Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών"

Transcript

1 Σχολή Εφαρμομένν Μαθηματικών και Φυικών Ειτημών Εθνικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οτικές Μαγνητικές Ιιότητς Υλικών Κφάλαιο 3: Αλληλίραη Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης Λιαροκάης Ευθύμιος

2 Άια Χρήης Το αρόν καιυτικό υλικό υόκιται άις χρήης Ca% Cns. Για καιυτικό υλικό ός ικόνς ου υόκιται άια χρήης άλλου τύου αυτή ρέι να αναγράφται ρητώς.

3 ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΗΜ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΛΗΣ- ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Θα υολογίουμ την αλληλίραη ΗΜ ακτινοβολίας και ύλης μέ της ημικλαικής ροέγγιης όου το ΗΜ κύμα θα αντιμτιτί κλαικά νώ η ύζυή του μ την ύλη κβαντικά. Αν ίναι η ένταη του ηλκτρικού ίου τότ αό την υχέτιή του μ το ιανυματικό και βαθμτό υναμικό έχουμ ότι A gaφ t Στην βαθμία Clb το ιανυματικό υναμικό ίναι γκάριο. Η ροθήκη του βαθμτού υναμικού θα ροέθτ μια ιαμήκη υνιτώα το ηλκτρικό ίο. Πραγματικά αν φ φ x [ t ] τότ gaφ φ ηλαή γκάρια υνιτώα. Εομένς αν θέλουμ το ΗΜ να ίναι γκάριο θα A κρατήουμ την βαθμία Clb μ φ0 οότ. Φυικά θα υάρχι και t μαγνητικό ίο αλλά η ίραή του θα ίναι ολύ μικρότρη. Αν t x[ t] τότ A t x[ t ]. Αό την ίη του Söng θα ροκύψι ότι A ψ ystal ψ t Αυτή ιαφέρι αό την αρχική χρίς το ΗΜ ίο κατά τους όρους [ A A A ] A Ο τλυταίος όρος ίναι υνήθς ολύ μικρότρος αό τους άλλους ύο και μορί ρώτη ροέγγιη να αγνοηθί. Είης ιχύι ότι Aψ Aψ A ψ A ψ A ψ A ψ Αφού το A ίναι γκάριο A 0. Έτι τλικά A t Όου θέαμ Αν άρουμ και την υζυγή οότητα τλικά ροκύτι ότι η ιαταραχή ίναι t t [ ] ΙΙΙ-

4 Ο ρώτος όρος θα ανααριτά την αορρόφηη νός φτονίου αό το ηλκτρόνιο αυάνοντας την νέργιά του κατά και την ορμή του κατά νώ ο ύτρος θα ριγράφι την κομή νός φνονίου μ αντίτοιχη αώλια νέργιας και ορμής αό το ηλκτρόνιο. Για οτικές υχνότητς οι αντίτοιχς νέργις ίναι της τάης του οότ << Δηλαή η μταβολή της ορμής τν ηλκτρονίν ίναι a χόν μηνική υγκρινόμνη μ την ζώνη Blln. Αν θέουμ 0 τότ έχουμ κάθτς μτατώις και ιγέρις και καταλήγουμ την ροέγγιη του ηλκτρικού ιόλου. Η ιθανότητα μτάβαης ύμφνα μ τον χρυό κανόνα του F θα ίναι για την αορρόφηη W W Η ιχύς ου αορροφάται θα ίναι ανάλογη του W. Αν λάβουμ υόψη την ιθανότητα η αρχική κατάταη να ίναι και η τλική κατάταη κατιλημμένη μέ της κατανομής F-Da [ ] αιανή [ ] καθώς και την αρουία κατατάν λόγ ιν τότ η αορροφούμνη ιχύς θα ίναι ίη ρος [ ] 4 Η αντίτοιχη χέη για την ακτινοβολούμνη ιχύ θα ίναι 4 [ ] Η υνολική ιχύς ου θα αορροφάται θα ίναι μέ της ανταλλαγής τν και την Ρ - και την ρόθη τν όρν μ τους αράγοντς F-Da [ ] 4 Κλαικά το ΗΜ ίο όγκο θα έχαν ιχύ μ ρυθμό Εομένς θα ρέι Ενώ t [ ] ΙΙΙ-

5 ΙΙΙ-3 Ε αιτίας τν χέν Kas-Kng 0 0 Και την αραάν χέη [ ] Θα ροκύψι ότι 0 νώ η αντίτοιχη χέη για την ιηλκτρική υνάρτηη θα ίναι Που μτά τον υολογιμό καταλήγι την χέη ζ Όου 0 ζ μια αιροτή θτική οότητα. Αν λάβουμ υόψη και την ιύρυνη τν γραμμών τότ μορούμ να γράψουμ την θέη της ροηγούμνης ίης την ακόλουθη γνική μορφή Γ N Όου Γ ίναι το ημιύρος της γραμμής αορρόφηης η υχνότητα και η αντίτοιχη ένταη της γραμμής. Μια ιιότητα ου ροκύτι αό τις χέις Kas-Kng ίναι η τιμή της ιηλκτρικής ταθράς για 0. Αό τις χέις αυτές έχουμ ότι 0 0 Στους ημιαγγούς 0 όταν g < και ομένς η τιμή της οότητας [ 0 ] θα ροκύτι αό το ολοκλήρμα g. Εομένς το θα ίναι τόο μγαλύτρο όο μικρότρο θα ίναι το νργιακό χάμα.

6 ΙΙΙ-4 Αορρόφηη ανάμα ύο ζώνς Ας υοθέουμ ότι ο κρύταλλος ίναι αντοάριτος τους Τ 0 Κ και ότι έχουμ αορρόφηη μέ μτατών ανάμα την ζώνη θένους και την ζώνη αγγιμότητας. Ας κινήουμ μ υναρτήις Bl ψ για την ζώνη θένους και ψ για την ζώνη αγγιμότητας Η ίραη του τλτή της ορμής θα οηγήι την [ ] ψ ψ ψ Εομένς ροκύτι ότι [ ] 3 Όμς 0 3 αό την ορθογνιότητα τν υναρτήν Ε αιτίας του όρου θα ρέι οότ 3 Ειή οι υναρτήις ίναι ριοικές το ολοκλήρμα καταλήγι lls ll N και μια ολοκλήρη μόνο την θμλιώη κυψλία. Τλικά θα έχουμ για Τ 0 Κ οότ 0 όου ll 3 Μια ροέγγιη για τις υναρτήις ίναι να τις ανατύουμ κοντά το μέγιτο ή το λάχιτο της ζώνης και να θέουμ n n οότ 0 0 t n Όου

7 ΙΙΙ-5 t n Είναι η υκνότητα κατατάν για τις οτικές μτατώις ου αρτάται αό τις χέις ιαοράς της νέργιας. Έτ.χ. ότι και τότ g Όου θέαμ την νργό μάζα και το νργιακό χάμα g Η υκνότητα κατατάν θα έχι την γντή μορφή g ηλαή η αορροφητικότητα θα έχι ένα κάτ όριο νέργις ίς μ το χάμα ός αναμνόταν. Αυτό βέβαια αλλάζι αν λάβουμ υόψη και τα ιτόνια. Ός ίναι φανρό η άρτηη της αορρόφηης θα ανααριτά την ομή τν ύο τιβάν θένους και αγγιμότητας μέ τν νργών μαζών για 0.

8 Χρηματοότηη Το αρόν καιυτικό υλικό έχι ανατυχθί τα λαίια του καιυτικόυ έργου του ιάκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχι χρηματοοτήι μόνο την αναιαμόρφη του καιυτικού υλικού. Το έργο υλοοιίται το λαίιο του Ειχιρηιακού Προγράμματος «Εκαίυη και Δια Βίου Μάθηη» και υγχρηματοοτίται αό την Ευραϊκή Ένη Ευραϊκό Κοιννικό Ταμίο και αό θνικού όρους.

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. . Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν Ε ρ μ ο ύ π ο λ η, 0 9 Μ α ρ τ ί ο υ 2 0 1 2 Π ρ ο ς : Π ε ρ ιφ ε ρ ε ι ά ρ χ η Ν ο τ ίο υ Α ιγ α ί ο υ Α ρ ι θ. Π ρ ω τ. 3 4 2 2 κ. Ι ω ά ν ν η Μ α χ α ι ρ ί δ η F a x : 2 1 0 4 1 0 4 4 4 3 2, 2 2 8 1

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 010-11 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές αικονίσις, Ααγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 Έστω η γραμμική αικόνιση T : μ T ( 1,1) = (, 0) και ( 0,1) ( 1,1) T = (α) Βρίτ τον ίνακα της

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα Δ κρύσις σ μια τραμάλα μια τραμάλα μήκς και μάζας της ίας τ μέσ στηρίζται σ βάση ύψς αφήνμ να έσι στ ένα άκρ της αό ύψς άν αό τ έδαφς σφαιρίδι μάζας νώ στ άλλ άκρ της έχμ ττήσι σ ήκη σφαιρίδι μάζας. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών

Σειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών Σιρά Ακήων ην Ανοχή ων Υλικών Άκηη η Σο ημίο Α μιας πίπδης μαλλικής πιφάνιας μ μέρο λαικόηας 00 GP και λόγο Pissn 0.5 μρήθηκαν οι πιμηκύνις ις καυθύνις, και μ η διάαξη ων πιμηκυνιομέρων ου χήμαος, ως 900,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία De Broglie [1923]

Θεωρία De Broglie [1923] Θερία De Brogle [93] Αξίμα De Brogle : Αφού τα φτόνια είναι και κύματα και σματίδια γιατί να μην συμεριφέρονται και τα σματίδια ς κύματα?? ΤΑ ΦΩΤΟΝΙΑενέργιας Ε.ν ενέχουν ορμή : v c c c cλ λ Ομοίς και σματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις Εξετάσεις Σετεµβρίου 6. ΘΕΜΑ. µονάδα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική αόκριση co in5 h Να βρεθεί και να σχεδιασθεί η αόκριση συχνότητας, H, του συστήµατος. Η κρουστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π. ΚΑΡΑΦΙΛΟΓΛΟΥ Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ SCHRÖDIGER Ĥ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Ζήτηµα ο Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση.. Κατά

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο, τα οοία αέχουν αόσταση (Ο 1 Ο )=d=4m, ενός άειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υάρχουν δυο ηγές κύματος, οι οοίες αρχίζουν να ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ. Ν. Μαραβελάκη Επίκουρος Καθηγήτρια Γενικού Τµήµατος Πολυτεχνείου Κρήτης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ. Ν. Μαραβελάκη Επίκουρος Καθηγήτρια Γενικού Τµήµατος Πολυτεχνείου Κρήτης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ Ν. Μαραβελάκη Επίκουρος Καθηγήτρια Γενικού Τµήµατος Πολυτεχνείου Κρήτης Χανιά Απρίλιος 011 Ασκήσεις και Λύσεις στο µάθηµα Γενική & Ανόργανη Χηµεία 1. Εάν ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα. ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

6 η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία Παράδοσης: 1/7/2007

6 η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία Παράδοσης: 1/7/2007 6 η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημομηνία Παάδοσης: /7/7 Τα θέματα ίναι βαθμολογικά ισοδύναμα Άσκηση Θτικό φοτίο Q κατανέμται ομοιόμοφα κατά μήκος του θτικού άξονα y μταξύ των σημίων y και y α. Ένα ανητικό σημιακό φοτίο -

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (κωδικός μαθήματος: 37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμτη, 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΦΩΤΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΦΩΤΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ: 01 013 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΦΩΤΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1. Εισαγγή Η φτοελαστικότητα ς ειραματική μέοδος μέτρησης του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ. Υάρχει συάρτηση f : R R : f ( ) + f( ) =, για άθε. Υάρχει συάρτηση f ορισµέη αι συεχής [,+ ), η οοία δε αρουσιάζει αρότατο στο 3. ίεται συάρτηση f τέτοια ώστε f f = +, R. Υάρχει συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς 9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Α Α. Σ Υ Σ Τ Α Σ Η - Ε Π Ω Ν Υ Μ Ι Α - Ε Δ Ρ Α - Δ Ι Α Ρ Κ Ε Ι Α Β. Μ Ε Λ Η Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ Ο Υ Γ. Ο Ρ Γ Α Ν Α Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Δ. Π Ο Ρ Ο Ι Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ρ =. 120 π ΦΥΛΛΑ ΙΟ 10 ο 1 η Σφαιρική οµοιόµορφη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού

ρ =. 120 π ΦΥΛΛΑ ΙΟ 10 ο 1 η Σφαιρική οµοιόµορφη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Σλίδα 1 αό 10 ΦΥΛΛΑ ΙΟ 10 ο 1 η Σφαιρική οµοιόµορφη διάδοση του ηλκτροµαγνητικού κύµατος έχουµ όταν θωρούµ ότι κατά την ακτίνα διάδοσης του κύµατος δν υάρχουν µόδια, αλλά και

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο ΣΥΝΘΕΣΗ ΛΝΩΣΕΩΝ.5. Υλικό σηµείο εκτελεί... η χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = +, ενώ ο ρυθµός µεταβο- λής της κινητικής του ενέργειας τη στιγµή αυτή είναι θετικός.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ Ταλάντωση με την βοήθεια σταθερής δύναμης. 1. Σε σώμα μάζας m = kg ου ηρεμεί σε λείο οριζόντιο είεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθερά k = N/m, όως στο σχήμα ασκούμε σταθερή δύναμη μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Για να λύσουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση θα πρέπει να την φέρουμε σε μια από τις παρακάτω μορφές: Μορφή Εξίσωσης Τύποι Λύσεων ημx = ημα

Για να λύσουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση θα πρέπει να την φέρουμε σε μια από τις παρακάτω μορφές: Μορφή Εξίσωσης Τύποι Λύσεων ημx = ημα . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τριγωομετρικές εξισώσεις λέγοται οι εξισώσεις στις οοίες ο άγωστος x εμφαίζεται σε κάοιο τριγωομετρικό αριμό(ημίτοο, συημίτοο, εφατομέη ή συεφατομέη). Για α λύσουμε μια τριγωομετρική

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1 (β) (γ) 3 (δ) 4 (α) 5 α (Σ), β (Λ), γ (Λ), δ (Λ), ε (Λ) ΘΕΜΑ 1ο ΘΕΜΑ ο 1 (α, στ) Το έργο W της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚ 362 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1 η Σειρά Ασκήσεων

ΟΙΚ 362 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1 η Σειρά Ασκήσεων ΟΙΚ 6 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ η Σειρά Ασκήσεων. Έστω ότι η αοραία συνάρτηση ζήτησης ια κάοιο ααθό είναι: ( ) 70 Υοθέστε ότι υάρχει μία ειχείρηση στην αορά και η συνάρτηση κόστους της ειχείρησης είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουμε αντικατάσταση. lim 3x 4x + 8 = 3 1 4 1 + 8 = 3+ 4 + 8 = 9

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουμε αντικατάσταση. lim 3x 4x + 8 = 3 1 4 1 + 8 = 3+ 4 + 8 = 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ υ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Να βρείτε τα αρακάτω όρια: α. ( 4 8) + 6 + 8 0 Αλές εριτώσεις Εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των ρίων. Ουσιαστικά κάνυμε αντικατάσταση. α. 4 + 8 4 + 8 + 4 + 8 9 8 0 8 4 0 0 + 6

Διαβάστε περισσότερα

Ν Κ Π 6Μ Θ 5 ϑ Μ % # =8 Α Α Φ ; ; 7 9 ; ; Ρ5 > ; Σ 1Τ Ιϑ. Υ Ι ς Ω Ι ϑτ 5 ϑ :Β > 0 1Φ ς1 : : Ξ Ρ ; 5 1 ΤΙ ϑ ΒΦΓ 0 1Φ ς1 : ΒΓ Υ Ι : Δ Φ Θ 5 ϑ Μ & Δ 6 6

Ν Κ Π 6Μ Θ 5 ϑ Μ % # =8 Α Α Φ ; ; 7 9 ; ; Ρ5 > ; Σ 1Τ Ιϑ. Υ Ι ς Ω Ι ϑτ 5 ϑ :Β > 0 1Φ ς1 : : Ξ Ρ ; 5 1 ΤΙ ϑ ΒΦΓ 0 1Φ ς1 : ΒΓ Υ Ι : Δ Φ Θ 5 ϑ Μ & Δ 6 6 # % & ( ) +, %. / % 0 1 / 1 4 5 6 7 8 # 9 # : ; < # = >? 1 :; < 8 > Α Β Χ 1 ; Δ 7 = 8 1 ( 9 Ε 1 # 1 ; > Ε. # ( Ε 8 8 > ; Ε 1 ; # 8 Φ? : ;? 8 # 1? 1? Α Β Γ > Η Ι Φ 1 ϑ Β#Γ Κ Λ Μ Μ Η Ι 5 ϑ Φ ΒΦΓ Ν Ε Ο Ν

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

6. Η κβαντική διεμπλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier

6. Η κβαντική διεμπλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier 6. Η κβαντική διεμλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr Σύνοψη Η κβαντική διεμλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr δεν σχετίζονται άμεσα μεταξύ τους, αοτελούν όμως τη βάση ολλών κβαντικών υολογισμών.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

Τα προτεινόμενα θέματα είναι από τις γενικές ασκήσεις προβλήματα του Ι. Δ. Σταματόπουλου αποκλειστικά για το site (δεν κυκλοφορούν στο εμπόριο)

Τα προτεινόμενα θέματα είναι από τις γενικές ασκήσεις προβλήματα του Ι. Δ. Σταματόπουλου αποκλειστικά για το site (δεν κυκλοφορούν στο εμπόριο) Τα ροτεινόμενα θέματα είναι αό τις γενιές ασσεις ροβματα του Ι. Δ. Σταματόουου αοειστιά για το site (δεν υοφορούν στο εμόριο) Θέμα ο Δυο σύγχρονες ηγές υμάτων Π αι Π βρίσονται στα σημεία Α αι Β αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

* * } t. / f. i ^ . «-'. -*.. ;> * ' ί ' ,ΐ:-- ΙΣ Τ Ο Λ Ο Γ ΙΑ Τ Α ΣΥΣΤΗ Μ Α ΤΑ ΟΡΓΑΝΟΝ. Ο.Β.Κ δτο ΥΛΑΣ

* * } t. / f. i ^ . «-'. -*.. ;> * ' ί ' ,ΐ:-- ΙΣ Τ Ο Λ Ο Γ ΙΑ Τ Α ΣΥΣΤΗ Μ Α ΤΑ ΟΡΓΑΝΟΝ. Ο.Β.Κ δτο ΥΛΑΣ % r,r,»v: ' $ & '"- -.,.. -., * *» # t -..* ' T. < - 'ί" : ', *».- 7 Λ CV';y * ' f y \ '. :.-ή ; / ' w, * * } t ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΠΑΝΝΙΝΠΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ V* ι Λ-Α..;. «* '. ft A 1^>>,- 7 - ^Λ' :.-.. ν -»V-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Αριλίου 013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις αό Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x) Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ, ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ, ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι ροές ιας τυχαίας εταβητής ορούν να υοογιτούν ε τη βοήθεια κατάηων υναρτήεων Σε αυτό το κεφάαιο θα εετήουε τις ιθανογεννήτριες

Διαβάστε περισσότερα

= 2L. Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση En

= 2L. Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση En Πρόβηµα ΑειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Θεωρούµε αειρόβαθο κβαντικό ηγάδι άχους, στο οοίο βρίσκεται εγκωβισµένο ηεκτρόνιο στην θεµειώδη κατάσταση Ε ιασιάζουµε το άχους του σωήνα ού αότοµανα βρεθεί η ιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Χηµεία Γ Λυκείου - Θετικής Κατεύθυνσης Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 17. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 1. Ηλεκτρόνιο ατόµου του υδρογόνου που βρίσκεται στη θεµελιώδη κατάσταση απορροφά ένα φωτόνιο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση :

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση : Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Στις ερωτήσεις - 5 να ειλέξετε την σωστή αάντηση :. Η ερίοδος µιας γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης α. εξαρτάται άντα αό τη

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα