Κεφάλαιο 2: Διηλεκτρικά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 2: Διηλεκτρικά"

Transcript

1 Σχολή Εαρμοσμένν Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κάλαιο : Διηλκτρικά Λιαροκάπης Ευθύμιος

2 Άδια Χρήσης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται σ άδις χρήσης Ca%v Cns. Για κπαιδυτικό υλικό, όπς ικόνς, που υπόκιται σ άδια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπι να αναγράται ρητώς.

3 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Οι ξισώσις του axwll ορίζουν ότι dv ρ, όπου ρ ίναι η πυκνότητα ορτίν. Όμς, στην πρίπτση νός υλικού, τα ορτία που ορίζουν την ένταση του ηλκτρικού πδίου θα δίνονται από το σύνολο τν ορτίν, ξτρικών και στρικών. Μολονότι στις πιο πολλές πριπτώσις το συνολικό στρικό ορτίο ίναι μηδέν, η χρική κατανομή τους ίναι δυνατόν να δημιουργί μια διπολική ροπή διάορη του μηδνός. Αυτό προκύπτι ύκολα από τον νόμο του Cul για κατανομή ορτίν: R- R Σ 4π R, όπου R X, Y, Z και x, y, z. Από το ανάπτυγμα τν όρν R γύρ από ένα σημίο στρικό τν ορτίν R, θα προκύψι ότι K και πομένς R R R Qολ R Qολ R Σ K K, όπου 4π R 4π R 4π R 4π R ίναι η ηλκτρική διπολική ροπή. Όταν το Q ολ 0, πρώτος όρος ίναι ο πιο σημαντικός. Αν όμς Q ολ 0 τότ, α νός μν η ηλκτρική διπολική ροπή έχι τιμή ανξάρτητη της αρχής τν αξόνν, α τέρου δ αποτλί τον πλέον σημαντικό όρο για τον υπολογισμό του δυναμικού ξ αιτίας τν στρικών ορτίν νός υλικού. [Αν συμβί 0, τότ ο πλέον σημαντικός όρος θα ίναι ο πόμνος όρος στο ανάπτυγμα ττραπολική ροπή]. Επομένς, μπορούμ να λάβουμ υπόψη την ύπαρξη τν στρικών ορτίν, μέσ της διπολικής ροπής και αν υπάρχουν και ξτρικά ορτία, θα προστθί η πίδρασή τους. Η ένταση του ηλκτρικού πδίου ξ αιτίας διπόλου στην θέση R R R R θα δίνται από την σχέση. 5 4 π R Για συνχή κατανομή ορτίν η αντίστοιχη σχέση για το δυναμικό θα ίναι ΙΙ-

4 ρ xtdv P R dv K 4π R 4π R Όπου PdV ορίζι την πόλση του υλικού μέσ της σχέσης P. dv Το κράζι τν αριθμό τν μορίν τύπου ανά μονάδα όγκου, νώ το ίναι η μέση διπολική ροπή μορίν τύπου. Μ τα δδομένα αυτά, μπορούμ γράψουμ ρ xtdv P R dv ρ dv P xt dv R 4π 4π R 4π R 4π R ρ xtdv P P dv dv 4π R 4π R 4π R ρ xtdv P ρ xt P dv dv 4π R 4π R 4π R Γιατί ο δύτρος όρος μηδνίζται αού μτασχηματίζται σ πιανιακό ολοκλήρμα σ μια πιάνια που πρικλίι το υλικό, όπου η πόλση μηδνίζται. Επομένς, το δυναμικό ίναι σαν να δημιουργίται α νός μν από τα ξτρικά ορτία και α τέρου από ισοδύναμα ορτία λόγ της πόλσης ρ P. ρ xt ρ Τλικά η ξίσση του axwll θα λάβι την μορή dv, που μπορί να ρ ρ xt dvp γρατί και μ την μορή dv dv ή ισοδύναμα μ την dv P ρxt. Ορίζουμ την ποσότητα D P, που ονομάζται ηλκτρική μτατόπιση και η παραπάν ξίσση λαμβάνι την γνστή μορή dvd ρ. Για ισότροπα υλικά τα D και θα ίναι παράλληλα και στη γραμμική προσέγγιση, ανάλογα. Επομένς, μπορούμ να γράψουμ ότι D, όπου μ το ορίζουμ την διηλκτρική συνάρτηση. Συνήθς ονομάζται σταθρά, αλλά όπς θα δούμ ξαρτάται από την συχνότητα του ΗΜ κύματος. Οπότ προκύπτι ότι P χ, όπου μ χ έχουμ ορίσι την διηλκτρική πιδκτικότητα. Στην πρίπτση μη-ισότροπν υλικών αλλά πάλι στη γραμμική προσέγγιση θα ισχύι η πιο γνική σχέση D μ την σύμβαση του nstn. j j j j xt j ΙΙ-

5 Οριακές συνθήκς στην διπιάνια διηλκτρικών Οι οριακές συνθήκς που ικανοποιούν στην διαχριστική πιάνια δύο διηλκτρικών τα μγέθη, D ίναι t t, D n Dn όταν δν υπάρχουν ξτρικά ορτία, Dn D n σ xt για πιανιακά ορτία πυκνότητας σ xt, που προκύπτουν ύκολα από τις ξισώσις του axwll. Μ n και t ορίζονται η κάθτη και παράλληλη στην διαχριστική πιάνια συνιστώσς του κάστοτ διανύσματος. Για την πόλση προκύπτι στην διαχριστική πιάνια διηλκτρικού μ το κνό, μέσ ολοκλήρσης της σχέσης ρ P πάν σ έναν μικρό όγκο που πριλαμβάνι πιάνια δs του διηλκτρικού μ απιροστό πάχος μέσα και έξ από το διηλκτρικό. Προκύπτι τότ η αντίστοιχη οριακή συνθήκη Pn σ, όπου σ ορίζι την πιανιακή πυκνότητα τν ορτίν πόλσης που δημιουργίται στο διηλκτρικό. Παράδιγμα πίπδου πυκντή Για να κατανοήσουμ τον μικροσκοπικό μηχανισμό, ας θρήσουμ το παράδιγμα του πίπδου πυκντή μ ορτία πιανιακής πυκνότητας σ σταθρά. Εξ αιτίας του στατικού ηλκτρικού πδίου τα σ -σ σ -σ ορτία που βρίσκονται μέσα στο υλικό ανακατανέμονται και ανάλογα αν το υλικό ίναι μέταλλο ή διηλκτρικό συμπριέρονται διαορτικά. Στα μν μέταλλα τα ορτία συγκντρώνονται στην πιάνια του υλικού και θρακίζουν πλήρς το ηλκτρικό πδίο μέσα στον αγγό, μ αποτέλσμα το ηλκτρικό πδίο μέσα στο μέταλλο να ίναι μηδέν, όπς παρουσιάζται στο διπλανό σχήμα. Δηλαδή θα σ σ ισχύι ότι 0 πλήρης θράκιση. Στα διηλκτρικά μοντικά υλικά, τα ορτία ίναι δσμυμένα και δν δύνανται να αποσπαστούν, αλλά μπορούν να σ σ π -σ μτακινηθούν από την θέση ισορροπίας τους, δημιουργώντας ένα πιπρόσθτο ηλκτρικό πδίο μέσα στο διηλκτρικό. Το αποτέλσμα ίναι να υπάρχι κάποιο ηλκτρικό πδίο μέσα στο μοντικό υλικό, που θα ίναι διαορτικό από το ξτρικό πδίο που αρμόστηκ. Όπς αίνται στο δύτρο σχήμα, τα ορτία που πάγονται θα ίναι λιγότρα από τα αρχικά και απλά θα μιώνουν το ηλκτρικό πδίο μέσα στο διηλκτρικό. Δηλαδή θα έχουμ ότι σ σ π P. Όμς P χ. Οπότ ΙΙ-

6 χ >. Η απόκριση του υλικού στο ξτρικό πδίο θα ίναι μια ανακατανομή τν ορτίν και δημιουργία ηλκτρικών διπόλν, ίτ ο προσανατολισμός τν τυχόν υπαρχόντν μόνιμν διπολικών ροπών σ σχέση μ το ηλκτρικό πδίο που αρμόζται. Στην πρίπτση όμς ναλλασσόμνου πδίου ΗΜ κύματος η απόκριση του υλικού θα ίναι διαορτική και θα ξαρτάται από την συχνότητα του πδίου, ς προς τις χαρακτηριστικές συχνότητς του υλικού. Επίσης, στα μέταλλα δν θα μηδνίζται το ηλκτρικό πδίο μέσα στον αγγό, αλλά οι λύθροι ορίς θα τίθνται σ παλινδρομική κίνηση, χρίς την ανάγκη συγκέντρσης στην πιάνια και την πλήρη θράκιση του υλικού. Ατομική-μοριακή πολσιμότητα Υπό την πίδραση νός σταθρού ηλκτρικού πδίου, τα ορτία τν ατόμν ή τν μορίν που απαρτίζουν τα μοντικά διηλκτρικά υλικά θα ανακατανμηθούν και, όσον τα άτομα ή μόρια δν διαθέτουν ήδη μια ηλκτρική διπολική ροπή, θα δημιουργήσουν διπολική ροπή. Αυτή η διπολική ροπή σ πρώτη προσέγγιση πρίπτση μικρού ηλκτρικού πδίου θα ίναι ανάλογη του ηλκτρικού πδίου που νοιώθι το άτομο ή μόριο. Επομένς, για να δούμ την συμπριορά τν ατόμν ή μορίν του διηλκτρικού υλικού στο στατικό πδίο, θα πρέπι να υπολογίσουμ το τοπικό ηλκτρικό πδίο lc στην θέση του ατόμου ή μορίου. Δηλαδή θα ισχύι ότι a lc Όπου το α θα κράζι την ατομική ή την μοριακή πολσιμότητα. Ο υπολογισμός του α μπορί να γίνι κλασικά ή κβαντικά. Στην πραγματικότητα, η γραμμική σχέση ισχύι μόνο για λύθρα άτομα, αού στα στρά οι δυνάμις ανάμσα στα άτομα θα πηράσουν την κίνηση τν ηλκτρονίν. Έτσι η πολσιμότητα θα έπρπ να κραστί μέσ νός τανυστή δυτέρας τάξης έναν πίνακα που θα υποδηλώνι ότι τα και v lc δν ίναι κατ ανάγκη παράλληλα. Ας αγνοήσουμ όμς αυτή την ξάρτηση και ας παραδχθούμ ότι για κάποια υλικά η σχέση ίναι απλά αναλογία, σ σ π -σ δηλαδή υπάρχι ένας μόνον α που κράζι την ατομική πολσιμότητα. Ρ ο Είναι ανρό ότι το τοπικό ηλκτρικό πδίο v lc δν θα ίναι ίσο μ το ξτρικό zˆ. Έτσι θα πρέπι θ να βρούμ την σχέση ανάμσα στο R τοπικό πδίο και το ξτρικό. Μπορούμ να γράψουμ ότι lc d, όπου το πί πλέον z πδίο d θα δημιουργίται από την πόλση του υλικού. Ε ο ΙΙ-4

7 Επιδή ο υπολογισμός του v lc καθίσταται δύσκολος ξ αιτίας της ανάγκης να υπολογίσουμ την πίδραση τν ορτίν από ολόκληρο το υλικό και πομένς από την πιάνιά του ο ntz πρότιν μια μέθοδο υπολογισμού του πδίου d, μ το να χρίσουμ αυτό το πδίο σ τρία μέρη d, όπου το δημιουργίται από τα ορτία της πιάνιας του διηλκτρικού, το από τα ορτία πόλσης της πιάνιας μιας μικρής σαίρας ακτίνας R γύρ από το άτομο ή μόριο ή ιόν και ένα τλυταίο που θα υπολογιστί από τα δίπολα που βρίσκονται μέσα στη σαίρα αυτή ακτίνας R. Το πδίο υπολογίζται ύκολα γιατί ίναι το αποτέλσμα τν πιανιακών ορτίν πόλσης πυκνότητας σ και θα ίναι ίσο προς σ P zˆ ομοιόμορο πδίο. 0 T δημιουργίται από τα ορτία στην πιάνια της σαίρας. Γνρίζουμ από τον ΗΜ ότι ένα διηλκτρικό σ ξτρικό ομογνές ηλκτρικό πδίο δημιουργί ξ παγγής στην πιάνιά του κατανομή ορτίν πυκνότητας σ P csθ. Είναι προανές από την συμμτρία του προβλήματος, ότι το συνολικό πδίο θα ίναι κατά τον άξονα z. Επομένς, θα πρέπι να ολοκληρώσουμ την συνισταμένη του ηλκτρικού πδίου στον άξονα z. Αυτή θα ίναι π P cs θ π snθ dθ 4π R 4π 0 0 π csθ σ R dω Η συνισορά τν διπόλν μέσα στην σαίρα ακτίνας R θα πρέπι να υπολογιστί αναλυτικά, βάσι της συνισορά κάθ διπόλου, ήτοι ς το άθροισμα R R R. Στην γνική πρίπτση θα δίνι κάποια τιμή 5 4π R διάορη του μηδνός. Όμς στην πρίπτση κυβικού κρυστάλλου ή άμορου αποδικνύται ότι δίνι τιμή μηδέν. Ας δχτούμ ότι έχουμ χροκντρμένο κυβικό σύστημα, τότ R axˆ jayˆ azˆ όπου,j, ακέραιοι. Τότ η x συνιστώσα του ηλκτρικού πδίου θα ίναι ίση προς, x y z R R R j j x x 5 5 4π R 4π, j, j 4π, j, x j 5 / j x Αού οι όροι j, j, θα μηδνιστούν δδομένου ότι λαμβάνουμ ξ ίσου θτικές και αρνητικές τιμές για τον κάθ δίκτη. Όμς ξ αιτίας τα κυβικής συμμτρίας θα έχουμ πίσης ότι j, j, j, j, j, j, j Επομένς, 0. Το ίδιο θα ισχύι και για τις άλλς δύο συνιστώσς του πδίου. x P ΙΙ-5

8 Οπότ θα έχουμ ότι P P P 0 και πομένς lc, όπου v ίναι το ηλκτρικό πδίο μέσα στο διηλκτρικό, όπς υπολογίζται από την σχέση D παράδιγμα πίπδου πυκντή. Επιδή P χ χ προκύπτι το πδίο του ntz lc. Αν ίναι η διπολική ροπή του κάθ μορίου ή ατόμου, τότ P θα ίναι η πόλση για Ν άτομα ή μόρια ανά μονάδα όγκου. Επιδή η διπολική ροπή ξαρτάται από τοπικό ηλκτρικό πδίο, θα ισχύι ότι alc, όπου μ το α ορίσαμ την ατομική ή μοριακή πολσιμότητα. Έτσι P a a P alc a a P P χ a χ a a a Οπότ προκύπτι η ξίσση τν Clausus και sstt a που κράζι την σχέση της ατομικής πολσιμότητας μ την μακροσκοπικά μτρούμνη διηλκτρική σταθρά. Όταν υπάρχουν πολλών ιδών άτομα, τότ η σχέση γράται a. Επιδή στις οπτικές συχνότητς n όπου n ίναι ο δίκτης διάθλασης, n προκύπτι η σχέση τν ntz και nz 880 a. n Αν ρ ίναι η πυκνότητα του υλικού, Ν Α ο αριθμός του Avgad και Μ το A μοριακό βάρος, τότ ρ και πομένς a, που αποδικνύι ότι ρ A aρ, και για σταθρό α π.χ. διάλυμα ρ αναλογία μ την πυκνότητα διαλύματος. Αιτίς πολσιμότητας Η πολσιμότητα μπορί να προκαλίται από διάορς αιτίς. Η ηλκτρονική πολσιμότητα οίλται στην σχτική μτατόπιση τν ηλκτρονίν νός ιόντος ή ατόμου ς προς τον πυρήνα, υπό την πίδραση νός ξτρικού ηλκτρικού πδίου. Είναι προανές ότι αυτή η αιτία θα υπάρχι σ όλα τα υλικά. ΙΙ-6

9 Η ιοντική πολσιμότητα μανίζται στα μόρια όπου υπάρχουν ιοντικοί δσμοί. Τότ τα αντίθτα ορτισμένα ιόντα μτατοπίζονται από την θέση ισορροπίας τους υπό την πίδραση του ηλκτρικού πδίου δημιουργώντας μια διπολική ροπή. Είναι δυνατόν να υπάρχι μια μόνιμη ηλκτρική διπολική ροπή στα μόρια που αποτλούν ένα υλικό. Μ την απουσία ξτρικού ηλκτρικού πδίου, οι διπολικές ροπές θα ίναι τυχαία προσανατολισμένς. Όταν όμς αρμοστί κάποιο πδίο, θα προσανατολιστούν και θα δημιουργήσουν μια πόλση στο υλικό. Ηλκτρονική πολσιμότητα Ένας πολύ προσγγιστικός υπολογισμός θρί το άτομο ς σημιακό ορτίο και το ηλκτρόνιο ς ένα νέος ομοιόμορα κατανμημένου ορτίου. Υπό την πίδραση του ηλκτρικού πδίου θα μτατοπιστούν τα κέντρα τν ορτίν μ αποτέλσμα να δημιουργηθί κάποια δύναμη παναοράς λκτική. Αν απομακρυνθί το κέντρο του νέους κατά z από την αρχική του θέση, τότ θα δημιουργηθί _ μια δύναμη στο σημιακό ορτίο του πυρήνα από το μέρος του ορτίου που πρικλίται στη σαίρα ακτίνας z. Αυτή θα ίναι ίση προς z z F z z 4π z 4π Και θα δημιουργήσι μια ιδιοσυχνότητα ταλάντσης, νώ η 4π δύναμη απομάκρυνσης θα ίναι ίση προς z Οπότ al. lc lc lc F z z, ήτοι lc z. Για a 0, 59 Å ακτίνα του Bh και προκύπτι 40 al 0,56 0 C /V, νώ ο ακριβής κβαντομηχανικός υπολογισμός δίνι 0, C /V και το πίραμα 0, C /V. Ιοντική πολσιμότητα Ένα απλό μοντέλο για να υπολογιστί η συνισορά της ιοντικής πολσιμότητας θρί την πρίπτση μιας μονοδιάστατης διατομικής αλυσίδας ιόντν αντίθτου ορτίου ±. Ε f f f f f u υ u υ ΙΙ-7

10 Υπό την πίδραση του ηλκτρικού πδίου τα αντίθτα ορτία θα μτακινηθούν μ αποτέλσμα να δημιουργηθούν δυνάμις παναοράς της μορής f u v lc 0 για το ένα σώμα και f v u 0 για το άλλο. lc lc Επομένς u v f Η ιδιοσυχνότητα ταλάντσης στο κέντρο της ζώνης Bllun 0 θα ίναι Οπότ f lc u v lc, όπου Η παγόμνη διπολική ροπή θα ίναι ίση προς a, που προκύπτι πρίπου το 0% της ηλκτρονικής. n η ανηγμένη μάζα. u v lc, οπότ Διπολική πολσιμότητα Κατά τα γνστά, η δυναμική νέργια διπόλου σ ξτρικό ηλκτρικό πδίο δίνται από την σχέση U Επομένς, η νέργια θα Ρ θ Ε λαχιστοποιίται όταν τα δίπολα ίναι παράλληλα στο ξτρικό πδίο. Στην θρμοκρασία Τ0 Κ θα ίναι όλα προσανατολισμένα. Αλλά σ θρμοκρασία Τ > 0 Κ θα τίνουν να αποπροσανατολιστούν ξ αιτίας της θρμικής τους διέγρσης. Η μέση τιμή της διπολικής ροπής θα ίναι λόγ - συμμτρίας παράλληλη στο ηλκτρικό πδίο. Για να την υπολογίσουμ αρκί να βρούμ την μέση τιμή της διπολικής ροπής στην κατύθυνση του πδίου, csθ x csθ dω csθ x csθ snθdθ BT BT csθ θ Ω θ x cs d x cs snθdθ BT BT και τλικά d ln x u csθ dcsθ cth u du u ΙΙ-8

11 όπου u T B Η συνάρτηση u cth u ονομάζται συνάρτηση του angvn και έχι την u μορή του σχήματος και BT Για u T 0. Όταν u 0 T 0 Στην πρίπτση που u <<, u u u u u u u u u u u u 6 Επομένς για u << υψηλές θρμοκρασίς και T B a d. T B H συνολική πολσιμότητα θα ίναι ίση προς a al an ad al an ξίσση τν angvn-dy T Οι δύο πρώτοι όροι δν ξαρτώνται από την θρμοκρασία, νώ ο τρίτος ξαρτάται. Έτσι η θρμοκρασιακή μλέτη μπορί να μας ορίσι το άθροισμα a l a n καθώς και το. Οι διπολικές ροπές κράζονται σ μονάδς Dy 0-9 C, που προκύπτι από δίπολο ορτίο πρίπου νός ηλκτρονίου 0-9 C σ απόσταση Å. B Δυναμική πρίπτση - ΗΜ κύματα Ηλκτρονική πολσιμότητα Στο απλό μοντέλο της ηλκτρονικής πολσιμότητας το άτομο αποτλίται από ένα θτικά ορτισμένο ιόν και ένα αρνητικό ορτίο που συγκρατίται γύρ από το ιόν μέσ νός λατηρίου κτλώντας ταλάντση ιδιοσυχνότητας ο. Αν συμπριλάβουμ και απώλις μέσ κάποιας «τριβής» δύναμη ανάλογη της ταχύτητας η ξίσση της κίνησης υπό την πίδραση ναλλασσόμνου ηλκτρικού t πδίου στην θέση του ατόμου, θα έχι την μορή d d t Γ dt dt Θέτοντας στη μόνιμη κατάσταση t t προκύπτι η λύση ΙΙ-9

12 ΙΙ-0 Γ Η διπολική ροπή που πάγται θα ίναι ίση προς t t t t Γ Επομένς, η ηλκτρονική πολσιμότητα θα δίνται από την σχέση Γ a Όταν 0, η παραπάν λύση οδηγί στην στατική τιμή. Στο όριο, 0 a Εύκολα προκύπτι ότι a a a Γ Γ Γ Μ τις δύο συνιστώσς a a, να παρουσιάζουν τις κλασικές μορές σχήμα από τις Σημιώσις Σ. Παπαδόπουλου Για τα υλικά που ακολουθούν την σχέση του ntz lc θα προκύψι ότι t lc a a P Ενώ θα ισχύι πίσης ότι

13 P Από τον συνδυασμό τν δύο θα έχουμ ότι Οπότ προκύπτι ότι a a Και μ αντικατάσταση της τιμής του α θα έχουμ ότι Γ lc Γ Όπου θέσαμ Γ Γ Προανώς, η απορρόηση θα κράζται από το και θα ίναι ανάλογη της ποσότητας Γ. Ιοντική πολσιμότητα Θα υπολογίσουμ την ιοντική συνισορά στην πολσιμότητα μέσ νός απλού μοντέλου διατομικής γραμμικής αλυσίδας, στην πρίπτση μγάλου μήκους κύματος ς προς τις διαστάσις της μοναδιαίας κυψλίδας. Έστ θτικά και αρνητικά ορτισμένα ιόντα ορτίου ±Z που αλληλπιδρούν σ πρώτους γίτονς μ ίδις σταθρές λατηρίου. Αν u ± ίναι οι μτακινήσις τν ιόντν από την θέση ισορροπίας τους και a± οι ατομικές πολσιμότητές τους, τότ υπό την πίδραση νός τοπικού ηλκτρικού πδίου lc θα δημιουργηθούν διπολικές ροπές Zu a και lc Zu a. lc Αν υπάρχουν Ν ζύγη ιόντν ανά μονάδα όγκου, τότ θα δημιουργηθί πόλση P P [ Z u ] u a a lc Z u u a a Επομένς, ΙΙ-

14 P a a u u Θέτουμ w [ Z u u a a ] Όπου t Και, P P ίναι η ανηγμένη μάζα t και w w t οι χρονικές ξαρτήσις τν μγθών. Έχουμ Μ τον ορισμό P w P w Z και a a a a a a Από την μτακίνηση τν θτικών και αρνητικών ιόντν θα προκύψι μια δύναμη παναοράς της μορής u u, όπου το στην γνική τρισδιάστατη πρίπτση θα ήταν ένας τανυστής ας τάξης. Επιδή υπάρχουν και ηλκτροστατικές δυνάμις από το ηλκτρικό πδίο, οι ξισώσις κίνησης θα ίναι της μορής u & u u Zlc u & u u Z lc Που οδηγούν στην ξίσση σχτικής κίνησης u & u & u u Z Που ισοδυναμί μ την ξίσση & lc & P u & u & u u Z Από την αντικατάσταση τν P και w καταλήγουμ στην Z Z w w & w a a a a Όπου ορίσαμ τα μγέθη ΙΙ-

15 Z και a a Z a a Παρατηρούμ ότι Από την αντικατάσταση της χρονικής ξάρτησης τν μγθών θα προκύψι ότι w Επομένς, w 0 Μ αντικατάσταση στην άλλη ξίσση προκύπτι πί πλέον ότι P w Παρατηρούμ ότι [ ] και μ αντικατάσταση της έχουμ ότι a a a a Που γράται ισοδύναμα μ την σχέση Clausus-sstt Ν α α ο Όπου ορίζι την διηλκτρική σταθρά σ οριακά άπιρη συχνότητα. Ας ορίσουμ για λόγους που θα ξηγηθούν παρακάτ για την ξίσση της διηλκτρικής συνάρτησης Επί πλέον έχουμ ότι Και κ Μ 0 0 T ο Τ Τ ο, οπότ θα έχουμ T 0 ΙΙ-

16 Τ [ 0 ] Z ο a a Για να βρούμ την υσική σημασία του Τ, ας θρήσουμ πίπδα κύματα της μορής D D, και P P. Για ισότροπα υλικά θα ισχύι ότι και τα τρία διανύσματα D,, P θα ίναι παράλληλα. Από τις ξισώσις του axwll χρίς ξτρικά ορτία θα προκύψι ότι D D 0 οπότ ίτ D 0, ίτ D,, P. Για μγάλα μήκη κύματος το σύστημα συμπριέρται ς ηλκτροστατικό και πομένς θα ισχύι ότι 0 οπότ ίτ 0, ίτ D,, P //. Στις γκάρσις ταλαντώσις D,, P, οπότ θα πρέπι 0, που συνπάγται ότι T, που υποδηλώνι ότι η Τ αντιστοιχί στις γκάρσις ταλαντώσις. Για τις διαμήκις θα έχουμ ότι D,, P //, πομένς θα πρέπι D 0, που συνπάγται ότι 0 και P, νώ από την ξίσση έχουμ ότι T που έχι πολύ μγαλύτρη T ισχύ από την συγκκριμένη προσέγγιση και ονομάζται σχέση τν yddan-sachs- Tll. Το ίδιο προκύπτι από την ανάλυση w w wt, οπότ για την διαμήκη συνιστώσα θα ισχύι ότι w 0, νώ για την γκάρσια w 0. Από την απουσία ξτρικών ορτίν προκύπτι ότι D P 0 P. Επίσης ισχύι για μγάλα μήκη κύματος ότι 0, δηλαδή το ηλκτρικό πδίο ίναι αστρόβιλο. Όμς P w, οπότ w, ήτοι w w T ΙΙ-4

17 Μ προανή μοναδική λύση την αστρόβιλο. Έτσι προκύπτι ότι & & & w αού το πδίο ίναι w & w & w & T w wt w w Που χρίζται σ δύο ξισώσις, μια για την γκάρσια συνιστώσα w & T wt που υποδηλώνι ταλάντση ιδιοσυχνότητας T, και μια άλλη για την διαμήκη w & w ταλάντση ιδιοσυχνότητας 0 T w T 0 T 0 w w που υποδηλώνι T Διηλκτρική συνάρτηση μτάλλν Ας θρήσουμ ξτρικά ορτία ρ xt σ κάποιο μέταλλο. Αν ήταν μόνα τους θα δημιουργούσαν κάποιο δυναμικό, που υπολογίζται από την ξίσση του Pssn ρxt xt Αν ορίσουμ ς το δυναμικό που δημιουργίται από τον συνδυασμό τν ξτρικών ορτίν και τν στρικών τότ ρ Όπου ρ ρ ρ xt nd Δχόμαστ ότι ισχύι μια γραμμική σχέση ανάμσα στα δύο δυναμικά δηλαδή το xt αντιστοιχί στο D, νώ το στο Ε d xt, Για ομοιόμορο αέριο ηλκτρονίν θα ισχύι ότι,, πομένς d xt Από μτασχηματισμό Fu θα προκύψι ότι ΙΙ-5

18 ΙΙ-6 xt xt [μίση ξτρικού πδίου κατά ] Όπου d και d π Από τις ξίσσης του Pssn προκύπτι ότι ρ ρ ρ xt nd xt xt Οπότ nd v ρ Στην προσέγγιση που το δυναμικό ίναι μια αργά μταβαλλόμνη συνάρτηση της θέσης, τότ θα έχουμ ότι για << F θα ισχύι για την νέργια η σχέση h Επομένς από την πυκνότητα καταστάσν μ μ χημικό δυναμικό θα προκύψι ότι x 4 μ π d n h Οπότ x 4 μ π μ d n h Και [ ] μ μ μ ρ nd n n n Αυτή η προσέγγιση της θράκισης οίλται στους Thas-F και ισχύι αρκτά καλά όταν << F. Στην προσέγγιση αυτή προκύπτι για την διηλκτρική συνάρτηση η σχέση μ n Ορίζοντας τον κυματαριθμό τν Thas-F μ n Προκύπτι η σχέση

19 Παρατηρούμ ότι για 0,. Αν το ξτρικό ορτίο ήταν σημιακό Q, τότ Q Q xt xt, οπότ 4π Q xt Που οδηγί σ ένα δυναμικό d Q Q π 4 π τύπου Yuawa που αναπαριστά μια θράκιση σ αποστάσις μγαλύτρς του /. 6 s Αποδικνύται ότι, όπου s ορίζι την ακτίνα μιας F π a σαίρας μ όγκο κίνον του κάθ ηλκτρονίου. Επιδή συνήθς s /a ~ -6 F, δηλαδή η ηλκτρονική θράκιση ίναι αποτλσματική και νργί σ αποστάσις νδοσματιδιακές. Ο υπολογισμός του ndhad για την θράκιση διορθώνι τον όρο τν Thas-F, αλλά ισάγι μια πολύ πιο σύνθτη σχέση. Για Τ 0 Κ η σχέση αυτή ίναι F x x ln h π 4x x Στην πρίπτση του 0 η παραπάν σχέση οδηγί στην αντίστοιχη τν Thas-F. Όταν F το αποκλίνι. Η αντίστοιχη διόρθση για F στις δυνάμις Cul ανάμσα στα ιόντα και η παγόμνη θράκιση ξ αιτίας τν ηλκτρονίν, οδηγί σ μια αντίστοιχη απόκλιση που πηράζι την σχέση διασποράς τν νονίν μ απιρισμό του στις τιμές του που αντιστοιχούν σ αντιδιαμτρικά σημία της πιάνιας F ανμαλία Khn. Αν λάβουμ υπόψη μας και τα ιόντα και δν τα θρήσουμ αμτακίνητα, θα έχουμ και κάποια θράκιση από τα ιόντα, που προσθέτι έναν όρο της μορής Ω 4πn Z, όπου Ω ίναι η συχνότητα πλάσματος τν ιόντν. Τλικά η διηλκτρική συνάρτηση που συμπριλαμβάνι συνισορές και από τους λύθρους ορίς και από τις ταλαντώσις του πλέγματος νόνια θα λάβι την μορή Ω ΙΙ-7

20 Συνολική πολσιμότητα Η μταβολή μ την συχνότητα του πραγματικού μέρους της πολσιμότητας όπς και του πραγματικό μέρους της διηλκτρικής συνάρτησης συνήθς έχι την μορή τα δύο πόμνα σχήματα από το βιβλίο Fundantals f Sld Stat Physcs του J.R. Chstan Η παρουσία τν λύθρν ορέν και του νργιακού χάσματος στους ημιαγγούς αλλάζι την ξάρτηση της απορρόησης που λαμβάνι την μορή ΙΙ-8

21 Χρηματοδότηση Το παρόν κπαιδυτικό υλικό έχι αναπτυχθί στα πλαίσια του κπαιδυτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχι χρηματοδοτήσι μόνο την αναδιαμόρση του κπαιδυτικού υλικού. Το έργο υλοποιίται στο πλαίσιο του Επιχιρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδυση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτίται από την Ευρπαϊκή Ένση Ευρπαϊκό Κοιννικό Ταμίο και από θνικού πόρους.

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις

Επαναληπτικές ασκήσεις Επαναληπτικές ασκήσις Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτλίται από mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δν αλληλπιδρούν μταξύ τους. Τα μόρια αυτά μπορούν να βρθούν ίτ σ

Διαβάστε περισσότερα

c 2 b b Λύση Το δυναµικό οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης ε είναι V( x)

c 2 b b Λύση Το δυναµικό οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης ε είναι V( x) ΑΣΚΗΣΗ 8 Φορτισµένος αρµονικός ταλανττής βρίσκται µέσα σ οµογνές ηλκτρικό πδίο έντασης. Τη χρονική στιγµή t= ο ταλανττής βρίσκται στη βασική κατάσταση. Να υπολογιστί η πιθανότητα ο ταλανττής να παραµίνι

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146) Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών

Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική και ηλκτρονιακή δομή των στρών Εισαγωγή στη μέθοδο Γραμμικός Συνδυασμός Ατομικών Τροχιακών Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα Άδις

Διαβάστε περισσότερα

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. . Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμομένν Μαθηματικών και Φυικών Ειτημών Εθνικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οτικές Μαγνητικές Ιιότητς Υλικών Κφάλαιο 3: Αλληλίραη Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης Λιαροκάης Ευθύμιος Άια Χρήης Το αρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ο νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου

Ο νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου Ο νόμος του Apèr Ο νόμος του Apèr Bis μ μ Ji Επιφάνια Bi μ π r ( π s B s r μ Η κυκλοφορία του μαγνητικού πδίου κατά μηκός μιάς κλιστής διαδρομής ισούται μ μ Ι, όπου Ι ίναι το ολικό σταθρό (χρονικά αμτάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος

Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στρού σώµατος Εφαρµογή 1η Οµογνής δίσκος ακτίνας R ηρµί στην άκρη οριζόντιου τραπζιού µ το κέντρο του Κ να βρίσκται στην κατακόρυφη που διέρχται από την ία Ο του

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΛΥΣΗ DOPPLER LASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΛΥΣΗ DOPPLER LASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΛΥΣΗ DOPPER ASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ Το κλιδί σ αυτό το πρόβλημα ίναι το φαινόμνο Doppler (για την ακρίβια, το διαμήκς φαινόμνο Doppler): Η κυκλική συχνότητα μιας μονοχρωματικής

Διαβάστε περισσότερα

10 ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ

10 ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Η φατονική συνιστώσα του ηλκτρικού δίου δύο έσα t t. Η κάθτη συνιστώσα του ανύσατος της ηλκτρικής τατόισης σταθρή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Εμμανουήλ Μ. Παπαμιχαήλ

Διδάσκων: Καθηγητής Εμμανουήλ Μ. Παπαμιχαήλ Τίτλος Μαθήματος: Ενζυμολογία Ενότητα: Παράρτημα Διδάσκων: Καθηγητής Εμμανουήλ Μ. Παπαμιχαήλ Τμήμα: Χημίας 142 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 1. Βιβλιογραφικές αναφορές διαφόρων τύπων χρωματογραφιών: Janson J. C., & Rydén

Διαβάστε περισσότερα

5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών. 5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών

5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών. 5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Διηλκτρικά 5.1 Γνικές Ιδιότητς 5. Διηλκτρικά

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Μπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται;

Μπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται; Έστω μακροσκοπικό σύστημα αποτούμνο από μόρια τα οποία μπορούν να βρθούν σ ένα σύνοο μη κφυισμένων καταστάσων μ νέργια, όπου,, 2, 3, 4,. Σ προηγούμνο παράδιγμα δίξαμ ότι η κυρίαρχη διαμόρφωση νός τέτοιου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί

Διαβάστε περισσότερα

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, ) 6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Επίδραση του πυρήνα στα ατομικά φάσματα Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση Σιρά Προβλημάτων Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { m n m, n, m+n πριττός ακέραιος} (β) {w {,} * τα πρώτα δύο σύμβολα της w, αν υπάρχουν, δν ίναι τα ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης 2014

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης 2014 Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατύθυνσης 014 ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψτ στο φύλλο απαντήσών σας τον αριθµό καθµιάς από τις ακόλουθς ηµιτλίς προτάσις 1-4 και δίπλα της το γράµµα που αντιστοιχί στο σωστό συµπλήρωµά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Δυνάμις Υδροστατικές & Υδροδυναμικές δυνάμις που νργούν στα ύφαλα της γάστρας Αροδυναμικές δυνάμις που νργούν στην ιστιοφορία Ειδικές Ναυπηγικές Κατασκυές και

Διαβάστε περισσότερα

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή

Διαβάστε περισσότερα

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια. Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες. 32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 10: Παιχνίδια με ελλιπή πληροφόρηση. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 10: Παιχνίδια με ελλιπή πληροφόρηση. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 0: Παιχνίδια μ λλιπή πληροφόρηση Ρφανίδης Ιωάννης Άδις Χρήσης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται σ άδις χρήσης Creative Commons. ια κπαιδυτικό υλικό, όπως ικόνς, που υπόκιται σ άλλου τύπου άδιας

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Κφάλαιο 7 1 Κφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) Μηχανικό ανάλογο

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) Μηχανικό ανάλογο ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) κατανάλωση νέργιας για την μταφορά θτικών φορτίων από το στο της μπαταρίας Υψηλό δυναμικό Χαμηλό δυναμικό κατανάλωση ηλκ.νέργιας λόγω συγκρούσων μέσα στην αντίσταση (αγωγό)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις σετ ασκήσεων #6

Λύσεις σετ ασκήσεων #6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ. Κοντογιάννης Πέμπτη 8 Μαΐου 07 Φυλλάδιο #4 Λύσις στ ασκήσων #6. Θόρυβος od. Έστω ότι ένα κανάλι έχι αλφάβητο ισόδου και αλφάβητο ξόδου το {0}. Όπως στο προηγούμνο στ η έξοδος του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( )

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( ) 19/11/9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθσµία παράδοσης /1/9 Άσκηση 1 Η γνική µορφή νός ΗΜ κύµατος δίνται από E E sin k r ωt (1) ( ) Α) Το µέτρο του πλάτους πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ. Μορφές αταξίας Μπορούµ να διακρίνουµ κατ' αρχή δύο µγάλς κατηγορίς άτακτων συστηµάτων στη φυσική της συµπυκνωµένης ύλης: συστήµατα µ αταξία θέσης και συστήµατα µ χηµική αταξία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85. E y + + = sin sin z r. 1 sin sin. E r. θ θ. Σχήµα 19. Λόγω σφαιρικής συµµετρίας όµως E(r, θ, φ, t)=e(r, t).

ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85. E y + + = sin sin z r. 1 sin sin. E r. θ θ. Σχήµα 19. Λόγω σφαιρικής συµµετρίας όµως E(r, θ, φ, t)=e(r, t). ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85 8 ΣΦΑΙΡΙΚΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ ασαιρικά κύµατα Φαντασείτε µια σηµειακή πηγή (πχ ταλαντούµενο σηµειακό ορτίο) που πάλλεται σ ένα σηµείο του χώρου Τα κύµατα που διαδίδονται προς όλες τις διευύνσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-8 Συμπλήρωμα 2 δαφίου 3.3: Το νικό μταβολικό πρόβλημα ια συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου μ ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 τμήματα C, ορισμένο πί καμπυλών που τέμνουν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μαγνητική Πόλωση

Ηλεκτρική και Μαγνητική Πόλωση Ηλκτρική και Μαγνητική Πόλωση Μαγνητικά και Ηλκτρικά πδία στα υλικά Μαγνήτιση και Ηλκτρική Πόλωση Οµοιότητς και ιαφορές Συµµτρία αντιστροφής ώρου και ρόνου Μαγνητική και Σιδηροηλκτρική Υστέρηση Εξισώσις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4.4.07. α) Ποια ίναι η σχέση μταξύ των οικονομιών κλίμακας και αποδόσων κλίμακας; β) Πως μτράμ την έκταση των οικονομιών κλίμακας; ΛΥΣΗ α) Οι οικονομίς κλίμακας και οι αποδόσις κλίμακας ίναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Θεώρηµα ( ) x x. f (x) Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ ΑΜΟΒΑΑ ΕΠΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής ΚΕΦΑΛΑΟ 11 ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης 2014

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης 2014 Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατύθυνσης 014 ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψτ στο φύλλο απαντήσών σας τον αριθµό καθµιάς από τις ακόλουθς ηµιτλίς προτάσις 1-4 και δίπλα της το γράµµα που αντιστοιχί στο σωστό συµπλήρωµά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πηγές Κατανομή χωικής d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 0 ΤΗΛ. 60 65.360, 60 6.009, FAX 60 65.366 www.kapalar.gr -mail: ifo@kapalar.gr ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΕΜΠΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο. γ. α 3. δ. β 5. (α) Σωστό (β)

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης Ο2 ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δίκτη διάθλασης 1. Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης n νός διαφανούς οπτικού µέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σηµαντικό µέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι µόνο µταβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση [5 μονάδς] Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς πί του αλφάβητου Α = {, }. (α) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1)

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) Εξίσση γραµµής C του πιπέδου: Είναι µια ξίσση µ δύο αγνώστους x, που έχι τις ιδιότητς i) Oι συντταγµένς κάθ σηµίου της γραµµής C παληθύουν την ξίσση και

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Κεφάλαιο 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Κφάλαιο 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Σύνοψη Στο δέκατο τούτο κφάλαιο παρουσιάζται το φαινόμνο της ηλκτρομαγνητικής παγωγής, το οποίο πριγράφται από το νόμο του Faraday. Επξηγίται ο κανόνας του Lenz και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Κφάλαιο : Μτάδοση θρμότητας μ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Συντλστής όψως Στο προηγούμνο κφάλαιο μλτήσαμ κυρίως τις ιδιότητς ακτινοβολίας που κπέμπται, απορροφάται και αντανακλάται από μία πιφάνια Τώρα ξτάζουμ την ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Ένα Φρένο Σε Μια Τροχαλία

Ένα Φρένο Σε Μια Τροχαλία Ένα Φρένο Σ Μια Τροχαλία Η ομογνής ράβδος του σχήματος έχι μάζα ΜΡ και μήκος = και μπορί να στρέφται ως προς κάθτο άξονα που διέρχται από το σημίο μ την βοήθια άρθρωσης. Πάνω στη ράβδο και σ απόσταση /4

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ)

ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ Θέµα. Ένας αρµονικός ταλανττής µε ασθενή απόσβεση, (µάζα=, σταθερά ελατηρίου= s, συντελεστής τριβής= r διεγείρεται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμτρία ως προς άξονα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Δραστηριότητα 1 Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς την υθία Βρίτ το συμμτρικό του Β ως προς την υθία 1 Α Β Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγµατα Απλών Χρονοσειρών (Μονοµεταβλητών Χρονοσειρών)

Υποδείγµατα Απλών Χρονοσειρών (Μονοµεταβλητών Χρονοσειρών) Υποδίγµατα Απών Χρονοσιρών (Μονοµταβητών Χρονοσιρών) Μ βάση µια σιρά από αποποιήσις και υποθέσις για τις παραµέτρους νός Συστήµατος Ποαπών Χρονοσιρών µπορούν να προκύψουν τρία ίδη (υποδίγµατα ή σχήµατα)

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ΘΕΜΑΤΑ. Να δίξτ ότι ισχύι α β + γ

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. Οι βασικοί νόµοι ανάκλασης διάλασης Στο παρόν κφάλαιο ξτάζται η πρίπτωση όπου ένα πίπδο κύµα προσπίπτι σ µια πίπδη πιφάνια S που διαχωρίζι δύο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

m i r i z i Αν είναι x, y, z τα µοναδιαία διανύσµατα των τριών αξόνων, τότε τα διανύσµατα ω r και r i µπορούν αντίστοιχα να γραφούν: r r x i y i ω x

m i r i z i Αν είναι x, y, z τα µοναδιαία διανύσµατα των τριών αξόνων, τότε τα διανύσµατα ω r και r i µπορούν αντίστοιχα να γραφούν: r r x i y i ω x ΓΕΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΤΑΝΥΣΤΗΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ, ΚΥΡΙΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έστ ότι το στερεό του σχήµατος στρέφεται µε γνιακή ταχύτητα (,, γύρ από άξονα που διέρχεται από σταθερό σηµείο Ο. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Τηλεπικοινωνίες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Τηλεπικοινωνίες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τηπικοινωνίς Ηκτρικά σήματα Τα σήματα χαρακτηρίζονται από: 1. Την ισχύ τους ή την έντασή τους. Από το ρυθμό που ξίσσονται στον χρόνο. Σ παμογράφο μπορώ να μτρήσω στον κατακόρυφο άξονα την τάση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδιγµα Στο παρόν µάθηµα δίνται µ κάποια απλά παραδίγµατα-ασκήσις θέµατα πάνω στην κτίµηση νός πολλαπλού γραµµικού υποδίγµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά.

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 53 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 5. Άσκηση 5 5.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΥΛΙΚΑ Λ. ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Poynting

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΥΛΙΚΑ Λ. ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Poynting ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΥΛΙΚΑ Λ. ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η µελέτη της συµπεριφοράς ηλεκτροµαγνητικών κυµάτν στο εστερικό υλικών (διηλεκτρικών και αγγών και η επεξήγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmias.weebly.m ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα κατά μήκος τεντωμένου νήματος Στο τεντωμένο με δύναμη νήμα του Σχήματος 1.1α δημιουργούμε μια εγκάρσια διαταραχή (παράλληλη με τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER Tα υποδίγµατα Transfer αποτλούν µία καλύτρη προσέγγιση στην κτίµηση µονοµταβλητών υποδιγµάτων, στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πρισσότρο αναλυτικά. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

5.15 Εφαρμογές της ομογενούς Δ.Ε. 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές

5.15 Εφαρμογές της ομογενούς Δ.Ε. 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 α) y -y +y e x /x 5 Aπ. u(/)x -3 e x β) y +ysecx Aπ. u[csx]ln csx +xsinx γ) y +4ysin x Aπ. u[cs (x)+]/ ) Γενικεύοντας την παραπάν πορεία για n>, δείξτε ότι τα v i (x) ικανοποιούν το σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω, ένα στερεό σώµα µε κατανοµή µάζας συµµετρική ως προς το κέντρο του. ( Το στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική ΠΑΝΕΚΦΕ Ερωπαϊκή Ολμπιάδα Φσικών Επιστημών 2009 Πανλλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φσική 17-01-2009 Σχολίο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Επισημάνσις από τη θωρία Πάνω στον πάγκο το ργαστηρίο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Καραμανίδου Αντιγόνης Φυσικού, φοιτήτριας Μεταπτυχιακού Νανοεπιστημών & Νανοτεχνολογιών. που υποβλήθηκε στο

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Καραμανίδου Αντιγόνης Φυσικού, φοιτήτριας Μεταπτυχιακού Νανοεπιστημών & Νανοτεχνολογιών. που υποβλήθηκε στο ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Καραμανίδου Αντιόνης Φυσικού φοιτήτριας Μταπτυχιακού Νανοπιστημών & Νανοτχνολοιών που υπολήηκ στο Τμήμα Φυσικής Της Σχολής Θτικών Επιστημών Του Αριστοτλίου Πανπιστημίου Θσσαλονίκης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφ. 6 ΔΙΑMOΡΦΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ, ΚΥΜΑΤΟΠΑΚΕΤΑ,

Kεφ. 6 ΔΙΑMOΡΦΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ, ΚΥΜΑΤΟΠΑΚΕΤΑ, Kεφ. 6 ΔΙΑMOΡΦΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ, ΚΥΜΑΤΟΠΑΚΕΤΑ, (part, pages -) Η μέχρι τώρα μελέτη μας αφορούσε κύματα ή ταλαντώσεις με μία μόνο συχνότητα. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την υπέρθεση πολλών κυμάτν που συνίστανται

Διαβάστε περισσότερα