Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό"

ÆΑἴθων Κοντολέων
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη vectos: ίναι µγέθη κίνα τα οποία για να οριστούν απαιτίται να δοθί το µέτρο τους και πί πλέον η διύθυνση και φορά του µγέθους, και η µονάδα µέτρησης του µγέθους. Συµβολισµός: â ή â, όπου ίναι το µέτρο του διανύσµατος και â ίναι το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλ. µέτρο â. Recittion, Phsics I M. Velgkis

οριστούν απαιτίται να δοθί το µέτρο τους και πί πλέον η διύθυνση και φορά του µγέθους, και η µονάδα µέτρησης του µγέθους.

2 Συνιστώσς διανύσµατος - Συστήµατα συντταγµένων Καρτσιανές συντταγµένς:,, Το διάνυσµα θέσης ή πιβατική ακτίνα σώµατος στο σηµίο Ρ: t i j k,, i, j,k ίναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά µήκος των αξόνων,, Η διανυσµατική ποσότης Α: i j k,, Recittion, Phsics I 008-9

σηµίο Ρ: t i j k,, i, j,k ίναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά

3 Πολικές συντταγµένς στο πίπδο -:,θ &, θ Μτασχηµατισµός: cosθ, sinθ, ή θ tn, Μοναδιαία διανύσµατα: ˆ cosθi sinθ j, θ ˆ sinθi cosθ j i cosθˆ sinθθˆ, j sin θˆ cosθθˆ Στοιχιώδης πιφάνια: dv dθ d ddθ Κυλινδρικές συντταγµένς:,α,α &,θ, θ Μτασχηµατισµός: ρcosφ, ρ sinφ, φ tn, ρ Στοιχιώδης όγκος: dv ρdφ dρ d ρdρdφd Recittion, Phsics I

cosθθˆ Στοιχιώδης πιφάνια: dv dθ d ddθ Κυλινδρικές συντταγµένς:,α,α &,θ, θ

4 Σφαιρικές συντταγµένς:,θ,φ και,α,α Μτασχηµατισµός: sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ ή αντίστροφα φ tn /, θ cos /, Μοναδιαία διανύσµατα: ˆ sinθ cosφi sinθ sinφj cosθk, θˆ cosθ cosφi cosθ sinφj sinθk, φˆ sinφi cos φj ή αντίστροφα i sinθ cosφˆ cosθ cos φθˆ sinφφˆ j sin θ sinφˆ cosθ sinφ θˆ cos φφˆ k cosθˆ sinθθˆ Στοιχιώδης όγκος: dv sinθ ddθdφ θ φ,, Πράξις πί των διανυσµάτων: Ισότης διανυσµάτων:, σηµαίνι Α Β, Α Β,... Πρόσθση διανυσµάτων: C, σηµαίνι ότι το άθροισµα C έχι συνιστώσς: C Α Β, C Α Β, C Α Β Recittion, Phsics I

sinφˆ cosθ sinφ θˆ cos φφˆ k cosθˆ sinθθˆ Στοιχιώδης όγκος: dv sinθ ddθdφ θ φ,, Πράξις πί των διανυσµάτων: Ισότης διανυσµάτων:,

5 Recittion, Phsics I Αριθµητικό ή σωτρικό γινόµνο διανυσµάτων: C, παριστά το µονόµτρο µέγθος C το οποίο έχι µέτρο: CΑ Β Α Β Α Β, ή άλλως Ccosθ, όπου θ ίναι η γωνία µταξύ των και. ιανυσµατικό ή ξωτρικό γινόµνο διανυσµάτων: C, σηµαίνι ότι το διαν. γινόµνο C έχι µέτρο και διύθυνση: nˆ sinθ C, όπου nˆ ίναι το µοναδιαίο διάνυσµα κάθτο στο πίπδο που ορίζουν τα διανύσµατα και. Σ καρτσιανές συντταγµένς: k j i k j i C Για παράδιγµα η συστροφή το cul του διανύσµατος ίναι: k j i k j i Γινόµνο διανύσµατος πί αριθµού: σηµαίνι ότι απλά πολλα/ζται το µέτρο του διανύσµατος: â λα λ ιαίρση διανυσµάτων: απαγορύται.

γινόµνο C έχι µέτρο και διύθυνση: nˆ sinθ C, όπου nˆ ίναι το µοναδιαίο διάνυσµα κάθτο στο πίπδο που ορίζουν τα διανύσµατα και.

6 ιαίρση διανύσµατος δια αριθµού: σηµαίνι ότι Α απλά διαιρίται το µέτρο του διανύσµατος: â λ λ d Παραγώγιση διανύσµατος: σηµαίνι: dt d d d d i j k dt dt dt dt Ολοκλήρωση διανύσµατος: dt σηµαίνι: dt i dt j dt k dt Recittion, Phsics I

διανύσµατος: σηµαίνι: dt d d d d i j k dt dt dt dt

7 Recittion, Phsics I

8 Recittion, Phsics I

9 Παράδιγµα ο Έργο δύναµη Επικαµπύλιο ολοκλήρωµα: Πλανήτης µάζας m πριφέρται σ λλιπτική τροχιά γύρω από τον ήλιο µάζας Μ, ο οποίος καταλαµβάνι το κέντρο της έλλιψης. Αν και ίναι οι ηµιάξονς της λλιπτικής τροχιάς του πλανήτη >, υπολογίσατ το παραγόµνο έργο για να διαγραφί ένα τταρτηµόριο της έλλιψης. Λύση: Λαµβάνοµ το πίπδο της έλλιψης σαν - πίπδο και το κέντρο της έλλιψης σαν αρχή των αξόνων 0, όπου τοποθτίται ο ήλιος ακίνητος. Το διάνυσµα θέσης του πλανήτη ίναι, t i j,, όπου, δίδονται από τις ακόλουθς παραµτρικές ξισώσις της έλλιψης, cosθ, sinθ. [Πολύ πιθανόν η δδοµένη καµπύλη της τροχιάς να δίδται από µια µαθηµατική σχέση της µορφής: f, π.χ. για την έλλιψη η σχέση αυτή ίναι:, η οποία πράγµατι προκύπτι από τις, απαλίφοντας τη µταβλητή θ]. Η δύναµη που ασκίται στο πλανήτη, σύµφωνα µ το νόµο βαρύτητος του Νύτωνα, έχι τη µορφή Mm Mm Mm Mm G ˆ G ή F G, G 3 3 F 3 3 Recittion, Phsics I

Λύση: Λαµβάνοµ το πίπδο της έλλιψης σαν - πίπδο και το κέντρο της έλλιψης σαν αρχή των αξόνων 0, όπου τοποθτίται ο ήλιος ακίνητος.

10 Το µίον πρόσηµο στη 3 απλά υποδηλώνι το γγονός ότι η δύναµη ίναι λκτική και κατυθύνται προς την αρχή των αξόνων 0, νώ το µέτρο ισούται µ: sin θ cos θ sin θ sin θ sin θ sin θ, οπου /. Το έργο που παράγται ή δαπανάται κατά τη µταφορά του πλανήτη από το σηµίο-α στο σηµίο-β της τροχιάς του, δίδται από το πικαµπύλιο ολοκλήρωµα, W F d 4 όπου d ίναι το στοιχιώδς βήµα ολοκλήρωσης πάνω στη καµπύλη της τροχιάς, από τo σηµίο: Α Β. Χρησιµοποιώντας τις παραµτρικές ξισώσις, λαµβάνουµ: d sinθi cosθ j dθ. Αν αντί της έλλιψης, ίχαµ πριφέρια κύκλου για τροχιά, τότ θα ίσχυ:, οπότ η προηγούµνη σχέση θα γραφόταν: d sin θi cos θ j dθ θdθ, όπου κάναµ χρήση και των σχέσων µτασχηµατισµού των πολικών συντταγµένων, σλ. 3. Βλέπουµ δηλ. ότι αναπαράγουµ τα αποτλέσµατα της σλ. 6. Μτά από τα παραπάνω, η 4 γράφται W F sinθ dθ GMm GMm GMm 3 / F cosθ dθ cosθ sinθ sinθ cosθ 3 / 3 / sin θ sinθ cosθ dθ 3 / sin θ sinθ cosθ dθ 5 3 / sin θ dθ Recittion, Phsics I

στη καµπύλη της τροχιάς, από τo σηµίο: Α Β. Χρησιµοποιώντας τις παραµτρικές ξισώσις, λαµβάνουµ: d sinθi cosθ j dθ.

11 Το ολοκλήρωµα υπολογίζται ύκολα φαρµόζουµ το όριο: Α 0 Β π/, και στο τέλος sinθ cosθ dθ Ι 3 / sin θ udu u cos θ 3 / u 3 d u u 3 / 3 u θ π / cos θ θ 0 sinθ dsinθ 3 / sin θ du u 3 / u δηλ. το παραγόµνο έργο για τη διαγραφή νός τταρτηµορίου ίναι: W GMm GMm 0 6 < ο ττ Στη πρίπτωση κυκλικής τροχιάς, δηλ. για, το έργο µηδνίζται: W0! Γιατί όµως; Στη πρίπτωση συντηρητικών δυνάµων, ορίζται ως δυναµική νέργια η συνάρτηση U,,, της οποίας η µταβολή µταξύ των τιµών της στα σηµία Α και Β του Ευκλίδιου χώρου να ισούται µ το αρνητικό έργο της συντηρητικής δύναµης για τη µταφορά νός σώµατος από το σηµίο Α στο Β, δηλ. U -U -W.Συνπώς, U-U-W. Αν τώρα πιλέξουµ το Α να ίναι στο άπιρο δηλ. και υποθέσουµ ότι, U 0, και αν το σηµίο Β βρίσκται σ κάποια απόσταση από τον ήλιο, τότ χρησιµοποιώντας το αποτέλσµα 6, βρίσκοθµ: U -0-W, δηλ. U-GMm/ το γνωστό µας αποτέλσµα. Θα παναλάβουµ τους ίδιους υπολογισµούς, στη πρίπτωση που η καµπύλη ολοκλήρωσης δίδται από µια µαθηµατική σχέση της µορφής: f, πχ. για το παραπάνω πρόβληµα: f ± ±. Για τους υπολογισµούς σας καλό ίναι να χρησιµοποιίτ κάποιο µαθηµατικό τυπολόγιο, όπως το ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ της σιράς SCHUM. Recittion, Phsics I 008-9

Γιατί όµως; Στη πρίπτωση συντηρητικών δυνάµων, ορίζται ως δυναµική νέργια η συνάρτηση U,,, της οποίας η µταβολή µταξύ των τιµών της στα σηµία Α και Β του Ευκλίδιου χώρου να ισούται µ το αρνητικό έργο

12 Recittion, Phsics I Το παραγόµνο έργο από τη δύναµη F δίδται από το πικαµπύλιο ολοκλήρωµα, d f F F d d F F d d F W 3 3 d f f GMm[ d f d [ GMm όπου, και /. Συνπώς το ολοκλήρωµα ισούται: 3 / 3 / 3 d GMm 3 / 3 / d GMm d GMm 0 3 GMm GMm 3 GMm GMm /, δηλ. αναπαραγάγουµ το αποτέλσµα 6!!

13 Παράδιγµα ο Ώθηση δύναµης: Μια µπάλα του sell 0g ρίχνται µ ταχύτητα.6m/s από τον pitche. Κτυπώντας την ο tte µ το ρόπαλο Β, κτοξύται µ ταχύτητα 4m/s κατά τη διύθυνση που φαίνται στο σχήµα. Αν η διάρκια της παφής της µπάλας µ το ρόπαλο ίναι 0.05s, προσδιορίσατ την µέση δύναµη που ασκίται πάνω στη µπάλα κατά το κτύπηµα. Λύση: Από τον ο νόµο του Νύτωνα, F dp / dt, έχοµ: dp Fdt, και ολοκληρώνοντας από µια αρχική στιγµή tαρχ έως µια στιγµή t τλ, παίρνοµ Η ποσότης Ι p t τλ αρχ t τλ p αρχ Fdt t αρχ t τλ Fdt. 7 καλίται ώθηση impulse της δύναµης F. Η σχέση 7 αναφέρται σαν θώρηµα ώθησης - ορµής. Αν F ίναι µια µέση τιµή της δύναµης για το διάστηµα που φαρµόζται πάνω στο σώµα, δηλ. Ι t αρχ t τλ Fdt F t, όπου t t τλ tαρχ ίναι η διάρκια του φαινοµένου, τότ η 7 γράφται, Recittion, Phsics I

Λύση: Από τον ο νόµο του Νύτωνα, F dp / dt, έχοµ: dp Fdt, και ολοκληρώνοντας από µια αρχική στιγµή tαρχ έως µια στιγµή t τλ, παίρνοµ Η ποσότης Ι p t τλ αρχ t τλ p αρχ Fdt t αρχ t τλ Fdt.

14 p p F t, 8 τλ αρχ από την οποία µπορούµ να υπολογίσουµ τη µέση δύναµη. Πράγµατι, στο -άξονα: F t p τλ, p αρχ, t [ mυ τλ cos40 ο mυ αρχ ] ο 0.0 4cos Nt t ο στο -άξονα: F p p mυ sin40 0 άρα ή τλ, αρχ, ο sin t τλ 0 8.8Nt F Fi F j 4.5i 8.8j Nt, F 8.8 o F Nt, θ tn tn 7. F 4.5 Μπορούµ να υπολογίσουµ το παραγόµνο έργο από τη δύναµη F πάνω στη µπάλα. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας το θώρηµα έργου-νέργιας έχοµ: W K τλ αρχ mυ mυ Joules Παράδιγµα 3 ο ιατήρηση ορµής-φαινόµνο Compton: έσµη φωτός µήκους κύµατος λ προσπίπτι πάνω σ νέφος ηρµούντων? σχδόν ηλκτρονίων πχ. µέσα σ µέταλλο. Παρατηρίται ότι κσφνδονίζονται ηλκτρόνια έξω από το νέφος. Να υπολογιστί η µταβολή του µήκους κύµατος του σκδαζόµνου φωτός σχτικιστική θώρηση. Λύση: Κατά την κβαντική θωρία, το φως έχι διπλή υπόσταση, δηλ. µφανίζι κυµατικές ιδιότητς, όπως ανάκλαση, συµβολή κλπ., αλλά και σωµατιδιακές ιδιότητς, δηλ. µπορί να Recittion, Phsics I

Πράγµατι, χρησιµοποιώντας το θώρηµα έργου-νέργιας έχοµ: W K τλ αρχ mυ mυ 0.0 4.6 4Joules Παράδιγµα 3 ο ιατήρηση ορµής-φαινόµνο Compton: έσµη φωτός µήκους κύµατος λ προσπίπτι πάνω σ νέφος ηρµούντων?

15 συγκρουστί µ υλικά σώµατα, κλπ. Όσον αφορά το τλυταίο ισχυρισµό, ο M Plnck γύρω στο 900 υπέθσ ότι το φως αποτλίται από δέσµη φωτονίων, τα οποία ίναι οντότητς που έχουν νέργια ίση µ hν, ορµή ίση µ h/λ, αλλά µάζα m µηδέν. Συνπώς, κατά τη σκέδαση του φωτός από ηλκτρόνια, στην ουσία πρόκιται για σύγκρουση φωτονίων πάνω σ ηλκτρόνια η προσέγγιση αυτή του προβλήµατος οφίλται στον Einstein. Κατά τη σχτικιστική προσέγγιση, η νέργια νός σώµατος ισούται: E cp mc, όπου c η ταχύτης του φωτός, και p,m η ορµή και µάζα του σώµατος. Κατά τη κρούση νός φωτονίου µ ένα ηλκτρόνιο που ηρµί γιατί;, ισχύουν οι ακόλουθοι νόµοι διατήρησης: α Ενέργια πριν τη κρούση νέργια µτά τη κρούση, mc hν' cp mc 9 h ν β Ορµή πριν τη κρούση ορµή µτά τη κρούση, κατά τον -άξονα: κατά τον -άξονα: h λ h 0 cosθ pcosφ 0 λ' h 0 0 sinθ p sinφ λ' Recittion, Phsics I

Συνπώς, κατά τη σκέδαση του φωτός από ηλκτρόνια, στην ουσία πρόκιται για σύγκρουση φωτονίων πάνω σ ηλκτρόνια η προσέγγιση αυτή του προβλήµατος οφίλται στον Einstein.

16 Απαλίφοντας τη γωνία φ µταξύ των 0,, παίρνουµ h λ h h cosθ p λ' λλ' Ισχύι: λνc, άρα νc/λ, και αντικαθιστώντας στην 9, hc λ hc λ' mc cp mc ή cp hc hc mc mc, λ λ' και υψώνοντας στο ττράγωνο, ή cp mc cp h c λ mc h c λ' hc λ mc mc hc λ' h c h c hc hc hc hc mc mc. λ λ' λ λ' λ λ' hc hc λ λ' Αντικαθιστώντας την ορµή p από την παίρνοµ, c h λλ' hc hc cosθ mc, λ λ' οπότ η µταβολή του µήκους κύµατος του σκδαζόµνου φωτός ίναι h mc λ h λ' λ cosθ. mc Η σταθρά λ C Å καλίται µήκος κύµατος Compton. Recittion, Phsics I

λ λ' λ λ' λ λ' hc hc λ λ' Αντικαθιστώντας την ορµή p από την παίρνοµ, c h λλ' hc hc cosθ mc, λ λ' οπότ η µταβολή του µήκους

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την