] είναι ανοικτό στον R S, το f 1 ((0,1]) = [ 1,0) δεν είναι ανοικτό. Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι, x 0 X και συνάρτηση f : X Y. Τότε η f είναι συνεχής στο x 0 αν και µόνο αν, για κάθε (p λ ) δίκτυο στο X µε p λ x 0, ισχύει f (p λ ) f (x 0 ). Απόδειξη: ( ) Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής στο x 0. Εστω (p λ ) δίκτυο στο X µε p λ x 0. Εστω V N f (x0 ). Από τη συνέχεια της f στο x 0, έπεται ότι f 1 (V ) N x0. Αφού p λ x 0, υπάρχει λ 0 Λ ώστε p λ f 1 (V ) για κάθε λ λ 0. Τότε f (p λ ) V για κάθε λ λ 0. Εποµένως f (p λ ) f (x 0 ). ( ) Υποθέτουµε ότι για κάθε (p λ ) µε p λ x 0, ισχύει f (p λ ) f (x 0 ) κι έστω, προς άτοπο, ότι η f δεν είναι συνεχής στο x 0. Τότε υπάρχει V N f (x0 ) ώστε για κάθε U N x0 να ισχύει f (U) V. Για κάθε U N x0 επιλέγουµε p U U, ώστε f (p U ) V. Ετσι, το (p U ) U Nx0 είναι δίκτυο µε p U x 0. Αφού όµως, f (p U ) V και V N f (x0 ), έπεται ότι f (p U ) f (x 0 ), πράγµα άτοπο. Πόρισµα Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και συνάρτηση f : X Y. Τότε η f είναι συνεχής αν και µόνο αν, για κάθε x X και για κάθε (p λ ) δίκτυο στο X µε p λ x, ισχύει f (p λ ) f (x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Παρατήρηση Η Πρόταση και το Πόρισµα δεν ισχύουν αν τα δίκτυα αντικατασταθούν µε ακολουθίες. Για παράδειγµα, έστω id : (R, T ) R µε id(x) = x, για κάθε x R, όπου T η συναριθµήσιµη τοπολογία. Αν (x n ) είναι ακολουθία στο (R, T ) και x R, ώστε x n x, τότε η (x n ) είναι τελικά σταθερή και ίση µε x κι εποµένως id(x n ) x = id(x) ως προς τη συνήθη τοπολογία. Οµως, αν a, b R, a < b, τότε το (a, b) είναι ανοικτό στο R, ενώ id 1 ((a, b)) = (a, b) T. Αρα η id δεν είναι συνεχής σε κανένα σηµείο. Είδαµε ότι οι ακολουθίες είναι ανεπαρκείς να χαρακτηρίσουν τη συνέχεια συναρτήσεων. Συµπεραίνουµε, λοιπόν ότι η ανάγκη γενίκευσης από τις ακολουθίες στα δίκτυα περιγράφει µε ακρίβεια το µέτρο γενίκευσης από τους µετρικούς χώρους στους τοπολογικούς χώρους. Πρόταση Εστω X, Y, Z τοπολογικοί χώροι, x 0 X και συναρτήσεις f : X Y, g : Y Z. Αν η f είναι συνεχής στο x 0 και η g είναι συνεχής στο f (x 0 ), τότε η g f : X Z είναι συνεχής στο x 0. Αρα αν οι f,g είναι συνεχείς, τότε και η g f είναι συνεχής. Απόδειξη: Εστω (p λ ) δίκτυο στο X µε p λ x 0. Αφού η f είναι συνεχής στο x 0 = f (p λ ) f (x 0 ) (Πρόταση 3.2.6) Αφού η g είναι συνεχής στο f (x 0 ) = g( f (p λ )) g( f (x 0 )) (Πρόταση 3.2.6) ηλαδή, (g f )(p λ ) (g f )(x 0 ). Αρα, από Πρόταση 3.2.6, η g f είναι συνεχής στο x Ανοικτές και κλειστές συναρτήσεις, Οµοιοµορφισµοί Ορισµός Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Μία συνάρτηση f : X Y καλείται ανοικτή (αντίστοιχα κλειστή), αν για κάθε A X ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) το f (A) είναι ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) στο Y. Παρατηρήσεις (α) Αν B είναι ϐάση του τοπολογικού χώρου X, τότε η f είναι ανοικτή αν και µόνο αν για κάθε B B το f (B) είναι ανοικτό στο Y. Πράγµατι, ( ) ( ) Είναι προφανές, αφού κάθε B B είναι ανοικτό. Αν A X ανοικτό, τότε A = B i όπου (B i ) i I υποοικογένεια της B. Αρα το f (A) = i I i I είναι ανοικτό, ως ένωση ανοικτών. Εποµένως η f είναι ανοικτή. f (B i ) (ϐ) Αν η f : X Y είναι 1 1 και επί, τότε, αφού f (A) = ( f 1 ) 1 (A) για κάθε A X, έχουµε f ανοικτή f 1 : Y X συνεχής f κλειστή. (γ) Εστω T 1 και T 2 δύο τοπολογίες στο X και id : (X, T 1 ) (X, T 2 ) µε id(x) = x για κάθε x X. Τότε: T 1 T 2 id ανοικτή id 1 συνεχής id κλειστή. Παράδειγµα Η προβολή π 1 : R 2 R µε π 1 (x, y) = x είναι ανοικτή, αλλά όχι κλειστή. Πράγµατι, Για κάθε (x, y) R 2 και ε > 0, π 1 (B((x, y),ε)) = (x ε, x + ε) ανοικτό, άρα από Παρατήρηση (α), η π 1 είναι ανοικτή. Αν F = {( ) } x, 1 x : x > 0, τότε το F είναι κλειστό στο R 2, ενώ η εικόνα π 1 (F) = (0,+ ) δεν είναι κλειστό στο R. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και µία συνάρτηση f : X Y. Η f είναι ανοικτή αν και µόνο αν f (A ) ( f (A)), για κάθε A X. Απόδειξη: ( ) Εστω A X. Τότε το A είναι ανοικτό στο X, άρα και το f (A ) είναι ανοικτό στο Y. Αφού f (A ) f (A), από τον ορισµό του εσωτερικού, έπεται ότι f (A ) ( f (A)). ( ) Εστω A X ανοικτό (άρα A = A). Τότε, από την υπόθεση, έπεται ότι f (A) = f (A ) ( f (A)). ηλαδή f (A) ( f (A)) κι έτσι, f (A) = ( f (A)). Εποµένως το f (A) είναι ανοικτό. Συνεπώς η f είναι ανοικτή. Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και µία συνάρτηση f : X Y. Η f είναι κλειστή αν και µόνο αν f (A) f (A), για κάθε A X. Απόδειξη: Αφήνεται ως άσκηση (εργαστείτε ανάλογα µε την Απόδειξη της Πρότασης ). Ορισµός Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Μία 1 1 και επί συνάρτηση f : X Y, ώστε η ίδια η f αλλά και η f 1 να είναι συνεχείς, καλείται οµοιοµορφισµός των τοπολογικών χώρων X και Y. Οταν υπάρχει f : X Y οµοιοµορφισµός, λέµε ότι οι X και Y είναι οµοιοµορφικοί και το συµβολίζουµε αυτό µε X Y. Παρατήρηση Η σχέση " είναι σχέση ισοδυναµίας στην κλάση των τοπολογικών χώρων. Κατά συνέπεια η κλάση των τοπολογικών χώρων διαµερίζεται σε κλάσεις ισοδυναµίας. ύο τοπολογικοί χώροι που ανήκουν στην ίδια κλάση, από τοπολογικής άποψης, ταυτίζονται. Πρόταση Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι και f : X Y µία 1 1 και επί συνάρτηση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (i) Η f είναι οµοιοµορφισµός. (ii) Η f είναι συνεχής και ανοικτή. (iii) Η f είναι συνεχής και κλειστή. (iv) Για κάθε A X ισχύει f (A) = f (A). Απόδειξη: Η ισοδυναµία των (i), (ii) και (iii) έπεται από την Παρατήρηση (ϐ). Η ισοδυναµία των (iii) και (iv) έπεται από την Πρόταση και το Θεώρηµα Παραδείγµατα (α) R ( 1,1). Πράγµατι, η f : R ( 1,1) µε f (x) = επί και η f 1 : ( 1,1) R µε f (y) = y 1 y είναι συνεχής. x 1+ x είναι συνεχής, 1 1, (ϐ) Η ταυτοτική συνάρτηση id : R S R µε id(x) = x για κάθε x R S είναι συνεχής (αφού για κάθε a, b R µε a < b, id 1 ((a, b)) = (a, b) T S ), 1 1 και επί. Οµως η id 1 : R R S δεν είναι συνεχής, αφού για το (a, b] T S, (id 1 ) 1 ((a, b]) = (a, b] που δεν είναι ανοικτό στο R. (γ) Εστω X σύνολο, x 1, x 2 X µε x 1 x 2 και T 1, T 2 οι τοπολογίες των ιδιαίτερων σηµείων x 1, x 2 αντίστοιχα. Τότε η f : (X, T 1 ) (X, T 2 ) µε x 2, αν x = x 1 f (x) = x 1, αν x = x 2 x, αν x x 1, x 2 είναι οµοιοµορφισµός. Πράγµατι, η f είναι προφανώς 1 1 και επί. Εστω G T 2. Αν G, τότε x 2 G, άρα x 1 f 1 (G) κι εποµένως f 1 (G) T 1. Αρα η f είναι συνεχής. Ανάλογα, η f 1 είναι συνεχής. (δ) ύο διακριτοί τοπολογικοί X,Y είναι οµοιοµορφικοί, αν και µόνο αν υπάρχει συνάρτηση f : X Y, 1 1 και επί (αφού κάθε συνάρτηση ορισµένη σε διακριτό τοπολογικό χώρο είναι συνεχής). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 3.3 Σύγκλιση κατά Υπερφίλτρο Εστω (x n ) µία ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Θα ϑέλαµε να ορίσουµε µία γενικότερη έννοια ορίου της (x n ), το οποίο όριο ϑα συµβολίζουµε µε lim x n. Φυσιολογική απαίτησή µας ϑα ήταν αυτή η έννοια ορίου να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: Συµβατότητα: Αν το (σύνηθες) όριο της lim n x n υπάρχει, τότε lim n x n = lim x n. Γραµµικότητα: Αν (y n ) είναι µία ακόµη ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών και c 1 c 2 R, τότε lim (c 1 x n + c 2 y n ) = c 1 lim x n + c 2 lim y n. Θετικότητα: Αν x n 0 για κάθε n N, τότε lim x n 0. Εύκολα ελέγχει κανείς, ότι µε δεδοµένη τη γραµµικότητα και τη συµβατότητα, η ϑετικότητα της υποψήφιας έννοιας ορίου είναι ισοδύναµη µε την ακόλουθη επιθυµητή ιδιότητα: Αν x n A για κάθε n N, τότε lim x n A. Αξίζει, επίσης, να παρατηρήσουµε ότι ο συνήθης ορισµός του ορίου για µία (ϕραγµένη) ακολουθία (x n ) µπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: ( ) lim n x n = l ε > 0, N \ {n N : x n l < ε} < (δηλαδή, το l είναι το όριο της (x n ) αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 µόνο πεπερασµένοι στο πλήθος τους, όροι της (x n ) απέχουν από το l απόσταση µεγαλύτερη από ε). Αφού κάθε µη τετριµµένο υπερφίλτρο περιέχει όλα τα συµπεπερασµένα σύνολα, η ακόλουθη προσέγγιση ϕαίνεται ϕυσιολογική. Ορισµός (όριο Banach). Εστω µία ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών (x n ), l R και ε > 0. Ορίζουµε το σύνολο U(l,ε) = U(l,ε)[(x n )] = {n N : x n l < ε} Αν F είναι ένα µη τετριµµένο υπερφίλτρο του N, ορίζουµε lim F x n = l ε > 0, U(l,ε) F. Παρατήρηση Το όριο Banach µίας ϕραγµένης ακολουθίας εξαρτάται από την επιλογή του µη τετριµ- µένου υπερφίλτρου. Θεώρηµα Κάθε ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών έχει µοναδικό όριο Banach. Επίσης το όριο Banach είναι συµβατό, γραµµικό και ϑετικό (κατά τον τρόπο που ορίστηκαν αυτές οι έννοιες στην αρχή της Παραγράφου). Απόδειξη: Εστω (x n ), (y n ) ϕραγµένες ακολουθίες και c 1,c 2 R. είχνουµε διαδοχικά: Υπαρξη Εστω L = sup x n και ϑέτουµε I 0 = [ L, L]. ιαιρούµε το I 0 στα ξένα διαστήµατα I1 0 = [ L 0,0), n N I1 1 = [0, L]. Ακριβώς ένα από τα σύνολα {n N : x n I1 0}, {n N : x n I1 1 } ανήκει στο F. Εστω, λοιπόν I 1 το διάστηµα µε αυτή την ιδιότητα. Επαγωγικά κατασκευάζουµε µία ϕθίνουσα ακολουθία διαστηµάτων I 0, I 1,... µε την ιδιότητα, για κάθε k N το µήκος του I k να είναι 2L/2 k και {n N : x n I k } F. Κατά συνέπεια, I k = {l} για κάποιο l R κι ακόµη, για κάθε ε > 0, U(l,ε) F. k N Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 Μοναδικότητα Για l l και ε < l l 2, τα σύνολα U(l,ε) και U(l,ε) είναι ξένα και κατά συνέπεια, το πολύ ένα από αυτά ανήκει στο F. Συµβατότητα Αµεσο, από την Γραµµικότητα Εστω ότι lim F x n = l 1, lim F y n = l 2 κι έστω ένα ε ϑετικό. Αρχικά υποθέτουµε ότι c 1,c 2 0. Εχουµε ότι τα σύνολα U (l 1,ε/2c 1 ) [(x n )], U (l 2,ε/2c 2 ) [(y n )] ανήκουν στο F, άρα και η τοµή τους. Για κάθε n στην τοµή έχουµε ότι x n l 1 < ε/2c 1 και y n l 2 < ε/2c 2. Συνεπώς, από την τριγωνική ανισότητα παίρνουµε ότι (c 1 x n + c 2 y n ) (c 1 l 1 + c 2 l 2 ) < ε. Αρα U(c 1 l 1 + c 2 l 2,ε)[(c 1 x n + c 2 y n )] F. Για την περίπτωση που κάποιο από τα c 1,c 2 είναι ίσο µε 0, η ίδια απόδειξη λειτουργεί (µε τις προφανείς τροποποιήσεις). Θετικότητα Εστω ότι x n 0 για κάθε n N κι έστω ένα l < 0. Τότε, αν ε = l /2 > 0, έχουµε ότι το U(l,ε) είναι πεπερασµένο και συνεπώς δεν ανήκει στο F. Αρα δεν µπορεί lim F x n = l. Η ακόλουθη Πρόταση περιγράφει µία ενδιαφέρουσα ιδιότητα του χώρου Σ που ορίσαµε στο Παράδειγµα , η οποία ϑα ϕανεί χρήσιµη κατά την περιγραφή της Stone-Čech συµπαγοποίησης του συνόλου των ϕυσικών αριθµών. Πρόταση Εστω U ένα µη τετριµµένο υπερφίλτρο στο σύνολο N και έστω ο τοπολογικός χώρος Σ = N {U}. Για κάθε a : N R (συνεχή) ϕραγµένη συνάρτηση (δηλαδή, ϕραγµένη ακολουθία), υπάρχει µία συνεχής επέκταση â U : Σ R (δηλαδή â U συνεχής και â U N = a). Απόδειξη: εξής: Εστω a : N R ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Ορίζουµε την â U : Σ R ως â U (x) = a(x) l = lim U a n αν x N αν x = U Η â U προφανώς επεκτείνει την a και είναι ϕραγµένη. Αρκεί να δείξουµε ότι είναι συνεχής στο U. Εστω (l ε,l + ε) ϐασική περιοχή του l. Τότε, αφού l = lim U a n, έχουµε ότι U(l,ε) U. Αρα, το U(l,ε) {U} είναι ϐασική περιοχή του U και προφανώς â U (U(l,ε) {U}) (l ε,l + ε). Εποµένως η â U είναι συνεχής. Παρατήρηση Μία διαφορετική προσέγγιση στη γενίκευση του ορίου µίας ϕραγµένης ακολουθίας µπορεί να γίνει µέσω Συναρτησιακής Ανάλυσης και είναι αυτή που έγινε από τον ίδιο τον Banach στο ϐιβλίο του «Théorie des opérations linéaires». Ο χώρος l των ϕραγµένων ακολουθιών είναι ένας γραµµικός χώρος που εφοδιάζεται µε τη νόρµα (x n ) = sup x n. Το σύνολο των συγκλινουσών ακολουθιών C, n N συνιστά έναν υπόχωρο του l. Ακόµη, η απεικόνιση f : C R, που απεικονίζει κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο όριό της, είναι γραµµική και έχει νόρµα τελεστή ίση µε 1. Από το Θεώρηµα Hahn-Banach, η f επεκτείνεται σε έναν τελεστή f : l R, που έχει επίσης νόρµα τελεστή 1. Ετσι, ϑα ορίζουµε ως όριο Banach µίας ακολουθίας (x n ) l την τιµή f ((x n )). Εύκολα ελέγχει κανείς ότι αυτή η έννοια ορίου ικανοποιεί τις απαιτήσεις που ϑέσαµε στην αρχή της Παραγράφου. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κλασικές και Στατιστικές Συγκλίσεις σε Τοπολογικούς Χώρους ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γεώργιος Α. Πρίνος Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα