ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ"

Transcript

1 Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους ορισμούς των αρχικών εννοιών α όοιο βιβλίο κι αν θελήσει. Ειδικά θα ρέει να συνειδητοοιήσει ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (ημίτονο, συνημίτονο, ε- φατομένη και συνεφατομένη) μιας γωνίας δεν αφορούν αοκλειστικά οξείες γωνίες αλλά και γωνίες ω με 0 ω 360, είσης γωνίες μεγαλύτερες των 360 αλλά και αρνητικές γωνίες. Εομένως: Οι ορισμοί ου έμαθε στην Β Γυμνασίου και αφορούν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας ο- ξείας γωνίας δεν είναι τελικά οι μόνοι ου υάρχουν. Στην Γ Γυμνασίου αλλά ειδικά στην Α Λυκείου τέθηκαν οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (γενικά) όχι κατ ανάγκη οξείας. Σύμφωνα μ αυτούς, για να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω ρέει να τοοθετηθεί «κατάλληλα» σ ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων όως φαίνεται στο σχήμα. Συγκεκριμένα, η γωνία ω ταυτίζεται με τη γωνία ου αράγεται αό τον ημιάξονα Οx (αρχική λευρά) όταν στραφεί γύρω αό το Ο κατά την θετική φορά (δηλαδή την αντίθετη των δεικτών του ρολογίου). Η τελική θέση του ημιάξονα Οδ είναι η τελική λευρά της γωνίας. Στη συνέχεια, αν Μ(α,β) τυχαίο σημείο της τελικής λευράς της γωνίας ω θα ισχύει: β ημω ρ α συνω ρ β εφω α τεταγμενη του σημειου Μ αοσταση του Μ αο το Ο τετμημενη του σημειου Μ αοσταση του Μ αο το Ο τεταγμενη του σημειου Μ τετμημενη του σημειου Μ α τετμημενη του σημειου Μ σφω β τεταγμενη του σημειου Μ Προφανώς: ημω Αν συνω 0 τότε εφω και συνω συνω αν ημω 0 τότε σφω. ημω με α 0 με β 0. Εειδή το σημείο Μ είναι τυχαίο και οι αραάνω λόγοι είναι σταθεροί δηλαδή ανεξάρτητοι αό την ειλογή του σημείου Μ (αφού λόγω των ομοίων τριγώνων ου σχηματίζονται οι λόγοι είναι σταθεροί), λαμβάνουμε ως σημείο Μ το σημείο ου η τελική λευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ίση με τη μονάδα μήκους (ρ ) (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ). Κι αυτό, γιατί; Αλούστατα γιατί λέον οι ροηγούμενοι ορισμοί, ααλλάσσονται αό τον αρανομαστή αφού αυτός ισούται με. Σχήμα Σχήμα Έτσι για το ημίτονο και το συνημίτονο έχουμε: (σχ. ) ημω β (= τεταγμένη του Μ) ΟΜ ρ α β 0. () Ονομάζουμε: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./ συνω α (= τετμημένη του Μ) Εύκολα αοδεικνύεται (βλέε αόδειξη σχολικού βιβλίου) ότι η εφω είναι ίση με την τεταγμέ-

2 νη του σημείου Ε, σημείο ου η τελική λευρά της γωνίας ή η ροέκτασή της τέμνει τον εφατόμενο άξονα του κύκλου στο σημείο Α (σχ. 3). Αντίστοιχα η σφω είναι ίση με την τετμημένη του σημείου Σ, σημείο ου η τελική λευρά της γωνίας ή η ροέκτασή της τέμνει τον εφατόμενο άξονα του κύκλου στο σημείο Β (σχ. 3). Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) (Α.:, 0,, 0 / 0,, 0, /, 0,, 0 / 0,, 0, ) Σχήμα 3 Εομένως: Αν Μ, Ε και Σ τα σημεία του τριγωνομετρικού κύκλου όως αυτά ορίστηκαν ιο άνω ισχύει: ημω y Μ (τεταγμένη του Μ) συνω x Μ (τετμημένη του Μ) εφω y Ε (τεταγμένη του Ε) σφω x Σ (τετμημένη του Σ) ΆΣΚΗΣΗ Ας κάνουμε τώρα μια άσκηση και να εφαρμόσουμε τους αραάνω ορισμούς: Βρείτε τα σημεία Μ, Ε και Σ ου αντιστοιχούν στις γωνίες 0 (0 rad), 90 ( rad), 80 ( rad), 70 ( 3 rad), 360 ( rad) και συμληρώστε τον αρακάτω ίνακα (όως στη ρώτη στήλη): ημ0 0 ημ90 ; ημ80 ; συν0 συν90 ; ; ; ημ70 ; ημ360 ; συν80 ; συν70 συν360 ; ; εφ0 0 εφ90 ; εφ80 ; εφ70 ; εφ360 ; σφ0 σφ90 ; σφ80 ; σφ70 ; σφ360 ; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Με τη βοήθεια του Τριγωνομετρικού κύκλου εύκολα καταλαβαίνουμε γιατί ισχύουν οι αρακάτω σχέσεις: Για κάθε γωνία ω ισχύει: ημω και συνω, αφού οι τεταγμένες και οι τετμημένες του σημείου Μ όλων των γωνιών στον τριγωνομετρικό κύκλο βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και (σχ. ). Για κάθε γωνία ω και για κάθε κ ισχύει: ημ κ 360 ω ημω (ή ημ κ ω ημω ),αφού οι τελικές λευρές των γωνιών: κ 360 ω, (ή κ ω), κ ταυτίζονται με την τελική λευρά της γωνίας ω (ομοίως για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ημ ημ ημ 6 ημ ημ ημ Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου μορούμε να αναγάγουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας σε τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ου η τελική της λευρά βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (χωρίς να χρειάζεται να αομνημονεύσουμε τους αντίστοιχους τύους!). Για τις αντίθετες γωνίες x και x ισχύει: ημx ημx συνx συνx εφx εφx σφx σφx ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./

3 Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) Εεξήγηση Οι γωνίες x και x τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα, ου είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα x x και έχουν ίσες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες, δηλ. ίσα συνημίτονα και αντίθετα ημίτονα. Προφανώς θα έχουν αντίθετες εφατομένες και συνεφατομένες. ΑΣΚΗΣΗ Εαληθεύοντας τις μέχρι τώρα γνώσεις σας και με ολύ ροσοχή συμληρώστε τα κενά στους αρακάτω ίνακες εκφράζοντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: x, x, x συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας x i) x, x (αραληρωματικές γωνίες) ημ x; συν x; εφ x; σφ x; ρος την διχοτόμο της γωνία xoy, άρα το Μ έχει τετμημένη την τεταγμένη του Μ και τεταγμένη την τετμημένη του Μ δηλ.... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ) ημ x ; συν x ; εφ x ; σφ x ; ρος τον άξονα y y, άρα έχουν αντίθετες τετμημένες και ίσες τεταγμένες δηλ.... ii) x, x (γωνίες με διαφορά ) ημ x ; συν x ; εφ x ; σφ x ; ρος την αρχή Ο(0,0) των αξόνων, άρα έχουν α- ντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες δηλ.... iii) x, x (συμληρωματικές γωνίες) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./3 ) Κατ αρχήν οι ααντήσεις στη αραάνω άσκηση: i) ημx, συνx, εφx, σφx, ii) ημx, συνx, εφx, σφx, iii) συνx, ημx, σφx, εφx. ) Οι αραάνω τύοι εριέχονται στο σχολικό βιβλίο με την μορφή: ημ 80 ω για την ερίτωση (i), ημ80 ω για την ερίτωση (ii) και ημ90 ω για την ερίτωση (iii). 3) Οι αραάνω τύοι: αναγωγής στο ο τεταρτημόριο ισχύουν και για οοιαδήοτε γωνία x. 4) Για τις γωνίες x, 3 x, x και για τις γωνίες 3 x, x εργαζόμαστε όως στο αράδειγμα ου ακολουθεί: iii ημ x ημ x = συν x συνx ii 3 ημ x ημ x iii = ημ x συνx (*) 3 ημ x ημ x = i ημ x ημ x συνx (*) θυμίζουμε ότι: ημ κ x ημx, κ. 5) Γενικά ισχύει: i) Γωνίας, ου η τελική της λευρά βρίσκε-

4 Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ται στο ο τεταρτημόριο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αριθμών της γωνίας ου υολείεται των 80 (ή rad)..χ. συν0 συν80 60 συν60. ii) Γωνίας, ου η τελική της λευρά βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αριθμών της γωνίας ου υερβαίνει των 80 (ή rad). 7 3.χ. εφ εφ εφ iii) Γωνίας, ου η τελική της λευρά βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αριθμών της γωνίας ου υολείεται των 360 (ή rad). 5 3.χ. σφ σφ σφ Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου μορούμε να λύσουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις. Ισχύει: x κ θ α ημx α ημx ημθ ή, κ x κ θ (όου θ, γωνία ου έχει ημίτονο α). Εξήγηση: Οι γωνίες x (σε rad) ου έχουν ημίτονο α, δηλ. όσο το ημθ είναι οι γωνίες ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον κύκλο στο Μ οότε: x κ θ, κ ή στο Μ οότε: x κ θ, κ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ α) Να λυθεί η εξίσωση: ημx () β) Να λυθεί η ανίσωση: ημx () Λύση ημ 6 α) ημx ημx ημ x κ 6 6 ή x κ x κ ή x κ, κ. 6 β) ημx Σύμφωνα με τον τριγωνομετρικό κύκλο του σχήματος, λύσεις της ανίσωσης () είναι οι γωνίες των οοίων οι τελικές λευρές τέμνουν τον κύκλο σε σημεία του ελάσσονος τόξου ΜΜ δηλ. οι γωνίες x και γενικότερα: κ x κ, κ. 6 6 ΑΡΑ: Λύσεις της αραάνω ανίσωσης είναι οι ραγματικοί αριθμοί x ου ανήκουν στην ένωση των διαστημάτων της μορφής: 5 κ,κ, κ 6 6. ΑΣΚΗΣΗ Μελετώντας ροσεκτικά τον τριγωνομετρικό κύκλο να συμληρώσετε τις λύσεις των αρακάτω εξισώσεων: x ; α συνx α συνx συνθ ή x ; (θ: γωνία με συνημίτονο α) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./4

5 Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) α εφx α εφx εφθ x ; (θ: γωνία με εφατομένη α) α σφx α σφx σφθ x ; (θ: γωνία με συνεφατομένη α) (Α.: x κ θ ή x κ θ / x κ θ / x κ θ, κ ) 3 4 B ημ ημ : ημ ημ ) Να λυθεί η εξίσωση: 3εφ x εφx. εφ x 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ) Να αοδειχθεί η ισοδυναμία: εφx εφy ημy συνx. ) Αν α,β δείξτε ότι: (i) 4ημα συνα 5, (ii) (ii) 4αημx 5βσυνx 4 α 5 β. 3) Να ειλύσετε (ως ρος x) τις εξισώσεις: x ημα συνα x ημα συνα 0. (i) (ii) (iii) x x ημ α 0. x 0. ημα συνα x 4) Να υολογιστεί η τιμή των αραστάσεων: ημ 70 συν70 Α εφ080 3συν080 7 ημ εφ Β 7 συν εφ 5) i) Ν αλοοιηθεί η αράσταση: 3 3 ημ x συν xεφ x Α. ημ x ii) Ν αοδείξετε ότι: 7 3 ημ συν 7 x ημ x συνx. 3 συν 9 ημ x 6) Να υολογιστούν οι τιμές των αραστάσεων: Α ημ 36 ημ 54 ημ 8 ημ 7 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./5

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Λύσεις των βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµx = ηµθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ Z συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ Z εφx = εφθ x = κ + θ, κ Z σφx = σφθ x =

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία. Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία.  Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης Άλγεβρα Β Λσκείοσ Τριγωμομετρία Στέλιος Μιταήλογλοσ Εσάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr 1. ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ 1.1. ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ Οι αρακάτω έννοιες ου θα αναφέρουµε συµεριλαµβάνονται στη διδακτέα

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου

Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 014 (B ΕΚΔΟΣΗ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές ροσαθώ να αοτυώσω τη δική

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις . Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί

1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί Τριγωνµετρικί αριθµί Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Τριγωνµετρικί αριθµί υ συνδένται µε τις ξείες γωνίες ρθγωνίυ τριγώνυ Έστω ΑΒΓ ( A= 90 o ) ρθγώνι τρίγων µε λευρές α, β, γ. Γνωρίζυµε ότι: µήκς αέναντι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι.1 έως και.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 1. 1. 1 1 1. 4. 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 6. 1 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Πώς να μελετάτε τη Φυσική

Πώς να μελετάτε τη Φυσική Πώς να μελετάτε τη Φυσική Πρόλογος H διδασκαλία της Φυσικής αευθύνεται ρωταρχικά στους νέους και ροσαθεί να τους είσει ότι τα φυσικά φαινόμενα εξελίσσονται στο φυσικό εριβάλλον υακούοντας σε νόμους, τους

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ .3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες : ηµ ω + συν ω εφω συνω ΣΧΟΛΙΑ. Χρησιµότητα των τύπων : Ξέρω έναν τριγωνοµετρικό αριθµό και βρίσκω τους

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα